巧求面积
四年级秋季班第2讲 巧求面积
（2）依次连接正方形四边的中点得到的新正方形是原正方形面积的一半。
（3）平行四边形的两条对角线把平行四边形分成了四个面积相等的三角形（但是这四 个三角形不一定相同） 。
四年级秋季班第二讲——巧求面积
李拉娜
lilana927@hotmail .com
（4） 下图中两个正方形重叠部分面积是正方形 ABCD 面积的 的中心。
平移、旋转：主要通过移动的方法把分散的块集 中到一个规则的图形中。
一、 长方形的性质
（ 1）交叉相乘，乘积相等。
四年级秋季班第二讲——巧求面积
李拉娜
lilana927@hotmail .com
如上图， S 1 S 4
S 2 S 3 ，也就是说，对角的两个长方形面积相乘，乘积相等。
练习 1 如图，长方形 ABCD 被分成 9 个小长方形，其中 5 个小长方形的面积如 图中所标注，求长方形 ABCD 的面积。
把阴影部分做如下的分割：
其中 C 是长为 5 厘米、宽为 2 厘米的长方形，面积为 2 5 10 平方厘米。 A 与 B 的面积之和为 66 10 56 平方厘米。 B 的面积=2×正方形边长，A 的面积=5×正方形边长。 如果把 B 的面积看成 2 份，则 A 的面积就是 5 份，A 与 B 的面积之和是 7 份，1 份就是 56 7 8 平方厘米。 那么 B 的面积就是 2 8 16 平方厘米，正方形的边长为 16 2 8 厘米。原长方形 的长为 8 5 13 厘米，宽为 8 2 10 厘米。 原长方形的面积为 13 10 130 平方厘米。 练习 3 （第 12 届“迎春杯”刊赛试题）街心花园里有一个正方形的花坛，四 周有一条宽为 1 米的甬道（如图） ，如果甬道的面积是 12 平方米，那么中间的 花坛面积是多少平方米？
四年级秋季第五讲《巧求面积》(一)
7. 水池的面积是 8 3 24 ，铺完之后水池加上地砖的面积是 176 16 11 ．由于每铺一圈 都会是边长增加 2 ，所以铺了 8 2 4 (圈)． 8. 通过对图形进行分割， 可以发现 C 的长与宽分别是 5cm 和 2cm ， 则它的面积是 5 2 10 2 2 ( cm )，那么 A B 的面积是 31 10 21 ( cm )，如给 B 移到 A 的旁边，则知正方形的 边长：( cm )，正方形的面积是 3 3 9 ( cm2 )，原长方形的面积是 31 9 40 ( cm2 )．
图1
图2
图3
2. 方法一：如果求出长方形的宽及正方形的边长，则图形 ABEFGD 的周长和面积可以求 出．而正方形的边长 GC DC DG AB DG 10 4 6 (厘米)，长方形的 宽 BE CE 10 6 4 (厘米)， 所求图形的周长 10 2 6 2 4 4 40 (厘 米)，面积 S长方形ABCD S正方形CEFG 10 4 6 6 76 (平方厘米) 方法二：可以将线段 GF 、 DG 向外平移，得一个新的图形 ABEH ，因为 DG HF ， 所以图形 ABEH 的周长就是图形 ABEFGD 的周长． 而 AB BE 10 GF DH ， (厘米)，所以图形 ABEH 是边长为 10 厘米的正方形．所求图形的周长 正方形 ABEH 的周长 10 4 40 (厘米)， 面积 S正方形ABEH S长方形DGFH 10 10 6 4 76 (平方厘米)
A D 4 10
H F E
G
C
B
10
3. 方法一：可以直接求出每小块菜地的长和宽，从而求出每小块菜地的面积； 每一块地的面积是：（ [ 16 2） 2] （ [ 8 2） 2] 7 3 21 (平方米) 方法二：也可以求出这块地的总面积，再减去道路的面积，然后把剩余的面积四等分求 出每小块菜地的面积；每一块地的面积是： [16 8 （2 16 8 2 2 2） ]4 （ 128 44） 4 21 (平方米) 4. 根据题意，可以用下图表示增减变化的情况，从图中可以看出，原来长方形的长为 (2720 680) (60 50) 340 (米)，宽为 680 340 50 52 (米)．
巧算面积的七种方法
巧算面积的七种方法
《巧算面积的七种方法》
１、古典梯形法
众所周知，梯形是以一条垂线为分界，两个直角边在一边，二个钝角边在另一边的四边形，面积的计算方法是将梯形分成两个三角形，用三角形的公式即可，即A = 1/2 (a + b) * h，其中a、b分别为梯形的底边长度，h为梯形的高。
2、测量法
测量法是最简单有效的面积计算方法，只要将物体边缘分别测量出来，然后将测量出来的尺寸记录下来，最后求和就可以得出物体的面积。
3、尺规法
尺规法也是一种常用的面积计算方法，其具体操作为：使用尺规将物体边界轮廓放大或缩小到尺规上，根据尺规刻度记录出轮廓的长度就可以计算出面积了。
4、数学方法
如果地面的图形符合一定的数学方程，例如椭圆、抛物线等，那么可以通过数学方法，借助积分的方式计算出面积。
例如，用积分计算椭圆面积的公式为A = 3/2 * pi * a * b，其中a、b分别为椭圆的短半轴和长半轴长度。
5、立体几何法
立体几何法是一种非常神奇、有效的面积计算方法。
它依据立体几何的几何关系建立模型，根据立体几何的有关定律解出问题的求解方法，这种方法十分的有效。
6、计算机技术法
随着科技的发展，计算机技术也发展得很快，许多计算机软件已经可以非常方便地计算出地面物体的面积了，主要是根据空间几何关系来计算，所以很精确，而且快速。
7、三点定标法
三点定标法是一种利用GPS技术测量工程地物面积的方法，其原理是将地物内部三点定向，并记下该三点之间的距离，最后将距离相乘即可得出地物的面积。
总结
以上就是常用的七种面积计算方法，不仅效率高，而且精确度也非常高，它们可以满足各种不同的地物测量需求，获得更准确更有效的结果。
奥数-巧求面积
第一讲：巧求面积一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了（如图）。
二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可（如图）。
例.一个正方形，如果把它的相邻两边都增加6厘米，就可以得到一个新正方形，新正方形的面积比原正方形大120平方厘米．求原正方形的面积？三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它是一个底2，高4的三角形，就可以直接求面积了（如图）。
例.如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD ，长方形 ABCD的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是．四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了（如图）。
例.已知大正方形边长是7厘米，小正方形边长5厘米，求阴影部分的面积。
五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便（如图）。
六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半（如图）.例.求阴影部分的面积。
第四讲巧算面积
第四讲巧算面积计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积=yx宽，正方形的面积=边长X边长。
利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。
在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧。
因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。
例如，对左下图，我们无法直接求出它的面积，但是通过将它分割成几块，其中每一块都是正方形或长方形（见右下图），分别计算出各块面积再求和，就得出整个图形的面积。
或例1 把一张长为4米，宽为3米的长方形木板，剪成一个面积最大的正方形。
这个正方形木板的面积是多少平方米举一反三将一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸片剪成一个面积最大的正方形，那么剪下的另一个小长方形的面积是多少例2 求下面图形的面积。
（单位：厘米）132举一反三计算下面图形的面积。
（单位：厘米）2⑵3020315例3 有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米。
如果把它们按下图叠放，这个图形的面积是多少举一反三求下图中阴影部分的面积。
（单位：分米）7例4 一个长方形若长增加2厘米，面积就增加10平方厘米，若宽减少3厘米，面积就减少18平方厘米。
求原来长方形的面积。
举一反三一个长方形，若长减少5厘米，面积就减少50平方厘米，若宽增加7厘米，面积就增加28平方厘米。
原来长方形的面积是多少平方厘米例5 右图为一个长50米、宽25米的标准游泳池。
它的四周铺设了宽2米的白瓷地砖（阴影部分）。
求游泳池面积和地砖面积。
举一反三有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少例6 一个边长为10米的正方形花坛，依次连接四边中点得到一个小正方形的喷泉，求小正方形喷泉的面积。
<1例7 一个长方形，如果宽增加2厘米，或长增加3厘米，他们的面积都增加120平方厘米，原来长方形的面积是多少举一反三 有一个长方形，如果宽不变，长增加 4米，面积就增加24平方米, 如果长不变，宽增加3米，面积就增加36平方米，求原来长方形的面积。
第二讲(巧求面积)
第二讲 巧求面积一、常用面积公式二、剪拼及构造思想很多题往往不能直接用公式算出来，这时应灵活思考，把原图尽量剪拼或构造成比较容易算的图形。
（该能力的培养及熟练掌握需要同学们大量练题） 1、割补：把不规则的剪拼为规则的、好算的。
2、容斥（重叠原理）：若在计算中出现重叠的情况，把多算的减出去即可。
例1 如图，一张长方形纸片，长7厘米，宽5厘米， 把它的右上角往下折叠，再把左下角往上折叠，未盖 住的阴影部分的面积是多少平方厘米？解析：本题的隐藏条件，右边及左下方均为正方形。
法一：阴影部分为长方形，尝试找它的长与宽长：7-5=2（CM） 宽：5-2=3（CM） 面积：3×2=6（CM 2）法二：阴影部分包含于大长方形中，可用大长方形的面积-两个正方形的面积大长方形面积：7×5=35（CM 2）两正方形面积：5×5+（7-5）×（7-5）=29（CM 2）阴影面积：35-29=6（CM 2）例2 一块长方形草坪（图中阴影部分）长是宽的2倍， 它的四周围是总面积为34平方米的1米宽的小路，求 草坪的面积是多少平方米？解析：面积已知的小路形状并不规则，我们可以先把它切割为规则的图形，如右图4个角都是边长为1米的正方形，其余是4个宽为1的长方形。
且A=2B34-4=30（M 2） ……减去4个角的面积30÷3=10（M 2）……2个B 合起来是1个A 的面积，一共就是3个A 的面积，所以÷3 草坪的长10÷1=10（M） 宽:10÷2=5（M）面积：10×5=50（M 2）S=abAA B B例3 一块长方形铁板，长15分米，宽12分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米？（图略）法一：将减少的部分切割为两个规则的长方形，求其面积和。
算式略法二：用大长方形面积减去小长方形面积就是所求面积大长方形：15×12=180（DM2）小长方形：（15-2）×（12-2）=130（DM2）减少的面积：180-130=50（DM2）例4 如图所示，外侧大正方形的边长是10cm，在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形，阴影总面积为26cm2，最小的正方形的边长为多少厘米？解析：观察本图是一对称图形，阴影部分的面积不易一一求得，那就利用剪拼，将它们拼补在一块。
方法技巧练——巧求面积
方法技巧练——巧求面积相加法：将不规则图形分解,转化成几个基本规则图形,分别计算它们的面积,然后相加,求出整个图形的面积。
1.计算下面图形的面积。
(单位:厘米)相减法:将所求的不规则图形的面积看成是多个基本规则图形的面积之差。
2.计算下面图形的面积。
(单位:厘米)平移法:将图中某一部分平行移动到一个恰当的位置,使之组成一个新的基本规则图形。
3.如下图,正方形的边长是11米,中间长方形的宽为1米。
求图中阴影部分的面积。
4.有一块菜地,如下图,长43米,宽29米。
菜地中间留有宽1米的小路,把菜地平均分成四块,每块的面积是多少平方米?答案1.方法一:18×15=270(平方厘米) (40-15)×35=875(平方厘米)270+875=1145(平方厘米) 方法二:40×18=720(平方厘米)(40-15)×(35-18)=25×17=425(平方厘米) 720+425=1145(平方厘米)2.36×20=720(平方厘米) 18×4=72(平方厘米) 720-72=648(平方厘米)3.11×11=121(平方米) 11×1×2-1×1=22-1=21(平方米) 121-21=100(平方米)[提示:本题也可以将中间长方形平移到正方形的边上,用正方形面积减去空白长方形面积等于阴影部分面积,如右图。
] 4.43×29=1247(平方米) 43×1+29×1=72(平方米) 1247-72+1=1176(平方米) 1176÷4=294(平方米)。
小学六年级奥数课件：巧求面积
例7. 如图，已知长方形ABCD的面积是54平方厘
米，BE=2AE，CF=2BF，则四边形ACFE的面
积是多少平方厘米？
A
E
B
F
D
C
解析
S△ABC=54÷ 2=27
连接CE。因为AE:EB=1：2，所以：S△ACE:S△BCE=1：2，
S△ACE=27÷ 3=9(平方厘米),S△BCE=27-9=18(平方厘米)
S△BPC的=S△BCE÷ 2=16（平方厘米） S△CDE=8× 4÷ 2=16（平方厘米） S△PDC 的面积=S△CDE÷ 2=8（平方厘米）
S阴=S正÷2-16-8=8（平方厘米）
例6.如图△ABC是一个等腰直角三角形，AB=BC=10，求图中阴 影部分的面积。（单位：分米）
解析
我们做辅助线。做AE垂直AB,EC平行AB,得到正 方形ABCE。 S半圆=5× 5× 3.14÷ 2=39.25（平方厘米） S正=10× 10=100（平方厘米） S△ADE=10× 15÷ 2=75（平方厘米） S阴=（39.25+100-75）÷2=32.125（平方厘米）
D
F
E
G
C
例4.在三角形ABC中，三角形AEO的面积是1，三角形ABO面积 是2，三角形BOD的面积是3，则四边形DCEO的面积是多少？
解析
连接OC，把DCEO分成两个三角形ECO和DCO 设ECO面积为x，DCO面积为y 由条件知，EO：OB＝1：2， AO：OD＝2：3
A E
则（AEO+ECO）:DCO＝2 :3
O
ECO：（DCO+BOD）＝1:2
即： x：(y+3)=1：2
B
C
四年级巧求面积
1、一个长方形，如果宽不变，长增加6米，那么它的面积增加54平方米；如果长不变，宽减少3米，那么它的面积减少36平方米。
这个长方形原来的面积是多少平方米？
2、一块正方形的钢板，先截去宽5分米的长方形，又截去宽8分米的长方形（如图），面积比原来的正方形减少181平方分米。
原正方形的边长是多少？
3、如下图，六个相同的长方形围成了大小两个正方形，已知小正方形的面积是36平方厘米，则每个小长方形的面积是多少平方厘米？
4、把长方形的长去掉8厘米后，余下的是一个面积49平方厘米的的正方形，原来长方形的面积是多少？
5、一个长50米，宽25米的游泳池，四周铺2米宽的走道，走道的面积是多少平方米？
6、人民路小学操场长90米，宽45米，改造后，长增加10米，宽增加5米。
现在操场面积比原来增加多少平方米？
7、一个养禽专业户用一段长16米的篱笆围成一条边长是6厘米的长方形养鸡场，求占地面积有多大。
8、一块正方形的钢板，先截去宽5分米的长方形，又截去宽8分米的长方形（如下图），面积比原来的正方形减少181平方分米，原正方形的边长是多少？
9、一块正方形的玻璃，长和宽都截去8厘米后，剩下的正方形比原来少448平方厘米，这块正方形玻璃原来的面积是多大？。
巧求面积-平移旋转
旋转是指图形绕某一固定点转动一定 的角度，旋转过程中图形的每一点都 绕该固定点做圆周运动。
02 图形平移与旋转后的面积 变化
图形平移后的面积变化
图形平移不改变面积
图形在平面内沿某一方向进行 平移时，其形状和大小不会发 生变化，因此面积也不会改变
。
平行四边形平移
平行四边形沿其一边进行平移 时，面积保持不变。
巧求面积-平移旋转
contents
目录
• 平移与旋转的基本概念 • 图形平移与旋转后的面积变化 • 利用平移与旋转求面积的策略 • 经典例题解析 • 练习题与答案
01 平移与旋转的基本概念
平移的定义与性质
定义
平移是将图形沿某一方向移动一 定的距离，而不改变其形状和大 小。
性质
平移不改变图形的形状、大小和 方向，只改变图形的位置。平移 后，图形与原图形是全等的。
02
例如：求圆心角为90度的扇形所 夹的弓形面积。可以将扇形旋转 90度，将弓形变为等腰直角三角 形，再利用三角形面积公式计算 。
平移与旋转结合例题解析
平移与旋转结合法求面积的原理是通过将图形进行平移和旋 转，使其成为规则图形，从而利用公式计算面积。
例如：求一个正方形内部被切去一个角后所形成的图形的面 积。可以将切去的角向下平移并旋转90度，将不规则图形变 为等腰梯形，再利用梯形面积公式计算。
05 练习题与答案
平移练习题与答案
题目：一个平行四边形经 过平移后，它的一个顶点A 移动到点A'，其对应点之 间的距离是2cm，那么原 平行四边形的一个边长增 加了多少cm。
答案：2cm
题目：一个三角形经过平 移后，它的一个顶点P移动 到点P'，其对应点之间的 距离是3cm，那么原三角 形的一个边长增加了多少 cm。
【第01讲】三年级几何巧求面积教师版
知识要点简单求面积【例 1】 4个相同的长方形和一个小正方形拼成一个面积是100平方厘米的大正方形，已知小正方形的面积是36平方厘米，问长方形的长和宽各是多少厘米？【分析】 1001010=⨯，3666=⨯，大正方形的边长为10厘米，小正方形的边长为6厘米，长方形的宽为：(106)22-÷=（厘米），长为：628+=（厘米）【例 2】 如图，一张长方形纸片，长7厘米，宽5厘米.把它的右上角往下折叠，再把左下角往上折叠，未盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米？5【分析】 阴影部分的宽是752-= (厘米)，长是523-= (厘米)，面积是236⨯= (平方厘米).【例 3】 一个长方形周长是80厘米，它是由3个完全相同的小正方形拼成的，那么每个小正方形的面积是多少平方厘米？【分析】 小正方形的边长：80810÷=厘米，每个小正方形的面积：1010100⨯=平方厘米。
巧求面积面积增减【例 4】 一块长方形铁板，长15分米，宽l2分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米?【分析】 如图，铁板面积比原来减少多少平方分米，就是求阴影部分的面积，用原长方形的面积减去空白部分的面积.1512(152)(122)⨯--⨯-=180130- =50(平方分米)1512【例 5】 一块长方形地长是80米，宽是45米，如果把宽增加5米，要使原来的面积不变，长应减少多少米?【分析】 808045(455)8-⨯÷+= (米).【例 6】 人民路小学操场原来长80米，宽55米，改造后长增加20米，宽减少5米.现在操场的面积比原来增加多少?【分析】 (8020)(555)8055600+⨯--⨯= (平方米).【例 7】 有一个长方形菜园，如果把宽改成50米，长不变，那么它的面积减少680平方米，如果使宽为60米，长不变，那么它的面积比原来增加2720平方米，原来的长和宽各是多少米?【分析】 根据题意，可以用下图表示增减变化的情况，从图中可以看出，原来长方形的长为(2720680)(6050)340+÷-= (米)，宽为6803405052÷+= (米)。
四年级《巧求面积》奥数教案
师：今天的知识，都比较有挑战性。
消磨光你们的耐心了吗？生：没有。
师：看来大家意志都很坚定嘛。
那我们接着看一下更难理解的例题四吧。
给你们两分钟时间读题，然后跟同桌之间讨论讨论，思考一下如何解决这个问题。
师：想好了吗？生：想好了。
师：那哪组派个代表来说说自己的发现。
生1：长方形游泳池的面积是50乘以25等于1250平方米。
师：对吗？生：对。
师：没错，因为由题意我们可以知道游泳池的长和宽分别是50米和25米。
所以就很容易求出游泳池的面积。
师：那还有那个小组愿意说说自己的成果？生2：可以把白瓷砖的部分分成4个小长方形。
师：那可以怎么分呢？生：横着分也可以，竖着分也可以。
师：很好，那我们就先横着分。
【课件演示分割动画。
】师：这样的话，我们可以发现红色的这两个长方形面积怎么求？生2：50乘以2。
师：这样求出来的是几个小长方形的面积？生2：一个。
师：所以要再……生2：乘以2 。
师：没错，请坐。
这样我们就求出了红色的两个小长方形的面积，还剩两个小长方形呢。
怎么办？生：25加上4在乘以2。
师：为什么25要加上4？生：因为这两个长方形的两头都比游泳池的宽长2米，就是总共长4米了。
师：听懂了吗？生：听懂了。
师：没错，解释得非常到位。
【课件演示竖向的两个长方形的面积求解过程。
】师：刚刚我们是纵向的分割白瓷砖，先在我们还可以……生：横向的分割。
师：没错，现在请你们自己写在课堂练习本上吧。
【教师下台巡视。
然后讲解解题过程。
】师：我们刚刚了解两种分割方法，如果我们不分割的话，该怎么求？生：用大的减去小的。
师：大的指什么？小的指什么？生：大的指白瓷砖包括游泳池的面积。
师：这个大的长宽分别是多少？生：50加4和25加4。
师：没错，所以我们就可以求出大的长方形面积是1566平方米。
师：那刚刚说的小的面积是指什么？生：是指游泳池的面积。
【课件演示方法三的解题动画。
】师：没错，所以，我们只要把大的面积减去小的面积，就可以得到白色瓷砖的面积了。
第四讲巧算面积(可编辑修改word版)
第四讲巧算面积计算长方形、正方形的面积，知道长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。
利用这些知识我们能解决许多有关面积的问题。
在解答比较复杂的关于长方形、正方形的面积计算的问题时，生搬硬套公式往往不能奏效，可以添加辅助线或运用割补、转化等解题技巧。
因此，敏锐的观察力和灵活的思维在解题中十分重要。
例如，对左下图，我们无法直接求出它的面积，但是通过将它分割成几块，其中每一块都是正方形或长方形(见右下图)，分别计算出各块面积再求和，就得出整个图形的面积。
例1 把一张长为4 米，宽为3 米的长方形木板，剪成一个面积最大的正方形。
这个正方形木板的面积是多少平方米？举一反三将一张长10 厘米、宽8 厘米的长方形纸片剪成一个面积最大的正方形，那么剪下的另一个小长方形的面积是多少？例2 求下面图形的面积。
（单位：厘米）132举一反三计算下面图形的面积。
（单位：厘米）40 (1)2(2)303 154202 1 1例3 有两个相同的长方形，长是8 厘米，宽是3 厘米。
如果把它们按下图叠放，这个图形的面积是多少？举一反三求下图中阴影部分的面积。
（单位：分米）例4 一个长方形若长增加2 厘米，面积就增加10 平方厘米，若宽减少3 厘米，面积就减少18 平方厘米。
求原来长方形的面积。
举一反三一个长方形，若长减少5 厘米，面积就减少50 平方厘米，若宽增加7 厘米，面积就增加 28 平方厘米。
原来长方形的面积是多少平方厘米？例5 右图为一个长50 米、宽25 米的标准游泳池。
它的四周铺设了宽2 米的白瓷地砖(阴影部分)。
求游泳池面积和地砖面积。
举一反三有一块菜地长 16 米，宽 8 米，菜地中间留了宽 2 米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？例6 一个边长为10 米的正方形花坛，依次连接四边中点得到一个小正方形的喷泉，求小正方形喷泉的面积。
例7 一个长方形，如果宽增加2 厘米，或长增加3 厘米，他们的面积都增加120 平方厘米，原来长方形的面积是多少？举一反三有一个长方形，如果宽不变，长增加 4 米，面积就增加 24 平方米，84 4 88 8如果长不变，宽增加 3 米，面积就增加 36 平方米，求原来长方形的面积。
三年级奥数《巧求面积》练习题
第十一讲巧求面积（必做与选做）1.从一张长7厘米，宽4厘米的纸中剪出一个最大的正方形，这个正方形的面积是（）。
A. 28平方厘米B. 22平方厘米C. 16平方厘米D. 12平方厘米解析：从一个长方形中剪出一个最大的正方形，就是用长方形的宽作为正方形的边长，所以长7厘米，宽4厘米的长方形剪出的最大的正方形的边长是4厘米，所以这个正方形的面积是4×4=16（平方厘米），所以选C。
2.从一张长为30厘米，宽为20厘米的长方形彩纸中剪去一个最大的正方形后，剩下的彩纸的面积是（）平方分米。
A. 2B. 200C. 400D. 600解析：从一个长方形中剪出一个最大的正方形，就是用长方形的宽作为正方形的边长，所以长30厘米，宽20厘米的彩纸剪出的最大的正方形的边长是20厘米，所以剩下的小长方形的长是20厘米，宽是30-20=10（厘米），所以小长方形的面积是20×10=200（平方厘米）=2（平方分米），这里一定要注意单位，所以选A。
3.将一个边长为5厘米的正方形和一个长为5厘米，宽为3厘米的长方形拼成一个新的长方形，这个新长方形的面积是（）。
A. 15平方厘米B. 25平方厘米C. 40平方厘米D. 75平方厘米解析：仔细审题可以发现小长方形的长和正方形的边长一样长，所以可以拼在一起，这时拼成的大长方形的长就是5+3=8（厘米），宽还是5厘米。
新长方形的面积就是8×5=40（平方厘米），所以选C。
4.一块长7米，宽3米的长方形草地的面积跟周长相等的正方形草地的面积相比，（）面积大，大（）。
A. 正方形，4米B. 正方形，4平方米C. 长方形，5米D. 长方形，5平方米解析：题目中涉及到周长，我们可以先算出长方形的周长是（7+3）×2=20（米），也就是正方形的周长也是20米，所以正方形的边长是20÷4=5（米），所以正方形草地的面积是5×5=25（平方米），而长方形草地的面积是7×3=21（平方米）。
巧求面积
在我们日常生活及生产实践中，常会遇到求一个平面图形的面积问题．有些简单的图形，比如长方形（包括正方形）、三角形、平行四边形、梯形、圆，这些图形的面积可直接用公式求出，但还存在着许多巧求面积的问题，下面看一些例题．例1 两块等腰直角三角板，如图7—1那样重合，试求重合部分（即阴影部分）的面积（单位：厘米）．分析：已知△abc、△bde是等腰直角三角形，所以∠ebc=45°，∠acb=45°，由此得出∠bfc=180°-45°-45°=90°，所以△bfc是等腰直角三角形，它的面积恰好等于△abc的面积的一半．△abc的面积容易求出，阴影部分的面积用△bfc的面积减去△dcg的面积，由于∠edb=90°，∠acb=45°，所以△gdc是等腰直角三角形，很容易求出△gdc的面积，因此问题得以解决．解：s△abc=ab ×bc÷2=10×10÷2=50（平方厘米）s△bfc=s△abc÷2=50÷2=25（平方厘米）s△dgc=4×4÷2=8（平方厘米）∴s阴影部分=s△bfc-s△dgc=25-8=17（平方厘米）答：阴影部分的面积是17平方厘米．例2 边长分别为10厘米、8厘米和4厘米的三块正方形纸片放在桌面上，如图7—2，它们盖住的面积是多少平方厘米？分析：桌面被盖住的部分是一个不规则的图形，直接求无法求，分割成规则图形再去求比较麻烦．如果将这三个正方形面积求和，必然多算了它们的重叠部分，多算的部分恰好是这三个正方形两两重叠的部分，只需将多算的减去．由于两两重叠部分里有一个边长为2的小正方形减去了3次，显然是多减了2次，需要再加上多减的2次，即可求出被盖住的面积．解：（1）三个正方形的面积之和10×10＋8×8＋4×4=180（平方厘米）（2）两两重叠部分的面积之和5×5＋4×2+4×2=41（平方厘米）（3）三个正方形重叠的部分的面积2×2=4（平方厘米）（4）它们盖住的面积180-41＋2×4=147（平方厘米）答：它们盖住的面积为147平方厘米．例3 图7—3，长方形aecd中，ad=10厘米，cd=12厘米．b在ae的延长线上，bd交ce于f，△cfb的面积为24平方厘米，求△feb的面积等于多少平方厘米？分析：要想求△feb的面积，只需求出eb、ef的长．由已知ad=10厘米，cd=12厘米，可以求出△dcb的面积，因为dc是△dcb的底边，ce是这条底边上的高线，且ce=ad=10厘米，s△dcb=12×10÷2=60平方厘米；又因为s△cfb=24平方厘米；所以s△dcf=s△dcb-s△cfb=60-24=36平方厘米；又由于s△dcb＝dc×cf÷2，这样可以求出cf的长，于是很容易得出ef的长；在△cfb中，底边cf上的高线为eb，由s△cfb=cf×eb÷2=24平方厘米，又可求出eb的长，于是问题也就得到了解决．解：s△bcd=dc×ec÷2=12×10÷2=60（平方厘米）s△dcf=s△dbc-s△cfb=60－24=36（平方厘米）又因为s△dcf=dc×cf÷2所以12×cf÷2=36cf=36×2÷12=6（厘米）ef＝ce—cf＝10—6=4（厘米）又由s△bcf=cf×eb÷2所以6×eb÷2=24eb=24×2÷6=8（厘米）s△efb=ef×eb÷2=4×8÷2=16（平方厘米）答：△efb的面积是16平方厘米．例4 梯形abcd中（如图7—4），△abe的面积等于30平方厘米，ec的长是ae长的2倍，梯形abcd的面积是多少平方厘米？分析：因为ec的长是ae长的2倍，取ec的中点为f，连结bf、df，如图7—5，那么△abe、△ebf、△fbc是等底、等高，所以它们的面积相等．于是可以求出△abc的面积．又因为△abc与△dbc有公共的底边bc，相同的高即梯形的高，所以，它们的面积相等，它们的面积分别减去公共△bec的面积，结果仍应该相等，也就是说，△abe的面积等于△dec的面积，是30平方厘米．又由ec是ae的2倍知，△aed的面积是△dec的面积的一半．至此，很容易求出梯形的面积．解：因为ec=2ae，取ec的中点f，连结bf、df．有s△abc=3s△abe=3×30=90（平方厘米）又因为s△abc=s△dbc所以s△abc-s△ebc=s△dbc-s△ebc即s△abe=s△dec=30（平方厘米）而s △aed=sdec÷2=30÷2=15（平方厘米）所以梯形abcd的面积是90＋15＋30=135（平方厘米）答：梯形abcd的面积为135平方厘米．例5 在△abc中，如图7—6，ab=3ad，ac=3cg， be=ef=fc，且△fcg的面积为1平方厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？分析：直接求阴影部分的面积不容易求，如果根据已知能求出△abc的面积及三个空白三角形的面积，就可以求出阴影部分的面积．因为be=ef=fc，连结ae、af，△abe、△aef、△afc是等底（be=ef=fc）、等高的三角形，所以它们的面积相等．又因为ac=3cg，在△afc、△gfc中，底边ac=3gc，高相等，所以△afc的面积是△gfc的面积的3倍，由s△fcg=1平方厘米，s△afc=1×3=3平方厘米，容易求出s△abc=3s△afc=3×3=9平方厘米．高相等．于是求出s△adg，这样可以求出阴影部分的面积．解：连结ae、af、dc，如图7—7．因为ac=3cg，在△afc、△gfc 中，s△afc=3s△gfc=3×1=3（平方厘米）在△abe、△aef、△afc中，因为be=ef=fc，它们的高相等，所以s△abe=s△aef=s△afc=3（平方厘米）s△abc=3s△afc=3×3=9（平方厘米）所以所以阴影部分的面积为s△abc-s△dbe-s△adg-s△gfc=9-2-2-1=4（平方厘米）答：阴影部分的面积为4平方厘米．在巧求图形的面积时，注意寻找图形中的内在联系，特别是要注意观察图形中是否存在以下几种关系：等底等高，同底等高，等底同高，同底同高；以便合理运用面积公式．在求不规则图形的面积时，可以将图形进行适当的分割，转化成规则图形的面积进行计算．。
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【知识梳理】
本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力。
1、面积公式：
长方形的面积=长⨯宽
正方形的面积=边长⨯边长
2、把不规则图形转化为规则图形的几种方法。
分割：把不规则图形分割成一些可求面积的规则图形。
添补：添上一个规则图形或者与所求图形有数量关系的图形，使原图形变为可求面积的规则图形。
平移、旋转:主要通过移动的方法把分散的块集中到一个规则的图形中。
【例题讲解】
例1、你有什么好的方法计算所给图形的面积呢？(单位：厘米)
4
9
9
3例2、这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20 厘米．问，此楼梯截面的面积是多少？
例3、有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？
例4、下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.
例5、一块长方形铁板，长15分米，宽12分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米？
例6、一个边长为20厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个正方形．求第五个正方形的面积？
【课堂巩固】
1、求图中五边形的面积。
6
45
3
2、如图是一个楼梯的截面图，每级台阶的宽和高都是20厘米．这楼梯的截面积是多少平方厘米？
3、两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.
F
B
A
4、 一个正方形，如果把它的相邻两边都增加6厘米，就可以得到一个新正方形，新正方形 的面积比原正方形大120平方厘米．求原正方形的面积？
6
5、 如图是由5个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形(阴影部分)的周长是
8，
那么最大的正方形的边长是 ．
第6题
【课后练习】
1、 如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米)
3020
3040
2、 如右图所示，图中的ABEFGD 是由一个长方形ABCD 及一个正方形CEFG 拼成的，线段
的长度如图所示(单位：厘米)，求ABEFGD 的周长和面积．
3、四个完全相同的长方形拼成右图，大正方形的面积是l00平方分米，小正方形的面积是
l6平方分米，求每个长方形的面积是多少？长方形的短边是多少分米？
16
4、有一个边长为16厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中
点构成第三个正方形，第四个正方形．求图中阴影部分的面积？。