北师大版九年级数学上册：1.2《矩形的性质与判定》ppt课件(课件精选)
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北师版九上数学1.2 矩形的性质与判定(第一课时) 课件
∴ AD ＝ 2 − 2 ＝ 16 − 4 ＝2 3 .
由（1），得 OA ＝ OD .
又∵ OE ⊥ AD ，
1
∴ AE ＝ AD ＝
2
3.
在Rt△ ABE 中，根据勾股定理，得
BE ＝ 2 ＋ 2 ＝ 22 ＋（ 3）2 ＝ 7 .
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数学 九年级上册 BS版
如图，已知四边形 ABC D是矩形，E为边 A D上一点，且∠ CB D
（4）既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有两条对称轴
（分别是对边中点所在的直线）.
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（2）如图，在 Rt △ ABC 中，∠ ABC ＝90°，点D为 AC 的中点.
若∠ C ＝55°，则∠ AB D＝ 35° .
【思路导航】由直角三角形斜边上的中线的性质得到△ BC D为
∴ AB ∥ CD .
∴∠ OAE ＝∠ OCF ，∠ OEA ＝∠ OFC .
∠＝∠，
在△ AEO 和△ CFO 中，ቐ＝，
∠＝∠，
∴△ AEO ≌△ CFO （ A S A ）.
∴ OE ＝ OF .
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（2）解：如图，连接 OB .
（2）矩形的对角线 相等 .
注：①矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所
有性质；②矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形.
3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 .
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0 2
典例讲练
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（1）如图，在矩形 ABC D中，已知 AC 交 B D于点O，∠ A O B ＝
由（1），得 OA ＝ OD .
又∵ OE ⊥ AD ，
1
∴ AE ＝ AD ＝
2
3.
在Rt△ ABE 中，根据勾股定理，得
BE ＝ 2 ＋ 2 ＝ 22 ＋（ 3）2 ＝ 7 .
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如图，已知四边形 ABC D是矩形，E为边 A D上一点，且∠ CB D
（4）既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有两条对称轴
（分别是对边中点所在的直线）.
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（2）如图，在 Rt △ ABC 中，∠ ABC ＝90°，点D为 AC 的中点.
若∠ C ＝55°，则∠ AB D＝ 35° .
【思路导航】由直角三角形斜边上的中线的性质得到△ BC D为
∴ AB ∥ CD .
∴∠ OAE ＝∠ OCF ，∠ OEA ＝∠ OFC .
∠＝∠，
在△ AEO 和△ CFO 中，ቐ＝，
∠＝∠，
∴△ AEO ≌△ CFO （ A S A ）.
∴ OE ＝ OF .
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（2）解：如图，连接 OB .
（2）矩形的对角线 相等 .
注：①矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所
有性质；②矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形.
3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 .
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0 2
典例讲练
数学 九年级上册 BS版
（1）如图，在矩形 ABC D中，已知 AC 交 B D于点O，∠ A O B ＝
北师大版九年级数学上册1.2.1矩形的性质与判定课件(共23张PPT)
边形是什么图形?
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
生活中的实例
分组讨论 探究新知
问题1： 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四 边形的哪些性质？
性质
边
角
对角线 对称性
矩形
对边平行 且相等
对角相等
对角线互相 中心对称 平分 图形
问题2
例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
A
D
O
B
C
你还有其他解法吗？
反馈练习二
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是 [ D ]
A．对角线相等 C．是轴对称图形
B．四个角都相等 D．对角线垂直
2. 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与 BD相交于点O，AB=6,OA=4.求BD与AD的长.
矩形是特殊的平行四边形
公平,因为OA=OC=OB=OD
当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（2）AC = BD
公平,因为OA=OC=OB=OD （2）在运动过程中四边形不变的是什么？
这是矩形所
矩形的四个角都是直角.
O
特有的性质
生活链接---投圈游戏
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一
B
C
O
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这个结 论对于所有直角三角形都成立。
反馈练习一
已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3㎝,则AC＝_6____㎝; (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝__1_0__㎝,BD＝__5___ ㎝.
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
生活中的实例
分组讨论 探究新知
问题1： 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四 边形的哪些性质？
性质
边
角
对角线 对称性
矩形
对边平行 且相等
对角相等
对角线互相 中心对称 平分 图形
问题2
例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
A
D
O
B
C
你还有其他解法吗？
反馈练习二
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是 [ D ]
A．对角线相等 C．是轴对称图形
B．四个角都相等 D．对角线垂直
2. 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与 BD相交于点O，AB=6,OA=4.求BD与AD的长.
矩形是特殊的平行四边形
公平,因为OA=OC=OB=OD
当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（2）AC = BD
公平,因为OA=OC=OB=OD （2）在运动过程中四边形不变的是什么？
这是矩形所
矩形的四个角都是直角.
O
特有的性质
生活链接---投圈游戏
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一
B
C
O
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这个结 论对于所有直角三角形都成立。
反馈练习一
已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3㎝,则AC＝_6____㎝; (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝__1_0__㎝,BD＝__5___ ㎝.
北师大版九年级数学上册 1.2矩形的性质与判定第2课时 矩形的判定 课件(共32张PPT)
（2） 请证明你的猜想.
（1） 猜想 与 之间的关系；
解： .
（2） 请证明你的猜想.
证明： 四边形 是平行四边形， ， . .又 ， 分别平分 ， ， . .同理可证 , , 四边形 为矩形. .
10.如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，过点 作 ，且 ，连接 ．
（第3题图）
3.如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ，且 , ，则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
4.如图，点 是 的中点，四边形 是平行四边形.若 ，求证：四边形 是矩形．
证明： 四边形 是平行四边形， ，且 ， ． 点 是 的中点， . ， 四边形 是平行四边形.
解： 四边形 是菱形， .由（1）得四边形 为矩形， ， .在 中，由勾股定理得 ，即 的长为 ．
完成学生用书对应课时练习
易错点 菱形的判定与矩形的判定相互混淆
6.已知平行四边形 的对角线 与 相交于点 ，下列结论中不正确的是( )
D
A.当 时，四边形 是矩形B.当 时，四边形 是菱形C.当 时，四边形 是矩形D.当 时，四边形 是菱形
（第7题图）
7.如图，在 中， ， ．连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，交 于点 ．若 ，则四边形 的面积为_ ____.
（1） 求证：四边形 为矩形.
（2） 连接 ，若 ， ，求 的长．
（1） 求证：四边形 为矩形.
证明： 四边形 是菱形， ， . . ， ， ， . 四边形 是平行四边形.又 ， 平行四边形 是矩形.
（2） 连接 ，若 ， ，求 的长．
第一章 特殊平定
探索并证明矩形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形.
（1） 猜想 与 之间的关系；
解： .
（2） 请证明你的猜想.
证明： 四边形 是平行四边形， ， . .又 ， 分别平分 ， ， . .同理可证 , , 四边形 为矩形. .
10.如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，过点 作 ，且 ，连接 ．
（第3题图）
3.如图，在 中，对角线 ， 相交于点 ，且 , ，则 的度数为( )
A
A. B. C. D.
4.如图，点 是 的中点，四边形 是平行四边形.若 ，求证：四边形 是矩形．
证明： 四边形 是平行四边形， ，且 ， ． 点 是 的中点， . ， 四边形 是平行四边形.
解： 四边形 是菱形， .由（1）得四边形 为矩形， ， .在 中，由勾股定理得 ，即 的长为 ．
完成学生用书对应课时练习
易错点 菱形的判定与矩形的判定相互混淆
6.已知平行四边形 的对角线 与 相交于点 ，下列结论中不正确的是( )
D
A.当 时，四边形 是矩形B.当 时，四边形 是菱形C.当 时，四边形 是矩形D.当 时，四边形 是菱形
（第7题图）
7.如图，在 中， ， ．连接 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，交 于点 ．若 ，则四边形 的面积为_ ____.
（1） 求证：四边形 为矩形.
（2） 连接 ，若 ， ，求 的长．
（1） 求证：四边形 为矩形.
证明： 四边形 是菱形， ， . . ， ， ， . 四边形 是平行四边形.又 ， 平行四边形 是矩形.
（2） 连接 ，若 ， ，求 的长．
第一章 特殊平定
探索并证明矩形的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形.
2.矩形的性质与判定第1课时矩形的性质PPT课件(北师大版)
第二招 4．如图，在矩形ABCD中，对角线 相交于点O，且∠AOB＝50°，则 ∠ADB＝ 25 °.
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，CD⊥AB，AC＝6，BC＝8， 则CD＝ 4.8 ．
第1课时 矩形的性质
轻松过招
第三招 6．如图，在矩形ABCD中，点E、F 在BC上，连接AE，DF，BF＝CE. 求证：AE＝DF.
第1课时 矩形的性质
新知导航
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝5，CD 是AB边上的中线，则AB的长是 10 ．
第1课时 矩形的性质
轻松过招
第一招
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是
（C）
A．对角线互相平分
B．邻角互补
C．对角线相等
D．对角相等
2．（202X·无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不
一定具有的性质是（ C ）
A．内角和为360°
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．对角线互相垂直
第1课时 矩形的性质
轻松过招
3．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点
O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为（ B ）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
第1课时 矩形的性质
轻松过招
60 ．
第1课时 矩形的性质
新知导航
知识点2：对角线相等 【例2】如图，矩形ABCD两对角线交于点O， ∠COD＝120°，AC＝8.求：AD、AB的长及矩形 ABCD的面积． 解：∵∠COD＝120°， ∴∠DCA＝30°∴在Rt△ADC中 ∵AC＝8，∴AD＝4，CD＝4 3 ， ∴AB＝CD＝4 3 . S矩形ABCD＝AD·AB＝4×4 3 ＝16 3
北师大版数学九年级上册：第2课时矩形的判定课件
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC 的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分 线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM， ∴∠CAD= ∠BAC，∠CAN＝ ∠CAM. ∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝ (∠BAC＋∠CAM) ＝ ×180°＝90° 在△ABC中，∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°. 又∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°. ∴四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．
对角线相等的平行四边形是矩形.
如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， △ABO是等边三角形，AB＝4，求证 ABCD是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵△ABO是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°.∴OA＝OB＝OC＝OD＝4.∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.∴ ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
证明：（1）∵△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠ACB.又∵四边形ABDE是平行四边形,∴∠B=∠EDC,AB=DE,∴∠ACB=∠EDC,∴△ADC≌△ECD.
(2)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵四边形ABDE是平行四边形,∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,∴四边形ADCE是平行四边形.而∠ADC=90°,∴四边形ADCE是矩形.
C
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠ADC=90°.又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，满足132=52+122，即∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形．
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM， ∴∠CAD= ∠BAC，∠CAN＝ ∠CAM. ∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝ (∠BAC＋∠CAM) ＝ ×180°＝90° 在△ABC中，∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线， ∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°. 又∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°. ∴四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．
对角线相等的平行四边形是矩形.
如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， △ABO是等边三角形，AB＝4，求证 ABCD是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵△ABO是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°.∴OA＝OB＝OC＝OD＝4.∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.∴ ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
证明：（1）∵△ABC是等腰三角形,∴∠B=∠ACB.又∵四边形ABDE是平行四边形,∴∠B=∠EDC,AB=DE,∴∠ACB=∠EDC,∴△ADC≌△ECD.
(2)∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵四边形ABDE是平行四边形,∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC,∴四边形ADCE是平行四边形.而∠ADC=90°,∴四边形ADCE是矩形.
C
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，∴∠ADC=90°.又∵△ABC中，AB=5，BC=12，AC=13，满足132=52+122，即∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，∴四边形ABCD是矩形．
北师大版数学九年级上册矩形的性质与判定(第2课时矩形的判定)课件(共26张)
｛AP=DP ∵ AB=PC ， BP=PC ∴△ABP≌△DCP（SSS）， ∴∠D=∠A， ∵∠D+∠A=180°， ∴∠D=∠A=90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形．
7.如图， ABCD的四个内角的平分线相交 于点E、F、G、H. 求证：EG = FH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC=180°． 又∵AH，BH分别平分∠BAD，∠ABC， ∴∠DAE=∠BAE= ∠DAB，∠CBG=∠ABG= ∠ABC， ∴∠BAE+∠ABG= （∠DAB +∠ABC ）=90°， ∴∠AHB=90°， 同理可证∠EFG=90°，∠HEF=90°， ∴四边形EFGH为矩形，∴EG=FH．
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB
=
1 2
×180°=90°.
∴□ABCD是矩形.(矩形的定义)
2．矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形 至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？ 请证明你的结论，并与同伴交流．
归纳结论：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知:如图,在四边形ABCD中,
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. A
D
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
B
C
∴∠ABC=∠DCB.
又∵AB∥CD.
巩固练习
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它 变为矩形，需要添加的条件是( D )
7.如图， ABCD的四个内角的平分线相交 于点E、F、G、H. 求证：EG = FH.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC=180°． 又∵AH，BH分别平分∠BAD，∠ABC， ∴∠DAE=∠BAE= ∠DAB，∠CBG=∠ABG= ∠ABC， ∴∠BAE+∠ABG= （∠DAB +∠ABC ）=90°， ∴∠AHB=90°， 同理可证∠EFG=90°，∠HEF=90°， ∴四边形EFGH为矩形，∴EG=FH．
∴∠ABC+∠DCB=180°.
∴∠ABC=∠DCB
=
1 2
×180°=90°.
∴□ABCD是矩形.(矩形的定义)
2．矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形 至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？ 请证明你的结论，并与同伴交流．
归纳结论：有三个角是直角的四边形是矩形．
已知:如图,在四边形ABCD中,
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形. A
D
∴AB=CD,AB∥CD.
又∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
B
C
∴∠ABC=∠DCB.
又∵AB∥CD.
巩固练习
1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它 变为矩形，需要添加的条件是( D )
北师大版数学九年级上册第一章1.2矩形的性质与判定(共31张PPT)
学习目标
1、能用综合法证明矩形的性质定理、判定定 理以及相关结论； 2、能用矩形的性质进行简单的证明与计算．
2
复习回顾
请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪些性质？
边：对边平行且相等； 角：对角相等； 对角线：对角线互相平分．
课程引入
一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟，一天，师傅有事 外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形 式的门，完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形。
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD,AB∥CD.
A
D
∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB.
B
C
∵∠ABC+∠DCB=180°. ∴∠ABC=90°. ∴四边形ABCD是矩形.
矩形的判定方法：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
〔对角线相等且互相平分的四边形是矩形。〕
几何语言：
A
D
∵四边形ABCD是平行四边形
O
AC=BD
〔或OA=OC=OB=OD〕
∴四边形ABCD是矩形
B
C
12
知识小结
两组对边 四边形 分别平行
平行
对角线
四边形 相等
矩形
四边形集合
平行四边形集合
矩形集合
有一个角是直角
甲的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角，发现它们都是 直角。所以我这个四边形门就是矩形〞。
乙的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线，发现它们的 长度相等，所以我这个四边形门就是矩形〞。
1、能用综合法证明矩形的性质定理、判定定 理以及相关结论； 2、能用矩形的性质进行简单的证明与计算．
2
复习回顾
请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪些性质？
边：对边平行且相等； 角：对角相等； 对角线：对角线互相平分．
课程引入
一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟，一天，师傅有事 外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形 式的门，完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形。
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB=CD,AB∥CD.
A
D
∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB.
B
C
∵∠ABC+∠DCB=180°. ∴∠ABC=90°. ∴四边形ABCD是矩形.
矩形的判定方法：
对角线相等的平行四边形是矩形 。
〔对角线相等且互相平分的四边形是矩形。〕
几何语言：
A
D
∵四边形ABCD是平行四边形
O
AC=BD
〔或OA=OC=OB=OD〕
∴四边形ABCD是矩形
B
C
12
知识小结
两组对边 四边形 分别平行
平行
对角线
四边形 相等
矩形
四边形集合
平行四边形集合
矩形集合
有一个角是直角
甲的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角，发现它们都是 直角。所以我这个四边形门就是矩形〞。
乙的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线，发现它们的 长度相等，所以我这个四边形门就是矩形〞。
1.2 第3课时 矩形的性质与判定的综合应用 课件(共22张PPT) 北师版九年级上册
习题解析
(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
解：∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∴∠FDC＝36°.∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°.∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD.∴∠ODC＝∠DCO＝54°.∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝54°－36°＝18°.
习题解析
习题解析
习题2
如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°. (1)求证：四边形ABCD是矩形；
证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠ABC＝∠ADC.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.∴四边形ABCD是矩形．
如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
思考：线段AE和哪条线段有关系？这里用到了直角三角形的哪个性质？
例1
课程讲授
新课推进
分析：在矩形ABCD中，ED=3BE，∴BE：ED=_______，易证得△OAB是_____________，继而求得________的度数，由△OAB是____________，求出________的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.
课程讲授
新课推进
习题解析
习题1
如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
习题解析
证明：（1）由题意可得AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°.∴∠ANF＝∠CME.∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC.∴AM＝CN，∠FAN＝∠ECM. ∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM.
(2)若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．
解：∵∠ADC＝90°，∠ADF∶∠FDC＝3∶2，∴∠FDC＝36°.∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°－36°＝54°.∵四边形ABCD是矩形，∴OC＝OD.∴∠ODC＝∠DCO＝54°.∴∠BDF＝∠ODC－∠FDC＝54°－36°＝18°.
习题解析
习题解析
习题2
如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°. (1)求证：四边形ABCD是矩形；
证明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形．∴∠ABC＝∠ADC.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°.∴四边形ABCD是矩形．
如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，求AE的长.
思考：线段AE和哪条线段有关系？这里用到了直角三角形的哪个性质？
例1
课程讲授
新课推进
分析：在矩形ABCD中，ED=3BE，∴BE：ED=_______，易证得△OAB是_____________，继而求得________的度数，由△OAB是____________，求出________的度数，又由AD=6，即可求得AE的长.
课程讲授
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习题1
如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB＝6，AC＝10，求四边形AECF的面积．
习题解析
证明：（1）由题意可得AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°，∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°.∴∠ANF＝∠CME.∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC.∴AM＝CN，∠FAN＝∠ECM. ∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM.
北师大版九年级数学课件-矩形的性质与判定
第一章 特殊平行四邊形
第2節 矩形的性質與判定(二）
知識回顧
矩形的定義 有一個角是直角的平行四邊形.
平行四邊形 一個角是直角
矩形
矩邊
矩形的對邊平行且相等.
形
的 角 矩形的四個角都是直角.
性
質 對角線 矩形的兩條對角線相等
且互相平分.
情境一
如圖，在一個平行四邊形活動框架上，用兩根橡 皮筋分別套在兩個相對的頂點上，拉動一對不相 鄰的頂點時，平行四邊形的形狀會發生什麼變化？
有三個角是直角的四邊形是矩形嗎?
已知:如圖,在四邊形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°.
求證:四邊形ABCD是矩形.
A
D
證明: ∵∠A=∠B=∠C=90°, B
C
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∴四邊形ABCD是矩形.
矩形判定方法二
問題（1）:
隨著的變化兩條對角線的長度將發生
怎樣的變化？
問題（2）: 當兩條對角線的長度相等時平行四邊形有
什麼特徵？由此你能得到一個怎樣的猜想？
猜想： 對角線相等的平行四邊形是矩形.
對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？
已知:四邊形ABCD是平行四邊形,AC=BD.
求證:四邊形ABCD是矩形. A
D
證明：
有三個角是直角的四邊形是矩形
A
D
B
∠A=∠B=∠C=90°
C
四邊形ABCD 是矩形
議一議：
1. 如果僅僅有一根較長的繩子，你怎 麼判斷一個四邊形是平行四邊形呢？
2. 如果僅僅有一根較長的繩子，你怎 麼判斷一個四邊形是菱形呢？
第2節 矩形的性質與判定(二）
知識回顧
矩形的定義 有一個角是直角的平行四邊形.
平行四邊形 一個角是直角
矩形
矩邊
矩形的對邊平行且相等.
形
的 角 矩形的四個角都是直角.
性
質 對角線 矩形的兩條對角線相等
且互相平分.
情境一
如圖，在一個平行四邊形活動框架上，用兩根橡 皮筋分別套在兩個相對的頂點上，拉動一對不相 鄰的頂點時，平行四邊形的形狀會發生什麼變化？
有三個角是直角的四邊形是矩形嗎?
已知:如圖,在四邊形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°.
求證:四邊形ABCD是矩形.
A
D
證明: ∵∠A=∠B=∠C=90°, B
C
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
∴四邊形ABCD是矩形.
矩形判定方法二
問題（1）:
隨著的變化兩條對角線的長度將發生
怎樣的變化？
問題（2）: 當兩條對角線的長度相等時平行四邊形有
什麼特徵？由此你能得到一個怎樣的猜想？
猜想： 對角線相等的平行四邊形是矩形.
對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？
已知:四邊形ABCD是平行四邊形,AC=BD.
求證:四邊形ABCD是矩形. A
D
證明：
有三個角是直角的四邊形是矩形
A
D
B
∠A=∠B=∠C=90°
C
四邊形ABCD 是矩形
議一議：
1. 如果僅僅有一根較長的繩子，你怎 麼判斷一個四邊形是平行四邊形呢？
2. 如果僅僅有一根較長的繩子，你怎 麼判斷一個四邊形是菱形呢？
北师大版九年级数学上册1.2.2矩形的性质与判定课件(共16张PPT)
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你能证明上述结论吗？ 本节课你的收获与困惑是什么？
下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
新知总结
矩形判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
D
证明：如图，∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=180°， ∠ B +∠C=180°，
第一章 特殊平行四边形
第2节 矩形的性质与判定(二）
知识回顾
矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形.
平行四边形 一个角是直角
矩形
矩边
矩形的对边平行且相等.
形
的 角 矩形的四个角都是直角.
性
质 对角线 矩形的两条对角线相等
且互相平分.
第一环节：创设情境，提出问题
如图，在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮 筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点 时，平行四边形的形状会发生什么变化？
∴AD∥BC，AB ∥CD，
B
C
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
新知总结
小结：用定义判定矩形，与定理1、定理2从条件 的个数上有何区别？
定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形.
定理1：对角线相等的平行四边形是矩形. 定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
D
CA
4．举例说明人体的激素参与生命活动 的调节 。
5．进行资料分析，认同研究激素功能 的基本 方法。 6．举例说明激素调节受神经系统的调 控，人 的生命 活动主 要受神 经系统 调节， 但也受 激素调 节的影 响
九年级数学上册 1.2 矩形的性质与判定课件1 (新版)北师大版
已知：平行四边形ABCD，AC=BD。
求证：四边形ABCD是矩形。 A
D
证明:∵ AB=CD, BC=BC, AC=BD
∴ △ABC≌ △DCB（SSS） B
C
∴ ∠ABC=∠DCB
∵ AB//CD
∴ ∠ABC+∠DCB=180°
∴ ∠ABC=∠DCB=90° 又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
ABCD 是矩形
∠A= ∠B= ∠C=90°
四边形ABCD 是矩形
自我诊断
1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（ C）
A 对角线相等
B 对角线垂直
C对角线互相平分且相等 D对角线垂直且相等
2、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，则它的对角线 长是 5 cm
3、如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、
四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形
，
要判定一个四 边形是矩形，通常先
AC=2OA， BD=2OB AC=BD
判定它是平行四边形， 再根据平行四边形构 成矩形的条件，判定
ABCD是矩形。
有一个角是直角或者 对角线相等。
例：如图在□ABCD中，对角线AC和BD相较
于点O，△ABO是等边三角形，AB=4.
例1：如图，M为平行四边形ABCD 边AD的中点，且MB=MC， 求证：四边形ABCD是矩形。
A
M
D
B
CБайду номын сангаас
例：如图在□ABCD中，对角线AC和BD相较
于点O，△ABO是等边三角形，AB=4.
求证：（1）四边形ABCD是矩形 A
D
（2）求□ABCD的面积.
北师大版九年级数学上1.2 矩形的性质与判定 (共39张PPT)
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2.明确定理： 直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半.
推理格式：在△ABC中， ∵∠ABC=90°，AO=CO， BO 1 AC.
2
3.定理证明
D
思路：（1）造全等：
延长BO至点D，使OD=OB，连接AD.
先证△BOC≌△DOA（SAS），
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4. ∴OA=OC=OB=OD=4. ∴AC=BD=2OA=2×4=8.
∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2 + BC 2 = AC 2 ,
• 9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.821.9.8Wednesday, September 08, 2021 • 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。10:15:0210:15:0210:159/8/2021 10:15:02 AM • 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.810:15:0210:15Sep-218-Sep-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。10:15:0210:15:0210:15Wednesday, September 08, 2021
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∟
CAD = 1 BAC，CAN = 1 ∠CAM.
2.明确定理： 直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半.
推理格式：在△ABC中， ∵∠ABC=90°，AO=CO， BO 1 AC.
2
3.定理证明
D
思路：（1）造全等：
延长BO至点D，使OD=OB，连接AD.
先证△BOC≌△DOA（SAS），
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4. ∴OA=OC=OB=OD=4. ∴AC=BD=2OA=2×4=8.
∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2 + BC 2 = AC 2 ,
• 9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.821.9.8Wednesday, September 08, 2021 • 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。10:15:0210:15:0210:159/8/2021 10:15:02 AM • 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.810:15:0210:15Sep-218-Sep-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。10:15:0210:15:0210:15Wednesday, September 08, 2021
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∟
CAD = 1 BAC，CAN = 1 ∠CAM.
1.2矩形的性质与判定 课件 北师大版数学九年级上册
∵ AB=DC，∴ DE=AF. ∴ AEFD 是矩形.
解题秘方：紧扣“平行四边形”这一前提，从“对角线
相等”入手进行证明.
感悟新知
知4－练
6-1. 如图， 将平行四边形ABCD 的边DC 延长到点E， 使 CE=DC，连接AE，交BC 于点F， ∠ AFC=2 ∠ D， 连接AC，BE.求证： 四边形ABEC是矩形．
知识点 4 矩形的判定
知4－讲
感悟新知
判定方法
定 有一个角是直 义 角的平行四边 法 形是矩形
角
定 理
有三个角是直 角的四边形是
矩形
图示
知4－讲
数学表达式
在ABCD 中， ∵∠ B=90°， ∴ ABCD 是矩形
在四边形ABCD 中， ∵∠A=∠B=∠C= 90°，∴四边形 ABCD 是矩形
感悟新知
S △ BOC=S△ COD=14S 矩形ABCD，△ AOB ≌ △ COD，△ AOD ≌△COB.
感悟新知
知2－练
例2 【母题 教材P13例1】如图1-2-2，在 矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相 交于点O，∠ BOC=120° ，AB=6. 求：
解题秘方：紧扣矩形的“角、对角线的性质”进行 计算.
又∵D 是 BC 的中点，AB＝AC，
∴∠ADC＝90°.∴平行四边形 ADCF 是矩形．
感悟新知
知识点 2 矩形的性质
知2－讲
矩形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的 所有性质. 矩形的性质可以从边、角、对角线、对称性这 四个方面来研究. 总结如下表：
感悟新知
知2－讲
图形
性质
数学表达式
对边平行 边
称
性 是中心对称图形，对称中心是对角线
北师大版九年级上册数学课件1.2 矩形的性质与判定(共15张ppt)
3
例1 如图1-14，在矩形ABCD中，
AD=6，对角线AC与BD交于点O，
AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE.求AE
的长.
1
即 △ABO是等边三角形.
2
∴∠ABO=60°.
∴∠ADB=90°-∠ABO=30°.
在Rt△AED中，
∵∠ADB=30°，
∴AE=
1 2
AD=
1 2
×6=3.
2020/7/11
9
练习
已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD 和CBD组成，M、N分别是BC和AD的中点. 求证：四边形BMDN是矩形
2020/7/11
10
课堂小结
1、说说你的收获。 2、说说你的困惑。 3、说说你的方法。
2020/7/11
11
自我检测。
（1）下列说法错误的是（ ）． A.矩形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等。 C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2020/7/11
8
证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴ AC=BD(矩形的对角线相等) OA=OC= AC，OB=OD= BD， ∴OA=OD。 ∵∠AOD=120°， ∴∠ODA=∠OAD= (180°-120°) = 30°。
又∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角) ∴BD=2AB=2×2.5=5.
第一章 特殊平行四边形
第2节 矩形的性质与判定（三）
2020/7/11
1
复习导入
1.如图1，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已
知∠AOD= 120°，AB=2.5cm，则∠DAO=
，
AC=
cm，S矩形ABCD=
相关主题
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1.在数学活动课上,老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形, 下面是某合作学习小组的 4 位同学拟定的方案,其中正确的是( ) A.测量对角线是否相互平分 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量一组对角是否都为直角 D.测量其中三个角是否都为直角
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D
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答案 4
A.15
B.10
C.30
D.45
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C
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4.如图,四边形 ABCD 的对角线互相平分,要使它成为矩形,那么需要 添加的条件是( )
A.AB=CD B.AD=BC C.AB=BC D.AC=BD
D
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5.若将 4 根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形,并使其面积为矩
形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角是
.
30°
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答案 8
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6.若矩形的两条对角线相交所成的一角为 120°,且交点到一边的距
离是 3,则这个矩形的面积是
.
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答案 9
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2.下列命题中,正确的是( ) A.矩形的对角线相等且互相垂直 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D.直角三角形斜边上的中线不一定等于斜边的一半长
关闭
C
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3.矩形相邻两边的比为 2∶3,面积为 54,则矩形的周长是
教师教学说课
适用于教育教学、教师说课、学生作业、汇报总结
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2.矩形的性质与判定
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快乐预习感知
1.定理:矩形的四个角都是 直角 ;矩形的对角线 相等 . 2.定理:有三个角是 直角 的四边形是矩形;对角线 相等 的平行四边形是矩形. 3.定理:直角三角形中,斜边上的中线等于 斜边的一半 . 4.如果一个三角形的一边上的中线等于这边的一半,那么这个 三角形是 直角三角形 .