高一下数学期末复习题库(含答案)
高一下期末数学试卷含答案解析
故选B．
3．在正项等比数列{an}中，若a2=2，a4﹣a3=4，则公比为（ ）
A．2B．1C． D．
【考点】等比数列的通项公式．
【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出，
【解答】解：设正项等比数列{an}的公比为q＞0，
∵a2=2，a4﹣a3=4，∴ =2q2﹣2q=4，
22．已知A（﹣1，0），B（1，0），圆C：x2﹣2kx+y2+2y﹣3k2+15=0．
（Ⅰ）若过B点至少能作一条直线与圆C相切，求k的取值范围．
（Ⅱ）当k= 时，圆C上存在两点P1，P2满足∠APiB=90°（i=1，2），求|P1P2|的长．
-学年河北省沧州市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
化为q2﹣q﹣2=0，解得q=2．
故选；A．
4．若a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a2＞b2B． C．lga＞lgbD．
【考点】不等关系与不等式．
【分析】利用不等式的性质和指数函数的单调性就看得出．
【解答】解：∵a＞b，∴2a＞2b＞0，∴ ，
故D正确．
故选D．
5．若直线l∥平面α，直线m⊂α，则l与m的位置关系是（ ）
A． B． C． D．3
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体是一个长方体截去一个三棱锥所得的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．
【解答】解：由三视图知几何体是一个长方体截去一个三棱锥所得的组合体，
且长方体长、宽、高分别是1、1、3，
三棱锥的底面是等腰直角三角形、直角边是1，三棱锥的高是1，
A．2B．1C． D．
高一数学期末试卷带答案解析
高一数学期末试卷带答案解析考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1.若角的终边上有一点，则的值是（ ）. A ．B ．C ．D ．2.设向量，，，，，若，则的最小值是（ ） A ．B ．C ．D ．3.已知集合，则=A ．B ．C ．D ．4.已知lg2≈0.3010，且a = 2×8×5的位数是M ，则M 为( )． A ．20 B ．19 C ．21 D ．225.在中，已知向量，则的面积等于（ ） A ． B ．C ．D ．6.已知，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．8.某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取数名学生进行问卷调查．如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为( ) A ．10 B ．9C．8D．79.在△ABC中，三边长AB=7，BC=5，AC=6，则的值为（）A．19 B．-14 C．-18 D．-1910.已知函数的一部分图象如图所示，如果，则（）A． B． C． D．11.已知函数设表示中的较大值,表示中的较小值,记的最小值为的最大值为,则( )A． B． C．16 D．-1612.若,则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．13.已知下列说法正确的是（A．B．C．D．14.设f:x→y=2x是A→B的映射，已知集合B={0,1,2,3,4},则A满足（）A．A={1，2，4，8，16}B．A={0，1，2，log23}C．A{0,1,2,log23}D．不存在满足条件的集合15.已知函数，且，则等于（）A． B． C． D．16.已知数列满足（）A． B． C． D．17.已知满足，则直线必过定点( ) A ．B ．C ．D ．18.满足M ｛a 1, a 2, a 3, a 4｝,且M ∩｛a 1 ,a 2, a 3｝={ a 1，a 2}的集合M 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．419.一名射击运动员射击10次，命中环数如下，则该运动员命中环数的标准差为（ ）10 10 10 9 10 8 8 10 10 8 A ．B ．C ．D ．20.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题 21.已知都是定义域内的非奇非偶函数，而是偶函数，写出满足条件的一组函数，______________；________________； 22.求满足＞的x 的取值集合是 ．23.已知幂函数满足，则24.25.函数的定义域是 .26.二面角α﹣l ﹣β的平面角为120°，在面α内，AB ⊥l 于B ，AB=2在平面β内，CD ⊥l 于D ，CD=3，BD=1，M 是棱l 上的一个动点，则AM+CM 的最小值为 ．27.根据任意角的三角函数定义，将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的值在各象限的符号（用“＋”或“－”）填入括号（填错任何一个将不给分）。
高一数学期末考试试题及答案doc
高一数学期末考试试题及答案doc一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列哪个选项是二次函数的图像？A. 直线B. 抛物线C. 圆D. 椭圆答案：B2. 函数f(x)=2x^2-4x+3的零点是：A. x=1B. x=2C. x=3D. x=-1答案：A3. 集合{1,2,3}与集合{2,3,4}的交集是：A. {1,2,3}B. {2,3}C. {3,4}D. {1,2,3,4}答案：B4. 如果一个角是直角三角形的一个锐角的两倍，那么这个角是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C5. 函数y=x^3-3x^2+4x-2在x=1处的导数值是：A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B6. 以下哪个是等差数列的通项公式？A. a_n = a_1 + (n-1)dB. a_n = a_1 + n(n-1)/2C. a_n = a_1 + n^2D. a_n = a_1 + n答案：A7. 圆的面积公式是：A. A = πrB. A = πr^2C. A = 2πrD. A = 4πr^2答案：B8. 以下哪个选项是复数的模？A. |z| = √(a^2 + b^2)B. |z| = a + biC. |z| = a - biD. |z| = a * bi答案：A9. 以下哪个选项是向量的点积？A. a·b = |a||b|cosθB. a·b = |a||b|sinθC. a·b = |a||b|tanθD. a·b = |a||b|secθ答案：A10. 以下哪个选项是三角恒等式？A. sin^2x + cos^2x = 1B. sin^2x - cos^2x = 1C. sin^2x - cos^2x = 0D. sin^2x + cos^2x = 0答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 如果一个等差数列的前三项分别是2，5，8，那么它的公差是______。
新教材-高一-数学-期末复习-多选题训练(含答案)
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参考答案
1．BD
【分析】
分别判断每组函数的定义域和对应关系是否一致即可判断.
【详解】
对于A， ，对应关系不一致，故A错误；
对于B， 和 的定义域都为 ，且 ，对应关系一致，故B正确；
对于C， 满足 ，故 的定义域为 ， 满足 ，解得 或 ，即 的定义域为 ，定义域不一致，故C错误；
A． B．
C． D．
7．（多选）与 终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， ，则下列判断正确是（）
A．当 时， B． 的解集为
C．函数在R上单调递增D．函数 有3个零点
9．为预防新冠病毒感染，某学校每天定时对教室进行喷洒消毒．教室内每立方米空气中的含药量 （单位：mg）随时间 （单位：h）的变化情况如图所示：在药物释放过程中， 与 成正比；药物释放完毕后， 与 的函数关系式为 （ 为常数），则（）
5．ABC
【分析】
根据指数函数、幂函数和对数函数性质对各个选项进行判断．
【详解】
由指数函数的性质可知，当 时， ， 恒成立，A正确；
由对数函数的性质可知，当 时， ， ， 恒成立，B正确；
对于C，当 时， ， ，当 时， , 则 ，C正确；
对于D，当 时， ，由对数函数与指数函数的性质可知，当 时， ， ，故 ，故A正确；
对于B，当 时， ，故B正确；
对于C，当 时，由 ，知 ，
当 时，由 ，知 ，
则 ，故C错误；
对于D，浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，故D错误；
故选：AB
【点睛】
高一期末数学试卷及答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是：A. √2B. πC. √-1D. 0.1010010001…2. 若 a > b > 0，则下列不等式成立的是：A. a² > b²B. a - b > 0C. a/b > 1D. ab > 03. 已知函数 f(x) = 2x - 3，若 f(x) + f(2 - x) = 0，则 x 的值为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 在直角坐标系中，点 A(2,3)，B(4,5)，则线段 AB 的中点坐标为：A. (3,4)B. (4,3)C. (3,5)D. (4,4)5. 已知等差数列 {an} 的前n项和为 Sn，若 a1 = 3，d = 2，则 S10 的值为：A. 100B. 105C. 110D. 1156. 若复数 z 满足 |z - 1| = |z + 1|，则 z 在复平面上的位置是：A. 实轴上B. 虚轴上C. 第一象限D. 第二象限7. 下列函数中，是奇函数的是：A. f(x) = x²B. f(x) = |x|C. f(x) = x³D. f(x) = 1/x8. 在△ABC中，若 a = 3，b = 4，c = 5，则△ABC是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形9. 已知函数f(x) = x² - 4x + 4，其图像的对称轴是：A. x = 1B. x = 2C. y = 1D. y = 410. 若等比数列 {an} 的前三项分别是 2, 6, 18，则其公比为：A. 2B. 3C. 6D. 9二、填空题（每题5分，共50分）1. 若 a + b = 5，a - b = 1，则a² - b² 的值为________。
2. 已知等差数列 {an} 的前n项和为 Sn，若 a1 = 3，d = 2，则 S10 的值为________。
高一数学第二学期期末考试试题(带参考答案)
高一数学第二学期期末考试试题(带参考答案)选择题1. 以下属于集合 {1, 2, 3, 4} 的真子集的个数是：A. 3B. 7C. 15D. 16正确答案：A2. 已知集合 A = {x | -2 ≤ x ≤ 3}，则集合 A 中的元素个数是：A. 4B. 5C. 6D. 7正确答案：C3. 设集合 A = {a, b, c}，集合 B = {1, 2, 3}，则集合 A × B 的元素个数是：A. 3B. 6C. 9D. 12正确答案：D4. 已知集合 A = {x | -5 ≤ x ≤ 5}，则集合 A 的幂集的元素个数是：A. 10B. 20C. 32D. 64正确答案：C解答题1. 已知函数 f(x) = 2x + 3，求 f(-4) 的值。
解答：将 x = -4 代入函数 f(x) = 2x + 3 中，得到 f(-4) = 2(-4) + 3 = -5。
2. 计算下列算式的值：(-3)^4 - 2 × 5^2解答：首先计算指数，得到(-3)^4 = 81，5^2 = 25。
然后代入算式，得到值为 81 - 2 × 25 = 31。
3. 已知一组数据为 {2, 4, 6, 8, 10}，求这组数据的中位数。
解答：将数据从小到大排序为 {2, 4, 6, 8, 10}，可以看出中间的数为 6，所以这组数据的中位数为 6。
4. 某商品标价为 800 元，商场打折后的售价为 720 元，求打折幅度。
解答：打折幅度为原价与打折后价之间的差值除以原价，所以打折幅度为 (800 - 720) ÷ 800 = 0.1，即打折幅度为 10%。
以上为高一数学第二学期期末考试试题及参考答案。
2020年高一数学下学期期末试卷及答案(共三套)
2020年高一数学下学期期末试卷及答案（共三套）2020年高一数学下学期期末试卷及答案（一）一.选择题1.已知点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围为（）A. （﹣24，7）B. （﹣∞，﹣24）∪（7，+∞）C. （﹣7，24）D. （﹣∞，﹣7）∪（24，+∞）2.设α、β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是（）A. 若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βB. 若m∥n，n∥α，α∥β，则m∥βC. 若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥αD. 若α∩β=n，m∥α，m∥β，则m∥n3.如图，网格纸上校正方形的边长为1，粗线画出的某几何体的三视图，其中俯视图的右边为一个半圆，则此几何体的体积为（）A. 16+4πB. 16+2πC. 48+4πD. 4 8+2π4.如图画的某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A. 48﹣πB. 96﹣πC. 48﹣2π D. 96﹣2π5.直线mx+ y﹣1=0在y轴上的截距是﹣1，且它的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则（）A. m=﹣，n=﹣2B. m= ，n=2C. m= ，n=﹣2D. m=﹣，n=26.若直线与直线2x+3y﹣6=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围（）A. B. C. D.7.如图，在三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若AB=2 ，则此正三棱锥外接球的体积是（）A. 12πB. 4 πC. πD. 12π8.已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A. cm3B. cm3C. 2cm3D. 4 cm39.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥外接球的体积为（）A. B. C. D.10.若过点M（1，1）的直线l与圆（x﹣2）2+y2=4相较于两点A，B，且M为弦的中点AB，则|AB|为（）A. B. 4 C.D. 211.关于空间直角坐标系O﹣xyz中的一点P（1，2，3），有下列说法：①点P到坐标原点的距离为；②OP的中点坐标为（）；③点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3）；④点P关于坐标原点对称的点的坐标为（1，2，﹣3）；⑤点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为（1，2，﹣3）．其中正确的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 512.若三棱锥P﹣ABC中，AB=AC=1，AB⊥AC，PA⊥平面ABC，且直线PA与平面PBC所成角的正切值为，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A. 4πB. 8πC. 16π D . 32π二.填空题13.若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16 ，则a=________．14.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1与BD所成的角是________．15.已知一个多面体的三视图如图示：其中正视图与侧视图都是边长为1的等腰直角三角形，俯视图是边长为1的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为________．16.如果曲线2|x|﹣y﹣4=0与曲线x2+λy2=4（λ＜0）恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是________．三.解答题17.曲线C：ρ2﹣2ρcosθ﹣8=0 曲线E：（t是参数）（1）求曲线C的普通方程，并指出它是什么曲线．（2）当k变化时指出曲线K是什么曲线以及它恒过的定点并求曲线E截曲线C 所得弦长的最小值．18.如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABC是边长为2的等边三角形，AE=1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为．（1）若F是线段CD的中点，证明：EF⊥面DBC；（2）求二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值．19.如图所示，抛物线C：x2=2py（p＞0），其焦点为F，C上的一点M（4，m）满足|MF|=4．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点E（﹣1，0）作不经过原点的两条直线EA，EB分别与抛物线C和圆F：x2+（y﹣2）2=4相切于点A，B，试判断直线AB是否经过焦点F．答案解析部分一.<b >选择题</b>1.【答案】C【考点】直线的斜率【解析】【解答】解：∵点（﹣3，﹣1）和（4，﹣6）在直线3x﹣2y﹣a=0的两侧，∴（﹣9+2﹣a）（12+12﹣a）＜0，化为（a+7）（a﹣24）＜0，解得﹣7＜a＜24．故答案为：C．【分析】根据题意可知，把两个点代入直线方程可得（﹣9+2﹣a）（12+12﹣a）＜0，解出a的值即可。
高一(下学期)期末考试数学试卷
高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（ ） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（ ） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（ ） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0． （1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误． 故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误； 对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确． 故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件． 故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人， 设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ， 连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=， 所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝， 所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项 故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8， 则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确， 所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可． 【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥， 同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错； 因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ， 则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错． 故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒． 故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥． 又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥． （2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ． 又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=， 估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人， （3）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=， 即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=， 所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712． 【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节， 故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=， 乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=， 所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥， 又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ， 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。
高一下学期数学期末试卷含答案(共5套)
高一下学期期末考试数学试题第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}A |2,x x x R =≤∈，集合B 为函数y lg(1)x =-的定义域，则B A I （ ） A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(1,2]2.已知20.5log a =，0.52b =，20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．c b a <<3.一个单位有职工800人，其中高级职称160人，中级职称300人，初级职称240人，其余人员100人，为了解职工收入情况，现采取分层抽样的方法抽取容量为40的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别为（ ）A ．15,24,15,19B ．9,12,12,7C ．8,15,12,5D ．8,16,10,6 4.已知某程序框图如图所示，若输入实数x 为3，则输出的实数x 为（ ）A ．15B ．31 C.42 D ．63 5.为了得到函数4sin(2)5y x π=+，x R ∈的图像，只需把函数2sin()5y x π=+，x R ∈的图像上所有的点（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍．B ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标伸长到原来的2倍．C ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标缩短到原来的12倍． D ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标伸长到原来的2倍．6.函数()1ln f x x x=-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2) C.(2,3) D ．(3,4)7.下面茎叶图记录了在某项体育比赛中，九位裁判为一名选手打出的分数情况，则去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的方差为（ ）A ．327 B ．5 C.307D ．4 8.已知函数()222cos 2sin 1f x x x =-+，则（ ）A ．()f x 的最正周期为2π，最大值为3．B ．()f x 的最正周期为2π，最大值为1． C.()f x 的最正周期为π，最大值为3． D ．()f x 的最正周期为π，最大值为1．9.平面向量a r 与b r 的夹角为23π，(3,0)a =r ，||2b =r ，则|2|a b +=r r （ ）A C.7 D ．3 10.已知函数2log (),0()(5),0x x f x f x x -<⎧=⎨-≥⎩，则()2018f 等于（ ）A ．1-B ．2 C.()f x D ．111.设点E 、F 分别为直角ABC ∆的斜边BC 上的三等分点，已知3AB =，6AC =，则AE AF ⋅u u u r u u u r（ ）A ．10B ．9 C. 8 D ．712.气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第n 天的维修保养费为446(n )n N *+∈元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了（ ）A ．300天B ．400天 C.600天 D ．800天第Ⅱ卷 非选择题二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知θ为锐角且4tan 3θ=，则sin()2πθ-= ． 14.A 是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，它的长度不小于半径的概率为 ．15.若变量x ，y 满足2425()00x y x y f x x y +≤⎧⎪+≤⎪=⎨≥⎪⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值是 ．16.关于x 的不等式232x ax >+（a为实数）的解集为，则乘积ab 的值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在ABC ∆中，角A ，B C ，所对应的边分别为a ，b ，c ，且5a =，3A π=，cos B =（1）求b 的值； （2）求sin C 的值．18. 已知数列{}n a 中，前n 项和和n S 满足22n S n n =+，n N *∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设12n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19. 如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，AC AP >，60PAC ∠=︒，PC =10AP AC +=．（1）求sin ACP ∠的值；（2）若APB ∆的面积是，求AB 的长．20. 已知等差数列{}n a 的首项13a =，公差0d >．且1a 、2a 、3a 分别是等比数列{}n b 的第2、3、4项． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 满足2 (n 1)(n 2)n n na c ab =⎧=⎨⋅≥⎩，求122018c c c +++L 的值（结果保留指数形式）．21.为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位知道一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入．紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势．下表给出了2018年种植的一批试验紫甘薯在不同温度时6组死亡株数：经计算：615705i i i x y ==∑，6214140ii x ==∑，62110464i i y ==∑≈0.00174．其中i x ，i y 分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6.i =（1）y 与x 是否有较强的线性相关性？请计算相关系数r （精确到0.01）说明．（2）求y 与x 的回归方程ˆˆˆ+a y bx =（ˆb 和ˆa 都精确到0.01）；（3）用（2）中的线性回归模型预测温度为35C ︒时该批紫甘薯死亡株数（结果取整数）． 附：对于一组数据11(,v )u ，22(,v )u ，L L ，(,v )n n u ，①线性相关系数ni i u v nu vr -=∑，通常情况下当|r |大于0.8时，认为两个变量具有很强的线性相关性．②其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1221ˆni i i nii u v nu vunu β==-=-∑∑，ˆˆˆav u β=-；22.已知函数()2lg(a)1f x x =+-，a R ∈． （1）若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；（2）在在（1）的条件下，判断函数()y f x =与函数lg(2)xy =的图像公共点各数，并说明理由；（3）当[1,2)x ∈时，函数lg(2)x y =的图像始终在函数lg(42)xy =-的图象上方，求实数a 的取值范围．答案一、选择题答案9. 【解析】方法1： (1,b =-,2(1,a b +=±,|2|13a b +=。
2020-2021学年度高一下学期期末数学试题(有答案)
2020-2021学年度高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知，， O 是坐标原点，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据向量线性运算可得，由坐标可得结果.【详解】故选：【点睛】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.2．（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由两角和差正弦公式将所求式子化为，由特殊角三角函数值得到结果.【详解】故选：【点睛】本题考查利用两角和差正弦公式化简求值的问题，属于基础题.3．设，，则下列不等式成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：本题是选择题，可采用逐一检验，利用特殊值法进行检验，很快问题得以解决．解：∵a>b，c>d;∴设a=1，b=-1，c=-2，d=-5,选项A，1-（-2）>-1-（-5），不成立;选项B，1 （-2）>（- 1）（-5），不成立;取选项C，，不成立,故选D【考点】不等式的性质点评：本题主要考查了基本不等式，基本不等式在考纲中是C级要求，本题属于基础题4．若两个球的半径之比为，则这两球的体积之比为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据球的体积公式可知两球体积比为，进而得到结果.【详解】由球的体积公式知：两球的体积之比故选：【点睛】本题考查球的体积公式的应用，属于基础题.5．在等差数列中, ，则（）A．5 B．8 C．10 D．14【答案】B【解析】试题分析：设等差数列的公差为，由题设知，，所以，所以，故选B.【考点】等差数列通项公式.6．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，若，则等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由正弦定理将边化角可求得，根据三角形为锐角三角形可求得 .【详解】由正弦定理得：，即故选：【点睛】本题考查正弦定理边化角的应用问题，属于基础题.7．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理可构造方程求得；利用一元二次不等式的解法可求得结果.【详解】的解集为和是方程的两根，且，解得：解得：，即不等式的解集为故选：【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系等知识的应用；关键是能够通过一元二次不等式的解集确定一元二次方程的根，进而利用韦达定理构造方程求得变量.8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由三视图还原几何体，可知该几何体是由边长为的正方体切割得到的四棱锥，可知所求外接球即为正方体的外接球，通过求解正方体外接球半径，代入球的表面积公式可得到结果.【详解】由三视图可知，几何体为如下图所示的四棱锥：由上图可知：四棱锥可由边长为的正方体切割得到该正方体的外接球即为四棱锥的外接球四棱锥的外接球半径外接球的表面积故选：【点睛】本题考查棱锥外接球表面积的求解问题，关键是能够通过三视图还原几何体，并将几何体放入正方体中，通过求解正方体的外接球表面积得到结果；需明确正方体外接球表面积为其体对角线长的一半.9．已知等比数列的公比为，若，，则（）A．-7 B．-5 C．7 D．5【答案】A【解析】由等比数列通项公式可构造方程求得，再利用通项公式求得结果. 【详解】故选：【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算问题，考查基础公式的应用，属于基础题. 10．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则的最小角为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由三角形大边对大角可知所求角为角，利用余弦定理可求得，进而得到结果.【详解】的最小角为角，则故选：【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形的问题，关键是明确三角形中大边对大角的特点，进而根据余弦定理求得所求角的余弦值.11．若x＋2y＝4，则2 x ＋4 y 的最小值是（）A．4 B．8 C．2 D．4【答案】B【解析】试题分析：由，当且仅当时，即等号成立，故选B．【考点】基本不等式.12．已知数列且是首项为2，公差为1的等差数列，若数列是递增数列，且满足，则实数 a 的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据等差数列和等比数列的定义可确定是以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列通项公式，进而求得；由数列的单调性可知；分别在和两种情况下讨论可得的取值范围. 【详解】由题意得：，，是以为首项，为公比的等比数列为递增数列，即①当时，，，即只需即可满足②当时，，，即只需即可满足综上所述：实数的取值范围为故选：【点睛】本题考查根据数列的单调性求解参数范围的问题，涉及到等差和等比数列定义的应用、等比数列通项公式的求解、对数运算法则的应用等知识；解题关键是能够根据单调性得到关于变量和的关系式，进而通过分离变量的方式将问题转化为变量与关于的式子的最值的大小关系问题.二、填空题13．已知向量，，若，则实数___________.【答案】【解析】由垂直关系可得数量积等于零，根据数量积坐标运算构造方程求得结果.【详解】，解得：故答案为：【点睛】本题考查根据向量垂直关系求解参数值的问题，关键是明确两向量垂直，则向量数量积为零.14．若，则 __________．【答案】【解析】【详解】15．若数列满足，且，则 ___________.【答案】【解析】对已知等式左右取倒数可整理得到，进而得到为等差数列；利用等差数列通项公式可求得，进而得到的通项公式，从而求得结果.【详解】，即数列是以为首项，为公差的等差数列故答案为：【点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式的问题，关键是明确对于形式的递推关系式，采用倒数法来进行推导.16．如图所示， E ， F 分别是边长为1的正方形的边 BC ， CD 的中点，将其沿 AE ， AF ， EF 折起使得 B ， D ， C 三点重合.则所围成的三棱锥的体积为___________.【答案】【解析】根据折叠后不变的垂直关系，结合线面垂直判定定理可得到为三棱锥的高，由此可根据三棱锥体积公式求得结果.【详解】设点重合于点，如下图所示：，，又平面，平面，即为三棱锥的高故答案为：【点睛】本题考查立体几何折叠问题中的三棱锥体积的求解问题，处理折叠问题的关键是能够明确折叠后的不变量，即不变的垂直关系和长度关系.三、解答题17．已知等差数列的前 n 项和为，且， .（1）求；（2）求 .【答案】（1）；（2）【解析】（1）由可求得公差，利用等差数列通项公式求得结果；（2）利用等差数列前项和公式可求得结果.【详解】（1）设等差数列公差为，则，解得：（2）由（1）知：【点睛】本题考查等差数列通项公式和前项和的求解问题，考查基础公式的应用，属于基础题.18．已知向量，， .（1）若，求实数的值；（2）若，求向量与的夹角 .【答案】（1）；（2）【解析】（1）由向量平行的坐标表示可构造方程求得结果；（2）利用向量夹角公式可求得，进而根据向量夹角的范围求得结果.【详解】（1），解得：（2）又【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示、向量夹角的求解问题；考查学生对于平面向量坐标运算、数量积运算掌握的熟练程度，属于基础应用问题.19．在中，已知内角所对的边分别为，已知，，的面积 .（1）求边的长；（2）求的外接圆的半径 .【答案】（1）；（2）【解析】（1）由三角形面积公式可构造方程求得结果；（2）利用余弦定理可求得；利用正弦定理即可求得结果.【详解】（1）由得：，解得：（2）由余弦定理得：由正弦定理得：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形的问题，考查学生对于解三角形部分的公式掌握的熟练程度，属于基础应用问题.20．在直三棱柱 ABC － A 1 B 1 C 1 中， AC ＝3， BC ＝4， AB ＝5， AA 1 ＝4，点D 是 AB 的中点．求证：(1) AC ⊥ BC 1 ；(2) AC 1 ∥平面 CDB 1 .【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由勾股定理可证得为直角三角形即可证得，由直棱柱可知面，可证得，根据线面垂直的判定定理可证得面，从而可得．（2）设与的交点为，连结，由中位线可证得，根据线面平行的判定定理可证得平面．试题解析：证明：（1）证明：，，为直角三角形且，即．又∵三棱柱为直棱柱，面，面，，，面，面，．（2）设与的交点为，连结，是的中点，是的中点，．面，面，平面．【考点】1线线垂直，线面垂直；2线面平行．21．设数列的前n项和为，已知．（Ⅰ）求通项；（Ⅱ）设，求数列的前n项和．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，根据，构造，利用，两式相减得到，然后验证，得到数列的通项公式；（Ⅱ）由上一问可知.根据零点分和讨论去绝对值，利用分组转化求数列的和.试题解析：（Ⅰ）因为，所以当时，，两式相减得：当时，，因为,得到，解得，，所以数列是首项，公比为5的等比数列，则；（Ⅱ）由题意知，,易知当时，；时，所以当时，，当时，，所以，，……当时，又因为不满足满足上式，所以.【考点】1.已知求；2.分组转化法求和.【方法点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，，等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式两式相加除以2得到数列求和,（5）或是具有某些规律求和，（6）本题考查了等差数列绝对值求和，需讨论零点后分两段求和.22．已知且，比较与的大小.【答案】详见解析【解析】将两式作差可得，由、和可得大小关系.【详解】当且时，当时，当时，综上所述：当时，；当时，；当时，【点睛】本题考查作差法比较大小的问题，关键是能够根据所得的差进行分类讨论；易错点是忽略差等于零，即两式相等的情况.23．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD="40" m,则电视塔的高度为多少？【答案】40m．【解析】试题分析：本题是解三角形的实际应用题，根据题意分析出图中的数据，即∠ADB=30°，∠ACB=45°，所以，可以得出在Rt△ABD中，BD= AB，在Rt△ABC中，∴BC=AB．在△BCD中，由余弦定理，得BD 2 =BC 2 +CD 2 -2BC·CDcos∠BCD，代入数据，运算即可得出结果．试题解析：根据题意得，在Rt△ABD中，∠ADB=30°，∴BD= AB，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∴BC=AB．在△BCD中，由余弦定理，得BD 2 =BC 2 +CD 2 -2BC·CDcos∠BCD，∴3AB 2 =AB 2 +CD 2 -2AB·CDcos120°整理得AB 2 -20AB-800=0，解得，AB=40或AB=-20（舍）．即电视塔的高度为40 m【考点】解三角形．高一下学期数学期末考试试卷（含答案）考试时量： 120 分钟考试总分： 150 分一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1 ．已知集合，则A .B .C .D .2 ．下面是属于正六棱锥的侧视图的是3 ．给出以下命题：① 经过三点有且只有一个平面；② 垂直于同一直线的两条直线平行；③ 一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；④垂直于同一平面的两条直线平行 . 其中正确命题的个数有A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个4. 下列命题正确的是A ．幂函数的图象都经过、两点B ．当时，函数的图象是一条直线C ．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个函数一定相同D ．如果幂函数为偶函数，则图象一定经过点5 ．直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为A. B. C. 或 D. 或6 ．若函数定义域为，则的取值范围是A ．B ．且C ．D ．7 ．如图，在直角梯形中，，将沿折起，使得平面平面 . 在四面体中，下列说法正确的是A. 平面平面B. 平面平面C. 平面平面D. 平面平面8 . 中国古代数学名著《九章算术》中 , 将顶部为一线段，下底为一矩形的拟柱体称之为刍甍 (méng) ，如图几何体为刍甍，已知面是边长为 3 的正方形，，与面的距离为 2 ，则该多面体的体积为A. B.C. D.9 ．我们从这个商标中抽象出一个图像为右图，其对应的函数可能是A ．B ．C ．D ．10 ．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.11 ．若实数满足，则的取值范围是A. B.C. D.12 ．设函数有 5 个零点，且对一切实数均满足，则A. B. C. D.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上．13 ．给出下列平面图形：①三角形；②四边形；③五边形；④六边形 . 则过正方体中心的截面图形可以是（填序号）14 ．已知，则直线与直线的距离的最大值为15 ．已知函数，则函数恰好存在一个零点时，实数的取值范围为 ____________ ．16 ．圆锥 AO 底面圆半径为，母线长为，从中点拉一条绳子，绕圆锥一周转到点，则这条绳子最短时长度为三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。
(必考题)数学高一下期末基础卷(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12725]已知{}n a 是公差为d 的等差数列，前n 项和是n S ，若9810S S S <<，则（ ）A ．0d >，170S >B ．0d <，170S <C ．0d >，180S <D ．0d >，180S >2．(0分)[ID ：12723]已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为（ ）A ．B ．10CD ．83．(0分)[ID ：12722]ABC 中，已知sin cos cos a b cA B C==，则ABC 为（ ） A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形4．(0分)[ID ：12710]已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．(0分)[ID ：12689]函数()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．(0分)[ID ：12673]在ABC 中，已知,2,60a x b B ===，如果ABC 有两组解，则x 的取值范围是( )A ．23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ．23⎡⎢⎣⎦，C ．23⎡⎢⎣⎭，D ．2,3⎛ ⎝⎦7．(0分)[ID ：12635]已知01a b <<<，则下列不等式不成立．．．的是 A ．11()()22ab>B ．ln ln a b >C ．11a b> D ．11ln ln a b> 8．(0分)[ID ：12631]设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减9．(0分)[ID ：12669]已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A． B ．3(0,]4C． D ．3[,1)410．(0分)[ID ：12666]已知函数21(1)()2(1)a x x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-11．(0分)[ID ：12665]设函数，则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，其图象关于直线2x π=对称12．(0分)[ID ：12663]设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且f x f x -=（）（），则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增13．(0分)[ID ：12645]如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线14．(0分)[ID ：12640]在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则1BC 与侧面1ACC A 所成角的大小为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．9015．(0分)[ID ：12637]在ABC ∆中，2cos(,b,22A b c a c c+=分别为角,,A B C 的对边)，则ABC ∆的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形二、填空题16．(0分)[ID ：12812]奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 时，()21xf x =-，则()2log 11f =______.17．(0分)[ID ：12791]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1DD 、DC 上靠近点D 的三等分点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.18．(0分)[ID ：12783]函数()2sin sin 3f x x x =+-的最小值为________.19．(0分)[ID ：12781]已知数列{}n a 满足1121,2n n a a a n +==+，则na n的最小值为_______.20．(0分)[ID ：12777]已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.21．(0分)[ID ：12756]直线l 与圆22240(3)x y x y a a ++-+=<相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为(0,1)，则直线l 的方程为__________．22．(0分)[ID ：12769]设12a =，121n n a a +=+，21n n n a b a +=-，*n N ∈，则数列{}n b 的通项公式n b = ．23．(0分)[ID ：12765]设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)12πα+的值为______. 24．(0分)[ID ：12810]若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线，则m 的值为 ．25．(0分)[ID ：12760]△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________． 三、解答题26．(0分)[ID ：12928]某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示． 组号 分组频数 频率第1组 [)160,165 5 0.050第2组[)165,170①0.350第3组 [)170,17530 ②第4组 [)175,180 20 0.200第5组[)180,185100.100（1）请先求出频率分布表中,①②位置的相应数据，再完成频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率．27．(0分)[ID ：12889]已知：a b c 、、是同一平面内的三个向量，其中()1,2a = （1）若25c =，且//c a ，求c 的坐标； （2）若52b =，且2a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ. （3）若()1,1b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，求实数λ的取值范围. 28．(0分)[ID ：12865]已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．29．(0分)[ID ：12860]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===分别是11,AC BC 的中点．（1）求证: 平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证:1C F ∥平面ABE ； （3）求三棱锥E ABC -体积．30．(0分)[ID：12841]已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log44•23xa a⎡⎤⎢⎥⎣⎦－，若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．D3．B4．D5．A6．A7．B8．D9．A10．C11．D12．A13．B14．A15．A二、填空题16．【解析】【分析】易得函数周期为4则结合函数为奇函数可得再由时即可求解【详解】则又则故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用具体函数值的求法属于中档题17．【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面直线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连接在正方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等18．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值；19．【解析】【分析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式代入中由数列中的性质结合数列的单调性即可求得最小值【详解】因为所以从而…累加可得而所以则因为在递减在递增当时当时所以时取得最小值最小值为故答案20．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为21．【解析】【分析】【详解】设圆心直线的斜率为弦AB的中点为的斜率为则所以由点斜式得22．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4公比为2的等比数列则23．【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦24．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线25．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求和公式可判断出数列{}n a 的单调性，并结合等差数列的求和公式可得出结论. 【详解】9810S S S <<，90a ∴<，9100a a +>，100a ∴>，0d >. 179017S a =<∴，()1891090S a a =+>.故选：D. 【点睛】本题考查利用等差数列的前n 项和判断数列的单调性以及不等式，考查推理能力与计算能力，属于中等题.2．D解析：D【分析】b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-可知||cos ,2b a b <>=-，可求出||2b ≥，求22a b -的最小值即可得出结果.【详解】因为b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-， 所以||cos ,2b a b <>=-， 即2||cos ,b a b =-<>，而1cos ,0a b -≤<><，所以||2b ≥，因为2222222(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+22=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+所以22484464a b -≥+⨯=，即28a b -≥，故选D. 【点睛】本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.3．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 因为sin cos cos a b c A B C==，所以sin sin sin sin cos cos 4A B C B C A B C π==∴== , 即ABC 为等腰直角三角形. 故选：B .4．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.5．A解析：A 【解析】 【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形，然后求解其单调区间即可. 【详解】 函数的解析式即：()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其单调增区间满足：()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得：()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A . 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，三角函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．A解析：A 【解析】 【分析】已知,,a b B ，若ABC 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得2x <<故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 7．B 解析：B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，以及不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出不等式不成立的选项. 【详解】依题意01a b <<<，由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为定义域上的减函数，故11()()22a b >，故A 选项不等式成立.由于ln y x =为定义域上的增函数，故ln ln 0a b <<，则11ln ln a b>，所以B 选项不等式不成立，D 选项不等式成立.由于01a b <<<，故11a b>，所以C 选项不等式成立.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性，考查不等式的性质，属于基础题.8．D解析：D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误． 故选D.9．A解析：A 【解析】试题分析：设1F 是椭圆的左焦点，由于直线:340l x y -=过原点，因此,A B 两点关于原点对称，从而1AF BF 是平行四边形，所以14BF BF AF BF +=+=，即24a =，2a =，设(0,)M b ，则45b d =，所以4455b ≥，1b ≥，即12b ≤<，又22224c a b b =-=-，所以0c <≤02c a <≤．故选A ． 考点：椭圆的几何性质．【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得,a c 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出AF BF +就是2a ，从而得2a =，于是只有由点到直线的距离得出b 的范围，就得出c 的取值范围，从而得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．10．C解析：C 【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a af x x f x x x=++'=-在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．11．D解析：D 【解析】()sin(2)cos(2))2442f x x x x x πππ=+++=+=,由02,x π<<得02x π<<，再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.12．A解析：A 【解析】 【分析】将f(x)化简，求得ωφ，，再进行判断即可. 【详解】()πf x ωx φ,4⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∵最小正周期为2ππ,π,ω∴=得ω2=，又f x f x （）（）-=为偶函数，所以ππφk π42-=+, k Z ∈∵πφ2<,∴k=-1,()πππφ,f x 2x 444⎛⎫=-∴=--= ⎪⎝⎭,当2k π2x 2k ππ≤≤+,即πk πx k π2≤≤+,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意， 故选A. 【点睛】本题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.13．B解析：B 【解析】 【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 【详解】如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ． 连BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ．,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===，35,,722MF BF BM ==∴=．BM EN ∴≠，故选B ． 【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性．14．A解析：A 【解析】 【分析】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ，求得1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角，在1BC O ∆中，即可求解． 【详解】由题意，取AC 的中点O ，连结1,BO C O ,因为正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1， 所以1,BO AC BO AA ⊥⊥，因为1AC AA A ⋂=，所以BO ⊥平面11ACC A ， 所以1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角， 因为222113131(),(2)()2222BO C O =-==+=， 所以11332tan 332BO BC O OC ∠===， 所以0130BC O ∠=，1BC 与侧面11ACC A 所成的角030．【点睛】本题主要考查了直线与平面所成的角的求解，其中解答中空间几何体的线面位置关系，得到1BC O ∠是1BC 与侧面11ACC A 所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化与化归思想，属于中档试题．15．A解析：A 【解析】 【分析】 根据正弦定理得到1cos sin sin 22sin A B C C ++=，化简得到sin cos 0A C =，得到2C π=，得到答案. 【详解】2cos 22A b c c +=，则1cos sin sin 22sin A B CC++=， 即sin cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C C +=++，即sin cos 0A C =，sin 0A ≠，故cos 0C =，2C π=.故选：A . 【点睛】本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题16．【解析】【分析】易得函数周期为4则结合函数为奇函数可得再由时即可求解【详解】则又则故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用具体函数值的求法属于中档题解析：511-【解析】 【分析】易得函数周期为4，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，结合函数为奇函数可得222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，再由01x 时，()21xf x =-即可求解 【详解】()()(2)()4(2)4f x f x f x f x f x T +=-⇒+=-+=⇒=，则()()22211log 11log 114log 16f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 又222111616log log log 161111f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，[]216log 0,111∈， 则216log 112165log 211111f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：511- 【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用，具体函数值的求法，属于中档题17．【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面直线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连接在正方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等 解析：60【解析】 【分析】连接1CD ，可得出1//EF CD ，证明出四边形11A BCD 为平行四边形，可得11//A B CD ，可得出异面直线EF 与11A C 所成角为11BA C ∠或其补角，分析11A BC ∆的形状，即可得出11BA C ∠的大小，即可得出答案.【详解】连接1CD 、1A B 、1BC ，113DE DF DD DC ==，1//EF CD ∴， 在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D AD ，//AD BC ，11//A D BC ∴， 所以，四边形11A BCD 为平行四边形，11//A B CD ∴， 所以，异面直线EF 与11A C 所成的角为11BA C ∠. 易知11A BC ∆为等边三角形，1160BA C ∴∠=.故答案为：60. 【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.18．【解析】【分析】利用换元法令然后利用配方法求其最小值【详解】令则当时函数有最小值故答案为【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式性求最值； 解析：134-【解析】 【分析】利用换元法，令sin x t =，[]1,1t ∈-，然后利用配方法求其最小值． 【详解】令sin x t =，[]1,1t ∈-，则2113324y t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当12t =-时，函数有最小值134-，故答案为134-.【点睛】求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x by c x d+=+的可化为sin ()x y φ=的形式性求最值；③sin cos y a x b x =+型，可化为)y x φ=+求最值；④形如()sin cos sin cos y a x x b x x c =±++可设sin cos ,x t ±=换元后利用配方法求最值. 19．【解析】【分析】根据递推公式和累加法可求得数列的通项公式代入中由数列中的性质结合数列的单调性即可求得最小值【详解】因为所以从而…累加可得而所以则因为在递减在递增当时当时所以时取得最小值最小值为故答案解析：415. 【解析】 【分析】根据递推公式和累加法可求得数列{}n a 的通项公式.代入na n中,由数列中*n N ∈的性质,结合数列的单调性即可求得最小值. 【详解】因为12n n a a n +=+,所以12n n a a n +-=, 从而12(1)(2)n n a a n n --=-≥ …,3222a a -=⨯ 2121a a -=⨯,累加可得12[12(1)]n a a n -=⨯++⋅⋅⋅+-,2(1)22n nn n -=⨯=- 而121,a =所以221n a n n =-+,则221211n a n n n n n n-+==+-, 因为21()1f n n n=+-在(0,4]递减,在[5,)+∞递增 当4n =时,338.254n a n ==, 当5n =时,418.25n a n ==, 所以5n =时n a n 取得最小值,最小值为415. 故答案为:415【点睛】本题考查了利用递推公式及累加法求数列通项公式的方法,数列单调性及自变量取值的特征,属于中档题.20．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为解析：()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭. 21．【解析】【分析】【详解】设圆心直线的斜率为弦AB 的中点为的斜率为则所以由点斜式得解析：10x y -+=. 【解析】 【分析】 【详解】设圆心O ，直线l 的斜率为k ，弦AB 的中点为P ，PO 的斜率为op k ，2110op k -=--则l PO ⊥，所以k (1)11op k k k ⋅=⋅-=-∴=由点斜式得1y x =+．22．2n+1【解析】由条件得且所以数列是首项为4公比为2的等比数列则解析：2n+1 【解析】由条件得111112222222111n n n n n n n n a a a b b a a a ++++++++====---，且14b =，所以数列{}n b 是首项为4，公比为2的等比数列，则11422n n n b -+=⋅=．23．【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦解析：50【解析】试题分析：247cos(2)213525πα⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭，24sin(2)325πα+=，所以sin(2)sin(2)1234πππαα+=+-2472525⎫=-=⎪⎝⎭ 考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．【思路点晴】本题主要考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式.题目的已知条件是单倍角，并且加了6π，我们考虑它的二倍角的情况，即247cos(2)213525πα⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭，同时求出其正弦值24sin(2)325πα+=，而要求的角sin(2)sin(2)1234πππαα+=+-，再利用两角差的正弦公式，就能求出结果.在求解过程中要注意正负号.24．【解析】试题分析：依题意有即解得考点：三点共线 解析：12【解析】试题分析：依题意有AB AC k k =，即531522m --=+，解得12m =. 考点：三点共线．25．【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦定理结合题中的条件可以得到可以断定为锐角从而求得进一步求得利用三角形面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余弦定理可【解析】 【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=，化简求得1sin 2A =，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到2cos 8bc A =，可以断定A 为锐角，从而求得cos A =，进一步求得bc =，利用三角形面积公式求得结果. 【详解】因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=，结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =， 所以A 为锐角，且3cos 2A =，从而求得833bc =， 所以ABC ∆的面积为1183123sin 22323S bc A ==⋅⋅=，故答案是233. 【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30、45、60等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.三、解答题 26．（1）①35人，②0.300，直方图见解析；（2）3人、2人、1人；（3）35. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图能求出第2组的频数，第3组的频率，从而完成频率分布直方图． （2）根据第3,4,5组的频数计算频率，利用各层的比例，能求出第3,4,5组分别抽取进入第二轮面试的人数．（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为1C ，利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求得概率． 【详解】（1）①由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人，②第3组的频率为300.300100=， 频率分布直方图如图所示，（2）因为第3,4,5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为： 第3组： 306360⨯=人， 第4组：人，第5组：106160⨯=人， 所以第3,4,5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为1C ，则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法，分别为：12,A A （），13,A A （），11,A B （），12,A B （），11,A C （），23,A A （），21,A B （），22,A B （），21,A C （），31,A B （），32,A B （），31,A C （），12,B B （），11,B C （），21,B C （），其中第4组的2位同学12,B B 中至少有一位同学入选的有9种，分别为：11122122A B A B A B A B （，），（，），（，），（，），31321211A B A B B B B C （，），（，），（，），（，），21B C （，），∴第4组至少有一名学生被A 考官面试的概率为93155=． 【点睛】本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题．27．（1）（2,4）或（-2，-4） （2）π （3）()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）设(,)c x y =，根据条件列方程组解出即可；（2）令(2)(2)0a b a b +⋅-=求出a b ⋅，代入夹角公式计算；（3）利用()0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不同向共线，列不等式求出实数λ的取值范围. 【详解】 解：设(,)c x y =， ∵25c =，且//c a ，∴222020y x x y -=⎧⎨+=⎩，解得24x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=-⎩， ∴(2,4)c =或(2,4)c =--；（2）∵2a b +与2a b -垂直， ∴(2)(2)0a b a b +⋅-=， 即222320a a b b +⋅-=， ∴52a b ⋅=-， ∴52cos 1||||5a ba b θ-⋅===-⋅，∴a 与b 的夹角为π； （3）a 与a λb +的夹角为锐角则()0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不同向共线，()25(12)0a aa ab b λλλ+==+>∴⋅++⋅，解得：53λ>-， 若存在t ，使()a b a t λ=+，0t >()()1,21,1(1,2)a b λλλλ+=+=++则()1,2(1,2)t λλ=++，122t t t t λλ+=⎧∴⎨+=⎩，解得：10t λ=⎧⎨=⎩， 所以53λ>-且0λ≠，实数λ的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，利用数量积研究夹角，注意夹角为锐角，数量积大于零，但不能同向共线，夹角为钝角，数量积小于零，但不能反向共线，本题是中档题．28．（1）11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析；（3）12n n a n -=⋅.【解析】 【分析】（1）根据题中条件所给的数列{}n a 的递推公式()121n n na n a +=+，将其化为()121n n n a a n++=，分别令1n =和2n =，代入上式求得24a =和312a =，再利用nn a b n=，从而求得11b =，22b =，34b =； （2）利用条件可以得到121n na a n n+=+，从而 可以得出12n n b b +=，这样就可以得到数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列； （3）借助等比数列的通项公式求得12n na n-=，从而求得12n n a n -=⋅. 【详解】（1）由条件可得()121n n n a a n++=．将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =． 将2n =代入得，323a a =，所以，312a =． 从而11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n na a n n+=+，即12n n b b +=，又11b =， 所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列； （3）由（2）可得11122n n nn a b n--==⨯=，所以12n n a n -=⋅． 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列{}n b 的通项公式，借助于{}n b 的通项公式求得数列{}n a 的通项公式，从而求得最后的结果.29．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3 【解析】试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式.（1）在三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ，所以1BB ⊥AB ，又因为AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面11B BCC ，因为AB ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面11B BCC .（2）取AB 中点G ，连结EG ，FG ，因为E ，F 分别是11A C 、BC 的中点，所以FG ∥AC ，且FG=12AC ， 因为AC ∥11A C ，且AC=11A C ，所以FG ∥1EC ，且FG=1EC ， 所以四边形1FGEC 为平行四边形，所以1//C F EG ， 又因为EG ⊂平面ABE ，1C F ⊄平面ABE ， 所以1//C F 平面ABE .（3）因为1AA =AC=2，BC=1，AB ⊥BC ，所以AB=223AC BC -=，所以三棱锥E ABC -的体积为：113ABC V S AA ∆=⋅=1131232⨯⨯⨯⨯=33. 考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．30．（1）k ＝－12.（2）{－3}∪(1，＋∞)． 【解析】(1)由函数f(x)是偶函数，可知f(x)＝f(－x)， ∴log 4(4x ＋1)＋kx ＝log 4(4－x ＋1)－kx.log 44141x x －＋＋＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－12.(2)函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 44•23xa a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－有且只有一个实根，化简得方程2x ＋12x＝a·2x－43a 有且只有一个实根．令t ＝2x >0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根． ①a ＝1t ＝－34，不合题意；②a≠1时，Δ＝0a ＝34或－3.若a ＝34t ＝－2，不合题意，若a ＝－3t ＝12；③a≠1时，Δ>0，一个正根与一个负根，即11a --<0a>1. 综上，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞)．。
高一数学期末复习题三(试题和答案)
高一数学期末复习题(三)一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)1．设集合M={x|-1≤x<2},N={x|x-k ≤0},若M ∩N ≠∅,则k 的取值范围是（ ） A.k ≤2 B.k ≥-1 C.k>-1 D.-1≤k ≤2 解析：由图形可知k ≥-1.答案：B2．设f 是从集合A 到集合B 的映射，下列四个说法，其中正确的是（ ）①集合A 中的每一个元素在集合B 中都有元素与之对应 ②集合B 中的每一个元素在集合A 中也都有元素与之对应 ③集合A 中不同的元素在集合B 中的对应元素也不同 ④集合B 中不同的元素在集合A 中的对应元素也不同A.①和②B.②和③C.③和④D.①和④思路解析：根据映射的定义，从集合A 到集合B 的映射f ，只要求集合A 的每一个元素在集合B 中都有“唯一”“确定”的元素与之对应即可.即集合A 中不同的元素在集合B 中的对应元素可以相同，也没有要求集合B 中的元素在集合A 中都要有对应元素.解：①符合映射的定义，∴正确；映射的定义不要求集合B 中的元素在集合A 中都要有对应元素，∴②不正确；集合A 中不同的元素在集合B 中的对应元素可以相同，∴③不正确；④正确.∵如果集合B 中不同的元素在集合A 中的对应元素相同，那么就违背了映射定义的“唯一”性原则.综上，①和④正确，因此，选D. 答案：D3．函数y=(21)x -(21)-x是（ ） A.奇函数,在(0,+∞)上是减函数 B.偶函数,在(0,+∞)上是减函数C.奇函数,在(0,+∞)上是增函数D.偶函数,在(0,+∞)上是增函数解析：利用奇偶性定义可知为奇函数，再取特殊点验证知在（0，+∞）上单调递减. 答案：A4．若函数f(x)=3sin(2x+5θ)的图象关于y 轴对称，则( )A.1052πθθ+=k ，k ∈Z B.552ππθ+=k ，k ∈Z C.552πθθ+=k ，k ∈Z D.55ππθ+=k ，k ∈Z 思路分析:∵函数f(x)=3sin(2x+5θ)的图象关于y 轴对称，∴当x=0时，有5θ=kπ+2π，k ∈Z ，∴θ=105ππ+k ，k ∈Z .故B 正确. 答案:B5．下列各等式中，正确的是（ ）A.44a =|a|B.3622)2(-=-C.a 0=1 D.21105)12()12(-=-思路解析：要想判断等式是否正确，首先要使等式两边都有意义，然后计算两边的值，如果相等则正确，如果不相等，则不正确，在计算时要充分应用幂的运算法则.解：44a =|a|，由于不知道a 的符号，因此A 不正确；∵62)2(-＞0，32-＜0,∴62)2(-≠32-.因此B 不正确；如果 a=0，则a 0没有意义，因此C 也不正确；∵2＞1,∴105)12(-=21105)12()12(-=-.∴D 正确.因此，选D. 答案：D6．已知0＜α＜2π＜β＜π，又sinα=53，cos(α+β)=54-，则sinβ等于( )A.0B.0或2524C.2524D.±2524思路分析:∵0＜α＜2π＜β＜π，∴2π＜α+β＜23π.∵sinα=53.∴cosα=54.由cos(α+β)=-54＜0,得sin(α+β)=±53.∴sinβ=sin ［(α+β)-α］=sin(α+β)·cosα-cos(α+β)·sinα053)54(5453=∙--∙±=或2524. 又∵2π＜β＜π，∴sinβ=2524.答案:C7．函数y=122+x x的值域是（ ）A.{x|0<x<1}B.{x|0<x ≤1}C.{x|x>0}D.{x|x ≥0} 思路解析：求值域要在定义域中求，本题中函数的定义域为R ，∴要求值域就要对函数解析式进行变形，由于分子和分母的“次数”相同，因此想到部分分式法.或者根据指数函数y= 2x 的值域为正，即2x ＞0来求解. 解法一：因此y=122+x x=1-121+x. 又∵2x +1＞1,∴0＜121+x ＜1,∴0＜y ＜1. 因此，选A. 解法二：由2x =yy-1＞0， 得0＜y ＜1.因此，选A. 答案：A8．对于函数f(x)=2sin(2x+3π),给出下列结论: ①图象关于原点成中心对称;②图象关于直线x=12π成轴对称;③图象可由函数y=2sin2x 的图象向左平移3π个单位得到;④图象向左平移12π个单位,即得到函数y=2cos2x 的图象.其中正确结论的个数为( )A.0B.1C.2D.3解析:∵f(x)是非奇非偶函数,∴①错误. ∵f(x)是由y=2sin2x 向左平移6π得到的, ∴③错误. 把x=12π代入f(x)中使函数取到最值, ∴②正确.f(x)=2sin(2x+3π)−−−−→−个单位左移12πf(x)=2sin ［2(x+12π)+3π］=2cos2x, ∴④正确.答案:C9．偶函数y=f(x)(x ∈R)在x<0时是增函数,若x 1<0,x 2>0且|x 1|<|x 2|,下列结论中正确的是（ ） A.f(-x 1)<f(-x 2) B.f(-x 1)>f(-x 2)C.f(-x 1)=f(-x 2)D.f(-x 1)和f(-x 2)的大小关系不能确定 解析：由条件知-x 2＜x 1，∴f(-x 2)＜f(x 1),又f(x)是偶函数， ∴f(-x 1)=f(x 1)，∴f(-x 2)＜f(-x 1). 答案：B10．设函数f(x)=sin3x+|sin3x|,则f(x)为( )A.周期函数,最小正周期为3πB.周期函数,最小正周期为32πC.周期函数,最小正周期为2πD.非周期函数 解析:f(x)=sin3x+|sin3x|=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<<++≤≤.3232332,0,33232,3sin 2πππππππk x k k x k x∴B 正确. 答案:B11．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到一定温度，即可用来洗浴．洗浴时，已知每分钟放水34升，在放水的同时按4升/分钟2的匀加速度自动注水．当水箱内的水量达到最小值时，放水程序自动停止，现假定每人洗浴用水量为65升，则该热水器一次至多可供（ ） A. 3人洗浴 B. 4人洗浴 C. 5人洗浴 D. 6人洗浴思路解析：设经过时间t 时水箱中的水量为y,可知y=2t 2-34t+200,当t=434=217时,y 取得最小值,此时放水为172,易求出至多可供四人洗浴.12．已知函数f(x)=asin(x-φ)(a≠0,x ∈R ）在x=4π处取得最小值，则函数y=f(43π-x)是（ ）A.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称B.偶函数且它的图象关于点(23π,0)对称C.奇函数且它的图象关于点(23π,0)对称 D.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称思路解析：f(x)=asin(x-φ)的周期为2π，函数在x=4π处取得最小值，不妨设f(x)=sin(x-43π)，则函数y=f(43π-x)=sin(43π-x-43π)=sinx ， 所以y=f(43π-x)是奇函数且它的图象关于点(π,0)对称.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上)13．如果函数y=x 2+2x+m+3至多有一个零点，则m 的取值范围是_________________. 解析：Δ=4-4(m+3)≤0，解得m ≥-2. 答案：［-2，+∞） .14．在△ABC 中，若sinB·sinC=2cos 2A，则此三角形为_______.思路分析:∵A+B+C=π，∴A=π-(B+C).又∵sinB·sinC=cos 22A ，∴21［cos(B-C)-cos(B+C)］=21 (1+cosA),即cos(B-C)-cos(B+C)=1+cosA.又∵cos(B+C)=-cosA ，∴cos(B-C)=1. 又∵-π＜B-C ＜π，∴B-C=0，即B=C. ∴△ABC 是等腰三角形. 答案:等腰三角形 .15．①已知函数y=21log (x 2-2x+a)定义域为R ，则a 的取值范围是_____________，②已知函数y=21log (x 2-2x+a)值域为R ，则a 的取值范围是________________.思路解析：两题乍一看似乎一样，但若仔细分析，其设问角度不同，解题方法也有区别.①对x ∈R ,x 2-2x+a ＞0恒成立，②由于当t ∈(0,+∞)时,21log t ∈R 故要求x 2-2x+a 取遍每一个正实数,换言之,若x 2-2x+a 的取值范围为D,则(0,+∞)∈D.①x 2-2x+a=(x-1)2+a-1≥a-1,故只要a-1＞0则x ∈R 时,x 2-2x+a ＞0恒成立.因此，填a ＞1；②x 2-2x+a=(x-1)2+a-1≥a-1,故x 2-2x+a 的取值范围为［a-1, +∞］，要求(0,+∞) ⊆［a-1, +∞)只要a-1≤0.因此，填a ≤1.答案：a ＞1 a ≤116．函数y=1gsinx+216x -的定义域是________________.思路解析：要使函数有意义，x 应满足下列不等式组⎩⎨⎧≥->.016.0sin 2x x 解得⎩⎨⎧≤≤-∈+<<.44),(22x Z k k x k πππ当k=0时，不等式组的解为0＜x ＜π； 当k=-1时，不等式组的解为-4≤x ＜-π； 当k 取其他整数时，无解.所以定义域为{x|-4≤x ＜-π或0＜x ＜π}. 答案：{x|-4≤x ＜-π或0＜x ＜π}三、解答题(本大题共5小题，共56分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)17．已知集合A={x|(x-2)[x-(3a+1)]<0},B={x|)1(22+--a x ax <0}. （1）当a=2时，求A ∩B;（2）求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．解：（1）当a=2时，A=(2,7)，B=(4,5),∴A ∩B=(4,5).（2）∵B=(2a,a 2+1) 当a<13时,A=(3a+1,2) , 要使B ⊆A ，必须⎩⎨⎧≤++≥212132a a a ,此时a=-1；当a=31时，A ＝∅，使B ⊆A 的a 不存在； 当a>31时，A ＝（2，3a ＋1）,要使B ⊆A ，必须⎩⎨⎧+≤+≥131222a a a ,此时1≤a ≤3.综上,可知使B ⊆A 的实数a 的取值范围为［1，3］∪{－1}.18．（1）.求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx 的最大值.思路分析：sinx+cosx 与sinxcosx 有相互转化的关系，若将sinx+cosx 看成整体，设为新的元，函数式可转化为新元的函数式，注意新元的取值范围.解：设sinx+cosx=t ，t ∈［2,2-］，则(sinx+cosx)2=t 2，即1+2sinxcosx=t 2，sinxcosx=212-t .1)1(2121)2(2121222-+=-+=-+=t t t t t y ，当t=2时，y max =212+（2）.已知tanα-4sinβ=3，3tanα+4sinβ=1，且α是第三象限角，β是第四象限角，求α、β.思路分析：由已知利用方程组求出tanα和sinβ，再依据α和β所在的象限，确定其具体值，注意要写出所有的角.解：由⎩⎨⎧=+=-,1sin 4tan 3,3sin 4tan βαβα得⎪⎩⎪⎨⎧-==.21sin ,1tan βα由tanα=1，α是第三象限角，∴α=2kπ+45π，k ∈Z . 由sinβ=21-且β是第四象限角，∴β=2kπ-6π，k ∈Z .19．已知函数2221()(xx a f x a+=-为常数). (1)证明:函数f(x)在()-∞,+∞上是减函数; (2)若f(x)为奇函数,求a 的值.解:(1)在()-∞,+∞上任取两个值12x x ,且12x x <,12122212222121()()()()xxx x a a f x f x ++-=--- 2121211222222121(21)(21)x x x xx x x x -++++=-=, ∵2>1且12x x <,∴21220x x->.又12(21)(21)0x x++>,∴12()()0f x f x ->,即12()()f x f x >. ∴函数f(x)在()-∞,+∞上是减函数. (2)∵f(x)为奇函数且在x=0处有意义,∴f(0)=0,即0022210a +-=.∴a=1.20．已知某海滨浴场的海浪高度y(m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据: t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(m) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b 的图象.(1)根据以上数据,求出函数y=Aco sωt+b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式;(2)依据规定,当海浪高度高于1 m 时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的上午8:00至晚上20:00之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行运动? 解析:由表中数据,知周期T=12.∴ω=1222ππ=T =6π.① 由t=0,y=1.5,得A+b=1.5.② 由t=3,y=1.0,得b=1.0.由①②得A=0.5,b=1.0,∴振幅为21. ∴y=21cos 6πt+1. (2)由题知,当y ＞1时才可对冲浪者开放.∴21cos 6πt+1＞1,∴cos 6πt ＞0. ∴2kπ-2π＜6πt ＜2kπ+2π,即12k-3＜t ＜12k+3.③故可令③中k 分别为0,1,2,得0≤t ＜3或9＜t ＜15或21＜t≤24.∴在规定的时间上午8:00至晚上20:00之间,有6个小时时间可供冲浪者运动,即上午9:00至下午15:00. 21．已知函数f(x)=log 11(xa x +-其中a>0且1)a ≠.(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的奇偶性并给出证明;(3)若12[0]x ∈,时,函数f(x)的值域是[0,1],求实数a 的值.解:(1)由条件知110x x +->,解得-1<x<1.∴函数f(x)的定义域为(-1,1). (2)函数f(x)为奇函数.证明:由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称.f(-x)=log 11x a x -+=-log 11()xa x f x +-=-.因此f(x)是奇函数.(3)f(x)=log 11x a x +-=log 121x a x -+- =log 1211()x a x x ---+=log 21(1)a x ---,记21()1x g x -=--,则21()1x g x -=--在12[0],上单调递增,因此当a>1时,f(x)在12[0],上单调递增, 由12()1f =,得a=3;当0<a<1时,f(x)在12[0],上单调递减, 由f(0)=1得出矛盾a ,∈;综上可知a=3。
高一数学复习试题(含答案)
高一数学复习试题（含答案）一、数与式一、判断题 (每题2分，共10分)（ ）1.设a ﹐b ∈R 且|a | + |b | = |a - b |﹐则ab ≤0﹒ （ ）2.若r < s 且r ﹐s ∈Q ﹐则r <3r ss +<必成立﹒ （ ）3.若a ﹐b ∈Q ﹐c ﹐d ∉Q 且a + c = b + d ﹐则a = b 且c = d ﹒ （ ）4.已知a ﹐b ∈R ﹐若a + b 和a - b ∈Q ﹐则a ﹐b ∈Q ﹒ （ ）5.若a ﹐b 为有理数﹐则a + b ﹐ab 皆为有理数﹒二、单选题 (每题5分，共15分)（ ）1.(1) 3 (2) 4 (3)5 (4) 6 (5) 7（ ）2.请比较下列大小关系：a b =3c =﹒(1) a > b > c (2) a > c > b (3) b > c > a (4) c > b > a (5) c > a > b（ ）3.设a ﹐b ﹐c ﹐d ∈ R ﹐若a < b ﹐c < d ﹐则下列叙述何者正确﹖(1) a - c < b - d (2) ac < bd (3) bd < ac (4) ad < bc (5) a + c < b + d三、多选题 (每题6分，只错一个答案得3分，共18分)（ ）1.a ﹐b ∈R ﹐下列何者为真﹖(1)若|a | + |b | = |a + b |﹐则ab > 0 (2)若ab > 0﹐则|a | + |b | = |a + b | (3) |a | + |b | > |a - b | (4) |a + b |≤|a | + |b | (5) - |a |≤a ≤|a |（ ）2.下列何者不正确﹖(2)两个有理数之间必有一整数 (3)若p 理数(4) a ﹐b 为实数﹐若a + 0﹐则a = b = 0 (5)循环小数为无理数（ ）3.下列哪些数是无理数﹖(1) 3四、填充题 (每格5分，共35分)1.设x ∈R ﹐则y = | x - 1 | + | x - 2 | + | x - 3 | 之最小值为____________﹒2.用一条长度60公尺的绳子在河边围成一矩形菜圃﹐且河边不围绳﹐则其可围成的面积之最大值为____________平方公尺﹒3.设x ﹐y ∈Q 且(x , y ) = ____________﹒4.a﹐小数部分为b（01b≤<）﹐求11b a b-=+____________﹒5.把循环小数8.15374化为最简分数得____________﹒6.x﹐y∈N且x>y﹐则(x﹐y) = ____________﹒7.设x﹐y∈R且(2x+ 3y)2+ (4x-y- 1)2= 0﹐则x+y= ____________﹒五、计算证明题(第1题8分，第2题14分，共22分)1.a﹐b是有理数﹐且a b<﹐试比较a﹐45a b+﹐325a b+﹐235a b+﹐45a b+﹐b之大小﹒2.(1)设n是正整数﹐试证：若2n是3的倍数﹐则n是3的倍数﹒（7分）(2)（7分）一、判断题(每题2分，共10分)1.○2.╳3.╳4.○5.○二、单选题(每题5分，共15分)1.22.43.5三、多选题(每题6分，只错一个答案得3分，共18分)1.2452.12453.1345四、填充题(每格5分，共35分)1.22.4503.(1, - 1)4.15.814559999006.(2﹐1)7.114五、计算证明题(第1题8分，第2题14分，共22分)1.45a ba+<325a b+<235a b+<45a bb+<<2.(1)见解析;(2)见解析二、多项式函数一、判断题 (每题2分，共10分)（ ）1.201x x -≤+之解与(x - 2)(x + 1) ≤ 0之解相同﹒ （ ）2.奇数次方实系数多项方程式至少有一实根﹒ （ ）3.若a ﹐b 为复数且a 2 + b 2 = 0﹐则a = 0且b = 0﹒（ ）4.设f (x )﹐g (x )为二多项式且g (x ) ≠ 0﹐若有二多项式q (x )﹐r (x )使得f (x ) = g (x ) ⨯ q (x ) + r (x )﹐则r (x )称为f (x )除以g (x )的余式﹒（ ）5.f (x ) = (x - 1)2 + (x - 2)2 + (x - 3)2﹐则在x = 2时﹐f (x )有最小值﹒二、单选题 (每题5分，共15分)（ ）1.下列何者的解为无解﹖(1) x 2 - x + 1 ≥ 0 (2) x 2 + x + 3 ≤ 0 (3) x 2 + 4x + 4 ≤ 0 (4) x 2 + x - 1 > 0 (5) x 2 - x - 3 ≤ 0（ ）2.设α﹐β为x 2 + 6x + 4 = 0之二根﹐则(α+β)2 =﹖(1) - 2 (2) - 4 (3) - 6 (4) - 8 (5) - 10（ ）3.设f (x ) = x 3 - 2x 2 - x + 5﹐则f (f (x ))除以(x - 2)的余式为(1) 7 (2) 9 (3) - 8 (4) - 15 (5) 11三、多选题 (每题6分，只错一个答案得3分，共18分)（ ）1.下列叙述何者正确﹖(1)设f (x ) = a n x n + a n - 1x n - 1 +…+ a 1x + a 0为整系数n 次多项式﹐a ﹐b 为整数且(a , b ) = 1﹐若a | a n ﹐b |a 0﹐则ax - b 是f (x )的因式 (2)设a ﹐b 为相异实数﹐若实系数多项式方程式f (x ) = 0在a ﹐b 之间至少有一实根﹐则f (a ) f (b ) < 0 (3)一个奇数次的实系数多项式方程式f (x ) = 0至少会有一实根 (4)整系数多项式方程式f (x ) = 0有一根一根3(5)实系数多项式方程式f (x ) = 0i i（ ）2.设a ﹐b ∈ R ﹐b ≠ 0﹐则下列叙述何者正确﹖(1)2a = | a | (2) (a )2 = a (3)a -=a i (4)ab =ab (5)ba =ba（ ）3.xy 平面上﹐有关图形的叙述﹐何者正确﹖(1) y = x 2图形对称于x 轴 (2) y = x 2对于x 轴的对称图形为y = - x 2 (3) y = x 2 + 2图形系由y = x 2向上平移2单位而得 (4) y = (x + 1)2 + 2图形系由y = x 2向右平移1单位﹐再向上平移2单位而得(5) y = (2x + 1)2 - 2图形的对称轴为2x + 1 = 0四、填充题 (每格5分，共35分)1.设a ﹐b 为定数﹐且ax 2 + bx + 10 > 0的解为 - 2 < x < 5﹐则不等式2ax 2 - bx + 5 < 0的解为__________﹒2.设a ﹐b 为实数﹐且多项方程式x 3 + ax 2 + bx + 10 = 0有一根为1 + 2i ﹐求此方程式的实数根为__________﹒3.若f (x ) ∈ R [x ]且deg f (x ) ≥ 3﹐已知f (x )除以(x + 1)2余3x + 2﹐f (x )除以(x - 1)2余2x + 1﹐则f (x )除以(x - 1)(x + 1)2之余式为____________﹒4.设f (x ) = (x 2 - x + 1) q (x ) + 2x - 5﹐且f (x )之各项系数和为2﹐则q (x )除以x - 1之余式为____________﹒5.设x 4 = (x + k )(x - 1)(x + 2)(x - 2) + a (x - 1)(x + 2) + b (x - 1) + c ﹐则a + b + c + k =____________﹒6.设f (x )以x -ab除之商为q (x )﹐余式为r ﹐则x f (x ) + 2被(ax - b )除之商式为____________﹒ 7.某电影院每张票价为120元﹐每场观众平均500人﹐若票价每减5元﹐每场观众就增加50人﹐则每张票价订为____________元时﹐每场电影票价收入为最多﹒五、计算题 (第1题10分，第2题12分，共22分)1.试找出f (x ) = 2x 5 + x 4 - 5x 3 + 2x 2 - 7x + 1 = 0之各实根﹐分别介于哪些相邻整数之间﹒2.设f (x ) = 16x 3 + 12x 2 + 8x + 8 = a (2x + 1)3 + b (2x + 1)2 + c (2x + 1) + d ﹐ (1)求a ﹐b ﹐c ﹐d 的值﹒(6分)(2)求f (- 0.4995)的近似值到小数第三位（以下四舍五入）﹒ (6分)一、判断题 (每题2分，共10分)1.╳2.○3.╳4.╳5.○二、单选题 (每题5分，共15分)1.22.53.5三、多选题 (每题6分，只错一个答案得3分，共18分)1.3452.123.235四、填充题 (每格5分，共35分)1.x <25-或x >1 2.- 2 3.221x -+ 2x +23 4.5 5.2 6.a x q (x ) +ar 7.85 五、计算题 (第1题10分，第2题12分，共22分)1.(- 3﹐- 2)﹐(0﹐1)﹐(1﹐2)2.(1) a = 2﹐b = - 3﹐c = 4﹐d = 5;(2) 5.004三、指数函数与对数函数一、单选题 (每题4分，共20分)（ ）1.若a > 0﹐且113532()x a aa a -⨯⨯=﹐则x = (1) 1 (2)215 (3)415 (4)25 (5)35﹒ （ ）2.设x ﹐y 都是不为0的实数﹐则下列何式两端均有意义且相等？ (1) log x 2y 2 = 2log xy (2) log x 2y 2 = log x 2 + log y 2 (3) log x 2y 2 = log x 2log y 2 (4) log yx= log x - log y (5) log(x 2 + y 2) = log x 2log y 2﹒（ ）3.若log 23 = a ﹐log 37 = b ﹐则log 4228 =(1)21ab a ab +++ (2)21abb ab+++ (3)21a b a b +++ (4)21a b a b +++ (5)21ab a b ab ++++﹒（ ）4.下图为函数y = a - log b x 之部分图形﹐其中a ﹐b 皆为常数﹐则下列何者为真？(1) a < 0﹐b > 1 (2) a > 0﹐b > 1 (3) a = 0﹐b > 1 (4) a > 0﹐0 < b < 1 (5) a < 0﹐0 < b < 1﹒（ ）5.假设世界人口自1980年起﹐50年内每年增长率均固定﹒已知1987年世界人口达50亿﹐1999年第60亿人诞生在赛拉耶佛﹒根据这些资料推测2023年世界人口最接近下列哪一个数？(1) 75亿 (2) 80亿 (3) 86亿 (4) 92亿 (5) 100亿﹒二、多选题 (每题5分，只错一个答案得3分，共15分)（ ）1.设y = 2x 的图形为S ﹐y = 3x 的图形为T ﹐则： (1) S ﹐T 两图形恰交于一点 (2) S 恒在T的下方 (3) S ﹐T 的渐近线相同 (4) S ﹐T 均为凹口向上 (5) S ﹐T 与任一条水平线均相交﹒（ ）2.下列等式﹐何者正确？ (1) log 312 = log 312 (2) log 3112= log 32 (3) log 4342 log 32(4) log 32．log 23 = 1 (5) log 32．log 3112= 1﹒ （ ）3.下列叙述﹐何者正确？ (1) y = 3x 与y = 3- x 的图形对称于y 轴 (2) y = log 3 x 与y = log 31x的图形对称于x 轴 (3) y = 3x 与y = log 3 x 的图形对称于y 轴 (4) y = 3-x 与y = log 31x 的图形对称于x - y = 0(5) y = 3x 与y = log 3x 的图形相交于一点﹒三、填充题 (每格5分，共45分)1.100)035.0()5.3(==y x ﹐则=-yx 11__________﹒ 2.设a > 0﹐若a 2x + a -2x = 7﹐则a 3x + a -3x 之值为____________﹒ 3.2⋅4x - 9．2x + 4 ≤ 0之解为____________﹒4.不等式21+2x + 21 - 2x - 7(2x + 2-x ) + 9 < 0﹐则2x + 2-x 的范围为____________﹒5.求log 2116+ log 5125 + log 31 + 23log 2之值= ____________﹒ 6.方程式(8x )x2log = 4x 2之解为____________﹒7.设实数x 满足0 < x < 1﹐且log x 4 - log 2x = 1﹐则x ＝____________﹒（化成最简分数） 8.满足-1 ≤ 13log (log 3x ) < 0之整数有____________个﹒9.某公司为了响应节能减碳政策﹐决定在五年后将公司该年二氧化碳排放量降为目前排放量的75%﹒公司希望每年依固定的比率（当年和前一年排放量的比）逐年减少二氧化碳的排放量﹒若要达到这项目标﹐则该公司每年至少要比前一年约减少____________%的二氧化碳的排放量﹒（计算到小数点后第一位﹐以下四舍五入）四、计算题 (第1题6分，第2题8分，第3题6分，共20分)1.方程式 |log 2 x | - 2-|x | = 0的实数解有多少个？（6分）2.设(67)50于小数点后第p 位开始出现不为0的数字q ﹐求p ﹐q 之值﹒（8分）3.某银行月利率2％﹐每月复利一次计算利息﹐今小峰每月月初存入10000元﹐则一年后本利和约为多少元？（注：121.02≈ 1.27）（6分）一、单选题 (每题4分，共20分)1.42.23.14.15.3二、多选题 (每题6分，只错一个答案得3分，共15分)1.1342.12343.124三、填充题 (每格5分，共45分)1.12.183.-1 ≤ x ≤ 24.2≤ 2x + 2-x <25 5.2 6.2或147.14 8.24 9.5.6 四、计算题 (第1题6分，第2题8分，第3题6分，共20分)1.2个2.p =4﹐q =43.137700。
高一数学期末考试试题及答案
高一数学期末考试试题及答案高一期末考试试题一、选择题1.已知集合M={x∈N/x=8-m,m∈N}，则集合M中的元素的个数为（）A.7 B.8 C.9 D.10答案：B。
解析：当m=1时，x=7；当m=2时，x=6；当m=3时，x=5；当m=4时，x=4；当m=5时，x=3；当m=6时，x=2；当m=7时，x=1；当m=8时，x=0.因此，集合M中的元素的个数为8.2.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且AB=26，则实数x的值是（）A.−3或4 B.6或2 C.3或−4 D.6或−2答案：C。
解析：根据勾股定理，AB=√[(x-2)²+(1-3)²+(2-4)²]=√[(x-2)²+4]。
因为AB=26，所以√[(x-2)²+4]=26，解得x=3或-7.但是题目中说了点A的横坐标为实数，所以x=3.3.已知两个球的表面积之比为1:9，则这两个球的半径之比为（）A.1:3 B.1:3 C.1:9 D.1:81答案：B。
解析：设两个球的半径分别为r1和r2，则它们的表面积之比为4πr1²:4πr2²=1:9，化简得.4.圆x+y=1上的动点P到直线3x−4y−10=0的距离的最小值为（）A.2 B.1 C.3 D.4答案：A。
解析：首先求出直线3x−4y−10=0与圆x+y=1的交点Q，解得Q(2,-1)，然后求出点P到直线的距离d，设P(x,y)，则d=|(3x-4y-10)/5|，根据点到直线的距离公式。
将P点的坐标代入d中，得到d的表达式为d=|(3x-4y-16)/5|。
将d表示成x和y的函数，即d=f(x,y)=(3x-4y-16)/5，然后求出f(x,y)的最小值。
由于f(x,y)的系数3和-4的比值为3:4，所以f(x,y)的最小值为f(2,-1)=-2/5，即P点到直线的最小距离为2/5，取整后为2.5.直线x−y+4=0被圆x²+y²+4x−4y+6=0截得的弦长等于（）A.12B.22C.32D.42答案：B。
【典型题】高一数学下期末模拟试卷(含答案)(1)
【典型题】高一数学下期末模拟试卷(含答案)(1)一、选择题1．如图，在ABC ∆中，已知5AB =，6AC =，12BD DC =u u u v u u u v ，4AD AC ⋅=u u u v u u u v ，则AB BC ⋅=u u u v u u u vA ．-45B ．13C ．-13D ．-372．如图，在ABC V 中，90BAC ︒∠=，AD 是边BC 上的高，PA ⊥平面ABC ，则图中直角三角形的个数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．103．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则•()PA PB PC +u u u v u u u v u u u v 的最小值是（）A ．6-B ．3-C ．4-D ．2-5．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则()y f x =在[0,]π上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ． 6．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m7．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则(1)(2)f +f (3)(2020)f f +++=L （ ）A ．50B ．2C ．0D ．50-8．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A ．45B ．35C ．25D ．159．函数223()2x x x f x e+=的大致图像是（ ） A ． B ．C ．D ．10．设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+0,||2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且f x f x -=（）（），则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 B ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 11．函数2ln ||y x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．12．在空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上分别取E ，F ，G ，H 四点，如EF 与HG 交于点M ，那么 ( )A ．M 一定在直线AC 上B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上二、填空题13．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为__________.14．已知抛物线()220y px p =>的准线与圆()22316x y -+=相切，则p 的值为__________．15．对于函数()f x ，()g x ，设(){}0m x f x ∈=，(){}0n x g x ∈=，若存在m ，n 使得1m n -<，则称()f x 与()g x 互为“近邻函数”.已知函数()()13log 2e x f x x -=+-与()1422x x g x a +=⋅-+互为“近邻函数”，则实数a 的取值范围是______.（e 是自然对数的底数）16．已知点G 是ABC ∆的重心，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且0578a b c GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r ，则角B 的大小是__________． 17．已知a ∈R ，命题p ：[]1,2x ∀∈，20x a -≥，命题q ：x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，若命题p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是_____．18．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调递增.若实数a 满足f （2|a-1|）＞f （2-），则a 的取值范围是______.19．若a 10=12，a m =22，则m =______． 20．已知复数z x yi =+，且23z -y x 的最大值为__________． 三、解答题21．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若7c =33ABC S ∆=ABC ∆的周长. 22．已知：a b c v v v 、、是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =v（1）若25c =v ，且//c a v v ，求c v 的坐标； （2）若52b =v，且2a b +v v 与2a b -v v 垂直，求a v 与b v 的夹角θ. （3）若()1,1b =v ，且a v 与a b λ+v v 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围. 23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 是n S 与2的等差中项．数列{}n b 中，12b =，点()1,n n P b b +在直线2y x =+上．（1）求1a 和2a 的值；（2）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（3）设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T ．24．已知函数()e cos x f x x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 25．等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设 31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 26．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示. (1)求函数()f x 的解析式，并写出()f x 的最小正周期；(2)令()1π212g x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若在[]0,x π∈内，方程()()212320a g x ag x ⎡⎤-+-=⎣⎦有且仅有两解，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】先用AB u u u v 和AC uuu v 表示出2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， 再根据，12BD DC =u u u v u u u v 用用AB u u u v 和AC uuu v 表示出AD u u u v ，再根据4AD AC ⋅=u u u v u u u v 求出A AB C ⋅u u u v u u u v 的值，最后将A AB C ⋅u u u v u u u v 的值代入2 A AB BC AB C AB ⋅=⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，，从而得出答案． 【详解】()2 A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ， ∵12BD DC =u u u vu u u v ， ∴111B C ?C B 222AD A A AD AD A AD A -=-=-+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v （）， 整理可得：12 AB 33AD AC +u u u v u u u v u u u v ＝， 221A A 433AD AC AB C C ∴⋅⋅+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ＝ ∴ A =-12AB C ⋅u u u v u u u v ，∴2 =A =122537AB BC AB C AB ⋅⋅---=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ．， 故选：D ．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，注意运用平面向量的基本定理，以及向量的数量积的性质，考查了运算能力，属于中档题． 2．C解析：C【解析】【分析】根据线面垂直得出一些相交直线垂直，以及找出题中一些已知的相交直线垂直，由这些条件找出图中的直角三角形．【详解】①PA ⊥Q 平面ABC ，,,,PA AB PA AD PA AC PAB ∴⊥⊥⊥∴∆,,PAD PAC ∆∆都是直角三角形；②90,BAC ABC ︒∠=∴Q V 是直角三角形；③,,AD BC ABD ACD ⊥∴∆∆Q 是直角三角形；④由,PA BC AD BC ⊥⊥得BC ⊥平面PAD ，可知：,,BC PD PBD PCD ⊥∴∆∆也是直角三角形.综上可知：直角三角形的个数是8个，故选C ．【点睛】本题考查直角三角形个数的确定，考查相交直线垂直，解题时可以充分利用直线与平面垂直的性质得到，考查推理能力，属于中等题．3．D解析：D【解析】【分析】【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D.【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.4．A解析：A【解析】【分析】建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解.【详解】由题意，以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则(0,23),(2,0),(2,0)A B C -，设(,)P x y ，则(,23),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =-=---=--u u u r u u u r u u u r ， 所以22()(2)(23)(2)2432PA PB PC x x y y x y •+=-⋅-+⋅-=-+u u u r u u u r u u u r222[(3)3]x y =+-，所以当0,3x y ==时，()PA PB PC •+u u u r u u u r u u u r取得最小值为2(3)6⨯-=-，故选A. 【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．B 解析：B【解析】【分析】计算函数()y f x =的表达式，对比图像得到答案.【详解】根据题意知：cos cos OM OP x x ==M 到直线OP 的距离为：sin cos sin OM x x x =1()cos sin sin 22f x x x x ==对应图像为B故答案选B【点睛】本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力. 6．B解析：B【解析】【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D .【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确；//l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B.【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.7．C解析：C【解析】【分析】利用()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数可得：()()f x f x -=-且()00f =，结合(1)(1)f x =f +x -可得：函数()f x 的周期为4；再利用赋值法可求得：()20f =，()32f =-，()40f =，问题得解.【详解】因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，所以()()f x f x -=-且()00f =又(1)(1)f x =f +x -所以()()()()()21111f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=-=-⎣⎦⎣⎦所以()()()()()4222f x f x f x f x f x ⎡⎤⎡⎤+=++=-+=--=⎣⎦⎣⎦所以函数()f x 的周期为4，在(1)(1)f x =f +x -中，令1x =，可得：()()200f f ==在(1)(1)f x =f +x -中，令2x =，可得：()()()3112f f f =-=-=-在(1)(1)f x =f +x -中，令3x =，可得：()()()4220f f f =-=-=所以(1)(2)f +f ()()()()2020(3)(2020)12344f f f f f f ⎡⎤+++=⨯+++⎣⎦L 50500=⨯=故选C【点睛】本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算能力、分析能力，属于中档题．8．C解析：C【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项.考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.9．B解析：B【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232x x x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 10．A解析：A【解析】【分析】将f(x)化简，求得ωφ，，再进行判断即可.【详解】()πf x ωx φ,4⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∵最小正周期为2ππ,π,ω∴=得ω2=， 又f x f x （）（）-=为偶函数，所以ππφk π42-=+, k Z ∈ ∵πφ2<,∴k=-1,()πππφ,f x 2x 444⎛⎫=-∴=--= ⎪⎝⎭, 当2k π2x 2k ππ≤≤+,即πk πx k π2≤≤+,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意， 故选A.【点睛】 本题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.11．A解析：A【解析】【分析】先确定函数定义域，再确定函数奇偶性，最后根据值域确定大致图像。
高一数学期末试题及答案
高一数学期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x2. 函数y = 2x + 3的斜率是：A. 2B. 3C. 1/2D. 1/33. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3, 4}4. 圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，则圆心坐标是：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 2)5. 函数f(x) = |x|的图象是：A. 直线B. 抛物线C. V形D. U形6. 等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则a5的值是：A. 11B. 13C. 15D. 177. 向量a = (3, -4)与向量b = (-2, 5)的点积是：A. 13B. -13C. 3D. -38. 函数y = sin(x)的周期是：A. πB. 2πC. 3πD. 4π9. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (2, 1)C. (-2, 1)D. (-2, -1)10. 抛物线y = x^2 - 6x + 9的顶点坐标是：A. (3, 0)B. (-3, 0)C. (3, 9)D. (-3, 9)二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则b3的值是________。
12. 函数y = 3x - 2与x轴的交点坐标是________。
13. 圆心在原点，半径为5的圆的方程是________。
14. 向量a = (1, 2)与向量b = (-2, 4)的向量积是________。
15. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1的极值点是________。
高一数学下学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某市长安区第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学一、选择题：共12题1．不等式的解集为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查一元二次不等式的解法.,即,解得.即不等式的解集为.选C.2．数列,,,,,,,则是这个数列的A.第10项B.第11项C.第12项D.第21项【答案】B【解析】本题考查数列的通项.由题意得,令,解得.选B.3．在数列中，，，则的值为A.52B.51C.50D.49【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质.由得,所以为等差数列,所以==,所以.选A.4．=A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查同角三角函数的诱导公式及两角和的正弦公式.====.选A.【备注】.5．已知角的终边经过点,则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的定义.由题意得所以=,=,所以=.选D.6．若数列是等差数列，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质,诱导公式.因为是等差数列，所以=，又所以，,所以===.选B.【备注】若，等差数列中.7．设,若是与的等比中项，则的最小值为A.8B.4C.1D.【答案】B【解析】本题考查等比数列性质,基本不等式.因为是与的等比中项，所以,即.所以===4(当且仅当时等号成立),即的最小值为4.选B.【备注】若，等比数列中.8．已知是等比数列，，则=A.16()B.16()C.)D.)【答案】C【解析】本题考查等比数列的通项与求和.由题意得的公比=,所以=,所以,令,则是以8为首项,为公比的等比数列,所以的前n项和=).选C.【备注】等比数列中，.9．在△中，已知，，若点在斜边上，，则的值为A.48 B.24 C.12 D.6【答案】B【解析】本题考查平面向量的线性运算和数量积.因为，,所以==,所以==+0=24.选B.【备注】.10．函数,,的部分图象如图所示，则A. B.C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的性质和图象,解析式的求解.由图可得，,,即,即,所以,又过点,所以=2,由可得=.所以.选D.【备注】知图求式.11．已知向量,，且∥，则= A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查向量的坐标运算与线性运算,二倍角公式.因为∥，所以,即,即=-3,所以=====.选C.【备注】二倍角公式：，.12．设函数，若存在使得取得最值，且满足，则m的取值X围是A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质与最值,一元二次不等式.由题意得,且=,解得,(),所以转化为,而,所以,即,解得或.选C.二、填空题：共6题13．不等式的解集是 .【答案】【解析】本题考查分式不等式,一元二次不等式.由题意得且,所以或.所以不等式的解集是.【备注】一元高次不等式的解法:穿针引线法.14．已知，，则的值为_______.【答案】3【解析】本题考查两角和与差的正切角公式.由题意得=== 3.【备注】=是解题的关键.15．已知向量a=，b=, 若m a+n b=(),则的值为______. 【答案】-3【解析】本题考查平面向量的坐标运算.由题意得===,即,解得,,所以.16．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.【答案】【解析】本题考查解三角形的应用.画出图形,为炮台,为两船的位置;由题意得m,,,;在△中,=m.在Rt△中,,所以m;在△中,由余弦定理得=300.即,两条船相距m.【备注】余弦定理:.17．若将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.【答案】【解析】本题主要考查三角函数图象平移、函数奇偶性及三角运算.解法一f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位得函数y=sin(2x+-2φ)的图象,由函数y=sin(2x+-2φ)的图象关于y轴对称可知sin(-2φ)=±1,即sin(2φ-)=±1,故2φ-=kπ+,k∈Z,即φ=+,k∈Z,又φ>0,所以φmin=.解法二由f(x)=sin(2x+)=cos(2x-)的图象向右平移φ个单位所得图象关于y轴对称可知2φ+=kπ,k∈Z,故φ=-,又φ>0,故φmin=.【备注】解题关键:解决三角函数的性质问题,一般化为标准型后结合三角函数的图象求解,注意正余弦函数的对称轴过曲线的最低点或最高点是解题的关键所在.18．已知分别为△的三个内角的对边，，且，则△面积的最大值为 . 【答案】【解析】本题考查正、余弦定理,三角形的面积公式.由正弦定理得=,又所以,即,所以=,所以.而,所以;所以≤=(当且仅当时等号成立).即△面积的最大值为.【备注】余弦定理:.三、解答题：共5题19．在△中，已知,,.(1)求的长；(2)求的值.【答案】(1)由余弦定理知，==，所以.(2)由正弦定理知，所以，因为，所以为锐角，则，因此【解析】本题考查二倍角公式,正、余弦定理.(1)由余弦定理知.(2)由正弦定理知，，因此.20．设是公比为正数的等比数列，,.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)设q为等比数列{a n}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{a n}的通项为a n＝2·2n-1＝2n(n∈N*)(2)S n＝＋n×1＋×2＝2n+1＋n2－2.【解析】本题考查等差、等比数列的通项与求和.(1)求得q＝2,所以a n＝2n(n∈N*);(2)分组求和得S n＝2n+1＋n2－2.21．已知向量,，函数，且的图象过点.(1)求的值；(2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若图象上各最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间.【答案】(1)已知，过点，解得(2)由(1)知,左移个单位后得到,设的图象上符合题意的最高点为，,解得,，解得,,由得,的单调增区间为【解析】本题考查平面向量的数量积,三角函数的图像与性质,三角恒等变换.(1)由向量的数量积求得，过点，解得;(2),求得,,其单调增区间为.22．某种汽车的购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费用第一年是0.2万元,第二年是0.4万元,第三年是0.6万元,……,以后逐年递增0.2万元. 汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的总和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用x(x∈N*)年的维修总费用为g(x),年平均费用为f(x).(1)求出函数g(x),f(x)的解析式;(2)这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少?【答案】(1)由题意,知使用x年的维修总费用为g(x)==0.1x+0.1x2,依题意,得f(x)=[10+0.9x+(0.1x+0.1x2)]=(10+x+0.1x2).(2)f(x)=++1≥2+1=3,当且仅当,即x=10时取等号.所以x=10时,y取得最小值3.所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小,最小值是3万元.【解析】无23．把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数．(1)若，求，的值；(2)已知函数，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和.【答案】(1)三角形数表中前m行共有个数，所以第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第项．故第m行最后一个数是．因此，使得的m是不等式的最小正整数解．由得，, 于是，第45行第一个数是，(2)第n行最后一个数是，且有n个数，若将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为的等差数列，故..故.因为，两式相减得.．【解析】本题考查数列的概念,数列的通项与求和.(1)找规律得第m行最后一个数是.可得，求出第45行第一个数是，(2).．错位相减可得.。
2021-2022学年山东省菏泽市高一下学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省菏泽市高一下学期期末数学试题一、单选题1．已知复数，则复数共轭复数的虚部为（ ）11i z =+z A ．B ．C ．D ．1-112-12D【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数和复数的定义可得结果.z 【详解】，则，()()11i 11i 1i 1i 1i 22z -===-++- 11i 22z =+故复数共轭复数的虚部为.z 12故选：D.2．高一､1班有学生54人，高一､2班有学生42人，用分层抽样的方法从这两个班中抽出一部分人组成方队，进行会操比赛，则高一､1班和高一､2班分别被抽取的人44⨯数是（ ）A ．9､7B ．15､1C ．8､8D ．12､4A【分析】利用分层抽样的定义求解即可【详解】由题意得高一､1班被抽取的人数为人，541695442⨯=+高一､2班被抽取的人数人，421675442⨯=+故选：A3．甲､乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是（ ）A ．两人都做对的概率是0.72B ．恰好有一人做对的概率是0.26C ．两人都做错的概率是0.15D ．至少有一人做对的概率是0.98C【分析】甲乙两人做题属于相互独立事件，根据独立事件的乘法公式求得两人都做对的概率和两人都做错的概率，判断A,C;根据互斥事件的概率加法公式可求恰好有一人做对的概率，判断B ；至少有一人做对的概率等于1减去两人都做错的概率，判断D.【详解】由于甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，故两人都做对的概率是 ，所以A 正确；0.80.90.72⨯=恰好有一人做对的概率是 ，故B 正确；0.8(10.9)(10.8)0.90.26⨯-+-⨯=两人都做错的概率是，故C 错误；(10.8)(10.9)0.02-⨯-=至少有一人做对的概率是，故D 正确，1(10.8)(10.9)0.98--⨯-=故选：C 4．已知向量，，若，则（ ）()1,2a =-()2,b m =a b ⊥ m =A ．-1B ．1C ．D ．14-14B【分析】根据数量积公式，即可得答案.【详解】因为，a b ⊥ 所以，解得.(1)220m -⨯+=1m =故选：B5．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石瓢壶､潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm ），那么该壶的最大盛水量为（ ）A ．B ．C ．D ．368cm π3152cmπ3cm3204cmπB【分析】由题得上底面半径为4，下底面半径为6，圆台高为6，代入台体体积公式，即可得答案.【详解】由题意得上底面半径为4，面积，21=4=16S ππ⨯下底面半径为6，面积，圆台高h 为6，22=6=36S ππ⨯则圆台的体积.((1211=+1636615233V S S h πππ=+⨯=3cm 故选：B6．甲，乙两个车间生产同一种产品，为保证产品质量，现从两车间抽取100件产品进行检验.采取以下方法抽取：从装有除颜色不同外完全相同的2个红球和3个白球的袋子里抽取两个球，如果抽到两球颜色相同就从甲车间抽取一件产品，如果两球颜色不同就从乙车间抽取一件产品，两车间分别抽取的产品数最接近的是（ ）A ．甲车间30件，乙车间70件B ．甲车间70件，乙车间30件C ．甲车间59件，乙车间41件D ．甲车间41件，乙车间59件D【分析】根据题意，分别计算出从装有除颜色不同外完全相同的2个红球和3个白球的袋子里抽取两个球，抽到两球颜色相同的概率及抽到两球颜色不同的概率，从而即可求解.【详解】解：因为从装有除颜色不同外完全相同的2个红球和3个白球的袋子里抽取两个球，抽到两球颜色相同的概率为，抽到两球颜色不同的概率为222325C C 42C 105+==，112325C C 63C 105⋅==所以从两车间抽取100件产品进行检验，甲车间抽取产品数为件，乙车间2100405⨯=抽取产品数为件，3100605⨯=所以两车间分别抽取的产品数最接近的是甲车间41件，乙车间59件，故选：D.7．在中，角A ､B ､C 对边分别为a ､b ､c ，且时，ABC cos sin A B=a =2b =的面积是（）ABC A B CDC【分析】利用正弦定理求出，利用余弦定理求出，即可求出的面积.3A π=3c =ABC【详解】对于.cos sin A B=cos sin A B =因为，且,所以.()0,A π∈tan A =3A π=由余弦定理得：,2222cos a b c bc A =+-2174222c c =+-⨯⨯解得：（舍去）.3c =1c =-所以的面积是.ABC 11sin 2322S bc A ==⨯⨯=故选：C8．某餐厅提供自助餐和点餐两种服务，为了进一步提高菜品及服务质量，餐厅从某日中午就餐的顾客中随机抽取了100人作为样本，进行满意度调查，得到以下数据表格（单位：人次），则下列说法正确的是（ ）老年人中年人青年人满意度自助餐点餐自助餐点餐自助餐点餐10分（满意）1212022015分（一般）22634120分（不满意）116232A ．满意度为0.5B ．不满意度为0.1C ．三种年龄层次的人群中，青年人更倾向于选择自助餐D ．从点餐不满意的顾客中选取2人，则两人都是中年人的概率是0.1D【分析】对A 、B ：根据表格中所给数据即可求解；对C ：根据表格中数据分别计算三种年龄层次选择自助餐的频率，比较大小即可判断；对D ：根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】解：对A ：满意度为，故选项A 错误；1212022010.56100+++++=对B ：不满意度为，故选项B 错误；1162320.15100+++++=对C ：老年人选择自助餐的频率为，中年人选择自助餐的频率为，青年11519P =23239P =人选择自助餐的频率为，由，可得中年人更倾向于选择自助餐，故32742P =213P P P >>选项C 错误；对D ：从点餐不满意的顾客中选取2人有种选法，其中两人都是中年人有25C 10=种选法，所以从点餐不满意的顾客中选取2人，则两人都是中年人的概率是22C 1=，故选项D 正确.10.110=故选：D.二、多选题9．某学校有1000名学生，为更好的了解学生身体健康情况，随机抽取了100名学生进行测试，测试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的有（ ）A ．频率分布直方图中a 的值为0.005B ．估计这100名学生成绩的中位数约为77C ．估计这100名学生成绩的众数为80D ．估计总体中成绩落在内的学生人数为160[)60,70AB【分析】对于A ，由各组频率和为1可求出a 的值，对于B ，利用中位数的定义求解，对于C ，由从数的定义求解，对于D ，先求出的频率，再利用总人数乘以频率[)60,70可求得答案【详解】对于A ，由频率分布直方图可得，解得，10(23762)1a a a a a ++++=0.005a =所以A 正确，对于B ，由频率分布直方图可知，前2组的频率和为，前3组1050.0050.250.5⨯⨯=<的频率和为，所以中位数在第3组，设中位数为，则10120.0050.60.5⨯⨯=>x ，解得，所以B 正确，0.2570.005(70)0.5x +⨯-=77x ≈对于C ，由频率分布直方图可知成绩在70到80的最多，所以众数为75，所以C 错误，对于D ，由频率分布直方图可知成绩在的频率为，所以总体[)60,7030.005100.15⨯⨯=中成绩落在内的学生人数约为人，所以D 错误，[)60,700.151000150⨯=故选：AB10．已知三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且，，则ABC 3C π∠=2c =下列结论正确的有（ ）A ．B ．ABC cos cos b A a B +=C ．周长的最大值为6D ．的取值范围为ABC cos cos BA )∞∞⎛-⋃+ ⎝AC【分析】A 选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；B 选项，利用余弦定理计算可判断；C 选项，利用余弦定理和基本不等式求解周长的最大值；D 选项，用进行变换得到，结合A 的取值范围得到()cos cos B A C =-+cos 1cos 2B A A=-的取值范围.cos cos BA 【详解】解：对于A ，由余弦定理得：，解得：2241cos 22a b C ab +-==，224a b ab +=+由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，2242a b ab ab +=+≥a b=所以，故A 正确；4ab ≤1sin 2ABC S ab C =≤ 对于B ，，故B 不正确；2222222cos cos 2+2222b c a a c b c a c bc b A ac c a B b +-+-⋅===+=⋅对于C ，由余弦定理得：，解得：，2241cos 22a b C ab +-==224a b ab +=+所以，当且仅当时，等号成立，()22+343+42a b a b ab ⎛⎫+=+≤⨯ ⎪⎝⎭a b =解得，当且仅当时，等号成立，+4a b ≤a b =所以，周长，所以周长的最大值为6，故C 正确；ABC 4+26l a b c =++≤=ABC对于D ，，πcos cos 13cos cos 2A B A AA ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===-因为，所以，2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(()tan ,0,A ∞∞∈-⋃+，故D 错误.()11,2,22A ∞∞⎛⎫-∈--⋃-+ ⎪⎝⎭故选：AC.11．如图，在中，，D ，E 是BC 的三等分点，且，则ABC 6BC =4AD AE ⋅=（ ）A ．B ．2133AE AB AC=+ 1122AD AB AE=+ C ．D ．4⋅=-AB AC 2228AB AC += BCD【分析】由向量的线性运算即可判断A ，B,取DE 的中点G ，由，D ，E 是BC6BC =的三等分点得G 是BC 的中点，计算可得，进而得出，2214AD AE AG DE⋅=- 25AG = 计算可判断选项C,由C 可知，两边平方，化简计算可判断选项D .2AB AC AG += 【详解】对于A ，，故选()11123333AE AC CE AC CB AC AB AC AB AC=+=+=+-=+项A 不正确；对于B ，由题意得D 为BE 的中点，所以，故选项B 正确；1122AD AB AE=+ 对于C ，取DE 的中点G ，由，D ，E 是BC 的三等分点得G 是BC 的中点，且6BC =，所以2DE =，221114224AD AE AG DE AG DE AG DE ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，，故选25AG = 22111594224AB AC AG BC AG BC AG BC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 项C 正确；对于D ，由G 是BC 的中点得，两边平方得2AB AC AG +=，所以，故选项D 正确.22224AB AB AC AC AG +⋅+= 2220828AB AC +=+= 故选：BCD.12．如图1所示，四边形是边长为的正方形，、、分别为、、ABCD 2E F M BC CD 的中点，分别沿、及所在直线把、和折起，使、BE AE AF EF AEB △AFD EFC △B、三点重合于点，得到如图2所示的三棱锥，则下列结论中正确的有C D P P AEF -（ ）A ．四面体中互相垂直的棱有对PAEF 3B ．三棱锥的体积为M AEF -23C ．与平面所成角的正切值为AM PEF 4D ．过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为M P AEF -3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ACD【分析】利用翻折的性质可判断A 选项；利用锥体的体积公式可判断B 选项；利用线面角的定义可判断C 选项；计算出过点的平面截三棱锥的外接球所得截面M P AEF -的面积的取值范围，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，易知，F AE A =====EF 翻折前，，，AB BE ⊥CE CF ⊥AD DF ⊥翻折后，则有，，，PA PE ⊥PA PF ⊥PE PF ⊥因为是非直角的等腰三角形，所以，四面体中互相垂直的棱有对，A 对；AEF PAEF 3对于B 选项，因为，，，，PA PE ⊥PA PF ⊥PE PF ⊥PE PF P = 、平面，平面，PE PF ⊂PEF PA ∴⊥PEF 为的中点，则，M PE 2111112224MEF PEFS S ==⨯⨯=△△，B 错；111123346M AEF A MEF MEF V V S PA --∴==⋅=⨯⨯=△对于C 选项，因为平面，与平面所成角为，PA ⊥PEF AM ∴PEF AMP ∠在中，，C 对；Rt AMP tan 4PAAMP PM ∠==对于D 选项，将三棱锥补成长方体，P AEF -PEQA FGNH -则三棱锥的外接球球心为体对角线的中点，P AEF -O PN且的半径为，PN ==O R =所以，过点的平面截三棱锥的外接球所得截面圆的半径设为，M P AEF -r 设球心到截面圆的距离为，则，O d 0d OM ≤≤、分别为、的中点，则O M PN PE 12OM EN ===则，则，0d ≤≤12r ⎡∴=⎢⎣23,42r πππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因此，过点的平面截三棱锥的外接球所得截面的面积的取值范围为M P AEF -，D 对.3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：ACD.方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必h 作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；θsin hl θ=l （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的al n 法向量，则线面角的正弦值为.θsin cos ,a n θ=<>三、填空题13．复数在复平面内对应的点在第一､三象限的角平分线上，则实数(i)(34i)a -+___________.=a 7【分析】根据复数的乘法运算，可得，根据其几何意义，(i)(34i)34(43)i a a a -+=++-可得在复平面所对应的点坐标，根据题意，列出方程，即可得答案.【详解】由题意得，2(i)(34i)34i 3i 4i 34(43)i a a a a a -+=+--=++-在复平面内对应的点为(34,43)a a +-因为该点在第一､三象限的角平分线上，所以，解得.3443a a +=-7a =故714．中，，，则此三角形的外接圆半径是___________.ABC 5AB AC ==8BC =256【分析】根据余弦定理，可得，进而可得的值，根据正弦定理，即可得答cos A sin A 案.【详解】由余弦定理得，2222525647cos 225525AC AB BC A AC AB +-+-===-⋅⨯⨯因为，所以，(0,)A π∈24sin 25A ==设外接圆半径为R ，由正弦定理得，解得8224sin 25BC RA ==256R =故25615．如图，已知二面角的棱l 上有A ，B 两点，，，，l αβ--C α∈AC l ⊥D β∈，若，，有以下结论：BD l ⊥2AC AB BD ===CD=（1）直线AB 与CD 所成角的大小为 ；45︒（2）二面角的大小为 ；l αβ--60︒（3）三棱锥的体积为A BCD -（4）直线CD与平面β则正确结论的序号为___________.（1）（2）（4）【分析】采用平行线法作出直线AB 与CD 所成角，解三角形求出角的大小，判断（1）；通过作辅助线，作出二面角的平面角，解三角形求得角的大小，判断（2）；l αβ--根据等体积法求得3）；通过作垂线，找到13A BCD C ABD ABD V V s CH --==⋅ 直线CD 与平面所成角，解三角形求得该角大小，判断（4）.β【详解】如图，在 内作 ,交于E 点，β,DE AB AE BD ∥∥则即为直线AB 与CD 所成角或其补角，CDE ∠因为，，则 ,BD l ⊥2AB BD ==,AE AB ED BD ⊥⊥故四边形AEDB 为正方形，则 ,又，则 ,DE AE ⊥AC l ⊥DE AC ⊥而 ,故平面ACE ,平面ACE ,AC AE A ⋂=DE ⊥CE ⊂故,又,故DE CE ⊥2CD DE AB ===cos DE CDE CD ∠==由于，故，故（1）正确；090CDE ︒︒<∠≤45CDE ∠= 由于 ,故为二面角的平面角，,AC AB EA AB ⊥⊥CAE ∠l αβ--由以上分析可知,2,2,2CE AE BD AC =====故 为正三角形，则，故（2）正确；ACE 60CAE ∠=由于平面ACE ,平面AEDB,故平面ACE 平面AEDB,DE ⊥DE ⊂⊥且平面ACE 平面AEDB=AE,故作 ,垂足为H ,CH AE ⊥则平面AEDB ，且CH ⊥sin 60CH AC ==所以,故（3）错误；11122332A BCD C ABD ABD V V s CH --==⋅=⨯⨯⨯=连接DH ,由于平面AEDB ，故为直线CD 与平面所成角，CH ⊥CDH ∠β在中，故（4）正确，Rt CHD sin CH CDH CD ∠===故（1）（2）（4）四、双空题16．已知样本的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13，19，20，且样本的中位数为10.5，则___________；若要使该样本的方差最(),N a b ∈a b +=小，则___________.ab = 21 110【分析】根据中位数的定义可得与的关系，要使样本的方差最小， 即a b 最小，利用与的关系消去，得关于的一元二次式，利用配方22(10)(10)a b -+-a b a b 法可求出函数的最小值，进而可得和的值，从而即可得的值.a b ab 【详解】解：因为样本的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13，19，20，且样本的中位数为10.5，(),N a b ∈所以，即；10.52a b+=21a b +=所以样本平均数为，2337121319201010a b +++++++++=要使样本方差最小，即最小，22(10)(10)a b -+-又因为2222(10)(10)(2110)(10)a b b b -+-=--+-，2222211(11)(10)242221222b b b b b ⎛⎫=-+-=-+=-+⎪⎝⎭因为，,N a b ∈所以当或时，取得最小值，11b =10b =22(10)(10)a b -+-又，21a b +=所以或，11,10a b ==10,11a b ==所以.110ab =故21；110.五、解答题17．如图，AB 是的直径，PA 垂直于所在的平面，C 是圆周上不同于A ､B 的O O 任意一点，且.求证：PA AB =(1)平面平面PBC ；PAC ⊥(2)当点C （不与A ､B 重合）在圆周上运动时，求平面PBC 与所在的平面所成二面O 角大小的范围.(1)证明见解析(2),42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，可得，根据圆的性质，可得PA BC ⊥，根据线面垂直的判定定理，即可得证.AC BC ⊥（2）由（1）可得，，所以即为平面PBC 与所在的平面AC BC ⊥BC PC ⊥PCA ∠O 所成二面角的平面角，设，圆O 的半径为R ，根据三角函数的定,0,2CAB πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭义，可得的表达式，根据的范围，计算求解，即可得答案.tan PCA ∠θ【详解】(1)因为PA 垂直于所在的平面ABC ，平面ABC ，O BC ⊂所以，，PA BC ⊥PA AC ⊥因为AB 是的直径，O 所以，AC BC ⊥因为平面PAC ，,PA AC ⊂所以平面PAC ，BC ⊥因为平面PBC ，BC ⊂所以平面平面PBCPAC ⊥(2)因为平面PAC ，平面PAC ，BC ⊥PC ⊂所以，又，BC PC ⊥AC BC ⊥所以即为平面PBC 与所在的平面所成二面角的平面角，PCA ∠O 设，圆O 的半径为R ，,0,2CAB πθθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭则，又，2cos AC R θ=2PA AB R ==所以，21tan 2cos cos PA R PCA AC R θθ∠===因为，所以，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos (0,1)θ∈所以，1tan 1cos PCA θ∠=>因为0,2PCA π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭所以，,42PCA ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭所以平面PBC 与所在的平面所成二面角大小的范围为O ,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭18．第24届北京冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日由北京和张家口联合举办，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，它掀起了中国人民参与冬季运动的热潮.某比赛场馆为了顺利完成比赛任务，招募了100名志愿者，并分成医疗组和服务组，根据他们的年龄分布得到如图频率分布直方图.(1)试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数；(2)已知医疗组40人，服务组60人，如果按分层抽样的方法从医疗组和服务组中共选取5人，再从这5人中选取3人组成综合组，求综合组中至少有1人来自医疗组的概率.(1)平均年龄岁，第75百分位数为52.543.5(2)0.9【分析】（1）根据频率分布直方图中，所有小矩形面积和为1，可求得a 值，根据频率分布直方图中平均数的求法，代数即可得平均值，根据百分位数的求法，可得答案.（2）根据分层抽样，可得医疗组抽取2人，设为a ，b ，服务组抽取3人，设为A 、B 、C ，列出综合组所有可能情况，选出满足题意的情况，代入概率公式，即可得答案.【详解】(1)由题意得，解得，(0.0150.0250.020.01)101a ++++⨯=0.030a =所以100名志愿者的平均年龄为250.01510350.02510⨯⨯+⨯⨯岁，450.0310550.0210650.011043.5+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=因为，0.015100.025100.03100.70.75⨯+⨯+⨯=<，0.015100.025100.03100.02100.90.75⨯+⨯+⨯+⨯=>所以第75百分位数位于[50,60）内，设第75百分位数为x ，则，解得，0.7(50)0.020.75x +-⨯=52.5x =所以第75百分位数为52.5(2)医疗组抽取人数为人，设为a ，b ，则服务组抽取5-2=3人，设为40524060⨯=+A 、B 、C ，5人中选取3人组成综合组，情况可能为(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),a b A a b B a b C a A B a A C ，共10种，(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a B C b A B b A C b B C A B C 至少有1人来自医疗组的情况为，共9种，(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)a b A a b B a b C a A B a A C a B C b A B b A C b B C 所以综合组中至少有1人来自医疗组的概率90.910P ==19．如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河边的A 点出发到达对AC =岸的B 点，船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2.已知船在静水中的速度2km AB =h 的大小为，水流的速度的大小为.求：1v 1v 2v 22km/h v =(1)；1v (2)船在静水中速度与水流速度夹角的余弦值.1v 2v(1)1v =【分析】（1）先求出船只沿AB 方向的速度为，，利用向量的10km/hv =2,60v v =︒数量积运算求出；（2）利用数量积及夹角公式求出船在静水中速度与水流速度1v 1v夹角.2v 【详解】(1)因为船只在河内行驶的路程，行驶时间为0.2，2km AB =h 所以船只沿AB 方向的速度为.210km/h0.2v ==由，，根据勾股定理可得：,所以，AC =2km AB =BC =30BAC ∠=︒即2,60v v =︒由，得：，12v v v =+12v v v =-.===(2)因为，所以，12v v v =+ ()2212v v v =+即，解得.(221210022cos ,2v v =+⨯+12cos ,v v =即船在静水中速度与水流速度1v 2v20．如图，在四棱锥中，底面ABCD 是梯形，，且，P ABCD -AD BC ∥2AD BC =，.PA PD ⊥AB PB =(1)若F 为PA 的中点，求证平面PCD BF ∥(2)求证平面PCD .PA ⊥(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取PD 中点E ，连接EF 、EC ，可得且，则四边形EF BC ∕∕EF BC =EFBC 为平行四边形，则，根据线面平行的判定定理，即可得证BF EC ∕∕（2）根据三角形性质，可证，结合（1）可得，根据线面垂直的判BF AP ⊥EC AP ⊥定定理，即可得证【详解】(1)取PD 中点E ，连接EF 、EC ，如图所示因为E 、F 分别为PD 、PA 中点，所以，且，EF AD ∕∕12EF AD =又因为，且，AD BC ∥2AD BC =所以且，EF BC ∕∕EF BC =所以四边形EFBC 为平行四边形，所以，BF EC ∕∕因为平面PCD ，平面PCD ，BF ⊄EC ⊂所以平面PCDBF ∥(2)因为，F 为PA 中点，AB PB =所以，则，BF AP ⊥EC AP ⊥因为，平面PCD ，PA PD ⊥,EC PD ⊂所以平面PCD .PA ⊥21．如图，在中，已知，，，且.求ABC 1AC =3AB =60BAC ∠=︒++0PA PB PC =.cos APC ∠【分析】根据向量线性运算结合已知可得故，++0PA PB PC = 1()3PA AB AC =-+，平方后利用数量积的运算法则求得，再利用向量的夹角1(2)3PC AC AB =-||,||PA PC 公式即可求得答案.【详解】由题意得，的夹角为，||3,||1AB AC == ,AB AC60BAC ∠=︒，则，++0PA PB PC =+PB PC PA =-又，所以，,AB PB PA AC PC PA =-=- 3AB AC PB PA PC PA PA +=-+-=- 故，同理1()3PA AB AC =-+111()()(2)333PC BC AC AC AB AC AC AB =+=-+=- 于是，2222111113||[()](2)(92311)39929PA AB AC AB AB AC AC =-+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=，||PA ∴=222211||(2)(44)39PC AC AB AB AB AC AC ⎡⎤=-=-⋅+⎢⎥⎣⎦117(94314),||929PC =-⨯⨯⨯+=∴= 11()(2)33cos ||||||||AB AC AC AB PA PC APC PA PC PA PC -+⋅-⋅∴∠==⋅⋅.221(2)9||||AC AB AC AB PA PB -+⋅-====⋅ 22．如图，已知正三棱柱中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱，111ABC A B C -1BB 的中点.11AC (1)过A ､E ､F 三点作该正三棱柱的截面，求截面图形的周长；(2)求与平面AEF 所成角的正弦值.1A E(1)【分析】（1）延长AF 与延长线交于点M ，连接EM ，交于点P ，连接FP ，则1CC 11B C过点A ､E ､F 三点的截面为四边形AEPF ，根据三角形相似及勾股定理，分别求得AF 、AE 、PE ，PF 的长，即可得答案.（2）如图建系，求得各点坐标，可得坐标，进而可得平面AEF 的法向量1,,A E AE AF的坐标，根据线面角的向量求法，即可得答案.n【详解】(1)延长AF 与延长线交于点M ，连接EM ，交于点P ，连接FP ，1CC 11B C 因为M 在AF 的延长线上，平面AEF ，AF ⊂所以平面AEF ，M ∈因为平面AEM 平面，平面AEM 平面，11BCC B PE = 111A B C FP =所以过点A ､E ､F 三点的截面为四边形AEPF ，因为，1FC AC ∕∕所以，1MFC MAC ∽所以，解得，1112MC FC MC AC ==1=2MC 取中点N ，连接EN ，可得，1CC 1EN CC ⊥因为，1PC EN ∕∕所以,1MPC MEN ∽所以，解得，则，1123MC PC MN EN ==14=3PC 12=3PB在中，1Rt AA F AF ==在中，Rt ABE △AE ==在中，，1Rt PB E PE ==在中，，1PFC 11141,=,603FC PC FC P =∠=︒所以，则2221111132cos 609PF FC PC FC PC =+-⋅︒=PF =所以四边形AEPF +=(2)取AC 中点O ，连接OB ，OF ，因为正三棱柱，F 为的中点，111ABC A B C -11A C 所以两两垂直，以O 为原点，为x ，y ，z 轴正方向建系，如图,,OA OB OF ,,OA OB OF所示所以，1(1,0,0),(0,0,2),(1,0,2)A E F A 所以，1(1),((1,0,2)A E AE AF =--=-=- 设平面AEF 的法向量，(,,)n x y z = 则，即，00n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩20x z x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令x =2，则，所以，1y z ==n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 设与平面AEF 所成角为，1A E θ则1sin cos ,A E θ=< 所以与平面AEF1A E。
高一下学期期末数学试卷及答案
高一下学期期末数学试卷及答案不去耕耘，不去播种，再肥的沃土也长不出庄稼，不去奋斗，不去创造，再美的青春也结不出硕果。
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【试题一】一、选择题：（共15个小题，每小题4分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.已知全集U=R，A=，B={x|lnx0}，则AB=（）A.{x|﹣1x2}B.{x|﹣1x2}C.{x|x﹣1或x2}D.{x|02.已知，那么cos=（）A.B.C.D.3.已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为（）A.B.C.1D.24.△ABC中，AB=2，AC=3，B=60，则cosC=（）A.B.C.D.5.已知△ABC是边长为1的等边三角形，则（﹣2）（3﹣4）=（）A.﹣B.﹣C.﹣6﹣D.﹣6+6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A.63B.45C.36D.277.已知角是第二象限角，且|cos|=﹣cos，则角是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角8.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A.5B.4C.3D.29.对任意一个确定的二面角﹣l﹣，a和b是空间的两条异面直线，在下面给出的四个条件中，能使a和b所成的角也确定的是（）A.a∥a且b∥B.a∥a且bC.a且bD.a且b10.定义22矩阵=a1a4﹣a2a3，若f（x）=，则f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），则函数g（x）解析式为（）A.g（x）=﹣2cos2xB.g（x）=﹣2sin2xC.D.11.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.7B.7C.7D.812.若sin（+）=，是第三象限的角，则=（）A.B.C.2D.﹣213.已知，记数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn0的n的最小值为（）A.10B.11C.12D.1314.（1+tan18）（1+tan27）的值是（）A.B.C.2D.2（tan18+tan27）15.数列{an}满足：且{an}是递增数列，则实数a的范围是（）A.B.C.（1，3）D.（2，3）二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分，将答案填在答题纸上）16.已知向量=（k，12），=（4，5），=（﹣k，10），且A、B、C 三点共线，则k=.17.已知向量、满足||=1，||=1，与的夹角为60，则|+2|=.18.在△ABC中，BD为ABC的平分线，AB=3，BC=2，AC=，则sinABD等于.19.在四棱锥S﹣ABCD中，SA面ABCD，若四边形ABCD为边长为2的正方形，SA=3，则此四棱锥外接球的表面积为.20.设数列{an}的通项为an=2n﹣7（nN*），则|a1|+|a2|++|a15|=.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.已知平面向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（xR）.（1）若∥，求|﹣|（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围.22.（文科）已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n 项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20.（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式.（Ⅱ）令Cn=nbn（nN+），求{cn}的前n项和Tn.23.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB ﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣.（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影.24.已知如图：四边形ABCD是矩形，BC平面ABE，且AE=2，EB=BC=2，点F为CE上一点，且BF平面ACE.（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥A﹣DBE的体积；（3）求二面角D﹣BE﹣A的大小.25.如图，函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，0，||）的图象与坐标轴的三个交点为P，Q，R，且P（1，0），Q（m，0）（m0），PQR=，M为QR的中点，|PM|=.（Ⅰ）求m的值及f（x）的解析式；（Ⅱ）设PRQ=，求tan.26.设数列{an}的前n项和为Sn，a1=10，an+1=9Sn+10.（Ⅰ）求证：{lgan}是等差数列；（Ⅱ）设Tn是数列{}的前n项和，求Tn；（Ⅲ）求使Tn（m2﹣5m）对所有的nN*恒成立的整数m的取值集合.2021-2021学年河北省衡水市冀州中学高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共15个小题，每小题4分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.已知全集U=R，A=，B={x|lnx0}，则AB=（）A.{x|﹣1x2}B.{x|﹣1x2}C.{x|x﹣1或x2}D.{x|0【考点】并集及其运算.【分析】求出A与B中不等式的解集，分别确定出A与B，找出两集合的并集即可.【解答】解：由A中不等式变形得：0，即（x+1）（x﹣2）0，且x﹣20，解得：﹣1x2，即A={x|﹣1x2}，由B中不等式变形得：lnx0=ln1，得到0则AB={x|﹣1x2}，故选：B.2.已知，那么cos=（）A.B.C.D.【考点】诱导公式的作用.【分析】已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cos的值.【解答】解：sin（+）=sin（2++）=sin（+）=cos=.故选C.3.已知D为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一个点P，满足=+，则的值为（）A.B.C.1D.2【考点】平面向量的基本定理及其意义.【分析】如图所示，由于=+，可得：PA是平行四边形PBAC的对角线，PA与BC的交点即为BC的中点D.即可得出.【解答】解：如图所示，∵=+，PA是平行四边形PBAC的对角线，PA与BC的交点即为BC的中点D.=1.故选：C.4.△ABC中，AB=2，AC=3，B=60，则cosC=（）A.B.C.D.【考点】正弦定理.【分析】由已知及正弦定理可得sinC==，又AB【解答】解：∵AB=2，AC=3，B=60，由正弦定理可得：sinC===，又∵ABcosC==.故选：D.5.已知△ABC是边长为1的等边三角形，则（﹣2）（3﹣4）=（）A.﹣B.﹣C.﹣6﹣D.﹣6+【考点】平面向量数量积的运算.【分析】将式子展开计算.【解答】解：（﹣2）（3﹣4）=3﹣4﹣6+8=311cos120﹣411cos60﹣612+811cos60=﹣﹣2﹣6+4=﹣.故选：B.6.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A.63B.45C.36D.27【考点】等差数列的性质.【分析】观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得.【解答】解：由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，S9﹣S6=45a7+a8+a9=45故选B.7.已知角是第二象限角，且|cos|=﹣cos，则角是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【考点】三角函数值的符号.【分析】根据的范围判断出的范围，再由含有绝对值的式子得到角的余弦值的符号，根据一全正二正弦三正切四余弦再进一步判断的范围.【解答】解：由是第二象限角知，是第一或第三象限角.又∵|cos|=﹣cos，cos0，是第三象限角.故选C.8.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A.5B.4C.3D.2【考点】等差数列的通项公式.【分析】写出数列的第一、三、五、七、九项的和即5a1+（2d+4d+6d+8d），写出数列的第二、四、六、八、十项的和即5a1+（d+3d+5d+7d+9d），都用首项和公差表示，两式相减，得到结果.【解答】解：，故选C.9.对任意一个确定的二面角﹣l﹣，a和b是空间的两条异面直线，在下面给出的四个条件中，能使a和b所成的角也确定的是（）A.a∥a且b∥B.a∥a且bC.a且bD.a且b【考点】异面直线及其所成的角.【分析】作辅助线，利用二面角的定义和线线角的定义证明两角互补即可.【解答】解：如图，若a且b，过A分别作直线a、b的平行线，交两平面、分别为C、B设平面ABC与棱l交点为O，连接BO、CO，易知四边形ABOC为平面四边形，可得BOC与BAC互补∵﹣l﹣是大小确定的一个二面角，而BOC就是它的平面角，BOC是定值，BAC也是定值，即a，b所成的角为定值.故选D10.定义22矩阵=a1a4﹣a2a3，若f（x）=，则f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x），则函数g（x）解析式为（）A.g（x）=﹣2cos2xB.g（x）=﹣2sin2xC.D.【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用.【分析】利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，求得函数g（x）解析式.【解答】解：由题意可得f（x）==cos2x﹣sin2x﹣cos（+2x）=cos2x+sin2x=2cos（2x﹣），则f（x）的图象向右平移个单位得到函数g（x）=2cos[2（x﹣）﹣]=2cos（2x﹣）=﹣2cos2x，故选：A.11.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.7B.7C.7D.8【考点】由三视图求面积、体积.【分析】根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，结合图中数据即可求出它的体积.【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是棱长为2的正方体，去掉两个三棱锥剩余的部分，如图所示；所以该几何体的体积为V=V正方体﹣﹣=23﹣122﹣122=7.故选：A.12.若sin（+）=，是第三象限的角，则=（）A.B.C.2D.﹣2【考点】运用诱导公式化简求值.【分析】已知等式利用诱导公式化简求出sin的值，根据为第三象限角，利用同角三角函数间基本关系求出cos的值，原式利用诱导公式化简，整理后将各自的值代入计算即可求出值.【解答】解：∵sin（+）=﹣sin=，即sin=﹣，是第三象限的角，cos=﹣，则原式====﹣，故选：B.13.已知，记数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn0的n的最小值为（）A.10B.11C.12D.13【考点】数列的求和.【分析】由，可得a1+a10=a2+a9==a5+a6=0，a110，则有S90，S10=0，S110可求【解答】解：由，可得a1+a10=a2+a9==a5+a6=0，a110S90，S10=0，S110使Sn0的n的最小值为11故选：B14.（1+tan18）（1+tan27）的值是（）A.B.C.2D.2（tan18+tan27）【考点】两角和与差的正切函数.【分析】要求的式子即1+tan18+tan27+tan18tan27，再把tan18+tan27=tan45（1﹣tan18tan27）代入，化简可得结果.【解答】解：（1+tan18）（1+tan27）=1+tan18+tan27+tan18tan27=1+tan45（1﹣tan18tan27）+tan18tan27=2，故选C.15.数列{an}满足：且{an}是递增数列，则实数a的范围是（）A.B.C.（1，3）D.（2，3）【考点】数列的函数特性；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的判断与证明.【分析】根据题意，首先可得an通项公式，这是一个类似与分段函数的通项，结合分段函数的单调性的判断方法，可得；解可得答案.【解答】解：根据题意，an=f（n）=；要使{an}是递增数列，必有；解可得，2故选D.二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分，将答案填在答题纸上）16.已知向量=（k，12），=（4，5），=（﹣k，10），且A、B、C 三点共线，则k=.【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；三点共线.【分析】利用三点共线得到以三点中的一点为起点，另两点为终点的两个向量平行，利用向量平行的坐标形式的充要条件列出方程求出k.【解答】解：向量，又A、B、C三点共线故（4﹣k，﹣7）=（﹣2k，﹣2）k=故答案为17.已知向量、满足||=1，||=1，与的夹角为60，则|+2|=.【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据条件进行数量积的计算便可得出，从而便可求出，这样即可求出的值.【解答】解：根据条件，；；.故答案为：.18.在△ABC中，BD为ABC的平分线，AB=3，BC=2，AC=，则sinABD等于.【考点】正弦定理.【分析】利用余弦定理求得cosABC=cos2的值，可得的值.【解答】解：∵△ABC中，BD为ABC的平分线，AB=3，BC=2，AC=，设ABD=，则ABC=2，由余弦定理可得cos2===，2=，=，故答案为：.19.在四棱锥S﹣ABCD中，SA面ABCD，若四边形ABCD为边长为2的正方形，SA=3，则此四棱锥外接球的表面积为17.【考点】球内接多面体.【分析】如图所示，连接AC，BD相交于点O1.取SC的中点，连接OO1.利用三角形的中位线定理可得OO1∥SA.由于SA底面ABCD，可得OO1底面ABCD.可得点O是四棱锥S﹣ABCD外接球的球心，SC是外接球的直径.【解答】解：如图所示连接AC，BD相交于点O1.取SC的中点，连接OO1.则OO1∥SA.∵SA底面ABCD，OO1底面ABCD.可得点O是四棱锥S﹣ABCD外接球的球心.因此SC是外接球的直径.∵SC2=SA2+AC2=9+8=17，4R2=17，四棱锥P﹣ABCD外接球的表面积为4R2=17=17.故答案为：1720.设数列{an}的通项为an=2n﹣7（nN*），则|a1|+|a2|++|a15|=153.【考点】等差数列的前n项和.【分析】先根据数列的通项公式大于等于0列出关于n的不等式，求出不等式的解集即可得到数列的前三项为负数，利用负数的绝对值等于它的相反数，求出前三项的绝对值，正数的绝对值等于本身把第四项及后面的各项化简，然后利用等差数列的前n项和的公式即可求出所求式子的值.【解答】解：由an=2n﹣70，解得n，所以数列的前3项为负数，则|a1|+|a2|++|a15|=5+3+1+1+3+5++23=9+121+2=153.故答案为：153三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）21.已知平面向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（xR）.（1）若∥，求|﹣|（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围.【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示.【分析】（1）根据向量平行与坐标的关系列方程解出x，得出的坐标，再计算的坐标，再计算||；（2）令得出x的范围，再去掉同向的情况即可.【解答】解：（1）∵，﹣x﹣x（2x+3）=0，解得x=0或x=﹣2.当x=0时，=（1，0），=（3，0），=（﹣2，0），||=2.当x=﹣2时，=（1，﹣2），=（﹣1，2），=（2，﹣4），||=2.综上，||=2或2.（2）∵与夹角为锐角，，2x+3﹣x20，解得﹣1又当x=0时，，x的取值范围是（﹣1，0）（0，3）.22.（文科）已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n 项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20.（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式.（Ⅱ）令Cn=nbn（nN+），求{cn}的前n项和Tn.【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和.【分析】（Ⅰ）设公差为d，公比为q，则a2b2=（3+d）q=12①，S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=20②联立①②结合d0可求d，q，利用等差数列，等比数列的通项公式可求an，bn（Ⅱ）由（I）可得，bn=2n﹣1，cn=n2n﹣1，考虑利用错位相减求解数列的和即可【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，公比为q，则a2b2=（3+d）q=12①S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=20②联立①②可得，（3d+7）（d﹣3）=0∵{an}是单调递增的等差数列，d0.则d=3，q=2，an=3+（n﹣1）3=3n，bn=2n﹣1（Ⅱ）bn=2n﹣1，cn=n2n﹣1，Tn=c1+c2++cnTn=120+221+322++n2n﹣12Tn=121+222++（n﹣1）2n﹣1+n2n两式相减可得，﹣Tn=120+121+122++12n﹣1﹣n2n﹣Tn==2n﹣1﹣n2nTn=（n﹣1）2n+123.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB ﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣.（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影.【考点】两角和与差的余弦函数；向量数乘的运算及其几何意义；二倍角的正弦；二倍角的余弦；余弦定理.【分析】（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B 的值，利用余弦定理求出c的大小.【解答】解：（Ⅰ）由可得，可得，即，即，（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，由题意可知ab，即AB，所以B=，由余弦定理可知.解得c=1，c=﹣7（舍去）.向量在方向上的投影：=ccosB=.24.已知如图：四边形ABCD是矩形，BC平面ABE，且AE=2，EB=BC=2，点F为CE上一点，且BF平面ACE.（1）求证：AE∥平面BFD；（2）求三棱锥A﹣DBE的体积；（3）求二面角D﹣BE﹣A的大小.【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定.【分析】（1）连接AC交BD于G，连结GF，则G为AC的中点，推导出BFCE，FG为△ACE的中位线，由此能证明AE∥平面BFD.（2）推导出BFAE，BCAE，AD平面ABE，从而AEBE，由V A ﹣DBE=VD﹣ABE，能求出三棱锥A﹣DBE的体积.（3）由AEBE，ADBE，得到DEA是二面角D﹣BE﹣A的平面角，由此能求出二面角D﹣BE﹣A的大小.【解答】证明：（1）连接AC交BD于G，连结GF，∵ABCD是矩形，G为AC的中点，1分由BF平面ACE得：BFCE，由EB=BC知：点F为CE中点，2分FG为△ACE的中位线，FG∥AE，3分∵AE平面BFD，FG平面BFD，AE∥平面BFD.4分解：（2）由BF平面ACE得：BFAE，由BC平面ABE及BC∥AD，得：BCAE，AD平面ABE，∵BCBF=F，AE平面BCE，则AEBE，6分V A﹣DBE=VD﹣ABE=，即三棱锥A﹣DBE的体积为.8分（3）由（2）知：AEBE，ADBE，BE平面ADE，则BEDE，DEA是二面角D﹣BE﹣A的平面角，10分在Rt△ADE中，DE==4，AD=DE，则DEA=30，二面角D﹣BE﹣A的大小为30.12分.25.如图，函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，0，||）的图象与坐标轴的三个交点为P，Q，R，且P（1，0），Q（m，0）（m0），PQR=，M为QR的中点，|PM|=.（Ⅰ）求m的值及f（x）的解析式；（Ⅱ）设PRQ=，求tan.【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；同角三角函数间的基本关系.【分析】（Ⅰ）由已知可得=，从而解得m的值，由图象可求T，由周期公式可求，把p（1，0）代入f（x），结合||，即可求得的值，把R（0，﹣4）代入f（x）=Asin（x﹣），即可解得A的值，从而可求f（x）的解析式.（Ⅱ）由ORP=﹣，tanORP=，根据tan（﹣）=即可解得tan的值.【解答】解：（Ⅰ）∵PQR=，OQ=OR，∵Q（m，0），R（0，﹣m），又M为QR的中点，M（，﹣），又|PM|=，=，m2﹣2m﹣8=0，m=4，m=﹣2（舍去），R（0，4），Q（4，0），=3，T=6，=6，，把p（1，0）代入f（x）=Asin（x+），Asin（+）=0，∵||，=﹣.把R（0，﹣4）代入f（x）=Asin（x﹣），Asin（﹣）=﹣4，A=.f（x）的解析式为f（x）=sin（x﹣）.所以m的值为4，f（x）的解析式为f（x）=sin（x﹣）.（Ⅱ）在△OPR中，ORP=﹣，tanORP=，tan（﹣）=，=，解得tan=.26.设数列{an}的前n项和为Sn，a1=10，an+1=9Sn+10.（Ⅰ）求证：{lgan}是等差数列；（Ⅱ）设Tn是数列{}的前n项和，求Tn；（Ⅲ）求使Tn（m2﹣5m）对所有的nN*恒成立的整数m的取值集合.【考点】数列的求和；等差关系的确定.【分析】（I）根据等差数列的定义即可证明{lgan}是等差数列；（Ⅱ）求出{}的通项公式，利用裂项法即可求Tn；（Ⅲ）直接解不等式即可得到结论.【解答】解：（I）∵a1=10，an+1=9Sn+10.当n=1时，a2=9a1+10=100，故，当n1时，an+1=9Sn+10①，an+2=9Sn+1+10②，两式相减得an+2﹣an+1=9an+1，即an+2=10an+1，即，即{an}是首项a1=10，公比q=10的等比数列，则数列{an}的通项公式；则lgan=lg10n=n，则lgan﹣lgan﹣1=n﹣（n﹣1）=1，为常数，即{lgan}是等差数列；（Ⅱ）∵lgan=n，则=（﹣），则Tn=3（1﹣++﹣）=3（1﹣）=3﹣，（Ⅲ）∵Tn=3﹣T1=，要使Tn（m2﹣5m）对所有的nN*恒成立，则（m2﹣5m）对所有的nN*恒成立，解得﹣1故整数m的取值集合{0，1，2，3，4，5}.【试题二】一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q，则Q点坐标（）A.（﹣，）B.（﹣，﹣）C.（﹣，﹣）D.（﹣，）2.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知P（A）=0.65，P（B）=0.2，P（C）=0.1.则事件抽到的不是一等品的概率为（）A.0.7B.0.65C.0.35D.0.33.已知，为单位向量，其夹角为60，则（2﹣）=（）A.﹣1B.0C.1D.24.sin（﹣15）=（）A.B.C.D.5.已知向量=（﹣2，1），=（3，0），则在方向上的正射影的数量为（）A.﹣B.C.﹣2D.26.在△ABC中，a=1，b=x，A=30，则使△ABC有两解的x的范围是（）A.B.（1，+）C.D.（1，2）7.如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A.cxB.xaC.cbD.bc8.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形9.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则与（）A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直10.设函数，且其图象关于直线x=0对称，则（）A.y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数B.y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数C.y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数D.y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数11.设O点在△ABC内部，且有，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为（）A.2B.C.3D.12.已知在等边△ABC中，AB=3，O为中心，过O的直线与△ABC 的边分别交于点M、N，则+的值是（）A.B.2C.D.二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13.高一某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，则需要将全班同学分成组.14.已知tan=2，tan=3，且、都是锐角，则tan=.15.有一解三角形的题目因纸张破损，有一条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a=，2cos2=（﹣1）cosB，c=，求角A，若该题的答案是A=60，请将条件补充完整.16.在△ABC中，ACB为钝角，AC=BC=1，且x+y=1，函数的最小值为，则的最小值为.三、解答题（共6小题，满分70分）17.已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0），xR的值是1，其图象经过点.（1）求f（x）的解析式；（2）已知，且，，求f（﹣）的值.18.在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值.19.如图，已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），设Z是直线OP 上的一动点.（1）求使取最小值时的；（2）对（1）中求出的点Z，求cosAZB的值.20.学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下：[60，75），2；[75，90），3；[90，105），14；[105，120），15；[120，135），12；[135，150]，4.（1）在给出的样本频率分布表中，求A，B，C，D的值；（2）估计成绩在120分以上（含120分）学生的比例；（3）为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立二帮一小组，即从成绩在[135，150]的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[60，75）中的某一位同学.已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为140分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率.样本频率分布表：分组频数频率[60，75）20.04[75，90）30.06[90，105）140.28[105，120）150.30[120，135）AB[135，150]40.08合计CD21.某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E 在边BC上，点F在边AD上，且EOF=90.（1）设BOE=，试将△OEF的周长l表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用.22.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量=（﹣1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksin，t）.（1）若，且||=||，求向量；（2）若向量与向量共线，常数k0，求f（）=tsin的值域；（3）当（2）问中f（）的值4时，求.参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q，则Q点坐标（）A.（﹣，）B.（﹣，﹣）C.（﹣，﹣）D.（﹣，）【考点】弧长公式.【分析】画出图形，结合图形，求出xOQ的大小，即得Q点的坐标.【解答】解：如图所示，；点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q，则POQ=﹣2=，xOQ=，cos=﹣，sin=，Q点的坐标为（﹣，）；故选：A.2.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知P（A）=0.65，P（B）=0.2，P（C）=0.1.则事件抽到的不是一等品的概率为（）A.0.7B.0.65C.0.35D.0.3【考点】互斥事件的概率加法公式.【分析】根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来.【解答】解：根据对立事件的概率和为1，得；∵事件A={抽到一等品}，且P（A）=0.65，事件抽到的不是一等品的概率为P=1﹣P（A）=1﹣0.65=0.35.故选：C.3.已知，为单位向量，其夹角为60，则（2﹣）=（）A.﹣1B.0C.1D.2【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2﹣）的值.【解答】解：由题意可得，=11cos60=，=1，（2﹣）=2﹣=0，故选：B.4.sin（﹣15）=（）A.B.C.D.【考点】三角函数的化简求值；运用诱导公式化简求值.【分析】利用两角差的正弦公式，结合特殊角的三角函数，即可得出答案.【解答】解：sin（﹣15）=sin（30﹣45）=sin30cos45﹣cos30sin45=﹣=.故选：D.5.已知向量=（﹣2，1），=（3，0），则在方向上的正射影的数量为（）A.﹣B.C.﹣2D.2【考点】平面向量数量积的运算.【分析】根据向量数量积的关系进行化简，结合向量投影的定义进行求解即可.【解答】解：∵向量=（﹣2，1），=（3，0），在方向上的正射影为||cos，===﹣2，故选：C6.在△ABC中，a=1，b=x，A=30，则使△ABC有两解的x的范围是（）A.B.（1，+）C.D.（1，2）【考点】正弦定理.【分析】根据题意画出图形，由题意得到三角形有两解的条件为b=xa，bsinA【解答】解：结合图形可知，三角形有两解的条件为b=xa，bsinA b=x1，xsin301，则使△ABC有两解的x的范围是1故选：D.7.如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A.cxB.xaC.cbD.bc【考点】程序框图.【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择数，因此根据第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，而且条件成立时，保存值的变量X=C.【解答】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，∵条件成立时，保存值的变量X=C故选A.8.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形【考点】三角形的形状判断.【分析】由已知结合正弦定理可得sinC【解答】解：∵由正弦定理可得，sinCsin（A+B）sinAcosB+sinBcosAsinAcosB0又sinA0cosB0即B为钝角故选：A9.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，，，则与（）A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【考点】平行向量与共线向量.【分析】根据向量的定必分点性质可分别表示出，，，然后三者相加即可得到答案.【解答】解：由定比分点的向量式得：，，，以上三式相加得，故选A10.设函数，且其图象关于直线x=0对称，则（）A.y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数B.y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数C.y=f（x）的最小正周期为，且在上为增函数D.y=f（x）的最小正周期为，且在上为减函数【考点】两角和与差的正弦函数.【分析】将函数解析式提取2，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，找出的值，代入周期公式，求出函数的最小正周期，再由函数图象关于直线x=0对称，将x=0代入函数解析式中的角度中，并令结果等于k（kZ），再由的范围，求出的度数，代入确定出函数解析式，利用余弦函数的单调递减区间确定出函数的得到递减区间为[k，k+]（kZ），可得出（0，）[k，k+]（kZ），即可得到函数在（0，）上为减函数，进而得到正确的选项.【解答】解：f（x）=cos（2x+）+sin（2x+）=2[cos（2x+）+sin（2x+）]=2cos（2x+﹣），∵=2，T==，又函数图象关于直线x=0对称，﹣=k（kZ），即=k+（kZ），又||，=，f（x）=2cos2x，令2k2x2k+（kZ），解得：kxk+（kZ），函数的递减区间为[k，k+]（kZ），又（0，）[k，k+]（kZ），函数在（0，）上为减函数，则y=f（x）的最小正周期为，且在（0，）上为减函数.故选B11.设O点在△ABC内部，且有，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为（）A.2B.C.3D.【考点】向量在几何中的应用.【分析】根据，变形得，利用向量加法的平行四边形法则可得2=﹣4，从而确定点O的位置，进而求得△ABC的面积与△AOC的面积的比.【解答】解：分别取AC、BC的中点D、E，∵，，即2=﹣4，O是DE的一个三等分点，=3，故选C.12.已知在等边△ABC中，AB=3，O为中心，过O的直线与△ABC 的边分别交于点M、N，则+的值是（）A.B.2C.D.【考点】解三角形的实际应用.【分析】如图所示，设AOM=.由点O是正△ABC的中心，AC=3.可得AD═ACsin60，AO=AD.在△AMO中，由正弦定理可得：OM==，同理在△ANO中，可得：ON=.代入即可得出.【解答】解：如图所示，设AOM=.∵点O是正△ABC的中心，AC=3.AD═ACsin60=，AO=AD=.在△AMO中，由正弦定理可得：=，OM==，同理在△ANO中，由正弦定理可得：ON=.=+==2sin.∵，由过O的直线交AB于M，交AC于N，可得，因此当时，取得值2.故选：B.二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13.高一某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，则需要将全班同学分成8组.【考点】系统抽样方法.【分析】根据系统抽样进行求解即可.【解答】解：高一某班有学生56人，系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，则568=7，即样本间隔为7，每7人一组，共需要分成8组，故答案为：814.已知tan=2，tan=3，且、都是锐角，则tan=1+.【考点】两角和与差的正切函数；半角的三角函数.【分析】先利用正切的两角和公式求得tan（+）的值，进而求得+，的值，利用二倍角的正切函数公式即可计算得解.【解答】解：tan（+）===﹣1，∵、都是锐角，+=，可得：=，tan0，∵tan（+）=﹣1=，整理可得：tan2﹣2tan﹣1=0，解得：tan=1+，或1﹣（舍去）.故答案为：1+.15.有一解三角形的题目因纸张破损，有一条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a=，2cos2=（﹣1）cosB，c=，求角A，若该题的答案是A=60，请将条件补充完整.【考点】余弦定理.【分析】利用诱导公式、二倍角公式求得B，再利用两角和的正弦公式求得sin75的值，再利用正弦定理求得c的值.【解答】解：在△ABC中，∵已知a=，2cos2=（﹣1）cosB，1+cos（A+C）=（﹣1）cosB，即1﹣cosB=（﹣1）cosB，cosB=，B=.若A=60，则C=180﹣A﹣B=75，sin75=sin（45+30）=sin45cos30+cos45sin30=，则由正弦定理可得=，求得c=，故答案为：.16.在△ABC中，ACB为钝角，AC=BC=1，且x+y=1，函数的最小值为，则的最小值为.【考点】向量加减混合运算及其几何意义.【分析】在△ABC中，ACB为钝角，AC=BC=1，函数f（m）的最小值为.利用数量积的性质可得ACB，进而再利用数量积的性质和二次函数的单调性即可得出.【解答】解：在△ABC中，ACB为钝角，AC=BC=1，函数f（m）的最小值为.函数==，化为4m2﹣8mcosACB+10恒成立.当且仅当m==cosACB时等号成立，代入得到，.===x2+（1﹣x）2﹣x（1﹣x）=，当且仅当x==y时，取得最小值，的最小值为.故答案为：.三、解答题（共6小题，满分70分）17.已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0），xR的值是1，其图象经过点.（1）求f（x）的解析式；（2）已知，且，，求f（﹣）的值.【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；两角和与差的余弦函数.【分析】（1）根据题意求出A，图象经过点，代入方程求出，然后求f（x）的解析式；（2），且，，求出，然后求出sin，sin，利用两角差的余弦函数求f（﹣）的值.【解答】解：（1）依题意有A=1，则f（x）=sin（x+），将点代入得，而0，，，故.（2）依题意有，而，，.18.在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值.【考点】解三角形.【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C.（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值.【解答】解：（1）∵=2csinA正弦定理得，∵A锐角，sinA0，，又∵C锐角，（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得.即ab=6，（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5.19.如图，已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），设Z是直线OP 上的一动点.。
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高一下期末复习题库一、单选题（共20题；共40分）1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标为（ 35 ， 45 ）和（﹣ 45 ， 35 ），则cos （α+β）的值为（ ）A. ﹣ 2425 B. ﹣ 725 C. 0 D. 2425 2.sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°的值是（ ） A. √32B. 12 C. −√32D. −123.圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0的公切线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条4.若cos （ π4 ﹣α）= 35 ，则sin2α=（ ） A. 725 B. 15 C. ﹣ 15 D. ﹣ 7255.若 0<α<π2,−π2<β<0,cos (π4+α)=13,cos (π4−β2)=√33，则 cos (α+β2)= （ ）A. 5√39B. −√33C. 7√327D. −√696.函数f （x ）=sin 2（x+ π4 ）﹣sin 2（x ﹣ π4 ）是（ ）A. 周期为π的奇函数B. 周期为π的偶函数C. 周期为2π的偶函数D. 周期为2π的奇函数7.已知 cos (π−α)=13 ， sin (π2+β)=23 （其中， α ， β∈(0,π) ），则 sin (α+β) 的值为（ ） A. 4√2−√59B. 4√2+√59C. −4√2+√59D. −4√2−√598.已知 sin θ+cos θ=12 ，则 cos 4θ= （ ） A. −18 B. 18 C. −716 D. 716 9.已知点 P(sin5π3,cos5π3) 落在角 θ 的终边上，且 θ∈[0,2π) ，则 θ 的值为( )A. 2π3B.5π3C. 5π6D.11π610.下列关系式中正确的是（ ）A. sin11°<sin168°<cos77°B. sin168°<sin11°<cos77°C. sin11°<cos77°<sin168°D. sin168°<cos77°<sin11°11.如图是函数 y =sin (ωx +φ)(x ∈R,A >0,ω>0,0<φ<π2) 在区间 [−π6，5π6] 上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y =sin x 的图象（ ）A. 向左平移 π3 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 12 ，纵坐标不变 B. 向左平移至 π3 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C. 向左平移 π6 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的 12 ，纵坐标不变 D. 向左平移 π6 个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 12.如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为（ ） A. 12 B. −12 C. 1 D. ﹣1 13.若13tan ,(,)tan 242ππααα-=∈ ，则 sin (2α+π4) 的值为（ ）A. ±√210B. √25C. √210D. ±√2514.cos αsin(α+π6)+sin αsin(α−π3) =（ ）A. 12B. −12 C. √32D. −√3215.在△ABC 中， |AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ | ， |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3 ，则 CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为（ ） A. 3 B. ﹣3 C. −92 D. 9216.已知函数f （x ）=2sin 2x+2 √3 sin xcos x －1的图象关于点（φ，0）对称，则φ的值可以是（ ） A. −π6B. π6C. −π12D. π1217.已知 且，则 ( )A.B. C.D.18.设函数f （x ）=sin （ωx+φ）+cos （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ π2 ）的最小正周期为π，且f （﹣x ）=f （x ），则（ ）A. f （x ）在（0， π2 ）单调递增 B. f （x ）在（ π4 ， 3π4）单调递减C. f （x ）在（ π4 ，3π4）单调递增 D. f （x ）在（ π2 ，π）单调递增 19.已知函数 f(x)=2sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2) ，过点 A(π12,0) ， B(π3,2) ，则且当 x ∈[π12,5π12] ，且 g(x)=2mf(x)+sin (4x +π6) 的最大值为32，则 m 的值为（ ）A. 58B. 12 C. 58和 12 D. 58和 −1220.已知O 是△ABC 外接圆的圆心，A 、B 、C 为△ABC 的内角，若cosB sinC AB →+cosC sinB AC →=2m ·AO →， 则m 的值为（ ）A. 1B. sinAC. cosAD. tanA二、解答题（共7题；共70分）21.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角 α 、 β 它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为 √210、 2√55.求：（1）tan （ α ＋ β ）的值； （2）α+2β 的值．22.已知两个非零向量 a ，⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b⃗ 不平行， （1）如果 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +8b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = 3(a −b ⃗ ) ，求证A ，B ，D 三点共线； （2）试确定实数k ，使k a +b ⃗ 和a +kb ⃗ 平行．23.已知向量 a ⇀=(sin x,cos (π−x)),b ⇀=(2cos x,2cos x) ，函数 f(x)=a ⇀⋅b ⇀+1 . （1）求 f(x) 的对称中心；（2）求函数 f(x) 在区间 [0,π2] 上的最大值和最小值，并求出 x 相应的值.24.已知函数 f(x)=2sinxcos(x −π4)−√22．（1）求 f(x) 的最小正周期；（2）设 α∈(0，π2) ，且 f(α2+π8)=35，求 tan(α+π4) ．25.已知 a =（sinx ，cosx ）， b ⃗ =（sinx ，k ）， c =（﹣2cosx ，sinx ﹣k ）． （1）当x ∈[0， π4 ]时，求| b⃗ + c |的取值范围； （2）若g （x ）=（ a+ b ⃗ ）• c ，求当k 为何值时，g （x ）的最小值为﹣ 32 ．26.已知圆C 的圆心在直线4x+y=0上，且与直线x+y ﹣1=0相切于点P （3，﹣2）． （1）求圆C 的方程；（2）过圆内一点P （2，﹣3）的直线l 与圆交于A 、B 两点，求弦长AB 的最小值．27.如图，已知矩形 ABCD ， AB =2 ， AD =√3 ，点 P 为矩形内一点，且 |AP ⇀|=1 ，设 ∠BAP =α .（1）当 α=π3 时，求 PC⇀•PD ⇀ 的值； （2）求 (PC⇀+PD ⇀)•AP ⇀ 的最大值.三、填空题（共5题；共5分）28.sin 2α−2sin αcos α=3cos 2α ，则 cos 2α−tan 2α= ________．29.设向量 a ⇀=(t,1) ， b ⇀=(1,2) ，且 |a ⇀+b ⇀|2=|a ⇀|2+|b⇀|2 ，则 t = ________. 30.已知向量 a =(1,λ),b =(3,1) ，若向量 2a −b 与 c =(1,2) 共线，则向量 a 在向量 c 放向上的投影为________．31.已知tan （ π4+α）= 12 ，则sin2α+2cos 2α1+cos2α的值为________ ．32.如图所示，在正方形ABCD中，点E为边BC的中点，点F为边CD上的靠近点C的四等分⇀用AB⇀与AD⇀表示为________．点，点G为边AE上的靠近点A的三等分点，则向量FG答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】任意角的三角函数的定义，两角和与差的余弦函数【解析】【解答】解：∵点A，B的坐标为（35，45）和（﹣45，35），∴sinα= 45，cosα= 35，sinβ=3 5，cosβ=﹣45，则cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ= 35×（﹣45）﹣45× 35=﹣2425．故选A【分析】根据A与B的坐标，利用任意角的三角函数定义求出sinα，cosα，sinβ，cosβ的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．2.【答案】B【考点】两角和与差的余弦函数【解析】【解答】sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos（76°－16°）＝cos 60°＝12. 故答案为：B【分析】由余弦公式的逆用代入数值求出结果即可。
3.【答案】D【考点】两圆的公切线条数及方程的确定【解析】【解答】由题意，得两圆的标准方程分别为(x−2)2+(y+1)2=4和(x+2)2+(y−2)2=4，则两圆的圆心距d=√(2+2)2+(−1−2)2=5>2+2，即两圆相离，所以两圆有4条公切线. 故答案为：D．【分析】先将所给圆的方程化为圆的标准方程，再判断两圆的位置关系，由两圆相离可以判断出两圆有四条公切线.4.【答案】D【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】【解答】解：法1°：∵cos（π4﹣α）= 35，∴sin2α=cos（π2﹣2α）=cos2（π4﹣α）=2cos2（π4﹣α）﹣1=2× 925﹣1=﹣725，法2°：∵cos（π4﹣α）= √22（sinα+cosα）= 35，∴12（1+sin2α）= 925，∴sin2α=2× 925﹣1=﹣725，故选：D．【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α=cos（π2﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．法°：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值5.【答案】A【考点】两角和与差的余弦函数【解析】【解答】由题目条件得sin(π4+α)=2√23，sin(π4−β2)=√63，而cos(α+β2)=cos[(π4+α)−(π4−β2)]=cos(π4+α)cos(π4−β2)+sin(π4+α)sin(π4−β2)=13×√33+2√23×√63=5√39故答案为：A。