第九章 立体几何
中职化学第九章立体几何知识点
中职化学第九章立体几何知识点
本文档旨在总结中职化学第九章立体几何的重点知识，帮助学生更好地理解和掌握相关概念。
1. 空间坐标系：
- 空间坐标系是用来描述物体在空间中位置的系统。
- 坐标轴分为X轴、Y轴和Z轴，它们相互垂直。
2. 原子的立体构型：
- 电子云的分布对原子的形状和立体构型具有重要影响。
- 原子的构型包括线性构型、平面构型、三角锥构型、四面体构型等。
3. 键的构型和键角：
- 键的构型指的是化学键在空间中的排列方式。
- 键角是指连接两个原子的化学键的夹角。
4. 分子的空间构型：
- 分子的空间构型与分子中原子的排列方式有关。
- 分子的空间构型包括线性构型、平面构型、平面角构型、四面体构型等。
5. 共面性和非共面性：
- 当分子中的原子或化学键处于一个平面上时，称为共面性。
- 当分子中的原子或化学键不在同一个平面上时，称为非共面性。
以上是中职化学第九章立体几何的重点知识点，希望对学生们研究和理解化学立体几何有所帮助。
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第九章立体几何知识点
9.1平面的基本性质㈠点、直线、平面之间平面的位置关系1 立体几何中图形语言、文字语言和符号语言的转化A∈aB aA∈αBαaαbα★2 平面的基本性质公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
公理二：不共线的三点确定一个平面。
推论一：直线与直线外一点确定一个平面。
推论二：两条相交直线确定一个平面推论三：两条平行直线确定一个平面。
公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。
9.2空间图形的位置关系1 空间直线的位置关系(相交、平行、异面)1.1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。
即：a∥b，b∥c a∥c1.2 等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
1.3 异面直线⑴定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。
⑵判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线为异面直线。
1.4 异面直线所成的角⑴异面直线成角的范围：(0°，90°].⑵作异面直线成角的方法：平移法。
注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。
2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行)图2-2 直线与平面的位置关系9.3直线与平面的位置关系1 线面平行1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。
1.2 判定定理：1.3 性质定理：1 线面垂直1.1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。
1.2 线面垂直的判定定理：1.3 线面垂直的性质定理：⑴若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
即：⑵垂直于同一平面的两直线平行。
即：3 面面平行3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。
3.2 面面平行的判定定理：⑴判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。
2019年高考复习 第九章 立体几何含解析
第1节 空间几何体的结构及三视图和直观图1、棱柱的结构特征1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面．2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 底面为矩形底面为正方形 侧棱与底面边长相等 3、棱柱的表示方法：①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、；②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等． 4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行.2、棱锥的结构特征1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；第九章 立体几何3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥；3、圆柱的结构特征1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线．2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱4、圆锥的结构特征1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线．2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥．5、棱台和圆台的结构特征１、定义：用一个平行于棱锥(圆锥)底面的平面去截棱锥(圆锥)，底面和截面之间的部分叫做棱台(圆台)；原棱锥(圆锥)的底面和截面分别叫做棱台(圆台)的下底面和上底面；原棱锥(圆锥)的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台(圆台)的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴.2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台；3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台；注：圆台可以看做由圆锥截得，也可以看做是由直角梯形绕其直角边旋转而成.6、球的结构特征1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球.半圆的半径叫做球的半径.半圆的圆心叫做球心.半圆的直径叫做球的直径.2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.7、特殊的棱柱、棱锥、棱台特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体；特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体；特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台；注：简单几何体的分类如下表：8、简单组合体的结构特征1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体；2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合.9、中心投影与平行投影1、投影、投影线和投影面：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子，这种现象叫做投影，其中光线叫做投影线，屏幕叫做投影面.2、中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影.3、中心投影的性质：①中心投影的投影线交于一点；②点光源距离物体越近，投影形成的影子越大.4、平行投影：把一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影，投影线正对着投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影.5、平行投影的性质：平行投影的投影线相互平行.10、常见几何体的三视图1、圆柱的正视图和侧视图是全等的矩形，俯视图为圆；2、圆锥的正视图和侧视图是三角形，俯视图为圆和圆心；3、圆台的正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图为两个同心圆；4、球的三视图都是圆.注：1、三视图的排列方法是侧视图在正视图的右边；俯视图在正视图的下面；2、一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图和正视图的长度一样，侧视图和俯视图的宽度一样，即：长对正，高平齐，宽相等.11、空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是1、原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．2、原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．考点1：空间几何体的结构特征1、下列说法正确的是()A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点解析：如图①所示，可知A错．如图②，当PD⊥底面ABCD，且四边形ABCD为矩形时，则四个侧面均为直角三角形，B正确．根据棱台的定义，可知C，D不正确．选B。
高中数学第九章-立体几何
高中数学第九章-立体几何考试内容平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理．（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．（5）会用反证法证明简单的问题．（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．9（B）．直线、平面、简单几何体考试内容：平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．两个平面的位置关系．空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求：（1）掌握平面的基本性质。
中职数学第九章立体几何知识点
中职数学第九章立体几何知识点立体几何一、平面平面是无限延展且没有边界的光滑平坦的几何概念。
其基本性质包括：定理1：如果直线l上的两个点都在平面α内，那么这条直线在这个平面内。
记作：l⊆α。
定理2：如果两个平面有公共点，那么有且仅有一条过该公共点的公共直线。
记作：p∈αβ ⇒ αβ=l,p∈l。
定理3：不在同一条直线上的三点确定一个平面。
结论1：直线与直线外一点可以确定一个平面。
结论2：两条相交线可以确定一个平面。
结论3：两条平行线可以确定一个平面。
二、空间直线空间直线的位置关系包括相交、平行和异面，分类如下：有一个公共点的共面直线，包括相交、平行。
无公共点的共面直线，包括相交和平行。
不共面直线，为异面。
1.异面直线异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线。
判定定理为：一条直线与平面相交，该直线与平面内不过交点的直线是异面直线。
即a∩α=A,b⊆α,A∉b ⇒ a,b是异面直线。
异面直线所成的角为经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的直线，这两条相交直线的夹角，范围为0到π。
2.平行平行公理为：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
等角定理为：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
推论为：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等。
三、直线与平面1.直线与平面的位置关系包括相交、平行和在平面内。
记作：a∩α=A,a∥α,a⊆α。
2.直线与平面平行判定定理为：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
即ab,a∋α,b⊆α ⇒ a∥α。
性质定理为：如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线与交线平行。
即a∥α,a⊥β,β⊆α ⇒ a∥β。
3.直线与平面所成的角为斜线l与它在平面α内的射影的夹角，范围为0到π。
4.直线与平面垂直的定义为一条直线如果与一个平面内的所有直线都垂直，那么这条线与这个平面垂直。
第九章立体几何§9.1立体几何基础
第九章立体几何直到现在，我们还是在研究平面图形，但在现实生活中，大量的图形却是空间图形．立体几何研究的就是空间图形，立体几何从构成空间图形的基本元素：点、线、面(主要是点、直线和平面)入手，从六个方面(点与点、点与直线、点与平面、直线与直线、直线与平面、平面与平面)研究它们的性质及相互间的关系，这是本章最基本的内容．在此基础上，还要研究多面体与旋转体．为便于研究空间图形的性质，本章还引入了空间向量的概念．立体几何的研究方法与平面几何是类似的，但由于研究的范围从平面扩充到了空间，在平面几何中正确的命题在立体几何中有的就不能用了，有的虽然正确，但意义更丰富了，这些是你在学习中必须注意的．学习立体几何，尤其要注意空间想象力的建立和提高，一方面要学会如何把立体图形在一个平面上表现出来；另一方面，也要学会根据画在平面上的“立体”图形，想象出原来空间图形的真实形状进而研究．你必须尽快适应这种改变，顺利进入立体几何这个新的领域．§9.1立体几何基础预备知识∙正六边形的画法∙集合、点集、集合间的关系、交集、并集∙平面向量的概念及平面向量的分解重点∙斜二测画法∙平面的基本性质∙空间向量的分解∙向量的数量积难点∙既非水平方向又非垂直方向的线段端点的确定∙用集合符号表示空间点、直线和平面的关系∙空间向量的分解学习要求∙学会把空间图形在平面内的表示出来的方法∙掌握平面的表示方法和平面的基本性质∙理解空间向量的加法、减法、数乘向量与数量积运算及其性质∙会对空间向量作分解几何学是研究物体的形状、大小和相互间位置关系的．如果我们只注意一个物体的形状和大小，不管其它性质时，这样的物体就称为几何体．如圆形木料和铁桶，尽管它们的重量、颜色、质量和其它性质不同，但如果只看它们的外表形状，则都是一个圆柱形的几何体．当把几何体看成是由点、线、面组合而成的时候，又称它们为几何图形．由同一个平面内的点、线组成的图形称为平面图形，如果图形的点不在同一个平面内，那么这样的图形就称为空间图形，平面图形是空间图形的一部分．立体几何就是研究空间图形的．为此首先应该具有一些基本常识，如在平面上如何表示空间图形，如何表示平面，平面有哪些基本性质等．如同平面解析几何那样，应用向量作为工具，有助于对空间图形的研究．在这一节中，你先要对这些基本常识熟悉起来．1．平面的画法平面是立体几何的一个重要概念，用什么图形来表示平面呢？我们常见的黑板、桌面、纸张等，都给我们以平面的形象，而这些平面大都是矩形状的，当我们从适当的角度和距离去观察这些平面时，感到它们与平行四边形是一致的，因此，通常画一个平行四边形来表示平面(见图9-1)．图9-1(1)表示两个水平的平面，图9-1(2) 表示两个竖直的平面．请你注意它们画法之间的区别．如果要画相交的两个平面，你可以按图9-2所示的步骤进行．2．空间图形的直观图在立体几何的研究中，首先要能在平面上画出空间图形来，但是把它们的真实形状原封不动地在平面上表示出来是不可能的．那么怎样应用技巧，画一个平面图形，把空间图形的立体感表示出来呢？图9-3表示一个长方体，图9-4表示一个圆柱，这两个图形都有较强的立体感，接近人们直接观察的效果，画在平面上的这样的图形称为空间图形的直观图．从图中我们可以看到，水平放置的平面图形变化较明显，如长方体的上下底面画成了平行四边形，圆柱的上下底面由圆变图9-2A图9-3 图9-4A1 B1C1D1DBC图9-1(1)图9-1(2)成了椭圆．因此，要画空间图形的直观图，就要先研究水平放置的平面图形的直观图的画法，下面介绍两个例子．例1 画水平放置的正六边形的直观图．画法 第一步 作出正六边形ABCDEFx 轴，正六边形的中心O 为原点，作y 轴分别交边BC ,EF 于G ,H 的(见图9-5(1))；第二步 任取点O '，画出对应的x '和y '轴， 使∠x 'O 'y '=45︒；以点O '为中点，在x '轴上取A 'D '=AD ，在y '轴上取G 'H '=21GH ；以点H ' 为中点作F 'E '||x '轴，并使F 'E '=FE ；再以G '为 中点作B 'C '||x '轴，并使B 'C '=BC ． 第三步 顺次连结A ',B ',C ',D ',E ',F ',A '， 所得到的六边形A 'B 'C 'D 'E 'F '就是水平放置的 正六边形ABCDEF 的直观图(见图9-5(2))； 第四步 擦去辅助线x ',y '轴等，作图完成( 见图9-5(3)) ▋你是否注意到了，画图形的直观图时，确定 各线段的端点是很重要的． 课内练习11. 画水平放置的正方形的直观图．2. 作一任意四边形，画其水平放置的直观图．有了水平放置的平面图形的直观图画法的基础，就可以画空间图形的直观图了．例2 画棱长为2cm 正方体的直观图．画法 第一步 作出水平放置的底面的直观图ABCD ，其中的∠BAD = 45︒, AB =2cm, AD =1cm(见图9-6(1))；第二步 过A 作z 轴，使∠BAz =90︒；分别过点A ,B ,C ,D 作z 轴的平行线，并沿z 轴正方向取AA '=BB '=CC '=DD '=2cm(见图9-6(2))；第三步 连结A ',B ',C ',D '，擦去多余的辅助线，并对被遮挡的部分线段画成虚线，得到的ABCD -A 'B 'C 'D '就是正方体的直观图(见图9-6(3)) ▋图9-5(2)图9-5(1) B 'C 'A ' 'E 'F '图9-5(3)C 图9-6(1)C'图9-6(2)ABC CDB 'A ' C 'D '图9-6(3)课内练习21．画棱长为3cm 的正方体的直观图．以上所介绍的画直观图的方法称为斜二测画法．这种画法的规则是： (1)取定原点O ，以水平方向为x 轴，再取y 轴和z 轴，使∠xOy =45︒(或135︒), ∠xOz =90︒，此时，xOy 所确定的平面表示水平平面．(2)水平线和铅直线分别画成平行于x 轴和z 轴的线段，且保持长度不变；与水平线与铅直线都垂直的线段画成平行于y 轴的线段，长度为原来的一半． (3)对于其它位置的线段，按原来连接的端点，在直观图上找到相应端点，再予以连接．(4)凡是被遮挡的线段，以虚线表示． 一般情况下画空间图形直观图时， 如果没有严格要求按斜二测画法画图， 为了简便，图形的长度和角度可适当地 选取，有一定的立体感就可以了．如三 角形的直观图可适当地画成三角形，长 方形的直观图可适当地画成平行四边形 (图9-7(1),(2))．3. 平面的基本性质在平面几何中，基本的几何元素是点和线．在空间中，大量的物体含有面，其中平面占有重要地位，例如你的教室的墙壁、黑板、课桌面等等，都以平面的形式出现．因此立体几何中的几何元素，除了点线之外，还要有面．作为基本元素的平面应该怎么表示？它有哪些基本性质？这是首先必须搞清楚的．(1)平面的表示法表示一个平面通常用小写希腊字母α,β,γ,...表示，写在表示平面的平行四边形某一个顶角内部，记作“平面α”,“平面β”,...，或用表示平面的平行四边形对角的两个大写英文字母标明，记作“平面AC ”或“平面BD ”，当然也可记作平面ABCD (见图9-1)．应该注意，正像平面几何中直线是可以无限延伸一样，平面也是可以无限延展的，也就是说，它是没有边界的，我们用平行四边形表示，仅仅表示割取了平面的一部分．空间图形也可看作是空间点的集合，因此点、线、面的关系可用集合的关系来表示：①点A 在直线l 上，记作A ∈l ，点A 不在直线l 上，记作A ∉l ； ②点A 在平面α内，记作A ∈α，点A 不在平面α内，记作A ∉α； ③直线l 在平面α内，记作l ⊂α；④直线l 与直线m 交于点N ，记作l ⋂m ={N }，直线l 与直线m 没有交点，记作l ⋂m =∅；A B C D'图9-7(1)' 图9-7(2)⑤直线l 与平面α交于点N ，记作l ⋂α={N }，直线l 与平面α没有交点，记作l ⋂α=∅；⑥平面α与平面β交于直线l ，记作α⋂β=l ，平面α与平面β不相交，记作α⋂β=∅．在以后的学习中，我们将经常用到这些记号． 课内练习31. 能不能说一个平面长2米，宽1米，为什么？2. 画一个平行四边形表示平面，并分别用希腊字母和大写英文字母表示这 个平面．3. 分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在 的平面．4. 用符号表示下列点、线、面间的关系： (1)点A 在平面α内，但在平面β外； (2)直线l 经过平面α外的一点N ；(3)直线l 与直线m 相交于平面α内的一点N ； (4)直线l 经过平面α内的两点M 和N ． 5. 下面的写法对不对，为什么？(1)点A 在平面α内，记作A ⊂α; (2)直线l 在平面α内，记作l ∈α； (3)平面α与平面β相交，记作α⋂β； (4)直线l 与平面α相交，记作l ⋂α≠∅． (2)平面的基本性质研究空间图形时，必须充分应用平面图形的性质．因此我们首先要了解平面的三个基本性质．水泥工铺水泥地面时，用一根直尺在刚铺水泥的面上一刮，保证地面平整；木工检查板面是否平整，也常用一把直尺压在板面上，看看是否漏光．这种做法之所以有效，是因为平面有一个基本性质：①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．如图9-8，直线l 上两点A ,B 在平面αl 上所有的点都在平面α内，这时我们可以说，直 线l 在平面α内或平面α经过直线l ．这个性质常用来判断一条直线是否在一个平面内．因为平面是可以无限延展的，因此两个平面如 果有公共的点，那么延展的结果，必定形成两个平 面相交于一条直线．由此得平面的第二个基本性质： ②如果两个平面有一个公共点，那么它们相交 于经过这个公共点的一条直线．如图9-9，平面β与平面γ相交， C 是公共点，那么它们相交于过C 的直线l ．把一张纸摊平折起来，折痕就是一条直线．ABCD A 1B 1C 1D 1 (第3题图)图9-8图9-9l βγ∙C你有没有这种生活经验：三条腿的凳子，放在哪里都能放稳，但是四条腿的凳子遇到不平的地面，怎么放也是拐的？你有没有想过，照相机支架为什么采用三个脚，而不用四个脚？原来平面还有一个基本性质： ③经过不在同一直线上的任意三点，可以作一个平面，也只可以作一个平面．这个性质也可以简单地说成：不在一直线上的 三点确定一个平面．如图9-10，A ,B ,C 三点不在同 一直线上，经过这三点可以且只可以画一个平面α． 现在你可以明白前面提出的问题了．凳子三条腿、照相机支架三条腿，三个着地点总是在一个平面上，因此总是平稳的． 从上述三个性质出发，还可以推出确定一个平面的其它很多方法，其中最常用的是下面三个推论：①一条直线和直线外一点可以确定一个平面； ②两条相交直线可以确定一个平面； ③两条平行直线可以确定一个平面． 课内练习4 1. 判断题(1)如图，我们能说平面α与平面β只有一个交点A 吗？ (2)如图,我们能说平面α与平面β相交于线段AB 吗?(3)如图,我们能说线段AB 在平面α内,但直线AB 不全在平面α内吗?2. 三角形一定是平面图形吗？为什么？3. 一扇门可以自由转动，如果锁住，就固定了，如何解释？4. 怎样检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一平面内？3. 空间向量 (1)空间向量的概念在第七章，你已经学习过向量，所谓向量是一个既有指向、又有大小的量．在那时，指向只能在平面范围内变动，因此这种向量是平面向量．空间向量仍然是一个既有指向、又有大小的量，与平面向量不同的是，它的指向可以在空间范围内变动；平面上的向量在几何上表示为平面内一根带有箭头的短线段(箭头表示指向，长度表示大小)，空间向量在几何上自然也就表示为空间内一根箭头的短线段，而且同样地以箭头表示指向，长度表示大小．平面向量是自由向量，即与它在平面上的位置无关，空间向量也是自由向量，图9-10α∙∙∙ C B A (第1(1)题图)(第1(2)题图) βA ∙α∙B (第1(3)题图)A∙α∙B即与它在空间中的位置无关．采用平面向量相同的记号，我们也用黑体小写字符a ,b ,c ,...或AB ,CD ...等表示空间向量，其中后一种表示法是已经把向量起点移到了A ,C ,...，B ,D ,...则是其终点；|a |,|b |,|c |,|AB |则表示它们的长度．0是长度为零、指向任意的零向量．平面向量的相等、加法、减法和数乘向量等运算以及交换律、分配律等，可以平行地推广到空间向量中来，例如c =a +b ， c 是移a ,b 的始点到同一个点后，以a ,b 为邻边的 平行四边形的对角线向量，c 1=a -b 则是从的b 终点 指向的a 终点的另一条对角线向量(见图9-11)，只是现在的平行四边形是在空间中的．又如c =λa ,(λ∈R )， c 表示这么一个向量，它的长度|c |是a 的|λ|倍，而指向当λ>0时与a 相同，当λ<0时与a 相反；特别地，称 -a 为a 的相反向量． 有了向量的概念，我们可以把长方体看成是矩形ABCD 沿既垂直于AB 、又垂直于 的向量a 的方向平移|a |个单位，到A 'B 'C 'D '的 轨迹所形成的图形(图9-12(1))，如果将上述的 矩形换成平行四边形，而a 与平面ABCD 上的 任何向量都不平行，那么得到的轨迹图形称为 平行六面体，记作平行六面体ABCD -A 'B 'C 'D '它的六个面都是平行四边形，每个面的边称 为平行六面体的棱(图9-12(2)例3 已知平行六面体ABCD -A 'B 'C 'D '(图9-13)，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：(1)a =BC AB +；(2)b =A A '++；(3)c =C C AD AB ++21； 解 (1) a =BC AB +=； (2)b =A A AD AB ++=A A AC +=C A C C AC =+； (3)设M 是线段CC '的中点，则c =C C AD AB '++21AM CM AC C C AC =+='+=21．向量a , b , c 如图9-13中所示 ▋ 课内练习51. 设ABCDEF 为正六边形，O 是中心，在向量AO ,BO ,CO ,OD ,OE , 和,,,,,中，哪几个是相等的？哪几个是图9-11图9-13'图9-12(1)a ABC DA 'B 'C 'D '图9-12(2) '相 反的？2. 已知向量a ，试画出(1)21a ；(2)-2a ． 3. 已知长方体ABCD -A 'B 'C 'D '，化简下列向量表达式，并标出化简结果的 向量：(1)B B AB +；(2)B B BC AB ++；(3)A A BC AB ++21. (2)共线向量与共面向量①共线向量(即平行向量)平面上共线向量、即平行向量，你是熟悉的．与平面向量一样，如果表示空间向量a ,b 的带箭头的线段互相平行或重合，则称向量a ,b 为共线向量或平行向量，记作a ||b ．在平面向量中的结论：非零向量a ||b ⇔ a =λb ,(λ∈R ,≠0)，对于空间向量也是成立的． ②共面向量所谓共面向量，是指移动始点到同一个平面上后，它们的终点也都在同一个平面上的那些向量．据此，立即可以得到结 论：任意两个空间向量总是共面的(你能说出理由 吗？参见图9-14)任意三个空间向量情况会怎样？看一下图9-15 的向量A A ',,就能明白，作为一个长方体 的三条棱，它们是不可能共面的．那么，三个空间向量a ,b ,c 什么时候可以保证 共面呢？已经知道两个向量a ,b 一定是共面的，把 它们的始点移到平面α的同一点P 处，表示它们的 带箭头线段，就整个在平面α内；若再假 设它们不共线，则这两条线段会张成一个 角．现在把c 的始点也移到P 处(图9-16)， c 与a ,b 共面 ⇔ c 的终点也在平面α内 ⇔ c 能分解成a ,b 的组合：c =λa +μb ． 由此可得如下结论：如果两个向量a ,b 不共线，则向量c 与 向量a ,b 共面的充要条件是存在实数对(λ,μ)， 使 c =λa +μb ．例4 已知向量a ,b 不共线，=8a +2b , =2a +8b ，=3(a -b )，求证A , B , C , D 四点共面．证明 证法Ⅰ 因为=8a +2b ，所以与a ,b 共面；同理,图9-15 '图9-14图9-16也与a ,b 共面．所以AB ,AC ,共面，所以A , B , C , D 四点共面 ▋ 证法Ⅱ 只要证明存在数x ,y ，使得=x +y AD (1) 成立，则向量,,共面，那么A , B , C , D 四点共面． 以题设条件代入，得x +y =x (2a +8 b )+3y (a - b )=(2x +3y )a +(8x -3y )b 令 x AC +y AD =AB ，得： ⎩⎨⎧=-=+238832y x y x ，解得x =1,y =2，即AB =AC +2．所以AB ,AC ,共面，A , B , C , D 四点共面 ▋ 课内练习61. =a -2b +3c ,=2a +b ,=6a -2b +6c ,+和是否共线？2. 设=a +5b , =-2a +8b , =3(a -b )，证明A ,B ,D 三点在同一直线 上． (3)空间向量的分解在平面上，若两个向量a ,b 不共线，那么任何一个平面向量c ，都可以分解成c =λa +μb 的形式，在上面证明向量共面时，我们正是用的这一性质；如果三个空间向量a ,b ,c 不共面的话，任何一个空间向量p ，是否也能分解成a ,b ,c 的组合呢？看图9-17，不过是两次应用平面向 量分解而已：第一步把a ,b ,c , p 的始点全部移到同一点O 处，设a ,b 确定的平面为α；第二步把p 分解成p =z c +p 1， (p 1的终点是过p 的终点作c 平面α得到)，第三步再把p 1分解成 p 1=x a +y b ，于是得到 p =x a +y b +z c ．注意到上面这种分解都是唯一的，因此可以得到结论：如果三个空间向量a ,b ,c 不共面，那么对于空间任一向量p ，必定可以唯一地分解成p =x a +y b +z c ；也就是说，对取定的三个不共面向量a ,b ,c ，空间向量p 与有序实数组(x ,y ,z )一一对应．由此可知，如果三个向量a ,b ,c 不共面，那么所有空间向量所组成的向量集合就是{p | p =x a +y b +z c , x ,y ,z ∈R }，这也就是说，这个集合可以看作是由向量a ,b ,c 生成的，所以我们把{a , b , c }称为空间的一个基底；称a , b , c 为基向量．空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底． 例5 已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ,AC , M ,N 分别是OA ,BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG =2GN (见图9-18)，试用基向量,OB ,OC 表示向量OG ．图9-17解 =MN OM MG OM 32+=+ =)(3221OM ON OA -+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++21213221（ =OC OB OA 313161++ ▋课内练习71. 设四面体ABCD 中，=b , =c , =d ， F 是三角形BCD 的重心，试用b ,c ,d 表示向量AF ．(提示：重心是三角形三条中线的交 点，所以BE BF 32=)． (4)向量的数量积在平面向量中，对两个向量a ,b 曾经定义过它们的数量积a ⋅b ，离开坐标系以几何方式表示，数量积的计算公式是a ⋅b =|a ||b |cos(a ^b ) (9-1-1)这里记号a ^b 表示向量a ,b 之间的夹角．两个空 间向量也以(9-1-1)定义它们的数量积，把a ,b 的始 点移到同一点，它们之间的夹角就是空间向量的夹 角(见图9-19)也如同平面向量一样，如：a ⋅b = b ⋅a ；(λa )⋅b =λ(a ⋅b )；a ⋅(b +c )=a ⋅b +a ⋅c ． 这样一来，我们也能得到两个空间向量夹角的 公式cos (a ^b )=||||b a ba ⋅⋅(9-1-2) 若a ^b =2π，称向量a 与b 互相垂直．由此立即可得两个空间向量垂直的条件以及向量长度与数积的关系a ⊥b ⇔ a ⋅b =0 ； |a |2= a ⋅a (9-1-3) 例6 三人合力要把掉在长方体坑底的重物拖出来．甲在A 处沿PA 方向以力F 1往上拖，乙在B 处沿坑面对角线方向以力F 2斜拖，丙在C 处沿另一坑面的对角线以力F 3斜拖(见图9-20)．设|F 1|=30kg, |F 2|=50kg, |F 3|=40kg ，图9-18BAC DEFB(第1题图)图9-19以如图尺寸，计算他们的合力F 的大小． 解 F =F 1+F 2+F 3．|F |2=F ⋅F =(F 1+F 2+F 3,)⋅(F 1+F 2+F 3,)=F 1⋅F 1+F 2⋅F 2+F 3⋅F 3+2F 1⋅F 2+2F 1⋅F 3+2F 2⋅F 3， =|F 1|2+|F 2|2+|F 3|2+2|F 1||F 2|cos(F 1^F 2)+2|F 1||F 3|cos(F 1^F 3) +2|F 2||F 3|cos(F 2^F 3) (1) 据图示尺寸，可得F 1^F 2≈60︒, F 1^F 3=45︒，F 2^F 3=PB ^PC ， 在∆PBC 中，已知PB 2=B C 2=18.04, PC 2=18, 所以 F 2^F 3=^≈60︒． 以|F 1|, |F 2|, |F 3|的已知值的各余弦值代入 (1)即得 |F |2≈10197, |F |≈101， 所以合力约为101kg ▋ 课内练习81. 已知|a |=8, |b |=5, a ^b =2π, 求a ⋅b ．2. 已知|a |=|b |=|c |=1，满足条件a +b +c =0，试计算a ⋅b +b ⋅c +a ⋅c ．3. 向量a ,b ,c 两两构成60︒角，且|a |=4, |b |=2, |c |=6，试求p =a +b +c 的长．阅读材料(空间向量的坐标运算)从空间中定点O 出发的三条互相垂直、在其上规定了长度单位的射线，构成了空间直角坐标系，称O 为原点，称三条射线为坐标轴，称射线方向为坐标轴正向，按右手法则，一般依次记作x ,y ,z 轴，所谓右手法则，就是x ,y ,z轴的正向依次能对应右手的拇指、食指 和中指的指向．以O 为始点、分别与x ,y ,z 轴平行，且指向与各坐标轴正向一致的三个 单位向量(即长度为1单位)i , j , k为了直观，在作空间直角坐标系O -xyz 时，一般使∠xOy 约等于135︒, ∠yOz =90︒(见图 9-21)．空间中任何一个点P ，向量可以分解成基底的组合 OP =x i +y j +z k ，称(x ,y ,z )为P 的坐标；空间中任何一个向量a ，移始点到O ，称终点坐标(x ,y ,z )为向量a 的坐标，记作a =(x ,y ,z )或a (x ,y ,z )．平面向量运算的坐标表示，可以平行地推广到空间中来，如a =(x 1,y 1,z 1), b =(x 2,y 2,z 2)，则a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2, z 1+z 2)，a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2, z 1-z 2)； λa =(λx 1, λy 1, λz 1), λ∈R ；图9-20a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2；|a |=212121z y x ++．由此可得 a ||b ⇔ x 2=λx 1, y 2=λy 1, z 2=λz 1, a ⊥b ⇔ x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0； c o s(a ^b )=222222212121212121zy x z y x z z y y x x ++⋅++++课外习题 A 组1. 用斜二测法画下列图形的直观图： (1)水平放置的一个任意三角形；(2)水平放置的边长为2cm 的等边三角形； (3)长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的长方体． 2. 判断题：(1)空间三点确定一个平面 ( ) (2)梯形是平面图形 ( ) (3)一个角确定一个平面( )(4)A ,B ,C ∈α，A ,B ,C ∈β，且A ,B ,C 不在同一直线上⇒α与β重合 ( ) (5)平面α和平面β若有公共点，就不止一个 ( ) 3. 填空题(1)三点能确定一个平面的条件是 ； (2)两直线能确定一个平面的条件是 ． 3. 用符号表示下面的语句：(1)点A 在平面α外，但在平面β内；(2)直线l 经过N 点，N 点不在平面α内；(3)直线l 与直线m 相交于N 点，N 点在平面α内； (4)点M 和N 在平面α内，直线l 经过这两点； 4. 如图，我们能说直线l 不在平面α内吗？ 5. 因为平面型斜屋顶不与地面相交，所以屋顶所在 的平面与地面不相交，这句话正确吗？6. 如图，已知空间四边形ABCD ，BD 为其一条对 角线，化简下列各表达式，并标出化简结果的向 量：(1)DB AD +； (2)CD AD -； (3)+-． 7. 如图，已知平行六面体 ABCD -EFGH ，设AB =a , AD =b , AE =c ，试用a , b , c 表示对角线 .,,AG ． 8. 如图，已知正方体ABCD - A 'B 'C 'D '的棱长为a ，（第4题图）（第6题图）DABE F G H D A BC A 'B 'C 'D '求向量C B B A ''与的夹角．9. 在四边形ABCD 中，=a +2b , BC =-4a -b , CD =-5a -3b ，其中a ,b 不共线，证明ABCD 是梯形．10. 过空间不共面的四点，能确定几个平面，使每个平面中含有三个已知点？B 组1. 观察图形，写出它们由哪些面围成？2. 判断题：(1)四边形不一定是平面图形 ( ) (2)一直线上的三点与直线外的一点 连成三条线段，则这三条线段在同一个个平面内 ( )(3)一个三角形两边中点的连线，一定在这个三角形 所在的平面内 ( ) (4)若平面α与平面β有公共点A ，则两平面相交于过A 点的任意一 条直线( ) (5) A ∈l , A ∈α；B ∈l , B ∈α，则l ⊂α( ) (6) A ∈α,A ∈β；B ∈α, B ∈β，则α⋂β=AB( ) (7) l ⊄α,A ∈l，则A ∉α( ) 3. 填空题(1)经过一点可作 个平面；经过二点可作 个平面．(2)经过一条直线可作 个平面；过一点的两条直线可确定 个平面；过一点的三条直线可确定 个平面． 4. 选择题(1)若点M 在直线l 上，l 在平面α内，则M , l , α间的上述关系可表 示为( )A M ∈l ∈αB M ∈l ⊂αC M ⊂l ⊂αD M ⊂l ∈α； (2) 在下列命题叙述中，正确的是( )A 因为P ∈α, Q ∈α，所以PQ ∈α；B 因为P ∈α, Q ∈α，所以α⋂β=PQ ；C 因为AB ⊂α, C ∈AB ,D ∈AB ，所以CD ∈α；（第1题图） 1AD 因为AB ⊂α, AB ⊂β，所以A ∈α⋂β,B ∈α⋂β．(3)判断一个面是不是平面的正确方法是 ( )A 若A ,B 是某个面上两定点，直线AB 在这面上，那么这个面是平面;B 若A ,B 是某个面上两定点，线段AB 在这面上，那么这个面是平面;C 若A ,B 是某个面上任意两点，直线AB 总在这面上，那么这个面是 平面；D 若A ,B 是某个面上任意两点，直线AB 上总有无数个点在这面上， 那么这个面是平面．5. 如图，O 是正方形ABCD 的中心，求下列各 式中的λ,μ：(1))(DN AN BA OB -+=λ； (2)NO DB AD AN μλ++=．6. 对空间一点O 与不共线的三点A ,B ,C ，已知OC OB OA OP νμλ++=，其中λ+μ+ν=1，证明P , A , B , C 四点共面．7. 利用向量数量积推出余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=．A BCDNO （第5题图）。
中职地理第九章立体几何知识点
中职地理第九章立体几何知识点本文档将介绍中职地理第九章立体几何的知识点。
1. 立体几何的概念
- 立体几何是研究立体图形的形状、大小、相互位置和性质的
几何学分支。
- 立体图形是具有长度、宽度和高度的图形。
2. 立体图形的分类
立体图形可以分为以下几类：
- 空间几何体：如正方体、长方体、球体、圆柱体、圆锥体等。
- 复合几何体：通过组合两个或多个空间几何体而成的图形。
3. 立体图形的性质
立体图形具有一些特定的性质，包括：
- 面的性质：立体图形由若干个面组成，每个面都是一个平面图形。
- 边的性质：立体图形的面之间通过边相连。
- 顶点的性质：立体图形的边交于一点，这个点称为顶点。
4. 立体图形的计算
计算立体图形的一些基本内容包括：
- 计算体积：不同立体图形的体积计算公式不同，例如正方体的体积为边长的立方。
- 计算表面积：不同立体图形的表面积计算公式不同，例如长方体的表面积为长乘以宽乘以高。
- 计算边长、直径等：可以根据已知的面积或者体积计算出未知的边长、直径等。
以上是中职地理第九章立体几何的知识点概述。
希望对你有帮助！。
总结第九章立体几何思想
总结第九章立体几何思想第九章立体几何思想是几何学中一个重要的章节，主要探讨了三维空间中的图形与几何关系。
在这一章中，我们将学习到一些基本概念，如点、直线、平面、多面体等，并且了解到如何在三维空间中进行几何推理和证明。
本文将对第九章立体几何思想进行总结。
首先，立体几何思想强调了在三维空间中进行几何问题的思考和处理。
与平面几何不同，立体几何考虑了三维空间的特性和图形的构造。
在立体几何中，我们将面考虑为两个维度，即长度和宽度，同时引入了第三个维度——高度。
这种立体几何的思想使我们可以更加全面地理解和描述三维空间中的图形。
其次，立体几何思想与平面几何有许多共同之处，但也存在着一些特殊的性质和定理。
例如，在平面几何中，我们可以通过直线和点来确定一个平面，而在立体几何中，则需要通过至少三面的交线来确定一个点。
这种对称性的改变使立体几何更具挑战性，也更加有趣。
立体几何的性质和定理是基于三维空间的特殊性质，对我们理解现实世界中的立体结构和物体运动有着重要的指导作用。
另外，在立体几何中，我们也需要掌握一些重要的基础概念，如平行线、垂直关系、相似等，并且要学会如何运用这些概念进行推理和证明。
例如，在平面几何中，我们可以通过平行线和垂直线的性质来推导出一些重要的定理，同样，在立体几何中，我们也可以通过平行面和垂直面的性质来得到一些重要结论。
这些概念的掌握和运用是进行立体几何证明的基础。
此外，在立体几何思想中，我们还需要学会应用向量和矩阵的方法来解决问题。
向量和矩阵是表示和计算三维空间中的图形和运动的强大工具，可以简化许多复杂的几何问题。
通过向量和矩阵的运算，我们可以更加直观地描述和计算三维空间中的图形的位置、方向和大小。
向量和矩阵在立体几何中的应用使我们能够更加深入地了解和研究几何问题。
最后，在学习立体几何思想时，我们需要注重实际问题的应用和解决。
立体几何不仅是一门理论学科，更是一个与现实世界密切相关的学科。
我们可以通过立体几何的思想和方法来解决许多与三维空间相关的实际问题，如建筑设计、机械工程等。
高中数学第九章知识点总结(精华版)--立体几何
高中数学第九章-立体几何考试内容平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．对应边分别平行的角．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定与性质．点到平面的距离．斜线在平面上的射影．直线和平面所成的角．三垂线定理及其逆定理．平行平面的判定与性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定与性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图;能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系．（2）掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离．（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理．（4）掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．（5）会用反证法证明简单的问题．（6）了解多面体、凸多面体的概念，了解正多面体的概念．（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图．（8）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图．（9）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式．9（B）．直线、平面、简单几何体考试内容：平面及其基本性质．平面图形直观图的画法．平行直线．直线和平面平行的判定与性质．直线和平面垂直的判定．三垂线定理及其逆定理．两个平面的位置关系．空间向量及其加法、减法与数乘．空间向量的坐标表示．空间向量的数量积．直线的方向向量．异面直线所成的角．异面直线的公垂线．异面直线的距离．直线和平面垂直的性质．平面的法向量．点到平面的距离．直线和平面所成的角．向量在平面内的射影．平行平面的判定和性质．平行平面间的距离．二面角及其平面角．两个平面垂直的判定和性质．多面体．正多面体．棱柱．棱锥．球．考试要求：（1）掌握平面的基本性质。
第九章,立体几何
第九章立体几何生活中蕴涵着丰富的空间图形，如土木建筑、商品包装、机械设计等等。
空间图形与我们的生活息息相关，本章将以具体的立体图形，通过探究感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法，了解简单几何体的基本特征，理解空间中的点、线、面的位置关系，并能用数学语言对某些位置关系进行描述和论证，培养和发展空间想象、推理论证和运用图形语言进行交流的能力。
本章学习目标学完本章内容，你将能够了解平面的基本性质理解空间中点、线、面之间的位置关系知道柱、锥、球及其简单组合体的结构特征会求柱、锥、球的表面积和体积本章目录§9.1平面的基本性质§9.2空间两条直线的位置关系§9.3直线与平面的位置关系§9.4平面与平面的位置关系§9.5柱、锥、球及其组合体§9.1平面的基本性质初中我们曾经研究过由点和线构成的平面图形，而生活中的面有些是弯曲的，有些是平直，怎样才能判断一个面是不是平面呢？1．平面及其表示 探究在日常生活中，平静的湖面、桌面、窗户的玻璃面等，都给我们怎样的直观形象？它们具有哪些特征？现实生活中的“平面”都是平面的局部形象，几何里所说的“平面”是从这些物体中抽象出来的，它们都是没有厚薄，无限延展的。
我们通常用平行四边形来表示平面，当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的2倍长，如图9-1所示。
平面一般用希腊字母α、β、γ……来表示，如图9-1（1），记作平面α；也可以用平行四边形顶点或对角顶点的字母来表示，如图9-1（2），记作平面ABCD 或平面AC.思考交流我们知道，点与直线的位置关系有点在直线上和点在直线外两种，那么点与平面、直线与平面有怎样的位置关系呢？图9-1（1）（2）点、直线、平面的基本位置关系如表9－1所示：例1 将下列文字语言转化为符号表示. （1）点A 在平面α内，但不在平面β内； （2）直线a 、b 相交于点O ； （3）直线l 在平面β内.解：（1）A ∈α且A ∉β； （2）a b O = ； （3）l ⊂β.练习1．判断下列说法是否正确。
中职数学教学：第9章-立体几何PPT课件
外，并与平行四边形的一边平行（如图9−19（3））．
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动脑思考 探索新知
直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、 直线与平面平行．直线与平面相交及直线与平面平行统称为直线在平 面外．
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创设情境 兴趣导入
运用知识 强化练习
1．试举出一个直线和平面平行的例子
2．请在黑板上画一条直线与地面平行，并说出所画的直线与地面 平行的理由．
3．如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线是不是和这个平 面内所有的直线都平行？
4．说明长方体的上底面各条边与下底面平行的理由． 43
创设情境 兴趣导入
教室中的墙壁与地面相交于一条直线，而天花板与地面，没有公共点． 44
③ 平面α，平面β，6平面γ……
练 一练
判断下列各题的说法正确与否，在正
确的说法的题号后打 ，否则打 :
1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )
2、平面有边界；
()
3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( )
4、一个平行四边形的面积是 4 cm 2；( )
5、一个平面可以把空间分成两部分; ( )
4
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平 面形象，数学中的平面概念是现实平面进行抽象。
一.平面的概念：
平坦、光滑并且可以无限延展的图形。
5
二.平面的画法： （1）水平放置的平面： （2）竖直放置的平面：
D
C
A
B
表示平面的平行四边形
的锐角画成450
{
三.平面的表示：
第九章立体几何
第九章 立体几何考纲解读（1）了解平面的基本性质。
（2）了解直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系。
（3）理解直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的判定与性质。
（4）了解直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角。
（5）理解直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质。
（6）理解柱、锥、球及其简单组合体的结构特征及面积、体积的计算方法。
高考真题演练：1、下列命题正确的是（ ）。
（A ）空间四边形一定是平面图形（B ）若一条直线与一个平面垂直，则此直线与这个平面内的所有直线都垂直；（C ）若一条直线与一个平面平行，则此直线与这个平面内的所有直线都平行；（D ）若一条直线与一个平面内的两条直线都垂直，则此直线与这个平面垂直。
2、如果圆柱的轴截面面积为4，高为2，那么此圆柱的底面半径为 （ ）A 、4B 、πC 、2D 、13、设a,b 为直线，α为平面，则下列选项能判定a α⊥的条件是（ ）。
（A ）//,a b b α⊥ （B ）,//a b b α⊥ （C ）//,a b b α⊆ （D ）//,a b b α⊆4、如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知1AB AD ==，AA 1B 1D 与平面ABCD 所成的角的大小是 。
5、 已知PA 垂直于矩形ABCD 所在平面，且4,6,5PB PC PD ===，则PA 的长是 。
6、设O 是三角形ABC 所在平面外一点，若,OA OC BA BC ==则异面直线AC 与BO 所成的角度是 。
7、正四棱锥的底面边长为2a ，高为4a ，则此四棱锥的侧面积是 （ ）A. a 2B. a 2C. 2D. 2第一节 平面的基本的性质一、本节知识点回顾1．平面（1）平面的的概念“平面”是一个只可描述而不能定义的最基本的概念，是由现实生活中例如镜面、平静的水面等实物抽象出来的数学概念，但又与这些实物有根本区别，即具有无限延展性，也就是说平面是没有边界，没有大小、宽窄、厚薄之分。
第九单元 立体几何
这个公理揭示了两个平面相交的重要特征：如果两个平面相交，它们必相交成一直线。 反之，如果两个平面有唯一一条公共直线，就是说这两个平面相交， 交线就是它们的公共直线。
P
l
C
B A
平面与平面 相交，交线为 l ，记做 l
公理3 过不在一条直线上的三个点，有且 只有一个平面（图9-8）.
问题：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行。 那么，在空间中， 这个结论是否成立？
公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行。
这个公理表明，平行于空间一条已知直线的所有直线都 互相平行。 它给出了判断空间两条直线平行的依据。 公理4表述的性质叫做空间平行线的传递性。
例1. 如图9-13，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， 试说明四边形EFGH是一个平行四边形。 A H E
两条异面直线所成的角 的变化范围 0o 90o。 是 想一想：两条异面直线所成的角为什么不 o 能等于0 ?
D
C
B
3、直线与平面
A
D
C B
观察与思考 图9-16的长方体中，线段 BB 所在的直线与长方 体的六个面所在的平面有几种位置关系？
A
通过观察，我们可以发现直线与平面的位置关系有以下 三种：
其中相交直线与平行直线又可叫做共面直线。
D
C
B
A
D
C
A
D
C
A
B
B
D C A B
练习：请找出上图中的正方体 ABCD ABCD 中所有平行直线？
画异面直线时，为了显示它们不共面的特点， 通常用一个或两个平面来衬托，如图9-11.
中职数学教学课件：第9章立体几何
建筑空间规划
通过空间几何体的运用，建筑师 可以更好地规划和利用建筑空间， 以满足不同的使用需求，如住宅、
商业和工业建筑等。
建筑结构分析
在建筑结构分析中，空间几何体 可以用来描述和分析建筑的受力、 稳定性和抗震性能等，以确保建
筑计
在机械设计中，空间几何体被广泛应用于描述和分析各种 机械零件的形状、尺寸和位置等，以确保机械设备的正常 运转。
详细描述：在几何图形中，直线与平面的位置关系可以 通过图形的性质和定理来判断。例如，在长方体中，面 对角线所在的直线与过其顶点的平面垂直。
03
空间几何体的性质和分 类
空间几何体的性质
01
02
03
04
空间几何体具有三维空 间中的位置和大小。
空间几何体具有面、边 和顶点等基本元素。
空间几何体的面与面之 间存在相交或平行关系。
中职数学教学课件第9 章立体几何
目 录
• 立体几何简介 • 点、直线和平面的关系 • 空间几何体的性质和分类 • 空间几何体的表面积和体积 • 空间几何体的位置关系 • 空间几何体的应用
01
立体几何简介
立体几何的定义
立体几何是研究三维空间中图形和几 何对象的一门学科。它涉及到点、线 、面、体等基本元素，以及它们之间 的位置关系和度量性质。
图形分解法
将复杂的几何体分解为简单的几何 体，分别计算各部分的体积，然后 求和。
图形组合法
将两个或多个几何体组合在一起， 计算整个组合体的体积。
特殊空间几何体的表面积和体积
长方体的表面积和体积
长方体的表面积等于2ab+2bc+2ac， 体积等于长×宽×高。
正方体的表面积和体积
第9章立体几何
单元章节备课表也可以用平行四边形的四个顶点的字母或两个相图9−5l β=. 本章中的两个平面是指不重合的两个平面，两条直线是指不重合的两条直线．画两个平面相交的图形时，一定要画出它们的交线.图形中被遮住部分的线段，要画成虚线（如图9−7（1）），或者不画（如图9−7（2））.性质3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面（如图9−8）．【说明】“确定一个平面”指的是“存在着一个平面，并且只存在着一个平面”．根据上述性质，可以得出下面的三个结论．1．直线与这条直线外的一点可以确定一个平面（如图9−10（1））2．两条相交直线可以确定一个平面（如图9−10（2））． 3．两条平行直线可以确定一个平面（如图9−10（3））.只有一个公共点”的说法正确吗？．梯形是平面图形吗？为什么？上的三个点，D 不是直线l 上的点．判断直线AD 、BDαAα(1)l lα(2)图9−8图9−6如果一条直线与一个平面平行，并且经过这条直线的一个平面和αDC图9−40过棱上的一点，分别在二面角的两个面内作与棱垂直的射线，以这两条射线为边的最小正平面角是直角的二面角叫做直二面角性质定理判定定理性质定理线面垂直①线线垂直②线面垂直③线线垂直⇒AO平面PAOa ⊥AO③三垂线定理：平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直当且仅当它和这条斜线的射影垂直。
PA ⊥αa α⇒①PA ⊥a PO ⊥a⇒②a ⊥平面PAO 三垂线定理P aAoα在正方体1111ABCD A B C D -中，求二面角1A DD B --的大小.练习9.3.3题1截面是指用平面截一个几何体，所得到的面．2轴截面是经过轴的截面．。
数学基础模块(下册)第九章 立体几何
【课题】9。
1 平面的基本性质【教学目标】知识目标:（1)了解平面的概念、平面的基本性质；(2)掌握平面的表示法与画法．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】平面的表示法与画法．【教学难点】对平面的概念及平面的基本性质的理解．【教学设计】教材通过观察平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面等，引入平面的概念，并介绍了平面的表示法与画法．注意,平面是原始概念,原始概念是不能定义的，教材是用“光滑并且可以无限延展的图形”来描述平面．在教学中要着重指出,平面在空间是可以无限延展的．在讲“通常用平行四边形表示平面"时要向学生指出：（1) 所画的平行四边形表示它所在的整个平面，需要时可以把它延展出去；（2）有时根据需要也可用其他平面图形，如三角形、多边形、圆、椭圆等表示平面，故加上“通常”两字;(3）画表示水平平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成 45 °,横边画成邻边的2倍．但在实际画图时，也不一定非按上述规定画不可；在画直立的平面时，要使平行四边形的一组对边画成铅垂线；在画其他位置的平面时，只要画成平行四边形就可以了;（4）画两个相交平面，一定要画出交线；(5）当用字母表示平面时，通常把表示平面的希腊字母写在平行四边形的锐角内,并且不被其他平面遮住的地方；(6）在立体几何中,被遮住部分的线段要画成虚线或不画．“确定一个平面”包含两层意思,一是存在性，即“存在一个平面”;二是唯一性，即“只存在一个平面"．故“确定一个平面"也通常说成“有且只有一个平面”。
【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．（90分钟）【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间＊揭示课题9。
1 平面的基本性质*创设情境兴趣导入观察平静的湖面(图9−1(1)）、窗户的玻璃面（图9−1(2））、黑板面、课桌面、墙面等，发现它们都有一个共同的特征:平坦、光滑，给我们以平面的形象，但是它们都是有限的．(1） (2）图9−1介绍质疑引导分析了解思考启发学生思考8*动脑思考探索新知【新知识】平面的概念就是从这些场景中抽象出来的．数学中的平面是指光滑并且可以无限延展的图形．平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面、课桌面、墙面等，都是平面的一部分．我们知道，直线是可以无限延伸的，通常画出直线的一部分来表示直线．同样,我们也可以画出平面的一部分来表示平面．通常用平行四边形表示平面，并用小写的希腊字母αβγ、、、来表示不同的平面．如图9−2，记作平面α、平面β．讲解说明引领分析思考理解带领学生分析过 程行为 行为 意图 间 也可以用平行四边形的四个顶点的字母或两个相对顶点的字母来命名，如图9−2（1）中的平面α也可以记作平面ABCD ,平面AC 或平面BD ． 【说明】根据具体情况,有时也用其他的平面图形表示平面，如圆、三角形等．当平面水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45°,横边画成邻边的2倍长（如图9−2(1））．当平面正对我们竖直放置的时候，通常把平面画成矩形(如图9−2（2））．仔细 分析 关键 语句记忆20*巩固知识 典型例题例1 表示出正方体1111ABCD A B C D -（如图9−3）的6个面1． 【说明】如图9−3所示的正方体一般写作正方体1111ABCD A B C D -,也可以简记作正方体1A C .图9−3 说明强调 引领讲解观察 思考 主动通过例题进一步领会αABC Dβ（2）图9−2（1）过程行为行为意图间果直线l上的两个点都在平面α内,那么直线l上的所有点都在平面α内．此时称直线l在平面α内或平面α经过直线l．记作lα⊆．画直线l在平面α内的图形表示时，要将直线画在平行四边形的内部(如图9−5）．引领分析理解带领学生分析42＊创设情境兴趣导入【观察】观察教室里墙角上的一个点,它是相邻两个墙面的公共点，可以发现，除这个点外两个墙面还有其他的公共点，并且这些公共点的集合就是这两个墙面的交线．质疑思考带领学生分析45*动脑思考探索新知【新知识】由上述观察和大量类似的事实中，归纳出平面的性质2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点,并且所有公共点的集合是过这个点的一条直线（如图9−6）．此时称这两个平面相交,并把所有公共点组成的直线l叫做两个平面的交线．平面α与平面β相交,交线为l，记作lαβ=.【说明】本章中的两个平面是指不重合的两个平面,两条直线是指不重合的两条直线．讲解说明引领分析思考理解带领学生分析图9−5过程行为行为意图间画两个平面相交的图形时,一定要画出它们的交线.图形中被遮住部分的线段，要画成虚线（如图9−7（1）），或者不画（如图9−7（2））。
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【思路点拨】本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积 【正确解答】 由于两个正四棱锥相同， 所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形 ABCD 中心， 有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半， 影响几何体体积的只能是正四棱锥底 面正方形 ABCD 的面积，问题转化为边长为 1 的正方形的内接正方形有多少种，所以选 D. 【解后反思】 正方体是大家熟悉的几何体， 它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能 力，要学会将空间问题向平面问题转化。 12． （江西卷）如图，在四面体 ABCD 中，截面 AEF 经过四面体 的内切球（与四个面都相切的球）球心 O，且与 BC，DC 分别截 O D 于 E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥 F A－BEFD 与三棱锥 A－EFC 的表面积分别是 S1，S2，则必有 （ ） B E A．S1S2 B. S1S2 C. S1=S2 D. S1，S2 的大小关系不能确定 解：连 OA、OB、OC、OD，则 VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD，VA－EFC＝VO－ADC＋ VO－AEC＋VO－EFC 又 VA－BEFD＝VA－EFC 而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故 SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC 又面 AEF 公共，故选 C 13.（江西卷）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥” ，四条侧棱称为它的 腰，以下 4 个命题中，假命题 是（ ） ．．．
32 ，那么正方体的棱长等于 3
C.
A.2 2
B.
2 3 3是
32 ，则外接球的半径 R=2，正方体的对角线的长为 4，棱 3
长等于
4 3 ，选 D. 3
5． （福建卷）对于平面 和共面的直线 m、n，下列命题中真命题是 A.若 m⊥ ，m⊥n，则 n∥ B.若 m∥ ，n∥ ，则 m∥n C.若 m ，n∥ ，则 m∥n D.若 m、n 与 所成的角相等，则 n∥m 解：对于平面 和共面的直线 m 、 n, 真命题是“若 m , n∥ ,则 m∥ n ” ，选 C. 6． （广东卷）给出以下四个命题： ①如果一条直线和一个平面平行， 经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和
A A 1 D B1 C B
C1
2 2
B.
3 2
C. 2
D. 3
解：棱长为 2 的正四面体 ABCD 的四个顶点都在同一个球面上, 若过 该球球心的一个截面如图为△ABF，则图中 AB=2，E 为 AB 中点，则 EF⊥DC，在△DCE 中，DE=EC= 3 ，DC=2，∴EF= 2 ，∴三角形 ABF 的面积是 2 ，选 C. 10． （湖南卷）过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成的角是 60°则该截面的面积是 A．π B. 2π C. 3π D. 2 3
2006 年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编 第九章《立体几何》
一、选择题（共 32 题） 1． （安徽卷）表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A．
2 3
B．
1 3
C．
2 3
D．
2 2 3
解：此正八面体是每个面的边长均为 a 的正三角形，所以由 8
3a 2 2 3 知， a 1 ， 4
则此球的直径为 2 ，故选 A。 2． （北京卷）平面 的斜线 AB 交 于点 B ，过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直，且交 于 点 C ，则动点 C 的轨迹是 （A）一条直线 （B）一个圆 （C）一个椭圆 （D）双曲线的一支 解：设 l 与 l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线 AB 垂直这 个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点 A 与 AB 垂直所有 直线都在这个平面内，故动点 C 都在这个平面与平面 的交线上，故选 A 3． （北京卷）设 A、B、C、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确 的是 ．．． B （A）若 AC 与 BD 共面，则 AD 与 BC 共面 （B）若 AC 与 BD 是异面直线，则 AD 与 BC 是异面直线 A D (C) 若 AB=AC，DB=DC，则 AD=BC C (D) 若 AB=AC，DB=DC，则 AD BC 解：A 显然正确；B 也正确，因为若 AD 与 BC 共面，则必有 AC 与 BD 共面与条件矛盾； C 不正确，如图所示：D 正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明。选 C 4． （福建卷）已知正方体外接球的体积是
解：过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成的角是 60° ，则 截面圆的半径是
1 R=1，该截面的面积是 π，选 A. 2
11． （江苏卷）两相同的正四棱锥组成如图 1 所示的几何 体，可放棱长为 1 的正方体内，使正四棱锥的底面 ABCD
2
与正方体的某一个平面平行， 且各顶点 均在正方体的面上， 则这样的几何体体积的可能值有 ．．． （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）无穷多个
1
交线平行， ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行， ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是 A.4 B. 3 C. 2 D. 1 解：①②④正确，故选 B. 7． （湖北卷）关于直线 m, n 与平面 , ，有以下四个命题： ①若 m // , n // 且 // ，则 m // n ；②若 m , n 且 ，则 m n ； ③若 m , n // 且 // ，则 m n ；④若 m // , n 且 ，则 m // n ； 其中真命题的序号是 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 解：用排除法可得选 D 8． （湖南卷）过平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 任意两条棱的中点作直线,其中与平面 DBB1D1 平行 的直线共有 ( ) D 1 A.4 条 B.6 条 C.8 条 D.12 条 解：如图，过平行六面体 ABCD A1 B1C1 D1 任意两条棱的中点 作直线, 其中与平面 DBB1 D1 平行的直线共有 12 条，选 D. 9． （湖南卷）棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图 1,则图中三角形(正四面体的截面) 的面积是 ( ) A.