江苏省—高二数学—随堂练习及答案：第一章量词

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2018版高中数学苏教版选修1-1学案第一章常用逻辑用语 1.3.1 量词 Word版含答案

量词[学习目标].通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.了解含有量词的全称命题和存在性命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.知识点一全称量词和全称命题()全称量词：短语“所有”“任意”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“∀”表示.()全称命题：含有全称量词的命题称为全称命题.全称命题“对中任意一个，有()成立”可用符号简记为∀∈，()，读作“对任意属于，有()成立”.知识点二存在量词和存在性命题()存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“∃”表示.()存在性命题：含有存在量词的命题称为存在性命题.存在性命题“存在中的一个，使()成立”可用符号简记为∃∈，()，读作“存在一个属于，使()成立”.[思考]()在全称命题和存在性命题中，量词是否可以省略？()全称命题中的“，与()”表达的含义分别是什么？答案()在存在性命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略.()元素可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合是这些元素的某一特定的范围()表示集合的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于”，可以表示为“∀∈，≥”.题型一全称量词与全称命题例试判断下列全称命题的真假：()∀∈，＋>；()∀∈，≥；()对任意角α，都有α＋α＝.解()由于∀∈，都有≥，因而有＋≥>，即＋>，所以命题“∀∈，＋>”是真命题.()由于∈，当＝时，≥不成立，所以命题“∀∈，≥”是假命题.()由于∀α∈，α＋α＝成立.所以命题“对任意角α，都有α＋α＝”是真命题.反思与感悟判定全称命题的真假的方法：()定义法，对给定的集合的每一个元素，()都为真；()代入法，在给定的集合内找出一个，使()为假，则全称命题为假.跟踪训练试判断下列全称命题的真假：()∀∈，＋≥；()任何一条直线都有斜率；()每个指数函数都是单调函数.解()由于∀∈，都有≥，因而有＋≥，所以“∀∈，＋≥”是假命题.。

江苏省—高二数学—随堂练习及答案：第一章简单的逻辑联结词

高二数学随堂练习：简单的逻辑联结词1．已知全集U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，如果命题p ：a ∈(A ∪B )，则命题“非p ”是________．2．命题p ：0不是自然数，命题q ：π是无理数，在命题“p 且q ”“p 或q ”“﹁p ” “﹁q ”中，假命题是________，真命题是________．3．已知命题p ：∅⊆{0}，q ：直线的倾斜角的取值范围是[0，π]，由它们组成的“p ∨q ”、“p ∧q ”、“﹁p ”形式的新命题中，真命题的个数为________．4．已知下列命题：①梯形不是平行四边形；②等腰三角形的两个腰相等；③3≥2；④6是54和72的公约数．其中含有逻辑联结词的命题有：________.5．用“或”、“且”、“非”填空，使命题成为真命题：(1)x ∈A ∪B ，则x ∈A ________x ∈B ；(2)x ∈A ∩B ，则x ∈A ________x ∈B ；(3)若ab ＝0，则a ＝0________b ＝0；(4)a ，b ∈R，若a >0________b >0，则ab >0.6．若命题p ：不等式ax ＋b >0的解集为{x |x >－b a }，命题q ：关于x 的不等式(x －a )( x －b )<0的解集为{x |a <x <b }，则“p ∧q ”“p ∨q ”“﹁p ”形式的复合命题中的真命题是__________________．7．命题p ：a 2＋b 2<0(a ，b ∈R)；命题q ：a 2＋b 2≥0(a ，b ∈R)，则下列结论正确的是________． ①“p ∨q ”为真 ②“p ∧q ”为真③“﹁p ”为假 ④“﹁q ”为真8．已知命题p ：存在x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，下列结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且非q ”是假命题；③命题“非p 或q ”是真命题；④命题“非p 或非q ”是假命题．其中正确的是________．9．已知命题p ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ，命题q ：函数y ＝－(5－2a )x是减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是________．10．将下列命题用“或”、“且”、“非”联结成新命题，并判断它们的真假：(1)p ：3是9的约数，q ：3是18的约数；(2)p ：菱形的对角线一定相等，q ：菱形的对角线一定互相垂直．11．对命题p ：1是集合{x |x 2<a }中的元素；q ：2是集合{x |x 2<a }中的元素，则a 为何值时，“p 或q ”为真？a 为何值时，“p 且q ”为真？12．已知命题p ：函数f (x )＝log a |x |在区间(0，＋∞)上单调递增，命题q ：关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0的解集只有一个子集，若“p 或q ”为真，“﹁p 或﹁q ”也为真，求实数a 的取值范围．答案1解析：一般情况下，复合命题“p 或q ”的否定为“非p 且非q ”，所以a ∉(A ∪B )⇔a ∈(∁U A ∩∁U B )．答案：a ∈(∁U A ∩∁U B )2答案： “p 且q ”与“﹁q ” “p 或q ”与“﹁p ”3解析：∵命题p 为真命题，q 为假命题，∴命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， “﹁p ”为假命题．答案：14解析：①是“非p ”形式的命题；③是“p 或q ”形式的命题；④是“p 且q ”形式的命题．答案：①③④5答案：(1)或 (2)且 (3)或 (4)且6解析：因为命题p 、q 均为假命题，所以“p ∨q ”、“p ∧q ”为假命题，“﹁p ”为真命题．答案：﹁p7解析：∵p 假q 真，∴p ∨q 为真，p ∧q 为假，﹁p 为真，﹁q 为假．答案：①8解析：可判断p 真，q 真．答案：①②③④9解析：若命题p 为真，需x 2＋2x ＋a >0恒成立，则Δ＝4－4a <0，解之得a >1；若命题q为真，则需5－2a >1，解之得a <2.而p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，故命题p 为真且命题q 为假，或者命题p 为假且命题q 为真，根据数轴找出各集合的交集即可得答案．答案：a ≤1或a ≥210解：(1)p ∨q ：3是9的约数或是18的约数，是真命题；p ∧q ：3是9的约数且是18的约数，是真命题；﹁p ：3不是9的约数，是假命题；﹁q ：3不是18的约数，是假命题．(2)p ∨q ：菱形的对角线一定相等或互相垂直，是真命题；p ∧q ：菱形的对角线一定相等且互相垂直，是假命题；﹁p ：菱形的对角线不一定相等，是真命题；﹁q ：菱形的对角线不一定互相垂直，是假命题．11解：若p 为真，则1∈{x |x 2<a }，所以12<a ，即a >1；若q 为真，则2∈{x |x 2<a }，即a >4.若“p 或q ”为真，则a >1或a >4，即a >1；若“p 且q ”为真，则a >1且a >4，即a >4.12解：当命题p 为真命题时，应有a >1；当命题q 为真命题时，应有关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0无解，∴Δ＝4－4log a 32<0，解得1<a <32，∵“p 或q ”为真，“﹁p 或﹁q ”也为真．∴应该有两种情况：(1)p 为真且q 为假，则﹁p 为假且﹁q 为真；(2)p 为假且q 为真，则﹁p 为真且﹁q 为假．由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a ≤1或a ≥32，解得a ≥32；由(2)得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤11<a <32，该不等式组无解．综上可知，实数a 的取值范围是[32，＋∞)．。

高中数学(必修一)第一章全称量词与存在量词练习题

高中数学（必修一）第一章全称量词与存在量词练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：_______________一、单选题1．下列命题中，是全称量词命题的是（）A ．R x ∃∈，20x ≤B ．当3a =时，函数()f x ax b =+是增函数C ．存在平行四边形的对边不平行D ．平行四边形都不是正方形2．下列命题中是全称量词命题的个数为（）①任意一个自然数都是正整数；①有的等差数列也是等比数列；①三角形的内角和是180︒．A ．0B ．1C ．2D ．33．下列命题中是存在量词命题的是（）A ．①x ①R ，x 2＞0B ．①x ①R ，x 2≤0C ．平行四边形的对边平行D ．矩形的任一组对边相等4．下列命题是全称量词命题的是（）A ．有些平行四边形是菱形B ．至少有一个整数x ，使得23x x +是质数C ．每个三角形的内角和都是180°D ．x ∃∈R ，220x x ++=5．下列命题中，是真命题的全称量词命题的是（）A ．实数都大于0B ．梯形两条对角线相等C ．有小于1的自然数D ．三角形内角和为180度6．设非空集合P ，Q 满足P Q Q ⋃=，则下列命题正确的是（）A ．x P ∀∈，x Q ∈B ．∃∈x Q ，x P ∉C ．x P ∃∈，x Q ∉D ．x Q ∀∈，x P ∉7．给出下列命题:①若a b b c-=-，则-a ，b ，-c 成等比数列(abc ≠0)；①若b 2=ac ，则a ，b ，c 成等比数列；①若an+1=anq (q 为常数)，则{an }是等比数列.其中正确的命题有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题8．根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为_______________.13+23＝（1+2）2，13+23+33＝（1+2+3）2，13+23+33+43＝（1+2+3+4）2，13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2，……9．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，若命题:p x B ∀∈，x A ∈是真命题，则m 的取值范围为______．10．若“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”为假命题，则实数a 的最小值为______．三、双空题11．下列命题中，是全称量词命题的是________,是存在量词命题的是________.（1）正方形的四条边相等；（2）所有两个角是45︒的三角形都是等腰直角三角形；（3）正数的平方根不等于零；（4）至少有一个正整数是偶数；（5）所有正数都是实数吗？四、解答题12．判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题：（1）任意的m ＞1方程x 2﹣2x +m ＝0无实数根；（2）存在一对实数 x ，y ，使2x +3y +3＞0成立；（3）存在一个三角形没有外接圆；（4）实数的平方大于等于0.13．判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题．（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；（2）三角函数都是周期函数吗？（3）有一个实数x，x不能取倒数；（4）有的三角形内角和不等于180︒．14．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)有理数都是实数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x①{x|x＞0}，x1x+＞2．15．ABC的三边长分别为a，b，c，试判断命题“若222a b c ab bc ca++=++，则ABC为等边三角形”是真命题还是假命题，并证明你的结论．参考答案与解析：1．D【分析】全称命题是含有全称量词的命题，全称量词有所有，任意，每一个. A C选项是特称命题，细化分析B选项存在一个3a=使得函数是增函数，所以B选项也是存在命题. D选项是全称命题.【详解】全称命题是含有全称量词的命题，全称量词有所有，任意，每一个.A C选项含有存在量词：存在，所以是特称命题，B选项存在一个3a=使得函数是增函数，所以B选项也是特称命题. D选项所有的平行四边形都不是正方形，所以是全称命题.故选：D.2．C【分析】利用含有全称量词的命题为全称量词命题对①①①逐个进行分析，即可得到结果.【详解】命题①含有全称量词，为全称量词命题；命题①含有存在量词，为存在量词命题；命题①可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，为全称量词命题．故有2个全称量词命题．故选:C．3．B【分析】判断每个命题的量词，即可判断选项.【详解】A含有全称量词①，为全称量词命题，B含有存在量词①，为存在量词命题，满足条件．C省略了全称量词所有，为全称量词命题，D 省略了全称量词所有，为全称量词命题.故选：B ．4．C【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义即可得到答案.【详解】根据全称量词和存在量词命题的定义可知，A ，B ，D 是存在量词命题，C 是全称量词命题．故选：C.5．D【分析】利用全称量词的定义，分别判断选项.【详解】A.实数都大于0，是全称量词命题，假命题；B.梯形两条对角线相等，是全称量词命题，假命题；C.有小于1的自然数，是特称命题，真命题；D.三角形的内角和为180度，是全称量词命题，真命题.故选：D6．A【分析】由已知得P Q ⊆，再依次判断选项.【详解】因为非空集合P ，Q 满足P Q Q ⋃=，所以P Q ⊆，对于AC ，由子集的定义知P 中任意一个元素都是Q 中的元素，即x P ∀∈，x Q ∈，故A 正确，C 错误；对于BD ，由P Q ⊆，分类讨论：若P 是Q 的真子集，则∃∈x Q ，x P ∉；若P Q =，则x Q ∀∈，x P ∈；故 BD 错误．故选：A ．7．B【分析】根据等比数列定义结合对命题①，①，①的题设条件进行分析即可判断作答.【详解】对于①，题设条件与等比数列定义相一致，①正确；对于①，满足题设条件的a ，b ，c 值有a =b =0或c =b =0或a =b =c =0之一发生时, a ，b ，c 不成等比数列；对于①，满足题设条件的q=0时，{an }不是等比数列，即命题①，①，①中，只有①是正确的命题.故选：B8．∀n ①N *，13+23+33+…+n 3＝（1+2+3+…+n ）2【分析】观察到从1开始加，连续的几个数的三次方相加，就得其和的三次方，总结一下就是：任意从1开始的连续n 个整数的三次方和等于其和的三次方.【详解】解：根据已知条件的规律结合13＝12可得：∀n ①N *，13+23+33+…+n 3＝（1+2+3+…+n ）2.故答案为：∀n ①N *，13+23+33+…+n 3＝（1+2+3+…+n ）29．{}3m m ≤【分析】由题可得B A ⊆，然后分类讨论根据集合的包含关系即得.【详解】由于命题:p x B ∀∈，x A ∈是真命题，所以B A ⊆,当B =∅时，121m m +>-，解得2m <；当B ≠∅时，12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m ≤≤，综上，m 的取值范围是{}3m m ≤．故答案为：{}3m m ≤．10．3【分析】由题意可知命题的否定是真命题，从而可求出a 的取值范围，进而可求得a 的最小值【详解】“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”的否定为“[1,1]x ∀∈-，都有20x a +-≤”，因为“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”为假命题，所以“[1,1]x ∀∈-，都有20x a +-≤”为真命题，所以2a x +≥在[1,1]x ∈-上恒成立，所以3a ≥，所以实数a 的最小值为3，故答案为：311．（1）（2）（3）（4）【分析】利用全称量词命题和存在量词命题和定义判断即可【详解】（1）表示所有的正方形，所以是全称量词命题，（2）含有全称量词，所以是全称量词命题，（3）表示所有的正数，所以是全称量词命题，（4）含有存在量词，所以是存在量词命题，（5）不是命题，故答案为：（1）（2）（3），（4）12．（1）全称命题；∀m＞1，方程x2﹣2x+m＝0无实数根；（2）特称命题；∃一对实数x，y，使2x+3y+3＞0成立；（3）特称命题；∃一个三角形没有外接圆；（4）全称命题；∀x①R，x2≥0.【分析】根据全称命题和特称命题的定义进行逐一求解即可.【详解】解：（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根，是一个全称命题，用符号表示为：∀m＞1，方程x2﹣2x+m＝0无实数根；（2）存在一对实数x，y，使2x+3y+3＞0成立，是一个特称命题，用符号表示为：∃一对实数x，y，使2x+3y+3＞0成立；（3）存在一个三角形没有外接圆，是一个特称命题，用符号表示为：∃一个三角形没有外接圆；（4）实数的平方大于等于0，是一个全称命题，用符号表示为：∀x①R，x2≥0.13．（1）是全称命题；（2）不是命题；（3）是特称命题；（4）是特称命题．【分析】（1）根据题中包含的全称量词可确定为全称命题；（2）根据命题的概念即可确定答案；（3）根据题中的描述可确定为特称命题；（4）根据题中的描述可确定为特称命题.【详解】解：对于（1），任何一个实数除以1，仍等于这个数，是命题，且是全称命题；对于（2），三角函数都是周期函数吗？不是判断句故不是命题；对于（3），有一个实数x，x不能取倒数，是命题，是特称命题；对于（4），有的三角形内角和不等于180 ，是命题，是特称命题．14．(1)全称量词命题，且是真命题(2)是存在量词命题，是真命题(3)是全称量词命题，假命题【分析】（1）（2）（3）根据特称命题和全称命题的定义判断即可．（1）命题中隐含了全称量词“所有的”，所以此命题是全称量词命题，且是真命题．（2）命题中含有存在量词“至少有一个”，所以此命题是存在量词命题，举例99既能被11整除，又能被9整除，所以是真命题．（3）命题中含有全称量词“∀”，所以此命题是全称量词命题，因为当x ＝1时，x 1x+=2，所以命题是假命题． 15．真命题，证明见解析【分析】直接配方化简即得解.【详解】解：是真命题，证明如下：因为222a b c ab bc ca ++=++，所以2220a b c ab bc ca +--+-=，所以()()()2220a b b c c a -+-+-=，所以0a b -=，0b c -=，0c a -=，即a b c ==．所以ABC 为等边三角形．所以原命题是真命题.。

2021年人教版高中数学必修第一册随堂练习：第1章《1.5全称量词与存在量词》(含答案详解)

2021年人教版高中数学必修第一册随堂练习：第1章《1.5全称量词与存在量词》(含答案详解)1、1.5 全称量词与存在量词 1.5.1 全称量词与存在量词1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否认学习目标核心素养1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义.2.把握全称量词命题与存在量词命题真假性的判定．(重点、难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否认．(重点、易混点)1.通过含量词的命题的否认，培育规律推理素养.2.借助全称量词命题和存在量词命题的应用，提升数学运算素养.1．全称量词与全称量词命题(1)短语“全部的”“任意一个”在规律中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表2、示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)．2．存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在规律中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．7n(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．思索：“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．提示：是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”．3．含有一个量词的命题的否认﹁一般地，对于含有一个量词的命题的否认，有下面的结论：全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否认﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；存在量3、词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否认﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．全称量词命题的否认是存在量词命题，存在量词命题的否认是全称量词命题．1．以下命题中全称量词命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；②有的菱形是正方形；③三角形的内角和是180°.A．0 B．1 C．2 D．3[答案] C2．以下全称量词命题为真命题的是( )A．全部的质数是奇数B．∀x∈R，x2＋1≥1C．对每一个无理数x，x2也是无理数D．全部的能被5整除的整数，其末位数字都是5[答案] B3．以下命题中的假命题是( )A．∀x∈R，|x|≥0B．∀x∈N*，(x－1)20C．∃x∈R，x＋20211D．∃x∈R,2x＞2B [当x＝1时，(x－1)4、2＝0，所以B项为假命题．]4．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则其否认是()A．￢p：∃x∈R，sin≥1B．￢p：∀x∈R，sinx≥17nC．￢p：∃x∈R，sinx＞1D．￢p：∀x∈R，sinx＞1[答案] C全称量词命题和存在量词命题的推断【例1】指出以下命题是全称量词命题还是存在量词命题，并推断它们的真假．(1)∀x∈N,2x ＋1是奇数；(2)存在一个x∈R，使＝0；(3)对任意实数a，|a|＞0；(4)有一个角α，使sinα＝.[解] (1)是全称量词命题．因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是存在量词命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以|a|＞0不都5、成立，因此，该命题是假命题．(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sinα＝，所以该命题是真命题．全称量词命题与存在量词命题真假的推断方法：(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必需对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成马上可(这就是通常所说的“举出一个反例”).7n(2)要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x使p(x)成马上可；否则，这个存在量词命题就是假命题.1.推断以下命题的真假．(1)任意两个面积相等的三角形肯定相像；(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；(4)∀x∈N，x20.[解] (1)因为面积相等的三角形不肯定相像．故它是假命题．(2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题．(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．(4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x20”是假命题．含有一个量词的命题的否认【例2】(1)设命题p：∃n∈N，n22n，则命题p的否认为()A．∀n∈N，n22n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n(2)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否认形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x7、∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2(1)C (2)D [(1)因为“∃x∈M，p(x)”的否认是“∀x∈M，￢p(x)”，所以命题“∃n∈N，n22n”的否认是“∀n∈N，n2≤2n”，应选C.(2)由于存在量词命题的否认形式是全称量词命题，全称量词命题的否认形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否认形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．]7n含有一个量词的命题的否认的方法(1)一般地，写含有一个量词的命题的否认，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否认结论．(2)对于省略量词的命题，应先8、挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完好形式，再根据规则来写出命题的否认．2．写出以下命题的否认并推断其真假：(1)p：∀x∈R，2≥0；(2)q：全部的正方形都是矩形；(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋3≤0；(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.[解] (1)￢p：∃x∈R，2＜0，假命题．因为∀x∈R，2≥0恒成立，所以￢p是假命题．(2)￢q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)￢r：∀x∈R，x2＋2x＋3＞0，真命题．因为∀x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2＞0恒成立，所以￢r是真命题．(4)￢s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．因为x＝－1时，x3＋1＝0，所以￢s是假命题．全称量词命题与存在量词命题的应用【例3】对于任意实数9、x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数m，求m的取值范围．[解] 令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5，因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1m恒成立，所以只要m－5即可．7n所以所求m的取值范围是{m|m－5}．求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a ＞ymax(或a＜ymin).(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y(或a＜y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a＞ymin(或a＜ymax).3．若命题“p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0”10、是真命题，则实数m的取值范围是( )A．m≥1B．m ＞1C．m＜1D．m≤1B[命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则Δ＜0，即m＞1.应选B.]1．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的主要方法是看命题中含有哪种量词，判定时要特殊留意省略量词的全称量词命题．2．要判定一个全称量词命题为真命题，必需对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题，只要举出一个反例即可；对存在量词命题真假的判定方法正好与之相反．3．全称量词命题与存在量词命题的否认，其模式是固定的，即把相应的全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词，并把命题的结论加以否认．1．思索辨析(1)命题“正方形都是长方形”是全称量词命题．( )(2)命题“有些菱11、形是正方形”是全称量词命题．( )(3)命题：∀x∈R，x2－3x＋30的否认是∀x∉R，x2－3x＋3≤0.()7n[答案] (1)√(2)×(3)×2．以下存在量词命题中，是假命题的是( )A．∃x∈Z，x2－2x－3＝0B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除C．有的三角形没有外接圆D．某些四边形不存在外接圆C [A中，x＝－1满足题意，是真命题；B中，x＝6满足题意，是真命题；C中，全部的三角形都有外接圆，是假命题．只有对角互补的四边形才有外接圆，应选C.]3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否认是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．12、存在一个无理数，它的平方不是有理数 B [量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否认后为“它的平方不是有理数”，应选B.]4．推断以下命题是全称量词命题还是存在量词命题，并推断其真假．(1)对某些实数x，有2x＋10；(2)∀x∈{3,5,7},3x＋1是偶数；(3)∃x∈Q，x2＝3.[解] (1)命题中含有存在量词“某些”，因此是存在量词命题，真命题．(2)命题中含有全称量词的符号“∀”，因此是全称量词命题．把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题．(3)命题中含有存在量词的符号“∃”，因此是存在量词命题．由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题13、是假命题．7。

苏教版数学高二-选修1-1 全称量词与存在量词

1.4 全称量词与存在量词问题导学一、全称命题和特称命题的判定活动与探究1(1)下列命题中全称命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°．A ．0B ．1C ．2D ．3(2)下列命题中特称命题的个数是( )①有的自然数是偶数；②存在α，β，使sin α＋sin β＝sin(α＋β)；③至少有一个函数f (x )既是偶函数又是奇函数；④圆内接四边形的对角互补．A ．1B ．2C ．3D ．4迁移与应用1．已知下列命题：①对任意a ，b ∈R ，若a ＞b ，则1a ＜1b； ②存在一个实数α，使tan α无意义；③所有的二次函数的图象都和x 轴相交；④整数中1最小；⑤存在直线l ，平面α，β，使α∥l ，β∥l ．其中是全称命题的为______，特称命题的为______．(填序号)2．判断下列语句是全称命题，还是特称命题．(1)存在一条直线其斜率不存在．(2)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径吗？(3)圆外切四边形，其对角互补．判定一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．二、全称命题和特称命题真假的判断活动与探究2(1)下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lg x＝0B．∃x∈R，tan x＝1C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R,2x＞0(2)已知命题p：∃x∈R，使sin x＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1＞0．给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(q)”是假命题；③命题“(p)∨q”是真命题；④命题“(p)∨(q)”是假命题．其中正确的是()A．②④B．②③C．③④D．①②③迁移与应用1．下列命题中，真命题是()A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数2．判断下列命题的真假：(1)若a＞0，且a≠1，则对任意实数x，a x＞0；(2)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tan x1＜tan x2；(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|；(4)∃x0∈R，x20＋1＜0．(1)全称命题的真假判断要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)特称命题的真假判断要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．三、全称命题和特称命题的否定活动与探究3写出下列命题的否定，并判断真假：(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0＋8＜0．迁移与应用1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数2．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋mx －1＝0必有实根；(2)p ：存在实数a ，b ，使得|a －1|＋|b ＋2|＝0．(1)在含有一个量词的命题的否定中，全称命题的否定是特称命题，而特称命题的否定是全称命题．(2)注意有些原命题无关键量词，但隐含着其含义，要注意辨析．如：实数的绝对值是正数，它的否定应是：存在一个实数，它的绝对值不是正数，而不能写成：实数的绝对值不是正数．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(1)对所有的对任意一个全称命题 (2)存在一个至少有一个 ∃ 特称命题(3)∀x∈M，p(x)(4)∃x0∈M，p(x0)存在一个x0属于M，使p(x0)成立预习交流1(1)提示：不唯一．对于同一个全称命题或特称命题，由于自然语言的不同，可以有不同的表述方法，只要形式正确即可．例如：平行四边形的对角线互相平分，是省略全称量词的，实际应理解为：所有的平行四边形的对角线互相平分．(2)提示：①是全称命题，是假命题；②是特称命题，是真命题．2．∃x 0∈M，p(x0)∀x∈M，p(x)预习交流2(1)提示：因为全(特)称命题的否定，首先将其全称(存在)量词改为存在(全称)量词，然后把结论否定，所以全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．(2)提示：①p：∃x 0∈R，x20＋2＜0，是假命题．这是因为对任意实数x，x2＋2＞0恒成立，即p为真命题，所以p是假命题．②q：∀x∈Z，x3＋1≠0，是假命题．这是因为x＝－1时，x3＋1＝0．课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1(1)思路分析：分析命题中是否含有全称量词，从而判定是否是全称命题．D解析：①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故④是全称命题．(2)思路分析：分析命题中是否含有存在量词，从而判定是否是特称命题．C解析：①②③是特称命题，④可以叙述为“所有的圆内接四边形的对角互补”，是全称命题．迁移与应用1．①③④②⑤解析：①③含有全称量词，是全称命题；④可叙述为“所有的整数中，1最小”是全称命题；②⑤含有存在量词，是特称命题．2．解：(1)中含有存在量词，所以(1)是特称命题．(2)是疑问句，不是命题．(3)“圆外切四边形，其对角互补”的实质是“所有圆的外切四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题．活动与探究2 (1)思路分析：首先判断命题中含有哪种量词，进而确定是哪种命题，然后正面推理证明或举反例说明命题的真假．C 解析：A 是特称命题，存在x ＝1时使lg x ＝0成立，所以A 为真命题；B 是特称命题，存在x ＝π4时，tan x ＝1成立，所以B 是真命题；C 是全称命题，存在x ＝－1，使x 3＝－1＜0，所以C 为假命题；D 是全称命题，当x ∈R 时，2x ＞0恒成立，所以D 为真命题．(2)思路分析：先判断命题p ，q 的真假，再判断所给结论中命题的真假．B 解析：∵∀x ∈R ，sin x ∈[－1,1]，∴不存在x ，使sin x ＝52＞1成立，∴p 为假命题． ∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34＞0对x ∈R 恒成立，∴q 为真命题． ∴“p ∧q ”是假命题，“p ∧(q )”是假命题，“(p )∨q ”是真命题，“(p )∨(q )”是真命题．迁移与应用1．A 解析：∵m ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数，∴A 项为真命题．2．解：命题(1)为全称命题，根据指数函数的性质可知，该命题为真命题；命题(2)是全称命题，存在x 1＝0，x 2＝π，虽然x 1＜x 2，但是tan x 1＝tan x 2，故该命题为假命题；命题(3)是特称命题，存在T 0＝π，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |，故该命题为真命题；命题(4)是特称命题，因为对任意的x ∈R ，都有x 2＋1＞0，故该命题为假命题．活动与探究3 思路分析：先分清是全称命题还是特称命题，对命题进行否定时既要改变量词，又要否定结论．解：(1)p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14＜0，假命题． (2)q ：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)r ：∀x ∈R ，x 2－2x ＋8≥0，真命题．迁移与应用 1．B 解析：该特称命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．2．解：(1)p ：存在一个实数m ，使方程x 2＋mx －1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4＞0恒成立，故p为假命题．(2)p：对于任意的实数a，b，有|a－1|＋|b＋2|≠0，当a＝1，b＝－2时，|a－1|＋|b＋2|＝0．故p为假命题．当堂检测1．下列命题是特称命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于3答案：D解析：D中含有存在量词，故是特称命题．2．命题“存在实数x，使x＞1”的否定．．是()A．对任意实数x，都有x＞1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1答案：C解析：该命题为存在性命题，其否定为“对任意实数x，都有x≤1”．3．下列命题中，是真命题且是全称命题的是()A．对任意实数a，b，都有a2＋b2－2a－2b＋2＜0B．梯形的对角线不相等x xC．∃x∈R，2=D．对数函数在定义域上是单调函数答案：D解析：A是全称命题，且a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，是假命题；B中隐含量词“所有的”，是全称命题，但等腰梯形的对角线相等，是假命题；C是特称命题；易知D是全称命题且是真命题．4．已知命题p：∃x∈R，ax2＋2x＋1≤0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是______．答案：(1，＋∞)解析：∵p是假命题，∴p是真命题，即∀x∈R，ax2＋2x＋1＞0是真命题，∴2>0,24<0,a a ⎧⎨-⎩解得a ＞1． 5．命题“存在实数x 0，y 0，使得x 0＋y 0＞1”，用符号表示为______________；此命题的否定是______________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．答案：∃x 0，y 0∈R ，x 0＋y 0＞1 ∀x ，y ∈R ，x ＋y ≤1 假。

2019-2020学年选修2-1苏教版：第1章常用逻辑用语1.3.1Word版含答案

2019-2020学年苏教版数学精品资料§1.3全称量词与存在量词1.3.1量词学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法．知识点一全称量词、全称命题思考观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m≤5；Q：对所有的m∈R，m≤5.(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的全称量词有哪些？(至少写出五个)．答案(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．(2)常见的全称量词有“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”“凡是”等．梳理全称量词与全称命题全称量词所有、任意、一切、每一个符号?x全称命题含有全称量词的命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”知识点二存在量词、存在性命题思考观察下面的两个语句，思考下列问题：P：m>5；Q：存在一个m∈Z，m>5.(1)上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？(2)常见的存在量词有哪些？(至少写出五个)答案(1)语句P无法判断真假，不是命题；语句Q在语句P的基础上增加了“存在一个”，可以判断真假，是命题．语句P是命题Q中的一部分．(2)常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．梳理存在量词与存在性命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示?x存在性命题含有存在量词的命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”特别提醒：在存在性命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略．1．“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(×)2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(√)3．全称命题中一定含有全称量词，存在性命题中一定含有存在量词．(×)类型一判断命题的类型例1将下列命题用“?”或“?”表示．(1)实数的平方是非负数；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根；(3)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.考点量词与命题题点全称(存在性)命题的符号表示解(1)?x∈R，x2≥0.(2)?x＜0，ax2＋2x＋1＝0(a＜1)．(3)若?a?α，l⊥a，则l⊥α.反思与感悟判断一个语句是全称命题还是存在性命题的步骤(1)判断此语句是否为命题．(2)看命题中是否含有量词，并判断该量词是全称量词还是存在量词．(3)对不含或省略量词的命题，要根据命题涉及的实际意义进行判断．跟踪训练1判断下列命题是全称命题还是存在性命题．(1)若a＞0且a≠1，则对任意x，a x＞0；(2)对任意实数x1，x2，若x1＜x2，则tanx1＜tanx2；(3)存在实数T，使得|sin(x＋T)|＝|sinx|；(4)存在实数x，使得x2＋1＜0.解(1)，(2)含有全称量词“任意”，是全称命题．(3)，(4)含有存在量词“存在”，是存在性命题．类型二判断命题的真假例2判断下列命题的真假．(1)?x∈R，x2－x＋1＞1 2；(2)?α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ；(3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(5)存在一个实数x，使等式x2＋x＋8＝0成立．考点全称(存在性)命题的真假性判断题点全称(存在性)命题真假的判断解(1)真命题，∵x2－x＋1－12＝x2－x＋12＝x－122＋14≥14＞0，∴x2－x＋1＞12恒成立．(2)真命题，例如α＝π4，β＝π2，符合题意．(3)真命题，函数f(x)＝0既是偶函数又是奇函数．(4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长度就不是有理数．(5)假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31＜0，故无实数解．反思与感悟 1.要判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题．2．要判定存在性命题“?x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在性命题就是假命题．跟踪训练2判断下列命题的真假．(1)有一些奇函数的图象过原点；(2)?x∈R,2x2＋x＋1<0；(3)?x∈R，sinx＋cosx≤ 2.考点全称(存在性)命题的真假性判断题点全称(存在性)命题真假的判断解(1)该命题中含有“有一些”，是存在性命题．如y＝x是奇函数，其图象过原点，故该命题是真命题．(2)该命题是存在性命题．∵2x2＋x＋1＝2x＋142＋78≥78>0，∴不存在x∈R，使2x2＋x＋1<0. 故该命题是假命题．(3)该命题是全称命题．∵sin x＋cosx＝2sin x＋π4≤2恒成立，∴对任意实数x，sinx＋cosx≤2都成立，故该命题是真命题．类型三全称命题、存在性命题的应用例3(1)若命题p：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0，求实数a的取值范围；(2)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围．解(1)由ax2＋2x＋a<0，得a(x2＋1)<－2x，∵x2＋1>0，∴a<－2xx2＋1＝－2x＋1x，当x>0时，x＋1x≥2，∴－2x＋1x≥－1，当x<0时，x＋1x≤－2，∴－2x＋1x≤1，∴－2x＋1x的最大值为 1.又∵?x∈R，使ax2＋2x＋a<0成立，∴只要a<1，∴a的取值范围是(－∞，1)．(2)①当m＋1＝0即m＝－1时，2x－6<0不恒成立．②当m＋1≠0，则由m＋1<0，Δ<0，得m<－1，Δ＝m－12－4m＋1·3m－1<0，即m<－1，m<－1311或m>1，综上，m<－1311.反思与感悟有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别．跟踪训练3已知命题p：“?x∈R，sinx＜m”，命题q：“?x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”，若p∧q是真命题，求实数m的取值范围．考点简单逻辑联结词的综合应用题点由含量词的复合命题的真假求参数的取值范围解由于p∧q是真命题，则p，q都是真命题．因为“?x∈R，sin x＜m”是真命题，所以m＞－1.又因为“?x∈R，x2＋mx＋1＞0恒成立”是真命题，所以Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.综上所述，实数m的取值范围是(－1,2).1．下列命题是全称命题的个数为________．①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③四边形的内角和是360°.答案 2解析①③是全称命题．2．下列命题中，不是全称命题的是________．(填序号)①任何一个实数乘以0都等于0；②自然数都是正整数；③每一个向量都有大小；④一定存在没有最大值的二次函数．答案④解析④是存在性命题．3．已知函数f(x)＝|2x－1|，若命题“存在x1，x2∈[a，b]且x1<x2，使得f(x1)>f(x2)”为真命题，则下列结论一定成立的是________．(填序号)①a≥0；②a<0；③b≤0；④b>1.答案②解析函数f(x)＝|2x－1|的图象如图所示．由图可知f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，∴要满足存在x1，x2∈[a，b]且x1<x2，使得f(x1)>f(x2)为真命题，则必有a<0.4．存在性命题“?x∈R，|x|＋2≤0”是________命题．(填“真”“假”)答案假解析不存在任何实数，使得|x|＋2≤0，所以是假命题．5．若命题“?x∈R，x2＋mx＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是________．答案[2,6]解析由已知得“?x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，则Δ＝m2－4×1×(2m－3)＝m2－8m＋12≤0，解得2≤m≤6，即实数m的取值范围是[2,6]．1．判断全称命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词．2．判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真，则全称命题为真；代入法：在给定的集合内找出一个x，使p(x)为假，则全称命题为假．3．判定存在性命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真，则存在性命题为真，否则命题为假．一、填空题1．下列命题为存在性命题的是________．(填序号)①奇函数图象关于原点对称；②有些实数的平方是0；③末位数字为偶数的整数能被2整除；④有一个向量a，其方向不能确定．答案②④解析依据存在性命题概念知，只有②④符合题意．2．下列四个命题：①没有一个无理数不是实数；②空集是任何一个非空集合的真子集；③1＋1<2；④至少存在一个整数x，使得x2－x＋1是整数．其中是真命题的为________．(填序号)答案①②④解析①所有无理数都是实数，为真命题；②显然为真命题；③显然不成立，为假命题；④取x＝1，能使x2－x＋1＝1是整数，为真命题．3．下列全称命题中真命题的个数为________．①负数没有对数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④?x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.答案 3解析①②③为真命题．4．下列命题：①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③正四棱锥的侧棱长相等；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是________，即是存在性命题又是真命题的是________．(填序号)答案①②③④⑤解析①是全称命题，是真命题；②是全称命题，是真命题；③是全称命题，即任意正四棱锥的侧棱长相等，是真命题；④含存在量词“有的”，是存在性命题，是真命题；⑤是存在性命题，是真命题；⑥是存在性命题，是假命题，因为任意三角形内角和为180°.5．下列存在性命题是假命题的是________．(填序号)①存在x∈Q，使2x－x3＝0；②存在x∈R，使x2＋x＋1＝0；③有的素数是偶数；④有的有理数没有倒数．答案②解析对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝x＋122＋34>0恒成立．6．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x1满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列命题中为假命题的是________．(填序号)①?x∈R，f(x)≤f(x1)；②?x∈R，f(x)≥f(x1)；③?x∈R，f(x)≤f(x1)；④?x∈R，f(x)≥f(x1)．答案③解析∵x1是方程2ax＋b＝0的解，∴x1＝－b2a，又∵a>0，∴f(x1)是y＝f(x)的最小值，∴f(x)≥f(x1)恒成立．7．已知命题p：?x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析由题意得Δ＝4＋4a<0，解得a<－1.8．?x∈R，函数y＝lg(mx2－4mx＋m＋3)有意义，则实数m的取值范围是________．答案[0,1)解析由题意得不等式mx2－4mx＋m＋3>0对任意x∈R都成立，当m＝0时，显然成立，当m>0，－4m2－4m m＋3<0，即当0<m<1时，不等式也成立，m<0不符合题意，所以实数m的取值范围是[0,1)．9．已知命题“?x∈R，x2＋ax－4a<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．答案[－16,0]解析由题意可知“?x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题，∴Δ＝a2＋16a≤0，解得－16≤a≤0.10．已知命题“?x∈R，使2x2＋(a－1)x＋12≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．答案(－1,3)解析原命题的否定为?x∈R,2x2＋(a－1)x＋12>0，由题意知，原命题的否定为真命题，则Δ＝(a－1)2－4×2×12<0，则－2<a－1<2，则－1<a<3.11．已知命题p：“?x∈[0,1]，a≥e x”，命题q：“?x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．答案[e,4]解析由命题“p∧q”是真命题，得命题p，q都是真命题.因为x∈[0,1]，所以e x∈[1，e]，所以a≥e；?x∈R，x2＋4x＋a＝0，即方程x2＋4x＋a＝0有实数根，所以Δ＝42－4a≥0，解得a≤4，即实数a的取值范围为[e,4]．二、解答题12．判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示，并判断其真假．(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；(3)存在实数x ，使得1x 2－x ＋1＝2. 解(1)是存在性命题，用符号表示为“?直线l ，l 的斜率不存在”，是真命题．(2)是全称命题，用符号表示为“?a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解”，是假命题．(3)是存在性命题，用符号表示为“?x ∈R ，1x 2－x ＋1＝2”，是假命题．13．已知命题p ：“?x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“?x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．解由“p 且q ”是真命题，知p 为真命题，q 也为真命题．若p 为真命题，则a ≤x 2对于x ∈[1,2]恒成立，所以a ≤1.若q 为真命题，则关于x 的方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，所以Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，即a ≥1或a ≤－2. 综上，实数a 的取值范围为{a|a ≤－2或a ＝1}．三、探究与拓展14．有下列四个命题：p 1：?x ∈(0，＋∞)，12x ＜13x；p 2：?x ∈(0,1)，12log x ＞13log x ；p 3：?x ∈(0，＋∞)，12x＞12log x ；p 4：?x ∈0，13，12x＜13log x.其中为真命题的是________．考点量词与命题题点全称(存在性)命题的真假性判断答案p 2，p 4解析因为幂函数y ＝x α(α＞0)在(0，＋∞)上是增函数，所以命题p 1是假命题；因为对数函数y ＝log a x(0＜a ＜1)是减函数，所以当x ∈(0,1)时，0＜log x 12＜log x 13，所以0＜121log x＜131log x ，即12log x ＞13log x ，所以命题p 2是真命题；因为函数y ＝12x在(0，＋∞)上单调递减，所以有0＜y ＜1，当x ∈(0,1]时，y ＝12log x ≥0，当x ∈(1，＋∞)时，y ＝12log x ＜0，所以命题p3是假命题；因为函数y＝12x在0，13上单调递减，所以有0＜y＜1，而函数y＝13log x在0，13上的函数值y＞1，所以命题p4是真命题．15．已知f(t)＝log2t，t∈[2，8]，若命题“对于函数f(t)值域内的所有实数m，不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立”为真命题，求实数x的取值范围．考点全称命题的真假性判断题点恒成立求参数的取值范围解由题意知f(t)∈12，3.由题意知，令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4＝(x－2)m＋(x－2)2，当x＝2时，g(m)＝0，显然不等式不成立，所以x≠2，则g(m)＞0对任意m∈12，3恒成立，所以g12＞0，g3＞0，即12x－2＋x－22＞0，3x－2＋x－22＞0，解得x＞2或x＜－1.故实数x的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．。

高中数学(必修一)第一章全称量词命题和存在量词命题的否定练习题

高中数学（必修一）第一章全称量词命题和存在量词命题的否定练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：______________一、单选题1．命题“R x ∃∈，2220x x ++<”的否定是（）A ．R x ∃∈，2220x x ++≥B ．R x ∀∈，2220x x ++≥C ．R x ∃∈，2220x x ++>D ．R x ∀∉，2220x x ++≥2．若命题“2000R,(1)10a x x x ∃+∈-+≤”的否定是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,3-B ．()1,3-C ．(][),13,-∞-+∞D ．()(),13,-∞-⋃+∞3．命题“[)0,x ∃∈+∞，210x -<”的否定为（）A ．[)20,,10x x ∀∈+∞-≥B ．()2,0,10x x ∃∈-∞-<C ．[)20,,10x x ∀∈+∞-<D ．[)20,,10x x ∃∈+∞-≥4．命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是（）A ．∀n ∈N *，f （n ）∉N *且f （n ）＞nB ．∀n ∈N *，f （n ）∉N *或f （n ）＞nC ．()**00N N n f n ∃∈∉，且f （n 0）＞n 0D ．()**00N N n f n ∃∈∉，或f （n 0）＞n 05．命题“2110x x ∀≥-<，”的否定是（）A ．2110x x ∀≥-≥，B ．2110x x ∃≥-≥，C ．2110x x ∃<-≥，D ．2110x x ∀<-<，6．已知集合{}1,2,4,5,6P =，{}2,4,6M =，则下列说法正确的是（）A ．对任意x P ∈，有x M ∈B ．对任意x P ∈，有x M ∉C ．存在x M ∈，使得x P ∉D ．存在x P ∈，使得x M ∉二、填空题7．若命题“2,220x R x ax a ∃∈++-=是假命题”，则实数a 的取值范围是___________.8．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2+x ﹣a ＞0为假命题，则实数a 的取值范围是 __.9．命题“x ∀∈R ，40x -≤”的否定是______．10．p ：x R ∀∈，20x ≥的否定是__________．三、解答题11．写出下列命题的否定，并判断真假.(1)q: x∈R ，x 不是5x -12=0的根;(2)r:有些素数是奇数;(3)s: x 0∈R ，|x 0|＞0.12．设全集U =R ，集合{}15A x x =≤<，非空集合{}212B x x a =≤≤+，其中a R ∈.(1)若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求a 的取值范围；(2)若命题“x B ∃∈，x A ∈R ”是真命题，求a 的取值范围.四、多选题13．命题p ：()0,2x ∃∈，3cos x x >.命题q ：每个正三棱锥的三个侧面都是正三角形.关于这两个命题，下列判断正确的是（）A ．p 是真命题B ．p ⌝：()0,2x ∀∈，3cos x x ≤C ．q 是真命题D ．q ⌝：每个正三棱锥的三个侧面都不是正三角形参考答案与解析：1．B【分析】由特称命题的否定：将存在改任意，并否定原结论，即可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，所以原命题的否定为R x ∀∈，2220x x ++≥.故选：B2．B【分析】写出命题的否定，则∆<0，从而可得出答案.【详解】:解：命题“2000R,(1)10a x x x ∃+∈-+≤”的否定为“()2R,110x x a x ∀∈+-+>”为真命题，所以()2140a ∆=--<，解得13a -<<，即实数a 的取值范围是()1,3-.故选：B.3．A【分析】根据存在量词命题的否定直接得出结果.【详解】命题“2[0,)10x x ∃∈+∞-<，”的否定为：“2[0,)10x x ∀∈+∞-≥，”.故选：A4．D【分析】利用全称命题的否定是特称命题形成结果即可.【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n ”的否定形式是：()**00N N n f n ∃∈∉，或f （n 0）＞n 0.故选：D.5．B【分析】由命题的否定的定义判断．【详解】全称命题蝗否定是特称命题．命题“2110x x ∀≥-<，”的否定是2110x x ∃≥-≥，．故选：B ．6．D【分析】根据集合间的关系，全称命题、特称命题的真假判断可得答案.【详解】由于{}1,2,4,5,6P =，{}2,4,6M =，所以M P ，故存在x P ∈，使得x M ∉．故选：D ．7．21a -<<##(2,1)-##{|21}a a -<<【分析】等价于2,220x R x ax a ∀∈++-≠，解2=44(2)0,a a ∆--<即得解.【详解】解：因为命题“2,220x R x ax a ∃∈++-=是假命题”，所以2,220x R x ax a ∀∈++-≠，所以222=44(2)4480,20,21a a a a a a a ∆--=+-<∴+-<∴-<<.故答案为：21a -<<8．a 14≥- 【分析】根据命题p 为假命题，则它的否定￢p 是真命题，利用判别式∆≥0求出实数a 的取值范围.【详解】解：因为命题p ：∀x ∈R ，x 2+x ﹣a ＞0为假命题，所以它的否定￢p ：∃x ∈R ，x 2+x ﹣a ≤0为真命题，所以∆＝12﹣4×（﹣a ）≥0，解得a 14≥-. 故答案为：a 14≥- 9．0x ∃∈R ，040x ->【分析】根据全称命题的否定形式，即可求解. 【详解】全称命题的否定是特称命题，∴命题“x ∀∈R ，40x -≤”的否定是：“0x ∃∈R 040x ->”．故答案为：0x ∃∈R ，040x ->10．0x R ∃∈，200x <【分析】利用全称命题的否定是特称命题，即可求解．【详解】因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为：0x R ∃∈，200x <．故答案为: 0x R ∃∈，200x <．11．（1）⌝q: x 0∈R ，x 0是5x -12=0的根真命题（2）⌝r:任意一个素数都不是奇数假命题（3）⌝s:x∈R ，|x|≤0 假命题【分析】分别写出（1），（2），（3）命题的否定，再判断真假.【详解】(1)q: x 0∈R ，x 0是5x -12=0的根，真命题. (2)r:任意一个素数都不是奇数，假命题. (3)s:x∈R ，|x|≤0，假命题.【点睛】命题的否定与否命题的区别：否命题是对原命题既否定条件，又否定结论；命题的否定，只是否定命题的结论. 对特（全）称命题进行否定的方法是：改量词，否结论.12．(1)1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭(2)[)2,+∞【分析】（1）由题意得出B A ⊆，从而列出不等式组，求a 的范围即可，（2）由题意R BA ≠∅，列出不等式，求a 的范围即可．（1）解：若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，则B A ⊆，又集合B 为非空集合，故有122125a a +⎧⎨+<⎩，解得122a <，所以a 的取值范围1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭，（2）解：因为{}15A x x =≤<，所以{|1R A x x =<或5}x ，因为命题“x B ∃∈，x A ∈R ”是真命题，所以R B A ≠∅，即125a +，解得2a ．所以a 的取值范围[)2,+∞．13．AB【分析】根据全称命题、存在命题的否定形式可判断BD 的正误，根据反例可判断A 的正误，根据正三棱锥的定义可判断C 的正误.【详解】p 的否定为()0,2x ∀∈，3cos x x ≤，故B 正确. 因为()0,22π∈，3cos 22ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以p 的否定为假命题，故p 是真命题，故A 正确. 对B ，每个正三棱锥的三个侧面都是等腰三角形，不一定是正三角形，故q 为假命题，故C 错误，而q ⌝为：存在一个正三棱锥，它的三个侧面不都是正三角形，故D 错误. 故选：AB.。

苏教版数学高二- 选修1-1学案 1.3.1量词

1.3.1量词课时目标1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.会判定全称命题和存在性命题的真假．1．全称量词和全称命题“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为____________，通常用符号“________”表示“对任意x”．含有____________的命题称为全称命题．通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称命题“对M中的任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∀M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词和存在性命题“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为______________，通常用符号“________”表示“存在x”，含有______________的命题称为存在性命题．存在性命题“存在一个x属于M，使p(x)成立”可用符号简记为∀x∀M，p(x)，读作“存在一个x属于M，使p(x)成立”．一、填空题1．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是______________________________．2．下列语句是全称命题的是________．(填序号)∀任何一个实数乘以零都等于零；∀自然数都是正整数；∀高二(一)班绝大多数同学是团员；∀每一个向量都有大小．3．将“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是________．(填序号)∀∀x，y∀R，都有x2＋y2≥2xy；∀∀x0，y0∀R，使x20＋y20≥2x0y0；∀∀x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy；∀∀x0<0，y0<0，使x20＋y20≤2x0y0.4．下列命题中正确的有________．(填序号)∀对所有的正实数t, t 为正且t<t ；∀存在实数x 0，使x 20－3x 0－4＝0； ∀不存在实数x ，使x<4且x 2＋5x －24＝0；∀存在实数x 0，使得|x 0＋1|≤1且x 20>4.5．下列命题既是存在性命题，又是真命题的是________．(填序号)∀斜三角形的内角是锐角或钝角；∀至少有一个x∀R ，使x 2≤0；∀两个无理数的和是无理数；∀存在一个负数，使1x>2. 6．设直线系M ：xcos θ＋(y －2)sin θ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：A ．M 中所有直线均经过一个定点B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数n(n≥3)，存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是__________(写出所有真命题的代号)．7．下列4个命题：p 1：∀x∀(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫13x ；p 2：∀x∀(0,1)，log 12x>log 13x ； p 3：∀x∀(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x >log 12x ； p 4：∀x∀⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <log 13x. 其中的真命题是__________．8．将下列命题用含有“∀”或“∀”的符号语言来表示．(1)任意一个整数都是有理数， _______________.(2)实数的绝对值不小于0，__________________.(3)存在一实数x 0，使x 30＋1＝0，______________.二、解答题9．指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并判断真假．(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x ，a x >0；(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2；(3)∀T 0∀R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x|；(4)∀x 0∀R ，使x 20＋1<0.10．若r(x)：sin x＋cos x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0，如果对于任意x∀R，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的取值范围．能力提升11．下列命题中是假命题的有________．(填序号)∀任意x∀R,2x－1>0；∀任意x∀N*，(x－1)2>0；∀存在x∀R，lg x<1；∀存在x∀R，tan x＝2.12．给定两个命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立；q：关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．1．判定一个命题是全称命题还是存在性命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断．2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个存在性命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一命题就是假命题．1.3.1 量词知识梳理1．全称量词 ∀x 全称量词2．存在量词 ∀x 存在量词作业设计1．∀a ，b∀R ，使a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b)22．∀∀∀解析 “高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，这是存在性命题．3．∀4．∀解析 t ＝14时t ＝12，此时t>t ，所以∀错；由x 2－3x －4＝0，得x ＝－1或x ＝4，因此当x 0＝－1或x 0＝4时，x 20－3x 0－4＝0，故∀正确；由x 2＋5x －24＝0，得x ＝－8或x ＝3，所以∀错；由|x ＋1|≤1，得－2≤x≤0，由x 2>4，得x<－2或x>2，所以∀错．5．∀6．B 、C解析对选项A 分别令θ＝0，π2，π4得到三条直线，而三条直线不共点，故A 不正确；因点(0,2)不在M 中的任一条直线上，故存在点P ，所以B 正确；对选项C ，分别令θ＝π2，π6，5π6，其对应直线斜率k ＝0，－3，3，而三直线又不共线，所以三直线能够组成正三角形，故C 正确；显然D 不正确．7．p 2，p 4解析取x ＝12，则log 12x ＝1，log 13x ＝log 32<1，则p 2正确；当x∀⎝⎛⎭⎫0，13时，⎝⎛⎭⎫12x <1，而log 13x>1，所以p 4正确． 8．(1)∀x∀Z ，x∀Q (2)∀x∀R ，|x|≥0(3)∀x 0∀R ，x 30＋1＝09．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题，(1)(3)是真命题，(2)(4)是假命题．(1)∀a x >0(a>0，a≠1)恒成立，∀命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，∀命题(2)是假命题．(3)y ＝|sin x|是周期函数，π就是它的一个周期，∀命题(3)是真命题．(4)对任意x∀R ，x 2＋1>0.∀命题(4)是假命题．10．解 sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∀，所以，如果对于任意x∀R ，r(x)为假命题，即对任意x∀R ，不等式sin x ＋cos x>m 恒不成立，则m≥2；又对于任意x∀R ，s(x)为真命题，即对于任意x∀R ，不等式x 2＋mx ＋1>0恒成立，所以Δ＝m 2－4<0，即－2<m<2；故对于任意x∀R ，r(x)为假命题且s(x)为真命题，应有2≤m<2.11．∀12．解对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立∀a ＝0或⎩⎨⎧a>0Δ<0∀0≤a<4；关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根∀1－4a≥0∀a≤14；如果p 正确，且q 不正确，则有0≤a<4，且a>14，∀14<a<4；如果q 正确，且p 不正确，则有a<0或a≥4，且a≤14.∀a<0. 故实数a 的取值范围为(－∞，0)∀⎝⎛⎭⎫14，4.。

高二数学逻辑联结词与量词同步练习 (文) 苏教版

高二数学逻辑联结词与量词同步练习（文）苏教版（答题时间：60分钟）一、选择题（每小题只有一个答案，每道题4分，共40分）1. 下列语句中的简单命题是（） A. 3不是有理数 B. ∆ABC 是等腰直角三角形C. 3x ＋2<0D. 负数的平方是正数2. 命题：“方程x 2－2＝0的解是x ＝2±”中使用逻辑联结词的情况是（）A. 没有使用逻辑联结词B. 使用了逻辑联结词“且”C. 使用了逻辑联结词“或”D. 使用了逻辑联结词“非”3. “a 2＋b 2≠０”的含义是（）A. a ，b 不全为0B. a ，b 全不为0C. a ，b 中至少有一个为０D. a ，b 中没有０4. 如果命题“非p 为真”，命题“p 且q ”为假，那么则有（）A. q 为真B. q 为假C. p 或q 为真D. p 或q 不一定为真 5. y x＞1的一个充分不必要条件是（）A. x ＞yB. x ＞y ＞0C. x ＜yD. y ＜x ＜06. 下列全称命题①末位是０的整数，可以被2整除；②不相交的两条直线是平行直线；③偶函数的图像关于y 轴对称；④正四面体中两侧面的夹角相等；其中真命题的个数为（）A. lB. 2C. 3D. 07. 已知集合A 、B ，全集∪，给出下列四个命题（）①若B A ⊆，则B B A = ； ②若B B A = ，则B B A = ；③若)B C A (a ∈，则A a ∈； ④若)B A (C a ∈，则)B A (a ∈则上述正确命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 给出命题：①若02x 3x 2=+-，则x ＝1或x ＝2；②若3x 2<≤-，则0)3x )(2x (≤-+；③若x ＝y ＝0，则0y x 22=+；④若*∈N y ,x ，x ＋y 是奇数，则x ，y 中一奇，一偶．那么（）A. ①的逆命题为真B. ②的否命题为真C. ③的逆否命题为假D. ④的逆命题为假9. 下列命题中，真命题的个数为①对所有正数x ，x x < ②不存在实数x ，使x<4且x 2＋5x ＝24③存在实数x ，使得|x ＋1|≤1且x 2>4 ④3≥3A. 1B. 2C. 3D. 410. 给出下列四个命题：①有理数是实数； ②有些平行四边形不是菱形；③∀x∈R，x2－2x>0；④∃x∈R，2x＋1为奇数；以上命题的否定为真命题的序号依次是（）A. ①④B. ①②④C. ①②③④D. ③二、填空题（每道题4分，共16分）11. 分别用“p或q”，“p且q”，“非p”填空：⋂中的元素既是A中的元素，也是B中的元素”是的形式；命题“非空集A B命题“非空集A⋃B中的元素是A中元素或B中的元素”是的形式；命题“非空集C U A的元素是U中的元素但不是A中的元素”是的形式．12. 命题“若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是13. 命题“∃x∈R，x≤1或x2>4”的否定为．14. 设A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，写出B A的一个充分不必要条件__________．三、解答题（共44分）15. （本题满分16分）写出下列命题的非，并判断其真假（1）p：如果a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c；（2）q：等圆的面积相等，周长相等；（3）r：任何三角形的外角都至少有两个钝角；（4）s：∃x∈Z，x2<1．16. （本题满分14分）求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件．17. （本题满分14分）已知二次函数f（x）＝ax2＋x．对于∀x∈［0，1］，|f（x）| ≤1成立，试求实数a的取值范围．【试题答案】二、填空题11. p 且q ，p 或q ，非p12. 若△ABC 有两个内角相等，则它是等腰三角形.13. ∀x ∈R ，x>1且x 2≤414. m ＝0三、解答题15. 解：（1）⌝p ：如果a ，b ，c 成等差数列，则2b ≠a ＋c ；假……4'（2）⌝q ：存在一对等圆，它们的面积不相等，或周长不相等；假……8'（3）⌝r ：存在一个三角形，其外角最多有一个是钝角；假……12'（4）⌝s ：∀x ∈Z ，x 2≥1；假………16'16. 解：当a ＝0时显然符合，………2'当a ≠0时，△≥0是有根的必要条件，正面用补集的方法求解，显然方程不可能有根为0……4'故可在△≥0的大前提下求方程有两个正根的条件由△≥0得，4－4a ≥0，得a ≤1．………6'φ∈⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-a 0a10a 2，………10' 由补集法得a ≤1．………12'故方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a ≤1…………14'17. 解：|f （x ）| ≤1⇔－1≤f （x ） ≤1⇔－1≤ax 2＋x ≤1，x ∈[0，1] ①………4' 当x ＝0时，a ≠0，①式显然成立；………6'当x ∈（0，1）时，①式化为－2x 1－x 1≤a ≤2x1－x 1在x ∈（0，1）上恒成立． ………8'设t ＝x1，则t ∈[1，＋∞]，则有－t 2－t ≤a ≤t 2－t ，所以只须 ⎪⎩⎪⎨⎧=-≤-=--≥0)t t (a 2)t t (a min 2max 2 ………10' ⇒－2≤a ≤0，又a ≠0，故－2≤a ＜0……12'综上，所求实数a 的取值范围是[－2，0]…………14'。

高二数学理科选修1-1第一章常用逻辑用语第4节全称量词与存在量词—练习题含答案

第一章常用逻辑用语第3节全称量词与存在量词1。

命题“存在实数x，使x〉1”的否定是( ）A 。

对任意实数x，都有x>1B .不存在实数x，使x≤1C .对任意实数x，都有x≤1D .存在实数x，使x≤12。

命题“0x∃∈R，020x≤”的否定是( )A.0x∃∈R,020x≥x> B.0x∃∈R，020C.0x∀∈R，020x≤D。

0x∀∈R，020x>3.若p：x∀∈R,2x〉0 ,则（)A.:p x⌝∀∉R，2x≤0⌝∀∈R，2x≤0 B.:p xC.:p x ⌝∃∈R ，2x ≤0 D。

:p x ⌝∃∉R ,2x ≤04。

命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（） A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x < C ．*x n ∃∈∃∈，R N ,使得2n x < D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x <5.给出下列命题:①若给定命题p :x ∃∈R ，使得x 2+x －1<0 ，则p ⌝：x ∀∈R 均有x 2+x －1≥0；②若p ∧q 为假命题，则p ,q 均为假命题；③命题“若x 2－3x +2=0 ,则x =2”的否命题为“若x 2－3x +2=0则x ≠2 ，其中正确的命题序号是( ）A 。

① B.①② C。

①③ D.②③6。

给出如下四个命题：①若“p∨q"为真命题，则p ，q均为真命题；②“若a>b ，则2a>2b－1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b－1”；③“x∀∈R，x2+x≥1”的否定是“0x∃∈R，2001+≤”；x x④“x〉1”是“x〉0"的充分不必要条件。

其中不正确的命题是( )A。

①② B.②③ C.①③ D.③④7。

已知命题p：x∃∈R，ax2+2ax+1≤0.若命题p⌝是真命题，则实数a的取值范围是________.答案:1.C2。

苏教版高二数学选修2-1讲义(含答案)：第1部分第1章 1.3 1.3.2 含有一个量词的命题的否定

1．3.2含有一个量词的命题的否定[对应学生用书P14]观察下列几个命题：(1)p：有些三角形是直角三角形；(2)q：所有的质数都是奇数；(3)r：所有的人都睡觉；(4)s：有些实数的相反数比本身大．问题1：哪些是全称命题，哪些是存在性命题？提示：(1)、(4)是存在性命题，(2)、(3)是全称命题．问题2：试对它们进行否定．提示：(1)任意的三角形都不是直角三角形．(2)有些质数不是奇数．(3)有的人不睡觉．(4)任意实数的相反数都不大于本身．问题3：它们的否定有什么规律？提示：全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是全称命题．1．全称命题的否定全称命题的否定是存在性命题，“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x∈M，綈p(x)”．2．存在性命题的否定存在性命题的否定是全称命题，“∃x∈M，p(x)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”．对全称命题与存在性命题进行否定的方法：(1)确定所给命题类型，分清是全称命题还是存在性命题；(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词；(3)否定性质：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等更改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．[对应学生用书P15]全称命题的否定[例1] 判断下列命题的真假，并写出它们的否定． (1)对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0； (2)所有能被5整除的整数都是奇数； (3)对任意的x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数．[思路点拨] 几个命题均为全称命题，可先判断真假，再变换量词、否定结论、写出其否定．[精解详析] (1)当x ＝2时，23－22＋1＝5>0，故(1)是假命题．命题的否定：存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0.(2)10能被5整除，10是偶数，故(2)是假命题．命题的否定：存在一个能被5整除的整数不是奇数．(3)有理数经过加、减、乘运算后仍是有理数，故(3)是真命题．命题的否定：存在x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1不是有理数．[一点通]1．全称命题的否定：全称命题的否定是一个存在性命题，给出全称命题的否定时既要否定全称量词，又要否定性质，所以找出全称量词，明确命题所提供的性质是解题的关键．2．常见词语的否定：1．指出下列命题的形式，写出下列命题的否定：(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.解：(1)∀x∈M，p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形，∃x∈M，綈p(x)．(2)∀x∈M，p(x)，否定：存在一个素数不是奇数，∃x∈M，綈p(x)．(3)∀x∈M，p(x)，否定：∃x∈R，x2－2x＋1＜0，∃x∈M，綈p(x)．2．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图像都开口向下；(3)任何一个平行四边形的对边都平行；(4)负数的平方是正数．解：(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形且它的内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．(3)是全称命题且为真命题．命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行．(4)是全称命题且为真命题．命题的否定：某个负数的平方不是正数.[例2]写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3.[思路点拨]它们的否定是全称命题，解题时既要改变量词，也要否定结论，最后判断其真假．[精解详析](1)命题的否定是：“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定是：“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．(3)命题的否定是：“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．因为当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．[一点通]1．存在性命题的否定是全称命题，要否定存在性命题“∃x∈M，p(x)成立”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是说“∀x∈M，綈p(x)成立”．2．要证明存在性命题是真命题，只需要找到使p(x)成立的条件即可．3．只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在”．例如：三角形存在外接圆．这个命题是全称命题，量词“所有的”被省略了，所以，这个命题的否定是：有些三角形不存在外接圆．3．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：∃x0∈R，x20＋1<0；(2)p：至少有一个实数x，使x3＋1＝0.解：(1)綈p：∀x∈R，x2＋1≥0，真命题．(2)綈p：∀x∈R，x3＋1≠0∵x＝－1时，x3＋1＝0，∴綈p为假命题．4．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)存在一条直线在y轴上有截距；(2)存在二次函数的图像与x轴相交；(3)存在一个三角形，它的内角和小于180°；(4)存在一个四边形没有外接圆．解：(1)与y 轴平行的直线在y 轴上没有截距，其他直线在y 轴上都有截距，所以，此命题是真命题．命题的否定是：所有的直线在y 轴上没有截距；(2)对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ≥0时，函数图像与x 轴有交点，所以，此命题是真命题，命题的否定是：所有二次函数的图像与x 轴不相交；(3)任何三角形内角和都等于180°.所以，此命题是假命题．命题的否定是：任何三角形的内角和不小于180°；(4)对角不互补的四边形就没有外接圆，所以，此命题是真命题．命题的否定是：任何四边形都有外接圆.[例3] 若全称命题“对任意x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2≥a 恒成立”是真命题，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 由于此全称命题是真命题，所以可以推出a 的值，求出在x ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ≥a ，利用一元二次不等式与二次函数的关系解题．[精解详析] 法一：由题意，对任意x ∈[－1，＋∞)，令f (x )＝x 2－2ax ＋2≥a 恒成立．所以f (x )＝(x －a )2＋2－a 2可转化为对任意x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ≥a 成立，即对任意x ∈[－1，＋∞)，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2，a ≥－1，(1＋a )2＋2－a 2，a <－1.由f (x )的最小值f (x )min ≥a ，知a ∈[－3,1]．所以实数a 的取值范围是[－3,1]．法二：x 2－2ax ＋2≥a ，即x 2－2ax ＋2－a ≥0. 令f (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，所以全称命题转化为对任意x ∈[－1，＋∞)，f (x )≥0恒成立．所以Δ≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4(2－a )>0，a <－1，f (－1)≥0，即－2≤a ≤1，或－3≤a <－2.所以－3≤a ≤1. 综上，所求实数a 的取值范围是[－3,1]．[一点通] 对任意x ∈[－1，＋∞)，f (x )≥a ，只需f (x )min ≥a .也可等价转化为对任意x ∈[－1，＋∞)，x 2－2ax ＋2－a ≥0恒成立，结合一元二次不等式的解集与二次函数图像间的关系求解．5．若命题：“∃x ∈k ，m <4sin x ＋cos x ”是真命题，求m 的取值范围．解：∵4sin x ＋cos 2x ＝－2sin 2x ＋4sin x ＋1 ＝－2(sin x －1)2＋3，又x ∈R 时，－1≤sin x ≤1， ∴4sin x ＋cos 2x ∈[－5,3]．则当m <3时，该命题为真命题． ∴m 的取值范围为(－∞，3)．6．若方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正实数根，求实数a 的取值范围．解：当a ＝0时，方程变为：2x －1＝0，x ＝12>0满足条件．当a ≠0时，若方程ax 2＋2x －1＝0至少有一个正实数根．则Δ＝4＋4a ≥0，则a ≥－1.又因x ＝0时，ax 2＋2x －1＝－1<0恒成立．故a≥－1时，一定有正实根．综上：a的取值范围为[－1，＋∞)．对含有一个量词的命题的否定要遵循以下步骤：(1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．[对应课时跟踪训练(六)] 1．(重庆高考改编)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是_________________．解析：因为“∀x ∈M ，p (x )”的否定是“∃x ∈M ，綈p (x )”故“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，使得x 2<0”．答案：存在x ∈R ，使得x 2<02．命题“∃x ∈∁R Q ，x 3∈Q ”的否定是________________．解析：存在性命题的否定是全称命题．答案：∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q3．命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋3>0”的否定是_______________________________．解析：全称命题的否定是存在性命题．答案：∃x ∈R ，x 2－x ＋3≤04．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是______________________．解析：此命题是一个全称命题，全称命题的否定是存在性命题．故该命题的否定是：“存在能被2整除的整数不是偶数”．答案：存在能被2整除的整数不是偶数5．若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：该命题p 的否定是綈p ：“∀x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1>0”，即关于x 的一元二次不等式x 2＋(a －1)x ＋1>0的解集为R ，由于命题p 是假命题，所以綈p 是真命题，所以Δ＝(a －1)2－4<0，解得－1<a <3，所以实数a 的取值范围是(－1,3)．答案：(－1,3)6．设语句q (x )：cos ⎝⎛⎭⎫x －π2＝sin x ： (1)写出q ⎝⎛⎭⎫π2，并判定它是不是真命题；(2)写出“∀a ∈R ，q (a )”，并判断它是不是真命题．解：(1)q ⎝⎛⎭⎫π2：cos ⎝⎛⎭⎫π2－π2＝sin π2，因为cos 0＝1，sin π2＝1，所以q ⎝⎛⎭⎫π2是真命题．(2)∀a ∈R ，q (a )：cos ⎝⎛⎭⎫a －π2＝sin a ，因为cos ⎝⎛⎭⎫a －π2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－a ＝sin a ，所以“∀a ∈R ，q (a )”是真命题．7．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q ：存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋1≤0；(3)r ：等圆的面积相等，周长相等．解：(1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是綈p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”．当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实数根，所以綈p 是真命题．(2)这一命题的否定形式是綈q ：对所有实数x ，都有x 2＋x ＋1>0.利用配方法可以验证綈q 是一个真命题．(3)这一命题的否定形式是綈r ：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识知綈r 是一个假命题．8．∀x ∈[－1,2]，使4x －2x ＋1＋2－a <0恒成立，求实数a 的取值范围．解：已知不等式化为22x －2·2x ＋2－a <0.①令t ＝2x ，∵x ∈[－1,2]，∴t ∈⎣⎡⎦⎤12，4，则不等式①化为：t 2－2t ＋2－a <0，即a >t 2－2t ＋2，原命题等价于：∀t ∈⎣⎡⎦⎤12，4，a >t 2－2t ＋2恒成立，令y ＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1，当t ∈⎣⎡⎦⎤12，4时，y max ＝10.所以只须a >10即可．即所求实数a 的取值范围是(10，＋∞)．。

苏教版数学高二-【优化课堂】数学苏教版选修1-1精练量词

1．已知命题p：∃n∈N,2n>1000，则p为________．解析：由于存在性命题的否定是全称命题，因而p为∀n∈N,2n≤1000. 答案：∀n∈N,2n≤10002．判断下列命题的真假．(1)中国的所有江河都注入太平洋；(________)(2)有的四边形既是矩形又是菱形；(________)(3)实系数方程都有实数解；(________)(4)有的数比它的相反数小．(________)答案：(1)假(2)真(3)假(4)真3．有下列命题：①∃x∈Z，x2＝3；②∃x∈R，x2＝2；③∀x∈R，x2＋2x＋3>0；④∀x∈R，x2＋x－5>0.其中真命题有________．(填序号)答案：②③4．下列命题为存在性命题的是________．(1)奇函数的图象关于原点对称；(2)有些实数的绝对值是正数．答案：(2)一、填空题1．下列命题是全称命题并且是真命题的是________．①每个二次函数的图象都开口向上；②对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b；③存在一条直线与两个相交平面都垂直；④存在一个实数x0使不等式x20－3x0＋6<0成立．解析：∵c≤0，∴b＋c≤b.∵a≤b＋c，∴a≤b.答案：②2．下列命题为存在性命题的是________．①偶函数的图象关于y轴对称；②正四棱柱都是平行六面体；③不相交的两条直线是平行直线；④存在实数大于等于3.解析：①②③都是全称命题．④中有存在量词“存在”，是存在性命题．答案：④3．下列存在性命题中，是真命题的是________．①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∃x ∈{x |x 是无理数}，x 2是无理数．解析：①真命题，如当x ＝－1时，x ≤0成立；②真命题，1既不是合数，也不是素数；③真命题，如x ＝45，x 2＝5为无理数．答案：①②③4．下列全称命题中是假命题的是________．①2x ＋1是整数(x ∈R )；②对所有的x ∈R ，x >3；③对任意的x ∈Z,2x 2＋1为奇数．解析：①假命题，当x ＝0.6时，2x ＋1＝2.2，不是整数；②假命题，当x ＝1时，x <3；③真命题，∵x ∈Z ，∴2x 2必为偶数，∴2x 2＋1必为奇数．答案：①②5．若函数f (x )，g (x )的定义域和值域都是R ，则“f (x )<g (x )，x ∈R ”成立的充要条件是________．①存在x 0∈R ，使得f (x 0)<g (x 0)；②有无数多个实数x ，使得f (x )<g (x )；③对任意x ∈R ，都有f (x )＋12<g (x )；④不存在实数x ，使得f (x )≥g (x )．答案：④6．下列四个命题：8．若∀x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是________．解析：依题意有0<a 2－1<1，解得－2<a <－1或1<a < 2.答案：(－2，－1)∪(1，2)二、解答题9．用符号“∀”，“∃”表示下列命题．(1)自然数的平方大于零；(2)圆x 2＋y 2＝r 2上任意一点到圆心的距离是r ；(3)存在一对整数，使2x ＋4y ＝3；(4)存在一个无理数，它的立方是有理数．解：(1)∀x ∈N ，x 的平方大于零．(2)∀P ∈{(x ，y )|x 2＋y 2＝r 2}，P 点到圆心的距离是r .(3)∃(x ，y )，x ∈Z ，y ∈Z ，使2x ＋4y ＝3.(4)∃x ∈{无理数}，使x 3∈Q .10．若∀x ∈R ，函数f (x )＝m (x 2－1)＋x －a 的图象和x 轴恒有公共点，求实数a 的取值范围．解：(1)当m ＝0时，f (x )＝x －a 与x 轴恒相交；(2)当m ≠0时，二次函数f (x )＝m (x 2－1)＋x －a 的图象和x 轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m (m ＋a )≥0恒成立，即Δ＝4m 2＋4am ＋1≥0恒成立．又4m 2＋4am ＋1≥0是一个关于m 的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ′＝(4a )2－16≤0，解得－1≤a ≤1.综上，当m ＝0时，a ∈R ；当m ≠0，a ∈[－1,1]．11．是否存在整数m ，使得命题“∀x ∈R ，m 2－m <x 2＋x ＋1”是真命题？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在整数m ，使得命题是真命题．由于对于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34>0，因此只需m 2－m ≤0，即0≤m ≤1.故存在整数m ＝0或m ＝1，使得命题是真命题．。

2021-2022年高二数学第一章第3-4节简单的逻辑联结词和量词同步练习理人教新课标A版选修

2021-2022年高二数学第一章第3-4节简单的逻辑联结词和量词同步练习理人教新课标A 版选修2-1一、选择题1. 若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则（） A. p 真q 真 B. p 假q 真 C. p 真q 假D. p 假q 假 2. “至多有三个”的否定为（） A. 至少有三个 B. 至少有四个 C. 有三个 D. 有四个3. 有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像。

金盒上写有命题p ：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q ：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r ：肖像不在金盒里。

p 、q 、r 中有且只有一个是真命题，则肖像在（）A. 金盒里B. 银盒里C. 铅盒里D. 不能确定在哪个盒子里4. 不等式对于恒成立，那么的取值范围是（）A. B. C. D.5. “a 和b 都不是偶数”的否定形式是（） A. a 和b 至少有一个是偶数 B. a 和b 至多有一个是偶数C. a 是偶数，b 不是偶数D. a 和b 都是偶数二、填空题：6. 若关于的方程22(1)260x a x a +-++=有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是_____________7. 已知命题，，则是_____________________8. 下列四个命题①，②，是有理数。

③，使④，使所有真命题的序号是_____________________。

三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）9. 已知；)0(012:22>≤-+-m m x x q ，若－p 是－q 的必要非充分条件，求实数的取值范围。

10. 已知下列三个方程：22224430,(1)0,220x ax a x a x a x ax a +-+=+-+=+-=中至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围。

1. B 解析：根据复合命题真值的判定得到。

2. B 解析：这是一个含有量词的命题的否定。

苏教版高中数学选修21同步课堂精练：1.3.1量词Word版

下列命题中含有存在量词的个数为__________．①方程x 2－2x ＋1＝0的根为x ＝1；②存在函数f (x )，使f (x )的图象过第二、第三象限；③全等的三角形都相似；④有一个三棱锥的各个面为直角三角形．2．下列命题是全称命题的是__________(填序号)．①有一个实数a ，使32a 无心义；②空间中任意两条不相交的直线平行；③存在实数x 0，y 0，使x 02＋y 02－4x 0＋6y 0＝0成立；④对所有实数α，都有sin(π－α)＝sin α成立．3．下列命题是存在性命题的个数为__________．①某些梯形的对角线彼此平分；②对每一个无理数x ，x 2也是无理数；③所有的整数都有平方根；④存在一个四边形没有外接圆；⑤存在整数x ，y ，使2x ＋4y ＝3成立．4．给出以下存在性命题：①∃x ∈R,2324x >－；②存在两个相交平面垂直于同一条直线；③有些整数只有两个正约数．其中的真命题是__________．5．给出以下全称命题：①任意两个相似三角形的面积比都等于对应边长的比；②∀x ∈Q ，(x －2)2＞0；③∀x ∈N ，y ∈N ，都有x －y ∈N .其中假命题的个数是__________．6．下列命题中是全称命题且是假命题的是__________(填序号)．①每一个向量都有大小；②存在一个二次函数没有最大值或最小值；③两个无理数的和必是无理数；④∀x ≤0，x 3≤0；⑤任意体积相等的两个长方体，表面积相等．7．下列命题是存在性命题且是真命题的个数是__________．①有一个负数x，使12 x>；②∃x0∈R,2x＜12log x；③与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；④有一个奇数不能被3整除．8．用符号“∀”和“∃”表示下列命题，并判断真假．(1)对任意实数x，都有x3＞x2.(2)存在正数φ，使函数y＝cos(2x＋φ)为奇函数成立．9．已知命题“任意x∈R，都有ax2－2ax－3≤0”是真命题，求实数a的取值范围．辅导教案1.答案：2 解析：①中不含量词，②④含有存在量词，③可写成所有全等三角形都相似，含有全称量词.2.答案：②④解析：①③含有存在量词，是存在性命题，②④含有全称量词，是全称命题.3.答案：3 解析：①④⑤含有存在量词，是存在性命题，②③是全称命题.4.答案：①③解析：当x＝3时，232x－＝26＝64＞4成立，∴①为真命题.②∵垂直于同一直线的两平面平行，∴不存在两个相交平面垂直于同一条直线；②为假命题，③如3,5,7的正约数就只有两个，∴③是真命题.5.答案：2 解析：①∵相似三角形的面积比等于对应边长的平方比，∴①为假命题；②为真命题；③当x＝1，y＝3时，x－y＝－2不是自然数，∴③为假命题.6.答案：③⑤解析：①是全称命题，真命题；②是存在性命题；③是全称命题，当两个无理数互为相反数时，和是有理数零，故为假命题；④是全称命题，真命题；⑤是全称命题，假命题.7.答案：2 解析：①是存在性命题，假命题；②是存在性命题，当01 8x＝时，1822<，1 21log8＝3＞2，∴是真命题；③是全称命题；④是存在性命题，如5是奇数，不能被3整除，是真命题8.答案：解：(1)∀x∈R，x3＞x2，假命题.(2)∃φ＞0，y＝cos(2x＋φ)是奇函数，真命题.9.答案：解：∵任意x∈R，都有ax2－2ax－3≤0恒成立，∴0,30a=⎧⎨-≤⎩或20,4120,aa a<⎧⎨∆=+≤⎩解得a＝0或－3≤a＜0，即－3≤a≤0，故实数a的取值范围是－3≤a≤0.。

苏教版数学高二- 选修1-1试题 1.3全称量词与存在量词

1.3 全称量词与存在量词一、填空题1．下列命题：①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有________个．【解析】①中的量词“至少有一个”和④中的量词“存在”都不是全称量词，故这两个命题不是全称命题．②、③中的量词“任意的”是全称量词，所以这两个命题是全称命题，故有2个．【答案】 22．有下列命题：①x∈R，x2＋x＋1＜0；②x∈R，x2＋x＋1＞0；③x∈Z，x2＝2；④x∈R，x2＝2.其中它的否定为假命题的是________．【解析】②④为真命题，故其否定为假命题．【答案】②④3．命题“存在x∈R，使得x2＋x＋2≤0”是________命题(用真或假填空)．【解析】∵Δ＝1－8＜0，∴x2＋x＋2＞0恒成立，∴不存在x∈R，使x2＋x＋2≤0.【答案】假4．关于x的函数f(x)＝sin(ωx＋φ)有以下命题：①φ∈R，f(x＋2π)＝f(x)；②ω∈R，f(x＋1)＝f(x)；③φ∈R，f(x)都不是偶函数；④φ∈R，使f(x)是奇函数．其中假命题的序号是________．【解析】命题①显然错误；命题②当ω＝2π时，即合题意，所以该命题正确；命题③当φ＝kπ＋π2(k ∈Z )时，f(x)是偶函数，所以该命题为假命题；当φ＝kπ(k ∈Z )时，f(x)是奇函数，所以命题④是真命题．【答案】 ①③5．已知命题p ：n ∈N ，2n >1 000，则綈p 为________．【解析】命题为存在性命题，它的否定为全称命题．【答案】 n ∈N ，2n ≤1 0006．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是________．【解析】命题是全称命题，它的否定是存在性命题．【答案】存在一个能被2整除的整数不是偶数7．命题“x ∈R ，－x 2＋2x －a>0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】 x ∈R ，使a<－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1.【答案】 a<18．已知命题p ：“任意x ∈，a≥e x ”，命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题p 为真命题，q 是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】当x ∈，∴a≥e ；又q 为假命题，∴Δ＝16－4a ＜0，即a ＞4.综上，当p 为真命题，q 为假命题时，a 的取值范围是(4，＋∞)．【答案】 (4，＋∞)二、解答题9．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是存在性命题，并判断真假：(1)若a ＞0，且a≠1，则对任意实数x ，a x ＞0；(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1＜x 2，则tan x 1＜tan x 2；(3)T ∈R ，使sin(x ＋T)＝|sin x|； (4) x ∈R ，使x 2＋1＜0.【解】 (1)全称命题，真；(2)全称命题，假；(3)存在性命题，假；(4)存在性命题，假．10．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根；(2)q ：存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋1≤0；(3)r ：等圆的面积相等，周长相等；(4)s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2α＝1.【解】 (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是綈p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，当Δ＝1＋4m ＜0时，即m ＜－14时，一元二次方程没有实数根，所以綈p 是真命题．(2)这一命题的否定形式是綈q：对所有实数x，都有x2＋x＋1＞0.利用配方法可以验证綈q是一个真命题．(3)这一命题的否定形式是綈r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，由平面几何知识知綈r是一个假命题．(4)这一命题的否定形式是綈s：存在a∈R，使sin2α＋cos2α≠1.由于命题s是真命题，所以綈s是假命题．11．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若存在一个实数x，使不等式m－f(x)＞0成立，求实数m的取值范围．【解】(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时需m＞－4.(2)不等式m－f(x)＞0可化为m＞f(x)，若存在一个实数x使不等式m＞f(x)成立，只需m＞f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m＞4.∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．。

2019-2020学年高二数学苏教版选修2-1讲义：第1部分第1章 1.3 1.3.1 量词 Word版含解析

_1.3全称量词与存在量词1．3.1量词[对应学生用书P12]全称量词与全称命题观察下列命题：(1)对任意实数x，都有x>5.(2)对任意一个x(x∈Z)，3x＋1是整数．问题：上述两个命题各表示什么意思？提示：(1)表示对每一个实数x，必定有x>5；(2)对所有的整数x,3x＋1必定是整数．全称量词和全称命题全称量词所有、任意、每一个、任给符号表示∀x表示“对任意x”全称命题含有全称量词的命题一般形式∀x∈M，p(x)存在量词和存在性命题观察下列语句：(1)存在一个实数x，使3x＋1＝7.(2)至少有一个x∈Z，使x能被3和4整除．问题：上述两个命题各表述什么意思？提示：(1)表示有一个实数x，满足3x＋1＝7；(2)存在一个整数Z，满足能被3和4整除．存在量词和存在性命题存在量词有一个、有些、存在一个符号表示“∃x”表示“存在x”存在性命题含有存在量词的命题一般形式∃x∈M，p(x)1．判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，但可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题．[对应学生用书P12]全称命题、存在性命题的判断[例1]判断下列命题是全称命题还是存在性命题．(1)若a>0且a≠1，则对任意x，a x>0；(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2；(3)存在实数T，使得|sin(x＋T)|＝|sin x|；(4)存在实数x，使得x2＋1<0.[思路点拨]分析每一个命题中的量词，再判断．[精解详析](1)、(2)含有全称量词“任意”，是全称命题．(3)、(4)含有存在量词“存在”，是存在性命题．[一点通]判断一个语句是全称命题还是存在性命题的步骤：(1)判断此语句是否为命题；(2)看命题中是否含有量词，并判断该量词是全称量词还是存在量词；(3)对不含或省略量词的命题，要根据命题涉及的实际意义进行判断．1．下列命题中，是全称命题的是________；是存在性命题的是________．(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称命题；②是全称命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称命题；④是存在性命题．答案：①②③④2．判断下列命题是全称命题还是存在性命题：(1)指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3)∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；(4)∃x∈{x|x∈Z}，log2x＞0；(5)负数的平方是正数；(6)有的实数是无限不循环小数；(7)每个二次函数的图像都与x轴相交．解：(1)中含有全称量词“都”，所以是全称命题．(2)中含有存在量词“至少有一个”，所以是存在性命题．(3)中含有全称量词符号“∀”，所以是全称命题．(4)中含有存在量词符号“∃”，所以是存在性命题．(5)中省略了全称量词“都”，所以是全称命题．(6)中含有存在量词“有的”，所以是存在性命题．(7)中含有全称量词“每个”，所以是全称命题.全称命题、存在性命题的表述[例2]判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并用量词符号“∀”，“∃”表述：(1)凸n边形的外角和等于2π；(2)有一个有理数x，满足x2＝3；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.[精解详析](1)全称命题：∀x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.(2)存在性命题：∃x∈Q，x2＝3.(3)全称命题：∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1.[一点通]准确理解全称命题和存在性命题的概念，熟练应用常用的全称量词和存在量词．任何一个全称命题和存在性命题都有多种表述方式，但用符号“∀”“∃”表述却很规范，就是一般式．全称命题：∀x∈M，p(x)；存在性命题：∃x∈M，p(x)．3．将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示：(1)整数中1最小；(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a＜1)至少存在一个负根；(3)对于某些实数x，有2x＋1＞0；(4)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.解：(1)∀x∈Z，x≥1.(2)∃x＜0，有ax2＋2x＋1＝0(a＜1)．(3)∃x∈R，有2x＋1＞0.(4)若∀a⊂α，l⊥a，则l⊥α.全称命题和存在性命题真假的判断[例3]判断以下命题是不是全称命题或存在性命题，并判断真假：(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一解；(4)存在实数x，使1x2－x＋1＝2.[思路点拨]应先分清所给命题是全称命题还是存在性命题，再判断真假．[精解详析](1)是一个存在性命题，是假命题；(2)是一个全称命题，是假命题；(3)是一个全称命题，是假命题；(4)是一个存在性命题，是假命题．[一点通]1．全称命题的真假判断：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个元素x＝x0，使得p(x0)不成立即可．2．存在性命题的真假判断：要判定一个存在性命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个元素x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一存在性命题就是假命题．4．给出下列命题：①∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan x >sin x ； ②∀x ∈R,3x >0；③∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2； ④∃x ∈R ，lg x ＝0.其中为真命题的是________．(填入所有真命题的序号)解析：①中，由于x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin x >0,0<cos x <1，所以tan x －sin x ＝sin xcos x －sin x ＝sin x (1－cos x )cos x >0，所以①是真命题；②中，函数y ＝3x ，x ∈R 的值域是(0，＋∞)，所以②是真命题；③中，函数y ＝sin x ＋cos x ＝ 2 sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R 的值域是[－2，2]，又2∉[－2， 2 ]，所以③是假命题；④中，由于lg 1＝0，所以④是真命题．答案：①②④5．判断下列全称命题的真假． (1)所有的素数是奇数； (2)∀x ∈R ，x 2＋1≥1；(3)对每一个无理数x ，x 2也是无理数．解：(1)2是素数，但不是奇数．所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题． (2)∀x ∈R ⇒x 2≥0⇒x 2＋1≥1.所以，全称命题“∀x ∈R ，x 2＋1≥1”是真命题． (3)2是无理数，但(2)2＝2是有理数．所以，“对每一个无理数x ，x 2也是无理数”是假命题．6．分别判断下列存在性命题的真假： (1)有些向量的坐标等于其起点的坐标； (2)存在x ∈R ，使sin x －cos x ＝2. 解：(1)真命题．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB u u u r ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x 1＝x 1，y 2－y 1＝y 1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2x 1，y 2＝2y 1. 如A (1,3)，B (2,6)，AB u u u r＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＝(1,3)，满足题意．(2)假命题．由于sin x －cos x ＝2⎝⎛⎭⎫22sin x －22cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的最大值为2，所以不存在实数x ，使sin x －cos x ＝2.1．判定命题是全称命题还是存在性命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词；另外，有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．2．要判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中每个元素x ，证明p (x )成立；如果在集合M 中找到一个元素x 0，使得p (x 0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．3．要判定存在性命题“∃x ∈M ，p (x )”是真命题，只需在集合M 中找到一个元素x 0，使p (x 0)成立即可；如果在集合M 中，使p (x )成立的元素x 不存在，那么这个存在性命题是假命题．[对应课时跟踪训练(五)]1．下列命题： ①有的质数是偶数；②与同一平面所成的角相等的两条直线平行； ③有的三角形的三个内角成等差数列； ④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，其中是全称命题的是________，是存在性命题的是________．(只填序号) 解析：根据所含量词可知②④是全称命题，①③是存在性命题．答案：②④ ①③2．下列命题中的假命题是________． ①∀x ∈R,2x －1>0； ②∀x ∈N *，(x －1)2>0； ③∃x ∈R ，lg x <1； ④∃x ∈R ，tan x ＝2.解析：对②，x ＝1时，(1－1)2＝0，∴②假．答案：②3．用符号“∀”或“∃”表示下面含有量词的命题：(1)实数的平方大于或等于0： ____________________________________________； (2)存在一对实数，使3x －2y ＋1≥0成立： _________________________________. 答案：(1)∀x ∈R ，x 2≥0 (2)∃x ∈R ，y ∈R,3x －2y ＋1≥04．命题“∀x ∈R ＋，2x ＋1x ＞a 成立”是真命题，则a 的取值范围是________．解析：∵x ∈R ＋，∴2x ＋1x ≥22，∵命题为真，∴a ＜2 2.答案：(－∞，22)5．已知“∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋1>0”为真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＝0时，不等式为1>0，对∀x ∈R,1>0成立．当a ≠0时，若∀x ∈R ，ax 2＋2ax ＋1>0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－4a <0，解得0<a <1. 综上，a 的取值范围为[0,1)．答案：[0,1)6．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断其真假： (1)对任意x ∈R ，z x ＞0(z >0)；(2)对任意非零实数x 1，x 2，若x 1＜x 2，则1x 1>1x 2；(3)∃α∈R ，使得sin(α＋π3)＝sin α；(4)∃x ∈R ，使得x 2＋1＝0.解：(1)(2)是全称命题，(3)(4)是存在性命题． (1)∵z x ＞0(z >0)恒成立， ∴命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝－1，x 2＝1，x 1＜x 2，但1x 1<1x 2，∴命题(2)是假命题．(3)当α＝π3时，sin(α＋π3)＝sin α成立，∴命题(3)为真命题．(4)对任意x ∈R ，x 2＋1＞0，∴命题(4)是假命题． 7．判断下列命题的真假，并说明理由． (1)∀x ∈R ，都有x 2－x ＋1>12；(2)∃α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β； (3)∀x ，y ∈N ，都有(x －y )∈N ； (4)∃x ，y ∈Z ，使2x ＋y ＝3.解：(1)法一：当x ∈R 时，x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34>12，所以该命题是真命题．法二：x 2－x ＋1>12⇔x 2－x ＋12>0，由于Δ＝1－4×12＝－1<0，所以不等式x 2－x ＋1>12的解集是R ，所以该命题是真命题．(2)当α＝π4，β＝π2时，cos(α－β)＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－π2＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝cos π4＝22，cos α－cos β＝cos π4－cos π2＝22－0＝22，此时cos (α－β)＝cos α－cos β，所以该命题是真命题． (3)当x ＝2，y ＝4时，x －y ＝－2∉N ，所以该命题是假命题．(4)当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，即∃x ，y ∈Z ，使2x ＋y ＝3，所以该命题是真命题． 8．(1)对于任意实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 恒成立，求实数m 的取值范围； (2)存在实数x ，不等式sin x ＋cos x >m 有解，求实数m 的取值范围．解：(1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R . ∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≥－ 2.又∵∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 恒成立． ∴只要m <－2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，－2)． (1)令y ＝sin x ＋cos x ，x ∈R .∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)∈[－2， 2 ]，又∵∃x ∈R ，sin x ＋cos x >m 有解． ∴只要m <2即可．∴所求m 的取值范围是(－∞，2)．。

江苏省—高二数学—随堂练习及答案：第一章 量词

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