专题2 绝对值初中数学素养能力培优竞赛试题精选专练含解析卷

专题2 绝对值

一、绝对值的化简

【学霸笔记】

1. 一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，关系如下：

；

2. 绝对值可以与数轴结合起来，表示数a a与数b

间的距离；

3. 绝对值的性质

；②；③

【典例】

若a+b+c＝0，则|a|

a +|b|

b

+|c|

c

+|ab|

ab

+|ac|

ac

+|bc|

bc

+|abc|

abc

的值为（）

A．﹣7B．﹣1C．1D．7

【解答】解：∵a+b+c＝0，

∴a，b，c中两正一负或一正两负，

假设a＞0，b＞0，c＜0，原式＝1+1﹣1+1﹣1﹣1﹣1＝﹣1，其他情况同理值为﹣1；

假设a＞0，b＜0，c＜0，原式＝1﹣1﹣1﹣1﹣1+1+1＝﹣1，其他情况同理值为﹣1，

故选：B．

【巩固】

数形结合是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，当a在数轴上位于原点的右侧时，|a|＝a；当a在数轴上位于原点时，|a|＝0；当a在数轴上位于原点的左侧时，|a|＝﹣a．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题．

（1）当a＝1时，求|a|

a =，当b＝﹣2时，求|b|

b

=．

（2）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求|a|

a +|b|

b

+|c|

c

的值．

（3）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，化简：|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|．

二、绝对值的非负性

【学霸笔记】

不小于0的数（或大于等于0的数）称为非负数，具有以下性质：

（1）非负数具有最小值0；

（2）若几个非负数的和为0，那么每个非负数均为0；

（3）任何数的绝对值都大于等于0，即任何数的绝对值都是非负数.

【典例】有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：

（1）abc＜0

（2）|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|

（3）（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0

（4）|a|＜1﹣bc

其中正确的命题有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【解答】解：由图可知c＜﹣1＜0，0＜a＜b＜1，

（1）命题abc＜0正确；

（2）在命题中a﹣b＜0，b﹣c＞0，所以|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣（a﹣b）+（b﹣c）＝2b﹣a﹣c．

又因为a﹣c＞0，所以|a﹣c|＝a﹣c．左边≠右边，故错误；

（3）在该命题中，因为a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，所以（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故正确；（4）在命题中，|a|＜1，bc＜0，

∴1﹣bc＞1，

所以|a|＜1﹣bc，故该命题正确．

所以正确的有命题①③④这三个．

故选：B．

【巩固】如果有理数a，b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求：1

ab +1

(a+1)(b+1)

+1

(a+2)(b+2)

+⋯+1

(a+2022)(b+2022)

的值为．

三、绝对值的最值

【学霸笔记】

1. a与数b两点间的距离；

2. n为奇数，当

的值最小；若n

的值最小.

【典例】阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．理解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是；

（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是；

（3）当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是；

（4）当x在何范围，|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|有最大值，并写出它的最大值．

【解答】解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是2﹣（﹣3）＝5．

故答案为：5；

（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是|x+5|．

故答案为：|x+5|；

（3）在数轴上，|x﹣1|+|x+3|表示数轴上x和1的两点之间与x和﹣3的两点之间距离和，当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣3≤x≤1，最小值是4．

故答案为：﹣3≤x≤1，4；

（4）∵|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|表示x到1的距离与x到2的距离的差与x到3的距离与x到4的距离的差的和，

∴x≥4时有最大值1+1＝2．

【巩固】已知数轴上表示数a的A与表示数b的点B之间的距离|AB|＝|a﹣b|．

（1）当x＝时，|x﹣3|有最小值，这个最小值是．

（2）当x＝时，5﹣|x﹣2|有最大值，这个最大值是．

（3）当整数x＝时，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，这个值是．

（4）当整数x＝时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣5|有最小值，这个值是．

（5）|x﹣1|﹣|x﹣5|有最大值，这个值是；|x﹣1|﹣|x﹣5|有最小值，这个最小值是；

（6）已知|x﹣2|+|x﹣4|+|y﹣1|﹣|y﹣2|＝1，则（x+y）有最值（填“大”，“小”），这个值是．

巩固练习

1．设x是有理数，y＝|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）

A．y没有最小值

B．只有一个x的值使y取最小值

C．有有限个（不止一个）x的值使y取最小值

D．有无数多个x的值使y取最小值

2．已知整数a1、a2、a3、a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|…，以此类推，则a2022的值为（）

A．﹣2021B．﹣1010C．﹣1011D．﹣1009

3．如果对于某一特定范围内的任意允许值，p＝|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒为一常数，则此值为（）

A．2B．3C．4D．5

4．设有理数a、b、c满足a＞b＞c（ac＜0），且|c|＜|b|＜|a|，则|x−a+b

2|+|x−b+c

2

|+|x+a+c

2

|的最小值是

（）

A．a−c

2B．a+b+2c

2

C．2a+b+c

2

D．2a+b−c

2

5．若有理数m，n，p满足|m|

m +|n|

n

+|p|

p

=1，则2mnp

|3mnp|

=．

6．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，则x+y的最小值为，最大值为．

7．有理数a、b、c均不为0，且a+b+c＝0，设x=|a|

b+c +|b|

c+a

+|c|

a+b

，则代数式x2021+2021x﹣2021的值

为．