余弦函数的图像及其性质
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余弦函数的图像及性质
§6
余弦函数的图像与性质
学习目标
Hale Waihona Puke 1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像． 2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点) 3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 余弦函数的图像与性质
阅读教材 P31～P33“思考交流”以上部分，完成下列问题．
(1)函数y＝1－2cos x的单调增区间是________；
13 26 (2)比较大小cos 3 π________cos－ 3 π.
【精彩点拨】
(1)y＝1－2cos x的单调性与y＝－cos x的单调性相同，与y＝
cos x的单调性相反． (2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦函数y＝cos x的定义域为R.( ) )
π (2)余弦函数y＝cos x的图像可由y＝sin x的图像向右平移2个单位得到．(
(3)在同一坐标系内，余弦函数y＝cos x与y＝sin x的图像形状完全相同，只是 位置不同．( )
(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区 间．( )
2π 2π x2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 3 3 .
(2)要使函数有意义，
－1＋2cos x>0， 则 2 9－x ≥0，
1 cos x> ， 2 即 2 x ≤9，
1 cos x>2的解集为
π π x－ ＋2kπ<x< ＋2kπ，k∈Z 3 3 ，
π 11π x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 6 6 .
余弦函数的图像与性质
学习目标
Hale Waihona Puke 1．会利用诱导公式，通过图像平移得到余弦函数的图像． 2.会用五点法画出余弦函数在[0,2π]上的图像．(重点) 3．掌握余弦函数的性质及应用．(重点、难点)
[基础· 初探] 教材整理 余弦函数的图像与性质
阅读教材 P31～P33“思考交流”以上部分，完成下列问题．
(1)函数y＝1－2cos x的单调增区间是________；
13 26 (2)比较大小cos 3 π________cos－ 3 π.
【精彩点拨】
(1)y＝1－2cos x的单调性与y＝－cos x的单调性相同，与y＝
cos x的单调性相反． (2)利用诱导公式将所给角转化到同一单调区间上比较．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)余弦函数y＝cos x的定义域为R.( ) )
π (2)余弦函数y＝cos x的图像可由y＝sin x的图像向右平移2个单位得到．(
(3)在同一坐标系内，余弦函数y＝cos x与y＝sin x的图像形状完全相同，只是 位置不同．( )
(4)正弦函数与余弦函数有相同的周期，最大值、最小值及相同的单调区 间．( )
2π 2π x2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 3 3 .
(2)要使函数有意义，
－1＋2cos x>0， 则 2 9－x ≥0，
1 cos x> ， 2 即 2 x ≤9，
1 cos x>2的解集为
π π x－ ＋2kπ<x< ＋2kπ，k∈Z 3 3 ，
π 11π x2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z 6 6 .
正弦函数、余弦函数图像与性质
x
0
sinx 0
1 1+sinx y
2
1
o
2
-1
2
1 2
2
3
2
2
0
-1
0
1
0
1
步骤：
y=1+sinx，x[0, 2]
1.列表 2.描点 3.连线
3
2
x
2 y=sinx，x[0, 2]
正弦、余弦函数的图象
例2 画出函数y= - cosx，x[0, 2]的简图：
x
0
2
3
2
2
cosx 1
0
-1
0
1
- cosx -1
(
((((((,,0,00),)0,),(003)2))(32,(-312,(1)32,)1((3,)3(21(23(323)2,2,1-,1,-),-1-)11)))
2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
正弦、余弦函数的图象
y
五点画图法
1
(
2
,1)
( 2 ,1)
( ,0)
( 2 ,0)
五点法——
2
(
(0,0)o
(0,0)
2
(0,0)
-1
(0,0)
(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) (0,0)
2 ,1)
(
( 2 ,1)
(
2
,1)
( 2 ,1)
( 2 ,1)
( (
2
2
,1) ,1)
,0) 3
(
余弦函数的性质解析及其几何意义
余弦函数的性质解析及其几何意义余弦函数是数学中一种常见的三角函数，广泛应用于数理科学中。
本文将对余弦函数的性质进行解析，并探讨其在几何学中的意义。
一、余弦函数的定义及性质余弦函数（cosine function）是指在单位圆上，取角度的正弦值。
在数学中，余弦函数可以用以下公式表示：cos(x) = Adjacent / Hypotenuse其中，x 代表一个角度，Adjacent 表示角度所对的邻边的长度，Hypotenuse 表示斜边的长度。
余弦函数的主要性质包括以下几点：1. 周期性：余弦函数的周期是2π，即在一个完整的圆周上，余弦函数的取值将重复一次。
这意味着对于任意实数 x，有cos(x + 2π) =cos(x)。
2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(x) = cos(-x)。
这说明余弦函数关于 y 轴对称，图像在 y 轴上是对称的。
3. 范围：余弦函数的取值范围是[-1, 1]，即-1 ≤ cos(x) ≤ 1。
这意味着余弦函数的图像在 y 轴的上方不会超过1，下方不会低于-1。
4. 最值点：余弦函数的最大值是1，最小值是-1。
在单位圆上，最大值对应于角度为0度或360度的点，最小值对应于角度为180度的点。
二、余弦函数的几何意义余弦函数在几何学中有着重要的意义，它可以帮助我们理解和描述不同角度下的几何形状与变化。
1. 角度与直线的关系：余弦函数可以描述角度与直线之间的关系。
当我们知道一个角度的大小时，可以利用余弦函数计算出该角度与x轴正方向之间的夹角，从而确定直线的倾斜程度。
2. 三角形的角度关系：余弦函数在三角形中有着重要的应用。
三角形的任意一个内角都可以表示为余弦函数的反函数。
通过余弦函数，我们可以计算出角度对应的边长比例，进而确定三角形的形状和大小。
3. 圆的性质：余弦函数也与圆的性质密切相关。
在单位圆上，余弦函数的取值等于圆上某一点的横坐标。
通过余弦函数，我们可以计算出角度对应的点的坐标，从而在平面上画出圆的形状。
三角函数余弦函数的性质与图像
3
周期性现象描述
余弦函数可以描述周期性现象，如交流电的电 压和电流变化、四季更替等。
利用余弦函数进行信号处理
滤波和去噪
01
通过使用余弦函数进行滤波，可以去除信号中的噪声，提高信
号质量。
信号调制
02
在通信中，余弦函数可以用来进行信号调制，实现信号的传输
和接收。
谱分析
03
在信号处理中，余弦函数可以用来进行谱分析，提取信号中的
余弦函数的数学表达式为cosθ=b/c，其中θ是直角三角形中 的一个锐角，b是较长的直角边，c是斜边。
余弦函数的基本性质
周期性
振幅
余弦函数是周期函数，每隔2π（圆周率 π=3.1415926……）的区间内函数值重复。
余弦函数的振幅为1。
相位
当θ=0时，余弦函数的相位为0。
极值点
余弦函数在θ=π/2+kπ（k为整数）时取得 最大值1，在θ=3π/2+kπ（k为整数）时取 得最小值-1。
理解余弦函数的定义、性质和图像 掌握余弦函数图像的作图方法和技巧 能够应用余弦函数解决实际问题
教学内容
余弦函数的定义与性质
余弦函数的图像作图方法
余弦函数的应用举例
相关数学工具和软件介绍
02
余弦函数的定义与基本性质
余弦函数的定义
余弦函数（cosine function）也被称为余弦定理或余弦函数 公式，是三角函数的一种，表示直角三角形中一个锐角的邻 边与斜边的比值。
THANKS
余弦函数的图像
振幅
余弦函数的振幅是1，即函数的取值范围是 [-1,1]。
相位
余弦函数图像的相位与自变量x的起始位置 有关。
周期
正弦函数和余弦函数的图像与性质
x 10, 3 2 , 0, 2 , 3
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
3. 求最小正周期： (1) f ( x) 3sin x 4cos x (2) f ( x) sin 2 x (3) f ( x) sin 2 x cos 2 x
y cos x , x R 的值域是 [1,1]，最大值是 1，最小值是 1.
当 cos x 1时，x 2k (k Z). 当 cos x 1 时，x (2k 1) (k Z).
（2）周期性
一般地，对于函数 f ( x)，如果存在一个常数 T (T 0)， 使得当 x 取定义域 D 内的任意值时，都有 f ( x T ) f ( x) 成立，那么函数 f ( x) 叫做周期函数，常数 T 叫做函数 f ( x) 的周期。对于一个周期函数 f ( x) 来说，如果在所有的周期中 存在一个最小正数，那么这个最小正数叫做函数 f ( x) 的 最小正周期。
解： 偶函数； (1)
(2) f ( x) cos 2 x，偶函数；
2 (k Z)
(3)sin x 1 x 2k
x
，但 x 可以取 ，即 f ( x)的定义域不关于原点对称， 2 2
f ( x) 是非奇非偶函数。
(4) f ( x)
1 sin 2 x sin x 1 1 sin 2 x sin x 1
5 3 增：k , k (k Z)， 减：k , k (k Z) 8 8 8 8
(4) y log 1 2cos x 3
2
3 解： x cos x 2 k , 2 k 2 6 6
正弦余弦函数的图像性质(周期、对称、奇偶)
4π
6π
正弦函数y=sinx的图 象
-
-
-
x
-
每隔2π ，图象重复出现
− 6π − 4π
-
y
即对任意x，y = sin x + 2π） sin x （ =
1-1-
− 2π
-
o
2π
4π
6π
如果令f（x）＝ 如果令 （ ）＝sinx，则 f（x＋2π）＝ （x) ， （ ＋ ）＝f（ ）＝ ）＝ 抽象 f (x +T) = f(x)
y
2
+ kπ，k ∈ Z
（kπ，0）,k∈Z ， ） ∈
余 弦函 数 y=cosx的 图象 的
1-
− 4π
-
− 2π
-
o
- 1心： 无数个 对称中心：
-
-
x
0 k （ + kπ， ）（ ∈ z） 2
π
巩固运用
例4、判断下列函数的奇偶 性 5 （1） f（ x） 2sin （2x＋ π）； = 2
-
-
-
-
x
-
正弦余弦函数对称性
正弦函数.余弦函数的图象和性质 正弦函数 余弦函数的图象和性质
y
正弦 函数 y=sinx的 图象 的
1-
− 6π
对称轴： 无数条 对称轴：
x=
− 6π
-
对称轴： 无数条 对称轴： x=kπ， x=kπ，k∈Z
-
− 4π
-
− 2π
-
o
-1 -
2π
4π
6π
x
π
对称中心： 无数个 对称中心：
答： T =
2π
正弦函数和余弦函数的图像与性质.ppt
, 0), (2 ,1)
2
2
并注意-4 曲线的“凹凸”变化.
课堂练习
1.作函数 y sin x 与 y sin x 1在 [0, 2 ]
上的大致图像. 2.指出1.中各图像与正弦函数图像的位置关系.
3.作函数 y cos x, x [ , ]的大致图像.
4.利用3.解不等式：cos x sin x, x [ , ]
-2
五个关键点：(0, 0), ( ,1), ( , 0), (3 , 1), (2 , 0)
2
2
利用五个关-4键点作简图的方法称为“五点法”
10
三、余弦函数的图像
根据诱导公式
cos
8
x
sin(
x) 可知余弦函数
y
cos
6
x的图像可由
y
2 sin
x
的图像向左平移
2
4
个单位得到.
1
2
2
-10
3-5
0
2
1
-2
余弦函数的值域是[1,1] -4
当且仅当 x 2k , k Z 时， -6
余弦函数取得最大值1；-8
5
2
35
x10
2
yP
OM x
当且仅当 x 2k , k-10 Z 时，
余弦函数取得最小值-1-1.2例1.求下列函数的源自大值与最小值，及取到最值6
课堂练习答案
12
1. y sin x, x [0, 2 ] y4
10
x
0
2
3 2
2
2 8
5
-10
余弦函数的图象与性质(中华版)
余弦函数，正切函数的图象和性质
余弦函数的图象和性质
4月7日 周四
歌song中华
余弦函数的图象和性质 你想怎样画余弦函数的图象？
y
1
-
y sin x
2
- Biblioteka - 4 2
-
o
-
-1
4
-
6
-
y cos x
几何，五点，变换
y cos x sin[ ( x)] sin( x ) 2 2
(k∈z)
定义域 值域 最值及相应的 x 的集合
x∈ R [-1,1]
x∈ R
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数
π x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2
周期为T=2π 奇函数 在x∈[2kπ- π, 2kπ+ ]2上 2 都是增函数 , 在 π 3 x∈[2kπ+ ，2kπ+ ]上π 2 2 都是减函数. (kπ,0) x = kπ+
知识点：_________________ 智慧群：_________________ _________________ _________________ 经典错：_________________
其他感悟：_______________ Good!
x
l
图象 1.请同学们填表
y
1
x
-1
定义域 值域 最值 周期 单调性 奇偶性 对称性 中心对称：对称中心 轴对称：对称轴
余弦函数的图象和性质
4月7日 周四
歌song中华
余弦函数的图象和性质 你想怎样画余弦函数的图象？
y
1
-
y sin x
2
- Biblioteka - 4 2
-
o
-
-1
4
-
6
-
y cos x
几何，五点，变换
y cos x sin[ ( x)] sin( x ) 2 2
(k∈z)
定义域 值域 最值及相应的 x 的集合
x∈ R [-1,1]
x∈ R
[-1,1]
x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数
π x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2
周期为T=2π 奇函数 在x∈[2kπ- π, 2kπ+ ]2上 2 都是增函数 , 在 π 3 x∈[2kπ+ ，2kπ+ ]上π 2 2 都是减函数. (kπ,0) x = kπ+
知识点：_________________ 智慧群：_________________ _________________ _________________ 经典错：_________________
其他感悟：_______________ Good!
x
l
图象 1.请同学们填表
y
1
x
-1
定义域 值域 最值 周期 单调性 奇偶性 对称性 中心对称：对称中心 轴对称：对称轴
正弦函数、余弦函数的性质(全)
x
最小值：当
2 k
有最小值 y 时，
1
四、正弦、余弦函数的最值
y
1 -4 -3 -2 -
y sin x( x R)
2 3 4 5 6
o
-1
当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (sin x ) max 1； 2 当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (sin x ) min 1 . 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
5 3 3 5 … … [ ， ]、 [ ， ] 上时， 当 在区间 [ , ]、
x
2
2
2 2
2
2
曲线逐渐上升，sinα的值由 1增大到 1。
7 5 3 3 5 7 [ ， ]、 [ ， ]、 [ , ]„ 当x在区间 … [ , ]、 2 2 2 2 2 2 2 2
4 同理，使函数 y 3sin 2 x, x R 取最小值的x的集合是 4 函数 y 3sin 2 x, x R取最大值是3，最小值是-3。 {x | x
{x | x
k , k Z }
k , k Z }
五、探究：正弦函数的单调性 y
1
3 5 2
{x | x 2k , k Z}
使函数 y cos x 1, x R 取得最小值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最小值的x的集合
{x | x (2k 1) , k Z} 函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
最小值：当
2 k
有最小值 y 时，
1
四、正弦、余弦函数的最值
y
1 -4 -3 -2 -
y sin x( x R)
2 3 4 5 6
o
-1
当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (sin x ) max 1； 2 当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (sin x ) min 1 . 2
2 3
2
2
O
2
1
3 2
2
5 2
3
x
5 3 3 5 … … [ ， ]、 [ ， ] 上时， 当 在区间 [ , ]、
x
2
2
2 2
2
2
曲线逐渐上升，sinα的值由 1增大到 1。
7 5 3 3 5 7 [ ， ]、 [ ， ]、 [ , ]„ 当x在区间 … [ , ]、 2 2 2 2 2 2 2 2
4 同理，使函数 y 3sin 2 x, x R 取最小值的x的集合是 4 函数 y 3sin 2 x, x R取最大值是3，最小值是-3。 {x | x
{x | x
k , k Z }
k , k Z }
五、探究：正弦函数的单调性 y
1
3 5 2
{x | x 2k , k Z}
使函数 y cos x 1, x R 取得最小值的x的集合，就是 使函数 y cos x, x R 取得最小值的x的集合
{x | x (2k 1) , k Z} 函数 y cos x 1, x R 的最大值是1+1=2；最小值是
正弦函数余弦函数的图像与性质
三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。
余弦函数的性质与图像
因为对任意一个角 x ，都有
唯一确定的余弦 cosx
与之对应，所以 y cos x, xR
是一个函数，一般称为余弦
函数．
x
P(cosx,sinx)
如何研究余弦函数？
回顾：我们是如何研究正弦函数的？
方案
正弦函数
列表、描点、连线
正弦函数
的图像
的解析式
正弦函数的性质
单位圆
发现
诱导公式等
理解
如何研究余弦函数？
2
4
4
当 t 2x 0 ，即 x 时，f x max 2 ．
8
4
所以函数 f x 在 ,0 上的最小值为 1，
2
最大值为 2 ．
3
y 2cost ， t , ．
4 4
π
4
O
3π
4
y sin x
2
2
y cos x 0 ．
y
y=sinx
y=cosx
x
以上性质也可以通过定义，从单位圆看出
x
P(cosx,sinx)
2.余弦函数y=cosx的性质
(3)周期性：最小正周期是
因为 cos 2k x cos x k Z
所以余弦函数的周期是 2k kZ 且 k0
3 4
3 4
即 cos(1 x+6 ) cos(1 x ) ，即 f x 6 f x
3
4
3 4
所以函数的最小正周期为 6 ．
1
唯一确定的余弦 cosx
与之对应，所以 y cos x, xR
是一个函数，一般称为余弦
函数．
x
P(cosx,sinx)
如何研究余弦函数？
回顾：我们是如何研究正弦函数的？
方案
正弦函数
列表、描点、连线
正弦函数
的图像
的解析式
正弦函数的性质
单位圆
发现
诱导公式等
理解
如何研究余弦函数？
2
4
4
当 t 2x 0 ，即 x 时，f x max 2 ．
8
4
所以函数 f x 在 ,0 上的最小值为 1，
2
最大值为 2 ．
3
y 2cost ， t , ．
4 4
π
4
O
3π
4
y sin x
2
2
y cos x 0 ．
y
y=sinx
y=cosx
x
以上性质也可以通过定义，从单位圆看出
x
P(cosx,sinx)
2.余弦函数y=cosx的性质
(3)周期性：最小正周期是
因为 cos 2k x cos x k Z
所以余弦函数的周期是 2k kZ 且 k0
3 4
3 4
即 cos(1 x+6 ) cos(1 x ) ，即 f x 6 f x
3
4
3 4
所以函数的最小正周期为 6 ．
1
余弦函数的概念
余弦函数的概念余弦函数是一种三角函数，用于描述一个角的余弦值与其对边与斜边的比值之间的关系。
在数学中，余弦函数通常以cos(x)的形式表示，其中x为角度（以弧度为单位）。
一、余弦函数的定义余弦函数可以通过一个直角三角形中的角度来定义。
考虑一个直角三角形，其中一个角的度数为x。
根据三角函数的定义，我们可以定义余弦函数为：cos(x) = 邻边 / 斜边其中邻边表示与角度x相邻的边长，斜边表示直角三角形的斜边长度。
二、余弦函数的取值范围余弦函数的取值范围是[-1, 1]之间。
这是因为在一个直角三角形中，邻边和斜边的比值最大为1，最小为-1。
我们可以通过绘制余弦函数的图像来更好地理解其取值范围。
三、余弦函数的图像和性质余弦函数的图像通常是一个周期性的波形，其中周期为2π。
当角度x增加2π时，余弦函数的值会再次回到初始值。
余弦函数的图像在x轴上有一个最大值和一个最小值，分别为1和-1。
此外，余弦函数也具有对称性，即cos(x) = cos(-x)，这是因为在一个直角三角形中，余弦函数的邻边和斜边的比值与该角度的正负无关。
除了周期性和对称性外，余弦函数还具有以下性质：1. 偶函数性质：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数关于y轴对称。
2. 周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，即在一个周期内，余弦函数的值相同。
3. 奇异点：余弦函数在90°、180°、270°等整数倍π的点上有奇异点，此时斜边为0，因此余弦函数无定义。
四、余弦函数的应用余弦函数在数学和物理中有广泛的应用。
以下是一些应用示例：1. 三角形的计算：余弦函数可用于计算三角形中的角度和边长。
通过已知两条边长和这两条边之间的夹角，可以使用余弦定理来计算第三条边的长度。
2. 波动和振动的分析：在物理学中，余弦函数常用于描述波动和振动的变化。
例如，声波和光波的传播可以使用余弦函数来建模。
3. 信号处理：余弦函数是一种常用的信号处理方法，可用于分析和处理信号的频域特性。
三角函数余弦函数的性质与图像
三角函数余弦函数的性质与 图像
2023-11-04
目 录
• 三角函数概述 • 余弦函数概述 • 余弦函数的对称性与最值 • 余弦函数的导数与积分 • 余弦函数的实际应用 • 余弦函数与其他数学知识的联系
01
三角函数概述
定义与性质
01
定义
三角函数是正弦、余弦和正切函数的统称，它们是定义在单位圆上的
应用
导数在几何学、振动分析和曲线拟合等领域有广泛应用。例如， 在振动分析中，余弦函数的导数可以描述振动的加速度。
积分
定义
余弦函数的积分定义为 `F(x) = -cos(x)`。
性质
余弦函数的积分在区间 `(0, 2π)` 上是周期函数，周期为 `2π`。此外，余弦函数的积分在区间 `(0, π)` 上是单调递减的，而 在区间 `(π, 2π)` 上是单调递增的。
与线性代数的联系
向量表示
余弦函数可以用于表示向量空间中的向量 。
矩阵变换
余弦函数可以用于进行矩阵的旋转和缩放 等变换。
正交性
余弦函数与其他三角函数的组合具有正交 性，即它们的内积为零。
与复变函数的联系
解析性质
余弦函数在复平面上是解析函数，即其导 数存在且连续。
复数表示
余弦函数可以表示为复平面上的复数形式 。
应用
积分在解决初值问题、求解面积和体积以及信号处理等领域有广泛应用。例如，在信号处理中，余弦函数的积分可以描述 信号的幅度。
微分方程
定义
性质
应用
微分方程是包含未知函数及其 导数的等式。在三角函数中， 微分方程通常用于描述振荡、 波动等自然现象。
余弦函数是一类特殊的三角函 数，它们满足一些微分方程。 例如，余弦函数及其导数满足 以下微分方程：`(d^2/dx^2 sin^2(x))y = 0`。
2023-11-04
目 录
• 三角函数概述 • 余弦函数概述 • 余弦函数的对称性与最值 • 余弦函数的导数与积分 • 余弦函数的实际应用 • 余弦函数与其他数学知识的联系
01
三角函数概述
定义与性质
01
定义
三角函数是正弦、余弦和正切函数的统称，它们是定义在单位圆上的
应用
导数在几何学、振动分析和曲线拟合等领域有广泛应用。例如， 在振动分析中，余弦函数的导数可以描述振动的加速度。
积分
定义
余弦函数的积分定义为 `F(x) = -cos(x)`。
性质
余弦函数的积分在区间 `(0, 2π)` 上是周期函数，周期为 `2π`。此外，余弦函数的积分在区间 `(0, π)` 上是单调递减的，而 在区间 `(π, 2π)` 上是单调递增的。
与线性代数的联系
向量表示
余弦函数可以用于表示向量空间中的向量 。
矩阵变换
余弦函数可以用于进行矩阵的旋转和缩放 等变换。
正交性
余弦函数与其他三角函数的组合具有正交 性，即它们的内积为零。
与复变函数的联系
解析性质
余弦函数在复平面上是解析函数，即其导 数存在且连续。
复数表示
余弦函数可以表示为复平面上的复数形式 。
应用
积分在解决初值问题、求解面积和体积以及信号处理等领域有广泛应用。例如，在信号处理中，余弦函数的积分可以描述 信号的幅度。
微分方程
定义
性质
应用
微分方程是包含未知函数及其 导数的等式。在三角函数中， 微分方程通常用于描述振荡、 波动等自然现象。
余弦函数是一类特殊的三角函 数，它们满足一些微分方程。 例如，余弦函数及其导数满足 以下微分方程：`(d^2/dx^2 sin^2(x))y = 0`。
余弦函数的图像和性质
1 (2) y 3 cos( x ) 2 4
练习：求下列函数的最值和周期：
（1）y=2cos8x
例2
5 7 2 , 且函数y cos x在 4 5 区间 [， 2 ]上是增函数， 解：（ 1 ） cos 5 7 cos 4 5 23 23 3 ( 2) co s( ) co s co s , 5 5 5 1 7 1 7 co s( ) co s co s , y 4 4 4
4
3 , 且函数y cos x在[0, ]上是减函数， 5
2
3
4
5
6
x
不查表，比较下列各对余弦值的大小
（1） cos 125 和 cos 156
15 14 和 cos （2）cos 8 9
； /gushiyaowen/ 股市最新消息
余弦函数的图象和性质
正弦、余弦函数的图象
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
1
余弦曲 线
-4
-3
-2
-
-1
2
3
4
5
6
x
y
当x取哪些值，函 数有最大值、最 小值？
壹卷 第317章 就范“姐姐，假如您和锦茵都不嫌弃の话，前年妹妹出嫁の时候，宫里准备の两套衣裳，妹妹只用咯壹套，另外壹套壹点 儿都没有用，就收起来咯。虽然妹妹和锦茵の品级不壹样，但是鞋子の颜色和绣花几乎没啥啊差别，要不，先拿妹妹の去救救急？”无可 奈何之下，这各下下策の救急法子，总好过穿着壹双裂着口子の鞋子拜天地，也好过在王府大门口众目睽睽之下拆嫁妆箱子，这两各法子， 既丢咯王府の脸面，更是对不起锦茵格格。排字琦早就从前面赶咯过来，她当得知发生咯这么大の变故，只觉得天都要塌咯下来。当水清 说完救急の法子，虽然是下下策，可总归也是各法子。但是淑清半天都没有回答，她也知道淑清万分为难。借用别人の衣饰，她当然很不 甘心；可是不借用の话，再也找不出来更好の法子，再不甘心好歹也能勉强算是壹各法子。淑清为难，可是吉时良辰不等人，排字琦真の 急咯，直接吩咐吟雪道：“你赶快去把鞋子取来，看看格格穿着是不是合脚。”排字琦是何等精明之人，她当然希望这场婚事能顺顺当当 地举行下去，可是依着淑清那心高气傲、不依不饶の性子，怎么可能朝水清妹妹低头？虽然那鞋子肯定是没有上过脚，但总归不是自己の 物件，那心里肯定是别扭。排字琦当然倾向于这天仙妹妹の法子，但是淑清是锦茵格格の亲额娘，万壹她替淑清做咯主，日后再落埋怨可 就是吃不着狐狸再惹壹身臊。另外淑清若再是去爷那里告她排字琦壹状，说她偏袒年妹妹，平白无故地趟咯她们俩人の浑水，还不冤死 咯？可是时间不等人！于是她特意点明咯“看看格格穿着是否合脚”。假如淑清不同意，完全可以“格格穿着不合脚”为理由，也算是给 咯淑清壹各拒绝の理由，下台阶の借口。因此她这番吩咐真可谓是两全齐美。壹听福晋姐姐发咯话，水清赶快对吟雪说：“福晋都发话咯， 你还不赶快去把鞋子取来，让李侧福晋看看合适不合适。”福晋精明，水清当然更是聪明！她早就听明白咯那各借口，于是直接咯当地说 “让李侧福晋看着合适不合适”。吟雪强忍着委屈，飞快地取来咯鞋子。当然是再合适不过咯！其实就算是不合适，只要是能凑合将就， 淑清都得点头同意，谁敢误咯吉时？换上新鞋の锦茵被众人当作易碎物品般地小心保护起来，直到坐上咯大花轿，整各王府里の人，不管 是主子还是奴才，全都长长地出咯壹口气。经历咯刚刚那壹番风波，众人因为注意力都集中在格格身上，没有时间理会水清主仆两人。现 在随着锦茵の出嫁，松咯壹口长气の人们，时不时地将眼睛瞟向咯李侧福晋。这可是壹各从来都不吃壹点儿亏の主子，又有爷の专宠在身， 这回可是有好戏看咯。第壹卷 第318章 犯难论“老谋深算”，淑清比不过排字琦，那是因为排字琦后天の积极努力。自从嫁入王府以来， 空有嫡福晋の身份，甚少得到王爷の恩宠，她要想在这各“侯门壹入似海深”の王府中如鱼得水地生存下来，只能是凭借自己の艰苦努力， 付出格外多の心血。她要为自己の下半辈子“争”出壹方天地。论“诡计多端”，她也比不上水清，那是因为水清先天の天资聪颖。此外， 从娘家の掌上明珠到王府里受气小媳妇の巨大落差，形势逼迫水清不得不将她先天の这份聪明才智发挥得淋漓尽致。人不犯我，我不犯人， 小心谨慎、明哲保身是她の信条。她要为自己の下半辈子“保”得自身平安。淑清却不壹样咯。虽然先天不够聪颖，后天也不够努力，但 是自从嫁入王府立即就得到咯王爷の专房独宠，因此从来就不需要她花壹丁点儿精力去挖空心思、争宠献媚。权利与义务从来都是对等の。 在她得到咯王爷专房独宠の同时，也让她丧失咯在水深火热の王府中自身得到历练、成长、提高の过程。因为她所有の壹切都不用费吹灰 之力，就能唾手可得。壹帆风顺の经历，专房独宠の待遇，壹女三子の成绩，让她确实拥有足够の资本可以傲视群芳。再加上她直来直去 の脾气，使得她の心中所想，几乎都是跃然脸上。此时此刻，果然与排字琦所预料得壹模壹样，李淑清第壹时间就找王爷讨公道去咯。听 完淑清对水清主仆两人连哭带怨の声声“控诉”，看着她梨花带雨、受尽委屈の脸庞，王爷这才是真真の犯咯难。正所谓清官难断家务案， 偏偏是他最受宠の诸人和最受冷落の诸人之间の家务案。这件事情假如发生在壹年以前，他可能都来不及犯难就会毫不犹豫地偏听偏信咯 淑清の壹面之词，但是经历咯他冤枉水清向八小格私自串通情报，以及水清在极为被动の条件下，凭借自己の聪明才智实现咯反败为胜の 骄人战绩之后，他の内心受到咯极大の震撼。在那各星光灿烂、微风拂面の夏夜草原，在他主动地、深刻地进行咯自我反省之余，他更是 急切地想知道，这各深藏不露の侧福晋是如何使那木泰那各骄傲の常胜将军成为她の手下败将。于是第二天趁晚膳の那么壹点点の紧张时 间，他问起咯玉盈：“听秦顺儿禀报，昨天八福晋和二十三小福晋来过咯？”“回爷，是の。”“她们来干啥啊？”“她们说是要跟凝儿 闲聊阵子。”“她们都聊啥啊咯？”“没聊啥啊，因为玉盈认得八福晋，可当时玉盈和凝儿都在帐子里，没处躲没处藏……”听完玉盈原 原本本の叙述，虽然他已经知道咯结果，但是当亲耳听到这各惊心动魄の过程，对于水清の沉着冷静、临危不惧、镇定自若の表现，仍是 惊诧不已。最主要の原因是，她才只是壹各二十三岁の孩
练习：求下列函数的最值和周期：
（1）y=2cos8x
例2
5 7 2 , 且函数y cos x在 4 5 区间 [， 2 ]上是增函数， 解：（ 1 ） cos 5 7 cos 4 5 23 23 3 ( 2) co s( ) co s co s , 5 5 5 1 7 1 7 co s( ) co s co s , y 4 4 4
4
3 , 且函数y cos x在[0, ]上是减函数， 5
2
3
4
5
6
x
不查表，比较下列各对余弦值的大小
（1） cos 125 和 cos 156
15 14 和 cos （2）cos 8 9
； /gushiyaowen/ 股市最新消息
余弦函数的图象和性质
正弦、余弦函数的图象
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y
1
余弦曲 线
-4
-3
-2
-
-1
2
3
4
5
6
x
y
当x取哪些值，函 数有最大值、最 小值？
壹卷 第317章 就范“姐姐，假如您和锦茵都不嫌弃の话，前年妹妹出嫁の时候，宫里准备の两套衣裳，妹妹只用咯壹套，另外壹套壹点 儿都没有用，就收起来咯。虽然妹妹和锦茵の品级不壹样，但是鞋子の颜色和绣花几乎没啥啊差别，要不，先拿妹妹の去救救急？”无可 奈何之下，这各下下策の救急法子，总好过穿着壹双裂着口子の鞋子拜天地，也好过在王府大门口众目睽睽之下拆嫁妆箱子，这两各法子， 既丢咯王府の脸面，更是对不起锦茵格格。排字琦早就从前面赶咯过来，她当得知发生咯这么大の变故，只觉得天都要塌咯下来。当水清 说完救急の法子，虽然是下下策，可总归也是各法子。但是淑清半天都没有回答，她也知道淑清万分为难。借用别人の衣饰，她当然很不 甘心；可是不借用の话，再也找不出来更好の法子，再不甘心好歹也能勉强算是壹各法子。淑清为难，可是吉时良辰不等人，排字琦真の 急咯，直接吩咐吟雪道：“你赶快去把鞋子取来，看看格格穿着是不是合脚。”排字琦是何等精明之人，她当然希望这场婚事能顺顺当当 地举行下去，可是依着淑清那心高气傲、不依不饶の性子，怎么可能朝水清妹妹低头？虽然那鞋子肯定是没有上过脚，但总归不是自己の 物件，那心里肯定是别扭。排字琦当然倾向于这天仙妹妹の法子，但是淑清是锦茵格格の亲额娘，万壹她替淑清做咯主，日后再落埋怨可 就是吃不着狐狸再惹壹身臊。另外淑清若再是去爷那里告她排字琦壹状，说她偏袒年妹妹，平白无故地趟咯她们俩人の浑水，还不冤死 咯？可是时间不等人！于是她特意点明咯“看看格格穿着是否合脚”。假如淑清不同意，完全可以“格格穿着不合脚”为理由，也算是给 咯淑清壹各拒绝の理由，下台阶の借口。因此她这番吩咐真可谓是两全齐美。壹听福晋姐姐发咯话，水清赶快对吟雪说：“福晋都发话咯， 你还不赶快去把鞋子取来，让李侧福晋看看合适不合适。”福晋精明，水清当然更是聪明！她早就听明白咯那各借口，于是直接咯当地说 “让李侧福晋看着合适不合适”。吟雪强忍着委屈，飞快地取来咯鞋子。当然是再合适不过咯！其实就算是不合适，只要是能凑合将就， 淑清都得点头同意，谁敢误咯吉时？换上新鞋の锦茵被众人当作易碎物品般地小心保护起来，直到坐上咯大花轿，整各王府里の人，不管 是主子还是奴才，全都长长地出咯壹口气。经历咯刚刚那壹番风波，众人因为注意力都集中在格格身上，没有时间理会水清主仆两人。现 在随着锦茵の出嫁，松咯壹口长气の人们，时不时地将眼睛瞟向咯李侧福晋。这可是壹各从来都不吃壹点儿亏の主子，又有爷の专宠在身， 这回可是有好戏看咯。第壹卷 第318章 犯难论“老谋深算”，淑清比不过排字琦，那是因为排字琦后天の积极努力。自从嫁入王府以来， 空有嫡福晋の身份，甚少得到王爷の恩宠，她要想在这各“侯门壹入似海深”の王府中如鱼得水地生存下来，只能是凭借自己の艰苦努力， 付出格外多の心血。她要为自己の下半辈子“争”出壹方天地。论“诡计多端”，她也比不上水清，那是因为水清先天の天资聪颖。此外， 从娘家の掌上明珠到王府里受气小媳妇の巨大落差，形势逼迫水清不得不将她先天の这份聪明才智发挥得淋漓尽致。人不犯我，我不犯人， 小心谨慎、明哲保身是她の信条。她要为自己の下半辈子“保”得自身平安。淑清却不壹样咯。虽然先天不够聪颖，后天也不够努力，但 是自从嫁入王府立即就得到咯王爷の专房独宠，因此从来就不需要她花壹丁点儿精力去挖空心思、争宠献媚。权利与义务从来都是对等の。 在她得到咯王爷专房独宠の同时，也让她丧失咯在水深火热の王府中自身得到历练、成长、提高の过程。因为她所有の壹切都不用费吹灰 之力，就能唾手可得。壹帆风顺の经历，专房独宠の待遇，壹女三子の成绩，让她确实拥有足够の资本可以傲视群芳。再加上她直来直去 の脾气，使得她の心中所想，几乎都是跃然脸上。此时此刻，果然与排字琦所预料得壹模壹样，李淑清第壹时间就找王爷讨公道去咯。听 完淑清对水清主仆两人连哭带怨の声声“控诉”，看着她梨花带雨、受尽委屈の脸庞，王爷这才是真真の犯咯难。正所谓清官难断家务案， 偏偏是他最受宠の诸人和最受冷落の诸人之间の家务案。这件事情假如发生在壹年以前，他可能都来不及犯难就会毫不犹豫地偏听偏信咯 淑清の壹面之词，但是经历咯他冤枉水清向八小格私自串通情报，以及水清在极为被动の条件下，凭借自己の聪明才智实现咯反败为胜の 骄人战绩之后，他の内心受到咯极大の震撼。在那各星光灿烂、微风拂面の夏夜草原，在他主动地、深刻地进行咯自我反省之余，他更是 急切地想知道，这各深藏不露の侧福晋是如何使那木泰那各骄傲の常胜将军成为她の手下败将。于是第二天趁晚膳の那么壹点点の紧张时 间，他问起咯玉盈：“听秦顺儿禀报，昨天八福晋和二十三小福晋来过咯？”“回爷，是の。”“她们来干啥啊？”“她们说是要跟凝儿 闲聊阵子。”“她们都聊啥啊咯？”“没聊啥啊，因为玉盈认得八福晋，可当时玉盈和凝儿都在帐子里，没处躲没处藏……”听完玉盈原 原本本の叙述，虽然他已经知道咯结果，但是当亲耳听到这各惊心动魄の过程，对于水清の沉着冷静、临危不惧、镇定自若の表现，仍是 惊诧不已。最主要の原因是，她才只是壹各二十三岁の孩
1.3.2余弦函数的图象及性质
3 ( ,0) 2
形状完全一样 只是位置不同
正弦曲 线
2 ,1) ((2 ,1)
2 3 4
余弦曲 线
5
6
(( ,-1) ,-1)
x
2. 余弦函数的性质：
(1) 定义域： y=cosx的定义域为R
(2) 值域： ① 由单位圆中的三角函数线，得结论： |cosx|≤1 （有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论： 所以y=cosx的值域为[－1，1]；
a 1 解 1 得 b 2
1 当cosx=1或cosx=－1时，ymin= 2
例2、判断下列函数的奇偶性：
（1）y=cosx+2；
（2）y=cosxsinx. 解：（1）f(－x)=cos(－x)+2
=cosx+2=f(x),
∴ 函数y=cosx+2是偶函数. (2) f(－x)=cos(－x)sin(－x) =－cosxsinx=－f(x). ∴ 函数y=cosxsinx是奇函数.
y
6
4
2
1 o -1 R [-1,1]
-
2
4
6
定义域 值 域 周 期 奇偶性
2
偶函数
单调性
单调递减区间： k , 2k ] [2
(k Z ) (k Z )
单调递增区间： k , 2k 2 ] [2
x k (k Z )
对称轴 对称中心
②对于y=cosx
当且仅当x=2k kZ时 ymax=1， 当且仅当x=2k+ kZ时 ymin=－1， ③观察R上的y=cosx的图象可知
当2k－ <x<2k+ (kZ)时， y=cosx>0 2 2 3 当2k+ <x<2k+ (kZ)时， y=cosx<0 2 2
形状完全一样 只是位置不同
正弦曲 线
2 ,1) ((2 ,1)
2 3 4
余弦曲 线
5
6
(( ,-1) ,-1)
x
2. 余弦函数的性质：
(1) 定义域： y=cosx的定义域为R
(2) 值域： ① 由单位圆中的三角函数线，得结论： |cosx|≤1 （有界性） 再看正弦函数线（图象）验证上述结论： 所以y=cosx的值域为[－1，1]；
a 1 解 1 得 b 2
1 当cosx=1或cosx=－1时，ymin= 2
例2、判断下列函数的奇偶性：
（1）y=cosx+2；
（2）y=cosxsinx. 解：（1）f(－x)=cos(－x)+2
=cosx+2=f(x),
∴ 函数y=cosx+2是偶函数. (2) f(－x)=cos(－x)sin(－x) =－cosxsinx=－f(x). ∴ 函数y=cosxsinx是奇函数.
y
6
4
2
1 o -1 R [-1,1]
-
2
4
6
定义域 值 域 周 期 奇偶性
2
偶函数
单调性
单调递减区间： k , 2k ] [2
(k Z ) (k Z )
单调递增区间： k , 2k 2 ] [2
x k (k Z )
对称轴 对称中心
②对于y=cosx
当且仅当x=2k kZ时 ymax=1， 当且仅当x=2k+ kZ时 ymin=－1， ③观察R上的y=cosx的图象可知
当2k－ <x<2k+ (kZ)时， y=cosx>0 2 2 3 当2k+ <x<2k+ (kZ)时， y=cosx<0 2 2
余弦函数的图像和性质
x
3 2
2 1
y
0
2
3 2
2
练习：画出函数[0，2π]上的图像
y=2cos x -3
二、余弦函数y cosx的性质
1、定义域 2、值域 3、周期性 4、最值
5、单调性
y cos x , x R
y 1
2
2
-1
0
3 2 2
4xy cos x , x R5、单调性在x 2k ,2k 上是增函数；
在x 2k , 2k 上是减函数；
例2 求出使下列函数取得最值的x的集合，
并写出最值，定义域和值域
• y=2-3cos x
解： 当 x k 2 , k Z时 cosx取得最大值1
此时 y 2 3cosx的最小值 2－3＝ 1
作业：P40，1(2)并求定义域、 值域、最大最小值。 下节课再见啦*^_^*
；蹦床公园加盟 /service ； 2019年01月21日18:02:23 ；
你说话の份,你要么闭嘴要么滚出去.”鞠言毫不客气の说.对呐个想踩自身几脚の乌凌,鞠言自是不会有好の态度.区区一个分部楼主,自身不过也是善尊中期境界の道行,却想踩一踩宁得城,踩一踩鞠言！如果宁得城达不到条件,那鞠言无话可说,但宁得城条件是达到了の,而且当事还专门给呐乌凌 伍千万乌翠玉.呐混蛋收了乌翠玉,却故意下绊子,委实是可恨.听到鞠言の话,乌凌一罔脸顿事通红,目中露出怒光,但他不敢在呐里发飙.他虽然心中有恨意,可也知道鞠言城主の强大,连阎尪宫の红衣杀月都被轻松杀死,他一个小小の善尊中期境界修道者,若不想找死,还是不要招惹对方为好.“鞠 言城主,不知……”藏庄如看了看乌凌,又看向鞠言.他此事也有些不舒服,鞠言当着他の面如此呵斥乌凌,呐让
3 2
2 1
y
0
2
3 2
2
练习：画出函数[0，2π]上的图像
y=2cos x -3
二、余弦函数y cosx的性质
1、定义域 2、值域 3、周期性 4、最值
5、单调性
y cos x , x R
y 1
2
2
-1
0
3 2 2
4xy cos x , x R5、单调性在x 2k ,2k 上是增函数；
在x 2k , 2k 上是减函数；
例2 求出使下列函数取得最值的x的集合，
并写出最值，定义域和值域
• y=2-3cos x
解： 当 x k 2 , k Z时 cosx取得最大值1
此时 y 2 3cosx的最小值 2－3＝ 1
作业：P40，1(2)并求定义域、 值域、最大最小值。 下节课再见啦*^_^*
；蹦床公园加盟 /service ； 2019年01月21日18:02:23 ；
你说话の份,你要么闭嘴要么滚出去.”鞠言毫不客气の说.对呐个想踩自身几脚の乌凌,鞠言自是不会有好の态度.区区一个分部楼主,自身不过也是善尊中期境界の道行,却想踩一踩宁得城,踩一踩鞠言！如果宁得城达不到条件,那鞠言无话可说,但宁得城条件是达到了の,而且当事还专门给呐乌凌 伍千万乌翠玉.呐混蛋收了乌翠玉,却故意下绊子,委实是可恨.听到鞠言の话,乌凌一罔脸顿事通红,目中露出怒光,但他不敢在呐里发飙.他虽然心中有恨意,可也知道鞠言城主の强大,连阎尪宫の红衣杀月都被轻松杀死,他一个小小の善尊中期境界修道者,若不想找死,还是不要招惹对方为好.“鞠 言城主,不知……”藏庄如看了看乌凌,又看向鞠言.他此事也有些不舒服,鞠言当着他の面如此呵斥乌凌,呐让
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3 2
2k
2k
2
3
3
x
x
2k 2k 4
3
2 3
，
2k x 2k 2 , k Z
3
3
函数的定义域为{x | 2k x 2k 2 }.
3
3
经典例题
考点二：余弦函数与二次函数结合求值域 例2． 求函数y cos2x 2 cos x 2的值域.
做对了吗——答案
解析 令 cos x t，则t [1,1], 则y t 2 2t 2 (t 1)2 1, 由二次函数的性质可知， 当t 1时，y取得最大值，ymin 1, 当t 1时，y取得最大值，ymax 5, 函数y的值域为[1,5].
余弦函数的图像及其性质
开篇点题——自主梳理
1．余弦函数图像画法
（1）把y=sinx图像向左平移 2 个单位得到y=cosx的图像，
正余弦函数图像形状相同，位置不同。
（2）余弦函数使用五点作图时，五个点分别为，（0,1）
（ ，0），（，-1），（3 ，0），（2，1）
2
2
开篇点题——自主梳理
2．余弦函数的性质
5
x
2k
2，
由数轴可知原函数定义域为
[5, 3 ] [ , ] [3 ,5]
2
22 2
变式训练
变式1．求函数y 1 2 cos x lg(2sin x 3)的定义域
做对了吗——答案
由题意可知x应满足条件
1 2 cosx 0
,即c
os
x
1 2
，
2sin x 3 0
sin x
则a
a
b
b
71，解得ba
4 .
3
y 3 absin x 3 12sin x,
y的最大值为15.
做对了吗——答案
解析 [分析]利用函数奇偶性定义，判断奇偶性步骤：
1.定义域2. f (x)与f (x)的关系3得出奇偶性.
(1)当x
时，f
(
)
1,当x
-
时，f
(-
)无意义，
2
2
2
2
则f (x)的定义域不对称，则f (x)为非奇非偶函数.
(2) f (x)定义域为R,
f (x) sin4 (x) cos4 (x) cos(2x)
变式训练
变式2． 要使cosx 2a 3 有意义，求a的取值范围. 4a
做对了吗——答案
解析 函数y cosx的值域为[1,1] | 2a 3 | 1 4a 即3a2 4a 7 0 解得-1 a 7 3 综上所述，a的取值为[1, 7]. 3
经典例题
考点三：三角函数图像
例3． 利用图像变换做出下列函数的简图：
(1) y 1 cosx, x [0,2 ]. (2) y | sin x |, x [0,4 ].
做对了吗？——参考答案
解析 (1)首先用五点作图法作出函数y cosx, x [0,2 ]的图像，
再做出y cosx关于x轴对称的对称图像y - cosx，最后将 图像向上平移1个单位，得到如图函数图像(1).
做对了吗？——参考答案
(2)首先用五点作图法作出函数y sin x, x [0,4 ]的图像，
再做出y sin x关于x轴下方的部分对称到x轴上方，得到 如图函数图像(2).
经典例题
考点四：三角函数的奇偶性
例4．判断下列函数的奇偶性： (1) f (x) 1 sinx cosx 1 sinx cosx (2) f (x) sin4 x cos4 x cos2x
（5）单调性：y=cosx在 [- 2k ,2k ](k Z)单调递 增；在[2k， 2k ](k Z) 单调递减.
经典例题
考点一：函数图像应用
例1．求函数y cosx 25 x2的定义域
做对了吗？——答案
解析 由题意可知x应满足条件
cos x
25
x
2
0
即Байду номын сангаасk
0 - 5
x
2
f (x) sin 4 x cos4 x cos2x
f (x)
f (x)为偶函数
随堂演练
若函数y a cosx b(a、b为常数)最大值为1，最小值为- 7，求 y 3 absin x的最大值.
做对了吗——答案
解析 当a 0时，
则a
a
b
b
1
7，解得ba
4 .
3
当a 0时，