临沂大学2022年《高等数学B》上学期期末试题

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大一高数b期末考试题及答案

大一高数b期末考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2+2x+1的导数是（）。

A. 2x+2B. 2x+1C. x^2+2D. 2x2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是（）。

A. 0B. 1C. π/2D. 23. 以下哪个函数是奇函数（）。

A. y=x^2B. y=x^3C. y=x^2+1D. y=x^3-14. 函数f(x)=e^x的不定积分是（）。

A. e^x + CB. e^x - CC. ln(e^x) + CD. ln(x) + C5. 以下哪个选项是正确的洛必达法则的应用（）。

A. lim(x→0) (x^2/x) = lim(x→0) (2x/1) = 0B. lim(x→0) (1/x) = lim(x→0) (0/0) = 1C. lim(x→0) (sin(x)/x) = lim(x→0) (cos(x)/1) = 1D. lim(x→0) (x^3/x^2) = lim(x→0) (3x^2/2x) = 06. 函数f(x)=x^3-3x的极值点是（）。

A. x=0B. x=1C. x=-1D. x=27. 以下哪个选项是正确的二重积分计算（）。

A. ∬(1/(x^2+y^2)) dxdy = πB. ∬(1/(x^2+y^2)) dxdy = 2πC. ∬(x^2+y^2) dxdy = πD. ∬(x^2+y^2) dxdy = 4π8. 以下哪个选项是正确的泰勒级数展开（）。

A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...C. cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...D. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...9. 以下哪个选项是正确的多元函数偏导数的计算（）。

临沂大学2021年《高等数学B》上学期期末试题

一、选择题1、设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e2、若函数()f x 在（a,b ）内存在原函数，则原函数有（）A 、一个B 、两个C 、无穷多个D 、都不对 3、若2()2x f x dx e C =+⎰，()f x =（）A 、22x e B 、24x eC 、2x e C + D 、2x e4、x xe dx -⎰=（）A 、x x xe e C ---+B 、x x xe eC ---++ C 、x x xe e C --++D 、x x xe e C ----+5、设()P x 为多项式，n 为自然数，则()(1)n P x x dx --⎰（）A 、不含有对数函数B 、含有反三角函数C 、是初等函数D 、是有理函数6、211f dx x x ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（）、A 、1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ B 、1fC x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ C 、1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D 、1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭7、x xdxe e -+⎰的结果是（）、A 、arctan x e C +B 、arctan x eC -+ C 、x x e e C --+D 、ln()x xe e C -++二、填空题1、⎰= （）2、若()()F x f x '=，则()dF x ⎰= （）3、若22()x f x dx x e C =+⎰，则()f x = ( ) 三、计算题1、求不定积分22d 3x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰；2、求不定积分；3、求不定积分()2cos 3sin 4e πd x x x x -++⎰；4、求不定积分2cot d x x ⎰；5、求不定积分3e d x x -⎰；6、求不定积分22d 1x x x +⎰； 7、求不定积分；8、求不定积分tan 5d x x ⎰； 9、求不定积分2ed x x x -⎰；10、求不定积分x ⎰；11、求不定积分d ln xx x⎰； 12、求不定积分； 13、求不定积分2211cos d x x x⎰； 14、求不定积分3cos d x x ⎰；1516、求不定积分x ；17、求不定积分()()2d 1f x x f x '+⎰； 18、求不定积分2x ； 19、求不定积分x ；19、求不定积分arctan d x x ⎰；20、求不定积分x ⎰；21、求不定积分10e d x x x ⎰； 22、求不定积分()d xf x x ''⎰；23、求不定积分⎰++xxd 111；24、求不定积分()()13dxx x ++⎰；25、求不定积分()0a >⎰；26、求不定积分xxedx-⎰；四、解答题1、某曲线在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，且通过点()2e ,3,求该曲线方程、2、一物体由静止开始作直线运动,在s t 时速为2m 3,s t 问（1）3s 后物体离开出发点距离是多少？（2）需要多长时间走完1000m? 3、在平面上有一运动着的质点,如果它在x 轴方向与y 轴方向的分速度分别为5sin x V t =与2cos y V t =,且05,0,t t xy====求:（1）时间为t 时，质点所在的位置; （2）质点运动的轨迹方程、4、设某函数当1=x 时有极小值，当1-=x 时有极大值为4 ，又知道这个函数的导数具有形状c bx x y ++=2'3，求此函数、。

临沂大学高等几何期末考试试卷级参考答案

高等几何2021年12月期末考试试卷（1）一、单选题（共30题，60分）1、无穷远直线是（）的集合A、直线上的无穷远点B、平面上的无穷远点C、空间中的无穷远点D、所有的无穷远点正确答案：B2、一个圆在平面上的射影图形是（）A、圆B、椭圆C、线段D、圆或椭圆或线段正确答案：D3、直线上无穷远点的透视称为直线的（）A、迹点B、主点C、站点D、灭点正确答案：D4、仿射几何的基本不变量是（）A、交比B、单比C、距离D、角度正确答案：B5、欧式平面R2上的下列变换不是保距变换的是（）A、平移变换B、轴对称变换C、旋转变换D、投影变换正确答案：D6、加上复元素以后的射影平面叫（）A、实欧氏平面B、复欧氏平面C、实射影平面D、复射影平面正确答案：D7、射影平面上，一条n次曲线和一条m次曲线相交的点数（切点重复计算）恰好是（）个。

这就是著名的Bezout定理。

A、m nnC、n/mC 、 1-iD 、1+i正确答案：c19、任何代数曲线（也就是黎曼曲面）都可以投影到射影平面上，使得投影出来的曲线最多只含有通常二重点作为（）。

A 、切点B 、中心C 、圆心D 、奇点正确答案：D20、在一个几何元素上为了能用直线或圆弧插补逼近该几何元素而人为分割的点称为（）正确答案：C21、（）为仿射性质A 、任何正交变换下保持不变的性质B 、任何仿射变换下保持不变的性质C 、任何射影变换下保持不变的性质D 、任何仿射变换下保持不变的量正确答案：B22、共轴复数相乘等于（）A 、常数B 、纯虚数C 、复数D 、不能确定正确答案：A23、不同平面坐标系统间常采用相似变换，其变换一般需要转换参数，求解转换参数的个数以及至少需要公共点坐标的个数是（）A 、 4、2B 、 4、4C 、 3、3D 、 2、2正确答案：A24、欧式平面R2上的下列变换不是保距变换的是（）A 、平移变换B 、轴对称变换C 、旋转变换D 、投影变换正确答案：D断基节交、、、、A B c D25、经过（）且垂直于切线的直线必经过圆心.A、半径B、公共点C、圆心D、切点正确答案：D26、在使用节点电压法和回路电流法时，不改变互为（）的元件的值，将会得到形式完全一样的对偶方程，从而得到相同的一组解。

2021-2022学年高等数学(上)期末试卷

2020-2021学年第一学期《高等数学（上）》课程期末考试试卷题号一二三四五六七八总分得分阅卷一.填空题(每小题4分,共32分):1. 数列极限nn n n )11(lim 2++∞→=____________.2. 设x b x a x x f 2sin 2sin )(−−=满足,0)(lim 50≠=→A x x f x 则.______=−b a3. 积分∫−πθθ202cos 1d =___________.4. 积分=−+∫21212211arcsin －dx xx x =___________.5. 设是可导函数, )(u f 21)2(',1)2(==f f , 又设,则___________.])2([)(2x x f f x F +==)1('F 6. 设有连续的导数，且当时，与是同阶无穷小，则＝________.)(x f ∫−=≠′=x dt t f t x x F f f 022)()()(0)0(0)0(，，，0→x )(x F ′kx k 7. 幂级数∑∞=+−⋅01!)(32n n n n x 的和函数是___________.8. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=−=2233t y tx t 相应于30≤≤t 的弧长为____________.二.选择题(每小题4分,共24分):1. 设在区间[]上b a ，0)(0)(0)(>′′<′>x f x f x f ，，，，∫=b ax x f S d )(1[]，，)()()(21))((32a b a f b f S a b b f S −+=−=则有 ( ). (A) 321S S S <<; (B) 312S S S <<;(C) ; (D) 213S S S <<132S S S <<.2. 设x x x f sin )2()(+=则在)(x f 0=x 处 ( ).(A) ; (B) 2)0(=′f 0)0(=′f ; (C) 1)0(=′f ; (D) 不可导.3. ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤−+−=02sin 0244)(2x xx x xx x x f ，当，当,则关于的连续性的正确结论是 ( ).)(x f (A) 仅有一个间断点; (B) 仅有一个间断点0=x 2=x ;(C) 有二个间断点及; (D) 处处连续.0=x 2=x 4. 设有级数∑∞=12)1(23cos n nn n π 和级数)2()(ln 1ln ∑∞=n nnn n , 其敛散性的判定结果是( ).（A）（1）（2）都发散; （B）（1）（2）都收敛; （C）（1）发散,（2）收敛; （D）（1）收敛,（2）发散.5. 的阶泰勒展开式的拉格朗日余项为)(x f n =)(x R n ( ). (式中10<<λ)(A) 10)1()()!1()(++−+n n x x n x fλ ; (B)n n x x n x f )(!)(0)(−λ ; (C)100)1()()!1(])1([++−+−+n n x x n x x fλλ; (D)n n x x n x x f )(!])1([00)(−−+λλ.6. 设在)(x f 0x 如果阶导数的某邻域内有连续的三,0)()(00=′′=′x f x f ,, 则 ( ).0)(0>′′′x f (A) 是; (B) 是的极小值点; 0x )(x f 的极大值点0x )(x f (C) 不是的极值点; (D) 不能断定是否为极值点.0x )(x f 0x三.(8分)求)286(lim 22x x x x x x ++++−∞→.四.(8分) 求微分方程yy x y 2sin cos 1+=′的通解.五. (8分) .12cos 22确定的平面图形的面积和求由不等式≥≤ρθρ六.（8分）;)1.(02,2求这个平面图形的面积围成一平面图形及设曲线=−==y y x y x .)2(积轴旋转而成的立体的体求此平面图形绕x七.(6分) 试将函数展开为2arctan x y =x 的幂级数.八. (6分) 设在[上可微, 且满足)(x f ]10，0)(2)1(21=−∫dx x xf f , 试证明在内存在点)10(，ξ, 使得:ξξξ)()(f f −=′ .。

2021-2022年高三数学上学期期末考试试题(VIII)

区，学生作答时请将答案写在试卷上.试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题，共40分）注意事项：1．选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共8小题，每小题5分，共40分.参考公式：如果事件互斥，那么．如果事件相互独立，那么．锥体的体积公式，其中表示锥体的底面面积，表示锥体的高.柱体的体积公式，其中表示柱体的底面面积，表示柱体的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合2===∈，则A B y y x x A{0,1,4},{|,}（A）（B）（C）（D）（2）从数字1，2，3，4，5，6中任取两个数，则取出的两个数的乘积为奇数的概率为（A）（B）（C）（D）（3）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（A）48（B）36（C）24第3题图（D）12（4）设，则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知，，，则（A）（B）（C）（D）（6）已知双曲线（）的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）（7）已知向量，，（其中），则的最小值为（A）（B）（C）（D）（8）已知函数若方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围为（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷（非选择题，共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2．本卷共12小题，共110分.二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分.（9）已知i是虚数单位，若，则复数=___________．（10）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为___________.（11）已知（其中是自然对数的底数），为的导函数，则的值为___________.（12）在等比数列{}中，已知，，则{}的前10项和___________.（13）如图，为边长为1的正三角形，为AB 的中点，在上，且，连结并延长至，使，连结．则的值为________.（14）已知()sin 3cos f x x x ωω=+（），若函数在区间内恰有个零点，则的取值范围是___________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）（本小题满分13分）在中，角A ,B ,C 的对边分别为，且满足．第13（I ）求角C的值；（II）若，的面积为，求的值．（16）（本小题满分l3分）某石材加工厂可以把甲、乙两种类型的大理石板加工成三种规格的小石板，每种类型的大理石板可同时加工成三种规格小石板的块数如下表所示：板材类型甲型石板（块）乙型石板（块）用表示甲、乙两种类型的石板数．（I）用列出满足客户要求的数学关系式，并画出相应的平面区域；（II）加工厂为满足客户的需求，需要加工甲、乙两种类型的石板各多少块，才能使所用石板总数最少？（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为直角梯形，,,,，点、分别为、的中点.（I）求证：直线平面；（II）求证：平面平面；（III）若，求直线与平面所成的角.（18）（本小题满分13分）已知数列的前项和（），（），数列的前项和为.（I）求数列的通项公式；（II）设（），求数列的前项和；（III）证明：（）.（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222: 1 (0)x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为，，上顶点为，若的周长为，且点到直线的距离为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆长轴的两个端点，点是椭圆上不同于的任意一点，直线交直线于点，求证：以为直径的圆过点.（20）（本小题满分14分）已知函数（），函数的图象记为曲线.（I）若函数在时取得极大值2，求的值；（II ）若函数25()2()(21)32F x f x x a x b =----存在三个不同的零点，求实数的取值范围；（III ）设动点处的切线与曲线交于另一点，点处的切线为，两切线的斜率分别为，当为何值时存在常数使得？并求出的值.天津市部分区xx ～xx 学年度第一学期期末考试高三数学（文科）参考答案一、选择题:1-4 DCDA 5-8 BACD二、填空题:9. 10. 11. 12. 13. 14.三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）已知可化为， …………………………3分整理得，，又 …………………………6分（Ⅱ）由得，由（Ⅰ），所以由余弦定理得：，，即，…………………………9分所以 . …………………………13分16.（本小题满分13分）解：（I）由题意得………………………………3分二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分.………………………………6分（Ⅱ）解：设需要加工甲、乙两种类型的板材数为，则目标函数，作出直线，平移直线，如图，易知直线经过点A时，取到最小值，解方程组得点的坐标为，………………………………10分所以最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．答：加工厂为满足客户需求，最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．………………………………13分17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ），且为的中点， .又因为，则四边形是平行四边形，∴，平面，平面，直线平面 . ……………4分（II）∵在等边中，是的中点，；又，；又，，又，，又，平面，故平面平面；……8分（III）设与交于点，由（II）知平面，，故平面，连结，为直线与平面所成的角.在中，，，. ………………………13分18．（本小题满分13分）解：（I）当时，，，两式相减：；当时，，也适合，故数列的通项公式为；………………………………….3分（II），，，，两式相减可得：，………………………………… 4分即，， . ………………… 7分（III），显然，即，；………………………………. 9分另一方面，，即，，…，，，即： . ……………………….. 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得，解得 .所以椭圆的方程为 . ……………5分（Ⅱ）由题意知，……………6分设，则，得 .且由点在椭圆上，得 . ……………9分所以…………13分以为直径的圆过点 . ……………14分20．（本小题满分14分）解：函数的导函数为 .（I）当时极大值2，则，解得；…… 4分（II）由题意可得有三个不同的零点，即方程有三个实数解.令，则，由可得或，且是其单调递增区间，是其单调递减区间， .因此，实数的取值范围是 . 9分（III）由（I）知点处的切线的方程为，与联立得，即，所以点的横坐标是，可得，即，等价于，解得 .综上可得，当时存在常数使得 . ……………14分天津市部分区xx ～xx 学年度第一学期期末考试高三数学（文科）参考答案一、选择题:1-4 DCDA 5-8 BACD二、填空题:9. 10. 11. 12. 13. 14.三、解答题:15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）已知0cos cos )2(=--B c C b a 可化为0cos sin cos )sin sin 2(=--B C C B A ， …………………………3分整理得B C C B C A cos sin cos sin cos sin 2+=，，又 …………………………6分（Ⅱ）由11πsin sin 223ABC S ab C ab ∆=== 由（Ⅰ），所以由余弦定理得：222222cos ()3()340c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-⨯，，即， …………………………9分所以. …………………………13分解：（I ）由题意得0,02200,2220,451000,.y x y x y x y x +-⎧⎪+-⎪⎨+-⎪⎪⎩≥≥≤≥≥………………………………3分二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分.………………………………6分（Ⅱ）解：设需要加工甲、乙两种类型的板材数为，则目标函数，作出直线，平移直线，如图，易知直线经过点A 时，取到最小值，解方程组得点的坐标为，………………………………10分所以最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．答：加工厂为满足客户需求，最少需要加工甲、乙两种类型的板材分别8块和6块．………………………………13分解：（Ⅰ），且为的中点，.又因为，则四边形是平行四边形，∴，平面，平面，直线平面. ……………4分（II）∵在等边中，是的中点，；又，；又，，又，，又，平面，故平面平面；……8分（III）设与交于点，由（II）知平面，，故平面，连结，为直线与平面所成的角.在中，，332sin23BGBPGPB∠===，. ………………………13分18．（本小题满分13分）解：（I）当时，，，两式相减：；当时，，也适合，故数列的通项公式为；………………………………….3分（II ），，123135212222-=++++n n n C ，23411352122222+-=++++n n C n ，两式相减可得： 1231122221222222+-=++++-n n n C n ， ………………………………… 4分即123-111111121()2222222+-=+++++-n n n C n ， -111121(1)2222+-=+--n n n C n ，. ………………… 7分（III ），显然212122121-++>=+-n n n n ，即，122n n B b b b n =+++>；………………………………. 9分另一方面，21212222112212121212121-++=-++=+-+-+--+n n n n n n n n ，即，，…，11222121⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭n b n n ，2222222(2)(2)(2)22221335212121=+-++-+++-=+-<+-++n B n n n n n ，即：. ……………………….. 13分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得2222262c a cb ab a b c ⎧+=⎪=⎨⎪=+⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为. ……………5分（Ⅱ）由题意知， ……………6分设，则，得.且由点在椭圆上，得. ……………9分所以20022000001616(12,)(2,)12(2)22y y A M A P x y x x x ⋅=⋅-=-+++ 2000000012(4)12(2)(2)12(2)12(2)022x x x x x x x --+=-+=--=++ …………13分以为直径的圆过点. ……………14分20．（本小题满分14分）解：函数的导函数为.（I ）当时极大值2，则，解得；…… 4分（II ）由题意可得25()2()(21)32F x f x x a x b =----有三个不同的零点，即方程有三个实数解.令，则2()651(21)(31)g x x x x x '=++=++，由可得或，且是其单调递增区间，是其单调递减区间，1117(),()28354g g -=--=-.因此，实数的取值范围是. 9分（III ）由（I ）知点处的切线的方程为000()()()y f x f x x x '-=-，与联立得000()()()()f x f x f x x x '-=-，即2005()(2)02x x x x -++=，所以点的横坐标是，可得221002005535,3(2)5(2)22k x x a k x x a =++=+-++，即22002512204k x x a =+++，等价于20025(35)(4)(1)4x x a λλ+-=--，解得. 综上可得，当时存在常数使得. ……………14分26607 67EF 柯\}32412 7E9C 纜25352 6308 挈35622 8B26 謦_30095 758F 疏29648 73D0 珐20079 4E6F 乯 \\N。

临沂大学2022年《高等数学B》上学期期末考试试题

一、选择题1、函数211y x =+ 是（）A 、偶函数B 、奇函数C 、单调函数D 、无界函数2、函数x y sin 1+=是（）、A 、奇函数；B 、偶函数；C 、单调增加函数；D 、有界函数3、设(sin )cos 12xf x =+,则()f x 为（）A 、222x -B 、222x -C 、21x +D 、 21x -4、数列有界是数列收敛的（）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、既非充分也非必要5、下列命题正确的是（）A 、发散数列必无界B 、两无界数列之和必无界C 、两发散数列之和必发散D 、两收敛数列之和必收敛6、当1x →时，下列与无穷小1x -等价的无穷小是（）A 、21x -B 、 31x -C 、 21x -（）D 、 sin(1)x -7、 ()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在0x x =处连续的（）A 、必要条件B 、充分条件C 、充分必要条件D 、无关条件8、设函数cot ()(1)x f x x =-要使()f x 在点：0x =连续，则应补充定义(0)f 为（）A 、 1eB 、eC 、-eD 、1e-9、下列有跳跃间断点0x =的函数为（）A 、 1arctan x xB 、1arctan xC 、1tan xD 、1cos x10、设()f x 在点0x 连续，()g x 在点0x 不连续，则下列结论成立是（）A 、()()f x g x +在点0x 必不连续B 、()()f x g x ⋅在点0x 必不连续C 、复合函数[()]f g x 在点0x 必不连续D 、[()]g f x 在点0x 必不连续12、极限 x x x x sin 1sinlim 20→=（）A 、0B 、1C 、2D 、不存在13、若函数()f x 在[0, +∞]内可导，且()0f x '>，(0)0x f ⋅<则()f x 在[0,+ ∞]内有（）A 、唯一的零点B 、至少存在一个零点C 、没有零点D 、不能确定有无零点14、下列命题正确的是（）A 、发散数列必无界B 、两无界数列之和必无界C 、两发散数列之和必发散D 、两收敛数列之和必收敛15、 “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的( )A 、充分条件但非必要条件B 、必要条件但非充分条件C 、充分必要条件D 、既非充分也非必要条件16、设()2,02,0x x g x x x -≤⎧=⎨+>⎩，()2,0,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩则()g f x =⎡⎤⎣⎦( ) A 、 22,02,0x x x x ⎧+<⎨-≥⎩B 、 22,02,0x x x x ⎧-<⎨+≥⎩C 、 22,02,0x x x x ⎧-<⎨-≥⎩D 、 22,02,0x x x x ⎧+<⎨+≥⎩17、下列各式中正确的是( )A 、01lim 1e xxx +→⎛⎫-= ⎪⎝⎭B 、01lim 1e xx x +→⎛⎫+= ⎪⎝⎭C 、1lim 1e xx x →∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭D 、 -11lim 1e xx x -→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭18、设0→x 时，tan e 1x -与n x 是等价无穷小，则正整数n =( )、A 、 1B 、 2C 、 3D 、 420、112111lim -→--x x e x x = （）A 、2B 、0C 、∞D 、不存在但也不为∞21、设x e e x f x x 1arctan 11)(11+-=，则0=x 是)(x f 的（）A 、连续点B 、跳跃间断点C 、可去间断点D 、第二类间断点22、设函数11)(1-=-x x e x f ，则（）A 、0=x ，1=x 都是)(x f 的第一类间断点；B 、0=x ，1=x 都是)(x f 的第二类间断点；C 、0=x 是)(x f 的第一类间断点，1=x 是)(x f 的第二类间断点； D 、0=x 是)(x f 的第二类间断点，1=x 是)(x f 的第一类间断点。

山东省临沂市部分高中2021-2022学年高二上学期期末数学试题

对于D选项，当过的直线为轴时，弦为实轴长，此时，故错误.故选：AB
12.如图，正方体的棱长为1，E是的中点，则（）
A
B.点E到直线的距离为
C.直线与平面所成的角的余弦值为
D.点到平面的距离为
ABCD
连接，由平面，可判定A正确；取的中点，过作，垂足为，连接，则，求得的长度，可判定B不正确；连接，得到为直线与平面所成的角，在直角中，可判定C正确；连接，根据，可判定D正确.
则线段AB的垂直平分线方程为 ,即
联立 ,解得 .
所以圆半径
所以圆方程为
【小问2详解】
设 ,因为点在圆上,所以 ①
因为 ,所以 ②
(1)-(2)得 ③
联立②③得
所以或
即或
由两点式得直线AP的方程为或
20.已知数列的首项，且 .
（1）求证：是等差数列；
（2）求数列的前n项和 .
（1）具体见解析；
所以数列是等比数列，公比为，
因为，即，解得，
所以
故答案为：
14.某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：）与时间t（单位：）之间的关系，则该振子在时的瞬时速度为___________ .
根据题意得，进而根据导数几何意义求解时的导函数值即可得答案.
解：因为，
所以求导得，
所以根据导数的几何意义得该振子在时的瞬时速度为
解：由（1）得，则，
设与x轴平行的的图象的切线的切点为，
则，解得，所以，
所以与x轴平行的的图象的切线方程为 .
18.在① ，；②公差为1，且成等比数列；③ ，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.

临沂大学期末考试卷概率论

临沂大学期末考试卷概率论一、选择题（每题2分，共20分）1. 事件A和事件B是互斥的，如果P(A)=0.4，那么P(B)的最大值是多少？A. 0.6B. 0.7C. 0.8D. 0.92. 某随机变量X服从标准正态分布，求P(X > 0)的值。

A. 0.5B. 0.3182C. 0.6827D. 0.84133. 抛一枚均匀硬币三次，求三次都是正面的概率。

A. 0.125B. 0.25C. 0.375D. 0.54. 某工厂生产的零件，其合格率为0.95。

求生产100个零件中至少有95个合格的概率。

A. 0.9B. 0.95C. 0.99D. 0.9995. 某随机变量Y服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.3。

求P(Y=3)。

A. 0.143B. 0.171C. 0.186D. 0.2426. 已知随机变量X的期望E(X)=5，方差Var(X)=9，求E(2X-3)。

A. 7B. 8C. 9D. 107. 一个盒子里有5个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求取出的两个球颜色相同的概率。

A. 0.36B. 0.5C. 0.64D. 0.728. 某连续随机变量X的密度函数为f(x)，若∫[-∞, ∞] f(x)dx = 1，求X的期望E(X)。

A. ∫[-∞, ∞] xf(x)dxB. ∫[-∞, ∞] x²f(x)dxC. ∫[-∞, ∞] (x-μ)²f(x)dxD. ∫[-∞, ∞] x²f(x)/2dx9. 某事件的发生与否不影响另一个事件的发生概率，这两个事件被称为：A. 互斥事件B. 独立事件C. 互为对立事件D. 条件事件10. 已知随机变量X和Y的联合分布函数为C(a, b)，求P(X < a 且Y < b)。

A. C(a, b)B. C(a, b) - C(a, ∞) - C(∞, b) + C(∞, ∞)C. C(a, ∞) - C(a, b)D. C(∞, b) - C(a, b)二、填空题（每题2分，共10分）1. 如果随机变量X服从泊松分布，参数为λ，那么P(X=k) =__________。

2022-2023学年山东省临沂市兰山区高一数学第一学期期末调研模拟试题含解析

A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．已知函数则 _______.
14．函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为
（1）求函数的解析式；
（2）设，且，求的值
15． =________
所以，
解得，
所以，
因为方程有两个正实数根，，
所以，
解得，
所以，
当c=2时，等号成立，所以其最小值是2，
故选：B
2、B
【解析】由，得，所以，
，得，
，
所以，从而有，
.
故选：B
3、B
【解析】定义域为，定义域为R,均关于原点对称
因为，所以f(x)是奇函数，
因为，所以g(x)是偶函数，选B.
所求的概率为 .
(II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，
多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，
其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，
所以概率为 .
考点：古典概型
点评：主要是考查了古典概型的运用，属于基础题
18、（1）；（2），有最大值 .
7、B
【解析】由三角函数定义列式，计算，再由所给条件判断得解.
【详解】由题意知，故，又，
∴ .
故选：B
8、C
【解析】根据相互独立事件的概率乘法公式，即可求解.
【详解】由题意，甲、乙分别能独立破译的概率为和，且两人是否破译成功互不影响，
则这份电报两人都成功破译的概率为 .

临沂市重点中学2022-2023学年数学高一上期末联考试题含解析

13．已知函数 = ，若对任意的都有成立，则实数的取值范围是______
14．设函数，若实数满足，且，则的取值范围是_______________________
15．已知过点的直线与轴，轴在第二象限围成的三角形的面积为3，则直线的方程为__________
16．已知，且，则实数的取值范围为__________
【详解】因为函数满足对任意实数，都有成立，
所以函数在R上递增，
所以，
解得，
故选：C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先求出函数的值域有，再得出，从而求得反函数.
【详解】由，可得
由，则，
所以
故答案为： .
12、
【解析】正方体的对角线等于球的直径．求得正方体的对角线，则球的表面积为
所以P（M） 0.9
【点睛】本题考查了频率分布直方图,考查了由频率分布直方图计算中位数和平均数,考查了古典概型的概率公式,属于中档题.
20、（1）；(2) .
【解析】（1）利用数量积及三角恒等变换知识化简得；（2）由，可得，进而得到，再利用两角和余弦公式即可得到结果.
试题解析：
（1）
，，即
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

2022-2023学年山东省临沂市临沂第三中学(北校)高二上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年山东省临沂市临沂第三中学（北校）高二上学期期末数学试题一、单选题 1．直线3x π=的倾斜角为A ．0B ．2π C ．3π D ．23π 【答案】B【解析】分析出直线3x π=与x 轴垂直，据此可得出该直线的倾斜角.【详解】由题意可知，直线3x π=与x 轴垂直，该直线的倾斜角为2π. 故选：B.【点睛】本题考查直线的倾斜角，关键是掌握直线倾斜角的定义，属于基础题． 2．在等比数列{}n a 中，且3944a a a =，则8a =（） A ．16 B ．8 C ．4 D ．2【答案】C【分析】利用等比数列性质，若m n p q +=+，则m n p q a a a a =，即可计算出8a 的值. 【详解】由题意可知，根据等比数列性质，若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；所以483944a a a a a ==，因为40a ≠，所以84a =. 故选：C.3．如图，在四面体O ABC -中，OA a →=，OB b →=，OC c →=，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE 可用向量a →，b →，c →表示为（）A ．111222a b c →→→++B ．111244a b c →→→++C ．111424a b c →→→++D ．111442a b c →→→++【答案】B【分析】利用空间向量的基本定理，用a ，b ，c 表示向量OE ．【详解】因为D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，1()2OD OB OC =+，111111()()224244OE OA OD OA OB OC a b c =+=++=++．故选：B4．如图，直线l 是曲线()y f x =在4x =处的切线，则(4)f '=A ．12B ．3C ．4D ．5【答案】A【详解】由图可知()45f =又直线过()()0345，，，， 531402l k -∴==- 即()142f '=故选A5．在等比数列{}n a 中，24a =，1016a =，则2a 和10a 的等比中项为（） A ．10 B ．8C ．8±D ．10±【答案】C【分析】根据等比中项的定义可得结果.【详解】根据等比中项的定义可得2a 和10a 的等比中项为2104168a a ±=±⨯=±. 故选：C6．已知平面α的一个法向量()1,2,2n =--，点()1,3,0A -在α内，则平面外一点()2,1,4P -到α的距离为（）A ．10B ．3C ．53D ．103【答案】C【分析】首先求出AP ，再根据点P 到α的距离n AP d n⋅=计算可得.【详解】解：因为()1,3,0A -、()2,1,4P -，所以()1,2,4AP =--，又平面α的一个法向量()1,2,2n =--，所以点P 到α的距离(153n AP d n⨯⋅===. 故选：C7．已知椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为1F，2F ，P 是C 上的动点，则下列结论错误的是（）A ．离心率e =B ．2PF 的最大值为2C ．12PF F △的面积的最大值为D ．12PF PF +的最小值为2【答案】C【分析】根据椭圆方程求出a 、b 、c ，即可求出离心率，从而判断A ，根据椭圆的性质判断B ，设(),P x y，则12PF F S，根据y 的有界性求出12PF F △面积的最大值，即可判断C ，根据向量模的坐标表示及二次函数的性质判断D.【详解】解：椭圆22:14x C y +=，则2a =，1b =，所以c ==e =A正确；由椭圆性质：到椭圆右焦点距离最大的点是左顶点，可得2PF的最大值为2a c +=故B 正确；由()1F ，)2F ，设(),P x y ，则121212PF F SF F y =⋅=，因为11y -≤≤，所以()12maxPF F S =当且仅当P 在上、下顶点时取最大值，故C 错误；因为()23,=-PF x y，()1,PF x y =--，所以()122,2PF PF x y +=--，所以(122P P F F +=-=，即12PF PF +的最小值为2，当且仅当P 在上、下顶点时取最小值，故D 正确；故选：C8．已知方程2224kx k x +-=-有两个不同的解，则实数k 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】设()22f x kx k =+-，2()4g x x =-，即()f x ，()g x 有两个不同的交点，()f x 恒过定点(2,2)A ，()g x 是圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分，画出它们的图像，利用数形结合法即可求出k 的取值范围．【详解】解：设()22(2)2f x kx k k x =+-=-+，2()4g x x =-，即()f x ，()g x 有两个不同的交点，()f x 恒过定点(2,2)A ，()g x 是圆心为(0,0)，半径为2的圆的上半部分，它们的图像如图所示：当()f x 过点(2,0)B -时，它们有两个交点，此时2012(2)2k -==--，当()f x 与上半部分圆相切时，有一个交点，此时0k =，由图形可知，若()f x ，()g x 有两个不同的交点，则102k <≤，即实数k 的取值范围是为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.故选：B ．二、多选题9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a >，4110a a +>，780a a ⋅<，则（） A ．数列{}n a 是递增数列 B ．96S S >C ．当7n =时，n S 最大D ．当0n S >时，n 的最大值为14【答案】BCD【分析】利用等差数列的性质可知41817a a a a =++，进而得出0d <，780,0a a ><，依次判断各选项即可得出结果.【详解】等差数列{}n a 中，4110a a +>，41817a a a a =++，10a >，780a a ⋅< ∴780,0a a ><，∴公差0d <，数列{}n a 是递减数列，A 错误96789830S S a a a a -=++=<，∴96S S >，B 正确.780,0a a ><，数列{}n a 是递减数列，∴当7n =时，n S 最大,C 正确.4110a a +>,780,0a a ><()()144111141414022a a a a S =++=>,()15181515152022a a a S +⨯==<. 当0n S >时，n 的最大值为14,D 正确. 故选:BCD.10．下列求导运算正确的是（）A ．若()()sin 23f x x =+，则()()2cos 23f x x '=+B ．若()21e xf x -+=，则()21ex f x -+'= C ．若()e xx f x =，则()1e x xf x -'= D ．若()ln f x x x =，则()ln 1f x x ='+ 【答案】ACD【分析】利用导数的运算求解判断.【详解】A. 因为()()sin 23f x x =+，所以()()2cos 23f x x '=+，故正确；B.因为()21e xf x -+=，所以()212e x f x -+=-'，故错误；C. 因为()e xx f x =，所以()1e x xf x -'=，故正确；D. 因为()ln f x x x =，所以()ln 1f x x ='+，故正确. 故选：ACD11．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（）A ．两条不重合直线12,l l 的方向向量分别是(2,3,1)a =-，(2,3,1)b =--，则12//l lB ．直线l 的方向向量(1,1,2)a =-，平面α的法向量是(6,4,1)u =-，则l α⊥C ．两个不同的平面,αβ的法向量分别是()2,2,1u =-，(3,4,2)v =-，则αβ⊥D ．直线l 的方向向量(0,3,0)a =，平面α的法向量是(0,5,0)u =-，则//l α 【答案】AC【分析】根据条件结合空间向量的平行和垂直，对各选项逐项判断即可．【详解】对于A ，两条不重合直线l 1，l 2的方向向量分别是(2,3,1),(2,3,1)a b =-=--，则b a =-，所以//a b ，即12l l //，故A 正确；对于B ，直线l 的方向向量(1,1,2)a =-，平面α的法向量是(6,4,1)u =-，则16142(1)0a u ⋅=⨯-⨯+⨯-=，所以a u ⊥，即//l α或l ⊂α，故B 错误；对于C ，两个不同的平面,αβ的法向量分别是()()2,2,1,3,4,2u v =-=-，则0u v ⋅=，所以αβ⊥，故C 正确；对于D ，直线l 的方向向量(0,3,0)a =，平面a 的法向量是(0,5,0)u =-，则53u a =-，所以//u a ，即l α⊥，故D 错误．故选：AC12．已知O 为坐标原点，P ，Q 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的两点，F 为其焦点，()2,2M ．若F 到抛物线C 的准线的距离为4，则下列说法正确的是（） A ．若直线PQ 过点F ，则直线OP ，OQ 的斜率之积恒为4- B ．PMF △的周长的最小值为6C ．若POF 的外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆的面积为94πD ．若2PF FQ =，则直线PQ 的斜率为±【答案】ABD【分析】根据F 到准线的距离为4，求出4p =，可得焦点和准线方程，设出直线PQ 的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理和斜率公式，即可判断A ；利用抛物线的定义可求出PMF △周长的最小值，即可判断B ；利用POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，求出圆心的横坐标和圆的半径，可得圆的面积，即可判断C ；由2PF FQ =，可知直线PQ 过焦点，设出直线PQ 的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理和向量的线性关系，求出Q 点坐标，可求得直线PQ 斜率，从而判断D ．【详解】解：抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-，因为F 到准线的距离为4，所以4p =，所以抛物线2:8C y x =，所以()2,0F ，准线为2x =-，对于A ，若直线PQ 过点F ，设直线:2PQ x my =+，联立228x my y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得28160y my --=，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则128y y m +=，1216y y =-，所以1212128864416OP OQ y y k k x x y y ⋅=⋅=⋅==--，故A 正确；对于B ，过P 作PN l ⊥，垂足为N ，则||||||||||224PF PM PN PM MN +=+≥=+=，所以PMF △周长的最小值为6，故B 正确；对于C ，因为OF 为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为1．因为POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，所以圆的半径为123+=，所以圆的面积为2π39π⨯=，故C 错误；对于D ，由2PF FQ =，可知直线PQ 过焦点，设直线:2PQ x my =+，联立228x my y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得28160y my --=，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则128y y m +=，1216y y =-，① 又2PF FQ =，可得122y y =-，②①②联立，解得2y =±，所以(1,Q ±，所以直线PQ 的斜率为±D 正确；故选：ABD ．三、填空题13．一动圆P 过定点()7,0M -，且与已知圆N ：22(7)36x y -+=相内切，则动圆圆心P 的轨迹方程是______．【答案】()2210940x y x -=> 【分析】根据题意结合两圆的位置关系分析可得6PM PN -=，再结合双曲线的定义求方程. 【详解】圆N ：22(7)36x y -+=的圆心()7,0N ，半径6r =， ∵22(77)04936--+=>，∴点()7,0M -在圆N 外，则圆P 包含圆N ，设圆P 的半径为R ，由题意可得：,6PM R PN R ==-，即6PN PM =-，可得6PM PN -=，故动圆圆心P 的轨迹是以,M N 为焦点的双曲线的右半支，可得3,7a c ==，则22240b c a =-=，故动圆圆心P 的轨迹方程是()2210940x y x -=>.故答案为：()2210940x y x -=>. 14．如图所示，二面角l αβ--为30，A α∈，D β∈，过点A 作AB l ⊥，垂足为B ，过点D 作CD l ⊥，垂足为C ，若3AB =，1BC =，1CD =，则AD 的长度为___________.2【分析】根据向量线性运算可知AD AB BC CD ，结合向量数量积的运算律可求得2AD ，由此可得AD 长.【详解】AB BC ⊥，BC CD ⊥，AD AB BC CD ，22222311231cos1502AD AB BC CD AB CD =+++⋅=+++⋅=∴，2AD ∴=. 2.15．已知函数()3f x x =，过点2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭作曲线()f x 的切线，则其切线方程为______．【答案】0y =或320x y --=【分析】根据导数的几何意义可求出结果. 【详解】设切点为300(,)x x ，因为()3f x x =，所以2()3f x x '=，所以切线的斜率为203x ，所以切线方程为320003()y x x x x -=-，因为切线过2,03P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以3200023()3x x x -=-，解得00x =或01x =，所以切线方程为0y =或320x y --=. 故答案为：0y =或320x y --=四、双空题16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，若点()()*1,n n P a a n +∈N 在直线x －y ＋2＝0上，则n S =______；12111nS S S +++=______．【答案】 22n n +32342(1)(2)n n n +-++ 【分析】根据题意得12n n a a +-=，再根据等差数列的求和公式可得n S ，利用1111()22n S n n =-+裂项可求出12111nS S S +++. 【详解】因为点()()*1,n n P a a n +∈N 在直线x －y ＋2＝0上，所以120n n a a +-+=，即12n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+. 由211111()222n S n n n n ==-++，得12111n S S S +++=11111111(1)2324352n n -+-+-++-+1111(1)2212n n =+--++ 32342(1)(2)n n n +=-++. 故答案为：22n n +；32342(1)(2)n n n +-++.五、解答题17．已知函数()ln a x f x bx=+在1x =处的切线方程为220x y --=. (1)求()f x 的解析式；(2)求函数()f x 图象上的点到直线230x y -+=的距离的最小值. 【答案】(1)()2ln xf x x=；【分析】（1）由题可得()()21ln a x f x x-'=，然后利用导数的几何意义即求；（2）由题可得切点()1,0到直线230x y -+=的距离最小，即得.【详解】（1）∵函数()ln a xf x b x =+，∴()f x 的定义域为()0,∞+，()()21ln a x f x x -'=， ∴()f x 在1x =处切线的斜率为()12k f a '===，由切线方程可知切点为()1,0，而切点也在函数()f x 图象上，解得0b =，∴()f x 的解析式为()2ln x f x x=；（2）由于直线220x y --=与直线230x y -+=平行，直线220x y --=与函数()2ln x f x x =在()1,0处相切，所以切点()1,0到直线230x y -+=的距离最小，最小值为d ==，故函数()f x 图象上的点到直线230x y -+=18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()1*21N n n a S n +=+∈，数列{}n b 是公差不为0的等差数列，满足24b =，且1b ，2b ，4b 成等比数列．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】(1)13n n a -=，2n b n = (2)211322n n n T -=⨯+ 【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，即可求出{}n a 的通项公式，设等差数列{}n b 的公差为d ，根据等比中项的性质得到方程，求出d ，即可得到{}n b 的通项公式；（2）由（1）可得123n n c n -=⨯，利用错位相减法计算可得.【详解】（1）解：因为11a =，()1*21N n n a S n +=+∈，当1n =时，21213a S =+=，当2n ≥时，121n n a S -=+，所以()112121n n n n a a S S +--=+-+，即13n n a a +=，又213a a =，所以{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以13n n a -=，设等差数列{}n b 的公差为d ，因为1b ，2b ，4b 成等比数列则2214b b b =，又24b =，所以()()24442d d =-+，解得2d =或0d =（舍去），所以()4222n b n n =+-⨯=.（2）解：由（1）可得123n n n n c a b n -==⨯，所以012123436323n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯，所以123323436323n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，所以012122323232323n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯()13231231132nn n n n --⨯=-⨯-⨯-=，所以211322n n n T -=⨯+. 19．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点与双曲线()222:103x y E b b-=>的右焦点重合，双曲线E 的渐近线方程为0x =．(1)求抛物线C 的标准方程和双曲线E 的标准方程；(2)若O 是坐标原点，直线:2l y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点，求AOB 的面积．【答案】(1)28y x =；2213x y -=(2)【分析】（1）由双曲线的渐近线方程为0x ±=，可得1b =，继而得到双曲线的右焦点为()2,0，即为抛物线的焦点坐标，可得4p =，即得解；（2）联立直线与抛物线，可得1212x x +=，再由直线过抛物线的焦点，故1216AB p x x =++=，三角形的高为O 到直线l 的距离，利用点到直线公式，求解即可【详解】（1）由题意，双曲线渐近线方程为：y =，=，1b = 所以双曲线E 的标准方程为：2213x y -=．故双曲线222223,1,4a b c a b ===+=故双曲线的右焦点为()2,0，所以22p =，4p =，所以28y x =．（2）由题意282y x y x ⎧=⎨=-⎩联立，得21240x x -+=，又212440∆=-⨯>所以1212x x +=．因为直线l 过抛物线的焦点(2,0)，所以1216AB p x x =++=．O 到直线l 的距离22|2|211d -==+，1216822OAB S =⨯⨯=． 20．四棱锥P ABCD -的底面是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PD 的中点，2PA =，1AB =，2AD =．(1)求证：//PB 平面ACE ；(2)求直线CP 与平面ACE 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析6【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：四棱锥P ABCD -的底面是矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，因此以A 为原点，以AB为x 轴，以AD 为y 轴，建立空间直角坐标系．所以()002P ,,，()1,2,0C ，()0,2,0D ，()0,1,1E ，()1,0,0B ，设平面ACE 的一个法向量为(,,)n a b c =，00n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2201(2,1,1)01a a b b n b c c =-⎧+=⎧⎪⇒=⇒=--⎨⎨+=⎩⎪=-⎩，因为(1,0,2)PB =-，所以2020PB n ⋅=-++=，又因为PB ⊄平面ACE ，所以//PB 平面ACE ．（2）解：设直线CP 与平面ACE 所成角为θ，因为(1,2,2)PC =-，平面ACE 的一个法向量为(2,1,1)n =--，所以26sin cos ,36PC nPC n PC n θ⋅====⋅ 即直线CP 与平面ACE 6 21．已知圆E 的圆心在直线21y x =-上，且过点()1,3A ，()2,2B ． (1)求圆E 的方程； (2)过点()1,1P 作圆E 的切线，求切线的方程；(3)过点()1,1P 作圆E 的割线，交圆E 于C ，D 两点，当2CD =CD 的直线方程．【答案】(1)22231x y(2)1x =或3410x y -+=(3)0x y -=或760x y --=【分析】（1）依题意设圆心坐标为(),21E a a -，半径为r ，则圆的方程为()()22221x a y a r -+-+=，即可得到方程组，解得a 、r ，即可得到圆的方程；（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当切线的斜率存在时，设直线方程1(x 1)y k -=-，利用圆心到直线的距离等于半径，得到方程，求出k 的值，即可得解；（3）依题意可得直线的斜率存在，设斜率为1k ，则直线方程为11(1)y k x -=-，圆心到直线的距离d =. 【详解】（1）解：依题意设圆心坐标为(),21E a a -，半径为r ，则圆的方程为()()22221x a y a r -+-+=，所以()()()()22222213212221a a r a a r ⎧-+-+=⎪⎨-+-+=⎪⎩，解得21a r =⎧⎨=⎩，所以22231x y .（2）解：当切线的斜率不存在时，直线方程为1x =，此时圆心()2,3E 到直线的距离等于半径，符合题意；当切线的斜率存在时，设直线方程1(x 1)y k -=-，即10kx y k -+-=．1=，解得34k =． ∴切线方程为31(1)4y x -=-，即3410x y -+=．综上可得切线方程为：1x =或3410x y -+=．（3）解：依题意可得直线的斜率存在，设斜率为1k ，则直线方程为11(1)y k x -=-，即1110k x y k -+-=，因为CD2d =，即d =11k =或17k =，所以直线CD 的方程为0x y -=或760x y --=.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率e =2． (1)求椭圆C 标准方程；(2)设直线l 不经过椭圆C 上顶点P 且与椭圆C 相交于A ，B 两点．若直线P A 与直线PB 的斜率和为－1．证明：直线l 过定点．【答案】(1)2214x y += (2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆的几何性质列式求出,a b ，可得椭圆C 标准方程；（2）当直线l 与x 轴垂直时，经计算不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l ：y kx m =+(1)m ≠，与椭圆方程联立，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，得到12x x +和12x x ，再根据斜率之和为1-，得到12m k +=-，代入y kx m =+可得直线l 所过定点.【详解】（1）依题意可得22222b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 标准方程为2214x y +=. （2）设直线PA 与直线PB 的斜率的斜率分别为1k 和2k ，若直线l 与x 轴垂直，设:l x t =，则0t ≠且||2t <，则(A t，(,B t ，因为(0,1)P ，则12112200k k t t -+=+--2t -=1=-，解得2t =，不符合题意；所以直线l 的斜率存在，设直线l ：y kx m =+(1)m ≠，联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得222(41)8440k x kmx m +++-=，则2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->，得2241k m +>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+，所以12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 122112(1)(1)kx m x kx m x x x +-++-= 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=12122(1)x x k m x x +=+-⋅2228412(1)4441kmk k m m k -+=+-⋅-+282(1)44km k m m -=+-⋅-221km k m =-+，所以2121km k m -=-+，得12m k +=-，代入2241k m +>，得1m >-，所以当1m >-时，直线l ：12m y kx m x m +=+=-+1(2)12m x +=---过定点(2,1)-.。