中考数学 整式乘法与因式分解易错压轴解答题(含答案)

中考数学整式乘法与因式分解易错压轴解答题(含答案)
一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题
1．阅读下列材料:
对于多项式x2+x-2，如果我们把x=1代入此多项式，发现x2+x-2的值为0，这时可以确定多项式中有因式(x-1):同理，可以确定多项式中有另一个因式(x+2)，于是我们可以得到:x2+x-2=(x-1)(x+2)
又如:对于多项式2x2-3x-2，发现当x=2时，2x2-3x-2的值为0，则多项式2x2-3x-2有一个因式(x-2)，我们可以设2x2-3x-2=(x-2)(mx+n)，解得m=2，n=1，于是我们可以得到:2x2-3x-2=(x-2)(2x+1)
请你根据以上材料，解答以下问题:
（1）当x=________时，多项式6x2-x-5的值为0，所以多项式6x2-x-5有因式________ ，从而因式分解6x2-x-5=________.
（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式.请你尝试用试根法分解多项式:①2x2+5x+3;②x3-7x+6
（3）小聪用试根法成功解决了以上多项式的因式分解，于是他猜想:
代数式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3有因式________ ，________ ，________ ，所以分解因式(x-2)3-(y-2)3-(x-y)3= ________。

2．
（1）若m2+n2=13，m+n=3，则mn=________ 。

（2）请仿照上述方法解答下列问题：若(a-b-2017)2+(2019-a+b)2=5，则代数式的值为________。

3．观察下列一组等式，然后解答后面的问题
，
，
，
（1）观察以上规律，请写出第个等式：________ 为正整数）．
（2）利用上面的规律，计算：
（3）请利用上面的规律，比较与的大小．
4．效学活动课上老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B 种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B 种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2大正方形的面积．
方法1：________，
方法2：________；
（2）观察图2，请你写出代数式：（a+b）2， a2+b2， ab之间的等量关系________；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b=5，a2+b2=13，求ab的值；
②已知（2019-a）2+（a-2018）2=5，求（2019-a）（a-2018）的值．
5．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22﹣02， 12=42﹣22， 20=62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”
（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？
（3）两个连续奇数的平方差(k取正数)是神秘数吗？为什么？
6．一天，小明和小红玩纸片拼图游戏．发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些图形来解释某些等式，比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）图③可以解释为等式：________．
（2）图④中阴影部分的面积为________．观察图④请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab 之间的等量关系是________．
（3）如图⑤，小明利用7个长为b，宽为a的长方形拼成如图所示的大长方形；
①若AB＝4，若长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S，试计算S的值（用含a，b的代数式表示）
②若AB为任意值，且①中的S的值为定值，求a与b的关系．
7．若x满足（5-x）（x-2）=2，求（x-5）2+（2-x）2的值；
解：设5-x=a，x-2=b，则（5-x）（x-2）=ab=2，a+b=（5-x）+（x-2）=3，
所以（x-5）2+（2-x）2=（5-x）2+（x-2）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=32-2×2=5，
请仿照上面的方法求解下面的问题
（1）若x满足（9-x）（x-4）=4，求（9-x）2+（x-4）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD，DC上的点，且AE=2，CF=4，长方形EMFD的面积是63，分别以MF、DF为边作正方形，求阴影部分的面积．
8．阅读材料：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形
如a+bi（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它有如下特点：
①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似例如计算：
（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5﹣3i；（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1
②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．
（1）填空：（3i﹣2）（3+i）＝________；（1+2i）3（1﹣2i）3＝________；
（2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）a的值；
（3）已知（a+i）（b+i）＝1﹣3i，求（a2+b2）（i2+i3+i4+…+i2019）的值．
9．问题发现：小星发现把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个
图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积.
例如，由图1，可得到等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.
（1）类比探究：如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，通过上面的启发，你能发现什么结论？请用等式表示出来.
（2）结论应用：已知a+b+c=14，ab+bc+ac=26，求a2+b2+c2的值.
（3）拓展延伸：如图，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一
直线上，连接BD和BF.若这两个正方形的边长满足a+b=8，ab=14，请求出阴影部分的面积. 10．认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：
（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；
（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．
（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．
11．已知A=2 a -7，B=a2- 4a+3，C= a2 +6a-28，其中．
（1）求证：B-A＞0，并指出A与B的大小关系；
（2）阅读对B因式分解的方法：
解：B=a2- 4a+3=a2- 4a+4-1=（a-2）2-1=（a-2+1）（a-2-1）=（a-1）（a-3）.
请完成下面的两个问题：
①仿照上述方法分解因式：x2- 4x-96；
②指出A与C哪个大？并说明你的理由．
12．先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则
原式=A2+2A+1=（A+1）2
再将“A”还原，得：原式=（x+y+1）2．
上述解题中用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2=________．
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4
（3）证明：若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的
平方．
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一、整式乘法与因式分解易错压轴解答题
1．（1）1；x-1；(x-1)(6x+5)
（2）解：①2x2+5x+3=(x+1)(2x+3)
②x3-7x+6=(x-1)(x-2)x+3)
（3）x-2；y-2；x-y；(x-2)2-(
解析：（1）1；x-1；(x-1)(6x+5)
（2）解：①2x2+5x+3=(x+1)(2x+3)
②x3-7x+6=(x-1)(x-2)x+3)
（3）x-2；y-2；x-y；(x-2)2-(y-2)3-(x-y)3=3(x-2)(y-2)(x-y)
【解析】【分析】（1）根据阅读材料可知当x=1时多项式6x2-x-5的值为0，从而可得到多项式6x2-x-5的一个因式为（x-1）即可将此多项式分解因式。

（2）将x=-1代入2x2+5x+3，可知其值为0，因此可将此多项式分解因式；将x=1代入x3-7x+6，可知 x3-7x+6=0，再将x=2代入，可知x3-7x+6=0，从而可将其多项式进行分解因式。

（2）利用试根法，将已知多项式进行分解因式即可。

2．（1）-2
（2）-4038
【解析】【解答】解：（1）∵ m+n=3 ，
则（m+n）2=9,
m2+n2+2mn=9,
,
∴mn=(9-13)÷2=-2，
（2）设 a-b-
解析：（1）-2
（2）-4038
【解析】【解答】解：（1）∵m+n=3，
则（m+n）2=9,
m2+n2+2mn=9,
,
∴mn=(9-13)÷2=-2，
（2）设a-b-2017=m,2019-a+b=n,
则m+n=a-b-2017+2019-a+b=2,
∴(m+n)2=4,
则
故答案为：-4038.
【分析】（1）利用完全平方公式进行代数式变形求得：，把m2+n2
和m+n的值代入即可求出mn的值.
（2）根据题（1），设a-b-2017=m,2019-a+b=n，先求m+n的值，利用题（1）的结论代值即可求出mn的值，则求值式的值可求。

3．（1）(n+1+n)(n+1-n)=1
（2）解：原式
（3）解：，，
119+18<118+17 ，
．
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：第 n 个等式为 (n
解析：（1）
（2）解：原式
（3）解：，，
，
．
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：第个等式为
；
故答案为：
【分析】（1）根据已知等式，可得第个等式为；（2）利用分母有理化先化简，然后根据二次根式的加减计算即得；
（3）先求出的大小，从而得出结论.
4．（1）（a+b）2；a2+b2+2ab
（2）（a+b）2=a2+b2+2ab
（3）解：①∵（a+b）2=a2+b2+2ab，
∴25=13+2ab，
∴ab=6；
②∵（a+b）2=a2+
解析：（1）（a+b）2；a2+b2+2ab
（2）（a+b）2=a2+b2+2ab
（3）解：①∵（a+b）2=a2+b2+2ab，
∴25=13+2ab，
∴ab=6；
②∵（a+b）2=a2+b2+2ab，
∴[（2019-a）+（a-2018）]2=（2019-a）2+（a-2018）2+2（2019-a）（a-2018），
即1=5+2（2019-a）（a-2018），
∴（2019-a）（a-2018）=-2．
【解析】【解答】解：方法1：S=（a+b）2，
方法2：S=a2+b2+2ab；
故答案为（a+b）2， a2+b2+2ab；（2）由面积相等，可得（a+b）2=a2+b2+2ab；
故答案为（a+b）2=a2+b2+2ab
【分析】（1）正方形面积可以从整体直接求，还可以是四个图形的面积和；（2）由同一图形面积相等即可得到关系式；（3）根据（a+b）2=a2+b2+2ab，将所给条件代入即可求解5．（1）解：设设这两个连续偶数分别为2m，2m+2，则根据题意得：
(2m+2)2-(2m)2=28，
8m+4=28，
m=3，
∴2m=6，2m+2=8，即82-62=28，
∴28是“神
解析：（1）解：设设这两个连续偶数分别为2m，2m+2，则根据题意得：
(2m+2)2-(2m)2=28，
8m+4=28，
m=3，
∴2m=6，2m+2=8，即82-62=28，
∴28是“神秘数”.
(2m+2)2-(2m)2=2012，
8m+4=2012，
m=501，
∴2m=1002
∴2012是“神秘数”.
（2）解：是；理由如下：
∵(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)，
∴由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数.
（3）解：由（2）可知“神秘数”可表示为4(2n-1)，
∵2n-1是奇数，
∴4(2n-1)是4的倍数，但一定不是8的倍数，
设两个连续的奇数为2n-1和2n+1，
则(2n+1)2-(2n-1)2=8n.
∴连续两个奇数的平方差是8的倍数，
∴连续两个奇数的平方差不是“神秘数”.
【解析】【分析】（1）根据“神秘数”的定义，设这两个连续偶数分别为2m，2m+2，列方程求出m的值即可得答案；（2）根据“神秘数”的定义可知(2n)2-(2n-2)2=4(2n-1)，即可得答案；（3）由（2）可知“神秘数”是4的倍数，但一定不是8的倍数，而连续两个奇数的平方差一定是8的倍数，即可得答案.
6．（1）（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2
（2）（a﹣b）2；（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
（3）解：①∵AB＝4，长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S，解析：（1）（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2
（2）（a﹣b）2；（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
（3）解：①∵AB＝4，长方形AGMB的面积与长方形EDHN的面积的差为S，
∴大长方形的面积＝（3a+b）（4+b）＝7ab+4×3a+4×3a﹣S，
∴S＝4ab﹣4b+12a﹣b2；
②设AB＝m，
∴大长方形的面积＝（3a+b）（m+b）＝7ab+3ma+3ma﹣S，
∴S＝4ab﹣b2+m（3a﹣b），
∵若AB为任意值，且①中的S的值为定值，
∴3a＝b.
【解析】【解答】解：（1）根据图可知长方形面积有（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2；故答案为（2a+b）（2b+a）＝2a2+5ab+2b2；
（ 2 ）④图中阴影部分面积是（a﹣b）2，
根据阴影部分面积可以是大正方形面积减去四个长方形面积，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
故答案为（a﹣b）2，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
【分析】（1）根据图形面积可知（2a+b）（2b+a）=2a2+5ab+2b2；（2）根据阴影部分面积可以是大正方形面积减去四个长方形面积，得到（a-b）2=（a+b）2-4ab；（3）①大长方形的面积=（3a+b）（4+b）=7ab+4×3a+4×3a-S；②设AB=m，大长方形的面积=（3a+b）（m+b）=7ab+3ma+3ma-S，3a-b=0；
7．（1）解：设9-x=a，x-4=b，则（9-x）（x-4）=ab=4，
a+b=（9-x）+（x-4）=5，
∴（9-x）2+（x-4）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×4=1
解析：（1）解：设9-x=a，x-4=b，则（9-x）（x-4）=ab=4，
a+b=（9-x）+（x-4）=5，
∴（9-x）2+（x-4）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=52-2×4=17；
（2）解：∵正方形ABCD的边长为x，
∴DE=x-2，DF=x-4，
设x-2=a，x-4=b，
则S正方形EMFD=ab=63，a-b=（x-2）-（x-4）=2，
那么（a+b）2=（a-b）2+4ab=256，得a+b=16，
∴（x-2）2-（x-4）2=a2-b2=（a+b）（a-b）=32．
即阴影部分的面积是32．
【解析】【【分析】（1）设（9-x）=a，（x-4）=b，根据已知等式确定出所求即可；（2）设正方形ABCD边长为x，进而表示出MF与DF，求出阴影部分面积即可．
8．（1）7i﹣9；125
（2）解：∵（1+2i）2＝1+4i+4i2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i ，
又a+bi是（1+2i）2的共轭复数，
∴a＝﹣3，b＝﹣4，
∴（b﹣a）a＝（﹣4
解析：（1）7i﹣9；125
（2）解：∵（1+2i）2＝1+4i+4i2＝1+4i﹣4＝﹣3+4i，
又a+bi是（1+2i）2的共轭复数，
∴a＝﹣3，b＝﹣4，
∴（b﹣a）a＝（﹣4+3）﹣3＝﹣1，
∴（b﹣a）a的值为﹣1
（3）解：∵（a+i）（b+i）＝1﹣3i，
∴ab+（a+b）i﹣1＝1﹣3i，
∴ab﹣1＝1，a+b＝﹣3，
∴ab＝2，a+b＝﹣3，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝9﹣2×2＝5，
∵i2+i3+i4+i5＝﹣1﹣i+1+i＝0，
i2+i3+i4+…+i2019有2018个加数，2018÷4＝504…2，
∴i2+i3+i4+…+i2019＝0+i2018+i2019＝i2016•i2+i2016•i3＝﹣1﹣i，
∴（a2+b2）（i2+i3+i4+…+i2019）＝5（﹣1﹣i）＝﹣5﹣5i．
【解析】【解答】（1）解：（3i﹣2）（3+i）＝9i﹣3﹣6﹣2i＝7i﹣9；
（1+2i）3（1﹣2i）3＝[（1+2i）（1﹣2i）]3＝（1﹣4i2）3＝（1+4）3＝125；
故答案为：7i﹣9；125
【分析】（1）按照定义计算即可；（2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b 的值，再代入要求得式子求解即可；（3）按照定义计算ab及a+b的值，再利用配方法得出（a2+b2）的值；由于i2+i3+i4+i5=-1-i+1+i=0，4个一组，剩下两项，单独计算这两项的和，其余每相邻四项的和均为0，从而可得答案．
9．（1）解： (a+b+c)2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）解：∵a+b+c=14，ab+bc+ac=26，
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+ac+bc
解析：（1）解： =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
（2）解：∵a+b+c=14，ab+bc+ac=26，
∴a2+b2+c2=(a+b+c)2−2(ab+ac+bc)=196−52=144
（3）解：∵a+b=8，ab=14，
∴ = + (a+b)×b- = + - ab= - ab= ´ - ´14=11
【解析】【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法.一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，一种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；（3）利用S阴影=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形BGF的面积-三角形ABD的面积求解. 10．（1）解：∵当n=1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0= ，
当n=2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1= ，
当n=3时，多项
解析：（1）解：∵当n=1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0= ，
当n=2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1= ，
当n=3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3= ，
当n=4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6= ，
…
∴多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：
（2）解：预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：2n
（3）解：∵当n=1时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21，
当n=2时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22，
当n=3时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23，
当n=4时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24，
…
∴多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：S=2n
【解析】【分析】由杨辉三角形的规律，得到多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式；由规律得到多项式（a+b）n展开式的各项系数之和；根据题意当n=1时，n=2时···，得到多项式（a+b）n展开式的各项系数之和.
11．（1）解：B-A= a2- 4a+3-2 a+7= a2- 6a+10=（a-3）2+1＞0，B＞A
（2）解：①x2- 4x-96=x2- 4x+4-100=（x-2）2-102=（x-2+1
解析：（1）解：B-A= a2- 4a+3-2 a+7= a2- 6a+10=（a-3）2+1＞0，B＞A
（2）解：①x2- 4x-96=x2- 4x+4-100=（x-2）2-102=（x-2+10）（x-2-10）=（x+8）（x-12）；
②C-A=a2+6a-28-2a+7=a2+4a-21=（a+7）（a-3）．
因为a＞2，所以a+7＞0，从而当2＜a＜3时，A＞C；
当a=3时，A=C；当a＞3时，A＜C
【解析】【分析】（1）根据题意B-A=（a-3）2+1＞0，得到A与B的大小关系是B＞A；（2）根据完全平方公式a2-2ab+b2=（a-b）2和平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，分解即可；由C-A=（a+7）（a-3），再由a > 2，得到a+7＞0，2＜a＜3时，A＞C；当a=3时，A=C；当a ＞3时，A＜C.
12．（1）（x﹣y+1）2
（2）解：令A=a+b，则原式变为A（A﹣4）+4=A2﹣4A+4=（A﹣2）2 ，
故（a+b）（a+b﹣4）+4=（a+b﹣2）2
（3）证明：（n+1）（
解析：（1）（x﹣y+1）2
（2）解：令A=a+b，则原式变为A（A﹣4）+4=A2﹣4A+4=（A﹣2）2，
故（a+b）（a+b﹣4）+4=（a+b﹣2）2
（3）证明：（n+1）（n+2）（n2+3n）+1=（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1.
=（n2+3n）（n2+3n+2）+1.
=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1.
=（n2+3n+1）2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，
∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方.
【解析】【分析】（1）把（x-y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
(2)令A=a+b,带入后因式分解即可将原式因式分解；
(3)将原式转化为(n²+3n) [(n+1)（n+2）]+1,进一步整理为(n²+3n+1) ²,根据n为正整数，从而说明原式是整数的平方.。