完全市场中的资产定价--有限离散时间情形

完全市场中的资产定价--有限离散时间情形

韩琦;包守鸿;胡永云

【摘要】In this paper, we discussed asset pricing of single period model and multi-period model based on the complete market and limited discrete time situations. First, we gave the concept of the risk-free return and defined risk neutral probability by the concept of risk-free return. Based on risk neutral probability, we got the formula of asset rice. Second, by means of the risk neutral probability, we discussed multiphase asset pricing model, and got the stock pricing equation, particularly we got the European call option equation and discount price of asset price is a martingale about risk neutral proba-bility.% 研究完全市场中有限离散时间情形下的资产定价问题。首先，给出了无风险收益的概念，借助无风险收益定义了一种风险中性概率。基于这个概率，得到了资产的价格等于随机现金流与随机贴现因子乘积的期望，而且资产的价格还等于资产支付关于 q 的期望对无风险收益的贴现值。其次，借助无风险概率考虑了资产在多期情形下的资产定价，得出了相应的股票期权公式，尤其作为推论给出了欧式看涨期权的定价公式，并对资产价格过程的鞅性作了讨论

【期刊名称】《金融理论与实践》

【年(卷),期】2012(000)009

【总页数】5页(P6-10)

【关键词】状态价格;无风险利率;风险中性概率;鞅;无套利;贴现

【作者】韩琦;包守鸿;胡永云

【作者单位】西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州730070;西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州730070;西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州730070【正文语种】中文

【中图分类】F830.9

金融资产的定价问题是现代金融理论的一个基本问题，以金融资产为标的资产的期权，是主要的金融衍生品，它是金融工程的主要工具，也是构成其他金融衍生产品的基础。Stephen Ross(斯蒂芬∙罗斯)曾经说，期权定价理论不仅在金融领域，甚至在整个经济学领域中都是最成功的理论[1-2]。自1973年以来布莱特和斯科尔斯提出一个比较准确的期权定价模型之后，期权定价理论在金融领域中的应用越来越广泛，正如布莱特和斯科尔斯所提及的，几乎所有的公司负债都可看成期权或期权的复合。事实上，期权定价理论的应用范围比这还要广泛[3]。因此，学习并理解期权定价理论是十分重要的，而理解期权定价理论的重点在于掌握期权定价的思想及其论证过程。期权定价公式的论证方法较多，每一种方法都包含了一种定价的思想，研究这些方法有助于开阔视野及深入理解期权定价理论。

关于期权等资产的定价问题，传统的研究方法大都基于深奥晦涩的数学工具，不容易理解和操作。本文通过简单的离散模型，构造出一种新的风险中性概率，借助这种风险中性概率讨论了单期和多期情形下的资产的定价问题。特别地，给出了完全市场中有限离散情形下的欧式看涨期权定价公式，为分析和研究资产定价理论提供了一个简单的新视角。

定义1.1[2]：

假设投资者自由交易n种不同资产，而且期末自然状态的数量是有限的，自然状

态s的概率用λs表示。Zsi表示单位资产i在s状态下的现金支付。不妨设存在k 种状态和n种资产，则：

i=1，2，…，n表示单位资产i的现金支付。从而，所有资产的单股现金流可以表示为：

这是一个k×n维偿付矩阵。

若k=n，则矩阵Z为方阵，进一步假设Z满秩，称这样的市场是完全的，此时n 种资产横跨k种状态。

若k

注：当k>n时，即资产数量超过自然状态数量时，此时某些资产在状态k时的现金支付可以用其他资产在此状态下的现金支付的线性组合来表示，称这些资产为冗余资产。若存在冗余资产，可以通过将它们编入k个独立资产（组合）的方式将资产数量将为k。

命题1.1：

在完全市场假设条件下（k≤n）,可以通过购买k个线性独立的资产使每种自然状态下的期末财富达到理想财富的水平。

证明：设

表示各种状态下的理想财富水平，它是一个k×1矩阵，其中Ws，s=1，2，…，k 表示自然状态s下的理想财富水平。

用N表示购买资产的份额向量，从而

由于只考虑k种独立资产（线性无关），此时Z为一个k×k矩阵，N为一个k×1矩阵，则Z的秩为k，从而为非奇异的，所以存在逆矩阵，使得：

显然这样的N是唯一存在的，所以只要投资者的初始财富足以购买份额为N的k 种资产，就可以获得期末k种状态下的任意理想财富水平W。

推论：若令：

为最初（期初）k项独立资产的单位价格，那么要获得期末理想（目标）财富水平，只要具有P*N的最初财富。

定义1.2[1-2]：

在完全市场的条件下，无套利就意味着新的（冗余）资产的价格，可以由期初的k 种资产价格来确定。

比如，假设存在某种新资产，其最终理想财富为W，在无套利的情况下，其价格

等于P*N。

若该资产的价格高于P*N，投资者可以通过卖出该项资产并买入份额为N的最初

k项资产，从而实现了套利，套利金额等于新资产价格与P*N的差额。

若该资产的价格低于P*N，投资者可以通过买入该项资产并卖出份额为N的最初

k项资产，同样实现了套利。

定义1.3[3]：

设某种证券在状态s下得支付为1，在其他状态下得支付为0，称这样的证券为基础证券（或Arrow-Debreu证券）。

基础证券s的支付向量不妨表示为：

显然它是k×1矩阵。

若用ps表示基础证券s的最初价格，那么要在状态s下得到数量为1的支付，在最初要准备数量为ps的金额，称ps为基础状态价格。

命题1.2：

基础证券价格可以用最初k种独立资产价格和偿付来表示：

推论：

在完全市场假设条件下，存在唯一的基础状态价格。

注：可以认为总有ps>0,s=1，2，…，k。事实上，对于追求最大利益的投资者而