3采样过程与保持器特性

采样过程

采样周期的选取与保持器特性

1、理想脉冲采样

首先介绍一种虚拟的采样器：理想脉冲采样器（也叫脉冲采样器）。其输入输出关系如下图：

该采样器的输入是连续信号（设为)t (x ），输出是一个理想脉冲序列（记作x *(t)），采样周期为T ，每个脉冲的强度等于连续信号在对应时刻的值。比如，在时刻kT t =，脉冲等于 )kT t ()kT (x -δ。这样，采样信号x *(t)可以表示为：

x *(t)=∑∞=-δ0

k )kT t ()kT (x （假设0t <时0)t (x =）—— (1)

如果定义单位脉冲序列函数

∑∞=-δ=δ0

k T )kT t ()t (

则采样输出就等于输入信号)t (x 与)t (T δ的乘积。因此，脉冲采样器可以看作是一个调制器，如下图，其输入调制信号为)t (x ，载波信号是)t (T δ，输出为脉冲采样信号x *(t)。注意，这里的脉冲采样

器是为了数学描述的方便而虚构的，在现实世界中是不存在的。

对（1）式取 Laplace 变换：

如果我们定义 z e Ts = 或者 z ln s 1=

则有 ∑∞

=-=*

=0

k k z ln s z )kT (x )s (X T 1 ——（2） 该式右边就是)t (x 的z 变换式，即

)z (X )]t (x [Z z )kT (x )z ln (X )s (X 0k k T 1z ln s 1====∑∞

=-*=*

思考题：以上的理想脉冲采样过程是虚拟的，实际采样控制中的采样过程与此有何异同。

2、保持器的数学描述

关于保持器，通常的说法是：在采样控制系统中，保持器是将离散的采样信号转换为连续信号的装置。这样的解释是非常直观和粗略的。目前我们关于保持器的认识应该是基于这样一个事实：我们将连续的信号离散化后，如果能够由这个离散信号再次完全地恢复原来的连续信号，那么离散化不会给系统带来任何问题。在采样器后边添加保持器的目的就是恢复采样前的连续信号。严格地讲，这里所谓的保持器应该叫做信号重构器。在后文讨论信号重构时，我们将从数学上解释保持器的作用。

下图是采样保持电路示意图。

假设保持器输入信号为离散信号)nT (x ，输出为连续信号)t (h 。为了尽可能地完全恢复采样前的连续信号，我们要求)t (h 尽量逼近于采样器输入信号)t (x 。通常希望输出信号)t (h 同输入离散序列)

nT (x

的包络相符，而在nT 到T )1n (+之间必须采用多项式外推方法来确定)t (h 。一个m 阶的保持器，就是采用1m +个过去的采样值，利用m 次插值多项式来外推。1m +个过去的采样值即

),T )m n ((x ,),T )2n ((x ),T )1n ((x ),nT (x ---

m 次插值多项式如下：

01m 1m m m a a a )nT (h ++τ+τ=τ+-- —— （1）

它必须满足：)m n ,,1n ,n k (),kT (x )kT (h --==

共1m +个方程，可以解出插值多项式的1m +个系数

m 10a ,,a ,a 。

在每一个采样时刻上，系数m 10a ,,a ,a 必须重新计算，因为在该时刻得到了一个新的数据点。高阶保持器由于利用了较多过去的采样数据，其逼近精度比低阶保持器好。但是，对于离散相似法而言，这会带来计算上的麻烦，增加仿真时间。（而在实际采样控制系统中，二阶以上的保持器很少采用，因为高阶保持器会使时间延迟增大，导致系统稳定性变差，甚至不稳定。）

在上边的插值多项式（1）中，如果0m =则称为零阶保持器，

1m =则称为一阶保持器，下边分别讨论这两种保持器。

问题：在采样控制系统中，保持器在什么位置？在实际的A/D

转换电路前也有一个保持电路，但它与这里所讨论的保持器不同。

1、零阶保持器

对于零阶保持器，其输出信号为

)kT (x )kT (h =τ+ 其中 ,2,1,0k T 0=≤τ≤

这是一个阶梯形的信号，如下图所示。

下面我们对零阶保持器进行数学描述。下图（a ）是将实际的采

样器与零阶保持电路相连接的示意图。考虑到理想脉冲的积分是一个常数，我们可以认为零阶保持器是一种类似于积分器的单元，其输入为理想脉冲序列。实际采样器与零阶保持电路的连接可以用下图（b ）所示的数学模型来描述，其中T δ是理想脉冲采样器，后边是保持器传递函数)s (G 0h 。下面详细讨论这个数学模型的来历。

考虑实际采样器与保持电路的连接(a)，假设信号)t (x 在0t <时为零，其输出为

∑∞=+---=+---+---+--=0k 1)]

T )1k (t (1)kT t (1)[kT (x )]T 3t (1)T 2t (1)[T 2(x )]

T 2t (1)T t (1)[T (x )]T t (1)t (1)[0(x )t (h

（2）

其中)t (1为单位阶跃函数。由于

s

e )]kT t (1[L kTs

-=- 则（2）式的Laplace 变换为

∑∑∞=--∞

=+---=-==0k k T s

Ts 0k Ts )1k (kTs 11e

)kT (x s e

1s e e )kT (x )s (H )]t (h [L （3） 考虑(b)图的数学模型，该数学模型的输出必须与实际采样保持

电路的输出相同，即

)s (H )s (H )]t (h [L 122==∑∞

=---=0

k kTs Ts e )kT (x s e 1 （4） 从(b)图可见

)s (X )s (G )s (H 0h 2*= —— (5)

其中)s (G 0h 是保持器传递函数。

由于 ∑∞=-*=0k kTs e

)kT (x )s (X ，

（4）式可以写成： )s (X s

e 1)s (H Ts

2*--= ——（6） 比较（5）和（6）式，可知零阶保持器传递函数为