双根法是优化解析几何运算的又一利器

所以（ ｘ１
＋
２） （ ｘ２
＋
２）
＝
１
－ ＋
１６ ５ｋ２
，
所以（２ － ｘ１）（２ － ｘ２） ＋ ｋ２（ｘ１ ＋ ２）（ｘ２ ＋ ２） ＝
８０ｋ２ １＋
－ １６ ５ｋ２
＋
ｋ２
×
－ １６ １ ＋ ５ｋ２
＝
６４ｋ２ １＋
－ １６ ５ｋ２
＝
０．
所以 ６４ｋ２ － １６ ＝ ０，即 ｋ ＝ ± １ ．下同传统解法． ２
数列；｛ ｂｎ｝ ：２，８，１４，…，２００ 是从数列｛ ｎ｝ 中，自第 ２ 项 起，以间隔为 ６，依次取出各数，按原序排列而成的数
列；现从数列｛ ｎ｝ 中，自第 ２ 项起，以间隔为 １２，依次取
出各数，按原序排列构成一数列｛ｃｎ｝． 显然｛ｃｎ｝ 是等 差数列，且 ｃｎ ＝ ２ ＋ １２（ ｎ － １） 同时出现在｛ ａｎ ｝ 、｛ ｂｎ ｝ 中，设其项数为 ｎ．
解析 （１） 可求得点 Ｐ 的坐标为 ( ２ ， ２ ) ，Ｃ１ 的
方程为 ｘ２ － ｙ２ ＝ １；（ 略） ２
（２） 由 （１） 知 Ｃ２ 的 焦 点 坐 标 为 ( － ３ ，０ ) ，
(
３
，０ )
，由此设
Ｃ２
的方程为 ３
ｘ２
＋
ｂ
２ １
＋
ｙ２
ｂ
２ １
＝ １，其中 ｂ１
＞
０．由点 Ｐ(
２，
２)
在
Ｃ２
上，得 ３
２
＋
ｂ
２ １
＋
２ ｂ２１
＝ １，解得 ｂ２１
＝
３．因此
Ｃ２
的方程为 ｘ２ ６
＋
ｙ２ ３
＝ １．
显然 ｌ 的斜率不为 ０，故可设 ｌ 的方程为 ｘ ＝ ｍｙ ＋
３ ．点 Ａ (ｘ１ ，ｙ１ ) ，Ｂ (ｘ２ ，ｙ２ ) ，
ìïïｘ ＝ ｍｙ ＋
由 íｘ２ îïï ６
＋
ｙ２ ３
＝
３， 得 ( ｍ２
＋ ４ｋ２ ＝ ０，
化简得（１ ＋ ｋ２）ｘ１ｘ２ ＋ （２ｋ２ － ２）（ｘ１ ＋ ｘ２） ＋ ４ｋ２ ＋
４ ＝ ０．
所以（１
＋
ｋ２）
×
Байду номын сангаас
２０ｋ２ １＋
－ ２０ ５ｋ２
＋
（２ｋ２
－
２）
×
－ １
２０ｋ２ ＋ ５ｋ２
＋
４ｋ２
＋
４
＝
０，（１
＋
ｋ２）
×
５ｋ２ １＋
－５ ５ｋ２
＋
（２ｋ２
－
２）
×
－ ５ｋ２ １ ＋ ５ｋ２
圆于 Ｐ，Ｑ 两 点， 使 ＰＢ２ ⊥
ＱＢ２，求直线 ｌ 的方程．
分析 本题是一道典
图１
型的直 线 与 圆 锥 曲 线 的 综
中学数学杂志 ２０１５ 年第 ９ 期 ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ
合解答题， 通 常 的 做 法 是 联 立 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 方 程，利用韦达定理消元解决． 结合本题，问题的关键是 解决 ＰＢ２ ⊥ ＱＢ２ 这个条件转换为向量的数量积为零 之后的复杂运算，思路虽然清晰，但运算比较复杂．
３０
例 １ （２０１２ 年高考重庆卷第 ２０ 题） 如图 １ 所示，
设椭圆的中心为原点 Ｏ，长轴在 ｘ 轴上，上顶点为 Ａ，
左、右焦点分别为 Ｆ１，Ｆ２，线段 ＯＦ１，ＯＦ２ 的中点分别为 Ｂ１，Ｂ２，且 △ＡＢ１Ｂ２ 是面积为 ４ 的直角三角形．
（１） 求 该 椭 圆 的 离 心
率和标准方程；
（２） 过 Ｂ１ 作直线 ｌ 交椭
( ２ － ｘ１ ) (２ － ｘ２ ) ＋ ｙ１ｙ２ ＝ ０．
因为点 Ｐ，Ｑ 在直线 ｙ ＝ ｋ（ ｘ ＋ ２） 上，所以 ｙ１ ＝ ｋ（ ｘ１
＋ ２） ，ｙ２ ＝ ｋ（ ｘ２ ＋ ２） ．
所以（２ － ｘ１）（２ － ｘ２） ＋ ｋ２（ｘ１ ＋ ２）（ｘ２ ＋ ２） ＝ ０，
所以 ４ － ２（ｘ１ ＋ ｘ２） ＋ ｘ１ｘ２ ＋ ｋ２ｘ１ｘ２ ＋ ２ｋ２（ｘ１ ＋ ｘ２）
（１） 若 △Ｆ１Ｂ１Ｂ２ 为等边三角形， 求椭圆 Ｃ 的方 程；
（２） 若椭圆 Ｃ 的短轴长为 ２，过点 Ｆ２ 的直线 ｌ 与椭 圆 Ｃ 相交于 Ｐ，Ｑ 两点，且Ｆ１→Ｐ ⊥ Ｆ１→Ｑ，求直线 ｌ 的方程．
（ 答案：（１）
３ｘ２ ４
＋
３ｙ２
＝
１；（２）
直线 ｌ 的方程为 ｘ
＋
７ ｙ － １ ＝ ０ 或 ｘ － ７ ｙ － １ ＝ ０）
＝ １ 过点 Ｐ 且
图２
３１
ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ 中学数学杂志 ２０１５ 年第 ９ 期
离心率为 ３ ．
（１） 求 Ｃ１ 的方程； （２） 椭圆 Ｃ２ 过点 Ｐ 且与 Ｃ１ 有相同的焦点，直线 ｌ 过 Ｃ２ 的右焦点且与 Ｃ２ 交于 Ａ，Ｂ 两点．若以线段 ＡＢ 为 直径的圆过点 Ｐ，求 ｌ 的方程．
点评 此法通过巧设双根式并进行合理赋值，运
算极为简洁， 真正达到了化繁为简的效果， 可以说 几
乎没有什么运算了，令人叹为观止！
变式 １ （２０１３ 年上海春季高考理科第 ２８ 题） 已
知椭圆 Ｃ 的两个焦点分别为 Ｆ１ ( － １，０ ) 、Ｆ２ (１，０ ) ，短 轴的两个端点分别为 Ｂ１，Ｂ２．
例 ４ （普通高中课程标准实验教科书，必修 ５ 第
４６ 页第 ６ 题） 有两个等差数列 ２，６，１０，…，１９０ 及 ２，８，
１４，…，２００， 由 这 两 个 等 差 数 列 的 公 共 项 按 从 小 到 大
的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和．
解 ｛ ａｎ｝ ：２，６，１０，…，１９０ 是从数列｛ ｎ｝ 中，自第 ２ 项起，以间隔为 ４，依次取出各数，按原序排列而成的
把（２ － ｘ１）（２ － ｘ２） 和（ｘ１ ＋ ２）（ｘ２ ＋ ２） 用 ｋ 来表示，
问题便能得到解决．如若注意到 ｘ１，ｘ２ 是方程的两根， 可把 ｘ２ ＋ ５ｋ２ (ｘ ＋ ２ ) ２ － ２０ ＝ ０ 左端的式子用双根法
表示，然后进行合理赋值，就能轻而易举得到结果．
优化解法 同传统解法可得 ｘ２ ＋ ５ｋ２ (ｘ ＋ ２) ２ －
１，
＋
２)
ｙ２
＋２
３ ｍｙ
ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ 中学数学杂志 ２０１５ 年第 ９ 期
＝ １ ＋ ２９９ × ４ ＝ １１９７，即是｛ ｎ｝ 的第 １１９７ 项．这两个等
差数列公差的最小公倍数是 １２． 设数列｛ ｎ｝ 的前 ９０２
项中， 同时出现在这两个数列中 的 项 构 成 数 列 ｛ ｃｎ ｝ ， 问题即求｛ｃｎ｝ 的项数 ｎ．
传统解法
（１）
该椭圆的离心率
ｅ
＝
２５ ５
，标准方
程为 ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ １；（ 略） ２０ ４
（２） 由（１） 知 Ｂ１ ( － ２，０ ) ，Ｂ２ (２，０ ) ．当直线 ｌ 垂直 于 ｘ 轴时，显然不成立．
当直线 ｌ 不 垂 直 于 ｘ 轴 时， 可 设 其 方 程 为 ｙ ＝
ｋ (ｘ ＋ ２ ) ．Ｐ (ｘ１，ｙ１ ) ，Ｑ (ｘ２，ｙ２ ) ．
＋ ｋ２ ＋ １ ＝ ０，
所以（１ ＋ ｋ２）（５ｋ２ － ５） ＋ （２ｋ２ － ２）（ － ５ｋ２） ＋ （ｋ２
＋ １） （１ ＋ ５ｋ２ ） ＝ ０，即 ５ｋ４ ＋ ５ｋ４ － １０ｋ４ ＋ １０ｋ２ ＋ ｋ２ ＋
５ｋ２
－
５
＋
１
＝
０，故 １６ｋ２
－
４
＝
０，ｋ
＝
±
１ ．
２
故直线
ｌ
的方程为
ｙ
＝
±
１ ２
ｘ２ ） ①，
① 式中再令 ｘ ＝ ２ 得，２２ ＋ ５ｋ２（２ ＋ ２） ２ － ２０ ＝ （１
＋ ５ｋ２）（２ － ｘ１）（２ － ｘ２），
所以（２
－
ｘ１）（２
－
ｘ２）
＝
８０ｋ２ １＋
－ １６ ５ｋ２ ，
① 式中令 ｘ ＝ － ２ 得，（ － ２） ２ ＋ ５ｋ２（２ － ２） ２ － ２０
＝ （１ ＋ ５ｋ２）（ － ２ － ｘ１）（ － ２ － ｘ２），
实际上，数列｛ｃｎ｝ 是从数列｛ｎ｝ 中，自第 ５ 项起， 以间隔为 １２，依次取出各数，按原序排列构成的一个
等差数列．故取数列｛ ｎ｝ 的前 １２ 项为“ 样本” ，其中仅
１ 有 １ 项（ 即 ５） 同在｛ ａｎ ｝ 与｛ ｂｎ ｝ 中，为样本容量的１２．
则９０ｎ２
＝
１ １２，由此估计
ｎ
≈
７５．
验证：因 ｃ７５ ＝ ５ ＋ （７５ － １） × １２ ＝ ８９３ 在｛ ａｎ ｝ 、 ｛ ｂｎ ｝ 中，但 ８９３ ＋ １２ ＝ ９０５ ＞ ａ３００ ，即不在｛ ａｎ ｝ 中．故所 求的 ｎ ＝ ７５．
（ｘ
＋
２） ，即
ｘ
＋
２ｙ
＋
２
＝ ０ 或 ｘ － ２ｙ ＋ ２ ＝ ０．
点评 此法虽然思路清晰，但运算极为繁琐．特别
是在紧张的考试中，学生能算出最后结果的微乎其微． 本题中， 如何化简 （２ － ｘ１）（２ － ｘ２） ＋ ｋ２（ｘ１ ＋
２）（ｘ２ ＋ ２） ＝ ０ 是运算的难点．上述的解法虽然可行， 但效率却不够高，且极容易出错． 事实上， 我们只要能
０，１，３，４） 时，ａ（ ａ ＋ ５） 能被 ６ 整除．故将 Ｓ 中的元素按
从小到大，每连续 ６ 个数分为一组，可分为 ３３２ 组，余
下三数：１９９２，１９９３，１９９４，每组有 ４ 项及 １９９２，１９９３ 均
在数列｛ ａｎ｝ 中，但 １９９４ 不在此数列中． 所以数列｛ ａｎ｝ 中共有 ４ × ３３２ ＋ ２ ＝ １３３０ 项．
ìïïｙ ＝ ｋ (ｘ
由íｘ２ îï２０
＋
ｙ２ ４
＋ ２) ， 得 ｘ２
＝ １，
＋
５ｋ２ (ｘ
＋
２)
２
－
２０
＝ ０．即
（１ ＋ ５ｋ２ ） ｘ２ ＋ ２０ｋ２ ｘ ＋ ２０ｋ２ － ２０ ＝ ０，
所以 ｘ１
＋
ｘ２
＝
－ １
２０ｋ２ ＋ ５ｋ２
，ｘ
１
ｘ２
＝
２０ｋ２ １＋
－ ２０ ５ｋ２ ．
因 为 ＰＢ２ ⊥ ＱＢ２ ， 所 以 ＰＢ→２ · ＱＢ→２ ＝
我们现在再来看更为复杂的例 ２，若用传统解法解
决，几乎不能算出来，而双根法则显示出巨大的威力．
例 ２ （２０１４ 年高考辽
宁理科数学第 ２０ 题） 圆 ｘ２
＋ ｙ２ ＝ ４ 的切线与 ｘ 轴正半
轴，ｙ 轴正半轴围成一个三
角形，当该三角形面积最小
时，切点为 Ｐ（如图 ２）．双曲
线
Ｃ１
：
ｘ２ ａ２
－
ｙ２ ｂ２
２０ ＝ ０ 与（２ － ｘ１ ） （２ － ｘ２ ） ＋ ｋ２（ ｘ１ ＋ ２） （ ｘ２ ＋ ２） ＝ ０，
因为 ｘ１ ，ｘ２ 是方程 ｘ２ ＋ ５ｋ２ ( ｘ ＋ ２ ) ２ － ２０ ＝ ０ 的两根，
所以 ｘ２ ＋ ５ｋ２ ( ｘ ＋ ２ ) ２ － ２０ ＝ （１ ＋ ５ｋ２ ） （ ｘ － ｘ１ ） （ ｘ －
ｘ２ ＋ ５ｘ ＋ ６，且 Ｓ ＝ ｛０，１，２，…，１９９４｝ ，ａ ∈ Ｓ，ｆ（ ａ） 能被
６ 整除，具有这样性质的 ａ 的个数是 ． 解 ① 估计：ｆ（ａ） ＝ ａ２ ＋ ５ａ ＋ ６ ＝ ａ（ａ ＋ ５） ＋ ６．
设 ａ ∈ Ｓ，ｆ（ａ） 被 ６ 整除，即 ａ（ａ ＋ ５） 被 ６ 整除的数，
按从小到大排成一列， 构成数列 ｛ ａｎ ｝ ， 需求数列 ｛ ａｎ ｝ 的项数 ｎ．
考虑 ａ 在“ 样本” ：０，１，２，３，４，５ 中取值，易知 ａ ＝
０，１，３，４ 时满足要求，此时 ａ 的取值个数与样本容量
的比值为
２ ３
，Ｓ
的容量为
１９９５．则
ｎ １９９５
＝
２ ３ ⇒ｎ
＝
１３３０．
② 验证：因 １９９５ ＝ ３３２ × ６ ＋ ３，当 ａ ＝ ６ｋ ＋ ｉ（ ｉ ＝
仿例
３
的求法，有１９ｎ０
＝
１ １２，估计
ｎ
＝
１５
或
１６．因
ｃ１６
＝ ２ ＋ １２ × １５ ＝ １８２ ＜ １９０，ｃ１７ ＝ １９４ 不在数列｛ ａｎ ｝ 中． 所以 ｎ ＝ １６．
所以｛ ｃｎ ｝
前 １６
项之和为
Ｓ１６
＝
１６（ ２
＋ １８２） ２
＝
１４７２．
例 ５ （江苏第三届高二数学通讯赛题） 设 ｆ（ｘ） ＝
双根法是优化解析几何运算的又一利器
广东省兴宁市第一中学 ５１４５００ 蓝云波
我们知道，二次函数有三种形式，分别是一般式、 顶点式、双根式．其中双根式可以把一般式 ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ≠ ０） 表示为 ｙ ＝ ａ（ｘ － ｘ１）（ｘ － ｘ２）（ａ ≠ ０），其 中 ｘ１，ｘ２ 为方程 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０ 的两根．对于双根式的 应用，笔 者 通 过 翻 阅 大 量 资 料 发 现， 其 应 用 大 都 仅 仅 局限于二次函数方面， 似乎不能在其他方面发挥功 效，笔者 又 在 知 网 上 搜 索 双 根 法 的 相 关 文 章， 也 不 能 看到其他方面的应用，似乎很少有人研究． 但事实上， 双根法还可以有更精彩的应用． 笔者下面通过几道近 几年的高考题为例，谈谈它在优化解析几何运算方面 的应用．现分析如下，供大家参考．