函数的凸性

有关函数的凸性问题

柴全水

（新绛中学 山西 043100）

在高中数学的函数部分，我们在研究函数性质时，除了研究学习函数的单调性、奇偶性、周期性等这些性质外，特别还要注意到函数的凸性性质，下面我从三方面来谈函数的凸性问题（图象、代数定义、导数）

一． 首先从图象上直观认识函数的凸性问题

①图为上凸增函数 ②图为上凸减函数 ③图为下凸增函数 ④图为下凸减函数 二． 代数定义上凸、下凸函数

y ＝f(x)在区间I 上连续任取x 1 , x 2∈I . 且λ＞0 （λ∈R ）, 若f ( )＞（或＜）

恒成立，则f(x)在区间I 上为上凸（或下凸）函数 。

函数上凸、下凸性质可推广为Jensen （琴森）不等式

设f(x)在区间I 上是下凸函数，则对任意x i ∈I 及p i ＞0（i ＝1，2…n ）

有 ， 其中等号当且仅当x 1=x 2=…=x n 时成立。若f(x)在区间I 上是上凸函数，则不等号反向。

例1：（2005年鄂，理6）在y=2x ，y=log 2x ，y=x 2，y=cos2x ，这四个函数中，当0 恒成立的函数个数是（ ） A 、0 B 、1

C 、2

D 、3

解析：B 做四个函数图象，观察在（0，1）上的凹凸性，最后发现只有y=log 2x 函数满足条件，故选B 。

例2：如图，f i (x) (i = 1, 2, 3, 4 ) 是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的 x 1和x 2，任意λ∈（0，1），f [λx 1 + (1—λ) x 2]< λf (x 1) + (1—λ)f (x 2 ) 恒成立”的只有（ ）

A 、f 1(x)

B 、f 2 (x)

C 、 f 3 (x)

D 、f 4 (x)

x ＋λx

1＋λ

1 2 f (x )＋λf (x )1＋λ

1 2 ① ② ③ ④

x +x 2f (x )+

f (x )21 2 1

2

解析：A 。由题意可知函数应该是下凸曲线，故选A 。 例3：（2005年高考全国卷I 试题）

（1）设函数f(x) = xlog 2x + (1—x) log 2 (1—x ) (0 < x < 1) ，求f(x)的最小值；

（2）设正数p 1，p 2，p 3，…，p 2 满足p 1 +p 2 +p 3+…+p 2 = 1，证明p 1log 2p 1 +p 2log 2p 2 +p 3log 2p 3 +…+ p 2 log 2p 2 ≥—n 。

解：（1）构造函数g (x) =x log 2x ，x ∈(0，1)，g '' (x) = >0，由Jensen 不等式得g( )≤ [ g(x) + g(1—x)] ，

g(x) +g(1—x ) ≥2g ( )=—1，即x log 2x + (1—x) log 2 (1—x)≥—1， 所以当x = 时，f(x)取得最小值—1。 （2）直接利用Jensen 不等式可知

即：p 1log 2p 1 +p 2log 2p 2 +p 3log 2p 3 +…+p 2 log 2p 2 ≥—n 。 三．利用导数来判断函数的上凸、下凸

若f '(x)为减函数，则原函数为上凸曲线。若［f '(x)］'存在，即f ''(x)＜0.上凸。 同理f '(x)为增函数，则下凸。若f ''(x)＞0.则下凸。 下面举例说明函数凸性在函数作图中的应用： 例如：作y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d （a ＞0）的图像

∵y ' ＝3ax 2＋2bx ＋c 为二次函数，导函数有3种情况：①在x 轴上方，②与x 轴1个交点，③与x 轴

有两个交点。

①对应的原函数:x ∈R f '(x)＞0 原函数为增函数，但在（－∞，－ ）上f ' (x)为减函数，故原函数在（—∞，— ）为上凸增，在（－ ，＋∞ ） f ' (x)为增函数，则原函数在（－ ， ＋∞ ）为下凸增。

b

3a b 3a

n n n 1

xln 2x +1—x 2

12

12

1

2

n

n

b 3a

—

b

3a

— x

x 1 2 ① ② ③

b 3a

b 3a

n b

3a

—

图象为①，同理②③对应图分别（大致）为②③。

知道了三次函数的图象，那么依次类推，四次函数、五次…不难做出大致图象的。 练习：f '(x)是f(x)的导函数，f ' (x) 的图象如右图所示，则f(x)的图象只可能是下图中的（ ）

b 3a

—

b 3a

—

b 3a

— x 1

x 2

① ②

③