自动控制第四章 根轨迹法 复习资料

第四章 根轨迹法一、填空选择题（每题2分）1、根轨迹起于开环 点，终于开环 点。

2、根轨迹对称于s 平面 轴。

3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 在s 平面上运动后形成的轨迹。

4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1)2()(++=s s K s G ，若此时闭环极点为－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 。

5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 平面，则系统一定稳定。

6、系统的开环传函为G(s)H(s)=)4(3+s s K，则实轴上的根轨迹范围是（ ）。

A.[-∞, -4] B.[-4, 0] C.[0, 4] D.[4, ∞]根轨迹填空题答案1、根轨迹起于开环 极 点，终于开环 零 点。

2、根轨迹对称于s 平面的 实 轴。

3、控制系统的根轨迹是指系统中某一或某些参数变化时，系统的 特征方程的根 或 系统闭环极点 在s 平面上运动后形成的轨迹。

4、假设某一单位负反馈控制系统的开环传递函数为1)2()(++=s s K s G ，若此时系统的闭环极点为－1.5时，试问此时对应的开环放大系数是 1 。

5、如果闭环系统的极点全部分布在s 平面的 左半 平面，则系统一定稳定。

6、B二、综合计算题及参考答案a1、（8分）设系统结构图与开环零、极点分布图如下图所示，试绘制其概略根轨迹。

解：8’(按规则分解)a2、（12分）已知某系统开环零、极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。

cbad解：每项三分cbadb1、（10分）单位负反馈控制系统的开环传递函数为15.0)15.0()(2+++=s s s K s G 试绘制闭环系统的根轨迹。

并求分离点或会合点。

解：G(s)的零、极点标准形式为)1)(1()2()(j s j s s K s G -++++=因此该系统的开环零点为（－2，0）、开环极点为（－1，j ±），因此该系统有两条根轨迹分支，并且起于两个开环极点，终于开环零点（－2，0）和无限零点。

它们在实轴上有一个会合点d ，系统的特征方程如下： 0)(1=+s G所以有，2222+++-=s s s K ，于是由0=dsdK可解得：d ＝－3.414, d ＝－0.586，显然应取d ＝－3.414。

4’因此其根轨迹如下图所示：6’b2、（10分）设一单位负反馈控制系统的开环传递函数如下)12()1()(++=s s s K s G试概略绘制出相应闭环根轨迹图（要求确定分离点或汇合点的坐标）。

解：该系统的特征方程为0)12()1(1)(1=+++=+s s s K s G ，故有1)12(++-=s s s K ，由0=dsdK可以解得分离点的坐标为（-1.707,0）（分离点）和（-0.293,0）（汇合点），根轨迹如下所示 4’6’b3、（12分）（1）（6分）设某单位负反馈系统的开环传递函数为)2)(1()(++=s s s Ks G问其根轨迹有无分离点，若有，试求出该分离点的坐标。

若无，说明理由。

（2）（6分）设系统的特征方程为0)4)(1(1=+++s s s K求系统根轨迹与虚轴的交点，以及系统的稳定临界开环增益。

解:（1）解：该系统的特征方程为 0)2)(1(1)(1=+++=+s s s Ks G即， )2)(1(++-=s s s K 3’ 由此可以求方程0)263(2=++-=s s dsdK的根，其根为577.1,423.02,1--=s因为分离点必定位于0和－1之间，因此该系统的分离点为423.0-=s 。

3’ (2)解：用ωj s =代入系统的特征方程，得0)4)(1(=+++K j j j ωωω 2’对上式虚部和实部分别求解，可得052=-ωK043=-ωω 2’由此可得，2±=ω20=K 2’ 故，系统根轨迹与虚轴的交点为ωj ±，系统的临界开环增益20=K 。

B4、（12分）已知系统的开环传递函数为3)1()()(+=s Ks H s G τ 要求绘制系统的根轨迹，并求其稳定临界状态的开环增益。

解：系统的零、极点标准形式为31)1()()(τ+=s K s H s G ，其中13K K τ= 2’ 该系统有3重开环极点τ13,2,1-=s ，无开环零点。

根轨迹有三条分支，01=K 时从开环极点出发，∞→1K 时沿着渐近线趋向∞处。

渐近线的相角为)2,1,0(180,603)12(180=±=+±=q q a ϕ渐近线与实轴的交点ττσ1313=-=a实轴上的根轨迹存在于τ1-至∞-的线段上。

2’根轨迹的分离点可以根据系统的特征方程0)1(131=++τs K 求得，由0)1(321=+-=τs ds dK 可求得分离点为τ1。

2’ 系统的根轨迹如下图所示，根据根轨迹图可以得到系统根轨迹与虚轴的交点为ττω3)60(10j tg j j =⨯=代入特征方程并取模可得331813τττ=+=jK因此，系统的稳定开环增益813==K K τ 4’2’b5、（12分）设控制系统的开环传递函数为)22)(3()2(3)()(2++++=s s s s s K s H s G试绘制系统的根轨迹。

解：（1）系统的开环极点为0，－3，(－1＋j )和(－1－j ),它们是根轨迹上各分支的起点。

共有四条根轨迹分支。

有一条根轨迹分支终止在有限开环零点－2，其它三条根轨迹分支将趋向于无穷远处。

2’ （2）确定根轨迹的渐近线 渐近线的倾斜角为3180)12()12(-︒⨯+=-+=K m n K a πϕ 取式中的K =0，1，2，得φa =π/3，π，5π/3，或±60°及－180°。

2’三条渐近线如图4-14中的虚线所示。

渐近线与实轴的交点为114)2()1130(111-=-----+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∑==j j z p m n m i i nj j a σ 2’ （3）实轴上的根轨迹位于原点与零点－2之间以及极点－3的左边，如图中的粗线所示。

从复数极点(－1±j ) 出发的两条根轨迹分支沿±60°渐近线趋向无穷远处。

1’（4）在实轴上无根轨迹的分离点。

（5）确定根轨迹与虚轴的交点 1’ 系统的特征方程式为0)2(3)22)(3(2=+++++s K s s s s即06)36(85234=+++++K s K s s s劳斯行列表 4s1 8 K 63s 5 K 36+2s5)36(40K +- K 61s KKK 33415036--+ 0s6若阵列中的s 1行等于零，即（6+3K ）－150K/（34-3K ）=0，系统临界稳定。

解之可得K =2.34。

相应于K =2.34的频率由辅助方程[]034.230)34.236(402=⨯+⨯+-s确定。

解之得根轨迹与虚轴的交点为s =±j 1.614。

根轨迹与虚轴交点处的频率为ω=1.614。

（6）确定根轨迹的出射角根据绘制根轨迹的基本法则，自复数极点p 1=（－1＋j ）出发的根轨迹的出射角为j)(p )(p p )(p )k (θ-+∠-+∠-∠-+∠++=132121801111将测得的各向量相角的数值代入并取k =0，则得到︒-=6.26θ 2’2’系统的根轨迹如图所示。

B6、（12分）设控制系统的结构图如下图所示试证明系统虚数根轨迹部分是一个圆。

并求系统的最小阻尼比。

S 平面ωj σ-1-2-3-40 j 1j 2j 3-j 3135° 45° 90°26.6° R (s )C (s ))2()3(++s s s K解：系统的开环极点为0和－2，开环零点为－3。

由根轨迹的幅角条件π)12()()(11+=+∠-+∠∑∑==K ps n z s mi j ji得π)12()2()3(+=+∠-∠-+∠k s s s 3’s 为复数。

将ωσj s +=代入上式，则有πωσωσωσ)12()2()()3(+=++∠-+∠-++∠K j j j即2tan 180tan 3tan 111++︒=-+---σωσωσω 2’ 取上述方程两端的正切，并利用下列关系yx yx y x tan tan 1tan tan )tan( ±=±有211)3(3313tan 3tan tan ωσσωσωσωσωσωσωσω++-=-++-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2201202tan 180tan 1+=+⨯-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++︒-σωσωσωσω2)3(32+=++-σωωσσω即222)3()3(=++ωσ这是一个圆的方程，圆心位于（－3，j 0）处，而半径等于3（注意，圆心位于开环传递函数的零点上）。

证毕。

（或从闭环特征方程入手，将ωσj s +=代入也可） 4’由坐标原点作圆的切线，此切线与负实轴夹角的余弦就是系统的最小阻尼比。

ζ=cos θ=6/3 3’ 2’ B7、（12分）已知系统固有开环传递函数G(s)H(s)=)1(+s s K(1) 绘出固有系统的根轨迹，并分析系统的稳定性。

（2）若固有系统增加一个P 3= -3的开环极点，绘出根轨迹，并分析其稳定性。

解：（1）极点为0，-1，实轴轨迹[-1，0]渐近线n-m=2条，倾角为900，1800。

分离点：dk/ds=0, s=-0.54’ 由图可知，k>0,系统总是稳定的 2’ (2) 增加一个P 3= -3，则 G(s)H(s)=)3)(1(++s s s K渐近线n-m=3条，33.134-=-=a σ 倾角πππϕ,33)12(±=+=K a ， 分离点：dk/ds=0, s1=-0.45，s2= -2.2（舍去），如图。

3’稳定性：特征方程 s(s+1)(s+2)+k=0，将ωj s =代入有：（-ω3+3ω）j+k-4ω2=0因此：-ω3+3ω=0 k-4ω2=0得ω=±3 ， k =12当0<K<12时，系统稳定。

3’c1、（12分）已知控制系统的开环传递函数为)164)(1()1()()(2++-+=s s s s s K s H s G 试绘制系统的根轨迹,并确定系统稳定时K 值的范围。

解 （1） 系统的开环极点为0，1和－2±j 3.46,开环零点为－1。

1’（2） 确定根轨迹的渐近线渐渐线的倾斜角为 14180)12()12(-︒⨯+=-+=K m n K a πϕ 取式中的K =0，1，2，得φa =π/3，π，5π/3。

渐进线与实轴的交点为323)1()46.3246.3210(111-=----+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∑∑==j j z p m n m i i n j j a σ 2’ （3） 实轴上的根轨迹位于1和0之间以及－1与－∞之间。