2 三 镜面对称与练习
专题21《图形的位置与变换(一)》(解析版)2021年小升初数学总复习专题汇编精讲精练(通用版)
2021年小升初数学总复习专题汇编精讲精练（通用版）专题21 图形的位置与变换（一）一．轴对称【例1】（2019•山东模拟）如图，将长方形纸对折一次沿虚线剪出的图形展开是()A．B．C．D．【解答】解：如图，将长方形纸对折一次沿虚线剪出的图形展开是一件上衣．故选：C．8．（2018秋•盐都区期末）将长方形纸对折后画上图案（如图），再沿阴影部分剪下，打开后得到的图形是()A．B．C．【解答】解：观察图形可知，将长方形纸对折后画上图案（如图），再沿阴影部分剪下，打开后得到的图形是．故选：B．【变式1-1】（2019•中山市）如图所示是围棋棋盘的一部分，在这个44⨯的方格图形中已经放置了5枚棋子，若要将它变为上下左右都对称的图形，则最少还要在棋盘上摆放11枚棋子．【解答】解：如图：-=枚棋子；由图可知，最少还要在棋盘上摆放16511故答案为：11．【变式1-2】（2019春•巨野县期中）下面的图案各是从哪张纸上剪下来的？连一连【解答】解：如图所示：【变式1-3】（2015春•莫旗校级期末）请你用三种不同的方法分别图中添画一个小正方形，使它成为一个轴对称图形．【解答】解：如图所示，即为所要求的画图：二．镜面对称【例2】（2018春•江宁区期末）如图是小明在平面镜中看到时钟形成的像，它的实际时间是( )A．21:05B．12:02C．12:05D．15:02【解答】解：如图实际时间是12:05．故选：C．【变式2-1】（2018春•湛江期末）从镜子里看的样子是()A．B．C．【解答】解：从镜子里看的样子是；故选：C．【变式2-2】（2018•西安模拟）在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是21:05．【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与21:05成轴对称，所以此时实际时刻为21:05．故答案为：21:05．【变式2-3】（2014春•海淀区校级期末）右面是镜子中看到的时间，请画出现实的时间．【解答】解：根据镜对称，画现实时间如下：故答案为：【变式2-4】（2010秋•桂林期末）请圈出在镜子里看到的图象．【解答】解：如图：．三．平移【例3】（2019秋•五峰县期末）下列日常生活现象中，不属于平移的是() A．升国旗时，国旗的运动B．在计数器上拨珠子的运动C．荡起来的秋千D．淘气在光滑的冰面上滑动【解答】解：A、升国旗时，国旗的运动属于平移现象；B、在计数器上拨珠子属于平移现象；C、荡起来的秋千的运动属于旋转现象；D、在平滑的冰面上滑冰的运动属于平移现象．所以不属于平移的是荡起来的秋千的运动．故选：C．【变式3-1】（2018秋•连云港期末）下面的运动，哪个是平移？()A．B．C．【解答】解：汽车方向盘的运动属于旋转，算盘中拨算珠，算珠的运动属于平移，水龙头的转动属于旋转；故选：B．【变式3-2】（2019秋•宝鸡期末）火车在一段笔直的轨道上运行，火车车身的运动属于平移现象；中国传统的剪纸艺术，运用了原理．【解答】解：火车在一段笔直的轨道上运行，火车车身的运动属于平移现象；中国传统的剪纸艺术，运用了旋转原理．故答案为：平移；旋转．【变式3-3】（2018秋•建邺区期末）在横线上填“平移”或“旋转”．（1）一辆汽车在一段笔直高速公路上行驶，这时车身的运动是平移，车轮的运动是．（2）钟面上分钟的运动是，秒钟的运动是．【解答】解：（1）一辆汽车在一段笔直高速公路上行驶，这时车身的运动是平移，车轮的运动是旋转．（2）钟面上分钟的运动是旋转，秒钟的运动是旋转．故答案为：平移，旋转，旋转，旋转．【变式3-4】（2019•北京模拟）①帆船图向向上平移了格．②在方格纸上画出三角形向右平移5格的图形．【解答】解：①帆船图向上平移了6格；②画图如下：．【变式3-5】（2018春•六合区校级期末）画一画（1）向右平移了格．（2）向平移了格．（3）向平移了格．（4）把上面的小船图向右平移4格．【解答】解：（1）向右平移了6格．（2）向上平移了4格．（3）向左平移了9格．（4）作图如下：故答案为：右，6，上，4，左，9．四．旋转【例4】（2019•高新区）小明去学校，从家出发向东行200米，右转90︒，直行200米，接着右转90︒，直行200米到学校，学校在小明家的()边，距小明家直线距离()米．A．东，200B．南，200C．西，400【解答】解：根据题中方位角度画出行走路线图，由图可知小明去学校，从家出发向东行200米，右转90︒，直行200米，接着右转90︒，直行200米到学校．学校在小明家的南边，距小明家直线距离200米．故选：B．【变式4-1】（2018秋•石家庄期末）下面哪个图形是旋转得到的()A．B．C．【解答】解：由分析知：旋转前后图形的大小和形状没有改变，所以，旋转后是；故选：B．【变式4-2】（2018秋•格尔木市校级期末）风车的运动是旋转现象，打开车窗是现象．【解答】解：由分析知：风车的运动是旋转现象，打开车窗是平移现象．故答案为：旋转，平移．【变式4-3】（2019•衡水模拟）画出三角形AOB绕点0点逆时针旋转90︒后的图形．【解答】解：画出三角形AOB绕点0点逆时针旋转90︒后的图形（图中红色部分）．【变式4-4】如图图形中，不能由通过旋转得到的有哪些？圈一圈．【解答】解：如图图形中，不能由通过旋转得到的有哪些？圈一圈（下图）．五．确定轴对称图形的对称轴条数及位置【例5】（2019秋•惠州期末）下列图形中，( )的对称轴最多．A ．长方形B ．正方形C ．等边三角形D ．等腰梯形【解答】解：A ：长方形有2条对称轴；B ：正方形有四条对称轴；C ：正三角形有三条对称轴；D ：等腰梯形有一条对称轴．故选：B ．【变式5-1】（2018秋•沙河口区期末）下面的图形是轴对称图形，且只有3条对称轴的图形是()A ．等边三角形B ．正方形C ．长方形D ．平行四边形【解答】解：A 、等边三角形 有3条对称轴；B 、正方形有4条对称轴；C 、长方形有2条对称轴；D 、平行四边形没有对称轴，不是轴对称图形；故选：A ．【变式5-2】（2019秋•嘉陵区期末）图中有 2 条对称轴；如果圆的半径是3cm ，那么每个圆的周长是 cm ，长方形的周长是 cm ．【解答】解：图中有2条对称轴；如果圆的半径是3cm ，那么每个圆的周长：2 3.14318.84()cm ⨯⨯=，这个长方形的长是23212()cm ⨯⨯=，宽是326()cm ⨯=， 长方形的周长：(126)236()cm +⨯=； 故答案为：2，18.84，36．【变式5-3】（2015春•绵阳校级期末）画出下面各图的一条对称轴．【解答】解：【变式5-4】（2013秋•安化县期末）如图是两条互相垂直的直线，相交于O点．①以O为圆心画一个直径为4厘米的圆．②这个圆的周长是12.56厘米，面积是厘米2．③如果在这个圆内画一个最大的正方形，你画出的这个图形共有条对称轴．【解答】解：（1）以O为圆心，(42)2÷=厘米为半径，即可画出符合要求的圆；（2）3.14412.56⨯=（厘米），2⨯÷=（平方厘米）3.14(42)12.56（3）以两条互相垂直的直径为对角线，即可作出符合要求的正方形；所作对称轴如图所示：；故答案为：12.56，12.56，4．真题强化演练一．选择题1．（2013•岱山县）正方形有()条对称轴．A．2B．3C．4D．无数【解答】解：如图所示，正方形有四条对称轴．故选：C．2．（2012•诸暨市）小明的运动衣号在镜子中的像是，则小明的运动衣号码是() A．15B．12C．21D．51【解答】解：由镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称；则小明的运动衣号码是15．故选：A．3．（2008•宜昌）下面的()图形不能由如图图形通过旋转得到．A．B．C．D．【解答】解：如图，故选：B．4．（2007•江阴市）有3条对称轴的三角形是()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形【解答】解：等腰三角形有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴，等腰直角三角形有一条对称轴，所以说有三条对称轴的三角形是等边三角形；故选：C．5．（2019•宁波模拟）关于“图形的运动”，下面说法错误的是()A．一个图形做平移运动后，形状和大小保持不变B．一个图形做旋转运动后，形状和大小保持不变C．一个图形放大或缩小后，形状和大小保持不变D．一个图形的对称轴两边，形状和大小相同【解答】解：A、一个图形做平移运动后，形状和大小保持不变，说法正确；B、一个图形做旋转运动后，形状和大小保持不变，说法正确；C、一个图形放大或缩小后，形状不变，大小变了，所以本题说法错误；D、一个图形的对称轴两边，形状和大小相同，说法正确；故选：C．6．（2018•杭州模拟）下面图形中，对称轴条数最多的是()A．B．C．D．【解答】解：A、有8条对称轴B、有5条对称轴C、有3条对称轴D、有无数条对称轴；故选：D．7．（2015•西安校级模拟）下列图形中对称轴最多的是()A．长方形B．正方形C．三角形D．圆【解答】解：长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，三角形最多有3条对称轴，圆有无数条对称轴；所以，对称轴最多的是圆；故选：D．8．（2014•中山模拟）下列图形中，对称轴条数最多的是()A．长方形B．正方形C．等边三角形D．圆形【解答】解：在长方形、正方形、等边三角形和圆中，对称轴最多的是圆．故选：D．9．（2015秋•慈溪市期末）下列图形中，对称轴最多的是()A．B．C．D．【解答】解：有2条对称轴；有4条对称轴；有8条对称轴；有4条对称轴；故选：C．10．（2016春•淳安县期末）一个等边三角形的两条对称轴相交于点O，绕O点顺时针旋转()︒后能与原来的等边三角形第一次重合．A．60︒B．90︒C．120︒D．180︒【解答】解：如图所示，︒÷=︒，所以绕点O旋转120︒，等边三角形与原来图形重合．3603120故选：C．二．填空题11．把三颗棋子摆成一个尖朝上的三角形，只移动一颗棋子，使它尖朝下，有3种移法．【解答】解：根据分析移动如下：有3种移法；故答案为：3．12．（2005•溧水县校级自主招生）在26个大写英文字母中，请写出有两条对称轴的字母是H，I，O，X（至少写两个）．【解答】解：根据分析，在26个大写英文字母中有两条对称轴的字母是H、I、O、X；故答案为：H，I，O，X．13．（2013春•瑞安市校级期中）先观察图，再填空．（1）图1绕点“O”逆时针旋转90︒到达图2的位置；（2）图1绕点“O”逆时针旋转180︒到达图的位置；（3）图1绕点“O”顺时针旋转︒到达图4的位置；（4）图2绕点“O”顺时针旋转︒到达图4的位置；（5）图2绕点“O”顺时针旋转90︒到达图的位置；（6）图4绕点“O”逆时针旋转90︒到达图的位置．【解答】解：（1）图1绕点“O”逆时针旋转90︒到达图2的位置；（2）图1绕点“O”逆时针旋转180︒到达图3的位置；（3）图1绕点“O”顺时针旋转(90)︒到达图4的位置；（4）图2绕点“O”顺时针旋转(180)︒到达图4的位置；（5）图2绕点“O”顺时针旋转90︒到达图1的位置；（6）图4绕点“O”逆时针旋转90︒到达图1的位置；故答案依次为：2，3，90，180，1，1．三．判断题14．（2015•南湖区校级模拟）平行四边形的对称轴有两条．⨯．（判断对错）【解答】解：平行四边形不是轴对称图形，也就没有对称轴．答：平行四边形的对称轴有两条，是错误的．故答案为：⨯．15．（2017•江阴市）圆有无数条对称轴．正确．（判断对错）【解答】解：因为圆是轴对称图形，且它的直径所在的直线就是其对称轴，而圆有无数条直径，所以圆就有无数条对称轴．答：圆有无数条对称轴是正确的．故答案为：正确．16．（2009•镇海区）圆和半圆都是轴对称图形，都有无数条对称轴．⨯．（判断对错）【解答】解：圆和半圆都是轴对称图形，半圆有1条对称轴，圆有无数条对称轴．故答案为：⨯．17．（2013•上犹县校级模拟）正方形、长方形、三角形、圆都是轴对称图形．错误．（判断对错）【解答】解：因为正方形、长方形、等腰三角形和圆分别沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则说正方形、长方形、等腰三角形和圆都是轴对称图形；但是除等腰三角形外的三角形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够完全重合，则除等腰三角形外的三角形不是轴对称图形；故答案为：错误．四．解答题18．（2019•杭州模拟）下面是平移的用“√”，是旋转的用“⨯”表示．【解答】解：19．（2019•杭州模拟）下列现象哪些是平移？在括号里画“△”．哪些是旋转？在括号里画“〇”．【解答】解：20．（2019•杭州模拟）连一连．【解答】解：由分析可得：21．（2014春•海淀区校级期末）右面是镜子中看到的时间，请画出现实的时间．【解答】解：根据镜对称，画现实时间如下：故答案为：22．（2012秋•龙海市期中）看图填一填（1）向右平移了格．（2）向平移了格．（3）把向左平移7 格．【解答】解：如图（1）向右平移了5格；（2）向上平移了4格；（3）画图如下：23．如图右面是从镜子里看到的钟面，请你说出它们所指的时刻．【解答】解：如图，电子表所指的时刻是12:01，指针式钟所指的时刻是11:05；故答案为：12:01，11:05．。
三年级镜面反向数学问题(一)
三年级镜面反向数学问题(一)三年级镜面反向数学问题概述镜面反向数学问题是一种三年级数学题型，主要考察学生对镜面反射和数学运算的理解。
该题型通过图像的对称性，让学生运用镜面反射的原理进行数学运算。
题目示例以下是几个典型的三年级镜面反向数学问题： - 1. 画出数字8的镜面反射图形，并解释图形的对称性。
- 2. 将数字3通过镜面反射得到图形，然后将得到的图形进行旋转，画出旋转后图形，并解释旋转后图形的特点。
- 3. 在一个平面上，画出数字2的镜面反射图形和数字3的镜面反射图形，并解释两个图形的对称性。
解析1.画出数字8的镜面反射图形，并解释图形的对称性：–画下数字8的正常形状，然后在数字8的中心画一条垂直的镜子。
–将数字8沿镜子线进行对称操作，得到镜面反射图形。
–镜面反射图形和数字8在镜子的两侧对称，左侧和右侧的形状相同，上方和下方的形状相同。
因此，数字8的镜面反射图形具有左右对称的特点。
2.将数字3通过镜面反射得到图形，然后将得到的图形进行旋转，画出旋转后图形，并解释旋转后图形的特点：–画下数字3的正常形状，然后在数字3的中心画一条垂直的镜子。
–将数字3沿镜子线进行对称操作，得到镜面反射图形。
–镜面反射图形和数字3在镜子的两侧对称，左侧和右侧的形状相同，上方和下方的形状相同。
–接着，将镜面反射图形按照一定规律进行旋转操作，得到旋转后的图形。
–旋转后的图形仍然具有数字3的特点，上方的弯曲部分顶点位置改变，但整体形状基本保持不变。
3.在一个平面上，画出数字2的镜面反射图形和数字3的镜面反射图形，并解释两个图形的对称性：–分别画出数字2和数字3的正常形状，然后在数字2和数字3的中心分别画一条垂直的镜子。
–将数字2和数字3分别沿镜子线进行对称操作，得到两个镜面反射图形。
–数字2的镜面反射图形具有左右对称的特点，左侧和右侧的形状相同。
–数字3的镜面反射图形也具有左右对称的特点，左侧和右侧的形状相同。
–但数字2的镜面反射图形上方和下方的形状不同，而数字3的镜面反射图形上方和下方的形状相同。
镜面对称 小学数学 课后练习
一、选择题
1. 下图中（）是小松鼠在镜子里的样子。
A．B．C．
2. 从镜子中看到的像是（）。
A．B．
3. 在镜子里看到的5的样子是（）。
A．5 B．
4. 从镜子中看到的像是（）。
A．B．
5. 如图是镜子中的钟面，它实际应该是（）。
A．B．C．
二、填空题
6. 从镜子中，我们发现了镜子内外的图形是______的，左右______。
7. 想一想，哪面才是真正的镜子？在下面的括号里画“√”。
（1）
（2）
8. 下面是镜子里看到的一个钟面，请写出正确的时间．
( )
9. 如图的钟面是从镜子里看到的，实际钟面上的时刻是_____．
10. 张老师早起出门锻炼时看到镜子中的时间是7：30，回到家看钟表时发现是6：30，那么张老师出门锻炼了( )小时。
三、解答题
11. 根据对称图写时间．
12. 小明在照镜子时发现，镜子中的钟面上时针与分针的位置是，那么这时的时间是多少？
13. 星期日，菲菲到蓝猫家去玩，玩着玩着，想知道现在的时间，刚抬起头，从镜
子中看见了挂钟显示的是6：30，聪明的菲菲眼珠一转，就知道了真实的时间。
同学们，你们知道吗？
14. 一只钟的对面有一面镜子，镜子里的钟如图。
那么钟面上正确的时间是多少？。
《镜面对称》教学设计7篇
《镜面对称》教学设计7篇《镜面对称》教学设计1教学内容：人教版义务教育课程标准实验教科书二年级上册《数学》第5单元“观察物体”中第69页的例题3和练习。
教学目标：1、通过照镜子实践活动，使学生初步认识镜面对称的现象。
2、通过动手操作、合作讨论和游戏等活动，加强学生对镜面对称现象的感知。
3、激发学生对镜面对称现象进行探究的好奇心，激励学生利用生活经验主动地探索数学知识。
教学重点：通过照镜子实践活动，建立镜面对称现象的表象。
教学难点：理解镜面对称在镜面成像时所发生的变化。
教具准备：大镜子一面、小镜子每人一面，反写的数字、文字、算式卡片，半个图案的蝴蝶、天坛、青蛙、雪花等图片，钟面，课件。
教学过程：一、巧用情境，感受镜面对称现象的存在1、欣赏“倒影”，激趣导入多媒体出示：“倒映水中的湖光山色”，即课本第一幅主题图。
让学生说出主题图中见到的景色：“山的倒影、树的倒影、房子的倒影、船的倒影、鹅的倒影……”2、巧用情境，提出问题师：你们在哪里还见到过类似“映在水中山色”的现象。
（生：镜子里。
多媒体出示：“映在镜子里的擦桌子的男孩”，即课本第二幅主题图）今天，我们就来研究和镜面有关的数学知识。
（板书：镜子中的数学）你们想知道镜子中有哪些数学吗？你们先想一想并提出你最想知道的有关镜子中的数学问题？【评析】课伊始，趣亦生。
一段“倒影”欣赏，再现了生活中“倒影”、“镜子成像”现象的情境，调动了学生学习兴趣，激发了探索数学问题的欲望。
让学生依据自己的数学经验提出“镜子中的数学”问题，如此导入新课，有趣而自然。
二、照镜实践，探索镜面对称现象的特征师：镜面对称现象有什么特征呢？我们通过“猜测判断”和“演示验证”两个活动来理解并作出归纳。
1、猜测判断课件出示题目：（1）男孩向前走一步，镜子里的男孩（向前或向后）走一步。
举起双手，镜子里的男孩（举起或放下）双手。
（2）女孩左手拿着一张纸，右手拿着一支铅笔；镜子里的女孩（左手或右手）拿着一张纸，（右手或左手）拿着一支铅笔。
二年级上册数学教案- 5 镜面对称-人教新课标
二年级上册数学教案- 5 镜面对称-人教新课标教学内容：本节课的教学内容为人教新课标二年级上册数学第5课“镜面对称”。
通过本节课的学习，学生将理解镜面对称的概念，掌握镜面对称的性质，并能运用镜面对称进行图形的变换。
教学目标：1. 让学生理解镜面对称的概念，知道镜面对称是一种图形变换方式。
2. 使学生掌握镜面对称的性质，能运用镜面对称进行图形的变换。
3. 培养学生的观察能力、动手操作能力和空间想象能力。
教学难点：1. 镜面对称的概念及性质的理解。
2. 运用镜面对称进行图形变换的能力。
教具学具准备：1. 教师准备：镜子、图片、课件等。
2. 学生准备：剪刀、彩纸、直尺、圆规等。
教学过程：一、导入1. 教师出示一些生活中的镜面对称现象，如：照镜子、舞蹈表演等，引导学生观察并提问：这些现象有什么共同特点？2. 学生回答：都是通过镜子实现的，左右对称等。
3. 教师总结：这就是我们今天要学习的镜面对称。
二、新课讲解1. 教师讲解镜面对称的概念，引导学生理解镜面对称是一种图形变换方式。
2. 教师讲解镜面对称的性质，引导学生掌握镜面对称的规律。
3. 教师出示一些图片，让学生判断哪些是镜面对称的，并说明理由。
4. 学生练习：运用镜面对称进行图形的变换。
三、实践操作1. 教师出示一些图形，让学生运用镜面对称进行变换，并展示作品。
2. 学生分组讨论：如何运用镜面对称进行创意设计？3. 学生展示作品，教师点评并给予鼓励。
四、总结与拓展1. 教师引导学生总结本节课所学内容，强化镜面对称的概念和性质。
2. 教师布置作业：运用镜面对称进行创意设计。
板书设计：1. 镜面对称的概念和性质2. 镜面对称的应用作业设计：1. 运用镜面对称进行图形变换的练习。
2. 创意设计：运用镜面对称设计一幅作品。
课后反思：本节课通过讲解、实践和总结，使学生掌握了镜面对称的概念、性质和应用。
在教学过程中，要注意引导学生观察、思考和动手操作，培养学生的空间想象能力。
专题12 轴对称30大高频考点(期末真题精选)(原卷版)
专题12 轴对称30大高频考点一．生活中轴对称1．如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是点．2．数的运算中含有一些有趣的对称形式，如12×231＝132×21，按照此等式的形式填空：12×462＝×；×891＝×81．二．轴对称图形的辨析3．在“线段、角、直角三角形、等边三角形”这四个图形中，对称轴最多的图形是．4．如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个．5．线段是轴对称图形，它的对称轴是；角是轴对称图形，它的对称轴是．三．镜面对称6．有两面可绕一立轴转动的立式镜，我站在这两面镜手前的一个点上，这个点位于镜面夹角的角平分面上．若两镜面的夹角为50°，我将可以看到自己的镜像数为（）A．10B．8C．6D．4四．剪纸类7．将一个正方形纸片对折后对折再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A．B．C．D．8．如图，从△ABC的纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE．若∠1+∠2＝230°，则∠C＝（）A．230°B．130°C．50°D．110°五．设计轴对称图案9．如图是5个小正方形纸片拼成的图形，现将其中一个小正方形纸片平移，使它与原图中剩下的小正方形纸片有一条或两条边重合后拼成一个轴对称图形，在拼出的所有不同位置的轴对称图形中，全等的图形共有（）A．0对B．1对C．2对D．3对六．轴对称的性质10．如图，点P为∠AOB内部任意一点，点P与点P1关于OA对称，点P与点P2关于OB对称，OP＝4，∠AOB＝45°，则△OP1P2的面积为．11．如图，把一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D′落在∠BAC的内部，若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝n，则∠DAE的度数为（用含n的式子表示）．七．：轴对称与最值12．如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝4，BE＝4，AB＝8，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，则DE的最大值是．13．如图，点C，D在AB的同侧，AC＝5，AB＝10√2，BD＝10，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是．14．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AB＝4，D为BC上一动点，过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接EF，则EF的最小值为．15．如图，在锐角△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，S△ABC＝8，点P是边BC上的一动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别是M，N，连接MN，则MN的最小值为．八．作图：轴对称的变换16．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，△A′B′C′和△ABC 关于直线l成轴对称，其中A′点的对应为A点．（1）请画出△A′B′C′，并标出相应的字母；（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△A′B′C′的面积．17．如图，在平面直角坐标系的网格中，其最小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点都在格点上．（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A'B'C'，并写出△A'B'C'三个顶点的坐标；（2）判断△A'B'C'的形状，并简单加以说明．九．角平分线的性质18．如图，已知△ABC的周长是18，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3，则△ABC的面积是．19．如图，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，P A＝3，点Q是射线OM上一个动点，若PQ＝m，则m的取值范围是．20．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是30、40、50，∠ABC和∠ACB的角平分线交于O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（）A．1：1：1B．1：2：3C．2：3：4D．3：4：5十．角平分的性质与面积21．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB ＝20，则△AOB的面积是．22．如图，已知△ABC的周长是18，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，△ABC的面积是．23．已知点O是△ABC的三个内角平分线的交点，若△ABC的周长为24cm，面积为36cm2，则点O 到AB的距离为cm．十一．角平分线的判定24．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离相等（即OF＝OD＝OE），若∠BAC＝80°，则∠BOC（）A．110°B．120°C．130°D．140°25．东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH ＝S△BCH，则凉亭H是（）A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点十二．垂直平分线的性质26．如右图：AB比AC长3cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD的周长是14cm，则AB＝cm．27．如图，在△ABC中，AB、AC的中垂线GF、DE分别交BC于点F、E，连接AE、AF，∠B+∠C＝50°，那么∠F AE的度数是（）A．80°B．70°C．60°D．50°十三．垂直平分线的判定28．如图，△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；（2）求证：EF垂直平分AD．十四．角平分线与垂直平分线的融合29．如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E，EF⊥AB，交AB于F，EG⊥AC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论．十五．等腰三角形的性质30．如图，△ABC中，∠CAB＝∠CBA＝48°，点O为△ABC内一点，∠OAB＝12°，∠OBC＝18°，则∠ACO+∠AOB＝（）A．190°B．195°C．200°D．210°31．求证：等腰三角形两底角的平分线相等．32．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．十六．等腰三角形的判定33．如图，已知△ABC，CD平分它的外角∠BCE，AB∥CD，证明：△ABC为等腰三角形．34．如图，在△ABC中，∠A＝60°．BE，CF交于点P，且分别平分∠ABC，∠ACB．（1）求∠BPC的度数；（2）连接EF，求证：△EFP是等腰三角形．十七．格点等腰三角形35．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点；已知A，B是两格点，若C点也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有个．36．如图，M，N是∠AOB的边OA上的两个点（OM＜ON），∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝4．若边OB上有且只有1个点P，满足△PMN是等腰三角形，则a的取值范围是．十八．图形的存在性之等腰37．如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠A＝100°，点P在△ABC的三边上运动，当△P AC成为等腰三角形时，其顶角的度数是．38．在△ABC中，∠A＝40°，当∠C＝时，△ABC为等腰三角形．39．如图，等边△ABC的边长为12cm，M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边顺时针运动，点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N两点同时停止运动，则当M，N运动时间t＝s时，△AMN为等腰三角形．十九．等腰三角形的性质与判定综合40．如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD、CD，AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．（1）判断△CEF的形状，并说明理由；（2）连接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的长．41．在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC＝ED．（1）如图1，若点E是AB的中点，求证：BD＝AE；（2）如图2，若点E不是AB的中点时，（1）中的结论“BD＝AE”能否成立？若不成立，请直接写出BD与AE数量关系，若成立，请给予证明．二十．等边三角形的性质42．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE＝CD，（1）求证：DB＝DE．（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF＝4，求△ABC的周长．二十一．等边三角性的判定43．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB．（1）求∠C的度数；（2）求证：△ADE是等边三角形．二十二．等边三角性的判定与性质的综合运用44．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．45．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．（1）求证：AE＝2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．二十三．含30°角的直角三角形46．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC＝DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）二十四．直角三角形斜中线的运用47．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103﹣104页的部分内容．如图24.2.1，画Rt△ABC，并画出斜边AB上的中线CD，量一量，看看CD与AB有什么关系．相信你与你的同伴一定会发现，CD恰好是AB的一半．下面让我们用演绎推理证明这一猜想．已知：如图24.2.2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，求证：CD=12AB．定理证明：请根据教材图24.2.2的提示，结合图①完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D（点D在BC上），CE是AB边上的中线，DG垂直平分CE．求证：∠B＝2∠BCE；（2）在（1）条件下，若BF⊥AC于点F，连接DE、EF、FD．当△DEF是等边三角形，且BD ＝3时，△DEF的周长为．48．如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△P AE的形状，并说明理由．二十五．新定义49．定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”．（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是．A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB=√3，则该三角形的面积为；（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP 进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP=√2，求△PDC 的面积．二十六．尺规作图50．如图，在△ABC中，∠C＝90°．（1）过点B作∠ABC的平分线交AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；（2）若CD＝3，AB+BC＝16，求△ABC的面积．51．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）二十七．规律类52．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；…，根据以上操作，若操作2022次，得到小正方形的个数是（）A．6065B．6066C．6067D．606853．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E；…按此做法继续下去，则第2022个三角形中以A2022为顶点的内角度数是（）A ．（12）2019•75°B ．（12）2020•75°C ．（12）2021•75°D ．（12）2022•75° 二十八．坐标中的轴对称54．已知点M （a ，﹣3），点N （﹣2，b ）关于y 轴对称，则（a +b ）2022的值（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．355．平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1，4），B （3，4），C （3，﹣1）．（1）试在平面直角坐标系中，标出A 、B 、C 三点；（2）求△ABC 的面积．（3）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于x 轴对称，写出A 1、B 1、C 1的坐标．二十九．三线合一的妙用56．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的角平分线交BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，CF ⊥AB 于点F ，DE ＝3，则CF 的长为（ ）A ．4B ．6C ．9D ．1257．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．（1）求证：∠BAD＝∠CAD；（2）求证：BE＝CE．三十．角平分与平行、垂直的巧妙融合58．如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F，FG∥AB交AC于点G，若AB＝4，则线段FG的长为．59．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若FG＝5，ED＝9，求EB+DC＝．60．如图，已知S△ABC＝24m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC m2．。
数学教案之镜面对称
数学教案之镜面对称一、教学目标1. 让学生理解镜面对称的概念，能识别生活中的镜面对称现象。
2. 培养学生运用对称知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的观察能力、动手操作能力和创新能力。
二、教学内容1. 镜面对称的定义及性质2. 镜面对称在生活中的应用三、教学重点与难点1. 重点：让学生掌握镜面对称的概念及性质。
2. 难点：如何引导学生发现和运用镜面对称解决实际问题。
四、教学方法1. 采用直观演示法，让学生直观地感受镜面对称现象。
2. 采用实例分析法，引导学生发现生活中的镜面对称。
3. 采用小组合作探究法，培养学生的团队协作能力。
五、教学准备1. 准备一些具有镜面对称特点的图片或物品，如镜子、剪刀、折纸等。
2. 准备教学课件，展示镜面对称的原理及应用。
3. 准备练习题，巩固所学知识。
六、镜面对称的判定与性质1. 判定一个图形是否具有镜面对称性。
2. 学习镜面对称的性质，如坐标变换、线段长度不变等。
七、镜面对称在几何中的应用1. 利用镜面对称解决几何问题，如求对称轴上的点到点的距离。
2. 探讨镜面对称在几何作图中的应用。
八、镜面对称在生活中的应用1. 分析生活中常见的镜面对称现象，如建筑、艺术作品等。
2. 引导学生运用镜面对称知识解决实际问题。
九、拓展与探究1. 研究镜面对称在其他领域的应用，如物理学、计算机科学等。
2. 引导学生进行创新性思考，发现镜面对称的新用途。
十、总结与反思1. 回顾本节课所学内容，总结镜面对称的概念、性质及应用。
2. 让学生谈谈自己在学习过程中的收获和感受。
3. 鼓励学生继续观察生活中的镜面对称现象，运用所学知识解决问题。
六、镜面对称的判定与性质1. 判定一个图形是否具有镜面对称性：如果一个图形可以通过某条直线（对称轴）旋转180度后与原图形完全重合，则该图形具有镜面对称性。
2. 学习镜面对称的性质：a) 对称轴：镜面对称的轴线，将图形分为两部分，两部分关于对称轴完全一致。
第五单元-镜面对称
课题名称：镜面对称教学年级：二年级一、教学内容分析1．教学主要内容人教版小学数学二年级上册68页例2、“做一做”2．教材编写特点《镜面对称》是人教版小学数学二年级上册第69——71页的内容，属于第一学段“空间与图形”的内容。
教材非常简洁，通过学生日常生活中常见的湖面倒影和照镜子的情境开始引导学生了解镜面对称现象，让学生感受到这类现象在日常生活中是非常多见的，以此让学生体会数学与生活的密切联系。
通过几个“照镜子”的练习，感受镜面对称的特点，发展学生的空间观念。
3.教材内容的核心数学思想镜面对称是相当于一个平面形成的对称。
在这里，只是让学生通过观察图片、照镜子的活动，初步认识镜面对称现象，初步了解镜像的性质。
通过“做一做”的活动，让学生亲自照一下镜子，通过镜子内外的人的前后位置和左右位置的关系进一步感受镜面对称的性质，通过活动，使学生明白，照镜子的时候内外的人上下、前后位置不会发生改变，而左右位置发生对换。
4.我的思考本节课是在学习了“轴对称图形”的基础上进行教学的，它是前一课时“对称图形”知识的延伸与拓展。
这部分内容是根据“课标”要求新增加的。
从教材编写的意图来看，“镜面对称”这部分内容不是纯粹的知识学习，而是一种体验性活动，它包含了丰富的过程性目标。
基于这样的认识，我认为：整个教学过程应以教材为基础，并结合学生实际创设多种感悟情境和活动情境，引导学生在自主探索、合作交流中体验“镜面对称”特征。
例3通过湖面的倒影（相对水平平面的对称）、照镜子（相对竖直平面的对称）这两类最常见的现象，使学生初步认识镜面对称的现象，理解镜面对称的两边图形有什么关系。
本节内容的“做一做”也是教学中的一个难点，学生很难理解镜子内外人的前后位置和左右位置的关系，较好的办法也是通过学生的实际操作，亲自站在镜子前方，做一做动作来感知（如条件不允许，可布置成课外作业回家感知）。
在此基础上，还可做一些小游戏来进行巩固，如“镜子里的你”，甲、乙两个学生面对面站，甲做动作，乙回应，乙回应的动作应是甲在镜子里的动作，乙充当甲镜子里的影像。
镜面对称
1.6镜面对称一、学习目标1、结合现实生活中的实例，了解镜面对称及其应用，欣赏镜面对称图形；2、思考并探索镜面对称下图形的变化.二、学习重点、难点重点：镜面对称及其应用难点：镜面对称下图形的变化三、学习过程（一）情景导入/v_show/id_XMzE2MzkwODky.html自远古以来，对称的形式被认为是和谐、美丽并且真实的.不论在自然界里还是在建筑中，不论在艺术中还是在科学中，甚至最普通的日常生活用品中，对称的形式都随处可见.山倒影在湖中，这是多么令人难忘的对称景象.学好对称，对我们认识图形来说是很重要.（此处老师适当准备一些相关的图片，以激发学生的学习兴趣。
）/i?tn=baiduimage&ct=201326592&lm=-1&cl=2&fr=ala 0&word=%BE%B5%C3%E6%B6%D4%B3%C6（二）自主学习自学课本P21——P22，解决下列问题：1、物体与它在镜子里的像成镜面对称，它们的大小、形状相同吗？2、一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把式子2+3=8变成一个真正的等式？”你能吗？（三）合作探究探究点：镜面对称的原理及判断方法认真阅读课本的“小资料”、“实验与探究”，结合自己的生活经历，同桌互助总结镜面对称的原理.（四）练习达标1、课本“挑战自我”.2、P练习与习题A组24（五）课堂小结说说镜面对称的原理及判别方法（六）拓展提升1、阅读提高：/view/1406202.htm2、课本P习题B组223、宋代理学家邵康写有一首五言绝句：“一去二三里，烟村四五家，楼台七八座，八九十枝花.”把这首诗写在一张纸上，并将写字的一面平行对折镜面.在这首诗的所有字中中，镜子中的像与原字一样的是———————————.四、教学反思：在探究新知的过程，我是按照猜测--验证--总结--应用的思路进行的。
镜面对称的性质是本节课的教学重难点。
教学中，我们为学生创设了先猜一猜，再照镜子验证的探究活动，帮助学生初步感知镜面对称的特征。
小学生数学习题练习认识数学中的轴对称与镜面对称
小学生数学习题练习认识数学中的轴对称与镜面对称几何学是数学中的一个重要分支，其在小学数学教学中起着重要的作用。
学习认识数学中的轴对称与镜面对称是培养学生几何思维和创造力的关键一步。
本文将围绕这一话题展开，介绍什么是轴对称和镜面对称，并提供一些小学生数学习题，帮助学生巩固和加深对轴对称和镜面对称的理解。
1. 轴对称轴对称是几何学中的一个重要概念。
简单来说，轴对称是指平面图形关于某一条直线对称。
这条直线被称为轴线，轴线两侧的图形是对称的，即对应点关于轴线对称。
轴对称的图形可以看作是两部分完全一致的图形拼接而成。
那么，我们来看一个具体的例子。
请观察下图中的图形，判断它们是否是关于某一条直线轴对称的。
[插入图片示例，如图1]图1中的图形是一个等边三角形。
我们可以尝试找一条直线，使得三角形的左半部分关于这条直线对称。
仔细观察，我们会发现，这条直线可以通过连接三角形的顶点和底边中点而得到。
换言之，等边三角形是关于连接顶点和底边中点的直线轴对称的。
通过这个例子，我们可以看到轴对称的特点：轴对称的图形可以通过折叠或翻转来使得两侧完全重叠。
这种对称性不仅存在于几何图形中，也存在于我们日常生活中的许多物体中。
为了帮助小学生更好地理解轴对称的概念，我们可以给他们一些练习题。
例如：【练习题1】下图中的图形是否关于某一条直线轴对称？如果是，请画出轴线；如果不是，请说明原因。
[插入图片示例，如图2]通过练习题的形式，我们可以引导学生仔细观察图形，理解轴对称的概念，并进行判断。
这样的练习有助于培养学生的空间想象和观察能力，对认识数学中的轴对称有很大帮助。
2. 镜面对称镜面对称是另一种常见的对称性形式。
简单来说，镜面对称是指平面图形关于某一条直线对称。
与轴对称不同的是，镜面对称是通过镜面来实现的，我们可以将图形放在镜子前后观察到一样的图形。
为了更好地理解镜面对称，我们再来看一个例子。
请观察下图中的图形，并判断它们是否是关于某一条直线镜面对称的。
小学数学二年级上册《观察物体镜面对称》优质教学设计教案
镜面对称一、教学目标1．使学生初步认识镜面对称现象，了解平面镜成像的一些特点。
2．通过假想、观察、实验等活动理解镜面对称，发现和提出尝试解决问题。
3．在探究、实验中领略镜面对称现象的美妙与和谐，获得“发现”成功的喜悦，激励学生主动探索未知。
二、教学重点初步感知镜面对称现象。
三、教学难点探索镜面对称的性质：上下、前后位置不变,左右位置相反。
四、教学准备每位学生准备一面小镜子。
教师准备一些镜面对称的图片。
学校里有大镜子的组织学生去镜子面前“照一照”，如果没有，教师准备一面大镜子。
五、教学过程（一）创设情境,故事导入，引出水面对称1．讲述“猴子捞月”的故事，引出问题。
——月亮真的掉到水里了吗？猴子为什么捞不到月亮？2．汇报：平静的水面就象镜子一样，猴子捞的是天上月亮的倒影，当然捞不到月亮。
水面这个大镜子真是太奇妙了。
3．同学们，平常你见过这种现象吗？出示第一幅主题图。
让学生说出主题图中的倒影。
4．继续欣赏水面对称图片（说明这些都是对称现象，大小形状一样，是一种上下对称。
）视频：公园岸边景色和湖中倒影形成镜面对称现象5．导入镜面对称师：除了水以外，你还见过能照出人或其他事物的东西吗？（镜子里。
出示第二幅主题图。
映在镜子里的擦桌子的男孩。
）今天我们就来研究和镜面有关的数学知识。
（板书：镜子里的数学）你们想知道镜子里有哪些数学吗？先想一想再提出你最想知道的有关镜子里的数学问题？视频：小朋友在镜子前做运动［以生动的故事引入新课，激发了学生的学习兴趣和求知欲，调动了学生的学习主动性。
学生通过观察生动有趣的情境，并结合平时的认知，初步悟出人在镜子里可以成像，像和人的动作一样。
］（二）镜面对称，探究镜面对称的特征师：刚才我们看到了镜子里的擦桌子的男孩，你们想不想自己到镜子前去做一做动作，照一照自己呢？师：那么，大家一起来观察观察“我们“和”“镜子中的我们”上下、前后、左右的位置，哪些发生了变化，哪些没有变？（学生们投入到做一做、看一看、说一说的探究活动中。
镜面对称与旋转对称
镜面对称与旋转对称镜面对称和旋转对称是几何学中两个重要的概念。
镜面对称是指一个物体可以通过一个镜面进行翻转，而旋转对称是指物体可以围绕一个中心点旋转一定角度后重合。
本文将详细解释并比较镜面对称和旋转对称的特点与应用。
一、镜面对称镜面对称是指在平面中存在一个镜面，使得物体可以经过镜面翻转成与原物体完全一致的形状。
镜面对称在日常生活中随处可见，比如人类的面部特征通常是镜面对称的，很多建筑物也具有此特征。
镜面对称具有以下特点：1. 物体在镜面对称后，左右对称。
即对称轴两侧的物体形状完全相同。
2. 镜面对称物体的每个点与对称轴的连线在镜面上垂直，即对称轴上每个点都是镜面上对称点的垂线。
3. 镜面对称不改变物体的大小和方向。
镜面对称的应用非常广泛，特别是在艺术设计、建筑设计和生物学领域。
在艺术设计中，设计师常常使用镜面对称来创造美感和平衡感。
在建筑设计中，镜面对称的建筑物常常被认为是对称美的代表，给人以稳定和谐的感觉。
在生物学领域，镜面对称性是许多生物体的基本特征，例如昆虫的翅膀和植物的花瓣常常具有镜面对称结构。
二、旋转对称旋转对称是指一个物体可以围绕一个中心点旋转一定角度后，重合于原物体。
旋转对称广泛存在于自然界和人造物品中，例如风车的叶片、螺旋形的贝壳等。
旋转对称具有以下特点：1. 物体可以围绕一个中心点旋转一定角度后重合，这个中心点称为旋转中心。
2. 旋转操作不改变物体的大小和方向。
3. 若一个物体的旋转对称角度为360度，则称该物体具有完全旋转对称性。
旋转对称在科学、工程和设计领域有着广泛的应用。
在科学研究中，旋转对称经常用于描述分子结构和晶体形态。
在工程领域，旋转对称常常被应用于机械设计和传动装置中，例如风力发电机和汽车引擎。
三、镜面对称与旋转对称的联系与区别镜面对称和旋转对称都是对称性的表现形式，二者之间存在一定的联系和区别。
联系：1. 镜面对称和旋转对称都能够描述物体的对称性。
2. 镜面对称和旋转对称都不改变物体的大小和方向。
镜像与对称性学习幼儿园大班数学试题
镜像与对称性学习幼儿园大班数学试题数学是幼儿园教育中非常重要的一环，针对大班幼儿的学习需求，镜像与对称性是一个重要的概念。
通过学习镜像和对称性，幼儿可以培养空间想象力和观察力，提高解决问题的能力。
下面是一些适合大班幼儿学习的数学试题。
一、镜像练习1. 请画出下面各个图形的镜像图形：(1) △ABC(2) ○A(3) □D2. 按照指示画出图形的镜像图形：(1) 在图形的上方画一个镜子，然后画出镜像图形。
(2) 把图形水平翻转，画出镜像图形。
(3) 把图形垂直翻转，画出镜像图形。
3. 请找出下面各个图形的镜像轴：(1) △ABC(2) ○D(3) □E二、对称性练习1. 请判断下面各个图形是否具有对称性：(1) △ABC(2) ○A(3) □D2. 请完成下面各个图形的对称图形：(1) 把图形按照红线折叠，完成对称图形。
(2) 把图形按照绿线折叠，完成对称图形。
3. 请找出下面各个图形的对称轴：(1) △ABC(2) ○D(3) □E三、综合练习1. 请根据提示，完成下面的图形：在△ABC的一条边上，找到一个点D，使得△ABD能够通过镜像得到△ABC。
2. 请完成下面的图形，并画出图形的对称轴：(1) 根据△ABC的三个顶点，画出△ABC的对称图形△A'B'C'。
(2) 根据○O的圆心，画出○O的对称图形○O'。
3. 请根据提示，完成下面的图形并画出镜像图形：(1) 画出一个直角三角形，其中一个直角边在水平方向。
(2) 画出一个矩形，其中一边垂直放置。
通过以上的试题练习，幼儿可以加深对镜像和对称性概念的理解，提高观察和思考问题的能力。
教师在布置题目时，可以根据幼儿的学习进度和实际情况进行调整，逐步引导幼儿发现、理解和应用镜像和对称性。
同时，教师应注意鼓励幼儿主动思考，并及时给予肯定和积极的反馈，激发幼儿的学习兴趣。
总结：镜像与对称性是幼儿园数学教育中重要的概念。
通过对镜像和对称性的学习，幼儿可以培养空间想象力和观察力，提高解决问题的能力。
认识简单的对称性小学数学中的镜面对称
认识简单的对称性小学数学中的镜面对称认识简单的对称性——小学数学中的镜面对称对称是我们日常生活中常见的一种现象，而对称性在数学领域也扮演着重要的角色。
对小学生来说，最容易理解的对称性莫过于镜面对称。
在本文中，我们将探索镜面对称的概念、性质以及在小学数学中的应用。
一、镜面对称的概念镜面对称是指一个平面，能够将一个物体分成两部分，使得这两部分完全重合。
这个平面被称为镜面，而物体的两部分称为镜像。
镜面对称的特点是，被镜面分割的物体的每个点都与其镜像点对应，两点之间的距离与两点到镜面的距离相等。
二、镜面对称的性质1. 镜面对称适用于各种几何形状，包括点、线、面以及立体体形。
2. 镜面对称既可以是水平方向的，也可以是垂直方向的。
3. 镜面对称可以同时存在于一个物体的多个面上。
4. 物体与其镜像具有相同的大小、形状和方向。
三、镜面对称的例子1. 字母和数字：例如字母"A"、"H"、"M"以及数字"2"、"3"都具有镜面对称性。
将它们沿着垂直方向进行折叠，两侧完全重合。
2. 几何形状：例如正方形、长方形、圆形等都可以通过水平或垂直的镜面对称进行折叠，使得两部分重合。
3. 生活中的物体：例如饼干、蝴蝶等生活中常见的物体也具有镜面对称性。
将它们放置在镜子前，镜像与原物体完全一致。
四、镜面对称的应用1. 图形建构：通过对称图形进行折叠，可以帮助学生理解和练习对称性。
老师可以在黑板上画出一个不完整的对称图形，要求学生将其折叠完成，并找出其对称轴。
2. 练习对称的图形：学生可以通过练习工作表，绘制对称的图形。
例如，在一个图形网格上，老师给出部分图形，要求学生将其对称绘制在相应位置。
3. 创作对称图案：鼓励学生利用对称性进行创作，制作出独特的对称图案。
他们可以通过折纸、画画等方式，体验对称创作的乐趣。
五、小结镜面对称是小学数学中重要的概念之一。
镜面对称与练习 教案
镜面对称与练习教学内容:青岛版小学数学三年级下册第22页信息窗1第2课时教学目标：1、让学生初步认识镜面对称现象。
2、通过对平面镜的观察,发现和提出问题。
3、经历照镜子，合作讨论和游戏等活动，加强学生对镜面活动现象的感知。
4、培养学生学习数学的兴趣,感受数学在生活中的应用教学重点：认识镜面对称现象，了解镜面对称的特点。
教学难点：理解镜面对称在镜面成像时所发生的变化。
教学准备：多媒体、每人一面小镜子教学过程：一：创设情境，提出问题同学们请仔细观察下列图片，然后以《聪明的狐狸》为题来讲故事，看谁讲的最好。
[多媒体展示]引导学生以小组为单位，来编一个故事，激发学生的学习兴趣。
二、自主学习，探究交流（一）自学指导为了完成本节课的学习任务，请同学们看自学指导：认真看课本第22页，细心理会图片的意图，思考下列问题：（1）图2中其实有几只老虎？（2）图3中水中的老虎和岸上的老虎举止完全一样吗？（3）镜面对称的特点。
现在开始自主学习，5分钟后，比一比谁最聪明。
（二）交流质疑让我们一起来完成今天的学习任务，都准备好了吗？1、图2中有几只老虎，其实是几只老虎？小组交流讨论，进行回答。
画面中有两只老虎。
其实是一只。
平静的水面就象镜子一样，水中的老虎是岸边老虎的倒影。
观察两只老虎的形状和大小相同吗？（相同）引导归纳：大小形状一样，是对称现象，叫作镜面对称。
2、图3中水中的老虎和岸上的老虎举止完全一样吗？仔细看图并交流（完全一样）提示注意：岸上的老虎身躯的左、右和水中的老虎一样吗？交流讨论获得答案：不一样，正好相反。
3、组织游戏活动——照镜子。
（1）、游戏的要求：两个学生为一组，一人拿镜子，一人照镜子。
照镜子的学生做两个动（身体向前靠、身体向后移）做完之后与另一位学生交换，两人分别把自己看到的情景说一说。
组织学生进行交流：你们看到的情形与他们一样吗？小结：镜子里的前后方向和实际的前后方向是一致的。
（2）、游戏的要求：两个学生为一组，一人拿镜子，一人照镜子。
数学教案之镜面对称
数学教案之镜面对称一、教学目标1. 让学生理解镜面对称的概念，知道镜面对称的性质。
2. 培养学生运用镜面对称解决问题的能力。
3. 培养学生的观察能力、操作能力和空间想象力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：镜面对称的概念、性质及应用。
2. 教学难点：镜面对称的性质的理解和应用。
三、教学准备1. 教学工具：多媒体课件、镜子、图片、卡片等。
2. 学具准备：每个学生准备一面小镜子。
四、教学过程1. 导入新课1.1 教师通过展示一些图片，如蝴蝶、飞机等，引导学生观察这些图片的特点。
1.2 学生发现这些图片都是关于某条直线对称的，教师引导学生这就是镜面对称。
2. 学习镜面对称的概念2.1 教师引导学生拿出自己的小镜子，观察镜子的对称性。
2.2 学生通过观察，发现镜子是关于某条直线对称的。
2.3 教师给出镜面对称的定义：在平面镜中，物体与其像关于镜面是对称的。
3. 学习镜面对称的性质3.1 教师引导学生观察镜面对称的性质，如物体与像的大小相等、物体与像到镜面的距离相等等。
3.2 学生通过观察和操作，发现并总结镜面对称的性质。
4. 应用镜面对称解决问题4.1 教师出示一些有关镜面对称的问题，如找出对称轴、判断两个图形是否关于某条直线对称等。
4.2 学生独立或合作解决问题，培养运用镜面对称解决问题的能力。
五、课堂小结1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结镜面对称的概念、性质及应用。
2. 学生分享自己在解决问题时的感悟和收获。
3. 教师对学生的表现给予肯定和鼓励，并提出改进意见。
六、教学拓展1. 教师引导学生思考：除了平面镜，还有哪些物体或现象具有镜面对称性？2. 学生举例说明，如圆、球面、反射现象等。
3. 教师总结并强调：镜面对称不仅存在于自然界中，也广泛应用于日常生活和工业设计中。
七、课堂练习1. 教师出示一些有关镜面对称的练习题，要求学生在课堂上完成。
2. 学生独立完成练习题，巩固所学知识。
3. 教师对学生的练习结果进行评价和反馈。
晶体的宏观对称操作(3篇)
第1篇一、引言晶体是自然界中普遍存在的物质形态，它们在微观结构上具有高度的有序性。
晶体的这种有序性可以通过宏观对称操作来描述，这些操作能够保持晶体的几何形态和物理性质。
宏观对称操作是晶体学中一个重要的概念，它有助于我们理解晶体的结构特征和性质。
本文将详细探讨晶体的宏观对称操作，包括其定义、分类、性质以及在实际中的应用。
二、定义宏观对称操作是指对晶体进行一系列的几何变换，这些变换能够保持晶体的几何形态和物理性质不变。
这些操作包括旋转、反射、平移和螺旋等。
在晶体学中，这些操作被统称为点群对称操作。
三、分类1. 旋转操作旋转操作是指将晶体绕某一轴线旋转一定角度，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。
旋转操作的轴线称为旋转轴，旋转角度称为旋转角。
根据旋转角的不同，旋转操作可以分为以下几种：（1）一级旋转：旋转角为360°，即整个晶体绕旋转轴旋转一周。
（2）二级旋转：旋转角为180°，即晶体绕旋转轴旋转半周。
（3）三级旋转：旋转角为120°，即晶体绕旋转轴旋转1/3周。
（4）n级旋转：旋转角为360°/n，即晶体绕旋转轴旋转1/n周。
2. 反射操作反射操作是指将晶体相对于某一平面进行镜像变换，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。
这个平面称为反射面。
根据反射面的不同，反射操作可以分为以下几种：（1）镜面反射：反射面为晶体的一个平面。
（2）轴面反射：反射面为晶体的一个轴面。
（3）体对角面反射：反射面为晶体的一个体对角面。
3. 平移操作平移操作是指将晶体沿某一方向进行平行移动，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。
平移操作可以看作是无限多个平移操作叠加的结果。
4. 螺旋操作螺旋操作是指将晶体绕某一轴线旋转一定角度，同时沿轴线方向进行平行移动，使晶体的几何形态和物理性质保持不变。
螺旋操作的轴线称为螺旋轴，旋转角称为螺旋角。
四、性质1. 对称性晶体的宏观对称操作具有以下性质：（1）自反性：晶体经过对称操作后，其几何形态和物理性质与原始状态相同。
镜面对称 小学数学 习题集
一、选择题
1. 一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，则该车车牌的号码是（）．A．MT7936 B．WT6397 C．WT7936
2. 从镜子中看图形是下面的图( )．
A．B．C．
3. 一个图形从镜子中看到的样子如下图,这个图形本身是( )。
B．C．
A．
4. 把镜子放在图片的右侧，镜子中出现的图像为（）。
A．B．
5. 小花从镜子看身后墙上的钟，你认为时间最接近8时的是（）。
A．B．C．D．
二、填空题
6. 如图的钟面是从镜子里看到的，实际钟面上的时刻是_____．
7. 星期天，龙龙在家写一篇作文。
开始时，他从镜子里看了一下钟，写完后又从镜子里看了一下钟，如下图所示，你知道龙龙写这篇作文用了多长时间吗？
________小时________分钟
8. 在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是_____．
9. 看镜子说时间。
下图是镜子里看到的图像，说法对的打“√”，说法错的打“×”。
(1)现在是3时。
( )
(2)现在是9时。
( )
10. 如果在平面镜中看到钟表上时刻为，那么实际上现在是( )。
三、解答题
11. 根据对称图写时间．
12. 从镜子中看到一串数字是，这串数字实际是多少？
13. 看镜子中的像写时间。
14. 分别把在镜子里看到的左图圈出来．。
一年级数学镜像题
一年级数学镜像题镜像是数学中一个重要的概念，在一年级数学中，镜像题是培养学生空间想象力和观察力的一种常见练习题型。
本文将通过解析一年级数学中的镜像题，帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
一、什么是镜像？镜像是指一个物体通过某个平面反射后所得到的对称图形。
我们可以想象一面镜子将物体的形状反射到镜子的另一侧，得到的图像就是物体的镜像。
二、镜像的特点1. 镜像和原图形在平面上的位置是对称的，即它们相对于镜面的位置是完全相同的。
2. 镜像和原图形的形状是完全相同的，只是方向相反。
3. 镜像和原图形的每一对对应点都在镜面上的同一垂直线上。
三、镜像题的解题思路解决镜像题的关键是要学会观察和想象，以下是一些常见的解题思路：1. 观察镜像的位置：镜像的位置与原图形的位置是对称的，所以可以通过观察镜像的位置，来确定原图形的位置。
例如，如果一个图形在镜子的左侧，那么它的镜像就会在镜子的右侧。
2. 想象镜像的形状：镜像和原图形的形状是完全相同的，只是方向相反。
所以可以通过想象镜像的形状，来确定原图形的形状。
例如，一个图形是正方形，那么它的镜像也是正方形，只是方向相反。
3. 寻找镜像的对称关系：镜像和原图形的每一对对应点都在镜面上的同一垂直线上。
所以可以通过寻找镜像的对称关系，来确定原图形的对称关系。
例如，如果一个图形的左上角在镜面上的某个点，那么它的镜像的右上角就会在镜面上的同一垂直线上的点。
四、实例分析以下是一个具体的镜像题的解题过程：题目：将图形A沿镜子的镜面线作镜像，得到图形B，求图形B的形状。
解题步骤：1. 观察镜像的位置：假设镜子的镜面线在图形A的右侧，那么图形B的镜像就会在镜子的左侧。
2. 想象镜像的形状：根据题目描述，图形A的形状不确定，但可以确定的是，图形B的形状与图形A的形状完全相同，只是方向相反。
3. 寻找镜像的对称关系：由于题目没有给出具体图形，所以我们无法确定对称关系。
但可以确定的是，图形B的每一对对应点都在镜面上的同一垂直线上。
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镜面对称与练习
教学内容：青岛版小学数学三年级下册22页自主练习第5题及相关练习。
教学目标
1.通过照镜子实践活动，能初步认识镜面对称的现象。
2.通过动手操作、合作讨论和游戏等活动，加强对镜面对称现象特征的感知。
3.激发对镜面对称现象进行探究的好奇心，激励利用生活经验主动地探索数学知识。
教学重难点
教学重点：通过照镜子实践活动，能初步认识镜面对称的现象。
教学难点：理解镜面对称在镜面成像时所发生的变化。
教具、学具
教师准备：课件、镜子
学生准备：常规学具、镜子
教学过程：
一、创设情境，导入新课。
1.谈话导入
教师导语：同学们，今天我们先来个讲故事比赛吧！老师带来了一副图片，看谁能根据这幅图片讲一个故事。
（课件出示图片）
学生观察图片，独立思考并组织语言。
教师请1-2名同学根据图片讲故事。
教师请同学们对故事进行评价
2.引出课题
教师提问：故事里的老虎被谁吃掉了？为什么？
预设学生回答：被河里自己的倒影吃掉了。
因为水中的倒影和老虎一模一样，老虎把自己的倒影看成了另一只厉害的老虎。
教师提问：从图片中，你还看到了谁的倒影？你有什么发现？
预设学生回答：还有狐狸的倒影，和树丛的倒影。
我发现它们的倒影和它们都一模一样。
教师提问：在生活中有没有这种现象发生？是什么？
预设学生回答：照镜子。
我和镜子中的我一样。
教师总结：岸上的景物和水面上的倒影一模一样，镜子外和镜子里的景物一模一样，像这样的现象也是一种对称现象，称为镜面对称（板书课题：镜面对称）。
今天就让我们一起走进镜子中的数学吧！
我们就来研究和镜面有关的数学知识。
【设计意图：以生动的动画故事引入新课，激发了学生的学习兴趣和求知欲，调动了学生的学习主动性。
学生通过观察生动有趣的情境，并结合平时的认知，初步悟出人在镜子里、水面可以成像，像和人的样子一样】
二、自主学习，小组探究
1.提出问题，明确目标。
教师引导：我们每天都要照镜子，可是镜子里的我们的影子和我们到底有什么特点呢？接下来，就请大家好好观察，并把你观察的结论记录下来，然后把你的发现在小组里交流一下。
好，开始吧！
2.独立思考，合作探究。
学生自由活动，观察现象，并记录结论。
教师组织学生小组内汇报交流。
教师巡视指导，可以指导学生在照镜子时做一些简单动作，如举手、前进、后退、左移、右移等等，并对比动作有什么特点。
【设计意图：放手让学生观察，交流，让学生体会从感知到结论的探索过程】
三、汇报交流，评价质疑
1.小组汇报
教师提问：请各个小组把你们观察的结论汇报一下。
预设学生回答：
（1）镜子外物体和镜子中影子的大小一样
（2）镜子外物体和镜子中影子上下一样
（3）镜子外物体和镜子中影子前后一样
（4）镜子外物体和镜子中影子左右相反
建议：教师此时对得出正确的结论都给予肯定。
2.验证演示
教师引导：刚才各个小组都汇报了你们得出的结论，我们就一起来演示下这些结论是否正确。
教师可根据镜子的大小选择一到两名同学做模特按照口令做动作，其他同学观察。
（1）操作活动一：“照镜子，做前后动作”。
口令：向前走2步；向后退2步
引导学生通过观察与操作，发现人与镜像前后移动的同向性，既模特向前或向后走几步，镜子里的模特也向前或向后走几步。
（教师板书：前后不变）。
（2）操作活动二：“照镜子，做上下动作”。
口令：举起双手；放下双手
引导学生通过观察与操作活动，发现人与镜像下移动的同向性，既模特举起双手，镜子里的模特也举起双手；模特放下双手，镜子里的男孩也模特双手。
（教师板书：上下不变）
（3）操作活动三：“照镜子，做左右动作”。
（难点）
口令：伸出左手；右手拿数学书
引导学生通过猜想、观察与操作活动，发现人与镜面左右移动的逆向性。
既模特伸出左手，镜子里的模特却伸出右手；模特右手拿着一本数学书，镜子里的模特变左手拿着一本数学书。
（教师板书：左右相反）
引导学生观察数学书上的“数学”二字，使学生发现镜子里的“数学”两字左右两边的笔画是倒过来写的。
建议：为加深体验镜面对称的左右相反的性质。
可集体照自己的镜子多做几次动作，如：盖住左眼，手摸右耳朵……
【设计意图：让学生亲身体验到照镜子时，镜子内外的人上下、前后的位置不会发生改变，而左右位置发生对换，直观感知镜面对称的性质，使疑问得到解决，较好地突破了本节课的难点，并使学生更深刻地领会数学与现实之间的联系，感受到数学源于生活的道理。
】
四、抽象概括，总结提升
1.镜面对称的特点
教师引导学生总结：照镜子时，镜子外的物体和镜子内的成像前后、上下不变，但是左右相反发生变化，这就是镜面对称现象的特点。
2.镜面对称与轴对称的区别
教师提问：你认为镜面对称和上节课学习的轴对称有什么区别?
预设学生回答：镜面对称是关于一个面对称，而轴对称是关于一条线对称 建议：学生能用自己的语言表达出即可。
3.欣赏生活中的镜面对称
课件播放生活中镜面对称现象的图片，体会大自然中水中倒影的美丽，以及镜面对称在生活中的广泛作用。
【设计意图：总结镜面对称的特点，并区别与轴对称。
并让学生体会对称的美丽，已经镜面对称在生活中的广泛作用】
五、巩固应用，拓展提高
1.基础练习，巩固新知
“镜面对称操” (1) 镜面对称”课中操。
教师做镜外人动作，学生做镜中人动作。
在音乐伴奏下师生一起边表演边对口令：师：我蹲下。
生：我们也蹲下。
师：我起立。
生：我们也起立。
师：我向前走。
生：我们也向前走。
师：我向后退。
生：我们也向后退。
师：我左手摸摸耳。
生：我们右手摸摸耳。
师：我右手拍拍脸。
生：我们左手拍拍脸。
师：我抬左脚踢踢腿。
生：我们抬右脚踢踢腿。
师：我
抬右脚踢踢腿。
生：我们抬左脚踢踢腿。
师：我的左手侧平举。
生：我们右手侧平举
分析：主要考查学生镜面对称现象的判断。
(2) 课件出示题目
分析：此题主要考察学生对于镜面对称中左右变化特征的掌握。
建议：学生自主思考，并汇报交流。
教师要让学生说出选择的原因。
2.综合练习，应用新知。
分析：本题考察镜面对称特点的掌握
建议：练习时，应引导学生先自主判断再汇报交流，在交流过程中说出镜面对称的特点。
3.拓展练习，发展新知。
分析：本题考察镜面对称现象的意义及镜面对称在生活中作用
建议：学生自主思考，并用小镜子操作图片
【设计意图：把学生喜欢做的游戏和课堂教学结合起来，让学生体会到学习
的乐趣。
在游戏中引发学生对认知的矛盾冲突，进而使学生产生了解决问题的求知欲，激发了学生主动地探索的欲望。
】
4.小结。
回顾学习的内容
教师引导
（1）通过今天的学习，你收获了什么？（镜面对称）
镜面对称在生活中有很大的作用，我们也可以利用镜面对称认识我们的样子，今后就让镜面对称在学习中帮助我们纠正坐姿、站姿、写字姿势吧。
（2）通过这个单元的学习你都认识了哪些对称现象？它们有什么特点？
课件出示
区别特点
轴对称关于一个轴（对称轴）对称对折后完全重合
镜面对称关于一个面对称前后、上下不变，左右相反
（3）表扬先进，鼓励后进，布置《数学新课堂同步学习与探究》作业。
板书设计：
镜面对称与练习
镜面对称特点：上下不变
前后不变
左右相反
使用说明：
1.教学反思：回味课堂我感觉亮点之处有：
（1）玩中学。
在新课程的理念下，倡导学生从身边，从生活中提炼数学知识，并将数学知识有效地运用于生活中去，让数学不在是纸上的数学题，更多地成为生活中的数学，真正做到学以致用，提高学生学习的兴趣，让学习数学变得生动起来。
这节课也根据教学要求设计相关的游戏，让学生在玩中体验了镜面对称所
蕴含的知识。
（2）教学发挥学生的主体作用。
通过数学活动让学生质疑，激发学生学习数学的兴趣和探索新知的主动性，并引导学生探索、验证。
培养学生良好的思维习惯及探索意识。
（3）体会数学在生活中的作用。
镜面对称是和生活息息相关的，所以这节课的教学设计联系生活，让学生走进生活，体会数学来源于生活，从而让学生体验到学习数学的快乐。
2.使用建议。
（1）课前师生要做好镜子的教具、学具准备。
（2）教学过程可通过故事中湖面倒影和照镜子的情境开始引导学生了解镜面对称现象，让学生感受到这类现象在日常生活中是非常多见的，以此让学生体会数学与生活的密切联系。
再通过几个“照镜子”的练习探究，从而感受镜面对称的特点，发展学生的空间观念。
（3）在实际教学中，让要学生多说、多动、多做。
在操作活动中体会。
3.需要破解的问题。
虽然本节课只要求对镜面对称有初步认识，但为了加深巩固认识，课本、新课堂里应出一些镜面对称的相关习题。
相关链接：练习题见《数学新课堂同步学习与探究》。