离散数学第7章ppt课件
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离散数学PPT课件
离散数学
1-6
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计算机与信息科学系
Department of Computer and Information Science
第七章 二元关系
7.1 有序对与笛卡儿积
由排列组合的知识不难证明： 如果|A| = m, |B| = n, 则|A B| = mn.
笛卡儿积运算具有以下性质: 1）对任意集合A, 根据定义有 A = , A = 2）一般地说, 笛卡儿积运算不满足交换律, 即 A B B A (当A B, A , B 时) 3）笛卡儿积运算不满足结合律, 即
(A B) C A (B C) (当A , B , C 时)
离散数学
1-4
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第七章 二元关系
例7.1 已知<x+2, 4> = <5, 2x+y>, 求x和y.
❖ 解 由有序对相等的充要条件有 x 2 5 2x y 4
第七章 二元关系
总体概述
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第七章 二元关系
7.1 有序对与笛卡儿积 7.2 二元关系 7.3 关系的运算 7.4 关系的性质 7.5 关系的闭包 7.6 等价关系与划分 7.7 偏序关系
离散数学课件
1 1 1 c a c b b d a c c b
0 ¬ 1
1 0
《离散数学》
page: 4
7.1 运算 7.1.2 运算 3)几个术语 ②运算封闭性
y z
y
z=x*y
x
x
2013年10月25日星期五
作为运算（函数）z自然应该在A中，但当 x,y取自A的子集B时，Z是否也在B中？
《离散数学》
page: 5
o a b zl c zl d zl o a b c d zr zr zr zr zr
zl zl
如，R上的普通除法中的0，普通乘法中的0，集合交， 并运算中的空集与全集 page: 19
2013年10月25日星期五
《离散数学》
7.1 运算 7.1.3 运算的特殊元素，逆元，消去律 ③零元 设o为S上的二元运算，若存在元素，∀x↔S，有 zlox=zl (xozr=zr) ， 则称 zl(zr)为左（右）零元。 若运算o既有左零元zl，又有右零元zr，则其左右零元 必相等且惟一，此时称为运算o的零元z。
2013年10月25日星期五
《离散数学》
page: 10
7.1 运算 7.1.2 运算的性质 ③分配律 设о和*为S上的二元运算，若有∀x,y,z↔S，都有: x*(yоz)=(x*y)о(x*z) (左分配) (yоz)*x=(y*x)о(z*x) (右分配) 则称运算*对о是可分配的(*对о满足分配律) 。 如，R上普通乘对加,减法满足分配律，但加,减法对乘 除法不满足分配律。
2013年10月25日星期五
《离散数学》
page: 7
7.1 运算 7.1.2 运算的性质 ①交换律 设о为S上的二元运算，若有∀x,y↔S，都有 xoy=yox， 则称运算о是可交换的（运算满足交换律）。 如，R上普通的加，乘法满足交换律，而减，除法不 满足交换律。
离散数学 群
定理7.1.4 任何一个循环半群（或含幺循环半群）都是可 交换半群（或含幺可交换半群）。 定理7.1.5 设<S, *>是一个半群，H 是S中任一元素的幂所 构成的集合，则<H,*>是<S, *>的子半群，且是个循环子 半群。 (该定理的证明自己练习)
5 半群同态
定义7.1.5 设U=<X,ο >和V=<Y, *>是两个半群，ο和*都是 二元运算，函数f：X→Y，若对任意的x,y∈X，有：
定理 群的运算表中每一行或每一列都是G中元素的双变换。 G中每个元素在每一行必出现且仅出现一次。
例 P198习题-18 若群<G,*>中每个元素的逆是其自身， 证该群是阿贝尔群。
证 只需证运算*可交换。 对任意的a,b∈G, a*b=a-1*b-1=(b*a)-1=b*a 故<G,*>是阿贝尔群。
= x*(a*b) 故 a*b∈C; ② 可逆性：若a∈C, 证a-1∈C。明显e∈C，对任x∈G，
a-1*x = a-1*x*a* a-1 = a-1*(x*a)* a-1 = a-1*(a*x)* a-1 = (a-1*a)*x* a-1 = x* a-1
故 a-1∈C;因此C是G的子群。 （习题-25与之类似）
阿贝尔群 设<G，*>是一个群，若*是可交换的, 则称 群 <G，*>为可交换群或阿贝尔群。
例 <R，×>不是群；而 <R-{0}，×>是群。
例 7.2.1 <I，+>是阿贝尔群。
例 7.2.2 G={α，β，γ，δ}，验证<G，*>是群。
可验证运算*是可结合的， * α β γ
δ
5 半群同态
定义7.1.5 设U=<X,ο >和V=<Y, *>是两个半群，ο和*都是 二元运算，函数f：X→Y，若对任意的x,y∈X，有：
定理 群的运算表中每一行或每一列都是G中元素的双变换。 G中每个元素在每一行必出现且仅出现一次。
例 P198习题-18 若群<G,*>中每个元素的逆是其自身， 证该群是阿贝尔群。
证 只需证运算*可交换。 对任意的a,b∈G, a*b=a-1*b-1=(b*a)-1=b*a 故<G,*>是阿贝尔群。
= x*(a*b) 故 a*b∈C; ② 可逆性：若a∈C, 证a-1∈C。明显e∈C，对任x∈G，
a-1*x = a-1*x*a* a-1 = a-1*(x*a)* a-1 = a-1*(a*x)* a-1 = (a-1*a)*x* a-1 = x* a-1
故 a-1∈C;因此C是G的子群。 （习题-25与之类似）
阿贝尔群 设<G，*>是一个群，若*是可交换的, 则称 群 <G，*>为可交换群或阿贝尔群。
例 <R，×>不是群；而 <R-{0}，×>是群。
例 7.2.1 <I，+>是阿贝尔群。
例 7.2.2 G={α，β，γ，δ}，验证<G，*>是群。
可验证运算*是可结合的， * α β γ
δ
离散数学7-树
(b)
(a)
V5
2
1
V7
8
9
V2
V4
2
3
V8
5
V1
V1
V4
V5
1
3
V7
V6
8
V4
2
V8
5
6
V1
1
V5
6
V7
V6
8
3
V8
5
6
V7
9
V3
(e)
V3
(f)
(g)
22
V2
V3
(h)
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
23
五.应用举例——求最小生成树
例3 用管梅谷算法求下图的最小生成树。
成圈。
首先证明T无简单回路。对n作归纳证明。
(i) n=1时,m=n-1=0,显然无简单回路；
(ii)假设顶点数为n-1时无简单回路，现考察顶点数是n的情况：此时至少有一
个顶点v其次数d(v)=1。因为若n个顶点的次数都大于等于2，则不少于n条边，但这与
m=n-1矛盾。
删去v及其关联边得到新图T’，根据归纳假设T’无简单回路，再加回v及其关联
边又得到图T，则T也无简单回路。
再由图的连通性可知，加入任何一边后就会形成圈，且只有一个圈，否则原图
中会含圈。
9
二. 基本定理——证明
证明(4):(3)(4)，即证一个无圈图若加入任一边就形成圈，
则该图连通，且其任何一边都是桥。
若图不连通,则存在两个顶点vi和vj，在vi和vj之间没有路，若
加边(vi,vj)不会产生简单回路，但这与假设矛盾。由于T无简单回
《离散数学》课件-第七章 图的基本概念
• 〔u，v〕∈E1〔f(u)，f(v)〕∈E2 • (或<u，v>∈E1 <f(u)，f(v)>∈E2) • 且重数相同，则称G1同构于G2，记为
• G1 G2。
• 显然，两图的同构是相互的，即G1同构 于G2，G2同构于G1。
• 由同构的定义可知，不仅结点之间要具 有一一对应关系，而且要求这种对应关 系保持结点间的邻接关系。对于有向图 的同构还要求保持边的方向。
V={a,b,c,d},E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}
e1=(a,b), e2=(a,c), e3=(b,d), e4=(b,c), e5=(d,c), e6=(a,d).
它的图形如下图(a)或(b)所示:
a
a
b
d
b
d
c
c
(a)
(b)
如果有些边是有向边，另一些边是无向边， 图G称为混合图。
第七章 图的基本概念
– 7.1 无向图及有向图 – 7.2 通路、回路、图的连通性 – 7.3 图的矩阵表示 – 7.4 最短路径及关健路径
7.1 无向图和有向图
• 什么是图?可用一句话概括，即：图是用 点和线来刻划离散事物集合中的每对事 物间以某种方式相联系的数学模型。
Konigsberg(哥尼斯堡)七桥问题
为偶数.
定理7.2 在任何有向图中,所有结点的入度之 和必等于它们的出度之和.
证明:因为有向图中的每一条有向边都恰好对应 一个出度和一个入度.故所有结点的出度之 和恰好等于有向边的总数.同样地, 所有结 点的入度之和恰好也等于有向边的总数.因 此它们相等.
设V={v1,…,vn}为G的顶点集，则称{d(v1),…d(vn)} 为G的度数序列。
• 如果G2无孤立结点，且由E2所唯一确定，即 以E2为边集，以E2中边关联的结点全体为顶 点集，则称G2是边集E2的导出子图。
• G1 G2。
• 显然，两图的同构是相互的，即G1同构 于G2，G2同构于G1。
• 由同构的定义可知，不仅结点之间要具 有一一对应关系，而且要求这种对应关 系保持结点间的邻接关系。对于有向图 的同构还要求保持边的方向。
V={a,b,c,d},E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}
e1=(a,b), e2=(a,c), e3=(b,d), e4=(b,c), e5=(d,c), e6=(a,d).
它的图形如下图(a)或(b)所示:
a
a
b
d
b
d
c
c
(a)
(b)
如果有些边是有向边，另一些边是无向边， 图G称为混合图。
第七章 图的基本概念
– 7.1 无向图及有向图 – 7.2 通路、回路、图的连通性 – 7.3 图的矩阵表示 – 7.4 最短路径及关健路径
7.1 无向图和有向图
• 什么是图?可用一句话概括，即：图是用 点和线来刻划离散事物集合中的每对事 物间以某种方式相联系的数学模型。
Konigsberg(哥尼斯堡)七桥问题
为偶数.
定理7.2 在任何有向图中,所有结点的入度之 和必等于它们的出度之和.
证明:因为有向图中的每一条有向边都恰好对应 一个出度和一个入度.故所有结点的出度之 和恰好等于有向边的总数.同样地, 所有结 点的入度之和恰好也等于有向边的总数.因 此它们相等.
设V={v1,…,vn}为G的顶点集，则称{d(v1),…d(vn)} 为G的度数序列。
• 如果G2无孤立结点，且由E2所唯一确定，即 以E2为边集，以E2中边关联的结点全体为顶 点集，则称G2是边集E2的导出子图。
离散数学第7章群、环和域
所以，(x∗y)∗z=x∗(y∗z)，故<R,*>是一个半群。 7.1.2 独异点 定义7.1.3 设G,*是半群，如果运算*的单位元eG，
则称半群G,*为含幺半群或独异点。
第7章 群、环和域
若G,*为独异点，且*是可交换的，则称G,*为可换 的独异点。
例如，设A是任一集合，P (A)是A的幂集合。集合并运算 ∪在P (A)上是封闭的，并运算∪的单位元P (A)，所以半 群<P (A),∪>是独异点；交运算∩在P (A)上也是封闭的，交运 算∩的单位元AP (A)，所以半群<P (A),∩>也是独异点。显
第7章 群、环和域
⑴ (a–1)–1=a ⑵ a*b有逆元，且(a*b)–1=b–1*a–1 证明：⑴ 因a*a–1=a–1*a =e，故(a–1)–1=a ⑵ 因(a*b)*(b–1* a–1)=(a*(b*b–1)*a–1
=a*e*a–1=a*a–1=e 又
(b–1* a–1)*(a*b)=(b–1*a–1)*(a*b) =b–1*(a–1*a)*b=b–1*e*b=b–1*b=e
第7章 群、环和域
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第7章 群、环和域
第7章 群、环和域
7.1半群和独异点
7.1.1广群和半群 代数系统<S,*>又称为广群。 定义7.1.1 设<S,*>是代数系统，*是S上的二元运算，如 果*满足结合律，则称代数系统<S,*>为半群。
例如，代数系统<I,＋>、R,·、<P(a),∪>、<P(a),∩>、
则称该群为阿贝尔(Abel)群，或称可交换群。 整数加法群I,＋中的加法运算是可交换的，所以，整
数加法群是阿贝尔群，群R-0,·中的乘法运算也是可交 换的，所以，R-0,·也是阿贝尔群。
则称半群G,*为含幺半群或独异点。
第7章 群、环和域
若G,*为独异点，且*是可交换的，则称G,*为可换 的独异点。
例如，设A是任一集合，P (A)是A的幂集合。集合并运算 ∪在P (A)上是封闭的，并运算∪的单位元P (A)，所以半 群<P (A),∪>是独异点；交运算∩在P (A)上也是封闭的，交运 算∩的单位元AP (A)，所以半群<P (A),∩>也是独异点。显
第7章 群、环和域
⑴ (a–1)–1=a ⑵ a*b有逆元，且(a*b)–1=b–1*a–1 证明：⑴ 因a*a–1=a–1*a =e，故(a–1)–1=a ⑵ 因(a*b)*(b–1* a–1)=(a*(b*b–1)*a–1
=a*e*a–1=a*a–1=e 又
(b–1* a–1)*(a*b)=(b–1*a–1)*(a*b) =b–1*(a–1*a)*b=b–1*e*b=b–1*b=e
第7章 群、环和域
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第7章 群、环和域
第7章 群、环和域
7.1半群和独异点
7.1.1广群和半群 代数系统<S,*>又称为广群。 定义7.1.1 设<S,*>是代数系统，*是S上的二元运算，如 果*满足结合律，则称代数系统<S,*>为半群。
例如，代数系统<I,＋>、R,·、<P(a),∪>、<P(a),∩>、
则称该群为阿贝尔(Abel)群，或称可交换群。 整数加法群I,＋中的加法运算是可交换的，所以，整
数加法群是阿贝尔群，群R-0,·中的乘法运算也是可交 换的，所以，R-0,·也是阿贝尔群。
离散数学第7章PPT课件
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
第38页/共94页
例1、(2)
图(2)中过v2的回路 (从 v2 到 v2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
第34页/共94页
一、通路，回路。 2、简单通路，简单回路。 简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
第35页/共94页
一、通路，回路。 3、初级通路，初级回路。 初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)，
但反之不真。
4、通路，回路的长度—— 中边的数目。
补图的概念， 5、图的同构的定义。
第4页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
无序积 A & B (a,b) a A b B
无向图 G V , E
E V &V ， E 中元素为无向边，简称边。
有向图 D V, E
E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
第5页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
2、握手定理。
定理1： 设图 G V , E 为无向图或有向图，
V v1,v1,
则
,vn，E m ( m为边数)，
n
d (vi ) 2m
i 1
第20页/共94页
n
2、握手定理 d (vi ) 2m i 1
推论：任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
定理2： 设D V, E 为有向图，
第36页/共94页
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
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例1、(2)
图(2)中过v2的回路 (从 v2 到 v2 )有：
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
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一、通路，回路。 2、简单通路，简单回路。 简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
第35页/共94页
一、通路，回路。 3、初级通路，初级回路。 初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)，
但反之不真。
4、通路，回路的长度—— 中边的数目。
补图的概念， 5、图的同构的定义。
第4页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
无序积 A & B (a,b) a A b B
无向图 G V , E
E V &V ， E 中元素为无向边，简称边。
有向图 D V, E
E V V ， E 中元素为有向边，简称边。
第5页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
2、握手定理。
定理1： 设图 G V , E 为无向图或有向图，
V v1,v1,
则
,vn，E m ( m为边数)，
n
d (vi ) 2m
i 1
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n
2、握手定理 d (vi ) 2m i 1
推论：任何图中，度为奇数的顶点个数为偶数。
定理2： 设D V, E 为有向图，
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左孝凌离散数学ppt课件
第七章 图论 7.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点都是邻接的简单图称为
完全图。n个结点的无向完全图记为Kn。
图7.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。容易证明Kn有条边。
n(n 1) 2
图7.1.5K3与K4示意图
图7.1.6
第七章 图论 7.1 图的基本概念
一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.2】设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 。
1)若e1，e2，…，ek都不相同， 则称路μ为迹；
2)若v0，v1，…，vk都不相同， 则称路μ为通路；
3)长度大于２的闭的通路（即 除v0＝vk外，其余结点均不相同的 路）μ称作圈。
图7.1.1
第七章 图论
7.2 路与回路
例如在图7.2.1中，有连接v5 到v3的路v5e8v4e5v2e6v5e7v3，这 也是一条迹；路v1e1v2e3v3是一 条通路；路v1e1v2e3v3e4v2e1v1是 一条回路，但不是圈；路 v1e1v2e3v3e2v1是一条回路，也是 圈。
定 义 7.2.1 给 定 图 G ＝ 〈V,E〉, 设 v0,v1,…,vk∈V ， e1 ， e2，…，ek∈E，其中ei是关联于结点vi-1和vi的边，称 交替序列v0e1v1e2…ekvk为连接v0到vk的路，v0和vk分别 称为路的起点与终点。路中边的数目k称作路的长度。 当v0=vk时,这条路称为回路。
《离散数学》课件-第七章 图(A)
d
e6e3
b
e7
e5
c
14
握手定理
• 定理7.1.1 设图G=(V, E)为无向图或有向图，G有n个结点 v1,v2,…,vn，e条边(无向或有向), 则图G中所有结点的度数 之和为边数的两倍，即
n
d (vi ) 2e
i 1
• 证 图中每条边(包括环)均有两个端点, 所以在计算各顶点 • 度数之和时, 每条边均提供2度, m条边共提供2m度.
（1）（5,5,4,4,2,1）
（2）（5,4,3,2,2）
（3）（3,3,2,2,1,1） （4）(d1, d2 , , dn ), d1 d2
n
dn 1且 di为偶数 i 1
解 （1）根据握手定理的推论可知，不是图的结点度数序列，因为有 3个奇数。 （2）中有5个数，最大数是5，根据定理7.1.3，它不是简单图的结 点序列。
K5
正则图
• 根据握手定理，n阶k-正则图的边数 m nk。
2
• 当k为奇数时，n为偶数。 • 当k=0时，0-正则图就是n阶零图。 • n阶无向完全图是(n-1)-正则图。
环图和轮图
定义7.1.12 如果图G =（V，E）的结点集V={v1，v2，vn} （n3），边集E={（v1，v2），（v2，v3），（ vn-1，vn）， （vn，v1）}，则称G为环图，记为Cn。下图是C3,C4 ,C5 ,C6。
19
实例
• 例4 证明不存在具有奇数个面且每个面都具有奇数条棱的 • 多面体.
证 用反证法. 假设存在这样的多面体, 作无向图G=<V,E>, 其中 V={v | v为多面体的面},
E={(u,v) | u,vV u与v有公共的棱 uv}. 根据假设, |V|为奇数且vV, d(v)为奇数. 这与握手定理的 推论矛盾.
清华版离散数学ppt课件第七章图的基本概念_2
第四部分 图论
图论起源于 1736 年欧拉（Euler，1707-1783，写下 886 篇论文和书 籍）发表的解决“哥尼斯堡七桥问题”的第一篇图论论文，但在其后的 100 年，图论未得到发展。直到 1852 年格斯里（Gathrie）提出的“四色 问题”和 1859 年哈密尔顿（Hamilton）提出的“哈密尔顿回路问题” ， 成为图论中两个最重要的问题，1936 年，科尼格（Konig）出版了第一本 图论书籍。图论应用非常广泛，特别是厄多斯（1913-1996，数学奇人， 一生发表 1475 篇高水平论文）首先研究的随机图在复杂网络上的应用。 图论的内容非常丰富，我们只介绍基本的理论和概念。
第一节 无向图及有向图
一、无向图与有向图的定义 1． 无向图的定义 定义 1 无向图 G = <V,E>, 其中 （1）V 为顶点集，元素称为顶点 （2）E 为 VV 的多重子集，其元素称为无向边，简称 边 例：设 V = {v2, v2, …,v5 }, E = {(v1,v1), (v1 ,v2), (v2,v3), (v2 ,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} 则 G = <V,E>为一无向图，用图 1 表示 G
3．关于无向图和有向图诸多定义或表示 （1）图 ① 可用 G 泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n 阶图-------- |V|=n （2）有限图：V,E 都是有限集合 （3）n 阶零图：E=；平凡图：E=，|V|=1； （4）空图—— （5）用 ek 表示无向边或有向边，连接边的两个顶点称为端点
2. 图论基本定理——握手定理 定理 1 设 G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
图论起源于 1736 年欧拉（Euler，1707-1783，写下 886 篇论文和书 籍）发表的解决“哥尼斯堡七桥问题”的第一篇图论论文，但在其后的 100 年，图论未得到发展。直到 1852 年格斯里（Gathrie）提出的“四色 问题”和 1859 年哈密尔顿（Hamilton）提出的“哈密尔顿回路问题” ， 成为图论中两个最重要的问题，1936 年，科尼格（Konig）出版了第一本 图论书籍。图论应用非常广泛，特别是厄多斯（1913-1996，数学奇人， 一生发表 1475 篇高水平论文）首先研究的随机图在复杂网络上的应用。 图论的内容非常丰富，我们只介绍基本的理论和概念。
第一节 无向图及有向图
一、无向图与有向图的定义 1． 无向图的定义 定义 1 无向图 G = <V,E>, 其中 （1）V 为顶点集，元素称为顶点 （2）E 为 VV 的多重子集，其元素称为无向边，简称 边 例：设 V = {v2, v2, …,v5 }, E = {(v1,v1), (v1 ,v2), (v2,v3), (v2 ,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} 则 G = <V,E>为一无向图，用图 1 表示 G
3．关于无向图和有向图诸多定义或表示 （1）图 ① 可用 G 泛指图（无向的或有向的） ② V(G), E(G), V(D), E(D) ③ n 阶图-------- |V|=n （2）有限图：V,E 都是有限集合 （3）n 阶零图：E=；平凡图：E=，|V|=1； （4）空图—— （5）用 ek 表示无向边或有向边，连接边的两个顶点称为端点
2. 图论基本定理——握手定理 定理 1 设 G=<V,E>为任意无向图，V={v1,v2,…,vn}, |E|=m, 则
离散数学-第七章-图论
5
离 例1、G1=<V,E>
散 数
V＝{v0, v1, v2,v3}
学 E＝{(v0,v2),(v0,v3),(v1,v2),(v1,v3),(v2，v3)}
v0
v3
v1
第
七
章
v2
图
论
4/24/2020 2:55 PM
G1
6
离 例2、
散 数 学
G2=<V,E> V＝{v0, v1, v2,v3}
中的所有边，称为删除E´ 。
(2)设vV，用G-v表示从G中去掉v及所关联的 一切边，称为删除结点v；又设V´ V，用G-V´ 表示从G中删除V´中所有结点，称为删除V´ 。
学 u,v之间存在路，则称u,v是连通的，记作uv 。
定义2.3 设无向图Ｇ是平凡图或G中任何两个结 点都是连通的，则称G为连通图，否则称G为非连 通图或分离图。
第
任意一个连通无向图的任两个不同结
七 点都存在一条通路。
章
图
论
4/24/2020 2:55 PM
38
离
非连通图Ｇ可分为几个不相连通的子图，
七 章
边，构成一个无向重图，问题化为图论中简单道路
的问题。
图
论
4/24/2020 2:55 PM
3
离 一、图的基本概念
散 数 学
旧金山
丹佛
洛杉矶
第 七 章
图
论
4/24/2020 2:55 PM
底特律
芝加哥
纽约 华盛顿
4
离
散 设A、B是两个集合，称
数
学
A&B={{a,b}|aA, bB}
离散数学 第7章 图论
v2 v3
v4
v3
(b) 图G
v3 (c) 图G’
(a) 完全图K5
图G是图G’ 相对于图K5的补图。 图G’不是图G 相对于图K5的补图。（图G’中有结点v5 ）
例：276页图7-1.7 图(c)是图(b)相对于图(a)的补图。 图(b)不是图(c)相对于图(a)的补图。
25
7-1
图的同构
图的基本概念
8
7-1
图的基本概念
1.无向图：每条边均为无向边的图称为无向图。 2.有向图：每条边均为有向边的图称为有向图。 3.混合图：有些边是无向边，有些边是有向边的图称 为混合图。
v1 (孤立点) v5 V1’
v1 v2
v2
v4 v3 (a)无向图
V2’
V3’ (b)有向图 V4’
v4 v3 ( c ) 混合图
17
7-1
图的基本概念
三、特殊的图
定义4 含有平行边的图称为多重图。 不含平行边和环的图称为简单图。
定义5 简单图G=<V，E>中，若每一对结点间均有边 相连，则称该图为完全图。
无向完全图：每一条边都是无向边 不含有平行边和环 每一对结点间都有边相连
有n个结点的无向完全图记为Kn。
18
7-1
图的基本概念
推论 在一个具有n个结点的图中，如果从结点vj 到结点vk存在一条路，则从结点vj到结点vk 必存在一条边数小于n的通路。
32
7-2
路与回路
定理7-2.1的证明 如果从结点vj到vk存在一条路，该路上的结点序列 是vj…vi…vk，如果在这条中有l条边，则序列中必有 l+1个结点，若l>n-1，则必有结点vs，它在序列中不止 出现一次，即必有结点序列vj…vs…vs…vk，在路中去 掉从vs到vs的这些边，仍是vj到vk的一条路，但此路比 原来的路边数要少，如此重复进行下去，必可得到一 条从vj到vk的不多于n-1条边的路。
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第七章 二元关系
主要内容 有序对与笛卡儿积 二元关系的定义与表示法 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系
.
1
7.1 有序对与笛卡儿积
定义7.1 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的二元组 称为有序对，记作<x,y>. 有序对性质: (1) 有序性 <x,y><y,x> （当xy时） (2) <x,y>与<u,v>相等的充分必要条件是
.
5
实例
例2 (1) 证明A=B,C=D AC=BD (2) AC = BD是否推出 A=B,C=D? 为什么？
解 (1) 任取<x,y> <x,y>AC
xAyC xByD <x,y>BD (2) 不一定.反例如下： A={1}，B={2}, C = D = , 则AC = BD但是A B.
类似的还可以定义：
大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等.
.
10
关系的表示
1. 关系矩阵
若A={x1, x2, …, xm}，B={y1, y2, …, yn}，R是从A到B的 关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] mn, 其中
2. 关系图
rij = 1 < xi, yj> R.
<x,y>=<u,v> x=uy=v.
.
2
笛卡儿积
定义7.2 设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作AB，且 AB = {<x,y>| xAyB}.
例1 A={1,2,3}, B={a,b,c} AB ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,<3,a>,<3,b>,<3,c>} BA ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,<a,3>,<b,3>,<c,3>} A={}, B= P(A)A = {<,>, <{},>} P(A)B =
若A= {x1, x2, …, xm}，R是从A上的关系，R的关系图是 GR=<A, R>, 其中A为结点集，R为边集. 如果<xi,xj>属于
关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边.
注意：
关系矩阵适合表示从A到B的关系或A上的关系（A,B为有 穷集）
关系图适合表示有穷集A上的关系
.
.
6
7.2 二元关系
定义7.3 如果一个集合满足以下条件之一： (1) 集合非空, 且它的元素都是有序对 (2) 集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如果<x,y>∈R, 可记作xRy；如果<x,y>R, 则记作x y
实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写1R2, aRb, a c等.
.
7
A到B的关系与A上的关系
定义7.4 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A 到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.
例3 A={0,1}, B={1,2,3}, 那么
R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=, R4={<0,1>} R1, R2, R3, R4是从 A 到 B 的二元关系, R3 和 R4 也是A上的二元关系.
恒等关系 IA = {<x,x>| x∈A} 小于等于关系 LA = {<x,y>| x,y∈A∧x≤y}, A为实数子集 整除关系 DB = {<x,y>| x,y∈B∧x整除y}, A为非0整数子集 包含关系 R = {<x,y>| x,y∈A∧xy}, A是集合族.
.
9
实例
例如, A={1, 2}, 则 EA = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA = {<1,1>,<2,2>}
例如 A = {1, 2, 3}, B={a, b}, 则 LA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
例如 A = P(B) = {,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关系是 R = {<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}
11
实例
例4 A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, R的关系矩阵MR和关系图GR如下：
1 1 0 0
R
0 0
0 0
1 0
1
0
0
1
0
0
.
12
7.3 关系的运算
关系的基本运算 定义7.6 关系的定义域、值域与域分别定义为
domR = { x | y (<x,y>R) } ranR = { y | x (<x,y>R) } fldR = domR ranR
(4) 若 A 或 B 中有一个为空集，则 AB 就是空集. A = B =
(5) 若 |A| = m, |B| = n, 则 |AB| = mn
.
4
性质证明
证明 A(BC) = (AB)(AC)
证 任取<x,y> <x,y>∈A×(B∪C)
x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C) 所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
.
3
笛卡儿积的性质
(1) 不适合交换律 AB BA (AB, A, B)
(2) 不适合结合律 (AB)C A(BC) (A, B, C)
(3) 对于并或交运算满足分配律 A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA) A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA)
计数: |A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有个. 所以 A上有2 n 2
个不同的二元关系.
例如 |A| = 3, 则 A上有=512个不同的二元关系.
.
8
A上重要关系的实例
定义7.5 设 A 为集合, (1) 是A上的关系，称为空关系 (2) 全域关系 EA = {<x,y>| x∈A∧y∈A} = A×A
主要内容 有序对与笛卡儿积 二元关系的定义与表示法 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系
.
1
7.1 有序对与笛卡儿积
定义7.1 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的二元组 称为有序对，记作<x,y>. 有序对性质: (1) 有序性 <x,y><y,x> （当xy时） (2) <x,y>与<u,v>相等的充分必要条件是
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5
实例
例2 (1) 证明A=B,C=D AC=BD (2) AC = BD是否推出 A=B,C=D? 为什么？
解 (1) 任取<x,y> <x,y>AC
xAyC xByD <x,y>BD (2) 不一定.反例如下： A={1}，B={2}, C = D = , 则AC = BD但是A B.
类似的还可以定义：
大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等.
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关系的表示
1. 关系矩阵
若A={x1, x2, …, xm}，B={y1, y2, …, yn}，R是从A到B的 关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] mn, 其中
2. 关系图
rij = 1 < xi, yj> R.
<x,y>=<u,v> x=uy=v.
.
2
笛卡儿积
定义7.2 设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作AB，且 AB = {<x,y>| xAyB}.
例1 A={1,2,3}, B={a,b,c} AB ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,<3,a>,<3,b>,<3,c>} BA ={<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,<a,3>,<b,3>,<c,3>} A={}, B= P(A)A = {<,>, <{},>} P(A)B =
若A= {x1, x2, …, xm}，R是从A上的关系，R的关系图是 GR=<A, R>, 其中A为结点集，R为边集. 如果<xi,xj>属于
关系R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边.
注意：
关系矩阵适合表示从A到B的关系或A上的关系（A,B为有 穷集）
关系图适合表示有穷集A上的关系
.
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6
7.2 二元关系
定义7.3 如果一个集合满足以下条件之一： (1) 集合非空, 且它的元素都是有序对 (2) 集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如果<x,y>∈R, 可记作xRy；如果<x,y>R, 则记作x y
实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写1R2, aRb, a c等.
.
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A到B的关系与A上的关系
定义7.4 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A 到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.
例3 A={0,1}, B={1,2,3}, 那么
R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=, R4={<0,1>} R1, R2, R3, R4是从 A 到 B 的二元关系, R3 和 R4 也是A上的二元关系.
恒等关系 IA = {<x,x>| x∈A} 小于等于关系 LA = {<x,y>| x,y∈A∧x≤y}, A为实数子集 整除关系 DB = {<x,y>| x,y∈B∧x整除y}, A为非0整数子集 包含关系 R = {<x,y>| x,y∈A∧xy}, A是集合族.
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实例
例如, A={1, 2}, 则 EA = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA = {<1,1>,<2,2>}
例如 A = {1, 2, 3}, B={a, b}, 则 LA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
例如 A = P(B) = {,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关系是 R = {<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>, <{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}
11
实例
例4 A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, R的关系矩阵MR和关系图GR如下：
1 1 0 0
R
0 0
0 0
1 0
1
0
0
1
0
0
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7.3 关系的运算
关系的基本运算 定义7.6 关系的定义域、值域与域分别定义为
domR = { x | y (<x,y>R) } ranR = { y | x (<x,y>R) } fldR = domR ranR
(4) 若 A 或 B 中有一个为空集，则 AB 就是空集. A = B =
(5) 若 |A| = m, |B| = n, 则 |AB| = mn
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4
性质证明
证明 A(BC) = (AB)(AC)
证 任取<x,y> <x,y>∈A×(B∪C)
x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(y∈B∨y∈C) (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C) 所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
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3
笛卡儿积的性质
(1) 不适合交换律 AB BA (AB, A, B)
(2) 不适合结合律 (AB)C A(BC) (A, B, C)
(3) 对于并或交运算满足分配律 A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA) A(BC) = (AB)(AC) (BC)A = (BA)(CA)
计数: |A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有个. 所以 A上有2 n 2
个不同的二元关系.
例如 |A| = 3, 则 A上有=512个不同的二元关系.
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8
A上重要关系的实例
定义7.5 设 A 为集合, (1) 是A上的关系，称为空关系 (2) 全域关系 EA = {<x,y>| x∈A∧y∈A} = A×A