方法技巧专题(10) 隐圆问题训练

方法技巧专题(十) 隐圆问题训练

有些数学问题,将圆隐藏在已知条件里,

隐晦地考查点和圆、直线和圆的位置关系.解题时,需要我们通过分析探索,发现这些隐藏的圆(简称隐圆),再利用和圆有关的一些知识进行求解.常见的隐圆模型有:①定弦对定角;②动点到定点的距离为定长;③四点共圆等.

1.如图F10-1,在矩形ABCD 中,AB =4,BC =6,E 是矩形内部的一个动点,且AE ⊥BE ,则线段CE 的最小值为

( )

A .3

2 B .2√10-2 C .2√13-2 D .4

2.在矩形ABCD 中,已知AB =2 cm,BC =3 cm,现有一根长为2 cm 的木棒EF 紧贴着矩形的边(即两个端点始终落在矩形的边上),按逆时针方向滑动一周,则木棒的中点P 在运动过程中所围成的图形的面积为 ( )

A .6 cm 2

B .3 cm 2

C .(2+π)cm 2

D .(6-π)cm 2

3.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,AC =8,BC =6,点D 是AC 的中点,将CD 绕着点C 逆时针旋转一周,在旋转的过程中,点D 的对应点为点E ,连结AE ,BE ,则△AEB 的面积的最小值为

( )

A .1

B .2

C .3

D .4

4.如图F10-3,AC =3,BC =5,且∠BAC =90°,D 为AC 上一动点,以AD 为直径作圆,圆心为O ,连结BD 交圆O 于点E ,连结CE ,则CE 的最小值为( )

A .√13-2

B .√13+2

C .5

D .16

9

5.如图F10-4,已知AB =AC =AD ,∠CBD =2∠BDC , ∠BAC =44°,则∠CAD 的度数为 .

6.如图所示,四边形ABCD 中,DC ∥AB ,BC =1, AB =AC =AD =2,则BD 的长为 .

7.如图,在矩形ABCD 中,AB =4,AD =6,E 是AB 边的中

点,F 是线段CB 边上的动点,将△EBF 沿EF 所在直线折叠得到△EB'F ,连结B'D ,则B'D 的最小值是 .

8.如图,矩形ABCD 中,AB =2,AD =3,点E ,F 分别为AD ,DC 边上的点,且EF =2,点G 为EF 的中点,点P 为BC 边上一动点,则P A +PG 的最小值为 .

9.如图,正方形ABCD 中,AB =2,动点E 从点A 出发向点D 运动,同时动点F 从点D 出发向点C 运动,点E ,F 运动的速度相同,当它们到达各自终点时停止运动,运

动过程中线段AF ,BE 相交于点P ,则线段DP 的最小值为 .

10.在平面直角坐标系中,已知点A (4,0),B (-6,0),点C 是

y 轴上的一个动点,当∠BCA =45°时,点C 的坐标为 .

11.如图,点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),点P是该直角坐标系内的一个动点.

(1)使∠APB=30°的点P有个.

(2)若点P在y轴上,且∠APB=30°,求满足条件的点P 的坐标.

(3)当点P在y轴上移动时,∠APB何时有最大值?请说明理由.12.[2019·衢州]如图F10-10,在Rt△ABC中,∠C=90°, AC=6,∠BAC=60°,AD平分∠BAC交BC于点D,过点D作DE∥AC交AB于点E,点M是线段AD上的动点,连结BM并延长分别交DE,AC于点F,G.

(1)求CD的长.

(2)若点M是线段AD的中点,求EF

DF

的值.

(3)请问当DM的长满足什么条件时,在线段DE上恰好只有一点P,使得∠CPG=60°?

备用图

【参考答案】

1.B [解析] 由AE ⊥BE ,可知点E 在以AB 为直径的圆弧上,取AB 中点O ,连结OE ,OC ,则CE 的最小值为OC -OE ,因为OC =√62+22=2√10,OE =1

2AB =2,所以CE

的最小值为2√10-2,故选B .

2.D [解析] 如图所示:由题意,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得出此时P 到B 点距离始终为

1 cm,则木棒EF 的中点P 在运动过程中的轨迹为分别以A ,B ,C ,D 为圆心,1 cm 为半径的弧.

故所围成的图形的面积为:矩形面积-4个扇形面积=6-4×

90π×12360

=(6-π)(cm 2).

3.D [解析] 如图,作CH ⊥AB 于H ,

易知AB =10,CH =24

5,由题意,得点E 在以点C 为圆心,CD =4为半径的圆上,故点E 到AB 的最小距离为CH -CD =24

5

-4=4

5

,所以△AEB 面积的最小值为1

2

×10×4

5

=4.

4.A [解析] 如图,连接AE ,则∠AED =90°,即∠AEB =90°,故点E 在以AB 为直径的圆弧上,设AB 中点为F ,连结EF ,CF ,则CE 的最小值为点C 到圆心F 的距

离

减

去圆

F

的

半径

,即

CE ≥CF -EF =√32

+

22-2=√13-2,故选

A .

5.88° [解析] 如图,∵AB =AC =AD ,∴点B ,C ,D 在以点A 为圆心,以AB 的长为半径的圆上,∴∠BAC =2∠BDC.

∵∠CBD =2∠BDC ,

∴∠BAC =∠CBD ,∠CAD =2∠BAC ,而∠BAC =44°,

∴∠CAD =88°.

6.√15 [解析] 以A 为圆心,AB 长为半径作圆,延长BA 交☉A 于F ,连结DF . ∵DC ∥AB ,∴DF =BC , ∴DF =CB =1,BF =2+2=4,

∵FB 是☉A 的直径,∴∠FDB =90°, ∴BD =√BF 2-DF 2=√15.

7.2√10-2 [解析] 点B'在以E 为圆心,EA 长为半径的

圆上运动,当D ,B',E 共线时,此时B'D 的值最小. 根据折叠的性质,得△EBF ≌△EB'F , ∴EB'⊥B'F ,EB'=EB.

∵E 是AB 边的中点,AB =4,∴AE =EB'=2. ∵AD =6,∴DE =√62+22=2√10, ∴B'D =2√10-2.

8.4 [解析] ∵EF =2,点G 为EF 的中点,∴DG =1,∴G 是以D 为圆心,以1为半径的圆弧上的点.

作A 关于BC 的对称点A',连结A'D ,交BC 于P ,交以D 为圆心,以1为半径的圆于G ,此时的P A +PG 值最小,最小值为A'G 的长.