含有一个量词的否定
1.4.2 含有一个量词的命题的否定
1.4.2含有一个量词的命题的否定学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.会对含有一个量词的命题进行否定.3.掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.知识点一全称命题与特称命题的否定思考1写出下列命题的否定：①所有的矩形都是平行四边形；②有些平行四边形是菱形.答案①并非所有的矩形都是平行四边形.②每一个平行四边形都不是菱形.思考2对①的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形？答案不能.思考3对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形？答案不能.知识点二含有一个量词的命题p的否定真假性判断对“含有一个量词的命题p的否定”的真假判断一般有两种思路：一是直接判断¬p的真假，二是用p与¬p的真假性相反来判断.类型一全称命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)p：任意n∈Z，则n∈Q；(2)p：等圆的面积相等，周长相等；(3)p：偶数的平方是正数.解(1)¬p：存在n0∈Z，使n0∉Q，这是假命题.(2)¬p：存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题.(3)¬p：存在偶数的平方不是正数，这是真命题.反思与感悟(1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定.(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”.跟踪训练1写出下列全称命题的否定：(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；(2)p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；(3)p：数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；(4)p：可以被5整除的整数，末位是0.解(1)¬p：存在一个能被3整除的整数不是奇数.(2)¬p：∃x0∈Z，x20的个位数字等于3.(3)¬p：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数.(4)¬p：存在被5整除的整数，末位不是0.类型二特称命题的否定例2写出下列特称命题的否定：(1)p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(2)p：有的三角形是等边三角形；(3)p：有一个素数含三个正因数.解(1)¬p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.(2)¬p：所有的三角形都不是等边三角形.(3)¬p：每一个素数都不含三个正因数.反思与感悟 与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词，再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定. 跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)至少有一个实数x 0，使得x 20＋2x 0＋5＝0； (2)存在一个平行四边形，它的对角线互相垂直； (3)存在一个三角形，它的内角和大于180°； (4)存在偶函数为单调函数.解 (1)命题的否定：对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0，是真命题.(2)命题的否定：对于任意的平行四边形，它的对角线都不互相垂直，是假命题. (3)命题的否定：对于任意的三角形，它的内角和小于或等于180°，是真命题. (4)命题的否定：所有的偶函数都不是单调函数，是真命题. 类型三 全称命题与特称命题的应用例3 (1)已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________. 答案 (0,1)解析 方法一 若命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋a ≤0是真命题，得Δ＝(2a )2－4a ≥0，即a (a －1)≥0, 若命题p 是假命题，则a (a －1)<0，解得0<a <1.方法二 依题意，命题¬p ：∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0是真命题，得Δ＝(2a )2－4a <0，即a (a －1)<0，解得0<a <1.(2)已知命题p (x )：sin x ＋cos x >m ，q (x )：x 2＋mx ＋1>0.如果对∀x ∈R ，p (x )为假命题且q (x )为真命题，求实数m 的取值范围.解 由于命题p (x )：对∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 是假命题， 则¬p (x )：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0≤m 是真命题， 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－2，2]， 所以m ≥－ 2即可.由于q (x )：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0为真命题， 即对于∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立， 有Δ＝m 2－4<0，所以－2<m <2. 依题意，得－2≤m <2.所以实数m 的取值范围是{m |－2≤m <2}.反思与感悟 (1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决.(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.跟踪训练3已知命题p：“∃x0∈R，sin x0<m”，命题q：“∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”，若p∧q是真命题，求实数m的取值范围.解由于p∧q是真命题，则p，q都是真命题.因为“∃x0∈R，sin x0<m”是真命题，所以m>－1.又因为“∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，所以Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2.综上所述，实数m的取值范围是(－1,2).1.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A.¬p：∀x∈A,2x∉BB.¬p：∀x∉A,2x∉BC.¬p：∃x0∉A,2x0∈BD.¬p：∃x0∈A,2x0∉B答案D解析根据题意可知命题p：∀x∈A,2x∈B的否定是¬p：∃x0∈A,2x0∉B.2.设命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，则¬p为()A.∃x0∈R，x20＋1＞0B.∃x0∈R，x20＋1≤0C.∃x0∈R，x20＋1＜0D.∀x∈R，x2＋1≤0答案B解析命题p：∀x∈R，x2＋1＞0，是一个全称命题.∴¬p：∃x0∈R，x20＋1≤0.3.下列命题的否定为假命题的是()A.∃x∈R，x2＋2x＋2≤0B.∀x∈R，lg x＜1C.所有能被3整除的整数都是奇数D.∀x∈R，sin2x＋cos2x＝1解析对于选项A，因为x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0，所以∃x∈R，x2＋2x＋2≤0是假命题，故其否定为真命题；对于选项B，因为当x＞10时，lg x＞1，所以∀x∈R，lg x＜1是假命题，故其否定为真命题；对于选项C，因为6能被3整除，但6是偶数，所以这是假命题，其否定为真命题；对于选项D，显然成立，因此其否定是假命题.4.“∃x0∈M，p(x0)”的否定为________________.答案∀x∈M，¬p(x)5.“至多有两个人”的否定为________________.答案至少有三个人解析“至多有两个人”含义是有0人或1人或2人，故“至多有两个人”的否定为“至少有三个人”.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题.(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.一、选择题1.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A.所有不能被2整除的整数都是偶数B.所有能被2整除的整数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的整数是偶数D.存在一个能被2整除的整数不是偶数答案D解析原命题为全称命题，其否定应为特称命题，且结论否定.2.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()A.∀x∈R，|x|>0B.∃x0∈R，|x0|>0C.∀x∈R，|x|≤0D.∃x0∈R，|x0|≤0解析由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.3.命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是()A.存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0B.不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C.对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D.对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0答案D解析特称命题的否定是全称命题.4.已知命题“∀a、b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是()A.∀a、b∈R，如果ab<0，则a<0B.∀a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0C.∃a、b∈R，如果ab<0，则a<0D.∃a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0答案B解析条件ab>0的否定为ab≤0；结论a>0的否定为a≤0，故选B.5.下列命题错误的是()A.命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”B.若p∧q为假命题，则p、q均为假命题C.命题p：存在x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则¬p：任意x∈R，都有x2＋x＋1≥0D.“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件答案B解析由逆否命题“条件的否定作结论，结论的否定为条件”知A为真命题；p∧q为假命题时，p假或q假，故B错误；由“非”命题的定义知C正确；∵x>2时，x2－3x＋2>0成立，x2－3x＋2>0时，x<1或x>2，∴D正确.6.已知命题p：∃n∈N,2n>1 000，则¬p为()A.∀n∈N,2n≤1 000B.∀n∈N,2n>1 000C.∃n∈N,2n≤1 000D.∃n∈N,2n>1 000答案A解析特称命题的否定为全称命题，“>”的否定为“≤”.7.下列命题中是假命题的是()A.∃m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减B.∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点C.∃α、β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD.∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 答案 D解析 ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1， ∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真； ∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为⎣⎡⎭⎫－14，＋∞， ∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解， 即f (x )有零点，故B 真； 当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真； 当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数，故D 为假命题. 二、填空题8.命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是______________. 答案 任意x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠0解析 特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”. 9.命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________________________________________________________________________. 答案 过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内 解析 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词.10.已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值范围是________________. 答案 m ≤－2或－1<m <2 解析 p ：m ≤－1，q ：－2<m <2， ∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2， 当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值范围是m ≤－2或－1<m <2.11.若“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值范围是________________. 答案 a >2或a <－2解析 由于∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0，又二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1开口向上，故Δ＝a 2－4>0，所以a >2或a <－2. 三、解答题12.写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除.解 (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实数根，因此¬p 是真命题. (2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题. (3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题. (4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题. 13.若“∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x 0＋3cos x 0<m ”为假命题，求实数m 的取值范围. 解 令f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，可知f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数， 在⎝⎛⎦⎤π6，π2上为减函数，由于f (0)＝3，f ⎝⎛⎭⎫π2＝1， 所以1≤f (x )≤2，由于“∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2， sin x 0＋3cos x 0<m ”为假命题，则其否定“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，sin x ＋3cos x ≥m ”为真命题， 所以m ≤f (x )min ＝1，即m ≤1.。
高中数学 1.4.3含有一个量词的命题的否定练习 新人教A版高二选修1-1数学试题
1.4.3含有一个量词的命题的否定一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( ) A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数 D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数 [答案] B[解析] 量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B ．2．(2015·潍坊四县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |>0 B ．∃x 0∈R ，|x 0|>0 C ．∀x ∈R ，|x |≤0 D ．∃x 0∈R ，|x 0|≤0[答案] C[解析] 由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C ．3．(2015·东北三校模拟)已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，sin x ＝12，则¬p 为( )A ．∀x ∈(0，π2)，sin x ＝12B ．∀x ∈(0，π2)，sin x ≠12C ．∃x ∈(0，π2)，sin x ≠12D ．∃x ∈(0，π2)，sin x >12[答案] B[解析] ¬p 表示命题p 的否定，即否定命题p 的结论，由“∃x ∈m ，p (x )”的否定为“∀x ∈m ，¬p (x )”知选B4．(2015·某某省八校联考)命题“∀x ∈R ，e x >x 2”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，使e x >x 2B ．∃x ∈R ，使e x <x 2C ．∃x ∈R ，使e x ≤x 2D ．∀x ∈R ，使e x ≤x 2[答案] C[解析] 原命题为全称命题，故其否定为存在性命题，“>”的否定为“≤”，故选C ． 5．(2015·某某市曲江一中月考)下列说法正确的是( )A ．“a >1”是“f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件B ．命题“∃x ∈R 使得x 2＋2x ＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0”C ．“x ＝－1”是“x 2＋2x ＋3＝0”的必要不充分条件 D ．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则¬p 是真命题 [答案] A[解析] a >1时，f (x )＝log a x 为增函数，f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)为增函数时，a >1，∴A 正确；“<”的否定为“≥”，故B 错误；x ＝－1时，x 2＋2x ＋3≠0，x 2＋2x ＋3＝0时，x 无解，故C 错误；∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴p 为真命题，从而¬p 为假命题，∴D 错误．6．命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是( ) A ．存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 B ．不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 C ．对任意的实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根 [答案] C[解析] ¬p ：对任意实数m ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根，故选C ． 二、填空题7．命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是______. [答案] 任意x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5≠0[解析] 特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”． 8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________. [答案] 过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内 [解析] 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．9．命题“∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0”为真命题，则实数a 的取值X 围是________. [答案] a >2或a <－2[解析] 由于∃x ∈R ，使x 2＋ax ＋1<0，又二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1开口向上，故Δ＝a 2－4>0，所以a >2或a <－2.三、解答题10．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)被8整除的数能被4整除．[解析] (1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0都有实数根”，其否定是¬p ：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m <0，即m <－14时，一元二次方程没有实根，因此¬p 是真命题．(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题． (3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题． (4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．一、选择题1．(2015·某某理)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *,f (n )∉N *且f (n )>n B ．∀n ∈N *,f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *,f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 [答案] D[解析] 命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ” 其否定为：“∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0”．2．已知命题“∀a 、b ∈R ，如果ab >0，则a >0”，则它的否命题是( ) A ．∀a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0 B ．∀a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 C ．∃a 、b ∈R ，如果ab <0，则a <0 D ．∃a 、b ∈R ，如果ab ≤0，则a ≤0 [答案] B[解析] 条件ab >0的否定为ab ≤0； 结论a >0的否定为a ≤0，故选B ．3．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(¬p )∧qC ．p ∧(¬q )D ．(¬p )∧(¬q )[答案] B[解析] 由20＝30知p 为假命题；令h (x )＝x 3＋x 2－1，则h (0)＝－1<0，h (1)＝1>0，∴方程x 3＋x 2－1＝0在(－1,1)内有解，∴q 为真命题，∴(¬p )∧q 为真命题，故选B ．4．(2014·某某省某某市检测)下列命题中是假命题．．．的是( ) A ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减 B ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点 C ．∃α、β∈R ，使cos(α＋β)＝cos α＋sin βD ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 [答案] D[解析] ∵f (x )为幂函数，∴m －1＝1，∴m ＝2，f (x )＝x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上递减，故A 真；∵y ＝ln 2x ＋ln x 的值域为[－14，＋∞)，∴对∀a >0，方程ln 2x ＋ln x －a ＝0有解，即f (x )有零点，故B 真；当α＝π6，β＝2π时，cos(α＋β)＝cos α＋sin β成立，故C 真；当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos2x 为偶函数，故D 为假命题．二、填空题5．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14<0，命题q ：∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2，则p ∨q ，p ∧q ，¬p ，¬q 中是真命题的有________.[答案] p ∨q ¬p[解析] ∵x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，故p 是假命题，而存在x 0＝π4，使sin x 0＋cos x 0＝2，故q 是真命题，因此p ∨q 是真命题，¬p 是真命题．6．(2015·某某市八县联考)已知命题p ：m ∈R ，且m ＋1≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，若p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，则m 的取值X 围是________.[答案] m ≤－2或－1<m <2[解析] p ：m ≤－1，q ：－2<m <2，∵p ∧q 为假命题且p ∨q 为真命题，∴p 与q 一真一假，当p 假q 真时，－1<m <2，当p 真q 假时，m ≤－2，∴m 的取值X 围是m ≤－2或－1<m <2.三、解答题7．写出下列命题的否定． (1)p ：∀x >1，log 2x >0； (2)p ：∀a ，b ∈R ，a 2＋b 2>0； (3)p ：有的正方形是矩形； (4)p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋2>0. [解析] (1)¬p ：∃x 0>1，log 2x 0≤0. (2)¬p ：∃a 、b ∈R ，a 2＋b 2≤0. (3)¬p ：任意一个正方形都不是矩形． (4)¬p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋2≤0. 8.已知命题p ：f (x )＝x ＋1x ＋a在[2，＋∞)上单调递减；命题q ：g (x )＝log a (－x 2－x ＋2)的单调递增区间为[－12，1)．若命题p ∧q 为真命题．某某数a 的取值X 围．[解析] ∵f (x )＝x ＋1x ＋a ＝1＋1－ax ＋a在[2，＋∞)上单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a >0，－a ≤2.∴－2≤a <1.∵g (x )＝log a (－x 2－x ＋2)的单调递增区间为[－12，1)，∴0<a <1.要使p ∧q 为真命题，应有p 真且q 真，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a <1，0<a <1，∴0<a <1.∴实数a 的取值X 围是0<a <1.。
常用逻辑用语含有一个量词的命题的否定
在日常生活中，我们常常需要对这些命题进行否定。如“不是所有的猫都喜欢吃 鱼”、“不是所有人都喜欢运动”、“不是有些人喜欢吃甜食”等等。这些否定 命题中，量词不变，但是否定的内容变了。
在法律和医学中的应用
法律中的否定
在法律中，否定命题的应用非常广泛。如“不得侵犯他人的 人身权利”、“不得盗窃他人财物”、“不得伪造证件”等 等。这些命题中都包含着量词，如“不得”、“可以”。
命题
命题是一个判断（陈述）的语义表达，它可以被证实为真或 假。
命题的否定的定义与性质
命题的否定
命题的否定是在原命题的基础上，对其结论进行否定，即原命题为真，其否 定为假；原命题为假，其否定为真。
命题否定的性质
命题的否定具有唯一性，即对于任何一个命题，其否定只有一个。
常用逻辑用语与命题否定的关系
关系
02
关注逻辑学的新进展：随着逻辑学的发展，对于含有一个量词的命题的否定的 研究也在不断深入。需要关注逻辑学的新进展，以便了解最新的研究成果和研 究趋势。
03
研究实际应用：研究含有一个量词的命题的否定不仅是为了理论上的探讨，还 为了解决实际应用中的问题。因此，需要结合实际应用场景，研究和解决具体 问题。
04
命题否定与逻辑关系
命题否定与逻辑运算符的关系
命题否定与逻辑运算符的关联
命题否定是一种逻辑否定与逻辑运算符的差异
命题否定只对一个命题进行操作，而逻辑运算符可以对多个命题进行操作。
命题否定与逻辑推理的关系
命题否定与逻辑推理的关联
数学命题的否定
数学命题的否定是指以原命题的否定的真假为依据，即 若原命题为真则其否命题为假，若原命题为假则其否命 题为真。
在日常思维中的应用
1.4.3 含有一个量词的 命题的否定 全称命题-高中数学选修2-1教案
1.4.3含有一个量词的命题的否定【教学内容分析】“含有一个量词的命题的否定”选自数学人教A版选修2-1第一章第四节的内容，它包括两块内容：一是含有一个全称量词的命题的否定，二是含有一个存在量词的命题的否定。
本节课是学生在老师的带领下，通过探究理解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，并且会正确地对含有一个量词的命题进行否定。
在教学中使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力,通过学生的合作探究,培养培养他们的良好的思维品质。
【学情分析】本节内容是数学选修2-1第一章的最后一节内容,学习对象为高二年级学生，他们在前面已经学习了全称量词与存在量词的定义，以及否命题和一般命题的否定。
所以本节课在此基础上，也是学生对命题的否定的再认识，学生能够知道含有一个量词的命题的否定方法和前面学习的一般命题的否定方法有部分区别。
同时学好本节课也是为了让学生对否命题与命题的否定能够区分开。
【教学目标】1．知识与技能目标：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；2．过程与方法目标：通过探究实例，能够归纳出含一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律；3．情感态度价值观：通过本节课的学习，培养学生的辨析能力以及良好的思维品质。
【教学重难点】重点：理解全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题；难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定。
【设计思路】本节课是针对于高二年级的教学内容，“含有一个量词的命题的否定”即是含有全称量词或者存在量词的命题的否定。
学生通过探究实例，老师进行引导归纳出全称命题的否定变成了特称命题，在这一过程当中，量词进行改变，条件不变，结论进行否定。
其次学生通过类比全称命题的否定是特称命题，自行归纳得出特称命题的否定是全称命题，在这一过程当中，还是量词进行改变，条件不变，结论否定。
所以通过对比形式变化，可以得出：含有一个量词的命题的否定即是：量词改变，结论否定。
第一章 1.4.3含有一个量词的命题的否定
填一填·知识要点、记下疑难点
1.4.3
1.全称命题的否定：
本 讲 栏 目 开 关
全称命题 p：∀x∈M，p(x)， 它的否定綈 p：∃x0∈M，綈 p(x0). 2.特称命题的否定： 特称命题 p：∃x0∈M，p(x0)， 它的否定綈 p： ∀x∈M，綈 p(x). 3.全称命题的否定是 特称 命题. 特定命题的否定是 全称 命题.
p≥1或p≤－1， 2 即 p≥3或p≤－3. 2
3 ∴p≥ 或 p≤－3. 2
3 故 p 的取值范围是－3<p< . 2
研一研·问题探究、课堂更高效
小结
1.4.3
通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维
的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集 合的补集，可避免繁杂的运算. 跟踪训练 3 已知下列三个方程：(1)x2＋4ax－4a＋3＝0；
本 讲 栏 目 开 关
(2)p：若 an＝－2n＋10，则∃N，使 Sn<0.
解 (1)綈 p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(假)
(2)綈 p：若 an＝－2n＋10，则∀n∈N，Sn≥0.(假)
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点三 例3 特称命题、全称命题的综合应用
1.4.3
已知函数 f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1 在区间[－1,1]
对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
本 讲 栏 目 开 关
(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题. (2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词 改为恰当的全称量词. (3)否定结论： 原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等 改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等. (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定.
2022年精品 《含有一个量词的命题的否定》教学优秀教案1
课题：含有一个量词的命题的否认
1．教学任务分析：
（1）通过探究数学中的一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题的含义与它们的否认在形式上的变化规律。
在探究的过程中，教师应引导学生根据全称量词和存在量词的含义，用简洁、自然的语言表叙含有一个量词的命题的否认，而不是机械地在原先的命题前加“非〞“并非〞“不〞等得到它的否认。
这样便于学生通过观察，归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否认在形式上的变化规律。
（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否认在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否认。
（3）通过师生互动，问题探究，判别一些全称命题和特称命题，从而能够进行正确的否认。
（4）使学生体会从具体到一般的认识过程，培养学生抽象、概括的能力。
2．教学重点：
通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否认在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否认。
3．教学难点：
正确地对含有一个量词的命题进行否认。
4．教学方法：
探究法
5教学手段：
多媒体辅助教学
6教学根本流程：
〔1〕回忆旧知：命题的否认,量词，全称命题和特称命题，引入课题
〔2〕探究全称命题和它的否认在形式上的变化
〔3〕介绍含有一个全称量词的命题的否认
〔4〕探究特称命题和它的否认在形式上的变化
〔5〕探究特称命题和它的否认在形式上的变化
7．教学情境设计：。
1.4.3含有一个量词的命题的否定(李用2)
假 假
（2） ㄱq：存在一个正方形不是矩形;
例题
例2 :写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数;
（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆;
（3）p：对任意x∈Z, x² 的个位数字不等于3.
答:（1）ㄱp：存在一个能被3整除的整数不是奇数;
（2）ㄱp：存在一个四边形,它的四个顶点不共圆; （3）ㄱp： ∃x0∈Z, x0² 的个位数字等于3.
探究二:特称命题的否定
课本25页：写出下列命题的否定:
(1)有些实数的绝对值是正数;
(2)有些平行四边形是菱形;
(3) ∃x0∈R, x0² +1<0.
这些命题和它们的否定在形式上
有什么变化?
以上三个命题都是特称命题,即具有形式 “∃x ∈M, p(x )”其中命题(1)的否定是“不 存在一个实数,它的绝对值是正数”,也就是说,
解析： (1)为全称命题． (2)为特称命题． (3)不是命题． (4)为全称命题． (5)为特称命题．
将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表 示，并判断真假． (1)实数的平方是非负数； (2)整数中1最小； (3) 方程 ax2 ＋ 2x ＋ 1 ＝ 0(a<1) 至少存在一个负根； (4)对于某些实数x，有2x＋1>0； (5)若直线l垂直于平面α内任一直线，则l⊥α.
[解题过程]
π (1)特称命题． α＝2时， tan α 不存在， 所以，
特称命题“有一个实数 α，tan α 无意义”是真命题． (2)不是命题． (3)含有全称量词，所以该命题是全称命题，又任何一个 圆的圆心到切线的距离都等于半径， 所以，全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离都等于 半径”是真命题．
1.4.3-含有一个量词的命题的否定
1．4.3含有一个量词的命题的否定整体设计教材分析本节内容重在让学生通过数学中的一些实例，探究并归纳出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，并在教师引导下，让学生根据全称量词和存在量词的含义，用简洁、自然的语言表述含有一个量词的命题的否定，通过例题和习题的教学，进一步使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．课时分配1课时教学目标知识与技能1．通过探究数学中的一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定命题在形式上的变化规律．2．通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定．过程与方法使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．情感、态度与价值观在学习新知的过程中，培养学生的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质．重点难点教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学过程引入新课提出问题回顾我们在1.3.3中学习过的逻辑联结词“非”的有关知识，对给定的命题p，如何得到命题p 的否定(即非p )，它们的真假性之间有何联系？活动设计：学生自由发言．教师用多媒体展示常用的一些词语和它的否定词语对照表，并完成表格．活动结果：对命题“p”全盘否定后得到命题“非p”，而“非p”的真假与命题“p”的真假相反．设计意图：复习逻辑联接词“非”的相关知识，并引出含一个量词的命题的否定．探究新知提出问题1：判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出它们的否定命题吗？(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)x∈R，x2－2x＋1≥0；(4)有些实数的绝对值是正数；(5)某些平行四边形是菱形；(6)x∈R，x2＋1＜0.活动设计：用时10分钟，学生独立思考，小组内部讨论，最后把以上命题的否定命题形成书面形式，由小组代表答出讨论结果，由其他同学修正补充．活动成果：前三个命题都是全称命题，即具有形式“x∈M，p(x)”．其中命题(1)的否定是“某些矩形不是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；命题(2)的否定是“某些素数不是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；命题(3)的否定是“并非x∈R，x2－2x＋1≥0”，也就是说，x∈R，x2－2x＋1＜0；后三个命题都是特称命题，即具有形式“x∈M，p(x)”；其中命题(4)的否定是“所有实数的绝对值都不是正数”；命题(5)的否定是“所有的平行四边形都不是菱形”；命题(6)的否定是“不存在x∈R，x2＋1＜0”，也就是说，x∈R，x2＋1≥0.提出问题2：你能发现这些命题和它们的否定命题在形式上发生了什么变化吗？活动设计：在学生独立思考的基础上，自由发言，教师对问题进行补充、归纳、总结．活动结果：从命题的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题；后三个特称命题的否定都变成了全称命题．(板书)一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p：x∈M，p(x)，它的否定p：x0∈M，p(x0)；特称命题p：x0∈M，p(x0)＝，它的否定p：x∈M，p(x)．即全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．理解新知提出问题：写出命题“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”的否命题．．．．．．及命题的否定．．．．并思考：命题的否定与否命题有什么区别？活动设计：学生独立思考，小组内讨论，形成统一意见．活动成果：否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等；命题的否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但它的四条边中至少有两条不相等．由此可见命题的否定与否命题的区别：其一：若命题为“若p，则q”，其否命题为“若p，则q”，其命题的否定：“若p，则q”；其二：原命题与其命题的否定不可同真同假，即原命题真，其否定命题假；原命题假，其否定命题真；而否命题与其原命题的真假没有关系．设计意图：复习巩固否命题的概念，进一步认识命题的否定与否命题的区别，以防学生混淆概念．运用新知判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假，写出这些命题的否定：(1)三角形内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口朝下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．思路分析：首先分清是全称命题还是特称命题，然后写成x∈M，p(x)或x∈M，p(x)的形式，再进一步做出否定．解：(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：存在一个三角形其内角和不等于180°；(2)是全称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不朝下；(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：所有四边形都是平行四边形．点评：含有一个量词的命题的否定要“改变条件，否定结论”“改变”是指将改成，改成；“否定”是指对结论语句的全盘否定．命题的真假性可以通过其否定命题的真假来判断原命题的真假．巩固练习1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C. 存在x0∈R，x30－x20＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>02．已知命题p：x∈R，sinx≤1，则()A．p：x0∈R，sinx0≥1B．p：x0∈R，sinx0≥1C．p：x0∈R，sinx0>1D．p：x∈R，sinx>1答案：1.C 2.C变练演编1．命题x∈R，x2－x＋3>0的否定是________．2．命题x∈R，x2－x＋3>0的否定是________．思路分析：特称命题的否定是一个全称命题，全称命题的否定是一个特称命题．否定时存在量词变为全称量词，全称量词变为存在量词．答案：1.x0 ∈R，x20 －x0 ＋3≤02．x∈R，x2－x＋3≤0点评：符号语言精而准，用符号语言来表达数学问题是学好数学的基本功．达标检测1．“至多有三个”的否定为()A．至少有三个B．至少有四个C．有三个D．有四个2．“三个数a，b，c不全为0”的否定是()A．a，b，c都不是0 B．a，b，c至多一个是0C．a，b，c至少一个是0 D．a，b，c都是03．“奇数是质数”的否定是________．4．“任意的x∈Z，若x>2，则x2>4”的否定是________．5．“ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根”的否定是________．答案：1.B 2.D3．存在奇数不是质数4．x0∈Z，虽然x0>2，但x20≤45．ax2＋2x＋1＝0没有负的实根课堂小结知识收获：(1)注意区分命题的否定与否命题两个概念．(2)要说明一个全称命题是错误的，实际上是对这个全称命题进行否定．要说明一个特称命题是错误的，实际上是对这个特称命题进行否定．(3)全称命题与特称命题的关系：全称命题p：x∈M，p(x)的否定是p：x0∈M，p(x0)；即全称命题的否定是特称命题．特称命题p：x0∈M，p(x0)的否定是p：x∈M，p(x)；即特称命题的否定是全称命题．方法收获：程序化．思维收获：由一般到特殊、转化思想．布置作业(1)教学反思：如何写出含有一个量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有什么变化？(2)作业：课本习题1.4A组第3题，B组(1)(2)(3)(4)．补充练习基础练习1．命题“存在x0∈Z，使x20＋2x0＋m≤0”的否定命题是()A．存在x0∈Z，使x20＋2x0＋m>0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>02．下列语句是特称命题的是()A．整数n是2和5的倍数B．存在整数n，使得n能被11整除C ．若3x －7＝0，则x ＝73D ．x ∈M ，p(x)3．下列全称命题中是真命题的个数是( )①所有偶数都能被2整除；②所有奇数都能被3整除；③任意实数的平方都不小于0. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．全称命题“a ∈Z ，a 有一个正因数”的否定是________．5．特称命题“有些三角形的三条中线相等”的否定是________． 答案：1.D 2.B 3.C4．a 0∈Z ，a 0没有正因数5．每一个三角形的三条中线不相等 拓展练习6．下列四个命题： p 1：x ∈(0，＋∞)，(12)x <(13)x ， p 2：x ∈(0,1), log 12x>log 13xp 3：x ∈(0，＋∞)，(12)x >log 12x ， p 4：x ∈(0，13)，(12)x <log 13x其中的真命题是( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 47．命题“存在x 0∈R,2x 0≤0”的否定是( )A ．不存在x 0∈R, 2x 0>0B ．存在x 0∈R, 2x 0≥0C ．对任意的x ∈R, 2x ≤0D ．对任意的x ∈R, 2x >0 答案：6.D 7.D 设计说明通过探究数学中的一些实例，教师引导学生用简洁自然的语言表述含有一个量词的命题的否定，让学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律．这种教师有目的地进行创设学习情境，整合教材顺序，有效的问题引导，让学生经历观察特征、认识概念、运用概念的过程，对学生完整地、深刻地理解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律很有帮助．使学生体会到从具体到一般的认识过程，培养学生抽象概括的能力．备课资料1．下列特称命题中，假命题．．．是( ) A ．x ∈Z ，x 2－2x －3＝0B ．至少有一个x ∈Z ，x 能被2和3整除C ．存在两个相交平面垂直于同一条直线D ．x ∈{x 是无理数}，x 2是有理数思路分析：要判断特称命题“x ∈M ，p(x)”为真命题，只需在集合M 中找一个元素x 0，使p(x 0)成立即可；如果在集合M 中找不到元素x 0，使p(x 0)成立，那么这个特称命题就为假命题．解：因为找不到两个相交平面垂直于同一条直线，所以命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”为假命题，应选C.点评：判断特称命题的真假，要通过生活和数学中的实例、知识综合判定．2．下列命题：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x使x2＋2x＋1＝0成立．其中是全称命题的有()A．1个B．2个C．3个D．0个思路分析：根据全称命题的定义，逐一进行判断即可．解：①至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立；特称命题②对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立；全称命题③对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立；全称命题④存在x使x2＋2x＋1＝0成立；特称命题，应选B.点评：分辨一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看命题中含有的量词，当不含量词时，则注意理解命题含义的实质．3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0C．存在x∈R，x3－x2＋1>0D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0思路分析：要分清是全称命题还是特称命题，然后写成∈M，p(x)或∈M，p(x)的形式，再进一步作出否定．解：命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”是全称命题，它的否定是“存在x∈R，x3－x2＋1>0”，应选C.点评：一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：全称命题p ：x ∈M ，p(x)，它的否定p ：x ∈M ，p(x)；特称命题p ：x ∈M ，p(x)，它的否定p ：x ∈M ，p(x)．4．给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③x ∈R ，x 2－2x>0；④x ∈R,2x ＋1为奇数．以上命题的否定为真命题的序号依次是________．思路分析：原命题与其否定的真假性正好相反，因此只需直接判断原命题的真假即可． 解：①有理数是实数； 真命题 ②有些平行四边形不是菱形； 真命题 ③x ∈R ，x 2－2x>0； 假命题 ④x ∈R,2x ＋1为奇数； 真命题 应选③.点评：本题的关键是根据原命题与命题的否定的特点来完成该题，即原命题真，命题的否定假；原命题假，命题的否定真．5．设0<a ，b ，c<1，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不同时大于14.思路分析：本题直接证明较难入手，可考虑用反证法．解：反证法：假设⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )b>14(1－b )c>14(1－c )a>14⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )b>12，(1－b )c>12，(1－c )a>12，所以32<(1－a )b ＋(1－b )c ＋(1－c )a ≤1－a ＋b 2＋1－b ＋c 2＋1－c ＋a 2＝32.左右矛盾，故假设不成立，原命题得证．点评：原命题与其命题的否定不可同真同假，即原命题真，其命题的否定为假；原命题假，其命题的否定为真．(设计者：赵传俊)。
1.4.3含有一个量词的命题的否定
想一想：
对给定的命题 p ，如何得到命题 p 的否定 （或非 p） ，它们的真假性之间有何联系？
思考、分析
判断下列命题是全称命题还是特称命题， 你能 写出下列命题的否定吗？ （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）x∈R, x2－2x＋1≥0。 （4）有些实数的绝对值是正数； （5）某些平行四边形是菱形； 2 （6） x∈R, x ＋1＜0。
命题（4）的否定“不存在一个实数，它的绝 对值是正数” ，也就是说，所有实数的绝对值 都不是正数； 命题（5）的否定是“没有一个平行四边形是 菱形” ，也就是说，每一个平行四边形都不是 菱形；
命题（6）的否定是“不存在 x∈R, x ＋1＜0”， 也就是说，x∈R, x2＋1≥0；
2
发现、归纳
从命题的形式上看， 前三个全称命题的否 定都变成了特称命题。后三个特称命题的否 定都变成了全称命题。
例题分析
2、写出下列命题的非，并判断其真假 2 （1）无论 m 取何实数，方程 x +x-m=0 必有 实数根。 3 （2）至少有一个实数 x，使 x +1=0.
例题分析
2、写出下列命题的非，并判断其真假 2 （1）无论 m 取何实数，方程 x +x-m=0 必有 实数根。 3 （2）至少有一个实数 x，使 x +1=0.
例题分析
1、判断下列命题是全称命题还是特称命题， 并写出它们的否定： （1）p：所有能被 3 整除的整数都是奇数； （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆； （3）p：对x∈Z，x2 个位数字不等于 3； 2 （4）p： x∈R, x ＋2x＋2≤0； （5）p：有的三角形是等边三角形； （6）p：有一个素数含三个正因数。
含有一个量词的命题的否定专题训练
全国名校高考数学复习优质专题训练汇编（附详解）含有一个量词的命题的否定专题训练[A 基础达标]1 .命题“ ？ x€ R, |x汁x2>0”的否定是（）A . ? x€ R, |x| + x2<0 B. ? x€ R, |x| + x2< 0C. ? x o € R, |x o 1 + X o<O D . ? x o € R, |x°| + x o> 0解析：选C.? x€R, |x汁x o>0的否定是？ X o €R, |x°| + x0<0.故选 C.0 .命题“存在x0€ R，使得ex0< 0”的否定是（）A .不存在x°€ R，使得ex o>OB .对任意x€ R, e x>0C.对任意x€ R, e x<0D .存在x0€ R，使得ex0>0解析：选B.命题“存在X o dR，使得ex o< 0”的否定是对任意x€ R, e x>0.3. 对下列命题的否定说法错误的是（）A . p：所有质数都是奇数；綈p：存在一个质数不是奇数B . p：有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形C. p:有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D . p：? x0€ R, x0+x O+ 0< 0;綈p：? x€ R, x0+ x+ 0>0 解析：选C. “有的三角形为正三角形”为特称命题,其否定为全称命题：所有的三角形都不是正三角形，故选项C错误.4. 若存在x o€ R，使ax°°+ 0x o + a v0,则实数a的取值范围是（）A . a v1 B. a<1C.—1 v a v 1D. —1 v a< 1解析：选A.当a< 0时，显然存在x oC R,使ax O + 0x o+ a v 0.当a >0时，需满足A= 4—4a0>0,得—1v a v 1,故O v a v 1,综上所述，实数a的取值范围是a v 1.5. 已知函数f（x）= |0—1|,若命题“ ?捲,X2 € [a, b]且X[V x?,使得f（X1）> f（X0）”为真命题，则下列结论一定正确的是（）A . a>0 B. a v0C. b<0 D . b>1全国名校高考数学复习优质专题训练汇编(附详解)解析：选B.函数f(x) = |2x—1|的图象如图所示.由图可知f(x)在(一乂，0]上为减函数，在(0, +乂)上为增函数，所以要满足？ x i, X2<a, b]且x i V X2,使得f(x i)>f(xj为真命题,贝泌有a v0,故选B.6. _____________________________________________ 命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定是 ____________________ .解析：全称命题的否定是特称命题，命题“所有的长方体都是四棱柱”的否定应为“有些长方体不是四棱柱”.答案：有些长方体不是四棱柱7 .命题“至少有一个正实数x满足方程x2+ 2(a—1)x + 2a+ 6 = 0”的否定是________ .解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定.答案：所有正实数x都不满足方程x2+ 2(a—1)x + 2a + 6= 08 .若？ x € R , x2—ax + 1< 0为假命题，则a的取值范围为解析：？ x€R, x2—ax+ 1< 0 为假命题，即对？ x€R, x2—ax+ 1>0 为真命题.需△= (—a)2—4<0,即a2—4<0,解得一2<a<2,故a的取值范围为(—2, 2).答案：(一2, 2)9. 判断下列命题的真假，并写出它们的否定.(1) ? a , [3 € R, sin( a+ 0工sin a +sin [3 ;(2) ? x0, y o € Z, 3x o —4y o= 20;(3) 在实数范围内，有些一元二次方程无解；(4) 正数的绝对值是它本身.解：(1)当a= = 0时，sin( a+ 3= sin a+ sin 3 故命题为假命题.命题的否定为？a, 09R, sin (a + 0) = sin a+sin 00.(2) 真命题.命题的否定为？ x, y®, 3x—4y z20.(3) 真命题.命题的否定为在实数范围内，所有的一元二次方程全国名校高考数学复习优质专题训练汇编（附详解） 都有解.（4）省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题.命 题的否定为有的正数的绝对值不是它本身.10. 命题p 是“对某些实数x ,有x — a >0或x — b <0”，其中a 、 b 是常数.（1） 写出命题p 的否定；（2） 当a 、b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？解：（1）命题p 的否定：对任意实数x ,有x — a < 0且x — b >0.1 x — a w 0,（2）要使命题p 的否定为真，需要使不等式组的解集 l x — b > 0不为空集,通过画数轴可看出，a 、b 应满足的条件是b v a.［B 能力提升］ b € ［0，+* ）, f （x ） = x 2 + bx + c 在［0，+x ） X 。
含有一个量词的命题的否定练习题
含有一个量词的命题的否定例1写出下列全称命题的否定：（1）p：所有人都晨练；（2）p：∀x∈R，x2＋x+1>0；（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p：∃x∈R，x2－x+1＝0；分析：（1）⌝ P：有的人不晨练；（2）∃x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）∀x∈R，x2－x+1≠0；例2写出下列命题的否定。
（1）所有自然数的平方是正数。
（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。
（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.（4）有些质数是奇数。
解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。
（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。
（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。
（4）的否定：所有的质数都不是奇数。
解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。
在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。
例3写出下列命题的否定。
（1）若x2＞4 则x＞2.。
（2）若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。
（3）可以被5整除的整数，末位是0。
（4）被8整除的数能被4整除。
（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
解（1）否定：存在实数x，虽然满足20x＞4，但0x≤2。
或者说：存在小于或等于2的数x，满足20x＞4。
（完整表达为对任意的实数x, 若x2＞4 则x＞2）（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个x，使20x+ 0x-m=0无实数根。
（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。
）（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。
（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。
（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。
含有一个量词的命题的否定
3.全称量词命题和存在量词命题
全称量词命题：
（1）基本形式： x M , p( x)
（2）意义：对任意x属于M，有p(x)成立 （3）真假性的判断：
存在量词命题：
（1）基本形式： x0 M , p( x0 )
（2）意义：存在x0属于M，使p(x0 )成立 （3）真假性的判断：
1.3.2 含有一个量词的命题的否定
跟踪训练 4
关于 x 的不等式 x2 ax 2 0 至少有一解在区间1,2 内，则
常数 a 的取值范围是
．
解：原命题的否定： x 1, 2,使g(x)= x2 ax 2 0 恒成立
g(1) 0
g
(2)
0
3 6
a0 2a 0
a
（3）∀x∈R，x2＋1≥0.
研探习究二2 如存何在写量出词存命在题量的词否命定题的否定
思考2 存在量词命题的否定有什么特点？
存在量词命题p :
的否定p :
x0 M , p(x0 ) x M ,p( x)
存在量词命题的否定是全称量词命题．
研探习究二2 如存何在写量出词存命在题量的词否命定题的否定
∴p≥32或 p≤－3.
故 p 的取值范围是－3<p<32.
研探习究三3 全全称称量量词词命命题题、、存特在称量量词词命命题题的的综综合合应应用用
反思 对于存在量词命题，若正面情况较繁，可考虑 正难则反,求其否定，再求集合的补集即可．
研探习究三3 全全称称量量词词命命题题、、存特在称量量词词命命题题的的综综合合应应用用
取值范围是 (a,) ，则 a
．
解： x R, x2 2x m 0 为真 V=4 4m 0 m 1a 1
5含有一个量词的命题的否定 (1)
1．3．2含有一个量词的命题的否定【教学目标】1．通过生活和数学中的实例，理解对含有一个量词的命题的否定的意义．2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【教学重点】理解对含有一个量词的命题进行否定的意义【教学难点】能正确地对含有一个量词的命题进行否定【课 型】新授课【教学手段】多媒体【教学过程】一、复习引入1．说出下列命题是全称命题还是存在命题：(1)有的命题是不能判定真假的；(2)所有的人都喝水；(3)存在有理数x ，使022=-x ；(4)对所有实数a ，都有|a|≥0．2．尝试对上述命题进行否定，你发现什么规律？二、数学建构一般地，我们有：“()x p M x ,∈∀”的否定为“()x p M x ⌝∈∃,”；“()x p M ,∈∀∃”的否定为“()x p M x ,∈∀”．关键量词的否定 词语 是一定是 都是 大于 小于 且 词语的否定不是 一定不是 不都是 小于或等于 大于或等于 或 词语 必有一个 至少有n 个 至多有一个 所有x 成立 所有x 不成立词语的否定 一个也没有 至多有n-1个 至少有两个 存在一个x 不成立 存在有一个成立例1．写成下列命题的否定：（1）p ：所有人都晨练； （2）p ：∀x ∈R ，x 2＋x+1>0；（3）p ：平行四边形的对边相等； （4）p ：∃ x ∈R ，x 2－x +1＝0；分析：（1）⌝ P ：有的人不晨练；（2）∃ x ∈R ，x 2＋x +1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）∀x ∈R ，x 2－x+1≠0；三、随堂练习1．写成下列命题的否定（1）中学生的年龄都在15岁以上；（2）有的三角形中，有一个内角是直角；（3）锐角都相等；（4）我们班上有的学生不会用电脑；（5）三角形的内角和是180°；（6）所有的等边三角形都全等；（7）实系数一元二次方程有实数解；（8）有的实数没有平方根．2．命题“所有人都遵纪守法”的否定为（ ）A ．所有人都不遵纪守法；B ．有的人遵纪守法；C ．有的人不遵纪守法；D ．很多人不遵纪守法．3．命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为（ ）A ．所有自然数的平方都不是正数；B ．有的自然数的平方是正数；C ．至少有一个自然数的平方是正数；D ．至少有一个自然数的平方不是正数．4．命题“存在一个三角形，内角和不等于180°”的否定为（ ）A ．存在一个三角形，内角和等于180° ；B ．所有三角形，内角和都等于180°；C ．所有三角形，内角和都不等于180°；D ．很多三角形，内角和不等于180°．4．命题“乌鸦都是黑色的”的否定为:_______________________．5．命题“有的实数没有立方根”的否定为:_____命题．（填“真”、“假”）6、写出下列命题的否定：（1）R x ∈∀，x x ≠3；（2） ∃x ∈R ，sinx ＝1；（3） ∃x ∈{-2,-1,0,1,2}，︱x-2︱<2四、小结本节课你学到了哪些知识？。
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例2写出下列命题的否定，并判断真假：
1）p:任意两个等边三角形都是相似的； 2）p:x R,x2+2x+2=0；
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从形式看,特称命题的否定都变成了 全称命题.
含有一个量词的特称命题的否定,有下面的 结论
特称命题 p : x M,p(x)
它的否定 p : x M,p(x)
例1 写出下列特称命题的否定： 1）p:x R,x2+2x+3 0； 2）p:有的三角形是等边三角形； 3）p:有一个素数含有三个正因子。
想一想？
写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是正数；
2)某些平行四边形是菱形； 3)x R, x2 1 p 0
否定: 1)所有实数的绝对值都不是正数; 2)每一个平行四边形都不是菱形;
3) x R, x2 1 0
x M,p(x)
x M,p(x)
x M,p(x)
x M,p(x)
x M,p(x) x M,p(x)
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
想一想？
写出下列命题的否定
1)所有的矩形都是平行四边形；x M,p(x) 2)每一个素数都是奇数； x M,p(x)
3)x R, x2 2x 1 0
x M,p(x)
否定:
1)存在一个矩形不是平行四边形；x M,p(x)
2)存在一个素数不是奇数；
3)x R, x2 2x 1 0
x M,p(x)
x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从形式看，全称命题的否定是特称命题。
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论
全称命题 p :x M,p(x) 它的否定 p : x M,p(x)
例1写出下列全称命题的否定： 1）p:所有能被3整除的整数都是奇数； 2）p:每一个四边形的四个顶点公圆； 3）p:对任意x Z，x2的个位数字不等于3。