比例线段的证明课件
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三、等比代换法
6.如图,△ABC中,∠BAC=90°,
AD⊥BC于点D,点E为AC的中点,ED的延
长线交AB的延长线于点F.求证:AB·AF= AC·DF.
解:证明:∵∠BAC=90° ,AD⊥BC 于点 D,∴∠ADB=∠BAC AB BD =90° , ∠ABD=∠ABD, ∴△ABC∽△DBA, ∴ = , ∠BAD AC AD +∠DAC=∠C+∠DAC=90° ,∴∠BAD=∠C,∠ADC=90° , 点 E 为 AC 的中点, ∴DE=EC, ∴∠C=∠EDC=∠BDF, ∴∠BDF =∠FAD,在△FBD 和△FDA 中,∠F=∠F,∠BDF=∠ FAD, BD DF AB DF ∴△FBD∽△FDA,∴ = ,∴ = ,∴AB· AF=AC· DF AD AF AC AF
2.如图,△ABC中,∠BAC=90°,点M是BC的中点,
DM⊥BC交CA的延长线于点D,交AB于点E.求证:AM2=
MD·ME.
解: ∵∠DEA=∠BEM, DM⊥BC, ∴∠BME =∠DAE= 90° ,∴∠D =∠B,∵点 M 为 BC 的中点,∴AM=BM,∴∠B=∠BAM, ∴∠BAM=∠D,在△MEA 与△MAD 中, ∠EMA = ∠AMD , ∠BAM = ∠D , AM ME ∴△MEA∽△MAD ,∴ = ,∴AM2 MD AM =MD· ME
5.如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,点P 是AD上一点,过点C作CF∥AB,延长BP交AC 于点E,交CF于点F.求证:BP2=PE·PF.
解:连接 CP,∵AB=AC,AD 是中线,∴∠BAP=∠CAP, 在△ABP 与△ACP 中,AB=AC,∠BAP=∠CAP,AP= AP ,∴△ABP≌△ACP ,∴∠ABP =∠ACP ,BP =CP ,又 CF∥AB ,∴∠ABP =∠F ,∴∠ECP =∠F ,在△PEC 与 △PCF 中, ∠EPC=∠CPF, ∠PCA=∠F, ∴△PEC∽△PCF, CP PF ∴ = ∴CP2=PE· PF,即 BP2=PE· PF PE CP
3.如图,在 Rt△ABC 中,AD 是斜边 BC 上的高,∠B 的平 BF AB 分线 BE 交 AC 于点 E,交 AD 于点 F.求证: = . BE BC 解:∵∠BAC=90° ,AD⊥BC,∴∠BAD+
∠CAD=90° , ∠C+∠DAC=90° , ∴∠BAD =∠C,又∠AFE=∠BAF+∠ABF,∠AEB =∠EBC+∠C, ∵BE 平分∠ABC, ∴∠ABF =∠EBC ,∴∠AFE =∠AEF ,∴∠AFB = ∠BEC ,在△ABF 与△CBE 中,∠BAF= ∠C,∠AFB=∠CEB,∴△ABF∽△CBE, BF AB ∴ = BE BC
二、等线段代换法
4.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在边BA的延长线上, CE交AD于点F,∠ECA=∠D.求证:AC·BE=CE·AD.
解: 证明: ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠B = ∠D , AD = BC , 在 △ACE 和 △CBE 中,∵∠ACE =∠D =∠B ,∠E AC BC =∠E, ∴△ACE∽△CBE, ∴ = = CE BE AD ,∴AC· BE=AD· CE BE
专题(十二)
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比例线段的证明
一、三点定型法
1.如图,▱ ABCD 中,点 E 是 AB 延长线上的一点,DE DC CF 交 BC 于点 F,求证: = AE AD
解:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴DC∥AB,∠C =∠A, ∴∠CDF=∠E, ∴△CDF∽△AED, ∴ DC CF = AE AD