高考专题; 指数、对数及幂的大小比较问题

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幂、指、对数的大小比较-高考数学复习

B.a<c0,
lg5+lg9 2 lg45 2 lg49 2
又因为 lg 5lg 9<( 2 ) =( 2 ) <( 2 ) =lg27,所以 log75-log97<0,即
1
3
例 5(1)(2024·山西晋中模拟)设 a=2 ,b= ,c=3 ,则( A )
A.a<cm>p,故选 C.
5 2 25
5
=( ) = =6.25,p=logab=log2
2
4
2
a
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(2)(2024·云南昆明模拟)已知实数a,b,c满足ln(ln b)=a=ln c,则a,b,c的大小关
系为( C )
A.a>b>c
B.c>b>a
C.b>c>a
为( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<b<a
D.b<c<a

专题14 高考中的指对幂大小比较 (学生版)

专题14指、对、幂的大小比较1.常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）log log log a a a M N MN +=；log log log a a a M M N N-=；（3）()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>；（4）换底公式：log log log c a c bb a=；进而有两个推论：1log log a b b a=（令c b =）；log log m n a an N N m =；2.比较大小的基本思路：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况。

例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可；（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（“分割包围，各个击破”），也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较；（3）利用函数单调性比较大小；例：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）；总之：比较数式的大小，若同底，考虑指数函数（或对数函数）；若同指，则考虑幂函数，再利用函数的单调性比较大小；若不同底，也不同指，则其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决，或者利用中间量法。

指数函数对数函数幂函数比较大小

指数函数对数函数幂函数比较大小
1.指数函数比对数函数大：
指数函数 y=2^x （x 是正实数）增长速度非常快，因为它主要是在
增加底数，例如 2 的 x 次方在 x=10 时是 1024，而在 x=20 时是
1,048,576。

相反，对数函数 y=log2(x) 的增长速度非常缓慢，它只是寻
找 x 的幂次，使得给定底数 2 的该幂次等于 x。

因此，当 x 趋近于无
穷大时，指数函数比对数函数大得多。

2.幂函数与指数函数比对数函数大：
幂函数y=x^n（n是正整数）增长速度会随着n增大而变得非常快。

但是，它在不同的x值上增长的速度可能会有所不同。

相反，指数函数
y=b^x的增长速度只与指数的大小有关，而与底数b或x的值无关。

因此，在x趋近于无穷大时，指数函数比幂函数大。

综上所述，在大多数情况下，指数函数比对数函数和幂函数都要大。

高考数学选题压轴难题-指对幂比较大小6大题型

高考命题组常常在选择题或填空题中出现这类型的问题往往将幂函数指数函数对数函数三角函数等混在一起进行排序
高考数学选Байду номын сангаас压轴难题-指对幂比较大小6大题型
函数“比大小”是非常经典的题型，难度不小，方法无常，很受命题者的青睐。高考命题组，常常在选择题或填空题中出现这类型的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。这类问题的解法往往可以从代数和几何这方面加以探寻，即利用函数的性质与图像解答。

指数函数幂函数对数函数比较大小

指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。

在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。

通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。

1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。

指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。

指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。

在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。

2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。

幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。

当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。

幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。

3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。

对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。

对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。

对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。

指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。

在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。

指、对、幂的大小比较

指、对、幂的大小比较【考试提醒】指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．【核心题型】题型一　直接法比较大小利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“-1,0，12，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log 23，可知1=log 22<log 23<log 24=2，进而可估计log 23是一个1~2之间的小数，从而便于比较．命题点1　利用函数的性质1(2024·全国·模拟预测)已知a =30.6，b =log 25，c =log 323，则实数a ，b ，c 的大小关系是()A.b >a >cB.a >b >cC.b >c >aD.a >c >b【答案】A【分析】利用指数函数单调性可得32<a =30.6<2、对数函数的单调性可得b =log 25>2，c =log 323<32，从而可得结果.【详解】由y =3x 在R 上单调递增，可得30.6>30.5=3>32，又30.6 5=27<25=32，则32<a =30.6<2．由y =log 2x 在0,+∞ 上单调递增，可得b =log 25>log 24=2．由y =log 3x 在0,+∞ 上单调递增，可得c =log 323<log 333=32．所以b >a >c ，故选：A 【变式训练】1(2024·四川德阳·二模)已知a =4ln3π,b =3π,c =4lnπ3，则a ,b ,c 的大小关系是()A.c <b <aB.b <c <aC.b <a <cD.a 0,f (x )单调递增，当x ∈(e ,+∞)时，f (x )<0,f (x )单调递减，因为π>3>e ，所以f (π)<f (3)，即lnππ<ln33，所以3lnπ<πln3，即4×3lnπ<4πln3，即c <a ；又lnπ>ln e =1，所以3π<3×4<4×3lnπ，即b <c ；综上，b <c <a .故选：B .2(2023·甘肃平凉·模拟预测)已知幂函数f x =mx n 的图象过点2,22 ，设a =f m ,b =f n ,c =f ln2 ，则a 、b 、c 的大小用小于号连接为．【答案】c <a <b【分析】首先求出幂函数的解析式，再利用其单调性即可比较大小.【详解】幂函数f x =mx n 的图象过点2,22 ，则m =1m (2n )=22⇒m =1,n =3，所以幂函数的解析式为f x =x 3，且函数f x 为单调递增函数，又ln2<1<3，所以f (ln2)<f (1)<f (3)，即c <a 2，再利用导数探讨单调性比较大小作答.【详解】依题意，c =32+23=log 222+log 222，而a =log 23+log 32,b =log 2e +ln2，令函数f x =log 2x +log x 2=ln x ln2+ln2ln x ,x >2，求导得f(x )=1x ln2-ln2x (ln x )2=(ln x )2-(ln2)2(x ln2)(ln x )2>0，因此函数f (x )在(2,+∞)上单调递增，而2<e <22<3，于是f (e )<f (22)<f (3)，又a =f (3),b =f (e ),c =f (22)，所以b <c <a .故答案为：b ；c ；a 命题点2　找中间值1(2024·陕西西安·模拟预测)已知a =ln5，b =log 35，c =5-0.3，则()A.b <c <aB.c <a <bC.c b =log 35>1，c =5-0.3<1，所以c log 34>1，利用换底公式可判断a 1，进而得出结果.【详解】由题得a =log 53=1log 35,b =log 43=1log 34，而log 35>log 34>1，所以a 0.40=1，所以a 20=1，sin 32<1，log 213=-log 23<0.所以213最大.故选：B3(2024·北京石景山·一模)设a =20.3，b =sin π12，c =ln2，则()A.c 20=1，b =sin π12<sin π6=12，而e <2<e ，则12<ln2<1，即12<c <1，所以b <c <a .故选：B 命题点3　特殊值法1(2024·全国·模拟预测)若log a b >1，则下列不等式一定成立的是()A.a >b B.ab <a +b -1C.a +1b>b +1a D.a -1b1，分类讨论0<a <1和a >1可判断A ，B ；取特值可判断C ；根据y =x +1x的单调性可判断D .【详解】因为log a b >1，所以log a b >log a a ，当0<a <1时，解得01时，解得1<a 0，即ab >a +b -1，A ，B 错误.当a =2,b =3时，a +1bab >b 2B.若a cb D.若0<a 2ab【答案】AC【分析】对A 和C 利用不等式性质即可判断，对B 和D 举反例即可反驳.【详解】对A ，因为a ab ，两边同乘b 得ab >b 2，则a 2>ab >b 2，故A 正确；对B ，当c =0时，ac 2=bc 2，故B 错误；对C ，因为0<a 1b ，又因为c >0，所以c a >cb，故C 正确；对D ，举例a =2,b =8，则2a +b 2=2×2+82=8，而2ab =22×8=8，此时两者相等，故D 错误.故选：AC .2(多选)(2023·全国·模拟预测)下列说法正确的有()A.若0<a <1，则ln a +1ln a≤-2 B.若lg a <lg b ，则a 20D.若2a <2b a ,b ∈N * ，则a -b ≤-1【答案】ABD【分析】运用基本不等式，结合特例法、不等式的性质、指数函数的单调性逐一判断即可.【详解】选项A ：当0<a <1时，ln a <0,-ln a +1-ln a≥2，所以ln a +1ln a ≤-2，当且仅当ln a =1ln a ，即a =1e时等号成立，故选项A 正确；选项B ：由lg a <lg b 得0<a 0不成立，故选项C 错误；选项D ：由2a <2b 得a <b ，因为a ,b ∈N *，所以a +1≤b ，所以a -b ≤-1，故选项D 正确．故选：ABD .3(2024·上海静安·二模)在下列关于实数a 、b 的四个不等式中，恒成立的是．(请填入全部正确的序号)①a +b ≥2ab ；②a +b 22≥ab ；③|a |-|b |≤|a -b |；④a 2+b 2≥2b -1．【答案】②③④【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证|a |-|b |≤|a -b |即证2a b ≥2ab 可判断③.【详解】对于①，取a =-1,b =1，故①错误；对于②，a +b 2 2-ab =a 2+b 2+2ab -4ab 4=a 2+b 2-2ab 4=a -b 2 2≥0，故②正确；对于③，当a ≥b ，要证|a |-|b |≤|a -b |，即证a -b 2≤a -b 2，即a |2+ b |2-2a b ≤a 2+b 2-2ab ，即证2a b ≥2ab ，而2a b ≥2ab 恒成立，当a <b 时，a -b 0,a -b 0，所以|a |-|b |≤|a -b |，故③正确.对于④，a 2+b 2-2b +1=a 2+b -1 2≥0，所以a 2+b 2≥2b -1，故④正确.故答案为：②③④.题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．1(2024·天津·一模)已知a=30.3，b=log43，c=12-0.3，则a，b，c的大小关系为()A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b【答案】B【分析】由幂函数和对数函数的单调性即可得出答案.【详解】因为0=log41<b=log43<log44=1，c=12-0.3=20.3>1，a=30.3>1，因为y=x0.3在0,+∞上单调递增，所以20.3<30.3，所以b<c<a.故选：B【变式训练】1(2024·陕西西安·模拟预测)已知a=π-0.2,b=log3π,c=sin π5，则()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a【答案】C【分析】根据指数函数的性质判断a的范围，利用指数函数、幂函数以及正弦函数的单调性可比较a,c的大小关系，结合b的范围，即可判断出答案.【详解】由题意得a=π-0.2<π0=1，且a=π-0.2>4-0.2=2-0.4>2-0.5=22=sinπ4>sinπ5=c，又b=log3π>1，故c<a<b，故选：C2(2024·广东肇庆·模拟预测)已知a=1.013.2,b=0.523.2,c=log0.523.2，则() A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.b>a>c 【答案】A【分析】利用幂函数和对数函数的性质来判断即可.【详解】幂函数y=x3.2在0,+∞上单调递增，故a=1.013.2>0.523.2=b>0，又c=log0.523.2<log0.521=0，所以a>b>c.故选：A.3(2024·四川攀枝花·二模)若a=323,b=log3e,c=1e-13，则()A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a 【答案】A【分析】利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性比较大小即可.【详解】易知y =x 13在0,+∞ 上单调递增，则3 23=313>e 13=1e-13，即a >c ，而由y =a xa >1 单调递增，得313>30=1,e 13>e 0=1，即a >c >1，又y =log 3x 单调递增，故1=log 33>b =log 3e ,则a >c >1>b .故选：A题型三　构造函数比较大小某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．1(2024高三·全国·专题练习)若a =1.1,b =ln1110e ，c =e 0.1，则a ,b ,c 的大小关系为()A.b <a <cB.a 1时,m (x )=1x -1<0,m x 在1,+∞ 单调递减，当0<x <1时，m(x )>0,m x 在0,1 单调递增，故当m (x )≤m 1 =0，故ln x ≤x -1,当且仅当x =1时取等号，当x >0,n x =e x -1>0⇒x >0,n x 在0,+∞ 单调递增，当n x =e x -1<0⇒x <0,n x 在-∞,0 单调递减，所以n (x )≥n (0)=0，故e x ≥x +1，当且仅当x =0时取等号，所以b =ln 1110e =ln 1110+1<1.1，故b <a ．e 0.1>1.1，故a <c 因此b <a <c ，故选：A【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：(1)结合函数性质进行比较；(2)利用特殊值进行估计，再进行间接比较；(3)根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小【变式训练】1(2024·辽宁·二模)若a =1.01+sin0.01,b =1+ln1.01,c =e 0.01，则()A.b >c >aB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b【答案】B【分析】通过构造函数f (x )=1+x +sin x -e x ，利用导数与函数单调性间的关系，得到f (x )=1+x +sin x-e x 在区间0,12上单调递增，从而得出c <a ，构造函数G (x )=e x -ln (x +1)-1，利用导数与函数单调性间的关系，得到G (x )=e x -ln (x +1)-1在区间0,1 上单调递增，从而得出b <c ，即可得出结果.【详解】令f (x )=1+x +sin x -e x ，则f (x )=1+cos x -e x ，令h (x )=1+cos x -e x ，则h (x )=-sin x -e x <0在区间0,12上恒成立，即f(x )在区间0,12 上单调递减，又f 12 =1+cos 12-e 12>1+cos π6-e 12=1+32-e 12，而1+32 2=1+34+3>e ，所以f 12 =1+32-e 12>0，即f (x )=1+x +sin x -e x 在区间0,12上单调递增，所以f (0)<f (0.01)，得到0<1.01+sin0.01-e 0.01，即e 0.01<1.01+sin0.01，所以c <a ，令G (x )=e x -ln (x +1)-1，则G (x )=e x -1x +1，当x ∈(0,1)时，G (x )>0，即G (x )=e x -ln (x +1)-1在区间0,1 上单调递增，所以G (0)<G (0.01)，得到0<e 0.01-ln1.01-1，即1+ln1.01<e 0.01，所以b <c ，综上所述，b <c <a ，故选：B .【点睛】关键点点晴：通过构造函数f (x )=1+x +sin x -e x 和G (x )=e x -ln (x +1)-1，将问题转化成比较函数值的大小，再利用导数与函数单调性间的关系，即可解决问题.2(2023·辽宁·模拟预测)已知a =1e1e,b =ln22 ln22,c =ln33ln33，试比较a ,b ,c 的大小关系()A.a 0 ⇒fx =1-ln x x 2，当x >e 时，f x <0，f x 单调递减，所以有f e >f 3 >f 4 ，因为1e =ln e e ,ln22=2ln24=ln44，所以1e >ln33>ln44，设g x =x x (x >0)⇒ln g x =x ln x ，设y =x ln x ⇒y =ln x +1，当0<x <1e 时，y <0，函数y =x ln x 单调递减，因为1e >ln33>ln44>0，所以ln g 1e <ln g ln33 <ln g ln44，因为函数y =ln x 是正实数集上的增函数，故g 1e <g ln33 <g ln44，即1e 1e <ln33 ln33<ln44 ln44=ln22 ln22，所以a <c <b ，故选：C【点睛】关键点睛：根据所给指数的底数和指数的形式，构造函数，利用导数的性质是解题的关键3(2023·湖南·模拟预测)设a =52-ln5 e2，b =1e ，c =ln44，则a ，b ，c 的大小顺序为()A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c 【答案】A【分析】根据a、b、c的结构，构造函数f x =ln xx，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，从而可得到正确答案．【详解】因为a=5(2-ln5)e2=ln e25e25，b=1e=ln ee，c=ln44故构造函数f x =ln xx，则fx =1-ln xx2，令f x =1-ln xx2=0，解得x=e，当x∈0，e时，f x >0，f x 在0，e上单调递增，当x∈e，+∞时，f x <0，f x 在e，+∞上单调递减，又因为a=fe25，b=f e ，c=f4所以a<b，c<b．因为c=f4 =ln44=ln22=f2 ，又e25<2<e，所以fe25<f2 ，即c>a，故a<c<b，故选：A．【课后强化】基础保分练一、单选题1(2024·天津·二模)若a=log131.9，b=log215.8，c=22.01，则a，b，c的大小关系为()A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法求解即可.【详解】a=log131.9<log131=0，0=log21<b=log215.8<log216=4，c=22.01>22=4，所以c>b>a.故选：B.2(2024·北京顺义·二模)已知a=log42，b=12e，c=π12，则()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b 【答案】D【分析】利用换底公式计算a，利用指数函数单调性判断b，c即可得答案.【详解】因为a=log42=log22log24=12，b=12e<12 2=14，c=π12>π0=1，所以c>a>b.故选：D3(2024·全国·模拟预测)若a =2π2，b =π2 2，c =log π2cos π5，则()A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.b >c >a【答案】A【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性比较大小．【详解】由0<cos π5<1，则c =log π2cos π5<0，又a =2π2>232=2 3=22>2.828，且0b >c ．故选：A ．4(2024·全国·模拟预测)若a =log 83,b =0.132,c =ln cos 22023 ，则下列大小关系正确的是()A.b <a <cB.c <a <bC.a <b <cD.c <b <a【答案】D【分析】利用指数函数，对数函数及幂函数的单调性可比较a 与1和12，b 与0和12的大小，后利用0<cos 22023<1结合对数函数单调性，可比较c 与0的大小，即可得答案.【详解】因对数函数y =log 8x 在0,+∞ 上单调递增，则log 88=12<log 83<log 88=1，即12<a <1．因指数函数y =110x 在R 上单调递减，幂函数y =x 13在R 上单调递增，则0<0.132=110 32<110 13<18 13=12，即0bB.a -12>b-12C.log 1ea <log 1ebD.e 1a>e1b【答案】AC【分析】利用导数证明sin x <x ,x >0，利用不等式的性质，结合函数y =x +ln x 的单调性可得b <a ，再逐项判断即可得解.【详解】令函数f (x )=x -sin x ,x >0，求导得f x =1-cos x ≥0，函数f (x )在(0,+∞)上递增，f (x )>f (0)=0，即当x >0时，sin x <x ，则当a >0时，sin a <a ，于是b +ln b =sin a +ln a <a +ln a ，而函数y =x +ln x 在(0,+∞)上递增，因此a >b >0，对于A ，2a >a >b ，A 正确；对于B ，函数y =x-12在(0,+∞)上递减，则a -120，b>0，且a+b=2，则()A.a2+b2≥2B.14<2a-b<4 C.log2a+log2b≥0 D.a2-b>0【答案】AB【分析】根据基本不等式可判定A，根据指数函数的单调性可判定B，根据基本不等式、对数运算及对数函数单调性可判断C，根据二次函数的性质可判断D.【详解】∵a>0，b>0，且a+b=2，∴a2+b2≥a+b22=2，当且仅当a=b=1时取等号，故A正确.∵a>0，b>0，且a+b=2，∴0<a<2，0<b<2，∴-2<a-b<2，∴14<2a-b<4，故B正确.由2=a+b≥2ab，得0<ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号，∴log2a+log2b=log2ab≤log21=0，故C错误.∵a2-b=a2-2-a=a+1 22-94，又0<a<2，∴-2<a2-b<4，故D错误.故选：AB.三、填空题7(2023·吉林长春·模拟预测)已知a=log3322，b=22-33，c=ln1e，则a，b，c的大小关系为．【答案】c<a<b【分析】由对数函数及指数函数单调性得到a∈0,1，b>1，c=-12，从而得到大小关系.【详解】因为y=log33x在0,+∞上单调递减，1>22>33，故a=log3322<log3333=1且a=log3322>log331=0，所以a∈0,1，因为y=22x在R上单调递减，-33<0，所以b=22-33>22 0=1，c=ln1e=ln e-12=-12，故c<a<b.故答案为：c<a<b8(2023·全国·模拟预测)已知a=ln3，b=log113，现有如下说法：①a<2b；②a+b>3ab；③b-a<-ab.则正确的说法有.(横线上填写正确命题的序号)【答案】②③【分析】根据对数的运算法则及对数函数的性质判断即可.【详解】因为a=ln3>0，b=log113>0，所以a=ln3=log e3，2b=2log113=log113<log e3=a，所以a>2b，故①错误；1 a +1b=log3e+log311=log311e>log327=3，所以a+b>3ab，故②正确；1a -1b=log 3e -log 311=log 3e 11<log 313=-1，所以b -a <-ab ，故③正确.故答案为：②③四、解答题9(22-23高三·全国·对口高考)(1)比较a a b b 与b a a b (a >0,b >0)的大小；(2)已知a >2，比较log (a -1)a 与log a (a +1)大小【答案】(1)a a b b ≥b a a b ；(2)log (a -1)a >log a (a +1)【分析】(1)利用作商法，分类讨论即可；(2)利用做差法、换底公式以及不等式的性质分析即可.【详解】(1)因为a >0,b >0，所以a a b b b a ab =a b a -b，所以①当a =b >0时，a a b b b a ab =a b a -b=1，所以a a b b =b a a b ，②当a >b >0时，ab>1,a -b >0，即a ba -b>1，所以a a b b >b a a b ，③当b >a >0时，0<ab<1,a -b <0，即a ba -b>1，所以a a b b >b a a b ，综上所述：当a >0,b >0，a a b b ≥b a a b .(2)log (a -1)a -log a (a +1)=lg alg a -1-lg a +1 lg a =lg 2a -lg a +1 lg a -1 lg a lg a -1 ，因为a >2，所以lg a +1 >0,lg a -1 >0,lg a >0，所以lg a lg a -1 >0，由lg a +1 lg a -1 <lg a -1 +lg a +1 22=lg a 2-1 22<lg a 222=lg 2a ，所以lg 2a -lg a +1 lg a -1 >0，所以lg 2a -lg a +1 lg a -1 lg a lg a -1 >0，即log (a -1)a -log a (a +1)>0，故log (a -1)a >log a (a +1).10(2020高三·上海·专题练习)设a >5-12，且a ≠1，记x =log a 2 ,y =log a +12,z =log a +22，试比较x ,y ,z 的大小.【答案】x>y>z【分析】根据对数函数的性质，由1<5+12<a+1<a+2，先得到log a+12>log a+22；再分别讨论5-12<a<1，a>1两种情况，得到x>y，即可得出结果.【详解】因为a>5-12，所以1<5+12<a+1<a+2，根据对数函数的性质可得：log a+12>log a+22，即y>z；又a≠1，当5-12<a<1时，1a<25-1=5+12，所以x=log a2=-log a2=log1a 2>log5+122>log a+12，即x>y，因此x>y>z；当a>1时，由a<a+1，得x=log a2=log a2>log a+12，即x>y，因此x>y>z；综上，x>y>z.【点睛】本题主要考查比较对数式的大小，熟记对数函数的性质即可，属于常考题型.综合提升练一、单选题1(2024·天津河东·一模)设a=23,b=log23,c=log33，则a,b,c的大小关系为()A.b<c<aB.b<a<cC.c<b<aD.a<b<c【答案】A【分析】根据对数的单调性以及指数的单调性即可利用中间值求解.【详解】a=23>21=2,b=log23<log24=2,c=log33=2，故b<c<a,故选：A2(2024·河南·模拟预测)设a=log32,b=log333,c=log222,d=20.49，则()A.a<b=c<dB.d<c=b<aC.a<d<b=cD.c<a<d<b【答案】C【分析】根据指数幂与对数的运算性质，分别求得a,b,c,d的取值范围，即可求解.【详解】由a=log32<log33=1,b=log333=32,c=log222=32,1=20<d<20.5=2，即1<d<2<32，所以a<d<b=c．故选：C．3(2024·陕西安康·模拟预测)若a=11232,b=ln20232024,c=log2738，则()A.b<c<aB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a 【答案】C【分析】根据对数运算以及对数函数单调性可得c>16,b<0，结合分数指数幂运算分析可得0<a<c，即可得结果.【详解】因为c=log2738=13log32>13log33=16>0，a=11232=112 3=1243>0，因为16>1243>0，可知c>a>0，又因为b=ln 20232024<ln1=0，所以b<a<c.故选：C.4(2024·四川·模拟预测)已知a=ln 32,b=13,c=e-2，则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a 【答案】A【分析】利用当x>0时，ln x≤x-1判断a>b，通过函数y=1x在是减函数判断b>c.【详解】当x>0时，设f x =ln x-x+1，则f x =1x-1，当0<x<1时，f x >0，f x 单调递增，当x>1时，f x <0，f x 单调递减，所以f x ≤f1 =0，也就是说当x>0时，ln x≤x-1，用1x代替x，可得ln1x≤1x-1，即ln x≥1-1x，所以ln 32>1-23=13，即a>b．又知13>1e2=e-2，所以b>c，所以a>b>c．故选：A5(2023·天津河北·一模)若a=37-38,b=log1737,c=log1838，则a,b,c的大小关系为()A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a 【答案】D【分析】首先化简a=37-38=73 38>1，b=log773=1-log73<1，c=log883=1-log83<1，再根据log73>log83即可得解.【详解】a=37-38=73 38>73 0=1，即a>1，b=log1737=log773=1-log73<1，c=log1838=log883=1-log83<1，又log73>log83，所以c>b，所以a>c>b，故选：D6(2024·全国·模拟预测)已知a>b>1，则下列各式一定成立的是()A.log a b>1B.ln a-b>0 C.2ab+1<2a+b D.b⋅a b<a⋅b a【答案】D【分析】根据对数函数的单调性即可判断AB；根据指数函数的单调性即可判断C；构造函数f x =ln x x-1x>1，利用导数判断出函数的单调性即可判断D.【详解】对于AB，因为a>b>1，所以log a b<log a a=1，故A错误；因为a>b>1，所以a-b>0，但a-b不一定大于1，故ln a-b不一定大于0，故B错误；对于C，因为ab+1-a+b=a-1b-1>0，则ab+1>a+b，所以2ab+1>2a+b，故C错误；对于D，不等式b⋅a b<a⋅b a等价于a b-1b>1,a-1>0,b-1>0，所以原不等式等价于ln aa-1<ln bb-1，设函数f x =ln xx-1x>1，则f x =1-1x-ln xx-12，令g x =1-1x-ln x x>1，则g x =1x2-1x=1-xx2，当x>1时，g x <0，所以g x 在1,+∞上单调递减，故当x>1时，g x <g1 =0，所以f x <0，故f x 在1,+∞上单调递减，所以f a <f b ，即ln aa-1<ln bb-1，故D正确．故选：D．7(2024·宁夏银川·二模)定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)为偶函数，且当x1<x2<2时，[f(x2 )-f(x1)](x2-x1)>0恒成立，若a=f(1)，b=f(ln10)，c=f354，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b【答案】D【分析】根据条件先得到函数的对称性和单调性，再根据单调性比较大小.【详解】当x1<x2<2时，[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0恒成立，即当x1<x2<2时，f(x2)>f(x1)，函数f(x)在-∞,2上单调递增，又f(x+2)为偶函数，即f(x+2)=f(-x+2)，所以函数f(x)关于x=2对称，则函数f(x)在2,+∞上单调递减，所以a=f(1)=f(3)因为10<523<e3，所以10<52 3<e3所以2<ln10<ln e3=3<35 4，所以f ln10>f3 >f35 4，即c<a<b，故选：D.8(2024·全国·模拟预测)已知a=e π10，b=1+sin9π10，c=1.16，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a【答案】C【分析】先利用常见不等式放缩得到a，b的大小关系，再利用幂函数的单调性比较a，c的大小关系即可得到答案.【详解】令f x =e x-x-1x≥0，则f x =e x-1≥0恒成立，所以f x 在0,+∞单调递增，所以当x>0时，f x >f0 =0，即e x>x+1x>0；令g x =x-sin x x≥0，则g x =1-cos x≥0恒成立，所以g x 在0,+∞ 单调递增，所以当x >0时，g x >g 0 =0，即sin x <x (x >0)；由诱导公式得b =1+sin 9π10=1+sin π10，所以b =1+sin π10<1+π10<e π10，因此a >b ；因为a =e π10<e 410=e 0.4，c =1.16= 1.115 0.4，故只需比较e 与1.115的大小，由二项式定理得，1.115=(1+0.1)15>1+C 115×(0.1)1+C 215×(0.1)2>3>e ，所以c >a ．综上，c >a >b .故选：C【点睛】方法点睛：本题考查比较大小问题，此类问题常见的处理方法为：(1)中间值法：通过与特殊的中间值比较大小，进而判断两个数的大小关系；(2)构造函数法：通过观察两个数形式的相似之处，构造函数，利用导数研究函数单调性与极值等性质进而比较大小；(3)放缩法：利用常见的不等式进行数的放缩进而快速比较大小.二、多选题9(2023·广东广州·模拟预测)下列是a >b >c (a ，b ，c ≠0)的必要条件的是()A.ac >bcB.ac 2>bc 2C.2a -c >2a -bD.7a +b >7b +c【答案】CD【分析】AB 选项，可举出反例；CD 选项，利用指数函数单调性可进行判断.【详解】A 选项，若c <0，则A 错误，B 选项，等价为a 2>b 2，当a >0>-a >b 时不成立，故B 错误，C 选项，因为y =2x 在R 上单调递增，而a -c >a -b ，所以2a -c >2a -b ，C 正确；D 选项，因为y =7x 在R 上单调递增，而a +b >b +c ，所以7a +b >7b +c ，D 正确.故选：CD10(2024·全国·模拟预测)已知实数a ,b ,c ，其中a ,c c >a >0 是函数f x =e xx-m m >e 的两个零点．实数b 满足b =log 73a +22c b >1 ，则下列不等式一定成立的有()A.a +c b -1C.ca>b D.ac <b【答案】BCD【分析】设g x =e x xx >0 ，利用导数研究其性质，画出大致图象，a ,c c >a >0 是直线y =m 与函数g x 的图象交点的横坐标，数形结合可得0<a <1<c ，又由条件得7b =3a +4c ，可推出7b -c <1，得b <c ，即可判断ABC ；由e a a =e c c 0<a <1<c ，取对数后可得c -aln c -ln a=1，设t =c a ,t >1，令h (t )=2ln t -t +1t ,t >1，利用导数可证得ln c -ln a <c -a ac，进而可判断D .【详解】设g x =e x x x >0 ，gx =e x x -1 x2，当x ∈0,1 时，gx <0，当x ∈1,+∞ 时，g x >0，所以g x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，所以，当x =1时，g x 取极小值g 1 =e.a ,c c >a >0 是函数f x =e xx-m m >e 的两个零点，即直线y =m 与函数g x 的图象交点的横坐标，如图，由图可知，0<a <1<c ，由b =log 73a +22c b >1 ，得7b =3a +4c ，所以7b -c=47 c +3a 7c <47 c +37 c <47+37=1，所以b <c ，所以0<a <11，令h (t )=2ln t -t +1t ,t >1，则h(t )=2t -1-1t 2=-(t -1)2t 2<0，所以h (t )在(1,+∞)上单调递减，则h (t )<h (1)=0，所以ln c -ln a -c -a ac=ln ca -c a +a c <0，即ln c -ln a <c -a ac，从而可得ac <c -aln c -ln a ，所以ac <1lg bB.a +b =abC.12a>12bD.a +b >4【答案】ABD【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC ，利用基本不等式即可判断D .【详解】由题意得a =log 315>log 31>0，b =log 515>log 51=0，0<1a =log 153，0<1b =log 155，则0<1a <1b ，则a >b >0，对A ，根据对数函数y =lg x 在0,+∞ 上单调递增，则lg a >lg b ，故A 正确；对B ，因为1a +1b =log 153+log 155=1，即a +bab=1，则a +b =ab ，故B 正确；对C ，因为a >b >0，根据指数函数y =12 x 在R 上单调递减，则12 a <12b，故C 错误；对D ，因为a >b >0，1a +1b =1，a +b =a +b 1a +1b =2+b a +ab≥2+2b a ⋅a b =4，当且仅当a =b 时等号成立，而显然a ≠b ，则a +b >4，故D 正确；故选：ABD .三、填空题12(23-24高三上·北京昌平·阶段练习)①在△ABC 中，b =2，c =3，B =30°，则a =；②已知a =90.1，b =30.4，c =log 40.3，则a 、b 、c 的大小关系是【答案】 3+132c <a <b【分析】对于①：利用余弦定理运算求解即可；对于②：根据指、对数函数单调性分析判断.【详解】对于①：利用余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即4=a 2+3-3a ，而a >0，解得a =3+132；对于②：因为a =90.1=30.2，且y =3x 在定义域内单调递增，可得30<30.2<30.4，即1<a <b ，又因为c =log 40.3<log 41=0，所以c <a <b .故答案为：3+132；c <a <b .13(22-23高三上·陕西咸阳·阶段练习)已知a =log 372,b =1413,c =log 135，则a ，b ，c 的大小关系为.【答案】c 1，则log n n +1 与log n +1n +2 的大小关系为.(用“<”连接)【答案】log n +1n +2 <log n n +1【分析】利用作商法以及基本不等式可得出两个对数式的大小关系.【详解】log n +1n +2 log n n +1=log n +1n ⋅log n +1n +2 <log n +1n +log n +1n +2 2 2=log n +1n 2+2n 2 2<log n +1n 2+2n +1 2 2=1，因为n ∈N *，n >1，则log n n +1 >log n 1=0，log n +1n +2 >log n +11=0，所以log n +1n +2 <log n n +1 .故答案为：log n +1n +2 <log n n +1 .四、解答题15(22-23高三上·甘肃兰州·阶段练习)比较下列两组数的大小(写出详细理由)．(1)a =0.40.3，b =0.30.3，c =0.30.4(2)a =log 26，b =log 312，c =log 515【答案】(1)a >b >c (2)c 0.3，则0.40.3>0.30.3；由函数y =0.3x ，且0.4>0.3，则0.30.3>0.30.4；则0.40.3>0.30.3>0.30.4，即a >b >c .(2)a =log 22×3 =log 22+log 23=1+log 23，b =log 34×3 =log 34+log 33=1+log 34，c =log 55×3 =log 55+log 53=1+log 53，则log 53<1<log 34<32<log 23，故c 5.26-1>5.26-2；②log 30.5<0.53<30.5；③log 0.76<0.76<60.7．【解析】(1)构造相应的函数，依据其单调性比较函数值的大小，如：y =x -1在(0,+∞)上递减有5.25-1>5.26-1，y =5.26x 是增函数有5.26-1>5.26-2，即可得大小关系；(2)将0.53，30.5，log 30.5与0和1比较大小，即可确定它们的大小关系；(3)利用同底的指数、对数以0、1作为界值，比较log 0.76，0.76，60.7的大小【详解】①∵y =x -1在(0,+∞)上递减，5.25<5.26∴5.25-1>5.26-1，∵y =5.26x 是增函数，-1>-2∴5.26-1>5.26-2综上，5.25-1>5.26-1>5.26-2；②∵0<0.53<1，30.5>1，log 30.5<0∴log 30.5<0.53<30.5；③log 0.76<log 0.71<0，0<0.76<0.70=1，60.7>60=1，则log 0.76<0.76<60.7【点睛】本题考查了比较指数式、对数式的大小，结合相应的指数或对数函数，利用其单调性比较函数值的大小，或以0、1作为界值，结合同底的指数函数或对数函数的单调性比较大小17(2022高三·全国·专题练习)已知a ,b 均为正实数，且a ≠1．(1)比较a b 2+b a2与1a +1b 的大小；(2)比较log a b 3+1 和log a b 2+1 的大小．【答案】(1)a b 2+b a2≥1a +1b (2)答案见解析【分析】(1)利用作差法比较大小，即得答案；(2)结合指数函数以及对数函数的单调性，分类讨论a ,b 的取值范围，即可得答案.【详解】(1)a b 2+b a 2-1a +1b =a -b b 2+b -aa 2=a +b (a -b )2a 2b 2，a ,b 均为正实数，∴a +b >0,(a -b )2≥0，∴a +b (a -b )2a 2b 2≥0,∴a b 2+b a 2≥1a +1b ；(2)当a >1时，函数y =log a x 为增函数；当0<a <1时，函数y =log a x 为减函数．①当b >1时，b 3>b 2，则b 3+1>b 2+1，若a >1，则log a b 3+1 >log a b 2+1 ；若0<a <1，则log a b 3+1 <log a b 2+1 ；②当b =1时，log a b 3+1 =log a b 2+1 ；③当01，则log a b 3+1 <log a b 2+1 ；若0<a <1，则log a b 3+1 >log a b 2+1 ．综上所述，当a >1b >1 或0<a <10log a b 2+1 ；当a ≠1b =1时，log a b 3+1 =log a b 2+1 ；当a >101时，log a b 3+1 <log a b 2+1 .18(22-23高三下·全国·开学考试)已知函数f x =e x -ax -1a ∈R 的最小值为0．(1)求实数a 的值；(2)设m 1=1.1+ln0.1，m 2=0.1e 0.1，m 3=19，判断m 1，m 2，m 3的大小．【答案】(1)a =1(2)m 1<m 2<m 3【分析】(1)求出函数的导函数，分a ≤0、a >0两种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可得到函数的最小值为f ln a =e ln a -a ln a -1，从而得到ln a +1a -1=0，再令φa =ln a +1a-1，利用导数说明函数的单调性，即可得到a 值，从而得解；(2)由(1)可得e x ≥x +1，当x >-1时两边取对数得到ln x ≤x -1，当x ∈0,1 时，设F x =xe x -1+x-ln x ，根据函数值的情况判断m 2>m 1，当x ∈0,1 时，设G x =x +ln x -ln x1-x，即可判断m 2<m 3，从而得解.【详解】(1)解：由题意得f x =e x -a ．当a ≤0时，f x =e x -a >0，f x 单调递增，无最小值，不满足题意．当a >0时，令f x =0，得x =ln a ．当x ∈-∞,ln a 时，f x <0；当x ∈ln a ,+∞ 时，f x >0．所以f x 在-∞,ln a 上单调递减，在ln a ,+∞ 上单调递增．所以f x 的最小值为f ln a =e ln a -a ln a -1=0，即ln a +1a-1=0．设φa =ln a +1a -1，则φ a =a -1a 2．令φ a =0，得a =1．当a ∈0,1 时，φ a <0；当a ∈1,+∞ 时，φ a >0，所以φa 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，即φa min =φ1 =0．故ln a +1a-1=0的解只有a =1，综上所述，a =1．(2)解：由(1)可得f x =e x -x -1≥0，所以e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立．当x >-1时，不等式两边取对数，得x ≥ln (x +1)，所以ln x ≤x -1，当且仅当x =1时等号成立．当x ∈0,1 时，设F x =xe x -1+x -ln x ，则F x =e x +ln x -1+x -ln x ≥x +ln x +1-1+x -ln x =0，当且仅当x +ln x =0时，等号成立．因为0.1+ln0.1≠0，所以0.1e 0.1-1.1-ln0.1>0，所以m 2>m 1．当x ∈0,1 时，设G x =x +ln x -ln x1-x，因为0<1-x <1，所以G x =x +ln x -ln x +ln 1-x =x +ln 1-x <x +1-x -1=0，。

指数函数、对数函数、幂函数、三角函数比较大小问题

指、对、幂、及三角值比较大小的方法总结基础知识储备1直接利用函数基本单调性比较大小例1.已知a =log 23，b =log 46利用指数对数单调性比较大小；当底数一样或者可以化成一样，直接利用单调性比较即可，c =log 89，则a 、b 、c 的大小顺序为()A.a 6>39，y =log 2x 单调递增，∴c log π3D.log a 3.1<log a 5.2(a >0且a ≠1)2．已知a =log 23，b =ln2，c =log 2π，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.c >a >bC.a >c >bD.c >b >a3.已知1a=ln3，b =log 35-log 32，c =2ln 3，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >c >bB.b >c >aC.c >a >bD.c >b >a4.已知x =90.91，y =log 20.1，z =log 20.2，则()A.x >y >zB.x >z >yC.z >x >yD.z >y >x比较与0,1的大小关系，此类题目一般会放在单选题靠前位置，比如0<0.20.3<0.20=1， 0=log 0.21<log 0.20.3<log 0.20.2=2比较与0,1的大小关系1例2.若a =23 12，b =ln 12，c =0.6-0.2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.c >b >aB.c >a >bC.b >a >cD.a >c >b分别根据y =23x、y =ln x 、y =0.6x 的单调性，比较a ，b ，c 与0、1的大小，即可.【解答】y =23 x 在-∞,+∞ 上是减函数，0<a =23 12<23=1；y =ln x 在0,+∞ 上是增函数，b =ln 12<ln1=0；y =0.6x 在-∞,+∞ 上是减函数，c =0.6-0.2>0.60=1，故c >a >b 例3.已知a =log 132,b =log 23,c =2-0.3，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.b >c >a利用函数的单调性判断出a <0，b >1，0<c <1，即可得到正确答案.【解答】∵y =log 13x 为减函数，∴a =log 132<log 131=0，即a <0；∵y =log 2x 为增函数，∴b =log 23>log 22=1，即b >1；∵y =2x 为增函数，∴0<c =2-0.3<20=1，即0<c <1；∴b >c >a .例3.已知a=20.7，b=130.7，c=log213，则()A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【解答】∵20.7>13 0.7>0=log21>log213，∴a>b>c.课堂练兵1.若a=100.1，b=lg0.8，c=log53.5，则()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b2.已知a=lg0.2,b=log56,c=ln2，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a3.已知a=20.6，b=e-0.6，c=log20.6，则a，b，c的大小关系为()A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b取中间值，比如遇到两个数都在0到1之间，我们可以比较它们与(0,1)之间的某个数进行大小比较，常用的中间值是13取中间值比较大小2例4.已知a=log323，b=log23，c=913，则()A.c>a>bB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a 利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【解答】∵a=log323<log31=0，1=log22<b=log23<log24=2，c=913>813=2，∴c>b>a.例5.已知a=log52，b=log83，c=12，则下列判断正确的是()A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c 利用对数函数的单调性可比较a、b与c的大小关系，由此可得出结论.【解答】a=log52<log55=12=log822<log83=b，即a<c<b.例6.已知a=log62，b=log0.50.2，c=0.60.3，则a，b，c的大小关系为()A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<alog24=2，即b>2，0=log61<log62<log66=12，即0<a<12，1=0.60>0.60.3>0.50.3>0.51=12，即12<c<1，∴b>c>a；课堂练兵1.已知a=log34，b=log45，c=32，则有()A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b2.设a=0.61，b=lg90.6，c=log328，则有()A.b<a<cB.c<b<aC.a<c<bD.b<c<a3．已知a =2log 54，b =12log 37，c =2log 45，则a ，b ，c 的大小关系是()A.b <c <aB.b <a <cC.c <a <bD.a log 2e ，∴a >b 例7.设x ，y ，z 为正数，且3x =4y =5z ，则()A.x <y <zB.y <x <zC.y <z <xD.z <y <x令3x =4y =5z =k >1，用k 表示出x ，y ，z ，再借助对数函数的性质即可比较大小.【解答】因x ，y ，z 为正数，令3x =4y =5z =k ，则k >1，因此有：x =log 3k =1log k 3，y =log 4k =1log k 4，z =log 5k =1log k 5，又函数f (t )=log k t 在(0,+∞)上单调递增，而1<3<4<5，则0<log k 3<log k 4<log k 5，于是得1log k 3>1log k 4>1log k 5，所以z <y <x .例8.设a =log 32，b =ln2，c =512，则a ､b ､c 三个数的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较即可．【解答】∵0<ln2<ln e =1，ln3>1，∴log 32=ln2ln3<ln2，∴a 50=1，∴c >b >a例9.设a =log 32，b =ln2，c =512，则a ､b ､c 三个数的大小关系是()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a根据对数函数与指数函数性质，结合中间值0、1比较即可．【解答】∵0<ln2<ln e =1，ln3>1，∴log 32=ln2ln3<ln2，∴a 50=1，∴c >b >a 课堂练兵1.设a =log 0.14，b =log 504，则()A.2ab <2a +b <ab B.2ab <a +b <4ab C.ab <a +b <2abD.2ab <a +b <ab2.设a =log 2π，b =log 6π，则()A.a -b <0<ab B.ab <0<a -b C.0<ab <a -bD.0<a -b <ab 3.设0.2a =0.3，2b =0.3，则()A.a +b <ab <0 B.ab <a +b <0C.a +b <0<abD.ab <0<a +b 4．已知正数x ，y ，z 满足3x =4y =6z ，则下列说法中正确的是()A.1x +12y =1zB.3x >4y >6zC.xy >2z 2D.x +y >32+2z 去常数再比大小当底数和真数出现了倍数关系时，需要将对数进行分离常数再比较．这是对数值所独有的技巧，类似于分式型的分离常数，借助此法可以把较复杂的数值，转化为某一单调区间，或者某种具有单调性的形式，以利于比较大小例如：log a ma =log a m +1；log a ma n =log a m +n 5分离常数再比较大小．例10.已知a =log 63，b =log 84，c =log 105，则()．A.b <a <cB.c <b <aC.a <c <bD.a <b <c结合对数的运算公式以及对数函数的单调性进行转化求解即可．【解答】由题意得：a =log 63=log 662=1-log 62=1-1log 26，b =log 84=log 882=1-log 82=1-1log 28，a =log 105=log 10102=1-log 102=1-1log 210，∵函数y =log 2x 在(0,+∞)上单调递增，∴log 26<log 28<log 210，则1log 26>1log 28>1log 210，所以a b >aB.b >c >aC.a >c >bD.a >b >c例11.a 6利用均值不等式比较大小=73，b =log 420，c =log 32+log 36，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b根据对数函数的性质结合基本不等式分析比较即可【解答】a =73=1+43，b =log 420=log 44+log 45=1+log 45，c =log 32+log 36=1+log 34，∵43=log 3343=log 3381>log 3364=log 34，∴a >c ，∵log 45log 34=lg5lg4⋅lg3lg4<lg3+lg52 2(lg4)2=lg152 2(lg4)2<lg162 2(lg4)2=2lg422(lg4)2=1，log 45>1,log 34>1，∴log 45<log 34，所以c >b ，综上a >c >b ,故选B 例12.若a =lg2⋅lg5，b =ln22，c =ln33，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a 14，再作差可判断c ,b 大小.【解答】a =lg2⋅lg5<lg2+lg5 24=14,b =2ln24=ln44>14c -b =ln33-ln22=2ln3-3ln26=ln 986>0，则c >b .所以a b >0C.b >a >0D.b >0>ab =20.6，c =-log 0.26，则实数a ，b ，c 的大小关系为()B.a >b >cC.b >a >cD.b >c >a乘倍数后再进行大小比较，比如a =log 23和b =log 34，则3a =3log 23=log 227∈4,5 A.a >0>b2.已知a =log 25，A.a >c >b 7乘倍数比较大小， 3b =3log 34=log 364∈3,4 ，∴3a >3b ，∴a >b例13.已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则()A.a 45，综合可得出a 、b 、c 的大小关系【解答】由题意可知a 、b 、c ∈0,1 ，a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1lg52⋅lg3+lg82 2=lg3+lg82lg52=lg24lg252<1，∴a 4，可得c >45.综上所述，a b >cC.b >a >cD.b >c >a8初等型双元变量构造函数比大小构造简单函数，利用函数的单调性比较大小例14.设a >0，b >0，则下列叙述正确的是()A.若ln a -2b >ln b -2a ，则a >b B.若ln a -2b >ln b -2a ，则a ln b -2b ，则a >b D.若ln a -2a >ln b -2b ，则a <b构造函数，利用函数的单调性分析判断即可【解答】∵y =ln x 和y =2x 在(0,+∞)上均为增函数，∴f (x )=ln x +2x 在(0,+∞)上为增函数，∴f (a )>f (b )时，得a >b >0，反之也成立，即ln a +2a >ln b +2b 时，a >b >0，反之也成立，∴ln a -2b >ln b -2a 时，a >b >0，反之也成立例15.若2x -e -x <2y -e -y ，则()A.ln y -x +1 <0B.ln y -x +1 >0C.ln x -y >0D.ln x -y <0先构造函数f x =2x -e -x ，通过观察导函数得到f x 单调性，从而得到x <y ，故可通过函数单调性判断出ln y -x +1 >ln1=0，而x -y 的可能值在[1,+∞)⋃0,1 ，故CD 均错误.【解答】令f x =2x -e -x ，则f x =2x ln2+e -x >0恒成立，故f x =2x -e -x 单调递增，由2x -e -x <2y -e -y 可得：x <y ，故ln y -x +1 >ln1=0，A 错误，B 正确；x -y 的可能值在[1,+∞)⋃0,1 ，故不能确定ln x -y 与0的大小关系，CD 错误.课堂练兵1.若a >b >1，且a x -a y >b -x -b -y ，则()A.ln x -y +1 >0B.ln x -y +1 <0C.ln x -y >0D.ln x -y <02.已知正实数x ，y 满足log 2x +log 12y <12 x -12 y，则()A.1x <1yB.x 3<y 3C.ln y -x +1 >0D.2x -y <12例16.设a ≠0，若x =a 为函数f x 9利用导数研究函数的单调性比较大小=a x -a 2x -b 的极大值点，则()A.a bC.ab <a 2D.ab >a 2【解答】若a =b ，则f x =a x -a 3为单调函数，无极值点，不符合题意，故a ≠b .∴f x 有x =a 和x =b 两个不同零点，且在x =a 左右附近是不变号，在x =b 左右附近是变号的.依题意，x =a 为函数f (x )=a (x -a )2(x -b )的极大值点，∴在x =a 左右附近都是小于零的.当a <0时，由x >b ，f x ≤0，画出f x 的图象如下图所示：由图可知b <a ，a <0，故ab >a 2.当a >0时，由x >b 时，f x >0，画出f x 的图象如下图所示：由图可知b >a ，a >0，故ab >a 2.故选：D .课堂练兵1．(多选题)已知正数x ，y ，z 满足x ln y =ye z =zx ，则x ，y ，z 的大小关系为()A.x >y >z B.y >x >z C.x >z >y D.以上均不对2．设a =2021ln2019，b =2020ln2020，c =2019ln2021，则()A.a >b >cB.c >b >aC.a >c >bD.b >a >c一般情况下，作差或者做商，可处理底数不一样的的对数比较大小10差比法与商比法作差或者做商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见解题技巧和方法例17.已知实数a ､b ､c 满足a =613,b =log 23+log 64,5b +12b =13c ，则a ､b ､c 的关系是()A.b >a >cB.c >b >aC.b >c >aD.c >a >b利用幂函数的性质知a <2，利用对数的运算性质及差比法可得b -2>0，再构造13c -13b ，根据指数的性质判断其符号，即可知b ,c 的大小.【解答】a =613<813=2；b =log 23+log 64=log 23+21+log 23，b -2=log 23⋅log 23-1 1+log 23>0，b >2；13c =5b +12b >52+122=132，c >2；13c -13b =5b +12b -13b =52⋅5b -2+122⋅12b -2-132⋅13b -2<52⋅12b -2+122⋅12b -2-132⋅13b -2=12b -2(52+122)-132⋅13b -2=132(12b -2-13b -2)<0，∴b >c ，综上，b >c >a .课堂练兵1.已知a =0.8-0.4，b =log 53，c =log 85，则()A.a b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >a >b 3.已知3a =6b =10，则2，ab ，a +b 的大小关系是()A.ab <a +b <2B.ab <2<a +bC.2<a +b <abD.2<ab <a +bf x 11构造函数：ln x /x 型函数 =ln xx出现的比较大小问题:①f x =ln x x 在区间(0，e )上单调递增，在区间(e ，+∞)单调递减；当x =e 时，取得最大值1e;②注意：f 2 =ln22=2ln24=f 4 例18.设a =4-ln4e2，b =1e ，c =ln22，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <c <bB.c <a <bC.a 0，f x 单调递增，当x ∈e ,+∞ ，f x <0，f x 单调递减，因为a =4-ln4e 2=2ln e 2-ln2 e 2=ln e 22e 22=f e 22 ，b =1e =ln e e =f e ，c =ln22=f 2 ，所以b =f e 最大，又因为c =f 2 =f 4 ，e <e 22<4，所以a =f e 22 >f 4 =c ，所以b >a >c课堂练兵1.已知a =3ln2π，b =2ln3π，c =3ln π2，则下列选项正确的是()A.a >b >c B.c >a >b C.c >b >aD.b >c >a2.以下四个数中，最大的是()A.ln 33 B.1e C.ln ππD.15ln15303.下列命题为真命题的个数是()①ln3<3ln2；②ln π<πe；③215<15；④3e ln2<42B.2D.4A.1C.312放缩①对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数，指数和幂函数结合来放缩。

高考专项：指数函数对数函数的四类题型,基础夯实必备(含详细解析)

专项5 指数函数、对数函数相关的4种题型1.比较大小一般来说，指数、对数比较大小我们采取的思路是：首先，尽量将不同底数的指数、对数或幂函数，通过公式化成同一底数的，底数相同的根据单调性比较大小；其次，对于确实不能化成同一底数的，我们尽量将真数或指数化成相同的，然后我们做出图像，根据指数函数在第一象限内底数越大图像越高的特征、对数函数在第一象限内水平向右底数增大的特征判断大小；最后，如果全都不相同，我们一般先做出图像，观察图像，判断大小，如果图像仍然不能解决问题，那么我们就应该考虑找中间值进行比较，中间值一般取0，-1,1，比如能否确定所要进行比较的数的正负、与1或-1的大小关系。

通过上述方式一般能解决所有比较大小问题。

1.设0.90.48 1.514,8,()2a b c -===，则（） .A c a b >>.B b a c >>.C a b c >>.D a c b >>2.三个数0.32、log 20.3、20.3的大小关系为（）A ．0.32<20.3<log 20.3B ．0.32<log 20.3<20.3C ．log 20.3<0.32<20.3D ．log 20.3<20.3<0.323. a log a,log a,log 1,a 0530.5三者的大小关系是则＜＜若（）a log a log a log D.a log a log a log C.a log a log a log B.a log a log a log A.530.50.5530.535350.5＞＞＞＞＞＞＞＞4．设a ＞1,且2log (1)log (1),log (2)a a a m a n a p a =+=-=，,则p n m ,,的大小关系为（）(A) n ＞m ＞p (B) m ＞p ＞n (C) m ＞n ＞p (D) p ＞m ＞n5.以下四个数中的最大者是（）(A) (ln2)2(B) ln(ln2) (C) ln (D) ln26.设12log 3a =，0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132c =，则（） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b <<D ．b a c <<7．设a b c ，，均为正数，且122log a a =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2c c ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（）Ａ．a b c << Ｂ．c b a << Ｃ．c a b << Ｄ．b a c <<28.下列大小关系正确的是（）A ．20.440.43log 0.3<<；B ．20.440.4log 0.33<<；C ．20.44log 0.30.43<<；D ．0.424log 0.330.4<<9．设2log 3P =，3log 2Q =，23log (log 2)R =，则（）Ａ．R Q P << Ｂ．P R Q << Ｃ．Q R P << Ｄ．R P Q <<10. 下列不等式成立的是（）A .2lg (lg )e e <>.B b a c >>.C a c b >>.D c a b >>12.若13(,1),ln ,2ln ,ln x e a x b x c x -∈===，则（） .A a b c <<.B c a b <<.C b a c <<.D b c a <<13.设2554log 4,(log 3),log 5,a b c ===则（） .A a c b <<.B b c a <<.C a b c <<.D b a c <<2.恒过定点问题指数函数恒过定点（0,1），是指指数函数的指数位置的表达式为0的时候，函数值恒为1；对数函数恒过（1,0），是指对数函数的真数位置的表达式为1的时候，函数值恒为0；对于指数位置或真数位置表达式中含有参数的，应考虑使用公式分离参数。

高中数学指对幂比较大小6大题型(解析版)

指对幂比较大小6大题型命题趋势函数“比大小”是非常经典的题型，难度不以，方法无常，很受命题者的青睐。

高考命题中，常常在选择题或填空题中出现这类型的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。

这类问题的解法往往可以从代数和几何来那个方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。

满分技巧比较大小的常见方法1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；2.作差法、作商法：(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；3.中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；4.估值法：(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值；5.构造函数，运用函数的单调性比较：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律(1)对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f()外衣”比较大小；(2)有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。

6.放缩法：(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；(2)指数和幂函数结合来放缩；(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩；(4)“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数(主要是整数多一些)，那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。

热点题型解读【题型1利用单调性比较大小】【例1】(2022秋·福建宁德·高三统考期中)设a=0.30.3,b=0.30.5,c=0.50.3,d=0.50.5，则a,b,c,d的大小关系为()A.b>d>a>cB.b>a>d>cC.c>a>d>bD.c>d>a>b【答案】D【解析】因为y=0.3x以及y=0.5x是R上的单调减函数，故可得0.30.3>0.30.5，0.50.3>0.50.5，即a>b，c>d；又因为a=0.30.3=0.0270.1,d=0.50.5=0.31250.1，而y=x0.1是0,+∞上的单调增函数，则0.031250.1>0.0270.1，即d>a.故c>d>a>b.故选：D.【变式1-1】(2022秋·四川眉山·高三校考阶段练习)若a=0.40.5,b=0.50.4,c=log324，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.c<a<b【答案】D【解析】c=log324=25=0.4，因为y=0.4x在R上为减函数，所以c=0.41<a=0.40.5<0.40.4，因为y=x0.4在x∈0,+∞上为增函数，所以b=0.50.4>0.40.4，所以a<b，所以c<a<b，故选：D.【变式1-2】(2022·陕西宝鸡·统考一模)已知实数a,b,c满足e2a2=e3b3=e5c5=2，则()A.a>b>cB.a<b<cC.b>a>cD.c>a>b 【答案】A【解析】因为e2a2=e3b3=e5c5=2，所以e2a=4,e3b=6,e5c=10，即得2a=ln4,3b=ln6,5c=ln10得a=ln2,b=ln36,c=ln510，因为y =ln x 是0,+∞ 上的增函数，比较2,36,510的大小关系即是a ,b ,c ，的大小关系，2,36,510同时取15次幂，因为幂函数y =x 15在0,+∞ 上是单调递增的，比较215,65,103即可，因为215=524288,65=7776,103=1000 所以215>103>65即2>510>36，即得a >b >c .故选:A .【变式1-3】(2023·全国·高三专题练习)已知a =0.30.5,b =0.30.6，c =2512，则a 、b 、c 的大小关系为()A.a 0.30.6，即a >b ，又函数y =x 0.5在(0,+∞)上单调递增，且0.3<25，于是得0.30.5<2512，即c >a ，所以a 、b 、c 的大小关系为b <a <c ．故选：C【变式1-4】(2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测)已知f x =-x 2-cos x ，若a =f e -34，b =f ln45，c =f -14 ，则a ，b ，c 的大小关系为()A.c <b <a B.c <a <bC.b <c <aD.a <c <b【答案】D【解析】因为f (x )=-x 2-cos x ,x ∈R ，定义域关于原点对称，f (-x )=-(-x )2-cos (-x )=-x 2-cos x =f x ，所以f (x )为R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )=-2x +sin x ,，设g x =-2x +sin x ，则g (x )=-2+cos x ，∵-1≤cos x ≤1，∴g x <0，所以g (x )即f (x )在[0,+∞)上单调递减，所以f (x )≤f (0)=0，所以f (x )在[0,+∞)上单调递减，又因为f (x )为偶函数，所以f (x )在(-∞,0]上单调递增，又因为ln45<0,-14<0，b =f ln 45 =f -ln 45 =f ln 54 ，c =f -14 =f 14又因为e -34>e -1=1e >14，因为14=ln e 14，e 14 4=e ,54 4≈2.4<e ，所以e 14>54，所以ln e 14>ln 54，即14>ln 54，所以e -34>14>ln 54，所以f e -34 <f 14 <f ln 54 ，即a <c 32.7B.37 47<47 37C.log1213<log312 D.1.70.2>0.92.1【答案】ABD【解析】对于A，因为91.5=33，而y=3x是增函数，所以33>32.7，即91.5>32.7，故A正确；对于B，根据指数函数y=37x为单调递减可知，3747<37 37，又由幂函数y=x37为单调递增可知，3737<47 37所以3747<37 37<47 37，故B正确；对于C，由换底公式可知log1213=log23，根据对数函数单调性可知log1213=log23>0，log312<log31=0，所以log1213>log312，故C错误；对于D，由指数函数单调性可知1.70.2>1.70=1,0.92.1<0.90=1，所以1.70.2>0.92.1，故D正确；故选：ABD.【题型2作差作商法比较大小】【例2】(2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测)已知a=e13，b=ln2，c=log32，则a,b,c的大小关系为()A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.c>b>a【答案】B【解析】∵a=e13>e0=1，b=ln2<ln e=1，c=log32<log33=1∴a最大，∵b-c=ln2-log32=lg2lg e-lg2lg3=lg2⋅1lg e-1lg3>0，∴b>c，∴a>b>c，故选：B【变式2-1】(2022秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习)若a=sin4，b=log53，c=lg6，d=e0.01，则()．A.a<b<c<dB.a<c<b<dC.b<c<d<aD.a<d<b<c【答案】A【解析】由题意，a=sin4<0,d=e0.01>1，0<b=log53<1,0<c=lg6<1，只需比较b,c的大小，而log53-lg6=lg3lg5-lg6=lg3-lg5⋅lg6lg5=lg3-1-lg2lg2+lg3lg5=lg2⋅-1+lg6lg5<0,∴b<c，综上a m >nB.m >n >pC.m >p >nD.p >n >m【答案】A【解析】由m 5=4，得m =415=225<2，由n 8=9，得n =918=314，因此，m n =225314=225×20314×20120=2835 120=256243 120>1，即2>m >n ，由0.9p =0.8，得p =log 0.90.8>log 0.90.81=2，于是得p >m >n ，所以正数m ，n ，p 的大小关系为p >m >n .故选：A【变式2-3】(2022·贵州贵阳·校联考模拟预测)已知a =log 45，b =54，c =log 56，则a 、b 、c 这三个数的大小关系为()A.c (ln5)2-ln4+ln622ln4×ln5=(ln 25)2-(ln 24)2ln4×ln5>0，所以a >c ，综上：c <a b >cB.b >c >aC.a >c >bD.c >a >b【答案】C【解析】对b ,c ，log 56-log 67=lg6lg5-lg7lg6=lg 26-lg5⋅lg7lg5⋅lg6因为lg5⋅lg7<lg5+lg72 2=12lg35 2=lg 235<lg 26，即lg 26-lg5⋅lg7>0，所以log 56-log 67>0，即c >b ；对a ,c ，又30.2>e 0.2，令g x =e x -1-x ，则g x =e x -1，所以当x >0时，g x >0，当x <0时，g x <0，所以g (x )min =g 0 =0，即e x ≥1+x ，当且仅当x =0时取等号，所以30.2>e 0.2>1+0.2=1.2，令f x =x 5-log 5x ，则f x =15-1x ln5=x ln5-55ln5⋅x，所以当x>5ln5时f x >0，所以f x 在5ln5,+∞上单调递增，显然5>5ln5，又f5 =0，即f6 =65-log56>f5 =0，即65>log56，所以30.2>e0.2>65>log56，即a>c>b.故选：C【题型3中间值/估值法比较大小】【例3】(2023·全国·模拟预测)已知a=0.54，b=log50.4，c=log0.50.4，则a，b，c的大小关系是()A.b>a>cB.a>c>bC.c>a>bD.a>b>c【答案】C【解析】根据指数函数单调性和值域，y=0.5x在R上递减，结合指数函数的值域可知， a=0.54∈0,0.50=0,1；根据对数函数的单调性，y=log5x在(0,+∞)上递增，则b=log50.4<log51=0，y=log0.5x在(0,+∞)上递减，故c=log0.50.4>log0.50.5=1，即c>1>a>0>b，C选项正确.故选：C【变式3-1】(2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习)已知a=log23，b=20.4，c=13-13，则a，b，c的大小关系是()A.b<a<cB.a<c<bC.a<b<cD.b<c<a 【答案】C【解析】由题知，0=log21<log23<log24=1，即：0<a<1，又b=20.4>20=1，所以b>a；∵b15=20.415=26=64，c15=13-1315=13 -5=35=243∴b15<c15，∴b<c，所以：a<b<c.故选：C.【变式3-2】(2023秋·福建泉州·高三校考阶段练习)已知a=4e，b=log34lnπ，c=131.7，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.b<c<a 【答案】D【解析】根据指数函数的单调性可得a=4e>e0=1，0<c=131.7<130=1，根据对数函数的单调性可得b=log34lnπ<log341=0，所以b<c<a，故选：D.【变式3-3】(2022秋·河南郑州·高三安阳一中校联考阶段练习)设a=20.2，b=0.50.5，c=log0.50.2，则( )A.a 20=1，即1<a <2；对b ：0.50.5=0.5，y =x 在0,+∞ 上单调递增，则0.50.5=0.5<1=1,0.5>0=0，即0log 0.50.25=2，即c >2；综上所述：b <a <c .故选：D .【变式3-4】(2022秋·江西·高三校联考阶段练习)已知a =22，b =e ，c =22.5，则a ，b ，c 的大小关系是()(参考数据：ln2≈0.693)A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】C【解析】∵y =2x 在R 上单调递增，且2<2<2.5，∴22<22<22.5，则a <4c ,c b =e ≈2.7，又∵ln a =ln22=2ln2≈0.980<1，且y =e x 在R 上单调递增，∴e ln a <e 1，即a b >a .故选：C .【变式3-5】(2022·全国·高三专题练习)已知a =ln40.25，b =4ln0.25，c =0.250.25，则()A.a >c >bB.b >c >aC.c >a >bD.b >a >c【答案】C【解析】由a =ln40.25=ln22，b =4ln0.25=124ln2=142ln2<14，c =0.250.25=22，所以b <14<a <12<c .故选：C 【变式3-6】(2023·全国·高三专题练习)(多选)已知a =log 2x ，b =2x ，c =3x ，其中x ∈1,2 ，则下列结论正确的是()A.a >log b cB.a b >b cC.a b 1>a ，故A 错误；因为a b ∈0,1 ，b c >1，即a b 0，即log a b <log b c ，故D 正确.故选：CD .【题型4含变量比较大小】【例4】(2022秋·河南·高三上蔡第一高级中学阶段练习)已知x∈π4,π2,a=12 sin-x ,b=2cos-x ,c=2tan x，则()A.a>b>cB.c>b>aC.a>c>bD.c>a>b 【答案】D【解析】由题意得a=12sin-x=2-1-sin x=2sin x，b=2cos(-x)=2cos x，因为当x∈π4,π2时，tan x>sin x>cos x，且y=2x是增函数，所以c>a>b.故选:D.【变式4-1】(2022·全国·高三专题练习)设0<θ<π2，a=sin2θ，b=2sinθ，c=log2sinθ，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a1，c=log2sinθ<0，所以c<a<b.故选：D.【变式4-2】(2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习)已知f x =2022x-2022-x-ln x2+1-x，当0<x<π2，a=cos x，b=lncos x，c=e cos x，试比较f a ，f b ，f c 的大小关系()A.f a <f c <f bB.f b <f c <f aC.f c <f a <f bD.f b <f a <f c【答案】D【解析】∵f x =2022x-2022-x-ln x2+1-x=2022x-2022-x+ln(x2+1+x)，∴f(x)在R上是增函数，由x∈0,1时，ln x<x<e x知，b<a<c，∴f b <f a <f c ，故选：D【变式4-3】(2023·全国·高三专题练习)已知x∈π4,π2且a=2sin2x+1e2sin2x，b=cos x+1e cos x，c=sin x+1e sin x，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<a0，则a=2sin2x+1e2sin2x=f2sin2x，b=cos x+1e cos x=f cos x，c=sin x+1e sin x=f sin x．因为f x =e x-x+1e xe x2=-xe x<0在0,+∞上恒成立，所以函数f x 在0,+∞上单调递减.又因为x∈π4,π2，所以2sin2x-sin x=sin x2sin x-1>0，且sin x>cos x，故a<c<b.故选：C．【题型5构造函数比较大小】【例5】(2023·广西桂林·统考一模)已知a、b、c∈1,+∞，2e a ln3=9a，3e b ln2=8b，2e c-2=c，则()A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b【答案】A【解析】因为a、b、c∈1,+∞，由2e a ln3=9a可得ae a=ln99，由3e b ln2=8b可得be b=ln88，由2e c-2=c可得ce c=2e2，构造函数f x =ln xx，其中x>0，则f x =1-ln xx2，当0<x<e时，f x >0；当x>e时，f x <0.所以，函数f x 的增区间为0,e，减区间为e,+∞，因为e<e2<8<9，所以，f e2 >f8 >f9 ，即ce c>be b>ae a，即f ec>f e b >f e a ，因为a、b、c∈1,+∞，则e a、e b、e c∈e,+∞，所以，e a>e b>e c，因此，a>b>c.故选：A.【变式5-1】(2022秋·广东广州·高三校考期中)函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时f(x)+xf (x)>0(其中f (x)是f(x)的导函数)，若a=30.3⋅f(30.3)，b=logπ3⋅f(logπ3)，c=ln19⋅f ln19，则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【答案】B【解析】令F x =xf x ，又f x 为定义在R上的偶函数，则F-x=-xf-x=-xf x =-F x ，故F x 为定义在R上的奇函数；又F (x)=f(x)+xf (x)，由题可知，当x<0时，F (x)>0，即F x 在-∞,0单调递增，结合F x 是R上的奇函数可知，F x 为R上的单调增函数；又30.3>30=1=logππ>logπ3>logπ1=0=ln1>-ln9=ln 1 9，又a=30.3⋅f(30.3)，b=logπ3⋅f(logπ3)，c=ln 19⋅f ln19，故a>b>c.故选：B.【变式5-2】(2022秋·四川成都·高三校考阶段练习)已知a=2022，b=2121，c=2220，则()A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b【答案】C【解析】由a=2022，b=2121，可得ln a=22ln20,ln b=21ln21，则ln aln b=22ln2021ln21=ln2021ln2122，令f(x)=ln xx+1(x>e2)，则f (x)=x+1-x ln xx(x+1)2(x>e2)，令g(x)=x+1-x ln x(x>e2)，则g (x)=-ln x<0，所以g(x)在(e2,+∞)上单调递减，又g(e2)=e2+1-2e2=-e2+1<0，所以当x∈(e2,+∞)时，g(x)<0，所以f (x)<0，所以f(x)在(e2,+∞)上单调递减，从而0<f(x)<f(e2)=2e2+1，所以f(20)>f(21)，即ln a>ln b，从而可知a>b.由b=2121，a=2220，可得ln b=21ln21,ln c=20ln22，则ln bln c=21ln2120ln22=ln2120ln2221，令h(x)=ln(x+1)x(x>e2-1)，则h (x)=x-(x+1)ln(x+1)x2(x+1)(x>e2-1)，令m(x)=x-(x+1)ln(x+1)(x>e2-1)，则m (x)=-ln(x+1)<0，所以m(x)在(e2-1,+∞)上单调递减，又m(e2-1)=-e2-1<0，所以当x∈(e2-1,+∞)时，m(x)<0，所以h (x)<0，所以h(x)在(e2-1,+∞)上单调递减，从而0<h(x)<h(e2-1)=2e2-1，所以h(20)>h(21)，即ln b>ln c，从而可知b>c.综上可得a>b>c.故选：C【变式5-3】(2022·全国·高三专题练习)已知a=0.7e0.4,b=e ln1.4,c=0.98，则a,b,c的大小关系是( )A.a>c>bB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b【答案】A【解析】构造f x =ln x-1e x，x>0，则f x =1x-1e，当0<x<e时，f x >0，当x>e时，f x <0，所以f x =ln x-1e x在0<x<e上单调递增，在x>e上单调递减，所以f x ≤f e =ln e-1=0，故ln x≤1e x，当且仅当x=e时等号成立，因为x2>0，所以ln x2≤x2e⇒2ln x≤x2e⇒ln x≤x22e⇒ln2x≤(2x)22e=2e x2，当x=e2时，等号成立，当x=0.7时，ln1.4<2e×(0.7)2=0.98e⇒e ln1.4<0.98，所以b<c构造g x =e x-1-x，则g x =e x-1-1，当x>1时，g x >0，当x<1时，g x <0，所以g x =e x-1-x在x>1单调递增，在x<1上单调递减，故g x ≥g1 =0，所以e x-1≥x，当且仅当x=1时，等号成立，故e x-1≥x⇒e2x-1≥2x，当且仅当x=0.5时，等号成立，令x=0.7，则e0.4>1.4⇒0.7e0.4>0.98，所以a>c，综上:a>c>b，故选：A【变式5-4】(2022秋·广东河源·高三河源市河源中学阶段练习)设a=12×106+1102，b=e0.01-1，c=ln1.02，则a,b,c的大小关系为()A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.b<a<c 【答案】C【解析】a=12×106+1102=12×10-6+10-2<12×10-4+10-2，b=e0.01-1=e10-2-1，令f x =e x-1-12x2+x，则f x =e x-x-1，令g x =e x-x-1，则g x =e x-1，当x>0时，g x >0，所以函数g x 在0,+∞上递增，所以g x >g0 =0，即f x >f 0 =0，所以函数f x 在0,+∞上递增，所以f10-2>f0 =0，即e10-2-1>12×10-4+10-2，所以a<b，令h x =e x-1-ln2x+1，则h x =e x-22x+1=2x+1e x-22x+1，令m x =2x+1e x-2，则m x =2x+3e x，当x>0时，m x >0，所以函数m x 在0,+∞上递增，m0.1=1.2e0.1-2=235e0.1-1 ，因为35e0.110=35 10×e=35 7×27e125<35 7×81125<1，所以35e0.1<1，所以m0.1=1.2e0.1-2=235e0.1-1<0，所以当0<x<0.1时，m x <0，即h x <0，所以函数h x 在0,0.1上递减，所以h0.01<h0 =0，即e0.01-1-ln1.02<0，所以b<c，综上所述a<b<c.故选：C.【变式5-5】(2022·全国·高三专题)设a =110,b =e 111-1,c =1110ln 1110，则a ，b ，c 大小关系是_______．【答案】b <a <c【解析】令f (x )=1+x ln 1+x -x ，x >-1，则f (x )=ln 1+x +1-1=ln 1+x ，令f (x )>0，得x >0，即f (x )在0,+∞ 上单调递增，∵110>0，∴f 110 >f (0)，即1110ln 1110>110，即c >a ，令g (x )=e 1011x -1-x ，则g (x )=1011e 1011x -1，令g (x )<0得x <1110ln 1110，即g (x )在-∞,1110ln 1110单调递减，因为0<110<1110ln 1110，所以g 110 <g (0)，即e 1011×110-1-110<0，所以e 111-1<110，即b <a .所以b <a <c .【题型6数形结合法比较大小】【例6】(2022·全国·高三专题练习)已知y =x -m x -n +2022(m <n )，且α,β(α<β)是方程y =0的两根，则α,β,m ,n 的大小关系是()A.α<m <n <βB.m <α<n <βC.m <α<β<nD.α<m <β<n【答案】C【解析】f x =x -m x -n +2022(m <n )为二次函数，开口向上，因为α,β(α<β)是方程y =0的两根，故α,β(α<β)为图象与x 轴的两个交点横坐标，其中f m =f n =2022，画出图象如下：显然m <α<β<n ，故选：C【变式6-1】(2023秋·陕西西安·高三统考期末)已知a =log 32，b =log 43，c =log 54，则a ，b ，c 的大小关系为()A.c <a <bB.a 2时，f x =log x x -1 =lg x -1lg x的值越来越大，所以有，a 1则a =f 3 ，b =f 4 ，c =f 5 f x =log x x -1 =ln x -1ln x ，f x =ln x -ln x -1ln x2>0在1,+∞ 上恒成立，所以，函数f x =log x x -1 在1,+∞ 上单调递增，所以，f 3 <f 4 <f 5 ，即a <b <c .故选：B .【变式6-2】(2022秋·江苏扬州·高三期末)已知正实数a ，b ，c 满足e c +e -2a =e a +e -c ，b =log 23+log 86，c +log 2c =2，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <c B.a <c <bC.c <a <bD.c <b <a【答案】B【解析】e c +e -2a =e a +e -c ⇒e c -e -c =e a -e -2a ，故令f x =e x -e -x ，则f c =e c -e -c ，f a =e a -e -a ．易知y =-e -x =-1ex 和y =e x均为0,+∞ 上的增函数，故f x 在0,+∞ 为增函数．∵e -2a <e -a ，故由题可知，e c -e -c =e a -e -2a >e a -e -a ，即f c >f a ，则c >a >0．易知b =log 23+log 236=log 2336>2，log 2c =2-c ，作出函数y =log 2x 与函数y =2-x 的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在1,2 内，即1<c <2，∴c 0 ，则f x =1-ln xx 2,x >0 ，由f x >0，解得0<x <e ，由f x <0，解得x >e ，所以f x =ln xx,x >0 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减；因为π>e ，所以f π <f e ，即lnππ<ln ee ，所以e lnπ<πln e ，所以lnπe <ln e π，又y =ln x 递增，所以πe <e π，即b <a ；2 eπ=2 π e ，在同一坐标系中作出y =2 x 与y =x 的图象，如图：由图象可知在2,4 中恒有x >2 x ，又2<π<4，所以π>2 π，又y =x e 在0,+∞ 上单调递增，且π>2 π所以πe >2 π e =2 eπ，即b >c ；综上可知：c log 812>lg15D.log 812<log 23<lg15【答案】C【解析】由题知,log 23=log 22⋅32 =1+log 232=1+1log 322，log 812=log 88⋅32 =1+log 832=1+1log 328，lg15=lg 10⋅32 =1+lg 32=1+1log 3210，∵0<log 322<log 328<log 3210，∴log 23>log 812>lg15，故选：C ．2.(2022·四川资阳·统考二模)设a =1.02，b =e 0.025，c =0.9+20.06sin ，则a ，b ，c 的大小关系是()A.c 0，f x >0，，此时f x 单调递增，当x <0，f x <0，此时f x 单调递减，所以f x >f 0 =e 0-0=1，所以f 0.02 =e 0.02-0.02>1，即e 0.02>1.02，所以b =e 0.025>e 0.02>1.02=a ；又设 g x =x -x sin ,g x =x -1cos ≤0，恒成立，∴当x >0， g x 单调递减， g x =x -x sin <g 0 =0当x >0时，有x <x sin ，则0.06sin <0.06，所以c =0.9+20.06sin <0.9+2×0.06=1.02=a ，综上可得c <a <b ．故选：D ．3.(2022·全国·高三专题练习)已知a =log 32,b =52log ,c =3a ，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a c >aB.b >a >cC.a >c >bD.a >b >c【答案】B【解析】因1=log 22<log 23<log 24=2，则1<a <2，而b =0.50.2log =1215log =25log >log 24=2，又0<0.50.2<0.50=1，即有0<c <1，因此b >2>a >1>c >0，B 正确.故选：B 5.(2022·全国·高三专题练习)已知a =0.50.6，b =0.60.5，c =log 65，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.b <c <a【答案】A【解析】因为y =0.5x 在R 上为单调递减函数，所以0.50.6<0.50.5，又因为y =x 12在0,+∞ 上为单调递增函数，所以0.512<0.612，即0.50.5<0.60.5，所以0.50.5<0.60.5，即a <b ，又因为0.60.5=3512=35<1625=45，又因为5=555=53125，645=564=51296<53125=5，即有645<5所以6645log <65log ，即45<65log ，所以0.60.5<65log ，即b <c ，综上所述：a b >cB.b >c >aC.b >a >cD.c >b >a【答案】B【解析】因为定义在R 上的函数f x =x ⋅2x ，对于∀x ∈R ，都有f -x =-x ⋅2-x =-x ⋅2x =-f x ，所以函数f x =x ⋅2x 为R 上的奇函数，当x ∈0,+∞ 时，函数f x =x ⋅2x ，则f x =2x +2x 2⋅x ln >0x >0 ，所以函数f x =x ⋅2x 在0,+∞ 上单调递增，因为,a =f 53log ，c =-f 512log =-f 52-1log =-f -52log =f 52log ，由对数函数5x log x >0 的性质可知：52log >53log >0，所以f 52log >f 53log ，也即c >a ，又因为72ln>e ln =1>52log ，所以f 72ln >f 52log ，则有b >c ，所以b >c >a ，故选：B .7.(2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习)已知a =1012，b =1111，c =1210，则a ，b ，c 的大小关系为()A.b >c >a B.b >a >cC.a >c >bD.a >b >c【答案】D【解析】构造f x =22-x x ln ，x ≥10，f x =-x ln +22x-1，f x =-x ln +22x-1在10,+∞ 时为减函数，且f 10 =-10ln +115-1=65-10ln <65-e 2ln =65-2<0，所以f x =-x ln +22x -1<0在10,+∞ 恒成立，故f x =22-x x ln 在10,+∞ 上单调递减，所以f 10 >f 11 >f 12 ，即1210>1111>1012ln ln ln ，所以1012>1111>1210，即a >b >c .故选：D .8.(2022秋·山东·高三校联考阶段练习)若a =e 0.1,b = 1.2,c =-0.9ln ，则a ，b ，c 的大小关系为()．A.a >b >c B.a >c >bC.b >a >cD.c >b >a【答案】A【解析】令f x =e x -x -1x >0 ，则f x =e x -1>0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，∴f x >f 0 =0,a =e 0.1>0.1+1=1.1> 1.2=b ，令g x =x ln -x +1x >0 ，则g x =1x -1=1-xx，由g x >0得0<x <1，g x 递增；由g x <0得x >1，g x 递减，∴g x max =g 1 =0，∴x ln ≤x -1．∴c =-0.9ln =10.9ln<10.9-1=19<1f x ，则f 2021 ，f 2022 2，f 20233的大小关系是()A.f 2021 <f 2022 2<f 20233B.f 2022 2<f 2021 <f 20233C.f 2023 3<f 20222<f 2021 D.f 2023 3<f 2021 <f 20222【答案】A【解析】依题意，任意x ∈R ，都有f x +4 =f x ，所以f x 是周期为4的周期函数.所以f 2021 =f 1 ,f 2022 2=f 2 2,f 2023 3=f 33.构造函数F x =f x x 0<x ≤4 ,Fx =xf x -f x x 2>0，所以F x 在区间0,4 上单调递增，所以F 1 <F 2 <F 3 ，即f 1 1<f 2 2<f 3 3，也即f 2021 <f 2022 2<f 20233.故选：A10.(2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习)若a =2 1.01ln ln ,b =3πln2ln ,c =232ln ，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <c <bB.a <b <cC.c <b <aD.b <c <a【答案】B【解析】依题意：a =2 1.01ln ln ,b =23πlnln =2π3lnln ,c =22ln 13，由f x =2x ln 单调递增，故只需比较 1.01ln ,π3ln,213的大小即可；又1.01<π3<e ∴ 1.01ln <π3ln <1<213,∴2 1.01ln ln <2π3ln ln <22ln 13∴a 1，则32log >0.2，2=332log >b =30.2>30=1，得b =30.2∈1,2 ，而c =22log =2，所以，a y >xB.x >z >yC.y >x >zD.y >z >x【答案】D【解析】设f x =0.5x log ，则根据对数函数单调性知f x 为减函数，则f 2 <f 1 ，即0.52log <0.51log =0；设g x =0.9x log ，g x 单调递减，则g 0.5 >g 0.9 ，即0.90.5log >0.90.9log =1；设h x =0.5x ，则根据指数函数单调性可知，h x 单调递减，则h 0.9 <h 0 ，即0<0.50.9<0.50=1.综上可知y >z >x ，故选：D13.(2022秋·广东·高三校联考阶段练习)已知实数a =23log ，b =π4cos ，c =32log ，则这三个数的大小关系正确的是()A.a >b >cB.b >a >cC.b >c >aD.a >c >b【答案】A【解析】因为23log >22log =1=33log >32log ，所以a >1>c ，又因为1>b =π4cos=22=12=48>49=23，而c =32log =92log <82log =23，所以1>b >c ，所以a >b >c ，故选：A .14.(2022秋·天津东丽·高三校考阶段练习)设a =38log ,b =21.1,c =0.81.1，则a ，b ，c 的大小关系是()A.b <a <cB.c 21=2，c =0.81.1<0.80=1，所以c <a e ln =1,∴b >1，∵1360sin <1350sin =22，∴c <22，∵c <22=a <1，因此c <a c >bB.c >b >aC.b >a >cD.a >b >c【答案】D【解析】a =312=3>1,b =23log <1,c =23<1∴a 最大，BC 错；c =23=log 2223=log 234=16log 216，b =log 23=16log 227，∴b >c 故选：D 17.(2022·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知a =1.11.2，b =1.21.1，c = 1.21.1log ，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a >b >cB.b >a >cC.b >c >aD.c >b >a【答案】B【解析】显然a =1.11.2>1.10=1，b =1.21.1>1.20=1，c = 1.21.1log < 1.21.2log =1，a b=10a 10b 10=101.1121.21.1=101.1111.211×1.1=101112 11×1.1=101112 9×121144×1.1，显然0<1112<1，有0<1112 9<1，0<121144×1.1=133.1144<1，于是得ab<1，即1<a a >c .故选：B18.(2022秋·四川成都·高三校考期中)已知函数f x =e -x -e x 2，且a =-f 1π1πln ，b =f 1e ，c =f πe x，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.b <c <aC.a <c <bD.b <a <c【答案】D【解析】f x =e -x -e x 2的定义域为R ，满足f -x =-f x ，函数是奇函数，并且函数单调递减，a =-f 1π1πln =-f -πln π =f πln π ,b =f 1e =f e ln e ，c =f πe x =f e x ln e x，设函数g x =x ln x ，令g x =1-xln x 2=0，x =e ，当x ∈0,e 时，g x >0，g x 单调递增，当x ∈e ,+∞ ，g x <0，g x 单调递减，所以当x =e 时，函数取得最大值1e，因为e x>π>e ，所以e x ln ex <πln π<e ln e ，因为函数f x 单调递减，所以f e x ln e x>f πln π >f eln e，即b <a <c .故选：D19.(2022·四川宜宾·统考模拟预测)已知a =2.525，b =7557，c =313，则a ，b ，c 的大小关系为()A.a <b <cB.b <a <cC.c <b <aD.b <c <a【答案】D【解析】由题意可知a =2.525=2.5615=152.56=15244.140625，c =313=1535=15243，故c <a ；又b =7557=1.41521=211.415=212.7445，c =313=2137，因为2.7445<37，故b <c ，综合可得b <c <a ，故选：D .20.(2022秋·天津河东·高三天津市第七中学校考期中)若a =26ln 4，b =2ln 3ln ，c =22π ln 4，则a ，b ，c 的大小关系是()A.a >b >cB.c >b >aC.c >a >bD.b >a >c【答案】C【解析】a -b =26ln 4-2ln 3ln =2ln +3ln 2-42ln 3ln 4=2ln -3ln24>0，∴a >b ，而2π ln >6ln >0，∴22π ln 4>26ln 4，即c >a ，因此c >a >b .故选：C .。

专题14 指、对、幂形数的大小比较问题(精讲精练)(解析版)

专题14 指、对、幂形数的大小比较问题【命题规律】指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升．【核心考点目录】核心考点一：直接利用单调性核心考点二：引入媒介值核心考点三：含变量问题核心考点四：构造函数核心考点五：数形结合核心考点六：特殊值法、估算法核心考点七：放缩法核心考点八：不定方程【真题回归】1．（2022·天津·统考高考真题）已知0.72a =，0.713b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 3c =，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】C 【解析】因为0.70.7221120log 1log 33⎛⎫>>=> ⎪⎝⎭，故a b c >>.故答案为：C.2．（2022·全国·统考高考真题）已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>【答案】A【解析】［方法一］：（指对数函数性质）由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=.又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=.综上，0a b >>. ［方法二］：【最优解】（构造函数）由910m =，可得9log 10(1,1.5)m =∈．根据,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =--> ，则1()1m f x mx -'=-，令()0f x '=，解得110m x m -= ，由9log 10(1,1.5)m =∈ 知0(0,1)x ∈ .()f x 在 (1,)+∞ 上单调递增，所以(10)(8)f f > ，即 a b > ，又因为9log 10(9)9100f =-= ，所以0a b >> .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；法二：利用,a b 的形式构造函数()1(1)m f x x x x =-->，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．3．（2022·全国·统考高考真题）设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，，则（）A ．a b c <-，因为1()111x f x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1()(0)09f f <=，所以101ln 099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1()(0)010f f -<=，所以91ln +01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+'=+=--, 令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)x g x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c > 故选：C.方法二：比较法 0.10.1a e = ， 0.110.1b =- ， ln(10.1)c =-- ， ① ln ln 0.1ln(10.1)a b -=+- ，令()ln(1),(0,0.1],f x x x x =+-∈则 1()1011x f x x x-'=-=<-- ，故 ()f x 在 (0,0.1]上单调递减，可得(0.1)(0)0f f <=，即 ln ln 0a b -< ，所以 a b < ；② 0.10.1ln(10.1)a c e -=+- ，令 ()ln(1),(0,0.1],x g x xe x x =+-∈则 ()()()1111'11x xxx x e g x xe e x x+--=+-=-- ，令 ()(1)(1)1x k x x x e =+-- ，所以 2()(12)0x k x x x e '=--> ，所以 ()k x 在 (0,0.1] 上单调递增，可得 ()(0)0k x k >>，即 ()0g x '> ，所以 ()g x 在 (0,0.1]上单调递增，可得 (0.1)(0)0g g >= ，即 0a c -> ，所以 .a c >故 .c a b <<4．（2021·天津·统考高考真题）设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <=，1b ∴>， 0.3000.40.41<<=，01c ∴<<， a c b ∴<<.故选：D.5．（2022·全国·统考高考真题）已知3111,cos ,4sin 3244a b c ===，则（） A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．a c b >>【答案】A【解析】[方法一]：构造函数因为当π0,,tan 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭故14tan 14c b =>，故1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞， ()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以131cos 0432->，所以b a >，所以c b a >>，故选A [方法二]：不等式放缩因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x得：2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a >1114sin cos 444ϕ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin ϕϕ==当114sin cos 44+=142πϕ+=，及124πϕ=-此时1sin cos 4ϕ==1cos sin 4ϕ==故1cos4=11sin 4sin 44<=<，故b c < 所以b a >，所以c b a >>，故选A [方法三]：泰勒展开设0.25x =，则2310.251322a ==-，2410.250.25cos 1424!b =≈-+， 241sin10.250.2544sin1143!5!4c ==≈-+，计算得c b a >>，故选A. [方法四]：构造函数因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >，所以c b >；设21()cos 1,(0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-+>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，则1(0)=04f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以131cos 0432->，所以b a >,所以c b a >>，故选：A ．[方法五]：【最优解】不等式放缩因为14tan 4c b =，因为当π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭，所以11tan 44>,即1cb >，所以c b >；因为当π0,,sin 2x x x ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭，取18x 得2211131cos 12sin 1248832⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，故b a >，所以c b a >>．故选：A ．【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；方法5：利用二倍角公式以及不等式π0,,sin tan 2x x x x ⎛⎫∈<< ⎪⎝⎭放缩，即可得出大小关系，属于最优解．【方法技巧与总结】（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a ，b ，c 的大小．（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性； ②指数相同，底数不同，如1ax 和2ax 利用幂函数a y x =单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如1log a x 和2log a x 利用指数函数log a x 单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法【核心考点】核心考点一：直接利用单调性【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）已知三个函数112()21,()e 1,()log (1)1x x f x x g x h x x x --=+-=-=-+-的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>【答案】D【解析】∵函数1()21x f x x -=+-为增函数，又11(0)210,(1)102f f -=-=-<=>，∴()0,1a ∈，由1()e 10x g x -=-=，得1x =，即1b =， ∵2()log (1)1h x x x =-+-在()1,+∞单调递增，又223331()log (1)10,(2)log (21)21102222h h =-+-=-<=-+-=>，∴322c <<， ∴c b a >>. 故选：D.例2．（2022春·辽宁大连·高三校联考期中）已知111m n>>，n a n =，m b n =，n c m =，则a ，b ，c 的大小关系正确的为（） A ．c ＞a ＞b B ．b ＞a ＞c C ．b ＞c ＞a D ．a ＞b ＞c【答案】B 【解析】由题意111m n>>，故01m n <<<，由指数函数的单调性，x y n =单调递减，故b a >，由幂函数的单调性，n y x =在(0,)+∞单调递增，故a c >，综上：b a c >>. 故选：B例3．（2022春·贵州黔东南·高二凯里一中阶段练习）设21log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，132log bb =，154c⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c的大小关系是（） A ．b a c <，因为()0f a =，由零点存在定理可知12a <<；构造函数()132log xg x x =-，因为函数2x y =、13log y x =-在()0,∞+上均为增函数，所以，函数()g x 为()0,∞+上的增函数，且1912209g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，1312103g ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，因为()0g b =，由零点存在定理可知1193b <<.因为154c⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1144log 5log 10c =<=，因此，c b a <<.故选：B.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知54m =，89n =，0.90.8p =，则正数m ，n ，p 的大小关系为（） A ．p m n >> B ．m n p >>C ．m p n >>D ．p n m >>【答案】A【解析】由54m =，得125542m ==<89n =，得118493n ==，因此，122112020855202011520442222561324333m n ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪====> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭m n >，由0.90.8p =，得0.90.9log 0.8log 0.812p =>=，于是得p m n >>，所以正数m ，n ，p 的大小关系为p m n >>. 故选：A核心考点二：引入媒介值【典型例题】例5．（2023·全国·高三专题练习）已知3110π,53,log 2a bc ===-，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <=，而35c =<，3553<，所以35553log 3log 55b =>=，所以ac b <<．故选：D ．例6．（2023·全国·高三专题练习）设0.124log 3,log 5,2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】A【解析】依题意，24ln 3log 3ln 32ln 22ln 3ln 9ln 21,ln 5log 5ln 2ln 5ln 5ln 5ln 4a a b b ===⨯==>∴>， 0.14404121log 5log ,2b c ->==<==，所以1a b c >>> 故选：A例7．（2023·全国·高三专题练习）已知14sin 4,ln 4,4a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c b a <=b ， 14124210--==<=<c ，所以a c b <<．故选：C ．例8．（2022·云南昆明·昆明一中模拟预测）已知13e a =，ln 2b =，3log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b c a >> D ．c b a >>【答案】B 【解析】103e e 1=>=a ，ln 2ln e 1b =<=，33log 2log 31c =<=∴a 最大，3lg 2lg 211ln 2log 2lg 20lge lg3lge lg3⎛⎫-=-=-=⋅-> ⎪⎝⎭b c ，∴b c >， ∴a b c >>，故选：B例9．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知0.20.212log 0.5,0.5,log 0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c < ⎪⎝⎭，且0.20.51<，所以a b <. 又12225log 0.4log log 212c ==>>，所以a b c <<，故选：A.例10．（2023·全国·高三专题练习）三个数a ＝0.42，b ＝log 20.3，c ＝20.6之间的大小关系是（） A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜cC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【答案】C【解析】∵0＜0.42＜0.40＝1，∴0＜a ＜1， ∵log 20.3＜log 21＝0，∴b ＜0， ∵20.6＞20＝1，∴c ＞1， ∴b ＜a ＜c ，故选：C ．核心考点三：含变量问题【典型例题】例11．（2022·广西·统考模拟预测）已知正数,,x y z 满足e ,x y =且,,x y z 成等比数列，则,,x y z 的大小关系为（） A ．x y z >> B ．y x z >> C ．x z y >> D ．z y x >>【答案】D【解析】令()e ,0x f x y x x x =-=->，则()e 1xf x '=-，当0x >时，()e 10x f x '=->，()f x 单调递增，所以()0=e >e =1x f x x -，所以e x x >，故y x >，因为正数,,x y z 成等比数列，所以2y xz =即2e x xz =，故2e x z x=，所以2e e 1e x xx z y x x==>，故z y >，综上所述，z y x >>，故选：D例12．（2022春·湖南岳阳·高三统考阶段练习）已知正数,,a b c ，满足ln c a b b e c a =⋅=⋅，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c <，则,=,ln ln e c t t ta b c b b b===，令()()ln 0f x x x x =->，则()111xf x x x-'=-=，当01x <<时0f x，()f x 单调递增，当1x >时()0f x '<，()f x 单调递减，所以()()110f x f ≤=-<，即ln x x <，所以ln b b <，可得a b >，又ln c b =得c b <，综上，c b a <<. 故选：D.例13．（2022春·湖北·高三校联考开学考试）已知,,a b c 均为不等于1的正实数，且ln ln ,ln ln c a b a b c ==，则,,a b c 的大小关系是（）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】D【解析】ln ln ,ln ln c a b a b c ==且a 、b 、c 均为不等于1的正实数，则ln c 与ln b 同号，ln c 与ln a 同号，从而ln a 、ln b 、ln c 同号. ①若a 、b 、()0,1c ∈，则ln a 、ln b 、ln c 均为负数，ln ln ln a b c c =>，可得a c >，ln ln ln c a b b =>，可得c b >，此时a c b >>；②若a 、b 、()1,c ∈+∞，则ln a 、ln b 、ln c 均为正数，ln ln ln a b c c =>，可得a c >，ln ln ln c a b b =>，可得c b >，此时a c b >>.综上所述，a c b >>. 故选：D.例14．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a ，b ，c 满足ln ln ln 0e a a b cb c==-<，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b a c <>>，由ln ln ln 0a a b ce b c==-<，得01,01,1a b c <<<<>，设ln ()(0)x f x x x =>，则21ln ()xf x x -'=，当01x <<时，()0,()'>f x f x 单调递增，因1x e x ≥+，当且仅当0x =时取等号，故(01)a e a a ><<，又ln 0a <，所以ln ln a a ae a >，故ln ln b a b a>， ∴()()f b f a >，则b a >，即有01a b c <<<<，故a b c <<. 故选:C ．例15．（2023·全国·高三专题练习）已知,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且222sin 2sin 1exx a +=，cos cos 1e x x b +=，sin sin 1e x x c +=，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c <，则()2222sin 2sin 12sin exx a f x +==，()cos cos 1cos e x x b f x +==，()sin sin 1sin e xx c f x +==．因为()()()2e 1e 0e e x xxx x xf x -+'==-<在()0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减. 又因为,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()22sin sin sin 2sin 10x x x x -=->，且sin cos x x >，故a c b <<.故选：C ．例16．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考一模）已知()1e ,1x -∈，记ln ln 1ln ,,e 2⎛⎫=== ⎪⎝⎭xx a x b c ，则,,a b c的大小关系是（） A ．a c b << B ．a b c << C ．c b a << D ．b<c<a【答案】A【解析】因为()1e ,1x -∈，所以()()ln ln 1ln 1,0,,e 211,2,1e ⎛⎫=∈-== ⎪⎛⎫∈∈ ⎝⎝⎭⎪⎭xx a x b c ，所以a c b <<，故选：A核心考点四：构造函数【典型例题】例17．（2023·全国·高三专题练习）已知0.03e 1a =-，3103b =，ln1.03c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】B【解析】记()()e 1,0xf x x x =--≥.因为，所以当0x >时，，所以()f x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00f x f >=，即1x e x ->，所以0.03e 10.03->.记()()()ln 1,0g x x x x =+-≥.因为，所以()g x 在()0,+∞上单调递减函数，所以当0x >时，()()00g x g <=，即()ln 1x x +<，所以ln1.030.03<.所以a c >.记()()()ln 1,01xh x x x x=+-≥+. 因为，所以当0x >时，，所以()h x 在()0,+∞上单调递增函数，所以当0x >时，()()00h x h >=，即()ln 11x x x +>+，所以0.033ln1.0310.03103>=+. 所以c b >.综上所述：a c b >>. 故选：B例18．（四川省眉山市2023届高三第一次诊断性考试数学（文）试题）设 1.02a =，0025.e b =，0.92sin 0.06c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c b a <，()0f x >′，此时()f x 单调递增，当0x <，()0f x <′，此时()f x 单调递减，所以()()00e 01f x f >=-=，所以()0.020.02e 0.021f =->，即0.02e 1.02>，所以0.0250.02e e 1.02b a =>>=；又设()sin g x x x =-，()cos 10g x x '=-≤恒成立， ∴当0x >， ()g x 单调递减，()sin (0)0g x x x g =-<= 当0x >时，有sin x x <，则sin0.060.06<，所以0.92sin0.060.920.06 1.02c a =+<+⨯==，综上可得c a b <<．故选：D ．例19．（2023春·广东广州·高三统考阶段练习）设0.1a =，sin0.1b =， 1.1ln1.1c =，则,,a b c 的大小关系正确的是（） A ．b c a << B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】B【解析】令函数()sin f x x x =-，[0,)2x π∈，当02x π<<时，()cos 10f x x '=-<，即()f x 在(0,)2π上递减，则当02x π<<时，()(0)<f x f ，即sin x x <，因此sin 0.10.1<，即b a <；令函数()(1)ln(1)g x x x x =++-，01x ≤<，当01x <<时，()ln(1)0g x x '=+>，则()g x 在(0,1)上单调递增，则当01x <<时，()(0)0g x g >=，即(1)ln(1)x x x ++>，因此0.1 1.1ln1.1<，即a c <，所以,,a b c 的大小关系正确的是b a c <<. 故选：B例20．（2023·全国·高三专题练习）设150a =，()ln 1sin0.02b =+，5121n 50c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c <，()g x 递增，则()()10g x g <=，即ln 1x x <-，所以()ln 1sin0.02sin0.020.02b a =+<<=，令()()2e 1x h x x =-+，则()()e 21x h x x '=-+，()e 2xh x ''=-，当ln 2x <时，()0h x ''<，则()h x '递减，又()()ln 22ln 20,010h h ''=-<=-<，所以当()0,ln 2x ∈时，()0h x '<，()h x 递减，则()()00h x h <=，即()2e 1x x <+，因为()0.020,ln 2∈，则()0.020h <，所以512ln 0.02250e 1.02e <=，即150a =<5121n 50c =，故b a c <<，故选：D例21．（2023·全国·高三专题练习）设11166,2ln sin cos ,ln 5101055a b c ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是___________. 【答案】.b a c <<【解析】由已知可得2111112ln sin cos ln sin cos ln(1sin )101010105b ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()sin f x x x =-，(0,1)x ∈，则()1cos 0f x x '=->，所以()sin f x x x =-在(0,1)上单调递增，所以1(0)05f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即11sin 55>，所以11ln 1sin ln 155b ⎛⎫⎛⎫=+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()ln(1)g x x x =-+，(0,1)x ∈，则1()1011x g x x x '=-=>++，所以()ln(1)g x x x =-+在(0,1)上单调递增，所以1(0)05g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即111ln 1ln 1sin 555⎛⎫⎛⎫>+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以a b >，设6()ln(1)5h x x x =-+，(0,1)x ∈，则651()1551x h x x x -'=-=++，当105x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h x '<，当1,15x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，所以6()ln(1)5h x x x =-+在105⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1(0)05h h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即16166ln 1ln 55555⎛⎫<+= ⎪⎝⎭，所以a c <，所以.b a c << 故答案为：.b a c <<.例22．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）设150a =，112ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，651ln 550c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c << B ．a c b << C ．b<c<a D ．b a c <<【答案】D【解析】因为10.0250ln e ln e a ==，211ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，6551ln 50c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以只要比较6250.02 1.211151e ,sin cos 1sin 1sin 0.02,(10.02)1001005050x y z ⎛⎫⎛⎫==+=+=+==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小即可，令()e (1sin )(0)x f x x x =-+>，则()e cos 0x f x x '=->，所以()f x 在 (0,)+∞上递增，所以()(0)f x f >，所以e 1sin x x >+，所以0.02e 1sin 0.02>+，即1x y >>，令 1.2()(1)e x g x x =+-，则0.2() 1.2(1)e x g x x '=+-，0.8()0.24(1)e x g x x -''=+- 因为()g x ''在(0.)+∞上为减函数，且(0)0.2410g ''=-<，所以当0x >时，()0g x ''<，所以()g x '在(0.)+∞上为减函数，因为(0) 1.210g '=->，0.20.2 1.20.2(0.2) 1.2 1.2e 1.2e g '=⨯-=-，要比较 1.21.2与0.2e 的大小，只要比较 1.2ln1.2 1.2ln1.2=与0.2lne 0.2=的大小，令()(1)ln(1)(0)h x x x x x =++->，则()ln(1)11ln(1)0h x x x '=++-=+>，所以()h x 在上递增，所以()(0)0h x h >=，所以当,()0x ∈+∞时，(1)ln(1)x x x ++>，所以1.2ln1.20.2>，所以 1.21.2>0.2e ，所以0.20.2 1.20.2(0.2) 1.2 1.2e 1.2e 0g '=⨯-=->，所以当(0,0.2)x ∈时，()0g x '>，所以()g x 在(0,0.2)上递增，所以()(0)0g x g >=，所以 1.2(1)e x x +>，所以 1.20.02(10.02)e +>，所以z x >，所以z x y >>，所以c a b >>，故选：D例23．（2022春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知πln ,2,2tan 13a b c ⎫===⎪⎪⎭，则,,a b c 的大小关系是（） A ．c b a >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．a c b >>【答案】A【解析】设()ln (1)f x x x =--，则1()1f x x'=-，当01x <<时，()0f x '>，当1x <时，()0f x '<，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减，所以1x =时，max ()(1)0f x f ==，所以()0f x <，即ln 1x x <-，所以πln213a b ⎫==<=⎪⎪⎭，又(2tan 121tan c b x x ⎫⎫=>=>⎪⎪⎪⎪⎭⎭，对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立). 因此c b a >>，故选：A .例24．（2023·全国·高三专题练习）设23a =ln 2)b =-，3c =，则,,a b c 的大小关系是（） A ．b<c<a B ．c b a << C ．b a c << D ．a b c <<【答案】A【解析】①先比较,a c：2332a ==，3c =，设函数2e ()x f x x =，则'3e (2)()0x x f x x -=<，得函数()f x 在(0,2)单调递减，'3e (2)()0x xf x x-=>得函数()f x 在(2,)+∞单调递增所以f f<即c a<；②再比较,b c：由①知2mine()(2)4f x f f c==<=，而1ln2)2b=-=，设2(ln2)3()xh xx+=，'22(ln1)3()xh xx+=-当1ex<<，'()0h x>，()h x单调递增，当1ex>，'()0h x<，()h x单调递减，所以max12()()ee3b h h x h=<==，而22e ee.e344f c<=<=，所以b c<，故选：A核心考点五：数形结合【典型例题】例25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2xf x x=+，2()logg x x x=+，()2sinh x x x=+的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（）A．a b c>>B．b a c>>C．c a b>>D．b c a>>【答案】D【解析】由()2sin0h x x x=+=得0x=，0c∴=，由()0f x=得2x x=-，由()0g x=得2log x x=-.在同一平面直角坐标系中画出2xy=、2logy x=、y x=-的图象，由图象知a<0，0b>，a c b∴<<.故选：D例26．（2023·江苏·高三专题练习）已知正实数a，b，c满足2e e e ec a a c--+=+，28log3log6b=+，2log2c c+=，则a，b，c的大小关系为()A．a b c<<B．a c b<<C．c a b<<D．c b a<<【答案】B【解析】22e e e e e e e e c a a c c c a a ----⇒+=+-=-，故令()e e x x f x -=-，则()e e c c f c -=-，()e e a af a -=-．易知1e exx y -=-=-和e x y =均为()0,+∞上的增函数，故()f x 在()0,+∞为增函数． ∵2e e a a --<，故由题可知，2e e e e e e c c a a a a ----=->-，即()()f c f a >，则0c a >>．易知22log 3log log 2b =+>，2log 2c c =-，作出函数2log y x =与函数2y x =-的图象，如图所示，则两图象交点横坐标在()1,2内，即12c <<，c b ∴<，a cb ∴<<．故选：B ．例27．（2023·全国·高三专题练习）已知e ππee ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（）A ．c b a <，则()()21ln ,0x f x x x -'=>，由0fx，解得0e x <<，由()0f x '<，解得e x >，所以()()ln ,0xf x x x=>在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减；因为πe >，所以()()πe f f <，即ln πln eπe<，所以eln ππlne <，所以e πln πln e <，又ln y x =递增，所以e ππe <，即b a <；ee ππ=⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在同一坐标系中作出xy =与y x =的图象，如图：由图象可知在()2,4中恒有xx >，又2π4<<，所以ππ>，又e y x =在()0,∞+上单调递增，且ππ>所以eπe πeπ=⎡⎤>⎢⎥⎣⎦，即b c >；综上可知：c b a <<，故选：A例28．（2022春·四川内江·高三校考阶段练习）最近公布的2021年网络新词，我们非常熟悉的有“yyds ”、“内卷”、“躺平”等．定义方程()()f x f x '=的实数根x 叫做函数()f x 的“躺平点”．若函数()ln g x x =，()31h x x =-的“躺平点”分别为α，β，则α，β的大小关系为（） A ．αβ≥ B ．αβ> C ．αβ≤ D ．αβ<【答案】D【解析】∵()ln g x x =，则()1g x x'=，由题意可得：1ln aα=，令()1ln G x x x=-，则α为()G x 的零点，可知()G x 在定义域()0,∞+内单调递增，且1110,e 10eG G ，∴()1,e α∈；又∵()31h x x =-，则()23h x x '=，由题意可得：3213ββ-=，令()3231H x x x =--，则β为()H x 的零点，()()23632H x x x x x '=-=-，令()0H x '>，则0x <或2x >，∴()H x 在(),0∞-，()2,+∞内单调递增，在()0,2内单调递减，当(),2x ∈-∞时，()()010H x H ≤=-<，则()H x 在(),2-∞内无零点，当[)2,x ∞∈+时，()()310,4150H H =-<=>，则()3,4β∈，综上所述：()3,4β∈；故αβ<. 故选：D.核心考点六：特殊值法、估算法【典型例题】例29．（2022·全国·高三专题练习）已知3142342,3,log 4,log 5a b c d ====，则a b c d ,,,的大小关系为（）A ．b a d c >>>B ．b c a d >>>C ．b a c d >>>D ．a b d c >>>【答案】C 【解析】依题意，314222)a ==，函数y =[0,)+∞上单调递增，而934<<，于是得112232)32<<，即32b a >>，函数4log y x =在(0,)+∞单调递增，并且有44log 30,log 50>>，则44442log 16log 15log 3log 5=>=+=2+>于是得44log 3log 51⨯<，即4341log 5log 4log 3<=，则c d >，又函数3log y x =在(0,)+∞单调递增，且4<333log 4log 2<=，所以32b acd >>>>. 故选：C例30．（2022·全国·高三专题练习）已知a =142b =，2e log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】B 【解析】由49a =，42b =，可知1a b >>，又由2e 8<，从而32e 2<=，可得23log e 2c a =<<，因为4461296()205625b -=-<，所以615b <<；因为565e 2 2.7640->->，从而56e 2>，即65e 2>，由对数函数单调性可知，65226log e >log 25c ==，综上所述，a c b >>. 故选：B.例31．（2023·全国·高三专题练习）若e b a >>>b m a =，a n b =，log a p b =，则m ，n ，p 这三个数的大小关系为（） A ．m n p >> B ．n p m >> C ．n m p >> D ．m p n >>【答案】C【解析】因为e b a >>> 所以取52,2a b ==，则()5225,6bm a ===，25256.2524a n b ⎛⎫=== ⎪⎝⎭=，()25log log 1,22a pb ==∈，所以n m p >>.故选：C.核心考点七：放缩法【典型例题】例32．（2022·全国·模拟预测）已知2022a =，2223b =，c a b =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c a b >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．a b c >>【答案】D【解析】分别对2022a =，2223b =，c a b =两边取对数，得20log 22a =，22log 23b =，log a c b =．()22022lg 22lg 20lg 23lg 22lg 23log 22log 23lg 20lg 22lg 20lg 22a b -⋅-=-=-=⋅．由基本不等式，得:()222222lg 20lg 23lg 460lg 484lg 22lg 20lg 23lg 222222⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅<=<== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()2lg 22lg 20lg 230-⋅>，即0a b ->，所以1a b >>．又log log 1a a c b a =<=，所以a b c >>. 故选：D ．例33．（2023·全国·高三专题练习）已知：0.42e a =，0.52b =，4log 5c =，则a 、b 、c 大小关系为（） A ．b a c >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】B【解析】令()e 1x f x x =--，则()e 1xf x '=-，当0x >时，0fx，所以函数()f x 在()0,∞+上递增，所以()()0.4200f f >=，即0.42e 0.421>+，又21.42 2.01642=>，所以0.420.5e 0.4212>+>，所以a b >，又25252416⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以0.5524>，54444441024log 54log 5log 4log 55625log 504444---===>，所以0.5452log 54>>，所以a b c >>. 故选：B.例34．（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知实数,,a b c 满足12330a b +⨯-=1=()()25log 3a c x x x =+-+∈R ，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】D【解析】由12330a b +⨯-=得：2333a b ⨯=⨯，3312a b-∴=>，0a b ∴->，即a b >；31b +=>c b >；由()()25log 3a c x x x =+-+∈R 得：()25log 3a c x x -=-+，221553222y x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，()25555log 3log log 102x x ∴-+≥>=，即a c >；综上所述：a c b >>. 故选：D.例35．（2022·全国·高三专题练习）己知544567,117<<，设6711log 5,log 6,log 7a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为_______．（用“<”连接）【答案】a b c <<【解析】由544567,117<<得 7115log 645log 7<<，即7114log 6log 75<<， b c ∴<，又267lg 5lg 6lg 5lg 7lg 6log 5log 6lg 6lg 7lg 6lg 7a b ⋅--=-=-=⋅22lg5lg 7lg 62lg 6lg 7+⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅<， lg5lg7lg35lg36+=<，lg5lg 7lg 62+∴<， 22lg5lg 7lg 62+⎛⎫∴ ⎪⎝⎭<，a b ∴<，综上：a b c <<．故答案为：a b c <<．核心考点八：不定方程【典型例题】例36．（2022·宁夏·银川一中一模（文））已知实数a ，b ，c ，满足ln e a b c ==，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b c a >> D ．a c b >>【答案】C解：设e ()x x f x =-，则()e 1x f x '=-，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，所以min ()(0)10f x f ==>，故e x x >，所以e a c a =>，又ln b c =，所以e c b c =>，所以b c a >>. 故选：C ．例37．（2023·全国·高三专题练习）正实数,,a b c 满足422,33,log 4ab a bc c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（） A ．b a c <，()11112202f -=+-=-<，()()120f f <，则12a <<； 33b b +=，即330b b +-=，即33b b =-，由3xy =与3y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则330x x +-=在()0,∞+只有一个根b ，令()33xg x x =+-，()113310g =+-=>， 12115330222g ⎛⎫=+-=< ⎪⎝⎭，()1102g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故112b <<；4log 4c c +=，即4log 4c c =-，即4log 40c c +-=，由4log y x =与4y x =-的图象在()0,∞+只有一个交点，则4log 40x x +-=在()0,∞+只有一个根c ，令()4log 4h x x x =+-，()444log 4410h =+-=>，()4433log 34log 310h =+-=-<，()()340h h <，则34c <<；b ac ∴<<故选：A.【新题速递】一、单选题1．（2022春·天津和平·高三耀华中学阶段练习）已知0.5x x =，0.5log y y x =，log 0.5zx z =，则（） A ．y x z <，故0.50.51log 0log x >=，∵0.5log y x =在定义域上单调递减， 0.501,0log 1x x ∴<<<<，0.51x ∴<<，∵0.50z >， ∴1log 0log x x z >=， ∵0.51x <<， ∴01z <<，故()0.50,1z∈，则()log 0,1x z ∈，1x z ∴<<，0.5log y y x =，由定义域可知：0y >，又∵0.51x <<，∴()0,1yx ∈，则()0.5log 0,1y ∈，()0.5,1y ∴∈，故y x x <，∵0.5log x x =，0.5log yy x =， ∴0.50.5log log x y <，x y ∴>，y x z ∴<<. 故选：A.2．（2022·浙江·模拟预测）已知正数a ，b ，c 满足3e 1.1a =，251030b b +-=，e 1.3c =，则（） A ．a c b <-，显然2()01x f x x -'=<+，故()f x 是减函数，结合(0)0f =，故0x >时，()0f x <，。

高考数学知识点：函数比较大小(解析版)

函数比较大小专项突破一指数式、对数式，幂式比较大小1.已知a=log2e，b=ln2，c=1e，其中e为自然对数的底数，则( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a【解析】∵log2e>log22=1=ln e>ln2>ln2=12>1e，∴a>b>c.故选：A.2.设a=325，b=25 3，c=log325，则( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>b>a【解析】结合指数函数性质和对数函数性质可知a=325>30=1，0<b=253<250=1，c=log325<log31=0，∴a>b>c，故选：A.3.已知a,b,c,d∈R,2a=3b=log12c=log13d=2，则( )A.a<b,c<dB.a<b,c>dC.a>b,c<dD.a>b,c>d【解析】因为a,b,c,d∈R,2a=3b=log12c=log13d=2，所以a=1,b=log32<1，故a>b，c=12 2=14,d=13 2=19，所以c>d.故选：D.4.若a=50.3，b=0.35，c=ln sin22020，则a，b，c的大小关系为( )A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b【解析】a=50.3>1，b=0.35∈0,1，0<sin22020<1，所以c=ln sin22020<0，所以a>b>c 故选：A5.已知a=12 13，b=53 12，c=log2352，则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c【解析】a=1213<12 0=1，b=53 12>53 0=1，c=log2352<log231=0，∴b>1>a>0>c.故选：C.6.已知a=30.5，b=log32，c=tan56π，则( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b【解析】∵30.5>30=1=log33>log32>log31=0>-33=tan5π6，∴a>b>c.故选：A.7.已知幂函数f x 的图象经过点A3,27与点B t,64，a=log0.1t，b=0.2t，c=t0.1，则( ) A.c<a1，所以a<b<c，故选：B8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x1，x2∈(0,+∞)，都有f(x1)-f(x2)x1-x2>0(x1≠x2)，a=f log 1312，b =f log 213 ，c =f 512，则( )A.a >b >c B.c >a >b C.b >a >c D.c >b >a【解析】因为对任意x 1，x 2∈(0,+∞)，都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0(x 1≠x 2)，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增，又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )=f (-x )因为log 1312=log 32，又0=log 31<log 32<log 33=1所以log 1312∈0,1 ，又1=log 22<log 23<log 24=2，512=5>2所以0<log 1312<log 23<512，所以f log 1312 <f log 23 =f -log 23 =f log 213 <f 512 所以c >b >a .故选：D .9.已知定义在R 上的偶函数f x 满足f x +6 =f x ，且当x ∈0,3 时，f x =xe x ，则下面结论正确的是( )A.f ln3 <f e 3 <f -eB.f -e <f ln3 <f e 3C.f e 3 <f -e <f ln3D.f ln3 <f -e <f e 3【解析】∵x ∈0,3 ，f x =xe x ，∴f x =e x x +1 ，∴x ∈0,3 时，f x 单调递增；∵f x +6 =f x ，∴x ∈18,21 ，f x 单调递增；∵2+3×6<e 3<e +3×6 ，∴f 2+3×6 <f e 3 <f e +3×6 ，∴f 2 <f e 3 <f e ，∵f -x =f x ∴f -e =f e ，∴0<ln3<ln e 2=2，∴f ln3 <f 2 ，综上所述，f ln3 <f e 3 <f -e .故选：A .10.已知定义在R 上的函数y =f (x -1)的图象关于点(1，0)对称，且函数y =f (x )在(0,+∞)上单调递增，a =0.23，b =30.2，c =log 0.20.3，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A.f (a )>f (b )>f (c )B.f (c )>f (a )>f (b )C.f (b )>f (c )>f (a )D.f (c )>f (b )>f (a )【解析】因为函数y =f (x -1)的图象关于点(1，0)对称，所以y =f (x )的图象关于点(0，0)对称,即函数y =f (x )为奇函数，所以a =0.23=0.008，b =30.2>30=1，c =log 0.20.3=log 0.20.09>log 0.20.2=12，故b >c >a >0，又函数y =f (x )在(0,+∞)上单调递增，所以f (b )>f (c )>f (a )，故选：C .11.已知a =ln12，b =ln lg2 ，c =lg ln2 则a ，b ，c 的大小关系是( )A.c >a >bB.c >b >aC.a >b >cD.b >c >a【解析】先比较a ,b ，易知lg2<12,故ln (lg2)<ln 12，即b <a ，又e <10，故x >1时ln x >lg x ，0<x <1时ln x <lg x ，故lg 12>ln 12，而ln2>12，故lg (ln2)>lg 12>ln 12，有c >a ，故选：A ，12.已知x ∈1,2 ，则下列说法正确的是( )A.ln22x>2ln2x >x 2ln2 B.x 2ln2>ln22x>2ln2x C.2ln2x >x 2ln2>ln22xD.2ln2x >ln22x>x 2ln2【解析】∵x 2ln2=ln2x 2，2ln2x =ln 2x 2，∴比较2x 2，2x 2，22x的大小关系即可．1、当x ∈1,2 时，x 2<2x ，x 2<2x ，故2x 2<22x，2x 2<2x 2，故x 2ln2<ln22x，x 2ln2<2ln2x ．2、令2x =t ∈2,4 ，则2x 2=t 2，22x =2t ．由2t <t 2，即22x <2x 2，则2ln2x >ln22x．综上，2ln2x >ln22x>x 2ln2.故选：D ．13.(多选)已知a ,b ,c ∈R ，且ln a =e b =1-c ，则下列关系式中可能成立的是( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a【解析】设ln a =e b =1-c =t ,t >0，则a =e t ,b =ln t ,c =1-t ，在同一直角坐标系中分别画出函数y =e x ,y =ln x ,y =1-x 的图像，当0<t <1时，a >c >b ，当t =1时，a >c =b ，当t >1时，a >b >c ，故AB 正确.14.(多选)若b >c >32，13<a <12，则( )A.b log c a <c log b aB.bc a <cb aC.b a >c aD.log b a <log c a【解析】对于A 选项，因为b >c >32，13<a <12，则log c a <0，log b a <0，b b >b c >c c >1，b log c a c log b a =b lg a lg c ⋅lg b c lg a =lg b blg c c>1，所以，b log c a <c log b a ，A 对；对于B 选项，bc a cba =bc ⋅b c -a =b c 1-a >b c 0=1，则bc a >cb a ，B 错；对于C 选项，b a >c a ，C 对；对于D 选项，log b a log c a =lg a lg b ⋅lg c lg a =lg clg b<1，所以，log b a >log c a ，D 错.故选：AC .15.已知a =2-13，b =log 213，c =log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为___________.【解析】因为y =2x 在R 上为增函数，且-13<0，所以0<2-13<20=1，即0<a <1，c =log 1213=log 23因为y =log 2x 在(0,+∞)上为增函数，且0<13<1<2<3，所以log 213<log 21<log 22<log 23，即log 213<0<1<log 23，即b <0<1<c ，所以b <a <c ，16.若a =log 23，b =log 48，c =log 58，则a ,b ,c 的从大到小顺序为______________.【解析】由于b =log 48=12log 28=log 28<log 29=a ，即a >b .由b =log 48=1log 84>1log 85=c ，即b >c .所以a >b >c .17.已知a =35 25，b =25 35，c =2525，则a ，b ，c 的大小关系为____.(用“<”连接)【解析】由于函数y =25 x 在R 上是减函数，且35>25，∴c =25 25>b =2535，由于函数y =x 25在0,+∞ 上是增函数，且35>25，∴a =35 25>c =2525，故a ，b ，c 的大小关系是b <c <a .18.1.10.9，log 1.10.9，log 0.70.8的大小关系是________.【解析】因为y =1.1x 单调递增，所以1.10.9>1.10=1；因为y =log 1.1x 在0,+∞ 上单调递增，所以log 1.10.9<log 1.11=0；因为y =log 0.7x 在0,+∞ 上单调递减，所以0=log 0.71<log 0.70.8<log 0.70.7=1；所以1.10.9>log 0.70.8>log 1.10.9.19.已知a >b >0，且a +b =1，x =1a b ，y =log ab 1a +1b ，z =log b 1a，则x ，y ，z 从大到小为__________.【解析】∵a >b >0，a +b =1，∴1>a >12>b >0，∴1<1a <1b，∴x =1a b >1a 0=1，y =log (ab )1a +1b =log (ab )1ab =-1，z =log b 1a >log b 1b=-1.∴x >z >y .20.已知55<84，134<85，设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则a ，b ，c 的大小关系是______.(用“<”连接)【解析】由题意，知a ,b ,c ∈0,1 .因为a b =log 53log 85=lg3lg5⋅lg8lg5<1lg52⋅lg3+lg82 2=lg3+lg82lg5 2=lg24lg25 2<1，所以a 4，可得c >45，综上所述，a ，b ，c 的大小关系是a <b <c .21.已知x ,y ,z 分别满足下列关系：18x =19,19y =20,log 1918z =2019，则x ,y ,z 的大小关系(从小写到大)_______.【解析】因为18x=19,19y=20,log 1918z =2019，所以x =log 1819,y =log 1920,z =1918 2019，x -y =log 1819-log 1920=ln19ln18-ln20ln19=ln19 2-ln20⋅ln18ln18⋅ln19ln20⋅ln18<ln20+ln182 2=ln3602 2<ln36122=ln19 2，所以x -y >0即x >y ，z =1918 2019>1918，z x >1918log 1819=1918⋅ln18ln19=ln1818÷ln1919>1所以z >x ，故有y <x <z22.设a ,b ,c 均为正数，且2a =log 12a ,12b =log 12b ,12 c=log 2c ，则a ,b ,c 的大小关系为______________．【解析】a ,b ,c 分别是函数y =2x ,y =log 12x 的交点，函数y =12x,y =log 12x 的交点，函数y =12x,y =log 2x 的交点，做出三函数图像，由图像可知a 13，∴25 0.3>130.3；(2)∵y =x -1在-∞，0 上是减函数，又-23<-35，∴-23 -1>-35 -1；(3)∵y =x 0.3在0,+∞ 上为增函数，∴由25>0.3，可得250.3>0.30.3，①又y=0.3x在(-∞,+∞)上为减函数，∴0.30.3>0.325，②由①②知250.3>0.325.24.比较下列几组值的大小：(1)(-2.5)23和(-2.5)45；(2)25 -12和(0.4)-32；(3)13 -12和32 -12；(4)0.4-2.5，2-0.2，2.51.6．【解析】(1)由于(-2.5)23=2.523，(-2.5)45=2.545．∵y=2.5x在R上为增函数，且45>23，∴2.545>2.523，即(-2.5)45>(-2.5)23；(2)由于(0.4)-32=25 -32．∵y=25 x在R上为减函数，且-12>-32，∴25 -12<(0.4)-32；(3)∵y=13 x在R上为减函数，y=32 x在R上为增函数，且-12<0，∴13 -12>1，32 -12<1，∴13 -12>32 -12；(4)∵0.4-2.5=2.52.5，y=2.5x在R上为增函数，且2.5>1.6>0>-0.2∴2.52.5>2.51.6>1>2.5-0.2，∴0.4-2.5>2.51.6>2-0.2．25.已知正实数x，y，z满足3x=4y=6z．(1)求证：1z-1x=12y；(2)比较3x,4y,6z的大小．【解析】(1)证明：令3x=4y=6z=m，利用指数式和对数式的互化知x=log3m，y=log4m，z=log6m则1x=log m3，1y=log m4，1z=log m6∴1z-1x=log m6-log m3=log m2=12y.(2)3x<4y<6z，证明：因为正实数x，y，z，∴3x>0,4y>0,6z>0，∴3x4y=3log3m4log4m=3lg mlg34lg mlg4=34×lg4lg3=34log34=log3464又464<3，∴log3464<1，∴3x<4y∴4y6z=4log4m6log6m=4lg mlg46lg mlg6=23×lg6lg4=23log46=log236又36<2，∴log236<1，∴4y<6z，∴3x<4y<6z．专项突破二构造函数比较大小1.已知f (x)是定义在R上的函数f(x)的导函数，且满足xf (x)+f(x)>0对任意的x∈R都成立，则下列选项中一定正确的是( )A.f(1)>f(2)2 B.f(1)2>f(2) C.f(1)<f(2)2 D.f(1)2<f(2)【解析】令F x =xf x ，则F x =xf (x)+f(x)>0，故F x 为R上的增函数，所以F2 >F1 即2f2 >f1 ，故选：D.2.若a=ln33，b=e-1，c=5ln2010(e为自然对数的底数)，则实数a，b，c的大小关系为( )A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.b<c<a【解析】令f(x)=ln xx，则f (x)=1-ln xx2，故当x∈(0,e)时，f(x)>0；当x∈(e,+∞)时，f (x)<0；而a=ln33=ln33=f(3)，b=e-1=ln ee=f(e)，c=5ln2010=ln2525=f25，而e<3<25，故b>a>c，故选：B3.已知a=ln33，b=1e，c=ln55，则以下不等式正确的是( )A.c>b>aB.a>b>cC.b>a>cD.b>c>a【解析】令f x =ln xx,则f x =1-ln xx2,当0<x<e时,f x >0,f x 单调递增,当x>e时,f x <0,f x 单调递减,因为e<3<5,所以f e >f3 >f5 ,所以b>a>c，故选:C 4.设a=3e2ln e23，b=1e，c=ln22，则a，b，c的大小顺序为( )A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c【解析】令f x =ln xx x>0，则f (x)=1-ln xx2，当x>e时，f (x)<0，函数单调递减，当0<x<e时，f (x)>0，函数单调递增，故当x=e时，函数取得最大值f e =1 e，因为a=3e2ln e23=f e23，c=ln22=f2 ，b=1e=f e ，∵2<e23<e，当0<x<e时，函数f x 单调递增，可得f2 <fe23<f e ，即c<a<b．故选：B．5.已知a=810，b=99，c=108，则a，b，c的大小关系为( )A.b>c>aB.b>a>cC.a>c>bD.a>b>c【解析】构造f x =18-xln x，x≥8，f x =-ln x+18x-1，f x =-ln x+18x-1在8,+∞时为减函数，且f 8 =-ln8+94-1=54-ln8<54-ln e2=54-2<0，所以f x =-ln x+18x-1<0在8,+∞恒成立，故f x =18-xln x在8,+∞上单调递减，所以f8 >f9 >f10，即10ln8>9ln9>8ln10，所以810>99>108，即a>b>c.故选：D6.已知实数a，b满足a=log23+log86，5a+12a=13b，则下列判断正确的是( )A.a>2>bB.b>2>aC.b>a>2D.a>b>2【解析】a=log23+log86=log23+13log22×3=43log23+13>43log222+13=43×32+13=73>2，所以a>2；由5a+12a=13b且a>2，所以5a+12a>25+144=169，所以b>2，令f x =5x+12x-13x，x>2，令t=x-2>0，则x=t+2，则f x =5x+12x-13x，x>2等价于g t =25×5t+144×12t-169×13t，t>0；又g t =25×5t+144×12t-169×13t<169×12t-169×13t<0，所以当x>2时，f x =5x+12x-13x<0，故5a+12a=13b<13a，所以a>b>2.故选：D.7.设a=20202022，b=20212021，c=20222020，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a【解析】∵ln a ln b =2022ln20202021ln2021=ln20202021ln20212022，构造函数f x =ln x x +1x ≥e 2，f x =x +1-x ln x x x +1 2，令g x =x +1-x ln x ，则gx =-ln x <0，∴g x 在e 2,+∞ 上单减，∴g x ≤g e 2 =1-e 2<0，故f x <0，∴f x 在e 2,+∞ 上单减，∴f 2020 >f 2021 >0，∴ln aln b =f 2020 f 2021>1∴ln a >ln b .∴a >b ，同理可得ln b >ln c ，b >c ，故a >b >c ，故选：A 8.设a =23e1.5，b =23(4-ln2)，c =e 33，则a ,b ,c 的大小关系是( )A.b <c <aB.c 0得函数f (x )在(2,+∞)单调递增所以f (3)<f 32即c <a ；②再比较b ,c ：由①知f min (x )=f (2)=e 24<f (3)=c ，而b =2232-12ln2 =232+ln 12 12，设h (x )=23(ln x +2)x ，h (x )=-23(ln x +1)x 2当0<x <1e ，h (x )>0，h (x )单调递增，当x >1e，h(x )<0，h (x )单调递减，所以b =h 12 <h max (x )=h 1e =23e ，而23e <e 4.e =e 24<f (3)=c ，所以b <c ，故选：A9.已知a ,b ,c ∈(0,1)，且a 2-2ln a +1=e ，b 2-2ln b +2=e 2，c 2-2ln c +3=e 3，其中e 是自然对数的底数，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a【解析】设f x =x 2-2ln x ,g x =e x -x ，则f a =g 1 ,f b =g 2 ,f c =g 3 ，又g x =e x -1>0x >0 ，所以g x 在0,+∞ 上单调递增，所以g 3 >g 2 >g 1 ，即f c >f b >f a ，因为fx =2x -2x =2x 2-1 x<0x ∈0,1 ，所以f x 在0,1 上单调递减，所以a >b >c ，故选：A 10.设a =e 1.3-27,b =4 1.1-4,c =2ln1.1，则( )A.a 33，∴e 1.3<27，∴a <0；b -c =4 1.1-4-2ln1.1=22 1.1-2-ln1.1 ，令f x =2x -2-ln x ，∴f x =1x-1x =x -1x ，∴当0<x <1时，f x <0，f x 单调递减；当x >1时，f x >0，f x 单调递增；∴f (x )min =f 1 =0，∴f 1.1 >0，即2 1.1-2-ln1.1>0，∴c 2ln1=0，∴a <c <b ．故选：B ．11.已知定义在R 上的偶函数f x 满足f x +6 =f x ，且当x ∈0,3 时，f x =xe x ，则下面结论正确的是( )A.f ln3 <f e 3 <f -eB.f -e <f ln3 <f e 3C.f e 3 <f -e <f ln3D.f ln3 <f -e <f e 3【解析】∵x ∈0,3 ，f x =xe x ，∴f x =e x x +1 ，∴x ∈0,3 时，f x 单调递增；∵f x +6 =f x ，∴x ∈18,21 ，f x 单调递增；∵2+3×6<e 3<e +3×6 ，∴f 2+3×6 <f e 3 <f e +3×6 ，∴f 2 <f e 3 <f e ，∵f -x =f x ∴f -e =f e ，∴0<ln3<ln e 2=2，∴f ln3 <f 2 ，综上所述，f ln3 <f e 3 <f -e .故选：A .12.设a =10099，b =e 0.01，c = 1.02，则( )A.a >b >cB.a >c >bC.b >a >cD.c >a >b【解析】令f x =e x -x +1 ，则f x =e x -1，所以当x <0时f x <0，当x >0时f x >0，所以f x 在0,+∞ 上单调递增，在-∞,0 上单调递减，所以f x ≥f 0 =0，即e x -x +1 ≥0恒成立，即e x ≥x +1(当x =0时取等号)，所以e 0.02>1+0.02⇒e 0.01> 1.02，∴b >c ，又e -x ≥1-x (当x =0时取等号)，所以当x <1且x ≠0时，有1e x >1-x ⇒e x <11-x ，∴e 0.01<11-0.01=10099，∴a >b ．故选：A13.已知a =e 0.1-1，b =sin0.1，c =ln1.1，则( )A.a 0时，e x >1，∴e x -cos x >0，∴f x >0，f x 单调递增，∴f 0.1 >f 0 ，即e 0.1-1-sin0.1>0，∴e 0.1-1>sin0.1，即a >b ，令g x =ln x +1 -sin x ，∴g x =1x +1-cos x =1-x +1 cos x x +1=1-x cos x -cos xx +1，令h x =1-x cos x -cos x ，∴h x =x +1 sin x -cos x 令φx =x +1 sin x -cos x ，∴φ x =2sin x +x +1 cos x ，当0<x <π6时，φ x >0，∴h x 单调递增，∴h x <h π6 =π6+1 sin π6-cos π6=π+61-3 12<0∴h x 在x ∈0,0.1 上单调递减，∴h x <h 0 =0，∴g x <0，∴g x 在x ∈0,0.1 上单调递减，∴g 0.1 <g 0 =0，即ln1.1-sin0.1<0，∴c 0时，xf x -f x <0，记a =f 20.2 20.2，b =f 0.22 0.22，c =f log 25log 25，则错误的有( )A.a 0时，xf x -f x <0，得g x <0，g x 在0,+∞ 上单调递减，又log 25>log 24=2，1<20.2<2，0<0.22=0.04<1，可得log 25>20.2>0.22，故g log 25 <g 20.2 <g 0.22 ，故c <a bB.a ≤bC.a <2bD.a ≥2b【解析】设f x =13x+log 13x ，则f x 在0,+∞ 为减函数，因为13 a +log 13a =19 b +2log 19b =19 b +log 13b ,所以f a -f b =13 a +log 13a -13 b+log 13b =19 b +log 13b -13 b +log 13b =19 b -13 b =13 2b -13 b ，因为2b >b >0,所以13 2b <13 b ，所以13 2b -13b<0，即f a <f b ，从而a >b ,所以A 正确，B 错误；而f a -f 2b =13 a +log 13a -13 2b +log 132b =13 2b +log 13b -13 2b +log 132b =log 13b -log 132b >0,所以f a >f 2b ,所以a <2b ，所以C 正确，D 错误.故选：AC .16.(多选)已知定义在0,π2上的函数f (x )的导函数为f (x )，且f (0)=0，f (x )⋅cos x +f (x )sin x <0，则下列选项中正确的是( )A.f π6<62f π4B.f π3>0 C.f π6>3f π3D.f π4>2f π3【解析】令g (x )=f (x )cos x ，x ∈0,π2 ，则g(x )=f(x )cos x +f (x )sin x cos 2x.因为f (x )cos x +f (x )sin x <0，所以g(x )=f (x )cos x +f (x )sin x cos 2x<0在0,π2 上恒成立，所以函数g (x )=f (x )cos x 在0,π2 上单调递减，所以g π6 >g π4 ，即f π6 cos π6>f π4 cos π4，f π6 >62f π4，故A 错误；又f (0)=0，所以g (0)=f (0)cos0=0，所以g (x )=f (x )cos x≤0在0,π2 上恒成立，因为π3∈0,π2，所以f π3 ≤0，故B 错误；又g π6 >g π3 ，所以f π6 cos π6>f π3cosπ3，即f π6 >3f π3 ，故C 正确；又g π4 >g π3 ，所以f π4 cos π4>f π3cosπ3，即f π4 >2f π3 ，故D 正确.故选：CD .17.若a =2ln (ln1.01),b =ln ln3π 2,c =23ln2，则a ，b ，c 的大小关系为____________．【解析】因为b =ln ln 3π 2=2ln ln 3π =2ln ln π3 ，c =23ln2=2ln213，所以构造函数f x =2ln x ，由对数函数的性质知，f x 在0,+∞ 上单调递增，所以只需比较ln1.01，ln π3，213的大小，由于1.01×3=3.03<π，故π3>1.01,所以ln1.01<lnπ3<1<213,所以a=2ln(ln1.01)<b=2ln ln π3<2ln213=23ln2=c,故答案为：a<b<c18.已知f x 是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有x2f x1-x1f x2x1-x2<0，记a=f4.10.24.10.2，b=f0.42.10.42.1，c=f log0.24.1log0.24.1，则a，b，c的大小关系__________．【解析】设0<x1<x2，因为x2f x1-x1f x2x1-x2<0，则x2f x1-x1f x2>0，即f x1x1>f x2x2，所以函数g x =f xx在0,+∞上单调递减．因为f x 是定义在R上的奇函数，所以g-x=f-x-x=-f x-x=f xx=g x ，所以g x 是定义在-∞,0∪0,+∞上的偶函数，因此a=f4.10.24.10.2=g4.10.2<g1 ，b=f0.42.10.42.1=g0.42.1>g0.42>g0.5，c=f log0.24.1log0.24.1=g log0.24.1=g log54.1∈g1 ,g12，即a<c<b．。

十大方法玩转指对幂比较大小(解析版)

“十大方法”，玩转指对幂比较大小目录一、重难点题型方法方法一：单调性法方法二：“媒介值”法方法三：作差法方法四：作商法方法五：构造函数法方法六：乘方法方法七：对数法方法八：零点法方法九：特殊值法方法十：放缩法二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：单调性法【典例分析】例1.(2023·全国·高三专题练习)设a=30.9，b=90.5，c=13-12，则( )．A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a 【答案】C【分析】将三个指数幂化成同底指数幂，利用指数函数的单调性即可得解.【详解】因为a=30.8，b=90.5=(32)0.5=31，c=13-12=3-1 -12=312=30.5，又函数y=3x在R上单调递增，1>0.8>0.5，所以31>30.8>30.5所以b>a>c，故选：C例2.(2022秋·四川广安·高一统考期末)a=0.20.3，b=0.20.4，c=log0.20.1，则( )A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.c>a>b 【答案】D【分析】利用指数函数和对数函数的单调性来比较大小即可.【详解】根据函数y=0.2x在R上单调递减得1=0.20>a=0.20.3>0.20.4=b>0，根据函数y=log0.2x在0,+∞上单调递减得c=log0.20.1>log0.20.2=1，故c>a>b.故选：D.【方法技巧总结】1.指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如a x 1和a x 2，利用指数函数y =a x 的单调性；②指数相同，底数不同，如x a 1和x a 2利用幂函数y =x a单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如log a x 1和log a x 2利用指数函数log a x 单调性比较大小；2.除了指对幂函数，其他函数(比如三角函数，对勾函数等)也都可以利用单调性比较大小。

指数、对数和幂的比较大小问题

ʏ朱梅指数㊁对数和幂的代数式的比较大小问题,是高考中的常考点,高考主要以选择题的形式出现,考查指数㊁对数㊁幂的基本运算,以及相关的基本初等函数的图像与性质的应用㊂一㊁单调性法例1 已知a =l o g 312,b =l nπ,c =b a,则a ,b ,c 的大小关系是( )㊂A .b >c >a B .b >a >cC .c >b >aD .c >a >b分析:根据题设条件,利用对数函数的单调性进行放缩处理,分别确定参数a ,b 的取值范围,在此基础上确定参数c 的取值范围,从而得到a ,b ,c 的大小关系㊂解:因为-1=l o g 313<l o g 312<l o g 31=0,所以-1<a <0㊂因为l n π>l n e =1,所以b >1㊂又0c >a ㊂应选A㊂利用指数函数㊁对数函数,以及幂函数的单调性比较代数式的大小,首先要观察代数式形式的异同,底数相同时,可考虑指数函数的单调性,指数相同时,可考虑幂函数的单调性,当都不相同时,可分析代数式的大致范围,进行比较大小㊂比较代数式的大小的两个思路:一是判断出各个数值所在的区间(一般是三个区间(-ɕ,0),(0,1),(1,+ɕ)),二是利用函数的单调性比较大小㊂二㊁媒介法例2 若a =l o g 23,b =l o g 34,c =l o g 45,则a ,b ,c 的大小关系是( )㊂A .a l o g 222=32,b =l o g 34<l o g 333=32,所以a >b ㊂由44>35,两边同取以3为底的对数可得4l o g 34>5,所以b =l o g 34>54㊂而c =l o g 45<l o g 442=54,所以b >c ㊂综上可知,a >b >c ㊂应选D ㊂指数㊁对数㊁幂的比较大小问题,要注意一些特殊值如0,1,12,e 等的应用,通常可以借助媒介这一特殊的桥梁合理构建不等关系,从而实现比较大小的目的㊂三㊁数形结合法例3 已知x ,y ,z 均为大于0的实数,且2x =3y=l o g 5z ,则x ,y ,z 的大小关系正确的是( )㊂A .x >y >z B .x >z >yC .z >x >yD .z >y >x 分析:根据题设条件,将所求问题转化为三个函数与对应直线的交点的横坐标的关系,作出函数的图像,利用数形结合法确定x ,y ,z 的大小关系㊂解:依题意可知x ,y ,z 均为大于0的实数,所以2x =3y=l o g 5z >1㊂图1所求问题可转化为函数y =2x ,y =3x,y =l o g 5x 与直线y =t >1的交点的横坐标的关系,从而可比较x ,y ,z 的大小㊂作出函数y =2x,y =3x,y =l o g 5x ,以及直线y =t >1的图像,如图1所示㊂结合图像可知,其4知识结构与拓展高一数学 2023年11月横坐标的关系为z >x >y ㊂应选C㊂利用数形结合法进行代数式的比较大小时,通过观察相应的代数式的结构特征,画出对应的函数图像,观察函数图像的交点位置,从而确定所给指数㊁对数㊁幂的大小关系㊂四㊁特殊值法例4 已知a ,b ,c 满足a =l o g 5(2b+3b),c =l o g 3(5b-2b),则( )㊂A .|a -c |ȡ|b -c |,|a -b |ȡ|b -c |B .|a -c |ȡ|b -c |,|a -b |ɤ|b -c |C .|a -c |ɤ|b -c |,|a -b |ȡ|b -c |D .|a -c |ɤ|b -c |,|a -b |ɤ|b -c |分析:根据题设条件,利用特殊值法,选取特殊值b =2,代入相应的关系式,合理作差比较,从而结合对数运算,排除不满足特殊值的选项,进而得到正确的结果㊂解:令b =2,则a =l o g 5(2b+3b)=l o g 513,c =l o g 3(5b -2b)=l o g 321,此时a c -b >0,也即|a -c |>|b -c |,排除C ㊁D ㊂因为b -a =2-l o g 513=l o g 52513,c -b =l o g 321-2=l o g 373,又5>3>1,2513<73,所以c -b >b -a >0,即|a -b |<|b -c |,排除A ㊂应选B㊂特殊值法是小题小做的重要策略,利用特殊值法进行合理排除,是一种常见的解题方法,这种方法既可以提高解题速度,又能提高解题的准确性㊂五㊁引入参数法例5 已知l o g 2x =l o g 3y =l o g 5z >1,则2x ,3y ,5z的大小排序为( )㊂A .2x <3y <5z B .3y <2x <5z C .5z <2x <3yD .5z <3y <2x分析:根据题设条件中的不定方程引入参数,结合对数式与指数式的互化,可得对应代数式的指数幂形式,利用幂函数的单调性即可判断大小关系,从而得到三个代数式的大小排序㊂解:依题意可设l o g 2x =l o g 3y =l o g 5z =k >1,则2x =22k =21-k ,3y =33k =31-k,5z =55k =51-k ㊂因为1-k <0,所以21-k >31-k>51-k,所以5z <3y <2x㊂应选D㊂当题目条件中出现连等式时,可通过引入参数把连等式设为一个常数,利用指数式与对数式的相互转化,进行大小比较㊂利用此方法解决问题的关键是熟悉指数㊁对数运算公式,以及指数函数与对数函数的图像与性质的应用㊂1.(多选题)已知l o g 3a >l o g 3b ,则下列不等式一定成立的是( )㊂A .0<1b <1a B .l o g 3(a -b )>0C .3a -b>1D .13a<12b提示:由l o g 3a >l o g 3b ,可得a >b >0,所以0<1a <1b,A 错误㊂a -b >1不一定成立,所以l o g 3(a -b )>0不一定成立,B 错误㊂3a -b>30=1,C 正确㊂13a<13b<12b,D 正确㊂应选C D ㊂2.(多选题)已知函数m (x )=2x,h (x )=3x,且m (a )=h (b ),则下列式子可能成立的是( )㊂A .a <0,b >0B .a <b <0C .a =bD .0<b <a提示:在同一坐标系下画出函数m (x )和h (x )的图像(图略)㊂结合图像得,当m (a )=h (b )时,a ,b 的关系可能为a <b <0,a =b =0,0<b <a ㊂应选B C D ㊂作者单位:江苏省高邮第一中学(责任编辑郭正华)5知识结构与拓展高一数学 2023年11月。

专题突破卷01 指数、对数、幂值的比较大小(学生版) 2025年高考数学一轮复习考点通关卷(新高考用

专题突破卷01 指数、对数、幂值的比较大小题型一基本不等式比较大小1．已知1a b >>，则下列不等式不一定成立的是（）A ．11a b a b >++B ．log log a b b a <C ．log log 2a b b a +>D ．b aa b >2．设202620250.2026log 2025,log 2024,log 0.2025a b c ===，则（）A ．c<a<b B ．b a c <<C ．b a c<<D ．a b c<<3．已知16log 8a =-，55log 6log 4b =×，0.694c æö=ç÷èø，则（）A ．c b a<，0b >，且a b ab +=，则下列不等式成立的是（）A ．4a b +£B ．22log log 2a b +>C ．ln 1b a >D 3³6．下列不等式中不一定成立的是（）A ．e 1x x -³B ．2ln 1x x £-C ．41134æö+<ç÷èøD ．2lg 3lg 5(lg 4)×<7．设2log 3a =，3log 5b =，5log 8c =，则（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．b c a>>D ．c a b>>8．已知()616,ln ,log 71ln555a b c ===-，则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b>>D ．c a b>>9．设ln 258log 3,log 5,e a b c -===，则（）A ．a b c <>==+= ）A ．x z y <>B ．a c b>>C ．b a c>>D ．a b c>>13．若0a b <<则（）A ．22a b D ．2a b b a+>14．235log 3,log 4,4a b c ===的大小关系为（）A ．c b a<>B ．a c b >>C ．b a c>>D ．b c a>>16．设,R a b Î，0a b <<且，则（）A ．11a b C ．2b a a b+>D ．2a b+>17．设p ：0a >，0b >；下列条件中，不能成为p 的必要条件的是（）A ．11()4a b a b æö++³ç÷èøB ．3322a b ab +³C ．()()111a b ++>D ．1a b ++18．已知789log 6,log 7,log 8a b c ===，则（）A ．a b c <>>，则以下不正确的是（）A ．2a b +>B ．1a >C ．1b >D ．11a b b a->-20．已知345log 2,log 3,log 4a b c ===，则（）A ．a b c<>，0c d <<，则一定有a b c d>B ．若a b >，则11a b <C ．若b a >，0m >，则a m ab m b+>+D ．若22ac bc >，则a b>22．若正实数,,a b c 满足不等式组6453761124ca b c a b c a b c a b ì<+<ïïï<+<íïï<+<ïî，则,,a b c 的大小关系为（）A ．b a c <，则b c ba c a+>+B ．若a b >，c d >，则a d b c ->-C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若a b >，则11a b a>-25．已知0a >，0b >，则下面结论正确的是（）A ．若4ab =，则4a b +£B ．若a b >，则22ac bc >C ．若22a b +=，则24a b +有最小值4D ．若0a b m >>>，则b b m aa m+>+26．已知2211log 986log 985,1cos,986985a b c =-=-=，则（）A ．b a c>>B ．b c a>>C ．a c b>>D ．c b a>>27．已知1111e 11a =，12ln 11b =，110c =，那么,,a b c 的大小关系为（）A ．b a c <<，则（）A ．()10b a c >-B ．c c a b >C ．ac bc>D ．a c bc+>29．已知,,R a b c Î，则下列命题为假命题的是（）A ．若a b >，则a c b c +>+B ．若0a b >>，则0.40.4a b >C ．若a b >，则1122a cb c++æöæö<ç÷ç÷èøèøD ．若0,0a b c >>>，则b bc a a c+>+30．设0.723135,log ,lg 24a b c -===，则这三个数之间的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a>>D ．b a c>>题型三利用对数函数单调性比较大小31．下列各不等式成立的是（）A ．25log 62C ．2ln23<D ．20.3log 20.3>32．已知e πa a =，ln πb b =，c =，则（）A ．a c b<>B ．a c b>>C ．b c a>>D ．b a c>>35．若0.34.2a -=，0.34.2b =， 4.2log 0.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．b a c>>C ．c a b>>D ．b c a>>36．若lg0.8a =，0.69b =，0.400.49c =，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a<<D ．b<c<a .37．若3log 7a =，9log 40b =，c = ）A ．c<a<bB ．b<c<aC ．a b c <<D ．b a c<<38．已知 1.112a -æö=ç÷èø，0.64b =，3log 8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b<>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b>>40．已知,R a b Î，且a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b>B ．1122a bæöæö>ç÷ç÷èøèøC ．33a b >D ．22ac bc >题型四利用幂函数单调性比较大小41．若0.302a =.，0.20.3b =，0.5log 0.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b<<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．a c b<<42．已知12651,log 5,log 6e a b c -æö===ç÷èø，则（）A ．a b c<>B ．b a c>>C ．b c a>>D ．a b c>>45．已知5log 6a =，2log b =c =a ，b ，c 大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c<a<bD ．b<c<a46．若πlog e a =，)23b =，131e c -æö=ç÷èø，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．b a c<><，则下列正确的是（）A ．ac bc>B ．c ca b >C ．22b ac c >D ．0ab bc ->49．设0.40.5a =， 1.10.4b =，0.51.1c =，则（）A ．a c b <，则22ac bc >；②若a b >，则11a b<；③若a ，b 是非零实数，且a b <，则2211ab a b<；④若0a b <<，则22a ab b >>其中正确的命题是．（填对应序号即可）1．下列对数值比较大小正确的是（）A ． 2.1 2.1log 0.4log 0.3C ．3πlog 2log 4<D ．20.2log 3log 3<2．已知5log 2a =，4log 3b =，πsin 6c =，比较a ，b ，c 的大小为（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．b c a>>D ．b a c>>3．已知542023120231a +=+，652023120231b +=+，则a 与b 之间的大小关系是（）A ．a b=B ．a b>C ．a b <D ．无法比较4．比较大小：11ln 0.1223log ,e ,e a b c ===（）A ．a c b<B ．120.60.6->C ．0.10.10.8 1.2>D ．0.3 3.11.70.9<7．已知a ＝log 0.33，b ＝3423-æöç÷èø，c ＝4﹣1，则下列大小比较正确的是（）A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜a8．已知432021120211a +=+，542021120211b +=+，则a 与b 之间的大小关系是（）A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．无法比较9．设02x p<<，记ln sin a x =，sin b x =，sin x c e =，则比较a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<C ．120.60.6->D ．0.10.20.8 1.25->11．定义在R 上的函数()sin 2f x x x =+，若12a f æö=ç÷èø，b f =，13e c f æö=ç÷èø，则比较a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c>>12．设实数a ，b 满足51118a b a +=，7915a b b +=，则a ，b 的大小关系为（）A ．a bD ．无法比较13．已知432020120201a +=+，542020120201b +=+，则a ，b 之间的大小关系是（）A ．a b>B ．a b<C ．a b=D ．无法比较14．在必修第一册教材“8.2.1几个函数模型的比较”一节的例2中，我们得到如下结论：当02x <<或>4x 时，22x x >；当24x <<时，22x x <，请比较4log 3a =，sin3b p=，cos 32c p-=的大小关系A ．a b c>>B ．b a c>>C ．c a b>>D ．b c a>>15．下列各式比较大小正确的是（）A ． 2.531.7 1.7>B ．12 0.60.6-<C ．0.50.5 0.8 1.25>D ．0.3 3.11.70.9>16．已知0.5log 3a =，30.5b -=，0.53c -=试比较a ，b ，c 的大小为（）A ．a b c <B ．a b<C ．a b=D ．a b ，不能比较19．已知12log 3a =， 1.20.6b -=， 1.50.6c -=，则下列大小比较中正确的是（）A ．a b c<4y >6zB ．3x >6z >4yC ．4y >6z >3xD ．6z >4y >3x22．比较大小：log a =，0.1b e =，1ln 2c e =（）A ．a c b<B ．0.50.5log 2log 3<C ．0.10.156-->D ．cos1cos2<25．比较下列几个数的大小：0.31(2a =，21log 3b =，0.0015c =，则有（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b>>。

指数式,对数式比较大小试题的三种常见题型讲义-2025届高三数学二轮专题复习

指数式,对数式比较大小试题的三种常见题型比较大小试题经常出现在高三年的综合卷以及高考试题当中.此类试题不仅能够综合考查指数,对数,幂函数的运算性质,图像,单调性等,还能够与导数,不等式相结合.试题虽然简短却内涵丰富,集指,对,幂,不等式等众多的知识点于一体,体现了在知识交汇处命题的原则,较好地考查学生的数学核心素养.类型一:直接借助指数,对数,幂函数的性质比较大小此类题型主要考查考查指数,对数,幂函数的运算性质,要求考生能够借助指数函数(或者幂函数),对数函数的单调性,图像分析问题,并且综合运用不等式的相关知识进行求解,对考生的计算求解能力,推理论证能力提出了较高的要求.例1:若1a b >>,01c <<,则( )A. c c a b <B. c cab ba < C. log log b a a c b c < D. log log a b c c <图(1) 图(2) 图(3)解析:(1)比较c a 和cb 对于c a 和c b ,观察到它们底数不同,指数相同,因而可以采用两种方法来进行比较.方法1:构造幂函数.令c y x =,由0c >可知该函数在()0+∞，单调递增.因为a b >故c ca b >. 方法2:构造两个指数函数.令x y a =和x y b =,因为1a b >>,故如图(1)所示.由01c <<得c c a b >.综合上述分析可知,c ca b >,故A 答案错误.(2)比较log a c 和log b c观察到这两个对数式底数不同,真数相同,因此构造两个对数函数进行比较. 令log a y x =和log b y x =,因为1a b >>,故如图(2)所示.由01c <<得log log 0b a c c <<.因此,log log 0b a c c <<,故D 答案错误.(3)比较c ab 和c ba c ab -c ba =()11c c ab b a ---,由1a b >>,10c -<,结合图(1)可知1101c c ab --<<<.故110c c b a --->,则c ab -c ba =()11c c ab b a ---0>. 因此c ab >cba .故B 答案错误.(4)比较log b a c 和log a b c log b a c =log a b c ,log a b c =log b a c .转化为比较log a b c 与log b a c 的大小. 由于01c <<,1a b >>,故01a bc c <<<.结合图(3)可知,log a b c <log b a c ,即log log b a a c b c <.故C 答案正确. 例2:设,,z x y 为正数,且235x y z ==,则A. 235x y z <<B.523z x y <<C.352y z x <<D.325y x z << 解析:思路1:作差法令235x y zk ===,由于,,z x y 为正数,所以1k >.则有2log x k =,3log y k =,5log z k =, 因此2222log log 2k x k ==,3333log =log 3k y k =,5555log =log 5k z k =. 由于2323log 2log 3k k x y -=-2log 33log 2log 2log 3k k k k -=⋅log 9log 80log 2log 3k k k k -=>⋅,故23x y >. 由于2525log 2log 5k k x z -=-2log 55log 2log 2log 5k k k k -=⋅log 25log 320log 2log 5k k k k -=<⋅, 故25x z <.综上,有325y x z <<. 思路2:作商法令235x y z k ===,由于,,z x y 为正数,所以1k >.则有2log x k =,3log y k =,5log z k =, 因此2222log log 2k x k ==,3333log =log 3k y k =,5555log =log 5k z k =. 由于2log 2233log 3k k x y =2log 33log 2k k =8log 9=log 91log 8k k =>,故23x y >. 由于2log 2255log 5k k x z =2log 55log 2k k =32log 25=log 251log 32k k=<,故25x z <. 综上,有325y x z <<.例3:设0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,则A. 0a b ab +<<B.0ab a b <+<C.0a b ab +<<D.0ab a b <<+ 解析:根据对数的性质可知0a >,0b <,故0ab <.11a b +=0.30.311log 0.2log 2+0.30.30.30.30.30.30.3log 0.2log 2log 0.4==log 0.2log 2log 0.2log 2+⋅⋅. 由于0.3log 0.40>,0.3log 0.20>,0.3log 20<,因此110a b +<,即0a b ab+<,即0a b +>.因此选D.例4:已知2log a e =,ln 2b =,121log 3c =,则 A.a b c >> B.b a c >> C.c b a >> D.c a b >>解析:根据对数的性质可知()1,2a ∈,211,1log 2b e ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭. 又22log 3log c e =>,即c a >,因此有c a b >>. 类型二:指数式对数式以自变量的形式出现在此类试题中,指数式,对数式是以自变量的形式出现.题目会给出一个函数(可能是具体函数也可能是抽象函数),需要先考察该函数的单调性,然后比较自变量的大小,进而结合单调性求解.例5:已知奇函数()f x 在R 上是增函数,()()g x xf x =.若()2log 5.1a g =-,()0.82b g =,()3c g =,则,,a b c 的大小关系是A. a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<解析:由于奇函数()f x 在R 上是增函数,所以当0x >时,()0f x >.显然()()g x xf x =为偶函数,()()22log 5.1=log 5.1a g g =-.由于()()()//g x f x xf x =+,故当0x >时,()/0g x >,()g x 在()0+∞，上是增函数. 因为0.822<,222log 4log 5.1log 8<<,结合()g x 在()0+∞，上的单调性可知b a c <<.例6.已知函数()x a x a f x e e --+=+,若33log a b c ==,则A.()()()f a f b f c <<B.()()()f b f c f a <<C.()()()f a f c f b <<D.()()()f c f b f a <<解析:由于()2x a x a f a x e e -+--=+,因此()()2f a x f x -=,所以()f x 的图像关于直线x a =对称且()f x 在(),a +∞上单调递增.由图(4)可知,a c b <<.因此()()()f a f c f b <<.图(4)例7.设函数()f x 满足()()11f x f x +=-,且()f x 是[1,]+∞上的增函数,则230.6a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,230.7b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,130.7c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小关系是A.a b c >>B.b a c >>C.a c b >>D.c b a >>解析:由已知有函数()f x 的对称轴为1x =,()f x 在[1,]+∞上单调递增,在(),1-∞上单调递减.由于2213330.60.70.71<<<,结合()f x 的单调性可知a b c >>.例8.已知偶函数()f x 在()0+∞，上单调递增,则A.()()23e e f f >-B.()()23f e f e >-C.(()0.53log 3log 0.5f f >D.(()()(0.5330.5f f >解析:易知A,B 答案错误.由于3000.50.5<<,即300.51<<,()()0.5033>,即()0.531>. 故0.5300.53<<,结合()f x 在()0+∞，上单调递增, 有()()()()0.5330.5f f > ,C 答案正确. 由于()0.52log 3log 31,0=-∈-,30.51log 0.51log 3=<-, 故0.53log 0.5log 30<<,结合()f x 在(),0-∞上单调递减, 有()()0.53log 0.5log 3f f > ,D 答案错误. 类型三:自行构造函数此类试题,题目不会直接告知相关的函数,需要根据题目给出的指数式,对数式的结构特征灵活构造出恰当的函数,进而考查该函数的单调性,结合单调性求解.例9.下列命题为真命题的是(1)ln 33ln 2<.(2) ln e ππ<.(3)15215<.(2) 3eln 242<. 解析:构造函数()ln x f x x =,()/22ln 2x x x f x x x-=,令()/0f x =得2x e =. 易知()f x 在()20,e 单调递增,在()2e ,+∞上单调递减,且最大值为()22f ee =,如图(5)所示. 图(5)(1)由()()34f f <34<,即ln 332<.所以(1)对 (2)由()()f e f π<e π<即ln e ππ>所以(2)错 (3)由()()1516f f >1516<,即1515<.所以(3)对 (4)由()28f e <28e <,即3eln 242<所以(4)对例10:找出3e ,3e ,e π,e π,3π,3π中的最小者和最大者.解析:根据指数函数的单调性有3e e π<,33e π<,3e ππ<. 构造函数()ln xf x x =,()/21ln x f x x-=,令()/0f x =得x e =. 易知()f x 在()0,e 单调递增,在()e,+∞上单调递减.如图(6)所示.由()()()3f e f fπ>>得ln ln 3ln 3e e ππ>>. 由ln ln 33e e >得33e e >; 由ln 3ln 3ππ>得33ππ>; 因此有33e e e π<<,33e πππ<<.故最小值应该在3e 与e π中产生,最大值应该在e π与3π中产生.根据幂函数的单调性有3e e π<,3e ππ<.故最小值为e π,最大值为3π.图(6)例11:同例2设,,z x y 为正数,且235x y z ==,则( )A.235x y z <<B.523z x y <<C.352y z x <<D.325y x z << 解析:令235x y z k ===,由于,,z x y 为正数,所以1k >.则有2log x k =,3log y k =,5log z k =,因此22ln 4ln 22log =ln 2ln 4k k x k ==,33ln 33log =ln 3k y k =,55ln 55log =ln 5k z k =. 构造函数()ln x f x x=,0x >且1x ≠. ()/2ln 1ln x f x x-=,令()/0f x =得x e =. 显然()f x 在()0,1和()1,e 上单调递减,在()e,+∞上单调递增.如图(7)所示.图(7)由于345<<,所以()()()345f f f <<,即3450ln 3ln 4ln 5<<<,又ln 0k >, 因此有325y x z <<.例12.已知定义在R 上的函数()y f x =满足:函数()1y f x =-的图像关于直线1x =对称,且当(),0x ∈-∞时,()()/0f x xf x +<成立. 若11sin sin 22a f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()ln 2ln 2b f =⋅,2211log log 44c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则 A. a b c >> B.b a c >> C.c a b >> D.a c b >>解析:由已知有()y f x =为偶函数.令()()g x xf x =,则()g x 为奇函数且在R 上单调递减.显然1sin 2a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()ln 2b g =,()()22c g g =-=-.由于10sin ln 222<<<,故0c b a -<<<,因此有c a b >>.不难看出,与指数式,对数式相关的比较大小试题,集指数函数,对数函数,幂函数,导数,不等式等众多知识点于一体,综合性强,能够较好地检测考生是否掌握了基本知识,基本方法,基本技能,能够体现出对数学核心素养的考查,因而受到命题者的青睐.在实际解题中,要灵活根据题目条件选择恰当的方法,以期达到解题效果的最优化.。

指、对、幂数比较大小问题【八大题型】(举一反三)(新高考专用)(原卷版)2025年新高考数学一轮复习

指、对、幂数的大小比较问题【八大题型】【题型1 利用函数的性质比较大小】....................................................................................................................2【题型2 中间值法比较大小】................................................................................................................................2【题型3 特殊值法比较大小】................................................................................................................................3【题型4 作差法、作商法比较大小】....................................................................................................................3【题型5 构造函数法比较大小】............................................................................................................................3【题型6 数形结合比较大小】................................................................................................................................4【题型7 含变量问题比较大小】............................................................................................................................4【题型8 放缩法比较大小】 (5)1、指、对、幂数的大小比较问题指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式考查.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.【知识点1 指、对、幂数比较大小的一般方法】1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性；②指数相同，底数不同时，如1ax 和2ax ，利用幂函数a y x =单调性比较大小；③底数相同，真数不同时，如1log a x 和2log a x ，利用指数函数log a x 单调性比较大小.2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．3.作差法、作商法：(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.4.估算法：(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.5.构造函数法：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.6、放缩法：(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；(2)指数和幂函数结合来放缩；(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.【题型1 利用函数的性质比较大小】【例1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知a=30.3，b=0.33，c=log0.33，则a，b，c的大小关系是（）A．a>b>c B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b，b=1.20.2，c=0.52.1，则a，b，c的大小关系是【变式1-1】（2024·四川自贡·三模）已知a=log213（）A．a<cb>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>a>b【变式1-3】（2024·山东泰安·模拟预测）已知a=log0.20.3，b=ln a，c=2a，则a,b,c的大小关系为（）A．c>b>a B．a>b>c C．b>a>c D．c>a>b【题型2 中间值法比较大小】【例2】（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知a=e0.1，b=1―2lg2，c=2―log310，则a，b，c的大小关系是（）A．b>c>a B．a>b>c C．a>c>b D．b>a>c【变式2-1】（2024·陕西铜川·模拟预测）已知a =―12,b =log 65,c =log 56，则（）A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <c <b【变式2-2】（2024·山东潍坊·二模）已知a =e ―1，b =lg a ，c =e 0，则（）A ．b <a <c B ．b <c <a C ．a <b <cD ．c <b <a【变式2-3】（2024·天津北辰·三模）已知a =0.53.1，b =log 0.90.3，c =log 1312，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b >aB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >a >b【变式3-1】（23-24高二下·云南玉溪·期中）已知实数a,b,c 满足2a +a =2，2b +b =c =log 163，则（）A ．c <a <bB ．a b >d >cB ．a >b >dC ．b >d >a >cD ．a >d >b >c【变式3-3】（2024·天津和平·=2,b =log 123―log 129,c =―13，则有（）A ．a b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a【变式4-1】（2023·贵州六盘水·模拟预测）若a =ln22，b =ln33，c =ln55，则（）A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c<a<bD ．a <c <b【变式4-2】（2024·四川成都·二模）若a =ln 26,b =4ln2⋅ln 3,c =(1+ln3)2，则a,b,c 的大小关系是（）A ．c <a <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．b <a <c【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）若a =20.4,b =30.25,c =log 0.70.5，则a,b,c 的大小关系为（）A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【题型5 构造函数法比较大小】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知a =ln 72，b =ln7×ln2，c =ln7ln2，则（）A ．b <c <aB ．b <a <cC ．a b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a【变式5-2】（2024·天津和平·一模）已知a =log 0.20.3,b =log 0.30.2,c =log 23，则a,b,c 的大小关系为（）A ．b <c <aB ．c <b <aC ．a <b <cD ．a <c <b【变式5-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数a,b,c 满足a 2+log 2a =0,2023―b =log 2023b,c =log 7）A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <aD ．c <b <a【题型6 数形结合比较大小】【例6】（2024·河南·模拟预测）已知a =ln π,b =log 3π,c =，则a,b,c 的大小关系是（）A ．b <a <cB ．a <b <cC ．c <b <aD ．b<c<a【变式6-1】（2023·江西赣州·二模）若log 3x =log 4y =log 5z <―1，则（）A ．3x <4y <5zB ．4y <3x <5zC ．4y <5z <3xD ．5z <4y <3x【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知a ==log a b,a c =log 12c ，则实数a,b,c 的大小关系为（）A ．a y >zB ．x >z >yC ．z >x >yD ．z >y >x【题型7 含变量问题比较大小】【例7】（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）设a､b､c都是正数，且4a=6b=9c，则下列结论错误的是（）A．c<b<a B．ab+bc=ac C．4b⋅9b=4a⋅9c D．1c =2b―1a【变式7-1】（2024·江西·模拟预测）若a e a=b ln b(a>0)，则（）A．ab D．无法确定【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知a,b,c均为不等于1的正实数，且ln c=a ln b,ln a=b ln c，则a,b,c的大小关系是（）A．c>a>b B．b>c>aC．a>b>c D．a>c>b【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知正实数a，b，c满足e c+e―2a=e a+e―c，b=log23+log86，c+log2c=2，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．a<cb>c B．b>a>dC．c>a>b D．b>c>a【变式8-1】（2023·河南郑州·模拟预测）已知a=log35，b=c=3log72+log87，则（）A．a>b>c B．c>b>a C．b>a>c D．c>a>b【变式8-2】（2023上·安徽·高二校联考阶段练习）已知a==6―34,c=log53―29log35，则（）A．a<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<a<b【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）已知a=log8.14，b=log3.1e，c=ln2.1,，则（）A．a<c0>bB ．b >0>aC ．a >b >0D ．b >a >03．（2024·贵州毕节·一模）已知a =3log 83，b =―12log 1316，c =log 43，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．b >a >c4．（2023·内蒙古赤峰·模拟预测）设a =，b =，c =log 34(log 34)，则（）A ．c c >bB ．a >b >cC ．b >c >aD ．c >b >a6．（2024·陕西宝鸡·一模）已知实数a,b,c 满足e 2a 2=e 3b 3=e 5c 5=2，则（）A ．a >b >cB ．a a >cD ．c >a >b7．（2023·湖南永州·一模）已知a =log 3π,b =1log 3π―1,c =12―log 3π，则（）A ．a 2―0.001B ．log >log 2π―1C ．log 1.85<log 1.75D ．log 33.01>e ―0.0110．（2024·重庆·模拟预测）若b >c >1，0<a <1，则下列结论正确的是（）A ．b a <c aB ．log b a >log c aC．cb a<bc a D．b log c a>c log b a 11．（2024·重庆·一模）已知3a=5b=15，则下列结论正确的是（）A．lg a>lg b B．a+b=abC>D．a+b>4三、填空题12．（2023·北京昌平·二模）3―2,213,log25三个数中最大的数是.13．（2024·北京通州·三模）已知a=2―1.1，b=log1413，c=log23，则三者大小关系为（按从小到大顺序）14．（2023·吉林长春·模拟预测）已知a=b=，c=则a，b，c的大小关系为．四、解答题15．（23-24高一·全国·随堂练习）已知x=lnπ，y=log52，z=e―12．(1)比较x，y的大小；(2)比较y，z的大小．16．（23-24高三·全国·对口高考）（1）比较a a b b与b a a b(a>0,b>0)的大小；（2）已知a>2，比较log(a―1)a与log a(a+1)大小17．（23-24高一·湖南·课后作业）比较a，b，c的大小：(1)已知1<x<2，a=(log2x)2，b=log2x2，c=log2(log2x)；(2)已知a=log36，b=log510，c=log714．18．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知正实数x，y，z满足3x=4y=6z．（1）求证：1z ―1x=12y；（2）比较3x,4y,6z的大小．19．（23-24高一上·广东广州·阶段练习）已知函数f(x)=x2x2+1(1)判断并证明函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性；(2)已知a=f(20.5),b=f(log25),c=f(0.25)，试比较三个数a，b，c的大小，并说明理由．。

2022届新高考数学高频考点专题07 指对幂比较大小必刷100题(解析版)

【详解】
，因为函数在上单调递增，
所以，
因为函数在上单调递减，所以，
所以
故选：D
【点睛】
思路点睛：指数式、对数式、幂值比较大小问题，思路如下：
思路一、对于同底数的幂值或对数式，直接根据指数函数或对数函数的单调性比较大小；
思路二、对于不同底数的幂值或对数式，化为同底数的幂值或对数式，再根据思路一进行比较大小；或者找中间量（通常找0和1）进行比较.
根据指数的运算性质化简，利用对数的单调性判断的范围，即可比较，，的大小关系得出正确选项.
【详解】
因为，
，
故选：B
23．设，则的大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据指数函数与幂函数的单调性判断的大小关系.
【详解】
因为函数在上是增函数，所以，即，又因为函数在上是增函数，所以，所以，故 .
故选：C
24．已知，，，则，，的大小关系是（）
A． B．
C． D．
利用指数函数、对数函数以及三角函数值即可得出选项.
【详解】
因为，所以，
，
，
所以 .
故选：C
28．设，，，则，，的大小关系为（）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用指数、对数函数性质并借助“媒介”数即可得解.
【详解】
指数函数分别是R上的增函数和减函数，，则，
对数函数在上单调递增，，则，
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据对数函数的图象与性质，分别求得的取值范围，即可求解.
【详解】

高考专题; 指数、对数及幂的大小比较问题

专题02 指数、对数及幂的大小比较问题--------真题演练指数、对数及幂的大小比较问题方法灵活，常常给人以“乱花渐欲迷人眼”的感觉，而对其问题进行归纳总结，会发现这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答。

体现对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算及直观想象等核心素养的考查，也是高考命题的热点。

本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧。

希望大家以后解决此类问题时有“浅草才能没马蹄”的轻盈之感。

1.常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）log log log a a a M N MN += ； log log log a a a M M N N-=；（3）()log log 0,1,0na a N n N a a N =>≠>；（4）换底公式：log log log c a c bb a=；进而有两个推论：1log log a b b a=（令c b =）； log log m n a a n N N m =；2.比较大小的基本思路：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可；（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较；（3）利用函数单调性比较大小；例：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）；总之：比较数式的大小，若同底，考虑指数函数（或对数函数）；若同指，则考虑幂函数，再利用函数的单调性比较大小；若不同底，也不同指，则其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决，或者利用中间量法。

高考数学专题复习：指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

高考数学专题复习指数函数、幂函数、对数函数增长的比较一、单选题 1．设13132142log ,log ,log 433a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c << B ．c b a << C ．b a c <<D ．b c a <<2．设0.60.5a =，0.5log 3b =，0.50.6c =，则（） A ．b a c << B ．c b a << C ．b c a <<D ．c a b <<3．若两个量x 、y 的初始值相同，其中x 每天增加1%，y 每天减少1%，大约经过（）天后x 的值是y 的值的1000倍？（参考数据：lg1.010.0043≈，lg 0.990.0044≈-） A ．230B ．280C ．345D ．3654．已知1312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1353b -⎫⎛= ⎪⎝⎭，325log 2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<5．设a =2log 10b =，322c =，则下列关系中正确的是（） A ．c a b < C ．c b a a < D ．a a b c >8．已知2log 0.4a =，0.50.4b =，0.40.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c <<D ．b c a <<9．已知11321311(),log 2,(),23a b c ===则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a >B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>11．已知实数a ，b ，c 满足1lg 10ba c==，则下列关系式中不可能成立的是（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ． c b a >>12．已知实数a ，b 满足01a b <<<，则下列各式中正确的是 A ．221333b a b <<B ．122333b a b <<C ．212333a b b <<D ．221333a b b <<13．已知大于1的实数x ，y 满足log (2)log (3)x y x y =，则下列结论正确的是（） A ．221111x y <++ B ．()()22ln 1ln 1x y +<+C ．tan tan x y < D14．设0.30.20.3log 0.2,0.2,0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（） A ．c b a <>，01c <<，则（） A ．a b c c > B ．11c ca b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．c c a b >D ．log log a b c c <16．已知ln x π=，21log 3y =，12z e -=则（）A ．x y z <<B ．y z x <<C ．z y x <<D ．z x y <<17．以下比较大小正确的是（）A ．112411log log 33<B ．11331124⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．113311log log 24<D ．11421133⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18．设0.90.117.log 0.9,log 0.9, 1.1a b c ===，则比较,,a b c 大小顺序是（） A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<19．设0.5log 3a =,0.213b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,113c -⎛⎫= ⎪⎝⎭,则下列选项中正确的是（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b a c <<20．已知正实数,a b 满足21()log 2aa =，21()log 3bb =，则（） A ．1a b <>，所以121112221121log ()log log 12232=<<=，故112c <<.故b c a <<. 故选：D 2．A 【分析】利用指数函数、幂函数的性质，即可判断,,a b c 的大小. 【详解】∵0.60.50.50.5lo 0.50.50.6g 30a b c =<<<<==， ∴b a c <<. 故选：A 3．C【分析】设n 天后x 的值是y 的值的1000倍，根据已知条件得出1.0110000.99n n =⨯，解该方程即可得解. 【详解】设两个量x 、y 的初始值均为a ，设n 天后x 的值是y 的值的1000倍，根据已知条件得出 1.0110000.99n n a a ⨯=⨯，则lg1.013lg0.99n n =+，即()lg1.01lg0.993n -=，所以，33345lg1.01lg 0.990.0087n =≈≈-.因此，大约经过345天后，x 的值是y 的值的1000倍.4．A 【分析】,a b 由幂函数性质比较，并与1比较，c 与1比较．【详解】由13y x -=在(0,)+∞上是减函数得113352()3--<，且10355()()133-<=，而33225log log 1232c =>=，∴a b c <<．故选：A ． 5．A 【分析】将c 互为根式，可得,a c的大小，在同一坐标系中作出函数y =2log y x =的图象，可比较出,a b 的大小. 【详解】因为a =322c ==c a <，在同一坐标系中，作出函数y =2log y x =的图象，由图可知2log 10a b =<=，所以c a b <<，故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是在比较a 与b 大小时，作出函数的图象，借助于10处的函数值，得到a 与b 的大小. 6．A 【分析】通过化简利用中间量1即可比较大小．因为0a > 所以133log 1a a =>,可得103a << ；因为0b > 所以131log 13bb ⎛⎫=< ⎪⎝⎭,可得113b << ；因为0c > 所以31log 03cc ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,可得1c >,所以a b c <<，故选：A ．【点睛】方法点睛：解答比较大小问题：当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小． 7．C 【分析】根据log a y x =的单调性和,,a b c 的大小关系可判断A 项和B 项；根据log a y x =和a y x =的单调性可判断D 项；根据x y a =的单调性可判断C. 【详解】①当底数(0,1)∈a 时，log a y x =是减函数，故0b c >>，则ab ac >可排除A 项，由110a ab c c b c b>>⇒>⇒>，B 错； ②当底数(1,)∈+∞a 时，log a y x =是增函数，故b c <，设a y x =，因为0a >，由幂函数的性质可知，函数在第一象限为增函数，故a a b c <，D 错；当①成立时，(0,1)∈a ，b c >，设x y a =，则函数为减函数，c b a a <，当②成立时，(1,)∈+∞a ，b c <，x y a =，则函数为增函数，c b a a <. 所以C 选项正确. 故选：C. 【点睛】本题的关键点是利用对数函数、指数函数、幂函数的单调性比较大小，要熟练掌握对指幂的性质，尤其注意底数的范围. 8．A根据指数函数、对数函数与幂函数的单调性，借助中间量即可比较大小. 【详解】解：由函数2log y x =在()0,∞+上单调递增，所以22log 0.4log 10a =<=，由于函数0.4x y =在R 上单调递减，所以0.50.400.40.4b <=<，由于函数0.4y x =在()0,∞+上单调递增，所以0.40.40.40.5c <=，故0.400.4a b c <<<<. 故选：A. 【点睛】本题考查指对数幂的大小比较，是基础题. 9．D 【分析】利用指数函数的性质，中间数0、幂函数、对数函数的单调性可得,,a b c 的大小关系. 【详解】由指数函数性质知113211()0,()230a c =>=>又13log y x =为单调减函数，知1133log 2log 10b b =<==又116112631111()(),42())237(a c ====且16y x =为增函数，14712>所以616111()(27)4>，即a c >，故0a c b >>>，故选：D. 【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递，属于基础题. 10．C 【分析】根据f(x)过点(2,4)，求出m 值，然后根据函数值的特性分析a,b,c 的大小关系【详解】幂函数()m f x x =的图象过点(2,4)， ∴2m ＝4，m ＝2； ∴121a m ==>，11(0,1)39mb ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，log 3m c =-＝﹣log 23＜0，19>>-log 23， ∴a b c >>．故选C ．. 【点睛】主要考察利用函数值的特性，进行比较大小 11．D 【分析】设1lg 10ba t c===，分别表示出,,a b c ，构造函数，利用函数图象比较大小. 【详解】设1lg 10ba t c ===，0t >，则10t a =，lg b t =，1c t=，在同一坐标系中分别画出函数10x y =，lg y x =，1y x=的图象，如图，当3t x =时，a b c >>；当2t x =时，a c b >>；当1t x =时，c a b >>.故选:D. 【点睛】本题考查利用函数的图象比较大小，构造函数，画出图象是关键. 12．D 【分析】先根据幂函数(0)y x αα=>在()0,x ∈+∞上为增函数得到2233a b <，再由指数函数(01)x y b b =<<在x ∈R 上为减函数得到2133b b <，即可得出答案. 【详解】当0α>时，幂函数y x α=在()0,x ∈+∞上为增函数，所以当01a b <<<时有2233a b <，因为01b <<，所以指数函数x y b =在x ∈R 上为减函数，因此有 2133b b <，所以有：221333a b b << 故选：D 【点睛】本题考查了学生对幂函数、指数函数的单调性，属于较易题. 13．B 【分析】因为21log (2)1log 21log x x x x =+=+，31log (3)1log 31log y y y y=+=+，因为log (2)log (3)x y x y =，所以231111log log x y+=+，逐项判断，即可求得答案. 【详解】21log (2)1log 21log x x x x=+=+， 31log (3)1log 31log y y y y=+=+，log (2)log (3)x y x y =，∴231111log log x y+=+，23log log x y ∴=，1x y ∴<<，对于A ，1x y <<∴221111x y >++，故A 错误；对于B ，1x y <<∴22111x y <+<+根据ln y x =在定义域内是单调增函数，可得()()22ln 1ln 1x y +<+，故B 正确；对于C ，tan x ，tan y 大小不确定，故C 错误；对于D ，根据1x y <<，故D 错误. 故选：B. 【点睛】本题解题关键是掌握对数函数的基础知识和不等式基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 14．B 【分析】利用对数函数，指数函数，幂函数的单调性，通过中间量来比较大小. 【详解】解：0.30.3log 0.2log 0.31a =>=，0.300.20.21b =<=，0.200.30.31c =<=，0.20.30.30.30.30.2c =>>. b c a ∴<<.故选：B. 【点睛】本题考查对数式，指数式的大小比较，找中间量是关键，是基础题. 15．C 【分析】根据指对幂函数的单调性对选项依次分析即可.【详解】对A ，因为01c <<，所以x y c =在R 上单调递减，又a b >，所以a b c c <，故A 错误；对B ，因为01c <<，所以c y x =在第一象限上单调递增，因为a b >，所以11a b <，所以11c ca b <⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对C ，c y x =在第一象限上单调递增，又a b >，所以c c a b >，故C 正确；对D ，由换底公式，1log log a c a c =，1log log c b bc =，因为01c <<，所以log c y x =在0,上单调递减，所以11log log c c a b>，即log log a b c c >，故D 错误.故选：C【点睛】本题主要考查指对幂函数的单调性和对数函数的换底公式，属于基础题.16．B【分析】分别判断,,x y z 与1和0之间的大小关系，即可求得.【详解】1x ln π=>；21log 03y =<；()120,1z e -=∈ 故x z y >>.故选：B.【点睛】本题考查指数式和对数式大小的比较，注意与0和1为基准进行判断.17．C【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的性质逐一判断即可．【详解】解：对A ，111122441111log log 1,log log 13324>=<=，则112411log log 33>；对B ，11331111,2424⎛⎫⎛⎫>∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>；对C ，11331111,log log 2424>∴<；对D ，11421111,4233⎛⎫⎛⎫<∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭>，故选：C ．【点睛】本题考查利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性比较大小，关键是要找到符合的函数，是基础题．18．A【分析】利用对数函数的性质推导出01,0a b <<<，利用指数函数的性质推导出1c >，由此能求出结果．【详解】解：0.70.70.70log 1log 0.9log 0.71a =<=<=，1.1 1.1log 0.9log 10b =<=，0.901.1 1.11c =>=，b ac ∴<<．故选：A ．【点睛】本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的性质的合理运用，是基础题．19．A【分析】对于根据指数对数函数的图象和性质，通过判断,,a b c 和0，1之间的大小关系得,,a b c 之间的大小关系．【详解】解：0.50.5log 3log 10a =<=，0.20110331b <=⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13113c -⎛⎫= ⎪⎝⎭=>，故a b c <<，故选A ．【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，先判断出各个量的范围，进而得到它们的大小关系． 20．B【分析】在同一坐标系内，分别作出函数211(),()log 23x x y y y x ===的图象，结合图象，即可求解．【详解】由题意，在同一坐标系内，分别作出函数211(),()log 23x x y y y x ===的图象，结合图象可得：1b a <<，故选B ．。

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体现对数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算及直观想象等核心素养的考查，也是高考命题的热点。

本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧。

希望大家以后解决此类问题时有“浅草才能没马蹄”的轻盈之感。

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