三角函数和差及倍角公式讲义.docx

合集下载

两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式课件

探
究
返首页
17
课
前自主
5．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝
.
回顾
课
1 7
[tan β＝tan[(α＋β)－α]＝1t＋antaαn＋αβ＋－βttaannαα＝1＋12－12×31 31＝17.]
课后限时集训
堂
考
点
探
究
返首页
18
课
前
自
主回顾第1课时Fra bibliotek时集训
堂
考点探究
cos 2α＝ccooss22αα－＋ssiinn22αα＝11－＋ttaann22αα.
返首页
7
课前
2．降幂公式
自
主回顾
sin2α＝1－c2os 2α；
课后
限
课
cos2α＝1＋c2os 2α；
时集训
堂
考点探
sin αcos α＝12sin 2α.
究
用．
返
首
页
34
公式的变形用
课
1
前自
sin235°－2
主
(1)化简cos 10°cos 80°＝
.
回
课
顾
(2)化简sin2α－π6＋sin2α＋π6－sin2α的结果是
．
后限时
课堂考点
(1)－1
(2)12
[(1)cossin1203°5c°o－s 8120°＝1c－osc1o20s°s7i0n°－1012°＝－112cos
课
前
二、教材改编
自
主回顾
1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cosπ4＋α为(

三角函数和差公式

1.同角三角函数基本关系⒈同角三角函数的基本关系式倒数关系:tanα ·cotα＝1sinα ·cscα＝1cosα ·secα＝1商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝11＋tan^2(α)＝sec^2(α)1＋cot^2(α)＝csc^2(α)⒉两角和与差的三角函数公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－c osαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtan（α＋β）＝（tanα＋tanβ）/（1－tanα ·tanβ）tan（α－β）＝（tanα－tanβ）/（1＋tanα ·tanβ）倍角公式⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)2tanαtan2α＝—————1－tan^2(α)半角公式⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）1－cosαsin^2(α/2)＝—————21＋cosαcos^2(α/2)＝—————21－cosαtan^2(α/2)＝—————1＋cosα万能公式⒌万能公式2tan(α/2)sinα＝——————1＋tan^2(α/2)1－tan^2(α/2)cosα＝——————1＋tan^2(α/2)2tan(α/2)tanα＝——————1－tan^2(α/2)万能公式推导附推导：sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α))然后用α/2代替α即可。

第02讲三角恒等变换(和差公式、倍角公式)(教师版)

第02讲三角恒等变换（和差公式、倍角公式）（核心考点精讲精练）1. 4年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等或偏难，分值为5分【备考策略】1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用，需加强复习备考1.正弦的和差公式()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-2.余弦的和差公式()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-3.正切的和差公式()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=-4.正弦的倍角公式⇒=αααcos sin 22sin ααα2sin 21cos sin =5.余弦的倍角公式()()αααααααsin cos sin cos sin cos 2cos 22-+=-=升幂公式：αα2sin 212cos -=，1cos 22cos 2-=αα降幂公式：22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=6.正切的倍角公式ααα2tan 1tan 22tan -=7.半角公式(1)sin α2＝± 1－cos α2.(2)cos α2＝± 1＋cos α2.(3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.以上称之为半角公式，符号由α2所在象限决定．8.和差化积与积化和差公式sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos 2cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=++=+--=2sin cos sin()sin()A B A B A B =++-2cos cos cos()cos()A B A B A B =++-2sin sin cos()cos()A B A B A B =--+9.推导公式2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα10.辅助角公式x b x a y cos sin +=，)0(>a )sin(22ϕ++=⇒x b a y ，其中a b =ϕtan ，)2,2(ππϕ-∈【分析】由题得原式=sin15cos75cos15sin 75︒︒+︒︒，再利用和角的正弦公式化简计算.【详解】由题得原式=sin15cos 75cos15sin 75=sin(1575)sin 901︒︒+︒︒+== .故选C【点睛】本题主要考查诱导公式和和角的正弦公式的运用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.【分析】由两角差的正切公式即可求解.【详解】解：tan(α－β)＝tan tan 1tan tan a αββ-+＝4334133-+⨯＝13，故选：C.【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】[方法一]：直接法由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-=所以()tan 1αβ-=-故选：C[方法二]：特殊值排除法解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取=2πα，排除A, B ；再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β=4π，排除D ；选C.[方法三]：三角恒等变换sin()cos()]44cos sin sin 444ππαβαβαβαβπππαβαβαβ+++=++++=++=+（（）（（）（cos sin 44ππαβαβ+=+（（sin cos cos sin =044ππαβαβ+-+（（）即sin=04παβ+-（）sin =sin cos cos sin =0444πππαβαβαβαβαβ∴-+-+---（）（）（）（）（）sin =cos αβαβαβ∴----（）（）即t an(）=-1,故选：C.【分析】将所给的三角函数式展开变形，然后再逆用两角和的正弦公式即可求得三角函数式的值.【详解】由题意可得：1sin sin 12θθθ++=，则：3sin 12θθ+=1cos 2θθ+=从而有：sin coscos sin66ππθθ+=，即sin6πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭故选：B.【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式及其应用，属于中等题.【答案】A【分析】利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】()1sin 70sin10cos10cos 70cos 7010cos 602︒︒+︒︒=︒-︒=︒=．故选：A.【分析】运用正切两角和公式变形求解即可.【详解】8748135︒+︒=︒，令87,48αβ=︒=︒，则()tan tan tan tan13511tan tan αβαβαβ++=︒==--，所以tan tan tan tan 1αβαβ+-=-，即tan 87tan 48tan 87tan 481︒+︒-︒︒=-.故选：A.【分析】利用两角和的正切公式，结合换元法，解一元二次方程，即可得出答案.【详解】2tan tan 74πθθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ ，tan 12tan 71tan θθθ+∴-=-，令tan ,1t t θ=≠，则1271tt t+-=-2440t t -+=，解得2t =，即tan 2θ=.故选：D.【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.【分析】利用两角和差的正弦公式将题给条件化简，得到关于sin α的方程，解之即可求得sin α的值.【详解】2π1sin sin sin sin 32ααααα⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 2αα=，π1sin sin 32ααα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又2ππsin sin sin 33ααα⎛⎫⎛⎫++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11sin sin 22αααα=-，则sin 0α=故选：A【分析】直接利用和角的正切公式求解.【详解】由题得11tan +12tan 3141tan 12πααα+⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-.故答案为：3【分析】根据两角和的正切公式变形即可得解.【详解】因为tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，所以(1tan )(1tan )1tan tan tan tan 1tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβαβαβαβ++=+++=++-+π1tan (1tan tan )tan tan 24αβαβ=+-+=，故答案为：2【分析】由题意结合诱导公式可得22225cos cos cos sin 12121212ππππ-=-，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，2222225coscos cos cos cos sin 1212122121212πππππππ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭cos6π==故选：D.【答案】13【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果.【详解】221sin ())(1sin 2)42παααα+==+Q 121(1sin 2)sin 2233αα∴+=∴=故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．【点睛】易错点睛：本题如果利用tan 2θ=-，求出sin ,cos θθ的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()αβ+，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=.故选：B【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．【分析】由二倍角公式可得2sin 22sin cos tan 2cos 212sin αααααα==-，再结合已知可求得1sin 4α=，利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】cos tan 22sin ααα=- 2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，cos α∴==sin tan cos ααα∴==故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sin α.【答案】D【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98.故选：D.【分析】根据诱导公式及二倍角公式计算即可.【详解】已知πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππ5sin 2cos 22sin 1249ααα⎛⎫⎛⎫=-+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.【分析】利用二倍角的余弦公式求解.【详解】解：因为πsin 24α⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以22ππ2cos 12sin 122243αα⎛⎫⎛⎫-=--=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2sin 3α=-，所以2221cos212sin 1239αα⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭．22179cos42cos 2121981αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B ．【分析】先通过诱导公式变形，得到α的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出α，接下来再求β．【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=αα⎫=⎪⎪⎭sin θ=，cos θ=()αθ-=，∴22k k Z παθπ-=+∈，，即22k παθπ=++，∴sin sin 2cos 2k παθπθ⎛⎫=++== ⎪⎝⎭，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.；45.[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程∵2παβ+=，∴sin cos βα=，即3sin cos αα-=又22sin cos 1αα+=，将cos 3sin α=210sin 90αα-+=，解得sin α=，则224cos 22cos 12sin 15ββα=-=-=.；45.【答案】35-13【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos 2θ，根据两角差正切公式得tan()4πθ-【详解】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++，tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++，故答案为：31, 53 -【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【详解】因为2cos12sin2αα=-=，而α为锐角，解得：sin2α===故选：D．【分析】根据同角三角函数关系求得cosθ，再根据半角公式即可求得结果.【详解】因为37πsin,3π52θθ=-<<，故可得4cos5θ==-，又23sin sin cos sin5222tan3121coscos cos225θθθθθθθθ-=====-+.【分析】根据诱导公式求出cosθ，再利用平方关系可求sinθ，然后利用公式1cos sintan2sin1cosθθθθθ-==+即可求解.【详解】解：因为1cos()3πθ+=，所以1cos 3θ=-，又θ是第二象限角，所以sin θ=所以1cos tan 2sin θθθ-=故选：B ．【分析】将表达式1tan21tan 2αα+-中的正切化成正余弦，由4cos 5α=-，求出3sin 5α=-，代入即可求解．【详解】由4cos 5=-α且α是第三象限的角，可得3sin 5α==-，又由311tancossin1sin 152224cos 21tan cos sin 2225αααααααα-+++====----，即1tan221tan 2αα-=-+.故选：C.A ．sin tan 21cos θθθ=-C ．1cos tan2sin θθθ-=【分析】根据直角三角形中的定义写出sin ,cos θθ，用θ表示出BCH ∠，然后分析可得．【详解】由已知COB θ∠=，则π22CBO θ∠=-，2BCH θ∠=，又tan2BH CH θ=，sin CH OC θ=，cos OHOCθ=，BH OH OB OC +==，因此11cos tan sin OH BH OC CH CH OCθθθ--===，故选：C ．【分析】先代入零点，求得A 的值，再将函数化简为π()2sin()3f x x =-，代入自变量π12x =，计算即可.【详解】∵π()03f A ==，∴1A =∴()sin 2sin(f x x x x ==ππππ(2sin(2sin 121234f =-=-=故答案为：1，【分析】利用辅助角公式化简()f x ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，()sincos 333334xx x x x f x π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以()f x 的最小正周期为2613T pp ==故选：C ．【答案】2π（2,2k k Z ππ+∈均可）【分析】根据两角和的正弦公式以及辅助角公式即可求得()()f x x θ=+，可得2=，即可解出.【详解】因为()()()cos sin sin 1cos f x x x x ϕϕθ=++=+，2=，解得sin 1ϕ=，故可取2ϕπ=.故答案为：2π（2,2k k Z ππ+∈均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.【分析】法一：令x y k -=，利用判别式法即可；法二：通过整理得()()22219x y -+-=，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设x y k =，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【详解】法一：令x y k -=，则x k y =+，代入原式化简得()22226440y k y k k +-+--=，因为存在实数y ，则0∆≥，即()()222642440k k k --⨯--≥，化简得22170k k --≤，解得11k -≤≤+故x y - 的最大值是1，法二：224240x y x y +---=，整理得()()22219x y -+-=，令3cos 2x θ=+，3sin 1y θ=+，其中[]0,2πθ∈，则π3cos 3sin 114x y θθθ⎛⎫-=-+=++ ⎪⎝⎭，[]0,2θπ∈ ，所以ππ9π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则π2π4θ+=，即74πθ=时，x y -取得最大值1+，法三：由224240x y x y +---=可得22(2)(1)9x y -+-=，设x y k -=，则圆心到直线x y k -=的距离3d =≤，解得11k -≤≤+故选：C.【答案】π6-（答案不唯一）.【分析】化简函数解析式，由条件结合正弦函数性质求常数ϕ的一个取值即可.【详解】()sin cos()f x x x ϕ=++可化为()sin cos cos sin sin f x x x x ϕϕ=+-，所以()()sin 1sin cos cos f x x x ϕϕ=-+，设a ==则1sin cos ()sin cos f x a xx a a ϕϕ-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设1sin cos cos ,sin a aϕϕθθ-==，则()()sin f x a x θ=+，因为函数()sin cos()f x x x ϕ=++的最小值为所以=1sin 2ϕ=-，所以π2π6k ϕ=-或5ππ26k ϕ=-，其中Z k ∈，故答案为：π6-（答案不唯一）.32【分析】利用三角恒等变换、辅助角公式表示出()f x 的解析式，再用换元法将函数转化为二次函数即可求最大值.【详解】(1sin )(1cos )1sin cos sin cos ()f x x x x x x x ++=+++=，2(sin cos )11sin cos 2x x x x +-=+++,令πsin cos 4t x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,因为π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以πsin 4x ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦,所以(π4t x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭,所以(211(),22g t t t t =++∈,对称轴011t =-<,所以211()22g t t t =++在(单调递增,所以当0t =max 3()2g t g ==,即当πsin 14x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,π4x =时，()(1sin )(1cos )f x x x =++32.故答案为:32.【答案】12/0.5【分析】利用辅助角公式得πsin 13x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即可求出π2π,6x k k =+∈Z 即可求解cos 2x .【详解】因为πsin 2sin 23x x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭,所以ππ2π,32x k +=+ 即π2π,6x k k =+∈Z ，所以π24π,3x k k =+∈Z ，所以ππ1cos 2cos 4πcos 332x k ⎛⎫=+==⎪⎝⎭故答案为:12.【分析】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案.【详解】A 选项，cos82sin 52sin 82cos128︒︒︒+︒()cos82sin 52sin 82co 18052s =︒︒︒︒-+︒cos82sin 52si 5s 2n 82co -=︒︒︒︒()sin 528i 0221s n 3=︒︒=-︒=--，所以A 选项正确.B 选项，sin15sin 30sin 75︒︒︒()1111sin15sin 9015sin15cos15sin 302248=︒︒-︒=︒︒=︒=，B 选项正确.C 选项，22cos 15sin 15cos30︒-︒=︒=C 选项正确.D 选项，()tan 48tan 72tan 4872tan1201tan 48tan 72︒+︒=︒+︒=︒=-︒︒D 选项错误.故选：D【分析】根据题意和正弦的倍角公式，化简得到224sin sin cos cos 22αβαβ=，再由余弦的倍角公式，得到22224sin sin (12sin )(12sin )2222αβαβ=--，令22sin ,sin 22x y αβ==，求得12x y +=，结合2cos cos 12sin 12sin 2ααβ+=-+-，即可求解.【详解】解：由tan tan tan tan122αβαβ⋅⋅⋅=，可得sin sin sinsincos cos coscos2222αβαβαβαβ=，又由正弦的倍角公式，可得224sin cossin coscos cos cos cos222222ααββαβαβ=，即22224sinsin cos cos (12sin 2sin )2222αβαβαβ==--，令22sin,sin 22x y αβ==，则4(12)(12)1224xy x y x y xy =--=--+，解得12x y +=，所以22cos cos 12sin12sin 22()122x y αβαβ+=-+-=-+=.故选：C.【分析】由平方关系和辅助角公式可求解.【详解】αQ 为第二象限角，π3π4sin ;cos 4545αα⎛⎫⎛⎫+=∴+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴原式)11πsin cos sin cos 224ααααααα⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.πππ424αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.【分析】利用两角和的正弦公式化简得到sin αα=，利用辅助角公式得到πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求出α，从而得解.【详解】因为πππ1sin sin cos cos sin sin 3332ααααα⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2π2π2π1sin sin cos cos sin sin 3332ααααα⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，又π2πsin sin sin 33ααα⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin αα+=，所以1sin 2αα=，即πsin 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为α为锐角，所以ππ5π336α<+<，所以π2π33α+=，所以π3α=，即tan α=.【分析】首先求出cos37︒()()4sin53sin cos53 cos53sin sin534545545︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-利用两角差的正、余弦公式展开，最后利用诱导公式变形，代入计算可得.【详解】因为3sin375︒≈，所以4cos375︒=≈，=()()sin53sin cos53cos53sin sin4545454535︒-︒︒︒︒-︒︒︒+=-sin5353sin cos53cos5353sin sincos45cos sin4545cos45sin sin453455︒︒-︒︒︒︒︒︒+︒︒︒︒+=-cos45cossin53cos5345︒︒︒︒=()()4sin9037cos37453cos9037sin3735-==︒︒︒-︒≈=︒︒.故选：B【分析】利用已知条件和两角和的正切公式，先求出角α，再利用已知条件即可求解.【详解】因为()tan()tantan=tan1tan()tanαββααββαββ+-+-=++⋅，又因为costan1sinαβα=-，()1sintancosααβα++=，所以(1sin)(1sin)cos cos1sin coscos(1sin)cos1sintan1sin cos cos(1sin)cos(1sin)1cos1sin cos(1sin)ααααααααααααααααααααα+⋅--⋅+---==+⋅-+⋅++⋅--，所以22(1sin )(1sin )cos cos 1sin cos tan cos (1sin )cos (1sin )2cos αααααααααααα+⋅--⋅--==⋅-+⋅+因为22sin cos 1αα+=，所以tan 0α=，所以π,Z k k α=∈，所以当k 为奇数时，cos 1α=-，sin 0α=，当k 为偶数时，cos 1α=，sin 0α=，因为cos tan 1sin αβα=-，所以tan 1β=±，因为π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π4β=.故选：C.【分析】由已知条件算出tan ,tan αβ即可求解.【详解】因为3πsin ,,π52αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以4sin 3cos ,tan 5cos 4αααα==-==-，因为()sin 34sin cos tan tan 4cos 55αβααβββ+==+=-=g ，所以17tan 4β=-，所以()317tan tan 1644tan 3171tan tan 7144αβαβαβ--++===-⎛⎫⎛⎫--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.【答案】14-/0.25-【分析】根据二倍角公式化简()1sin 24f x x =-，即可求解最值.【详解】因为33()sincos sin cos 2222x x x x f x =-22sin cos sin cos 2222x x x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭1sin cos 2x x -1sin 24x =-，所以当π22π,Z 2x k k =+∈时，sin 21x =，此时()f x 的最小值为14-.故答案为：14-【基础过关】【分析】先用两角差的正切公式可求出tan α的值，再用两角和的正切公式即可求解【详解】因为πtan 11tan 41tan 4ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以5tan 3α=，故πtan 1tan 441tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，故选：C ．【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得.【详解】因为πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2π2ππcos 2cos 2cos 2333ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22π312sin 1235α⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭.故选：C【答案】D【分析】由正弦和正切的和差角公式即可代入求值.【详解】由()sin 2sin sin αβαβ+=得sin cos cos sin 11sin cos cos sin 2sin sin 22sin sin tan tan αβαβαβαβαβαβαβ++=⇒=⇒+=，进而可得tan tan 32tan tan tan tan 2αβαβαβ+=⇒=，所以()tan tan 3tan 631tan tan 12αβαβαβ++===---=，故选：D【分析】利用直线的斜率的定义及二倍角的余弦公式，结合同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.【详解】因为直线210x y -+=的倾斜角为α，所以tan 2α=.所以222222222cos2cos sin 1tan 12311sin cos 2sin 12tan 12293αααααααα---====-=-++++⨯.故选：B.【分析】首先求出sin2α，即可得到2sin cos αα，再根据sin cos αα+=.【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,πα∈，sin 0α>，cos 0α>，又7cos29α=，所以sin2α==，即2sin cos αα=所以sin cos αα+====故选：C【分析】利用二倍角公式，两角和的正弦公式化简求解即可.【详解】由题意得，()22sin cos 1sin 2sin cos 0ααβαβ++=，因为3ππ2α<<，所以sin 0α≠，所以()cos 1sin sin cos 0αβαβ++=，即()cos sin 0ααβ++=，所以()sin cos αβα+=-.故选：B.【详解】因为cos sin sin2cos sin 1cos2ααβααβ-=+-，所以2cos sin 2sin cos cos sin 112sin ααββααβ-=+-+，所以cos sin cos cos sin sin ααβααβ-=+，所以1tan 11tan tan ααβ-=+，即tan tan tan 1tan βαβα-=+，即1tan tan tan tan αβαβ--=-，所以()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ--==-+.故选：C【分析】先根据二倍角公式化简条件得：()cos sin 0ααβ++=，再根据角的范围及诱导公式得()7πsin cos sin 2αβαα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可得7π2αβα+=-，化简求值即可.【详解】由()()sin21sin 1cos2cos 0αβαβ++-=，得()2sin21sin 2sin cos 0αβαβ++=，①化简①式，得()22sin cos 1sin 2sin cos 0ααβαβ++=，又3ππ2α<<，所以()cos 1sin sin cos 0αβαβ++=，即()cos sin 0ααβ++=，因为3π5π,22αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，7π5π3π5π2π,,2222α⎛⎫⎛⎫-∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()7πsin cos sin 2αβαα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，且sin y x =在3π5π,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以7π2αβα+=-，所以7π22αβ+=，则7π24βα+=，所以tan 12βα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.故选：B ．【答案】45-/-0.8【分析】根据正切的差角公式得出tan α，再结合同角三角函数的平方关系，构造齐次式化简弦为切计算即可.【详解】由πtan 1tan 2tan 341tan αααα-⎛⎫-==⇒=- ⎪+⎝⎭，又222222sin cos 2cos 2tan 2sin 22cos sin cos tan 1ααααααααα---==++，代入tan 3α=-得24sin 22cos 5αα-=-.故答案为：45-【分析】根据给定条件，利用齐次式法求出2πsin(2)3α+，再利用诱导公式及二倍角的余弦公式求解作答.【详解】因为πtan()23α+=-，则222πππ2sin()cos()2tan()2ππ4333sin(2)sin 2()πππ335sin ()cos ()tan ()1333αααααααα++++=+===-+++++，则π2π4cos(2sin(2635αα+=+=-，即2π42cos ()1125α+-=-，解得πcos()12α+=所以πcos()12α+的值为故答案为：【能力提升】【分析】根据积化和差公式可得()sin 3cos 2sin 2cos ααβ-=，结合二倍角公式以及弦切互化得齐次式即可求解.【详解】由()sin cos sin βαβα=+得()()1sin sin sin 122βαβααβα+--⎡⎤⎦=⎣++⎡⎤⎦⎣，进而()1sin sin 2sin 212βαββ=+-，则()3sin sin 2sin 2cos cos 2sin βαβαβαβ=+=+所以()sin 3cos 2sin 2cos βααβ-=，则22222sin 22sin cos sin cos tan 1tan 3cos 24sin 2cos 2sin cos 2tan 13ααααααβαααααα=====-+++.故选：A.【分析】根据角的变换及诱导公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系求解.【详解】πππππcos cos[()]sin()2cos 32666αααα⎛⎫⎛⎫-=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πtan()26α∴+=，222πππ2sin()cos()2tan()πππ4666sin 22sin()cos(πππ3665sin ()cos ()tan ()1666ααααααααα+++⎛⎫+=++=== ⎪⎝⎭+++++.故选：D【分析】利用辅助角公式化简a ，正切二倍角公式和放缩放化简b ，余弦二倍角公式化简c ，然后根据正弦函数的单调性比较可得.【详解】()1cos 66sin 30cos 6cos30sin 6sin 306sin 242a=︒︒=︒︒-︒︒=︒-︒=︒，22tan13sin 26sin 26tan 26sin 261tan 13cos 261b ︒︒︒==︒=>=︒-︒︒，sin 25c =︒，当090x ︒<<︒，sin y x =单调递增，所以sin 26sin 25sin 24︒>︒>︒，所以a c b <<.故选：C【分析】先根据1111tan 1tan αα-=-+求出tan α，再利用二倍角得正切公式求出πtan 8，再根据两角和得正切公式即可得解.【详解】由1111tan 1tan αα-=-+，得()21tan 1tan 1tan ααα+--=-，即2tan 2tan 10αα+-=，解得tan 1α=-±，又α为锐角，所以tan 1α=-+，又2π2tanππ8tan tan 21π481tan 8⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭-，即2ππtan 2tan 1088+-=，解得πtan 18=-+πtan 18=-，所以π8α=，所以ππtan tan 184α⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：D.【分析】利用二倍角和两角差的余弦公式，再结合角的范围，即可求解.【详解】依题意可知，22ππcos 2cos 2cos 155αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2π2πcos 2cos cos 55αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2π2π2πcos cos sin sin 2cos cos 555ααα+=，得2πcos 05α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎝⎭2π2π9π,5510α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以2ππ52α+=，即π10α=.故选：D6．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设sin0.2,0.2cos0.1,2sin0.1a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a<<【答案】A【分析】利用导数证明不等式当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x ，进而得sin 0.10.1tan 0.1<<，再讨论,a b c b 与1的关系即可判断.【详解】解：令()sin f x x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()cos 10f x x '=-<在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，所以，函数()sin f x x x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()sin 00f x x x f =-<=，即sin x x <，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；令()tan g x x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()22222222cos sin 1cos 1sin 110cos cos cos cos g x x x x xx x x x '+--=-=-==<，所以，函数()tan g x x x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，所以，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()tan 00g x x x g =-<=，即tan x x <，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x所以，sin 0.10.1tan 0.1<<，因为sin0.2,0.2cos0.1,2sin0.1a b c ===，所以0,0,0a b c >>>所以，sin0.22sin 0.1cos 0.110sin 0.1100.110.2cos0.10.2cos 0.1a b ===<⨯=，即a b <2sin 0.110tan 0.1100.110.2cos 0.1c b ==>⨯=，即c b >所以，a b c <<故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin tan <<x x x ，结合二倍角公式，比较,a b c b 与1的关系判断.【分析】根据式子结构构造函数，利用导数研究单调性比较b 与c ，a 与b ，利用中间值比较即可.【详解】记1()e ,(01)1xf x x x =-<<-，则22(1)e 1()(1)x x f x x '--=-，记2()(1)e 1x g x x =--，则2()(1)e x g x x '=-，又01x <<，所以2()(1)e 0x g x x '=-<，所以2()(1)e 1x g x x =--在(0,1)上单调递减，所以20()(0)(10)e 10g x g <=--=，则22(1)e 1()0(1)x x f x x --=<-'，所以()f x 在(0,1)上单调递减，所以0()(0)e 10f x f <=-=，故01x <<时，1e 01xx-<-，所以1515e 1415<=-，所以151e 14c =-<，又sin40sin80sin(6020)sin(6020)312055104b ︒+︒︒-︒+︒+︒===︒>︒=>，所以14c b <<，记2(1)()ln ,(1)1x h x x x x -=->+，则22(1)()0(1)x h x x x -'=>+，所以2(1)()ln 1x h x x x -=-+在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0h x h <=，即1x >时，2(1)ln 1x x x ->+，所以32(1)322ln 32512->=+，所以32ln2025a b =>>>︒=，所以c b a <<.故选：D【点睛】思路点睛：要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函数，然后找到这个函数的单调性，就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系，有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.【分析】由tan α，tan β的符号即可判断A ；由正弦函数的单调性可判断B ；由正、余弦的降幂公式化二次为一次，结合三角函数值的符号可判断C ；用两角和的正切公式的变形可判断D.【详解】因为α，β为锐角，所以tan 0α>，tan 0β>，若tan α，tan β是方程2340x x --=的两根，由韦达定理得tan tan 40αβ⋅=-<，故A 错误；因为α，β为锐角且αβ>，函数sin y x =在π[0,2上单调递增，故B 正确；因为α，β为锐角，所以cos 0α>，cos 0β>，故221cos 1cos cossin (cos cos 02222βαβααβ+--=-=+>，C 错误；因为tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅，所以tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-⋅，又παβγ++=，所以tan()tan(π)tan αβγγ+=-=-，所以tan tan tan tan()(1tan tan )tan αβγαβαβγ++=+-⋅+tan (1tan tan )tan γαβγ=--⋅+tan tan tan αβγ=⋅⋅，故D 正确.故选：BD.【答案】π2（答案不唯一）【分析】根据题意，由三角恒等变换公式进行化简，然后由函数的最小值为2-，列出方程，即可得到结果.【详解】因为()()sin cos sin cos cos sin cos f x x x x x x ϕϕϕ=++=++()()cos sin 1sin cos x x x ϕϕθ=+++其中，1sin tan cos ϕθϕ+=2=，即22cos 1sin 2sin 4ϕϕϕ+++=22sin 4ϕ+=，所以sin 1ϕ=，则π2π2k ϕ=+，k ∈Z .当0k =时，π2ϕ=，即ϕ的一个取值为π2.故答案为：π2.【答案】45-/0.8-【分析】根据三角函数的定义和二倍角公式可得答案.【详解】根据三角函数的定义可知sin α==，cos α===，由二倍角公式得4sin 22sin cos 5ααα==-.故答案为：45-.【真题感知】【分析】根据积化和差及诱导公式即得.【详解】()()11sin 20cos 70sin10sin 50sin 90sin 50cos 60cos 4022︒︒+︒︒=︒+-︒-︒+-︒⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦1111sin 50cos 402242=-︒-+︒111cos 40cos 40422=-︒+︒14=.故选：A.【分析】根据二倍角的正弦公式化简计算即可.【详解】解：sin15cos30sin 75sin15cos30cos15︒︒︒=︒︒︒11sin 30cos30sin 6024=︒︒=︒=.故选：B.【分析】首先利用诱导公式以及二倍角公式将24sin 225α=化简得到249cos ()450πα-=，再进一步变形即可求解.【详解】224sin 2cos 22cos ()14425ππααα⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭ ，则249cos ()450πα-=解得cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，745πα⎛⎫-=± ⎪⎝⎭.故选：D【分析】根据平方关系结合二倍角的正弦公式及降幂公式化简，再根据余弦函数的周期性即可得解.【详解】解：()442222sin cos sin cos 2sin cos y x x x x x x=+=+-()2112sin cos 2x x =-21sin 212x =-+11cos 4131cos 42244x x -=-⋅+=+，因为函数的最小正周期2ππ42T ==.故选：B.【分析】先根据三角函数的辅角公式将函数化简为()sin y A x ωϕ=+的形式，再由2πT ω=可得到答案．【详解】πππ4sin 33cos 35sin 3444y x x x ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (其中3tan 4ϕ=)，2π3T ∴=．故选：C ．【分析】利用二倍角公式判断π(0,2α∈，即可得到sin cos 0αα+>，再由()2sin cos 12sin cos αααα+=+计算可得.【详解】解：由2sin 22sin cos 03ααα==>，又(0,)απ∈，所以π(0,2α∈，所以sin cos 0αα+>，又()25sin cos 12sin cos 3αααα+=+=，所以sin co s αα+=sin cos αα+=，所以sin co s αα+=故选：A ．【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得2810k k ++=，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【详解】方法一：因为22410x y x +--=，即()2225x y -+=，可得圆心()2,0C ，半径r =，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，==可得sin APC APC ∠==∠==则sin sin 22sin cos 2APB APC APC APC ∠=∠=∠∠==22221cos cos 2cos sin 04APB APC APC APC ∠=∠=∠-∠=-=-<，即APB ∠为钝角，所以()sin sin πsin APB APB =-∠=∠=α法二：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径r ，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB ，==，因为22222cos 2cos PA PB PA PB APB CA CB CA CB ACB +-⋅∠=+-⋅∠且πACB APB ∠=-∠，则()336cos 5510cos πAPB APB +-∠=+--∠，即3cos 55cos APB APB -∠=+∠，解得1cos 04APB ∠=-<，即APB ∠为钝角，则()1cos cos πcos 4APB APB =-∠=-∠=α，且α为锐角，所以sin α==；方法三：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径r =，若切线斜率不存在，则切线方程为0y =，则圆心到切点的距离2d r =>，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2y kx =-，即20kx y --=，2810k k ++=，且644600∆=-=>设两切线斜率分别为12,k k ，则12128,1k k k k +=-=，可得1k =所以tan α，即sin cos αα=cos =α，则2222sin sin cos sin 115+=+=αααα，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0α>，解得sin α故选：B.二、多选题8．（2021·全国·统考高考真题）已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，()1,0A ，则（）【分析】A 、B 写出1OP ，2OP 、1AP u u ur ，2AP u u u r 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C 、D 根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A ：1(cos ,sin )OP αα=，2(cos ,sin )OP ββ=- ，所以1||1OP == ，2||1OP == ，故12||||OP OP = ，正确；B ：1(cos 1,sin )AP αα=- ，2(cos 1,sin )AP ββ=-- ，所以1||2|sin |2AP α==== ，同理2||2|sin |2AP β== ，故12||,||AP AP 不一定相等，错误；C ：由题意得：31cos()0sin()cos()OA OP αβαβαβ⋅=⨯++⨯+=+ ，12cos cos sin (sin )cos()OP OP αβαβαβ⋅=⋅+⋅-=+ ，正确；D ：由题意得：11cos 0sin cos OA OP ααα⋅=⨯+⨯= ，23cos cos()(sin )sin()OP OP βαββαβ⋅=⨯++-⨯+()()()cos βαβcos α2β=++=+，故一般来说123OA OP OP OP ⋅≠⋅故错误；故选：AC【分析】化简1sin 22y x =即得解.【详解】解：由题得1sin 22y x =，所以函数的最小正周期为2ππ2=.故答案为：π【分析】由辅助角公式即可求解.【详解】1sin cos ))2y x x x x ϕϕ=-=+=+,其中πsin ,02ϕϕϕ⎛⎫==∈- ⎪⎝⎭.而1sin()1x ϕ-≤+≤，所以1sin cos 2y x x =-.。

三角函数两角和差公式考点及例题讲解

两角和与差的正弦、余弦和正切公式考纲解读 1.直接正用公式求值；2.逆用公式化简求值；3.利用公式求角．[基础梳理]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. (2)S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin_β. (3)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. (4)C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α. (2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α－1 ＝1－2sin 2α.(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．降幂公式 (1)cos 2α＝1＋cos 2α2.(2)sin 2α＝1－cos 2α2. [三基自测]1．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，56π，则sin α的值为( ) A.817 B.153＋834C.15－8334D.15＋8334答案：D2．化简cos 15 °cos 45°－cos 75°sin 45°的值为( ) A.12 B.32C ．－12D ．－32答案：A3．若α是第二象限角，且sin(π－α)＝35，则tan 2α＝( )A.247 B ．－247C.724 D ．－724答案：B4．(必修4·习题3.1A 组改编)tan 54π＋tan 512π1－tan 512π＝________.答案：－35．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos α＝55，则cos 2α＝__________. 答案：－35[考点例题]考点一给角求值|方法突破[例1] (1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝( ) A ．－18B ．－116C.116D.18 (2)2cos 10 °sin 70°－tan 20°＝________.[解析] (1)cos π9·cos 2π9·cos ⎝⎛⎭⎫－23π9＝cos 20°· cos 40°· cos 100°＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°＝－sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－12sin 40°·cos 40°·cos 80°sin 20°＝－14sin 80°·cos 80°sin 20°＝－18sin 160°sin 20°＝18sin 20°－sin 20°＝－18.(2)2cos 10°sin 70°－tan 20°＝2cos 10°cos 20°－sin 20°cos 20°＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝2⎝⎛⎭⎫32cos 20°＋12sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.[答案] (1)A (2)3 [方法提升][跟踪训练]1．化简：cos 40°cos 25°1－sin 40°＝( )A ．1 B.3 C. 2D ．2解析：原式＝cos 220°－sin 220°cos 25°(cos 20°－sin 20°)＝cos 20°＋sin 20°cos 25°＝2cos 25°cos 25°＝2，故选C.答案：C2．(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是( ) A. 3 B ．1＋2C ．2D ．2(tan 18°＋tan 27°)解析：(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＝2.答案：C考点二给值求值|思维突破[例2] (1)(2018·贵阳监测)若sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝25，则sin 2α等于( ) A ．－825B.825 C ．－1725D.1725(2)若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝( )A. 3 B ．－3 C.33D ．－33(3)已知tan(α＋β)＝25，tan β＝13，则tan(α－β)的值为________．[解析] (1)sin 2α＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝2 sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α－1＝2×⎝⎛⎭⎫252－1＝－1725. (2)sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3. (3)∵tan(α＋β)＝25，tan β＝13，∴tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)·tan β＝25－131＋25×13＝117，tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝117－131＋117×13＝－726.[答案] (1)C (2)A (3)－726[思维升华][母题变式]1．若将本例(1)变为已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.16 B.13 C.12D.23解析：cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16.答案：A2．若本例(3)条件不变，试求tan(2α＋β)的值．解析：由tan(α＋β)＝25，tan β＝13，求出tan α＝117后，tan(2α＋β)＝tan[α＋(α＋β)] ＝tan α＋tan (α＋β)1－tan α·tan (α＋β)＝117＋251－117×25＝3983.考点三给值求角|模型突破[例3] (1)(2018·成都检测)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4D.5π4或9π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β＝________.[解析] (1)因为α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，2π，又sin 2α＝55，所以2α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，α∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，故cos 2α＝－255.又β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，所以β－α∈⎣⎡⎦⎤π2，5π4，故cos(β－α)＝－31010.因此，cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)·cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝⎝⎛⎭⎫－31010×⎝⎛⎭⎫－255－1010×55＝22，又α＋β∈⎣⎡⎦⎤5π4，5π2，所以α＋β＝7π4，故选A.(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π4.又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.[答案] (1)A (2)－3π4[模型解法][高考类题](2014·高考新课标全国卷Ⅰ)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋sin βcos α，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，所以sin(α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α，又因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，因此α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.答案：B[真题感悟]1.[考点二](2017·高考山东卷)已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( )A ．－14B.14 C ．－18D.18解析：cos 2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝⎛⎭⎫342－1＝18. 故选D. 答案：D2.[考点一](2015·高考全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12解析：sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.答案：D3.[考点二](2016·高考全国卷Ⅱ)若cos(π4－α)＝35，则sin 2α＝( )A.725 B.15 C ．－15D ．－725解析：因为cos(π4－α)＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D.答案：D4.[考点二](2016·高考全国卷Ⅲ)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.45解析：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－(－13)21＋(－13)2＝45.答案：D5.[考点二](2016·高考全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825 C ．1D.1625解析：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425.答案：A6.[考点二](2017·高考江苏卷)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝__________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝tan α－11＋tan α＝16， ∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝75.答案：75。

(完整word版)三角函数专题讲义

三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函数性质2。

正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。

三角函数讲义(适用于高三第一轮复习)

三角函数1．同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+αα αααtan cos sin = 2．诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）ααπsin )sin(-=+ ααπcos )cos(-=+ ααπtan )tan(=+ ααπsin )sin(=- ααπcos )cos(-=- ααπtan )tan(-=-ααπcos )2sin(=+ ααπsin )2cos(-=+ ααπcos )2sin(=-ααπsin )2cos(=- ααsin )sin(-=- ααcos )cos(=- 3．两角和与差的公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-4．倍角公式 αααcos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=αααααααα2tan 1tan 22tan -=5．降幂公式 22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 2αα+= ααα2sin 21cos sin =6．幅角公式 x b x a ωωcos sin +)sin(22ϕω++=x b a ，其中ab=ϕtan8．补充公式 ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±， 2cos2sinsin 1ααα±=±知识点睛一．三角函数的图象与性质图象]1,1[-]1,1[-最值当且仅当22ππ+=k x 时取到最大值1；当且仅当22ππ-=k x 时取到最小值1-当且仅当πk x 2=时取到最大值1；当且仅当ππ-=k x 2时取到最小值1-周期最小正周期为π2最小正周期为π2奇偶性奇函数偶函数单调性在]22,22[ππππ+-k k 上单调增；在]232,22[ππππ++k k 上单调减在]2,2[πππk k -上单调增；在]2,2[πππ+k k 上单调减对称轴2ππ+=k x ；对称中心)0,(πk对称轴πk x =；对称中心)0,2(ππ+k说明：表格中的k 都是属于Z ，在选择“代表”的区间或点时，先尽量选择离坐标原点近的，再尽量选择正的。

高考数学两角和与差及二倍角的三角函数公式课件

－23×12＋ 35× 23＝
15－2 6.
故选 D. 答案：D
(2)4sin 80°－csoins 1100°°＝(
A. 3
B.－ 3
) C. 2
D.2 3－3
解析：因
4sin
80°－csoins
1100°°＝4sin
80°sin10 °－cos sin 10°
10°＝
2sin
20°－cos sin 10°
10°＝2sin30°－sin101°0°－cos
【规律方法】三角函数的给角求值，关键是把待求角用已知角表示：
①已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差； ②已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系” 或“互余、互补”的关系.
考点 2 给值求值问题例 2：(1)(2016 年新课标Ⅰ)已知 θ 是第四象限角，且 sinθ＋π4＝35，则 tanθ－π4＝________.
1.两角和与差的三角函数
三角函数
两角和
正弦
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
余弦
cos(α＋β)＝_c_o_s_α__co_s__β_－__s_in__α_si_n__β_
正切
tan(α＋β)＝1t－antαan＋αttaannββ
简写形式 Sα＋β Cα＋β
Tα＋β
(续表) 三角函数正弦余弦
考点 3 给值求角问题
例 3：已知 A，B 均为钝角，且 sin A＝ 55，sin B＝ 1100，求 A＋B 的值.
解：∵A，B 均为钝角，且 sin A＝ 55，sin B＝ 1100，
∴cos A＝－
1－sin2A＝－
2 ＝－2 5

一轮培优讲次09 三角函数表示及和差倍角公式(教师版)

2021年高考数学一轮复习培优课程讲义（上海专用）专题09 三角函数表示及和差倍角公式知识定位本讲义目的在于让同学熟悉三角函数的表示方法，并正确使用和差倍角公式来解决实际问题。

知识诊断已知c b a 、、分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且。

（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若，求的值。

知识梳理➢ 知识点一：了解角的集合表示，理解度数与弧度数的换算及任意角的三角函数表示。

➢ 知识点二：熟练使用同角三角函数的关系式及诱导公式。

➢ 知识点三：利用三角形和差公式进行求值化简。

➢ 知识点四：同时利用正余弦定理解三角形。

➢ 知识点五：解三角形与实际问题的结合。

常见题型和方法解析1. 了解角的集合表示，理解度数与弧度数的换算及任意角的三角函数表示。

例1 已知，那么角是（）A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角解：由或，当时，为第三象限；当时，为第二象限，故选B.教学提示：本题考点为任意角的三角函数。

三角函数是函数的一种形式，它以角为自变量，以比值为函数值。

刚刚接触三角函数时，要从不同角度来认识角，而本题则是从象限角的角度来认识角。

在讲解本题的同时，要和同学们一起总结回忆正弦、余弦和正切余切在四个象限的正负情况，让同学们有一个直观的认识。

变式题：是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：C解析：因为第一象限角的范围为;第二象限角的范围为;第三象限角的范围为;第四象限角的范围为；是第三象限角，故选C.例2设角的终边上有一点，则的值是( )A．B．C．或D．1解：由三角函数的定义可知，所以，选A.教学提示：该题的解答过程中利用了三角函数的定义，角可以看成是平面内的一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

旋转开始时的射线叫做角的始边，终止时的射线叫做角的终边。

解题过程中再给同学们总结终边上一点的坐标表示与各个三角函数值的关系。

19《三角函数-两角和与差二倍角公式》

2 ,
(一)公式正用例1、求值:
1sin555

5 2 cot 12
例2
P(53 例1)
1 2 设 . , sin , cos 2 9 2 3
50
3
求α+2β。
[点评] “给值求角”：求角的大小，常分两步完成：第一步，先求出此角的某一三角函数值；第二步，再根据此角的范围求出此角。在确定角的范围时，要尽可能地将角的范围缩小，否则易产生增解。
四.给式求值例4:P(55例3)已知a为第二象限角,且
和sin2a+cos2a的值
5 cos sin 求 sin con 2 2 2 2 2
【作业布置】
三角函数的化简与证明
一、知识点 1、化简（1）化简目标：项数习量少，次数尽量低，尽量不含分母和根号（2）化简三种基本类型： 1）根式形式的三角函数式化简 2）多项式形式的三角函数式化简 3）分式形式的三角函数式化简（3）化简基本方法：用公式；异角化同角；异名化同名；化切割为弦；特殊值与特殊角的三角函数值互化。
一.给角求值. 例1、计算 sin 40 (tan 10
0 0
3 ) 的值。
练习:（全国高考）tan20°+4sin20°
[点评] “给角求值” 观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系注意特殊值象1、等，有时需将其转化成某个角的三角函数，这种技巧在化简求值中经常用到。
二.给值求值例2、例2、(P(55) 已知
3 1 sin( x ) cos( x ) 4 4 4
求cos4x的值.

高中数学教学备课教案三角函数的和差化积与倍角公式总结

高中数学教学备课教案三角函数的和差化积与倍角公式总结高中数学教学备课教案三角函数的和差化积与倍角公式总结一、引言三角函数是数学中重要的概念之一，它在许多实际问题中都得到了广泛的应用。

而三角函数的和差化积与倍角公式是在解决三角函数运算中经常使用的重要技巧。

本文将对三角函数的和差化积与倍角公式进行总结和归纳，以便于高中数学教师在备课过程中更好地教授学生相关知识。

二、和差化积公式1. 正弦函数的和差化积公式对于任意实数θ₁和θ₂，有以下公式成立：sin(θ₁ + θ₂) = sinθ₁cosθ₂ + cosθ₁sinθ₂sin(θ₁ - θ₂) = sinθ₁cosθ₂ - cosθ₁sinθ₂这些公式可以方便地将正弦函数的和差角转化为乘积，从而简化计算。

2. 余弦函数的和差化积公式对于任意实数θ₁和θ₂，有以下公式成立：cos(θ₁ + θ₂) = cosθ₁cosθ₂ - sinθ₁sinθ₂cos(θ₁ - θ₂) = cosθ₁cosθ₂ + sinθ₁sinθ₂通过利用这些公式，可以将余弦函数的和差角转换为乘积，使得求解问题更加简化。

3. 正切函数的和差化积公式对于任意实数θ₁和θ₂，有以下公式成立：tan(θ₁ + θ₂) = (tanθ₁ + tanθ₂) / (1 - tanθ₁tanθ₂)tan(θ₁ - θ₂) = (tanθ₁ - tanθ₂) / (1 + tanθ₁tanθ₂)利用这些公式，可以将正切函数的和差角转换为一个更简单的形式，方便计算和推导。

三、倍角公式1. 正弦函数的倍角公式对于任意实数θ，有以下公式成立：sin(2θ) = 2sinθcosθ这个公式可以将一个角的正弦函数转换为两个角的正弦函数，从而简化计算过程。

2. 余弦函数的倍角公式对于任意实数θ，有以下公式成立：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式可以将一个角的余弦函数转换为两个角的正弦函数，使得问题的求解更加简化。

第6讲和差公式与二倍角公式-简单难度-讲义

三角和差公式与二倍角公式知识讲解一、两角和差公式1．两角和与差的余弦公式()C cos cos cos sin sin αβαβαβαβ--=+∶ ()C cos cos cos sin sin αβαβαβαβ++=-∶教师内容：证法一：如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α，β与β-，使角α的始边为Ox ，交O ⊙于点1P ，终边交O ⊙于点2P ；角β的始边为2OP ，终边交O ⊙于点3P ，角β-的始边为1OP ，终边交O ⊙于点 4P ．则()110P ，，()2cos sin P αα，，()()()3cos sin P αβαβ++，， ()()()4cos sin P ββ--，．由1324PP P P =及两点间的距离公式，得()()22cos 1sin αβαβ+-++⎡⎤⎣⎦()()22cos cos sin sin βαβα=--+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦展开并整理，得()()22cos 22cos cos sin sin αβαβαβ-+=--∴()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-．于是()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=---=+⎡⎤⎣⎦．证法二：以坐标原点为中心作单位圆，以Ox 为始边作角α与β，它们终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，则()cos sin P αα，，()cos sin Q ββ，，1OP OQ ==u u u r u u u r．因此存在k ∈Z ，使2πOP OQ k αβ-=〈〉+u u u r u u u r ，或2πOP OQ k αβ-=-〈〉+u u u r u u u r，成立．因为()()cos sin cos sin cos cos sin sin OP OQ ααββαβαβ⋅=⋅=+u u u r u u u r，，． ()cos cos OP OQ OP OQ OP OQ αβ⋅=⋅⋅〈〉=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，．所以cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．于是()()()()cos cos cos cos sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦．2．两角和与差的正弦公式()S sin sin cos cos sin αβαβαβαβ--=-∶ ()S sin sin cos cos sin αβαβαβαβ++=+∶教师内容：()()ππsin cos cos 22αβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫+=-++=-+- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ππcos cos sin sin 22αβαβ⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin cos cos sin αβαβ=+()()()()sin sin sin cos cos sin αβαβαβαβ-=+-=-+-⎡⎤⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=-．3．两角和与差的正切公式()tan tan T tan 1tan tan αβαβαβαβ+++=-⋅∶． ()tan tan T tan 1tan tan αβαβαβαβ---=+⋅∶．教师内容：()()()sin sin cos cos sin tan cos cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-把后面一个分式的分子、分母分别除以()cos cos cos cos 0,αβαβ≠得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-把公式中的β换为β-，得()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+．二、二倍角公式1．二倍角的正弦、余弦、正切2S :sin 22sin cos αααα=．22222C :cos2cos sin 2cos 112sin αααααα=-=-=-．222tan T :tan 21tan αααα=-． 2．公式的逆向变换及常用变形1sin cos sin 22ααα=．221cos21cos2cos sin 22αααα+-==，． ()2221sin 2sin cos 2sin cos sin cos ααααααα±=+±=±； ()()cos2cos sin cos sin ααααα=+-．教师内容：由公式的变形221cos21cos2cos sin 22αααα+-==，，还可以得到21cos2tan 1cos2ααα-=+，由这组公式我们可以由α的三角函数值，结合α角的范围得到cossintan222ααα，，，这组公式又被称为半角公式．典例精讲一．选择题（共16小题）1．（2017秋•湖北期末）cos70°cos10°+sin10°cos20°=（）A．12B．√22C．√32D．1【分析】诱导公式化简在结合和与差公式即可求解．【解答】解：cos70°=cos（90°﹣20°）=sin20°．那么cos70°cos10°+sin10°cos20°=sin20°cos10°+sin10°cos20°=sin（20°+10°）=sin30°=1 2．故选：A．2．（2017秋•上期末）已知sinα=﹣2cosα，则2sinαcosα﹣cos2α=（）A．﹣2B．﹣1C．−12D．2【分析】根据同角三角函数关系式，弦化切的思想，入求值即可．【解答】解：已知sinα=﹣2cosα，则tanα=sinαcosα=−2．则2sinαcosα﹣cos2α=2sinαcosα−cos 2αsinα+cosα=2tanα−1tanα+1=﹣1．故选：B．3．（2018•北京模拟）在sin50°，﹣sin50°，sin40°，﹣sin40°四个数中，与sin130°相等的是（）A．sin50°B．﹣sin50°C．sin40°D．﹣sin40°【分析】利用诱导公式化简可得答案．【解答】解：由sin130°=sin（180°﹣50°）=sin50°．∴与sin130°相等的是sin50°故选：A．4．（2018春•清远期末）已知y=tanπ（π是圆周率），则y的值是（）A．正数B．负数C．0D．不存在【分析】根据正切函数的公式进行求解即可．【解答】解：y=tanπ=tan0=0，故选：C．5．（2018春•嘉兴期末）sin 23π=（）A．√32B．−√32C．12D．−12【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】解：sin23π=sin（π−π3）=sinπ3=√3 2．故选：A．6．（2017秋•西湖区校级期末）已知tanα=2，则sinα+cosα2sinα−cosα=（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】弦化切，即可求解．【解答】解：已知tanα=2，由sinα+cosα2sinα−cosα=tanα+12tanα−1=2+12×2−1=1．故选：A．7．（2018春•湖南期末）已知cos α4=14，则cosα=（）A．1732B．−1732C．±1732D．−78【分析】利用倍角公式即可得出．【解答】解：∵cosα4=14，∴cosα2=2×(14)2﹣1=﹣78则cosα=2×(−78)2﹣1=1732．故选：A ．8．（2018春•黄冈期末）（sin15°+cos15°）2的值为（） A ．√32B ．12C ．32D ．34【分析】利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，可得结果．【解答】解：（sin15°+cos15°）2=1+2sin15°cos15°=1+sin30°=1+12=32，故选：C ．9．（2018•北京模拟）已知sinα=45，那么cos2α等于（）A ．−2425B ．−725 C ．725 D ．2425【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，求得cos2α的值．【解答】解：已知sinα=45，那么cos2α=1﹣2sin 2α=1﹣2×1625=﹣725，故选：B ．10．（2018春•濂溪区校级期末）已知sin （α﹣π4）=√55，则sin2α=（）A ．45B ．−45C ．35D ．−35【分析】由题意利用两角差的正弦公式可得 sinα•√22﹣cosα⋅√22=√55，平方并利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．【解答】解：∵sin （α﹣π4）=√55，即 sinα•√22﹣cosα⋅√22=√55，平方可得 12﹣12sin2α=15，则sin2α=35，故选：C ．11．（2018春•宾阳县校级月考）已知α为第四象限角，sinα+cosα=√33，则cos2α=（）A ．﹣√53B ．﹣√59C ．√59D ．√53【分析】利用同角三角函数的基本关系求得2sinαcosα的值，可得sinα﹣cosα 的值，再利用二倍角公式求得cos2α=cos 2α﹣sin 2α 的值．【解答】解：∵α为第四象限角，sinα+cosα=√33，∴1+2sinαcosα=13，即2sinαcosα=﹣23， ∴sinα﹣cosα=﹣√(sinα−cosα)2=﹣√1−2sinαcosα=﹣√1+23=﹣√153，∴cos2α=cos 2α﹣sin 2α=﹣（sinα+cosα）•（sinα﹣cosα）=﹣√33•（﹣√153）=√53，故选：D ．12．（2018春•兴宁区校级期中）已知sin α=25，则cos2α=（）A ．725B ．−725C ．1725D ．−1725【分析】由题意利用二倍角的余弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵sin α=25，∴cos2α=1﹣2sin 2α=1﹣2×425=1725，故选：C ．13．（2018春•龙岗区期末）若sin(π−α)=13，且π2≤α≤π，则cos2α的值为（）A ．−79B ．−4√29C ．79D ．4√29【分析】利用诱导公式求得sinα，再利用二倍角公式求得cos2α的值．【解答】解：∵sin （π﹣α）=sinα=13，且π2≤α≤π，∴cos2α=1﹣2sin 2α=79，故选：C ．14．（2017秋•马鞍山期末）设sin2α=cosα，α∈（0，π2），则tan2α的值是（）A ．√3B ．﹣√3C ．√33D ．﹣√33【分析】由已知条件结合二倍角的三角函数公式即可求出sinα的值，进一步求出α，然后代入tan2α计算得答案．【解答】解：∵sin2α=cosα，α∈（0，π2），∴2sinαcosα=cosα，∴sinα=12，即α=π6．则tan2α=tan π3=√3．故选：A ．15．（2018•南关区校级模拟）已知cos2xsin(x+π4)=√23，则sin2x=（） A ．−89B ．89C ．−1718D ．1718【分析】由题意利用两角和的正弦公式，二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵cos2xsin(x+π4)=√23，∴22√22(sinx+cosx)=√23， ∴cosx −sinx =13，∴√2cos(x +π4)=13，∴sin2x =−cos(2x +π2)=1−2cos 2(x +π4)=1−2×118=89，故选：B ．16．（2018•武邑县校级三模）已知sin(π6−x)=12，则sin(7π6−x)+sin 2(π3+x)=（） A ．14B ．34C ．−14D ．−12【分析】利用诱导公式求得sin （7π6﹣x ）的值，利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．【解答】解：∵已知sin(π6−x)=12，则sin(7π6−x)+sin 2(π3+x)=﹣sin （π6﹣x ）+1﹣cos 2(π3+x)=﹣12+1﹣sin 2(π6−x)=12﹣(12)2=14，故选：A ．二．填空题（共4小题）17．（2018春•赤峰期末）计算：sin45°sin75°+sin45°sin15°= √32．【分析】直接利用诱导公式以及两角和与差的三角函数化简求解即可．【解答】解：sin45°sin75°+sin45°sin15°=sin45°cos15°+cos45°sin15°=sin60°=√32．故答案为：√32．18．（2018春•菏泽期中）已知tan （α+π4）=12，且﹣π2＜α＜0，则sinα= ﹣√1010．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换，诱导公式和三角函数的定义求出结果．【解答】解：已知tan （α+π4）=12，且﹣π2＜α＜0，则1+tanα1−tanα=12，解得：tanα=﹣13，所以：sinα=−√1010．故答案为：﹣√101019．（2018•黄州区校级二模）已知P （2，m ）为角α终边上一点，且tan （α+π4）=13，则sinα= −√55 ．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，求得m 的值，可得sinα的值．【解答】解：∵P （2，m ）为角α终边上一点，∴tanα=m2，再根据tan （α+π4）=13=tanα+11−tanα=m2+11−m 2，∴m=﹣1，故x=2，y=m=﹣1，r=|OP |=√4+m 2=√5，则sinα=yr =√5=√5=﹣√55，故答案为：﹣√55．20．（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=−12．【分析】把已知等式两边平方化简可得2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin（α+β）=﹣1，可得结果．【解答】解：sinα+cosβ=1，两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①，cosα+sinβ=0，两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②，由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1，∴2sin（α+β）=﹣1．∴sin（α+β）=−1 2．故答案为：−12．三．解答题（共4小题）21．（2017秋•重庆期末）已知tan（π﹣a）=﹣2，α为第一象限角，求下列各式的值：（Ⅱ）cosα：（Ⅱ）sin2α+sin2α．【分析】（Ⅱ）由已知求得tanα，与平方关系联立求得cosα；（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．【解答】解：（Ⅱ）∵tan（π﹣α）=﹣2，∴tanα=2，联立{sinα=2cosαsin 2α+cos 2α=1，得{sinα=−2√55cosα=−√55或{sinα=2√55cosα=√55．又α为第一象限角，∴cosα=√55：（Ⅱ）sin 2α+sin2α=sin 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α+2tanαtan 2α+1=85． 22．（2017秋•张家界期末）已知sin α=−45，α是第四象限角．（1）求tanα和sin2α的值；（2）求tan （α−π4）的值．【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，求得tanα和sin2α的值．（2）利用两角差的正切公式求得tan （α−π4）的值．【解答】解：（1）由sin α=−45，α是第四象限角，得cosα=√1−sin 2α=35， ∴tanα=sinαcosα=﹣43，sin2α=2sinα•cosα=﹣2425．（2）tan （α−π4）=tanα−11+tanα=7． 23．（2018春•遂宁期末）已知函数f （x ）=√3cosxcos （x ﹣π2）+sin 2x ﹣12．（Ⅱ）求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若x ∈[0，π4]，f （x ）=√33，求cos2x 的值．【分析】（Ⅱ）利用查三角恒等变换化简f （x ）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f （x ）的单调递增区间．（Ⅱ）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得cos （2x ﹣π6）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos2x=cos [（2x ﹣π6）+π6]的值．【解答】解：（Ⅱ）函数f （x ）=√3cosxcos （x ﹣π2）+sin 2x ﹣12=√3cosxsinx +1−cos2x 2﹣12=sin （2x ﹣π6），令2kπ﹣π2≤2x ﹣π6≤2x +π2，求得kπ﹣π6≤x ≤kπ+π3，可得函数的增区间为[kπ﹣π6，kπ+π3]，k ∈Z ．（Ⅱ）若x ∈[0，π4]，则2x ﹣π6∈[﹣π6，π3]，f （x ）=sin （2x ﹣π6）=√33，∴cos （2x ﹣π6）=√1−sin(2x −π6)2=√63， ∴cos2x=cos [（2x ﹣π6）+π6]=cos （2x ﹣π6） cos π6﹣sin （2x ﹣π6） sin π6=√63•√32﹣√33•12=√22﹣√36． 24．（2018春•七星区校级期中）已知tanα=2，求（1）sin(π+α)−cosα2cos(π+α)+sinα（2）1cos2α 【分析】（1）由题意利用诱导公式、同角三角，求得要求式子的值．（2）利用函数的基本关系、二倍角公式，求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵tanα=2，∴原式=−sinα−cosα−2sinα+sinα=−sinαcosα−cosαcosα−2sinα+sinα=−tanα−1−2tanα+tanα=32．（2）∵tanα=2，∴原式=sin 2α+cos 2αcos α−sin α=tan 2α+11−tan α=−53．。

三角函数和差化积与积化和差公式,倍角公式

三角函数和差化积与积化和差公式,倍角公式和差化积sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)积化和差sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2[sin(α+β)-sin(α-β)]三倍角sin3a=3sina-4sina^3cos3a=4cosa^3-3cosasin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用.号外:tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαtan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]其他一些公式·三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosαtan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)·半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA ^6)七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tan A^4+7*tanA^6)八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tan A^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA ^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cos A^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+ 45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)。

三角函数解三角形第5讲简单的三角恒等变换第1课时两角和差及倍角公式讲义理-高考数学一轮复习资料

第5讲简单的三角恒等变换第1课时两角和、差及倍角公式1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α∓β)：cos(α∓β)＝□01cos αcos β±sin αsin β. (2)S (α±β)：sin(α±β)＝□02sin αcos β±cos αsin β. (3)T (α±β)：tan(α±β)＝□03tan α±tan β1∓tan αtan β⎝ ⎛⎭⎪⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z . 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin2α＝□012sin αcos α. (2)C 2α：cos2α＝□02cos 2α－sin 2α＝□032cos 2α－1＝□041－2sin 2α. (3)T 2α：tan2α＝□052tan α1－tan 2α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠±π4＋k π，且α≠k π＋π2，k ∈Z . 3.公式的常用变形(1)tan α±tan β＝□01tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (2)cos 2α＝□021＋cos2α2， sin 2α＝□031－cos2α2. (3)1±sin2α＝(sin α±cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.(4)a sin α＋b cos α其中cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，tan φ＝ba(a ≠0)．1.概念辨析(1)公式C (α±β)，S (α±β)，S 2α，C 2α中的角α，β是任意的．( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小关系不确定．( )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(5)对任意角α都有1＋sin α3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α6＋cos α62.( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√ 2.小题热身(1)若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.－210 B.210 C ．－7210 D.7210答案 C解析因为cos α＝－45，α是第三象限的角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.(2)计算：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A.sin(α＋2β) B ．sin α C.cos(α＋2β) D ．cos α答案 D解析 cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. (3)已知cos x ＝34，则cos2x ＝( )A.－14B.14 C ．－18 D.18答案 D解析 cos2x ＝2cos 2x －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.(4)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若tan α＝35，则tan(α－β)的值为( )A.0B.3034C.916D.158答案 D解析由角α与角β的始边相同，终边关于y 轴对称可知tan α＝－tan β.又tan α＝35，所以tan β＝－35，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－351＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝158，故选D.题型一两角和、差及倍角公式的直接应用1.已知角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于y 轴对称，且角α的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭⎪⎫223，13，则sin(α－β)＝________. 答案－429解析因为角α的终边与单位圆交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫223，13，所以sin α＝13，cos α＝223.因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以角β的终边与单位圆交于点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，13，所以sin β＝13，cos β＝－223，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223－223×13＝－429. 2.(2018·全国卷Ⅱ)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝________.答案 32解析 tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－tan5π41＋tan α·tan5π4＝tan α－11＋tan α＝15，解方程得tan α＝32.3.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值为________．答案－4＋3310解析因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.所以sin2α＝2sin αcos α＝－45，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.应用三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.1.(2018·石家庄质检)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为( )A.－429 B ．－229 C.229 D.429答案 A解析 ∵sin(π－α)＝13，∴sin α＝13，又∵π2≤α≤π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－223，∴sin2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＝－429. 2.(2018·上饶三模)由射线y ＝43x (x ≥0)按逆时针方向旋转到射线y ＝－512x (x ≤0)的位置所成的角为θ，则cos θ＝( )A.－1665 B ．±1665 C ．－5665 D ．±5665答案 A解析设y ＝43x (x ≥0)的倾斜角为α，则sin α＝45，cos α＝35，射线y ＝－512x (x ≤0)的倾斜角为β，sin β＝513，cos β＝－1213，∴cos θ＝cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋45×513＝－1665.3.若sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β等于( )A.5 B ．－1 C ．6 D.16答案 A解析由题意可得sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，解得sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，∴tan αtan β＝5.题型二两角和、差及倍角公式的逆用和变形用1.计算－sin133°cos197°－cos47°cos73°的结果为( ) A.12 B.33 C.22 D.32 答案 A解析－sin133°cos197°－cos47°cos73° ＝－sin47°(－cos17°)－cos47°sin17° ＝sin(47°－17°)＝sin30°＝12.2.(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( ) A. 3 B ．1＋ 2C.2 D ．2(tan18°＋tan27°)答案 C解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1－tan18°tan27°)＋tan18°tan27°＝2. 3.已知sin α＋cos α＝52，则cos4α＝________. 答案 78解析由sin α＋cos α＝52，得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝1＋sin2α＝54，所以sin2α＝14，从而cos4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝78.条件探究1 将举例说明3的条件改为“sin α－cos α＝43”，求cos4α.解因为sin α－cos α＝43，所以1－2sin αcos α＝169，所以sin2α＝2sin αcos α＝－79，所以cos4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－792＝－1781.条件探究2 将举例说明3的条件改为“cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝23，α∈(π，2π)”，求sin α＋cos α.解因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin2α2＝23.所以sin2α＝13>0，又因为α∈(π，2π)，所以α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以sin α＋cos α<0，(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋13＝43，所以sin α＋cos α＝－233.1.注意三角函数公式逆用和变形用的两个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．2．熟记三角函数公式的两类变式 (1)和差角公式变形sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β， cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β， tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan αtan β)． (2)倍角公式变形降幂公式cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2，配方变形：1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22,1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2.1.若x ∈[0，π]，sin x 3sin 2x 3＝cos x 3cos 2x3，则x 的值是( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 D解析由已知得，cos x 3cos 2x 3－sin x 3sin 2x 3＝cos x ＝0.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2.2.(2019·湖南郴州质检)已知x ∈(0，π)， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，则tan x ＝( )A.12 B ．－2 C.22 D. 2 答案 D解析因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，所以32cos x －12sin x ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π22，3cos x －sin x ＝1－sin x ，解得cos x ＝33，因为x ∈(0，π)，所以sin x ＝1－cos 2x ＝63，所以tan x ＝sin xcos x ＝6333＝ 2.3.化简：－α1－tan 2－α·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝________. 答案 12解析原式＝tan(90°－2α)·12sin2αcos2α＝－2α－2α·12sin2αcos2α＝cos2αsin2α·12sin2αcos2α＝12. 题型三两角和、差及倍角公式的灵活应用角度1 角的变换1.(2018·南开区模拟)已知0<α＜π2<β<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解 (1)sin2β＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－1＝－79.(2)因为0<α<π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0，因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin(α＋β)＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)·cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×13＋45×223＝82－315.角度2 函数名称的变换2.求值：(1)sin10°1－3tan10°＝________；(2)1＋cos20°2sin20°－sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan5°－tan5°＝________.答案 (1)14 (2)32解析 (1)sin10°1－3tan10°＝sin10°cos10°cos10°－3sin10°＝2sin10°cos10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°＝sin20°－＝14. (2)原式＝2cos 210°2×2sin10°cos10°－sin10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos 25°－sin 25°sin5°cos5° ＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10° ＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－－2sin10°＝cos10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.1.若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2等于( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69答案 C解析 ∵0<α<π2，∴π4<α＋π4<3π4.∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223.∵－π2<β<0，∴π4<π4－β2<π2.∵cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539. 2.(2018·吉林第三次调研)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2＝________.答案 23解析因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α2＝1＋132＝23.3.(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值； (2)求tan(α－β)的值．解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)] ＝tan2α－α＋β1＋tan2αα＋β＝－211.思想方法三角恒等变换中的拆角、凑角思想[典例1] (2018·石嘴山一模)已知α满足sin α＝12，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－12 B.12 C ．－14 D.14答案 D解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝12cos2α＝12(1－2sin 2α)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14. [典例2] 若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝________. 答案 17解析因为tan α＝13，tan(α＋β)＝12，所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝12－131＋12×13＝17. 方法指导三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.。

三角函数基础,两角和与差倍角公式

练习：一、填空题1． α是第二象限角，则2α是第象限角. 2．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为.同角三角函数的基本关系公式:αααtan cos sin = αααcot sin cos = 1cot tan =⋅αα 1cos sin 22=+αα1“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 13cos 3sin 22=+αα2tan 2cos2sinααα= 2上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立。

3由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 这些关系式还可以如图样加强形象记忆： ①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系).②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系).③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系). 二、讲解范例：例1化简：ο440sin 12-解：原式οοοοο80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 1222==-=+-=例2 已知αααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简解：)sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+----+++=原式 |cos |sin 1|cos |sin 1sin 1)sin 1(sin 1)sin 1(2222αααααααα--+=----+= 0cos <∴αα是第三象限角，Θ αααααtan 2cos sin 1cos sin 1-=----+=∴原式（注意象限、符号）例3求证：ααααcos sin 1sin 1cos +=-分析：思路1．把左边分子分母同乘以x cos ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、分母同乘以（1+sinx ）先满。

三角函数的及差倍角公式

三角函数的及差倍角公式1.余弦函数的和差倍角公式：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBcos2A = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2A2.正弦函数的和差倍角公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBsin2A = 2sinAcosA3.正切函数的和差倍角公式：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA*tanB)tan2A = 2tanA / (1 - tan^2A)利用这些公式，我们可以计算出一些特殊的三角函数值。

例如，求得cos(2π/3)的值：cos(2π/3) = cos(π/3 + π/3) = cos(π/3)cos(π/3) -sin(π/3)sin(π/3) = (1/2)(1/2) - (√3/2)(√3/2) = -1/2再比如，求得sin(3π/4)的值：sin(3π/4) = sin(π/4 + π/4 + π/4) =sin(π/4)cos(π/4)cos(π/4) - sin(π/4)sin(π/4)sin(π/4) = (√2/2)(√2/2)(√2/2) - (√2/2)(√2/2)(√2/2) = 0以上只是两个例子，利用及差倍角公式可以求得更多的三角函数值。

此外，三角函数的及差倍角公式还可以推广到更高的倍数，例如：cos(3A) = 4cos^3A - 3cosAsin(3A) = 3sinA - 4sin^3A在解决各种三角函数相关的问题中，熟练运用及差倍角公式可以简化计算，并帮助我们更好地理解三角函数的性质和关系。