(0775)《中学几何研究》作业四答案

（0775）《中学几何研究》作业3答案

一、填空题：

1．希尔伯特在其巨著《几何基础》中，建立了完备化的公理系统，其基本元素是点、线、 面。

2．用公理化方法写成的第一部几何巨著是《几何原本》。

3．欧氏几何与罗氏几何的本质区别是平行公理不同。

4．直线AB 与PQ 交于M ，则:PAB QAB S S ∆∆=:PM QM 。

5．复数32z i =-，则||z

=

6．图形F 绕O 逆时针旋转90 得图形F '，该变换可记为(0,90)

R F F '−−−−→ 。 7．凸四边形ABCD 内接于圆的充要条件是AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅=⋅。

8．与两定点A 、B 距离相等的点的轨迹是线段AB 的中垂线。

9．在中学平面几何中，常用的作图方法是交轨法和三角形奠基法。

二、解答下列各小题：

（1）设O 为锐角三角形ABC 的外心，若,,AO BO CO 分别交对边于,,L M N 三点， 设O 的半径为R ，求证：1112AL BM CN R

++=。 证明：1BCO ABC S OL AL R R S AL AL AL

-===- 同理可得

1ACO ABC S R S BM =- ， 1ABO ABC S R S CN =- 如上三式相加得 11113(

)R AL BM CN =-++ 所以 1112AL BM CN R

++=

（2）作图题（只写作法）：已知O 及外一点P ，过P 作O 的切线。

作法：连接OP ，以OP 为直径作圆交O 于点A 、B ，则直线AP 、BP 为过点P 的两切线。

第三题图

三、简述尺规作图的作图公理。

以下是尺规作图中可用的基本方法，也称为作图公理，任何尺规作图的步骤均可分解为以下五种方法：

·通过两个已知点可作一直线。

·已知圆心和半径可作一个圆。

尺规作图

·若两已知直线相交，可求其交点。

·若已知直线和一已知圆相交，可求其交点。

·若两已知圆相交，可求其交点。