2018年安徽分类考试数学(理科)模拟试题一【含答案】
2018年安徽省六安市高三数学模拟试题理试题(含答案解析)
理科数学2018年高三安徽省六安市高三仿真一数学理试题理科数学单选题（本大题共12小题，每小题____分，共____分。
）1．复数的实部为（）A.B.C. －D. －2．集合,则（）A.B.C.D.3．设等差数列的前项和为，，，则公差的取值范围是（）A.B.C.D.4．已知“”，且“”，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5．已知实数满足约束条件，则的最小值为（）A. -1B. 1C. -2D. 36．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球。
乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则事件发生的概率=（）A.B.C.D.7.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ B ）A.B.C.D.8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等. 右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的、分别为、，则输出的（）A.B.C.D.9．函数的大致图象是（）A.B.C.D.10．已知，，点满足，若，则的值为（）A.B.C.D.11．已知在直三棱柱ABC−中，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=4，=a，过顶点A、线段的中点与的中点的平面与平面相交所得交线与所成角的正切值为，则三棱柱ABC−的外接球的半径为（）A. 4B. 3C. 2D.12．已知，分别是双曲线C：(a>0，b>0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P满足，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A. (1，]B. (1，2]C. [，+∞)D. [2，+∞)填空题（本大题共4小题，每小题____分，共____分。
）13．已知，，现向集合所在区域内投点，则该点落在集合所在区域内的概率为____.14．在数列、中，是与的等差中项，，且对任意的都有，则的通项公式为__________．15．设椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B 两点，直线的倾斜角为60o,.则椭圆C的离心率是 ____.16．已知函数==(k∈R)．若存在唯一的整数x，使得，则k的取值范围是____.简答题（综合题）（本大题共7小题，每小题____分，共____分。
2018年安徽分类考试数学(理科)模拟试题一【含答案】
2018年安徽分类考试数学（理科）模拟试题一【含答案】一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合{}22,A x x x R==-∈，{}1,B m =，若A B ⊆，则m 的值为 （ ）A ．2B ．-2C ．-1或2D ．222．复数()(1)z a i i =+-，a R ∈，i 是虚数单位，若2z =，则a =（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．1±3. “二孩政策”的出台，给很多单位安排带来新的挑战，某单位为了更好安排下半年的工作，该单位领导想对本单位女职工做一个调研，已知该单位有女职工300人，其中年龄在40岁以上的有50人，年龄在[30，40]之间的有150人，30岁以下的有100人，现按照分层抽样取30人，则各年龄段抽取的人数分别为 （ ）A ．5，15，10B ．5，10，15C ．10，10，10D ．5，5，204．若将函数()3sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象上的每一个点都向左平移3π个单位，得到()y g x =的图象，若函数()y g x =是奇函数，则函数()y g x =的单调递增区间为（ ）A.[,]()44k k k Z ππππ-+∈ B.3[,]()44k k k Z ππππ++∈C.2[,]()36k k k Z ππππ--∈ D.5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为 （ ） A. 48里 B. 24里 C. 12里 D. 6里 6．执行如图所示的程序框图，如果输入0.1t =，则输出的n = （ ）A. 2B. 3C. 4D. 57．下列说法正确的是 （ ）A.“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B.“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题 C.0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x >成立D.“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题8．四面体ABCD 的各条棱长都相等，E 为棱AD 的中点，过点A 作与平面BCE 平行的平面，该平面与平面ABC 、平面ACD 的交线分别为12,l l ，则12,l l 所成角的余弦值为（ ）A．3 B．3 C ． 13 D．29.已知函数()23x f x e x -=+-与()ln g x ax x=-，设{|()0}x R f x α∈∈=，{|()0}x R g x β∈∈=，若存在,αβ，使得||1αβ-≤，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．ln 31[,]3e B ．ln 3[0,]3C ．1[0,]e D ．1[1,]e 10．已知数列{}n a 的前n 项和()36n n S n λ=--，若数列{}n a 单调递减，则λ的取值范围是（ ） A ．(),2-∞ B ．(),3-∞ C ． (),4-∞ D ．(),5-∞11．已知双曲线22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，以2OF 为直径作圆C ，再以1CF 为直 径作圆E ，两圆的交点恰好在已知的双曲线上，则该双曲线的离心率为 （ ）A．3 B．3 C． D．12．已知函数()2|log |02(4)24x x f x f x x <≤⎧=⎨-<<⎩，设方程()()1x f x t t R e -=∈的四个不等实根从小到大依次为1234,,,x x x x ，则下列判断中一定成立的是（ ）A ．1212x x += B ．1214x x <<C ．3449x x << D ．340(4)(4)4x x <--<二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分．13．已知231()2m =，4x n =，则4log m = ；满足log 1n m >的实数x 的取值范围是 ． 14．三棱锥A BCD -中，底面BCD ∆是边长为3的等边三角形，侧面三角形ACD ∆为等2AB =，则三棱锥A BCD -外接球表面积是__________．15.已知双曲线2222:1x y C a b -=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若73FM FN =，则双曲线的渐近线方程为 .16．已知函数2ln )(bx x a x f -=，R b a ∈,．若不等式x x f ≥)(对所有的]0,(-∞∈b ，],(2e e x ∈都成立，则a 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆的内角,,A B C 满足()2cos 4cos cos 1A C A C --=．（1）求角B ； （2）求cos cos A C +的取值范围．18．（本小题满分12分）“微信运动”已成为当下热门的运动方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：步数性别0-2000 2001-5000 5001-8000 8001-10000 >10000男 1 2 3 6 8女0 2 10 6 20.10 0.05 0.025 0.0102.7063.841 5.024 6.635附：（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有人，超过10000步的有人，设，求的分布列及数学期望.19．（本小题满分12分）在等腰梯形ABCD 中，//,2,60AD BC BC AD ABC =∠=，将梯形ABCD 沿着AB 翻折至11ABC D （如图），使得平面ABCD 与平面11ABC D 垂直．（1）求证：1BC AC ⊥； （2）求直线1DD 与平面1BCD 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆：的离心率为，直线l ：y ＝2上的点和椭圆上的点的距离的最小值为1．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的上顶点为A ，点B ，C 是上的不同于A 的两点，且点B ，C 关于原点对称，直线AB ，AC 分别交直线l 于点E ，F ．记直线AC 与AB 的斜率分别为1k ， 2k ．① 求证： 12k k ⋅为定值； ② 求△CEF 的面积的最小值.21．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x ax bx x =-+，a ，b ∈R ． （1）当b=2a+1时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当a=1，b>3时，记函数()f x 的导函数()f x '的两个零点分别是1x 和2x (1x <2x )，求证：12()()f x f x ->34−ln 2．选做题（本小题满分10分），请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，过点P(－2，－4)的直线22:42x l y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，(t 为参数)与曲线C相交于,M N 两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求实数a 的值．23.已知函数()|21||2|,()3f x x x a g x x =-++=+ （1）当2-=a 时，求不等式)()(x g x f <的解集；（2）设1->a ，且当⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈21,2a x 时，)()(x g x f ≤，求a 的取值范围．2018年安徽分类考试数学（理科）模拟试题一参考答案1-4:ADAB 5-8:CDDB 9-12:CADC 13．13-1(,0)3-14．16π15..210xy±=16.),2[2+∞e三、解答题17．解：（1）∵2cos()4cos cos1A C A C--=，∴2cos cos2sin sinA C A C+4cos cos1A C-=∴2cos()1A C-+=，1cos2B=，3Bπ=（2）cos cos cos cosA C A+=+2()sin()36A Aππ-=+，∵2(0,3Aπ∈），1sin()(,1]62Aπ+∈，故cos cosA C+的取值范围为1(,1]218．解：（1）故没有95%以上的吧我认为二者有关（2）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为，超过10000步的概率为，且当或时，；当或时，；当或时，；即的分布列为0 1 2积极型懈怠型总计男14 6 20女8 12 20总计22 18 40可得期望（1）证明，不妨设24BC AD ==，过A 作BC 垂线交BC 于E ，则3AE =，23AC =，12cos 60AB ==，所以222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥，又因为平面ABCD 与平面11ABC D 垂直，所以AC ⊥平面11ABC D ，所以1BC AC ⊥（2）建立如图坐标系，()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,23,0C ，()1,3,0D -，()11,0,3D -所以()10,3,3DD =-，()2,23,0BC =-，()13,0,3BD =-设平面1BCD 的法向量为(),,n x y z =，则有2230330x y x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取 ()3,1,3n =，126cos ,13n DD <>=，直线1DD 与平面1BCD 所成角的正弦值为26．20.（1）2212x y +=（2）直线AC 的方程为11y k x =+， 由得，解得，同理，因为B ，O ，C 三点共线，则由，整理得()()1212210k k k k ++=，所以．②直线AC 的方程为11y k x =+，直线AB 的方程为21y k x =+，不妨设10k >，则20k <，令y ＝2，得，而，所以，△CEF 的面积．由得，则CEF S ∆，当且仅当取得等号，所以△CEF 的面积的最小值为6．21．【解析】（1）因为b=2a+1，所以()f x =2(21)ln ax a x x -++， 从而()f x '=12(21)ax a x -++=22(21)1(21)(1)ax a x ax x x x -++--=，x>0．当a 0时，由()f x '>0得0<x<1，由()f x '<0得x>1，所以()f x 在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减．当0<a<12时，由()f x '>0得0<x<1或x>12a ，由()f x '<0得1<x <12a ， 所以()f x 在区间(0，1)和区间(12a ，+∞)上单调递增， 在区间(1，12a )上单调递减． 当a=12时，因为()f x '0(当且仅当x=1时取等号)，所以()f x 在区间(0，+∞)上单调递增．当a>12时，由()f x '>0得0<x<12a 或x>1，由()f x '<0得12a <x<1，所以()f x 在区间(0，12a )和区间(1，+∞)上单调递增，在区间(12a ，1)上单调递减．综上，当a 0时，()f x 在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减；当0<a<12时，()f x 在区间(0，1)和区间(12a ，+∞)上单调递增，在区间(1，12a )上单调递减；当a=12时，()f x 在区间(0，+∞)上单调递增，无单调递减区间；当a>12时，()f x 在区间(0，12a )和区间(1，+∞)上单调递增，在区间(12a ，1)上单调递减．（2）解法一 因为a=1，所以()f x =2ln x bx x -+(x>0)，从而()f x '=221x bx x -+ ，由题意知1x ，2x 是方程221x bx -+=0的两个根，故1212x x =．记()g x =221x bx -+，因为b>3，所以1()2g =32b -<0，(1)g =3−b<0，所以1x ∈(0，12)，2x ∈(1，+∞)，且b 1x =221x +1，b 2x =222x +1，12()()f x f x -=(21x −22x )− (b 1x −b 2x )+12ln x x =− (21x −22x )+12ln x x ， 因为1x 2x =12，所以12()()f x f x -=22x −2214x −ln(222x )，2x ∈(1，+∞)．令t =222x ∈(2，+∞)，()t ϕ=12()()f x f x -=1ln 22t t t --． 因为当t >2时，()t ϕ'=22(1)2t t ->0，所以()t ϕ在区间(2，+∞)上单调递增，所以()t ϕ>(2)ϕ=34−ln 2，即12()()f x f x ->34−ln 2．解法二：因为a=1，所以()f x =2ln x bx x -+(x>0)，从而()f x '=221x bx x -+，由题意知1x ，2x 是方程221x bx -+=0的两个根，故1212x x =．记()g x =221x bx -+，因为b>3，所以1()2g =32b -<0，(1)g =3−b<0，所以1x ∈(0，12)，2x ∈(1，+∞)，且()f x 在(1x ，2x )上是减函数，所以12()()f x f x ->1()(1)2f f -)=(11ln 422b -+)−(1−b)=−34+2b −ln2，因为b>3，所以12()()f x f x ->−34+2b −ln 2>34−ln2．（12分）22．解：(1)把cos ,sin x p y p θθ=⎧⎨=⎩代入ρsin2θ＝2acos θ，得y2＝2ax(a>0)， 由2224x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是y2＝2ax(a>0)，x －y －2＝0. (2)将2224x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)代入y2＝2ax ，整理得t2－2(4＋a)t ＋8(4＋a)＝0. 设t1，t2是该方程的两根，则t1＋t2＝2(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)，∵|MN|2＝|PM|·|PN|，∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2，∴8(4＋a)2－4×8(4＋a)＝8(4＋a)，∴a ＝1.23.解：(1)当a ＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3， 则 15,212,1236,1x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
(word完整版)2018年安徽高考理科数学试题和答案
2018安徽数学<理科）试题 第Ⅰ卷<选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选题中，只有一项是符合题目要求的.fB1ZBk3ZyS <1）设i 是虚数单位，复数iai-+21为纯虚数，则实数a 为 (A>2(B> -2(C> 21-(D>21<2）双曲线8222=-y x 的实轴长是 (A>2(B> 22(C> 4(D> 24<3）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，x x x f -=22)(,则=)1(f(A>-3 (B>-1 (C> 1(D>3<4）设变量x,y 满足|x|+|y|≤1，则x+2y 的最大值和最小值分别为 (A> 1,-1(B> 2,-2(C>1,-2(D>2,-1<5）在极坐标系中，点)3,2(π到圆θρcos 2=的圆心的距离为 (A> 2(B> 942π+(C>912π+(D>3<6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(A>48(B> 17832+(C>17848+(D>80<7）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 (A> 所有不能被2整除的整数都是偶数 (B> 所有不能被2整除的整数都不是偶数 (C>存在一个不能被2整除的整数是偶数(D> 存在一个能被2整除的整数不是偶数<8）设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8}，则满足A S ⊆且φ≠B S I 的集合S 的个数是(A>57 (B> 56 (C> 49(D>8<9）已知函数)2sin()(ϕ+=x x f ，其中ϕ为实数，若|)6(|)(πf x f ≤对Rx ∈恒成立，且)()2(ππf f >，则)(x f 的单调递增区间是(A> )(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ (B>)(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ (C>)(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ (D>)(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ <10）函数n m x ax x f )1()(-=在区间[0,1]上的图像如图所示，则m,n 的值可能是(A> m=1,n=1(B> m=1,n=2(C> m=2,n=1(D> m=3,n=1fB1ZBk3ZyS 第Ⅱ卷<非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科(带答案)
时等号成立）．
所以，△ABC 周长的最大值为
．
18. 解：（1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事
件 M，
则
，
所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为 ．
（2）随机变量 X 的所有可能取值有 0，1，2，3．
因为
，
，
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，
，
所以 X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
．
19. 证明：（1）连结 AC，交 BD 于点 N，
∴N 为 AC 的中点，∴MN∥EC． ∵MN⊄平面 EFC，EC⊂平面 EFC， ∴MN∥平面 EFC． ∵BF，DE 都垂直底面 ABCD，∴BF∥DE． ∵BF=DE，∴BDEF 为平行四边形，∴BD∥EF． ∵BD⊄平面 EFC，EF⊂平面 EFC， ∴BD∥平面 EFC． 又∵MN∩BD=N，∴平面 BDM∥平面 EFC． 解：（2）由已知，DE⊥平面 ABCD，ABCD 是正方形． ∴DA，DC，DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系 D-xyz． 设 AB=2，则 DE=4，从而 B（2，2，0），M（1，0，2），A（2，0，0），E（0，0，4），
C. 400 千元
D. 440 千元
12. 已知函数 f（x）=2|x|-x2，g（x）= （其中 e 为自然对数的底数），若函数 h（x）
=f[g（x）]-k 有 4 个零点，则 k 的取值范围为（ ）
A. （-1，0）
B. （0，1）
C. （ - ，1） D. （0， - ）
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
A. 2
2018年安徽省宿州市高考数学一模试卷(理科)
2018年安徽省宿州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2(x2−x)>1}，则A∩B=()A.(2, 4]B.[2, 4]C.(−∞, 0)∪[0, 4]D.(−∞, −1)∪[0, 4]【答案】A【考点】交集及其运算【解析】求出集合，利用集合的基本运算进行求解．【解答】A={x|1≤3x≤81}{x|0≤x≤4}，B={x|log2(x2−x)>1}={x|x2−x>2}={x|x>2或x<−1}，则A∩B={x|2<x≤4}，2. 已知复数z=1−i（i为虚数单位），复数z为z的共轭复数，则z2−2zz−1=()A.−2iB.2iC.4−2iD.4+2i【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z=1−i，得z=1+i，则z2−2zz−1=(1−i)2−2(1+i)1−i−1=2+4i i=−i(2+4i)−i2=4−2i．故选C.3. 已知函数f(x)=1x(x+1)，执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A.20172018 B.20182019C.20182017D.20192018【答案】 B【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序语句可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S =11×2+12×3+...+12018×2019的值，由裂项法即可计算得解． 【解答】模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S =11×2+12×3+...+12018×2019的值， 可得：S =11×2+12×3+...+12018×2019 =(1−12)+(12−13)+...+(12018−12019)=1−12019=20182019．4. 在平面直角坐标系xOy 中，设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，P 是双曲线左支上一点，M 是PF 1的中点，且OM ⊥PF 1，2|PF 1|=|PF 2|，则双曲线的离心率为（ ）A.√6B.√5C.2D.√3【答案】 B【考点】双曲线的离心率 【解析】运用双曲线的定义和△PF 1F 2为直角三角形，则|PF 2|2+|=|PF 2|2，=|F 1F 2|2．，由离心率公式，计算即可得到离心率的范围． 【解答】P 为双曲线左支上的一点，则由双曲线的定义可得，|PF 2|−|PF 1|=2a ， 由|PF 2|=2|PF 1|，则|PF 2|=4a ，|PF 1|=2a ， ∵ M 是PF 1的中点，且OM ⊥PF 1∴ 由△PF 1F 2为直角三角形，则|PF 2|2+|=|PF 2|2，=|F 1F 2|2． ∴ 5a 2=c 2 即有e =√5． 5. 设a =ln22，b =ln33，c =ln55，则a ，b ，c 三个数从大到小的排列顺序为（ ）A.a >b >cB.b >a >cC.b >c >aD.c >a >b【答案】 B【考点】对数值大小的比较 【解析】 b =ln33=ln √33=ln √96>ln √86=ln √2=a ，同理可得a 与c 的大小关系．【解答】 b =ln33=ln √33=ln √96>ln √86=ln √2=a ，a =ln √2510>ln √5210=c ． ∴ b >a >c ．6. 若函数f(x)=√3sin(2x +θ)+cos(2x +θ)为奇函数，且在[−π4,0]上为减函数，则θ的一个值为（ ）A.−π3B.−π6C.5π6D.2π3【答案】 C【考点】两角和与差的正弦公式 两角和与差的余弦公式 正弦函数的单调性 【解析】首先根据已知将函数f(x)化简为f(x)=2sin(2x +θ+π6)，然后根据函数的奇偶性确定θ的取值，将选项分别代入验证再根据单调性即可排除选项． 【解答】解：∵ f(x)=√3sin(2x +θ)+cos(2x +θ)=2sin(2x +θ+π6)为奇函数， 故有θ+π6=kπ，即：θ=kπ−π6(k ∈Z)，可淘汰A 、D 选项， 然后分别将B 和C 选项代入检验， 易知当θ=5π6时，f(x)=−2sin2x 其在区间[−π4, 0]上单调递减. 故选C ．7. 将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为（）A.1 3B.25C.12D.35【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】基本事件总数n=C62C42C22=90，每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数m=C31C31C21C21C11C11=36，由此能求出每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率．【解答】将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，基本事件总数n=C62C42C22=90，每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数m=C31C31C21C21C11C11=36，∴每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为p=mn =3690=25．8. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A.81πB.33πC.56πD.41π【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，下底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD为等腰三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，再求出其外接球的半径，则其外接球的表面积可求．【解答】由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，下底面ABCD 是边长为4的正方形，侧面PAD 为等腰三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ．棱锥的高为1，设三角形PAD 的外心为G ，则PDsin∠DAP =2PG ，∴ PG =52．再设该四棱锥外接球的半径为R ，则R =√(52)2+22=√412则该几何体的外接球的表面积为4π×(√412)2=41π．9. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示，若将函数f(x)的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的14，再向右平移π6个单位，所得到的函数g(x)的解析式为（ ）A.g(x)=2sin 14x B.g(x)=2sin2x C.g(x)=2sin(14x −π6) D.g(x)=2sin(2x −π6)【答案】 D【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】根据图象求出A ，ω 和φ，即可求函数f(x)的解析式；通过平移变换规律即可求解g(x)． 【解答】由题设图象知，A =2，周期T =4(x 0+π−x 0)=4π， ∴ ω=2πT=12． ∵ 点(0, 1)在函数图象上， ∴ 2sin(φ)=1，即sin(φ)=12． 又∵ 0<φ<π2， ∴ φ=π6．故函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(12x +π6)，将图象横坐标缩短到原来的14，可得2sin(2x +π6)，再向右平移π6个单位，可得2sin[2(x −π6)+π6]=2sin(2x −π6)， 即 g(x)=2sin(2x −π6)，10. 已知函数f(x)={2x 2+4x +1,x <02e x ,x ≥0 ，g(x)=−f(−x)，则方程f(x)=g(x)的解的个数为（ ）A.4B.3C.2D.1【答案】 A【考点】函数的零点与方程根的关系 【解析】作出y =f(x)的图象，由题意可得g(x)和f(x)的图象关于原点对称，作出y =g(x)的图象，由两图象的交点个数，可得方程解的个数． 【解答】函数f(x)={2x 2+4x +1,x <02e x ,x ≥0 的图象如图所示， 由g(x)=−f(−x)，可得g(x)和f(x)的图象关于原点对称，作出y =g(x)的图象，可得y =f(x)和y =g(x)的图象有4个交点， 则方程f(x)=g(x)的解的个数为（4）11. 已知抛物线C:y 2=8x ，圆F ：(x −2)2+y 2=4，直线l:y =k(x −2)(k ≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M 1，M 2，M 3，M 4四点，则下列各式结果为定值的是（ ） A.|M 1M 3|⋅|M 2M 4| B.|FM 1|⋅|FM 4| C.|M 1M 2|⋅|M 3M 4| D.|FM 1|⋅|M 1M 2| 【答案】 C【考点】 抛物线的求解 【解析】利用抛物线的定义和：|M 1F|=x 1+2就可得出|M 1M 2|=x 1，同理可得|M 3M 4|=x 4，将直线的方程代入抛物线方程，利用根与系数关系可求得． 【解答】分别设M 1，M 2，M 3，M 4四点横坐标为x 1，x 2，x 3，x 4， 由y 2=8x 可得焦点F(2, 0)，准线 l 0:x =−(2) 由定义得：|M 1F|=x 1+2， 又∵ |M 1F|=|M 1M 2|+2， ∴ |M 1M 2|=x 1， 同理：|M 3M 4|=x 4，将y =k(x −2)时，代入抛物线方程，得：k 2x 2−(4k 2+8)x +4k 2=0， ∴ x 1x 4=4，∴ |M 1M 2|⋅|M 3M 4|=412. 已知l1，l2分别是函数f(x)=|lnx|图象上不同的两点P1，P2处的切线，l1，l2分别与y轴交于点A，B，且l1与l2垂直相交于点P，则△ABP的面积的取值范围是（）A.(0, 1)B.(0, 2)C.(0, +∞)D.(1, +∞)【答案】A【考点】对数函数的图象与性质【解析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．【解答】设P1(x1, y1)，P2(x2, y2)(0<x1<1<x2)，当0<x<1时，f′(x)=−1x ，当x>1时，f′(x)=1x，∴l1的斜率k1=−1x1，l2的斜率k2=1x2，∵l1与l2垂直，且x2>x1>0，∴k1⋅k2=−1x1⋅1x2=−1，即x1x2=(1)直线l1:y=−1x1(x−x1)−lnx1，l2:y=1x2(x−x2)+lnx2．取x=0分别得到A(0, 1−lnx1)，B(0, −1+lnx2)，|AB|=|1−lnx1−(−1+lnx2)|=|2−(lnx1+lnx2)|=|2−lnx1x2|=(2)联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=2x1x2x1+x2，∴S△PAB=12|AB|⋅|x P|=12×2×2x1x2x1+x2=2x1+1x1，∵函数y=x+1x在(0, 1)上为减函数，且0<x1<1，∴x1+1x1>1+1=2，则0<1x1+1x1<12，∴0<2x1+1x1<(1)∴△PAB的面积的取值范围是(0, 1)．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.已知向量a→,b→满足|a→|=1，|b→|=√2，且a→⊥(a→−b→)，则向量a→与向量b→的夹角为________．【答案】π4【考点】数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由已知中a →⊥(a →−b →)，可得a →∗(a →−b →)=0，即a →∗b →=a →2=1，代入向量夹角公式，可得答案． 【解答】∵ |a →|=1,|b →|=√2，∴ a →2=1，b →2=2又∵ a →⊥(a →−b →) ∴ a →∗(a →−b →)=0 即a →∗b →=a →2=1设向量a →与b →的夹角为θ 则cosθ=a →∗b→|a →|∗|b →|=√22∵ θ∈[0, π] ∴ θ=π4(x −2y +y 2)6的展开式中，x 2y 5的系数为________． 【答案】 −480 【考点】二项式定理的应用 【解析】通项公式T r+1=∁6r x 6−r (y 2−2y)r ，令6−r =2，解得r =(4)T 5=∁64x 2(y 2−2y)4．又(y 2−2y)4，展开即可得出．x 2y 5的系数为∁64×(−∁43⋅23)=−4(80)【解答】通项公式T r+1=∁6r x6−r(y 2−2y)r ， 令6−r =2，解得r =(4)∴ T 5=∁64x 2(y 2−2y)4．又(y 2−2y)4=(y 2)4−∁41(y 2)3⋅2y +∁42(y 2)2∗(2y)2−∁43y 2∗(2y)3+∁44(2y)4，∴ x 2y 5的系数为∁64×(−∁43⋅23)=−4(80)在平面直角坐标系中，若不等式组{x +y −1≥0x −1≤0ax −y +1≥0 （a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于1，则a 的值为________． 【答案】 1【考点】 简单线性规划 【解析】先根据约束条件画出可行域，求出可行域顶点的坐标，再利用几何意义求关于面积的等式求出a值即可．【解答】当a<0时，不等式组所表示的平面区域，如图中的M，一个无限的角形区域，面积不可能为2，故只能a≥0，此时不等式组所表示的平面区域如图中的N，区域为三角形区域，若这个三角形的面积为1，则AB=2，即点B的坐标为(1, 2)，代入y=ax+1得a=(1)故答案为：1；△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=c，sinB+sin(A−C)=sin2A，若O为△ABC所在平面内一点，且O，C在直线AB的异侧，OA=20B=2，则四边形OACB面积的取值范围是________．【答案】(√34,5√34+2]【考点】解三角形三角形的面积公式【解析】根据sinB+sin(A−C)=sin2A，可得sin(A+C)+sin(A−C)=sin2A，可得A的大小．由b=c，可知B和C的大小；四边形OACB面积=12AO⋅OB⋅sin∠AOB+12bcsinA，利用余弦定理转化为三角函数的有界限求解范围．【解答】根据sinB+sin(A−C)=sin2A，可得sin(A+C)+sin(A−C)=sin2A，可得2sinAcosC=2sinAcosA，即cosC=cosA，那么b=c=a，三角形△ABC时等边三角．由OA=20B=2，四边形OACB面积S=12AO⋅OB⋅sin∠AOB+12bcsinA，则四边形OACB面积S=√34c2+sin∠AOB=√34(5−4cos∠AOB)+sin∠AOB=sin∠AOB−√3cos∠AOB+5√34=2sin(∠AOB−π3)+5√34∵0<∠AOB<π∴−π3<∠AOB−π3<2π3那么：−√3<2sin(∠AOB−π3)≤2∴OACB面积的取值范围是(√34,5√34+2]三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个考题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=(1+1n)a n+(n+1)∗2n．(Ⅰ)设b n=a nn，求数列{b n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n}的前n项和S n．【答案】(I)由已知有a n+1n+1=a nn+2n∴b n+1=b n+2n，又b1=a1=1，利用累差叠加即可求出数列{b n}的通项公式：∴b n=2n−1(n∈N∗)；(II)由(I)知a n=n∗2n−n，∴S n=(1∗2+2∗22+3∗23+⋯+n∗2n)−(1+2+3+⋯+n)而1+2+3+⋯+n=12n(n+1)，令T n=1∗2+2∗22+3∗23+⋯+n∗2n①①×2得2T n=1∗22+2∗23+3∗24+⋯+n∗2n+1②①-②得−T n=2+22+23+⋯+2n−n∗2n+1=2(1−2n)1−2−n∗2n+1 =−2+(1−n)⋅2n+1T n=2+(n−1)∗2n+1∴S n=2+(n−1)∗2n+1−n(n+1)2．【考点】数列的求和数列递推式【解析】(I)由已知有a n+1n+1=a nn+2n，从而b n+1=b n+2n，由此利用累差叠加即可求出数列{b n}的通项公式．(II)由a n=n∗2n−n，得S n=(1∗2+2∗22+3∗23+⋯+n∗2n)−(1+2+3+⋯+n)，由此利用分组求和法和错位相减法能求出数列{a n}的前n项和S n．【解答】(I)由已知有a n+1n+1=a nn+2n∴b n+1=b n+2n，又b1=a1=1，利用累差叠加即可求出数列{b n}的通项公式：∴b n=2n−1(n∈N∗)；(II)由(I)知a n=n∗2n−n，∴S n=(1∗2+2∗22+3∗23+⋯+n∗2n)−(1+2+3+⋯+n)而1+2+3+⋯+n=12n(n+1)，令T n =1∗2+2∗22+3∗23+⋯+n ∗2n ①①×2得2T n =1∗22+2∗23+3∗24+⋯+n ∗2n+1② ①-②得−T n =2+22+23+⋯+2n −n ∗2n+1=2(1−2n )1−2−n ∗2n+1=−2+(1−n)⋅2n+1T n =2+(n −1)∗2n+1 ∴ S n =2+(n −1)∗2n+1−n(n+1)2．如图所示，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠ABC =60∘，∠PDC =90∘，E 为棱AP 的中点，且AD ⊥CE ．(Ⅰ)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)当直线PB 与底面ABCD 成30∘角时，求二面角B −CE −P 的余弦值．【答案】（1）证明：取AD 的中点O ，连OE ，OC ，CA ，∵ ∠ABC =60∘，∴ △ACD 为等边三角形，得AD ⊥OC ， 又AD ⊥CE ，∴ AD ⊥平面COE ，得AD ⊥OE ， 又OE // PD ，∴ AD ⊥PD ，又∠PDC =90∘，∴ PD ⊥平面ABCD ，又PD ⊂平面PAD ，∴ 平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）由(Ⅰ) 知OE ⊥平面ABCD ，AD ⊥OC ，以OC ，OD ，OE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设菱形ABCD 的边长为2，则OC =√3，BD =2√3， ∵ 直线PB 与底面ABCD 成30∘角，即∠PBD =30∘， ∴ PD =BD ⋅tan∠PBD =2√3⋅√33=2，∴ B(√3,−2,0),C(√3,0,0),E(0,0,1),P(0.1,2)， ∴ CE →=(−√3,0,1),CB →=(0,−2,0),EP →=(0,1,1)， 设n 1→=(x 1,y 1,z 1)为平面BCE 的一个法向量，则{n 1→⋅CE →=0n 1→⋅CB →=0⇒{−√3x 1+z 1=0−2y 1=0 ，令x 1=1，则z 1=√3，∴ n 1→=(1,0,√3)； 设n 2→=(x 2,y 2,z 2)为平面PCE 的一个法向量，则{n 2→⋅CE →=0n 2→⋅EP →=0 ⇒{−√3x 2+z 2=0y 2+z 2=0 ，令x 2=1，则y 2=−√3,z 2=√3， ∴ n 2→=(1,−√3,√3)．由题可知二面角B −CE −P 的平面角为钝角， 二面角B −CE −P 的余弦值为−2√77．【考点】二面角的平面角及求法 平面与平面垂直的判定 【解析】(Ⅰ)取AD 的中点O ，连OE ，OC ，CA ，由∠ABC =60∘，可得△ACD 为等边三角形，得AD ⊥OC ，结合AD ⊥CE ，得AD ⊥OE ，进一步得到AD ⊥PD ，再由∠PDC =90∘，得PD ⊥平面ABCD ，由面面垂直的判定可得平面PAD ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)由(Ⅰ) 知OE ⊥平面ABCD ，AD ⊥OC ，以OC ，OD ，OE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设菱形ABCD 的边长为2，则OC =√3，BD =2√3，再由直线PB 与底面ABCD 成30∘角，求得PD =2，然后求出所用点的坐标，求出平面BCE 与平面PCE 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角B −CE −P 的余弦值． 【解答】（1）证明：取AD 的中点O ，连OE ，OC ，CA ，∵ ∠ABC =60∘，∴ △ACD 为等边三角形，得AD ⊥OC ， 又AD ⊥CE ，∴ AD ⊥平面COE ，得AD ⊥OE ， 又OE // PD ，∴ AD ⊥PD ，又∠PDC =90∘，∴ PD ⊥平面ABCD ，又PD ⊂平面PAD ，∴ 平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）由(Ⅰ) 知OE ⊥平面ABCD ，AD ⊥OC ，以OC ，OD ，OE 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设菱形ABCD 的边长为2，则OC =√3，BD =2√3， ∵ 直线PB 与底面ABCD 成30∘角，即∠PBD =30∘， ∴ PD =BD ⋅tan∠PBD =2√3⋅√33=2，∴ B(√3,−2,0),C(√3,0,0),E(0,0,1),P(0.1,2)， ∴ CE →=(−√3,0,1),CB →=(0,−2,0),EP →=(0,1,1)， 设n 1→=(x 1,y 1,z 1)为平面BCE 的一个法向量，则{n 1→⋅CE →=0n 1→⋅CB →=0⇒{−√3x 1+z 1=0−2y 1=0 ，令x 1=1，则z 1=√3，∴ n 1→=(1,0,√3)； 设n 2→=(x 2,y 2,z 2)为平面PCE 的一个法向量，→→∴ n 2→=(1,−√3,√3)． ∴ cos <n 1→,n 2→>=n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→|=2⋅√7=2√77， 由题可知二面角B −CE −P 的平面角为钝角， 二面角B −CE −P 的余弦值为−2√77．为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，安徽省于2012年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2160度以下（含2160度），执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯电量：年用电量2161至4200度（含4200度），执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯电量：年用电量4200度以上，执行第三档电价0.8653元/度．某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如表：(Ⅱ)现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；(Ⅲ)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值． 【答案】（I ）因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度， 第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4600度， 则该户本年度应交电费为：4600×0.5653+(4200−2160)×0.05+(4600−4200)×0.3=2822.38元． (II)设取到第二阶梯电量的用户数为X ，可知第二阶梯电量的用户有4户，则X 可取0，1，2，3，（4） p(X =0)=C 40C64C 104=114， p(X =1)=C 41C63C 104=821， p(X =2)=C 42C62C 104=37，p(X =4)=C 44C60C 104=1210，故X 的分布列是：所以E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85． (III)由题意可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足X ∼B(10, 25)，可知p(X =k)=C 10k(25)k (35)10−k (k =0, 1.2.(3)…10)， ∵ 抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，∴ {C 10k (25)k (35)10−k ≥C 10k+1(25)k+1(35)9−k C 10k (25)k (35)10−k ≥C 10k−1(25)k−1(35)11−k，解得175≤k ≤225，∵ k ∈N ∗ 所以当k =4时，概率最大，所以k =(4) 【考点】离散型随机变量及其分布列 【解析】（I ）由第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4600度，由此能求出该户本年度应交电费．( II)设取到第二阶梯电量的用户数为X ，可知第二阶梯电量的用户有4户，则X 可取0，1，2，3，（4）分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望． (III)由题意可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足X ∼B(10, 25)，可知p(X =k)=C 10k (25)k (35)10−k (k =0, 1.2.(3)…10)，由此能求出结果．【解答】（I ）因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度， 第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4600度， 则该户本年度应交电费为：4600×0.5653+(4200−2160)×0.05+(4600−4200)×0.3=2822.38元． (II)设取到第二阶梯电量的用户数为X ，可知第二阶梯电量的用户有4户，则X 可取0，1，2，3，（4） p(X =0)=C 40C64C 104=114， p(X =1)=C 41C63C 104=821， p(X =2)=C 42C62C 104=37， p(X =3)=C 43C61C 104=435， p(X =4)=C 44C60C 4=1210，所以E(X)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85． (III)由题意可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足X ∼B(10, 25)，可知p(X =k)=C 10k(25)k (35)10−k (k =0, 1.2.(3)…10)， ∵ 抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，∴ {C 10k (25)k (35)10−k ≥C 10k+1(25)k+1(35)9−k C 10k (25)k (35)10−k ≥C 10k−1(25)k−1(35)11−k，解得175≤k ≤225，∵ k ∈N ∗ 所以当k =4时，概率最大，所以k =(4)已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率e =√32，O 为坐标原点，圆O:x 2+y 2=45与直线AB 相切．（1）求椭圆C 的标准方程．（2）已知四边形ABCD 内接于椭圆E ，AB//DC ．记直线AC ，BD 的斜率分别为k 1，k 2，试问k 1⋅k 2是否为定值？证明你的结论． 【答案】（1）解：由题知直线AB 的方程为xa +yb =1， 即bx +ay −ab =0， 由圆O 与直线AB 相切， 得√a 2+b 2=√45，即a 2b 2a 2+b2=45①． 又e =ca=√32， 所以b 2a 2=1−e 2=14②．由①②得a 2=4，b 2=1． 故椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．（2）证明：k 1⋅k 2=14为定值，证明过程如下： 由（1）得直线AB 的方程为y =−12x +1， 故可设直线DC 的方程为y =−12x +m ，由{x 24+y 2=1,y =−12x +m消去y 整理得x 2−2mx +2m 2−2=0， 因为直线与椭圆交于两点， 所以Δ=8−4m 2>0． 设C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则x 1+x 2=2m ，x 1x 2=2m 2−2．又k 1=y1x 1−2，k 2=y 2−1x 2， 所以k 1⋅k 2=y 1x1−2⋅y 2−1x 2=(−12x 1+m)x 1−2⋅(−12x 2+m)−1x 2 =14x 1x 2−m 2(x 1+x 2)+m 2+12x 1−mx 1x 2−2x 2=14⋅(2m 2−2)−m 2⋅(2m)+m 2+2m −x 22−m(2m 2−2)−2x 2 =m 22−12−x 222m 2−2−2x 2=14．故k 1⋅k 2是定值． 【考点】 椭圆的定义 【解析】 此题暂无解析 【解答】（1）解：由题知直线AB 的方程为xa +yb =1， 即bx +ay −ab =0， 由圆O 与直线AB 相切， 得√a 2+b 2=√45，即a 2b 2a 2+b2=45①． 又e =ca=√32， 所以b 2a 2=1−e 2=14②．由①②得a 2=4，b 2=1． 故椭圆的标准方程为x 24+y 2=1．（2）证明：k 1⋅k 2=14为定值，证明过程如下：故可设直线DC 的方程为y =−12x +m ， 显然m ≠±1．由{x 24+y 2=1,y =−12x +m消去y 整理得x 2−2mx +2m 2−2=0， 因为直线与椭圆交于两点， 所以Δ=8−4m 2>0． 设C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，则x 1+x 2=2m ，x 1x 2=2m 2−2． 又k 1=y 1x1−2，k 2=y 2−1x 2， 所以k 1⋅k 2=y 1x 1−2⋅y 2−1x 2=(−12x 1+m)x 1−2⋅(−12x 2+m)−1x 2 =14x 1x 2−m 2(x 1+x 2)+m 2+12x 1−mx 1x 2−2x 2=14⋅(2m 2−2)−m 2⋅(2m)+m 2+2m −x 22−m (2m 2−2)−2x 2 =m 22−12−x 222m 2−2−2x 2=14． 故k 1⋅k 2是定值．已知函数f(x)＝lnx −12ax 2+x(a ∈R)，函数g(x)＝−2x +3． (Ⅰ)判断函数F(x)＝f(x)+12ag(x)的单调性；(Ⅱ)若−2≤a ≤−1时，对任意x 1，x 2∈[1, 2]，不等式|f(x 1)−f(x 2)|≤t|g(x 1)−g(x 2)|恒成立，求实数t 的最小值． 【答案】(I)F(x)=f(x)+12ag(x)=lnx −12ax 2+(1−a)x +32a ，其定义域为为(0, +∞)，F ′(x)=1x −ax +1−a =−ax 2+(1−a)x+1x=(−ax+1)(x+1)x．（1）当a ≤0时，F ′(x)≥0，函数y ＝F(x)在(0, +∞)上单调递增； （2）当a >0时，令F ′(x)>0，解得0<x <1a ；令F ′(x)<0，解得x >1a ． 故函数y ＝F(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减． (II)由题意知t ≥0.f ′(x)=1x−ax +1=−ax 2+x+1x，即f(x 2)+tg(x 2)≤f(x 1)+tg(x 1)对任意−2≤a ≤−1，1≤x 1≤x 2≤2恒成立． 记ℎ(x)＝f(x)+tg(x)＝lnx −12ax 2+(1−2t)x +3t ，则ℎ(x)在[1, 2]上单调递减．得ℎ(x)=1x −ax +(1−2t)≤0对任意a ∈[−2, −1]，x ∈[1, 2]恒成立．令H(a)=−xa +1x +(1−2t)，a ∈[−2, −1]，则H(a)max =H(−2)=2x +1x +1−2t ≤0在x ∈(0, +∞)上恒成立．则2t −1≥(2x +1x )max ，而y ＝2x +1x 在[1, 2]上单调递增， 所以函数y ＝2x +1x 在[1, 2]上的最大值为92． 由2t −1≥92，解得t ≥114．故实数t 的最小值为114． 【考点】利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的最值 【解析】(I)F(x)=f(x)+12ag(x)=lnx −12ax 2+(1−a)x +32a ，其定义域为为(0, +∞)，F′(x)=(−ax+1)(x+1)x，由此利用导数性质能判断函数F(x)=f(x)+12ag(x)的单调性．( II)由题意知t ≥0.f ′(x)=1x−ax +1=−ax 2+x+1x，当−2≤a ≤−1时，函数y ＝f(x)单调递增，设1≤x 1≤x 2≤2，又函数y ＝g(x)单调递减，所以原问题等价于：当−2≤a ≤−1时，f(x 2)+tg(x 2)≤f(x 1)+tg(x 1)对任意−2≤a ≤−1，1≤x 1≤x 2≤2恒成立．记ℎ(x)＝f(x)+tg(x)＝lnx −12ax 2+(1−2t)x +3t ，利用导数性质能求出实数t 的最小值． 【解答】(I)F(x)=f(x)+12ag(x)=lnx −12ax 2+(1−a)x +32a ，其定义域为为(0, +∞)，F ′(x)=1x −ax +1−a =−ax 2+(1−a)x+1x=(−ax+1)(x+1)x．（1）当a ≤0时，F ′(x)≥0，函数y ＝F(x)在(0, +∞)上单调递增； （2）当a >0时，令F ′(x)>0，解得0<x <1a ；令F ′(x)<0，解得x >1a ． 故函数y ＝F(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减． (II)由题意知t ≥0.f ′(x)=1x−ax +1=−ax 2+x+1x，即f(x 2)+tg(x 2)≤f(x 1)+tg(x 1)对任意−2≤a ≤−1，1≤x 1≤x 2≤2恒成立． 记ℎ(x)＝f(x)+tg(x)＝lnx −12ax 2+(1−2t)x +3t ，则ℎ(x)在[1, 2]上单调递减．得ℎ(x)=1x −ax +(1−2t)≤0对任意a ∈[−2, −1]，x ∈[1, 2]恒成立．令H(a)=−xa +1x +(1−2t)，a ∈[−2, −1]，则H(a)max =H(−2)=2x +1x +1−2t ≤0在x ∈(0, +∞)上恒成立．则2t −1≥(2x +1x )max ，而y ＝2x +1x 在[1, 2]上单调递增， 所以函数y ＝2x +1x 在[1, 2]上的最大值为92． 由2t −1≥92，解得t ≥114．故实数t 的最小值为114．选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =1+√2ty =√2t（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为3ρ2cos 2θ+4ρ2sin 2θ=12，且直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点．(Ⅰ)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ)把直线l 与x 轴的交点记为A ，求|AP|⋅|AQ|的值． 【答案】(Ⅰ)∵ 直线l 的参数方程是{x =1+√2ty =√2t（t 为参数），∴ 直线l 消去参数t ，得直线l 的普通方程为x −y −1=0， ∵ 曲线C 的极坐标方程为3ρ2cos 2θ+4ρ2sin 2θ=12， ∴ 曲线C 的直角坐标方程为3x 2+4y 2=(12)(II)解法一：在x −y −1=0中，令y =0，得x =1，则A(1, 0)， 联立{3x 2+4y 2=12x −y −1=0，消去y ，得7x 2−8x −8=(0) 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，其中x 1<x 2，则有x 1+x 2=87，x 1x 2=−87． |AP|=√1+12|x 1−1|=−√2(x 1−1)， |AQ|=√1+12|x 2−1|=√2(x 2−1)，故|AP|⋅|AQ|=−2(x 1−1)(x 2−1)=−2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]=187．解法二：把{x =1+√2t =1+√22∗(2t)y =√2t =√22(2t)，则t 1t 2=−914，则|AP|⋅|AQ|=(−2t 1)⋅(2t 2)=−4t 1t 2=187．【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)直线l 消去参数t ，得直线l 的普通方程；由曲线C 的极坐标方程能求出曲线C 的直角坐标方程．(II)法一：在x −y −1=0中，令y =0，得x =1，则A(1, 0)，联立{3x 2+4y 2=12x −y −1=0 ，得7x 2−8x −8=(0)由此利用韦达定理能求出|AP|⋅|AQ|． 法二：把{x =1+√2t =1+√22∗(2t)y =√2t =√22(2t) ，代入3x 2+4y 2=12，得14t 2+6√2t −9=0，由此能求出|AP|⋅|AQ|． 【解答】(Ⅰ)∵ 直线l 的参数方程是{x =1+√2ty =√2t（t 为参数），∴ 直线l 消去参数t ，得直线l 的普通方程为x −y −1=0， ∵ 曲线C 的极坐标方程为3ρ2cos 2θ+4ρ2sin 2θ=12， ∴ 曲线C 的直角坐标方程为3x 2+4y 2=(12)(II)解法一：在x −y −1=0中，令y =0，得x =1，则A(1, 0)， 联立{3x 2+4y 2=12x −y −1=0，消去y ，得7x 2−8x −8=(0) 设P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，其中x 1<x 2，则有x 1+x 2=87，x 1x 2=−87． |AP|=√1+12|x 1−1|=−√2(x 1−1)， |AQ|=√1+12|x 2−1|=√2(x 2−1)，故|AP|⋅|AQ|=−2(x 1−1)(x 2−1)=−2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]=187．解法二：把{x =1+√2t =1+√22∗(2t)y =√2t =√22(2t)，代入3x 2+4y 2=12，得14t 2+6√2t −9=0， 则t 1t 2=−914，则|AP|⋅|AQ|=(−2t 1)⋅(2t 2)=−4t 1t 2=187．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x +4x −m|+m ．(Ⅰ)当m =0时，求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)若函数f(x)≤5在x ∈[1, 4]上恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)当m =0时，f(x)=|x +4x|=|x|+|4x|≥2√x ∗4x=4，当且仅当|x|=|4x |，即x =±2时等式成立，试卷第21页，总21页 (Ⅱ)当x ∈[1, 4]时，函数f(x)的最大值为5⇔|x +4x −m|+m ≤5在x ∈[1, 4]上恒成立，⇔|x +4x −m|≤5−m 在x ∈[1, 4]上恒成立， ⇔m −5≤x +4x−m ≤5−m 在x ∈[1, 4]上恒成立， ⇔2m −5≤x +4x ，且x +4x ≤5在x ∈[1, 4]上恒成立， 函数y =x +4x 在[1, 2]上单调递减，在[2, 4]上单调递增． ∵ x +4x ≥4，当且仅当x =2时等式成立，而x +4x ≤5在x ∈[1, 4]上是恒成立的． ∴ 2m −5≤4∴ m ≤92，即实数m 的取值范围是(−∞,92brack ．【考点】绝对值三角不等式绝对值不等式的解法与证明【解析】(Ⅰ)根据绝对值不等式的性质求出函数的最小值即可；(Ⅱ)问题转化为2m −5≤x +4x ，根据函数y =x +4x 的单调性求出m 的范围即可．【解答】(Ⅰ)当m =0时，f(x)=|x +4x |=|x|+|4x |≥2√x ∗4x =4， 当且仅当|x|=|4x |，即x =±2时等式成立， 所以，当x =±2时，f(x)min =(4)(Ⅱ)当x ∈[1, 4]时，函数f(x)的最大值为5⇔|x +4x −m|+m ≤5在x ∈[1, 4]上恒成立，⇔|x +4x −m|≤5−m 在x ∈[1, 4]上恒成立， ⇔m −5≤x +4x −m ≤5−m 在x ∈[1, 4]上恒成立， ⇔2m −5≤x +4x ，且x +4x≤5在x ∈[1, 4]上恒成立， 函数y =x +4x 在[1, 2]上单调递减，在[2, 4]上单调递增． ∵ x +4x ≥4，当且仅当x =2时等式成立，而x +4x ≤5在x ∈[1, 4]上是恒成立的． ∴ 2m −5≤4∴ m ≤92，即实数m 的取值范围是(−∞,92brack ．。
2018年安徽省淮南市高考数学一模试卷(理科)
2018年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知a+2i i=b −i(a,b ∈R)，其中i 是虚数单位，则a +b =( )A.−1B.3C.2D.12. 已知集合A ={x|y =√3x −x 2}，B ={y|y =2x , x >1}，则A ∩B 为（ ） A.[0, 3] B.[3, +∞) C.[1, 3] D.(2, 3]3. 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（ ） A.B.C.D.4. 已知函数f(x)=sin(2x −3π2)(x ∈R)，下列说法错误的是( )A.函数f(x)最小正周期是πB.函数f(x)是偶函数C.函数f(x)在[0,π2]上是增函数 D.函数f(x)图象关于(π4,0)对称5. 若实数x ，y 满足{x −y +1≤0x >0y ≤2，则y+1x 的取值范围是（ ）A.(0, 3)B.[0, 3]C.(3, +∞)D.[3, +∞)6. 求曲线y =x 2与y =x 所围成的图形的面积S ，正确的是（ ） A.S =∫10(x −x 2)dx B.S =∫10(x 2−x)dx C.S =∫1(y 2−y)dy D.S =∫1(y −√y)dy7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的t =0.01，则输出的n =( )A.5B.6C.7D.88. 函数f(x)＝|x|−ax(a∈R)的图象不可能是（）A.B.C.D.9. 设α∈(0,π2)，β∈(0,π4)，且tanα=1+sin2βcos2β，则下列结论中正确的是（）A.2α−β=π4B.2α+β=π4C.α−β=π4D.α+β=π410. 设F为抛物线C:y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30∘的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A.3√34B.9√38C.6332D.9411. 已知G 是△ABC 的重心，过点G 作直线MN 与AB ，AC 交于点M ，N ，且AM →=xAB →，AN →=yAC →，(x, y >0)，则3x +y 的最小值是（ ） A.83B.72C.52D.43+23√312. 已知f(x)＝x 2e x ，若函数g(x)＝f 2(x)−kf(x)+1恰有四个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.(−∞, −2)∪(2, +∞)B.(2, 4e 2+e 24)C.(8e 2, 2) D.(4e2+e 24, +∞)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）(x −y)(x +y)8的展开式中x 2y 7的系数为________．（用数字填写答案）《九章算术》“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为________．已知函数f(x)=e 1+|x|−11+x 2，则使得f(x)>f(2x −1)成立的x 的取值范围是________．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，当n ≥2时，(a n −S n−1)2=S n S n−1，且a 1=1，设b n =log 2a n+13，则b 1+b 2+⋯+b n +34n+1的最小值是________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c =√3，sinA =√6sinC ，cos2A =−13．（1）求a 的值；（2）若角A 为锐角，求b 的值及△ABC 的面积．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1+3a 2＝1，a 32=9a 2a 6．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝log 3a 1+log 3a 2+...+log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和．某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需要看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：[20, 30)，[30, 40)，[40, 50)，[50, 60)，[60, 70)，[70, 80)后得到如图所示的频率分布直方图，问：（1）在40名读书者中年龄分布在[40, 70)的人数；（2）估计40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[20, 40)的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在[30, 40)的人数X 的分布列和数学期望．已知椭圆y 2a2+x 2b 2=1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x +y +1=0与以椭圆C 的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 为椭圆C 上一点，若过点M(0, 2)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点S 和T ，满足OS →+OT →=tOP →（O 为坐标原点），求实数t 的取值范围．已知函数f(x)=ax 2+lnx +2．（1）若a ∈R ，讨论函数f(x)的单调性；（2）曲线g(x)=f(x)−ax 2与直线l 交于A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，两点，其中x 1<x 2，若直线l 斜率为k ，求证：x 1<1k <x 2． 选做题：请在22,23题中任选一个题作答.已知曲线C 1的参数方程为{x =4+5costy =5+5sint （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sinθ． （1）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0, 0≤θ<2π)．设函数f(x)=|2x −4|+1． （1）画出函数y =f(x)的图象；（2）若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围．参考答案与试题解析2018年安徽省淮南市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件计算得答案．【解答】∵a+2ii =−i(a+2i)−i2=2−ai=b−i，∴a=1，b=2．∴a+b=3．2.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】求定义域和值域得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】集合A={x|y=√3x−x2}={x|3x−x2≥0}={x|0≤x≤3}=[0, 3]，B={y|y=2x, x>1}={y|y>2}=(2, +∞)；则A∩B=(2, 3]．3.【答案】A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】根据几何概型的概率公式，要使中奖率增加，则对应的面积最大即可．【解答】要使中奖率增加，则对应的面积最大即可，则根据几何概型的概率公式可得，A．概率P=38，B．概率P=28=14，C概率P=26=13，D．概率P=13，则概率最大的为38，4.【答案】 C【考点】正弦函数的周期性 正弦函数的对称性 正弦函数的单调性 正弦函数的奇偶性 【解析】根据正弦函数的性质依次判断各选项即可． 【解答】解：由函数f(x)=sin(2x −3π2)=cos2x(x ∈R)，∴ B 正确； 其周期T =2π2=π，∴ A 正确．令−π+2kπ≤2x ≤2kπ， 可得kπ−π2≤x ≤kπ，k ∈Z ． ∴ f(x)在[0,π2]上不是增函数； ∴ C 错误；令x =π4，则f(π4)=cos π2=0， ∴ 函数f(x)图象关于(π4,0)对称， ∴ D 正确． 故选C . 5.【答案】 D【考点】 简单线性规划 【解析】由约束条件作出可行域，再由y+1x的几何意义，即可行域内动点与定点P(0, −1)连线的斜率求解． 【解答】由约束条件{x −y +1≤0x >0y ≤2 作出可行域如图，联立{y =2x −y +1=0，解得A(1, 2)， y+1x的几何意义为可行域内动点与定点P(0, −1)连线的斜率，∵ k PA =−1−20−1=3，∴y+1x的取值范围是[3, +∞)．6.【答案】 A【考点】定积分的简单应用 【解析】根据题意，画出图象确定所求区域，结合定积分的几何性质分析可得答案． 【解答】根据题意，如图所示，阴影部分为曲线y =x 2与y =x 所围成的图形， 其面积S =S △ABO −S 曲边梯形ABO =∫1(x −x 2)dx ；7.【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】第一次执行循环体后，S =12，m =14，n =1，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S =14，m =18，n =2，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S =18，m =116，n =3，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S =116，m =132，n =4，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S =132，m =164，n =5，不满足退出循环的条件； 再次执行循环体后，S =164，m =1128，n =6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S =1128，m =1256，n =7，满足退出循环的条件； 故输出的n 值为7， 8.【答案】 C【考点】函数的图象与图象的变换 【解析】讨论a 的范围，利用导数判断f(x)的单调性得出答案． 【解答】（2）当a >0时，1+ax 2>0，∴ f(x)在(0, +∞)上单调递增，令−1+ax 2=0得x =−√a ，∴ 当x <−√a 时，−1+ax 2<0，当−√a <x <0时，−1+a x 2>0，∴ f(x)在(−∞, −√a)上单调递减，在(−√a, 0)上单调递增，图象为D(1)(3)当a <0时，−1+ax 2<0，∴ f(x)在(−∞, 0)上单调递减，令1+ax 2=0得x =√−a ，∴ 当x >√−a 时，1+ax 2>0，当0<x <√−a 时，1+ax 2<0，∴ f(x)在(0, √−a)上单调递减，在(√−a, +∞)上单调递增，图象为B(2)故选：C ． 9.【答案】 C【考点】二倍角的三角函数 【解析】利用二倍角公式得出sinβ+cosβcosβ−sinβ，然后分子分母同时除以cosβ，最后由角的范围得出答案即可． 【解答】 tanα=1+sin2βcos2β=(sinβ+cosβ)2cos 2β−sin 2β=sinβ+cosβcosβ−sinβ=1+tanβ1−tanβ=tan(β+π4)． 因为α∈(0,π2)，β+π4∈(π4, π2)，所以α=β+π4．10.【答案】 D【考点】直线与抛物线结合的最值问题 抛物线的标准方程 【解析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A ，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y 的一元二次方程，由根与系数关系得到A ，B 两点纵坐标的和与积，把△OAB 的面积表示为两个小三角形AOF 与BOF 的面积和得答案． 【解答】解：由y 2=2px ，得2p =3，p =32， 则F(34, 0)．∴ 过A ，B 的直线方程为y =√33(x −34)，即x =√3y +34．联立 {y 2=3x,x =√3y +34, 得4y 2−12√3y −9=0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)， 则y 1+y 2=3√3，y 1y 2=−94． ∴ S △OAB =S △OAF +S △OFB =12×34|y 1−y 2| =38√(y 1+y 2)2−4y 1y 2 =38×√(3√3)2+9 =94． 故选D . 11.【答案】 D【考点】平面向量的基本定理基本不等式在最值问题中的应用 【解析】根据重心的性质求出13x +13y =1，再利用基本不等式得出答案． 【解答】设BC 的中点为D ，则AG →=23AD →=13AB →+13AC →=13x AM →+13y AN →，∵ M ，G ，N 三点共线，故13x +13y =1．∴ 3x +y =(3x +y)(13x +13y )=43+y 3x +x y ≥43+2√13=43+2√33． 当且仅当y3x =xy 即x =13+√39时取等号． 12.【答案】D【考点】函数零点的判定定理 【解析】利用导数的性质判断f(x)的单调性和极值，得出方程f(x)＝t 的根的分布情况，从而得出关于t 的方程t 2−kt +1＝0的根的分布情况，利用二次函数函数的性质列不等式求出k 的范围． 【解答】当t =4e 2时，关于x 的方程f(x)＝t 有2解（1）当0<t <4e 2时，关于x 的方程f(x)＝t 有3解．∵ g(x)＝f 2(x)−kf(x)+1恰有四个零点，∴ 关于t 的方程t 2−kt +1＝0在(0, 4e 2)上有1解，在(4e 2, +∞)∪{0}上有1解， 显然t ＝0不是方程t 2−kt +1＝0的解，∴ 关于t 的方程t 2−kt +1＝0在(0, 4e 2)和(4e 2, +∞)上各有1解， ∴ 16e 4−4ke 2+1<0，解得k >4e2+e 24．故选：D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【答案】 −20【考点】二项式定理及相关概念 【解析】由题意依次求出(x +y)8中xy 7，x 2y 6，项的系数，求和即可． 【解答】(x +y)8的展开式中，含xy 7的系数是：（8） 含x 2y 6的系数是28，∴ (x −y)(x +y)8的展开式中x 2y 7的系数为：8−28＝−(20) 【答案】 6766【考点】等差数列的性质 【解析】设第九节容积为a 1，由自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，利用等差数列通项公式列出方程组，求出a 1=1322，d =766，由此能求出第五节的容积． 【解答】设第九节容积为a 1，∵ 自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升， ∴ {a 1+a 2+a 3+a 4=4a 1+6d =3a 9+a 8+a 7=3a 1+21d =4 ，解得a 1=1322，d =766，∴第五节的容积为a5=a1+4d=1322+4×766=6766．【答案】(13,1)【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】首先确定函数的单调性和函数的奇偶性，然后脱去f符号计算自变量的取值范围即可．【解答】由函数的解析式可得函数为偶函数，且当x≥0时：f(x)=e1+x−11+x2,f′(x)=e1+x+2x(x2+1)2>0，即函数f(x)是在区间[0, +∞)上单调递增的偶函数，不等式f(x)>f(2x−1)成立，则：|x|>|2x−1|，即：x2>(2x−1)2，求解二次不等式可得x的取值范围是(13,1)．【答案】9【考点】数列的求和【解析】先根据数列的递推公式得到(S n−2S n−1)2=S n S n−1，解得S n=4S n−1，即可求出数列a n的通项公式，再根据对数的运算性质和基本不等式，即可求出最小值．【解答】∵a n=S n−S n−1，(a n−S n−1)2=S n S n−1，∴(S n−2S n−1)2=S n S n−1，∴S n2+4S n−12=5S n S n−1，∴S n=S n−1，或S n=4S n−1，∵正项数列{a n}的前n项和为S n，∴S n≠S n−1，∴S n=4S n−1，∵S1=a1=1，∴{S n}是以1为首项，以4为公比的等比数列，∴S n=4n−1，当n=1时，S1=a1=1，当n≥2时，a n+1=S n+1−S n=4n−4n−1=3×4n−1，∴b n=log2a n+13=log24n−1=2n−2，则b1+b2+⋯+b n+34n+1=12n(2n−2)+34n+1=n2−n+34n+1，设t=n+1，则n=t−1，可得n2−n+34n+1=(t−1)2−t+1+34t=t2−3t+36t =t+36t−3≥2√t∗36t−3=9，当且仅当t =6即n =5时，等号成立， 则b 1+b 2+⋯+b n +34n+1的最小值是9．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】根据题意，△ABC 中，因为c =√3，sinA =√6sinC ， 由正弦定理asinA =csinC ，得a =3√2．因为cos2A =1−2sin 2A =−13，且A ∈(0,π2)，所以sinA =√63，cosA =√33．由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，得b 2−2b −15=0， 解得b =5或b =−3（舍）， 所以S △ABC =12bcsinA =52√2． 【考点】 余弦定理 【解析】（1）根据题意，由正弦定理可得a sinA =csinC ，变形计算可得a 的值；（2）根据题意，由二倍角公式计算可得sinA 、cosA 的值，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA ，计算可得b 的值，由三角形面积公式计算可得答案． 【解答】根据题意，△ABC 中，因为c =√3，sinA =√6sinC ， 由正弦定理a sinA =csinC ，得a =3√2．因为cos2A =1−2sin 2A =−13，且A ∈(0,π2)， 所以sinA =√63，cosA =√33．由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，得b 2−2b −15=0，解得b =5或b =−3（舍）， 所以S △ABC =12bcsinA =52√2．【答案】设数列{a n }的公比为q ，由a 32=9a 2a 6，得a 32=9a 42， 所以q 2=19．由条件可知q >0，故q =13． 由2a 1+3a 2＝1，得2a 1+3a 1q ＝1，得a 1=13． 故数列{a n }的通项公式为a n =13n ．b n =log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a n =−(1+2+⋯+n)=−n(n+1)2，故1b n=−2n(n+1)=−2(1n −1n+1)，∴ 1b 1+1b 2+⋯+1b n=−2[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)]=−2nn+1．【考点】 数列递推式 数列的求和 【解析】（1）由a 32=9a 2a 6，q >0，求出q =13．由2a 1+3a 2＝1，得a 1=13．由此能求出数列{a n }的通项公式．（2）求出b n =log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a n =−(1+2+⋯+n)=−n(n+1)2，从而1b n=−2n(n+1)=−2(1n −1n+1)，由此能求出数列{1b n}的前n 项和．【解答】设数列{a n }的公比为q ，由a 32=9a 2a 6，得a 32=9a 42， 所以q 2=19．由条件可知q >0，故q =13． 由2a 1+3a 2＝1，得2a 1+3a 1q ＝1，得a 1=13． 故数列{a n }的通项公式为a n =13n ．b n =log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a n =−(1+2+⋯+n)=−n(n+1)2，故1b n=−2n(n+1)=−2(1n −1n+1)，∴ 1b 1+1b 2+⋯+1b n=−2[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)]=−2nn+1．【答案】由频率分布直方图知年龄在[40, 70)的频率为(0.020+0.030+0.025)×10=0.75， ∴ 40名读书者中年龄分布在[40, 70)的人数为40×0.75=30；40名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1=54，设中位数为x ，则0.005×10+0.010×10+0.020×10+0.030×(x −50)=0.5，解得x =55．即40名读书者年龄的中位数为55；年龄在[20, 30)的读书者有0.005×10×40=2人，年龄在[30, 40)的读书者有0.010×10×40=4人，∴ X 的所有可能取值有0，1，2． P(X =0)=C 22C40C 62=115，P(X =1)=C 21C41C 62=815，P(X =2)=C 20C42C 62=615，X 的分布列如下：数学期望E(X)=0×115+1×815+2×615=43．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）由频率分布直方图求出年龄在[40, 70)的频率，乘以样本容量可得40名读书者中年龄分布在[40, 70)的人数；（2）直接利用每一个小矩形中点的横坐标乘以频率作和可得平均数，设中位数为x，则0.005×10+0.010×10+0.020×10+0.030×(x−50)=0.5，解得x值得答案；（3）分别求出年龄在[20, 30)与年龄在[30, 40)的读书者人数，得到随机变量X的所有可能取值有0，1，2，分别求其概率，列出分布列，再由期望公式求得期望．【解答】由频率分布直方图知年龄在[40, 70)的频率为(0.020+0.030+0.025)×10=0.75，∴40名读书者中年龄分布在[40, 70)的人数为40×0.75=30；40名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+ 75×0.1=54，设中位数为x，则0.005×10+0.010×10+0.020×10+0.030×(x−50)=0.5，解得x=55．即40名读书者年龄的中位数为55；年龄在[20, 30)的读书者有0.005×10×40=2人，年龄在[30, 40)的读书者有0.010×10×40=4人，∴X的所有可能取值有0，1，2．P(X=0)=C22C40C62=115，P(X=1)=C21C41C62=815，P(X=2)=C20C42C62=615，X的分布列如下：数学期望E(X)=0×115+1×815+2×615=43．【答案】由题意，以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为x2+(y−c)2=a2，∴圆心到直线x+y+1=0的距离d=√2=a∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b=c，a=√2b=√2c，代入得b=c=1，∴a=√2b=√2，故所求椭圆方程为y22+x2=1当直线l的斜率不存在时，可得t=0，适合题意．当直线l的斜率存在时，t≠0，设直线l方程为y=kx+2，设P(x0, y0)，将直线方程代入椭圆方程得：(k2+2)x2+4kx+2=0，∴△=16k2−8(k2+2)=8k2−16>0，∴k2>2．设S(x1, y1)，T(x2, y2)，则x1+x2=−4kk2+2,x1x2=2k2+2，由OS→+OT→=tOP→，当t ≠0，得{tx 0=x 1+x 2=−4kk 2+2ty 0=k(x 1+x 2)+4=8k 2+2整理得：t 2=16k 2+2，由k 2>2知，0<t 2<4， 所以t ∈(−2, 0)∪(0, 2)， 综上可得t ∈(−2, 2)． 【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）圆心到直线x +y +1=0的距离d =√2=a ，由椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，知b =c ，由此能求出椭圆方程．（2）当直线l 的斜率不存在时，可得t =0；当直线l 的斜率存在时，t ≠0，设直线l 方程为y =kx +2，设P(x 0, y 0)，将直线方程代入椭圆方程得：(k 2+2)x 2+4kx +2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出实数t 的取值范围． 【解答】由题意，以椭圆C 的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为x 2+(y −c)2=a 2，∴ 圆心到直线x +y +1=0的距离d =√2=a∵ 椭圆C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， ∴ b =c ，a =√2b =√2c ，代入得b =c =1，∴ a =√2b =√2， 故所求椭圆方程为y 22+x 2=1当直线l 的斜率不存在时，可得t =0，适合题意．当直线l 的斜率存在时，t ≠0，设直线l 方程为y =kx +2，设P(x 0, y 0)， 将直线方程代入椭圆方程得：(k 2+2)x 2+4kx +2=0， ∴ △=16k 2−8(k 2+2)=8k 2−16>0，∴ k 2>2． 设S(x 1, y 1)，T(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−4kk 2+2,x 1x 2=2k 2+2， 由OS →+OT →=tOP →，当t ≠0，得{tx 0=x 1+x 2=−4kk 2+2ty 0=k(x 1+x 2)+4=8k 2+2整理得：t 2=16k 2+2，由k 2>2知，0<t 2<4， 所以t ∈(−2, 0)∪(0, 2)， 综上可得t ∈(−2, 2)． 【答案】 f′(x)=2ax +1x =2ax 2+1x，(x >0)，a ≥0时，恒有f′(x)>0，f(x)在(0, +∞)递增，a <0时，令f′(x)>0，即2ax 2+1>0，解得：0<x <√−12a，令f′(x)<0，即2ax2+1<0，解得：x>√−12a，综上，a≥0时，f(x)在(0, +∞)递增，a<0时，f(x)在(0, √−12a )递增，在(√−12a, +∞)递减；证明：k=g(x2)−g(x1)x2−x1=lnx2−lnx1x2−x1，要证x1<1k <x2，即证x1<x2−x1lnx2−lnx1<x2，等价于1<x2x1−1ln x2x1<x2x1t=x2x1,t>1只需证1<t−1lnt<t，由t>1知lnt>0，故等价于lnt<t−1<tlnt，设φ(t)=t−1−lnt，则φ′(t)=1−1t>0，所以φ(t)在(1, +∞)上单增，所以φ(t)>φ(1)=0，即t−1>lnt又设ℎ(t)=tlnt−(t−1)，则ℎ′(t)=lnt>0，所以ℎ(t)在(1, +∞)上单增，所以ℎ(t)>ℎ(1)=0，即tlnt>t−1，故x1<1k<x2．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于1<x2x1−1ln x2x1<x2x1，t=x2x1,t>1，问题转化为只需证1<t−1lnt<t，根据函数的单调性证明即可．【解答】f′(x)=2ax+1x =2ax2+1x，(x>0)，a≥0时，恒有f′(x)>0，f(x)在(0, +∞)递增，a<0时，令f′(x)>0，即2ax2+1>0，解得：0<x<√−12a，令f′(x)<0，即2ax2+1<0，解得：x>√−12a，综上，a≥0时，f(x)在(0, +∞)递增，a<0时，f(x)在(0, √−12a )递增，在(√−12a, +∞)递减；证明：k=g(x2)−g(x1)x2−x1=lnx2−lnx1x2−x1，要证x1<1k <x2，即证x1<x2−x1lnx2−lnx1<x2，等价于1<x2x1−1ln x2x1<x2x1t=x2x1,t>1只需证1<t−1lnt<t，由t >1知lnt >0，故等价于lnt <t −1<tlnt ， 设φ(t)=t −1−lnt ，则φ′(t)=1−1t >0， 所以φ(t)在(1, +∞)上单增， 所以φ(t)>φ(1)=0，即t −1>lnt 又设ℎ(t)=tlnt −(t −1)， 则ℎ′(t)=lnt >0，所以ℎ(t)在(1, +∞)上单增， 所以ℎ(t)>ℎ(1)=0， 即tlnt >t −1， 故x 1<1k <x 2．选做题：请在22,23题中任选一个题作答. 【答案】将{x =4+5costy =5+5sint ，消去参数t ，化为普通方程(x −4)2+(y −5)2＝25， 即C 1:x 2+y 2−8x −10y +16＝0，将{x =ρcosθy =ρsinθ 代入x 2+y 2−8x −10y +16＝0， 得ρ2−8ρcosθ−10ρsinθ+16＝0．∴ C 1的极坐标方程为ρ2−8ρcosθ−10ρsinθ+16＝0． ∵ 曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．∴ 曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−2y ＝0， 联立{x 2+y 2−8x −10y +16=0x 2+y 2−2y =0 ， 解得{x =1y =1 或{x =0y =2， ∴ C 1与C 2交点的极坐标为(√2,π4)和(2, π2)． 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）曲线C 1的参数方程消去参数t ，得到普通方程，再由{x =ρcosθy =ρsinθ ，能求出C 1的极坐标方程．（2）曲线C 2的极坐标方程化为直角坐标方程，与C 1的普通方程联立，求出C 1与C 2交点的直角坐标，由此能求出C 1与C 2交点的极坐标． 【解答】将{x =4+5costy =5+5sint ，消去参数t ，化为普通方程(x −4)2+(y −5)2＝25， 即C 1:x 2+y 2−8x −10y +16＝0，将{x =ρcosθy =ρsinθ 代入x 2+y 2−8x −10y +16＝0， 得ρ2−8ρcosθ−10ρsinθ+16＝0．∴ C 1的极坐标方程为ρ2−8ρcosθ−10ρsinθ+16＝0． ∵ 曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．∴ 曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2−2y ＝0， 联立{x 2+y 2−8x −10y +16=0x 2+y 2−2y =0 ， 解得{x =1y =1 或{x =0y =2， ∴ C 1与C 2交点的极坐标为(√2,π4)和(2, π2)． 【答案】由函数y =f(x)与函数y =ax 的图象可知，当且仅当a ≥12或a <−2时， 函数y =f(x)与函数y =ax 的图象有交点，故不等式f(x)≤ax 的解集非空时，a 的取值范围是(−∞,−2)∪[12,+∞)．【考点】函数的图象变化不等式恒成立的问题 【解析】（1）取得绝对值符号，得到分段函数，然后画出函数的图象． （2）利用函数的图象，转化求解a 的范围即可． 【解答】由于f(x)={−2x +5,x <22x −3,x ≥2，则y =f(x)的图象。
2018年安徽省高考数学模拟试卷及参考答案01
2018年安徽省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|3x＜16，x∈N}，B={x|x2﹣5x+4＜0}，A∩（∁R B）的真子集的个数为（）A．1 B．3 C．4 D．72．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z=2（+i），则z=（）A．﹣1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．1﹣i3．若（+2x）6展开式的常数项为（）A．120 B．160 C．200 D．2404．若a=（）10，b=（），c=log10，则a，b．c大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c5．如图，网格上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．93+12B．97+12C．105+12D．109+126．“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”．执行改程序框图（图中“aMODb”表示a除以b的余数），若输入的a，b分别为675，125，则输出的a=（）A．0 B．25 C．50 D．757．将函数f（x）=2cos2x﹣2sinxcosx﹣的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为（）A． B．C．D．8．某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b，且直线ax+by+8=0与以A（1，﹣1）为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC=120°，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2+（y+1）2=1 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2C．（x﹣1）2+（y+1）2= D．（x﹣1）2+（y+1）2=9．已知x，y满足约束条件，目标函数z=2x﹣3y的最大值是2，则实数a=（）A．B．1 C．D．410．已知正三棱锥A﹣BCD的外接球半径R=，P，Q分别是AB，BC上的点，且满足==5，DP⊥PQ，则该正三棱锥的高为（）A．B．C．D．211．已知抛物线C1：y2=8ax（a＞0），直线l倾斜角是45°且过抛物线C1的焦点，直线l被抛物线C1截得的线段长是16，双曲线C2：﹣=1的一个焦点在抛物线C1的准线上，则直线l与y轴的交点P到双曲线C2的一条渐近线的距离是（）A．2 B．C．D．112．已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），则命题P：“∀x1，x2∈R，且x1≠x2，||＜2017”是命题Q：“∀x∈R，|f′（x）|＜2017”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量=（﹣1，m），=（0，1），若向量与的夹角为，则实数m 的值为．14．已知sin（﹣α）=（0＜α＜），则sin（+α）=．15．在区间[0，1]上随机地取两个数x、y，则事件“y≤x5”发生的概率为．16．已知在平面四边形ABCD中，AB=，BC=2，AC⊥CD，AC=CD，则四边形ABCD 面积的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知各项均不相等的等差数列{a n}满足a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示）．规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分100分）．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？晋级成功晋级失败合计男16女50合计（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）P（K2≥k）0.400.250.150.100.050.025 k0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024（Ⅲ）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．19．（12分）如图1，四边形ABCD中AC⊥BD，CE=2AE=2BE=2DE=2，将四边形ABCD沿着BD折叠，得到图2所示的三棱锥A﹣BCD，其中AB⊥CD．（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面BAD；（Ⅱ）若F为CD中点，求二面角C﹣AB﹣F的余弦值．20．（12分）设点M到坐标原点的距离和它到直线l：x=﹣m（m＞0）的距离之比是一个常数．（Ⅰ）求点M的轨迹；（Ⅱ）若m=1时得到的曲线是C，将曲线C向左平移一个单位长度后得到曲线E，过点P（﹣2，0）的直线l1与曲线E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），过F（1，0）的直线AF、BF分别交曲线E于点D、Q，设=α，=β，α、β∈R，求α+β的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=xln（x﹣1）﹣a（x﹣2）．（Ⅰ）若a=2017，求曲线f（x）在x=2处的切线方程；（Ⅱ）若当x≥2时，f（x）≥0，求a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）已知直线l的参数方程是（t是参数），圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．2018年安徽省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|3x＜16，x∈N}，B={x|x2﹣5x+4＜0}，A∩（∁R B）的真子集的个数为（）A．1 B．3 C．4 D．7【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算A∩（∁R B），写出它的真子集．【解答】解：集合A={x|3x＜16，x∈N}={0，1，2}，B={x|x2﹣5x+4＜0}={x|1＜x＜4}，∴∁R B={x|x≤1或x≥4}，∴A∩（∁R B）={0，1}，∴它的真子集是{0}，{1}，{0，1}，共3个．故选：B．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z=2（+i），则z=（）A．﹣1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】设出复数z=a+bi（a，b∈R），代入z•=2（+i）后整理，利用复数相等的条件列关于a，b的方程组求解a，b，则复数z可求．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则=a﹣bi，由z=2（+i），得（a+bi）（a﹣bi）=2[a+（b﹣1）i]，整理得a2+b2=2a+2（b﹣1）i．则，解得．所以z=1+i．故选B．【点评】本题考查了复数代数形式的混合运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．3．若（+2x）6展开式的常数项为（）A．120 B．160 C．200 D．240【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．=C6r2r x2r﹣6．【解答】解（+2x）6的展开式的通项公式为T r+1令2r﹣6=0，解得r=3，∴（+2x）6展开式的常数项为C6323=160，故选：B【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．4．若a=（）10，b=（），c=log10，则a，b．c大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=（）10=2﹣10∈（0，1），b=（）=，c=log10＜0，∴b＞a＞c．故选：D．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．如图，网格上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．93+12B．97+12C．105+12D．109+12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为上下两部分，上面是一个三棱柱，下面是一个正方体，利用所给数据，即可得出结论．【解答】解：由三视图可知：该几何体为上下两部分，上面是一个三棱柱，下面是一个正方体．∴该几何体的表面积=5×4×4+1×4+3×4+2×+4×=109+12．故选：D．【点评】本题考查了三视图的有关计算、三棱柱与长方体的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”．执行改程序框图（图中“aMODb”表示a除以b的余数），若输入的a，b分别为675，125，则输出的a=（）A．0 B．25 C．50 D．75【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．【解答】解：输入a=675，b=125，c=50，a=125，b=50，c=25，a=50，b=25，c=0，输出a=50，故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的答案，是基础题．7．将函数f（x）=2cos2x﹣2sinxcosx﹣的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为（）A． B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得t的最小值．【解答】解：将函数f（x）=2cos2x﹣2sinxcosx﹣=cos2x﹣sin2x=2cos（2x+）的图象向左平移t（t＞0）个单位，可得y=2cos（2x+2t+）的图象．由于所得图象对应的函数为奇函数，则2t+=kπ+，k∈Z，则t的最小为，故选：D．【点评】本题主要考查三角恒等变换，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．8．某学校有2500名学生，其中高一1000人，高二900人，高三600人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取100人，从高一和高三抽取样本数分别为a，b，且直线ax+by+8=0与以A（1，﹣1）为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC=120°，则圆C的方程为（）A．（x﹣1）2+（y+1）2=1 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2C．（x﹣1）2+（y+1）2= D．（x﹣1）2+（y+1）2=【考点】直线与圆的位置关系；系统抽样方法；圆的标准方程．【分析】根据分层抽样的定义进行求解a，b，利用点到直线的距离公式，求出A （1，﹣1）到直线的距离，可得半径，即可得出结论．【解答】解：由题意，，∴a=40，b=24，∴直线ax+by+8=0，即5x+3y+1=0，A（1，﹣1）到直线的距离为=，∵直线ax+by+8=0与以A（1，﹣1）为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC=120°，∴r=，∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=，故选C．【点评】本题考查分层抽样，考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．9．已知x，y满足约束条件，目标函数z=2x﹣3y的最大值是2，则实数a=（）A．B．1 C．D．4【考点】简单线性规划．【分析】先作出不等式组的可行域，利用目标函数z=2x﹣3y的最大值为2，求出交点坐标，代入ax+y﹣4=0求解即可．【解答】解：先作出约束条件的可行域如图，∵目标函数z=2x﹣3y的最大值是2，由图象知z=2x﹣3y经过平面区域的A时目标函数取得最大值2．由，解得A（4，2），同时A（4，2）也在直线ax+y﹣4=0上，∴4a=2，则a=，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及目标函数的意义是解决本题的关键．10．已知正三棱锥A﹣BCD的外接球半径R=，P，Q分别是AB，BC上的点，且满足==5，DP⊥PQ，则该正三棱锥的高为（）A．B．C．D．2【考点】棱锥的结构特征．【分析】将正三棱锥A﹣BCD补成一个正方体，则正方体的体对角线就是其外接直径，由正方体的性质知正方体的体对角线的三分之一即为该正三棱锥的高，由此能求出该正三棱锥的高．【解答】解：∵正三棱锥中对棱互相垂直，∴AC⊥BD，∵P，Q分别是AB，BC上的点，且满足==5，∴PQ∥AC，∵DP⊥PQ，∴DP⊥AC，∴AC⊥平面ABD，又∵该三棱锥是正三棱锥，∴正三棱锥A﹣BCD的三条侧棱相等且互相垂直，将正三棱锥A﹣BCD补成一个正方体，则正方体的体对角线就是其外接直径，故2R=，由正方体的性质知正方体的体对角线的三分之一即为该正三棱锥的高，该正三棱锥的高为．故选：A．【点评】本题考查正三棱锥的高的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．11．已知抛物线C1：y2=8ax（a＞0），直线l倾斜角是45°且过抛物线C1的焦点，直线l被抛物线C1截得的线段长是16，双曲线C2：﹣=1的一个焦点在抛物线C1的准线上，则直线l与y轴的交点P到双曲线C2的一条渐近线的距离是（）A．2 B．C．D．1【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用弦长，求出抛物线中的a，可得双曲线中的c，再利用点到直线的距离公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，设直线方程为y=x﹣2a，代入y2=8ax，整理可得x2﹣12ax+4a2=0，∵直线l被抛物线C1截得的线段长是16，∴=16，∵a＞0，∴a=1．∴抛物线C1的准线为x=﹣2，∵双曲线C2：﹣=1的一个焦点在抛物线C1的准线上，∴c=2，b=直线l与y轴的交点P（0，﹣2）到渐近线bx﹣ay=0的距离d==1，故选D．【点评】本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．12．已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），则命题P：“∀x1，x2∈R，且x1≠x2，||＜2017”是命题Q：“∀x∈R，|f′（x）|＜2017”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由Q⇒P，反之不成立．即可判断出结论．【解答】解：命题Q：“∀x∈R，|f′（x）|＜2017”⇒∀x1，x2∈R，且x1≠x2，| |＜2017；反之不一定成立，由∀x1，x2∈R，且x1≠x2，||＜2017可能得到：∀x∈R，|f′（x）|≤2017．∴命题P是Q的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题考查了导数的性质及其几何意义、割线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量=（﹣1，m），=（0，1），若向量与的夹角为，则实数m 的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】分别用坐标和定义计算cos＜＞，列方程得出m即可．【解答】解：=m，||=，||=1，∴cos＜＞==．∵向量与的夹角为，∴=，解得m=，故答案为．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，数量积运算，属于基础题．14．已知sin（﹣α）=（0＜α＜），则sin（+α）=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据题意，利用诱导公式与同角的三角函数关系，即可求出sin（+α）的值．【解答】解：∵sin（﹣α）=，∴cos（+α）=cos[﹣（﹣α）]=sin（﹣α）；又0＜α＜，∴＜+α＜，∴sin（+α）===．故答案为：．【点评】本题考查了诱导公式与同角三角函数关系的应用问题，是基础题．15．在区间[0，1]上随机地取两个数x、y，则事件“y≤x5”发生的概率为．【考点】几何概型．【分析】确定区域的面积，即可求出事件“y≤x5”发生的概率．【解答】解：在区间[0，1]上随机地取两个数x、y，构成区域的面积为1；事件“y≤x5”发生，区域的面积为==，∴事件“y≤x5”发生的概率为．故答案为．【点评】本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，确定区域的面积是关键．16．已知在平面四边形ABCD中，AB=，BC=2，AC⊥CD，AC=CD，则四边形ABCD 面积的最大值为3+．【考点】余弦定理．【分析】设∠ABC=θ，θ∈（0，π），由余弦定理求出AC2，再求四边形ABCD的面积表达式，利用三角恒等变换求出它的最大值．【解答】解：如图所示，设∠ABC=θ，θ∈（0，π），则在△ABC中，由余弦定理得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosθ=6﹣4cosθ；∴四边形ABCD的面积为S=S△ABC+S△ACD=（AB•BC•sinθ+AC•CD），化简得S=（2sinθ+6﹣4cosθ）=3+（sinθ﹣2cosθ）=3+sin（θ﹣φ），其中tanφ=2，当sin（θ﹣φ）=1时，S取得最大值为3+．故答案为：3+．【点评】本题考查了解三角形和三角恒等变换的应用问题，是综合题．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）（2017•池州模拟）已知各项均不相等的等差数列{a n}满足a1=1，且a1，a2，a5成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设各项均不相等的等差数列{a n}的公差为d，由等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，解方程可得d=2，进而得到所求通项公式；（2）求得b n=（﹣1）n•=（﹣1）n•（+），再分n为偶数和奇数，运用裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．【解答】解：（1）设各项均不相等的等差数列{a n}的公差为d，满足a1=1，且a1，a2，a5成等比数列，可得a22=a1a5，即（1+d）2=1+4d，解得d=2（0舍去），则a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1（n∈N*）；（2）b n=（﹣1）n=（﹣1）n•=（﹣1）n•（+），当n为偶数时，前n项和S n=（﹣1﹣）+（﹣）+（﹣﹣）+…+（+）=﹣1+=﹣；当n为奇数时，n﹣1为偶数，前n项和S n=S n﹣1+（﹣﹣）=﹣+（﹣﹣）=﹣．则S n=．【点评】本题考查等差数列的通项公式的运用，等比数列中项的性质，考查数列的求和，注意运用分类讨论和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18．（12分）（2017•池州模拟）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示）．规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分100分）．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？晋级成功晋级失败合计男16女50合计（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）P（K2≥k）0.400.250.150.100.050.025k0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024（Ⅲ）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据频率和为1，列方程求出a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图计算晋级成功的频率，填写列联表，计算观测值K2，对照临界值得出能有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；（Ⅲ）由晋级失败的频率估计概率，得X～B（4，），计算对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（Ⅰ）根据频率和为1，列方程得：（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，解得a=0.005；（Ⅱ）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25；填写列联表如下，晋级成功晋级失败合计男1634 50女9 4150合计2575100计算观测值K2==≈2.613＞2.072，对照临界值得，能有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率视为1﹣0.25=0.75，故晋级失败的概率为0.75；从本次考试的所有人员中随机抽取4人，记这4人中晋级失败的人数为X，则X～B（4，），且P（X=k）=••（k=0，1，2，3，4）；∴P（X=0）=••=，P（X=1）=••=，P（X=2）=••=，P（X=3）=••=，P（X=4）=••=；∴X的分布列为X012 3 4PX的数学期望为E（X）=4×=3．【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合题．19．（12分）（2017•池州模拟）如图1，四边形ABCD中AC⊥BD，CE=2AE=2BE=2DE=2，将四边形ABCD沿着BD折叠，得到图2所示的三棱锥A﹣BCD，其中AB⊥CD．（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面BAD；（Ⅱ）若F为CD中点，求二面角C﹣AB﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）地出AB⊥AD，AB⊥CD，且AD，由此能证明AB⊥平面ACD，从而得到平面ACD⊥平面BAD．（Ⅱ）以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，过E作平面BDC的垂直为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AB﹣F的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵AE⊥BD，且BE=DE，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AB⊥AD，又AB⊥CD，且AD，CD⊂平面ACD，AD∩CD=D，∴AB⊥平面ACD，又AB⊂平面BAD，∴平面ACD⊥平面BAD．解：（Ⅱ）以E为原点，EC为x轴，ED为y轴，过E作平面BDC的垂直为z轴，建立空间直角坐标系，过A作平面BCD的垂线，垂足为G，根据对称性，G点在x轴上，设AG=h，由题设知：E（0，0，0），C（2，0，0），B（0，﹣1，0），D（0，1，0），A（，0，h），F（1，，0），=（，1，h），=（2，﹣1，0），∵AB⊥CD，∴=2﹣1=0，解得h=，∴A（）．∵=（），=（1，，0），设平面ABF的法向量=（a，b，c），则，令a=9，得=（9，﹣6，），∵AD⊥AB，AD⊥AC，∴2=（1，﹣2，）是平面ABC的一个法向量，∴cos＜，2＞===，∵二面角C﹣AB﹣F是锐角，∴二面角C﹣AB﹣F的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2017•池州模拟）设点M到坐标原点的距离和它到直线l：x=﹣m（m＞0）的距离之比是一个常数．（Ⅰ）求点M的轨迹；（Ⅱ）若m=1时得到的曲线是C，将曲线C向左平移一个单位长度后得到曲线E，过点P（﹣2，0）的直线l1与曲线E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），过F（1，0）的直线AF、BF分别交曲线E于点D、Q，设=α，=β，α、β∈R，求α+β的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系；轨迹方程．【分析】（Ⅰ）利用两点之间的距离公式，求得=丨x+m丨，整理即可求得点M的轨迹；（Ⅱ）当m=1时，求得E的方程，根据向量的坐标运算，求得α=3﹣2x，β=3﹣2x2，设直线l1的方程为y=k（x+2）代入椭圆方程，由△＞0，求得k的取值范围，则α+β=3﹣2x1+3﹣2x1=6﹣2（x1+x2），由韦达定理即可求得α+β的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）过M作MH⊥l，H为垂足，设M的坐标为（x，y），则丨OM丨=，丨MH丨=丨x+m丨，由丨OM丨=丨MH丨，则=丨x+m丨，整理得：x2+y2﹣mx﹣m2=0，∴，显然点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆；（Ⅱ）当m=1时，则曲线C的方程是：，故曲线E的方程是，设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x3，y3），=（1﹣x1，﹣y1），=（x3﹣1，y3），=α，则﹣y1=αy3，则α=，当AD与x轴不垂直时，直线AD的方程为y=（x﹣1），即x=，代入曲线E方程，，整理得：（3﹣2x1）y2+2y1（x1﹣1）y﹣y12=0，y1y3=﹣，﹣=3﹣2x1，则α=3﹣2x，当AD与x轴垂直时，A点的横坐标x1=1，α=1，显然α=3﹣2x1也成立，同理可得：β=3﹣2x2，设直线l1的方程为y=k（x+2），代入，整理得：（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，由k≠0，则△=（8k2）2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，解得：0＜k2＜，由x1+x2=﹣，则α+β=3﹣2x1+3﹣2x1=6﹣2（x1+x2）=14﹣，∵α+β∈（6，10），∴α+β的取值范围（6，10）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．21．（12分）（2017•池州模拟）设函数f（x）=xln（x﹣1）﹣a（x﹣2）．（Ⅰ）若a=2017，求曲线f（x）在x=2处的切线方程；（Ⅱ）若当x≥2时，f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（2），f′（2），求出切线方程即可；（Ⅱ）设函数g（x）=ln（x﹣1）﹣，（x≥2），于是问题转化为g（x）≥0对任意的x≥2恒成立，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）a=2017时，f（x）=xln（x﹣1）﹣2017（x﹣2），则f′（x）=ln（x﹣1）+﹣2017，故f′（2）=﹣2015，又f（2）=0，故切线方程是：y﹣0=﹣2015（x﹣2），即2015x+y﹣4030=0；（Ⅱ）由f（x）≥0得xln（x﹣1）﹣a（x﹣2）≥0，而x≥2，故ln（x﹣1）﹣≥0，设函数g（x）=ln（x﹣1）﹣，（x≥2），于是问题转化为g（x）≥0对任意的x≥2恒成立，注意到g（2）=0，故若g′（x）≥0，则g（x）递增，从而g（x）≥g（2）=0，而g′（x）=，∴g′（x）≥0等价于x2﹣2a（x﹣1）≥0，分离参数得a≤= [（x﹣1）++2]，由均值不等式得 [（x﹣1）++2]≥2，当且仅当x=2时取“=”成立，于是a≤2，当a＞2时，设h（x）=x2﹣2a（x﹣1），∵h（2）=4﹣2a=2（2﹣a）＞0，又抛物线h（x）=x2﹣2a（x﹣1）开口向上，故h（x）=x2﹣2a（x﹣1）有2个零点，设两个零点为x1，x2，则x1＜2＜x2，于是x∈（2，x2）时，h（x）＜0，故g′（x）＜0，g（x）递减，故g（x）＜g（2）=0，与题设矛盾，不合题意，综上，a的范围是（﹣∞，2]．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）（2017•池州模拟）已知直线l的参数方程是（t是参数），圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出圆C的直角坐标方程，从而能求出圆心的直角坐标．（Ⅱ）直线l上的向圆C引切线，则切线长为，由此利用配方法能求出切线长的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵=2﹣2，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即（x﹣）2+（y+）2=4，∴圆心的直角坐标为（，﹣）．（Ⅱ）直线l上的向圆C引切线，则切线长为：==，∴由直线l上的点向圆C引切线，切线长的最小值为4．【点评】本题考查圆心的直角坐标的求法，考查切线长的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标、直角坐标互化公式的合理运用．选修4-5：不等式选讲23．（10分）（2017•池州模拟）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，求实数m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数最值的应用．【分析】（Ⅰ）不等式f（x）≤6，即，求得a﹣3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，从而求得实数a的值．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（n）=|2n﹣1|+1，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n ﹣1|+|2n+1|+2≤m．求得|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，可得m的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=|2x﹣a|+a，故不等式f（x）≤6，即，求得a﹣3≤x≤3．再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，∴实数a=1．（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）=|2x﹣1|+1，∴f（n）=|2n﹣1|+1，存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，即f（n）+f（﹣n）≤m，即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m．由于|2n﹣1|+|2n+1|≥|（2n﹣1）﹣（2n+1）|=2，∴|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2，∴m≥4，故实数m的取值范围是[4，+∞）．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．。
2018年高考安徽卷数学(理)试卷及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi ，则z =（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -2．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ） 16 （B ）2524 （C ）34 （D ）11123．在下列命题中，不是公理．．的是 （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线4．"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A ）这种抽样方法是一种分层抽样（B ）这种抽样方法是一种系统抽样（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数6．已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0x f 的解集为 （A ）{}|<-1>lg2x x x 或 （B ）{}|-1<<lg2x x （C ） {}|>-lg2x x （D ）{}|<-lg2x x7．在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（A ）=0()cos=2R θρρ∈和 （B ）=()cos=22R πθρρ∈和。
2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷(理科)
2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i为虚数单位，则(2+i)(3−4i)2−i=()A.5B.5iC.−75−125i D.−75+125i2. 已知等差数{a n}，若a2＝10，a5＝1，则{a n}的前7项的和等于（）A.112B.51C.28D.183. 已知集合M是函数y=√1−2x的定义域，集合N是函数y=x2−4的值域，则M∩N=（）A.{x|x≤12}B.{x|−4≤x<12}C.{(x,y)|x<12且y≥−4}D.⌀4. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为y＝−2x，则此双曲线的离心率为（）A.5B.√5C.54D.√525. 执行如图程序框图，若输入的n等于10，则输出的结果是（）A.2B.−3C.−12D.136. 已知某公司生产的一种产品的质量X（单位：克）服从正态分布N(100, 4)．现从该2σ)=0.9544）A.3413件B.4772件C.6826件D.8185件7. 将函数y =cosx −sinx 的图象先向右平移φ(φ>0)个单位，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到y =cos2x +sin2x 的图象，则φ，a 的可能取值为（ ）A.φ=π2，a =2B.φ=3π8，a =2C.φ=3π8，a =12D.φ=π2，a =128. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若3S n =2a n −3n ，则a 2018=( )A.22018−1B.32018−6C.(12)2018−72D.(13)2018−1039. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A.5π+18B.6π+18C.8π+6D.10π+610. 已知直线2x −y +1=0与曲线y =ae x +x 相切（其中e 为自然数的底数），则实数a 的值是（ ）A.eB.2eC.1D.211. 某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为( )A.320千元B.360千元C.400千元D.440千元12. 已知函数f(x)＝2|x|−x 2，g(x)=e x x+2（其中e 为自然对数的底数），若函数ℎ(x)＝f[g(x)]−k 有4个零点，则k 的取值范围为 （ ）A.(−1, 0)B.(0, 1)C.(2e −1e 2, 1)D.(0, 2e −1e 2)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）若平面向量a →,b →满足|a →+b →|=√2,|a →−b →|=√6，则a →∗b →=________．已知m 是常数，(mx −1)5=a 5x 5+a 4x 4+a 3x 3+a 2x 2+a 1x +a 0，且a 1+a 2+抛物线E:y2=4x的焦点为F，准线l与x轴交于点A，过抛物线E上一点P（第一象限内）作l的垂线PQ，垂足为Q．若四边形AFPQ的周长为16，则点P的坐标为________．在四面体ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=60∘，∠BCD=90∘，二面角A−BD−C的大小为150∘，则四面体ABCD外接球的半径为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a−2b)cosC+ccosA=0．（1）求角C；（2）若c=2√3，求△ABC的周长的最大值．2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》．某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科．每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考．物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目．假设某位考生选考这六个科目的可能性相等．（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目．若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获A等的概率都是0.75，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立．用随机变量X表示他所选考的三个科目中考试成绩获A等的科目数，求X的分布列和数学期望．如图，在多面体ABCDEF中，ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF=DE，点M为棱AE的中点．（1）求证：平面BMD // 平面EFC；（2）若DE=2AB，求直线AE与平面BDM所成的角的正弦值．在平面直角坐标系中，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2．以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E，恰好经过点(1,√2)．2（1）求椭圆E的标准方程；（2）设经过点(−2, 0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN面积的最大值．（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)≤ax 恒成立，求a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1:{x =3cosθy =2sinθ（θ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2:ρ−2cosθ=0．（1）求曲线C 2的普通方程；（2）若曲线C 1上有一动点M ，曲线C 2上有一动点N ，求|MN|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=|2x −1|．（1）解关于x 的不等式f(x)−f(x +1)≤1；（2）若关于x 的不等式f(x)<m −f(x +1)的解集不是空集，求m 的取值范围．参考答案与试题解析2018年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】(2+i)(3−4i)2−i =10−5i2−i=5(2−i)2−i=5．2.【答案】C【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的前7项的和．【解答】∵等差数列{a n}，a2＝10，a5＝1，∴{a1+d=10a1+4d=1，解得a1＝13，d＝−3，∴{a n}的前7项的和为：S7＝7a1+7×62d=7×13+21×(−3)＝28．3.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】本题考查函数的定义域和值域、集合的交运算．【解答】解：由题意得M=(−∞,12)，N=[−4,+∞)，所以M∩N=[−4,12)．故选B．4.【答案】B双曲线的离心率【解析】根据双曲线的渐近线方程建立方程关系，结合双曲线的离心率公式进行计算即可．【解答】双曲线x2a −y2b=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y＝±bax，∵双曲线的一条渐近线方程为y＝−2x，即ba=2，则b＝2a，则双曲线的离心率为e=ca =√a2+b2a=√a2+4a2a=√5aa=√5．5.【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】若输入的n等于10，则当i＝1时，满足进行循环的条件，a＝−3，i＝2；当i＝2时，满足进行循环的条件，a=−12，i＝3；当i＝3时，满足进行循环的条件，a=13，i＝4；当i＝4时，满足进行循环的条件，a＝2，i＝5；当i＝5时，满足进行循环的条件，a＝−3，i＝6；当i＝6时，满足进行循环的条件，a=−12，i＝7；当i＝7时，满足进行循环的条件，a=13，i＝8；当i＝8时，满足进行循环的条件，a＝2，i＝9；当i＝9时，满足进行循环的条件，a＝−3，i＝10；当i＝10时，满足进行循环的条件，a=−12，i＝11；当i＝11时，不满足进行循环的条件，故输出的a=−12，6.【答案】D【考点】正态分布的密度曲线【解析】根据正态分布性质求出P(98≤X≤104)，从而可估计出质量在[98, 104]内的产品个数．∵X服从正态分布N(100, 4)，∴P(98≤X<100)=12×0.6826=0.3413，P(100≤X≤104)=12×0.9544=0.4772，∴P(98≤X≤104)=0.3413+0.4772=0.8185．∴质量在[98, 104]内的产品估计有10000×0.8185=8185．7.【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】此题暂无解析【解答】解：y=cosx−sinx=√2cos(x+π4)的图象向右平移φ个单位长度得到y=√2cos(x−φ+π4)的图象，该图象上每个点的横坐标变为原来的a倍得到的图象y=√2cos(1a x−φ+π4)，所以y=cos2x+sin2x=√2cos(2x−π4)=√2cos(1ax−φ+π4)，则a=12，φ=π2+2kπ(k∈Z)．又φ>0，所以结合选项知选D．故选D．8.【答案】A【考点】数列递推式等比数列的通项公式【解析】推导出a1=S1=13(2a1−3)，从而a1=−3，由S n=13(2a n−3n)，得当n≥2时，S n−1=13(2a n−1−3n+3)，从而推导出{a n+1}是以−2为首项，以−2为公比的等比数列，由此能求出a2018的值．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和为S n，3S n=2a n−3n，∴a1=S1=13(2a1−3)，解得a1=−3，S n=13(2a n−3n)，①1①-②，得a n=23a n−23a n−1−1，∴a n=−2a n−1−3，∴a n+1a n−1+1=−2，∵a1+1=−2，∴{a n+1}是以−2为首项，以−2为公比的等比数列，∴a n+1=(−2)n，∴a n=(−2)n−1，∴a2018=(−2)2018−1=22018−1．故选A.9.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】本题主要考查空间几何体的三视围、半圆柱和球的表面积.【解答】解：由三视图可知，该几何体有一个半圆柱与两个半球组合而成，故其表面积为4π×12+12×2×π×1×3+2×12×π×12+3×2=8π+6.故选C.10.【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】先设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的导数，再根据切点既在曲线y= ae x+x的图象上又在直线2x−y+1=0上，从而求出切点横坐标，即可求出a的值．【解答】解：设切点坐标为(m, n)，y′|x=m=ae m+1=2，2m−n+1=0，n=ae m+m，解得，m=0，n=1，∴切点为(0, 1)，而切点(0, 1)又在曲线y=ae x+x上，∴a=1.故选C.11.【答案】B【考点】简单线性规划【解析】画出可行域找出最优解，求出目标函数的最大值即可．【解答】解：设甲、乙两种产品的月产量分别为x 件，y 件，约束条件是{2x +3y ≤480,6x +y ≤960,x ≥0,y ≥0,目标函数是z =2x +y ；由约束条件画出可行域为如图所示的阴影部分.由z =2x +y ，结合图象可知，z =2x +y 在A 处取得最大值，由{2x +3y =480,6x +y =960,可得A(150, 60)，此时z =2×150+1×60=360（千元）．故选B .12.【答案】D【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】分别讨论函数f(x)，g(x)的性质和画出图象，函数ℎ(x)＝f[g(x)]−k 有4个零点，即为f[g(x)]＝k 有四个解，可令t ＝g(x)，k ＝f(t)，通过图象观察，分析即可得到结论．【解答】函数f(x)＝2|x|−x 2为偶函数，且f(x)的最大值为1，作出f(x)的图象（如右黑线）由g(x)=e x x+2的导数为g′(x)=e x (x+1)(x+2)2，可得x >−1时，g(x)递增，x <−2或−2<x <−1时，g(x)递减，x ＝−1取得极小值1e ，作出g(x)的图象（如右红线），函数ℎ(x)＝f[g(x)]−k 有4个零点，即为f[g(x)]＝k 有四个解，可令t ＝g(x)，k ＝f(t)，若−1<k <0，则t 1<−2，t 2>2，若0<k<1，则k＝f(t)有4解，两个负的，两个正的，则t＝g(x)可能有4，6解，不符题意；若k∈(2e −1e2, 1)，则k＝f(t)有4解，两个负的，两个正的，（一个介于(1e, 1)，一个大于1），则t＝g(x)有6解，不符题意；若k∈(0, 2e −1e2)，则k＝f(t)有4解，两个负的，两个正的（一个介于(0, 1e)，一个大于1），则t＝g(x)有4解，符合题意．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】−1【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】把已知两等式两边平方，作差得答案．【解答】由|a→+b→|=√2，得a→2+2a→∗b→+b→2=2，①由|a→−b→|=√6，得a→2−2a→∗b→+b→2=6，②①-②得：4a→∗b→=−4，∴a→∗b→=−1．【答案】3【考点】二项式定理的应用【解析】在已知二项式中分别取x=0和x=1，联立即可求得m值．【解答】在(mx−1)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0中，取x=0，得−1=a0，取x=1，得(m−1)5=a5+a4+a3+a2+a1+a0，∴a1+a2+a3+a4+a5=(m−1)5+1=33，则(m−1)5=32，即m=3，【答案】(4, 4)【考点】抛物线的求解【解析】t2t2t2解得t =4，即可得点P 的坐标． 【解答】如图，设P(t 24,t)，(t >0)，则四边形AFPQ 的周长为AF +PF +PQ +AQ =16．∴ 2+t 24+1+t 24+1+t =16，解得t =4，∴ 点P 的坐标为(4, 4)， 【答案】 √213【考点】球的体积和表面积 直线与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】利用已知条件画出图形，判断球心的位置，转化求解球的半径即可． 【解答】在四面体ABCD 中，AB =AD =2，∠BAD =60∘，∠BCD =90∘，二面角A −BD −C 的大小为150∘，四面体ABCD 外接球，如图：则△BCD 在求出一个小圆上，BD 的中点为圆心N ，△ABD 是正三角形，也在球的一个小圆上，圆心为M ，作OM ⊥平面ABD ，ON ⊥平面BCD ，O 为球心，二面角A −BD −C 的大小为150∘，作NP ⊥BD ，则∠ANP =150∘，可得∠ONM =60∘，MN =√33，则ON =2√33，BN =1，外接球的半径为：(2√33)=√213．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】根据正弦定理，由已知得：(sinA −2sinB)cosC +sinCcosA =0， 即sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosC ， ∴ sin(A +C)=2sinBcosC ，∵ A +C =π−B ，∴ sin(A +C)=sin(π−B)=sinB >0， ∴ sinB =2sinBcosC ，从而cosC =12． ∵ C ∈(0, π)，∴ C =π3． 由（1）和余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab =12，即a 2+b 2−12=ab ，∴ (a +b)2−12=3ab ≤3(a+b 2)2， 即(a +b)2≤48（当且仅当a =b =2√3时等号成立）． 所以，△ABC 周长的最大值为4√3+c =6√3． 【考点】 余弦定理 【解析】（1）根据正弦定理，即可求出角的值，（2）根据余弦定理可得基本不等式即可求出．【解答】根据正弦定理，由已知得：(sinA −2sinB)cosC +sinCcosA =0， 即sinAcosC +sinCcosA =2sinBcosC ， ∴ sin(A +C)=2sinBcosC ，∵ A +C =π−B ，∴ sin(A +C)=sin(π−B)=sinB >0， ∴ sinB =2sinBcosC ，从而cosC =12． ∵ C ∈(0, π)，∴ C =π3． 由（1）和余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab =12，即a 2+b 2−12=ab ，∴ (a +b)2−12=3ab ≤3(a+b 2)2， 即(a +b)2≤48（当且仅当a =b =2√3时等号成立）．所以，△ABC 周长的最大值为4√3+c =6√3． 【答案】记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ， 则P(M)=1−C 33C 63=1−120=1920，所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为1920． 随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3． 因为P(X =0)=15×(14)2=180，P(X =1)=45×(14)2+15×C 21×14×34=18，P(X =2)=45×C 21×14×34+15×(34)2=3380，P(X =3)=45×(34)2=920， 所以X 的分布列为：E(X)=0×180+1×1080+2×3380+3×3680=2.3．【考点】离散型随机变量及其分布列 离散型随机变量的期望与方差 【解析】（1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ，利用对立事件概率计算公式能求出该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率．（2）随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3．分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和期望． 【解答】记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ， 则P(M)=1−C 33C 63=1−120=1920，所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为1920． 随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3． 因为P(X =0)=15×(14)2=180，P(X =1)=45×(14)2+15×C 21×14×34=18， P(X =2)=45×C 21×14×34+15×(34)2=3380，P(X =3)=45×(34)2=920， 所以X 的分布列为：E(X)=0×180+1×1080+2×3380+3×3680=2.3．【答案】由已知，DE ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形．∴ DA ，DC ，DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D −xyz ．设AB =2，则DE =4，从而B(2, 2, 0)，M(1, 0, 2)，A(2, 0, 0)，E(0, 0, 4)， ∴ DB →=(2,2,0),DM →=(1,0,2)， 设平面BDM 的一个法向量为n →=(x,y,z)， 由{n →∗DB →=0n →∗DM →=0得{2x +2y =0x +2z =0 ． 令x =2，则y =−2，z =−1，从而n →=(2,−2,−1)． ∵ AE →=(−2,0,4)，设AE 与平面BDM 所成的角为θ， 则sinθ=|cos⟨n →∗AE →>|=|n →∗AE→|n →|∗|AE →||=4√515， 所以，直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值为4√515．【考点】平面与平面平行的性质 平面与平面平行的判定 直线与平面所成的角 【解析】(1)连结AC ，交BD 于点N ，推导出MN // EC ，从而MN // 平面EFC ．推导出BDEF 为平行四边形，则BD // EF ．从而BD // 平面EFC ．由此能证明平面BDM // 平面EFC ． (2)由DA ，DC ，DE 两两垂直，建立空间直角坐标系D −xyz ．利用向量法能求出直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值． 【解答】由已知，DE ⊥平面ABCD ，ABCD 是正方形．∴ DA ，DC ，DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D −xyz ．设AB =2，则DE =4，从而B(2, 2, 0)，M(1, 0, 2)，A(2, 0, 0)，E(0, 0, 4)， ∴ DB →=(2,2,0),DM →=(1,0,2)， 设平面BDM 的一个法向量为n →=(x,y,z)， 由{n →∗DB →=0n →∗DM →=0得{2x +2y =0x +2z =0 ． 令x =2，则y =−2，z =−1，从而n →=(2,−2,−1)． ∵ AE →=(−2,0,4)，设AE 与平面BDM 所成的角为θ， 则sinθ=|cos⟨n →∗AE →>|=|n →∗AE→|n →|∗|AE →||=4√515， 所以，直线AE 与平面BDM 所成角的正弦值为4√515．【答案】由已知可得，椭圆E 的焦点在x 轴上． 设椭圆E 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦距为2c ，则b =c ， ∴ a 2=b 2+c 2=2b 2，∴ 椭圆E 的标准方程为x 22b 2+y 2b 2=1．又椭圆E 过点(1,√22)，∴12b 2+12b 2=1，解得b 2=1．∴ 椭圆E 的标准方程为x 22+y 2=1．由于点(−2, 0)在椭圆E 外，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的斜率为k ，则直线l:y =k(x +2)，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)． 由{y =k(x +2)x 22+y 2=1 消去y 得，(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2−2=0． 由△>0得0≤k 2<12，从而x 1+x 2=−8k 21+2k ,x 1x 2=8k 2−21+2k ， ∴ |MN|=√1+k 2|x 1−x 2|=2√1+k 2√2−4k 2(1+2k 2)2．∵ 点F 2(1, 0)到直线l 的距离d =√1+k 2，∴ △F 2MN 的面积为S =12|MN|⋅d =3√k 2(2−4k 2)(1+2k 2)2．令1+2k 2=t ，则t ∈[1, 2)，∴ S =3√(t−1)(2−t)t2=3√−t2+3t−2t 2=3√−1+3t −2t 2=3√−2(1t −34)2+18，当1t =34即t =43(43∈[1,2))时，S 有最大值，S max =3√24，此时k =±√66．所以，当直线l 的斜率为±√66时，可使△F 2MN 的面积最大，其最大值3√24． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）根据题意，设椭圆E 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，分析可得b =c ，将点(1,√22)代入椭圆的方程，分析可得a 、b 的值，即可得椭圆的方程； （2）设直线l 的斜率为k ，则直线l:y =k(x +2)，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，联立直线与椭圆的方程，可得(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2−2=0，利用根与系数的关系分析，用k 表示△F 2MN 面积，由基本不等式的性质分析可得答案． 【解答】由已知可得，椭圆E 的焦点在x 轴上． 设椭圆E 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦距为2c ，则b =c ， ∴ a 2=b 2+c 2=2b 2，∴ 椭圆E 的标准方程为x 22b 2+y 2b 2=1． 又椭圆E 过点(1,√22)，∴12b 2+12b 2=1，解得b 2=1．∴ 椭圆E 的标准方程为x 22+y 2=1．由于点(−2, 0)在椭圆E 外，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的斜率为k ，则直线l:y =k(x +2)，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)． 由{y =k(x +2)x 22+y 2=1 消去y 得，(1+2k 2)x 2+8k 2x +8k 2−2=0． 由△>0得0≤k 2<12，从而x 1+x 2=−8k 21+2k 2,x 1x 2=8k 2−21+2k 2，∴ |MN|=√1+k 2|x 1−x 2|=2√1+k 2√2−4k 2(1+2k 2)2．∵ 点F 2(1, 0)到直线l 的距离d =√1+k 2，∴ △F 2MN 的面积为S =12|MN|⋅d =3√k 2(2−4k 2)(1+2k 2)2．令1+2k 2=t ，则t ∈[1, 2)，∴ S =3√(t−1)(2−t)t2=3√−t2+3t−2t 2=3√−1+3t −2t 2=3√−2(1t −34)2+18，当1t =34即t =43(43∈[1,2))时，S 有最大值，S max =3√24，此时k =±√66．所以，当直线l 的斜率为±√66时，可使△F 2MN 的面积最大，其最大值3√24． 【答案】f(x)的定义域为(12,+∞)，f ′(x)=22x−1−ax 2=2x 2−2ax+a (2x−1)x 2．∵ 2x −1>0，x 2>0． 令g(x)=2x 2−2ax +a ，则若△≤0，即当0≤a ≤2时，对任意x ∈(12,+∞)，g(x)≥0恒成立， 即当x ∈(12,+∞)时，f ′(x)≥0恒成立（仅在孤立点处等号成立）．∴ f(x)在(12,+∞)上单调递增．（1）若△>0，即当a >2或a <0时，g(x)的对称轴为x =a2．①当a <0时，a2<0，且g(12)=12>0．如图，任意x ∈(12,+∞)，g(x)>0恒成立，即任意x ∈(12,+∞)时，f ′(x)>0恒成立， ∴ f(x)在(12,+∞)上单调递增． ②当a >2时，a2>1，且g(12)=12>0．如图，记g(x)=0的两根为x 1=12(a −√a 2−2a),x 2=12(a +√a 2−2a) ∴ 当x ∈(12,x 1)∪(x 2,+∞)时，g(x)>0； 当x ∈(x 1, x 2)时，g(x)<0．∴ 当x ∈(12,x 1)∪(x 2,+∞)时，f ′(x)>0， 当x ∈(x 1, x 2)时，f ′(x)<0．∴ f(x)在(12,x 1)和(x 2, +∞)上单调递增，在(x 1, x 2)上单调递减． 综上，当a ≤2时，f(x)在(12,+∞)上单调递增；当a >2时，f(x)在(12,12(a −√a 2−2a))和(12(a +√a 2−2a),+∞)上单调递增， 在(12(a −√a 2−2a),(12(a +√a 2−2a)))上单调递减．（2）f(x)≤ax 恒成立等价于∀x∈(12,+∞)，f(x)−ax≤0恒成立．令ℎ(x)=f(x)−ax=ln(2x−1)+ax−ax，则f(x)≤ax恒成立等价于∀x∈(12,+∞)，ℎ(x)≤0=ℎ(1)(∗)．要满足(∗)式，即ℎ(x)在x=1时取得最大值．∵ℎ(x)=−2ax3+(2+a)x2−2ax+ax2(2x−1)．由ℎ′(1)=0解得a=1．当a=1时，ℎ(x)=(1−x)(2x 2−x+1)x2(2x−1)，∴当x∈(12,1)时，ℎ′(x)>0；当x∈(1, +∞)时，ℎ′(x)<0．∴当a=1时，ℎ(x)在(12,1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减，从而ℎ(x)≤ℎ(1)= 0，符合题意．所以，a=1．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】（1）求出函数的定义域，结合函数函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．（2）根据不等式恒成立，转化为最值问题，求出函数的导数，利用函数的单调性求最值即可．【解答】f(x)的定义域为(12,+∞)，f′(x)=22x−1−ax2=2x2−2ax+a(2x−1)x2．∵2x−1>0，x2>0．令g(x)=2x2−2ax+a，则若△≤0，即当0≤a≤2时，对任意x∈(12,+∞)，g(x)≥0恒成立，即当x∈(12,+∞)时，f′(x)≥0恒成立（仅在孤立点处等号成立）．∴f(x)在(12,+∞)上单调递增．（1）若△>0，即当a>2或a<0时，g(x)的对称轴为x=a2．①当a<0时，a2<0，且g(12)=12>0．如图，任意x∈(12,+∞)，g(x)>0恒成立，即任意x∈(12,+∞)时，f′(x)>0恒成立，∴f(x)在(12,+∞)上单调递增．②当a>2时，a2>1，且g(12)=12>0．如图，记g(x)=0的两根为x1=12(a−√a2−2a),x2=12(a+√a2−2a)∴当x∈(12,x1)∪(x2,+∞)时，g(x)>0；当x∈(x1, x2)时，g(x)<0．∴当x∈(12,x1)∪(x2,+∞)时，f′(x)>0，当x∈(x1, x2)时，f′(x)<0．∴f(x)在(12,x1)和(x2, +∞)上单调递增，在(x1, x2)上单调递减．综上，当a≤2时，f(x)在(12,+∞)上单调递增；当a>2时，f(x)在(12,12(a−√a2−2a))和(12(a+√a2−2a),+∞)上单调递增，在(12(a−√a2−2a),(12(a+√a2−2a)))上单调递减．（2）f(x)≤ax恒成立等价于∀x∈(12,+∞)，f(x)−ax≤0恒成立．令ℎ(x)=f(x)−ax=ln(2x−1)+ax−ax，则f(x)≤ax恒成立等价于∀x∈(12,+∞)，ℎ(x)≤0=ℎ(1)(∗)．要满足(∗)式，即ℎ(x)在x=1时取得最大值．∵ℎ(x)=−2ax3+(2+a)x2−2ax+ax2(2x−1)．由ℎ′(1)=0解得a=1．当a=1时，ℎ(x)=(1−x)(2x 2−x+1)x2(2x−1)，∴当x∈(12,1)时，ℎ′(x)>0；当x∈(1, +∞)时，ℎ′(x)<0．∴当a=1时，ℎ(x)在(12,1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减，从而ℎ(x)≤ℎ(1)= 0，符合题意．所以，a=1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】由曲线C2:ρ−2cosθ=0，得：ρ2−2ρcosθ=0．因为ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，所以x2+y2−2x=0，即：曲线C2的普通方程为(x−1)2+y2=1．由（1）可知，圆C2的圆心为C2(1, 0)，半径为1．设曲线C1上的动点M(3cosθ, 2sinθ)，由动点N在圆C2上可得：|MN|min=|MC2|min−1．∵|MC2|=√(3cosθ−1)2+4sin2θ=√5cos2θ−6cosθ+5当cosθ=35时，|MC2|min=4√55，∴|MN|min =|MC2|min−1=4√55−1．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）直接利用转换关系把极坐标方程转换为直角坐标方程．（2）利用两点间的距离公式和三角函数关系式的恒等变换求出函数的最小值，最后求出结果．【解答】由曲线C2:ρ−2cosθ=0，得：ρ2−2ρcosθ=0．因为ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x ， 所以x 2+y 2−2x =0，即：曲线C 2的普通方程为(x −1)2+y 2=1． 由（1）可知，圆C 2的圆心为C 2(1, 0)，半径为1． 设曲线C 1上的动点M(3cosθ, 2sinθ)，由动点N 在圆C 2上可得：|MN|min =|MC 2|min −1．∵ |MC 2|=√(3cosθ−1)2+4sin 2θ=√5cos 2θ−6cosθ+5 当cosθ=35时，|MC 2|min =4√55， ∴ |MN|min =|MC 2|min −1=4√55−1．[选修4-5：不等式选讲]【答案】f(x)−f(x +1)≤1⇔|2x −1|−|2x +1|≤1⇔{x ≥122x −1−2x −1≤1 或{−12<x <121−2x −2x −1≤1 或{x ≤−121−2x +2x +1≤1 ⇔x ≥12或−14≤x <12⇔x ≥−14， 所以，原不等式的解集为[−14,+∞)．由条件知，不等式|2x −1|+|2x +1|<m 有解， 则m >(|2x −1|+|2x +1|)min 即可．由于|2x −1|+|2x +1|=|1−2x|+|2x +1|≥|1−2x +2x +1|=2， 当且仅当(1−2x)(2x +1)≥0，即当x ∈[−12,12]时等号成立，故m >2，所以，m 的取值范围是(2, +∞)． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 绝对值三角不等式 【解析】（1）通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出即可；（2）问题转化为m >(|2x −1|+|2x +1|)min 即可，根据绝对值不等式的性质求出m 的范围即可． 【解答】f(x)−f(x +1)≤1⇔|2x −1|−|2x +1|≤1⇔{x ≥122x −1−2x −1≤1 或{−12<x <121−2x −2x −1≤1 或{x ≤−121−2x +2x +1≤1 ⇔x ≥12或−14≤x <12⇔x ≥−14， 所以，原不等式的解集为[−14,+∞)．由条件知，不等式|2x −1|+|2x +1|<m 有解， 则m >(|2x −1|+|2x +1|)min 即可．由于|2x −1|+|2x +1|=|1−2x|+|2x +1|≥|1−2x +2x +1|=2， 当且仅当(1−2x)(2x +1)≥0，即当x ∈[−12,12]时等号成立，故m >2，所以，m的取值范围是(2, +∞)．试卷第21页，总21页。
高三数学-2018年安徽省高考数学模拟试题(理科) 精品
2018年安徽省高考数学模拟试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷选择题 共60分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数)(1x f y -=的图象过点)0,1(，则)121(-=x f y 的反函数的图象一定过点 （ ）A ．)2,1(B ．)1,2(C ．)2,0(D ．)0,2(2．设集合},,{c b a M =，}1,0{=N ，映射N M f →:满足)()()(c f b f a f =+，则映射N M f →:的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．=++-ii i 1)21)(1(（ ） A ．i --2 B ．i +-2 C ．i -2 D ．i +24．若)2,0(πθ∈，则函数2)1(log sin >-=x y θ的解集是（ ） A ．)sin ,1(2θ-∈x B ．)1,(cos 2θ∈xC ．)21,(cos 2θ∈x D ．)cos ,1(2θ-∈x 5．已知数列||||||||,3,60}{3032111a a a a a a a a n n n +++++=-=+ 则中等于 （ ）A ．445B ．765C ．1180D ．3118 6．在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中，当1021<<<x x 时，使2)()()2(2121x f x f x x f +>+恒成立的函数的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．不等式组.2233,0⎪⎩⎪⎨⎧+->+->xx x x x 的解集是（ ） A.}20|{<<x x B. }5.20|{<<x xC.}60|{<<x xD. }30|{<<x x8．数列,83 ,42 ,21……的前n 项和为 （ ）A.1－n 21B.2－nn 22+ C.n(1－n 21) D.2－121-n ＋n n 2 9．无穷等比数列{n a }的公比为q ，|q|<1，首项1a ＝1，若其每一项都等于它后面所有项的和的k 倍，则k 的取值范围是（ ）A.[0, ＋∞)B.(－∞, －2)C.(－∞, －2)∪(0, ＋∞)D.(－2, 0)10．若数列{}n a 满足1a ＝5, 1+n a ＝22)(21n n n a a a ++(n ∈N)，则其前10项和是（ ）A .200 B.150 C.100 D.5011．由奇数组成数组(3, 5), (7, 9, 11), (13, 15, 17, 19),……，第n 组的第一个数应是（ ）A.n(n －1)B.n(n ＋1)C.n(n ＋1)＋1D.n(n-1)＋112．数列{n a }的前n 项和是n S ，如果n S ＝3＋2n a (n ∈N)，则这个数列一定是（ ）A.等比数列B.等差数列C.除去第一项后是等比数列D.除去第一项后是等差数列第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。
安徽省2018届高三5月模拟考试理科数学试卷+含答案
理科数学一、第Ⅰ卷（共60分）选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}2|230,| ||2A x x x B x x =--≥=≤，则A B =(A)[-2，-1](B)[-1，2)(C)[-1，1](D)[1，2)2．设复数z -=2，则下列命题中错误的是(A)2z =(B)i z -=1(C)z 在复平面上对应的点在第一象限(D)z 的虚部为i3．若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，，则y x 2+的最大值为(A)2(B)6(C)7(D)84．若圆锥曲线22:1C x my +=的离心率为2，则m =(A)1-3(B)-3(C)1-9(D)135．芜湖高铁站芜湖至A 地上午发车时间分别为7:00，8:00，8:30，小明需在当天乘车到A 地参加一高校自主招生，他在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(A)13(B)1212(C)23(D)346．我国古代数学著作《九章算术》中，其意是：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问：米几何？右图是源于其思想的一个程序框图，若输出的2S =（单位：升），则输入k 的值为(A)6(B)7(C)8(D)97．已知()f x 是定义在R 上偶函数，对任意x R ∈都有(6)(),f x f x +=且(4)5f =，则(2018)f 的值为(A)2(B)3(C)4(D)58．某几何体的三视图如右图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正(主)视图、侧(左)视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是(A)56(B)34(C)12(D)169．已知函数()()()sin 20f x x ϕπϕ=+-<<．将()f x 的图象向左平移π个单位长度后所得的函数为偶函数，则关于函数()f x ，下列命题正确的是(A)函数()f x 在区间(,63ππ-上有最小值(B)函数()f x 的一条对称轴为12x π=(C)函数()f x 在区间(,63ππ-上单调递增(D)函数()f x 的一个对称点为(,0)3π10．设1x ，2x ，3x 均为实数，且121log (1)x ex -=+，232log x e x -=，323log x e x -=，则(A)321x x x <<(B)132x x x <<(C)312x x x <<(D)213x x x <<11．已知椭圆:E 22221(0)x y a b +=>>的右焦点为(,0)F c ．圆:C 22()1x c y -+=上所有点都在椭圆E 的内部，过椭圆上任一点M 作圆C 的两条切线，,A B 为切点，若2,3[,ππθθ∈=∠AMB ，则椭圆C 的离心率为(A)2-2(B)22-3(C)2-23(D)1-212．已知函数2()2221xf x eax a e =-+--，其中,a R e ∈为自然对数的底数．若函数()f x 在区间(0,1)内有两个零点，则a 的取值范围是(A)(2,21)e -(B)2(2,2)e (C)22(221,2)e e e --(D)2(21,221)e e e ---二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知向量,a b →→的夹角为60，||2a →=，(cos ,sin )()b R ααα→=∈，则|2|a b →→+=_______．14．已知(12)nx +展开式中只有第4项的二项式系数最大，则nx x)21)(11(2++展开式中常数项为_______．15．在三棱锥D ABC -中，1AB BC DB DC ====，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为_______．16．已知ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若2A B =是_______．三、解答题：共70分。
2018年安徽省黄山市高考数学一模试卷(理科)
2018年安徽省黄山市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题.）1. 集合M={y|y=lg(x2+1), x∈R}，集合N={x|4x>4, x∈R}，则M∩N等于（）A.(−1, +∞)B.(1, +∞)C.(−1, 1)D.(−∞, 1)【答案】B【考点】交集及其运算【解析】先分别求出集合M和N，由此能求出M∩N．【解答】∵集合M={y|y=lg(x2+1), x∈R}={y|y≥0}，集合N={x|4x>4, x∈R}={x|x>1}，∴M∩N={x|x.1}=(1, +∞)．2. 已知复数z1=1+ai，z2=3+2i，a∈R，i为虚数单位，若z1z2为实数，则a=()A.−23B.−13C.13D.23【答案】A【考点】虚数单位i及其性质复数的运算复数的模复数的基本概念【解析】利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．【解答】∵z1⋅z2=(1+ai)(3+2i)=3−2a+(3a+2)i为实数，∴3a+2=0，解得a=−23．3. 若双曲线x2a −y2b=1(a>0, b>0)与直线y=2x无交点，则离心率e的取值范围是（）A.(1, 2)B.(1, 2]C.(1, √5)D.(1, √5]【答案】D【考点】双曲线的特性【解析】由题意可得，ba≤2，由此能求出离心率e的取值范围．【解答】∵双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)与直线y=2x无交点，∴由题意可得，ba≤2，∴e=√1+(ba)2≤√5，又∵e>1，∴离心率e的取值范围是(1, √5]．4. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120∘的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.50√19 A.50√5 B.50√7 C.50√11【答案】B【考点】扇形面积公式【解析】连接OC，由CD // OA知∠CDO=60∘，可由余弦定理得到OC的长度．【解答】设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=150（米），OD=100（米），∠CDO=60∘，在△CDO中，CD2+OD2−2CD⋅OD⋅cos60∘=OC2，即，150 2+1002−2×150×100×12=r2，解得r=50√7（米）．5. 《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为V=112×（底面圆的周长的平方×高），则由此可推得圆周率π的取值为（）A.3B.3.1C.3.14D.3.2【答案】A【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】由圆堡瑽（圆柱体）的体积为V=112×（底面圆的周长的平方×高），得到112×(2πr)2×ℎ=πr2×ℎ，由此能求出π的值．【解答】∵圆堡瑽（圆柱体）的体积为V=112×（底面圆的周长的平方×高），∴112×(2πr)2×ℎ=πr2×ℎ，解得π=3．6. 下列判断错误的是（）A.若随机变量ξ服从正态分布N(1, σ2)，P(ξ≤3)=0.72，则P(ξ≤−1)=0.28B.若n组数据(x1, y1)，(x2, y2)，…，(x n, y n)的散点都在y=−x+1上，则相关系数r=−1)，则E(ξ)=1C.若随机变量ξ服从二项分布：ξ∼B(5,15D.am>bm是a>b的充分不必要条件【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据正态分布的对称性求出P(ξ≤−1)的值，判断A正确；根据线性相关关系与相关系数的定义，判断B正确；根据二项分布的均值计算公式求出E(ξ)的值，判断C正确；判断充分性和必要性是否成立，得出D错误．【解答】对于A，随机变量ξ服从正态分布N(1, σ2)，∴曲线关于ξ=1对称，∴P(ξ≤−1)=P(ξ≥3)=1−P(ξ≤3)=1−0.72=0.28，A正确；对于B，若n组数据(x1, y1)，(x2, y2)，…，(x n, y n)的散点都在y=−x+1上，则x，y成负相关，且相关关系最强，此时相关系数r=−1，B正确；)，对于C，若随机变量ξ服从二项分布：ξ∼B(5,15=1，C正确；则E(ξ)=5×15对于D，am>bm时，a>b不一定成立，即充分性不成立，a>b时，am>bm不一定成立，即必要性不成立，是既不充分也不必要条件，D错误．7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的m=168，n=112，则输出的k，m的值分别为（）A.4，7B.4，56C.3，7D.3，56【答案】C【考点】程序框图【解析】 本题考查程序框图．【解答】解：该程序框图的第一个循环体运行3次，该循环体运行结束后k =3，m =21，n =14．第二个循环体运行2次，第1次，d =7，m =14，n =7；第2次，d =7，m =7，n =7，则输出m =7．故选C ．8. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x +2)=f(x)，且f(x)是偶函数，当x ∈[0, 1]时，f(x)=x 2．令g(x)=f(x)−kx −k ，若在区间[−1, 3]内，函数g(x)=0有4个不相等实根，则实数k 的取值范围是（ ）A.(0, +∞)B.(0, 12]C.(0, 14]D.[14, 13] 【答案】C【考点】函数与方程的综合运用【解析】根据函数奇偶性求出函数在一个周期上的图象，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数图象的交点个数问题进行求解即可．∵f(x)是偶函数，当x∈[0, 1]时，f(x)=x2．∴当x∈[−1, 0]时，当−x∈[0, 1]时，f(−x)=(−x)2=x2=f(x)，即当x∈[−1, 0]时，f(x)=x2．则当x∈[−1, 1]时，f(x)=x2．∵f(x+2)=f(x)，∴函数的周期为2．由g(x)=f(x)−kx−k=0，得f(x)=kx+k=k(x+1)，设y=k(x+1)，做出y=f(x)在[−1, 3]上的函数图象如图所示：．设直线y=k1(x+1)经过点(3, 1)，则k1=14∵直线y=k(x+1)经过定点(−1, 0)，且直线y=k(x+1)与y=f(x)的图象有4个交点，∴0<k≤1．4故选：C．9. 我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼−15”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为（）A.24B.36C.48D.96【答案】C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，分2种情况讨论：①、丙机最先着舰，此时只需将剩下的4架飞机全排列，②、丙机不是最先着舰，用倍分法分析即可，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①丙机最先着舰，此时只需将剩下的4架飞机全排列，有A44=24种情况，则此时有24种不同的着舰方法；②丙机不是最先着舰，此时需要在除甲、乙、丙之外的2架飞机中任选1架，作为最先着舰的飞机，将剩下的4架飞机全排列，丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同，×C21A44=24种情况，则此时有12则此时有24种不同的着舰方法.综上，一共有24+24=48种不同的着舰方法.10. 2017年中学数学信息技术研讨会，谈到了图象计算器在数学教学中的应用．如图输入曲线方程|y−8|+(|x−1|+|x−6|−5)2=0，计算器显示线段AB，则线段CD的曲线方程为（）A.|x−y+3|+(|x−2|+|x−4|−2)2=0B.|x+y+3|+(|x−2|+|x−4|−2)2=0C.|x−y+3|+(|x−2|+|x−4|+2)2=0D.|x+y+3|+(|x+2|+|x−4|−2)2=0【答案】A【考点】曲线与方程【解析】由线段AB所对应方程可知，输入的曲线方程为|kx−y+b|+(|x−m|+|x−n|−n+ m)2=0型，其中kx−y+b=0为线段所在直线方程，m，n分别为线段两端点的横坐标，然后结合线段CD得答案．【解答】由曲线方程结合图形可知：输入的曲线方程为|kx−y+b|+(|x−m|+|x−n|−n+m)2=0，其中kx−y+b=0为线段所在直线方程，m，n分别为线段两端点的横坐标，则线段CD的曲线方程为|x−y+3|+(|x−2|+|x−4|−2)2=0．11. 如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为()A.20π3B.8π C.9π D.19π3【答案】D【考点】由三视图求外接球问题球的体积和表面积作出几何体的直观图，根据三视图的特点找出外接球球心的位置，利用勾股定理列方程解出球的半径，即可求出该几何体外接球的表面积．【解答】解：如图该几何体为三棱锥A −BCD ，设球心为O ，O 1，O 2分别为△BCD 和△ABD 的外心，依题意OO 1=√36AB =√33，O 1D =12CD =√52, ∴ 球的半径R =√OO 12+O 1D 2=√1912， ∴ 该几何体外接球的表面积为S =4πR 2=19π3．故选D .12. 设函数f(x)＝e x (2x −1)−mx +m ，其中m <1，若存在唯一的整数n ，使得f(n)<0，则m 的取值范围是$（ ）A.[32e , 1)B.[−32e , 34)C.[32e , 34)D.[−32e , 1) 【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】设函数g(x)＝e x (2x −1)，ℎ(x)＝mx −m ，问题转化为存在唯一的整数x 0使得g(x 0)在直线y ＝mx −m 的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得−m >g(0)＝−1且g(−1)＝−3e −1≥−m −m ，解关于m 的不等式组可得．【解答】设函数g(x)＝e x (2x −1)，ℎ(x)＝mx −m ，由题意知存在唯一的整数n 使得g(n)在直线y ＝ℎ(x)＝mx −m 的下方，∵ g′(x)＝e x (2x −1)+2e x ＝e x (2x +1)，∴ 当x <−12时，g′(x)<0，当x >−12时，g′(x)>0，∴ 当x =−12时，g(x)取最小值−2e −12，当x ＝0时，g(0)＝−1，当x ＝1时，g(1)＝e >0，直线y ＝mx −m 恒过定点(1, 0)且斜率为m ，故−m >g(0)＝−1且g(−1)＝−3e −1≥−m −m ，解得：32e ≤m <1，故选：A ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题.）(1x 2+x 2+2)4的展开式的常数项为________．【答案】70【考点】二项式定理的应用【解析】变形(1x 2+x 2+2)4=(x 2+1)8x 8，(x 2+1)8的通项公式：T r+1=∁8r (x 2)8−r =∁8r x 16−2r ，令16−2r =8，解得r ，即可得出．【解答】(1x 2+x 2+2)4=(x 2+1)8x 8，(x 2+1)8的通项公式：T r+1=∁8r (x 2)8−r =∁8r x16−2r ， 令16−2r =8，解得r =4．因此展开式的常数项=∁841=70．将函数f(x)=2sin(ωx +π3)(ω>0)的图象向右平移π3ω个单位，得到函数y =g(x)的图象，若y =g(x)在[0,π4]上为增函数，则ω的最大值为________．【答案】2【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】函数的图象向左平移 π3ω个单位，得到函数y =g(x)的表达式，然后利用在[0,π4]上为增函数，说明T 4≥π4，利用周期公式，求出ω的不等式，得到ω的最大值．【解答】函数 f(x)=2sin(ωx +π3)(ω>0)的图象向左平移π3ω个单位，得到函数y =g(x)=2sin[ω(x −π3ω)+π3]=2sinωx ，y =g(x)在[0,π4]上为增函数， 所以：T 4≥π4，即：14×2πω≥π4，ω≤2， 所以ω的最大值为：2．已知直线l:x =my +n(n >0)过点A(5√3,5)，若可行域{x ≤my +nx −√3y ≥0y ≥0的外接圆直径为20，则n =________．【答案】 10√3【考点】简单线性规划圆的标准方程【解析】由题意作出其平面区域，则(5√3−n)2+25=100，从而求n ．【解答】由题意作出其平面区域，由题意可得，(5√3−n)2+25=100，解得，n =10√3．给出以下四个命题，其中所有真命题的序号为________．①函数f(x)=3ax +a −1在区间(−1, 1)上存在一个零点，则a 的取值范围是−12<a <14；②“b 2=ac ”是“a ，b ，c 成等比数列”的必要不充分条件；③∀x ∈(0, π2)，sinx <x <tanx ；④若0<a <b <1，则lna <lnb <a b <b a ．【答案】②③④【考点】命题的真假判断与应用【解析】①根据函数f(x)在区间(−1, 1)上存在一个零点，f(−1)⋅f(1)<0，解不等式即可； ②判断充分性与必要性是否成立即可；③画出单位圆，利用正弦线、弧长与正切线判断即可；④利用对数函数与指数函数的单调性判断大小即可．【解答】，函数f(x)=3ax +a −1在区间(−1, 1)上存在一个零点，则f(−1)⋅f(1)<0，即(−2a −1)(4a −1)<0，解得a <−12或a >14，∴ a 的取值范围是a <−12，或a ≥14，（1）错误；对于（2），当b 2=ac 时，a ，b ，c 不一定成等比数列，如a =b =0时，∴ 充分性不成立；a，b，c成等比数列时，即ba =cb，得出b2=ac，必要性成立；是必要不充分条件，（3）正确；对于（4），画出单位圆如图所示，根据|MP→|<PA^<|AT→|知，∀x∈(0, π2)，有sinx<x<tanx，（5）正确；对于（6），0<a<b<1，且y=lnx为增函数，y=a x、y=b x均为减函数，∴lna<lnb<0<a b<b b<b a，（7）正确；综上，正确的命题是（8）（9）（10）．故答案为：（11）（12）（13）．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相应区域答题.）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是公比大于零的等比数列，且a1=b1=2，a3=b3=8．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n=a bn，求数列{c n}的前n项和S n．【答案】设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且q>0．由a1=2，a3=8，得8=2+2d，解得d=3．∴a n=2+(n−1)×3=3n−1，n∈N∗．由b1=2，b3=8，得8=2q2，又q>0，解得q=2．∴b n=2×2n−1=2n，n∈N∗；∵c n=a bn=3×2n−1，∴S n=3×2(1−2n)1−2−n=3×2n+1−n−6．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）设出等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且q>0．由已知列式求得等差数列的公差和等比数列的公比，代入等差数列和等比数列的通项公式得答案；（2）由c n=a bn结合数列{a n}和{b n}的通项公式得到数列{c n}的通项公式，结合等比数列的前n项和求得数列{c n}的前n项和S n．【解答】设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且q>0．由a 1=2，a 3=8，得8=2+2d ，解得d =3． ∴ a n =2+(n −1)×3=3n −1，n ∈N ∗．由b 1=2，b 3=8，得8=2q 2，又q >0，解得q =2． ∴ b n =2×2n−1=2n ，n ∈N ∗； ∵ c n =a b n =3×2n −1， ∴ S n =3×2(1−2n )1−2−n =3×2n+1−n −6．如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC =∠BAD =90∘，且PA =AB =BC =12AD =1，PA ⊥平面ABCD ．（1）求PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）棱PD 上是否存在一点E 满足∠AEC =90∘？若存在，求AE 的长；若不存在，说明理由．【答案】依题意，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O −xyz ，则P(0, 0, 1)， B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)，D(0, 2, 0)，从而PB →=(1,0,−1)，PC →=(1,1,−1)，PD →=(0,2,−1)，设平面PCD 的法向量为n →=(a, b, c)，即{a +b −c =02b −c =0， 不妨取c =2，则b =1，a =1，所以平面PCD 的一个法向量为n →=(1, 1, 2)， 此时cos <PB →，n →>=2×6=−√36， 所以PB 与平面PCD 所成角的正弦值为√36；设PE →=λPD →(0≤λ≤1)，则E(0, 2λ, 1−λ)， 则CE →=(−1,2λ−1,1−λ)，AE →=(0,2λ,1−λ)，由∠AEC =90∘得，AE →∗CE →=2λ(2λ−1)+(1−λ)2=0， 化简得，5λ2−4λ+1=0，该方程无解， 所以，棱PD 上不存在一点E 满足∠AEC =90∘．【考点】直线与平面所成的角 【解析】（1）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出PB →，平面PCD 的法向量，即可求PB 与平面PCD 所成角的正弦值；（2）假设存在E 符合条件，设PE →=λPD →(0≤λ≤1)，则由∠AEC =90∘得，AE →∗CE →=2λ(2λ−1)+(1−λ)2=0，列出方程，判定方程在[0, 1]上是否有解即可得出结论． 【解答】依题意，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O −xyz ，则P(0, 0, 1)， B(1, 0, 0)，C(1, 1, 0)，D(0, 2, 0)，从而PB →=(1,0,−1)，PC →=(1,1,−1)，PD →=(0,2,−1)，设平面PCD 的法向量为n →=(a, b, c)，即{a +b −c =02b −c =0， 不妨取c =2，则b =1，a =1，所以平面PCD 的一个法向量为n →=(1, 1, 2)， 此时cos <PB →，n →>=2×6=−√36， 所以PB 与平面PCD 所成角的正弦值为√36；设PE →=λPD →(0≤λ≤1)，则E(0, 2λ, 1−λ)， 则CE →=(−1,2λ−1,1−λ)，AE →=(0,2λ,1−λ)，由∠AEC =90∘得，AE →∗CE →=2λ(2λ−1)+(1−λ)2=0， 化简得，5λ2−4λ+1=0，该方程无解， 所以，棱PD 上不存在一点E 满足∠AEC =90∘．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取30名男生和20名女生，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列及数学期望E(X)． 附表及公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)． 【答案】 k 2=50×(22×12−8×8)230×20×30×20≈5.556>5.024．∴ 有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．选择做几何题的8名女生中任意抽取两人有C 82=28种方法，其中甲、乙两人都没抽到有C 62=15种方法，恰有一人被抽到有C 21C 61=12种方法，两人都被抽到有C 22=1种方法X 的可能取值为0，1，2．P(X =0)=1528，P(X =1)=1228=37，P(X =2)=128． X 的分布列为：∴ E(X)=0×1528+1×37+2×128=12． 【考点】 独立性检验 【解析】（1）计算K 2，对照附表做结论；（2）使用组合数公式和古典概型的概率计算公式分别计算X 取不同值时的概率，得到X 的分布列，求出数学期望． 【解答】 k 2=50×(22×12−8×8)230×20×30×20≈5.556>5.024．∴ 有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关．选择做几何题的8名女生中任意抽取两人有C 82=28种方法，其中甲、乙两人都没抽到有C 62=15种方法，恰有一人被抽到有C 21C 61=12种方法，两人都被抽到有C 22=1种方法X 的可能取值为0，1，2．P(X =0)=1528，P(X =1)=1228=37，P(X =2)=128． X 的分布列为：∴ E(X)=0×1528+1×37+2×128=12．已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，短轴两个端点为A 、B ，且四边形AF 1BF 2是边长为2的正方形．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若C 、D 分别是椭圆Γ的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连接CM ，交椭圆于与点P ．证明：OM →⋅OP →为定值．【答案】∵ 左右焦点分别为F 1，F 2，短轴两个端点为A ，B ，且四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形，∴ a =2，b =c ，a 2=b 2+c 2，∴ b 2=2， ∴ 椭圆方程为x 24+y 22=1．C(−2, 0)，D(2, 0)，设M(2, y 0)，P(x 1, y 1)， 则OP →=(x 1, y 1)，OM →=(2, y 0) 直线CM:y −0=y 04(x +2)，即 y =y 04x +12y 0．代入椭圆x 2+2y 2=4，得(1+y 028)x 2+12y 02x +12y 02−4=0， 故方程的两个根分别为−2和x 1， 由韦达定理可得x 1−2=−4y 02y 02+8，∴ x 1=−2y 02+16y 02+8，∴ y 1=8yy 02+8．∴ OP →=(−2y 02+16y 02+8, 8yy 02+8) ∴ OM →⋅OP →=8y 02+32y 02+8y 02y 02+8=4y 02+32y 02=4．【考点】椭圆的离心率 【解析】（1）利用椭圆的几何性质求出a 、b 的值，从而写出标准方程．（2）设M(2, y 0)，写出直线CM 的方程，并把它代入椭圆的方程，可求P 的坐标，进而得到向量OM 、OP 的坐标，计算这向量坐标的数量积，得出定值． 【解答】∵ 左右焦点分别为F 1，F 2，短轴两个端点为A ，B ，且四边形F 1AF 2B 是边长为2的正方形，∴ a =2，b =c ，a 2=b 2+c 2，∴ b 2=2， ∴ 椭圆方程为x 24+y 22=1．C(−2, 0)，D(2, 0)，设M(2, y 0)，P(x 1, y 1)， 则OP →=(x 1, y 1)，OM →=(2, y 0) 直线CM:y −0=y 04(x +2)，即 y =y 04x +12y 0．代入椭圆x 2+2y 2=4，得(1+y 028)x 2+12y 02x +12y 02−4=0，故方程的两个根分别为−2和x 1，由韦达定理可得x 1−2=−4y 02y 02+8，∴ x 1=−2y 02+16y 02+8，∴ y 1=8yy 02+8．∴ OP →=(−2y 02+16y 02+8, 8y 0y 02+8)∴ OM →⋅OP →=8y 02+32y 02+8y 02y 02+8=4y 02+32y 02=4．已知函数f(x)=x −ax 2−lnx(a >0)． （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个极值点x 1，x 2，证明：f(x 1)+f(x 2)>3−2ln2． 【答案】 ∵ f′(x)=−2ax 2−x+1x，(x >0, a >0)，不妨设φ(x)=2ax 2−x +1(x >0, a >0)，则关于x 的方程2ax 2−x +1=0的判别式△=1−8a ， 当a ≥18时，△≤0，φ(x)≥0，故f′(x)≤0， ∴ 函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，当0<a <18时，△>0，方程f′(x)=0有两个不相等的正根x 1，x 2， 不妨设x 1<x 2，则当x ∈(0, x 1)及x ∈(x 2, +∞)时f′(x)<0， 当x ∈(x 1, x 2)时，f′(x)>0，∴ f(x)在(0, x 1)，(x 2, +∞)递减，在(x 1, x 2)递增；证明：由(1)知当且仅当a ∈(0, 18)时f(x)有极小值x 1 和极大值x 2， 且x 1，x 2是方程的两个正根，则x 1+x 2=12a ，x 1 x 2=12a ，∴ f(x 1)+f(x 2)=(x 1+x 2)−a[(x1+x2)2−2x 1 x 2]−(lnx 1+lnx 2)=ln(2a)+14a +1=lna+14a+ln2+1(0<a<18)，令g(a)=lna+14a+ln2+1，当a∈(0, 18)时，g′(a)=4a−14a2<0，∴g(a)在(0, 18)内单调递减，故g(a)>g(18)=3−2ln2，∴f(x1)+f(x2)>3−2ln2．【考点】利用导数研究函数的极值【解析】(1)先求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性；(2)表示出f(x1)+f(x2)=lna+14a+ln2+1，通过求导进行证明．【解答】∵f′(x)=−2ax2−x+1x，(x>0, a>0)，不妨设φ(x)=2ax2−x+1(x>0, a>0)，则关于x的方程2ax2−x+1=0的判别式△=1−8a，当a≥18时，△≤0，φ(x)≥0，故f′(x)≤0，∴函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，当0<a<18时，△>0，方程f′(x)=0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1<x2，则当x∈(0, x1)及x∈(x2, +∞)时f′(x)<0，当x∈(x1, x2)时，f′(x)>0，∴f(x)在(0, x1)，(x2, +∞)递减，在(x1, x2)递增；证明：由(1)知当且仅当a∈(0, 18)时f(x)有极小值x1和极大值x2，且x1，x2是方程的两个正根，则x1+x2=12a ，x1 x2=12a，∴f(x1)+f(x2)=(x1+x2)−a[(x1+x2)2−2x1 x2]−(lnx1+lnx2)=ln(2a)+14a +1=lna+14a+ln2+1(0<a<18)，令g(a)=lna+14a+ln2+1，当a∈(0, 18)时，g′(a)=4a−14a2<0，∴g(a)在(0, 18)内单调递减，故g(a)>g(18)=3−2ln2，∴f(x1)+f(x2)>3−2ln2．考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]．在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ，直线l 的参数方程为：{x =−2+√22ty =−4+√22t （t 为参数），两曲线相交于M ，N 两点．(Ⅰ)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (Ⅱ)若P(−2, −4)，求|PM|+|PN|的值． 【答案】(Ⅰ)根据x =ρcosθ、y =ρsinθ，求得曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ， 用代入法消去参数求得直线l 的普通方程x −y −2=0． (Ⅱ)直线l 的参数方程为：{x =−2+√22ty =−4+√22t（t 为参数），代入y 2=4x ，得到t 2−12√2t +48=0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则 t 1+t 2=12√2，t 1⋅t 2=48，∴ |PM|+|PN|=|t 1+t 2|=12√2． 【考点】圆的极坐标方程 【解析】(Ⅰ)根据x =ρcosθ、y =ρsinθ，写出曲线C 的直角坐标方程；用代入法消去参数求得直线l 的普通方程．(Ⅱ)把直线l 的参数方程代入y 2=4x ，得到t 2−12√2t +48=0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，利用韦达定理以及|PM|+|PN|=|t 1+t 2|，计算求得结果． 【解答】(Ⅰ)根据x =ρcosθ、y =ρsinθ，求得曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x ， 用代入法消去参数求得直线l 的普通方程x −y −2=0． (Ⅱ)直线l 的参数方程为：{x =−2+√22ty =−4+√22t（t 为参数），代入y 2=4x ，得到t 2−12√2t +48=0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2， 则 t 1+t 2=12√2，t 1⋅t 2=48，∴ |PM|+|PN|=|t 1+t 2|=12√2． [选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)=k −|x −4|，x ∈R ，且f(x +4)≥0的解集为[−1, 1]． （1）求k 的值；（2）若a ，b ，c 是正实数，且1ka +12kb +13kc =1，求证：19a +29b +39c ≥1． 【答案】因为f(x)=k −|x −4|，所以f(x +4)≥0等价于|x|≤k ， 由|x|≤k 有解，得k ≥0，且其解集为{x|−k ≤x ≤k}． 又f(x +4)≥0的解集为[−1, 1]，故k =1．证明：由（1）知1a +12b +13c =1，又a ，b ，c 是正实数，由均值不等式得：a+2b+3c=(a+2b+3c)(1a +12b13c)=3+a2b +a3c+2ba+2bc+3ca+3c2b≥3+2+2+2=9，当且仅当a=2b=3c时取等号，所以19a+29b+39c≥1．【考点】不等式的证明【解析】（1）利用f(x+4)≥0等价于|x|≤k，求出k的范围，通过不等式的解集求解k即可．（2）化简不等式，利用乘“1”法，通过基本不等式求解最值，推出结果．【解答】因为f(x)=k−|x−4|，所以f(x+4)≥0等价于|x|≤k，由|x|≤k有解，得k≥0，且其解集为{x|−k≤x≤k}．又f(x+4)≥0的解集为[−1, 1]，故k=1．证明：由（1）知1a +12b+13c=1，又a，b，c是正实数，由均值不等式得：a+2b+3c=(a+2b+3c)(1a +12b13c)=3+a2b +a3c+2ba+2bc+3ca+3c2b≥3+2+2+2=9，当且仅当a=2b=3c时取等号，所以19a+29b+39c≥1．。
2018届合肥市高三一模试题-理科答案
一、选择题：本大题共 12 小题,每小题 5 分，共 60 分． 1 2 3 4 5 6 7 8 A C B C C D D A 9 C 10 B 11 B 12 D
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13.－1 14.3 15.（4，4） 16.
高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 6 页）
所以，直线 AE 与平面 BDM 所成角的正弦值为 20.（Ⅰ）由已知可得，椭圆 E 的焦点在 x 轴上.
4 5 . 15
……12 分
x2 y2 + = 1 (a > b > 0) ，焦距为 2c ，则 b = c ， a2 b2 x2 y 2 2 2 2 2 ∴ a = b + c = 2b ，∴椭圆 E 的标准方程为 2 + 2 = 1 . 2b b 1 2 1 又∵椭圆 E 过点 (1 ， ) ，∴ 2 + 2 = 1 ，解得 b 2 = 1 . 2 2 2b b 2 x ∴椭圆 E 的标准方程为 + y 2 = 1. ……5 分 2 （Ⅱ）由于点 (−2，0) 在椭圆 E 外，所以直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的斜率为 k ，则直线 l : y = k ( x + 2) ，设 M ( x1，y1 )， N ( x2，y2 ) .
21 3
三、解答题： 17.（Ⅰ）根据正弦定理，由已知得： (sin A − 2sin B ) cos C + sin C cos A = 0 ， ……1 分 即 sin A cos C + sin C cos A = 2sin B cos C ， ∴ sin( A + C ) = 2sin B cos C ， ∵ A + C = π − B ，∴ sin( A + C ) = sin(π − B ) = sin B > 0 ， ∴ sin B = 2sin B cos C ，从而 cos C = ∵ C ∈ (0，π ) ，∴ C =
2018安徽分类考试数学试题
1.1 2018年安徽分类考试数学试题
( C. (−∞， − 1] D. [−1， + ∞)
D1 A1 N
)
18. 如图所示， 在正方体������������������������ − ������1 ������1 ������1 ������1 中， 点������ ， ������ 分别是棱������������1 ， ������1 ������1 的中点， 则直线������ ������ 与直线������������1 所成的角等于 A. 30° 18. B 19. 在一次射击测试中， 甲乙两名运动员各射击5次， 命中的环数分别为： 甲： 5，10，6，9，10；乙： 7，8， 8， 9，8. B. 45° C. 60° D. 90° ( )
(
)
A. 1 12. B
13. 若向量������ = (1， 2)， ������ = (−2， ������)， 且������ A. 4 13. C B. 1
(
)
14. 设������， ������， ������ ∈ R， 且������ > ������， 则下列结论正确的是 A. ������2 > ������2 14. D 15. 若直线������ − ������ + 2 = 0与直线������������ + 2������ + 1 = 0互相垂直， 则������ = A. 2 15. A 1 16. 已知sin ������ = ， 则cos 2������ = 3 √ √ 4 2 4 2 A. B. − 9 9 第 2 页 B. −2 C. 1 D. −1 B. 1 1 > ������ ������ C. ������������ > ������������
安徽省黄山市2018届高三一模检测数学(理)试卷(含答案)
黄山市2018届高中毕业班第一次质量检测数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题60分）和第Ⅱ卷（非选择题90分）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．. 4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.参考公式：球的表面积公式：24S R π= 球的体积公式：343V R π=第Ⅰ卷（选择题 满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 1. 集合(){}R x x y y M ∈+==,1lg 2，集合}{R x x N x ∈>=,44，则M N I 等于A.()+∞-,1B.()+∞,1C.()1,1-D.()1,∞-2. 已知复数11z ai =+，232z i =+，R a ∈,i 是虚数单位，若12z z ⋅是实数，则=aA.32-B.31-C.31D.32 3. 若双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>与直线x y 2=无交点，则离心率的取值范围是A.()2,1B.(]2,1C.()5,1D.(54. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为︒120的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD ．已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，再沿 着DC 走到C 用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50 米，则该扇形的半径的长度为( )米. A.505B.507C.5011D.50195. 《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽 （圆柱体）的体积为112V =⨯(底面圆的周长的平方⨯高)，则由此可推得圆周率π的取值为 A.3B.3.1C.3.14D.3.26. 下列判断错误的是A. 若随机变量ξ服从正态分布72.0)3(),,1(2=≤ξσP N , 则28.0)1(=-≤ξP ；B. 若n 组数据1122(,),(,),...,(,)n n x y x y x y 的散点都在1+-=x y 上，则相关系数1r =-；C. 若随机变量ξ服从二项分布：1(5,)5B ξ:, 则()1E ξ=；D. am bm >是a b >的充分不必要条件；7. 执行如图所示的程序框图，若输入的112,168==n m ， 则输出的k ，m 的值分别为A ．47， B. 456， C. 37， D. 356，10 1 2332445567768xy8. 已知定义在R 上的函数()x f 满足()()x f x f =+2，且()x f 是偶函数，当[]1,0∈x 时，()2x x f =.令()()g x f x kx k =--，若在区间[]3,1-内，函数()0g x =有4个不相等实根，则实数k 的取值范围是A.()+∞,0B.⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 C.⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,419. 我国的第一艘航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架“歼—15”飞机准备着舰，如果乙机不能最先着舰，而丙机必须在甲机之前着舰（不一定相邻），那么不同的着舰方法种数为 A.24B.36C.48D.9610.2017年中学数学信息技术研讨会,谈到了图像计算器在数学教学中的应用.如图输入曲线方程28(165)0y x x -+-+--=,计算器显示线段AB ，则线段CD 的曲线方程为A.()232420x y x x -++-+--= B.()232420x y x x +++-+--= C.()232420x y x x -++-+-+= D.()232420x y x x +++++--=11.如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形， 侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接 球的表面积为A.203π B.8π C.9π D.193π12.设函数()()m mx x e x f x+--=12，其中1<m ,若存在唯一的整数n ，使得()0<n f ，则m 的 取值范围是3.,12A e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 33.,24B e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ 33.,24C e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭3.,12D e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（非选择题 满分90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 13.422)21(++x x的展开式的常数项为 ． 14.将函数()()03sin 2>⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ωπωx x f 的图象向右平移3πω个单位，得到函数()x g y =的图象，若()x g y =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上为增函数，则ω的最大值为 ．15.已知直线:l )0(>+=n n my x过点()A ，若可行域⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-+≤003y y x nmy x 的外接圆直径为20，则=n ．16.给出以下四个命题，其中所有真命题的序号为 ．①函数()13-+=a ax x f 在区间()1,1-上存在一个零点，则a 的取值范围是4121<<-a ； ②“2b ac =”是“,,a b c 成等比数列”的必要不充分条件；③⎪⎭⎫⎝⎛∈∀2,0πx ，x x x tan sin <<；④若10<<<b a ，则a b b a b a <<<ln ln .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷．．．．．的相应区域答题．．．．．．．.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且211==b a , 833==b a . （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;（2）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S . 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形， 90ABC BAD ∠=∠=︒,且112PA AB BC AD ====,PA ⊥平面ABCD . （1）求PB 与平面PCD 所成角的正弦值;（2）棱PD 上是否存在一点E ,满足90AEC ∠=︒？若存在，求AE 的长；若不存在，说明理由.19.（本小题满分12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30人，女20人），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学只能自由选择其中一道题进行解答.选题情况如下表（单位：人）：（1）能否据此判断有%5.97的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）现从选择做几何题的8名女生中，任意抽取两人,对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两位女生被抽到的人数为X ，求X 的分布列和)(X E . 附表及公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20.（本小题满分12分）DCBAP已知椭圆:Γ22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，短轴两个端点为A 、B ，且四边形12AF BF 是边长为2的正方形. （1）求椭圆Γ的方程；（2）若C 、D 分别是椭圆Γ的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于与点P .证明：OM OP ⋅u u u u r u u u r为定值.21.（本小题满分12分）已知函数()()2ln 0f x x ax x a =-->. （1）讨论()x f 的单调性；（2）若()x f 有两个极值点1x ，2x ，证明：()()2ln 2321->+x f x f .考生注意：请在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=，直线l的参数方程为24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数），直线l 与曲线C 交于M ，N 两点.（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程; （2）若()2,4P --，求PM PN +的值.23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()4--=x k x f ，R x ∈，且()04≥+x f 的解集为[]1,1-. （1）求k 的值；（2）若c b a ,,是正实数，且111123ka kb kc ++=，求证：1231999a b c ++≥.黄山市2018届高中毕业班第一次质量检测数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 70 14. 2 15. 103 16. ②③④三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本小题满分12分） 解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且．由，得，解得．所以． …………………………3分 由，得，又，解得．所以． ………………………………………6分（2）因为，所以． ……………………12分18.（本小题满分12分）解：（1）以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，则，，，， ………………………………2分从而，，， 设平面的法向量为，则，且，即，且，不妨取，则，，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BADBADCCCADA所以平面的一个法向量为，…………………………………5分此时，所以与平面所成角的正弦值为. ………………………………7分（2）设，则，则，，若，则，化简得，该方程无解，所以，棱上不存在一点满足．…………………………………………………………………………………………12分19.（本小题满分12分）解：（1）由表中数据得的观测值：，…………………………………3分所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关. ………………5分（2）可能取值为，，，，……9分的分布列为：…………………………………………………………11分. …………………………………………12分20.（本小题满分12分）解：（1）由题意得，，∴，，∴所求的椭圆方程为. ……………………………………………4分（2）由（1）知，，. 由题意可设，，∵，∴.由整理得：. ……6分∵，∴，，所以，………………………………………………………9分∴，即为定值. …………………………………………………………………12分21.（本小题满分12分）解：（1）函数的定义域为.. …1分，方程的判别式.①当时，，∴，故函数在上递减；②当时，，由可得，.函数的减区间为；增区间为. ………………………5分所以，当时，在上递减；当时，在上递增，在，上递减.…6分（2）由（1）知当时，函数有两个极值点，且.……………………………………………………………………………………………9分设，则，，所以在上递增，， 所以. ……………………………………………………12分22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程解：（1）曲线，直线……………………………………5分 （2）将直线的参数方程代入，可得， 设对应得参数分别为，则 所以． …………………………10分 23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲解：（1）因为(=4f xk x --），所以(4)0f x +≥等价于，由有解，得，且其解集为. 又(4)0f x +≥的解集为，故. ……………………………5分 （2）由（1）知，又是正实数，由均值不等式得：，当且仅当时取等号，所以. …………………10分。
2018年安徽省宿州市高考数学一模试卷(理科)
2018年安徽省宿州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）A．（2，4] B．[2，4] C．（﹣∞，0）∪[0，4] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，4] 2．（5分）已知复数z=1﹣i（i为虚数单位），复数为z的共轭复数，则=（）A．﹣2i B．2i C．4﹣2i D．4+2i3．（5分）已知函数，执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．B．C．D．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支上一点，M是PF1的中点，且OM⊥PF1，2|PF1|=|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．5．（5分）设，，，则a，b，c三个数从大到小的排列顺序为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b6．（5分）若函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为奇函数，且在上为减函数，则θ的一个值为（）A．﹣B．﹣C．D．7．（5分）将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A．81π B．33π C．56π D．41π9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为（）A．B．g（x）=2sin2xC．D．10．（5分）已知函数，g（x）=﹣f（﹣x），则方程f（x）=g（x）的解的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．111．（5分）已知抛物线C：y2=8x，圆F：（x﹣2）2+y2=4，直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是（）A．|M1M3|•|M2M4| B．|FM1|•|FM4| C．|M1M2|•|M3M4| D．|FM1|•|M1M2| 12．（5分）已知l1，l2分别是函数f（x）=|lnx|图象上不同的两点P1，P2处的切线，l1，l2分别与y轴交于点A，B，且l1与l2垂直相交于点P，则△ABP的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（5分）已知向量满足，，且，则向量与向量的夹角为．14．（5分）（x﹣2y+y2）6的展开式中，x2y5的系数为．15．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于1，则a的值为．16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=c，sinB+sin（A﹣C）=sin2A，若O为△ABC所在平面内一点，且O，C在直线AB的异侧，OA=2OB=2，则四边形OACB面积的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个考题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（12分）在数列{a n}中，a1=1，．（Ⅰ）设，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∠PDC=90°，E为棱AP的中点，且AD⊥CE．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）当直线PB与底面ABCD成30°角时，求二面角B﹣CE﹣P的余弦值．19．（12分）为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，安徽省于2012年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2160度以下（含2160度），执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯电量：年用电量2161至4200度（含4200度），执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯电量：年用电量4200度以上，执行第三档电价0.8653元/度．某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如表：12345678910用户编号1000126014001824218024232815332544114600年用电量（度）（Ⅰ）试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元？（Ⅱ）现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（Ⅲ）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．20．（12分）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，离心率，O为坐标原点，圆与直线AB相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知四边形ABCD内接于椭圆E，AB∥DC．记直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，试问k1•k2是否为定值？证明你的结论．21．（12分）已知函数，函数g（x）=﹣2x+3．（Ⅰ）判断函数的单调性；（Ⅱ）若﹣2≤a≤﹣1时，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤t|g （x1）﹣g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12，且直线l与曲线C交于P，Q两点．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）把直线l与x轴的交点记为A，求|AP|•|AQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）≤5在x∈[1，4]上恒成立，求实数m的取值范围．2018年安徽省宿州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|1≤3x≤81}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}，则A∩B=（）A．（2，4] B．[2，4] C．（﹣∞，0）∪[0，4] D．（﹣∞，﹣1）∪[0，4]【解答】解：A={x|1≤3x≤81}{x|0≤x≤4}，B={x|log2（x2﹣x）＞1}={x|x2﹣x＞2}={x|x＞2或x＜﹣1}，则A∩B={x|2＜x≤4}，故选：A．2．（5分）已知复数z=1﹣i（i为虚数单位），复数为z的共轭复数，则=（）A．﹣2i B．2i C．4﹣2i D．4+2i【解答】解：由z=1﹣i，得，则==．故选：C．3．（5分）已知函数，执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=++…+的值，可得：S=++…+=（1﹣）+（）+…+（﹣）=1﹣=．故选：B．4．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线左支上一点，M是PF1的中点，且OM⊥PF1，2|PF1|=|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：P为双曲线左支上的一点，则由双曲线的定义可得，|PF2|﹣|PF1|=2a，由|PF2|=2|PF1|，则|PF2|=4a，|PF1|=2a，∵M是PF1的中点，且OM⊥PF1∴由△PF1F2为直角三角形，则|PF2|2+|=|PF2|2，=|F1F2|2．∴5a2=c2即有e=．故选：B．5．（5分）设，，，则a，b，c三个数从大到小的排列顺序为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b【解答】解：b===＞ln=ln=a，a=＞=c．∴b＞a＞c．故选：B．6．（5分）若函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）为奇函数，且在上为减函数，则θ的一个值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）=2sin（2x+θ+）为奇函数，故有θ+=kπ，即：θ=kπ﹣（k∈Z），可淘汰A、C选项，然后分别将B和C选项代入检验，易知当θ=时，f（x）=﹣2sin2x其在区间[﹣，0]上递减，故选：C．7．（5分）将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，则每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：将3名教师和3名学生共6人平均分成3个小组，分别安排到三个社区参加社会实践活动，基本事件总数n==90，每个小组恰好有1名教师和1名学生包含的基本事件个数m==36，∴每个小组恰好有1名教师和1名学生的概率为p===．故选：B．8．（5分）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中有很多对几何体外接球的研究，如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A．81π B．33π C．56π D．41π【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，下底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD为等腰三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．棱锥的高为1，设三角形PAD的外心为G，则=2PG，∴PG=．再设该四棱锥外接球的半径为R，则则该几何体的外接球的表面积为．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为（）A．B．g（x）=2sin2xC．D．【解答】解：由题设图象知，A=2，周期T=4（x0+π﹣x0）=4π，∴ω==．∵点（0，1）在函数图象上，∴2sin（φ）=1，即sin（φ）=．又∵0＜φ＜，∴φ=．故函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+），将图象横坐标缩短到原来的，可得2sin（2x+），再向右平移个单位，可得2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x），即g（x）=2sin（2x），故选：D．10．（5分）已知函数，g（x）=﹣f（﹣x），则方程f（x）=g（x）的解的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：函数的图象如图所示，由g（x）=﹣f（﹣x），可得g（x）和f（x）的图象关于原点对称，作出y=g（x）的图象，可得y=f（x）和y=g（x）的图象有4个交点，则方程f（x）=g（x）的解的个数为4．故选：A．11．（5分）已知抛物线C：y2=8x，圆F：（x﹣2）2+y2=4，直线l：y=k（x﹣2）（k≠0）自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是（）A．|M1M3|•|M2M4| B．|FM1|•|FM4| C．|M1M2|•|M3M4| D．|FM1|•|M1M2|【解答】解：分别设M1，M2，M3，M4四点横坐标为x1，x2，x3，x4，由y2=8x可得焦点F（2，0），准线l0：x=﹣2．由定义得：|M1F|=x1+2，又∵|M1F|=|M1M2|+2，∴|M1M2|=x1，同理：|M3M4|=x4，将y=k（x﹣2）时，代入抛物线方程，得：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，∴x1x2=4，∴|M1M2|•|M3M4|=4故选：C．12．（5分）已知l1，l2分别是函数f（x）=|lnx|图象上不同的两点P1，P2处的切线，l1，l2分别与y轴交于点A，B，且l1与l2垂直相交于点P，则△ABP的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）=﹣，当x＞1时，f′（x）=，∴l1的斜率k1=﹣，l2的斜率k2=，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴k1•k2=﹣•=﹣1，即x1x2=1．直线l1：y=﹣（x﹣x1）﹣lnx1，l2：y=（x﹣x2）+lnx2．取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，∴S△PAB=|AB|•|x P|=×2×=，∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴x1+＞1+1=2，则0＜＜，∴0＜＜1．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（5分）已知向量满足，，且，则向量与向量的夹角为．【解答】解：∵，∴，=2又∵∴即设向量与的夹角为θ则cosθ==∵θ∈[0，π]∴θ=故答案为：14．（5分）（x﹣2y+y2）6的展开式中，x2y5的系数为﹣480 ．【解答】解：通项公式T r+1=，令6﹣r=2，解得r=4．∴T5=．又（y2﹣2y）4=（y2）4﹣•2y+﹣+，∴x2y5的系数为×（﹣•23）=﹣480．故答案为：﹣480．15．（5分）在平面直角坐标系中，若不等式组（a为常数）所表示的平面区域内的面积等于1，则a的值为 1 ．【解答】解：当a＜0时，不等式组所表示的平面区域，如图中的M，一个无限的角形区域，面积不可能为2，故只能a≥0，此时不等式组所表示的平面区域如图中的N，区域为三角形区域，若这个三角形的面积为1，则AB=2，即点B的坐标为（1，2），代入y=ax+1得a=1．故答案为：1；16．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=c，sinB+sin （A﹣C）=sin2A，若O为△ABC所在平面内一点，且O，C在直线AB的异侧，OA=2OB=2，则四边形OACB面积的取值范围是．【解答】解：根据sinB+sin（A﹣C）=sin2A，可得sin（A+C）+sin（A﹣C）=sin2A，可得2sinAcosC=2sinAcosA，即cosC=cosA，那么b=c=a，三角形△ABC时等边三角．由OA=2OB=2，四边形OACB面积S=AO•OB•sin∠AOB+bcsinA，则四边形OACB面积S=+sin∠AOB=（5﹣4cos∠AOB）+sin∠AOB=sin ∠AOB﹣cos∠AOB=2sin（∠AOB﹣）∵0＜∠AOB＜π∴＜∠AOB﹣那么：＜2sin（∠AOB﹣）≤2∴OACB面积的取值范围是故答案为：三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个考题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17．（12分）在数列{a n}中，a1=1，．（Ⅰ）设，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（I）由已知有∴，又b1=a1=1，利用累差叠加即可求出数列{b n}的通项公式：∴（n∈N*）；（II）由（I）知，∴而，令①①×2得②①﹣②得==﹣2+（1﹣n）•2n+1∴．18．（12分）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∠PDC=90°，E为棱AP的中点，且AD⊥CE．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）当直线PB与底面ABCD成30°角时，求二面角B﹣CE﹣P的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AD的中点O，连OE，OC，CA，∵∠ABC=60°，∴△ACD为等边三角形，得AD⊥OC，又AD⊥CE，∴AD⊥平面COE，得AD⊥OE，又OE∥PD，∴AD⊥PD，又∠PDC=90°，∴PD⊥平面ABCD，又PD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OE⊥平面ABCD，AD⊥OC，以OC，OD，OE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设菱形ABCD的边长为2，则，，∵直线PB与底面ABCD成30°角，即∠PBD=30°，∴，∴，∴，设为平面BCE的一个法向量，则，令x 1=1，则，∴；设为平面PCE的一个法向量，则，令x2=1，则，∴．∴，由题可知二面角B﹣CE﹣P的平面角为钝角，二面角B﹣CE﹣P的余弦值为．19．（12分）为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，安徽省于2012年推出了省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2160度以下（含2160度），执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯电量：年用电量2161至4200度（含4200度），执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯电量：年用电量4200度以上，执行第三档电价0.8653元/度．某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如表：用户编号12345678910年用电1000126014001824218024232815332544114600量（度）（Ⅰ）试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元？（Ⅱ）现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（Ⅲ）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．【解答】解：（I）因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4600度，则该户本年度应交电费为：4600×0.5653+（4200﹣2160）×0.05+（4600﹣4200）×0.3=2822.38元．（II）设取到第二阶梯电量的用户数为X，可知第二阶梯电量的用户有4户，则X可取0，1，2，3，4．，，，，，故X的分布列是：X01234P所以．（III）由题意可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足X～B（10，），可知（k=0，1.2.3．…10），∵抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，∴，解得，∵k∈N*所以当k=4时，概率最大，所以k=4．20．（12分）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，离心率，O为坐标原点，圆与直线AB相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知四边形ABCD内接于椭圆E，AB∥DC．记直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，试问k1•k2是否为定值？证明你的结论．【解答】解：（I）直线AB的方程为+=1，即bx+ay﹣ab=0，由圆O与直线AB相切，得=，即=，①设椭圆的半焦距为c，则e==，∴=1﹣e2=，②由①②得a2=4，b2=1．故椭圆的标准方程为；（II）k1•k2=为定值，证明过程如下：由（I）得直线AB的方程为y=﹣x+1，故可设直线DC的方程为y=﹣x+m，显然m≠±1．设C（x1，y1），D（x2，y2）．联立消去y得x2﹣2mx+2m2﹣2=0，则△=8﹣4m2＞0，解得﹣＜m＜，且m≠±1，∴x1+x2=2m，x1x2=2m2﹣2．由，，则=，=，=，==．21．（12分）已知函数，函数g（x）=﹣2x+3．（Ⅰ）判断函数的单调性；（Ⅱ）若﹣2≤a≤﹣1时，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤t|g （x1）﹣g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．【解答】解：（I），其定义域为为（0，+∞），=．（1）当a≤0时，F'（x）≥0，函数y=F（x）在（0，+∞）上单调递增；（2）当a＞0时，令F'（x）＞0，解得；令F'（x）＜0，解得．故函数y=F（x）在上单调递增，在上单调递减．（II）由题意知t≥0.，当﹣2≤a≤﹣1时，函数y=f（x）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，又函数y=g（x）单调递减，所以原问题等价于：当﹣2≤a≤﹣1时，对任意1≤x1≤x2≤2，不等式f（x2）﹣f（x1）≤t[g（x1）﹣g（x2）]恒成立，即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意﹣2≤a≤﹣1，1≤x1≤x2≤2恒成立．记h（x）=f（x）+tg（x）=lnx﹣+（1﹣2t）x+3t，则h（x）在[1，2]上单调递减．得对任意a∈[﹣2，﹣1]，x∈[1，2]恒成立．令，a∈[﹣2，﹣1]，则2t≤0在x ∈（0，+∞）上恒成立．则2t﹣1≥（2x+）max，而y=2x+在[1，2]上单调递增，所以函数y=2x+在[1，2]上的最大值为．由2t﹣1，解得t．故实数t的最小值为．选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12，且直线l与曲线C交于P，Q两点．（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）把直线l与x轴的交点记为A，求|AP|•|AQ|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴直线l消去参数t，得直线l的普通方程为x﹣y﹣1=0，∵曲线C的极坐标方程为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12，∴曲线C的直角坐标方程为3x2+4y2=12．（II）解法一：在x﹣y﹣1=0中，令y=0，得x=1，则A（1，0），联立，消去y，得7x2﹣8x﹣8=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），其中x1＜x2，则有x1+x2=，x1x2=﹣．|AP|=|x1﹣1|=﹣（x1﹣1），|AQ|=|x2﹣1|=（x2﹣1），故|AP|•|AQ|=﹣2（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=．解法二：把，代入3x2+4y2=12，得14t2+6﹣9=0，则t1t2=﹣，则|AP|•|AQ|=（﹣2t1）•（2t2）=﹣4t1t2=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若函数f（x）≤5在x∈[1，4]上恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=0时，，当且仅当，即x=±2时等式成立，所以，当x=±2时，f（x）min=4．（Ⅱ）当x∈[1，4]时，函数f（x）的最大值为5⇔在x∈[1，4]上恒成立，⇔在x∈[1，4]上恒成立，⇔在x∈[1，4]上恒成立，⇔，且在x∈[1，4]上恒成立，函数在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增．∵，当且仅当x=2时等式成立，而在x∈[1，4]上是恒成立的．∴2m﹣5≤4∴，即实数m的取值范围是．。
安徽分类考试数学试题
√
3
1
A.
B.
2
2
6. 椭圆
√
C.
3
4
D.
3
4
6. A
7. 函数 () = sin(2 +
A.
2
)的最小正周期是
2
B.
C. 2
1
D. 4
第一章 安徽省分类考试文化素质测试试题
1.1 2018年安徽分类考试数学试题
7. B
8. 不等式| + 1| < 3的解集为
A. {| − 4 < < 2}
高中数学题库
2018 年 5 月 21 日
目录
第一章 安徽省分类考试文化素质测试
试题
1.1
1
I
2018年安徽分类考试数学试题
1
第一章
安徽省分类考试文化素质测试试题
1.1
2018年安徽分类考试数学试题
选择题（ 共30小题；每小题4分，满分120）
1. 已知集合 = {0，
3}， = {−2，0，
A. 1
则 (0) + (2) =
< 1，
B. 2
C. 3
D. 4
12. B
13. 若向量 = (1，2)，
= (−2，)，且 ，则 =
A. 4
C. −4
B. 1
D. −1
13. C
14. 设，，
∈ R，
且 > ，则下列结论正确的是
A. 2 > 2
B.
1
1
(2，3)两点的直线的斜率为
A. −3
C. −
B. 3
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2018年安徽分类考试数学（理科）模拟试题一【含答案】一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合{}A x R==∈，{}1,B m =，若A B ⊆，则m 的值为 （ ）A ．2B ．-2C ．-1或2D ．22．复数()(1)z a i i =+-，a R ∈，i 是虚数单位，若2z =，则a =（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．1±3. “二孩政策”的出台，给很多单位安排带来新的挑战，某单位为了更好安排下半年的工作，该单位领导想对本单位女职工做一个调研，已知该单位有女职工300人，其中年龄在40岁以上的有50人，年龄在[30，40]之间的有150人，30岁以下的有100人，现按照分层抽样取30人，则各年龄段抽取的人数分别为 （ ）A ．5，15，10B ．5，10，15C ．10，10，10D ．5，5，204．若将函数()3sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<图象上的每一个点都向左平移3π个单位，得到()y g x =的图象，若函数()y g x =是奇函数，则函数()y g x =的单调递增区间为（ ）A.[,]()44k k k Z ππππ-+∈ B.3[,]()44k k k Z ππππ++∈C.2[,]()36k k k Z ππππ--∈ D.5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为 （ ） A. 48里 B. 24里 C. 12里 D. 6里 6．执行如图所示的程序框图，如果输入0.1t =，则输出的n = （ ）A. 2B. 3C. 4D. 57．下列说法正确的是 （ ）A.“若1a >，则21a >”的否命题是“若1a >，则21a ≤”B.“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题 C.0(0,)x ∃∈+∞，使0034x x>成立D.“若1sin 2α≠，则6πα≠”是真命题8．四面体ABCD 的各条棱长都相等，E 为棱AD 的中点，过点A 作与平面BCE 平行的平面，该平面与平面ABC 、平面ACD 的交线分别为12,l l ，则12,l l 所成角的余弦值为（ ）A．3 B．3 C ． 13 D．29.已知函数()23x f x e x -=+-与()ln g x ax x=-，设{|()0x R f x α∈∈=，{|()0}x R g x β∈∈=，若存在,αβ，使得||1αβ-≤，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．ln 31[,]3e B ．ln 3[0,]3C ．1[0,]e D ．1[1,]e 10．已知数列{}n a 的前n 项和()36n n S n λ=--，若数列{}n a 单调递减，则λ的取值范围是（ ） A ．(),2-∞ B ．(),3-∞ C ． (),4-∞ D ．(),5-∞11．已知双曲线22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，以2OF 为直径作圆C ，再以1CF 为直 径作圆E ，两圆的交点恰好在已知的双曲线上，则该双曲线的离心率为 （ ）A． B． C．2 D．212．已知函数()2|log |02(4)24x x f x f x x <≤⎧=⎨-<<⎩，设方程()()1x f x t t R e -=∈的四个不等实根从小到大依次为1234,,,x x x x ，则下列判断中一定成立的是（ ）A ．1212x x += B ．1214x x <<C ．3449x x << D ．340(4)(4)4x x <--<二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分．13．已知231()2m =，4x n =，则4log m = ；满足log 1n m >的实数x 的取值范围是 ． 14．三棱锥A BCD -中，底面BCD ∆是边长为3的等边三角形，侧面三角形ACD ∆为等2AB =，则三棱锥A BCD -外接球表面积是__________．15.已知双曲线2222:1x y C a b -=的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若73FM FN =，则双曲线的渐近线方程为 .16．已知函数2ln )(bx x a x f -=，R b a ∈,．若不等式x x f ≥)(对所有的]0,(-∞∈b ，],(2e e x ∈都成立，则a 的取值范围是 .三、解答题 （本大题共7小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆的内角,,A B C 满足()2cos 4cos cos 1A C A C --=．（1）求角B ； （2）求cos cos A C +的取值范围．18．（本小题满分12分）“微信运动”已成为当下热门的运动方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了附：（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有人，超过10000步的有人，设，求的分布列及数学期望.19．（本小题满分12分）在等腰梯形ABCD 中，//,2,60AD BC BC AD ABC =∠=，将梯形ABCD 沿着AB 翻折至11ABC D （如图），使得平面ABCD 与平面11ABC D 垂直．（1）求证：1BC AC⊥； （2）求直线1DD 与平面1BCD 所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆：的离心率为，直线l ：y ＝2上的点和椭圆上的点的距离的最小值为1．（1）求椭圆的方程； （2A ，点B ，CA 的两点，且点B ，C 关于原点对称，直线AB ，AC 分别交直线l 于点E ，F ．记直线AC 与AB 的斜率分别为1k ， 2k ．① 求证： 12k k ⋅为定值； ② 求△CEF 的面积的最小值.21．（本小题满分12分）已知函数2()ln f x ax bx x =-+，a ，b ∈R ． （1）当b=2a+1时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当a=1，b>3时，记函数()f x 的导函数()f x '的两个零点分别是1x 和2x (1x <2x )，求证：12()()f x f x ->34−ln 2．选做题（本小题满分10分），请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2:sin 2cos (0)C a a ρθθ=>，过点P(－2，－4)的直线22:42x l y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，(t 为参数)与曲线C相交于,M N 两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若||,||,||PM MN PN 成等比数列，求实数a 的值．23.已知函数()|21||2|,()3f x x x a g x x =-++=+ （1）当2-=a 时，求不等式)()(x g x f <的解集；（2）设1->a ，且当⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈21,2a x 时，)()(x g x f ≤，求a 的取值范围．2018年安徽分类考试数学（理科）模拟试题一参考答案1-4:ADAB 5-8:CDDB 9-12:CADC 13．13-1(,0)3- 14．16π15. .210x y ±= 16. ),2[2+∞e三、解答题 17．解：（1）∵2c o s ()A C A C --=，∴2c o s c o A C A C +4c o s A C -=∴2cos()1A C -+=，1cos 2B =，3B π=（2）cos cos cos cosA C A +=+2()sin()36A A ππ-=+，∵2(0,3A π∈），1sin()(,1]62A π+∈，故cos cos A C +的取值范围为1(,1]218．解：（1）故没有95%以上的吧我认为二者有关（2）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为，超过10000步 的概率为，且当或时，；当或时，；当或时，；即的分布列为可得期望（1）证明，不妨设24BC AD ==，过A 作BC 垂线交BC 于E ，则AE =AC =12cos60AB ==，所以222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥，又因为平面ABCD 与平面11ABC D 垂直，所以AC ⊥平面11ABC D ，所以1BC AC⊥（2）建立如图坐标系，()0,0,0A ，()2,0,0B，()C，()D -，(1D -所以(10,DD =，()2,BC =-，(1BD =-设平面1BCD 的法向量为(),,n x y z =，则有2030x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取 ()3,1,3n =，126cos ,n DD <>=，直线1DD 与平面1BCD 所成角的正弦值为． 20.（1）2212x y +=（2）直线AC 的方程为11y k x =+，由得，解得，同理，因为B ，O，C 三点共线，则由，整理得()()1212210k k k k ++=，所以．②直线AC 的方程为11y k x =+，直线AB 的方程为21y k x =+，不妨设10k>，则20k <，令y ＝2，得，而，所以，△CEF 的面积．由得，则CEF S ∆，当且仅当取得等号，所以△CEF．21．【解析】（1）因为b=2a+1，所以()f x =2(21)ln ax a x x -++， 从而()f x '=12(21)ax a x -++=22(21)1(21)(1)ax a x ax x x x -++--=，x>0． 当a 0时，由()f x '>0得0<x<1，由()f x '<0得x>1，所以()f x 在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减．当0<a<12时，由()f x '>0得0<x<1或x>12a ，由()f x '<0得1<x <12a ， 所以()f x 在区间(0，1)和区间(12a ，+∞)上单调递增， 在区间(1，12a )上单调递减． 当a=12时，因为()f x '0(当且仅当x=1时取等号)，所以()f x 在区间(0，+∞)上单调递增．当a>12时，由()f x '>0得0<x<12a 或x>1，由()f x '<0得12a <x<1，所以()f x 在区间(0，12a )和区间(1，+∞)上单调递增，在区间(12a ，1)上单调递减．综上，当a 0时，()f x 在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，+∞)上单调递减；当0<a<12时，()f x 在区间(0，1)和区间(12a ，+∞)上单调递增，在区间(1，12a )上单调递减；当a=12时，()f x 在区间(0，+∞)上单调递增，无单调递减区间；当a>12时，()f x 在区间(0，12a )和区间(1，+∞)上单调递增，在区间(12a ，1)上单调递减．（2）解法一 因为a=1，所以()f x =2ln x bx x -+(x>0)，从而()f x '=221x bx x -+ ，由题意知1x ，2x 是方程221x bx -+=0的两个根，故1212x x =．记()g x =221x bx -+，因为b>3，所以1()2g =32b -<0，(1)g =3−b<0，所以1x ∈(0，12)，2x ∈(1，+∞)，且b 1x =221x +1，b 2x =222x +1，12()()f x f x -=(21x −22x )− (b 1x −b 2x )+12ln x x =− (21x −22x )+12ln x x ，因为1x 2x =12，所以12()()f x f x -=22x −2214x −ln(222x )，2x ∈(1，+∞)．令t =222x ∈(2，+∞)，()t ϕ=12()()f x f x -=1ln 22t t t --．因为当t >2时，()t ϕ'=22(1)2t t ->0，所以()t ϕ在区间(2，+∞)上单调递增，所以()t ϕ>(2)ϕ=34−ln 2，即12()()f x f x ->34−ln 2．解法二：因为a=1，所以()f x =2ln x bx x -+(x>0)，从而()f x '=221x bx x -+，由题意知1x ，2x 是方程221x bx -+=0的两个根，故1212x x =．记()g x =221x bx -+，因为b>3，所以1()2g =32b -<0，(1)g =3−b<0，所以1x ∈(0，12)，2x ∈(1，+∞)，且()f x 在(1x ，2x )上是减函数，所以12()()f x f x ->1()(1)2f f -)=(11ln 422b -+)−(1−b)=−34+2b −ln2， 因为b>3，所以12()()f x f x ->−34+2b −ln 2>34−ln2．（12分）22．解：(1)把cos ,sin x p y p θθ=⎧⎨=⎩代入ρsin2θ＝2acos θ，得y2＝2ax(a>0)，由24x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是y2＝2ax(a>0)，x －y －2＝0. (2)将24x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)代入y2＝2ax ，整理得t2－(4＋a)t ＋8(4＋a)＝0. 设t1，t2是该方程的两根，则t1＋t2＝(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)，∵|MN|2＝|PM|·|PN|，∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2，∴8(4＋a)2－4×8(4＋a)＝8(4＋a)，∴a ＝1.23.解：(1)当a ＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3， 则 15,212,1236,1x x y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图象如图所示．从图象可知，当且仅当x ∈(0，2)时，y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立．故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。