初中数学中考压轴题及答案详解(上海篇)

专题训练1

25．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.

（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；

（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；

（3）若

1

tan

3

BPD

∠=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.

图9 图10(备用)

参考答案：

（1）解：∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°

∵AD=AE ∴∠AED＝60°=∠CEP ∴∠EPC＝30°

∴三角形BDP为等腰三角形

∵△AEP与△BDP相似

∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°∴AE=EP=1

∴在RT△ECP中，EC=1

2

EP=

1

2

（2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x ∵AE=1,EC=2

∴QC=3-a

∵∠ACB＝90°

∴△ADQ与△ABC相似

∴AD AQ AB AC

=

即

1

13

a

x

=

+

，

∴

3

1 a

x

=

+

∵在RT△ADQ中

22

22

328

1

11

x x DQ AD AQ

x x

+-

⎛⎫

=-=-=

⎪

++

⎝⎭

∵DQ AD BC AB

=

∴228

111

x x x x x +-+=

+ 解之得x=4，即BC=4 过点C 作CF//DP

∴△ADE 与△AFC 相似，

∴

AE AD

AC AF

=

，即AF=AC ，即DF=EC=2, ∴BF=DF=2

∵△BFC 与△BDP 相似 ∴

21

42

BF BC BD BP ===，即：BC=CP=4 ∴tan ∠BPD=

21

42

EC CP ==

(3)过D 点作DQ ⊥AC 于点Q ，则△DQE 与△PCE 相似,设AQ=a ，则QE=1-a ∴

QE DQ

EC CP =

且1tan 3

BPD ∠= ∴()31DQ a =-

∵在Rt △ADQ 中，据勾股定理得：222AD AQ DQ =+ 即：()2

22131a a =+-⎡⎤⎣⎦，解之得41()5

a a ==舍去 ∵△ADQ 与△ABC 相似

∴44

5155AD DQ AQ AB BC AC x x

====++ ∴5533,44

x x

AB BC ++=

=

∴三角形ABC 的周长553313344

x x

y AB BC AC x x ++=++=+++=+ 即：33y x =+，其中x>0

专题训练2

1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2

6y ax x c =++的图像经过点()4,0A 、()1,0B -，

与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，=OD t ，点E 在第二象限，∠=90ADE ，

1

=2

tan DAE ∠，EF OD ⊥，垂足为F ．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）； （3）当∠ECA =∠OAC 时，求t 的值．

参考答案：

解：（1）二次函数y=ax 2

+6x+c 的图象经过点A （4，0）、B （﹣1，0），

∴，解得。

∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x 2

+6x+8

（2）∵∠EFD=∠EDA=90°，∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°。∴∠DEF=∠ODA 。

∴△EDF ∽△DAO 。∴。 ∵，∴。 ∵OD=t ，∴

，∴EF=。 同理，∴DF=2，∴OF=t ﹣2。

（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x 2

+6x+8，∴C （0，8），OC=8。 如图，连接EC 、AC ，过A 作EC 的垂线交CE 于G 点． ∵∠ECA=∠OAC ，∴∠OAC=∠GCA （等角的余角相等）。 在△CAG 与△OCA 中，

∵∠OAC=∠GCA ，AC=CA ，∠ECA=∠OAC ，

16a+24+c=0

a 6+c=0⎧⎨-⎩

a=2c=8-⎧⎨⎩EF ED =DO DA

ED 1=tan DAE=DA 2∠EF 1

=DO 2

EF 1=t 21

t 2

DF ED =OA DA

∴△CAG ≌△OCA （ASA ）。∴CG=AO=4，AG=OC=8。 如图，过E 点作EM ⊥x 轴于点M ，

则在Rt △AEM 中，EM=OF=t ﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+，

由勾股定理得： 。

在Rt △AEG 中，由勾股定理得：。 在Rt △ECF 中，EF=，CF=OC ﹣OF=10﹣t ，CE=CG+EG=4+

由勾股定理得：EF 2+CF 2=CE 2

，即。 解得t 1=10（不合题意，舍去），t 2=6。 ∴t=6

2.如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠=90AOB ，点C 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合）OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ． （1）当=1BC 时，求线段OD 的长；

（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；

（3）设=BD x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．

参考答案：

解：（1）∵点O 是圆心，OD ⊥BC ，BC=1，∴BD=

BC=。 又∵OB=2，∴

1t 2

()2

22

2

2

1AE AM EM 4+t +t 22⎛⎫

=+=- ⎪⎝⎭

()2

22

2

2

215EG=AE AD 4+t +t 28t 4424⎛⎫-=--=

- ⎪⎝⎭

1

t 22

5t 444

-()2

2

2215t +10t =4+t 4424⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

121

2

2

2

2

2

115OD=OB BD 222⎛⎫

-=-= ⎪⎝⎭