语文版中职数学基础模块下册7.1数列的概念

7.1数列的概念

一、学习目标：

理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项，理解n a 与n S 的关系，培养观察能力和化归能力．

二、自主学习：

1.数列2、5、22、…，则25是该数列的( B )

A ．第6项

B ．第7项

C ．第10项

D ．第11项

2．已知1111,1(2)n n a a n a -==+≥，则5a =85

． 3．在数列{}n a

中n a =，且9n S =，则n =99．

【考点梳理】

1．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1( 111n S S n S a a n n n

(数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ).2．求数列的通项公式的方法（未完，待续）

方法1——观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明；方法2——由a n 与S n 的关系求通项公式。

方法3——归纳、猜想、证明法：有的数列求出通项公式时，常先由递推公式算出前几项，发现规律、归纳、猜想出通项公式再加以证明。

方法4——递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式.

3．数列与函数的关系：

研究数列可联系函数的相关知识，如数列的表示法（列表法、图象法、公式法等）、数列的分类（有限和无穷、有界无界、单调或摆动等）.应注意用函数的观点分析问题.

1）判定数列{a n }的单调性考查的是a n ＋1与a n 的大小关系.

2）待定系数法：

解读：1）比差法或比商法。

2）使用待定系数法的一般步骤是：①确定所求问题含待定系数的解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；3）解方程（组），使问题得到解决。

三、合作探究：

题型1 归纳（从特殊到一般）、猜想、证明的思想方法——科学研究的思维方法 例1 已知数列{}a n 中()a a a a n N n n n 1111

==+∈+且求数列的通项公式。 解法1：由a a a n n n +=+11得a a a 234121314===，，…… 猜想：a n

n =1

再由数学归纳法进行证明：

①n a ==111时等式成立

②假设n k =时等式成立，即a k

k =1 那么n k a a a k k

k k k k =+==+=+++11111111 即n k =+1时等式也成立 综合①②对任意n N ∈都有a n n =

1成立。 解法2：∵a a a n n n ++=11 ∴11111a a a a n n n n

+=+=+ 变式训练1 已知数列{n a }中1a =1，

n n a n n a 11+=+(1)写出数列的前5项；(2)猜想数列的通项公式并用数学归纳法证明你的猜想。 答案：（1）略；（2）n

1a n =，证明略。 小结与拓展：有的数列用一般方法不易求出通项公式，常先由递推公式算出前几项，发现规律、归纳、猜想出通项公式再加以证明。“归纳——猜想——证明”的思想方法是通过观察、尝试、探索规律，从而对命题的结论予以猜测，然后再用数学归纳法证明。归纳猜想是探索发现真理的重要手段。

题型2 周期数列

例2 数列{a n }中，a 1＝3，a n －a n a n ＋1＝1(n ＝1,2，…)，A n 表示数列{a n }的前n 项之积，则求A 2005。

解：可求出a 1＝3，a 2＝23，a 3＝－12，a 4＝3，a 5＝23，a 6＝－12

，…，数列{a n }每3项重复一次，可以理解为周期数列，由2005＝668×3＋1且a 1×a 2×a 3＝－1，则

A 2005＝(a 1×a 2×a 3)…(a 2002×a 2003×a 2004)×a 2005

＝(a 1×a 2×a 3)668a 1＝3.

变式训练1 在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，则a 1000＝( D )

A ．5

B ．－5

C ．1

D ．－1

解：由a 1＝1，a 2＝5，a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *

)，可得该数列为1,5,4，－1，－5，－4,1,5,4，….此数列为周期数列，由此可得a 1000＝－1.

小结与拓展：1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）。

题型3 数列与函数、方程的融合——单调性等

例3 已知函数)(x f ＝2x －2－x ，数列{a n }满足)(log 2n a f ＝－2n ，求数列{a n }通项公式．

解：n a f n a n a n 222)(log 2log 2log 2-=-=-n a a n

n 21-=-得n n a n -+=12

变式训练3 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝na (n ＋1)b

，其中a 、b 均为正常数，那么a n 与a n ＋1的大小关系是 ( B )

A ．a n ＞a n ＋1

B ．a n ＜a n ＋1

C ．a n ＝a n ＋1

D ．与n 的取值有关

解：a n a n ＋1＝na (n ＋1)b ÷(n ＋1)a (n ＋2)b ＝n(n ＋2)(n ＋1)2＝n 2

＋2n n 2＋2n ＋1

＜1， ∵a n ＋1＞0，∴a n ＜a n ＋1. 变式训练4（待定系数法） 已知数列{n a }满足1a =1，1n a +=c n a ＋b,且2a =3,4a =15,求常数b 、c 的值。 答案：b 、c 分别为6、-3或1、2. 小结与拓展：把a n 看成关于n 的函数，其图象是离散的点。可用研究函数的方法研究数列，数列也具有它的定义域、值域、单调性与周期性等。同样Sn 也是这样。 四、课堂总结：（以学生为主，师生共同完成）

1．递推关系包含两种：一种是项和项之间的关系；另一种是项和前n 项和S n 之间的关系.要用转化的数学思想方法.转化是数学中最基本、最常用的解题策略，S n 和a n 的转化，可给出数列，问题总是在一步步的转化过程中得到解决，在运用转化的方法时，一定要围绕转化目标转化.

2．重视函数与数列的联系，重视方程思想在数列中的应用. 五、检测巩固： 1． 求下面各数列的一个通项：

14916(1),,,,24578101113

--⨯⨯⨯⨯L ； (2)数列的前n 项的和 221n S n n =++；

(3)数列{}n a 的前n 项和r ra S n n (1+=为不等于0,1的常数) ．

解：（1）2

(1)(31)(31)n

n n a n n =--+． （2）当1n =时 114a S ==， 当2n ≥时 1n n n a S S -=-=41n -，显然1a 不适合41n a n =-

∴4(1)41(2)n n a n n =⎧=⎨-≥⎩．

（3）由n n ra S +=1可得当2≥n 时111--+=n n ra S ，)(11---=-∴n n n n a a r S S ， ∴1n n n a ra ra -=-，∴1(1),n n a r ra --= ∵1,r ≠ ∴

11-=-r r a a n n ，∵0r ≠， ∴{}n a 是公比为1

-r r 的等比数列．