【高中数学】高中数学知识点：指数函数模型的应用

合集下载

高中数学必修一函数模型及其应用

函数模型及其应用最新考纲： 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征、知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

2.了解函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用，并能举例描述。

知识梳理1.指数函数、对数函数、幂函数的增长速度的比较：一般地，在区间,0上，尽管函数)0(),1(log ),1(nx y ax yaa y na x都是增函数，但是它们的__________不同，而且不在同一个“档次上”。

随着x 的增大，)1(aa yx的增长速度_______，会越过并远远大于)0(nx y n的__________；而)1(log a x ya 的增长速度会__________，因此，总会存在一个0x ，当x>0x 时，有__________.2.解应用问题的一般程序：读题建模求解反馈。

（1）读题：深刻理解题意，正确审题，弄清已知什么，求取什么，需要什么。

（2）建模：通过换元，将实际问题转化为数学关系式或建立数学模型。

（3）求解：通过数学运算将数学模型中的未知量求出（4）反馈：根据题意检验所求结果是否符合实际情况，并正确做大。

3.常见的几种函数模型（5）一次函数型y= kx+bk （2）反比例函数型y=xk 0k （3）二次函数型c bx ax y 20a（4）指数函数型xp N y1（增长率问题）(x>0)（5）xa xy 型（6）分段函数型题型一：函数模型为正比例函数型问题例1.某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y 之间的函数关系是？感悟：题型二函数模型为反比例函数型问题例2.学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌。

已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10：7，问30名工人应当如何分组（一组制课桌，另一组制椅子），能最快完成任务？感悟：题型三函数模型为指数函数型问题例3.（07湖北）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为aty161（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为 .（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室.感悟：题型四函数模型为其它函数问题例4.有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次是p 和q （万元）。

高中数学中的指数与对数函数的应用

高中数学中的指数与对数函数的应用指数与对数函数是高中数学中重要的数学概念，也是数学与现实生活相结合的重要工具。

它们在各个领域中都有广泛的应用，包括科学、经济、工程等。

本文将介绍指数与对数函数的概念及其应用，并结合具体实例进行讲解。

一、指数函数的应用指数函数是以底数为实数a（a>0且a≠1）的幂运算为基础而定义的函数。

它在科学研究、金融领域、生物学等方面都有着广泛的应用。

1. 科学研究在科学研究中，指数函数常常用来描述物质的衰减或增长，例如放射性元素的衰变、细菌的生长等。

以放射性元素的衰变为例，放射性元素的衰变规律符合指数函数，通过测量放射性元素的衰变情况，可以推导出其衰变的速率和半衰期等关键参数。

2. 经济学在经济学领域，指数函数常常用来描述复利的计算和增长。

例如，银行的定期存款利率就是按照指数函数进行计算的。

此外，指数函数还可以用来分析股票市场的涨跌趋势和成交量等重要指标，帮助投资者做出决策。

3. 生物学在生物学领域，指数函数常常用来描述生物种群的增长过程。

生物种群的增长通常符合指数函数，通过研究生物种群的增长情况，可以了解到种群的生长速率以及环境对种群增长的影响。

二、对数函数的应用对数函数是指以某个正数a（a>0且a≠1）为底的对数运算为基础而定义的函数。

对数函数在科学研究、信息论、通讯技术等方面有着广泛的应用。

1. 科学研究在科学研究中，对数函数常常用来解决指数函数相关问题。

例如，在化学反应速率的研究中，利用对数函数可以将复杂的数据转化为一条直线，简化问题求解的过程。

此外，对数函数还可以用来描述声音、光线的强度等物理量。

2. 信息论在信息论中，对数函数常常用来表示信息的量。

对数函数可以将信息的无序性转化为有序性，便于进行信息的传递和处理。

例如，在无线通信中，信号的强度常常使用对数函数进行表示，以便于信号的传输和接收。

3. 金融学在金融学中，对数函数常常用来衡量资产收益的变动情况。

指数函数的应用

指数函数的应用指数函数是高中数学中的重要内容之一，广泛应用于数学、物理、经济和工程等领域。

它具有独特的性质和广泛的应用场景，本文将介绍指数函数的概念、性质以及在不同领域的应用。

一、指数函数的概念和性质指数函数是以自然对数为底的幂函数，一般形式可以表示为f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。

指数函数的图像是曲线，通常具有以下性质：1. 当底数a大于1时，指数函数是递增函数；当底数a在0和1之间时，指数函数是递减函数。

2. 指数函数的定义域是实数集，值域是正实数集。

3. 指数函数在x轴上有一个特殊点，即f(0) = 1，该点被称为原点。

4. 指数函数在x轴的左侧逐渐趋近于0，但永远不会等于0；在x 轴的右侧逐渐趋近于正无穷大。

5. 指数函数的反函数是对数函数。

二、指数函数在数学中的应用指数函数在数学中具有广泛的应用，主要体现在以下几个方面：1. 指数函数在数列中的应用：指数函数可以用于描述数列的增长和衰减规律，比如等比数列中每一项与前一项的比值恒定，就可以表示为指数函数。

2. 指数函数在数学模型中的应用：指数函数可以用于建立各种数学模型，如人口增长模型、金融利息模型等，帮助我们理解和预测实际问题。

3. 指数函数在概率统计中的应用：指数函数在概率和统计中的分布函数中扮演着重要角色，如指数分布、正态分布的密度函数等。

三、指数函数在物理中的应用指数函数在物理学中也有重要的应用，尤其是描述自然界中各种现象的增长和衰减规律。

以下是一些常见的物理应用场景：1. 辐射衰减：核物质的衰变过程中，辐射的强度随着时间呈指数衰减，可以用指数函数来描述。

2. 指数增长和衰减：在电路中，电容器和电感器的电荷和电流的增长或衰减过程也可以用指数函数来表示。

3. 声音强度和光强度的衰减：声音和光的传播过程中，其强度随着距离增加呈指数衰减。

4. 热传导：热传导过程中，温度随着时间和空间的变化满足指数函数关系。

四、指数函数在经济和金融中的应用指数函数在经济学和金融学中也有广泛的应用，可以帮助分析和预测市场趋势和经济增长。

高中数学中的指数函数

高中数学中的指数函数指数函数是高中数学中一个重要的内容，它是指数和幂函数的基础概念之一。

在数学上，指数函数被广泛应用于自然科学、工程技术、经济学等领域，具有重要的应用价值。

一、指数函数的定义在数学中，指数函数是以常数e（自然对数的底数）为底的幂函数，可用以下公式表示：f(x) = a * e^x其中，a是一个非零常数，e是一个常数，x是自变量，f(x)是因变量。

二、指数函数的性质指数函数的性质可以从它的定义出发进行探讨，以下是几个重要的性质：1. 连续性：指数函数在定义域上连续，即任意两个实数之间的函数值可以通过极限过程来获得。

2. 单调性：当a大于1时，指数函数是增函数；当0小于a小于1时，指数函数是减函数。

3. 指数幂运算：指数函数具有指数幂运算的特性，即a^x * a^y =a^(x+y)和（a^x）^y = a^(xy)。

4. 对数函数：指数函数与对数函数是互为逆运算的，即指数函数和对数函数可以互相转化。

三、指数函数的应用指数函数在各个学科中都有广泛的应用，下面列举几个例子：1. 自然科学：指数函数在物理、化学等自然科学领域中的应用非常广泛。

例如，放射性衰变、化学反应速率等都可以通过指数函数来描述。

2. 经济学：经济学中的复利计算也可以用指数函数进行描述。

例如，年利率为r的复利计算公式为A = P * (1 + r/n)^(nt)，其中A是最终金额，P是本金，r是年利率，n是复利计算的次数，t是时间。

3. 生物学：生物学中的生长模型也涉及到指数函数的应用。

例如，人口增长模型中的指数增长模型描述了人口在一定条件下的增长趋势。

四、指数函数的解析式指数函数的解析式可以通过一些特定条件下的问题来确定。

例如，当指数函数通过一个点时，可以利用该点的坐标来求解出其解析式。

五、指数函数的图像指数函数的图像可以通过绘制函数的图像来进行观察。

通常，可以画出指数函数的几个重要点，根据函数的性质来推测其图像的形状。

高中指数函数的性质与应用

高中指数函数的性质与应用指数函数是高中数学中非常重要的一个内容，它在数学和现实生活中都有重要的应用。

本文将介绍指数函数的性质和应用，涵盖指数函数的定义、图像、性质、指数方程、指数不等式以及指数函数在经济学和生态学中的应用。

一、指数函数的定义和图像指数函数是以a（a>0且a≠1）为底的x的幂函数，记作f(x)=a^x，其中a为常数。

指数函数可以分为增长型（a>1）和衰减型（0<a<1）两类。

当x为正时，增长型指数函数随x的增大而快速增长，衰减型指数函数随x的增大而逐渐趋近于0。

二、指数函数的性质1. 定义域、值域：增长型指数函数的定义域为全体实数；衰减型指数函数的定义域为全体实数，值域为(0, +∞)。

2. 单调性：增长型指数函数是递增函数；衰减型指数函数是递减函数。

3. 对称性：增长型指数函数和衰减型指数函数关于y轴对称。

4. 零点：衰减型指数函数没有零点，即不等于0的指数函数无法取到0值。

5. 渐近线：增长型指数函数的图像在y轴上无渐近线；衰减型指数函数的图像在x轴上有渐近线。

三、指数方程和指数不等式1. 指数方程：求解指数方程可以转化为对数方程求解。

对于形如a^x=b的指数方程，可以通过取对数的方式得到x的值。

2. 指数不等式：求解指数不等式可以通过对数函数的性质进行转化。

如果a>1，那么a^x>b可以转化为x>loga(b)；如果0<a<1，那么a^x>b可以转化为x<loga(b)。

四、指数函数在经济学中的应用指数函数在经济学中具有广泛的应用，其中一个重要的应用是复利。

复利是指将本金按一定的利率进行投资，并将所得利息再投资获得更多的利息。

复利的公式可以表示为A=P(1+r/n)^(nt)，其中A为最终的本息合计，P为本金，r为年利率，n为复利次数，t为投资时间。

指数函数在这个公式中体现了利息的增长规律。

五、指数函数在生态学中的应用指数函数在生态学中也有重要的应用，一个典型的例子是物种数量的增长。

高考数学中的指数函数基本性质及应用

高考数学中的指数函数基本性质及应用数学是一门高考的重要科目，其中指数函数是重点考察的内容之一。

指数函数在应用中有着广泛的用途，因此，了解指数函数的基本性质和应用是做好高考数学的关键。

本文将介绍指数函数的定义、性质和应用，帮助大家全面地了解指数函数。

1. 定义指数函数是一种以常数a为底的数学函数，其形式为y=a^x，其中x为自变量，y为因变量，a为正实数，且a≠1。

指数函数的定义域为实数集，其值域为正实数集。

2. 基本性质2.1 增减性当0<a<1时，指数函数y=a^x呈现为递减函数；当a>1时，指数函数y=a^x呈现为递增函数。

这是因为指数函数具有单调性，当底数a>1时，指数函数单调递增，当底数0<a<1时，指数函数单调递减。

2.2 奇偶性当指数函数满足a=-1时，指数函数为奇函数；当指数函数满足a=1时，指数函数为常函数；当指数函数满足a>1或0<a<1时，指数函数为偶函数。

2.3 对数函数的性质指数函数与对数函数是相互关联的，其性质如下：（1）指数函数和对数函数互为反函数。

（2）logaA=x 的意义是a^x=A，其中A>0，a>0且a≠1。

（3）对数函数与指数函数具有相同的基本性质。

3. 应用指数函数在实际应用中有着广泛的用途，如：3.1 复利问题在投资、贷款等领域中，复利问题是比较常见的，此时就可以利用指数函数的性质求解。

例如，在一年后，本金10000元，年利率为5%的情况下，3年后的本金是多少？根据复利公式，得到本金为10000 ×（1+0.05）^3 ≈ 11576.25。

3.2 科学计数法指数函数常常被用于科学计数法中。

科学计数法是一种标识极大或极小的物理数值的方法，特点是用10^x的形式表示数值。

例如，太阳距离地球约为1.496×10^8千米。

3.3 生物增长模型在生物学中，指数函数也有着重要应用。

高一数学指数和函数知识点

高一数学指数和函数知识点引言：数学是一门抽象而又实用的学科，在我们的日常生活中无处不在。

数学中的指数和函数是我们学习数学的基础知识点之一，它们具有广泛的应用和重要性。

本文将分析高一数学中涉及指数和函数的几个重要知识点，并探讨其实际应用。

1. 指数的基本概念与运算：在数学中，指数是表示一个数被乘若干次的方法。

例如，2²表示2被乘以2，即2的平方。

指数具有重要的运算法则，如指数相乘时底数相同，则指数相加。

此外，指数还可以是分数或负数，分别代表幂次的开平方和倒数。

2. 指数函数的性质与图像：指数函数是以指数为自变量的函数。

常见的指数函数有f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。

指数函数具有独特的性质，如当底数大于1时，函数呈现增长趋势；当底数介于0和1之间时，函数呈现衰减趋势。

指数函数的图像通常具有一条曲线，并根据底数的不同而呈现不同的形状。

3. 对数的定义与运算：对数是指一个数在某个底数下所得到的指数。

例如，log₂8表示以2为底数，求得8的对数，结果为3。

对数也具有运算法则，如对数相除时，底数相同，则指数相减。

4. 对数函数的性质与图像：对数函数是以对数为自变量的函数。

常见的对数函数有f(x) = logₐx，其中a为底数，x为对数。

对数函数具有特殊的性质，如当底数大于1时，函数呈现增长趋势；当底数介于0和1之间时，函数呈现衰减趋势。

对数函数的图像通常具有一条曲线，并根据底数的不同而呈现不同的形状。

5. 指数方程与对数方程的求解：指数方程和对数方程是数学中常见的方程类型，它们的求解对于解决实际问题非常重要。

求解指数方程和对数方程的关键是运用指数和对数的运算法则，将方程转化为简化形式后进行求解。

6. 指数增长与复利计算：指数增长是指以某个固定比例增长的现象，如人口增长、物质衰变等。

在实际生活中，我们常常需要计算指数增长的结果，这时可以借助指数函数的概念进行计算。

特别是在金融领域，复利的概念与指数增长密切相关。

函数模型及其应用

函数模型及其应用
指数函数模型（Exponential Function Model）是一种用于拟合函数
的模型，它以指数函数的形式来描述各种不同的数据的变化趋势。

指数函
数模型主要应用于描述趋势，进行数据分析。

一般来说，指数函数模型的形式为：y=a*b^x,其中a,b为正数，x为
自变量。

按照模型，当x增大时，y的值将呈指数增长。

指数函数模型能
够更好的描述规律性的数据，如复利计算、物理系统的增长情况等等。

指数函数模型可以用来拟合复利计算中的任何一种投资方式，以便更
好的计算投资收益。

例如，可以使用模型计算投资者一段时间内的投资收
益率，而不需要手动计算投资收益。

另外，指数函数模型也可以用来模拟物理系统的增长趋势。

例如，可
以用模型表示人口增长、疾病传播的趋势等。

这些物理系统可以用不同的
指数函数拟合，从而对物理系统的增长规律有一定的参考意义。

此外，指数函数模型也可以用来理解自然界中的现象，如植物的生长
情况、物质挥发率的规律等。

这些现象也可以用指数函数表示，从而更好
的理解自然界中的现象。

指数函数模型在统计学领域也可以用来表示其中一种数据的变化趋势。

高一在指数函数方面的知识点

高一在指数函数方面的知识点指数函数是高中数学中的一种基本函数类型，它在现实生活和科学研究中具有广泛的应用。

学习高一的学生在指数函数方面的知识点上需要有深入了解和掌握。

本文将介绍指数函数的性质、图像和应用，并对指数函数的解题方法进行讨论。

一、指数函数的性质指数函数的形式一般为f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1。

指数函数的重要性质有以下几点：1. 函数值正负性：当a大于1时，函数值逐渐增大；当0小于a小于1时，函数值逐渐减小。

这表明指数函数有一个基准点（通常为x 轴）作为对称轴，图像呈现增长或衰减趋势。

2. 单调性：当a大于1时，指数函数在整个定义域上是递增的；当0小于a小于1时，指数函数是递减的。

3. 零点和正值点：指数函数不存在零点，但对于任意正数b，总存在一个解x，使得a^x = b，其中b为正数。

这个解x称为对数函数的反函数。

二、指数函数的图像指数函数的图像形态与底数a的取值相关。

假设a大于1，那么指数函数图像在x轴正半轴逐渐上升，并逼近y轴，同时在x轴负半轴逐渐接近x轴。

当0小于a小于1时，指数函数图像在x轴正半轴逐渐下降，逼近x轴，同时在x轴负半轴逐渐接近y轴。

指数函数的图像还具有如下特征：1. 对称轴：对于a大于1的指数函数，对称轴是y轴；对于0小于a小于1的指数函数，对称轴是x轴。

2. 切线和渐近线：对于a大于1的指数函数，图像在x轴负半轴有一条水平渐近线；对于0小于a小于1的指数函数，图像在y轴有一条水平渐近线。

三、指数函数的应用指数函数在现实生活中有广泛的应用，其中一些应用包括：1. 经济学：指数函数可以用来描述人口增长、物价指数、质量衰减等经济指标的变化趋势。

2. 物理学：指数函数可以用来描述放射性物质的衰变、声音的传播、电磁波的衰减等物理现象。

3. 生物学：指数函数可以用来描述生物种群的增长与衰减、酶的催化作用等生物学现象。

四、解题方法在解题中，我们需要熟练掌握指数函数的运算性质和相关公式。

高中指数函数的性质及应用

高中指数函数的性质及应用指数函数是数学中一个非常重要的函数，也是高中数学中经常出现的一类函数。

它具有重要的性质和广泛的应用，下面我将详细回答关于高中指数函数的性质及应用。

首先，我们来介绍指数函数的定义和基本性质。

在指数函数中，以正数a且不等于1为底数的函数，形如f(x) = a^x，其中x是实数，a>0且a≠1，称为指数函数。

指数函数的定义域是实数集R，值域是(0,+∞)。

指数函数具有以下基本性质：1. 指数函数的图像：当底数a>1时，指数函数严格递增；当0<a<1时，指数函数严格递减。

无论何种情况下，指数函数的图像都是一条连续的曲线。

2. 指数函数的性质：指数函数的函数值随着自变量的增大而增大，但增长速度不同。

当a>1时，自变量每增加1，函数值增加的倍数都是a；当0<a<1时，自变量每增加1，函数值增加的倍数都是1/a。

3. 指数函数的特殊值：当自变量为0时，指数函数的函数值都等于1，即f(0)=1。

当自变量趋于正无穷时，如果底数a>1，函数值趋于正无穷；当底数0<a<1，函数值趋于0。

接下来，我们来探讨指数函数的应用。

一、经济学中的应用：1. 复利计算：指数函数可以用来描述复利的增长情况。

例如银行的存款利率为a%，若以1元为本金存入银行，则一年后本金变为(1+a/100)^1元，两年后变为(1+a/100)^2元，以此类推。

通过指数函数的性质，可以求解出存款多少年后会翻倍，实现财富增长。

2. 市场份额：在市场经济中，某产品的市场份额可能随时间呈指数型增长或衰减。

指数函数可以用来模拟这种趋势，帮助企业预测市场形势，制定合理的市场策略。

二、生物学中的应用：1. 生物种群的增长：生物种群的增长可以用指数函数来描述。

例如，某种细菌的数量每过1小时翻倍，那么可以用指数函数f(x) = 2^x来表示细菌数量与时间的关系。

这对于研究生物种群的增长规律和探讨环境对种群数量的影响具有重要意义。

高中数学中的指数与对数函数在实际问题中的应用解析

高中数学中的指数与对数函数在实际问题中的应用解析引言：数学是一门抽象的学科，然而它的应用却无处不在。

在高中数学中，指数与对数函数是一种重要的数学工具，它们不仅仅是纸上的符号，更是实际问题中的解析工具。

本文将通过探讨指数与对数函数在实际问题中的应用，展示它们在解决现实生活中的难题中的重要性和价值。

一、指数函数的应用指数函数是一种以指数为自变量的函数，通常表示为y=a^x，其中a是底数，x 是指数。

指数函数在实际问题中的应用非常广泛，下面将以几个具体例子来说明。

1. 生物学中的指数增长模型生物学中的许多现象都可以用指数函数来描述。

例如，人口增长模型中，假设每年的人口增长率是一个固定的百分比，那么人口数量的增长可以用指数函数来表示。

指数函数可以帮助我们预测未来的人口数量，为制定合理的人口政策提供依据。

2. 经济学中的复利计算在经济学中，复利计算是非常重要的。

复利是指在一定时间内，利息不仅仅是基于本金，还是基于之前的利息。

复利计算可以用指数函数来表示，通过指数函数的运算，我们可以计算出未来的资金增长情况，帮助我们做出理性的投资决策。

3. 物理学中的指数衰减在物理学中，指数衰减是一种常见的现象。

例如，放射性物质的衰变速度可以用指数函数来描述。

指数函数可以帮助我们计算出物质的衰变速度，并预测未来的衰变情况，为核能的应用提供理论依据。

二、对数函数的应用对数函数是指数函数的逆运算，通常表示为y=loga(x)，其中a是底数，x是真数。

对数函数在实际问题中的应用也非常广泛，下面将以几个具体例子来说明。

1. 音乐和声音的测量在音乐和声学中，声音的强度可以用对数函数来测量。

由于人类对声音的感知是以对数的方式进行的，因此使用对数函数可以更准确地描述声音的强度。

对数函数的应用使得我们能够更好地理解和控制声音的特性。

2. 化学中的pH值计算在化学中，pH值是用来表示溶液酸碱性的指标。

pH值的计算是基于对数函数的，通过对数函数的运算，我们可以准确地计算出溶液的酸碱性，为化学实验和工业生产提供准确的数据。

【高中数学考点精讲】考点四指数函数的图象及应用

考点四指数函数的图象及应用（一）判断指数型函数图象的形状30．（2022·湖北黄石·高一期末）函数的图象大致为（）A．B．C．D．【解析】因为函数的定义域为，，所以是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B；当时，，当时，，排除C．故选：D．31．（2022·陕西咸阳·高一期末）函数的大致图像为（）A． B．C． D．【解析】对任意的，，则函数的定义域为，排除C选项；，，所以，函数为偶函数，排除B选项，因为，排除A选项.故选：D.32．（2022·福建·莆田一中高一期末）函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【解析】由题设，且定义域为R，即为奇函数，排除C，D；当时恒成立；，故当时，当时；所以，时，时，排除B；故选：A.33．（2022·河南安阳·高一期末）函数在区间上的图象可能是（）A． B．C．D．【解析】∵，∴是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B选项；∵，∴在上不单调，排除D选项．故选：C34．（2022·云南玉溪·高一期末）函数，，则函数的图象大致是（）A．B．C．D．【解析】因为函数，，所以函数. 所以定义域为R.因为，所以为偶函数.排除A;又，排除D;因为在为增函数，在为增函数，所以在为增函数.因为为偶函数，图像关于y轴对称，所以在为减函数.故B错误，C正确.故选：C35．（2022·陕西渭南·高一期末）函数与（且）在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解析】因为一次函数为直线，且函数单调递增，排除AD选项.对于B选项，指数函数单调递减，则，可得，此时，一次函数单调递增，且直线与轴的交点位于点的上方，合乎题意；对于C选项，指数函数单调递减，则，可得，此时，一次函数单调递增，且直线与轴的交点位于点的下方，不合乎题意.故选：B.36．【多选】（2022·吉林吉林·高一期末）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（）A． B．C．D．【解析】令，解得、，根据二次函数图形可知，、两个数一个大于，一个大于且小于，①当，时，则在定义域上单调递增，且，即，所以满足条件的函数图形为C；②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图形为A；故选：AC（二）根据指数型函数图象判断参数范围37．（2022·全国·高一课时练习）已知，，，，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为（）A．B．C．D．【解析】与是增函数，与是减函数，在第一象限内作直线，该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小，易知：选A．故选：A38．（2022·全国·高一单元测试）函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（）A．，，，B．，，，C．，，，，D．，，，，【解析】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.故选：C．39．【多选】（2022·全国·高一期末）(多选)已知函数的图象如图所示，则（）A．a>1 B．0<a<1C．b>1 D．0<b<1【解析】观察图象得，函数是单调递减的，因此，，图象与y轴交点纵坐标有：，而时，，于是得，解得，所以，.故选：BD40．（2022·湖南·长沙市雨花区教育科学研究所高一期末）若函数的图像在第一、三、四象限内，则（）A． B．，且C．，且D．【解析】因为函数的图像在第一、二象限内，所以欲使其图像在第三、四象限内，必须将向下移动，因为当时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，所以只有当时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故，因为图像向下移动小于一个单位时，图像经过第一、二、三象限，而向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，所以欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故，，故选：B.41．（2022·上海交大附中高一期末）已知函数，的图象不经过第四象限，则a的取值范围为__________．【解析】当时，令，可得，此时不等式的解集为空集，（舍去）；当时，令，可得，即，即实数的取值范围，综上可得，实数的取值范围.故答案为：.42．（2022·全国·高一课时练习）若函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是（）A．（-∞，-2）B．（-∞，-2]C．（3，+∞）D．[3，+∞）【解析】作出函数的图象，如图所示.由于将函数向上或下平移后，得到，而函数的图象不经过第二象限，由图可知，至少要向下平移2个单位，则.所以实数的取值范围是.故选：B.43．（2022·全国·高一期末）已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．(1)若的图象如图①所示，求a，b的值；(2)若的图象如图②所示，求a，b的取值范围；(3)在(1)中，若＝m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围．【解析】(1)因为的图象过点，所以解得a＝，b＝－3.(2)由为减函数可知a的取值范围为(0，1)，因为，即，所以b的取值范围为．(3)由题中图①可知的图象如图，由图可知使有且仅有一个实数解的的取值范围为或.（一）指数型函数过定点问题44．（2022·四川泸州·高一期末）函数（且）的图象恒过定点（）A．B．C．D．【解析】因为在函数中，当时，恒有,函数的图象恒过定点.故选：B.45．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（）A．B．C．D．【解析】令，解得，所以当时，，所以函数过定点.故选：B46．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知函数（且）过定点P，且P点在幂函数的图象上，则的值为_________．【解析】由知：函数过定点，若，则，即，∴，故.故答案为：9.47．（2022·河南焦作·高一期末）已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（）A．B．C．D．【解析】当时，，故，所以不等式为，解得，所以不等式的解集为.故选：D48．（2022·河南·永城市苗桥乡重点中学高一期末）已知函数（，且）的图象恒过点，若角的终边经过点，则的值为（）A．B．C．D．【解析】因为函数（，且），令，即时，所以函数恒过定点，又角的终边经过点，所以，故选：A49．（2022·广东揭阳·高一期末）已知且，函数的图象恒经过定点，正数、满足，则的最小值为____________.【解析】因为函数的图象恒经过定点，所以，又、为正数，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9.故答案为：9.（四）指数函数图象应用50．（2022·全国·高一课时练习）（1）若曲线与直线有两个公共点，则实数的取值范围是______；（2）若曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围是______．【解析】（1）,其图像如图所示，要使曲线与直线有两个公共点，则实数的取值范围为；（2）作出曲线，如图所示，要使曲线与直线没有公共点，则实数的取值范围是，故答案为：；51．【多选】（2022·全国·高一课时练习）已知函数，实数，满足，则（）A．B．，，使得C．D．【解析】画出函数的图象，如图所示．由图知，则，故A错，C对．由基本不等式可得，所以，则，故B错，D 对．故选：CD．52．（2022·辽宁·高一阶段练习）函数(1)请在下面坐标系中画出函数的图像．(2)不等式的解集为________．（写出结果即可，不需写过程）(3)若，求的取值范围．【解析】(1)-2 -1 0 1 20 1 3 函数的图像如下：(2)由（1）所得图象中画出直线，可得如下图象，由过，故即为上图阴影部分区间，∴不等式解集为.(3)由，则，不妨设．那么，即，故，∴，可得.。

指数函数公式典型应用

指数函数公式典型应用1. 指数函数的定义指数函数是一类常见的数学函数，其形式为：$$f(x) = a^x$$其中，$a$ 为常数，$a>0$，且$a\neq1$。

指数函数的定义域为所有实数，值域为正实数。

2. 典型应用指数函数在许多实际问题中有着广泛的应用，下面列举几个典型的应用。

2.1. 人口增长模型指数函数可以用来描述人口的增长模型。

假设一个地区的人口每年增长 $r$ 倍，那么可以将人口数量 $P$ 表示为时间 $t$ 的函数：$$P(t) = P_0 \cdot (1+r)^t$$其中，$P_0$ 为初始人口数量，$r$ 为增长率，$t$ 为时间。

这个模型可以帮助我们预测未来的人口数量。

2.2. 账户余额增长模型指数函数也可以用来描述账户的余额增长模型。

假设一个账户的余额每年增长 $r$ 倍，那么可以将账户余额 $B$ 表示为时间$t$ 的函数：$$B(t) = B_0 \cdot (1+r)^t$$其中，$B_0$ 为初始账户余额，$r$ 为增长率，$t$ 为时间。

这个模型可以帮助我们计算未来的账户余额。

2.3. 热传导模型指数函数还可以用来描述热传导模型。

假设一个物体的温度$T$ 随时间 $t$ 的变化满足指数函数关系：$$T(t) = T_0 \cdot e^{-kt}$$其中，$T_0$ 为初始温度，$k$ 为比例常数，$t$ 为时间。

这个模型可以帮助我们预测物体温度随时间变化的情况。

3. 总结指数函数在人口增长、账户余额增长和热传导等领域都有广泛的应用。

通过理解指数函数的定义及其典型应用，我们可以更好地理解和解决实际问题。

高中数学3.2.2.2 指数型、对数型函数模型的应用举例

x12 3 4 5 y 3 5 6.99 9.01 11
下列函数模型中,最接近地表示这组数据满足的规律的一个是
()
A.指数函数
B.反比例函数
C.一次函数
D.二次函数
2.(2014·大连高一检测)某工厂今年1月,2月,3月生产某产品分别为1万件,1.2万件,1.3万件,为了预测以后每个月的产量, 以这三个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与月份数x的关系,模拟函数可选用二次函数或指数型函数y=mnx +p(其中m,n,p为常数).已知4月份该产品的产量为1.37万件,请问选择以上哪个函数作为模型较好?并说明理由.
11%gx，x 4 000.
如果稿费为4 000元应纳税为448元,现知某人共纳税420元,所
以稿费应在800～4 000元之间,
所以(x-800)×14%=420,所以x=3 800.故选C.
2.(1)当0<x≤10时，
f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9，
【拓展延伸】解答应用问题的程序概括为“四步八字”,即 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型. (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型. (3)求模:求解数学模型,得出数学结论. (4)还原:将数学结论还原为实际问题的结论.
【规律总结】数据拟合问题的三种求解策略 (1)直接法:若由题中条件能明显确定需要用的数学模型,或题中直接给出了需要用的数学模型,则可直接代入表中的数据,问题即可获解. (2)列式比较法:若题所涉及的是最优化方案问题,则可根据表格中的数据先列式,然后进行比较.

指数函数的相关性质与应用

指数函数的相关性质与应用指数函数是高中数学中的一个重要内容，其在数学和实际问题中有着广泛的应用。

本文将介绍指数函数的性质和应用，并探讨其在不同领域中的作用。

一、指数函数的定义和基本性质指数函数是形如y = a^x的函数，其中a是底数，x是指数，y是函数值。

指数函数的基本性质包括：1. 底数为正数且不等于1时，函数图像是通过点(0,1)，单调递增或递减的曲线；2. 底数大于1时，函数图像是增长的曲线，底数介于0和1之间时，函数图像是下降的曲线；3. 底数为1时，函数为常函数，即y =1；4. 指数函数的图像存在水平渐近线y = 0，没有垂直渐近线。

二、指数函数的相关性质1.指数函数的反函数：指数函数是一一映射函数，所以反函数存在。

指数函数y=a^x的反函数为y=loga(x)，其中loga表示以a为底的对数。

2.幂函数与指数函数：幂函数是指数函数的特殊情况，即底数为正数且指数为有理数。

幂函数在定义域内和指数函数存在一一对应的关系。

3.指数法则：指数函数的运算法则有指数相加、指数相减、指数相乘和指数相除四种。

三、指数函数的应用指数函数在实际问题中有广泛的应用，如下所示：1.财务领域：指数函数可以用来描述利息计算、投资增长等问题。

利用指数函数，人们可以计算复利的收益和资产的增长情况。

2.生物学领域：指数函数可以用来描述生物种群的增长。

例如，当物种的出生率大于死亡率时，种群数量将以指数形式增长。

3.物理学领域：指数函数可以用来描述核衰变和放射性衰变过程。

放射性物质的衰变速度与时间的关系可以用指数函数来表示。

4.电子技术领域：指数函数可以用来描述电路中的电压和电流变化。

例如，在RC电路中，电容器充电或放电的过程可以用指数函数来描述。

5.医学领域：指数函数可以用来描述药物在人体内的衰减过程。

例如，某种药物在体内的含量随时间呈指数递减。

通过以上的介绍可见，指数函数在不同领域中有着重要的应用。

掌握指数函数的性质和应用可以帮助我们更好地理解数学和解决实际问题。

高考数学《函数模型及其应用》专题知识讲解

高考数学《函数模型及其应用》专题知识讲解[最新考纲] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)．(2)反比例函数模型：y＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)．(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)．(4)指数函数模型：y＝a·b x＋c(a，b，c为常数，b＞0，b≠1，a≠0)．(5)对数函数模型：y＝m log a x＋n(m，n，a为常数，a＞0，a≠1，m≠0)．(6)幂函数模型：y＝a·x n＋b(a≠0)．2．三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y＝a x(a＞1)y＝log a x(a＞1)y＝x n(n＞0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢因n而异图像的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x＞x0时，有log a x＜x n＜a x(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．[常用结论]形如f(x)＝x＋ax(a＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a]和[a，＋∞)内单调递增，在[－a，0)和(0，a]上单调递减．(2)当x＞0时，x＝a时取最小值2a，当x＜0时，x＝－a时取最大值－2a.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x与函数y＝x2的图像有且只有两个公共点．()(2)幂函数增长比直线增长更快．()(3)不存在x0，使a x0＜x n0＜log a x0.()(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√二、教材改编1．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()(注：结余＝收入－支出)A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元D[由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C 正确；由题图可知，前6个月的平均收入为16×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误．]2．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据如下表：x 0.500.99 2.01 3.98y －0.990.010.98 2.00A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD[根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意，故选D.] 3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．18[利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．]4．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．3[设隔墙的长度为x(0＜x＜6)，矩形面积为y，则y＝x×24－4x2＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，∴当x＝3时，y最大．]考点1用函数图像刻画变化过程判断函数图像与实际问题中两变量变化过程相吻合的2种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图像．(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图像的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．1.(2019·遵义模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0＜a＜12)．不考虑树的粗细，现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图像大致是()A B C DB[设AD的长为x m，则CD的长为(16－x)m，则矩形ABCD的面积为x(16－x)m2.因为要将点P围在矩形ABCD内，所以a≤x≤12.当0＜a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64；当8＜a＜12时，u＝a(16－a)．画出函数图像可得其形状与B选项接近，故选B.]2．有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是()A B C DB[由函数图像可判断出该容器必定有不同规则的形状，且函数图像的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，故排除A，C，D，选B.]3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D[根据图像知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．]准确掌握常见函数模型图像的变化趋势是解决此类问题的关键．考点2应用所给函数模型解决实际问题求解所给函数模型解决实际问题的3个关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实际问题．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？[解] (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得，当0＜x ＜8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －13x 2＋4x －3，0＜x ＜8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0＜x ＜8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，当x ≥8时，L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x ＝35－20＝15，此时，当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．解决实际问题时，应注意自变量的取值范围，如本例中x ∈(0，＋∞)．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．16 [当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ，∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －b t ＝18a ，e －b t＝18＝(e －8 b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.]考点3 构建函数模型解决实际问题构建函数模型解决实际问题的步骤构造二次函数、分段函数模型国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出每张飞机票的价格关于人数的函数；(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？[解] (1)设每团人数为x ，由题意得0＜x ≤75(x ∈N *)，每张飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，900－10(x －30)，30＜x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75.(2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 900x －15 000，0＜x ≤30，1 200x －10x 2－15 000，30＜x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－10(x －60)2＋21 000，30＜x ≤75. 因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上为增函数，故当x ＝30时，S 取最大值12 000.又S ＝－10(x －60)2＋21 000，x ∈(30,75]，所以当x ＝60时，S 取得最大值21 000.故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润．解题过程——谨防2种失误(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性等解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，然后比较大小得解．构造y ＝x ＋a x (a ＞0)模型某养殖场需定期购买饲料，已知该养殖场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该养殖场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．[解] 设该养殖场x (x ∈N *)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 元．因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x 天饲料的保管费与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2－3x )(元)．从而有y＝1x(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝300x＋3x＋357≥2300x·3x＋357＝417，当且仅当300x＝3x，即x＝10时，y有最小值．故该养殖场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．利用模型f(x)＝ax＋bx求解最值时，要注意自变量的取值范围及取得最值时等号成立的条件．构建指数函数、对数函数模型(1)世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)()A．1.5% B．1.6%C．1.7% D．1.8%(2)十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%,2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右．如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为(提示：1.0653≈1.208)()A．93.8万亿元B．99.9万亿元C．97万亿元D．106.39万亿元(1)C(2)B[(1)设每年人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x)＝lg 2，所以lg(1＋x)＝lg 240≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x，得1＋x≈1.017，所以x≈1.7%.故选C.(2)由题意可知，2020年我国国内年生产总值约为：82.7×(1＋6.5%)3≈99.9(万亿元)．故选B.](1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图像求解最值问题，必要时可借助导数．1.某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)8 [设至少过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.]2．某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？[解] (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3，∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z .当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0，结合x 为整数得6＜x ≤20，x ∈Z .- 11 - ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，－3x 2＋68x －115(6＜x ≤20，x ∈Z ).(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，显然当x ＝6时，y max ＝185；对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270.∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．。

高中数学中的指数函数与对数函数的应用

高中数学中的指数函数与对数函数的应用指数函数与对数函数是高中数学中重要的内容之一，它们在实际应用中具有广泛的运用价值。

本文将从几个方面介绍指数函数与对数函数的应用。

一、指数函数的应用指数函数在自然科学、工程技术以及金融经济等领域都有着广泛的应用。

其中，指数增长模型是指数函数的一个重要应用。

在生物学中，指数增长模型可以用来描述某个种群或细胞的增长过程。

例如，细菌的繁殖过程可以用指数函数的形式来描述。

假设某种细菌的初始数量为N0，繁殖速率为r（r>0），则经过t个时间单位后细菌的数量N(t)可以表示为N(t)=N0*e^(rt)。

这个模型在研究生物种群的增长规律以及控制疾病传播等方面有着重要的应用。

在物理学中，指数函数被广泛应用于描述衰变过程。

例如，放射性元素的衰变过程可以用指数函数来描述。

假设某种放射性元素的初始含量为N0，衰变常数为λ（λ>0），则经过t个时间单位后元素的含量N(t)可以表示为N(t)=N0*e^(-λt)。

这个模型在研究物质的衰变规律以及核能的应用等方面具有重要意义。

在金融经济学中，指数函数被用来描述复利的增长过程。

例如，利息的计算、股票的投资收益等都需要使用指数函数。

复利公式A=P(1+r/n)^(nt)中，P代表本金，r代表年利率，n代表每年计息次数，t代表总的计息期数，A表示本金加利息的总额。

这个公式就是指数函数在金融领域的应用之一。

二、对数函数的应用对数函数也有广泛的应用，尤其在科学计算和问题求解中扮演重要角色。

下面介绍几个常见的对数函数的应用。

在通信技术中，对数函数被应用于解决信号和噪声的问题。

信号的功率可以通过对数函数来表示，从而方便地计算和分析信号的特性。

例如，信号的分贝表示法就是利用对数函数来量化信号的相对功率。

在化学反应速率的研究中，对数函数有重要应用。

化学反应速率常常与反应物的浓度有关，而反应物的浓度通常呈指数衰减。

利用对数函数可以将指数衰减化为线性关系，从而更方便地进行反应速率的研究和计算。

高一数学知识点总结(——深入了解指数函数及其应用

高一数学知识点总结(——深入了解指数函数及其应用2023年，数学在全球各地有着广泛的应用，其深厚的理论和实用的应用价值已经赢得了全球人民的认可。

随着世界科技的快速发展，数学也正以更快的速度推进，探索更广阔的领域。

作为数学中的一个重要分支，指数函数及其应用已经成为人们求解各种问题、描述现象和模型建立中不可或缺的工具。

下面就来深入了解指数函数及其应用。

首先，什么是指数函数？指数函数是以特定的底数为基础，指数为自变量，自变量是常数的函数。

数学中，指数函数的常见形式为y=a^x，其中a为底数，x为指数。

因为底数是常数，所以指数函数有时也称作底数为a的指函数。

指数函数在数学中有着广泛的应用，例如在著名的物理学公式E=mc²中，就使用了指数函数e^x。

它还应用于计算机科学、经济学和生物学等领域的各种问题。

现代科技和科学的发展离不开指数函数的研究与应用。

接下来，我们来探讨指数函数的特点和性质。

首先，指数函数与常函数、幂函数、对数函数等一样，是一种基本的函数类型。

其次，指数函数有着与底数相关的特殊性质。

当底数为a>1时，指数函数呈现出单调递增的趋势。

而当0<a<1时，指数函数呈现出单调递减的趋势。

指数函数的另一个重要性质是指数法则，它描述了不同底数、不同指数的指数函数之间的运算规律。

专业术语来说，指数法则就是指数函数的乘法规则和除法规则。

两者分别表述为：a^m * a^n =a^(m+n), a^m / a^n = a^(m-n)。

这些规则使我们能够在指数运算中使用很少的步骤得出最终结果。

现在，我们来看看指数函数在实际应用中的例子。

指数函数非常适合用来描述人口增长、生物学增长以及投资的增长等问题。

例如，在投资领域中，指数函数可以用来计算复利。

当我们从银行中借款并定期存款时，银行将根据定期存款和复利计息，在未来多年内向我们支付利息，复利的计算方法就用到了指数函数。

在人口学中，指数函数可以用来描述总人口增长数量的呈倍增速度。

指数函数模型)的简单应用

课题：指数函数模型y=xca(a>0且a≠1,c>0)的简单应用课型：复习课教学目标和目标解析（1）知识与技能目标1通过具体例子使学生了解指数型函数y=xca在社会生活中的有着广泛应用。

2结合实例理解和体会指数型函数y=xca增长（或递减）的函数模型的意义。

（2）过程与方法通过对现实生活中指数型函数的研究和探讨，灵活运用得到的函数模型去解决实际问题，发展学生提出、分析、解决问题的能力（3）情感、态度与价值观：在解决实际问题中体会指数函数这一重要的数学模型，充分体会到数学与自然社会的关系的重要性。

进一步感受用数学解决问题的方法，体会数学的价值。

教学重点：指数型函数y=xca的应用，教学难点：（1）学生对题意的理解(2)数学建模比较困难，(3)计算比较复杂。

教与学的互动设计教学过程设计活动一创设情景温故知新自主解决：（1）平均增长率的问题（负增长时0p<）：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有(1)xy N p=+（3）讨论下列函数哪些是指数函数？①y=-x2②y=1.2×3t③y=2x2④y=5.51960.0221te(0≤ t ≤10)师生互动（1）学生回答以上问题及指数函数定义，（2）学生写出指数函数的一般形式？②④是指数函数吗？教师提出在自然条件下，指数函数在生活、生产等实际活动中应用广泛.如在疾病控制与统计、生物学、物理学、国民经济活动、存款利率、人口预测、工业生产等问题上都可以运用其进行解决。

指数函数模型的应用是一种重要的函数模型应用。

下面我们这堂课主要探究指数函数模型的应用活动二合作探究探究一生活中的指数模型例1、用洗菜盆内的清水清洗蔬菜，每次能洗去蔬菜上农药残存量的23，设要使存留在蔬菜上的农药残存量不超过最初蔬菜上的农药残存量的1%，求蔬菜至少要清洗多少次分析：找出农药残存量y与清洗次数x的关系（学生自主学习）探究二指数模型与国民经济活动例2、某市2008年国内生产总值为20亿元,计划在未来10年内,平均每年按8%的增长率增长,分别预测该市2013年与2018年的国内生产总值(精确到0.01亿元5101.08 1.4693,1.082.1589==)．分析：国内生产总值每年按8%增长是指后一年的国内生产总值是前一年的（1+8%）倍．解决设在2008年后的第x年该市国民生产总值为y亿元，则第1年，20(18%)20 1.08y=⨯+=⨯第2年，220 1.08(18%)20 1.08y=⨯⨯+=⨯第3年2320 1.08(18%)20 1.08y=⨯⨯+=⨯…………由此得到，第x年该市国内生产总值为20 1.08(010,)xy x x N=⨯≤≤∈当x=5时，得到2013年该市国内生产总值为 520 1.0829.39y =⨯≈（亿元）．当x=10时，得到2018年该市国民生产总值为 1020 1.0843.18y =⨯≈（亿元）．结论预测该市2013年和2018年的国民生产总值分别为29.39亿元和 43.18亿元．归纳函数解析式可以写成(0,1,0)xy ca a a c =>≠>的形式，其中a 为常数，底a >0且a ≠1．函数模型叫做指数模型．当a >1时，叫做指数增长模型；当0<a <1时，叫做指数衰减模型．反馈练习1、一台价值100万元的新机床．按每年8%的折旧率折旧,问20年后这台机床还值几万元(精确到0.01万元，19200.920.21510,0.920.18869==)?2、某单位职工的工资经过5年翻了两番（即是原来的4倍），求每一年比上一年平均增长的百分数》252=1.32，）（师生合作探究）探究三问题三、（养老计划问题）例3、某人从20岁参加工作，从参加工作当年年末起，每年年末存入银行2000元，年利率8%，那么他60岁退休时一次可取得养老金多少元？（师生合作探究）活动三总结提升：回顾解题过程，总结函数应用的基本步骤。