专题2 绝对值初中数学素养能力培优竞赛试题精选专练含解析卷
七年级数学竞赛题：绝对值
七年级数学竞赛题：绝对值绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面： 1．去绝对值符号法则2．绝对值的几何意义从数轴上看，a 即表示数a 的点到原点的距离，即a 代表的是一个长度，故a 表示一个非负数．3．绝对值常用的性质例1 已知a =5，b =3，且b a -=b －a ，那么a ＋b= .(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路 由已知求出a 、b 的值，但要注意条件b a -=b －a 的制约，这是解本例的关键．例2 如果0＜p ＜15,那么代数式p x -＋15-x ＋15--p x 在p≤x ≤15的最小值是( )．(湖北省黄冈市竞赛题)(A)30 (B)0 (C)15 (D)一个与P 有关的代数式解题思路设法脱去绝对值符号是解绝对值有关问题的基本思路，就本例而言，应结合已知条件判断每一个绝对值符号内代数式值的正负性．例3 已知11-x ＋22-x ＋33-x ＋…＋20022002-x ＋20032003-x =0, 求代数式2003200232122222x x x x x +---- 的值.解题思路 运用绝对值、非负数的概念与性质，先求出x 1、x 2、x 3…x 2002、x 2003的值，注意21+n －2n 的化简规律．例4 设a 、b 、c 是非零有理数，求a a +b b +c a +ab ab +ac ac +bc bc ＋abcabc 的值． (“希望杯”邀请赛试题)解题思路 根据a 、b 、c 的符号的所有可能情况讨论，化去绝对值符号，这是解本例的关键． 例5若a 、b 、c 为整数，且19ba -＋99ac -=1，试求a c -+b a -＋c b -的值．(北京市“迎春杯”竞赛题) 解题思路 1写成两个整数的和的形式有几种可能?l 写成两个非负整数的和的形式又有几种可能?这是解本例的突破口．1．若m 、n 为有理数，那么，下列判断中： (1)若∣m ∣=n ，则一定有m=n ；(2)若∣m ∣>n ，则一定有∣m ∣>∣n ∣； (3)若∣m ∣<∣n ∣，则一定有m<n ；(4)若∣m ∣=n ，则一定有m 2=(-n)2。
初中数学绝对值练习题答案及解析
初中数学绝对值练习题答案及解析绝对值（温习知识点）1.2.4绝对值1、定义在数轴上，表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
例如，图1.2-8中A，B两点分别表示10和-10，它们与原点的距离都是10个长度单位，所以10和-10的绝对值都是10，即|10|=10，|-10|=10。
（课本P11）在数轴上，表示数0的点是原点，显然|0|=0。
2、性质（课本P11）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
即（1）如果a0，那么|a|=a；（2）如果a=0，那么|a|=0；绝对值（习题）1.2.4绝对值（1）写出下列各数的绝对值：12，-29，－4.6，15/7，－6/7，-169，0上面的数中哪个数的绝对值最大？哪个数的绝对值最小？（2）判断下列说法是否正确：1.一个数的绝对值越大，在数轴上，表示它的点越靠右。
2.当a0时，|a|总是大于0。
（3）当ac时，化简|a-b|+|b-c|。
（4）检测5个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数。
从轻重的角度看，哪个球最接近标准？+5，-3.5，+0.7，-2.5，-0.6（5）如果|x|=2，那么x一定等于2吗？如果|x|=0，那么x等于？绝对值（答案及解析）1.2.4绝对值（1）答案12，29，4.6，15/7，6/7，169，0；-169的绝对值最大，0的绝对值最小。
解析考点：绝对值定义解题技巧：正数和0的绝对值写原数，负数的绝对值去-。
（注意：化简后）解题步骤：|12|=12，写原数|-29|=29，去符号-|0|=0，写原数其他过程省略小结：有理数的绝对值0；正负数的绝对值0。
（2）答案错，对解析考点：绝对值定义、绝对值性质说明：表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
解题步骤：一个数的绝对值越大，在数轴上，表示它的点与原点的距离越大，所以离原点越远，不一定越靠右。
说明：a0，|a|=a；a=0，|a|=0；a0，|a|=-a。
绝对值- 2022-2023学年七年级上册数学同步培优题库(浙教版)(解析卷)
专题1.3 绝对值模块一：知识清单1.绝对值1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作a ． 2）绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即：（1）如果0a >，那么a a =；（2）如果0a =，那么0a =；（3）如果0a <，那么a a =-． 可整理为：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，或(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩，或(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0．即：||0a ≥2.有理数的比较大小1）两个负数，绝对值大的反而小．2）正数大于零，零大于负数，正数大于负数．3）利用数轴：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．3.归纳： ①绝对值等于它本身的数是： 非负数 ；②绝对值大于它本身的数是： 负数 ； ③绝对值等于它的相反数的数是： 非正数 ；④绝对值最小的有理数是： 0 ；⑤绝对值最小的正整数是： 1 ；⑥绝对值最小的负整数是： -1 ．模块二：同步培优题库全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（2022·辽宁沈阳·七年级期末）2022-的绝对值为（ ）A ．2022B ．2022或2022-C ．12022-D ．2022- 【答案】A【分析】数轴上表示数a 的点与原点的距离是数a 的绝对值，根据定义直接求解即可.【详解】解：-2022的绝对值是2022，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题考查绝对值的含义，掌握“利用绝对值的含义求解一个数的绝对值”是解本题的关键． 2.（2021·黑龙江大庆市·九年级一模）若2a 与3b +互为相反数，则+a b 的值为（ ） A ．1B ．-1C ．5D ．-5 【答案】B【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出a 、b ，然后相加即可的解．【详解】解：∵2a 与3b +互为相反数，∴2a +3b +＝0， ∴2=0a -，3=0b +，解得：=2a ，3b =-，∴ +=231a b 故选：B 【点睛】本题考查了相反数的性质和非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．3．（2022•沂水县期末）下列各式正确的是（ ） A ．﹣|﹣|＝ B ．﹣（﹣）＝﹣ C ．|﹣|＝﹣ D ．﹣（﹣）＝【思路点拨】依据绝对值和相反数的意义，对四个选项的左边进行计算后再判断是否正确．【答案】解：∵﹣|﹣|＝﹣，∴A 选项不正确；∵﹣（﹣）＝，∴B 选项不正确；∵|﹣|＝，∴C 选项不正确；∴D 选项正确；∴故选：D ．【点睛】本题主要考查了绝对值和相反数的应用．依据绝对值和相反数的意义进行相应的化简是解题的关键． 4．（2021•乌苏市期末）下列各组数中，相等的一组是（ ）A ．﹣2和﹣（﹣2）B ．﹣|﹣2|和﹣（﹣2）C ．2和|﹣2|D ．﹣2和|﹣2|【思路点拨】运用相反数和绝对值的知识，先化简﹣（﹣2）、﹣|﹣2|、|﹣2|，再判断相等的一组．【答案】解：因为﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣2|＝﹣2，|﹣2|＝2，所以选项A 、B 、D 中的两个数均不相等，只有选项C 中的两个数相等．故选：C ．【点睛】本题考查了相反数和绝对值的化简，题目难度不大．5．（2021·内蒙古自治区初一期末）已知15a -=，则a 的值为( )A ．6B ．-4C ．6或-4D ．-6或4【答案】C【分析】本题根据绝对值的定义,由已知15a -=,可得a -1= ±5,解这个关于a 的方程即可求得a 的值. 【解析】因为15a -=，当a -1大于0时，则a -1=5，则a =6，当a -1小于0时，则a -1= -5，则a = -4, 故选C.【点睛】此题考查了绝对值的性质，特别注意：互为相反数的两个数的绝对值相等．6.（2021•郯城县期中）下列说法错误的个数是（ ）①一个数的绝对值的相反数一定是负数；②只有负数的绝对值是它的相反数；③正数和零的绝对值都等于它本身；④互为相反数的两个数的绝对值相等．A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】①一个数的绝对值的相反数一定是负数．反例：当这个数是0时，结果还是0不是负数，所以错误；②只有负数的绝对值是它的相反数．反例：当这个数是0时，结果还是0也是0的相反数，所以错误；③正数和零的绝对值都等于它本身．由绝对值性质可知，正确；④互为相反数的两个数的绝对值相等．正确．所以错误的有2个．【解答】解：根据绝对值的性质和相反数的概念，得①，②错误；③，④正确．故选：B．【点评】主要考查了绝对值，相反数的性质和定义．本题中要特别注意一些特殊的数字，如0，有时该数是最后的反例．7．（2021•广州模拟）若a为有理数，且满足|a|＝﹣a，则（）A．a＞0 B．a≥0 C．a＜0 D．a≤0【思路点拨】根据绝对值的性质①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零可得答案．【答案】解：∵|a|＝﹣a；∴a≤0，故选：D．【点睛】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质．8．（2021•南开区期末）若ab≠0，那么+的取值不可能是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【思路点拨】由ab≠0，可得：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；分别计算即可．【答案】解：∵ab≠0，∴有四种情况：①a＞0，b＞0，②a＜0，b＜0，③a＞0，b＜0，④a＜0，b＞0；①当a＞0，b＞0时，+＝1+1＝2；②当a＜0，b＜0时，+＝﹣1﹣1＝﹣2；③当a＞0，b＜0时，+＝1﹣1＝0；④当a＜0，b＞0时，+＝﹣1+1＝0；综上所述，+的值为：±2或0．故选：C．【点睛】本题考查绝对值的定义，运用分类讨论思想和熟练掌握并正确运用绝对值的定义是正确解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2021•南京）﹣（﹣2）＝；﹣|﹣2|＝．【思路点拨】根据求一个数的相反数和绝对值的意义化简求解．【答案】解：﹣（﹣2）＝2；﹣|﹣2|＝﹣2，故答案为：2；﹣2．【点睛】本题考查求一个数的相反数和绝对值，理解相关概念准确化简是解题关键．10．（2021•新都区校级期末）﹣2的绝对值是，的相反数是．【思路点拨】根据绝对值和相反数的概念求解．【答案】解：﹣2的绝对值是2，丨﹣丨＝，∴丨﹣丨的相反数是﹣，故答案为：2；﹣．【点睛】本题考查绝对值和相反数概念，理解绝对值和相反数的概念是解题基础．11．（2021•海淀区校级月考）|﹣8|＝，绝对值等于4的数是．【思路点拨】利用绝对值的定义以及相反数的定义分析的分析得出答案．【答案】解：|﹣8|＝8；绝对值等于4的数是：±4．故答案为：8，±4．【点睛】此题主要考查了绝对值和相反数，正确掌握相关定义是解题的关键．12．（2021•郫都区校级月考）若|x﹣3|+|y+2|＝0，则x＝，y＝．【思路点拨】根据非负数的性质列出算式，求出x、y的值即可．【答案】解：根据题意得，x﹣3＝0，y+2＝0，解得x＝3，y＝﹣2，答案为：3，﹣2．【点睛】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．13.（2022·山东济宁·七年级期末）大家知道，550=-，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子63-，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离．类似地，式子()5a--在数轴上的意义是______．【答案】表示a的点与表示-5的点之间的距离【分析】利用绝对值的意义即可求解．【详解】解：因为550=-，它在数轴上的意义是：表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离，式子63-，它在数轴上的意义是：表示6的点与表示3的点之间的距离，所以式子()5a--在数轴上的意义是表示a的点与表示-5的点之间的距离．【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键．14．（2022·江西·峡江县教学研究室七年级期末）已知m、n是两个非零有理数，则m nm n-=_________【答案】0或2或-2【分析】对m、n是两个非零有理数的正负进行分类讨论，再进行绝对值得化简求值即可．【详解】解：当0m >，0n >时，0m n m n m n m n -=-=；当0m >，0n <时，2m n m n m n m n -=+=； 当0m <，0n >时，2m n m n m n m n -=--=-；当0m <，0n <时，0m n m n m n m n-=-+=； 综上可知：m n m n-的值为0或2或-2．故答案为：0或2或-2． 【点睛】本题考查绝对值的化简．对m 、n 是两个非零有理数的正负进行分类讨论是本题解题的关键． 15．（2021·华中师范大学附属惠阳学校七年级月考）化简：34ππ-+-=________．【答案】1【分析】根据绝对值的定义即可得出答案，去掉绝对值再计算．【详解】解：|π-3|+|4-π|=π-3+4-π=1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，解题的关键是熟记求绝对值的法则．16.（2022·河南安阳·七年级期末）若x 为任意有理数，x 表示在数轴上x 表示的点到原点的距离，x a -表示在数轴上x 表示的点到a 表示的点的距离，则31x x -++的最小值为________．【答案】4【分析】根据|x -a |表示数轴上x 与a 两数对应的点之间的距离，可知当x 处于-1和3之间时，|x -3|+|x +1|取得最小值，即为数轴上-1和3之间的距离．【详解】解：∵|x -a |表示数轴上x 与a 两数对应的点之间的距离，∴|x -3|+|x +1|表示数轴上数x 与3和数x 与-1对应的点之间的距离之和，∴当-1≤x ≤3时，代数式|x -3|+|x +1|有最小值，最小值为3-x +x +1=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了数轴上的两点之间的距离，明确|x -a |表示数轴上x 与a 两数对应的点之间的距离是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共52分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2022·广东·七年级期末）在有理数3，﹣1.5，﹣3，0，2.5，﹣4，﹣（+3.5），|﹣|中，求出其中分数的相反数和绝对值．【思路点拨】据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数；根据绝对值实数轴上的点到原点的距离，可得一个数的绝对值；【答案】解：﹣1.5的相反数1.5，绝对值是1.5；﹣3的相反数是3，绝对值是3；2.5的相反数是﹣2.5，绝对值是2.5；﹣（+3.5）＝﹣3.5相反数是3.5，绝对值是3.5；|﹣|＝相反数是﹣，绝对值是．【点睛】本题考查了绝对值，利用了绝对值得性质：正数的绝对等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数．18.（2021•江岸区校级月考）若|2x ﹣4|与|y ﹣3|互为相反数，求3x ﹣y 的值．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出x 、y 的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，|2x ﹣4|+|y ﹣3|＝0，所以，2x ﹣4＝0，y ﹣3＝0，解得x ＝2，y ＝3， 则3x ﹣y ＝3×2﹣3＝3．【点评】本题考查了非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键．19．（2022·河南·商丘市第十六中学七年级期末）创建文明城期间，一天上午，志愿者小明从柒悦城出发，乘坐3路公交车，始终在该线路的公交站点做志愿者服务，3路车为神火大道上南北方向直线上的公交线路，小明坐车范围北起火车站，南至香君路口，途中共设12个上下车站点，如图所示：下午，小明到A 站下车时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向南为正，向北为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：＋5，－2，＋6，－11，＋8，＋1，－3，－2，－4，＋7；(1)请通过计算说明A 站是哪一站？(2)若相邻两站之间的平均距离为0.8千米，求这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米？【答案】(1)长江路口 (2)39.2千米【分析】（1）求出这些数的和，根据和的符号和绝对值即可判断A 站的位置；（2）计算所有站数绝对值的和，再乘以相邻两站之间的平均距离即可．(1)解：由题意得，52611813247=56817211324=2722+-+-++---++++++------ =5．柒悦城向南第5站为长江路口，∴A 站是长江路口． (2)解：由题意得，526118132470.8=(5+2+6+11+8+1+3+2+4+7)0.8=490.8++-+++-+++++-+-+-++⨯⨯⨯()=39.2（千米）故这次小明志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是39.2千米．【点睛】本题考查正负数和绝对值的实际应用，读懂题意，理解题中正负号代表的意义是解题的关键．20．（2022·黑龙江牡丹江·七年级期末）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图：(1)用“＞”或“＜”填空a _____0，b _____0，c ﹣b ______0，ab_____0．(2)化简：|a |+|b +c |﹣|c ﹣a |．【答案】(1)＜，＞，＞，＜(2)b【分析】（1）根据有理数a 、b 、c 在数轴上的位置，进而判断即可；（2）判断b +c ，c ﹣a 的符号，再化简绝对值即可．(1)解：由有理数a 、b 、c 在数轴上的位置可知，a ＜0＜b ＜c ，∴c ﹣b ＞0，ab ＜0故答案为：＜，＞，＞，＜；(2)由有理数a 、b 、c 在数轴上的位置可得，b +c ＞0，c ﹣a ＞0，∴|a |+|b +c |﹣|c ﹣a |＝﹣a +b +c ﹣c +a ＝b ．【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，绝对值、有理数的减法，正确判断各个代数式的符号是正确化简的关键．21.（2022·贵州黔东南·七年级期末）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．解方程：32x +=．解：当30x +≥时，原方程可化为32x +=，解得1x =-；当30x +<时，原方程可化为32x +=-，解得5x =-．所以原方程的解是1x =-或5x =-．(1)利用上述方法解方程：324x -=．(2)当b 满足什么条件时，关于x 的方程21x b -=-，①无解；②只有一个解；③有两个解．【答案】(1)2x =或23x =- (2)①当21x b -=-无解时，1b <；②当21x b -=-只有一个解时，1b =；当21x b -=-有两个解时，1b >【分析】（1）根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后化为一元一次方程即可求得；（2）根据绝对值的意义，运用分类讨论进行解答．(1)当3x -2≥0时，原方程可化为：3x -2=4，解得x =2；当3x -2＜0时，原方程可化为：3x -2=-4，解得23x =-．所以原方程的解是x=2或23x=-；(2)解：∵|x-2|≥0，∴①当b-1＜0，即b＜1时，方程无解；②当b-1=0，即b=1时，方程只有一个解；③当b-1＞0，即b＞1时，方程有两个解．【点睛】此题考查了绝对值方程，正确理解绝对值的意义是解答本题的关键，一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．22．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求++的值．【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则++＝++＝1+1+1＝3；②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则++＝++＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1．综上所述，++值为3或﹣1．【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则+的值是0；（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求++的值；（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求++的值．【思路点拨】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可；（2）（3）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a，b，c中负数有2个，正数有1个，判断出abc的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可．【答案】解：（1）a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，a＞0，b＜0，或a＜0，b＞0，当a＞0，b＜0时，；当a＜0，b＞0时，．故答案为：0．（2）abc＜0，∴a、b、c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，①当a、b、c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时，则：＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；②a、b、c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，则＝﹣1+1+1＝1（3）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且a+b+c＝0得，a+b＝﹣c，c+a＝﹣b，b+c＝﹣a．a、b、c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0，＝1﹣1﹣1＝﹣1．【点睛】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论思想方法，能不重不漏的分类，会确定字母范围和字母的值是关键．23．（2021·临海市外国语学校七年级期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c－5）2＋|a ＋b|＝0请回答问题：（1）请直接写出a、b、c的值：a＝，b＝，c＝，（2）数轴上a，b，c所对应的点分别为A，B，C，则B，C两点间的距离为；（3）在（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动了t秒，①此时A表示的数为；此时B表示的数为；此时C表示的数为；②若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC－AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】（1）-1；1；5；（2）4；（3）①-1-t；1+2t；5+5t；②BC-AB值为2，不随着时间t的变化而改变．【分析】（1）先根据b是最小的正整数，求出b，再根据c2＋|a+b|=0，即可求出a、c；（2）由（1）得B和C的值，通过数轴可得出B、C的距离；（3）①在（2）的条件下，通过运动速度和运动时间可表示出A、B、C；②先求出BC=3t+4，AB=3t+2，从而得出BC-AB=2．【详解】解：（1）∵b是最小的正整数，∴b=1．∵（c-5）2+|a+b|=0，∴a=-1，c=5；故答案为：-1；1；5；（2）由（1）知，b=1，c=5，b、c在数轴上所对应的点分别为B、C，B、C两点间的距离为4；（3）①点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，运动了t秒，此时A表示的数为-1-t；点B以每秒2个单位长度向右运动，运动了t秒，此时B表示的数为1+2t；点C以5个单位长度的速度向右运动，运动了t秒，此时C表示的数为5+5t．②BC-AB的值不随着时间t的变化而改变，其值是2，理由如下：∵点A都以每秒1个单位的速度向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，∴BC=5+5t–(1+2t)=3t+4，AB=1+2t–(-1-t)=3t+2，∴BC-AB=（3t+4）-（3t+2）=2．【点睛】本题考查了数轴与绝对值，通过数轴把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．24．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·七年级期中）综合与实践．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）探究：①数轴上表示6和1的两点之间的距离是；②数轴上表示﹣2和﹣7的两点之间的距离是；③数轴上表示﹣3和6的两点之间的距离是．（2）归纳：一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于．（3）应用：①如果表示数a和3的两点之间的距离是12，则可记为：|a﹣3|＝12，那么a＝．②若数轴上表示数a的点位于﹣3与6之间，求|a＋3|＋|a﹣6|的值．【答案】（1）①5；②5；③9；（2）|a﹣b|；（3）①﹣9或15；②9【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的计算方法得出答案，（2）由特殊到一般，得出结论，（3）①利用数轴上两点距离的计算方法得出答案；②由|a＋3|＋|a﹣6|所表示的意义，转化为求数轴上表示﹣3的点到表示6的点之间的距离．【详解】解：（1）①|6﹣1|＝5，②|﹣2﹣（﹣7）|＝5，③|﹣3﹣6|＝9，故答案为：5，5，9；（2）由数轴上两点距离的计算方法可得，|a﹣b|；故答案为：|a﹣b|；（3）①由题意得，a﹣3＝12或a﹣3＝﹣12，解得，a＝15或a＝﹣9，故答案为：﹣9或15；②|a＋3|表示数轴上表示数a与﹣3的点之间的距离，|a﹣6|表示数轴上表示数a 与6两点之间的距离，当数a的点位于﹣3与6之间时，有|a＋3|＋|a﹣6|＝|3﹣（﹣6）|＝9，故答案为：①﹣9或15，②9.【点睛】本题考查了数轴表示数的意义和方法，理解数轴上两点距离的计算方法是解决问题的关键．。
初一七年级数学绝对值练习题及答案解析
初一七年级数学绝对值练习题及答案解析数学绝对值是初中数学中的一个重要概念，它常常在方程、不等式、函数等各个章节中出现。
掌握绝对值的概念和性质对于解决数学问题非常重要。
下面是一些初一七年级的数学绝对值练习题及答案解析，帮助你巩固对绝对值的理解。
1. 计算以下数的绝对值：a) |-5|b) |0|c) |3|答案：a) |-5| = 5b) |0| = 0c) |3| = 3解析：绝对值表示一个数与0点之间的距离。
所以绝对值的结果总是非负数。
对于a) |-5|，-5与0之间的距离是5，所以结果是5。
对于b) |0|，0与0之间的距离是0，所以结果是0。
对于c) |3|，3与0之间的距离是3，所以结果是3。
2. 求解以下方程：a) |x| = 5b) |2x - 3| = 7答案：a) x = 5 或 x = -5b) x = 5 或 x = -2解析：对于a) |x| = 5，由于绝对值的定义是非负数，所以x可以是5或-5。
因为5与-5的绝对值都是5。
对于b)|2x - 3| = 7，需要分情况讨论。
当2x - 3 = 7时，解得x = 5。
当2x - 3 = -7时，解得x = -2。
3. 解以下不等式：a) |x + 2| < 3b) |3x - 1| ≥ 5答案：a) -5 < x < 1b) x ≤ -2 或x ≥ 2解析：对于a) |x + 2| < 3，我们可以使用绝对值的定义进行讨论。
当x + 2 > 0时，即x > -2，方程等价于x + 2 < 3，解得x < 1。
当x + 2 < 0时，即x < -2，方程等价于-(x + 2) < 3，解得x > -5。
所以综合起来，-5 < x < 1。
对于b) |3x - 1| ≥ 5，我们也需要分情况讨论。
当3x - 1 > 0时，即3x > 1，方程等价于3x - 1 ≥ 5，解得x ≥ 2。
七年级数学绝对值培优竞赛题：a-b表示在数轴上数a到数b的距离
七年级数学绝对值培优竞赛题：a-b表示在数轴上数a到数b的距离绝对值培优竞赛题一般都会考绝对值在数轴上的几何意义：（1）|a-b|的几何意义就是表示点a和点b之间的距离。
(2)|x-a|+|x-b|最小值就是表示x到a点和到b点的值得和要最小的话，那么就是当x取值范围在a和b之间，也就是当a≤x≤b时，有最小值。
（3）如果在数轴上有三个点，且a<><>这道竞赛题目，我们有两种解法。
第1小题，在数轴上因为|x+1|就是x到-1的距离，那么此题-1到2的距离小于7。
所以求X表示的数到-1和2的距离之和，就应该分类讨论，当x小于-1或者x大于2的时候两种情景，然后利用的绝对值的性质，分别化解得出。
第2小题，也是一样的思路，X表示的数到-和2的距离和要大于5，那么分类讨论当x小于-1或者x大于2的时候两种情景。
或者我们用另外一种解法，画数轴表示也非常直观。
如下图。
用数轴上的数形结合画出来是不是非常直观？第1小题，当x=4的时候，它到-1的距离+到2的距离之和就是5+2=7。
当x=-3也一样。
第2小题，当x=3的时候，它到-1的距离+到2的距离之和就是4+1=5，而它们的距离和是要大于5，所以x大于3。
同理，x小于-2也满足条件。
这道题目，当我们把前面几个知识点完全理解透彻后，就不那么难了。
（1）|x-3|的绝对值肯定是非负数，那么最小是为0。
即当x=3时，|x-3|的最小值为0.（2）要是值最大，那么必须减数最小。
减数是个非负数，则最小值为0。
所以x=2时，减数值最小，原式的值最大。
（3）题目里不管用哪种方法做。
其实只要按照文章最前面那个知识点：|x-a|+|x-b|最小值就是表示x到a点和到b点的值得和要最小的话，那么就是当x取值范围在a和b之间，也就是当a≤x≤b时，有最小值。
也就是说，一个点到4和5之间的距离总和最小，就是4到5的距离长度，也就是1。
（4）这个很简单。
就是文章前面给的那个知识点。
最新初一(七年级)数学绝对值练习题及答案解析.docx
初一 ( 七年级 ) 数学绝对值练习题及答案解析基础检测：1．－ 8的绝对值是,记做.2．绝对值等于 5的数有.3．若︱a︱= a , 则 a.4．的绝对值是 2004,0的绝对值是.5一个数的绝对值是指在上表示这个数的点到的距离 .6．如果 x ＜ y ＜ 0, 那么︱ x ︱︱y︱ .7．︱ x － 1 ︱ =3 ,则 x＝.8．若︱x+3︱ +︱ y －4︱= 0,则 x + y =.9．有理数 a ,b在数轴上的位置如图所示 ,则a b,︱a︱︱b︱.10．︱ x ︱＜л,则整数 x =.11．已知︱ x︱－︱ y︱=2,且 y =－4,则 x =.12．已知︱ x︱=2 ,︱y︱=3,则x +y =.13．已知︱x +1 ︱与︱y －2︱互为相反数 ,则︱ x ︱+︱ y︱=.14.式子︱x +1︱的最小值是,这时 ,x值为.15.下列说法错误的是（）A一个正数的绝对值一定是正数B一个负数的绝对值一定是正数C任何数的绝对值一定是正数D任何数的绝对值都不是负数16．下列说法错误的个数是（）（1）绝对值是它本身的数有两个 ,是 0和 1（2）任何有理数的绝对值都不是负数（3）一个有理数的绝对值必为正数（4）绝对值等于相反数的数一定是非负数A 3B 2C 1D017．设 a是最小的正整数 ,b是最大的负整数 ,c是绝对值最小的有理数 ,则 a + b + c 等于（）A－1B0C1 D 2拓展提高：18．如果 a , b互为相反数 ,c, d 互为倒数 ,m 的绝对值为 2,求式子a b+ m －cd 的值 .a b c19．某司机在东西路上开车接送乘客 ,他早晨从 A 地出发 ,（去向东的方向正方向） ,到晚上送走最后一位客人为止 ,他一天行驶的的里程记录如下（单位：㎞）+10 ,— 5, — 15 ,+ 30 ,—20 ,—16 ,+ 14（1）若该车每百公里耗油 3 L ,则这车今天共耗油多少升？（2）据记录的情况,你能否知道该车送完最后一个乘客是,他在A 地的什么方向？距 A地多远？20．工厂生产的乒乓球超过标准重量的克数记作正数 ,低于标准重量的克数记作负数 ,现对 5个乒乓球称重情况如下表所示 ,分析下表 ,根据绝对值的定义判断哪个球的重量最接近标准？代号A B C D E 超标情况0.01－0.02－0.010.04－0.03初一 ( 七年级 ) 数学上册绝对值同步练习答案基础检测：1．－ 8的绝对值是8 ,记做︱－8︱.2．绝对值等于 5的数有±5 .3．若︱a︱= a , 则 a ≥0 .4．±2004的绝对值是 2004,0的绝对值是0 .5．一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离 . 6．如果 x ＜ y ＜ 0, 那么︱ x ︱>︱ y︱ .7．︱ x －1 ︱ =3 ,则 x ＝4或-2.x － 1 = 3,x = 4 ；—(x －1) = 3,x = －28．若︱x+3︱ +︱ y －4︱= 0,则 x + y = 1 .x+3 = 0 ,x = -3； y－4= 0,y = 4；x + y = 19．有理数 a ,b在数轴上的位置如图所示 ,则a< b,︱ a︱ >︱ b︱ .10．︱ x ︱＜л,则整数 x =0,± 1,± 2,± 3.11．已知︱ x︱－︱ y︱=2,且 y =－4,则 x =± 6.︱x︱－ 4 = 2,︱x︱= 6,x = ±612．已知︱ x︱=2 ,︱y︱=3,则x +y =± 1,±5.13．已知︱x +1 ︱与︱y －2︱互为相反数 ,则︱ x ︱+︱ y︱=3..互为相反数： |x+1|+|y-2|=0x+1=0,x=-1 ；y-2=0,y=2 ；︱ x ︱ +︱ y︱ = 1 + 2 = 314.式子︱ x +1 ︱的最小值是 0 ,这时 ,x值为— 1 .15.下列说法错误的是（ c ）A一个正数的绝对值一定是正数B一个负数的绝对值一定是正数C任何数的绝对值一定是正数错： 0的绝对值是 0,非正非负 .D任何数的绝对值都不是负数16．下列说法错误的个数是（ A ）（1）绝对值是它本身的数有两个 ,是 0和 1错：所有非正数的绝对值都是它本身 .（2）任何有理数的绝对值都不是负数对：任何有理数的绝对值都是正数或 0（3）一个有理数的绝对值必为正数错： 0非正非负 .（4）绝对值等于相反数的数一定是非负数错：绝对值等于相反数的数一定是非正数 .A 3B 2C 1D017．设 a是最小的正整数 ,b是最大的负整数 ,c是绝对值最小的有理数 ,则 a + b + c 等于（B）A－1 B 0 C 1 D 2解析：最小的正整数： 1,最大的负整数： -1,绝对值最小的有理数： 0拓展提高：18．如果 a , b互为相反数 ,c, d 互为倒数 ,m 的绝对值为 2,求式子a b+ m －cd 的值 .a b c解：a,b互为相反数： b=-ac, d 互为倒数： d=1/c| m | = 2：m=±2a ba b c=0+(±2)-1=1或-319．某司机在东西路上开车接送乘客,他早晨从 A 地出发 ,（去向东的方向正方向）,到晚上送走最后一位客人为止 ,他一天行驶的的里程记录如下（单位：㎞）+10 ,—5, —15 ,+ 30 ,— 20 ,—16 ,+14（ 1）若该车每百公里耗油 3 L ,则这车今天共耗油多少升？东西— 16+14+10+30—20A—5 + m －cd最后停车位置解：总共行驶路程为：|+10|+|—5|+|—15|+|+30|+|—20|+|—16|+|+14| =110（公里）油耗为： 110*（3/100） =3.3（升）（ 2）据记录的情况 ,你能否知道该车送完最后一个乘客是,他在 A 地的什么方向？距 A地多远？解：A地为原点：+10 —5 —15+ 30 —20 —16 +14 = —2负方向为西方 ,他在 A 点的西方 ,距A点2千米 .20．工厂生产的乒乓球超过标准重量的克数记作正数 ,低于标准重量的克数记作负数 ,现对 5个乒乓球称重情况如下表所示 ,分析下表 ,根据绝对值的定义判断哪个球的重量最接近标准？代号A B C D E 超标情况0.01－0.02－0.010.04－0.03解：|A|=|0.01|=0.01| B | =| —0.02 | = 0.02| C | =| —0.01 | = 0.01|D|=|0.04|=0.01| E | =| —0.03| = 0.03根据绝对值计算结果 ,A,B 球最接近标准 .。
初中七年级数学培优绝对值含答案
第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002， y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即有这种竞赛讲义一整套小学初中的含答案最新的需要的可以联系我46~8453~607微信 13699~77~1074说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX 之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D 四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能．。
2.4绝对值培优训练(含答案)
2.4绝对值专题一 绝对值的两种意义的应用1. 下列说法中正确的是（ ）A.一个数的绝对值一定大于这个数的相反数B.若a a -=，则a ≤0C.绝对值等于3的数是3-D.绝对值不大于2的数是 0,1,2±±2. 在数轴上，点A 对应的数是－2013，点B 对应的数是＋17，则A 、B 两点的距离是（ ）A.1996B.1998C.2020D.20303. 已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、1、－l ，那么|a +1|表示( )A.A 、B 两点的距离B.A 、C 两点的距离C.A 、B 两点到原点的距离之和D.A 、C 两点到原点的距离之和 专题二 与绝对值有关的探究题4. 如图所示,在数轴上有六个点,且AB =BC =CD =DE =EF ,则与点C 所表示的数最接近的整数是( )A.﹣1B.0C.1D.25. 已知数轴上A 、B 两点分别表示有理数－3、－6，若在数轴上找一点C ，使得A 与C 的距离为4；找一点D ，使得B 与D 的距离为1，则C 与D 的距离不可能为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．6 6. 同学们都知道，|4－（－2）|表示4与－2的差的绝对值，实际上也可理解为4与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x －3|也可理解为x 与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：（1）|4－（－2）|= ；（2）找出所有符合条件的整数x ，使|x －4|+|x +2|=6成立．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|x －3|+|x －6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．答案1. B2. D3. B4. C 【解析】由图可知AF =11－(－5)=16, 又设AB =BC =CD =DE =EF =a ， ∴ a =165=3.2. ∴ C 点坐标－5+3.2+3.2=1.4.∴ 与C 表示的数最接近的整数是1．故选C．5. C 【解析】根据题意，点C与点D在数轴上的位置如图所示：在数轴上使AC的距离为4的C点有两个：C1、C2，BD的距离为1的D点有两个：D1、D2，∴①C与D的距离为：C2D2=0；②C与D的距离为：C2D1=2；③C与D的距离为：C1D2=8；④C与D的距离为：C1D1=6；综合①②③④，知C与D的距离可能为：0、2、6、8．故选C．6.【解析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．（2）本题需进行分段计算，令x﹣4=0或x+2=0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．（3）根据（2）的方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值．解：（1）原式=|4+2|=6，故答案为6；（2）令x﹣4=0或x+2=0时，则x=4或x=－2，当x＜－2时，－（x－4）－（x+2）=6，－x+4－x﹣2=6，x=－2（不符合题意）；当－2＜x＜4时，－（x－4）+（x+2）=6，－x+4+x+2=6，6=6，∴x=－1，0，1，2，3；当x＞4时，（x－4）+（x+2）=6，x－4+x+2=6，2x=8，故x=4（不符合题意）．综上所述，符合条件的整数x有：－1，0，1，2，3.（3）由（2）的探索猜想，对于任何有理数x，|x－3|+|x－6|有最小值，为3．。
中考数学绝对值培优试题
专题二 绝对值姓名： 班别：典例导析类型一：绝对值的化简例1：假如a ，b ，c 是非零的有理数，且0=++c b a ，那么||||||||abc abc c c b b a a +++的可能值为 。
[点拨] 绝对值的化简关键是脱去绝对值符号，常见形式有①由条件脱号；②由数轴读取信息脱号；③运用零点分段法脱号。
[解答][变式] 化简：|3||1|-+-x x类型二：绝对值的非负性例2：|2|-ab 与|1|-b 互为相反数。
试求代数式)2017)(2017(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值。
[点拨] 运用绝对值的非负性先求a ，b 的值。
[解答][变式] 有理数a ，b 满足0|2017||1|=-++b a ，那么______=ab 。
类型三：运用绝对值几何意义求最值。
例3：代数式|13||12||11|++-++x x x 的最小值为 。
[点拨] 利用绝对值的几何意义得出奇数个绝对值之和与偶数个绝对值之和取最小值的条件。
[解答][变式] 当|3||2|-+-x x 的值最小时，|1||3||2|---+-x x x 的最大值为 ，最小值为 。
类型四：绝对值不等式与方程例4：求不等式3|2||1|≤-+-x x 的所有整数解的和。
[点拨] 解含绝对值符号的方程和不等式关键是脱号转化为一般方程和不等式，一般采用“零点分段法〞。
[解答][变式] 方程4|2||3|=-+x x 的解是 。
培优训练1、有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图，那么_____||||||||=---++b c c a b a2、设a ，b ，c ，d 都是有理数，假设4||=+b a ，2||=+d c ，且b d a c d b c a -+-=-+-||，求d c b a +++的最大值。
3、非零整数m ，n 满足05||||=-+n m ，所有这样的整数组〔m ，n 〕一共有 组。
人教版七年级数学上册 绝对值 专题培优卷(含答案)
七年级数学上册绝对值专题培优卷一、选择题:1.如图，M，N两点在数轴上表示的数分别是m，n，则下列式子中成立的是（）A．m+n＜0 B．﹣m＜﹣n C．|m|﹣|n|＞0 D．2+m＜2+n2.﹣2的绝对值是（）A．2 B．﹣2 C．0.5 D．-0.53.若│x│=2,│y│=3,则│x+y│的值为( )A．5 B．-5 C．5或1 D．以上都不对4.若|x|=7,|y|=5,且x+y>0,那么x-y的值是（）A．2或12 B．－2或12 C．2或－12 D．－2或－125.若数轴上的点A．B分别于有理数a、b对应，则下列关系正确的是( )A．a＜b B．﹣a＜b C．|a|＜|b| D．﹣a＞﹣b6.已知a,b是有理数,|ab|=-ab(ab≠0),|a+b|=|a|-b,用数轴上的点来表示a,b,可能成立的是( )A．B．C.D．7.给出下列判断：①若|m|,则m>0；②若m>n,则|m|>|n|；③若|m|>|n|,则m>n；④任意数m，则|m|是正数；⑤在数轴上,离原点越远,该点对应的数的绝对值越大,其中正确的结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．38.如图数轴的A．B、C三点所表示的数分别为a、b、c.若|a﹣b|=3，|b﹣c|=5,且原点O与A．B的距离分别为4、1,则关于O的位置,下列叙述何者正确？（）A．在A的左边B．介于A．B之间C．介于B、C之间D．在C的右边9.已知ab≠0,则+的值不可能的是（）A．0 B．1 C．2 D．﹣210.非零有理数a、b、c满足a＋b＋c=0，则所有可能的值为（）A．0 B．1或－1 C．2或－2 D．0或－211.不相等的有理数a.b.c在数轴上，对应点分别为A、B、C.若∣a－b∣+∣b－c∣=∣a－c∣,那么点B在（）A．A、C点右边B．A、C点左边C．A、C点之间D．以上均有可能12.当1＜a＜2时，代数式|a﹣2|+|1﹣a|的值是（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3二、填空题:13.若|2x﹣1|=3，则x= ．14.绝对值小于2的整数是．15.–3的绝对值是，倒数是,相反数是.16.已知|x|=5,|y|=2,且x+y＜0,则x,y的值是．17.若(a﹣2)2+|b﹣3|=0，则a b= ．18.若|x+y﹣7|+(3x+y﹣17)2=0，则x﹣2y= ．19.实数a、b在数轴上的位置如图,则化简|a+2b|-|a-b|的结果为____________.三、解答题:20.在数﹣5，1，﹣3，5，﹣2中任取三个数相乘，其中最大的积是a，最小的积是b，（1）求a，b的值；（2）若|x+a|+|y﹣b|=0，求（x﹣y）÷y的值21.已知|a﹣1|=9，|b+2|=6，且a+b＜0，求a﹣b的值．22.已知A．B在数轴上分别表示a、b.①对照数轴填写下表：②若A．B两点间的距离记为d，试问d和a、b(a<b)有何数量关系？③写出数轴上到7和—7的距离之和为14的所有整数，并求这些整数的和。
初中数学竞赛专题选讲绝对值(含答案)
初中数学竞赛专题选讲（初三.18）绝对值一、内容提要1. 绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.用式子表示如下：⎪⎩⎪⎨⎧=<->=)0(0)0()0(a a a a a a2. 初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等.解答时，一般是根据定义先化去绝对值符号，这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，若含有变量的代数式，不能确定其正、负时，则采取零点分区讨论法. 例如：（1）化简 )2(-x x解：当x=0, x=2时, )2(-x x =0；当x<0或x>2时, )2(-x x =x(x －2)=x 2－2x ；当0<x<2时，)2(-x x =－x(x －2)=－x 2+x.（2）解方程2-+x x =6.解：当x<0时，x=－2；当0≤x ≤2时，方程无解；当x>2时，x=4.∴原方程的解是：x=－2， x=4..（3）作函数y=2-+x x 的图象.解：化去绝对值符号，得y=－2x+2 (x<0)；y=2 (0≤x ≤2) ；y=2x －2 (x>2).分别作出上述三个函数的图象（如图），就是函数y=2-+x x 的图象. 0 2X<0 0<x<2 x>23. 绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离.用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法.例如： ①解方程3=x ； ②解不等式3<x ； ③解不等式32>＋x . 解：①∵3=x 的几何意义是：x 是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数，即3和－3，∴方程3=x 的解是x=3, x=－3.②∵3<x 的几何意义是：x 是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数，∴不等式3<x 的解集是 －3＜x ＜3.③∵2+x 的零点是x=－2,∴32>＋x 的几何意义是：x 是数轴上到点（－2）的距离大于3个单位的点所表示的数，∴32>＋x 的解集是x<－5或x>1.（如下图）4. 绝对值的简单性质：①绝对值是非负数； ②两个互为相反数，它们的绝对值相等.根据这些性质，可简化函数的作图步骤. 例如：（1）对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的图象，再把横轴下方的部份，绕x 轴向上翻折作函数图象：①y=1-x ②y=22--x x1-2 0 --5（2） 当f （－x ）=f(x),图象关于纵轴对称，这时可先作当x<0时函数图象，再画出关于纵轴对称的图象.例如：y=x 2－2x －3的图象， 可先作y=x 2+2x －3自变量x<0时的图象（左半图） 再画右半图（与左半图关于纵轴对称）.（3） 把y=x 的图象向上平移a 个单位，所得图象解析式是y=a x +；把y=x 的图象向右平移3个单位，所得图象解析式是y=3－x .（4） 利用图象求函数最大值或最小值，判断方程解的个数都比较方便.二、例题例1. 已知方程x ＝ax+1有一个负根并且没有正根，求a 的值.（1987年全国初中数学联赛题）解：当x<0时，原方程为－x=ax+1, x=011<+a －, ∴ a+1>0. ∴a>－1；当x>0时，原方程为x=ax+1, x=011>a－, ∴1－a>0. ∴a<1.∵方程有一个负根并且没有正根，∴a>－1且a ≮1，∴a 的取值范围是a ≥1.例2. 求函数y=2x x -3－的最小、最大值. 解：当x<0时， y=－x+6； 当0≤x<3时，y=－3x+6；当x ≥3时， y=x －6 .根据图象有最低点而没有最高点∴函数没有最大值只有最小值－3(当x=3时).例3. 解方程：①x x -=+42； ②421=-++x x .解：①∵点（x ）到点A （－2）和点B （4）的距离相等（如下图），∴x=1.②∵点（x ）到点A （－1）与到点B （2）的距离的和等于4，AB ＝3∴x=2.5, x=-1.5.例4. 解不等式: ①1≤2+x ≤3； ②121>--+x x .解：①点（x ）到点A （－2）的距离大于或等于1而小于或等于3在数轴上表示如图，∴不等式的解集是： －5≤x ≤－3 或－1≤x ≤1②点(x) 到点(-1)的距离，比到点(2)的距离大1个单位以上.在数轴上表示，如图：∴不等式的解集是x>1.例5. a 取什么值时，方程a x =--12 有三个整数解？ (1986年全国初中数学联赛题)解：化去绝对值符号，得12--x =±a, 2-x =1±a , x －2=±(1±a)，∴x=2±(1±a) .当a=1时，x 恰好是三个解4，2，0.用图象解答更直观；（1）先作函数 y=12--x 图象，（2）再作y=a(平行于横轴的直线 )与y=12--x 图象相交，恰好是三个交点时，y=1,即a=1.本题若改为：有四个解，则0<a<1；两个解，则 a=0 或a>1；一个解，则a 不存在；无解，则a<0.三、练习1. 方程3+x =4的解是＿＿＿＿＿＿＿.2. 方程6-2-+x x =0的解是________.3. 方程21-++x x =3的解是________.4. 方程x x +-3=5的解是＿＿＿＿＿＿＿.5. 不等式2≤3 -x ≤5的解集是___________________.6. 不等式21-++x x <5的解集是_______________________.7. 不等式21-++x x <3的解集是_______________________.8. 不等式11-2-<x x 的解集是_______________________.9. 已知=-2)3(x 3-x, 那么 =+-x x 1_______________.10. 关于x 的方程x =ax+2有根且只有负根，求a 取值范围.11. a 取什么值时，方程a x =--12无解？有解？有最多解？12. 作函数y=312-+-++x x x 的图象；并求在－3≤x ≤3中函数的最大、最小值.13. 解方程451=-+-x x .14. 作函数y=12+-x x 的图象.15. 选择题：①.对于实数x ，不等式1≤｜x －2｜≤7等价于（ ）（A ） x ≤1或x ≥3 （B ）1≤x ≤3 （C ）－5≤x ≤0（D ）－5≤x ≤1或3≤x ≤9 （E ）－6≤x ≤1或3≤x ≤10②不等式｜x －1｜+｜x+2｜<5的所有的实数解的集合是（ ）（A ）{}23<<-x x ：(B) {}21<<-x x ： (C) {}12<<-x x ： (D) {}5.35.1<<-x x ：(E) φ（空集）参考答案1. －7，1.2. .2. –2.3. 3. –1≤x ≤2.4. 4. –1，4.5. 5.－2≤x ≤0， 5≤x ≤86. –2<x<37.空集.28. 0<x<39.当x<1时，原式=1；当1≤x≤3时，原式=2x－1.10.仿例1.11.仿例512. 函数的最大值是11，最小值是5.13. 1≤x≤5.15.(D),(A).。
人教版七年级数学上册 竞赛练习：绝对值方程 专项训练(含答案)
12. x=11 提示:原方程可化为 5x+6=6x-5 或 5x+6=5-6x.分两种情况讨论.
13. y 39 或 3 x 10
25 5
7
14. 5 15. 提示:由绝对值的几何意义知:当-3＜a＜3 时,方程有一解;当 a=±3 时,方程有无穷多个解;当 a>3
或 a＜-3 时,方程无解. 16. 7 21 17. b≤x≤a 提示用绝对值得几何意义解
1 x 2 的 x 值都是方程的解. 2
21. 提示：由绝对值的几何意义知，当－2≤x≤1 且－1≤y≤5 时，
有 x 2 x 1 y 1 y 5 9 ，
故当 x= －2, y=－1 时,x+y 有最小值为－ 3; 当 X=1 时,y=5 时,x+y 有最大值为 6.
则 m ， n ， k 的大小关系是（ ）．
A． m n k
B． n k m
5. 方程 | x 5 | x 5 0 的解的个数为（
C． k m n
）．
D． m k n
A．不确定
B．无数个
C．2 个
D．3 个
6. 若关于 x 的方程 || x 2 | 1| a 有三个整数解，则 a 的值是（ ）．
故原方程的解是 x＝－5，－1，3．
24. 提 示 x 2 1 a (0<a<1), x 2 (1 a) , x=2±(1±a), 得 x₁=3+a ，
x₃=1+a, x₄=1-a,故 x₁+ x₂+ x₃+ x₄=8
x₂=3-a,
综上可知 x＋y＋z 的值为 0 或－2．
七年级数学竞赛训练题(绝对值)
七年级数学竞赛题之二---绝对值知识点：1.去绝对值的符号法则：a =⎪⎩⎪⎨⎧-=)0()0(0)0( a a a a a2.绝对值的基本性质:（1）非负性质：a ≥0 ，b a ab =，ba b a =（b ≠0）, a 2=22a a =,b a b a +≤+, b a b a b a +≤-≤- 3.绝对值的几何意义 从数轴上看，a 表示数a 的点到原点的距离（长度，非负）；b a -表示数a 和数b 两点间的距离。
练习1.若一个数的绝对值为4，则这个数是 。
2.已知︱a-2︱+︱b-3︱=0,则a= ,b= .3.若a 与b 互为相反数，则100a+100b=( )A.0B.1C.2D.34.绝对值和相反数都等于本身的数是 。
5.若a 是有理数，则︱a ︱一定是（ ）A.正数B.非正数C. 负数D. 非负数6.下列说法正确的是（ ）A.-︱a ︱一定是负数B.若︱a ︱=︱b ︱，则a 与b 互为相反数C.只有两个数相等时它们的绝对值才相等D.若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数7.若︱2a ︱=-2a,则a 一定是（ ）A.正数B.负数C. 非正数D. 非负数8.（第16届“希望杯”邀请赛“）如果∣a ∣=3,∣b ∣=5,那么a= ,b= , ∣a+b ∣-∣a-b ∣的绝对值等于 .9.已知∣x ∣=5,∣y ∣=1,那么∣∣x-y ∣-∣x+y ∣∣= .10.数轴上有A 、B 两点，如果点A 对应的数是-2，且A,B 两点的距离为3，那么 点B 对应的数是 。
11.在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则a-3= .12.已知a 、b 为有理数，且a ＞0,b ＜0,a+b ＜0,将四个数a,b,-a,-b 按小到大的顺序排列是 。
13.有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图，化简b c b a --+的结果为（ ）A.aB.-a-2b+cC.a+2b-cD.-a-c14.在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下面四个结论：①abc ＜0 ②c a c b b a -=-+- ③(a-b)(b-c)(c-a)＞0④a ＜1-bc.其中，正确的结论有（ ）个 A.4 B.3 C.2 D.114.计算：214131412131---+-= 。
七年级绝对值培优练习经典题26道，含答案
七年级绝对值培优练习经典题26道，含答案
七年级绝对值培优练习经典题
下年是七年级的绝对值培优教材内容，前8道是例题，后面18道是练习，同学们可以下载打印作一下
例1考察绝对值的非负性，求出a,b的值代入计算即可
例2不懂可以关注亘晨数学的视频，有一个视频专门讲这类题的
例3根据a,b,c为整数，可以推出有两个数相等且有两个数是相邻自然数
例4考察绝对值的几何意义
例5去掉绝对值大部分项可以抵消
例6按照绝对值的定义去绝对值化简即可
例7可以用字母来代替动点
下面是18道培优练习
【培优例题】答案
1题：2917/2018；2题：-1，1；2，0，-1；3，-1；3题：2；4题：（1）3，5，-2，5；（2）7，（3）6，（4）9；5题：0；6题：1-2c+b;7题：（1）5，（2）2.5；8题：1990.
【培优练习答案】
1题：5，-5；3，-3；2题：10，-10；3题：1；4题：2；5题：-2，-8；6题：-1008；
7题：-1；8题：大于等于；9题：C；10题：0，2; 11题：4；12题：2；13题：（1）2，（2）25；14题：0；15题：4，0，-4；16题：（1）1，（2）3.5，-1.5，（3）4/15，2/23；17题：（1）3，3，4（2）|-1-x|, -3,1, -1小于等于x小于等于2; 18题：b+c。
专题2 绝对值-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练(解析版)
专题2 绝对值一、绝对值的化简【学霸笔记】1.一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，关系如下：；2.绝对值可以与数轴结合起来，可用于表示距离，如a a与数b间的距离；3.绝对值的性质【典例】若a+b+c＝0，则|a|a +|b|b+|c|c+|ab|ab+|ac|ac+|bc|bc+|abc|abc的值为（ ）A．﹣7B．﹣1C．1D．7【解答】解：∵a+b+c＝0，∴a，b，c中两正一负或一正两负，假设a＞0，b＞0，c＜0，原式＝1+1﹣1+1﹣1﹣1﹣1＝﹣1，其他情况同理值为﹣1；假设a＞0，b＜0，c＜0，原式＝1﹣1﹣1﹣1﹣1+1+1＝﹣1，其他情况同理值为﹣1，故选：B．【巩固】数形结合是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，当a在数轴上位于原点的右侧时，|a|＝a；当a在数轴上位于原点时，|a|＝0；当a在数轴上位于原点的左侧时，|a|＝﹣a．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题．（1）当a＝1时，求|a|a = ，当b＝﹣2时，求|b|b= ．（2）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求|a|a +|b|b+|c|c的值．（3）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，化简：|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|．【解答】解：（1）当a＝1时，|a|a =|1|1=1，当b＝﹣2时，|b|b=|2|2=―1．故答案为1，﹣1；（2）根据a，b，c三个数在数轴上的位置可知，b＜c＜0＜a，∴|a|a +|b|b+|c|c=aa+bb+cc=1―1―1=―1．（3）根据a，b，c三个数在数轴上的位置可知，b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|，∴|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|＝a+c+（﹣c）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣b）＝a+c﹣c﹣a﹣b﹣c+b＝﹣c．二、绝对值的非负性【学霸笔记】不小于0的数（或大于等于0的数）称为非负数，具有以下性质：（1）非负数具有最小值0；（2）若几个非负数的和为0，那么每个非负数均为0；（3）任何数的绝对值都大于等于0，即任何数的绝对值都是非负数.【典例】有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：（1）abc＜0（2）|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|（3）（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0（4）|a|＜1﹣bc其中正确的命题有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：由图可知c＜﹣1＜0，0＜a＜b＜1，（1）命题abc＜0正确；（2）在命题中a﹣b＜0，b﹣c＞0，所以|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣（a﹣b）+（b﹣c）＝2b﹣a﹣c．又因为a﹣c＞0，所以|a﹣c|＝a﹣c．左边≠右边，故错误；（3）在该命题中，因为a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，所以（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故正确；（4）在命题中，|a|＜1，bc＜0，∴1﹣bc＞1，所以|a|＜1﹣bc，故该命题正确．所以正确的有命题①③④这三个．故选：B．【巩固】如果有理数a，b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求：1ab +1(a1)(b1)+1(a2)(b2)+⋯+1(a2022)(b2022)的值为 ．【解答】解：∵|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，∴ab﹣2＝0，1﹣b＝0，解得b＝1，a＝2，∴原式=11×2+12×3+13×4+⋯+12023×2024＝1―12+12―13+13―14+⋯+12023―12024＝1―12024=20232024．故答案为：20232024．三、绝对值的最值【学霸笔记】1.a与数b两点间的距离；2.nn的值最小.【典例】阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．理解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是 ；（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是 ；（3）当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是 ；（4）当x在何范围，|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|有最大值，并写出它的最大值．【解答】解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是2﹣（﹣3）＝5．故答案为：5；（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是|x+5|．故答案为：|x+5|；（3）在数轴上，|x﹣1|+|x+3|表示数轴上x和1的两点之间与x和﹣3的两点之间距离和，当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣3≤x≤1，最小值是4．故答案为：﹣3≤x≤1，4；（4）∵|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|表示x到1的距离与x到2的距离的差与x到3的距离与x到4的距离的差的和，∴x≥4时有最大值1+1＝2．【巩固】已知数轴上表示数a的A与表示数b的点B之间的距离|AB|＝|a﹣b|．（1）当x＝ 时，|x﹣3|有最小值，这个最小值是 ．（2）当x＝ 时，5﹣|x﹣2|有最大值，这个最大值是 ．（3）当整数x＝ 时，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，这个值是 ．（4）当整数x＝ 时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣5|有最小值，这个值是 ．（5）|x﹣1|﹣|x﹣5|有最大值，这个值是 ；|x﹣1|﹣|x﹣5|有最小值，这个最小值是 ；（6）已知|x﹣2|+|x﹣4|+|y﹣1|﹣|y﹣2|＝1，则（x+y）有最 值（填“大”，“小”），这个值是 ．【解答】解：（1）∵|x﹣3|≥0，∴当x＝3时，|x﹣3|＝0为最小值，故答案为：3，0；（2）∵|x﹣2|≥0，∴当x＝2时，|x﹣2|有最小值，故5﹣|x﹣2|有最大值为5，故答案为2，5；（3）∵|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上表示x的数到3和6的距离和，∴当整数x＝3或4或5或6时，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值为3，故答案为：3或4或5或6，3；（4）∵|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣5|表示数轴上表示x的数到1和2以及5的距离和，∴当整数x＝2时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣5|有最小值为4，故答案为：2，4；（5）当x＞5时，|x﹣1|﹣|x﹣5|＝x﹣1﹣（x﹣5）＝4，当1≤x≤5时，|x﹣1|﹣|x﹣5|＝x﹣1﹣（5﹣x）＝2x﹣6，∴﹣4≤2x﹣6≤4，当x＜1时，|x﹣1|﹣|x﹣5|＝1﹣x﹣（5﹣x）＝﹣4，∴|x﹣1|﹣|x﹣5|有最大值为4，最小值为﹣4，故答案为：4，﹣4；（6）∵|x﹣2|+|x﹣4|+|y﹣1|﹣|y﹣2|＝1，∴2≤x≤4，y≤1，∴x+y≤5，∴x+y有最大值为5，故答案为：大，5．巩固练习1．设x是有理数，y＝|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（ ）A ．y 没有最小值B ．只有一个x 的值使y 取最小值C ．有有限个（不止一个）x 的值使y 取最小值D ．有无数多个x 的值使y 取最小值【解答】解：由题意得：当x ＜﹣1时，y ＝﹣x +1﹣1﹣x ＝﹣2x ；当﹣1≤x ≤1时，y ＝﹣x +1+1+x ＝2；当x ＞1时，y ＝x ﹣1+1+x ＝2x ；故由上得当﹣1≤x ≤1时，y 有最小值为2；故选：D ．2．已知整数a 1、a 2、a 3、a 4，…满足下列条件：a 1＝0，a 2＝﹣|a 1+1|，a 3＝﹣|a 2+2|，a 4＝﹣|a 3+3|…，以此类推，则a 2022的值为（ ）A ．﹣2021B ．﹣1010C ．﹣1011D ．﹣1009【解答】解：a 1＝0，a 2＝﹣|a 1+1|＝﹣1，a 3＝﹣|a 2+2|＝﹣1，a 4＝﹣|a 3+3|＝﹣2，a 5＝﹣|a 4+4|＝﹣2，a 6＝﹣|a 5+5|＝﹣3，a 7＝﹣|a 6+6|＝﹣3，…∴当n 为偶数时，a n =―n2，当n 为奇数时，a n =―n 12，∴a 2022=―20222=―1011，故选：C ．3．如果对于某一特定范围内的任意允许值，p ＝|1﹣2x |+|1﹣3x |+…+|1﹣9x |+|1﹣10x |的值恒为一常数，则此值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：∵P 为定值，∴P 的表达式化简后x 的系数为0；由于2+3+4+5+6+7＝8+9+10；∴x 的取值范围是：1﹣7x ＞0且1﹣8x ＜0，即18＜x ＜17；所以P ＝（1﹣2x ）+（1﹣3x ）+…+（1﹣7x ）﹣（1﹣8x ）﹣（1﹣9x ）﹣（1﹣10x ）＝6﹣3＝3．故选：B ．4．设有理数a 、b 、c 满足a ＞b ＞c （ac ＜0），且|c |＜|b |＜|a |，则|x ―a b2|+|x ―b c2|+|x +a c2|的最小值是（ ）A．a c2B．a b2c2C．2a b c2D．2a b c2【解答】解：∵ac＜0，∴a，c异号，∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，又∵|c|＜|b|＜|a|，∴﹣a＜﹣b＜c＜0＜﹣c＜b＜a，又∵|x―x x+a c2|表示到a b2，b c2，―a c2三点的距离的和，当x在b c2时距离最小，即|x―a b2|+|x―b c2|+|x+a c2|最小，最小值是a b2与―a c2之间的距离，即2a b c2．故选：C．5．若有理数m，n，p满足|m|m +|n|n+|p|p=1，则2mnp|3mnp|= ．【解答】解：有理数m，n，p满足|m|m +|n|n+|p|p=1，所以m、n、p≠0；根据绝对值的性质：①当m＞0，n＞0，p＜0时，原式＝1+1﹣1＝1，则2mnp|3mnp|=―23；②当m＞0，n＜0，p＞0时，原式＝1﹣1+1＝1，则2mnp|3mnp|=―23；③当m＜0，n＞0，p＞0时，原式＝﹣1+1+1＝1，则2mnp|3mnp|=―23；故答案为―236．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，则x+y的最小值为 ，最大值为 ．【解答】解：|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，∴|x+2|+|1﹣x|+|y﹣5|+|1+y|＝9，当x≥1，y≥5时，x+2+x﹣1+y﹣5+y+1＝9，2x+2y＝12，x+y＝6，当﹣2≤x＜1，﹣1≤y＜5时，x+2+1﹣x+5﹣y+y+1＝9，但﹣3≤x+y＜6，当x＜﹣2，y＜﹣1时，﹣x﹣2+1﹣x+5﹣y﹣1﹣y＝9，﹣2x﹣2y＝6，x+y＝﹣3，故x+y最小值为﹣3，最大值为6．故答案为：﹣3，6．7．有理数a、b、c均不为0，且a+b+c＝0，设x=|a|b c +|b|c a+|c|a b，则代数式x2021+2021x﹣2021的值为 ．【解答】解：∵有理数a、b、c均不为0，且a+b+c＝0，∴a，b，c中不能同为正数或同为负数，①三个数中两个正数一个负数，设a＞0，b＞0，c＜0，∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，c+a＝﹣b．a+b＝﹣c．∴x=|a|a +|b|b+|c|c=―1﹣1+1＝﹣1；②三个数中两个负数一个正数，设a＞0，b＜0，c＜0，∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，c+a＝﹣b．a+b＝﹣c．∴x=|a|a +|b|b+|c|c=―1+1+1＝1．当x＝﹣1时，原式＝（﹣1）2021+2021×（﹣1）﹣2021＝﹣1﹣2021﹣2021＝﹣4043；当x＝1时，原式＝12021+2021×1﹣2021＝1+2021﹣2021＝1．综上，代数式x2021+2021x﹣2021的值为1或﹣4043．故答案为：1或﹣4043．8．设abcd是一个四位数，a、b、c、d是阿拉伯数字，且a≤b≤c≤d，则式子|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的最大值是 ．【解答】解：若使|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的值最大，则最低位数字最大d＝9，最高位数字最小a＝1即可，同时为使式子|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|最大，则c应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故c＝1，此时b只能为1，所以此数为1119，|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的最大值＝0+0+8+8＝16．故答案为：16．9．如果a，b，c是非零有理数，求a|a|+b|b|+c|c|的值．【解答】解：对a，b，c的取值情况分类讨论如下：①当a，b，c都是正数时，a|a|+b|b|+c|c|=3；②当a，b，c都是负数时，a|a|=b|b|=c|c|=―1，所以和为﹣3；③当a ，b ，c 中有两个正数，一个负数时，a |a|、b |b|、c|c|中有两个1，一个﹣1，所以和为1．④当a ，b ，c 中有一个正数、两个负数时，a|a|、b|b|、c|c|中有两个﹣1，一个+1，所以和为﹣1．总之，a|a|+b|b|+c|c|=±1或±3．10．设x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6是六个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6，记S ＝|x 1﹣x 2|+|x 2﹣x 3|+|x 3﹣x 4|+|x 4﹣x 5|+|x 5﹣x 6|+|x 6﹣x 1|，求S 的最小值．【解答】解：S ＝|x 1﹣x 2|+|x 2﹣x 3|+|x 3﹣x 4|+|x 4﹣x 5|+|x 5﹣x 6|+|x 6﹣x 1|，S 最小值＝1+1+1+1+1+5＝10，则S 的最小值是10．11．已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：2|a +b |﹣3|a ﹣c |+2|c ﹣b |【解答】解：由有理数a 、b 、c 在数轴上的位置知：a ＜0＜b ＜c ，|a |＞|b |因为|a |＞|b |，a ＜0，b ＞0所以﹣a ＞b ，即﹣a ﹣b ＞0所以a +b ＜0因为a ＜0＜b ＜c 所以a ﹣c ＜0，c ﹣b ＞0．所以2|a +b |﹣3|a ﹣c |+2|c ﹣b |＝2×（﹣a ﹣b ）﹣3（c ﹣a ）+2（c ﹣b ）＝﹣2a ﹣2b ﹣3c +3a +2c ﹣2b ＝a ﹣4b ﹣c12．有一正整数列1，2，3，…，2n ﹣1、2n ，现从中挑出n 个数，从大到小排列依次为a 1，a 2，…，a n ，另n 个数从小到大排列依次为b 1，b 2，…，b n ．求|a 1﹣b 1|+|a 2﹣b 2|+…+|a n ﹣b n |之所有可能的值．【解答】解：令n +1、n +2、n +3、…、2n 为大数，1、2、3、…、n 为小数．设a i 中必也有n ﹣k 个小数，则b i 中必有n ﹣k 个大数，k 个小数，其中i ＝1，2，3，n ，0≤k ≤n ，k ∈Z令：a 1，a 2，…，a k ，b k +1，b k +2，…，b n 为大数，b 1，b 2，…，b k ，a k +1，a k +2，…，a n 为小数．故|a 1﹣b 1|+|a 2﹣b 2|+…+|a n ﹣b n |＝|a 1﹣b 1|+|a 2﹣b 2|+…+|a k ﹣b k |+|a k +1﹣b k +1|+|a k +2﹣b k +2|+…+|a n ﹣b n |＝（a 1﹣b 1）+（a 2﹣b 2）+…+（a k ﹣b k ）+（b k +1﹣a k +1）+（b k +2﹣a k +2）+…+（b n ﹣a n ）＝（（n +1）+（n +2）+…+（2n ））﹣（1+2+3+…+n ）＝n 2．。
七上绝对值培优专题
七上绝对值培优专题七年级数学培优专题讲解 绝对值培优一、 绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成：()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数 二、 典型例题例1．已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - |b-c | 的值等于（ ）A ．-3aB ． 2c －aC ．2a －2bD ． b 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且xz y >>， 那么yx z y z x --+++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；例3．已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例4．方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个 例5．已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值：()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ .（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为―1，则A与B两点间的距离可以表示为________________.（3）结合数轴求得23-++的最小值为，取得最小值时xx x的取值范围为___.（4）满足3+x4+x的x的取值范围为______ .+1>（5）若1232008-+-+-++-的值为常数，试求x的取值范围．x x x x例7.若24513+-+-的值是一个定值，求a的取值范围.a a a例8.已知112++-=，化简421xx x-+-．例9.若245134x x x+-+-+的值恒为常数，则x应满足怎样的条件？此常数的值为多少？练习题1.如果有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求a b a c b c++--+的值.2.已知2x≤，求32--+的最大值与最小值．x x3.若0abc<，求a b c+-的值a b c4.有理数a ，b ，c ，d 满足1abcdabcd=-，求a b c da b c d+++的值．5.试求123...2005x x x x -+-+-++-的最小值6. 已知式子：431744+---+-x x x 的值恒为一个常数，求x 的取值范围。
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专题2 绝对值一、绝对值的化简【学霸笔记】1. 一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，关系如下：；2. 绝对值可以与数轴结合起来，表示数a a与数b间的距离；3. 绝对值的性质；②；③【典例】若a+b+c＝0，则|a|a +|b|b+|c|c+|ab|ab+|ac|ac+|bc|bc+|abc|abc的值为（）A．﹣7B．﹣1C．1D．7【解答】解：∵a+b+c＝0，∴a，b，c中两正一负或一正两负，假设a＞0，b＞0，c＜0，原式＝1+1﹣1+1﹣1﹣1﹣1＝﹣1，其他情况同理值为﹣1；假设a＞0，b＜0，c＜0，原式＝1﹣1﹣1﹣1﹣1+1+1＝﹣1，其他情况同理值为﹣1，故选：B．【巩固】数形结合是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，当a在数轴上位于原点的右侧时，|a|＝a；当a在数轴上位于原点时，|a|＝0；当a在数轴上位于原点的左侧时，|a|＝﹣a．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题．（1）当a＝1时，求|a|a =，当b＝﹣2时，求|b|b=．（2）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求|a|a +|b|b+|c|c的值．（3）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，化简：|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|．二、绝对值的非负性【学霸笔记】不小于0的数（或大于等于0的数）称为非负数，具有以下性质：（1）非负数具有最小值0；（2）若几个非负数的和为0，那么每个非负数均为0；（3）任何数的绝对值都大于等于0，即任何数的绝对值都是非负数.【典例】有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：（1）abc＜0（2）|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|（3）（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0（4）|a|＜1﹣bc其中正确的命题有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：由图可知c＜﹣1＜0，0＜a＜b＜1，（1）命题abc＜0正确；（2）在命题中a﹣b＜0，b﹣c＞0，所以|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣（a﹣b）+（b﹣c）＝2b﹣a﹣c．又因为a﹣c＞0，所以|a﹣c|＝a﹣c．左边≠右边，故错误；（3）在该命题中，因为a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，所以（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故正确；（4）在命题中，|a|＜1，bc＜0，∴1﹣bc＞1，所以|a|＜1﹣bc，故该命题正确．所以正确的有命题①③④这三个．故选：B．【巩固】如果有理数a，b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求：1ab +1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2022)(b+2022)的值为．三、绝对值的最值【学霸笔记】1. a与数b两点间的距离；2. n为奇数，当的值最小；若n的值最小.【典例】阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．理解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是；（3）当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是；（4）当x在何范围，|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|有最大值，并写出它的最大值．【解答】解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是2﹣（﹣3）＝5．故答案为：5；（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是|x+5|．故答案为：|x+5|；（3）在数轴上，|x﹣1|+|x+3|表示数轴上x和1的两点之间与x和﹣3的两点之间距离和，当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣3≤x≤1，最小值是4．故答案为：﹣3≤x≤1，4；（4）∵|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|表示x到1的距离与x到2的距离的差与x到3的距离与x到4的距离的差的和，∴x≥4时有最大值1+1＝2．【巩固】已知数轴上表示数a的A与表示数b的点B之间的距离|AB|＝|a﹣b|．（1）当x＝时，|x﹣3|有最小值，这个最小值是．（2）当x＝时，5﹣|x﹣2|有最大值，这个最大值是．（3）当整数x＝时，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，这个值是．（4）当整数x＝时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣5|有最小值，这个值是．（5）|x﹣1|﹣|x﹣5|有最大值，这个值是；|x﹣1|﹣|x﹣5|有最小值，这个最小值是；（6）已知|x﹣2|+|x﹣4|+|y﹣1|﹣|y﹣2|＝1，则（x+y）有最值（填“大”，“小”），这个值是．巩固练习1．设x是有理数，y＝|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）A．y没有最小值B．只有一个x的值使y取最小值C．有有限个（不止一个）x的值使y取最小值D．有无数多个x的值使y取最小值2．已知整数a1、a2、a3、a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|…，以此类推，则a2022的值为（）A．﹣2021B．﹣1010C．﹣1011D．﹣10093．如果对于某一特定范围内的任意允许值，p＝|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒为一常数，则此值为（）A．2B．3C．4D．54．设有理数a、b、c满足a＞b＞c（ac＜0），且|c|＜|b|＜|a|，则|x−a+b2|+|x−b+c2|+|x+a+c2|的最小值是（）A．a−c2B．a+b+2c2C．2a+b+c2D．2a+b−c25．若有理数m，n，p满足|m|m +|n|n+|p|p=1，则2mnp|3mnp|=．6．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，则x+y的最小值为，最大值为．7．有理数a、b、c均不为0，且a+b+c＝0，设x=|a|b+c +|b|c+a+|c|a+b，则代数式x2021+2021x﹣2021的值为．8．设abcd是一个四位数，a、b、c、d是阿拉伯数字，且a≤b≤c≤d，则式子|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d ﹣a|的最大值是．9．如果a，b，c是非零有理数，求a|a|+b|b|+c|c|的值．10．设x1，x2，x3，x4，x5，x6是六个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6，记S＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|+|x5﹣x6|+|x6﹣x1|，求S的最小值．11．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：2|a+b|﹣3|a﹣c|+2|c﹣b|12．有一正整数列1，2，3，…，2n﹣1、2n，现从中挑出n个数，从大到小排列依次为a1，a2，…，a n，另n个数从小到大排列依次为b1，b2，…，b n．求|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a n﹣b n|之所有可能的值．专题2 绝对值一、绝对值的化简【学霸笔记】1. 一个正数的绝对值是它的本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，关系如下：；2. 绝对值可以与数轴结合起来，可用于表示距离，表示数a表示数a与数b间的距离；3. 绝对值的性质；②；③【典例】若a+b+c＝0，则|a|a +|b|b+|c|c+|ab|ab+|ac|ac+|bc|bc+|abc|abc的值为（）A．﹣7B．﹣1C．1D．7【解答】解：∵a+b+c＝0，∴a，b，c中两正一负或一正两负，假设a＞0，b＞0，c＜0，原式＝1+1﹣1+1﹣1﹣1﹣1＝﹣1，其他情况同理值为﹣1；假设a＞0，b＜0，c＜0，原式＝1﹣1﹣1﹣1﹣1+1+1＝﹣1，其他情况同理值为﹣1，故选：B．【巩固】数形结合是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，当a在数轴上位于原点的右侧时，|a|＝a；当a在数轴上位于原点时，|a|＝0；当a在数轴上位于原点的左侧时，|a|＝﹣a．当a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，试用这种方法解决下列问题．（1）当a＝1时，求|a|a =，当b＝﹣2时，求|b|b=．（2）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，求|a|a +|b|b+|c|c的值．（3）请根据a，b，c三个数在数轴上的位置，化简：|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|．【解答】解：（1）当a＝1时，|a|a =|1|1=1，当b＝﹣2时，|b|b=|−2|−2=−1．故答案为1，﹣1；（2）根据a，b，c三个数在数轴上的位置可知，b＜c＜0＜a，∴|a|a +|b|b+|c|c=aa+−bb+−cc=1−1−1=−1．（3）根据a，b，c三个数在数轴上的位置可知，b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|，∴|a+c|+|c|+|a+b|﹣|b﹣c|＝a+c+（﹣c）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣b）＝a+c﹣c﹣a﹣b﹣c+b＝﹣c．二、绝对值的非负性【学霸笔记】不小于0的数（或大于等于0的数）称为非负数，具有以下性质：（1）非负数具有最小值0；（2）若几个非负数的和为0，那么每个非负数均为0；（3）任何数的绝对值都大于等于0，即任何数的绝对值都是非负数.【典例】有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，给出下面四个命题：（1）abc＜0（2）|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|（3）（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0（4）|a|＜1﹣bc其中正确的命题有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：由图可知c＜﹣1＜0，0＜a＜b＜1，（1）命题abc＜0正确；（2）在命题中a﹣b＜0，b﹣c＞0，所以|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣（a﹣b）+（b﹣c）＝2b﹣a﹣c．又因为a﹣c＞0，所以|a﹣c|＝a﹣c．左边≠右边，故错误；（3）在该命题中，因为a﹣b＜0，b﹣c＞0，c﹣a＜0，所以（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故正确；（4）在命题中，|a|＜1，bc＜0，∴1﹣bc＞1，所以|a|＜1﹣bc，故该命题正确．所以正确的有命题①③④这三个．故选：B．【巩固】如果有理数a，b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，试求：1ab +1(a+1)(b+1)+1(a+2)(b+2)+⋯+1(a+2022)(b+2022)的值为．【解答】解：∵|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，∴ab﹣2＝0，1﹣b＝0，解得b＝1，a＝2，∴原式=11×2+12×3+13×4+⋯+12023×2024＝1−12+12−13+13−14+⋯+12023−12024＝1−12024=20232024．故答案为：20232024．三、绝对值的最值【学霸笔记】1. a与数b两点间的距离；2. n为奇数，当n的值最小.【典例】阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．理解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是；（3）当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是，最小值是；（4）当x在何范围，|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|有最大值，并写出它的最大值．【解答】解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是2﹣（﹣3）＝5．故答案为：5；（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是|x+5|．故答案为：|x+5|；（3）在数轴上，|x﹣1|+|x+3|表示数轴上x和1的两点之间与x和﹣3的两点之间距离和，当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣3≤x≤1，最小值是4．故答案为：﹣3≤x≤1，4；（4）∵|x﹣1|﹣|x﹣2|+|x﹣3|﹣|x﹣4|表示x到1的距离与x到2的距离的差与x到3的距离与x到4的距离的差的和，∴x≥4时有最大值1+1＝2．【巩固】已知数轴上表示数a的A与表示数b的点B之间的距离|AB|＝|a﹣b|．（1）当x＝时，|x﹣3|有最小值，这个最小值是．（2）当x＝时，5﹣|x﹣2|有最大值，这个最大值是．（3）当整数x＝时，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，这个值是．（4）当整数x＝时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣5|有最小值，这个值是．（5）|x﹣1|﹣|x﹣5|有最大值，这个值是；|x﹣1|﹣|x﹣5|有最小值，这个最小值是；（6）已知|x﹣2|+|x﹣4|+|y﹣1|﹣|y﹣2|＝1，则（x+y）有最值（填“大”，“小”），这个值是．【解答】解：（1）∵|x﹣3|≥0，∴当x＝3时，|x﹣3|＝0为最小值，故答案为：3，0；（2）∵|x﹣2|≥0，∴当x＝2时，|x﹣2|有最小值，故5﹣|x﹣2|有最大值为5，故答案为2，5；（3）∵|x﹣3|+|x﹣6|表示数轴上表示x的数到3和6的距离和，∴当整数x＝3或4或5或6时，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值为3，故答案为：3或4或5或6，3；（4）∵|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣5|表示数轴上表示x的数到1和2以及5的距离和，∴当整数x＝2时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣5|有最小值为4，故答案为：2，4；（5）当x＞5时，|x﹣1|﹣|x﹣5|＝x﹣1﹣（x﹣5）＝4，当1≤x≤5时，|x﹣1|﹣|x﹣5|＝x﹣1﹣（5﹣x）＝2x﹣6，∴﹣4≤2x﹣6≤4，当x＜1时，|x﹣1|﹣|x﹣5|＝1﹣x﹣（5﹣x）＝﹣4，∴|x﹣1|﹣|x﹣5|有最大值为4，最小值为﹣4，故答案为：4，﹣4；（6）∵|x﹣2|+|x﹣4|+|y﹣1|﹣|y﹣2|＝1，∴2≤x≤4，y≤1，∴x+y≤5，∴x+y有最大值为5，故答案为：大，5．巩固练习1．设x是有理数，y＝|x﹣1|+|x+1|，则下面四个结论中正确的是（）A．y没有最小值B．只有一个x的值使y取最小值C．有有限个（不止一个）x的值使y取最小值D．有无数多个x的值使y取最小值【解答】解：由题意得：当x＜﹣1时，y＝﹣x+1﹣1﹣x＝﹣2x；当﹣1≤x≤1时，y＝﹣x+1+1+x＝2；当x＞1时，y＝x﹣1+1+x＝2x；故由上得当﹣1≤x≤1时，y有最小值为2；故选：D．2．已知整数a1、a2、a3、a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|…，以此类推，则a2022的值为（）A．﹣2021B．﹣1010C．﹣1011D．﹣1009【解答】解：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣2，a5＝﹣|a4+4|＝﹣2，a6＝﹣|a5+5|＝﹣3，a7＝﹣|a6+6|＝﹣3，…∴当n为偶数时，a n=−n2，当n为奇数时，a n=−n−12，∴a2022=−20222=−1011，故选：C．3．如果对于某一特定范围内的任意允许值，p＝|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒为一常数，则此值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵P为定值，∴P的表达式化简后x的系数为0；由于2+3+4+5+6+7＝8+9+10；∴x的取值范围是：1﹣7x＞0且1﹣8x＜0，即18＜x＜17；所以P＝（1﹣2x）+（1﹣3x）+…+（1﹣7x）﹣（1﹣8x）﹣（1﹣9x）﹣（1﹣10x）＝6﹣3＝3．故选：B．4．设有理数a、b、c满足a＞b＞c（ac＜0），且|c|＜|b|＜|a|，则|x−a+b2|+|x−b+c2|+|x+a+c2|的最小值是（）A．a−c2B．a+b+2c2C．2a+b+c2D．2a+b−c2【解答】解：∵ac＜0，∴a，c异号，∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，又∵|c|＜|b|＜|a|，∴﹣a＜﹣b＜c＜0＜﹣c＜b＜a，又∵|x−a+b2|+|x−b+c2|+|x+a+c2|表示到a+b2，b+c2，−a+c2三点的距离的和，当x在b+c2时距离最小，即|x−a+b2|+|x−b+c2|+|x+a+c2|最小，最小值是a+b2与−a+c2之间的距离，即2a+b+c2．故选：C．5．若有理数m，n，p满足|m|m +|n|n+|p|p=1，则2mnp|3mnp|=．【解答】解：有理数m，n，p满足|m|m +|n|n+|p|p=1，所以m、n、p≠0；根据绝对值的性质：①当m＞0，n＞0，p＜0时，原式＝1+1﹣1＝1，则2mnp|3mnp|=−23；②当m＞0，n＜0，p＞0时，原式＝1﹣1+1＝1，则2mnp|3mnp|=−23；③当m＜0，n＞0，p＞0时，原式＝﹣1+1+1＝1，则2mnp|3mnp|=−23；故答案为−236．已知|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，则x+y的最小值为，最大值为．【解答】解：|x+2|+|1﹣x|＝9﹣|y﹣5|﹣|1+y|，∴|x+2|+|1﹣x|+|y﹣5|+|1+y|＝9，当x≥1，y≥5时，x+2+x﹣1+y﹣5+y+1＝9，2x+2y＝12，x+y＝6，当﹣2≤x＜1，﹣1≤y＜5时，x+2+1﹣x+5﹣y+y+1＝9，但﹣3≤x+y＜6，当x＜﹣2，y＜﹣1时，﹣x﹣2+1﹣x+5﹣y﹣1﹣y＝9，﹣2x﹣2y＝6，x+y＝﹣3，故x+y最小值为﹣3，最大值为6．故答案为：﹣3，6．7．有理数a、b、c均不为0，且a+b+c＝0，设x=|a|b+c +|b|c+a+|c|a+b，则代数式x2021+2021x﹣2021的值为．【解答】解：∵有理数a、b、c均不为0，且a+b+c＝0，∴a，b，c中不能同为正数或同为负数，①三个数中两个正数一个负数，设a＞0，b＞0，c＜0，∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，c+a＝﹣b．a+b＝﹣c．∴x=|a|−a +|b|−b+|c|−c=−1﹣1+1＝﹣1；②三个数中两个负数一个正数，设a＞0，b＜0，c＜0，∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，c+a＝﹣b．a+b＝﹣c．∴x=|a|−a +|b|−b+|c|−c=−1+1+1＝1．当x＝﹣1时，原式＝（﹣1）2021+2021×（﹣1）﹣2021＝﹣1﹣2021﹣2021＝﹣4043；当x＝1时，原式＝12021+2021×1﹣2021＝1+2021﹣2021＝1．综上，代数式x2021+2021x﹣2021的值为1或﹣4043．故答案为：1或﹣4043．8．设abcd是一个四位数，a、b、c、d是阿拉伯数字，且a≤b≤c≤d，则式子|a﹣b|+|b ﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的最大值是．【解答】解：若使|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的值最大，则最低位数字最大d＝9，最高位数字最小a＝1即可，同时为使式子|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|最大，则c应最小，且使低位上的数字不小于高位上的数字，故c＝1，此时b只能为1，所以此数为1119，|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|的最大值＝0+0+8+8＝16．故答案为：16．9．如果a，b，c是非零有理数，求a|a|+b|b|+c|c|的值．【解答】解：对a，b，c的取值情况分类讨论如下：①当a，b，c都是正数时，a|a|+b|b|+c|c|=3；②当a，b，c都是负数时，a|a|=b|b|=c|c|=−1，所以和为﹣3；③当a，b，c中有两个正数，一个负数时，a|a|、b|b|、c|c|中有两个1，一个﹣1，所以和为1．④当a，b，c中有一个正数、两个负数时，a|a|、b|b|、c|c|中有两个﹣1，一个+1，所以和为﹣1．总之，a|a|+b|b|+c|c|=±1或±3．10．设x1，x2，x3，x4，x5，x6是六个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6，记S＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|+|x5﹣x6|+|x6﹣x1|，求S的最小值．【解答】解：S＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|+|x5﹣x6|+|x6﹣x1|，S最小值＝1+1+1+1+1+5＝10，则S的最小值是10．11．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：2|a+b|﹣3|a﹣c|+2|c﹣b|【解答】解：由有理数a、b、c在数轴上的位置知：a＜0＜b＜c，|a|＞|b|因为|a|＞|b|，a＜0，b＞0所以﹣a＞b，即﹣a﹣b＞0所以a+b＜0因为a＜0＜b＜c所以a﹣c＜0，c﹣b＞0．所以2|a+b|﹣3|a﹣c|+2|c﹣b|＝2×（﹣a﹣b）﹣3（c﹣a）+2（c﹣b）＝﹣2a﹣2b﹣3c+3a+2c﹣2b＝a﹣4b﹣c12．有一正整数列1，2，3，…，2n﹣1、2n，现从中挑出n个数，从大到小排列依次为a1，a2，…，a n，另n个数从小到大排列依次为b1，b2，…，b n．求|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a n﹣b n|之所有可能的值．【解答】解：令n+1、n+2、n+3、…、2n为大数，1、2、3、…、n为小数．设a i中必也有n﹣k个小数，则b i中必有n﹣k个大数，k个小数，其中i＝1，2，3，n，0≤k≤n，k∈Z令：a1，a2，…，a k，b k+1，b k+2，…，b n为大数，b1，b2，…，b k，a k+1，a k+2，…，a n为小数．故|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a n﹣b n|＝|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…+|a k﹣b k|+|a k+1﹣b k+1|+|a k+2﹣b k+2|+…+|a n﹣b n|＝（a1﹣b1）+（a2﹣b2）+…+（a k﹣b k）+（b k+1﹣a k+1）+（b k+2﹣a k+2）+…+（b n﹣a n）＝（（n+1）+（n+2）+…+（2n））﹣（1+2+3+…+n）＝n2。