第3节 常用统计分布(三个常用分布)

所以
P F1
F
(n2 ,
n1
)
,
比较后得
F1-
1 ( n1 ,
n2 )
F
(n2 ,
Biblioteka Baidu
n1 ),
即F1 (n1,
n2 )
F
1 (n2 ,
. n1 )
用来求分布表中未列出的一些上 分位点.
例
F0.95 (12,9)
1 F0.05 (9,
12)
1 2.8
0.357 .
三、小结
1.三大统计分布
2 分布, t 分布, F 分布.
由分布的对称性知
t1 (n) t (n).
当n 45时, t (n) u . t0.05(10) 1.8125, 附表3-1 t0.025(15) 2.1315. 附表3-2
3.
2分
布的上侧
分位数
2
(
n)
对于给定的正数, 0 1, 称满足条件
P{2 2 (n)}
的点
2
(n)
为
2
(
n)
分布的
上
分位数（
分位
点）.
对于不同的 , n,
可以通过查表求
得上 分位点的值.
2 0.025
(8)
17.535,
附表4-1
2 0.975
(10)
3.247,
附表4-2
2 0.1
(
25)
34.382.
附表4-3
附表4只详列到 n=45 为止.
费歇(R.A.Fisher)证明:
当
n
充分大时,
X ~ N (, 2),
则 X ~ t(n 1) S/ n
定理
设总体
X
~
N
(
1
,
2 1
),
Y
~
N
(
2
,
2 2
),
X与Y相互独立. 样本( X1, X2 , , Xn1 )
与 (Y1, Y2, , Yn2 ) 分别来自总体X和Y，则
T
(X
Y Sw
)
(1
11 n1 n2
2 )
~
t(n1
n2
2),
并且
2 i
(i 1, 2,, m) 相互
m
独立, 则
2 i
~
2(n1
n2
nm ).
i 1
性质2 若 2 ~ 2(n), 则 E( 2 ) n, D( 2 ) 2n.
性质3 设样本( X1, X2, , Xn) 是来自总体X , 而
X ~ N (, 2),
则(1)
(n 1)S 2
2
1
~
N
(
,
2
),
Y
2
~
2 (n),且X ,Y相互独立,
试求 T X 的概率分布.
Yn
解 因为X ~ N(, 2),所以 X ~ N(0,1)
又Y
2
~
2 (n),且X ,Y独立,则
X
与Y
2
独立,
由定理得
T (X ) / X ~ t(n) (Y / 2) / n Y n
定理 设样本( X1, X2, , Xn) 是来自总体X , 而
2
(n)
1 2
(u
2n 1)2.
其中u 是标准正态分布的上 分位数.
利用上公式,可以求得 n 45 时, 上 分位点的近似值.
例如
2 0.05
(50)
1 2
(1.645
99 ) 2
67.221
而查详表可得
2 0.05
(50)
67.505
.
4 F分布的上侧分位数F (n1, n2 ) 对于给定的, 0 1, 称满足条件 P{F F (n1, n2 )}
u0.05 1.645,
u0.025 1.96,
附表2-1 附表2-2
根据正态分布的对称性知
u1 u .
2.t分布的上侧分位数t (n) 对于给定的, 0 1, 称满足条件 P{t t (n)}
的点 t (n) 为 t(n) 分布的上 分位数(或分位点).
可以通过查表求 得上分位数的值.
~
N (0,1)
同理
X3
X4
X5
X6
~
N (0,4), 则
X3
X4
X5 4
X6
~
N (0,1)
且 X1 X 2 与 X3 X 4 X5 X6 相互独立
2
4
所以( X1 X 2 )2 ( X 3 X 4 X 5 X 6 )2 ~ 2 (2)
2
4
则C1 1 2 ,C2 1 4 .
第3节 抽样分布
一、常见分布 二、概率分布的分位数 三、小结
一、常见分布
1.X的分布
设总体X的均值为，方差为 2，分布形式可以
是未知的，( X1, X 2, , X n ) 为一样本，则X1, X 2, , X n 独立且与总体X同分布，因而有
EXi , DXi 2 (i 1, 2 n)
从而E(X )
T X1 X2 的分布为?
X
2 3
X
2 4
解
X1 X2 ~ N (0,2 2 ),
于是 X1 X2 ~ N (0,1)
2 2
X3 与 X4 独立同分布于N (0,1),于是
2 2
X
2 3
2
X
2 4
2
~
2(2)
由t分 布 的 定 义
X1 X2
2 2 ~ t(2)
X
2 3
X
2 4
2 2
即 X1 X2 ~ t(2)
其中
Sw2
(n1 1)S12 (n2 1)S22 n1 n2 2
,
Sw
Sw2 .
2
S1
和S22
分别是来自两个总体样本的样本方差.
证 由定理知
X
Y
~
N
(1
2,
2
n1
2)
n2
U
(X
Y ) (1 2 ) 11
~
N (0,1),
n1 n2
由
(n1 1)S12
2
~ 2 (n1 1),
(n2 1)S22
Xi nX
i 1
n
i 1
Xi
X
1
n
(
i 1
Xi
nX )
1
0
0.
例1
设X
1
,
X
2
,
,
X
为
6
来
自
正
态
总
体N
(0,1)的
一
组
样
本,
求C1
,
C
使
2
得
Y C1( X1 X 2 )2 C2( X 3 X4 X5 X6 )2
服 从 2分 布.
解
X1
X2
~
N (0,2), 则
X1 X2 2
X
2 3
X
2 4
4. F分布
定义 设 X ~ 2 (n1), Y ~ 2 (n2 ), 且X , Y 独立,
则称随机变量
F
X Y
/ n1 / n2
服从自由度为
(n1,
n2 ) 的
F
分布, 记为 F ~ F (n1, n2 ).
其中 n1 , n2 分别表示F分布的自由度
F (n1, n2 )分布的概率密度为
t2 n
n1 2
,
t
t分布的概率密度曲线如图
显然图形是关于
t 0对称的.
当n充分大时, 其图
形类似于标准正态
变量概率密度的图
形.
因为lim h(t) n
1
t2
e 2,
2π
所以当n足够大时t分布近似于N (0,1)分布,
但对于较小的 n, t分布与N (0,1)分布相差很大.
例2
设X
的定义,性质. 2.概率分布的分位数
练习
1、设总体X 服从N (, 2 )分布，X1, X 2
X
是来自
n
总体的一个样本，求统计量 1
2
n
(Xi
i 1
)2的分布.
2、设总体X
服从N
(1
,
12
)分布，总体Y
服从N
(2
,
2 2
)
分布，X1, X 2 X n1和Y1,Y2 Yn2分别是来自总体X 和Y
n1
( Xi 1)2
n1
2 1
的两个样本，求统计量 i1 n2
的分布.
(Yi 2 )2
n2
2 2
i 1
3、设X 服从t(n)分布，求下列随机变量的分布： (1) X 2； (2) X 2
4、设X1, X 2
X
是独立且同分布的随机变量，
5
且每一个Xi (i 1, 2 5)都服从N (0,1)分布.
(
y)
n1
n2
n1
n1
2
n1 1
y2
2 n2
n1 n2
n1 2
n2 2
1
n1 y n2
2
,
y0
0,
其它
F分布的概率密度曲线如图
F分布有以下性质
(1) 若F ~ F (n1, n2 ),
则1 F
~
F (n2 ,
n1 ).
例4 已知 T ~ t(n),试证 T 2 ~ F (1, n).
1 ( n )
n 1 x
x2 e 2
2
x0
0
其它
2 (n)分布的概率密度曲线如图.
2 分布的性质
性质1 ( 2 分布的可加性)
设
2 1
~
2(n1 ),
2 2
~
2(n2 ),
并且
2 1
,
2 2
独
立, 则
2 1
2 2
~
2(n1
n2 ).
(此性质可以推广到多个随机变量的情形)
设
2 i
~
2(ni ),
的点 F (n1, n2 ) 为 F(n1, n2 ) 分布的上 分位数.
求F (n1, n2 )的值, 可通过查表完成. F0.025 (8,7) 4.90, 附表5-1
F0.05 (30,14) 2.31 . 附表5-2
F分布的上分位点具有如下性质 :
证明
F1 (n1,
n2 )
1 F (n2 ,
证明 因为T ~ t(n),由定义有
T X Yn
其中X ~ N (0,1),Y ~ 2 (n),且X ,Y独立, 那么
X 2 ~ 2 (1),且X 2与Y独立,
由定义有 T 2 X 2 其中X ~ N (0,1),则X 2 ~ 2 (1)
Yn
~ F(1, n)
由F
分布的性质知
1 T2
~
F (n,1)
二、概率分布的分位数
定义 对于总体X 和给定的 (0 1),若存 在x,使 P{X x}
则称x为X的分布的上侧分位数.通常记作x
记x为x
x
定义 对于总体X 和给定的 (0 1),
若存在x /2 , 使P{X
x / 2}
2
,则称x /2为X的分布
的上侧 / 2分位数.
若存在x1 /2 , 使P{X
2
n
(Xi
i 1
X )2 ~
2(n 1)
其中S 2是样本方差.
(2) X 与 S 2 独立.
注
1
2
n
(Xi X )2
i1
n ( Xi X )2
i1
~
2(n 1),
减少一个自由度的原因：
自由度减少一个!
{ Xi X }(i 1,2, n)不相互独立.
n
事实上，它们受到一个条件的约束：
(1)试给出常数c，使得c(
X
2 1
X
2 2
)服从
2分布，
并指出它的自由度；
(2)试给出常数d，使得d 并指出它的自由度.
X1 X 2 服从t分布，
X
2 3
X
2 4
X
2 5
5、求总体N (20,3)的容量分布为10,15的两个独立样 本均值差的绝对值大于0.3的概率.
6、设X1, X 2 X10为N (0, 0.32 )的一个样本，
E
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E( Xi )
1 n
n
D(
X
)
D
1 n
n i1
X
i
1 n2
n
D(Xi )
i1
1 n2
n 2
2
n
设样本( X1, X2, , Xn) 是来自总体X , 而
X ~ N (, 2),
则样本均值
X
1 n
i
n 1
X
i
~
N (,
2 / n),
2. 2分布（卡方分布）
求P
10
X
2 i
1.44
.
i1
7、设T t(10)，求常数c，使得P(T c) 0.95
. n1 )
因为F ~ F (n1, n2 ),
所以 1 P{F F1 (n1 , n2 )}
P
1 F
1 F1 (n1,
n2 )
1
P
1 F
1 F1 (n1,
n2
)
1
P
1 F
1 F1 (n1 ,
n2 ),
故
P
1 F
F1
1 (n1 ,
n2 )
,
因为
1 F
~
F (n2 ,
n1 ),
定义、设 X1, X 2 , , X n 相互独立，同服从 N (0, 1)
分布, 则称统计量
n2＝X12
X
2 2
X
2 n
服从自由
度为 n 的 2分布, 记为 n2 ~ 2 (n).
自由度 :
指
n2
X
2 1
X
2 2
X
2 n
中右端包含独立
变量的个数.
定理 2(n)分布的概率密度为
f
(x)
n 22
3. t 分布 定义 设 X ~ N (0, 1), Y ~ 2 (n), 且 X , Y
独立,则称随机变量 T X 服从自由度为 n Y /n
的 t 分布, 记为T ~ t(n).
t 分布又称学生氏(Student)分布. t(n) 分布的概率密度函数为
h(t)
n
2
1
πn
n 2
1
x1 / 2}
2
,则称x1 / 2为X的
分布的上侧1- / 2分位数.
x / 2和x1 / 2统称双侧分位数.
1.正态分布的上侧分位数u 设 X 服从标准正态分布N(0,1), N(0,1) 的上
分位点u 满足 P{X u } 1 (u ) , 即(u ) 1
给定 ,由附表2可查得u的值.
2
~
2 (n2
1),
且它们相互独立, 故由 2 分布的可加性知
V
(n1 1)S12
2
(n2
1)S
2 2
2
~ 2(n1 n2 2),
由于 U 与V 相互独立,按 t 分布的定义
T
U
V /(n1 n2 2)
(X
Y Sw
) (1
11 n1 n2
2)
~
t ( n1
n2
2).
例3 设X1, X2 , X3 , X4来自总体N (0, 2 ),则统计量