数理统计中的三大抽样分布理论系统与题型题法2009

一、 三大抽样分布的分布函数

综 述：)a 根据大数定理和中心极限定理，但样本容量n 较大时（数学上一般要求45n >），任

何分布都依概率收敛于正态分布()2, N μσ，并可标准化为()0, 1N 。

)b 现实世界和工程技术中的任何数据样本流到目前为止，不外乎()0, 1N 的函数分布，

集中表现为3大抽样分布规律。

)c 考研数学中规定：()0, 1N 的分位数定义为下分位数（从图形上看为左边面积），3 大抽样分布的分位数定义都为上分位数（从图形上看为右边面积）

1． ()2n χ分布（分布函数不要求掌握）

量纲模型：

性 质：

()1{

}i X ()2

可加性 ()3

证 明()3：由于()()()

~0,10; 1i i i X N E X D X ⇒==

()()()()

()22

2442

1 1,2,,3

i i i i x i E X E X E X D X i n E X x e

dx +∞

-

-∞

=-===⎡⎤⎣⎦=

=

()()()()()()()()()2

242

2

22112

2211

312

2i

i

i n n i i i i n n i i i i D X E X E X E n E X E X n D n D X D X n

χχ====⎡⎤=-=-=⎣⎦⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑

样本函数中的必需记住的数字特征

()4 上分位点 α定义为()2n χ分布的分位数

2． ()t n 分布（分布函数不要求掌握）

{}i X 独立同分布 2~(0,1), ~();

i X N Y n X Y χ和独立 性 质：

()1 t 分布密度函数()()~(0,1)t n n f x N →∞⇒

()2 上分位点 α定义为()t n 分布的分位数

()3 ()0, 22

n

EX DX n n ==

>- ()4 性质 T 分布具有对称性，

1()(); 45t n t n n αα

-=->时，()t n Z αα≈

3．(), F m n 分布（分布函数不要求掌握）

X 、Y 相互独立，2~(); ~()X m Y n χχ；量纲模型：

例：假定()12, X X 来自正态整体()2~0, X N σ的一个样本，求()()2

12

2

124X X P X X ⎡⎤+<⎢⎥-⎢⎥⎣⎦

。 解：()()()2221212~0, ~0, 2; ~0, 2i X N X X N X X N σσσ⇒+-

()()()()22

22

~0, 1~0, 1~1; ~1N N χχ⇒

()(

)()

()(

)2

2

1222

12241220121~1, 124arctan 2.X X F X X X X P X X π+⇒==-⎡⎤+⇒<==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦

⎰

①上分位点 α定义为()t n 分布的分位数

② 性 质

n

● 证明结论 ()(

)2~1, t n F n ~(0,1)U N 2~()

V n χ ~()

T t n =

2

2

;U T V n

= 而 22~(1)U χ时()()22~(1, )~1, T F n t n F n ⇒⇒

● 证明结论 11

(, )(, )

F n m F m n αα-=

如下

(){}()()()()()()()()()1111

~, ~, 1111, 11, 11, 1 , 1111, , , , X F m n Y F n m X

P X F m n P X F m n P X F m n P F n m X P P F n m F n m X F m n X F m n αααααα

αααα

α

α---=

--⎧⎫⎪⎪

≥=-⇒≤=-⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎧⎫⎪⎪

⇒>=⎨⎬⎪⎪⎩⎭

⎧⎫−−−−−−−−→≥=⎨⎬⎩⎭

⎧⎫⎪⎪⎧⎫>=≥⇒=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭

又根据分位数的定义，而连续分布对一点的概率取值为零，则

二、数理统计中8大样本函数的分布（枢轴量）的详细证明

1． 单个正态总体

设2{}~(, )n X N μσ为一系列简单随机样本，则有

()1 若σ已知，需要估计μ的范围，则使用枢轴量

)证明一：

1

1n

i i X X n ==∑

111

()()n i i E X E X n n n

μμ===⋅⋅=∑

22

2

21

1

1()()n

i i D X D X

n n n

n σσ=

==⋅⋅=∑

证明二：

()0X E E X μμσ⎛⎫ ⎪-=

-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

2()X n D D X μμσσ

⎛⎫ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

=222[()()]n E X E X μμσ---

=(

)

2

22

[20]n

E X X μμσ

+-- =2

2

2

2

[()2]n E X μμσ

+

-=

2

222

(()2)n

E X μμσ

+-

=

2

2

22

[()]1n

n

σμμσ

+

-=

故

~(0,1)

X N μ

σ-