2010考研数学二真题(有答案解析)
2010考研数学二真题及答案
(Ⅱ) 求方程组 Ax=b 的通解.
(23)设正交矩阵使得 为对角矩阵，若Q的第1
例为
一、填空题
参考解答
(长度单位为m，质量单位为 kg，油的密度为常数 ρkg/m3)
(19)设函数u=(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式
，确定a，b的值，使等式在变换
(20)计算二重积分
(21)设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且 。证明：存在
f'(ξ)+f'(η)=ξ2+η2
(22)设
则当 l=12cm，w=5cm 时，它的对角线增加的速率为．
(6)设 A，B 为 3 阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A-1+B|=2，则|A+B-1|=．
二、选择题(本题共 8 小题，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后括号内．)
(7)函数 的无穷间断点数为
(A) 仅与 m 值有关． (B) 仅与 n 值有关．
(C) 与 m，n 值都有关． (D) 与 m，n 值都无关．
(11) 设函数z=z(x，y)由方程 确定，其中F为可微函数，且
(A) x (B) z． (C) -x． (D)-z． (12)
三、解答题(本题共 9 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
2010考研数学二真题及答案
一、填空题(本题共 6 小题，请将答案写在题中横线上．)
(1)三阶常系数线性齐次微分方程 的通解为 y=．
(2)曲线 的渐近线方程为．
(3)函数 y=ln(1-2x)在 x=0 处的 n 阶导数 ．
2010考研数学二真题
【解析】
?z =-
Fx′= -
F1′???
y x2
??+ ?
F2′???
z x2
? ? ?=
F1′?yx + F2′?xz
=
yF1′+ zF2′,
?x Fz′
F2′?1x
F2′
xF2′
(6) 【答案】 (D).
?z = ?y
Fy′ =-
Fz′
F1′?1x F2′?1x
=
-
F1′, F2′
x ?z + y ?z = yF1′+ zF2′- yF1′= F2′?z = z ．
∫ ∫ (16)(
I
)
比较
1 0
ln
t
??ln
(1 + t )??n
dt 与
1 tn ln t dt (n = 1,2,? ) 的大小 , 说明理由；
0
∫ ( II
)
记 un =
1 0
ln
t
??ln (1+
t )??n
dt
(n = 1,2,?
), 求极限
lim
n→∞
un
.
(17) 设函数
y = f ( x) 由参数方程
.
2x3
(10)
曲线
y=
的渐近线方程为
x2 +1
.
(11) 函数 y = ln (1 - 2x)在x = 0 处的 n 阶导数 y(n) (0) =
.
(12) 当 0 ≤θ≤π时, 对数螺线 r = eθ的弧长为
.
(13) 已 知 一 个 长 方 形 的 长 l 以 2 cm/s 的 速 率 增 加 , 宽 w 以 3 cm/s 的 速 率 增 加．则 当
2010年考研数学(二)试题
(D) e.
1 m ln2 (1− x)
∫ (4) 设 m, n 是正整数,则反常积分 0
dx 的收敛性 ( ) nx
(A) 仅与 m 的取值有关.
(B) 仅与 n 的取值有关.
(C) 与 m, n 取值都有关.
(D) 与 m, n 取值都无关.
(5) 设 函 数
z
=
z(x, y)
,由方程
F(y , x
(23) 设
A
=
⎜ ⎜
−1
3
a
⎟ ⎟
,正交矩阵
Q
使得
QT
AQ
为对角矩阵,若
Q
的第
1
列为
⎜⎝ 4 a 0 ⎟⎠
1 (1, 2,1)T ,求 a,Q 6
参考答案
一、选择题 (1)【答案】 (B).
【解析】因为
f
(x)
=
x2 − x x2 −1
1+
1 x2
有间断点 x = 0, ±1 ,又因为
数学（二）试题 第 3页 （共 3 页）
(5) 【答案】 (B).
【解析】
∂z
=
−
Fx′
=
−
F1′
⎛ ⎜
−
⎝
y x2
⎞ ⎟⎠
+
F2′
⎛ ⎜
−
⎝
z x2
⎞ ⎟⎠
=
F1′ ⋅
y x
+ F2′ ⋅
z x
=
yF1′
+
zF2′
,
∂x Fz′
F2′
⋅
1 x
F2′
xF2′
∂z
=−
【数学二】2010年全国考研研究生入学考试真题及答案答案解析
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 函数()f x =( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.(2) 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解,若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解,12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解,则( ) (A) 11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-. (C) 21,33λμ==. (D) 22,33λμ==. (3) 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,则a = ( )(A) 4e. (B) 3e. (C) 2e. (D) e.(4) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B) 仅与n 的取值有关.(C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关.(5)设函数(,)z z x y =,由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z z x y x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(6) ()()2211lim n nn i j n n i n j →∞===++∑∑ ( ) (A) ()()1200111x dx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C) ()()1100111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()11200111dx dy x y ++⎰⎰. (7) 设向量组12I :,,,r ααα可由向量组12II :,,,s βββ线性表示,下列命题正确的是( )(A) 若向量组I 线性无关,则r s ≤. (B) 若向量组I 线性相关,则r s >.(C) 若向量组II 线性无关,则r s ≤. (D) 若向量组II 线性相关,则r s >.(8) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( ) (A) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解为y = .(10) 曲线3221x y x =+的渐近线方程为 . (11) 函数()ln 120y x x =-=在处的n 阶导数()()0n y = . (12) 当0θπ≤≤时,对数螺线r e θ=的弧长为 .(13) 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加,宽w 以3cm/s 的速率增加.则当cm 12l = ,cm 5w =时,它的对角线增加的速率为 .(14)设,A B 为3阶矩阵,且132,2A B A B -==+=，,则1A B -+= .三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分11分)求函数2221()()x t f x x t e d -=-⎰的单调区间与极值.(16)(本题满分10分) ( I ) 比较()10ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln n t t dt ⎰()1,2,n =的大小,说明理由；( II ) 记()10ln ln 1n n u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n =,求极限lim n n u →∞. (17)(本题满分10分)设函数()y f x =由参数方程22,(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,其中()t ψ具有2阶导数,且5(1)(1) 6.2ψψ'==，已知223,4(1)d y dx t =+求函数()t ψ. (18)(本题满分10分)一个高为l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a ,短轴为2b 的椭圆.现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为32b 时(如图),计算油的质量.(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρkg/m 3) (19) (本题满分11分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足等式2222241250u u u x x y y∂∂∂++=∂∂∂∂,确定a ,b 的值,使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为20u ξη∂=∂∂. (20)(本题满分10分)计算二重积分2 sin D I r θ=⎰⎰,其中(),|0sec ,04D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. (21) (本题满分10分)设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,在开区间()0,1内可导,且(0)0f =,1(1)3f =,证明：存在1(0,)2ξ∈,1(,1)2η∈,使得22()()=.f f ξηξη''++(22)(本题满分11分) 设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解．( I ) 求λ,a ;( II ) 求方程组Ax b =的通解.(23)(本题满分11 分)设0141340A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,正交矩阵Q 使得T Q AQ 为对角矩阵,若Q 的第1列为2,1)T ,求,a Q .。
2010年考研数学二试题及答案
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (B).【解析】因为()f x =0,1x =±,又因为0lim ()lim x x x f x →→→==其中00lim 1,lim 1x x +-→→===-,所以0x =为跳跃间断点.显然1lim ()x f x →==所以1x =为连续点.而1lim ()limx x f x →-→-==∞,所以1x =-为无穷间断点,故答案选择B.(2)【答案】 (A)．【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣⎦⎣⎦,而由已知 ()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以()()0q x λμ-=, ① 又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=． 由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,整理得 ()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦,即 ()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=, ② 由①②求解得12λμ==,故应选(A)． (3)【答案】 (C).【解析】因为曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以2ax x=,即(0)x x =>.又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在2y x =上,当x =时2ay =；在ln y a x =上,x =, lnln 22a ay a ==. 所以ln 222a a a= .从而解得2a e =.故答案选择(C). (4)【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成dx =+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛. 故不论,m n 是什么正整数,总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).(5) 【答案】 (B).【解析】122212122221x z y z y zF F F F F yF zF zx x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅,112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (6) 【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n j n y n →∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j →∞==+∑1(lim )nn i nn i→∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (7) 【答案】 (A)．【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤L L若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα=L ,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤L L ,即r s ≤,选(A). (8) 【答案】 (D).【解析】：设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即A Λ:, ()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭:. 二、填空题(9)【答案】2123cos sin x y C e C x C x =++.【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 32220λλλ-+-=,因式分解得()()()()2222210λλλλλ-+-=-+=,解得特征根为2,i λλ==±,所以通解为 2123cos sin x y C e C x C x =++. (10) 【答案】2y x =.【解析】因为3221lim 2x x x x→∞+=,所以函数存在斜渐近线,又因为 333222222lim 2lim 011x x x x x xx x x →∞→∞---==++,所以斜渐近线方程为2y x =. (11)【答案】()21!n n -⋅-.【解析】由高阶导数公式可知()ln (1)n x +1(1)!(1)(1)n nn x --=-+,所以 ()()()1(1)!(1)!ln 12(1)22(12)(12)n n n n n n n n x x x ----=-⋅-=---, 即()(1)!(0)22(1)!(120)n nn nn y n -=-=---⋅. (12))1e π-.【解析】因为 0θπ≤≤,所以对数螺线r e θ=的极坐标弧长公式为πθ⎰=0e d πθθ⎰)1e π-.(13)【答案】3cm/s .【解析】设(),()l x t w y t ==,由题意知,在0t t =时刻00()12,()5x t y t ==,且0()2,x t '= 0()3y t '=,设该对角线长为()S t ,则 ()S t =,所以()S t '=所以0()3S t '===.(14)【答案】3.【解析】由于1111()()A A B B E AB B B A ----+=+=+,所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =,所以1112B B--==,因此 11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=. 三、解答题(15)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt ----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e --''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-U ,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞U .(16) 【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nn t t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则 []11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n =L .(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(17)【解析】根据题意得(),22dy t dy dt dxdx t dtψ'==+()()()()()()222222222232241t d t t t t t d y dt dx dxt t dtψψψ'⎛⎫ ⎪'''+-+⎝⎭+===++ 即()()()()222261t t t t ψψ'''+-=+,整理有()()()()2131t t t t ψψ'''+-=+,解()()()()()31151,162t t t t ψψψψ'⎧''-=+⎪⎪+⎨⎪'==⎪⎩,令()y t ψ'=,即()1311y y t t '-=++. 所以()()()11113113dt dt t ty e t e dt C t t C -++⎛⎫⎰⎰=++=++ ⎪⎝⎭⎰,1t >-.因为()()116y ψ'==,所以0C =,故()31y t t =+,即()()31t t t ψ'=+,故()()2313312t t t dt t t C ψ=+=++⎰．又由()512ψ=,所以10C =,故()233,(1)2t t t t ψ=+>-.(18)【解析】油罐放平,截面如图建立坐标系之后,边界椭圆的方程为：22221x y a b+= 阴影部分的面积222222bbbba S xdyb y dy b --==-⎰⎰ 令sin ,y b t y b ==-时;22b t y π=-=时6t π=.2662211232cos 2(cos 2)()223S ab tdt ab t dt ab πππππ--==+=+⎰⎰所以油的质量23()3m abl πρ=+.(19)【解析】由复合函数链式法则得u u u u u x x y x ξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂, u u u u u a b y y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂, 22222222u u u u u u u x x x x x xξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 222222,u u uξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 2222222u u u u u u u x y y y y y yξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222(),u u ua b a b ξηξη∂∂∂=+++∂∂∂∂ 22222222()()u u u u u u ua b a a b b a a y y ξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222222,u u u a b ab ξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 故222224125u u ux x y y∂∂∂++∂∂∂∂ []2222222(5124)(5124)12()1080,u u u a a b b a b ab ξηξη∂∂∂=+++++++++=∂∂∂∂所以 22512405124012()1080a a b b a b ab ⎧++=⎪++=⎨⎪+++≠ ⎩,则25a =-或2-,25b =-或2-.又因为当(,)a b 为22(2,2),(,)55----时方程(3)不满足,所以当(,)a b 为2(,2)5-- ,2(2,)5--满足题意.(20)【解析】22sin 1cos 2DI r r drd θθθ=-⎰⎰()222sin 1cos sin Dr r rdrd θθθθ=--⋅⎰⎰D=⎰⎰10xdx =⎰⎰()312201113x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰ ()311220011133dx x dx =--⎰⎰20113cos 43316d πθθπ=-=-⎰.(21)【解析】令()()313F x f x x =-,对于()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在10,,2ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11022F F F ξ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭．对于()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在1,1,2η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11122F F F η⎛⎫'-= ⎪⎝⎭,两式相加得 ()()22f f ξηξη''+=+.所以存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使()()22f f ξηξη''+=+.(22) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-. ( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(23)【解析】由于0141340A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,存在正交矩阵Q ,使得T Q AQ 为对角阵,且Q的第一列为2,1)T ,故A 对应于1λ的特征向量为12,1)T ξ=.根据特征值和特征向量的定义,有1A λ=,即 10141113224011a a λ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可得11,2a λ=-=.故014131410A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭. 由14131(4)(2)(5)041E A λλλλλλλ--=-=+--=-,可得A 的特征值为1232,4,5λλλ==-=.由2()0E A x λ-=,即1234141710414x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量为2(1,0,1)T ξ=-.由3()0E A x λ-=,即1235141210415x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,可解得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)T ξ=-.由于A 为实对称矩阵,123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量,所以123,,ξξξ相互正交,只需单位化：3121231232,1),1,0,1),1,1)T T T ξξξηηηξξξ====-==-, 取()123,,0Q ηηη⎫⎪⎪==⎪⎪⎭,则245T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭.。
2010年考研数学二真题及答案
2010年考研数学二真题及答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1) ．曲线33cos sin x ty t ⎧=⎪⎨=⎪⎩上对应于点6t π=点处的法线方程是＿＿＿＿＿＿. (2) ．设1tan1sinxy ex=⋅,则y '=＿＿＿＿＿＿.(3) ．1=⎰＿＿＿＿＿＿.(4) ．下列两个积分的大小关系是：312x e dx ---⎰＿＿＿＿＿＿ 312x e dx --⎰.(5) ．设函数1, ||1()0, ||1x f x x ≤⎧=⎨>⎩,则函数[()]f f x =＿＿＿＿＿＿.二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) ．已知2lim 01x x ax b x →∞⎛⎫--= ⎪+⎝⎭,其中,a b是常数,则( )(A) ．1,1a b == (B) ．1,1a b =-= (C) ．1,1a b ==- (D) ．1,1a b =-=- (2) ．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续,则()d f x dx ⎡⎤⎣⎦⎰等于( )(A) ．()f x (B) ．()f x dx (C) ．()f x C + (D) ．()f x dx '(3) ．已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()]f x f x '=,则当n 为大于2的正整数时,()f x的n 阶导数()()n f x 是 ( ) (A) ．1![()]n n f x + (B) ．1[()]n n f x + (C) ．2[()]n f x (D) ．2![()]n n f x (4) ．设()f x 是连续函数,且()()xe xF x f t dt -=⎰,则()F x '等于( )(A) ．()()x x e f e f x ---- (B) ．()()x x e f e f x ---+ (C) ．()()x x e f e f x --- (D) ．()()x x e f e f x --+(5) ．设(), 0()(0), 0f x x F x x f x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩,其中()f x 在0x =处可导,(0)0,(0)0f f '≠=,则0x =是()F x 的 ( ) (A) ．连续点 (B) ．第一类间断点(C) ．第二类间断点 (D) ．连续点或间断点不能由此确定三、(每小题5分,满分25分.) (1) ．已知lim()9xx x a x a→∞+=-,求常数a . (2) ．求由方程2()ln()y x x y x y -=--所确定的函数()y y x =的微分dy . (3) ．求曲线21(0)1y x x =>+的拐点. (4) ．计算2ln (1)xdx x -⎰.(5) ．求微分方程ln (ln )0x xdy y x dx +-=满足条件1x e y ==的特解. 四、(本题满分9分)在椭圆22221x y a b+=的第一象限部分上求一点P ,使该点处的切线、椭圆及两坐标轴所围图形面积为最小(其中0,0a b >>).五、(本题满分9分)证明：当0x >,有不等式1arctan 2x x π+>. 六、(本题满分9分)设1ln ()1xt f x dt t =+⎰,其中0x >,求1()()f x f x+.七、(本题满分9分)过点(1,0)P 作抛物线y =,该切线与上述抛物线及x 轴围成一平面图形,求此平面图形绕x 轴旋转一周所围成旋转体的体积.八、(本题满分9分)求微分方程44ax y y y e '''++=之通解,其中a 为实数.答案一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】：18y x -= (2)【答案】：11tan tan 22211111secsin cos x x e e x x x x x ⎛⎫--⎛⎫⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (3)【答案】：415(4)【答案】：> (5)【答案】：1二、选择题(每小题3分,满分15分.) (1)【答案】：C (2)【答案】：B (3)【答案】：A (4)【答案】：A (5)【答案】：B三、(每小题5分,满分25分.)(1)此题考查重要极限：1lim(1).xx e x→∞+=(1)lim()lim (1)xx x x x ax a x a x a x →∞→∞++=--()(1)lim (1)xa a x x a aa x a x⋅→∞⋅--+=-29a a a e e e -===, 得2ln 9a =ln 3a ⇒=. 或由 2222lim()lim 1x a xa a x ax a x x x a a e x a x a -⋅⋅-→∞→∞+⎛⎫=+= ⎪--⎝⎭,同理可得ln 3a =. (2)方程两边求微分,得2dy dx -ln()()()ln()x y d x y x y d x y =-⋅-+-⋅-()ln()()dx dydx dy x y x y x y-=--+--, 整理得 2ln()3ln()x y dy dx x y +-=+-.(3)对分式求导数,有公式2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以2222322(31),(1)(1)x x y y x x --'''==++, 令0y ''=得x =,y ''在此变号,即是x <时,0;y ''<x >时,0;y ''>故拐点为3)4. 本题利用第一个判别定理就足够判定所求点是否是拐点了. (4)由22(1)1(1)(1)(1)dx d x d x x x --==---有 2ln 1ln ()(1)1x dx xd x x=--⎰⎰ln 11()11x dx x x x -+--⎰分部法ln ln |1|1x xx C x=+-+-, C 为任意常数. 注：分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题,如果选择不当可能引起更繁杂的计算,最后甚至算不出结果来.在做题的时候应该好好总结,积累经验. (5)所给方程为一阶线性非齐次方程,其标准形式为11ln y y x x x'+=. 由于 ln |ln |dxx xe x ⎰=,两边乘以ln x 得ln (ln )x y x x'=. 积分得 ln ln xy x dx C x =+⎰, 通解为 ln 2ln x Cy x=+. 代入初始条件1x e y ==可得12C =,所求特解为ln 122ln x y x =+.四、(本题满分9分)对椭圆方程进行微分,有220xdx ydy a b +=22dy b xdx a y⇒=-.过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,当0()y x '存在时,0()k y x '=.所以点(,)x y 处的切线方程为22()b xY y X x a y-=--,化简得到221xX yY a b +=.分别令0X =与0Y =,得切线在,x y 上的截距分别为22,a b x y；又由椭圆的面积计算公式ab π,其中,a b 为半长轴和半短轴,故所求面积为2211,(0,)24a b S ab x a x y π=⋅-∈.,a b 为常数,欲使得S 的最小,则应使得xy 最大；从而问题化为求u xy =(y 由椭圆方程所确定)当(0,)x a ∈时的最大值点.令,0u xy u xy y ''==+=,得y y x '=,再对22221x y a b+=两边求导得220x y y a b '+=,联合可得x =(唯一驻点),即在此点u xy =取得最大,S 取得最小值. 由于0lim ()lim ()x a x S x S x +→-→==+∞,所以()S x 在(0,)a 上存在最小值,x =必为最小点,所求P点为.五、(本题满分9分)证明不等式的一般方法是将表达式移到不等号的一边,令其为()f x ,另一边剩下0,再在给定区间内讨论()f x 的单调性即可证明原不等式.令1()arctan 2f x x x π=+-,则2211()0 (0)1f x x x x'=-<>+.因此,()f x 在 (0,)+∞上单调减；又有lim arctan 2x x π→+∞=,所以11lim ()lim ()lim 022x x x f x x x ππ→+∞→+∞→+∞=+-==, 故0x <<+∞时,()lim ()0x f x f x →+∞>=,所以原不等式得证.六、(本题满分9分)方法1：111ln ()1xtf dt xt =+⎰,由换元积分1t u =,21dt du u -=,1:1t x →⇒:1u x →； 所以 11111ln ln ()1(1)t uxx t uf dt du xtu u ===++⎰⎰.由区间相同的积分式的可加性,有1()()f x f x+=2111ln ln ln 1ln 1(1)2xx x t t t dt dt dt x t t t t +==++⎰⎰⎰.方法2：令1()()()F x f x f x=+,则21lnln 1ln ().111x xx F x x x x x-'=+⋅=++由牛顿-莱布尼兹公式,有1ln ()(1)xx F x F dx x -=⎰21ln 2x =, 而11ln (1)0x F dx x ==⎰,故211()()()ln 2F x f x f x x =+=. 七、(本题满分9分)先求得切线方程：对抛物线方程求导数,得y '=,过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,当0'()y x 存在时,0'()k y x =所以点0(x 处的切线方程为0)y x x =-,此切线过点(1,0)P ,所以把点(1,0)P 代入切线方程得03x =,再03x =代入抛物线方程得01y =,1(3).2y '==由此,与抛物线相切于(3,1)斜率为12的切线方程为21x y -=.旋转体是由曲线(),y f x =直线21x y -=与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的,求旋转体体积V ：方法1：曲线表成y 是x 的函数,V 是两个旋转体的体积之差,套用已有公式得3322121(1)4V x dx dx ππ=--⎰⎰333212111(1)(2)4326x x x πππ=⋅---=.方法2：曲线表成x 是y 的函数,并作水平分割,相应于[],y y dy +小横条的体积微元,如上图所示,22(2)(21),dV y y y dy π⎡⎤=+-+⎣⎦于是,旋转体体积 1322(2)V y y y dy π=-+⎰432112120432y y y π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭6π=.八、(本题满分9分)所给方程为常系数二阶线性非齐次方程,特征方程2440r r ++=的根为122r r ==-,原方程右端axx ee α=中的a α=.当2a α=≠-时,可设非齐次方程的特解axY Ae =,代入方程可得21(2)A a =+, 当2a α==-时,可设非齐次方程的特解2axY x Ae =,代入方程可得12A =, 所以通解为 2122() (2)(2)axxe y c c x ea a -=++≠-+, 22212() (2)2x xx e y c c x ea --=++=-.。
2010考研数学二真题及答案
(长度单位为m，质量单位为 kg，油的密度为常数 ρkg/m3)
(19)设函数u=(x，y)具有二阶连续偏导数，且满足等式
，确定a，b的值，使等式在变换
(2பைடு நூலகம்)计算二重积分
(A) x (B) z． (C) -x． (D)-z． (12)
三、解答题(本题共 9 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)求函数 的单调区间与极值．
(16)(Ⅰ)比较 的大
小，说明理由；
(Ⅱ)记 ，求极限
(17) 设函数y=f(x)由参数方程 所确定，其中φ(t)具有二阶导数，且φ(1)=
(21)设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内可导，且 。证明：存在
f'(ξ)+f'(η)=ξ2+η2
(22)设
已知线性方程组Ax=b存在2个小同的解．(Ⅰ) 求λ，a；
(Ⅱ) 求方程组 Ax=b 的通解.
(23)设正交矩阵使得 为对角矩阵，若Q的第1
例为
一、填空题
参考解答
1三阶常系数线性齐次微分方程的通解为2曲线的渐近线方程为3函数yln12x在2cms的速率增加宽w3cms的速率增加l12cmw5cm时它的对角线增加的速率为小题每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求请将所选项前的字母填在题后括号内
2010考研数学二真题及答案
一、填空题(本题共 6 小题，请将答案写在题中横线上．)
(1)三阶常系数线性齐次微分方程 的通解为 y=．
(2)曲线 的渐近线方程为．
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案答案速查： 一、选择题三、解答题（15）()f x 的单调递减区间为(,1)[0,1)-∞-U ；()f x 的单调递增区间为[1,0)[1,)-+∞U .()f x 的极小值为0；极大值为11(1)2e --.（16）（I ）略；（II ）0 （17）()233(1)2t t t t ψ=+>- （18）23abl πρ⎛⎝⎭（19）(,)a b 为22(,2),(2,)55---- （20）13316π- （21）略（22）（I ） 1λ=-，2a =-； （II ） 32110210x k ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，k 为任意常数（23）1a =-；0Q ⎫⎪⎪=⎪⎪⎭一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1） 函数()f x = （ ）（A ） 0. （B ）1. （C ） 2. （D ）3.【答案】 B【考点】无穷间断点 【难易度】★★ 【详解】解析：()f x = 0,1x =±0lim ()lim x x x f x →→→==，0lim 1,lim 1x x +-→→===-所以0x =为第一类间断点.1lim ()2x f x →==，但函数()f x 在1x =处没有定义，所以1x =可去间断点.1lim ()limx x f x →-→-==∞，所以1x =-为无穷间断点.所以选择B.（2） 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解，12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解，则 （ ） （A ）11,22λμ==. （B ） 11,22λμ=-=-.（C ） 21,33λμ==. （D ） 22,33λμ==.【答案】A【考点】线性微分方程解的性质 【难易度】★★ 【详解】解析：因12y y λμ-是()0y p x y '+=的解；故()()()12120y y p x y y λμλμ'-+-= 所以()()()()11220y p x y y p x y λμ''+-+= 而由已知()()1122(),()y p x y q x y p x y q x ''+=+= 所以()()0q x λμ-=又12y y λμ+是非齐次()()y p x y q x '+=的解； 故()()()()1212y y p x y y q x λμλμ'+++= 所以()()()q x q x λμ+=所以01λμλμ-=⎧⇒⎨+=⎩12λμ==.（3） 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则a = （ ） （A ）4e. （B ）3e. （C ）2e. （D ）e.【答案】C【考点】导数的几何意义 【难易度】★★ 【详解】解析：因2y x =与ln (0)y a x a =≠相切，故2()(ln )x a x ''=⇒12x a x x =⋅⇒= 在2y x =上，x =2a y = 在ln (0)y a x a =≠上，x =1ln 22ay a a == ln ln 1222222a a a a ae a e ⇒=⋅ ⇒= ⇒= ⇒= 所以选择C（4） 设,m n 是正整数，则反常积分⎰的收敛性 （ ）（A ） 仅与m 的取值有关. （B ） 仅与n 的取值有关. （C ） 与,m n 的取值都有关. （D ） 与,m n 的取值都无关. 【答案】D【考点】反常（广义）积分 【难易度】★★★ 【详解】解析：=+⎰，对于，瑕点为0x =设1n > ，1121[ln (1)]1lim 0,01mnx nx x nx+→-⋅=<<故收敛. 设120[ln (1)]1,1,2,lim mx x n m x +→-==存在，不是反常积分. 设12210[ln (1)]1,2,lim mm x x n m x x +-→-=>⋅存在，2011m <-<，故收敛. 对于dx ，瑕点为1x =.当m 为正整数时，1211[ln (1)]lim (1)0mx nx x xδ-→-⋅-=，其中01δ<<，故收敛. 故选D.（5） 设函数(,)z z x y =,由方程(,)0y z F x x=确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，则z zxy x y∂∂+=∂∂ （ ） （A ） x . （B ） z . （C ） x -. （D ） z -. 【答案】B【考点】多元隐函数的求导法 【难易度】★★ 【详解】解析：122212221x z y z y zF F F F F z x x x x x F F F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'∂⎝⎭⎝⎭=-=-=∂'''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''.故选B. （6） ()()2211limn nn i j nn i n j →∞===++∑∑ （ ）（A ）()()12111xdx dy x y ++⎰⎰. （B ） ()()1111xdx dy x y ++⎰⎰.（C ）()()1100111dx dy x y ++⎰⎰. （D ）()()1120111dx dy x y ++⎰⎰. 【答案】D【考点】定积分的概念 【难易度】★★★ 【详解】解析：()()222211111n nnn i j i j n nn i n j n i n j =====++++∑∑∑∑ 因为10111111lim lim 11nn n n i i dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰， 12220211111lim lim 11()nn n n j j n dx j n jn x n→∞→∞====+++∑∑⎰. 故()()11112222000011111lim 11(1)(1)n nn i j n dx dx dx dy x x x y n i n j →∞====++++++∑∑⎰⎰⎰⎰ 故选D.（7） 设向量组12:,,r I αααL 可由向量组12:,,s II βββL 线性表示，下列命题正确的（ ） （A ） 若向量组I 线性无关，则r s ≤. （B ） 若向量组I 线性相关，则r s >. （C ） 若向量组II 线性无关，则r s ≤. （D ） 若向量组II 线性相关，则r s >. 【答案】A【考点】向量组的线性相关与线性无关 【难易度】★★ 【详解】解析：由于向量组I 能由向量组II 线性表示，所以()()r I r II ≤，即11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤L L若向量组I 线性无关，则1(,,)r r r αα=L ，所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤L L ，即r s ≤，选A.（8） 设A 为4阶实对称矩阵，且2A A O +=，若A 的秩为3，则A 相似于 （ ）（A ） 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ） 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ （C ） 1110⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭（D ） 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭【答案】D【考点】实对称矩阵的特征值，实对称矩阵的特性 【难易度】★★★ 【详解】解析：设λ为A 的特征值，由于20A A +=，所以20λλ+=，即(1)0λλ+=，这样A 的特征值为-1或0.由于A 为实对称矩阵，故A 可相似对角化，即A Λ:，()()3r A r =Λ=，因此，1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭，即1110A -⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭:. 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9） 3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解为y = . 【答案】2123cos sin xy C eC x C x =++，其中123,,C C C 为任意常数【考点】高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程【难易度】★★ 【详解】解析：原方程的特征方程为 32220λλλ-+-=，即()()2210λλ-+=.于是得特征根12λ=，2i λ=，3i λ=-(i =因此，通解为2123cos sin xy C eC x C x =++，其中123,,C C C 为任意常数.（10） 曲线3221x y x =+的渐近线方程为 .【答案】2y x =【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★解析：当x →∞时，y →∞，故曲线无水平渐近线.由于函数在(,)-∞+∞内无间断点可知，曲线无垂直渐近线.故而只需要求斜渐近线.3221lim lim 2x x x y x a x x→∞→∞+===，333222222lim(2)lim 2lim 011x x x x x x x b y x x x x →∞→∞→∞--=-=-==++，所以，曲线的斜渐近线方程为2y x =.（11） 函数()ln 120y x x =-=在处的n 阶导数()()0n y = .【答案】()21!nn -⋅-【考点】高阶导数 【难易度】★★ 【详解】解析：用归纳法.122(12)12y x x--'==---，222(2)(1)(2)(12)2(12)y x x --''=----=--， 23332(2)(2)(12)22(12)y x x --''=----=-⋅-，(4)44232(12)y x -=-⋅⋅-，L ∴()2(1)!(12)n n n n yx -=--⇒()(0)2(1)!n n y n =--. （12） 当0θπ≤≤时，对数螺线r e θ=的弧长为 .)1e π-【考点】定积分的几何应用—平面曲线的弧长【难易度】★★ 【详解】解析：0x π≤≤，r e θ=.s ππθθ==⎰⎰=0e d πθθ⋅⎰)1e π-（13） 已知一个长方形的长l 以2/cm s 的速率增加，宽w 以3/cm s 的速率增加.则当12l cm =，5w cm =时，它的对角线增加速率为 .【答案】3/cm s【考点】导数的几何意义 【难易度】★★解析：设(),()l x t w y t ==，由题意知，在0t t =时刻0()12x t =（cm ），0()5y t =（cm ），且0()2x t '=（cm/s ），0()3y t '=（cm/s ），对角线长记为S，()S t ，所以()S t '=所以0()3S t '===（cm/s ）.（14） 设,A B 为3阶矩阵，且132,2A B A B -==+=，,则1A B -+= . 【答案】3【考点】行列式的计算 【难易度】★★ 【详解】解析：由于1111()()A A B BE AB B B A ----+=+=+，所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =，所以1112BB--==，因此 11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=.三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15） （本题满分10分） 求函数2221()(-)x t f x x t e dt -=⎰的单调区间与极值.【考点】函数单调性的判别、判断极值的第一充分条件、积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★ 【详解】 解析：22222222111()()x x x t t t f x x t e dt x e dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰所以2224423311()2222x x t x x t f x xe dt x ex ex e dt ----'=+-=⎰⎰令()0f x '=，则驻点为0,1x x ==±； 因为当1x ≥时，()0f x '>，01x ≤<时，()0f x '<，10x -≤<时，()0f x '>，1x <-时，()0f x '<；所以()f x 的单调递减区间为(,1)[0,1)-∞-U ；()f x 的单调递增区间为[1,0)[1,)-+∞U所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.(1)0f ±=为极小值.（16） （本题满分10分） （I ） 比较()1ln ln 1n t t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n =L 的大小，说明理由；（II ） 记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n =L ，求极限lim n n u →∞. 【考点】夹逼准则、定积分的基本性质【难易度】★★★ 【详解】解析：当0t →时，[]ln ln(1)0,ln 0nnt t t t +→→，所以()1ln ln 1nt t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与1ln n t t dt ⎰均为定积分，故（I ）当01t <<时0ln(1)t t <+<，故[]ln(1)nnt t +<，所以[]ln ln(1)ln nnt t t t +<[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt ∴+<⎰⎰()1,2,n =L（II ）()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+ 故由()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰，根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+故lim 0n n u →∞=.（17）（本题满分11分）设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+ >-⎨=⎩所确定，其中()t ψ具有二阶导数，且5(1)2ψ=，(1)6ψ'=，已知2234(1)d y dx t =+，求函数()t ψ.【考点】由参数方程所确定的函数的导数、自由项为多项式的二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】★★★ 【详解】解析：根据题意得(),22dyt dy dt dx dx t dtψ'==+ ()()()()()()222222222232241t d t t t t t d y dt dx dx t t dtψψψ'⎛⎫ ⎪'''+-+⎝⎭+===++即()()()()222261t t t t ψψ'''+-=+整理有()()()()2131t t t t ψψ'''+-=+解()()()()()31151,162t t t t ψψψψ'⎧''-=+⎪⎪+⎨⎪'==⎪⎩ 令()y t ψ'=即()1311y y t t'-=++ ()()()11113113dt dt t ty e t edt C t t C -++⎛⎫⎰⎰∴=++=++ ⎪⎝⎭⎰ ()()1160y C ψ'==∴=Q ()31y t t ∴=+即()()31t t t ψ'=+ 故()()2313312t t t dt t t C ψ=+=++⎰ 又由()15102C ψ=∴=()233(1).2t t t t ψ∴=+>-（18） （本题满分10分）一个高为l 的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a ，短轴为2b 的椭圆，现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为32b 时（如图），计算油的质量. （长度单位为m ，质量单位为kg ，油的密度为常数3/kg m ρ） 【考点】定积分的物理应用 【难易度】★★★★ 【详解】解析：油的质量M V ρ=，其中油的体积V S h l S =⋅=⋅底底高 又112S S S S ab dxdy π=-=-⎰⎰Q 底椭圆2231022x b a a bab dx dy π-=-⋅⎰3220212a x b ab b dx a π⎛⎫=-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎰32203212a x ab b dx b a a π=--+⋅⎰32203212a x xab ab ab d a aπ=+-⋅-322031112arcsin 122a x ab ab ab x x a a π⎛⎫=+-+⋅- ⎪⎝⎭3323263ab ab ab ab ab πππ⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭故233M S h abl ρπρ⎛⎫=⋅⋅=+ ⎪⎪⎝⎭（19） （本题满分11分）设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数，且满足等式2222241250u u ux x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂，确定,a b 的值，使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为20uξη∂=∂∂. 【考点】多元复合函数二阶偏导数的求法 【难易度】★★★ 【详解】解析：由复合函数链式法则得u u u u u x x y x ξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂ u u u u u a b y y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂ 22222222u u u x x u u u u x x x xξηξηηηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222u u u ξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 222222222222()u u u x y y u u u u y y y y u u u a b a b ξηξηηηξξηηξηξηξη⎛⎫∂∂∂∂=+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 22u u u a b y y ξη⎛⎫∂∂∂∂=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭222222()()u u u u a a b b a a ξξηηξη∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂ 22222222u u u a b ab ξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 故222224125u u ux x y y∂∂∂++∂∂∂∂ 2222222(5124)(5124)(12()108)0u u u a a b b a b ab ξηξη∂∂∂=+++++++++=∂∂∂∂当225124051240(2)12()1080(3)a a b b a b ab ⎧++= (1)⎪++= ⎨⎪+++≠ ⎩时满足等式， 则25a =-或2-，25b =-或2-又因为当(,)a b 为22(2,2),(,)55----时方程（3）不满足，所以当(,)a b 为22(,2),(2,)55-- --满足题意.（20） （本题满分10分）计算二重积分22 sin 1cos DI rr drd θθθ=-⎰⎰，其中(),|0sec ,04D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. 【考点】交换累次积分的次序与坐标系的转换，利用 直角坐标计算二重积分 【难易度】★★★ 【详解】解析：极坐标转化为直角坐标形式：cos x r θ=，sin y r θ=∴22sin 1cos 2DI r r drd θθθ=-⎰⎰()222sin 1cos sin Dr r rdrd θθθθ=--⋅⎰⎰221Dy x y dxdy =-+⎰⎰()11222222011112x xdx y x y dy dx x y d x y =-+=-+-+⎰⎰⎰⎰()312201113x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰()3112200113dx x dx =--⎰⎰20113cos 43316d πθθπ=-=-⎰ （21） （本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续，在开区间()0,1内可导，且f f 1(0)=0,(1)=3. 证明：存在110122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，使得22()()=.f f ξηξη''++【考点】拉格朗日中值定理【难易度】★★★ 【详解】证明：令()()313F x f x x =-对于()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理，得()()1110,,0222F F F ξξ⎛⎫⎛⎫'∃∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①对于()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理，得()()111,1,1222F F F ηη⎛⎫⎛⎫'∃∈-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ②两式相加得()()22f f ξηξη''+=+ （22） （本题满分11分）设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，已知线性方程组Ax b =存在2个不同的解（I ） 求λ,a ;（II ） 求方程组Ax b =的通解.【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条件，非齐次线性方程组的通解 【难易度】★★★ 【详解】解析：方法一：（I ）已知Ax b =有2个不同的解()(,)3r A r A b ∴=<，对增广矩阵进行初等行变换，得2211111(,)010101111111111111010101010110011a A b a a a λλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时，11111111(,)000100010000000A b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时，()1(,)2r A r A b =≠=，Ax b =无解，所以1λ≠.当1λ=-，1111(,)02010002A b a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭由于()(,)3r A r A b =<，所以2a =-.因此，1λ=-，2a =-. 方法二：（I ）已知Ax b =有2个不同的解()(,)3r A r A b ∴=<∴0A =，即21110(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=，知1λ=或-1. 当1λ=时，()1(,)2r A r A b =≠=，此时，Ax b =无解，1λ∴=-.代入由()(,)r A r A b ∴=得2a =-.（II ）310111112111111(,)020101001022000000000000A b ⎛⎫- ⎪-⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即132333212x x x x x ⎧=+⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∴=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.Ax b ∴=的通解为31(1,0,1)(,,0)22T T x k =+- ，k 为任意常数.（23） （本题满分11 分）设0141340A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，正交矩阵Q 使得TQ AQ 为对角矩阵，若Q 的第1列为2,1)T ，求,a Q 【考点】实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵 【难易度】★★★ 【详解】解析：由于0141340A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，存在正交矩阵Q ，使得TQ AQ 为对角阵，且Q 的第一列为2,1)T，故A对应于1λ的特征向量为12,1)Tξ=，故1Aλ=，即10141113224011aaλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由此可得11,2aλ=-=.故014131410A-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭，由14131041E Aλλλλ--=-=-，可得14144141311312314140400441(4)(4)(2)(5)023λλλλλλλλλλλλλλλλ-----=-=----++-=+=+--=-故A的特征值为1232,4,5λλλ==-=，且对应于12λ=的特征向量为12,1)Tξ=.由2()0E A xλ-=，即1234141710414xxx--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭4141711011710270010414000000---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-→-→⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得对应于24λ=-的特征向量为2(1,0,1)Tξ=-.由3()0E A xλ-=，即1235141210415xxx-⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭514121121101121099011011415099000000--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)Tξ=-.由于A 为实对称矩阵，123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量，所以123,,ξξξ相互正交，只需单位化：3121231232,1),1,0,1),1,1)T T T ξξξηηηξξξ====-==-， 取()123,,0Q ηηη⎫⎪⎪==⎪⎪⎭，则245T Q AQ ⎛⎫⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭.。
2010年考研数学真题及答案
考研数学二真题（2010年）一填空题(8×4=32分)2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）函数3()sin x x f x nx-=与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）无穷多个（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-是等价无穷小，则（） （A ）11,6a b ==-（B ）11,6a b == （C ）11,6a b =-=-（D ）11,6a b =-= （3）设函数(,)z f x y =的全微分为dz xdx ydy =+，则点（0，0）（） （A ）不是(,)f x y 的连续点 （B ）不是(,)f x y 的极值点 （C ）是(,)f x y 的极大值点（D ）是(,)f x y 的极小值点（4）设函数(,)f x y 连续，则222411(,)(,)yxydx f x y dy dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰=（）（A ）2411(,)ydx f x y dy -⎰⎰（B ）241(,)xxdx f x y dy -⎰⎰（C ）2411(,)ydx f x y dx -⎰⎰（D ）221(,)ydx f x y dx ⎰⎰（5）若()f x ''不变号，且曲线()y f x =在点（1，1）的曲率圆为222x y +=，则()f x 在区间（1，2）内（） （A ）有极值点，无零点 （B ）无极值点，有零点（C ）有极值点，有零点（D ）无极值点，无零点（6）设函数()y f x =在区间[-1,3]上的图形为则函数0()()xF x f t dt =⎰为（）（7）设Ａ、B 均为2阶矩阵，,A B **分别为A 、B 的伴随矩阵。
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案答案速查： 一、选择题三、解答题（15）()f x 的单调递减区间为(,1)[0,1)-∞-U ；()f x 的单调递增区间为[1,0)[1,)-+∞U .()f x 的极小值为0；极大值为11(1)2e --.（16）(I)略；(II)0 （17）()233(1)2t t t t ψ=+>- （18）23ablπρ⎛⎝⎭（19）(,)a b 为22(,2),(2,)55---- （20）13316π- （21）略（22）(I) 1λ=-，2a =-； (II) 32110210x k ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭，k 为任意常数（23）1a =-；0Q ⎫⎪⎪=⎪⎪⎭一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1) 函数()f x = ( ) (A) 0. (B)1. (C) 2. (D)3.【答案 B【考点】函数间断点的类型 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：函数的间断点分为第一类间断点和第二类间断点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
第二类间断点为无穷间断点。
在本题中，()f x = 0,1x =±0lim ()lim x x x f x →→→==，0lim 1,lim 1x x +-→→===- 所以0x =为第一类间断点1lim ()2x f x →==，但函数()f x 在1x =处没有定义，所以1x =可去间断点。
1lim ()limx x f x →-→-==∞，所以1x =-为无穷间断点.所以选择B.(2) 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解，若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解，12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解，则 ( ) (A)11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-.(C) 21,33λμ==. (D) 22,33λμ==.【答案】A【考点】线性微分方程解的性质及结构 【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：线性微分方程的解的性质即叠加原理，线性微分方程通解的结构为齐次方程的通解加上特解。
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (B).【解析】因为()f x =0,1x =±,又因为0lim ()lim x x x f x →→→==其中00lim 1,lim 1x x +-→→==-,所以0x =为跳跃间断点.显然1lim ()2x f x →==,所以1x =为连续点.而1lim ()limx x f x →-→-==∞,所以1x =-为无穷间断点,故答案选择B.(2)【答案】 (A)．【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣⎦⎣⎦,而由已知 ()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以()()0q x λμ-=, ① 又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=． 由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,整理得 ()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦,即 ()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=, ② 由①②求解得12λμ==,故应选(A)． (3)【答案】 (C).【解析】因为曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以2ax x =,即(0)x x =>.又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在2y x =上,当x =时2ay =；在ln y a x =上,x =, ln 22a a y a ==. 所以ln 222a a a= .从而解得2a e =.故答案选择(C). (4)【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成dx =+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛. 故不论,m n 是什么正整数,总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δ--→→-=--=-,所以收敛,故选(D).(5) 【答案】 (B).【解析】122212122221x z y z y z F F F F F yF zF z x x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (6) 【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnnn i j i j n nn i n j n i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j→∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (7) 【答案】 (A)．【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤ 若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα=,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤,即r s ≤,选(A).(8) 【答案】 (D).【解析】：设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即AΛ, ()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题(9)【答案】2123cos sin x y C e C x C x =++.【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 32220λλλ-+-=,因式分解得()()()()2222210λλλλλ-+-=-+=,解得特征根为2,i λλ==±,所以通解为 2123cos sin x y C e C x C x =++. (10) 【答案】2y x =.【解析】因为3221lim 2x x x x→∞+=,所以函数存在斜渐近线,又因为 333222222lim 2lim 011x x x x x xx x x →∞→∞---==++,所以斜渐近线方程为2y x =. (11)【答案】()21!n n -⋅-.【解析】由高阶导数公式可知()ln (1)n x +1(1)!(1)(1)n nn x --=-+, 所以 ()()()1(1)!(1)!ln 12(1)22(12)(12)n n n n n nn n x x x ----=-⋅-=---, 即()(1)!(0)22(1)!(120)n nn nn y n -=-=---⋅. (12))1e π-.【解析】因为 0θπ≤≤,所以对数螺线r e θ=的极坐标弧长公式为πθ⎰=0e d πθθ⋅⎰)1e π-.(13)【答案】3cm/s .【解析】设(),()l x t w y t ==,由题意知,在0t t =时刻00()12,()5x t y t ==,且0()2,x t '= 0()3y t '=,设该对角线长为()S t ,则()S t =所以()S t '=所以0()3S t '''==.(14)【答案】3.【解析】由于1111()()A A B B E AB B B A ----+=+=+,所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =,所以1112B B--==,因此 11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=. 三、解答题(15)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt ----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e--''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,-∞-,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,-+∞.(16) 【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nn t t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则 []11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n =.(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由 ()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(17)【解析】根据题意得(),22dy t dy dt dxdx t dtψ'==+()()()()()()222222222232241t d t t t t t d y dt dx dx t t dtψψψ'⎛⎫ ⎪'''+-+⎝⎭+===++ 即()()()()222261t t t t ψψ'''+-=+,整理有()()()()2131t t t t ψψ'''+-=+,解()()()()()31151,162t t t t ψψψψ'⎧''-=+⎪⎪+⎨⎪'==⎪⎩,令()y t ψ'=,即()1311y y t t '-=++. 所以()()()11113113dt dt t t y e t e dt C t t C -++⎛⎫⎰⎰=++=++ ⎪⎝⎭⎰,1t >-.因为()()116y ψ'==,所以0C =,故()31y t t =+,即()()31t t t ψ'=+,故()()2313312t t t dt t t C ψ=+=++⎰．又由()512ψ=,所以10C =,故()233,(1)2t t t t ψ=+>-.(18)【解析】油罐放平,截面如图建立坐标系之后,边界椭圆的方程为：22221x y a b+= 阴影部分的面积2222bb ba S xdy b--==⎰⎰ 令sin ,y b t y b ==-时;22b t y π=-=时6t π=.266221122cos 2(cos 2)(2234S ab tdt ab t dt ab πππππ--==+=+⎰⎰所以油的质量2(3m abl πρ=.(19)【解析】由复合函数链式法则得u u u u ux x y x ξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂, u u u u ua b y y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂, 22222222u u u u u u u x x x x x xξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 222222,u u uξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 2222222u u u u u u u x y y y y y yξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222(),u u ua b a b ξηξη∂∂∂=+++∂∂∂∂22222222()()u u u u u u ua b a a b b a a y y ξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222222,u u u a b ab ξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 故222224125u u ux x y y∂∂∂++∂∂∂∂[]2222222(5124)(5124)12()1080,u u u a a b b a b ab ξηξη∂∂∂=+++++++++=∂∂∂∂所以 22512405124012()1080a a b b a b ab ⎧++= ⎪++=⎨⎪+++≠ ⎩,则25a =-或2-,25b =-或2-.又因为当(,)a b 为22(2,2),(,)55----时方程(3)不满足,所以当(,)a b 为2(,2)5-- ,2(2,)5--满足题意.(20)【解析】2sin DI r θ=⎰⎰sin Dr rdrd θ=⎰⎰D=⎰⎰100xdx =⎰⎰()312201113x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰ ()311220011133dx x dx =--⎰⎰20113cos 43316d πθθπ=-=-⎰.(21)【解析】令()()313F x f x x =-,对于()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在10,,2ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11022F F F ξ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭．对于()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在1,1,2η⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11122F F F η⎛⎫'-= ⎪⎝⎭,两式相加得 ()()22f f ξηξη''+=+.所以存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使()()22f f ξηξη''+=+.(22) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭ 当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-. 方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-. ( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(23)【解析】由于0141340A aa-⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭,存在正交矩阵Q,使得TQ AQ为对角阵,且Q的第一列为2,1)T,故A对应于1λ的特征向量为12,1)Tξ=.根据特征值和特征向量的定义,有1Aλ=,即10141113224011aaλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可得11,2aλ=-=.故014131410A-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭.由14131(4)(2)(5)041E Aλλλλλλλ--=-=+--=-,可得A的特征值为1232,4,5λλλ==-=.由2()0E A xλ-=,即1234141710414xxx--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量为2(1,0,1)Tξ=-.由3()0E A xλ-=,即1235141210415xxx-⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,可解得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)Tξ=-.由于A为实对称矩阵,123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量,所以123,,ξξξ相互正交,只需单位化：312123123,1,0,1),1,1)T T Tξξξηηηξξξ====-==-,乐考无忧，为您的考研之路保驾护航！ ;免费考研辅导视频取()123,,0Q ηηη⎫⎪⎪==⎪⎪⎭,则245T Q AQ ⎛⎫ ⎪=Λ=- ⎪ ⎪⎝⎭.。
2010考研数学二真题及答案解析
2010年全国硕士研究生入学考试数学二试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.) (1) 函数()f x =( ) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. (2) 设12,y y 是一阶线性非齐次微分方程()()y p x y q x '+=的两个特解,若常数λμ，使12y y λμ+是该方程的解,12y y λμ-是该方程对应的齐次方程的解,则( )(A) 11,22λμ==. (B) 11,22λμ=-=-. (C) 21,33λμ==. (D) 22,33λμ==.(3) 曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,则a = ( )(A) 4e. (B) 3e. (C) 2e. (D) e. (4) 设,m n 是正整数,则反常积分⎰的收敛性 ( )(A) 仅与m 的取值有关. (B) 仅与n 的取值有关.(C) 与,m n 取值都有关. (D) 与,m n 取值都无关. (5)设函数(,)z z x y =,由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20F '≠,则z zxy x y∂∂+=∂∂( ) (A) x . (B) z . (C) x -. (D) z -.(6) ()()2211limn nn i j nn i n j →∞===++∑∑ ( ) (A)()()120111xdx dy x y ++⎰⎰. (B) ()()100111x dx dy x y ++⎰⎰. (C)()()11111dx dy x y ++⎰⎰. (D) ()()1120111dx dy x y ++⎰⎰. (7) 设向量组12I :,,,r ααα可由向量组12II :,,,s βββ线性表示,下列命题正确的是( )(A) 若向量组I 线性无关,则r s ≤. (B) 若向量组I 线性相关,则r s >.(C) 若向量组II 线性无关,则r s ≤. (D) 若向量组II 线性相关,则r s >. (8) 设A 为4阶实对称矩阵,且2A A O +=,若A 的秩为3,则A 相似于 ( )(A) 1110⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (B) 1110⎛⎫ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (C) 1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (D) 1110-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.) (9) 3阶常系数线性齐次微分方程220y y y y ''''''-+-=的通解为y = .(10) 曲线3221x y x =+的渐近线方程为 .(11) 函数()ln 120y x x =-=在处的n 阶导数()()0n y= .(12) 当0θπ≤≤时,对数螺线r e θ=的弧长为 .(13) 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加,宽w 以3cm/s 的速率增加.则当cm 12l = ,cm 5w =时,它的对角线增加的速率为 .(14)设,A B 为3阶矩阵,且132,2A B A B -==+=，,则1A B -+= . 三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分11分)求函数2221()()x t f x x t e d -=-⎰的单调区间与极值.(16)(本题满分10分)( I ) 比较()1ln ln 1nt t dt +⎡⎤⎣⎦⎰与10ln nt t dt ⎰()1,2,n =的大小,说明理由；( II ) 记()1ln ln 1nn u t t dt =+⎡⎤⎣⎦⎰()1,2,n =,求极限lim n n u →∞. (17)(本题满分10分)设函数()y f x =由参数方程22,(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,其中()t ψ具有2阶导数,且5(1)(1) 6.2ψψ'==，已知223,4(1)d y dx t =+求函数()t ψ. (18)(本题满分10分)一个高为l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为2a ,短轴为2b 的椭圆.现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为32b 时(如图),计算油的质量.(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数ρkg/m 3)(19) (本题满分11分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足等式2222241250u u ux x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂,确定a ,b 的值,使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下化简为20uξη∂=∂∂. (20)(本题满分10分) 计算二重积分2 sin DI r θ=⎰⎰,其中(),|0s e c ,04D rr πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. (21) (本题满分10分)设函数()f x 在闭区间[]0,1上连续,在开区间()0,1内可导,且(0)0f =,1(1)3f =,证明：存在1(0,)2ξ∈,1(,1)2η∈,使得22()()=.f f ξηξη''++ (22)(本题满分11分)设110111a A b λλλ ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= - 0= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪1 1 ⎝⎭⎝⎭，,已知线性方程组Ax b =存在两个不同的解．( I ) 求λ,a ;( II ) 求方程组Ax b =的通解. (23)(本题满分11 分)设0141340A a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,正交矩阵Q 使得TQ A Q 为对角矩阵,若Q 的第1列为2,1)T ,求,a Q .2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (B).【解析】因为()f x =0,1x =±,又因为0lim ()lim x x x f x →→→=,其中00lim 1,lim 1x x +-→→===-,所以0x =为跳跃间断点.显然1lim ()2x f x →==,所以1x =为连续点.而1lim ()limx x f x →-→-==∞,所以1x =-为无穷间断点,故答案选择B.(2)【答案】 (A)．【解析】因12y y λμ-是()0y P x y '+=的解,故()()()12120y y P x y y λμλμ'-+-=,所以()1122()0y P x y y p x y λμ⎡⎤⎡⎤''+-+=⎣⎦⎣⎦,而由已知 ()()()()1122,y P x y q x y P x y q x ''+=+=,所以()()0q x λμ-=, ① 又由于一阶次微分方程()()y p x y q x '+=是非齐的,由此可知()0q x ≠,所以0λμ-=．由于12y y λμ+是非齐次微分方程()()y P x y q x '+=的解,所以()()()()1212y y P x y y q x λμλμ'+++=,整理得 ()()()1122y P x y y P x y q x λμ⎡⎤⎡⎤''+++=⎣⎦⎣⎦,即 ()()()q x q x λμ+=,由()0q x ≠可知1λμ+=, ②由①②求解得12λμ==,故应选(A)． (3)【答案】 (C).【解析】因为曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以2ax x=,即(0)x x =>.又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在2y x =上,当x =2ay =；在ln y a x =上,x =, lnln 22a ay a ==. 所以ln 222a a a= .从而解得2a e =.故答案选择(C). (4)【答案】 (D).【解析】0x =与1x =都是瑕点.应分成=+⎰,用比较判别法的极限形式,对于,由于121012[ln (1)]lim 11mnx n mx xx+→--=.显然,当1201n m<-<,则该反常积分收敛. 当120n m -≤,1210[ln (1)]lim mx nx x+→-存在,此时实际上不是反常积分,故收敛.故不论,m n 是什么正整数,dx 总收敛.对于,取01δ<<,不论,m n 是什么正整数,1211211[ln (1)]lim lim ln (1)(1)01(1)mnmx x x xx x x δδ--→→-=--=-,所以dx 收敛,故选(D).(5) 【答案】 (B).【解析】122212122221x z y z y zF F F F F yF zF zx x x x x F F xF F x⎛⎫⎛⎫''''-+-⋅+⋅ ⎪ ⎪'''+∂⎝⎭⎝⎭=-=-==∂''''⋅, 112211y z F F F z x y F F F x'⋅''∂=-=-=-∂'''⋅, 1212222yF zF yF F z z z x y z x y F F F ''''+⋅∂∂+=-==∂∂'''． (6) 【答案】 (D). 【解析】()()222211111()nnn ni j i j n nn i n jn i n j =====++++∑∑∑∑22111()()n n j i n n j n i ===++∑∑ 12220211111lim lim ,11()nn n n j j n dy j n jn y n→∞→∞====+++∑∑⎰ 1011111lim lim ,11()nn n n i i n dx i n i n x n→∞→∞====+++∑∑⎰()()2222111111lim lim()()n nn nn n i j j i n n j n i n i n j →∞→∞=====++++∑∑∑∑ 221(lim )nn j n n j →∞==+∑1(lim )nn i nn i →∞=+∑ 1120011()()11dx dy x y =++⎰⎰()()11200111dx dy x y =++⎰⎰. (7) 【答案】 (A)．【解析】由于向量组I 能由向量组II 线性表示,所以(I)(II)r r ≤,即11(,,)(,,)r s r r s ααββ≤≤若向量组I 线性无关,则1(,,)r r r αα=,所以11(,,)(,,)r s r r r s ααββ=≤≤,即r s ≤,选(A).(8) 【答案】 (D).【解析】：设λ为A 的特征值,由于2A A O +=,所以20λλ+=,即(1)0λλ+=,这样A 的特征值只能为-1或0. 由于A 为实对称矩阵,故A 可相似对角化,即AΛ,()()3r A r =Λ=,因此,1110-⎛⎫ ⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭,即1110A -⎛⎫⎪- ⎪Λ= ⎪- ⎪⎝⎭. 二、填空题 (9)【答案】2123cos sin xy C eC x C x =++.【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 32220λλλ-+-=,因式分解得()()()()2222210λλλλλ-+-=-+=,解得特征根为2,i λλ==±,所以通解为 2123cos sin xy C e C x C x =++.(10) 【答案】2y x =.【解析】因为3221lim 2x x x x→∞+=,所以函数存在斜渐近线,又因为 333222222lim 2lim 011x x x x x xx x x →∞→∞---==++,所以斜渐近线方程为2y x =. (11)【答案】()21!nn -⋅-.【解析】由高阶导数公式可知()ln(1)n x +1(1)!(1)(1)n nn x --=-+, 所以 ()()()1(1)!(1)!ln12(1)22(12)(12)n n n n n nn n x x x ----=-⋅-=---, 即()(1)!(0)22(1)!(120)n nn nn yn -=-=---⋅. (12))1e π-.【解析】因为 0θπ≤≤,所以对数螺线r e θ=的极坐标弧长公式为πθ⎰=0e d πθθ⎰)1e π-.(13)【答案】3cm/s .【解析】设(),()l x t w y t ==,由题意知,在0t t =时刻00()12,()5x t y t ==,且0()2,x t '=0()3y t '=,设该对角线长为()S t ,则 ()S t =,所以()S t '''=所以0()3S t '===.(14)【答案】3.【解析】由于1111()()A A B BE AB B B A ----+=+=+,所以11111()A B A A B B A A B B -----+=+=+因为2B =,所以1112BB--==,因此 11113232A B A A B B ---+=+=⨯⨯=.三、解答题(15)【解析】因为22222222111()()x x x t t t f x x t e dt xe dt te dt ---=-=-⎰⎰⎰,所以2224423311()2222x x t x x t f x x e dt x ex ex e dt----'=+-=⎰⎰,令()0f x '=,则0,1x x ==±.又22421()24x t x f x e dt x e--''=+⎰,则21(0)20t f e dt -''=<⎰,所以2211111(0)(0)(1)22t t f t e dt e e ---=-=-=-⎰是极大值.而1(1)40f e -''±=>,所以(1)0f ±=为极小值.又因为当1x ≥时,()0f x '>；01x ≤<时,()0f x '<；10x -≤<时,()0f x '>；1x <-时,()0f x '<,所以()f x 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-,()f x 的单调递增区间为(1,0)(1,)-+∞.(16) 【解析】 (I)当01x <<时0ln(1)x x <+<,故[]ln(1)nnt t +<,所以[]ln ln(1)ln nn t t t t +<,则[]11ln ln(1)ln nn t t dt t t dt +<⎰⎰()1,2,n =.(II)()111101ln ln ln 1n n n t t dt t t dt td t n +=-⋅=-+⎰⎰⎰ ()211n =+,故由()1210ln 1n n u t t dt n <<=+⎰,根据夹逼定理得()210lim lim01n n n u n →∞→∞≤≤=+,所以lim 0n n u →∞=.(17)【解析】根据题意得(),22dy t dy dt dxdx t dtψ'==+()()()()()()222222222232241t d t t t t t d y dt dx dx t t dtψψψ'⎛⎫ ⎪'''+-+⎝⎭+===++ 即()()()()222261t t t t ψψ'''+-=+,整理有()()()()2131t t t t ψψ'''+-=+,解()()()()()31151,162t t t t ψψψψ'⎧''-=+⎪⎪+⎨⎪'==⎪⎩,令()y t ψ'=,即()1311y y t t '-=++. 所以()()()11113113dt dt t t y e t e dt C t t C -++⎛⎫⎰⎰=++=++ ⎪⎝⎭⎰,1t >-.因为()()116y ψ'==,所以0C =,故()31y t t =+,即()()31t t t ψ'=+,故()()2313312t t t dt t t C ψ=+=++⎰． 又由()512ψ=,所以10C =,故()233,(1)2t t t t ψ=+>-.(18)【解析】油罐放平,截面如图建立坐标系之后,边界椭圆的方程为：22221x y a b+= 阴影部分的面积2222bbba S xdyb --==⎰⎰ 令sin ,y b t y b ==-时;22b t y π=-=时6t π=. 266221122cos 2(cos 2)(223S ab tdt ab t dt ab πππππ--==+=+⎰⎰所以油的质量2(3m abl πρ=+.(19)【解析】由复合函数链式法则得u u u u u x x y x ξηξξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+∂∂∂∂∂∂∂, u u u u u a b y y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂, 22222222u u u u u u u x x x x x xξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 222222,u u uξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 2222222u u u u u u u x y y y y y yξηηηξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222(),u u ua b a b ξηξη∂∂∂=+++∂∂∂∂ 22222222()()u u u u u u ua b a a b b a a y y ξηξξηηξη⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 22222222,u u u a b ab ξηξη∂∂∂=++∂∂∂∂ 故222224125u u ux x y y∂∂∂++∂∂∂∂ []2222222(5124)(5124)12()1080,u u u a a b b a b ab ξηξη∂∂∂=+++++++++=∂∂∂∂所以 22512405124012()1080a a b b a b ab ⎧++=⎪++=⎨⎪+++≠ ⎩,则25a =-或2-,25b =-或2-.又因为当(,)a b 为22(2,2),(,)55----时方程(3)不满足,所以当(,)a b 为2(,2)5-- ,2(2,)5--满足题意.(20)【解析】2sin DI rθ=⎰⎰sin Dr rdrdθ=⎰⎰D=⎰⎰10xdx =⎰⎰()312201113x dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰ ()311220011133dx x dx =--⎰⎰20113cos 43316d πθθπ=-=-⎰.(21)【解析】令()()313F x f x x =-,对于()F x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在10,,2ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()()11022F F F ξ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭．对于()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上利用拉格朗日中值定理,得存在1,1,2η⎛⎫∈⎪⎝⎭使得 ()()11122F F F η⎛⎫'-= ⎪⎝⎭,两式相加得 ()()22f f ξηξη''+=+.所以存在110,,,122ξη⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,使()()22f f ξηξη''+=+. (22) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,对增广矩阵进行初等行变换,得111110101010111111a A a λλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111010101010110011a a λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎪⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭当1λ=时,11111111000100010000000A a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,此时,()()r A r A ≠,故Ax b =无解(舍去)．当1λ=-时,111102010002A a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+⎝⎭,由于()()3r A r A =<,所以2a =-,故1λ=- ,2a =-.方法2：已知Ax b =有2个不同的解,故()()3r A r A =<,因此0A =,即211010(1)(1)011A λλλλλ=-=-+=,知1λ=或-1.当1λ=时,()1()2r A r A =≠=,此时,Ax b =无解,因此1λ=-.由()()r A r A =,得2a =-.( II ) 对增广矩阵做初等行变换31012111211121020102010102111100000000A ⎛⎫- ⎪----⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪=-→-→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭可知原方程组等价为1323212x x x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,写成向量的形式,即123332110210x x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭.因此Ax b =的通解为32110210x k ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭,其中k 为任意常数.(23)【解析】由于0141340A a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,存在正交矩阵Q ,使得TQ AQ 为对角阵,且Q 的第一2,1)T,故A对应于1λ的特征向量为12,1)Tξ=.根据特征值和特征向量的定义,有1Aλ=,即10141113224011aaλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,由此可得11,2aλ=-=.故014131410A-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭.由14131(4)(2)(5)041E Aλλλλλλλ--=-=+--=-,可得A的特征值为1232,4,5λλλ==-=.由2()0E A xλ-=,即1234141710414xxx--⎛⎫⎛⎫⎪⎪-=⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,可解得对应于24λ=-的线性无关的特征向量为2(1,0,1)Tξ=-.由3()0E A xλ-=,即1235141210415xxx-⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭,可解得对应于35λ=的特征向量为3(1,1,1)Tξ=-.由于A为实对称矩阵,123,,ξξξ为对应于不同特征值的特征向量,所以123,,ξξξ相互正交,只需单位化：3121231232,1),1,0,1),1,1)T T Tξξξηηηξξξ====-==-,取()123,,0Qηηη⎫⎪⎪==⎪⎪⎭,则245TQ AQ⎛⎫⎪=Λ=-⎪⎪⎝⎭.。
2010考研数学二答案真题解析
1= 2 ⋅ 2 + 5⋅3 122 + 52
3.
(14)【答案】3.
【解析】由于 A( A−1 + B)B−1 = (E + AB)B−1 = B−1 + A ,所以
A + B−1= A( A−1 + B)B−1= A A−1 + B B−1
因为 B = 2 ,所以 B= −1
B=−1
1
,因此
2
A + B−1 = A A−1 + B B−1 = 3× 2 × 1 = 3 . 2
梦想不会辜负每一个努力的人
2010 年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题参考答案
一、选择题 (1)【答案】 (B).
【解析】因= 为 f (x)
x2 − x x2 −1
1+
1 x2
有间断点 x=
0, ±1 ,又因为
lim f (=x) lim x(x −1) 1+ =1 lim x 1+ 1 ,
x→0
所以 2x = a= ,即 x a (x > 0) .又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在 y = x2 上,
x
2
当 x = a 时 y = a ；在 y = a ln x 上, x = a = 时, y a= ln a a ln a .
2
2
2
222
所= 以 a a ln a .从而解得 a = 2e .故答案选择(C). 222
F2′
⋅
1 x
F2′
xF2′
∂z
= − Fy′
F1′ = −
⋅
1 x
= − F1′
2010年考研数学(二)真题及参考答案
2010考研数学二真题及答案一选择题1.的无穷间断点的个数为函数222111)(xx x x x f +--= A0 B1 C2 D32.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则A 21,21==μλB 21,21-=-=μλC 31,32==μλD 32,32==μλ3.=≠==a a x a y x y 相切，则与曲线曲线)0(ln 2 A4e B3e C2e De4.设,m n 为正整数,则反常积分210ln (1)mnx dx x-⎰的收敛性A 仅与m 取值有关B 仅与n 取值有关C 与,m n 取值都有关D 与,m n 取值都无关5.设函数(,)z z x y =由方程(,)0y zF x x=确定,其中F 为可微函数,且20,F '≠则z z xy x y∂∂+∂∂= A xB zC x -D z -6.(4)2211lim ()()nnx i j nn i n j →∞==++∑∑= A1201(1)(1)xdx dy x y ++⎰⎰B 1001(1)(1)x dx dy x y ++⎰⎰ C1101(1)(1)dx dy x y ++⎰⎰D112001(1)(1)dx dyx y ++⎰⎰7.设向量组线性表示，，，：，可由向量组s I βββααα⋯⋯21r 21II ,,:，下列命题正确的是：A 若向量组I 线性无关，则s r ≤B 若向量组I 线性相关，则r>sC 若向量组II 线性无关，则s r ≤D 若向量组II 线性相关，则r>s 8.设A 为4阶对称矩阵,且20,+=A A 若A 的秩为3,则A 相似于A 1110⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B 1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭C 1110⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ D 1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ 二填空题9.3阶常系数线性齐次微分方程022=-'+''-'''y y y y 的通解y=__________10.曲线1223+=x x y 的渐近线方程为_______________11.函数__________)0(0)21ln()(==-=n y n x x y 阶导数处的在 12.___________0的弧长为时，对数螺线当θπθe r =≤≤13.已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当l=12cm,w=5cm 时，它的对角线增加的速率为___________ 14.设A ，B 为3阶矩阵，且__________,2,2,311=+=+==--B A B A B A 则 三解答题15.的单调区间与极值。
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r ( A)
r()
3,因此,
1
,即 A
1
1
.
1
0
0
二、填空题
(9)【答案】 y C1e2x C2 cos x C3 sin x .
【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 3 22 2 0 ,因式分解得
2 2 2 22 1 0 ,
解得特征根为 2, i ,所以通解为 y C1e2x C2 cos x C3 sin x .
显然 lim f (x) 1 11 2 ,所以 x 1为连续点.
x1
2
2
而 lim f (x) lim x(x 1)
x1
x1 (x 1)(x 1)
1
1 x2
,所以 x 1 为无穷间断点,故答案选择
B.
(2)【答案】 (A)．
【解析】因 y1 y2 是 y P x y 0 的解,故 y1 y2 P x y1 y2 0,所以
3
明：存在 (0, 1) , (1 ,1) ,使得 f ( ) f ()= 2 2.
2
2
(22)(本题满分 11 分)
11 a
设
A
0
1
，b
1
,已知线性方程组
Ax
b
存在两个不同的解．
1
( I ) 求 ,a; ( II ) 求方程组 Ax b 的通解.
(23)(本题满分 11 分)
(4)【答案】 (D).
【解析】 x 0 与 x 1都是瑕点.应分成
1 m ln2 1 x
1 m ln2 1 x
1 m ln2 1 x
0
nx
dx 2 0
nx
dx 1 2
nx
dx ,
1
[ln2 (1 x)]m
1 m ln2 1 x
用比较判别法的极限形式,对于 2 0
nx
dx ,由于 lim x0
1
(A)
1
.
1
0
1
(B)
1
.
1
0
1
(C)
1
.
1
0
1
(D)
1
.
1
0
二、填空题(9~14 小题,每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答．题．纸．指定位置上.)
(9) 3 阶常系数线性齐次微分方程 y 2y y 2y 0 的通解为 y .
(10) 曲线 y 2x3 的渐近线方程为 . x2 1
2010 年全国硕士研究生入学统一考试
数学二试题
一、选择题(1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.)
(1)
函数
f
x
x2 x x2 1
1
1 x2
的无穷间断点的个数为(
)
(A) 0.
(B) 1.
(11) 函数 y ln 1 2x在x 0 处的 n 阶导数 yn 0 = .
(12) 当 0 时,对数螺线 r e 的弧长为 . (13) 已知一个长方形的长 l 以 2 cm/s 的速率增加 ,宽 w 以 3 cm/s 的速率增加 .则当 l 12cm , w 5cm 时,它的对角线增加的速率为 .
2t t (t)
2
,
(t
1) 所确定,其中 (t) 具有
2
阶导数,且
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(1)
5 ， 2
(1)
6. 已知
d2y dx2
3 4(1
t)
,
求函数
(t)
.
(18)(本题满分 10 分)
一个高为 l 的柱体形贮油罐,底面是长轴为 2a ,短轴为 2b 的椭圆.现将贮油罐平放,当
n i1 n i n n i1 1 ( i ) 0 1 x
n
nn
n
n1
n1
lim
n i1 j1 n i
n2 j2
lim(
n
j 1
n2
j2 )( i1
) ni
(lim n
n j 1
n2
n
j2 )
(lim n
n i 1
n) ni
(
1 1 dx)( 01 x
11 0 1 y2
(10) 【答案】 y 2x .
2x3 【解析】因为 lim x2 1 2 ,所以函数存在斜渐近线,又因为
x x
lim
x
2x3 x2 1
2x
lim
x
2x3
2x3 x2 1
2x
0
,所以斜渐近线方程为
y
2x
.
(11)【答案】 2n n 1!.
【解析】由高阶导数公式可知 ln(n) (1 x) (1)n1 (n 1)! , (1 x)n
r s ,选(A).
(8) 【答案】 (D).
【解析】：设 为 A 的特征值,由于 A2 A O ,所以 2 0 ,即 ( 1) 0 ,这样 A 的
特 征 值 只 能 为 -1 或 0. 由 于 A 为 实 对 称 矩 阵 , 故 A 可 相 似 对 角 化 , 即 A ,
1
1
f
(x)
x2 x x2 1
1
1 x2
有间断点 x 0, 1,又因为
lim f (x) lim x(x 1) 1 1 lim x 1 1 ,
x0
x0 (x 1)(x 1) x2 x0
x2
其中 lim x x0
1 1 x2
1, lim x x0
1 1 x2
1,所以 x 0 为跳跃间断点.
(A) 若向量组 I 线性无关,则 r s .
(B) 若向量组 I 线性相关,则 r s .
数学（二）试题 第 1 页 （共 13 页）
(C) 若向量组 II 线性无关,则 r s .
(D) 若向量组 II 线性相关,则 r s .
(8) 设 A 为 4 阶实对称矩阵,且 A2 A O ,若 A 的秩为 3,则 A 相似于 ( )
所以 2x a ,即 x a (x 0) .又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在 y x2 上,
x
2
当 x a 时 y a ；在 y a ln x 上, x a 时, y a ln a a ln a .
2
2
2
222
所以 a a ln a .从而解得 a 2e .故答案选择(C). 222
(14)设 A, B 为 3 阶矩阵,且 A 3，B 2, A1 B 2 ,则 A B1 = .
三、解答题(15~23 小题,共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.)
(15) (本题满分 11 分)
求函数 f (x) x2 (x2 t)et2 d 的单调区间与极值. 1
(B) 仅与 n 的取值有关. (D) 与 m, n 取值都无关.
(5) 设 函 数 z z( x,
y), 由 方 程 F ( y , z ) xx
0确 定 , 其 中 F 为 可 微 函 数 , 且 F2 0 , 则
x z y z ( ) x y
(A) x .
(B) z .
nn
(6) lim
n
()
n i1 j1 n i n2 j2
(C) x .
(D) z .
1
x
(A) dx
1
dy .
0 0 1 x 1 y2
(B)
1
0
dx
x
0
1
x
1
1
y
dy
.
(C)
1
0
1
dx0
1
1
x 1
y
dy
.
1
1
(D) dx
1
dy .
0 0 1 x 1 y2
(7) 设向量组 I :1,2, ,r 可由向量组 II : 1, 2, , s 线性表示,下列命题正确的是( )
1
xn 1
1 2
xn m
1.
显然,当 0 1 2 1,则该反常积分收敛. nm
1
当
1 n
2 m
0,
lim
x0
[ln2 (1
1
x)]m
存在,此时
1 m ln2 1 x
2
0
nx
dx 实际上不是反常积分,故收
xn
敛.
1 m ln2 1 x
1 m ln2 1 x
故不论 m, n 是什么正整数, 2 0
2
2
(D) 2 , 2 . 33
(3) 曲线 y x2 与曲线 y a ln x(a 0) 相切,则 a ( )
(A) 4e.
(B) 3e.
(C) 2e.
(D) e.
1 m ln2 1 x
(4) 设 m, n 是正整数,则反常积分 0
dx 的收敛性 ( ) nx
(A) 仅与 m 的取值有关. (C) 与 m, n 取值都有关.
y1
P
x
y1
y2
p(x) y2
0
,
而由已知 y1 P x y1 q x, y2 P x y2 q x ,所以
qx 0,
①
又由于一阶次微分方程
是非齐的,由此可知 qx 0 ,所以
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0．
由于 y1 y2 是非齐次微分方程 y P x y q x 的解,所以
(16)(本题满分 10 分)