第三章矩阵的运算(1)

注意数乘矩阵与数乘行列式的区别
B 都是 m × n 矩阵， λ , µ 是数) 运算规律(设 A ，
（4） ( λµ ) A = λ ( µ A ) . （5） ( λ + µ ) A = λ A + µ A . （6） λ ( A + B ) = λ A + λ B . （7） 1i A =
A. （8） λ A = 0 当且仅当 λ = 0 或 A = 0 .
求AB, 并问BA是否有意义? ⎛ 6 1 2⎞ 解: ⎛ 2 4 0⎞⎜ ⎟ AB = ⎜ ⎟⎜ 7 2 5⎟ ⎝ 1 0 3⎠ ⎜ ⎟ 3 0 0 ⎝ ⎠
⎛ 40 10 24 ⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 15 1 2 ⎠
显然 BA 无意义
例2
⎛1 2⎞ A=⎜ ⎟ ⎝2 1⎠
求AB，BA
⎛ 2 −3 ⎞ B=⎜ ⎟ ⎝3 1 ⎠
n n −1
二. 特殊矩阵
1. 零矩阵和单位矩阵 元素全是零的矩阵称为零矩阵, 记作O =(0 ) mn
Omn =A mn 性质：① A mn + +O
② Omn A np = Omp 零矩阵在矩阵运算中的作用类似于数0在 算术运算中的作用.
⎛1 ⎜ 0 形如 ⎜ ⎜⋮ ⎜ ⎝0
0 ⋯ 0⎞ ⎟ 1 ⋯ 0⎟ ⋮ ⋮⎟ ⎟ 0 ⋯ 1⎠
⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ y = ⎜ y2 ⎟ , ⎜y ⎟ ⎝ 3⎠
⎛ z1 ⎞ ⎜ ⎟ z = ⎜ z2 ⎟ , ⎜z ⎟ ⎝ 3⎠
则上述两个线性变换可分别写成为 :
x = Ay , y = Bz .
于是 x = A( Bz ) = ( AB ) z . 即
⎛ x1 ⎞ ⎛ 2 0 1 ⎞⎛ −3 1 0 ⎞⎛ z1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ x = − 2 3 2 2 0 1 z 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 4 1 5 ⎟⎜ 0 −1 3 ⎟⎜ z ⎟ ⎝ 3⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ 3 ⎠
由此可规定矩阵的减法为
（1） A + B =
A − B = A + ( −B ) .
2. 数与矩阵相乘 定义2 规定为 数λ 与矩阵 A 的乘积记作λ A 或 Aλ
⎛ λa11 λa12 ⋯ λa1n ⎞ ⎜ ⎟ λ a λ a ⋯ λ a 21 22 2n ⎟ ⎜ λ A = Aλ = ⎜ ⋮ ⋮ ⋮ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ λam1 λam2 ⋯ λamn ⎠
解:
⎛ 1 2 ⎞⎛ 2 −3⎞ ⎛ 8 −1 ⎞ AB = ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎝ 2 1 ⎠⎝ 3 1 ⎠ ⎝ 7 − 5⎠ ⎛ 2 −3 ⎞⎛ 1 2 ⎞ ⎛ −4 1 ⎞ BA = ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟ ⎝ 3 1 ⎠⎝ 2 1 ⎠ ⎝ 5 7 ⎠
显然AB≠BA
总之，一般说来，AB≠BA, 即矩阵的乘法不 满足交换律．不过，在有些情况下，也可能 有AB=BA. 例如：
单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1 在算术乘法中的作用.
⎛ a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn ⎞ ⎜ ⎟ a21 x1 + a22 x2 + ⋯ + a2 n xn ⎟ ⎜ = ⎜ ⎟ ⋮ ⎜ ⎟ ⎝ am1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn ⎠
根据矩阵相等的定义，即知可表示成Ax=b的形式。
例4
设变量
y1 , y2 ,⋯ , ym 均可表示成变量 x1 , x2 ,⋯ , xn 的线性函数，即
A A =A k l kl (A ) = A
k
l
k +l
(k,l均为正整数)
由于矩阵的乘法不满足交换律，所以对于 同阶方阵 A 和 B ，一般说来
( AB) ≠ A B
k
k
k
但是，如果方阵 A 与 B 可交换，即 AB = BA 则
( AB ) = A B
k
k
k
设 f ( x) = a0 x + a1 x
可以表示成
Ax = b
其中A是方程组的系数矩阵
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ x =⎜ ⋮ ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠
⎛ b1 ⎞ ⎜ ⎟ b=⎜ ⋮ ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ m⎠
因为
⎛ a11 ⎜ Ax = ⎜ a21 ⎜ ⋮ ⎜ ⎝ am1
a12 a22 am 2
⋯ a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⋯ a 2 n ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⋮ ⎟⎜ ⋮ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⋯ amn ⎠ ⎝ xn ⎠
求 z1 , z2 , z3 到
x1 , x2 , x3
的线性变换.
解: 上述两个线性变换的系数矩阵分别为
⎛ −3 1 0 ⎞ ⎛ 2 0 1⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜ 2 0 1⎟ A = ⎜ −2 3 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 −1 3 ⎟ ⎜ 4 1 5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
记
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ x = ⎜ x2 ⎟ , ⎜x ⎟ ⎝ 3⎠
⎛ 7 −1⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜3 2 ⎟ ⎜0 5 ⎟ ⎝ ⎠
⎛10 1 ⎞ ⎜ ⎟ 则A + B = ⎜ 4 2 ⎟ ⎜ 7 13 ⎟ ⎝ ⎠
运算规律 （设 A ， B， C 都是 m × n 矩阵）
B + A. （2）( A + B ) + C = A + ( B + C ) . （3） A + (− A) = 0 . 其中 − A = ( − aij ) ， − A 称为矩阵 A 的负矩阵.
这就是由
z1 , z2 , z3 到 x1 , x2 , x3 的线性变换.
4. 方阵的幂 设 A是 n 阶方阵，定义
A =A A =AA
1
2
1
1
⋯ A
k +1
=A A
k
1
其中 k 为正整数 k 显然， A 就是 k 个A 连乘． 只有 A 是方阵时，它的幂才有意义． 由于矩阵的乘法适合结合律， 显然，方阵的幂满足： (1) (2)
⎛ 1 1⎞ A=⎜ ⎟ ⎝ 0 1⎠
⎛ x1 B=⎜ ⎝0
x2 ⎞ ⎟ x1 ⎠
⎛ x1 不难验证： AB = BA = ⎜ ⎝0
x1 + x2 ⎞ ⎟ x1 ⎠
一般地，如果矩阵的乘积与次序无关 , 即 AB=BA, 称矩阵A, B可交换. 矩阵乘法满足结合律和分配律:(假定运 算是可行的) （1）( AB) C =A (BC)
第三章
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矩阵的运算
矩阵运算 特殊矩阵 逆矩阵 分块矩阵 初等矩阵 矩阵的秩
一、矩阵运算
1. 矩阵的加法 定义1 设有两个 m × n 矩阵 A = aij 和 B = bij ，那么矩阵 A 与矩阵 B 的和记作 A + B , 规定为
只有当两个矩阵是同型矩阵时， 这两个矩阵才能进行加法运算.
⎛ 1 1⎞ 例6 设 f ( x) = x + 2 x + 1 , A = ⎜ ⎟, ⎝ 0 1⎠ 求 f ( A) .
n
2
解: f ( A) = An + 2 A2 + E
⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 2 ⎞ 因为 A = AA = ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟, ⎝ 0 1⎠ ⎝ 0 1⎠ ⎝ 0 1 ⎠
k =1 s
并把此乘积记作 C = AB .
矩阵C的第i行第j列的元素cij就是A的第i 行与B的第j列的对应元素乘积之和.
A 的列 注意：只有当第一个矩阵（左矩阵） 数等于第二个矩阵（右矩阵） B 的行数时， 乘积 AB 才是有意义的；并且AB 的行数等 于第一个矩阵A 的行数， AB 的列数等于第 二个矩阵 B 的列数．
⎛ −6 1 3 ⎞⎛ z1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ 12 −4 9 ⎟⎜ z2 ⎟ ⎜ −10 −1 16 ⎟⎜ z ⎟ ⎝ ⎠⎝ 3 ⎠
即
⎧ x1 = − 6 z1 + z2 + 3 z3 ⎪ ⎨ x2 = 12 z1 − 4 z2 + 9 z3 ⎪ x = −10 z − z + 16 z 1 2 3 ⎩ 3
的 n 阶方阵
称为n阶单位矩阵, 记作En (或In),简记作E (或I).
特点： 从左上角到右下角的直线（即主对角线）上的 元素都是1，其它元素都是0，即单位矩阵E的 第i行第j列的元素
⎧1 , δ ij = ⎨ ⎩0 ,
性质：Em Am×n
当i = j 当i ≠ j
= Am×n ,
Am×n En = Am×n .
利用矩阵的乘法和矩阵乘法的结合律，可以 方便地连续施行线性变换．
例5
已知两个线性变换
y3 ⎧ x1 = 2 y1 + ⎪ ⎨ x2 = −2 y1 + 3 y2 + 2 y3 ⎪x = 4 y + y + 5 y 1 2 3 ⎩ 3
⎧ y1 = −3z1 + z2 ⎪ z3 ⎨ y2 = 2 z1 + ⎪y = − z2 + 3z3 ⎩ 3
2
用数学归纳法，设 A
n −1
⎛ 1 n − 1⎞ =⎜ ⎟ 1 ⎠ ⎝0
⎛ 1 n − 1⎞⎛ 1 1⎞ 则 A = A A=⎜ ⎟⎜ ⎟ 1 ⎠⎝ 0 1⎠ ⎝0 ⎛1 n⎞ =⎜ ⎟ ⎝0 1⎠ ⎛1 n⎞ ⎛ 2wenku.baidu.com4⎞ ⎛1 0⎞ 故 f ( A) = ⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟ ⎝0 1⎠ ⎝0 2⎠ ⎝0 1⎠ ⎛ 4 n + 4⎞ =⎜ ⎟ 4 ⎠ ⎝0
⋯ ，xn 到变 x2 ， 上式称为从变量 x1， y2 ， ym的线性变换. 量 y1 ， ⋯，
令
A = ( aij )
⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ x=⎜ ⋮ ⎟ ⎜x ⎟ ⎝ n⎠
⎛ y1 ⎞ ⎜ ⎟ y =⎜ ⋮ ⎟ ⎜y ⎟ ⎝ m⎠
利用矩阵的乘法，则上述线性变换可写成矩 阵形式:
y = Ax .
⎛4 5 6⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ 8 10 12 ⎟ ⎜12 15 18 ⎟ ⎝ ⎠
⎛1⎞ ⎜ ⎟ BA = ( 4 5 6 ) ⎜ 2 ⎟ = 4 ×1 + 5 × 2 + 6 × 3 ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ = 32
显然AB≠BA
⎛ 2 4 0⎞ 例1 A = ⎜ ⎟ ⎝ 1 0 3⎠
⎛6 1 2⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜7 2 5⎟ ⎜3 0 0⎟ ⎝ ⎠
⎧ y1 = a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn ⎪ y = a x + a x +⋯ + a x ⎪ 2 21 1 22 2 2n n ⎨ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎪ ⎩ ym = am1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn
其中 aij 为常数 (i = 1, 2, ⋯ , m ; j = 1, 2, ⋯, n) .
例如
⎛1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 2⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠
B = ( 4 5 6)
求 AB , BA . 解:
⎛ 1× 4 1× 5 1 × 6 ⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ AB = ⎜ 2 ⎟ ( 4 5 6 ) = ⎜ 2 × 4 2 × 5 2 × 6 ⎟ ⎜ 3× 4 3× 5 3× 6 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
3. 矩阵的乘法 定义3 设 A = aij
( )
m× s
， B = bij
( )
s×n
规定:矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个m × n 矩阵
C = ( cij )m×n
其中
cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ⋯ + ais bsj
= ∑ aik bkj ( i = 1, 2,⋯ , m ; j = 1, 2,⋯ , n )
(2) λ ( AB ) = ( λ A ) B = A ( λ B ) (λ为数） .
（3）A ( B + C ) = AB + AC ,
( B + C ) A = BA + CA .
例3 线性方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ⋯ + a1n xn = b1 ⎪ a x + a x +⋯ + a x = b ⎪ 21 1 22 2 2n n 2 ⎨ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⎪ ⎪ ⎩ am1 x1 + am 2 x2 + ⋯ + amn xn = bm
( )
( )
⎛ a11 + b11 a12 + b12 ⋯ a1n + b1n ⎞ ⎜ ⎟ a + b a + b ⋯ a + b 21 21 22 22 2 n 2n ⎟ ⎜ A+ B = ⎜ ⋮ ⎟ ⋮ ⋮ ⎜ ⎟ ⎝ am1 + bm1 am2 + bm2 ⋯ amn + bmn ⎠
例如
⎛ 3 2⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 0⎟ ⎜7 8⎟ ⎝ ⎠
m
m
m −1
+ ⋯ + am−1 x + am
为 m 次多项式， A 为 n 阶方阵，则
f ( A) ≜ a0 A + a1 A + ⋯ + am −1 A + am E 仍为一个n 阶方阵，称 f ( A ) 为方阵 A 的多项式
m −1
其中
⎛1 ⎜ 0 E =⎜ ⎜⋮ ⎜ ⎝0
0 ⋯ 0⎞ ⎟ 1 ⋯ 0⎟ 称为n阶单位矩阵 ⋮ ⋮⎟ ⎟ 0 ⋯ 1 ⎠n×n