完全市场中的资产定价--有限离散时间情形

完全市场中的资产定价--有限离散时间情形
韩琦;包守鸿;胡永云
【摘要】In this paper, we discussed asset pricing of single period model and multi-period model based on the complete market and limited discrete time situations. First, we gave the concept of the risk-free return and defined risk neutral probability by the concept of risk-free return. Based on risk neutral probability, we got the formula of asset rice. Second, by means of the risk neutral probability, we discussed multiphase asset pricing model, and got the stock pricing equation, particularly we got the European call option equation and discount price of asset price is a martingale about risk neutral proba-bility.% 研究完全市场中有限离散时间情形下的资产定价问题。

首先，给出了无风险收益的概念，借助无风险收益定义了一种风险中性概率。

基于这个概率，得到了资产的价格等于随机现金流与随机贴现因子乘积的期望，而且资产的价格还等于资产支付关于 q 的期望对无风险收益的贴现值。

其次，借助无风险概率考虑了资产在多期情形下的资产定价，得出了相应的股票期权公式，尤其作为推论给出了欧式看涨期权的定价公式，并对资产价格过程的鞅性作了讨论
【期刊名称】《金融理论与实践》
【年(卷),期】2012(000)009
【总页数】5页(P6-10)
【关键词】状态价格;无风险利率;风险中性概率;鞅;无套利;贴现
【作者】韩琦;包守鸿;胡永云
【作者单位】西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州730070;西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州730070;西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州730070【正文语种】中文
【中图分类】F830.9
金融资产的定价问题是现代金融理论的一个基本问题，以金融资产为标的资产的期权，是主要的金融衍生品，它是金融工程的主要工具，也是构成其他金融衍生产品的基础。

Stephen Ross(斯蒂芬∙罗斯)曾经说，期权定价理论不仅在金融领域，甚至在整个经济学领域中都是最成功的理论[1-2]。

自1973年以来布莱特和斯科尔斯提出一个比较准确的期权定价模型之后，期权定价理论在金融领域中的应用越来越广泛，正如布莱特和斯科尔斯所提及的，几乎所有的公司负债都可看成期权或期权的复合。

事实上，期权定价理论的应用范围比这还要广泛[3]。

因此，学习并理解期权定价理论是十分重要的，而理解期权定价理论的重点在于掌握期权定价的思想及其论证过程。

期权定价公式的论证方法较多，每一种方法都包含了一种定价的思想，研究这些方法有助于开阔视野及深入理解期权定价理论。

关于期权等资产的定价问题，传统的研究方法大都基于深奥晦涩的数学工具，不容易理解和操作。

本文通过简单的离散模型，构造出一种新的风险中性概率，借助这种风险中性概率讨论了单期和多期情形下的资产的定价问题。

特别地，给出了完全市场中有限离散情形下的欧式看涨期权定价公式，为分析和研究资产定价理论提供了一个简单的新视角。

定义1.1[2]：
假设投资者自由交易n种不同资产，而且期末自然状态的数量是有限的，自然状
态s的概率用λs表示。

Zsi表示单位资产i在s状态下的现金支付。

不妨设存在k 种状态和n种资产，则：
i=1，2，…，n表示单位资产i的现金支付。

从而，所有资产的单股现金流可以表示为：
这是一个k×n维偿付矩阵。

若k=n，则矩阵Z为方阵，进一步假设Z满秩，称这样的市场是完全的，此时n 种资产横跨k种状态。

若k<n，且偿付矩阵Z的秩为k，称这样的市场也是完全的，此时意味着存在唯一的或有状态价格。

注：当k>n时，即资产数量超过自然状态数量时，此时某些资产在状态k时的现金支付可以用其他资产在此状态下的现金支付的线性组合来表示，称这些资产为冗余资产。

若存在冗余资产，可以通过将它们编入k个独立资产（组合）的方式将资产数量将为k。

命题1.1：
在完全市场假设条件下（k≤n）,可以通过购买k个线性独立的资产使每种自然状态下的期末财富达到理想财富的水平。

证明：设
表示各种状态下的理想财富水平，它是一个k×1矩阵，其中Ws，s=1，2，…，k 表示自然状态s下的理想财富水平。

用N表示购买资产的份额向量，从而
由于只考虑k种独立资产（线性无关），此时Z为一个k×k矩阵，N为一个k×1矩阵，则Z的秩为k，从而为非奇异的，所以存在逆矩阵，使得：
显然这样的N是唯一存在的，所以只要投资者的初始财富足以购买份额为N的k 种资产，就可以获得期末k种状态下的任意理想财富水平W。

推论：若令：
为最初（期初）k项独立资产的单位价格，那么要获得期末理想（目标）财富水平，只要具有P*N的最初财富。

定义1.2[1-2]：
在完全市场的条件下，无套利就意味着新的（冗余）资产的价格，可以由期初的k 种资产价格来确定。

比如，假设存在某种新资产，其最终理想财富为W，在无套利的情况下，其价格
等于P*N。

若该资产的价格高于P*N，投资者可以通过卖出该项资产并买入份额为N的最初
k项资产，从而实现了套利，套利金额等于新资产价格与P*N的差额。

若该资产的价格低于P*N，投资者可以通过买入该项资产并卖出份额为N的最初
k项资产，同样实现了套利。

定义1.3[3]：
设某种证券在状态s下得支付为1，在其他状态下得支付为0，称这样的证券为基础证券（或Arrow-Debreu证券）。

基础证券s的支付向量不妨表示为：
显然它是k×1矩阵。

若用ps表示基础证券s的最初价格，那么要在状态s下得到数量为1的支付，在最初要准备数量为ps的金额，称ps为基础状态价格。

命题1.2：
基础证券价格可以用最初k种独立资产价格和偿付来表示：
推论：
在完全市场假设条件下，存在唯一的基础状态价格。

注：可以认为总有ps>0,s=1，2，…，k。

事实上，对于追求最大利益的投资者而
言，他们在任何状态下获得的单位财富都应该大于0（换言之，对于所有的期末财富水平而言，投资者的边际效用都大于0）。

定义1.4[2]：
所有状态下的状态价格之和的倒数称为无风险收益，记作Rf即：
假设有某种资产A,其在状态s下的现金支付为ZsA。

在无套利条件下，资产价格PA必满足：
若令，即基础证券价格的状态价格与状态概率的商，称m=(ms)，s=1，2，…，k 为随机贴现因子。

则有ms>0，而且有：
其中ZA称为资产A的随机现金流。

由上面的推导可得下面的命题：
命题1.3：
资产A的价格等于随机现金流与随机贴现因子乘积的期望。

注：由随机贴现因子的定义，可以认为它是经过状态概率调整后的基础证券的价格。

推论1：
在完全市场条件下，存在唯一的正的随机贴现因子。

推论2：
随机状态s的概率的增加或该状态随机贴现因子的增大，在状态s下进行1单位
支付的基础证券的价格也随着增大，即状态价格随机增大。

证明：由于，可得到p=mλ，从而可直sss接得出结论。

注：从经济学角度讲，当消费水平较低时，状态价格则较高，此时的低消费状态反映了经济陷入衰退期。

若令 qs=psRf，则有：
而且，又qs>0，故可以把qs视为一种概率。

由（1.2）式可得
于是，可得到如下命题：
命题1.4：
资产A的价格等于资产支付关于q的期望关于无风险收益的贴现值。

注：若将Eq[ZA]看做资产支付ZA的期望，那么资产价格就是资产支付关于无风险收益的贴现，在这个意义下，也可以认为q为一种风险中性概率。

相应地，Eq[∙]称为风险中性期望算子。

风险中性概率是一种包含了风险溢价的非反映真实的概率，但正是它跟无风险收益的紧密关系，使得风险资产的价格更容易刻画，已成为现在金融领域研究资产定价的最有效工具。

从经济学的角度，若把随机贴现因子解释为边际替代率，可以看出，在消费边际效用较高（或消费水平较低）时的经济形势较“差”,而此时qs>λs，这表明了风险中性概率赋予“差”的状态更高的概率权重，而赋予“好”的自然状态较低的概率权重。

其实状态价格ps，s=1，2，…，k还有满足如下结论：
引理1[4]：
设Z为偿付矩阵，V为资产价格向量，在市场无套利的情况下，当且仅当存在一个严格正的状态价格向量P,满足：
V=Z*P
其中Z*表示Z的转置。

这个结论就是著名的无套利定理。

命题1.5：
在无套利假设条件下，状态价格由基础资产的收益决定，而与基础资产自身价格无关。

证明：假设资产价格非零，且
Vs>0，s=1，2，…，k可直接得到。

由无套利定理可知，V=Z*P展开可得到下列方程组:
将上面每一个方程除以相应的价格，得：
若令为收益矩阵，则有：
从而可得到如下状态价格方程：
由（1.4）可得结论。

上面考虑的都是单期模型，然而对于实际目的单期模型常常太过简单。

每个人一生中对储蓄、投资、消费等往往要做出多次抉择，这就涉及动态市场中资产的定价问题，这里仅考虑股票期权的定价问题。

不妨设股票周期回报是独立同分布的，更特别是把每个周期回报取成的个值（高的与低的）用Ru，Rd来表示[5-6]。

这种假设虽然简单，但能限制到完全市场上来考虑。

结合前面的记号，可知在每一个完全市场上有唯一的状态价格集合，此外，这个集合仅仅依赖于基础资产收益，而资产回报又假设为独立分布的，这意味着它们在所有单期模型中是相同的，也就是说我们有一个相同的定价方程。

前面也告诉我们可以依据风险中性概率重新表达状态价格，特别地，收益为：
的无套利价格由贴现收益的风险中性期望给出，无套利期权价格：
其中qu、qd为无风险中性概率，Cu、Cd分别表示上涨与下降的期权价格，显然满足：
其中Ru、Rd分别表示股票上涨与下跌时的价格。

若设Ct表示时刻t的期权价格，我们可以把期权定价公式更优美地写成一个条件期望：
其中中字母q表示风险概率，2表示时刻t=2,表示在t=2时刻关于风险中性概率
的依赖于信息条件的期望值，也就是说，在时刻t=2的期权价格是在t=3时以无
风险利率贴现的风险中性期望，该期望依赖于t=2时的信息。

类似的，在时刻t=1时的所有节点的期权价格可以表示为：
t=0时的信息非常简单，可以认为是一种非条件期望。

注：这里的是条件期望，即
其中Fi，i=1，2。

表示i时刻的信息σ-代数。

为了方便表示，一下都采用这种形式。

把上面结论总结一下，可得到：
由于Rf为宜常数，上式可简化为：
由条件期望的平滑性（或称为贝叶斯法则），有：
由数学归纳法可得：
若每期的无风险利率不同，即Rfi≠Rfj(i≠j)从而相应的期权定价公式表示为：
故总结可得如下定理：
命题2.1：在完全市场条件下，若股票每期回报都是独立同分布的，则相应的股票期权定价公式表示为：
推论：在定理2.1的条件下，相应的欧式看涨期权定价公式为：
其中K表示到期日股票指定价格，ST表示到期日股票的真实价格。

现在，再看看一般资产的定价：
在没有套利的情况下，考虑一个一般资产，它的价格在t时刻为St，风险收益为Rt，为方便，不考虑分红，可知从t时刻到t+1时刻之间的风险收益为：
由于在单期模型中，存在风险中性概率q使得对所有的i有：
从而在多期权结构下有：
所以我们易得到如下定理：
命题2.2：t时刻的无风险收益率为t+1时刻的风险收益率关于风险中性概率的期望。

我们在对（2.1）式作适当的变形就可得到
继而可得到如下结论：
推论：资产在t时刻的价格为在t+1时刻的价格关于t时刻无风险利率的贴现期望。

现在从最后一期开始看能得出怎样的结果。

（2.1）式可得：
从而得到对于t=1,2,……,T-1,有：
令αt=Rf0 Rf1……Rft-1，αt=1可得到如下定理：
命题2.3为一个鞅，即对所有不考虑分红的可交易资产来说，贴现价格过程在风险中性概率下是一个鞅。

接下来再考虑自筹资金的交易策略，假设它具有无风险资产价格为Vt，风险资产（如股票）的份额为θt，而单位股票价格为St，那么在t+1时刻总的资产为：对上式两边取风险中性期望可得：
由前面的讨论可知：
故可得：
对此式两边同除以Rft得：
再对所得的这个式子两边同除以αt得：
所以可得到下面的定理：
命题2.4：在风险中性概率下，任何自筹资金策略贴现后的价值过程都是鞅。

[1]W F Sharp.A Simplified Model for Portfolio Analysis[J].Management Science,1963,9(3),277-293.
[2]林清泉.数理金融[M].北京:中国人民大学出版社,2008.
[3]D Duffie and L Epstein.Asset Pricing with Stochastic Differential
Utility[J].Review Financial Study,1992,5,411-436.
[4]R C Merton.Continuous-Time Finance[J].Cambridge,Cambridge,MA:Basil Black well,1990.
[5]Decreuse fond L.Stochastic Analysis of Fractional Brownian
Motion,Potential Analysis[R].1999.10(2).177-214.
[6]KaratzasI and S Shreve.Methods of Mathematical
Finance[M].Springer,1998.
【相关文献】
[1]W F Sharp.A Simplified Model for Portfolio Analysis[J].Management
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[2]林清泉.数理金融[M].北京:中国人民大学出版社,2008.
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[4]R C Merton.Continuous-Time Finance[J].Cambridge,Cambridge,MA:Basil Black
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[5]Decreuse fond L.Stochastic Analysis of Fractional Brownian Motion,Potential Analysis[R].1999.10(2).177-214.
[6]KaratzasI and S Shreve.Methods of Mathematical Finance[M].Springer,1998. Abstract:In this paper,we discussed asset pricing of single period model and multi-period model based on the complete market and limited discrete time situations.First,we gave the concept of the risk-free return and defined risk neutral probability by the concept of risk-free return.Based on risk neutral probability,we got the formula of asset
rice.Second,by means of the risk neutral probability,we discussed multiphase asset pricing model,and got the stock pricing equation,particularly we got the European calloption equation and discount price of asset price is a martingale about risk neutral probability.。