高考文科数学不等式选讲考点精细选

不等式选讲考点精细选

一、知识点整合：

1.含有绝对值的不等式的解法

(１)|ｆ(x)|>ａ（ａ>0)⇔f(ｘ）>a或ｆ（ｘ)<-ａ；

(2）|ｆ(x)|＜a(a>０)⇔-a

(3)对形如|ｘ-ａ|+｜x-b|≤c，|x－a｜＋|ｘ-ｂ｜≥ｃ的不等式,可利用绝对值的几何意义求解.

2. 含有绝对值的不等式的性质

｜a｜－|ｂ｜≤｜ａ±b|≤|ａ|+｜b|.

3．柯西不等式

(1)设a，b,c，d均为实数，则(a2+b2)(ｃ2＋ｄ2)≥(ａc+bd）２，当且仅当aｄ＝bc 时等号

成立.

(2）若a i,b i(i∈Ｎ*)为实数，则(错误!a错误!）（错误!b错误!）≥（错误!ａi b i)２,当且仅当错误!＝错误!＝…＝错误!(当某b j=0时，认为ａj＝0,ｊ=1,2，…，n)时等号成立．（3)柯西不等式的向量形式:设α，β为平面上的两个向量,则|α|·|β|≥｜α·β|，当且仅当这两个向量共线时等号成立.

4．不等式的证明方法

证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.

练习精细选

1．若关于实数x的不等式｜ｘ-5｜＋|x+3|

解析∵｜ｘ－５|+｜ｘ＋3｜＝|5－x|+|x+３|

≥|５－x＋x+３|=8，

∴(|x-５|＋|x+３｜）ｍin＝８,

要使|x-5|+|x＋３｜

2．(20１3·江西）在实数范围内,不等式|｜x－2|-1|≤1的解集为________.

答案[0,4]

解析由|｜x-2|-1|≤1得－1≤|ｘ-2|－1≤1，

解错误!得０≤x≤４.

∴不等式的解集为[0,４]．

ﻬ3.已知a,ｂ,m,n均为正数,且a+b＝1,mｎ＝2,则（am＋bｎ)(bｍ+an)的最小值为____＿_＿＿.

答案２

解析由柯西不等式(a2＋ｂ２)（ｃ2+ｄ2)≥(ａｃ+bd)2,当且仅当aｄ＝bｃ时“＝”成立，得

(am+bｎ)(ｂm＋ａn)≥（＼r(aｍ)·an＋＼r（ｂm)ｂn）2=ｍn（a＋b）２=2．４.若不等式|ｋx－４|≤2的解集为｛x|１≤x≤3}，则实数k=＿_______．答案 2

解析∵|kx－4｜≤２,∴－2≤kx－４≤２,∴2≤kx≤6.

∵不等式的解集为{x｜1≤x≤3｝,∴k＝２.

５．设x，y∈Ｒ,且xy≠0,则错误!·错误!的最小值为_＿_____＿.

答案9

解析错误!错误!=5+错误!＋4x2y２

≥5＋２错误!＝9,

当且仅当x2ｙ2=错误!时“=”成立.

三、典型题型分析

题型一含绝对值的不等式的解法

例1已知函数f(x)=|2x－1|+|2x+ａ|,g(x)＝x+3．

（１)当a=-２时,求不等式ｆ(x)＜g(x)的解集;

(2)设a>－１,且当x∈错误!时,ｆ（x)≤g(x）,求a的取值范围．

审题破题(1）可以通过分段讨论去绝对值;（2)在ｘ∈错误!时去绝对值,利用函数最值求a的范围．

解(１)当a＝－２时，不等式ｆ（x)＜ｇ(x)化为|2x-１｜+|２x－2|－x-3<０.

设函数y=|2x－１｜＋|２ｘ-2|-x-3,

则y=错误!

其图象如图所示,由图象可知，当且仅当x∈(0,2)时,y<0,所以原不等式的解集是{x|0

(2)∵a>-1,则－＼f(a，2）<错误!,

∴f(ｘ)=|２x－1|＋|2ｘ＋a|

当x∈错误!时，ｆ(ｘ)＝a+１，

即a+1≤x＋３在ｘ∈错误!上恒成立．

∴ａ+１≤－＼f（a,２)＋３,即a≤＼ｆ(4,3）,

∴a的取值范围为错误!.

点评:这类不等式的解法是高考的热点．

（1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：

①求零点；②划区间、去绝对值；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果

的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．

(2）用图象法,数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观,是一种较好的方法.

变式训练1已知函数f(ｘ)=|x＋1｜+|x-２｜-m.

（１)当m＝５时,求f（x）>0的解集;

（2)若关于x的不等式ｆ(x)≥2的解集是R，求ｍ的取值范围．

解(1)由题设知|x＋1|+|x-2|>5,

不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集:

错误!或错误!或错误!

解得函数ｆ(x)的定义域为(-∞，-2)∪(３，+∞)．

（2)不等式f(x)≥2即｜x＋1|＋|x-2｜＞m＋２,

∵x∈Ｒ时,恒有|ｘ＋1|+|x-2|≥|(ｘ+1)－（x－2)|=3,

不等式|x＋1|+|ｘ－２|≥ｍ+2解集是Ｒ,

∴ｍ＋２≤３，ｍ的取值范围是（－∞，1]．

题型二不等式的证明

例2已知函数f(ｘ)=ｍ－|ｘ－2|，m∈R,且f（x＋2）≥0的解集为[-1,1]．(1）求m的值;

(2）若a，b,c∈R＋,且错误!＋错误!＋错误!=m，求证:a+２ｂ+３ｃ≥９.

审题破题(１)从解不等式ｆ(x+2)≥0出发,将解集和[-1，1]对照求ｍ；(2）利用柯西不等式证明．

(1)解因为ｆ(x+2）=m-|x|,

f(x＋2)≥0等价于|x｜≤m.

由｜ｘ|≤ｍ有解,得m≥0，且其解集为｛ｘ|-m≤x≤m｝.

又ｆ（x+2)≥0的解集为[-1，1],故ｍ=１.