比例线段的证明课件

பைடு நூலகம்
三、等比代换法
6．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，
AD⊥BC于点D，点E为AC的中点，ED的延
长线交AB的延长线于点F.求证：AB·AF＝ AC·DF.
解：证明：∵∠BAC＝90° ，AD⊥BC 于点 D，∴∠ADB＝∠BAC AB BD ＝90° ， ∠ABD＝∠ABD， ∴△ABC∽△DBA， ∴ ＝ ， ∠BAD AC AD ＋∠DAC＝∠C＋∠DAC＝90° ，∴∠BAD＝∠C，∠ADC＝90° ， 点 E 为 AC 的中点， ∴DE＝EC， ∴∠C＝∠EDC＝∠BDF， ∴∠BDF ＝∠FAD，在△FBD 和△FDA 中，∠F＝∠F，∠BDF＝∠ FAD， BD DF AB DF ∴△FBD∽△FDA，∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴AB· AF＝AC· DF AD AF AC AF
专题(十二)
比例线段的证明
一、三点定型法
1．如图，▱ ABCD 中，点 E 是 AB 延长线上的一点，DE DC CF 交 BC 于点 F，求证： ＝ AE AD
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴DC∥AB，∠C ＝∠A， ∴∠CDF＝∠E， ∴△CDF∽△AED， ∴ DC CF ＝ AE AD
3．如图，在 Rt△ABC 中，AD 是斜边 BC 上的高，∠B 的平 BF AB 分线 BE 交 AC 于点 E，交 AD 于点 F.求证： ＝ . BE BC 解：∵∠BAC＝90° ，AD⊥BC，∴∠BAD＋
∠CAD＝90° ， ∠C＋∠DAC＝90° ， ∴∠BAD ＝∠C，又∠AFE＝∠BAF＋∠ABF，∠AEB ＝∠EBC＋∠C， ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABF ＝∠EBC ，∴∠AFE ＝∠AEF ，∴∠AFB ＝ ∠BEC ，在△ABF 与△CBE 中，∠BAF＝ ∠C，∠AFB＝∠CEB，∴△ABF∽△CBE， BF AB ∴ ＝ BE BC
二、等线段代换法
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上， CE交AD于点F，∠ECA＝∠D.求证：AC·BE＝CE·AD.
解： 证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B ＝ ∠D ， AD ＝ BC ， 在 △ACE 和 △CBE 中，∵∠ACE ＝∠D ＝∠B ，∠E AC BC ＝∠E， ∴△ACE∽△CBE， ∴ ＝ ＝ CE BE AD ，∴AC· BE＝AD· CE BE
5．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，点P 是AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC 于点E，交CF于点F.求证：BP2＝PE·PF.
解：连接 CP，∵AB＝AC，AD 是中线，∴∠BAP＝∠CAP， 在△ABP 与△ACP 中，AB＝AC，∠BAP＝∠CAP，AP＝ AP ，∴△ABP≌△ACP ，∴∠ABP ＝∠ACP ，BP ＝CP ，又 CF∥AB ，∴∠ABP ＝∠F ，∴∠ECP ＝∠F ，在△PEC 与 △PCF 中， ∠EPC＝∠CPF， ∠PCA＝∠F， ∴△PEC∽△PCF， CP PF ∴ ＝ ∴CP2＝PE· PF，即 BP2＝PE· PF PE CP
2．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，点M是BC的中点，
DM⊥BC交CA的延长线于点D，交AB于点E.求证：AM2＝
MD·ME.
解： ∵∠DEA＝∠BEM， DM⊥BC， ∴∠BME ＝∠DAE＝ 90° ，∴∠D ＝∠B，∵点 M 为 BC 的中点，∴AM＝BM，∴∠B＝∠BAM， ∴∠BAM＝∠D，在△MEA 与△MAD 中， ∠EMA ＝ ∠AMD ， ∠BAM ＝ ∠D ， AM ME ∴△MEA∽△MAD ，∴ ＝ ，∴AM2 MD AM ＝MD· ME