余弦函数的图像及其性质

余弦函数的图像及其性质
开篇点题——自主梳理
1．余弦函数图像画法
（1）把y=sinx图像向左平移 2 个单位得到y=cosx的图像，
正余弦函数图像形状相同，位置不同。
（2）余弦函数使用五点作图时，五个点分别为，（0,1）
（ ，0），（，-1），（3 ，0），（2，1）
2
2
开篇点题——自主梳理
2．余弦函数的性质
做对了吗？——参考答案
(2)首先用五点作图法作出函数y sin x, x [0,4 ]的图像，
再做出y sin x关于x轴下方的部分对称到x轴上方，得到 如图函数图像(2).
经典例题
考点四：三角函数的奇偶性
例4．判断下列函数的奇偶性： (1) f (x) 1 sinx cosx 1 sinx cosx (2) f (x) sin4 x cos4 x cos2x
f (x) sin 4 x cos4 x cos2x
f (x)
f (x)为偶函数
随堂演练
若函数y a cosx b(a、b为常数)最大值为1，最小值为- 7，求 y 3 absin x的最大值.
做对了吗——答案
解析 当a 0时，
则a
a
b
b
1
7，解得ba
4 .
3
当a 0时，
（5）单调性：y=cosx在 [- 2k ,2k ](k Z)单调递 增；在[2k， 2k ](k Z) 单调递减.
经典例题
考点一：函数图像应用
例1．求函数y cosx 25 x2的定义域
做对了吗？——答案
解析 由题意可知x应满足条件
cos x
25
x
2
0
即2k
0 - 5
x
2
(1) y 1 cosx, x [0,2 ]. (2) y | sin x |, x [0,4 ].
做对了吗？——参考答案
解析 (1)首先用五点作图法作出函数y cosx, x [0,2 ]的图像，
再做出y cosx关于x轴对称的对称图像y - cosx，最后将 图像向上平移1个单位，得到如图函数图像(1).
则a
a
b
b
71，解得ba
4 .
3
y 3 absin x 3 12sin x,
y的最大值为15.
3 2
2k
2k
2
3
3
x
x
2k 2k 4
3
2 3
，
2k x 2k 2 , k Z
3
3
函数的定义域为{x | 2k x 2k 2 }.
3
3
经典例题
考点二：余弦函数与二次函数结合求值域 例2． 求函数y cos2x 2 cos x 2的值域.
做对了吗——答案
解析 令 cos x t，则t [1,1], 则y t 2 2t 2 (t 1)2 1, 由二次函数的性质可知， 当t 1时，y取得最大值，ymin 1, 当t 1时，y取得最大值，ymax 5, 函数y的值域为[1,5].
变式训练
变式2． 要使cosx 2a 3 有意义，求a的取值范围. 4a
做对了吗——答案
解析 函数y cosx的值域为[1,1] | 2a 3 | 1 4a 即3a2 4a 7 0 解得-1 a 7 3 综上所述，a的取值为[1, 7]. 3
经典例题
考点三：三角函数图像
例3． 利用图像变换做出下列函数的简图：
做对了吗——答案
解析 [分析]利用函数奇偶性定义，判断奇偶性步骤：
1.定义域2. f (x)与f (x)的关系3得出奇偶性.
(1)当x
时，f
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(
)
1,当x
-
时，f
(-
)无意义，
2
2
2
2
则f (x)的定义域不对称，则f (x)为非奇非偶函数.
(2) f (x)定义域为R,
f (x) sin4 (x) cos4 (x) cos(2x)
5
x
2k
2，
由数轴可知原函数定义域为
[5, 3 ] [ , ] [3 ,5]
2
22 2
变式训练
变式1．求函数y 1 2 cos x lg(2sin x 3)的定义域
做对了吗——答案
由题意可知x应满足条件
1 2 cosx 0
,即c
os
x
1 2
，
2sin x 3 0
sin x