初高中数学衔接教材浙江省温州中学-(6)

初高中数学衔接教材

乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 2

2

()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 2

2

2

()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2

2

3

3

()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2

2

3

3

()()a b a ab b a b -++=-；

（3）三数和平方公式 2

2

2

2

()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．

第一讲 因式分解

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法． 1．十字相乘法

例1 分解因式：

（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2

＋4x －12； （3）22

()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．

解：（1）如图1．1－1，将二次项x 2

分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上

的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2

－3x ＋2中的一次项，所以，有

x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1中的两个x 用1来表示（如图1．1－2所示）．

（2）由图1．1－3，得

x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)． （3）由图1．1－4，得

2

2

()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1

＝(x －1) (y+1) （如图1．1－5所示）．

习 题 一

一、填空题：

1、把下列各式分解因式：

（1）=-+652x x __________________________________________________。 （2）=+-652x x __________________________________________________。 （3）=++652x x __________________________________________________。 （4）=--652

x x __________________________________________________。

（5）()=++-a x a x 12

__________________________________________________。 （6）=+-18112

x x __________________________________________________。 （7）=++2762

x x __________________________________________________。 （8）=+-91242

m m __________________________________________________。 （9）=-+2

675x x __________________________________________________。 （10）=-+2

2

612y xy x __________________________________________________。 2、()() 3 42

++=+-x x x x

3、若()()422

-+=++x x b ax x 则 =a ， =b 。 二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）

－1 －2 x x 图1．1－1 －1 －2 1 1 图1．1－2

－2 6 1 1 图1．1－3 －ay －by x x 图1．1－4 －1 1

x y

图1．1－5

1、在多项式（1）672++x x （2）342++x x （3）862++x x （4）1072

++x x （5）44152

++x x 中，有相同因式的是（ ） A 、只有（1）（2） B 、只有（3）（4） C 、只有（3）（5） D 、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）

2、分解因式2

2338b ab a -+得（ ）

A 、()(

)3 11-+a a B 、()()b a b a 3 11-+ C 、()()b a b a 3 11-- D 、()()b a b a 3 11+- 3、()()2082

-+++b a b a 分解因式得（ ）

A 、()(

)2 10-+++b a b a B 、()()4 5-+++b a b a C 、()(

)10 2-+++b a b a D 、()()5 4-+++b a b a 4、若多项式a x x +-32

可分解为()()b x x --5，则a 、b 的值是（ ）

A 、10=a ，2=b

B 、10=a ，2-=b

C 、10-=a ，2-=b

D 、10-=a ，2=b

5、若()(

)b x a x mx x ++=-+ 102

其中a 、b 为整数，则m 的值为（ ） A 、3或9 B 、3± C 、9± D 、3±或9±

三、把下列各式分解因式

1、()()3211262

+---p q q p 2、2

2365ab b a a +-

3、6422--y y

4、822

4--b b

第二讲 一元二次方程

若一元二次方程ax 2

＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根

12b x a -+=，22b x a

--=，

则有

122222b b b b

x x a a a a

-+---+=

+==-；

22122

2(4)444b b ac ac c

x x a a a

--====． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果ax 2

＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -

，x 1·x 2＝c

a

．这一关系也被称为韦达定理．

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2

＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知

x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，

即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，

所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2

＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有

以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 例1 已知方程2

560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．

解法一：∵2是方程的一个根，

∴5×22

＋k ×2－6＝0， ∴k ＝－7．

所以，方程就为5x 2

－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35

． 所以，方程的另一个根为－

3

5

，k 的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65，∴x 1＝－3

5

．