3采样过程与保持器特性

采样过程采样周期的选取与保持器特性1、理想脉冲采样首先介绍一种虚拟的采样器：理想脉冲采样器（也叫脉冲采样器）。

其输入输出关系如下图：该采样器的输入是连续信号（设为)t (x ），输出是一个理想脉冲序列（记作x *(t)），采样周期为T ，每个脉冲的强度等于连续信号在对应时刻的值。

比如，在时刻kT t =，脉冲等于 )kT t ()kT (x -δ。

这样，采样信号x *(t)可以表示为：x *(t)=∑∞=-δ0k )kT t ()kT (x （假设0t <时0)t (x =）—— (1)如果定义单位脉冲序列函数∑∞=-δ=δ0k T )kT t ()t (则采样输出就等于输入信号)t (x 与)t (T δ的乘积。

因此，脉冲采样器可以看作是一个调制器，如下图，其输入调制信号为)t (x ，载波信号是)t (T δ，输出为脉冲采样信号x *(t)。

注意，这里的脉冲采样器是为了数学描述的方便而虚构的，在现实世界中是不存在的。

对（1）式取 Laplace 变换：如果我们定义 z e Ts = 或者 z ln s 1=则有 ∑∞=-=*=0k k z ln s z )kT (x )s (X T 1 ——（2） 该式右边就是)t (x 的z 变换式，即)z (X )]t (x [Z z )kT (x )z ln (X )s (X 0k k T 1z ln s 1====∑∞=-*=*思考题：以上的理想脉冲采样过程是虚拟的，实际采样控制中的采样过程与此有何异同。

2、保持器的数学描述关于保持器，通常的说法是：在采样控制系统中，保持器是将离散的采样信号转换为连续信号的装置。

这样的解释是非常直观和粗略的。

目前我们关于保持器的认识应该是基于这样一个事实：我们将连续的信号离散化后，如果能够由这个离散信号再次完全地恢复原来的连续信号，那么离散化不会给系统带来任何问题。

在采样器后边添加保持器的目的就是恢复采样前的连续信号。

严格地讲，这里所谓的保持器应该叫做信号重构器。

在后文讨论信号重构时，我们将从数学上解释保持器的作用。

下图是采样保持电路示意图。

假设保持器输入信号为离散信号)nT (x ，输出为连续信号)t (h 。

为了尽可能地完全恢复采样前的连续信号，我们要求)t (h 尽量逼近于采样器输入信号)t (x 。

通常希望输出信号)t (h 同输入离散序列)nT (x的包络相符，而在nT 到T )1n (+之间必须采用多项式外推方法来确定)t (h 。

一个m 阶的保持器，就是采用1m +个过去的采样值，利用m 次插值多项式来外推。

1m +个过去的采样值即),T )m n ((x ,),T )2n ((x ),T )1n ((x ),nT (x ---m 次插值多项式如下：01m 1m m m a a a )nT (h ++τ+τ=τ+-- —— （1）它必须满足：)m n ,,1n ,n k (),kT (x )kT (h --==共1m +个方程，可以解出插值多项式的1m +个系数m 10a ,,a ,a 。

在每一个采样时刻上，系数m 10a ,,a ,a 必须重新计算，因为在该时刻得到了一个新的数据点。

高阶保持器由于利用了较多过去的采样数据，其逼近精度比低阶保持器好。

但是，对于离散相似法而言，这会带来计算上的麻烦，增加仿真时间。

（而在实际采样控制系统中，二阶以上的保持器很少采用，因为高阶保持器会使时间延迟增大，导致系统稳定性变差，甚至不稳定。

）在上边的插值多项式（1）中，如果0m =则称为零阶保持器，1m =则称为一阶保持器，下边分别讨论这两种保持器。

问题：在采样控制系统中，保持器在什么位置？在实际的A/D转换电路前也有一个保持电路，但它与这里所讨论的保持器不同。

1、零阶保持器对于零阶保持器，其输出信号为)kT (x )kT (h =τ+ 其中 ,2,1,0k T 0=≤τ≤这是一个阶梯形的信号，如下图所示。

下面我们对零阶保持器进行数学描述。

下图（a ）是将实际的采样器与零阶保持电路相连接的示意图。

考虑到理想脉冲的积分是一个常数，我们可以认为零阶保持器是一种类似于积分器的单元，其输入为理想脉冲序列。

实际采样器与零阶保持电路的连接可以用下图（b ）所示的数学模型来描述，其中T δ是理想脉冲采样器，后边是保持器传递函数)s (G 0h 。

下面详细讨论这个数学模型的来历。

考虑实际采样器与保持电路的连接(a)，假设信号)t (x 在0t <时为零，其输出为∑∞=+---=+---+---+--=0k 1)]T )1k (t (1)kT t (1)[kT (x )]T 3t (1)T 2t (1)[T 2(x )]T 2t (1)T t (1)[T (x )]T t (1)t (1)[0(x )t (h（2）其中)t (1为单位阶跃函数。

由于se )]kT t (1[L kTs-=- 则（2）式的Laplace 变换为∑∑∞=--∞=+---=-==0k k T sTs 0k Ts )1k (kTs 11e)kT (x s e1s e e )kT (x )s (H )]t (h [L （3） 考虑(b)图的数学模型，该数学模型的输出必须与实际采样保持电路的输出相同，即)s (H )s (H )]t (h [L 122==∑∞=---=0k kTs Ts e )kT (x s e 1 （4） 从(b)图可见)s (X )s (G )s (H 0h 2*= —— (5)其中)s (G 0h 是保持器传递函数。

由于 ∑∞=-*=0k kTs e)kT (x )s (X ，（4）式可以写成： )s (X se 1)s (H Ts2*--= ——（6） 比较（5）和（6）式，可知零阶保持器传递函数为)s (G 0h se 1Ts--= ——（7） 综上所述，一个真实采样器与零阶保持电路相结合等效于一个虚拟脉冲采样器与传递函数se 1Ts--相结合。

2、一阶保持器设输入为连续信号)t (x ，其输出信号为τ--+=τ+T)T )1k ((x )kT (x )kT (x )kT (h 可以证明，一阶保持器的传递函数为 T 1T s s e 1G 2Ts 1h +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=- 问题：推导一阶保持器传递函数。

另外，我们也可以假设采样开关之前的连续信号为阶跃信号，经过采样之后变成脉冲序列输入到保持器数学模型，其传递函数可以通过输出与输入信号的Laplace 变换之比来求出。

当然也可以假设连续信号为单位斜坡函数来推导其传递函数。

一个真实采样器与一阶保持电路相结合等效于一个虚拟脉冲采样器与传递函数T 1T s s e 12Ts +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--相结合。

3、脉冲采样信号的频谱连续信号经虚拟脉冲采样开关后，其输出：∑∑+∞-∞=+∞-∞=*-δ=-δ=n n )nT t ()nT (x )nT t ()t (x )t (x ——（1） 定义： ∑+∞-∞=-δ=δn T )nT t ()t ( ，这是一个周期函数，可以展开成Fourier 级数形式：T1|e T 1dt e )t (T 1dt e )t (T 1c )(e c )nT t ()t (0t t jn t jn t jn T n T 2s n t jn n n T s 2T 2T s 2T 2T s s ==δ=δ==ω=-δ=δ=ω-+-ω-+-ω-π+∞-∞=ω+∞-∞=⎰⎰∑∑ 因此有：∑+∞-∞=ω=δn t jn T s e T 1)t (，代入（1）式得∑+∞-∞=ω*=δ=n t jn T s e )t (x T 1)t ()t (x )t (x ——（2） 对)t (x *取Lpalace 变换：)3()jn s (x T 1]e )t (x [L T 1)s (x ]e )t (x [L T 1e )t (x T 1L )]t (x [L n s n t jn n t jn n t jn s s s ∑∑∑∑∞+-∞=∞+-∞=ω*+∞-∞=ω+∞-∞=ω*ω-===⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 其中，)]t (x [L :)s (x )]t (x [L :)s (x ==**。

注意)s (x *与第1节中的)s (X *都是指信号)t (x *的Laplace 变换。

现将ω=j s 代入上式，得到)t (x *的Fourier 变换：∑+∞-∞=*ω-ω=ωn s )]n (j [x T 1)j (x ——（4） 根据该式可见，如果)t (x 的频谱宽度是有限的，假设其最大频率为m ω（如下图a ），则当采样频率m s 2ω>ω时，)t (x *的频谱)j (x ω*就是一个周期函数（如下图b ）。

可见，如果m s 2ω>ω，那么离散信号的频谱中的基本部分（对应0n =的部分）将与原信号频谱相同，只是幅度上相差T /1倍。

这时离散信号包含原连续信号的全部信息。

反之，若m s 2ω<ω，那么离散信号频谱中的0n =的部分将与1n ,1n -==部分重叠，使离散信号频谱基本部分不再与原连续信号频谱相同，这种现象称为混迭。

这时离散信号不再包含原连续信号的全部信息。

4、采样定理与理想信号重构器当采样频率m s 2ω>ω时，离散信号的频谱中的基本部分（对应0n =的部分）将与原信号频谱相同。

如果在离散信号之后再加上一个理想低通滤波器)j (G I ω，其频谱如下图：图中带宽为2/s ω，实际上只要取m ω（即)t (x 的最大频率）就可以。

脉冲采样信号经过该滤波器后得到的就是原连续信号)t (x 的频谱。

换句话说，)t (x 的波形可以完全复原了（如下图，这也意味着采用离散相似法所得到结果与精确值完全相同，即，如果这样的理想低通滤波器存在的话，离散相似法本身不会带来任何误差）。

这样的滤波器就是理想信号重构器。

由以上分析可知，如果被采样信号)t (x 的频谱为有限宽，且最大宽度为m ω，当采样角频率m s 2ω>ω时，采样之后再加理想低通滤波器，则连续信号)t (x 可以不失真地恢复出来，这就是著名的Shannon 采样定理。

该定理给出了选择采样频率的指导原则，这个指导原则不仅适用于采样控制，也适用于离散相似法。

理想低通滤波器是物理不可实现的。

如果我们考察理想低通滤波器的脉冲响应，将会发现它是一个非因果对象。

理想低通滤波器的频谱为⎩⎨⎧ω≤ω≤ω-=ωe l s e w h e r e 01)j (G s 21s 21I 该频谱的 Fourier 逆变换是)sin()e e (d e d e )j (G )t (g 2t t 1t j )2/1(t j )2/1(jt 212/2/j 21j I 21I s s s s s ωπω-ωπωω-ωπ∞∞-ωπ=-=ω=ωω=⎰⎰ 或者写为 2/t )2/t sin(T 1)t (g s s I ωω=注意到，该函数也是理想低通滤波器对于理想单位脉冲输入的响应，这个响应覆盖了-∞=t 到∞=t 整个区间（如上图）。