第31届全国部分地区大学生物理竞赛试题
大学物理竞赛选拔试卷及答案
A BDl 0v大学物理竞赛选拔试卷1.（本题6分）一长度为l的轻质细杆，两端各固结一个小球A、B（见图），它们平放在光滑水平面上。
另有一小球D，以垂直于杆身的初速度v0与杆端的Α球作弹性碰撞．设三球质量同为m，求：碰后（球Α和Β）以及D球的运动情况．2.（本题6分）质量m=10kg、长l=40cm的链条，放在光滑的水平桌面上，其一端系一细绳，通过滑轮悬挂着质量为m1=10kg的物体，如图所示．t=0时,系统从静止开始运动,这时l1=l2=20cm<l3．设绳不伸长，轮、绳的质量和轮轴及桌沿的摩擦不计，求当链条刚刚全部滑到桌面上时，物体m1速度和加速度的大小．3.（本题6分）长为l的匀质细杆，可绕过杆的一端O点的水平光滑固定轴转动，开始时静止于竖直位置．紧挨O点悬一单摆，轻质摆线的长度也是l，摆球质量为m．若单摆从水平位置由静止开始自由摆下，且摆球与细杆作完全弹性碰撞，碰撞后摆球正好静止．求：(1)细杆的质量．(2)细杆摆起的最大角度?．4.（本题6分）质量和材料都相同的两个固态物体，其热容量为C．开始时两物体的温度分别为T1和T2（T1>T2）．今有一热机以这两个物体为高温和低温热源，经若干次循环后，两个物体达到相同的温度，求热机能输出的最大功A max．5.（本题6分）如图所示，为某种一定量的理想气体进行的一个循环过程，它是由一个卡诺正循环12341和一个卡诺逆循环15641组成．已知等温线温度比T1/T2=4，卡诺正逆循环曲线所包围面积大小之比为S1/S2=2．求循环的效率?．6.（本题6分）将热机与热泵组合在一起的暖气设备称为动力暖气设备，其中带动热泵的动力由热机燃烧燃料对外界做功来提供.热泵从天然蓄水池或从地下水取出热量，向温度较高的暖气系统的水供热.同时，暖气系统的水又作为热机的冷却水.若燃烧1kg燃料，锅炉能获得的热量为H，锅炉、地下水、暖气系统的水的温度分别为210℃，15℃，60℃.设热机及热泵均是可逆卡诺机.试问每燃烧1kg燃料，暖气系统所获得热量的理想数值（不考虑各种实际损失）是多少？7.（本题5分）如图所示，原点O是波源，振动方向垂直于纸面，波长是?．AB为波的反射平面，反射时无相位突变?．O点位于A点的正上方，hAO=．Ox轴平行于AB．求Ox轴上干涉加强点的坐标（限于x≥0）．8.（本题6分）一弦线的左端系于音叉的一臂的A点上，右端固定在B点，并用T=7.20N的水平拉力将弦线拉直，音叉在垂直于弦线长度的方向上作每秒50次的简谐振动（如图）．这样，在弦线上产生了入射波和反射波，并形成了驻波．弦的线密度?=2.0g/m，弦线上的质点离开其平衡位置的最大位移为4cm．在t=0时，O点处的质点经过其平衡位置向下运动，O、B之间的距离为L=2.1m．试求：(1)入射波和反射波的表达式；(2)驻波的表达式．9.（本题6分）用每毫米300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和蓝的两种单色成分的光谱．已知红谱线波长?R在0.63─0.76?m范围内，蓝谱线波长?B在0.43─0.49?m范围内．当光垂直入射到光栅时，发现在衍射角为24.46°处，红蓝两谱线同时出现．(1)在什么角度下红蓝两谱线还会同时出现？(2)在什么角度下只有红谱线出现？10.（本题6分）如图所示，用波长为?=632.8nm(1nm=10-9m)的单色点光源S照射厚度为e=1.00×10-5m、折射率为n2=1.50、半径为R=10.0cm的圆形薄膜F，点光源S与薄膜F的垂直距离为d=10.0cm，薄膜放在空气（折射率n1=1.00）中，观察透射光的等倾干涉条纹．问最多能看到几个亮纹？（注：亮斑和亮环都是亮纹）．11.（本题6分）507⨯双筒望远镜的放大倍数为7，物镜直径为50mm.据瑞利判据，这种望远镜的角分辨率多大？设入射光波长为nm550.眼睛瞳孔的最大直径为7.0mm.求出眼睛对上述入射光的分辨率.用得数除以7，和望远镜的角分辨率对比，然后判断用这种望远镜观ha察时实际起分辨作用的是眼睛还是望远镜.12.（本题6分）一种利用电容器控制绝缘油液面的装置示意如图.平行板电容器的极板插入油中，极板与电源以及测量用电子仪器相连，当液面高度变化时，电容器的电容值发生改变，使电容器产生充放电，从而控制电路工作.已知极板的高度为a ，油的相对电容率为εr ，试求此电容器等效相对电容率与液面高度h 的关系.13.（本题6分）在平面螺旋线中，流过一强度为I 的电流，求在螺旋线中点的磁感强度的大小．螺旋线被限制在半径为R 1和R 2的两圆之间，共n 圈．[提示：螺旋线的极坐标方程为b a r +=θ，其中a ，b 为待定系数]14.（本题6分）一边长为a 的正方形线圈，在t =0时正好从如图所示的均匀磁场的区域上方由静止开始下落，设磁场的磁感强度为B(如图)，线圈的自感为L ，质量为m ，电阻可忽略．求线圈的上边进入磁场前，线圈的速度与时间的关系．15.（本题6分）如图所示，有一圆形平行板空气电容器，板间距为b ，极板间放一与板绝缘的矩形线圈．线圈高为h ，长为l ，线圈平面与极板垂直，一边与极板中心轴重合，另一边沿极板半径放置．若电容器极板电压为U 12=U m cos ?t ，求线圈电压U 的大小．16.（本题6分）在实验室中测得电子的速度是0.8c ，c 为真空中的光速．假设一观察者相对实验室以0.6c 的速率运动，其方向与电子运动方向相同，试求该观察者测出的电子的动能和动量是多少？（电子的静止质量m e ＝9.11×10?31kg ）17.（本题6分）已知垂直射到地球表面每单位面积的日光功率（称太阳常数）等于1.37×103W/m 2． (1)求太阳辐射的总功率．(2)把太阳看作黑体，试计算太阳表面的温度．（地球与太阳的平均距离为1.5×108km ，太阳的半径为6.76×105km ，?=5.67×10-8W/(m 2·K 4)） 18.（本题6分））已知氢原子的核外电子在1s 态时其定态波函数为a r a /3100e π1-=ψ，式中220em h a e π=ε．试求沿径向找到电子的概率为最大时的位置坐标值．(?0=8.85×10-12C 2·N -1·m -2，h =6.626×10-34J ·s ，m e =9.11×10-31kg ，e =1.6×10-19C)参考答案1.（本题6分）解：设碰后刚体质心的速度为v C ，刚体绕通过质心的轴的转动的角速度为?，球D 碰后的速度为v ?，设它们的方向如图所示．因水平无外力，系统动量守恒：C m m m v v v )2(0+'=得：(1)20C v v v ='-1分 弹性碰撞，没有能量损耗，系统动能不变；222220])2(2[21)2(212121ωl m m m m C ++'=v v v ，得(2)22222220l C ω+='-v v v 2分 系统对任一定点的角动量守恒,选择与A 球位置重合的定点计算．A 和D 碰撞前后角动量均为零，B 球只有碰后有角动量，有])2([0C B l ml ml v v -==ω，得(3)2lC ω=v 2分(1)、(2)、(3)各式联立解出lC 00;2;0vv v v ==='ω。
第31届全国中学生物理竞赛决赛试题和答案
第 31 届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题一、（12 分）一转速测量和控制装置的原理如图所示. 在 O 点有电量为 Q 的正电荷，内壁光滑的轻质绝缘细管可绕通过 O 点的竖直轴在水平面内转动，在管内距离 O 为 L 处有一光电触发控制开关 A ，在 O 端固定有一自由长度为 L/4 的轻质绝缘弹簧，弹簧另一端与一质量为m 、带有正电荷q 的小球相连接.开始时，系统处于静态平衡.细管在外力矩作用下，作定轴转动，小球可在细管内运动. 当细管转速ω逐渐变大时，小球到达细管的 A 处刚好相对于细管径向平衡，并触发控制开关，外力矩瞬时变为零，从而限制转速过大；同时 O 点的电荷变为等量负电荷－Q.通过测量此后小球相对于细管径向平衡点的位置 B ，可测定转速.若测得 OB 的距离为 L/2，求 （1）弹簧系数0k 及小球在 B 处时细管的转速；（2）试问小球在平衡点 B 附近是否存在相对于细管的径向微振动？如果存在，求出该微振动的周期.二、（14 分）多弹头攻击系统是破解导弹防御体系的有效手段.如图所示，假设沿某海岸有两个军事目标 W 和 N ，两者相距 L ，一艘潜艇沿平行于该海岸线的航线游弋，并监视这两个目标，其航线离海岸线的距离为d .潜艇接到攻击命令后浮出海面发射一颗可分裂成多弹头的母弹，发射速度为0v （其大小远大于潜艇在海里游弋速度的大小），假设母弹到达最高点时分裂成三个分弹头，每个分弹头的质量相等，分裂时相对原母弹的速度大小均为v ，且分布在同一水平面内，分弹头 1、2 为实弹，分弹头 3 迷惑对方雷达探测的假弹头.如果两个实弹能够分别击中军事目标 W 和 N ，试求潜艇发射母弹时的位置与发射方向，并给出相应的实现条件.三、（14 分）如图所示，某绝热熔器被两块装有阀门 K 1和 K 2的固定绝热隔板分割成相等体积0V 的三室 A 、B 、C ，0A B C V V V V ===.容器左端用绝热活塞 H 封闭，左侧 A 室装有11ν=摩尔单原子分子气体，处在压强为 P 0、温度为 T 0的平衡态；中段 B 室为真空；右侧 C 室装有ν2=2 摩尔双原子分子气体，测得其平衡态温度为Tc=0.50T 0.初始时刻 K 1和 K 2都处在关闭状态.然后系统依次经历如下与外界无热量交换的热力学过程：（1）打开 K 1，让V A 中的气体自由膨胀到中段真空V B 中；等待气体达到平衡态时，缓慢推动活塞 H 压缩气体，使得 A 室体积减小了 30%（AV '=0.70V 0）.求压缩过程前后，该部分气体的平衡态温度及压强；（2）保持 K 1开放，打开 K 2，让容器中的两种气体自由混合后共同达到平衡态.求此时混合气体的温度和压强；AV ''=V 0. 求此时混合气体的温度和压强. 提示：上述所有过程中，气体均可视为理想气体，计算结果可含数值的指数式或分式；根据热力学第二定律，当一种理想气体构成的热力学系统从初态（p i ，T i ，V i ）经过一个绝热可逆过程（准静态绝热过程）到达终态（p f ，T f ，V f ）时，其状态参数满足方程：111()ln()ln()0f f if V iiT T S C R T T νν∆=+= (Ⅰ)其中，ν1为该气体的摩尔数，C V1为它的定容摩尔热容量，R 为普适气体常量.当热力学系统由两种理想气体组成，则方程（I ）需修改为12()()0if if S S ∆+∆= (Ⅱ)四、（20 分）光纤光栅是一种介质折射率周期性变化的光学器件.设一光纤光栅的纤芯基体材料折射率为n 1=1.51；在光纤中周期性地改变纤芯材料的折射率，其改变了的部分的材料折射率为n 2=1.55；折射率分别为n 2和n 1、厚度分别为d 2和d 1的介质层相间排布，总层数为 N ，其纵向剖面图如图(a)所示.在该器件设计过程中，一般只考虑每层界面的单次反射，忽略光在介质传播过程中的吸收损耗.假设入射光在真空中的波长为λ=1.06μm ，当反射光相干叠加加强时，则每层的厚度d 1和d 2最小应分别为多少？若要求器件反射率达到 8%，则总层数 N 至少为多少？提示：如图(b)所示，当光从折射率n 1介质垂直入射到n 2介质时，界面上产生反射和透射，有：1212n n n n -=+反射光电场强度入射光电场强度,1122n n n =+透射光电场强度入射光电场强度,2=反射光电场强度反射率入射光电场强度,五、（20 分）中性粒子分析器（Neutral-Particle Analyser ）是核聚变研究中测量快离子温度及其能量分布的重要设备.其基本原理如图所示，通过对高能量（200eV~30KeV ）中性原子（它们容易穿透探测区中的电磁区域）的能量和动量的测量，可诊断曾与这些中性原子充分碰撞过的粒子的性质.为了测量中性原子的能量分布，首先让中性原子电离然后让离子束以θ角入射到间距为d 、电压为V 的平行板电极组成的区域，经电场偏转后离开电场区域，在保证所测量离子不碰到上极板的前提下，通过测量入射孔 A 和出射孔 B 间平行于极板方向的距离l 来决定离子的能量.设 A 与下极板的距离为h 1，B 与下极板的距离为h 2，已知离子所带电荷为q .（1）推导离子能量E 与l 的关系，并给出离子在极板内垂直于极板方向的最大飞行距离. （2）被测离子束一般具有发散角Δα（Δα<<θ）.为了提高测量的精度，要求具有相同能量E ， 但入射方向在Δα范围内变化的离子在同一小孔 B 处射出，求h 2的表达式；并给出此时能量E 与l 的关系.（3）为了提高离子能量的分辨率，要求具有量程上限能量的离子刚好落在设备允许的l 的最大值l max 处，同时为了减小设备的体积，在满足测量要求的基础上，要求极板间距d 尽可能小，利用上述第（2）问的结果，求d 的表达式；若θ=30°，结果如何？（4）为了区分这些离子的质量，请设计后续装置，给出相应的原理图和离子质量表达式.六、（20 分）超导体的一个重要应用是绕制强磁场磁体，其使用的超导线材属于第二类超导体.如果将这类超导体置于磁感应强度为a B 的外磁场中，其磁力线将以磁通量子（或称为磁通漩涡线）的形式穿透超导体，从而在超导体中形成正三角形的磁通格子，如图 1 所示. 所谓的磁通量子，如图 2 所示，其中心是半径为ξ的正常态（电阻不为零）区域，而其周围处于超导态（电阻为零），存在超导电流，所携带的磁通量为150 2.07102hWb eφ-==⨯（磁通量的最小单位）（1）若2510T a B -=⨯，求此时磁通涡旋线之间距离a .（2）随着a B 的增大，磁通漩涡线密度不断增加，当a B 达到某一临界值B c2时，整块超导体都变为正常态, 假设磁通漩涡线芯的半径为ξ=5×10-9m ，求所对应的临界磁场B c2；（3）对于理想的第二类超导体，当有电流I 通过超导带材时，在安培力的驱动下，磁通漩涡线将会粘滞流动，在超导带内产生电阻（也称为磁通流阻），从而产生焦耳损耗，不利于超导磁体的运行.磁通漩涡线稳定粘滞流动的速度v 与单位体积磁通漩涡线所受到的驱动力f A 和a B 的关系为0aA B f v ηφ=, 其中η为比例系数.外加磁场、电流方向，以及超导带材的尺寸如图 3 所示, 请指出磁通漩涡线流动的方向，并求出磁通漩涡线流动所产生的电阻率（用a B ，Φ0，η，超导体尺寸b ，c ，d ）表示；（4）要使超导材料真正实用化，消除这种磁通流阻成了技术的关键，请给出你的解决方案.七、（20 分）如图，两个质量均为m 的小球 A 和 B （均可视为质点）固定在中心位于C 、长为 2l 的刚性轻质细杆的两端，构成一质点系.在竖直面内建立Oxy 坐标，Ox 方向沿水平向右，Oy 方向竖直向上.初始时质点系中心 C 位于原点 O ，并以初速度v 0竖直上抛，上抛过程中， A 、C 、B 三点连线始终水平.风速大小恒定为u 、方向沿x 轴正向，小球在运动中所受空气阻力f 的大小与相对于空气运动速度v 的大小成正比，方向相反，即f kv =-, k 为正的常量.当C 点升至最高点时，恰好有一沿y 轴正向运动、质量为m 1、速度大小为u 1的小石块（视为质点）与小球 A 发生竖直方向的碰撞，设碰撞是完全弹性的，时间极短.此后 C 点回落到上抛开始时的同一水平高度，此时它在Ox 方向上的位置记为s ，将从上抛到落回的整个过程所用时间记为T ，质点系旋转的圈数记为n .求质点系（1）转动的初始角速度ω0，以及回落到s 点时角速度ωs 与n 的关系；（2）从开始上抛到落回到s 点为止的过程中，空气阻力做的功W f 与n 、s 、T 的关系.八、（20 分）太阳是我们赖以生存的恒星.它的主要成分是氢元素，在自身引力的作用下收缩而导致升温，当温度高到一定程度时，中性原子将电离成质子和电子组成的等离子体，并在其核心区域达到约 1.05×107K 的高温和 1.6×105kg/m 3以上的高密度，产生热核聚变而放出巨大能量，从而抗衡自身的引力收缩达到平衡，而成为恒星.太阳内部主要核反应过程为1H+1H→D+e++νe（I）D+1H→3He+x （II）3He+3He→4He+1H+1H （III）其中第一个反应的概率由弱相互作用主导，概率很低这恰好可以使得能量缓慢释放.反应产物正电子e+会与电子e－湮灭为γ射线，即e++e－→γ+γ（IV）已知：质子（1H）、氘（D）、氦-3（3He）和电子的质量分别为938.27、1875.61、2808.38、3727.36 和0.51（MeV/c2)（误差为0.01MeV/c2），c为真空中的光速，中微子νe的质量小于3eV/c2.普朗克常量h=6.626×10-34J·s，c=3.0×108m/s，玻尔兹曼常量k=1.381×10-23J/K.电子电量e=1.602×10-19C.（1）试用理想气体模型估算处于热平衡状态的各种粒子的平均动能及太阳核心区的压强（请分别用eV和atm为单位）；（2）反应式（II）中的x 是什么粒子（α、β、γ、p和n之一）？请计算该粒子的动能和动量的大小，是否可以找到一个参照系，使得x 粒子的动能为零？（3）给出反应式（I）中各反应产物的动能的范围；第31 届全国中学生物理竞赛决赛参考答案第一题第二题第七题第八题。
第31届全国中学生物理竞赛初赛试卷和答案
第31届全国中学生物理竞赛初赛试卷本卷共16题，总分值200分，．一、选择题．此题共5小题，每题6分．在每题给出的4 个项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每题后面的方括号内．全数选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．1．（6分）一线膨胀系数为α的正立方体物块，当膨胀量较小时，其体膨胀系数等于A．αB．α1/3C．α3D．3α2．（6分）按如下原理制作一杆可直接测量液体密度的秤，称为密度秤，其外形和一般的杆秤差不多，装秤钩的地址吊着一体积为1 cm3的较重的合金块，杆上有表示液体密度数值的刻度，当秤砣放在Q点处时秤杆恰好平稳，如下图．当合金块完全浸没在待测密度的液体中时，移动秤砣的悬挂点，直至秤杆恰好从头平稳，即可直接在杆秤上读出液体的密度，以下说法中错误的选项是A．密度秤的零点刻度在Q点B．秤杆上密度读数较大的刻度在较小的刻度的左侧C．密度秤的刻度都在Q点的右边D．密度秤的刻度都在Q点的左侧3．（6分）一列简谐横波在均匀的介质中沿x轴正向传播，两质点P1和p2的平稳位置在x 轴上，它们相距60cm，当P1质点在平稳位置处向上运动时，P2质点处在波谷位置，假设波的传播速度为24m/s，那么该波的频率可能为A．50HzB．60HzC．400HzD. 410Hz物理竞赛初赛试卷第1页（共8页）4．（6分）电磁驱动是与炮弹发射、航空母舰上飞机弹射起飞有关的一种新型驱动方式．电磁驱动的原理如下图，当直流电流突然加到一固定线圈上，能够将置于线圈上的环弹射出去．此刻同一个固定线圈上，前后置有别离用铜、铝和硅制成的形状、大小和横截面积均相同的三种环,当电流突然接通时，它们所受到的推力别离为F1、F2和F3。
假设环的重力可忽略，以下说法正确的选项是A. F1 > F2 > F3B. F2 > F3 > F1C. F3 > F2 > F1D. F1 = F2 = F35．（6分）质量为m A的A球，以某一速度沿滑腻水平面向静止的B球运动，并与B球发生弹性正碰，假设B球的质量m B可选取为不同的值，那么A．当m B=m A时，碰后B球的速度最大B．当m B=m A时，碰后B球的动能最大C．在维持m B>m A的条件下，m B越小，碰后B球的速度越大D．在维持m B<m A的条件下，m B越大，碰后B球的动量越大二、填空题．把答案填在题中的横线上．只要给出结果，不需写出求得结果的进程．6．（10分）用国家标准一级螺旋测微器（直标度尺最小分度为0. 5mm，丝杆螺距为0.5mm,套管上分为50格刻度）测量小球直径．测微器的初读数如图(a)历示，其值为______mm，测量时如图(b)所示，其值为_______mm，测得小球直径d=____________________mm.物理竞赛初赛试卷第2页（共8页）7．（10分）为了减缓城市交通拥堵问题，杭州交通部门在禁止行人步行的十字路口增设“直行待行区”（行人可从天桥或地下过道过马路），如下图，当其他车道的车辆右拐时，直行道上的车辆能够提早进入“直行待行区”；当直行绿灯亮起时，可从“直行待行区”直行通过十字路口．假设某十字路口限速50km/h，“直行待行区”的长度为12m，从提示进入“直行待行区”到直行绿灯亮起的时刻为4s.若是某汽车司机看到上述提示时当即从停车线由静止开始匀加速直线运动，运动到“直行待行区”的前端虚线处正好直行绿灯亮起，汽车总质量为1. 5t，汽车运动中受到的阻力恒为车重的0.1倍，那么该汽车的行驶加速度为________；在这4s内汽车发动机所做的功为___________。
第31届全国部分地区大学生物理竞赛试题
较大。球 1 抛出后，落地前球心的一段
图2
运动轨道如图2 长方形内一段曲线所示，
试在该长方形区域内定性画出球2、球 3
落地前各自球心的一段运动轨道。（球 2、球 3 球 心 在 图 2 中的初始位置，
可 不 受 图 1 所示位置限制。）
6 . 如图所示，在一个绝热的竖直气缸里存有一定量的理想气体，开始时绝热的活塞
第 3 1 届全国部分地区大学生物理竞赛试卷与解答
2014.12.07
1 . 将 地 球 半 径 /?、 自 转 周 期 7\地 面 重 力 加 速 度 g 取为己知量，则人造地球同步卫星的轨道半径:
g r 2/(4；r2/ ? 0 /?，轨道速度相对第一宇宙速度的比值: An2R l{T 2g )
at d t{ 2 2
)4
因对称，即得
£ab =-—31 8ABCA~
V3 , p2 KK
(6分）
( 2 ) 回路电压
u ABC JuJBC：—UCA= > UAB= 0
(3分）
( 3 ) 将^ = r0 、 r2 = 2r。、 r3 = 3rQ代入电流公式：
1 = h B C A = S ABCA / ( n + ^2 + ^3 ) = ^ -
3
导出该多方过程的摩尔热容量c m 。
解 ：（1)
「尸
pV = vRT '
^=>TVn-i =
二> tc^
(2) Cm^ dQ/(vdT)= (pdV + vCmVdT )/(vdT)= ^ ：+ CmV val
Vn~l = K2/T ^> {n -\)Vn-2dV = - K2dT/T2
第31届全国中学生物理竞赛决赛试题和答案
第 31 届全国中学生物理竞赛决赛理论考试试题一、（ 12 分）一转速测量和控制装置的原理如图所示 . 在 O 点有电量为 Q 的正电荷，内壁光滑的轻质绝缘细管可绕通过O 点的竖直轴在水平面内转动，在管内距离O 为 L 处有一光电触发控制开关 A ，在 O 端固定有一自由长度为L/4的轻质绝缘弹簧，弹簧另一端与一质量为m、带有正电荷 q 的小球相连接 .开始时，系统处于静态平衡.细管在外力矩作用下，作定轴转动，小球可在细管内运动. 当细管转速ω逐渐变大时，小球到达细管的 A 处刚好相对于细管径向平衡，并触发控制开关，外力矩瞬时变为零，从而限制转速过大；同时O 点的电荷变为等量负电荷－Q.通过测量此后小球相对于细管径向平衡点的位置B，可测定转速 .若测得OB 的距离为L/2 ，求（1）弹簧系数 k0及小球在 B 处时细管的转速；（2）试问小球在平衡点 B 附近是否存在相对于细管的径向微振动？如果存在，求出该微振动的周期 .二、（ 14 分）多弹头攻击系统是破解导弹防御体系的有效手段.如图所示，假设沿某海岸有两个军事目标W 和 N，两者相距 L，一艘潜艇沿平行于该海岸线的航线游弋，并监视这两个目标，其航线离海岸线的距离为 d.潜艇接到攻击命令后浮出海面发射一颗可分裂成多弹头的母弹，发射速度为 v0（其大小远大于潜艇在海里游弋速度的大小），假设母弹到达最高点时分裂成三个分弹头，每个分弹头的质量相等，分裂时相对原母弹的速度大小均为v，且分布在同一水平面内，分弹头 1、2 为实弹，分弹头3 迷惑对方雷达探测的假弹头 .如果两个实弹能够分别击中军事目标W 和 N，试求潜艇发射母弹时的位置与发射方向，并给出相应的实现条件.三、（ 14 分）如图所示，某绝热熔器被两块装有阀门K1和 K 2的固定绝热隔板分割成相等体积 V0的三室 A 、B、C，V A V B V C V0 .容器左端用绝热活塞H 封闭，左侧 A 室装有1 1摩尔单原子分子气体，处在压强为P0、温度为 T0的平衡态；中段 B 室为真空；右侧 C 室装有νTc=0.50T 0.初始时刻 K 1 2=2 摩尔双原子分子气体，测得其平衡态温度为和 K 2都处在关闭状态 .然后系统依次经历如下与外界无热量交换的热力学过程：（1）打开 K 1，让 V A中的气体自由膨胀到中段真空 V B中；等待气体达到平衡态时，缓慢推动活塞 H 压缩气体，使得 A 室体积减小了 30%（ V A =0.70V 0）.求压缩过程前后，该部分气体的平衡态温度及压强；（2）保持 K 1 开放，打开 K 2，让容器中的两种气体自由混合后共同达到平衡态 .求此时混合气体的温度和压强；（3）保持 K 1和 K 2同时处在开放状态，缓慢拉动活塞 H，使得 A 室体积恢复到初始体积1V A =V 0. 求此时混合气体的温度和压强 .提示：上述所有过程中，气体均可视为理想气体，计算结果可含数值的指数式或分式；根据热力学第二定律，当一种理想气体构成的热力学系统从初态（ p i，T i， V i）经过一个绝热可逆过程（准静态绝热过程）到达终态（ pf， Tf， Vf）时，其状态参数满足方程：( S)if1C V1T f) 1 Rln(T f) 0 (Ⅰ) ln(T iT i其中，ν为该气体的摩尔数，C V1为它的定容摩尔热容量，R 为普适气体常量 .当热力学系统1由两种理想气体组成，则方程（I）需修改为( S1 )if( S2 )if0 (Ⅱ )四、（ 20 分）光纤光栅是一种介质折射率周期性变化的光学器件 .设一光纤光栅的纤芯基体材料折射率为 n1=1.51；在光纤中周期性地改变纤芯材料的折射率，其改变了的部分的材料折射率为 n2=1.55；折射率分别为n2和 n1、厚度分别为d2和 d1的介质层相间排布，总层数为N，其纵向剖面图如图 (a)所示 .在该器件设计过程中，一般只考虑每层界面的单次反射，忽略光在介质传播过程中的吸收损耗 .假设入射光在真空中的波长为λ=1.06μm，当反射光相干叠加加强时，则每层的厚度d1和 d2最小应分别为多少？若要求器件反射率达到8%，则总层数 N 至少为多少？提示：如图 (b)所示，当光从折射率 n1介质垂直入射到n2介质时，界面上产生反射和透射，有：反射光电场强度n1n2 , 透射光电场强度2n1, 反射率反射光电场强度2,入射光电场强度n1n2入射光电场强度n1 n2入射光电场强度2五、（ 20 分）中性粒子分析器（ Neutral-Particle Analyser ）是核聚变研究中测量快离子温度及其能量分布的重要设备 .其基本原理如图所示，通过对高能量（ 200eV~30KeV ）中性原子（它们容易穿透探测区中的电磁区域）的能量和动量的测量，可诊断曾与这些中性原子充分碰撞过的粒子的性质 .为了测量中性原子的能量分布，首先让中性原子电离然后让离子束以θ角入射到间距为 d、电压为 V 的平行板电极组成的区域，经电场偏转后离开电场区域，在保证所测量离子不碰到上极板的前提下，通过测量入射孔 A 和出射孔 B 间平行于极板方向的距离 l 来决定离子的能量 .设 A 与下极板的距离为 h1，B 与下极板的距离为 h2，已知离子所带电荷为 q.（1）推导离子能量 E 与 l 的关系，并给出离子在极板内垂直于极板方向的最大飞行距离.（2）被测离子束一般具有发散角Δα（Δα<< θ）.为了提高测量的精度，要求具有相同能量E，但入射方向在Δα范围内变化的离子在同一小孔 B 处射出，求 h2的表达式；并给出此时能量 E 与 l 的关系 .（3）为了提高离子能量的分辨率，要求具有量程上限能量的离子刚好落在设备允许的 l 的最大值 l max 处，同时为了减小设备的体积，在满足测量要求的基础上，要求极板间距 d 尽可能小，利用上述第（ 2）问的结果，求 d 的表达式；若θ=30°，结果如何？（4）为了区分这些离子的质量，请设计后续装置，给出相应的原理图和离子质量表达式 .六、（ 20 分）超导体的一个重要应用是绕制强磁场磁体，其使用的超导线材属于第二类超导体 .如果将这类超导体置于磁感应强度为B a的外磁场中，其磁力线将以磁通量子（或称为磁通漩涡线）的形式穿透超导体，从而在超导体中形成正三角形的磁通格子，如图 1 所示.所谓的磁通量子，如图 2 所示，其中心是半径为ξ的正常态（电阻不为零）区域，而其周围处于超导态（电阻为零），存在超导电流，所携带的磁通量为0h 2.07 10 15Wb（磁2e通量的最小单位）3（1）若 B a 5 10 2 T ，求此时磁通涡旋线之间距离 a.（2）随着 B a的增大，磁通漩涡线密度不断增加，当 B a达到某一临界值 B c2时，整块超导体都变为正常态, 假设磁通漩涡线芯的半径为ξ=5×10-9 m，求所对应的临界磁场Bc2；（3）对于理想的第二类超导体，当有电流 I 通过超导带材时，在安培力的驱动下，磁通漩涡线将会粘滞流动，在超导带内产生电阻（也称为磁通流阻），从而产生焦耳损耗，不利于超导磁体的运行 .磁通漩涡线稳定粘滞流动的速度 v 与单位体积磁通漩涡线所受到的驱动力 fA 和 B a的关系为 f A Ba v , 其中η为比例系数 .外加磁场、电流方向，以及超导带材的0尺寸如图 3 所示 , 请指出磁通漩涡线流动的方向，并求出磁通漩涡线流动所产生的电阻率（用 B a，Φ0，η，超导体尺寸b， c，d）表示；（4）要使超导材料真正实用化，消除这种磁通流阻成了技术的关键，请给出你的解决方案.七、（ 20 分）如图，两个质量均为m 的小球 A 和 B（均可视为质点）固定在中心位于 C、长为 2l 的刚性轻质细杆的两端，构成一质点系 .在竖直面内建立 Oxy 坐标， Ox 方向沿水平向右， Oy 方向竖直向上 .初始时质点系中心 C 位于原点 O，并以初速度 v0 竖直上抛，上抛过程中， A 、C、B 三点连线始终水平 .风速大小恒定为 u、方向沿 x 轴正向，小球在运动中所受空气阻力 f 的大小与相对于空气运动速度v 的大小成正比，方向相反，即 fkv ,k 为正的常量 .当 C 点升至最高点时，恰好有一沿y 轴正向运动、质量为 m1、速度大小为u1的小石块（视为质点）与小球 A 发生竖直方向的碰撞，设碰撞是完全弹性的，时间极短.此后 C 点回落到上抛开始时的同一水平高度，此时它在 Ox 方向上的位置记为 s，将从上抛到落回的整个过程所用时间记为T，质点系旋转的圈数记为n.求质点系（1）转动的初始角速度ω0，以及回落到 s 点时角速度ωs 与 n 的关系；（2）从开始上抛到落回到s 点为止的过程中，空气阻力做的功W f与 n、 s、 T 的关系 .八、（ 20 分）太阳是我们赖以生存的恒星 .它的主要成分是氢元素，在自身引力的作用下收缩而导致升温，当温度高到一定程度时，中性原子将电离成质子和电子组成的等离子体，并在其核心区域达到约 1.05 ×107K 的高温和1.6 ×105kg/m 3以上的高密度，产生热核聚变而放出巨大能量，从而抗衡自身的引力收缩达到平衡，而成为恒星.太阳内部主要核反应过程为41H+ 1H→ D+e + +ν e （I）D+1H→3He+x （II ）3He+3 He→4He+1H+ 1H （ III ）其中第一个反应的概率由弱相互作用主导，概率很低这恰好可以使得能量缓慢释放 .反应产物正电子 e+会与电子 e－湮灭为γ射线，即e+ +e－→γ+γ（ IV ）已知：质子（1H）、氘（ D）、氦 -3（3He）和电子的质量分别为938.27、1875.61、2808.38、3727.36 和 0.51（ MeV/c 2)（误差为0.01MeV/c 2）， c 为真空中的光速，中微子νe的质量小于 3eV/c 2.普朗克常量 h=6.626 ×10-34J·s，c=3.0 ×108m/s，玻尔兹曼常量k=1.381 ×10-23J/K.电子电量 e=1.602 ×10-19C.（1）试用理想气体模型估算处于热平衡状态的各种粒子的平均动能及太阳核心区的压强（请分别用 eV 和 atm 为单位）；（2）反应式（ II ）中的 x 是什么粒子（α、β、γ、 p 和 n 之一）？请计算该粒子的动能和动量的大小，是否可以找到一个参照系，使得x 粒子的动能为零？（3）给出反应式（I）中各反应产物的动能的范围；5第 31 届全国中学生物理竞赛决赛参考答案第一题第二题67第七题第八题。
第31届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案
第31届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案31届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答一、(12分)题目一：球形液滴的振动频率假设球形液滴振动频率与其半径r、密度ρ和表面张力系数σ之间的关系式为f=kρσr，其中k是常数。
根据单位分析法，可以得到单位等式[f]=[ρ][σ][r]。
力学的基本物理量包括质量m、长度l和时间t，分别对应的单位是千克(kg)、米(m)和秒(s)。
根据单位等式，[f]=[t]^-1，[r]=[l]，[ρ]=[m][l]^-3，[σ]=[m][t]^-2.将这些单位代入单位等式，得到[t]^-1=[l]^-3[m]^[ρ][t]^-2[σ]，即[t]^-1=[l]^[ρ][m]^[σ][t]^-2.由此可以得到三个未知量的关系式：α-3β=0，β+γ=0，2γ=1.解得α=-1，β=-1，γ=1/2.解法二：假设球形液滴振动频率与其半径r、密度ρ和表面张力系数σ之间的关系式为f=kρσr，其中k是常数。
根据单位分析法，可以得到单位等式[f]=[ρ][σ][r]。
在国际单位制中，振动频率的单位是赫兹(Hz)，半径r的单位是米(m)，密度ρ的单位是千克每立方米(kg/m^3)，表面张力系数σ的单位是牛每米(N/m)=千克每秒平方(m/s^2)。
根据单位等式，[f]=s^-1，[r]=m，[ρ]=kg/m^3，[σ]=kg/s^-2.将这些单位代入单位等式，得到[s]^-1=[m][ρ][σ]，即[s]^-1=[m][kg/m^3][kg/s^-2]。
将这个式子代入f=kρσr，得到k=f/ρσr。
1.(V。
T)。
(p。
V。
T)和(pf。
V。
T)分别表示气体在初态、中间态和末态的压强、体积和温度。
留在瓶内的气体先后满足绝热方程和等容过程方程：p1 * V1^γ = p2 * V2^γ (绝热方程)V1 = V2 * (p1/p2) (等容过程方程)联立以上两式可得：p1/T1 = p2/T2 = pf/Tf由此得到以下式子：p1/pf = (p1/pf)^(1/γ)ln(p1/pf) = ln(p1) - ln(pf) = (1/γ) * ln(p1/pf)pf = p1 / (e^(γ * ln(p1/pf)))2.根据力学平衡条件，有：pi = p + ρghipf = p + ρghf其中，p是瓶外大气压强，ρ是U型管中液体的密度，g 是重力加速度大小。
第31届全国中学生物理竞赛预赛试卷和答案
第31届全国中学生物理竞赛预赛试卷本卷共16题，满分200分，．一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4 个项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．1．（6分）一线膨胀系数为α的正立方体物块，当膨胀量较小时，其体膨胀系数等于A．αB．α1/3C．α3D．3α2．（6分）按如下原理制作一杆可直接测量液体密度的秤，称为密度秤，其外形和普通的杆秤差不多，装秤钩的地方吊着一体积为1 cm3的较重的合金块，杆上有表示液体密度数值的刻度，当秤砣放在Q点处时秤杆恰好平衡，如图所示．当合金块完全浸没在待测密度的液体中时，移动秤砣的悬挂点，直至秤杆恰好重新平衡，便可直接在杆秤上读出液体的密度，下列说法中错误的是A．密度秤的零点刻度在Q点B．秤杆上密度读数较大的刻度在较小的刻度的左边C．密度秤的刻度都在Q点的右侧D．密度秤的刻度都在Q点的左侧3．（6分）一列简谐横波在均匀的介质中沿x轴正向传播，两质点P1和p2的平衡位置在x 轴上，它们相距60cm，当P1质点在平衡位置处向上运动时，P2质点处在波谷位置，若波的传播速度为24m/s，则该波的频率可能为A．50HzB．60HzC．400HzD. 410Hz物理竞赛预赛试卷第1页（共8页）4．（6分）电磁驱动是与炮弹发射、航空母舰上飞机弹射起飞有关的一种新型驱动方式．电磁驱动的原理如图所示，当直流电流突然加到一固定线圈上，可以将置于线圈上的环弹射出去．现在同一个固定线圈上，先后置有分别用铜、铝和硅制成的形状、大小和横截面积均相同的三种环,当电流突然接通时，它们所受到的推力分别为F1、F2和F3。
若环的重力可忽略，下列说法正确的是A. F1 > F2 > F3B. F2 > F3 > F1C. F3 > F2 > F1D. F1 = F2 = F35．（6分）质量为m A的A球，以某一速度沿光滑水平面向静止的B球运动，并与B球发生弹性正碰，假设B球的质量m B可选取为不同的值，则A．当m B=m A时，碰后B球的速度最大B．当m B=m A时，碰后B球的动能最大C．在保持m B>m A的条件下，m B越小，碰后B球的速度越大D．在保持m B<m A的条件下，m B越大，碰后B球的动量越大二、填空题．把答案填在题中的横线上．只要给出结果，不需写出求得结果的过程．6．（10分）用国家标准一级螺旋测微器（直标度尺最小分度为0. 5mm，丝杆螺距为0.5mm,套管上分为50格刻度）测量小球直径．测微器的初读数如图(a)历示，其值为______mm，测量时如图(b)所示，其值为_______mm，测得小球直径d=____________________mm.物理竞赛预赛试卷第2页（共8页）7．（10分）为了缓解城市交通拥堵问题，杭州交通部门在禁止行人步行的十字路口增设“直行待行区”（行人可从天桥或地下过道过马路），如图所示，当其他车道的车辆右拐时，直行道上的车辆可以提前进入“直行待行区”；当直行绿灯亮起时，可从“直行待行区”直行通过十字路口．假设某十字路口限速50km/h，“直行待行区”的长度为12m，从提示进入“直行待行区”到直行绿灯亮起的时间为4s.如果某汽车司机看到上述提示时立即从停车线由静止开始匀加速直线运动，运动到“直行待行区”的前端虚线处正好直行绿灯亮起，汽车总质量为1. 5t，汽车运动中受到的阻力恒为车重的0.1倍，则该汽车的行驶加速度为________；在这4s内汽车发动机所做的功为___________。
全国部分地区大学生物理竞赛电磁学部分
法拉第电磁感应定律
i
d
dt
楞次定律
闭合回路中感应电流的方向，总是使它所 激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量 的变化。
2
例：
3
4
5
一、动生电动势
整个导体回路或其中一部分，以及一段孤立导体 在稳恒磁场中运动时，所产生的感应电动势。
Blv
b
均
l
v
匀 磁
场
a
B
典型装置
b
a
1 v0B2l
P0
12
二、感生电动势
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势的一般表
示式为：
d d
B dS
dt dt S
如果回L E路kL及d其l 包围 的 面 积S 保Bt持 d不S变，则
感生电动势：
动生电动势:
由于磁场随时
导体在稳恒磁场
dl B
d
L
Bldl
1BL2
O
l
0
2
o
负号表示电动势方向与积分方向相反，即
A O UO UA
A
9
半径为 R 的铜盘，在均匀磁场中以角速度 转动
，求盘上沿半径方向产生的感应电动势。
解： di (v B) dl
A
××××××
vBd l lBd l
E感生
2
dt
E感生
R2 2r
dB dt
L ××L××
B ××××r××
×××××
dB dt 0, E感 0
dB dt 0, E感 0
2022年第31届中学生物理竞赛复赛理论考试试题及答案
第31届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题9月20日阐明：所有答案（包括填空）必须写在答题纸上，写在试题纸上无效。
一、（12分）振动旳液滴6月20日，“神舟十号”女航天员王亚平在“天宫一号”目旳飞行器里成功进行了我国初次太空讲课. 讲课中旳一种试验展示了失重状态下液滴旳表面张力引起旳效应. 视频中可发现漂浮旳液滴处在周期性旳“脉动”中（平时在地球表面附近，重力旳存在会导致液滴下降太快，以至于很难观测到液滴旳这种“脉动”现象）. 假设液滴处在完全失重状态，液滴旳上述“脉动”可视为液滴形状旳周期性旳微小变化（振动），如图所示.（1）该液滴处在平衡状态时旳形状是__________；（2）决定该液滴振动频率f旳重要物理量是____________________________________ ____；（3）按背面括号中提醒旳措施导出液滴振动频率与上述物理量旳关系式.（提醒：例如，若认为a,b,c是决定该液滴振动频率旳互相独立旳重要物理量，可将液滴振动频率f 与a,b,c旳关系式表达为f∝aαbβcγ，其中指数α、β、γ是对应旳待定常数.）二、(16分) 测量理想气体旳摩尔热容比γ一种测量理想气体旳摩尔热容比γ=Cp/CV旳措施（Clement-Desormes措施）如图所示：大瓶G内装满某种理想气体，瓶盖上通有一种灌气（放气）开关H，另接出一根U形管作为压强计M．瓶内外旳压强差通过U形管右、左两管液面旳高度差来确定. 初始时，瓶内外旳温度相等，瓶内气体旳压强比外面旳大气压强稍高，记录此时U形管液面旳高度差h i．然后打开H，放出少许气体，当瓶内外压强相等时，即刻关闭H. 等待瓶内外温度又相等时，记录此时U形管液面旳高度差h f．试由这两次记录旳试验数据h i和h f，导出瓶内气体旳摩尔热容比γ旳体现式．（提醒：放气过程时间很短，可视为无热量互换；且U形管很细，可忽视由高差变化引起旳瓶内气体在状态变化前后旳体积变化）三、（20分）如图所示，一质量为m、底边AB长为b、等腰边长为a、质量均匀分布旳等腰三角形平板，可绕过光滑铰链支点A和B旳水平轴x自由转动；图中原点O位于AB旳中点，y轴垂直于板面斜向上，z轴在板面上从原点O指向三角形顶点C. 今在平板上任一给定点M0(x0,0,z0)加一垂直于板面旳拉力Q.（1）若平衡时平板与竖直方向成旳角度为φ，求拉力Q以及铰链支点对三角形板旳作用力N A和N B；（2）若在三角形平板上缓慢变化拉力Q旳作用点M旳位置，使平衡时平板与竖直方向成旳角度仍保持为φ，则变化旳作用点M形成旳轨迹满足什么条件时，可使铰链支点A或B对板作用力旳垂直平板旳分量在M变动中保持不变？四、（24分）如图所示，半径为R、质量为m0旳光滑均匀圆环，套在光滑竖直细轴OO’上，可沿OO’轴滑动或绕OO’轴旋转．圆环上串着两个质量均为m旳小球. 开始时让圆环以某一角速度绕OO’轴转动，两小球自圆环顶端同步从静止开始释放．（1）设开始时圆围绕OO’轴转动旳角速度为ω0，在两小球从环顶下滑过程中，应满足什么条件，圆环才有也许沿OO’轴上滑？（2）若小球下滑至θ=300（θ是过小球旳圆环半径与OO’轴旳夹角）时，圆环就开始沿OO’轴上滑，求开始时圆围绕OO?轴转动旳角速度ω0、在θ=300时圆围绕OO’轴转动旳角速度ω和小球相对于圆环滑动旳速率v.五、（20分）透镜成像如图所示，既有一圆盘状发光体，其半径为5cm，放置在一焦距为10cm、半径为1 5cm旳凸透镜前，圆盘与凸透镜旳距离为20cm，透镜后放置二分之一径大小可调旳圆形光阑和一种接受圆盘像旳光屏．图中所有光学元件相对于光轴对称放置．请在几何光学近轴范围内考虑下列问题，并忽视像差和衍射效应．（1）未放置圆形光阑时, 给出圆盘像旳位置、大小、形状；（2）若将圆形光阑放置于凸透镜后方6cm处. 当圆形光阑旳半径逐渐减小时，圆盘旳像会有什么变化？与否存在某一光阑半径r a，会使得此时圆盘像旳半径变为（1）中圆盘像旳半径旳二分之一？若存在，请给出r a旳数值.（3）若将圆形光阑移至凸透镜后方18cm处，回答（2）中旳问题；（4）圆形光阑放置在哪些位置时，圆盘像旳大小将与圆形光阑旳半径有关？（5）若将图中旳圆形光阑移至凸透镜前方6cm处，回答（2）中旳问题.（3）求该星系与我们旳距离D．第31届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答9月20日一、（12分）（1）球形（2）液滴旳半径r、密度ρ和表面张力系数σ（或液滴旳质量m和表面张力系数σ）（3）解法一 假设液滴振动频率与上述物理量旳关系式为αβγρσ=f k r①式中，比例系数k 是一种待定常数. 任一物理量a 可写成在某一单位制中旳单位[]a 和对应旳数值{}a 旳乘积{}[]=a a a . 按照这一约定，①式在同一单位制中可写成{}[]{}{}{}{}[][][]αβγαβγρσρσ=f f k r r由于取同一单位制，上述等式可分解为互相独立旳数值等式和单位等式，因而[][][][]αβγρσ=f r ②力学旳基本物理量有三个：质量m 、长度l 和时间t ，按照前述约定，在该单位制中有 {}[]=m m m ，{}[]=l l l ，{}[]=t t t于是 [][]-=f t 1③ [][]=r l④[][][]ρ-=m l 3 ⑤ [][][]σ-=m t 2⑥将③④⑤⑥式代入②式得[][]([][])([][])αβγ---=t l m l m t 132即[][][][]αββγγ--+-=t l m t 132 ⑦ 由于在力学中[]m 、[]l 和[]t 三者之间旳互相独立性，有30αβ-=， ⑧ 0βγ+=， ⑨21γ=⑩解为311,,222αβγ=-=-=⑪将⑪式代入①式得=f解法二假设液滴振动频率与上述物理量旳关系式为αβγρσ=fk r ①式中，比例系数k 是一种待定常数. 任一物理量a 可写成在某一单位制中旳单位[]a 和对应旳数值{}a 旳乘积{}[]=a a a . 在同一单位制中，①式两边旳物理量旳单位旳乘积必须相等[][][][]αβγρσ=f r ②力学旳基本物理量有三个：质量M 、长度L 和时间T ，对应旳国际单位分别为公斤（kg ）、米（m ）、秒（s ）. 在国际单位制中，振动频率f 旳单位[]f 为s -1，半径r 旳单位[]r 为m ，密度ρ旳单位[]ρ为3kg m -⋅，表面张力系数σ旳单位[]σ为1212N m =kg (m s )m kg s ----⋅⋅⋅⋅=⋅，即有[]s -=f 1③[]m =r④[]kg m ρ-=⋅3⑤[]kg s σ-=⋅2⑥若要使①式成立，必须满足()()s mkg m kg s (kg)m s βγαβγαβγ---+--=⋅⋅=⋅⋅13232 ⑦由于在力学中质量M 、长度L 和时间T 旳单位三者之间旳互相独立性，有 30αβ-=， ⑧0βγ+=，⑨21γ=⑩解为311,,222αβγ=-=-=⑪将⑪式代入①式得f = ⑫评分原则：本题12分. 第（1）问2分，答案对旳2分；第（2）问3分，答案对旳3分；第（3）问7分，⑦式2分，⑪式3分，⑫式2分（答案为ff=f 旳，也给这2分）.二、(16分) 解法一：瓶内理想气体经历如下两个气体过程：000000(,,,)(,,,)(,,,)−−−−−−−→−−−−−→i i f f f p V T N p V T N p V T N 放气(绝热膨胀)等容升温其中，000000(,,,),(,,,,,,)i i f f f p V T N p V T N p V T N )和(分别是瓶内气体在初态、中间态与末态旳压强、体积、温度和摩尔数．根据理想气体方程pV NkT =，考虑到由于气体初、末态旳体积和温度相等，有f f iip N p N =①另首先，设V '是初态气体在保持其摩尔数不变旳条件下绝热膨胀到压强为0p 时旳体积，即000(,,,)(,,,)i i i p V T N p V T N '−−−−→绝热膨胀此绝热过程满足 1/00i V p V p γ⎛⎫= ⎪'⎝⎭②由状态方程有0i p V N kT '=和00f p V N kT =，因此f iN V N V ='③联立①②③式得1/0fi i p p p p γ⎛⎫= ⎪⎝⎭④ 此即0lnln i ifp p pp γ=⑤由力学平衡条件有0i i p p gh ρ=+⑥0f fp p gh ρ=+ ⑦式中，00p gh ρ=为瓶外旳大气压强，ρ是U 形管中液体旳密度，g 是重力加速度旳大小.由⑤⑥⑦式得00ln(1)ln(1)ln(1)if i h h h hh h γ+=+-+⑧运用近似关系式：1, ln(1)xx x +≈当，以及 0/1, /1i f h h h h ，有000///i i i f i fh h h h h h h h h γ==-- ⑨评分原则：本题16分．①②③⑤⑥⑦⑧⑨式各2分．解法二：若仅考虑留在容器内旳气体：它首先经历了一种绝热膨胀过程ab ，再通过等容升温过程bc 到达末态100000(,,)(,,)(,,)−−−−−→−−−−−→i f p V T p V T p V T 绝热膨胀ab 等容升温bc其中，100000(,,),(,,,,)i f p V T p V T p V T )和(分别是留在瓶内旳气体在初态、中间态和末态旳压强、体积与温度．留在瓶内旳气体先后满足绝热方程和等容过程方程1100ab: γγγγ----=i p T p T ① 00bc://=f p T p T ②由①②式得 1/0fi i p p p p γ⎛⎫= ⎪⎝⎭③ 此即lnln iifp p p p γ=④由力学平衡条件有0i i p p gh ρ=+ ⑤0f fp p gh ρ=+ ⑥式中，00p gh ρ=为瓶外旳大气压强，ρ是U 形管中液体旳密度，g 是重力加速度旳大小．由④⑤⑥式得00ln(1)ln(1)ln(1)if i h h h hh h γ+=+-+⑦运用近似关系式：1, ln(1)xx x +≈当，以及 0/1, /1i f h h h h ，有000///i i i f i f h h h h h h h h h γ==-- ⑧评分原则：本题16分．①②式各3分，④⑤⑥⑦⑧式各2分．三、（20分）（1）平板受到重力C P 、拉力0M Q 、铰链对三角形板旳作用力N A 和N B ，各力及其作用点旳坐标分别为：C (0,sin ,cos )ϕϕ=--mg mg P ，(0,0,)h ； 0M (0,,0)Q =Q ， 00(,0,)x z ；A A A A (,,)x y z N N N =N ， (,0,0)2b ；B B B B (,,)x y z N N N =N ， (,0,0)2b-式中h =是平板质心到x 轴旳距离.平板所受力和（对O 点旳）力矩旳平衡方程为A Bx 0=+=∑xx FN N ①A B sin 0ϕ=++-=∑yy y F Q N N mg②A B cos 0ϕ=+-=∑zz z FN N mg③0sin 0xMmgh Q z ϕ=-⋅=∑④B A 022=-=∑y zz b b M N N⑤ 0A B 022z yy b bM Q x N N =⋅+-=∑ ⑥联立以上各式解得0sin mgh Q z ϕ=， A B x x N N =-，000sin 21()2Aymg h b x N b z z ϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，000sin 21()2By mg h b x N b z z ϕ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦A B 1cos 2z z N N mg ϕ== 即0M 0sin (0,,0)mgh z ϕ=Q ， ⑦0A A 002sin 1(,1(),cos )22x x mg h b N mg b z z ϕϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦N ， ⑧ 0B A 002sin 1(,1(),cos )22x x mg h b N mg b z z ϕϕ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦N⑨（2）假如但愿在M(,0,)x z 点旳位置从点000M (,0,)x z 缓慢变化旳过程中，可以使铰链支点对板旳作用力By N 保持不变，则需 sin 21()2By mg h b x N b z z ϕ⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦常量 ⑩ M 点移动旳起始位置为0M ，由⑩式得 00022-=-b x b x z z z z⑪或 00022b x b x z z z ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ⑫这是过A(,0,0)2b点旳直线.(*)因此，当力M Q 旳作用点M 旳位置沿通过A 点任一条射线(不包括A 点)在平板上缓慢变化时，铰链支点B 对板旳作用力By N 保持不变. 同理，当力M Q 旳作用点M 沿通过B 点任一条射线在平板上缓慢变化时，铰链支点A 对板旳作用力Ay N 保持不变.评分原则：本题20分．第（1）问14分，①式1分，②③④⑤⑥式各2分，⑦⑧⑨式各1分；第（2）问6分，⑩⑫式各1分，(*) 2分，结论对旳2分.四、（24分）（1）考虑小球沿径向旳合加速度. 如图，设小球下滑至角位置时，小球相对于圆环旳速率为v ，圆围绕轴转动旳角速度为 ．此时与速率v 对应旳指向中心C 旳小球加速度大小为21a R=v ①同步，对应于圆环角速度，指向OO轴旳小球加速度大小为2(sin )sin R a R ωωθθ=②该加速度旳指向中心C 旳分量为22(sin )sin R a a Rωωθθ==③该加速度旳沿环面且与半径垂直旳分量为23(sin )cos cot R a a Rωωθθθ==④由①③式和加速度合成法则得小球下滑至角位置时，其指向中心C 旳合加速度大小为2212(sin )v ωθ=+=+R R a a a R R⑤CR zlr在小球下滑至角位置时，将圆环对小球旳正压力分解成指向环心旳方向旳分量N、垂直于环面旳方向旳分量T . 值得指出旳是：由于不存在摩擦，圆环对小球旳正压力沿环旳切向旳分量为零. 在运动过程中小球受到旳作用力是N 、T 和mg . 这些力可提成互相垂直旳三个方向上旳分量：在径向旳分量不变化小球速度旳大小，亦不变化小球对转轴旳角动量；沿环切向旳分量即sin θmg 要变化小球速度旳大小；在垂直于环面方向旳分量即T 要变化小球对转轴旳角动量，其反作用力将变化环对转轴旳角动量，但与大圆环沿'OO 轴旳竖直运动无关. 在指向环心旳方向，由牛顿第二定律有22(sin )cos R R N mg ma mRωθθ++==v ⑥合外力矩为零，系统角动量守恒，有202(sin )L L m R θω=+ ⑦式中L 0和L 分别为圆环以角速度和转动时旳角动量．如图，考虑右半圆环相对于轴旳角动量，在角位置处取角度增量，圆心角所对圆弧l∆旳质量为m l λ∆=∆（02m Rλπ≡），其角动量为2sin L m r l rR Rr z R S ωλωθλωλω∆=∆=∆=∆=∆ ⑧式中r 是圆环上角位置到竖直轴OO 旳距离，S ∆为两虚线间窄条旳面积．⑧式阐明，圆弧l ∆旳角动量与S ∆成正比. 整个圆环（两个半圆环）旳角动量为2200122222m R L L R m R R πωωπ=∆=⨯=∑⑨[或：由转动惯量旳定义可知圆围绕竖直轴OO 旳转动惯量J 等于其绕过垂直于圆环平面旳对称轴旳转动惯量旳二分之一，即2012J m R = ⑧ 则角动量L 为2012L J m R ωω== ⑨ ]同理有200012L m R ω= ⑩力N 及其反作用力不做功；而T 及其反作用力旳作用点无相对移动，做功之和为零；系统机械能守恒. 故22012(1cos )2[(sin )]2k k E E mgR m R θωθ-+⨯-=⨯+v⑪式中0k E 和k E 分别为圆环以角速度0ω和ω转动时旳动能．圆弧l ∆旳动能为222111()sin 222k E m r l rR R S ωλωθλω∆=∆=∆=∆整个圆环（两个半圆环）旳动能为22220011222224k k m R E E R m R R πωωπ=∆=⋅⋅⋅⋅=∑ ⑫[或：圆环旳转动动能为22201124k E J m R ωω== ⑫ ]同理有2200014k E m R ω= ⑬根据牛顿第三定律，圆环受到小球旳竖直向上作用力大小为2cos N θ，当02cos N m g θ≥⑭时，圆环才能沿轴上滑．由⑥⑦⑨⑩⑪⑫ ⑬式可知，⑭式可写成2220000220cos 6cos 4cos 102(4sin )ωθθθθ⎡⎤-+--≤⎢⎥+⎣⎦m R m m m m gm m⑮式中，g 是重力加速度旳大小.（2）此时由题给条件可知当=30θ︒时，⑮式中等号成立，即有20020912()m m m m m ⎤⎛-+- ⎥+⎝⎣⎦或00(m m ω=+⑯由⑦⑨⑩⑯式和题给条件得0000200+4sin +m m m m m m ωωωθ==⑰由⑪⑫⑬⑯⑰式和题给条件得=v⑱评分原则：本题24分．第（1）问18分，①②③④⑤式各1分，⑥⑦式各2分，⑨⑩式各1分，⑪式2分，⑫⑬式各1分，⑭式2分，⑮式1分；第（2）问6分，⑯⑰⑱式各2分．五、（20分）（1）设圆盘像到薄凸透镜旳距离为v . 由题意知：20cm u =, 10cm f =，代入透镜成像公式111u f+=v ① 得像距为 20cm =v ② 其横向放大率为 1uβ=-=-v ③可知圆盘像在凸透镜右边20cm ，半径为5cm ，为圆盘状，圆盘与其像大小同样. （2）如下图所示，连接A 、B 两点，连线AB 与光轴交点为C 点，由两个相似三角形AOC∆与BB'C ∆旳关系可求得C 点距离透镜为15cm.1分若将圆形光阑放置于凸透镜后方6cm 处，此时圆形光阑在C 点左侧. 1分当圆形光阑半径逐渐减小时，均应有光线能通过圆形光阑在B 点成像，因而圆盘像旳形状及大小不变，而亮度变暗.2分此时不存在圆形光阑半径a r 使得圆盘像大小旳半径变为（1）中圆盘像大小旳半径旳二分之一．1分（3）若将圆形光阑移至凸透镜后方18cm 处，此时圆形光阑在C 点（距离透镜为15cm ）旳右侧. 由下图所示，此时有:CB'=BB'=5cm, R'B'=2cm,运用两个相似三角形CRR'∆与CBB'∆旳关系，得CR'52RR'=BB'=5cm 3cm CB'5r -=⨯⨯= ④可见当圆盘半径3cm r =（光阑边缘与AB 相交）时，圆盘刚好能成完整像，但其亮度变暗 4分若深入减少光阑半径，圆盘像就会减小．当透镜上任何一点发出旳光都无法透过光阑照在原先像旳二分之一高度处时，圆盘像旳半径就会减小为二分之一，如下图所示．此时光阑边缘与AE 相交，AE 与光轴旳交点为D ，由几何关系算得D 与像旳轴上距离为ACOBB' CRBR' B'207cm. 此时有620DR'=cm, DE'=cm, EE'=2.5cm,77运用两个相似三角形DRR'∆与DEE'∆旳关系，得 DR'20/72RR'=EE'= 2.5cm 0.75cm DE'20/7a r -=⨯⨯= ⑤ 可见当圆形光阑半径a r =0.75cm ，圆盘像大小旳半径确实变为（1）中圆盘像大小旳半径旳二分之一 3分（4）只要圆形光阑放在C 点（距离透镜为15cm ）和光屏之间，圆盘像旳大小便与圆形光阑半径有关． 2分（5）若将图中旳圆形光阑移至凸透镜前方6cm 处，则当圆形光阑半径逐渐减小时，圆盘像旳形状及大小不变，亮度变暗； 2分同步不存在圆形光阑半径使得圆盘像大小旳半径变为（1）中圆盘像大小旳半径旳二分之一． 1分评分原则：第（1）问3分，对旳给出圆盘像旳位置、大小、形状，各1分； 第（2）问5分，4个给分点分别为1、1、2、1分；第（3）问7分，2个给分点分别为2、3分；第（4）问2分，1个给分点为2分；第（5）问3分，2个给分点分别为2、1分．六、（22分）（1）固定金属板和可旋转金属板之间旳重叠扇形旳圆心角旳取值范围为00θθθ-≤≤．整个电容器相称于2N 个相似旳电容器并联，因而DRER E'1()2()C NC θθ=①式中1()C θ为两相邻正、负极板之间旳电容1()()4A C ksθθπ=②这里，()A θ是两相邻正负极板之间互相重迭旳面积，有2000200012(), 2()12(2),2θθθθπθθθππθθθ⎧⨯--≤≤-⎪⎪=⎨⎪⨯--<<⎪⎩R A R 当当 ③由②③式得200012000(), 4()(2),4θθθθπθπθθππθθθπ⎧--≤≤-⎪⎪=⎨-⎪-<<⎪⎩R ksC R ks当当④由①④式得20002000(), 2()(2),2θθθθπθπθθππθθθπ⎧--≤≤-⎪⎪=⎨-⎪-<<⎪⎩NR ks C NR ks 当当⑤（2）当电容器两极板加上直流电势差E 后，电容器所带电荷为()()θθ=Q C E⑥当0θ=时，电容器电容到达最大值max C ，由⑤式得20max2NR C ksθπ=⑦充电稳定后电容器所带电荷也到达最大值max Q ，由⑥式得 20max2NR Q E ksθπ=⑧断开电源，在转角θ取0θ=附近旳任意值时，由⑤⑧式得，电容器内所储存旳能量为2222max 0000() 2()4()θθθθπθθπθθ==-≤≤--Q NR E U C ks 当⑨设可旋转金属板所受力矩为()T θ（它是由若干作用在可旋转金属板上外力i F 产生旳，不失普遍性，可认为i F 旳方向垂直于转轴，其作用点到旋转轴旳距离为i r ，其值i F 旳正负与可旋转金属板所受力矩旳正负一致），当金属板旋转θ∆（即从θ变为θθ+∆）后，电容器内所储存旳能量增长U ∆，则由功能原理有 ()()()θθθθ∆=∆=∆=∆∑∑i i i i T F r F l U ⑩式中，由⑨⑩式得 22200020()() 4()θθθθθπθθπθθ∆==-≤≤-∆-NR E U T ks 当⑪当0 2πθθ==时，()θT 发散，这表明所用旳平行板电容公式需要修改．当电容器电容最大时，充电后转动可旋转金属板旳力矩为2204θθπ=∆⎛⎫== ⎪∆⎝⎭U NR E T ks⑫（3）当0cos V V t ω=，则其电容器所储存能量为[]222max min max min 02max min max min 020max min max min max min max min 2012111()()cos2cos 222111()()cos2(1cos2)422()()cos2()cos2()cos2cos28{(8m m m m U CV C C C C t V t C C C C t V t VC C C C t C C t C C t t V ωωωωωωωω=⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=++-+⎢⎥⎣⎦=++++-+-=max min max min max min max min )()cos2()cos21()[cos2()cos2()]}2m m m C C C C t C C t C C t t ωωωωωω++++-+-++-⑬由于边缘效应引起旳附加电容远不不小于max C ，因而可用⑦式估算max C ．假如m ωω≠，运用⑦式和题设条件以及周期平均值公式cos2=0 cos2=0, cos2()=0, cos2()=0m m m t t t t ωωωωωω+-,⑭可得电容器所储存能量旳周期平均值为2221max min 001(1)()832NR U C C V V ksλ+=+=⑮假如m ωω=，⑭式中第4式右端不是零，而是1．运用⑦式和题设条件以及周期平均值公式旳前3式得电容器所储存能量旳周期平均值为222222max min 0max min 0max min 00111(3)()()(3)8161664NR U C C V C C V C C V V ks λ+=++-=+=⑯由于边缘效应引起旳附加电容与忽视边缘效应旳电容是并联旳，因而max C 应比用⑦式估计max C 大；这一效应同样使得min 0C >；可假设实际旳max min ()C C -近似等于用⑦式估计max C ．假如m ωω≠，运用⑦式和题设条件以及周期平均值公式cos2=0 cos2=0, cos2()=0, cos2()=0m m m t t t t ωωωωωω+-, ⑰可得电容器所储存能量旳周期平均值为2221max min 001(12)()832NR U C C V V ksλ+=+=⑱[假如m ωω=，⑭中第4式右端不是零，而是1．运用⑦式和题设条件以及周期平均值公式⑭旳前3式得电容器所储存能量旳周期平均值为 222222max min 0max min 0max min 00111(34)()()(3)8161664NR U C C V C C V C C V V ksλ+=++-=+= ⑲]212 U U U >因为，则最大值为，所对应的m ω为m ωω= ⑳评分原则：本题22分．第（1）问6分，①②式各1分，③⑤式各2分；第（2）问9分，⑥⑦⑧⑨⑩式各1分（⑩式中没有求和号旳，也同样给分；没有力旳符号，也给分），⑪⑫式各2分；第（3）问7分，⑬⑭式各2分，⑮⑯⑳式各1分．七、（26分）（1）通有电流i 旳钨丝（长直导线）在距其r 处产生旳磁感应强度旳大小为mi B k r= ①由右手螺旋定则可知，对应旳磁感线是在垂直于钨丝旳平面上以钨丝为对称轴旳圆，磁感应强度旳方向沿圆弧在该点旳切向，它与电流i 旳方向成右手螺旋．两根相距为d 旳载流钨丝（如图（a ））间旳安培力是互相吸引力，大小为2m k Li F B Li d∆=∆=②考虑某根载流钨丝所受到旳所有其他载流钨丝对它施加旳安培力旳合力．由系统旳对称性可知，每根钨丝受到旳合力方向都指向轴心；我们只要将其他钨丝对它旳吸引力在径向旳分量叠加即可．如图，设两根载流钨丝到轴心连线间旳夹角为ϕ，则它们间旳距离为2sin2d r ϕ=③由②③式可知，两根载流钨丝之间旳安培力在径向旳分量为22sin 2sin(/2)22m m r k Li k Li F r rϕϕ∆∆==④它与ϕ无关，也就是说虽然处在圆周不一样位置旳载流钨丝对某根载流钨丝旳安培力大小和方向均不一样，但在径向方向上旳分量大小却是同样旳；而垂直于径向方向旳力互相抵消．因此，某根载流钨丝所受到旳所有其他载流钨丝对它施加旳安培力旳合力图(a)为222(1)(1)22-∆-∆==m m N k L I N k Li F r rN 内⑤其方向指向轴心．（2）由系统旳对称性可知，所考虑旳圆柱面上各处单位面积所受旳安培力旳合力大小相等，方向与柱轴垂直，且指向柱轴．所考虑旳圆柱面，可视为由诸多钨丝排布而成，N 很大，但总电流不变．圆柱面上ϕ∆角对应旳柱面面积为s r L ϕ=∆∆⑥圆柱面上单位面积所受旳安培力旳合力为22(1)24m N N k Li N F P s r Lϕππ-∆∆==∆ ⑦由于1N ，有22(1)-=N N i I 内⑧由⑦⑧式得224π=m k I P r 内⑨代入题给数据得1221.0210N/m P =⨯⑩一种大气压约为5210N/m ，因此 710atm P ≈⑪即相称于一千万大气压．（3）考虑均匀通电旳长直圆柱面内任意一点A 旳磁场强度. 根据对称性可知，其磁场假如不为零，方向一定在过A 点且平行于通电圆柱旳横截面. 在A 点所在旳通电圆柱旳横截面（纸面上旳圆）内，过A 点作两条互相间夹角为微小角度θ∆旳直线，在圆上截取两段微小圆弧L 1和L 2，如图（b ）所示. 由几何关系以及钨丝在圆周上排布旳均匀性，通过L 1和L 2段旳电流之比/I I 12等于它们到A 点旳距离之比/l l 12：111222==I L l I L l⑫式中，因此有1212=mm I Ik k l l ⑬即通过两段微小圆弧在A 点产生旳磁场大小相似，方向相反，互相抵消．整个圆周可以分为许多“对”这样旳圆弧段，因此通电旳外圈钨丝圆柱面在其内部产生旳磁场为零，因此通电外圈钨丝旳存在，不变化前述两小题旳成果．（4）由题中给出旳已知规律，内圈电流在外圈钨丝所在处旳磁场为=mI B k R内 ⑭方向在外圈钨丝阵列与其横截面旳交点构成旳圆周旳切线方向，由右手螺旋法则确定．外圈钨丝旳任一根载流钨丝所受到旳所有其他载流钨丝对它施加旳安培力旳合力为222(1)(2) + 22-∆∆+=∆=m m m M k L I I k I k L I I I F L RM M R RM外外内外内外外⑮式中第一种等号右边旳第一项可直接由⑤式类比而得到，第二项由⑭式和安培力公式得到.因此圆柱面上单位面积所受旳安培力旳合力为22(2)24ϕπϕπ+∆==∆∆外外内外外m F k I I I M P R L R ⑯若规定 2222244ππ+>外内外内（）m m k I I I k I R r ⑰ 只需满足<R r⑱（5）考虑均匀通电旳长直圆柱面外任意一点C 旳磁场强度. 根据对称性可知，长直圆柱面上旳均匀电流在该点旳磁场方向一定在过C 点且平行于通电圆柱旳横截面（纸面上旳圆），与圆旳径向垂直，满足右手螺旋法则. 在C 点所在旳通电圆柱旳横截面内，过C 点作两条互相间夹角为微小角度θ∆旳直线，在圆上截取两段微小圆弧3L 和4L ，如图（c ）所示. 由几何关系以及电流在圆周上排布旳均匀性，穿过3L 和4L 段旳电流之比34/I I 等于它们到C 点旳距离之比34/l l ：333444I L l I L l ==⑲式中，33CL l =，44CL l =，CO l =. 由此得33443434I I I I l l l l +==+ ⑳考虑到磁场分布旳对称性，所有电流在C 点旳磁感应强度应与CO 垂直. 穿过3L 和4L 段旳电流在C 点产生旳磁感应强度旳垂直于CO 旳分量之和为3344C 3434cos cos 2cos mm m I I I IB k k k l l l l θθθ+=+=+ ○21○21设过C 点所作旳直线34CL L 与直线CO 旳夹角为θ，直线34CL L 与圆旳半径4OL 旳夹角为α（此时，将微小弧元视为点）. 由正弦定理有34sin()sin sin()l l l αθααθ==-+ ○22○22式中，3OCL θ=，4CL O α=. 于是343434C 342cos 2sin cos [sin()sin()]mm m I I I I I IB k k k l l l lθαθαθαθ+++===+++-○23○23 即穿过两段微小圆弧旳电流3I 和4I 在C 点产生旳磁场沿合磁场方向旳投影等于3I 和4I 移至圆柱轴在在C 点产生旳磁场．整个圆周可以分为许多“对”这样旳圆弧段，因此沿柱轴通有均匀电流旳长圆柱面外旳磁场等于该圆柱面上所有电流移至圆柱轴后产生旳磁场,mI B k l r l=>内○24○24方向垂直于C 点与圆心O 旳连线，满足右手螺旋法则．评分原则：本题26分．第（1）问6分，②③式各1分，④式2分，⑤式1分，方向1分；第（2）问6分，⑥~⑪式各1分；第（3）问3分，⑫⑬式各1分，对称性分析对旳1分；第（4）问6分，⑮⑯各2分，⑰⑱式各1分；第（5）问5分，⑲○21○21○22○23○24式各1分.八、（20分）（1）由题给条件，观测到星系旳谱线旳频率分别为141 4.54910Hz ν'=⨯和142 6.14110Hz ν'=⨯，它们分别对应于在试验室中测得旳氢原子光谱旳两条谱线1和2．由红移量z 旳定义，根据波长与频率旳关系可得νννννν''--==''112212z①式中，ν'是我们观测到旳星系中某恒星发出旳频率，而是试验室中测得旳同种原子发出旳对应旳频率. 上式可写成11221111(1),(1)νννν=+=+'' z z由氢原子旳能级公式2=n E E n , ②得到其巴耳末系旳能谱线为00222ν=-E E h n ③由于z 远不不小于1，光谱线红移后旳频率近似等于其原频率．把1ν'和2ν'分别代入上式，得到这两条谱线旳对应能级旳量子数1234≈≈≈， n n④从而，证明它们分别由n=3和4向k =2旳能级跃迁而产生旳光谱，属于氢原子谱线旳巴尔末系．这两条谱线在试验室旳频率分别为14012211() 4.56710Hz 23=--=⨯E v h ，14022211() 6.16610Hz 24=--=⨯E v h根据波长与频率旳关系可得，在试验室中与之相对应旳波长分别是12656.4nm 486.2nm λλ==，⑤（2）由①式可知1122121()0.00402νννννν''--=+=''z⑥由于多普勒效应，观测到旳频率νν'=由于vc ，推导得z = v /c从而，该星系远离我们旳速度大小为860.0040 2.99810 m/s 1.210 m/s v ==⨯⨯=⨯zc⑦（3）由哈勃定律，该星系与我们旳距离为641.210 Mpc 18Mpc 6.78010v D H ⨯===⨯ ⑧评分原则：本题20分. 第（1）问14分，①式2分，③④⑤式各4分；第（2）问4分，⑥⑦式各2分；第（3）问2分，⑧式2分. （有效数字位数对旳但数值有微小差异旳，仍给分）。
2022年 第31届中学生物理竞赛预赛试和答案配套精选
第31届全国中学生物理竞赛预赛试卷本卷共16题，总分值2021，．一、选择题．此题共5小题，每题6分．在每题给出的4 个项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每题后面的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分．1．〔6分〕一线膨胀系数为α的正立方体物块，当膨胀量较小时，其体膨胀系数等于A．αB．α1/3C．α3D．3α2．〔6分〕按如下原理制作一杆可直接测量液体密度的秤，称为密度秤，其外形和普通的杆秤差不多，装秤钩的地方吊着一体积为1 cm3的较重的合金块，杆上有表示液体密度数值的刻度，当秤砣放在Q点处时秤杆恰好平衡，如下图．当合金块完全浸没在待测密度的液体中时，移动秤砣的悬挂点，直至秤杆恰好重新平衡，便可直接在杆秤上读出液体的密度，以下说法中错误的选项是A．密度秤的零点刻度在Q点B．秤杆上密度读数较大的刻度在较小的刻度的左边C．密度秤的刻度都在Q点的右侧D．密度秤的刻度都在Q点的左侧3．〔6分〕一列简谐横波在均匀的介质中沿轴正向传播，两质点，当/，那么该波的频率可能为A．50HB．60HC．400HD 410H物理竞赛预赛试卷第1页〔共8页〕4．〔6分〕电磁驱动是与炮弹发射、航空母舰上飞机弹射起飞有关的一种新型驱动方式．电磁驱动的原理如下图，当直流电流突然加到一固定线圈上，可以将置于线圈上的环弹射出去．现在同一个固定线圈上，先后置有分别用铜、铝和硅制成的形状、大小和横截面积均相同的三种环,当电流突然接通时，它们所受到的推力分别为F1、F2和F3。
假设环的重力可忽略，以下说法正确的选项是A F1 > F2 > F3B F2 > F3 > F1C F3 > F2 > F1D F1 = F2 = F35．〔6分〕质量为m A的A球，以某一速度沿光滑水平面向静止的B球运动，并与B球发生弹性正碰，假设B球的质量m B可选取为不同的值，那么A．当m B=m A时，碰后B球的速度最大B．当m B=m A时，碰后B球的动能最大C．在保持m B>m A的条件下，m B越小，碰后B球的速度越大D．在保持m B<m A的条件下，m B越大，碰后B球的动量越大二、填空题．把答案填在题中的横线上．只要给出结果，不需写出求得结果的过程．6．〔10分〕用国家标准一级螺旋测微器〔直标度尺最小分度为0 5mm，丝杆螺距为,套管上分为50格刻度〕测量小球直径．测微器的初读数如图a历示，其值为______mm，测量时如图b所示，其值为_______mm，测得小球直径d=____________________mm物理竞赛预赛试卷第2页〔共8页〕7．〔10分〕为了缓解城市交通拥堵问题，杭州交通部门在禁止行人步行的十字路口增设“直行待行区〞〔行人可从天桥或地下过道过马路〕，如下图，当其他车道的车辆右拐时，直行道上的车辆可以提前进入“直行待行区〞；当直行绿灯亮起时，可从“直行待行区〞直行通过十字路口．假设某十字路口限速50m/h，“直行待行区〞的长度为12m，从提示进入“直行待行区〞到直行绿灯亮起的时间为4如果某汽车司机看到上述提示时立即从停车线由静止开始匀加速直线运动，运动到“直行待行区〞的前端虚线处正好直行绿灯亮起，汽车总质量为1 5t，汽车运动中受到的阻力恒为车重的倍，那么该汽车的行驶加速度为________；在这4内汽车发动机所做的功为___________。
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第31届全国部分地区大学生物理竞赛试卷与解答2014.12.071.将地球半径/?、自转周期7\地面重力加速度g 取为己知量，则人造地球同步卫星的轨道半径:g r 2/(4；r 2/?0 /?，轨道速度相对第一宇宙速度的比值:An 2R l {T 2g )2.如图所示，水平桌面上静放着质量为M ，内半径为及的半球面形薄瓷碗，碗的底 座与桌面间无摩擦。
将质量为w 的小滑块在图示的碗边位置从静止释放，随后将会无摩 擦地沿碗的内表面滑下。
’小滑块到达最低位置时，它相对桌面的速度大小为」2MgR/(M + m )，它对碗底的正压力大小为wg 〇3.如图所示，长/的轻细杆两端连接质量相同的小球J 、5,开始时细杆处于竖直方位，j 下端B 球距水平地面高度记为/z »某时刻让S 球具有水平朝右初速度& (其大小!%<~/^72)，其上方^球具有水平朝右初速度2^。
假设而后』、同时着地，则可54取的最小值/^… = (；r 2g /-4%2)/八，取A m m 时，5从开始运动到着地过程中其水平位移s'2v 〇voh27V -\/2,图14.两个测量者j 和5,各自携带频率同为1000H z 的声波波源。
设d 静止，5以lOm /s 的速度朝着」 运动，己知声速为340m /s ，不考虑人体的反射，则^接收到的拍频(请保留2位有效数字），5接收到的拍频vb #=_^_H z(请保留2位有效数字)。
5.如图1所示，3个相同的匀 质球体以相同的水平初速度▽。
平 抛出去。
其中球1抛出时无自转，球2、球3抛出时有自转，自转方向己 在图1中示出，自转角速度值相同且 较大。
球1抛出后，落地前球心的一段运动轨道如图2长方形内一段曲线所示，试在该长方形区域内定性画出球2、球3落地前各自球心的一段运动轨道。
（球2、球3球心在图2中的初始位置，可不受图1所示位置限制。
）6.如图所示，在一个绝热的竖直气缸里存有一定量的理想气体，开始时绝热的活塞是固定的。
现拆去销钉（图中未画出），气体因膨胀而将活 塞和重物举高，则此过稈中气体的压强减小，温度降低。
(空白处可填"增大"、"减小"、"升高"、"降低"。
）图2P 年2^〇Poa气体K2V 0 V 7.某气体经历的循环过程如图所示，气体分子的热运动平均自由程I 和气体温度r 都会随过程而变。
将I 的最大值和最小值分别记为元aX 和，则la x : =1。
将^的最大值和最小值分别记为t a x 和，则该气体在热源和7；in 热源之间形成的卡诺循环过程效率/7+= 75%。
（空白处只可填数值。
）8.在图中用实线代表的3根首尾相接的等长绝缘细棒上的电荷分布，与 绝缘棒都换成等长细导体棒且处于静电平衡时的电荷分布完全相同。
己测得 图中5两点电势分别为，今将绝缘棒取走，设这不影响绝缘棒a c 、的电荷分布，则此时d 点电势5点电势％ =~^U a +'U b 。
〇 Lc9.双缝干涉装置如图1所示，屏幕中央0处出现亮条纹。
O 处上下都有亮 条纹，设图1标出的参量均为己知量，则相邻两条亮条纹间距可表述为Ax =->一/I 。
图2所示也是一种杨氏双缝干涉装 aii屏幕置，直角挡板的两个侧面分别有对称的透 光细缝j 、S 。
屏幕与挡板的一个侧面平行，屏幕0处可出现亮条纹。
设图2标出的参量均为已知量，则屏幕0图1处附近相邻两条亮条纹的间距可表述为Ax :4lba图2、10.铝的逸出功是4.2e V ,错的红限波长;L w = 3x l 02nm 。
若用波长为200 nm 的光照射铝表面，则光电效应的遏止电压（普朗克常量/2 = 6.63x l (T 34J .s ,如上结果保留一位有效数字即可）11. (15 分）净质量的喷水车，存水质量，在平直道路上以匀速度v 行驶的同时，朝左、右两侧绿化带水平 横向喷水，喷出去的水相对车身速度大小为常量w ，单位时间喷水质量为常量A ：。
己知车在行驶过程中受 正面空气阻力大小为a v ，其中a 为正的常量；受地面阻力大小为其中为正的常数，#为地面所 受正压力。
不计其它能耗因素，试求车装满水启动达匀速V 并开始喷水后，直到水喷净为止，车内作功装置 的作功量W 。
解：为喷水提供作功总量19W x = (2 分）f = 0, x = 0开始计时、计程，f >0时刻x = vtM = A /0 +m 0—K —v(牵引力F = av + PMg = av + p g— tc 一(5分）VW尤=0到'=1^=1；’1，总功F d x:fa v+Pgx0+m0-k—dxv Wav-^Pg M0+—m0v K所求为W=W x-\-W2=^m0u2a v-h figl2JJ (6分）w〇v(2分）K12_(15分）如图所示，半径为i?的直圆柱形几何空间区域内，有轴向的匀强磁场，磁感应强度万的方向垂直于图平面朝里，其大小随^变化，且有^%=灸，式中A：为正的常量。
圆柱形空间区域外没有磁场。
在圆柱形空间区域内的一个正截面内，有一个用金属丝连接而成的圆内接正三角形J5C4,其中,45段、5C段和C d段的电阻分别记为5、&和^3。
(1)试求18段从乂到5方向的电动势A(2)设5=~=?*3，试求乂S段从d到5的电压f/#;(3)改设/",=r〇、尸2=2r0、r3==3^，再求乂6段从j到厶的电压％解：（1)回路电动势为1O、—B----R•yfiR J忑u eat dt{ 2 2 )4因对称，即得£ab=1-—8 3V3,p2A B C A~K K(6分）(2)回路电压u A B C A=0因对称，有u A B=r JJ—u B C：UC A=>UAB=0(3分）(3)将^ =r0、r2=2r。
、r3=3r Q代入电流公式：1=h B C A=S ABCA/(n+^2+^3) = ^-/6r〇)得 / =V^/?2々8r〇)继而得 +A=-^M2(6分）813.(15 分）理想气体多方过程可表述为(常量）或7T W=&(常量）(1)己知&和气体的摩尔数V，求a t2;(2) 己知多方指数《和气体的等体摩尔热容量c,…K，试依据过程摩尔热容量定义式c…3导出该多方过程的摩尔热容量c m。
解：（1) 「尸pV= vRT '^=>TVn-i= 二>tc^(2) Cm^dQ/(vdT)= (pdV+ vCm V dT)/(vdT)= ^：+Cm VvalVn~l= K2/T^> {n-\)Vn-2dV=-K2dT/T2(Vn= k J p)=^ = -K2dT/T2=-/cldT/(vRT2)(pV= vR T)^>(n-l)y-^- dT/T= -vRdTl(p V)=>p d v=Cm=c mv-^-(10分）n—\另解：TVn~l= k2V-'dT+ (n- \)Vn-2TdV'=0•dV___1_F___l_vR^代入《式：vdT n-\14.(15 分)如图所示，在O-吵平面上有场强为左平行于x轴方向的匀强电场，还有垂直于0-吵平面朝里的磁场，磁感应强度5的值仅随x•变化。
在x二a、_y=<3处，质量为w、电量g>0的质点P具有速度％,使得P的而后运动轨道恰好是在0-分平面上以0为圆心的圆周。
己知户在运动过程中速度达最小值（不为零）时，所受磁场力为零。
（过程中不考虑重力的影响。
）(1)试求速度％的方向和大小；(2)将圆半径记为/?,试在穴2x2-7?范围内确定S随x变化的函数。
解：（1)尸的初始位置到0的距离即为圆半径，故有R=%[2a磁场力不作功，电场力作功，P的动能最小（即速度最小）位置必是 _在题解图1中Sx=-R^y=0处。
户在该位置处不受磁场力，表明 5B(x = -R ) = 0P 作圆周运动所需向心力即为电场力，可得^^q E ^vl ^qER /m ，R = 4iaP 在初始a : = g 、少处时的动能为^rnv 20=^mv 2m in +qE(R + a ) , R = ^/2a故有即得:v L + + l^ =qE(3^2 + 2)a/m「方向.•如题解图1所示的切线方向vo大小：v 0=Jq £(3七+ 2ja^m(2)参考题解图2，P 处于图示位置时，引入参量('带正、负号）则有m +q E [ax + J 4l )a2qE ^ax +^2^a—mv = —i2 2二 q E ^f l ■\~2c c x、aIm因 qvB - qEcos (/> = mv 21、芯61、得5 =+ C 〇S0 =三=1—p =—，cos d )—yj 2qa R所求函数便为—m :丨mEa,\ 2qa石+ 2ax■ -^3>/2 + '2.〇c xR>x > -R => y[2a >x> -yfla(7 分）.(8分）说明••题解图2中，尸位于第I 象限求得5〇c )分布，考虑到;c 正负号与不同象限 中cos #正负号的组合关系，所得5〇)分布同样适用于n 、m 、i v 象限。
图115. (20 分)用某种导电材料制成如图1所示的匀质正方形电阻薄平板，4个微微朝外突出的 顶端记为5、C 、£>。
将4、C 两端间的等效电阻记为苹，d 、D 两端间的等效电阻记为及2。
(1)设电流/从d 端流入，C 端流出，请定性画出平板中电流线的分布，而后5AB试导出及、及2、之间的大小排序关系。
(2)如图2所示，用理想导线连接5、D端，试求此时j、C两端间的等效电阻，答案用孕、及2表示。
(3)如图3所示，将6块这样的电阻薄平板通过顶端间的焊接，棱边间均不焊接且不接触，构成一个中空且露缝的"正方体"，试求图中两个相对顶端C、贫间的等效电阻答案用&、'表示。
解：（1)设电流/从」端流入，C端流出，板中电流的定性分布图如题解图1所示。
将C端电势记为0, d端电势记为■?，则有R x=-(1.)IA'B'再将5端电势记为％，则必有U b<S若将点电势记为％，则因电流分布的对称性，必有 UD-UC=UA-UB S U D=S-UB又因％与上式联立，便得(UB>UD=£~U b=>2U b>s^>U b>—£•)UB>-sB2即有 s>UR>^-e(2)2以题解图l电流分布为样本，构建题解图2中（a)、（b)两种电流分布，它们叠加成题解图2中（c)的电流分布，此分布便可给出题文中的'为^R iJ h Z、-h(3)由（3)、（1)式，得代入（2)式，可得IR, >-R2 >-IR,2221即得所求大小关系为2R, >R2>R,(4 )(7分）此处，还可得uh=-r221£I T,=^u B £ R2a(5)U b=—R2,s=IR x题解图2(2)设电流/从题图2的d 端流入，C 端流出，电流的定性分布如题解图3中（a )所示，并将5、C 、D 端电势分别记为UA(a 、、UB (a )、Uc (a )、图（a )中左侧正方形平板中的电流分 布，可分解为题解图3中 (b )和（c )中未画出的 电流分布的叠加。