同步电机实用四阶模型

附录Ⅲ 同步电机实用四阶模型

当同步电机在q 轴转子上要计及和瞬变过程对应的g 绕组，但d 轴、q 轴转子仍忽略与超瞬变过程对应的D 绕组、Q 绕组时，则三阶实用模型将增阶为四阶实用模型。其导出过程与三阶实用模型相似，只是增加了一个q 轴转子的g 绕组。下面进行推导。

1. 等效实用变量引入

除三阶实用模型中所定义的励磁电动势f E 、q 轴空载电动势q E 及q 轴瞬变电动势q

E '外，还需定义以下两个新的实用变量：

g i 所对应的d 轴电动势

g aq d i X E -= （Ⅲ-1)

g Ψ所对应的d 轴电动势

g g aq d ΨX X E -=' （Ⅲ-2）

d E '又称为d 轴瞬变电动势，或“q X '后面的电动势”。d E 和d

E '定义式中的负号是由于定子d 绕组电压方程中的速度电动势项－ωq Ψ中的负号引起的，即q 轴的正磁链，由于转子的旋转，在定子等值d 绕组中引起负值的速度电动势。

在稳态时，0d E =0(因为g 绕组端口短路，稳态时g i =0)。暂态时，由于忽略定子暂态，设定子电压方程中p d Ψ=p q Ψ

=0，q i 要发生突变，故g i 也要发生突变，从而使g 绕组的磁链g Ψ不突变(因考虑到g 绕组的暂态)，因此暂态中和g i 成比例的d E 也要发生突变。

在暂态中，和g Ψ成比例的d E '是不突变的，其暂态初值可根据稳态值而定。

0d

E '可用下式计算，证明见后面推导。 0000q q d a d d

i X i r u E '-+=' （Ⅲ-3) 式中，g aq q g aq q X X X X X X X 211//-=+='为q 轴瞬变电抗。

由式(Ⅲ-3)可知，将0d

E '称为“q X '后面的电动势”的物理背景。 2. 消去q Ψ及g i (d E )用的表达式导出

四阶实用模型与三阶实用模型在d 轴上结构相同，故消去d Ψ及f i (q E )用的表达式不变，仍为

⎩⎨⎧'-'='-+'=d d q d

d d d q q i X E Ψi X X E E )( （Ⅲ-4） 消去q Ψ及q i (d E )的表达式推导如下，由q 轴磁链方程有

⎩⎨⎧+-=+-=g g q aq g

g aq q q q i X i X Ψi X i X Ψ （Ⅲ-5） 对式(Ⅲ-5)之第二式，二边乘以g aq X X -

，由式(Ⅲ-2)可知 d

E '=g aq X X 2g i +d E （Ⅲ-6） 由于g aq q q X X X X 2-='，将之代入式(Ⅲ-6)，可整理得

q q q d

d i X X E E )('--'= （Ⅲ-7) 此即消去g i (d E )用的表达式。

将式(Ⅲ-7)代入式(Ⅲ-5)之第一式，因g aq d i X E -=，得

q q d q i X E Ψ'-'-= （Ⅲ-8)

上式即消去q Ψ所用表达式。

3. 对派克方程进行改造

对定子电压方程，令p d Ψ=p q Ψ=0，ω=1，得

⎩⎨⎧-=--=q

a d q d a q d i r Ψu i r Ψu 将式(Ⅲ-4)及式(Ⅲ-8)代入上式，消去d Ψ和q Ψ

得四阶模型中的定子电压方程为 ⎩⎨⎧-'-'=-'+'=q a d d q q

d a q q d d i r i X E u i r i X E u ` （Ⅲ-9） 转子绕组电压方程

f f f f i r u p Ψ-=

与三阶模型推导过程完全相同，将上式二边乘以f f f ad r X X X ⋅，用由于f

f d r X T ='0，及d E '=f

ad X X f Ψ，可得 d d d q f q f q

d i X X E E E E E p T )(0'--'-=-='' （Ⅲ-10) 转子g 绕组方程为(0=g u )

p g Ψ=－g r g i （Ⅲ-11) 上式两边乘以－g g g aq r X X X ⋅，由于g

g q r X T ='0为q 轴开路瞬变时间常数，以及d E '=－g aq

X X g Ψ，故式(Ⅲ-11)化为

q q q d d d

q i X X E E E p T )(0'-+'-=-='' （Ⅲ-12） 对于转子运动方程

)(d q q d m e m J i Ψi ΨT T T dt

d T --=-=ω 将d Ψ和q Ψ

消去，可得转子运动方程为 ])([q d q d d d q q m J

i i X X i E i E T dt

d T '-'-''+'-=ω （Ⅲ-13) 另一运动方程 1-=ωδdt

d （Ⅲ-14） 不变。

式(Ⅲ-9)、式(Ⅲ-10)、式(Ⅲ-12)及式(Ⅲ-13)和式(Ⅲ-14)构成了同步电机实用四阶模型，它忽略了定子绕组暂态，但考虑到了转子f 绕组、g 绕组暂态及转子动态。在式(Ⅲ-13)中也可和三阶模型相似，在精度要求较高时，补入阻尼力矩项以及负序力矩项。四阶实用模型和三阶实用模型常用于可忽略转子绕组超瞬变过程但又需考虑到转子绕组瞬变过程的物理问

题。其中三阶模型适用于q X '≈q X 的情况，对描写水轮机更为适用；四阶模型则在q X 与q

X '相差较大时，相对三阶模型较精确地描写转子q 轴绕组的暂态，对描写汽轮机实心转子更为

适用。当令q

X '≈q X 时，亦即q 轴转子无g 绕组时，四阶模型就转换为三阶模型。