经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷19

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经济数学微积分课程期中模拟考试卷及答案

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《经济数学-微积分》课程期中模拟考试卷（A ）答案202 ——202 学年第一学期姓名学号班级题号一二三四五六总分得分一、单选题(每小题2分，共计10分)1.1=x 是函数xx f -=11arctan)(的（ C ） A .连续点. B .可去间断点. C .跳跃间断点. D .无穷间断点.2.若1)0(='f ，则=--→hh f f h 3)()0(lim0（ B ） A . 0. B . 31. C . 3. D . 31-.3.设⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=.1,2;1,1|1|)(2x x x x x f 则在1=x 处函数)(x f （ A ）A . 不连续.B . 连续，但不可导.C . 可导，但导函数不连续.D . 可导，且导函数连续.4.设)(x f y =是由方程0ln =+y xy 确定的函数，则=dxdy（ C ） A . xy ln -. B . 2y -. C . 12+-xy y . D . xy y 12+-.5.设)(x f 在),(b a 内可导，),(0b a x ∈，若0)(0='x f ，则)(0x f （ D ）A . 是极大值.B .是极小值.C . 是拐点的纵坐标.D .可能是极值也可能不是极值.得分二、填空题(每小题2分，共计10分)1. =+∞→)sin 1sin(lim xx x x x 1 .2. 设xx f 2)(=，则='-'→x f x f x )0()(lim0 2ln 2 . 3. 设xx f 211)(-=，则=)1()10(f !10210⋅- . 4. 设曲线2x y =的切线与曲线3x y =的切线相互垂直，则曲线2x y =上的点的横坐标=x 361- . 5. 函数x y cos =在23,2[ππ上符合罗尔定理结论中的=ξ π .三、计算题(每小题9分，共计54分)1. ])12()12(1531311[lim +⋅-++⋅+⋅∞→n n n .解: )12()12(1531311[lim +⋅-++⋅+⋅∞→n n n211211[21lim ]1211215131311[21lim =+-⋅=+--++-+-⋅=∞→∞→n n n n n .得分得分2. 已知213)tan )(1ln(lim=-+→x x x x f ，求20)(lim x x f x →.解:由于3ln )(lim 3ln )(lim 3ln tan )(lim 13)tan )(1ln(lim220000x x f x x x f x x x f x x f x x x x x →→→→===-+=,所以3ln 2)(lim2=→x x f x 。

经济数学基础微分学部分综合练习及参考答案

微积分考试复习题一、单项选择题1．函数()1lg +=x xy 的定义域是（ D ）D ．1->x 且0≠x 2．下列各函数对中，D ）中的两个函数相等D x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g3．设xx f 1)(=，则=))((x f f （C ）． C ．x 4．下列函数中为奇函数的是（ C ）．C ．11ln +-=x x y 5．已知1tan )(-=x xx f ，当（A ）时，)(x f 为无穷小量.A. x →06．当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ．xxsin 7．函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在x = 0处连续，则k = ( C )．C ．18．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（A ）A ．21-9．曲线x y sin =在点(0, 0)处的切线方程为（ A ）．A. y = x10．设y x=l g 2，则d y =（B ）． B ．1d x x ln1011．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（B ）．B ．e x12．设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为E p =（B ）B ．--p p32二、填空题1．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域[-5，2]2．函数xx x f --+=21)5ln()(的定义域是(-5, 2 )．3．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x ．4．设21010)(xx x f -+=，则函数的图形关于y 轴对称．5．已知生产某种产品的成本函数为C (q ) = 80 + 2q ，则当产量q = 50时，该产品的平均成本为3.66．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = 45q – 0.25q 2．7. =+∞→x x x x sin lim18．已知xxx f sin 1)(-=，当0→x 时，)(x f 为无穷小量． 9. 已知⎪⎪⎨⎧=≠--=1111)(2x a x x x x f ，若f x ()在),(∞+-∞．内连续，则=a 2. 10．曲线y =)1,1(处的切线斜率是(1)0.5y '=．11．函数y x =-312()的驻点是x =112．需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(pp q -⨯=，则需求弹性为E p =2p - 三、计算题1．已知y xxx cos 2-=，求)(x y '．2．已知()2sin ln x f x x x =+，求)(x f '． 3．已知2s i n 2c o s x y x -=，求)(x y '．4．已知x x y 53e ln -+=，求)(x y '．5．已知x y cos 25=，求)2π(y '；6．设x x y x +=2cos e ，求y d 7．设x y x 5si n cos e +=，求y d ．8．设x x y -+=2t an 3，求y d ．四、应用题1．设生产某种产品x 个单位时的成本函数为：x x x C 625.0100)(2++=（万元）,求：（1）当10=x 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量x 为多少时，平均成本最小？2．某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求规律为q p=-100010（q 为需求量，p 为价格）试求（1）成本函数，收入函数（2）产量为多少吨时利润最大？3．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？4．某厂每天生产某种产品q 件的成本函数为9800365.0)(2++=q q q C （元）.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？5．已知某厂生产q 件产品的成本为C q q q()=++25020102（万元）．问要使平均成本最少应生产多少件产品？三、计算题1．解：2cos sin cos ()(2)2ln 2x x x x x x y x x x --''=-=-2sin cos 2ln 2xx x x x +=+ 2．解xx x x f x x 1cos 2sin 2ln 2)(++⋅='3．解)(cos )2(2sin )(22'-'-='x x x y x x 2cos 22ln 2sin 2x x x x --=4．解：)5(e )(ln ln 3)(52'-+'='-x x x x y xx xx525e ln 3--= 5．解：因为5ln 5sin 2)cos 2(5ln 5)5(cos 2cos 2cos 2x x x x x y -='='='所以5ln 25ln 52πsin 2)2π(2πcos 2-=⋅-='y6．解：因为212cos 23)2sin (e 2x x y x +-='所以x x x y xd ]23)2sin (e 2[d 212cos +-=7．解：因为)(cos cos 5)(sin e 4sin '+'='x x x y x x x x x sin cos 5cos e 4sin -=所以x x x x y x d )sin cos 5cos e (d 4sin -=8解：因为)(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x x y x 2ln 2cos 3322xx x --=所以x xx y x d )2ln 2cos 3(d 322--=四、应用题1．解（1）因为总成本、平均成本和边际成本分别为x x x C 625.0100)(2++=625.0100)(++=x xx C ，65.0)(+='x x C 所以，1851061025.0100)10(2=⨯+⨯+=C 5.1861025.010100)10(=+⨯+=C ，116105.0)10(=+⨯='C （2）令025.0100)(2=+-='xx C ，得20=x （20-=x 舍去）因为20=x 是其在定义域内唯一驻点，且该问题确实存在最小值，所以当=x 20时，平均成本最小.2．解（1）成本函数C q ()= 60q +2000．因为q p =-100010，即p q =-100110，所以收入函数R q ()=p ⨯q =(100110-q )q =1001102q q -．（2）因为利润函数L q ()=R q ()-C q () =1001102q q--(60q +2000) = 40q -1102q -2000 且'L q ()=(40q -1102q -2000')=40- 0.2q 令'L q()= 0，即40- 0.2q = 0，得q = 200，它是L q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q = 200是利润函数L q ()的最大值点，即当产量为200吨时利润最大．3.（1）由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-==利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-=则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，（2）最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元） 4．解因为()9800()0.536C q C q q q q==++(0)q > 298009800()(0.536)0.5C q q q q''=++=- 令()0C q '=，即0598002.-q =0，得q 1=140，q 2= -140（舍去）.q 1=140是C q ()在其定义域内的唯一驻点，且该问题确实存在最小值. 所以q 1=140是平均成本函数C q ()的最小值点，即为使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为9800(140)0.514036176140C =⨯++=（元/件） 5．解因为C q ()=C q q()=2502010q q ++'C q ()=()2502010qq++'=-+2501102q令'C q ()=0，即-+=25011002q ，得150q =，q 2=-50（舍去），q 1=50是C q ()在其定义域内的唯一驻点．所以，q 1=50是C q ()的最小值点，即要使平均成本最少，应生产50件产品．积分学一、单项选择题1．在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（A ．y = x 2 + 3 2．下列等式不成立的是（A ．)d(e d e x x x = 3．若c x x f x +-=-⎰2ed )(，则)(x f '=（D .2e 41x--4．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（C ．⎰x x x d 2sin 5. 若c x x f xx+-=⎰11e d e )(，则f (x ) =（ C ．21x 6.若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( B ．)()(d )(a F x F x x f xa -=⎰7．下列定积分中积分值为0的是（A ．x xx d 2e e 11⎰---8．下列定积分计算正确的是（D ．0d sin =⎰-x x ππ9．下列无穷积分中收敛的是（ C ．⎰∞+12d 1x x10．无穷限积分 ⎰∞+13d 1x x =（C ．21二、填空题1．=⎰-x x d e d 2x x d e 2-2．函数x x f 2sin )(=的原函数是-21cos2x + c (c 是任意常数)3．若)(x f '存在且连续，则='⎰])(d [x f )(x f '4．若c x x x f ++=⎰2)1(d )(，则=)(x f )1(2+x5．若c x F x x f +=⎰)(d )(，则x f xx)d e (e --⎰=c F x+--)e ( 6．=+⎰e12dx )1ln(d d x x7．积分=+⎰-1122d )1(x x x08．无穷积分⎰∞++02d )1(1x x 是收敛的．（判别其敛散性） 9．设边际收入函数为R '(q ) = 2 + 3q ，且R (0) = 0，则平均收入函数为2 + q 23三、计算题1．⎰+-x x x d 242解⎰+-x x x d 242=(2)d x x -⎰=2122x x c -+ 2．计算⎰x x x d 1sin 2 解 c x x x x xx +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin23．计算⎰x xx d 2解c x xxxx x +==⎰⎰22ln 2)(d 22d 24．计算⎰x x x d sin 解 c x x x x x x x x x x ++-=+-=⎰⎰sin cos d cos cos d sin5．计算⎰+x x x d 1)ln (解⎰+x x x d 1)ln (=⎰+-+x xx x x d 1)(21ln 1)(2122=c x x x x x +--+4)ln 2(21226．计算 x x x d e 2121⎰解 x x xd e 2121⎰=21211211e e e )1(d e -=-=-⎰x xx7．2e 1x ⎰解 x x x d ln 112e 1⎰+=)ln d(1ln 112e 1x x++⎰=2e 1ln 12x +=)13(2- 8．x x x d 2cos 2π⎰ 解：x x x d 2cos 20⎰π=22sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=202cos 41πx =21-9．x x d )1ln(1e 0⎰-+ 解法一 x x x x x x x d 1)1ln(d )1ln(1e 01e 01e 0⎰⎰---+-+=+ =x x d )111(1e 1e 0⎰-+--- =1e 0)]1ln([1e -+---x x ＝e ln =1四、应用题1．投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为)(x C '=2x + 40(万元/百台).试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.解当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量⎰+=∆64d )402(x x C =642)40(x x +=100（万元）又 xc x x C x C x⎰+'=00d )()(=x x x 36402++ =x x 3640++ 令 0361)(2=-='xx C ，解得6=x .x = 6是惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值所以产量为6百台时可使平均成本达到最小.2．已知某产品的边际成本C '(x )=2（元/件），固定成本为0，边际收益R '(x )=12-0.02x ，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？解因为边际利润)()()(x C x R x L '-'='=12-0.02x –2 = 10-0.02x 令)(x L '= 0，得x = 500x = 500是惟一驻点，而该问题确实存在最大值. 所以，当产量为500件时，利润最大.当产量由500件增加至550件时，利润改变量为5505002550500)01.010(d )02.010(x x x x L -=-=∆⎰ =500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25元.3．生产某产品的边际成本为C '(x )=8x (万元/百台)，边际收入为R '(x )=100-2x （万元/百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？解 L '(x ) =R '(x ) -C '(x ) = (100 – 2x ) – 8x =100 – 10x 令L '(x )=0, 得 x = 10（百台）又x = 10是L (x )的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10是L (x )的最大值点，即当产量为10（百台）时，利润最大.又 x x x x L L d )10100(d )(12101210⎰⎰-='=20)5100(12102-=-=x x 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元.4．已知某产品的边际成本为34)(-='q q C (万元/百台)，q 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本.解：因为总成本函数为⎰-=q q q C d )34()(=c q q +-322当q = 0时，C (0)= 18，得 c =18 即 C (q )=18322+-q q 又平均成本函数为 qq q q C q A 1832)()(+-== 令 0182)(2=-='qq A ，解得q = 3(百台) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当q = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台)5．设生产某产品的总成本函数为 x x C +=3)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时的边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？解：(1) 因为边际成本为 1)(='x C ，边际利润)()()(x C x R x L '-'=' = 14 – 2x 令0)(='x L ，得x = 7 由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L (x )的极大值点，也是最大值点.因此，当产量为7百吨时利润最大.(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为87287)14(d )214(x x x x L -=-=∆⎰ =112–64 – 98 + 49 = -1 （万元）即利润将减少1万元.线性代数一、单项选择题1．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（）可以进行.A ．AB2．设B A ,为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ B .T T T )(A B AB = 3．以下结论或等式正确的是（）．C ．对角矩阵是对称矩阵4．设A 是可逆矩阵，且A A B I +=，则A -=1（ C .I B + 5．设)21(=A ，)31(-=B ，I 是单位矩阵，则I B A -T ＝（ D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5232 6．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=314231003021A ，则r (A ) =（ C ．2 7．设线性方程组b AX =的增广矩阵通过初等行变换化为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000120004131062131，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ A ．18．线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是（ A . 无解9．若线性方程组的增广矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01221λA ，则当λ＝（）时线性方程组无解B ．1210. 设线性方程组b X A n m =⨯有无穷多解的充分必要条件是（ D ．n A r A r <=)()( 11．设线性方程组AX=b 中，若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则该线性方程组（ B ．无解正确答案：B12．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（C ．只有零解二、填空题1．若矩阵A = []21-，B = []132-，则A T B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---264132 2．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=3421A ，I 为单位矩阵，则T)(A I -＝：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2240 3．设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是B A ,是可交换矩阵4．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201a A ，当a = 0 时，A 是对称矩阵.5．设B A ,均为n 阶矩阵，且)(B I -可逆，则矩阵X BX A =+的解X =A B I 1)(-- 6．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )= n ．7．若r (A , b ) = 4，r (A ) = 3，则线性方程组AX = b 无解．8．若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非零解，则=λ—1 9．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且秩(A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于n –r10. 已知齐次线性方程组O AX =中A 为53⨯矩阵，且该方程组有非0解，则≤)(A r 3 ．11．齐次线性方程组0=AX 的系数矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=000020103211A 则此方程组的一般为为⎩⎨⎧=--=4243122x x x x x (其中43,x x 是自由未知量)12．设线性方程组b AX =，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→010********1t A ：t 1-≠时，方程组有唯一解.三、计算题1．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-01241121，求逆矩阵1-A ．解因为(AI ) =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120001010830210411100010001012411210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→123124112200010001123001011200210201⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001 所以 A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----211231241122．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121511311，求逆矩阵1)(-+A I ．解因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+021501310A I 且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110520001310010501100021010501001310⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→112100001310010501⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1121003350105610001 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1A I 3．设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321，计算(BA )-1．解因为BA =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--210321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-022011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2435(BAI )=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1024111110240135⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→54201111⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--→2521023101所以(BA )-1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--252231 4．设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3221,5321B A ，求解矩阵方程B XA =．解：因为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡10530121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13100121⎥⎦⎤⎢⎣⎡--→13102501 即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-132553211所以，X =153213221-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡13253221= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1101 5．设线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+--=+052231232132131x x x x x x x x ，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况.解因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=211011101201051223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→300011101201 所以 r (A ) = 2，r (A ) = 3. 又因为r (A )≠r (A )，所以方程组无解.6．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解．解因为系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201 所以一般解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量）7．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-126142323252321321321x x x x x x x x x 的一般解．解因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=1881809490312112614231213252A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→0000194101101 所以一般解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=1941913231x x x x （其中3x 是自由未知量）8．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=+-0830352023321321321x x x x x x x x x λ问λ取何值时方程组有非零解，并求一般解因为系数矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---61011023183352231λλ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→500110101λ 所以当λ = 5时，方程组有非零解. 且一般解为⎩⎨⎧==3231x x xx （其中3x 是自由未知量）9．当λ取何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++1542131321321x x x x x x x x λ有解？并求一般解.解因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=26102610111115014121111λλA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→λ00026101501 所以当λ=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为：⎩⎨⎧+-=-=26153231x x x x (x 3是自由未知量〕经济数学基础11年秋季学期模拟试卷一、单项选择题1．B 2.A 3. D 4.C 5. C1．下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ B ）．B ．e x 2．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（A ）．A ．21-3．下列定积分计算正确的是（D ）． D ．0d sin =⎰-x x ππ4．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ C ）C ．111)(---=A B AB5．设线性方程组b AX =有唯一解，则相应的齐次方程组O AX =（C ） C ．只有零解二、填空题6．函数⎩⎨⎧<≤-<≤-+=20,105,2)(2x x x x x f 的定义域是[-5, 2)． 7．求极限 =+∞→x xx x sin lim1 . 8．若)(x f '存在且连续，则='⎰])(d [x f )(x f '．9．设B A ,均为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是BA AB =．10．设齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A ，且r (A ) = r < n ，则其一般解中的自由未知量的个数等于n -r三、微积分计算题11．设xx y -+=2tan 3，求y d ． 12．计算积分 x x x d 2cos 20⎰π．四、代数计算题13．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---112401211，计算1)(-+A I ．14．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=+-5532342243214321421x x x x x x x x x x x 的一般解．五、应用题15．某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为C (q ) = 20+4q +0.01q 2（元），单位销售价格为p = 14-0.01q （元/件），试求：（1）产量为多少时可使利润达到最大？（2）最大利润是多少？三、微积分计算题11．解：因)(2ln 2)(cos 1332'-+'='-x x x y x 2ln 2cos 3322xx x --=所以x xx y x d )2ln 2cos 3(d 322--=12．解：x x x d 2cos 20⎰π=22sin 21πx x -x x d 2sin 2120⎰π=22cos 41πx =21-四、线性代数计算题13．解：因为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+012411210A I 且 (I +AI )=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-12000101083021041110001000101241121⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→12312411220001000112300101120021021⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→21123124112100010001所以 1)(-+A I =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----2112312411214．解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---131101311021011551323412121011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000001311012101000001311021011 故方程组的一般解为：1342342131x x x x x x =++⎧⎨=+-⎩(x 3，4x 是自由未知量〕五、应用题15．解：（1）由已知201.014)01.014(q q q q qp R -=-== 利润函数22202.0201001.042001.014q q q q q q C R L --=----=-= 则q L 04.010-='，令004.010=-='q L ，解出唯一驻点250=q .因为利润函数存在着最大值，所以当产量为250件时可使利润达到最大，（2）最大利润为1230125020250025002.02025010)250(2=--=⨯--⨯=L （元）经济数学基础一、单项选择 1.C 2.D 3.B 4.A 5.D 1.下列函数中为奇函数的是（ C ）．(C) 11ln+-=x x y 2.设需求量q 对价格p 的函数为p p q 23)(-=，则需求弹性为=p E3.下列无穷积分中收敛的是(B) ⎰∞+12d 1x x 4.设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行．(A) AB5.线性方程组⎩⎨⎧=+=+012121x x x x 解的情况是 D) 无解二、填空题 6.函数24)(2--=x x x f 的定义域是),2(]2,(∞+--∞7.函数1()1e xf x =-的间断点是0=x 8.若cx F x x f +=⎰)(d )(，则=⎰--x f x x d )e (e c F x +--)e (． 9.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=13230201aA ，当=a 0 时，A 是对称矩阵10.若线性方程组⎩⎨⎧=+=-002121x x x x λ有非=三、微积分计算题1.设x y x5cos 3+=，求y d ． 2. 计算定积分⎰e1d ln x x x ．四、线性代数计算题11. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211010,211001B A ，求1T )(-A B ．设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=211010,211001B A ，求1T )(-A B ．12.求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解．五、应用题15.生产某产品的总成本为x x C +=3)(（万元），其中x 为产量，单位：百吨．边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求：(1) 利润最大时的产量； (2) 从利润最大时的产量再生产1百吨，利润有什么变化？三、微积分计算题）11. 解：由微分四则运算法则和微分基本公式)(cos d )3(d )cos 3(d d 55x x y x x +=+=)(cos d cos 5d 3ln 34x x x x +=x x x x x d cos sin 5d 3ln 34-=x x x x d )cos sin 53ln 3(4--=12. 解：由分部积分法得⎰⎰-=e 12e12e1)d(ln 21ln 2d ln x x x x x x x 414e d 212e 2e 12+=-=⎰x x四、线性代数计算题13. 解：因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3121211001211100T A B 所以由公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⨯-⨯-=-11231123)1(23)1(1)(1T A B 14. 解：因为系数矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=111011101201351223111201A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101201 所以一般解为⎩⎨⎧-=+-=4324312x x x x x x （其中3x ，4x 是自由未知量）五、应用题）15.解：（1）因为边际成本1)(='x C ，边际利润'='-'L x R x C x ()()()x x 2141215-=--=令'=L x ()0 得 7=x （百吨）又7=x 是L x ()的唯一驻点，根据问题的实际意义可知L x ()存在最大值，故7=x 是L x ()的最大值点，即当产量为7（百吨）时，利润最大． 16.x x x x L L d )214(d )(8787⎰⎰-='=1)14(872-=-=x x即从利润最大时的产量再生产1百吨，利润将减少1万元． 1 经济数学基础09秋模拟试卷一、单项选择题1．函数()1lg +=x xy 的定义域是（ D ）． D ．1->x 且0≠x2．函数sin ,0(),0xx f x x k x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在x = 0处连续，则k = ( C ．1 3．下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（ C ．⎰x x x d 2sin4．设A 为23⨯矩阵，B 为32⨯矩阵，则下列运算中（ A ）可以进行A ．AB5. 设线性方程组b AX =的增广矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------124220621106211041231，则此线性方程组的一般解中自由未知量的个数为（ B ．2 二、填空题（ 6．设函数2)1(2++=+x x x f ，则42+x7．设某商品的需求函数为2e 10)(p p q -=，则需求弹性=p E 2p - 8．积分 =+⎰-1122d )1(x x x0 ．9．设B A ,均为n 阶矩阵，)(B I -可逆，则矩阵方程X BX A =+的解X =1)(--B I ． 10. 已知齐次线性方程组O AX =中A 为53⨯矩阵，则≤)(A r 3 ．三、微积分计算题11．设x x y x +=cos e ，求y d ． 12．计算积分 ⎰x x x d 1sin 2．四、代数计算题 13．设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----121511311，计算 1)(-+A I ． 14．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=--1261423623352321321321x x x x x x x x x 的一般解．五、应用题15．已知某产品的边际成本为34)(-='q q C (万元/百台)，q 为产量(百台)，固定成本为18(万元)，求最低平均成本. 三、微积分计算题11．解：212co s 23co s 23)sin (e)()(cos ex x x x y xx+-='+'='x x x y x d )e sin 23(d 2cos 21-=12．解： c x x x x xx +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin2四、线性代数计算题13．解：因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+021501310A I 且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110520001310010501100021010501001310⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→11210000131001501⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1121003350105610001 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1A I 14．解：因为增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=18181809990362112614236213352A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101401 所以一般解为 ⎩⎨⎧+=+=1143231x x x x （其中3x 是自由未知量）五、应用15．解：因为总成本函数为 ⎰-=q q q C d )34()(=c q q +-322 当q = 0时，C (0)= 18，得 c =18，即C (q )=18322+-q q 又平均成本函数为 qq q q C q A 1832)()(+-== 令 0182)(2=-='qq A ，解得q = 3(百台) 该问题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台)经济数学基础09秋模拟试卷2一、单项选择题1．下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等．D ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g2．当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ C ．21e x -3．若c x x f xx+-=⎰11e d e )(，则f (x ) =（ C ．21x4．设A 是可逆矩阵，且A A B I+=，则A -=1（ A ．B 5．设线性方程组b X A n m =⨯有无穷多解的充分必要条件是（ B ．nA r A r <=)()(二、填空题6．已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) =42+x7．曲线y =)1,1(处的切线斜率是2p -8．=+⎰x x xd )1ln(d d e12 09．设A 为n 阶可逆矩阵，则r (A )=1)(--B I10．设线性方程组b AX =，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-→010********1t A ，则t 3时，方程组有唯一解．三、微积分计算题11．设x y x 5sin cos e +=，求y d ． 12．计算积分 ⎰e1d ln x x x ．四、代数计算题13．设矩阵 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021201，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡142136，计算(AB )-1． 14．求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+-=-+03520230243214321431x x x x x x x x x x x 的一般解．五、应用题15．设生产某种产品q 个单位时的成本函数为：qq q C 625.0100)(2++=（万元）,求：（1）当10=q 时的总成本、平均成本和边际成本；（2）当产量q 为多少时，平均成本最小？三、微积分计算题四、解：212cos 23cos 23)sin (e)()(cos ex x x x y xx+-='+'='x x x y x d )e sin 23(d 2cos 21-=12．解： c x x x x x x +=-=⎰⎰1cos )1(d 1sin d 1sin2四、线性代数计算题13．解：因为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+021501310A I 且 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110520001310010501100021010501001310 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→112100001310010501⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→1121003350105610001 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+-1123355610)(1A I 14．解：因为增广矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=18181809990362112614236213352A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000011101401 所以一般解为 ⎩⎨⎧+=+=1143231x x x x （其中3x 是自由未知量）五、应用题15．解：因为总成本函数为⎰-=q q q C d )34()(=c q q +-322 当q = 0时，C (0)= 18，得 c =18，即 C (q )=18322+-q q 又平均成本函数为q q q q C q A 1832)()(+-==令 0182)(2=-='qq A ，解得q = 3(百台) 该问题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当x = 3时，平均成本最低. 最底平均成本为9318332)3(=+-⨯=A (万元/百台)经济数学基础期末模拟练习（二）一、单项选择题 1.B 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A 7.D 8.C 9.B10.A1.下列各对函数中，（）中的两个函数相同． (B) 1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f2.当1→x 时，下列变量中的无穷小量是 (C) 1122+-x x3.若)(x f 在点0x 有极限，则结论（）成立 (D) )(x f 在点0x 可能没有定义4.下列函数中的单调减函数是（） (C) x y -=5.下列等式中正确的是（） (B) )cos d(d sin x x x -=6.若F x ()是f x ()的一个原函数，则=⎰--x f x x d )e (e （）．(A) c F x +--)e (7.设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（）． (D) )()()(AB P A P B A P -=- 8.已知)2,2(~2N X ，若)1,0(~N b aX +，那么（）． (C) 1,21-==b a 9.设A 是n s ⨯矩阵，B 是m s ⨯矩阵，则下列运算中有意义的是（ (B) T AB 10.n 元线性方程组A Xb =有解的充分必要条件是（）． (A) 秩=A 秩)(A 二、填空题11.2sin 2+x 12. 减少 13.x cot -14.7.1 15.1 11.若函数2)(2+=x x f ，x x g sin )(=，则=))((x g f 12.函数x x f ln )(-=在区间),0(∞+内单调13.=⎰x xd sin 12． 14.设随机变量⎥⎦⎤⎢⎣⎡3.01.06.0210~X ，则=+)1(X E ． 15.当λ=时，方程组⎩⎨⎧-=--=+112121x x x x λ有无穷多解．三、极限与微分计算题16.求极限xx x 21sin 1lim 0-+→．17.由方程x y x y ln sin =+确定y是x 的隐函数，求y d ．四、积分计算18.计算积分⎰41d ex xx19.求微分方程xx x y y sin =+'的通解．五、概率计算题 20.已知5.0)(=A P ，3.0)(=B A P ，求)(B A P +．21.设随机变量)9,3(~N X ，求)120(<≤X P ．（已知ΦΦ().,().108413209772==，Φ().309987=）六、代数计算题 22.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=244213001,543322011B A ，求1)(--B A ． 23.求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=+-5532342243214321421x x x x x x x x x x x七、应用题24.厂家生产一种产品的需求函数为p q 80720-=（单位：件）而生产q 件该产品时的成本函数为1604)(+=q q C （单位：元）问生产多少件产品时厂家获得的利润最大？八、证明题25.设A 为矩阵，证明T AA 是对称矩阵．三、极限与微分计算题 16. 解：利用重要极限的结论和极限运算法则得)1sin 1(2)1sin 1)(1sin 1(lim21sin 1lim00++++-+=-+→→x x x x x x x x )1sin 1(2sin lim 0++=→x x x x 41= 17. 解：等式两端同时求微分得左)sin (d d )sin (d y x y y x y +=+=y y x x y y y x x y y d cos d sin d )(sin d d sin d ++=++= 右x xx d 1)(ln d ==由此得x x y y x x y y d 1d cos d sin d =++ 整理得 x yx yx y d cos 1sin 1d +-= 18. 解：利用积分的性质和凑微分法得⎰⎰=4141)(d 2e d ex x xxx⎰==21212ed 2e u uu )e 2(e 2-=19. 解：方程是一阶线性微分方程，xx P 1)(=，积分因子为x x xx ==⎰ln d 1e e原方程改为x y y x sin =+' 上式左端为)('xy ，两端同时积分得c x x x xy +-==⎰cos d sin即微分方程的通解为xcx x y +-=cos 其中c 为任意常数．五、概率计算题 20. 解：由事件的关系得B A A B A +=+且A 与B A 互斥，再由加法公式得)()()(B A P A P B A P +=+8.03.05.0=+= 21. 解：对X 做变换得出)1,0(~33N X -，于是 )3331()331233330()120(<-≤-=-<-≤-=<≤X P X P X P)]1(1[)3()1()3(ΦΦΦΦ--=--=84.018413.09987.0=-+=六、代数计算题22. 解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-301111010B A 利用初等行变换得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--110210001010010111100301010111001010 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→2121211001010010111111200001010010111 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→212121100001010212323001212121100001010212321011即 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=--212121001212323)(1B A 23. 解：将线性方程组的增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=131101311021011551323412121011A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→000001311012101000001311021011 线性方程组的一般解为 ⎩⎨⎧-+=++=1312432431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）24. 解：由已知条件可得809q p -=809)(2q q pq q R -== 又由已知条件得1604)(+=q q C进一步得到160805)1604(809)()()(22--=+--=-=q q q q q q C q R q L对利润函数求导得405)(qq L -=' 令'=Lq ()0得200=q ，在定义域内只有一个驻点，故为最值点．即生产200件产品时厂家获得的利润最大．八、证明题25. 证：由转置的性质得T T T T T T AA A A AA ==)()( 由定义可知T AA 是对称矩阵．中央广播电视大学2018-2018学年度第二学期经济数学基础试卷一、单项选择题二、填空题三、微积分计算题四、线性代数计算题五、应用题一、单项选择题（每小题3分．本题共15分）1．D 2．B 3．A 4．C 5．A。

2023年考研经济类联考综合数学模拟真题及答案详解跨考教育文字版

考研396经济类联考综合（数学）真题及答案详解（跨考教育文字版）二、选择题21.设()f x 旳一种原函数为10x，则'()f x = （） ()10x A ()10ln10x B ⋅ ()2()10ln10x C ⋅ ()3()10ln10x D ⋅ 【答案】（B ）【解析】'()f x =10ln10x ⋅22.设函数()f u 可导且'(1)0.5f =，则2()y f x =在1x =-处旳微分1y x d =-=（）()x A d - ()0B ()x C d ()2xD d 【答案】（A ）【解析】2'()2dy f x xdx =当1x =-时，1y x x d d =-=-23.已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且()(1)lim 12x f x f x x→∞--=-，则'(1)f =（） ()2A - ()1B - ()0C ()1D24.已知()F x 是()f x 旳一种原函数，则()xa f t a dt +=⎰（）()()()A F x F a - ()()()B F t F a -()()()C F x a F x a +-- ()()(2)D F x a F a +-【答案】（D ）【解析】()()()xx a a f t a dt f t a d t a +=++⎰⎰2()()(2)x aa f u du F x a F a +==+-⎰ 25.设sin 0()ln(1)xF x t dt =+⎰，则'()F x =（）()ln(1)()ln(1sin )()sin ln(1sin )()cos ln(1sin )A x B x C x x D x x ++⋅+⋅+【答案】（D ）【解析】'()ln(1sin )cos F x x x =+26.设b ax x y ++=2，已知当2=x 时，y 获得极小值3-，则（）（A ）0,1==b a （B ）1,4=-=b a（C ）1,1==b a （D ）0,4=-=b a【答案】（B ）【解析】'(2)40y a =+=因此4a =-，483y b =-+=-，431b =-=27.若1333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=---333233312322232113121311333a a a a a a a a a a a a （）（A ）-3 （B ）-2 （C ）-1 （D ）1【答案】（A ）【解析】原式1113131112132123232122233133333132333333a a a a a a a a a a a a a a a a a a -=+-=--28.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=54322111t A 且A 旳秩()2=A r ，则=t （）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）-1【答案】（A ）【解析】 01112203452A t t ===得29.一袋中有四只球，编号为1,2,3,4，从袋中一次取出两只球，用x 表达取出旳两只球旳最大号码数，则{}==4X p （）（A ）0.4 （B ）0.5 （C ）0.6 （D ）0.7【答案】（B ）【解析】5.0}4{2413===C C X P 30.设随机变量()()4,0~,4,1~U Y N X ，且y x ,相互独立，则()=-Y X D 32（）（A ）8 （B ）18 （C ）24 （D ）52【答案】（D ）【解析】因为X 与Y 独立，因此52494494)32(=⨯+⨯=+=-DY DX Y X D三、数学计算题31.已知函数sin 21,0,tan ()2,0x x e x x f x ae x ⎧->⎪⎪=⎨⎪⎪≤⎩在0x =处持续，求未知参数a 旳值。

经济数学微积分试题

经济数学-微积分模拟试题-按模块分类一、单项选择题（每小题3分，）分，）1.下列各函数对中，（下列各函数对中，（ D ）中的两个函数相等．）中的两个函数相等．A. x x g x x f ==)(,)()(2B. 1)(,11)(2+=--=x x g x x x f C. x x g x x f ln 2)(,ln )(2== D. 1)(,cos sin )(22=+=x g x x x f2.已知1sin )(-=xx x f ，当（，当（ A ）时，)(x f 为无穷小量．为无穷小量．A. 0®xB. 1®xC. -¥®xD. +¥®x 3. ò¥+13d 1x x （ C ）．）． A. 0 B. 21- C. 21D. ¥+1.下列函数中为奇函数的是（下列函数中为奇函数的是（）．B (A) x x y sin = (B) x x y -=3 (C) xxy -+=ee (D) x x y +=222.下列结论正确的是（下列结论正确的是（）．）．C C(A) 若0)(0=¢x f ，则0x 必是)(x f 的极值点的极值点(B) 使)(x f ¢不存在的点0x ，一定是)(x f 的极值点的极值点(C) 0x 是)(x f 的极值点，且)(0x f ¢存在，则必有0)(0=¢x f (D) 0x 是)(x f 的极值点，则0x 必是)(x f 的驻点的驻点 3.下列等式成立的是（下列等式成立的是（）．D (A) x x xd d 1= (B) )1d(d ln x x x =(C) )d(e d e x x x --= (D) )d(cos d sin x x x =- 1．若函数xxx f -=1)(， ,1)(x x g +=则=-)]2([g f ( )．A A ．-2 B ．-1 C ．-1.5 D ．1.5 2．曲线11+=x y 在点（0, 1）处的切线斜率为（）处的切线斜率为（）．）． B B A ．21 B ．21- C ．3)1(21+x D ．3)1(21+-x3．下列积分值为0的是（的是（）．）． C A ．òpp -d sin x x x B ．ò-+11-d 2e e x xxC ．ò--11-d 2e e x xx D ．ò-+p px x x d )(cos 1．函数()1lg +=x xy的定义域是（的定义域是（）．）． D A ．1->xB ．0¹xC ．0>xD ．1->x 且0¹x 2．当+¥®x 时，下列变量为无穷小量的是（时，下列变量为无穷小量的是（）D A ．)1ln(x +B ． 12+x x C ．21e x - D ． x x sin3. 若)(x F 是)(x f 的一个原函数，则下列等式成立的是( )． B A ．)(d )(x F x x f xa =ò B ．)()(d )(a F x F x x f xa -=òC ．)()(d )(a f b f x x F b a-=ò D ．)()(d )(a F b F x x f ba-=¢ò二、填空题（每小题3分，）分，）6.若函数x x f +=11)(，则=-+h x f h x f )()( ．)1)(11h x x +++-（ 7.已知ïîïíì=¹--=1111)(2x ax x x x f ，若)(x f 在),(¥+-¥内连续，则=a ．2 8.若)(x f ¢存在且连续，则ò=¢])(d [x f ．)(x f ¢6.函数)1ln(42+-=x x y 的定义域是的定义域是．]2,1(-7.曲线1)(2+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是处的切线斜率是．21 8.函数x x f 2cos )(=的全体原函数是的全体原函数是．c x +2sin 216．如果函数)(x f y =对任意x 1, x 2，当x 1 < x 2时，有时，有，则称)(x f y =是单调减少的单调减少的.. 6. )()(21x f x f >7．已知xxx f tan 1)(-=，当，当时，)(x f 为无穷小量．7. 0®x8．若c x F x x f +=ò)(d )(，则x f x x)d e (e--ò= . 8. c F x+--)e (6．设21010)(xx x f -+=，则函数的图形关于，则函数的图形关于对称．6.y 轴 7．已知ïîïíì=¹--=1111)(2x ax x x x f ，若f x ()在x =1处连续，则=a . 7. 2. 28．设边际收入函数为R ¢(q ) = 2 + 3q ，且R (0) = 0，则平均收入函数为，则平均收入函数为．8. q q R 232)(+=三、微积分计算题（每小题10分，共20分）分） 11.设2sin 2cos x y x-=，求y ¢．解；2cos 22ln 22sin x x y x x --=¢ 12. òe1d ln x x x ．解：4141414121d 21ln 21d ln 222e 112e1+=+-=-=òòe e e x x x x x x x e11.设xx y 32e ln -+=，求y ¢．解：由导数运算法则和复合函数求导法则得解：由导数运算法则和复合函数求导法则得)e()(ln 32¢+¢=¢-x x yx xx 33e ln 2--=12.计算òe1d ln x x x ．解：由定积分的分部积分法得解：由定积分的分部积分法得òò×-=e12e12e1d 12ln 2d ln xx x x x x x xe12242e x -=414e 2+=11．设xx y --+=1)1ln(1，求)0(y ¢. .11．解：因为．解：因为 2)1()]1ln(1[)1(11x x x xy --++---=¢ = 2)1()1ln(x x -- 所以所以 )0(y ¢= 2)01()01ln(--= 0 12．x x x d )2sin (ln +ò12．解：x x x d )2sin (ln +ò=òò+-)d(22sin 21d ln x x x x x=C x x x +--2cos 21)1(ln11．设)1ln(2++=x x y ，求)3(y ¢11．解．解因为因为 )1(1122¢++++=¢x xx x y11)11(11222+=++++=x x x x x 7分所以所以 )3(y ¢=211)3(12=+ 10分12．计算．计算xxxd e 2121ò12．解．解 x xx d e 2121ò=21211211e e e)1(d e -=-=-òx xx10分五、应用题（20分）分）15.已知某产品的边际成本34)(-=¢q q C （万元/百台），q 为产量（百台），固定成本为18（万元），求⑴该产品的平均成本．⑵最低平均成本．（万元），求⑴该产品的平均成本．⑵最低平均成本．解: （1）1832d )34(d )(2+-=-=¢=òòq q q q q q C C平均成本函数平均成本函数 qq q q C C 1832)(+-==2182q C -=¢，令01822=-=¢qC ，解得唯一驻点6=x （百台）（百台）因为平均成本存在最小值，且驻点唯一，所以，当产量为600台时，可使平均成本达到最低。

经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷19

经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷19(总分：56.00，做题时间：90分钟)一、<B>计算题</B>(总题数：28，分数：56.00)1.设F(x)是f(x)的一个原函数，则下列命题正确的是( )．A.∫1／xf(lnax)dx=1／aF(lnax)+CB.∫1／xf(lnax)dx=F(lnax)+C √C.∫1／xf(lnax)dx=aF(lnax)+CD.∫1／xf(lnax)dx=1／xF(lnax)+C由题设F(x)为f(x)的一个原函数，可知∫f(x)dx=F(x)+C．故∫1／xf(lnax)dx=∫1／axf(lnax)d(ax)=∫f(lnax)d(lnax)=F(lnax)+C．故选B．2.不定积分∫x 2．A.－1／3(1－x 3 ) 3／2 +CB.－2／9(1－x 3 ) 3／2 +C √C.－3(1－x 3 ) 3／2 +CD.－9／2(1－x 3 ) 3／2 +C利用凑微分法可得∫x 2dx=1／3∫(1－x 3 ) 1／2 d(x 3 )=－1／3∫(1－x 3 ) 1／2 d(1－x 3 ) =－1／3．2／3(1－x 3 ) 3／2 +C=－(1－x 3 ) 3／2 +C．故选B．3.设f(x)在区间[a，b]上，有f(x)＞0，f'(x)＜0，f"(x)＞0．记S 1 =∫a b f(x)dx，S 2 =f(b)(b－a)，S 3 =1／2[f(b)+f(a)](b－a)，则有( )．A.S 1＜S 2＜S 3B.S 3＜S 1＜S 2C.S 2＜S 3＜S 1D.S 2＜S 1＜S 3√由于f'(x)＜0，可知函数f(x)在[a，b]上单调减少；由于f"(x)＞0，可知曲线y=f(x)在[a，b]上为凹．曲线的图形如图1—3—1所示．由图可知，S 1表示曲边梯形ABDC的面积，S 2表示以b－a为长，f(b)为宽的矩形ABDE的面积，而S 3表示梯形ABDC的面积，因此可得S 2＜S 1＜S 3，故选D．4.设F(x)= ∫a x f(t)dt，其中f(x)为连续函数，则为( )．A.a 2B.a 2 f(a) √C.0D.不存在因为且所给问题为含有可变限积分的极限问题，且所给极限为“0／0”型．通常含有可变限积分的极限求解需要利用洛必达法则，通过求导数消去可变限积分．则由洛必达法则可得故选B．5.如图1—3—1所示，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分∫0axf'(x)dx等于( )．A.曲边梯形ABOD的面积B.梯形ABOD的面积C.曲边三角形ACD的面积√D.三角形ACD的面积由于∫0a xf'(x)dx=xf(x)| 0a－∫0a f(x)dx=af(a)－∫0a f(x)dx．又由于af(a)的值等于矩形ABOC 的面积，∫0a f(x)dx的值等于曲边梯形ABOD的面积，可知∫0a xf'(x)dx的值等于曲边三角形ACD的面积．故选C．6.∫01．A.1B.π／2C.π／3D.π／4 √y= 可以化为(x－1) 2 +y 2 =1，y≥0，因此y= 表示圆心在(1，0)，半径为1的上半圆，∫01 dx的值等于上述半圆的面积的二分之一，即∫01dx=π／4．故选D．7.∫1e．A.－eB.eC.－1／e √D.1／e也可以直接使用分部积分法：C．8.二元函数f(x，(0，0)处必定( )．A.连续且偏导数存在B.连续但偏导数不存在C.不连续但偏导数存在√D.不连续且偏导数不存在由偏导数的定义可知可知f(x，y)在点(0，0)处的偏导数存在，因此排除B，D．由于可知f(x，y)不存在，从而知f(x，y)在(0，0)处不连续，因此排除A，故选C．9.设z=，则dz=( )A.B.C.D. √求dz通常利用可微分的充分条件，即先求出为连续函数，则有dz= dy．由于当x 2+y 2≠0时，都为连续函数，因此故选D．10.设z=x y，x=sint，y=tant,则全导数dz／dt| t=π／4 =( )．A.B.C. √D.由于dz／dt= =yx y－1，=x y lnx． dx／dt=cost，dy／dt=1／cos 2 t，因此 dz／dt=yx y－1．cost+x y lnx．1／cos 2t=(sint) tant(1+ )，因此 dz／dt|t=π／4= (1－ln2)．故选C．11.设有三元方程xy－zlny+z 2=1，根据隐函数存在定理，存在点(1，1，0)的一个邻域，在此邻域内该方程( )．A.只能确定一个具有连续偏导数的函数z=z(x，y)B.可确定两个具有连续偏导数的函数y=y(x，z)和z=z(x，y)C.可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y，z)和z=z(x，y)D.可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y，z)和y=y(x，z) √注意隐函数存在定理：设函数F(x，y，z)在点P(x 0，y 0，z 0)的某一邻域内具有连续偏导数，且F(x 0，y 0，z 0 )=0，F' z (x 0，y 0，z 0 )≠0，则方程F(x，y，z)=0在点P(x 0，y 0，z 0 )的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=z(x，y)，它满足条件z 0 =z(x 0，y 0 )，且有在本题中令 F(x，y，z)=xy－zlny+z 2－1，则 F(1，1，0)=0，且 F' x =y，F' y =x－，F' z =－lny+2z， F' x (1，1，0)=1，F' y (1，1，0)=1，F' z (1，1，0)=0．由隐函数存在定理可知，可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y，z)和y=y(x，z)．故选D．12.设(0，0)( )．A.为z的驻点且为极小值点B.为z的驻点但不为极小值点C.不为z的驻点，但为极小值点√D.不为z的驻点，也不为极小值点z=f(x，y)=，当(x，y)≠(0，0)时，f(x，y)=＞0，而f(0，0)=0，可知点(0，0)为f(x，y)的极小值点，由于不存在，可知在点(0，0)不存在，因此点(0，0)不是z的驻点，故选C．13.函数z=x 2 +y 2在条件=1下的极值为( )．A.B.C. √D.所给问题为条件极值．构造拉格朗日函数 F(x，y，λ)=x 2 +y 2 +λ( －1)，解联立方程组可解得唯一一组解对于条件极值问题，判定其驻点是否为极值点，往往是利用问题的实际背景来解决．所给问题不是实际问题．但是可以理解为：考查直线=1上的点到原点的距离的极值问题．由于直线上任意一点(x，y)到原点的距离而点(x，y)应满足直线方程=1．因此问题转化为求在条件=1下函数d=的最小值问题．为了计算简便，可以求z=d 2 =x 2 +y 2在条件=1下的极值问题．在此实际背景之下，由于原点到定直线上点之间的距离存在最小值，可知所给条件极值存在最小值．由于驻点唯一，因此所求驻点为最(极)小值点，相应的最(极)小值为故选C．14.设z=z(x，y)由方程z－y－xe z－y－x－y=0确定，则．A.－1B.1 √C.－1+e z－y－xD.－1－e z－y－x设F(x，y，z)=z－y－x+xe z－y－x，则 F' y =－1+xe z－y－x．(－1)=－(1+xe z－y－x )， F' z =1+xe z－y－x．因此故选B．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设u=lnx，则du=1／xdx．所以ln2x=ln2+lnx=ln2+u，ln4x=u+ln4=u+2ln2=u－ln2．ln(2ln2+u)+C =lnx－ln2．ln(ln4x)+C．)16.设f(x)为连续函数，且满足∫0x f(t－1)dt=x 3，求f'(x)．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由于f(x)为连续函数，因此将所给表达式两端同时关于x求导，可得 f(x－1)=3x 2．令t=x－1，则x=t+1，可得f(t)=3(t+1) 2，即 f(x)=3(x+1) 2，故f'(x)=6(x+1)．)17.，求a，b的值．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由于原式型，由洛必达法则可得由于分子的极限为零，比值的极限存在，因此分母的极限必定为零，即(b－cosx)=b=1=0，可得b=1．因此可知a=2或a=－2．)18.计算定积分∫π／4π／2．__________________________________________________________________________________________正确答案：(19.计算定积分∫1／23／2．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：令t=1－x，则dx=－dt．当x=1／2时，t=1／2；当x=3／2时，t=－1／2．因此)20.设，求∫01 xf(x)dx．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：将f(x)= dt两端同时关于x求导，可得f'(x)=2x 由分部积分公式可得∫01 xf(x)dx 当x=1时，有 f(1)=∫11dt=0，因此∫01 xf(x)dx=1／4(e －1－1)．)21.求由曲线y=和直线x=0，x轴所围成图形的面积．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由于当0≤x≤＞0，故所求图形面积为令t=x 2，当x=0时，t=0；当x= 时，t=π／4．因此)22.设二元函数__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设u=x／y，v=y／x，则z=sinu+cosv23.设z=方f[x+φ(y／x)]，其中f(u)，φ(v)为可导函数，求dz．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设u=x+φ(y／x)，v=y／x，则z=f(u)24.设2=z(x，y)由f(x 2－y，y 2 +z)=0确定，其中f(u，v)可微，求dz．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：记f' i为f对第i个位置变量的偏导数，i=1，2，设 F(x，y，z)=f(x 2－y，y 2+z)，则F' x =f' 1．2x，F' y =f' 1．(一1)+f' 2．2y，F' z =f' 2．)25.设z=z(x，y)由方程x+y+z－xyz=0确定，求dz．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：解法1利用全微分形式不变性求解．dx+dy+dz－d(xyz)=0，dx+dy+dz－yzdx－xzdy－xydz=0，(1－yz)dx+(1－xz)dy+(1－xy)dz=0．当1－xy≠0时，有dz= [(1－yz)dx+(1－xz)dy]．解法2先利用隐函数存在定理求，再利用全微分公式求dz．令F(x，y，z)=x+y+z－xyz，则F' x=1－yz，F' y =1－xz，F' z =1－xy，当xy≠1时，有)26.设u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由e xy－y=0和e z－z=0确定，求du／dx．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由于y=y(x)，z=z(x)，可知u为x的一元函数，则有du／dx=f' 1+f' 2．+f' 3．dz／dx．将e' xy－y=0两端关于x求导，可得 e xy．(xy)'－y'=0， e xy．(y+xy')－y'=0，可得将e z－xz=0两端关于x求导，可得 e z．z'－(z+xz')=0， z'=z／(e z－x) 因此) 27.设函数z=lnx+3lny，求z在条件x 2 +y 2 =25下极值点的坐标．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：构造拉格朗日函数L(x，y，λ)=lnx+3lny+λ(x 2 +y 2－25)，求解方程组由①，②可得λ=－1／2x 2 =－3／2y 2，因此y 2 =3x 2，代入③可得由于z=lnx+3lny，知x＞0，y＞0，故只有唯一的可能极值点(5／2，5／)．本题可以理解为：在圆周x 2 +y 2 =25上求一点，使lnxy 3达到极值，由lnxy 3表达式可知，其极小值不存在，极大值应该存在，驻点唯一，因此该驻点即为极大值点，此点即为所求点．)28.设计一幅广告画，要求画面面积为4840cm 2，上、下空白处各要留8cm，左、右空白处各要留5cm，问怎样确定画面的长和宽，才能使整幅广告画所用纸张的面积最小?__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设画面长、宽分别为x，y(cm)，则整幅广告画所用纸张面积为 S=(x+16)(y+10)，(x＞0，y＞0)．要求面积S=(x+16)(y+10)在约束条件xy=4840下的最小值．构造拉格朗日函数L(x，y，λ)=(x+16)(y+10)+λ(xy－4840)．x=88，y=55，则(88，55)是唯一可能的极值点．由实际问题可知所用纸张面积一定存在最小值，且可能极值点唯一，因此长为88cm，宽为55cm时为所求画面的长和宽．)。

经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷9(题后含

经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷9(题后含答案及解析)题型有：1.jpg />A．－3／2B．－2／3C．2／3D．3／2正确答案：A解析：当x→1时，x25x+4→0，因此故选A．知识模块：微积分5．设f(x)=若f(x)+g(x)在x=0和x=1处都有极限，则( )．A．a=2，b=0B．a=2，b=sin1C．a=1，b=0D．a=1，b=sin1正确答案：B解析：需先求出f(x)+g(x)的表达式．显然点x=0，x=1为f(x)+g(x)的分段点，在分段点两侧函数表达式不同，应考虑左极限与右极限．[f(x)+g(x)]=(2e－x+b)=2+b，[f(x)+g(x)]=(a+b)=a+b．由于f(x)+g(x)在点x=0处有极限，因此a+b=2+b，可知a=2．[f(x)+g(x)]=(a+b)=a+b，[f(x)+g(x)]=(a+sinx)=a+sin1．由于f(x)+g(x)在点z=1处有极限，因此a+b=a+sin1，可知b=sin1．故选B．知识模块：微积分6．A．a=1，b=1／2B．a=1，b=2C．a=1／2，b=1D．a=1／2，b=2正确答案：A解析：由于=b，且分母的极限为零，则必定有分子的极限为零，即(a－cosx)=a －1=0，从而得a=1，因此有故选A．知识模块：微积分7．函数f(x)=，则( )．A．x=－1为f(x)的可去间断点，x=1为无穷间断点B．x=－1为f(x)的无穷间断点，x=1为可去间断点C．x=－1与x=1都是f(x)的可去间断点D．x=－1与x=1都是f(x)的无穷间断点解析：当x=－1与x=1时，f(x)没有定义．这两个点是f(x)的间断点．可知x=－1为f(x)的无穷间断点，x=1为f(x)的可去间断点．故选B．知识模块：微积分8．已知函数y=f(x)在点=1处可导，且=2，则f(1)=( )．A．1B．2C．3D．6正确答案：D解析：所给题设为导数定义的等价形式，由导数定义可知可得f’(1)=6．故选D．知识模块：微积分9．设函数f(x)在点x=0处连续，且f(x)／x=1，则下列命题不正确的是( )．A．f(x)=0B．f(0)=0C．f’(0)=0D．f’(0)=1正确答案：C解析：已知x=0，所以必有f(x)=0．又f(x)在点x=0处连续，故f(0)=f(x)=0．于是故选C．知识模块：微积分10．若y=f(x)可导，则当△x→0时，△y－dy为△x的( )．A．高阶无穷小B．低阶无穷小C．同阶但不等价无穷小D．等价无穷小正确答案：A解析：由微分的定义可知，当△x→0时，→0，△y－dy为△x的高阶无穷小，故选A．知识模块：微积分11．若在[0，1]上f”(x)＞0，则f’(1)，f’(0)，f(1)－f(0)或f(0)－f(1)的大小顺序是( )．A．f’(1)＞f’(0)＞f(1)f(0)B．f’(1)＞f(1)－f(0)＞f’(0)C．f(1)一f(0)＞f’(1)＞f’(0)D．f’(1)＞f(0)－f(1)＞f’(0)解析：本题考查导数值的关系．题设条件为二阶导数大于零，可考虑利用二阶导数符号来判定一阶导函数的增减性来求解．由于在[0，1]上f”(x)＞0，可知f’(x)为[0，1]上的单调增加函数，因此f’(1)＞f’(0)．又f”(x)在[0，1]上存在，可知f’(x)在[0，1]上连续．f(x)在[0，1]上满足拉格朗日中值定理，可知必定存在点ξ∈(0，1)，使得f(1)－f(0)=f’(ξ)，由于f’(x)在[0，1]上为单调增加函数，必有f’(1)＞f’(ξ)＞f’(0)，即f’(1)＞f(1)－f(0)＞f’(0)．故选B．知识模块：微积分12．设函数f(x)在(－∞，+∞)内连续，其导数的图形如图1—2—1所示．则f(x)有( )．A．一个极小值点和两个极大值点B．两个极小值点和一个极大值点C．两个极小值点和两个极大值点D．三个极小值点和一个极大值点正确答案：A解析：由于极值点只能是导数为零的点或不可导的点，因此只需考虑这两类特殊点．由图1—2—1可知，导数为零的点有三个，自左至右依次记为x1，x2，x3．在这些点的两侧，f’(x)异号：当x＜x1时，f’(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f’(x)＜0．可知x1为f(x)的极大值点．当x1＜x＜x2时，f’(x)＜0；当x2＜x＜0时，f’(x)＞0．可知x0为f(x)的极小值点．当0＜x＜x3时，f’(x)＞0；当x＞x3时，f’(x)＜0．可知x3为．f(x)的极大值点．由导函数图形知，在点x=0处f(x)不可导，但在x=0左侧f’(x)＞0，在x=0右侧f’(x)＞0．可知点x=0不为．f(x)的极值点．综上可知函数f(x)有一个极小值点和两个极大值点．故选A．知识模块：微积分13．设y=sinx，则y’=( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：y=sinx，则y’=(x1／3)’sinx+x1／3．(sinx)’=1／3x－2／3sinx+x1／3cosx=故选D．知识模块：微积分14．已知函数f(x)连续，且f(x)／x=2，则曲线y=f(x)上对应x=0处的切线方程是( )．A．y=xB．y=－xC．y=2xD．y=－2x正确答案：C解析：由于f(x)为连续函数，f(x)／x=2，可知f(0)=f(x)=0．因此曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=2x．故选C．知识模块：微积分计算题15．求极限x[ln(x+2)－lnx]．正确答案：所求极限为“0．∞”型，不能利用极限的四则运算法则．由对数性质及连续函数的性质有：=lne2=2．涉及知识点：微积分16．求极限(3－n+4－n)1／n．正确答案：(3－n+4－n)1／n令x=(3／4)n，则(3／4)n=0，即x=0．原式=1／3(1+x)1／n=1／3[(1+x)1／x]x／n=1／3．涉及知识点：微积分17．求极限(1+2n+3n)1／n．正确答案：由于由极限存在准则(夹逼定理)可知=1／3lim(1+2n+3n)1／n=1，(1+2n+3n)1／n=3．涉及知识点：微积分18．若=0，求常数a的值．正确答案：所给表达式中，由于当x→0时sin3x／x极限存在，由极限的性质可知当x→0时，ln()1／x极限存在，且有=lnea+1=a+1．因此a+1=3，得a=2．涉及知识点：微积分19．设当x→0时，(－1)．ln(1+x2)是比xnsinx高阶的无穷小量，而xnsinx 是比1－cosx高阶的无穷小量，求正整数n的值．正确答案：当x→0时，(－1)．ln(1+x2)～x2．x2=x4，xnsinx～xn+1，1－cosx～x2／2．由题设可知，应有2＜n+1＜4，因此n=2．涉及知识点：微积分20．设f(x)=在点x=0处连续，求a，b的值．正确答案：f(x)为分段函数，点x=0为分段点，在分段点两侧f(x)表达式不同，考查f(x)在点x=0处左连续与右连续．由于sin1／x为有界变量，当x→0时，x为无穷小量，因此xsin1／x=0．而可得f(x)=3，由f(0)=a，可知当a=3时，f(x)在点x=0处左连续．(1+bx)2／x=e2b．可知当e2b=a，即b=1／2lna时，f(x)在点x=0处右连续．综上可知，当a=3，b=1／2ln3时，f(x)在点x=0处连续．涉及知识点：微积分21．求函数y=ln的连续区间．正确答案：首先求y=ln的定义域，应有＞0，且1－x≠0，解得0＜x＜1．可知y=ln的定义域为(0，1)，y=ln为初等函数，在其定义区间(0，1)内必定为连续函数，可知(0，1)为所求．涉及知识点：微积分22．设y=cos(2x+x2)，求dy．正确答案：解法1先求y’，由dy=y’dx解之．y=cos(2x+x2)，y’=－sin(2x+x2)．(2x+x2)’=－sin(2x+x2)．(2x．ln2+2x)．因此dy=y’dx=－sin(2x+x2)．(2xln2+2x)dx．解法2利用微分形式不变性解之．dy=d[cos(2x+x2)]=－sin(2x+x2)．d(2x+x2)=－sin(2x+x2)．(2xln2+2x)dx．涉及知识点：微积分23．设y=+sinx，求y’．正确答案：先将所给函数分为两项之和，第一项为连乘除形式，应利用对数求导法，对此，令则有ln|y1|=2ln|x|－ln|1－x|+ln|2+x|－ln|2－x|，两端关于x求导，可得涉及知识点：微积分24．设y=f(x)由方程sin(xy)+lny－x=1确定，求n[f(2／n)－e]．正确答案：由于n→∞时，2／n→0，f(2／n)→f(0)，先将x=0代入所给方程，可得f(0)=e．只需求f’(0)．将方程两端对x求导，有cosxy．(y+xy’)+．y’－1=0．将x=0及y|x=0=e代入上式，可得y’|x=0=f’(0)=e(1－e)，所以n[f(2／n)－e]=2e(1－e)．涉及知识点：微积分25．正确答案：本题是“苦0／0”型极限，但若直接用洛必达法则，求导比较麻烦．考虑到分子、分母都有，故可先设t=，然后用洛必达法则．涉及知识点：微积分26．正确答案：当x→∞时，ln(1+)～1→x，可知所以本题是“∞－∞”型．应先做变换，令t=1→x，则涉及知识点：微积分27．设函数y=x2+ax+b在点x=2处取得极小值3，求常数a，b的值．正确答案：由于函数y在点x=2处取得极小值3，因此有3=22+2a+b，即2a+b=－1．又y’=2x+a，y’|x=2=4+a=0，可得a=－4，进而知b=7．涉及知识点：微积分28．当e＜x1＜x2时，问lnx1／x1与lnx2／x2哪个大，为什么?正确答案：由题目可知是考查函数y=lnx／x的单调性．当x＞e时，y有定义，由于令y’=0得y的驻点x=e．当x＞e时，y’＜0，可知函数y=lnx／x单调减少．因此当e＜x1＜x2时，有lnx1／x1＞lnx2／x2．涉及知识点：微积分29．假设某种商品的需求量Q是单价p(单位：千元)的函数Q=120－8p．商品的固定成本为25(千元)，每多生产一单位产品，成本增加5(千元)．试求使销售利润最大的商品单价和最大销售利润．正确答案：利润等于销售收益减去总成本，所以首先求出成本函数C=C(Q)．然后求L=pQ－C的最大值．已知商品固定成本为25(千元)，可变成本呈线性增长．所以总成本函数C=25+5Q．总销售利润L=R－C=pQ－C=p(120－8p)－25－5(120－8p)=160p－8p2－625，L’=160－16p．令L’=0，得驻点p=10．由L”=－16＜0及唯一性可知当p=10(千元)时，总销售利润最大．最大销售利润为L(10)=160×10－8×102－625=175(千元)．涉及知识点：微积分。

经济类专业学位联考综合能力数学基础(单项选择题)模拟试卷4(题

经济类专业学位联考综合能力数学基础（单项选择题）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1.1．已知f(x)存在，且函数f(x)=x2+x－2f(x)=( )．A．3／2B．2／3C．－2／3D．－3／2正确答案：B解析：由于极限值为一个确定的数值，因此可设f(x)=A，于是f(x)=x2+x－2A两端同时取x→1时的极限，有(x2+x－2A)=2－2A，于是A=2－2A．解得A=2／3．故选B．知识模块：微积分2．A．－1B．1C．2D．3正确答案：B解析：所给极限为“∞／∞”型，不能利用极限的四则运算法则，也不能利用洛必达法则求之．通常对无穷大量运算的基本原则是转化为无穷小量运算．故选B．知识模块：微积分3．A．3／2B．2／5C．5／3D．3正确答案：C解析：所给极限为“0／0”型，不能直接利用极限的四则运算法则．首先进行等价无穷小代换，再分组，可简化运算．故选C．知识模块：微积分4．A．等于－1B．等于3／2C．为∞D．不存在，也不为∞正确答案：D解析：当x→+∞时，ex→+∞，因此当x→∞时，ex→0，因此故选D．知识模块：微积分5．设xn=e1／n，则当n→∞时，xn的极限( )．A．1／4B．为1C．为∞D．不存在，也不为∞正确答案：A解析：当n→∞时，cos2／n→1，e1／n→1，sin1／n～1／n．则故选A．知识模块：微积分6．设f’(x0)=f”(x0)=0，f”(x0)＞0，则下列选项正确的是( )．A．f’(x0)是f’(x)的极大值B．f(x0)是f(x)的极大值C．f(x0)是f(x)的极小值D．(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点正确答案：D解析：需注意如果f”(x0)=0，则判定极值的第二充分条件失效．如果记F(x)=f’(x)，由题设条件有F’(x0)=0，F”(x0)＞0．由极值的第二充分条件知F(x0)为F(x)的极小值，即f’(x0)为f’(x)的极小值，因此A不正确，排除A．取f(x)=x3，则f’(x)=3x2，f”(x)=6x，f”‘(x)=6．因此f’(0)=f”(0)=0，f”‘(0)=6＞0．而x=0既不为．f(x)=x3的极小值，也不为f(x)=x3的极大值，可知B，C都不正确，排除B，C．由于f”‘(x0)＞0，知f”(x)在点x0处连续，又f”(x0)=0，由导数定义可以验证f”(x)在x0两侧异号，从而知点(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点．故选D．利用泰勒公式可以证明下述命题：若f’(x0)=f”(x0)=…=f(n－1)(x0)=0，而f(n)(x0)≠0，则(1)当n为偶数时，x0为f(x)的极值点，且①当f(n)(x0)＞0时，x0为f(x)的极小值点；②当f(n)(x0)＜0时，x0为f(x)的极大值点．(2)当n为奇数时，x0不为f(x)的极值点．但点(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的拐点．以后可以将上述结论作为定理使用．知识模块：微积分7．设在(1，2，3)的某个邻域内z=z(x，y)由方程2z－z2+2xy=1确定，则dz|(1，2)=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：解法1记F(x，y，z)=2z－z2+2xy－1，则x=1，y=2，z=3满足方程F(x，y，z)=0．又F’x=2y，F’y=2x，F’z=2－2z，F’x(1，2，3)=4，F’y(1，2，3)=2，F’z(1，2，3)=－4．所以因此dz=dx+dy．故选B．解法2由于2z－z2+2xy=1，将方程两端直接求微分，可得2dz－d(z2)+2d(xy)=0，即2dz－2zdz+2ydx+2xdy=0，当x=1，y=2，z=3时，代入上式，可得－4dz+4dx+2dy=0，即dz|(1，2)=dx+dy．故选B．知识模块：微积分8．设z=，则点(0，0)( )．A．为z的驻点且为极小值点B．为z的驻点但不为极小值点C．不为z的驻点，但为极小值点D．不为z的驻点，也不为极小值点正确答案：C解析：z=f(x，y)=，当(x，y)≠(0，0)时，f(x，y)=＞0，而f(0，0)=0，可知点(0，0)为f(x，y)的极小值点，由于不存在，可知在点(0，0)不存在，因此点(0，0)不是z的驻点，故选C．知识模块：微积分9．设f(x，y)=x2y2+xlnx，则点(1／e，0)( )．A．不是f(x，y)的驻点，是f(x，y)的极值点B．不是f(x，y)的驻点，也不是f(x，y)的极值点C．是f(x，y)的驻点，也是f(x，y)的极大值点D．是f(x，y)的驻点，也是f(x，y)的极小值点正确答案：D解析：由题设可知f’x(x，y)=2xy2+lnx+1，f’y(x，y)=2x2y．令解得f(x，y)的唯一驻点x=1／e，y=0，即驻点为(1／e，0)，因此排除A，B．又有f”xx=2y2+，f”xy=4xy，f”yy=2x2，A=f”xx|(1／e，0)=e，B=f”xy|(1／e，0)=0，C=f”yy|(1／e，0)=2／e2，B2－AC=－2／e＜0，所以由极值的充分条件知(1／e，0)为f(x，y)的极小值点，极小值为－1／e．故选D．知识模块：微积分10．设A为m×n矩阵，且r(A)=r，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则有( )．A．m＞nB．m＜nC．m＞rD．r＜n正确答案：D解析：选项D，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是r(A)＜n，故选D．选项A，m＞n，表示方程组Ax=0的方程个数大于未知量的个数，与该方程组解的状态没有直接关系．选项B，m＜n表示方程组Ax=0的方程个数小于未知量的个数，必定含有自由未知量，因此，该方程组必有非零解．但该方程组有非零解未必方程个数小于未知量的个数．选项C，m＞r，表示方程组Ax=0含有多余方程，在消元过程中必定会被消去，与该方程组解的状态没有直接关系．知识模块：线性代数11．设方程组(Ⅰ)(Ⅱ)－x1+x2－x3=0，则( )．A．当a=2时，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)为同解方程组B．当a=1时，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)为同解方程组C．当a=0时，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)为同解方程组D．无论a取何值，方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)均不是同解方程组正确答案：D解析：两个方程组为同解方程组的必要条件是系数矩阵的秩相等，无论a取何值，方程组(Ⅰ)中的两个方程的系数均不成比例，因此，其系数矩阵的秩为2，而方程组(Ⅱ)的系数矩阵的秩为1，所以，这两个方程组不可能为同解方程组．故选D．知识模块：线性代数12．设A为m×n矩阵，r(A)＜n，则( )．A．ATAx=0与Ax=0的解之间没有关联B．Ax=0的解一定是ATAx=0的解，但反之不然C．ATAx=0的解一定是Ax=0的解，但反之不然D．Ax=0与ATAx=0为同解方程组正确答案：D解析：关键在于两方程组非零解之间的关系，若η是方程组Ax=0的非零解，即有Aη=0，也必有ATAη=0，因此，η也必定是方程组ATAx=0的解．反之，若η是方程组ATAx=0的非零解，也必有Aη=0，否则，Aη≠0，使得(Aη)TA η=ηTATAη≠0，从而与假设ATAη=0矛盾．从而知ATAx=0与Ax=0为同解方程组，综上，知选项A，B，C均不正确，故选D．知识模块：线性代数13．设函数f(x)在开区间(a，b)内有f’(x)＜0，且f”(x)＜0，则y=f(x)在(a，b)内( )A．单调增加，图像上凹B．单调增加，图像下凹C．单调减少，图像上凹D．单调减少，图像下凹正确答案：C 涉及知识点：数学基础14．设A，B为两个随机事件，且P(A)=0．4，P(A∪B)=0．7，若A，B 相互独立，则P(B)=( )．A．0．2B．0．3C．0．4D．0．5正确答案：D解析：由加法公式和事件独立性的概念，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)=P(A)+P(B)－P(A)P(B)，即0．4+P(B)(1－0．4)=0．7，解得P(B)=0．5．故选D．知识模块：概率论15．假设一批产品中一、二、三等产品各占60％，30％，10％，从中随意取出一件，结果不是三等产品，则取到的是一等产品的概率为( )．A．4／5B．2／3C．3／5D．1／2正确答案：B解析：设事件Ai(i=1，2，3)为取到第i等产品，由题设知P(A1)=3／5，P(A3)=1／10，由条件概率公式，有故选B．知识模块：概率论16．已知离散型随机变量X的分布律为P{X=k)=1／3pk(k=0，1，…)，则p=( )．A．2／3B．1／2C．1／3D．1／4正确答案：A解析：一般地，若随机变量的取值点(即正概率点)为xi(i=1，2，…)，则P{X=xi}=pi(i=1，2，…)为X的分布律的充分必要条件是：pi＞0(i=1，2，…)且pi=1．因此有解得p=2／3，故选A．知识模块：概率论17．把x→0+时的无穷小量α=∫0xcost2dt，排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是( )。

经济类专业学位联考综合能力数学基础(单项选择题)模拟试卷7(题

经济类专业学位联考综合能力数学基础（单项选择题）模拟试卷7(题后含答案及解析)题型有：1.1．已知f(x)存在，且函数f(x)=x2+x－2f(x)=( )．A．3／2B．2／3C．－2／3D．－3／2正确答案：B解析：由于极限值为一个确定的数值，因此可设f(x)=A，于是f(x)=x2+x－2A两端同时取x→1时的极限，有(x2+x－2A)=2－2A，于是A=2－2A．解得A=2／3．故选B．知识模块：微积分2．d／dxxcost2dt=( )．A．－x3cosx4B．－2x2cosx4C．cost2dt+2x2cosx4D．cost2dt－2x2cosx4正确答案：D解析：注意到可变下限积分的求导公式[∫xbf(t)dt]’=－f(x)，被积函数中的变量为t，不含变下限的变元x．而题设所给积分的被积函数中含有变下限的变元x，因此不能直接利用可变下限积分的求导公式．通常的处理方法是进行恒等变形，将被积函数中的x分离到积分号的外面．由于在积分的过程中，积分变元为t，因此可以认定x为积分过程中的常量．所以=cost2dt－xcos(x2)2．(x2)’=cost2dt －2x2cosx4．故选D．知识模块：微积分3．∫01dx=( )．A．1B．π／2C．π／3D．π／4正确答案：D解析：y=可以化为(x－1)2+y2=1，y≥0，因此y=表示圆心在(1，0)，半径为1的上半圆，∫01dx的值等于上述半圆的面积的二分之一，即∫01dx=π／4．故选D．知识模块：微积分4．设g(x)=，则( )．A．x=0必是g(x)的第一类间断点B．x=0必是g(x)的第二类间断点C．x=0必是g(x)的连续点D．g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关正确答案：D解析：所给问题为函数g(x)在点x=0处的连续性及间断点的类型判定问题．又由g(0)=0，可知：当a＞1时，g(x)=g(0)，此时g(x)在x=0处连续；当a=1时，g(x)=1，此时g(x)在x=0处间断，x=0为g(x)的第一类间断点；当a＜1时，g(x)不存在，此时g(x)在x=0处间断，x=0为g(x)的第二类间断点．综上可知，g(x)在点x=0处的连续性与a的取值有关．故应选D．知识模块：微积分5．下列命题错误的是( )．A．f(x，y)=A的充分必要条件是f(x，y)=A+α，其中α满足α=0B．若函数z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处存在偏导数，则z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处必定连续C．若函数z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处可微分，则z=f(x，y)在M0(x0，y0)必定存在偏导数dyD．若函数z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处存在连续偏导数，则z=f(x，y)在点M0(x0，y0)必定可微分，且dzdy正确答案：B解析：对于命题A可仿一元函数极限基本定理证明其正确，又可以称这个命题为二元函数极限基本定理．命题B不正确：偏导数存在不能保证函数连续，同样函数连续也不能保证偏导数存在．由全微分的性质可知，若函数z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处可微分，则必定存在，且可知命题C正确．对于命题D，教材中以定理形式出现“如果函数z=f(x，y)的偏导数在点(x，y)连续，那么函数在该点可微分”，还给出定理的证明，这说明命题D正确．故选B．知识模块：微积分6．f(x)=ln(1+x2)，则在(－1，0)内( )．A．函数y=f(x)单调减少，曲线为凹B．函数y=f(x)单调减少，曲线为凸C．函数y=f(x)单调增加，曲线为凹D．函数y=f(x)单调增加，曲线为凸正确答案：A解析：y=ln(1+x2)，定义域为(－∞，+∞)．在(－1，0)内，y’＜0，函数y=f(x)单调减少；y”＞0，曲线y=f(x)为凹．故选A．知识模块：微积分7．设行列式其中等于4!的是( )．A．①B．①②C．①②③D．①②③④正确答案：A解析：本题所给每个行列式仅含有4个不同行不同列的非零元素，行列式即为由这4个元素乘积构成的特定项．在乘积大小同为41的情况下，关键是确定项前符号．在行标按自然顺序排列的前提下：①中非零项列标排列的逆序数为τ(4321)=6，为偶数，从而知其值为4!．②中非零项列标排列的逆序数为τ(3421)=5，为奇数，故其值为－4!．③中非零项列标排列的逆序数为τ(4123)=3，为奇数，故其值为－4!．④中非零项列标排列的逆序数为τ(4231)=5，为奇数，故其值为－4!．故选A．知识模块：线性代数8．若有矩阵Am×l，Bl×n，Cm×n，则下列运算可以进行的是( )。

经济类专业学位联考综合能力数学基础(计算题)模拟试卷10(题后含

经济类专业学位联考综合能力数学基础（计算题）模拟试卷10(题后含答案及解析)题型有：1.1．正确答案：当x→0－时，1／x→－∞，e1／x→0，且－1／x→+∞，e－1／x→+∞，因此所给极限表达式不能直接利用极限的四则运算法则．应先变形再求极限．涉及知识点：微积分2．设z=f(xy，x2+y2)，y=φ(x)，其中f和φ均为可微函数，求dz／dx．正确答案：z为x的复合函数，因此用全导数符号．令u=xy，v=x2+y2，则z=f(u，v)．先利用全微分形式不变性求出dz再求导得dz／dx．dz=f’udu+f’vdv=f’u．(ydx+xdy)+f’v．(2xdx+2ydy)=(yf’u+2xf’v)dx+(xf’u+2y f’v)dy．又由于dy=φ’(x)dx，因此可得dz／dx=f’u．[y+xφ’(x)]+2f’v．[x+y φ’(x)]．涉及知识点：微积分3．某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x(万尾)，乙种鱼放养y(万尾)，收获时两种鱼的收获量分别为(3－αx－βy)x和(4－βx－2αy)y，其中α＞β＞0．求使鱼总产量最大的放养数．正确答案：设鱼总产量为z，则z=3x+4y－αx2－2αy2－2βxy，由极值的必要条件，得方程组由于α＞β＞0，则△=4(2α2－β2)＞0，可得唯一一组解B2－AC=4β2－8α2=－4(2α2－β2)，由题设可知B2－AC＜0，且A＜0．因此(x0，y0)为极大值点，其中x0，y0分别为两种鱼的放养数．涉及知识点：微积分4．设A=，E为4阶单位矩阵，且B=(E+A)－1(E－A)，求矩阵(E+B)－1．正确答案：等式两边左乘E+A，整理得B+AB=E－A，再整理为A(E+B)=2E －(E+B)，从而得(A+E)(E+B)=2E．两边同时求逆，得(E+B)－1(A+E)－1=1／2E，因此得(E+B)－1=1／2(A+E) 涉及知识点：线性代数5．设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex一xy2=0所确定，求正确答案：涉及知识点：数学基础6．10件产品中有5件一级品，3件二级品，2件次品，无放回地抽取，求取到二级品之前取到一级品的概率．正确答案：设Ak为第k次取到一级品，Bk为第k次取到次品，A为取到二级品之前取到一级品，于是A1=A1，A2=B1A2，A3=B1B2A3，A=A1+B1A2+B1B2A3，显然，事件A1，A2，A3互斥，从而有P(A)=P(A1)+P(B1A2)+P(B1B2A3) 涉及知识点：概率论7．设有两批数量相同的零件，已知有一批产品全部合格，另一批产品有25％不合格．从两批产品中任取1个，经检验是合格品，放回原处，并在其所在批次再取1个，试求这个产品是不合格品的概率．正确答案：设Hi(i=1，2)为第一次从第i批产品中抽取，A为取到合格品，则有P(H1)=P(H2)=1／2，P(A|H1)=1，P(A|H2)=3／4，即有P(A)=P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)=7／8，从而有P(H1|A)==4／7，P(H2|A)=1－P(H1|A)=3／7，又设Ci(i=1，2)为第二次从第i批产品中抽取，则有P()=P(C1)P(|C1)+P(C2)P(|C2) 涉及知识点：概率论8．设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，且g(x)≠0，x∈[a，b]，试证：至少存在一个ξ∈(a，b)，使得正确答案：首先将证明的等式中的ξ换成x。

经济类专业学位联考综合能力数学基础(单项选择题)模拟试卷11(题

经济类专业学位联考综合能力数学基础（单项选择题）模拟试卷11(题后含答案及解析)题型有：1.1．函数2(e2x－e－2x)的一个原函数为( )．A．e2x－e－2xB．e2x+e－2xC．2(e2x－e－2x)D．2(e2x+e－2x)正确答案：B解析：函数2(e2x－e－2x)的原函数为∫2(e2x－e－2x)dx=f2e2xdx∫2e－2xdx=e2x+e－2x+C．故选B．知识模块：微积分2．设f(sin2x)=x2／|sinx|，当x→0时，f(x)为x的( )．A．等价无穷小量B．同阶无穷小量，但不为等价无穷小量C．高阶无穷小量D．低阶无穷小量正确答案：D解析：设t=sin2x，则|sinx|=sin|x|=，|x|=arcsin．因此f(sin2x)=x2／|sinx|可化为f(t)=即当x→0时，f(x)为无穷小量．因此可知当x→0时，f(x)为x的低阶无穷小量，故选D．知识模块：微积分3．A．0B．1／2C．1D．2正确答案：C解析：当x→0时，x2为无穷小量，sin1／x为有界变量，因此x2sin1／x为无穷小量．故选C．知识模块：微积分4．设f(x)=f(x)存在，则a=( )．A．1／2B．1C．2D．e正确答案：C解析：点x=0为f(x)的分段点，在分段点两侧f(x)表达式不同，应分左极限、右极限考虑．由于f(x)存在，则e2／a=e，可得a=2．故选C．(1+ax)b／x+c=eab．以后可以用作公式，简化运算．相仿知识模块：微积分5．若已知函数f(x)在点x=4处的导数f’(4)=1，则=( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：所给问题似乎与导数定义的形式相同，但是仔细分析可以发现两者之间的差异．已知条件为f’(4)=1，从而有=1．因此可设u=2x，得=2f’(4)=2．故选B．知识模块：微积分6．下列命题错误的是( )．A．f(x，y)=A的充分必要条件是f(x，y)=A+α，其中α满足α=0B．若函数z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处存在偏导数，则z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处必定连续C．若函数z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处可微分，则z=f(x，y)在M0(x0，y0)必定存在偏导数dyD．若函数z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处存在连续偏导数，则z=f(x，y)在点M0(x0，y0)必定可微分，且dzdy正确答案：B解析：对于命题A可仿一元函数极限基本定理证明其正确，又可以称这个命题为二元函数极限基本定理．命题B不正确：偏导数存在不能保证函数连续，同样函数连续也不能保证偏导数存在．由全微分的性质可知，若函数z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处可微分，则必定存在，且可知命题C正确．对于命题D，教材中以定理形式出现“如果函数z=f(x，y)的偏导数在点(x，y)连续，那么函数在该点可微分”，还给出定理的证明，这说明命题D正确．故选B．知识模块：微积分7．设f(x)=则f(x)在x=1处( )．A．左、右导数都存在B．左导数存在，但右导数不存在C．左导数不存在，但右导数存在D．左、右导数都不存在正确答案：B解析：由于在分段点两侧f(x)表达式不同，因此利用左导数、右导数进行判定．有可知f(x)在x=1处左导数存在，右导数不存在，故选B．知识模块：微积分8．若f(－x)=f(x)(－∞＜x＜+∞)，在(－∞，0)内f’(x)＞0，f”(x)＜0，则在(0，+∞)内有( )．A．f’(x)＞0，f”(x)＜0B．f’(x)＞0，f”(x)＞0C．f’(x)＜0，f”(x)＜0D．f’(x)＜0，f”(x)＞0正确答案：C解析：由题设f(－x)=f(x)，可知函数f(x)为偶函数，其图形关于y轴对称．由于在(－∞，0)内f’(x)＞0，可知f(x)单调增加．因此在(0，+∞)内f(x)关于y轴对称的图形为单调减少，应有f’(x)＜0．由于在(－∞，0)内f”(x)＜0，因此其图形为凸．而经y轴对称，在(0，+∞)内图形仍为凸，从而．f”(x)＜0．故选C．知识模块：微积分9．设z=－f(x－3y)，其中f有二阶连续导数，则=( )．A．－3f(x－3y)B．3f”(x－3y)C．－f’(x－3y)D．f”(x－3y)正确答案：B解析：由于z=－f(x－3y)，可知=－f”(x－3y)．(－3)=3f”(x－3y)．故选B．知识模块：微积分10．已知函数f(x)连续，且f(x)／x=2，则曲线y=f(x)上对应x=0处的切线方程是( )．A．y=xB．y=－xC．y=2xD．y=－2x正确答案：C解析：由于f(x)为连续函数，f(x)／x=2，可知f(0)=f(x)=0．因此曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=2x．故选C．知识模块：微积分11．设3阶矩阵A=，若A的秩为2，则有( )．A．a=1或a=－2B．a=1C．a=－2D．a≠1且a≠－2正确答案：C解析：由知若A的秩为2，则a=－2，故选C．知识模块：线性代数12．α1，α2，α3两两线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的( )．A．充分但非必要条件B．必要但非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件正确答案：B解析：向量组α1，α2，α3线性无关，则其部分向量组必线性无关，因此，α1，α2，α3两两线性无关．但α1，α2，α3两两线性无关未必有向量组α1，α2，α3线性无关，见反例：向量α1=(0，1)，α2=(1，0)，α3=(1，1)两两线性无关，但向量组α1，α2，α3线性相关．所以，α1，α2，α3两两线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的必要但非充分条件，故选B．知识模块：线性代数13．设A为m×n矩阵，且r(A)=r，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则有( )．A．m＞nB．m＜nC．m＞rD．r＜n正确答案：D解析：选项D，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是r(A)＜n，故选D．选项A，m＞n，表示方程组Ax=0的方程个数大于未知量的个数，与该方程组解的状态没有直接关系．选项B，m＜n表示方程组Ax=0的方程个数小于未知量的个数，必定含有自由未知量，因此，该方程组必有非零解．但该方程组有非零解未必方程个数小于未知量的个数．选项C，m＞r，表示方程组Ax=0含有多余方程，在消元过程中必定会被消去，与该方程组解的状态没有直接关系．知识模块：线性代数14．设Ax=b为三元非齐次线性方程组，r(A)=2，且ξ1，ξ2是方程组的两个不同的特解，C，C1，C2为任意常数，则该方程组的全部解为( )．A．C(ξ1－ξ2)+B．C(ξ1+ξ2)+C．C(ξ1－ξ2)+ξ1+ξ2D．C1ξ1+C2ξ2正确答案：A解析：选项A，依题设，该方程组导出组Ax=0的基础解系由一个无关解构成，具体可用原方程组的两个不等解的差ξ1－ξ2表示，又1／2A(ξ1+ξ2)=1／2(b+b)=b，知是原方程组的一个特解，从而确定C(ξ1－ξ2)+是Ax=b的通解．故选A选项B，由于ξ1+ξ2并非方程组导出组Ax=0的解，也非方程组Ax=b的解，因此，C(ξ1+ξ2)+不符合方程组Ax=b解的结构形式．选项C，虽然ξ1－ξ2为方程组导出组Ax=0的基础解系，但ξ1+ξ2非方程组Ax=b的解，因此，C(ξ1－ξ2)+ξ1+ξ2不符合方程组Ax=b解的结构形式．选项D，由于A(C1ξ1+C2ξ2)=C1Aξ1+C2Aξ2=(C1+C2)b不一定等于b，因此，C1ξ1+C2ξ2不一定是方程组Ax=b的解．知识模块：线性代数15．x=0是函数f(x)=的( )。

经济类专业学位联考综合能力数学基础(微积分)模拟试卷16

经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷16(总分：58.00，做题时间：90分钟)一、<B>计算题</B>(总题数：29，分数：58.00)1.设F(x)是xcosx 的一个原函数，则dF(x 2)=( )． A.2x 2cosxdx B.2x 3 cosxdx C.2x 2cosx 2dx D.2x 3cosx 2dx √由题设F(x)为xcosx 的一个原函数，可知 F'(x)=xcosx ，因此 dF(x 2)=F'(x 2)d(x 2)=F'(x 2)．2xdx=2x3cosx 2dx ．故选D ．2.设f'(x)=cosx ，则f(x)的一个原函数为( )． A.1－sinx B.1+sinx C.1－cosx √ D.1+cosx这个题目有两种常见的解法．解法1由于f'(x)=cosx ，可知 f(x)=∫f'(x)dx=∫cosxdx=sinx+C 1 ，则f(x)的原函数为 ∫f(x)dx=∫(sinx+C 1 )dx=－cosx+C 1 x+C 2 ．对照四个选项，当C 1 =0，C 2 =1时，得1－cosx ．故选C ．解法2将四个选项分别求导数，得出f(x)，再分别求导数，哪个导数值为cosx ，则哪个为正确选项．换句话说，将四个选项分别求二阶导数，值为cosx 的选项正确，可知C 正确．此时(1－cosx)"=(sinx)'=cosx ．3.设f(x)为[a ，b]上的连续函数，[－c ，，b]，则下列命题正确的是( )．A.∫ a bf(x)dx=∫ a bf(t)dt √ B.∫ a bf(x)dx ≥∫ c df(x)dx C.∫ a bf(x)dx ≤∫ c df(x)dxD.∫ a bf(x)dx 与∫ a bf(t)dt 不能比较大小由题设f(x)为[a ，b]上的连续函数，因此∫ a bf(x)dx 存在，故它的值为确定的数值，取决于f(x)和[a ，b]，与积分变量无关，因此∫ a bf(x)dx=∫ a b f(t)dt ，可知A 正确，D 不正确．由于题设并没有指明f(x)的正负变化，可知B ，C 都不正确．故选A ．4.设f(x)为连续函数，且F(x)=∫ 1／x lnx(t)dt ，F'(x)=( )． A. √ B. C. D.如果f(x)为连续函数，φ i (x)为可导函数，i=1，2，则 [ f(t)dt]'－f[φ 2 (x)φ' 2 (x)－f[φ 1 (x)φ' 1 (x)，因此 F'(x)=f(lnx)(lnx)'－f(1／x)(1／x)'故选A ．若f(x)为连续函数，则 [∫axf(t)dt]'=f(x)，[∫ x bf(t)dt]'=－f(x)．又φ(x)可导，则有 [∫ a φ(x)f(t)dt]'=f[φ(x)]．φ'(x)，[∫ φ(x) bf(t)dt]'=－f[φ(x)]．φ'(x)．这里有两个前提条件：(1)f(x)为连续函数，φ(x)为可导函数； (2)被积函数中不含变上(下)限的变元．5.设F(x)=∫ 1 x(2－＞0)，则F(x)的单调增加区间为( )．A.(0，1／4)B.(0，1／2)C.(0，1)D.(1／4，+∞) √因为F'(x)=2F'(x)=0，得x=1／4为F(x)的唯一驻点．所以当0＜x＜1／4时，F'(x)＜0，F(x)单调减少；当x＞1／4时，F'(x)＞0，F(x)单调增加．故选D．6.函数f(x)=x 2在闭区间[1，3]上的平均值为( )．A.5B.13／3 √C.4D.－11／3由连续函数f(x)在[a，b]上的平均值定义知其为∫a b f(x)dx．可知B．7.．A.ln(x 2 +4x+5)+CB.1／2ln(x 2 +4x+5)+C √C.1／3ln(x 2 +4x+5)+CD.1／4ln(x 2 +4x+5)+CB．8.已知f(x，y)=3x+2y，则f[1，f(x，y)]=( )．A.3x+2y+1B.3x+2y+3C.6x+4y+1D.6x+4y+3 √由题设f(x，y)=3x+2y，意味着 f(□，○)=3．□+2．○，其中□，○分别表示f的表达式中第一个位置和第二个位置的元素．因此 f[1，f(x，y)]=3+2f(x，y)=3+2．(3x+2y)=6x+4y+3．故选D．9.设z=，则( )A.B. √C.D.已知z=f(x，y)，则可知(0，0)不存在，可排除A．故选B．10.设z=(3x+2y) 3x+2y，则．A.5(3x+2y) 3x+2y [1+ln(3x+2y)]B.3(3x+2y) 3x+2y [1+ln(3x+2y)]C.(3x+2y) 3x+2y [1+ln(3x+2y)]D.0 √若令u=3x+2y，取z=u 2，由此求运算较复杂．如果再令v=3x+2y，取z=u v (虽然u，v取相同表达式，但是z=u v的表达式中u，v的地位不同，下面将很快发现这种代换简化了运算!)．由于因此=vu v－1．3+u v lnu．3=3(3x+2y) 3x+2y [1+ln(3x+2y)]，=vu v－1．2+u v lnu．2=3(3x+2y) 3x+2y [1+ln(3x+2y)]．所以故选D．11.设函数z=f(u)，方程u=φ(u)+∫y x p(t)dt，确定u是x，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微，p(t)，φ'(u)连续，且φ'(u)≠1，则p(y) =( )．A.p(x)－p(y)B.p(x)+p(y)C.0 √D.1所给问题为综合性题目．本题包含隐函数求导，可变上(下)限积分求导及抽象函数求导．由z=f(u)可得方程u=φ(u)+∫y x p(t)dt两端分别关于x，y求偏导数，可得由φ'(u)≠1可得故选C．A. √B.C.D.A．13.设f(x，y)与φ(x，y)均为可微函数，且φ' y (x，y)≠0．已知(x 0，y 0 )是f(x，y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是( )．A.若f' x (x 0，y 0 )=0，则f' y (x 0，y 0 )=0B.若f' x (x 0，y 0 )=0，则f' y (x 0，y 0 )≠0C.若f' x (x 0，y 0 )≠0，则f' y (x 0，y 0 )=0D.若f' x (x 0，y 0 )≠0，则f' y (x 0，y 0 )≠0 √由于φ(x，y)可微，且φ' y(x，y)≠0，由隐函数存在定理可知由φ(x，y)=0可以确定可导函数y=y(x)．因此求f(x，y)在条件φ(x，y)=0下的极值等价于求f[x，y(x)]的极值．可知点(x 0，y 0 )为f[x，y(x)]的极值点．由于f[x，y(x)]可微，因此必定有=f' x [x，y(x)]+f' y [x，y(x)]．y'(x)．由隐函数求导公式可知 y'(x)=－φ' x (x，y)／φ' y (x，y)，从而则 f' x (x 0，y 0 )－f' y (x 0，y 0 )．=0．若f' x (x 0，y 0 )≠0，由上式可知f' y (x 0，y 0 )≠0．故选D．14.设z=f(x，( )．A.f' x－f' y =0B.f' x +f' y =0C.f' x－f' y =fD.f' x +f' y =f √z=f(x，y)= ，则因此 f' x +f' y D．15.计算∫x 2 sin(3－2x 3 )dx．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：利用凑微分法．∫x 2 in(3－2x 3 )dx=－1／6∫sin(3－2x 3 )d(3－2x 3 ) =1／6cos(3－2x 3 )+C．)16.计算不定积分∫sin(lnx)dx．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：利用分部积分法．∫sin(lnx)dx=xsin(lnx)－∫x．cos(lnx)．1／xdx =xsin(lnx)－∫cos(lnx)dx =xsin(lnx)－[xcos(lnx)+∫x．sin(lnx)．1／xdx] =x[sin(lnx)－cos(lnx)]－∫sin(lnx)dx，因此 2∫sin(lnx)dx=x[sin(lnx)－cos(lnx)]+C 1，∫sin(lnx)dx=x／2[sin(lnx)cos(lnx)]+C．)17.设f(x)为连续函数，且f(x)+a∫01 f(x)dx=a 2 x求能使∫01 f(x)dx取得极值的a的值．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由题设可知∫01f(x)dx的值与a有关，因此只需考∫01f(x)dx与a的关系．设t=∫01 f(x)dx，则所给表达式可化为 f(x)+at=a 2 x，将上式两端在[0，1]上积分，得∫01 f(x)dx+∫01 atdx=∫01 xdx，t+at=1／2a 2，令dt／da=0，得t的两个驻点a 1 =0，a 2 =－2．故当a＜－2时，dt／da＞0，t单调增加；当－2＜a＜－1时，dt／da＜0，t单调减少；当－1＜a＜0时，dt ／da＜0，t单调减少；当a＞0时，dt／da＞0，t单调增加．所以当a=－2时，t取得极大值，即∫01 f(x)dx取得极大值，为－2；当a=0时，t取得极小值，即∫01 f(x)dx取得极小值，为0．)18.计算定积分∫01．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：=∫01d(e x)=arctane x| 01=arctane－arctan1 =arctane－)19.计算定积分∫01__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：令u= ，则xdx=－d(1－x 2 )=－d(u 2 )=－udu．当x=0时，u=1；当x=1时，u=0．因此=－arctanu| 10 =π／4．)20.已知函数f(x)的原函数为lnx／x，求∫1e xf'(x)dx．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由题设lnx／x为f(x)的原函数，可知因此由分部积分公式可得∫1exf'(x)dx=xf(x)| 1e－∫1e f(x)dx )21.当a(0≤a≤4)为何值时，曲线y=－a)与y=(4－a)x(x－a)所围图形面积最大．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：所给两条曲线都是二次方程，因此都是抛物线．又都过点x=0与x=a．又0≤a≤4，故当0≤x≤a时，y=(4－a)x(x－a)在x轴下方；曲线y=－x(x－a)在x轴上方，如图1—3—4所示．因此两条曲线所围图形面积为 S(a)=∫0a [－x(x－a)－(4－a)x(x－a)]dx =－1／18a 3 (3a－14)． S'(a)=－1／3a 2 (2a－7)，S"(a)=－2a 2 + a．令S'(a)=0，得S(a)的两个驻点a 1 =0，a 2 =7／2．又由S"(7／2)＜0知，a 2 =7／2为S(a)的极大值点，也是最大值点，故当a=7／2时，所求面积最大．)22.x＞y＞z＞0，当三个自变量x，y，z分别增加一个单位时，哪个变量的变化对函数u影响最大?__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由偏导数的几何意义可知，偏导数表示函数沿平行于该坐标轴方向的变化率．只需求出三个偏导数并比较它们的值．可以将所给函数认作是隐函数，将所给表达式两端分别关于x，y，z求偏导数，可得由于x＞y＞z＞0，因此x 2＞y 2＞z 2，进而有 u 2／x 2＜u 2／y 2＜u 2／z 2，即，可知当x，y，z分别增加一个单位时，z的变化对u的影响最大．)23.设二元函数z=，其中f(u)__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设u=x 2－y 2，v=y，则x=v／24.设二元函数f(x，x+y)=2x 2 y，z=f(x，y)，求__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设u=x，v=x+y．可得x=u，y=v－u．因此f(x，x+y)=f(u，v)=2u 2(v－u)．z=f(x，y)=2x 2 (y－x)=2x 2 y－2x 3，=4xy－6x 2．)25.设z=e xy (x 2 +y)，其中f(u)是可导函数，求__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：设u=xy，v=x 2+y，则z=e u f(v)．u．y．f(v)+e u f'(v)．2x =e xy[yf(x 2 +y)+2xf'(x 2 +y)]．)26.设z=z(x，y)由方程xy=xf(z)+yg(z)确定，其中f，g为可导函数，且xf'(z)+yg'(z)≠0，求[zx－g(z)]__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设F(x，y，z)=xy－xf(z)－yg(z)，则 F' x =y－f(z)，F' y =x－g(z)，F' x =－xf'(z)－yg'(z)．因此)27.设z=e 2x (x+2y+y 2 )，求z的极值点与极值．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：由z=e 2x (x+2y+y 2 )，知=2e 2x (x+2y+y 2 )+e 2x =e 2x (2x+4y+2y 2 +1)，=e 2x (2+2y)．由于=2e 2x (2x+4y+2y 2 +1)+e 2x．2=e 2x (4x+8y+4y 2 +4)， B 2－AC=－4e 2＜0．依据极值的充分条件知点(1／2，－1)为极小值点，极小值为－e／2．)28.求f(x，y)=x 2－y 2 +2在椭圆域D={(x，y)|x 21}上的最大值和最小值．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：求f(x，y)x 2－y 2 +2在区域D={(x，y)|x 2 + ≤1}上的最值应分两种情形考虑：在椭圆域D的内点考虑无约束极值问题；在椭圆域D的边界考虑条件极值问题．解法1考查f(x，y)=x 2－y 2 +2在区域x 2 + ＜1内的极值．令解得x=0，y=0，即f(x，y)在x 2 + ＜1内有唯一驻点(0，0)．在x 2 + =1上，记y 2 =4－4x 2，因此有 f(x，y)=x 2－(4－4x 2 )+2=5x 2－2，－1≤x≤1，令df／dx=10x=0，得x=0．当x=0时，y=±2；当x=±1时，y=0．所以f(±1，0)=3，f(0，±2)=－2．又f(0，0)=2，因此f(x，y)在D上的最大值为3，最小值为－2．解法2在区域x 2 +＜1内解法同解法1．在椭圆x 2 + =1上，利用拉格朗日乘数法求极值．设 L=x 2－y 2 +2+λ(x 2 + －1)，由4个可能的极值点M 1 (0，2)，M 2 (0，－2)，M 3 (1，0)，M 4 (－1，0)．所以 f(M 1 )=－2，f(M 2 )=－2，f(M 3 )=3，f(M 4 )=3，可知f(x，y)在D上的最大值为3，最小值为－2．)29.假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是 p 1 =18－2Q 1，p 2 =12－Q 2，其中p 1和p 2分别表示该产品在两个市场的价格(单位：万元／吨)；Q 1和Q 2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量，单位：吨)，并且该企业生产这种产品的总成本函数是 C=2Q+5，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即Q=Q 1 +Q 2． (1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润； (2)如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格，使该企业获得的总利润最大，并比较这两种价格策略下的总利润大小．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：该企业实行价格差别策略进行销售，则问题为无条件极值．而该企业实行价格无差别策略进行销售，即p 1 =p 2，问题为条件极值． (1)如果该企业实行价格差别策略，总利润函数为 L=R－C=p 1 Q 1 +p 2 Q 2－(2Q+5)=－2Q 12－Q 22 +16Q 1 +10Q 2－5，令解得Q 1 =4，Q 2 =5，则p 1 =10，p 2 =7．因驻点(4，5)唯一，且实际问题一定存在最大值，故最大值必在驻点处达到最大利润为L=－2×4 2－5 2 +16×4+10×5－5=52(万元)． (2)若该企业实行价格无差别策略，则p 1 =p 2，于是有约束条件18－2Q 1 =12－Q 2，即 2Q 1－Q 2 =6，构造拉格朗日函数 L(Q 1，Q 2，λ)=－2Q 12－Q 22+16Q 1 +10Q 2－5+λ(2Q 1－Q 2－6)．令解得Q 1 =5，Q 2 =4，λ=2，则p 1 =p 2 =8．最大利润为 L=－2×5 2－4 2 +16×5+10×4－5=49(万元)．由上述结果可知，企业实行差别定价所得总利润大于统一价格的总利润．)。

经济类专业学位联考综合能力数学基础(单项选择题)模拟试卷10(题

经济类专业学位联考综合能力数学基础（单项选择题）模拟试卷10(题后含答案及解析)题型有：1.1．设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且cn=∞，则( )．A．an＜bn对任意n都成立B．bn＜cn对任意n都成立C．极限ancn不存在D．极限bncn不存在正确答案：D解析：极限的概念是描述在给定过程中函数(数列)变化的性态，数列极限存在与否与其前有限项的值无关，因此可以排除A，B．极限ancn为“0．∞”型极限，为未定型，可知应排除C．由排除法选D．知识模块：微积分2．当x→0时，变量1／x2sin1／x是( )．A．无穷小量B．无穷大量C．有界变量，但不是无穷小量D．无界变量，但不是无穷大量正确答案：D解析：取点列xn=1／nπ，则变量值为=(nπ)2sin(nπ)=0，此时变量值为点列0，0，…，0，…．取点列xn=，则变量值为此时变量值{(2nπ+)2}为无界点列．综上可知，当x→0时，变量1／x2sin1／x是无界变量，但不是无穷大量，故选D．知识模块：微积分3．A．等于0B．等于4C．为∞D．不存在，也不为∞正确答案：D解析：而当x→2+时，1／(x－2)→+∞，e1／(x－2)→+∞．当x→2－时，1／(x－2)→－∞，e1／(x－2)→0．可知e1／(x－2)不存在，也不为∞．故选D．知识模块：微积分4．设f(x)=f(x)存在，则a=( )．A．1／2B．1C．2D．e正确答案：C解析：点x=0为f(x)的分段点，在分段点两侧f(x)表达式不同，应分左极限、右极限考虑．由于f(x)存在，则e2／a=e，可得a=2．故选C．(1+ax)b／x+c=eab．以后可以用作公式，简化运算．相仿知识模块：微积分5．设曲线y=f(x)与y=∫0arcsinxdt在点(0，0)处有相同的切线，则bf(1／n)=( )．A．－2／3B．0C．2／3D．1正确答案：D解析：由题设知y(0)=0．又可知y’|x=0=1，所以在点(0，0)处曲线y=f(x)的切线斜率为f’(0)=1．又故选D．知识模块：微积分6．设函数f(x)=在(－∞，+∞)内连续，则( )．A．a=2，b=－1B．a=2，b=1C．a=－1，b=2D．a=1，b=2正确答案：A解析：由题设，点x=－1与x=1为f(x)的分段点，在(－∞，1)，(－1，1)，(1，+∞)内f(x)都是初等函数，皆为连续函数．只需考查f(x)在x=－1与x=1处的连续性．(x2+ax+b)=1－a+b．若f(x)在x=－1处连续，则应有1－a+b=－2，即a－b=3．①又(x2+ax+b)=1+a+b，当f(x)在x=1处连续时，应有1+a+b=2，即a+b=1．②联立①②得方程组解得a=2，b=－1．故选A．知识模块：微积分7．已知函数y=f(x)在点=1处可导，且=2，则f(1)=( )．A．1B．2C．3D．6正确答案：D解析：所给题设为导数定义的等价形式，由导数定义可知可得f’(1)=6．故选D．知识模块：微积分8．设f(x)在点x=2处可导，且=1／3则f’(2)=( )．A．－1B．1C．1／3D．－1／3正确答案：B解析：由题设f(x)在x=2处可导，而题中极限过程为x→1．若设u=x+1，则当x→1时，u→2，因此因此f’(2)=1．故选B．知识模块：微积分9．设函数f(x)=其中g(x)为有界函数，则在点x=0处f(x)( )．A．极限不存在B．极限存在但不连续C．连续但不可导D．可导正确答案：C解析：f(x)在分段点x=0两侧函数表达式不同，考虑：可知f(x)=f(0)，因此f(x)在x=0处极限存在且连续，应排除A，B．又由单侧导数的定义，有可知f’－(0)≠f’+(0)，从而f’(0)不存在，故选C．知识模块：微积分10．A．B．C．D．正确答案：A解析：由于故选A．知识模块：微积分11．已知x=2是函数y=x3－ax+5的驻点，则常数a为( )．A．3B．6C．9D．12正确答案：D解析：当f’(x0)=0时，称x0为函数y=f(x)的驻点．由于y=x3－ax+5，y’=3x2－a，又x=2为y的驻点，故x=2时，y’=3x2－a=0，可得a=12．故选D．知识模块：微积分12．设f(x，y)=x2y2+xlnx，则点(1／e，0)( )．A．不是f(x，y)的驻点，是f(x，y)的极值点B．不是f(x，y)的驻点，也不是f(x，y)的极值点C．是f(x，y)的驻点，也是f(x，y)的极大值点D．是f(x，y)的驻点，也是f(x，y)的极小值点正确答案：D解析：由题设可知f’x(x，y)=2xy2+lnx+1，f’y(x，y)=2x2y．令解得f(x，y)的唯一驻点x=1／e，y=0，即驻点为(1／e，0)，因此排除A，B．又有f”xx=2y2+，f”xy=4xy，f”yy=2x2，A=f”xx|(1／e，0)=e，B=f”xy|(1／e，0)=0，C=f”yy|(1／e，0)=2／e2，B2－AC=－2／e＜0，所以由极值的充分条件知(1／e，0)为f(x，y)的极小值点，极小值为－1／e．故选D．知识模块：微积分13．设f(x+y，y／x)=x2－y2，x=f(x，y)可微，则=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：需先求出f(x，y)．为此设u=x+y，v=y／x，则可解得故选B．知识模块：微积分14．设A，B均为3阶矩阵，且|A|=3，|B|=2，|A－1－B|=2，则|A－B－1|=( )．A．－3B．－2C．2D．3正确答案：A解析：由矩阵与行列式的关系，有|A－1－B|=|A－1(E－AB)|=|A－1||E－AB|=2，|E－AB|=2|A|=6，从而有|A－B－1|=|AB－E||B－1|=(－1)3|E－AB||B－1|=－6×=－3．故选A．知识模块：线性代数15．设α1，α2，α3为同维向量，则下列结论不正确的是( )．A．α1，α2，α3中任何一个向量均可被向量组α1，α2，α3线性表示B．若存在一组数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0，则α1，α2，α3必线性相关C．若α1=2α2，则α1，α2，α3必线性相关D．若α1，α2，α3中有一个零向量，则α1，α2，α3必线性相关正确答案：B解析：选项B，根据向量组线性相关的概念，只有在k1，k2，k3不全为零的情况下，满足k1α1+k2α2+k3α3=0，才能确定α1，α2，α3线性相关，所以该选项不正确，故应选B．选项A，向量组中任意一个向量均可由自身向量组线性表示，即对于任意一个向量αi(i=1，2，3)，不妨取α1，则存在一组不全为零的数1，0，0，使得α1=1．α1+0．α2+0．α3．选项C，由条件可知，存在一组不全为零的数1，－2，0，使得α1－2α2+0．α3=0，因此α1，α2，α3线性相关．选项D，不妨取α1=0，于是存在一组不全为零的数1，0，0，使得1．α1+0．α2+0．α3=0．因此α1，α2，α3线性相关．知识模块：线性代数16．设A为n(n＞2)阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，则方程组A*x=0的基础解系含无关解的个数不可能是( )．A．nB．n－1C．1D．0正确答案：C解析：对于n阶矩阵A，当r(A)=n时，r(A*)=n；当r(A)=n－1时，r(A*)=1；当r(A)＜n－1时，r(A*)=0．即r(A*)所有可能取值为0，1，n，故齐次线性方程组A*x=0的基础解系所含无关解的个数为0，n－1和n．故选C．知识模块：线性代数17．对于任意两个事件A和B，与A∪BB不等价的是( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：A∪BB即A+B=B，知A．将A=Ω－B不等价，故选D．知识模块：概率论18．设A，B为两个随机事件，若P(AB)=P()，且P(A)=p，则P(B)=( )．A．1－pB．pC．(1－p)pD．0正确答案：A解析：由P(AB)=P()=1－P(A+B)=1－P(A)－P(B)+P(AB)，得P(B)=1－P(A)=1－p．故选A．知识模块：概率论19．离散型随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}，则λ=( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：由于X服从参数为λ的泊松分布，则有P{X=k}=λ／k!e－λ=(λ＞0，k=0，1，2，…)，于是由题设，P{X=1}=P{X=2}，得λ／1!e－λ=λ2／2!e－λ，从而有λ2－2λ=0，解得λ=2(λ=0舍去)，所以λ=2．故选B．知识模块：概率论20．若随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P{2＜X＜4}=0．3，则P{X ＜0}=( )．A．0．2B．0．3C．0．5D．0．7正确答案：A解析：由X～N(2，σ2)，则P{2＜X＜4}=P{X＜4}－P{X≤2}得Ф(2／σ)=0．8，所以P{X＜0}=Ф()=1－Ф(2／σ)=1－0．8=0．2．故选A．知识模块：概率论21．设A和B均为n阶矩阵(n＞1)，m是大于1的整数，则必有( )。

经济类专业学位联考综合能力数学基础(单项选择题)模拟试卷2(题

经济类专业学位联考综合能力数学基础（单项选择题）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1.1．设f(x)的一个原函数是xcosx，则f(x)=( )．A．sinx－xcosxB．sinx+xcosxC．cosx－xsinxD．cosx+xsinx正确答案：C解析：由于xcosx为f(x)的一个原函数，则由原函数定义知f(x)=(xcosx)’=cosx －xsinx．故选C．知识模块：微积分2．已知sinx是f(x)的一个原函数，则∫xf’(x)dx=( )．A．xcosx+sinx+CB．xcosx－sinx+CC．xsinx+cosx+CD．xsinx－cosx+C正确答案：B解析：对于∫xf’(x)dx，被积函数中含有f’(x)，通常是先考虑利用分部积分公式∫xf’(x)dx=xf(x)－∫f(x)dx．(*)又由于sinx为f(x)的一个原函数，由原函数定义可得f(x)=(sinx)’=cosx，∫f(x)dx=sinx+C1，代入上述公式(*)，可得∫xf’(x)dx=cosx－sinx+C．这里C=－C1，因为C1，C都为任意常数，因此上述写法是允许的．故选B．知识模块：微积分3．设M=∫－22cosxdx，N=∫－44dx，P=∫－33(－x4)dx，则有( )．A．N＜M＜PB．P＜N＜MC．P＜M＜ND．M＜P＜N正确答案：C解析：由题设可知只需比较三个定积的大小，并不需要求出它们的具体值．三个定积分的积分区间均为对称区间，可以考虑利用定积分的性质求解．对于M，被积函数为奇函数，可知M=0．对于N，被积函数为偶函数且＞0，可知N＞0．对于P，被积函数中为奇函数，x4＞0为偶数，可知P=∫－33(－x4)dx=∫－33dx －∫－33x4dx＜0，因此P＜M＜N．故选C．知识模块：微积分4．当x→0时，etanx－esinx与xa为同阶无穷小量，则a=( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：由题意，知该极限应为不等于零的常数，因此a－1=2，得a=3．故选C．知识模块：微积分5．设f(x)=∫0sinxsint2dt，g(x)=x3+x4，当x→0时，f(x)是g(x)的( )．A．等价无穷小B．高阶无穷小C．低阶无穷小D．同阶但非等价无穷小正确答案：D解析：由于可知f(x)与g(x)为同阶但非等价无穷小．故选D．知识模块：微积分6．设f(x)，φ(x)在点x=0的某邻域内连续，且当x→0时，f(x)是φ(x)高阶的无穷小．则当x→0时∫0xf(t)sintdt是∫0xtφ(t)dt的( )．A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．同阶但非等价无穷小D．等价无穷小正确答案：B解析：由于所以当x→0时，∫0xf(t)sintdt为∫0xtφ(t)dt的高阶无穷小．故选B．知识模块：微积分7．若函数f(x)在点x=0处可导，且f(0)=0，则=( )．A．－2f’(0)B．－f’(0)C．f’(0)D．0正确答案：D解析：由于=f’(0)－f’(0)=0．故选D．知识模块：微积分8．下列命题错误的是( )．A．f(x，y)=A的充分必要条件是f(x，y)=A+α，其中α满足α=0B．若函数z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处存在偏导数，则z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处必定连续C．若函数z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处可微分，则z=f(x，y)在M0(x0，y0)必定存在偏导数dyD．若函数z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处存在连续偏导数，则z=f(x，y)在点M0(x0，y0)必定可微分，且dzdy正确答案：B解析：对于命题A可仿一元函数极限基本定理证明其正确，又可以称这个命题为二元函数极限基本定理．命题B不正确：偏导数存在不能保证函数连续，同样函数连续也不能保证偏导数存在．由全微分的性质可知，若函数z=f(x，y)在点M0(x0，y0)处可微分，则必定存在，且可知命题C正确．对于命题D，教材中以定理形式出现“如果函数z=f(x，y)的偏导数在点(x，y)连续，那么函数在该点可微分”，还给出定理的证明，这说明命题D正确．故选B．知识模块：微积分9．设f(x)=在点x=1处可导，则( )．A．a=e，b=0B．a=0，b=eC．a=e，b=1D．a=1，b=e正确答案：A解析：由于f(x)在点x=1处可导，因此必定连续．又由于因此a+b=e．由于f(x)在点x=1连续，且当x＜1时，f(x)=ex，f’(x)=ex，当x＞1时，f(x)=ax+b，f’(x)=a，由于f’(1)存在，从而有f’－(1)=f’+(1)，因此a=e．进而可知b=0．故选A．知识模块：微积分10．设f(x，y)=x3y2+(y－1)3arctan，则f’x(1，1)=( )．A．－1B．2C．3D．4正确答案：C解析：若依常规方法，应先求出f’x(x，y)，再令x=1，y=1求解，较繁琐．如果先令y=1，可得f(x，1)=x3，再对x求偏导，可得f’x(x，1)=3x2，因此f’x(1，1)=3．故选C．知识模块：微积分11．若f(－x)=f(x)(－∞＜x＜+∞)，在(－∞，0)内f’(x)＞0，f”(x)＜0，则在(0，+∞)内有( )．A．f’(x)＞0，f”(x)＜0B．f’(x)＞0，f”(x)＞0C．f’(x)＜0，f”(x)＜0D．f’(x)＜0，f”(x)＞0正确答案：C解析：由题设f(－x)=f(x)，可知函数f(x)为偶函数，其图形关于y轴对称．由于在(－∞，0)内f’(x)＞0，可知f(x)单调增加．因此在(0，+∞)内f(x)关于y轴对称的图形为单调减少，应有f’(x)＜0．由于在(－∞，0)内f”(x)＜0，因此其图形为凸．而经y轴对称，在(0，+∞)内图形仍为凸，从而．f”(x)＜0．故选C．知识模块：微积分12．设f(x+y，y／x)=x2－y2，x=f(x，y)可微，则=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：需先求出f(x，y)．为此设u=x+y，v=y／x，则可解得故选B．知识模块：微积分13．记f(x)=，则方程f(x)=0的根( )．A．全部为正数B．全部为负数C．有正有负D．不是实数正确答案：A解析：本题行列式的行列之间的比例关系并不十分清晰，应利用行列式性质化简后计算出方程的解．即由=(1－x)2(10－x)，所以方程的根为x=1(二重)，10，故选A．知识模块：线性代数14．设A为可逆矩阵，则[(A－1)T]－1=( )．A．AB．A－1C．ATD．(A－1)T正确答案：C解析：由(A－1)T(AT)=(AA－1)T=E，知[(A－1)T]－1=AT．故选C．知识模块：线性代数15．设3阶矩阵A=，若A的秩为2，则有( )．A．a=1或a=－2B．a=1C．a=－2D．a≠1且a≠－2正确答案：C解析：由知若A的秩为2，则a=－2，故选C．知识模块：线性代数16．设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得到矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则( )．A．交换A*的第1列与第2列得到B*B．交换A*的第1列与第2列得到－B*C．交换A*的第1行与第2行得到B*D．交换A*的第1行与第2行得到－B*正确答案：B解析：依题设，B=E(1，2)A，从而有B－1=A－1E－1(1，2)=A－1E(1，2)，且|A|=－|B|．又A*=|A|A－1，B*=|B|B－1，于是有，B*=|B|B－1=|B|A－1E(1，2)=－|A|A－1E(1，2)=－A*E(1，2)，即交换A*的第1列与第2列得到－B*，故选B．知识模块：线性代数17．设α1，α2，α3为同维向量，则下列结论不正确的是( )．A．α1，α2，α3中任何一个向量均可被向量组α1，α2，α3线性表示B．若存在一组数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0，则α1，α2，α3必线性相关C．若α1=2α2，则α1，α2，α3必线性相关D．若α1，α2，α3中有一个零向量，则α1，α2，α3必线性相关正确答案：B解析：选项B，根据向量组线性相关的概念，只有在k1，k2，k3不全为零的情况下，满足k1α1+k2α2+k3α3=0，才能确定α1，α2，α3线性相关，所以该选项不正确，故应选B．选项A，向量组中任意一个向量均可由自身向量组线性表示，即对于任意一个向量αi(i=1，2，3)，不妨取α1，则存在一组不全为零的数1，0，0，使得α1=1．α1+0．α2+0．α3．选项C，由条件可知，存在一组不全为零的数1，－2，0，使得α1－2α2+0．α3=0，因此α1，α2，α3线性相关．选项D，不妨取α1=0，于是存在一组不全为零的数1，0，0，使得1．α1+0．α2+0．α3=0．因此α1，α2，α3线性相关．知识模块：线性代数18．设A为m×n矩阵，若方程组Ax=b有唯一解，则A的( )．A．行向量组线性无关B．行向量组线性相关C．列向量组线性无关D．列向量组线性相关正确答案：C解析：非齐次线性方程组Ax=b有唯一解，其充分必要条件是r(A)=r(Ab)=n，从而知A的列向量组线性无关．故选C．知识模块：线性代数19．设Ax=b为三元非齐次线性方程组，r(A)=2，且ξ1，ξ2是方程组的两个不同的特解，C，C1，C2为任意常数，则该方程组的全部解为( )．A．C(ξ1－ξ2)+B．C(ξ1+ξ2)+C．C(ξ1－ξ2)+ξ1+ξ2D．C1ξ1+C2ξ2正确答案：A解析：选项A，依题设，该方程组导出组Ax=0的基础解系由一个无关解构成，具体可用原方程组的两个不等解的差ξ1－ξ2表示，又1／2A(ξ1+ξ2)=1／2(b+b)=b，知是原方程组的一个特解，从而确定C(ξ1－ξ2)+是Ax=b的通解．故选A选项B，由于ξ1+ξ2并非方程组导出组Ax=0的解，也非方程组Ax=b的解，因此，C(ξ1+ξ2)+不符合方程组Ax=b解的结构形式．选项C，虽然ξ1－ξ2为方程组导出组Ax=0的基础解系，但ξ1+ξ2非方程组Ax=b的解，因此，C(ξ1－ξ2)+ξ1+ξ2不符合方程组Ax=b解的结构形式．选项D，由于A(C1ξ1+C2ξ2)=C1Aξ1+C2Aξ2=(C1+C2)b不一定等于b，因此，C1ξ1+C2ξ2不一定是方程组Ax=b的解．知识模块：线性代数20．设F(x)为随机变量X的分布函数，则F(x)为( )．A．偶函数B．奇函数C．单调不减函数D．连续函数正确答案：C解析：选项C，由定义式F(x)=P{X≤x}，知随着x的增大，事件{X≤x}所占有的样本区间(－∞，x]也越大，因此F(x)的取值也会增大，因此F(x)是单调增加的函数，但并非严格意义上的单调增加，它的函数曲线y=F(x)也可能会有水平的线段，故称为单调不减函数．选项A，B，由函数F(x)的单调性及F(x)=0，F(x)=1，知F(x)不可能为偶函数和奇函数．选项D，F(x)的连续性与随机变量的类型相关，仅当X为连续型随机变量时，F(x)在(－∞，+∞)内连续．故选C．知识模块：概率论21．积分sinx2dx的值( )。

经济类专业学位联考综合能力数学基础(单项选择题)模拟试卷17(题

经济类专业学位联考综合能力数学基础（单项选择题）模拟试卷17(题后含答案及解析)题型有：1.1．A．等于2／3B．等于3／2C．为∞D．不存在，也不为∞正确答案：A解析：当x→4时，分子与分母的极限都为零，不能直接利用极限的商的运算法则．又由于分子与分母中都含有根式，先有理化再求极限．故选A．知识模块：微积分2．不定积分∫x2dx=( )．A．－1／3(1－x3)3／2+CB．－2／9(1－x3)3／2+CC．－3(1－x3)3／2+CD．－9／2(1－x3)3／2+C正确答案：B解析：利用凑微分法可得∫x2dx=1／3∫(1－x3)1／2d(x3)=－1／3∫(1－x3)1／2d(1－x3)=－1／3．2／3(1－x3)3／2+C=－(1－x3)3／2+C．故选B．知识模块：微积分3．设f(x)，φ(x)在点x=0的某邻域内连续，且当x→0时，f(x)是φ(x)高阶的无穷小．则当x→0时∫0xf(t)sintdt是∫0xtφ(t)dt的( )．A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．同阶但非等价无穷小D．等价无穷小正确答案：B解析：由于所以当x→0时，∫0xf(t)sintdt为∫0xtφ(t)dt的高阶无穷小．故选B．知识模块：微积分4．设xn=e1／n，则当n→∞时，xn的极限( )．B．为1C．为∞D．不存在，也不为∞正确答案：A解析：当n→∞时，cos2／n→1，e1／n→1，sin1／n～1／n．则故选A．知识模块：微积分5．∫0πdx=( )．A．3／4B．4／3C．－3／4D．－4／3正确答案：B解析：由于故选B．知识模块：微积分6．二元函数f(x，y)=在点(0，0)处必定( )．A．连续且偏导数存在B．连续但偏导数不存在C．不连续但偏导数存在D．不连续且偏导数不存在正确答案：C解析：由偏导数的定义可知可知f(x，y)在点(0，0)处的偏导数存在，因此排除B，D．由于可知f(x，y)不存在，从而知f(x，y)在(0，0)处不连续，因此排除A，故选C．知识模块：微积分7．若已知函数f(x)在点x=4处的导数f’(4)=1，则=( )．A．1B．2C．3D．4正确答案：B解析：所给问题似乎与导数定义的形式相同，但是仔细分析可以发现两者之间的差异．已知条件为f’(4)=1，从而有=1．因此可设u=2x，得=2f’(4)=2．故选B．知识模块：微积分8．已知f(n－2)(x)=sin2x，则f(n)(x)=( )．B．－4sin2xC．4cos2xD．－4cos2x正确答案：B解析：由于f(n－2)(x)=sin2x，可得f(n－1)(x)=[f(n－2)(x)]’=(sin2x)’=2cos2x，f(n)(x)=[f(n－1)(x)]’=(2cos2x)’=－4sin2x．故选B 知识模块：微积分9．已知函数f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且=－2，则( )．A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点D．根据所给条件无法判定点(0，0)是否为f(x，y)的极值点正确答案：B解析：由题设=－2，又由于二元函数f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，所给极限表达式中分母极限为零，从而f(x，y)=0=f(0，0)．又由二元函数极限基本定理其中α满足α=0．从而f(x，y)=－2(x2+y2)2+α(x2+y2)2．在点(0，0)的足够小的邻域内，上式右端的符号取决于－2(x2+y2)2，为负，因此f(0，0)为极大值，故选B．知识模块：微积分10．设f’(ex)=e－x，则[f(ex)]’=( )．A．1B．e2xC．e－2xD．－1正确答案：A解析：由复合函数的链式求导法则，可知[f(ex)’=f’(ex)．ex=e－x．ex=1，故选A．知识模块：微积分11．已知向量组α1，α2，α3可由向量组β1，β2线性表示，则( )．A．α1，α2，α3必线性相关B．α1，α2，α3必线性无关C．β1，β2也可由α1，α2，α3线性表示D．若β1，β2线性无关，则α1，α2，α3也必线性无关正确答案：A解析：若个数多的向量组能被一个个数少的向量组线性表示，则该向量组必线性相关，由此可以确定α1，α2，α3必线性相关．故应选A．知识模块：线性代数12．设α1=(1，2，－1，0)T，α2=(1，1，0，2)T，α3=(2，1，1，a)T，若α1，α2，α3的最大无关组由两个线性无关的向量组成，则a=( )．A．2B．3C．6D．8正确答案：C解析：根据题设，该向量组的秩为2，于是解法1用初等变换．即由(α1，α2，α3)T知当a=6时，α1，α2，α3的最大无关组由两个线性无关的向量组成．故选C．解法2用行列式．由题意知，该向量组构造的矩阵的任意一个3阶子式为零，故故当a=6时，α1，α2，α3的最大无关组由两个线性无关的向量组成，故选C．知识模块：线性代数13．设A为m×n矩阵，若方程组Ax=b有唯一解，则A的( )．A．行向量组线性无关B．行向量组线性相关C．列向量组线性无关D．列向量组线性相关正确答案：C解析：非齐次线性方程组Ax=b有唯一解，其充分必要条件是r(A)=r(Ab)=n，从而知A的列向量组线性无关．故选C．知识模块：线性代数14．若xf”(x)+3x[f’(x)]2=1一e-x且f’(x0)=0(x0≠0)，则( )。

经济类专业学位联考综合能力数学基础(单项选择题)模拟试卷18(题

经济类专业学位联考综合能力数学基础（单项选择题）模拟试卷18(题后含答案及解析)题型有：1.1．设f(x)为连续函数，F(x)是f(x)的一个原函数，则下列命题错误的是( )．A．若F(x)为奇函数，则f(x)比定为偶函数B．若f(x)为奇函数，则F(x)必定为偶函数C．若f(x)为偶函数，则F(x)必定为奇函数D．若F(x)为偶函数，则f(x)必定为奇函数正确答案：C解析：对于A，因为F(x)为f(x)的一个原函数，因此F’(x)=f(x)．若F(x)为奇函数，即F(－x)=－F(x)，两端关于x求导，可得－F’(－x)=－F’(x)，即F’(－x)=F’(x)．从而知f(－x)=f(x)，即f(x)为偶函数，可知A正确．对于B，由于F(x)是f(x)的一个原函数，可知F(x)=∫0xf(t)dt+C0，则F(－x)=∫0－xf(t)dt+C0，令u=－t，则F(－x)=∫0xf(－u)．(－1)du+C0，当f(x)为奇函数时，有f(－u)=－f(u)．从而有F(－x)=∫0xf(u)du+C0=F(x)，即F(x)为偶函数，可知B正确．对于C，取f(x)=x2，则f(x)为偶函数，又(x3+1)’=x2，则x3+1为f(x)=x2的一个原函数，但x3+1不是奇函数，可知C不正确．对于D，若F(x)为偶函数，即F(－x)=F(x)，两端关于x求导，可得－F’(－x)=F’(x)，即－f(－x)=f(x)，可知f(x)为奇函数，因此D正确．故选C．知识模块：微积分2．设∫f(x)dx=－，则f(x)=( )．A．－1B．－2xC．2xD．1／2x正确答案：C解析：由于∫f(x)，有因此f(x)=2x．故选C．知识模块：微积分3．A．－5B．1／2C．3／2D．2正确答案：B解析：当x→∞时，原式分子与分母的极限皆为∞，不能利用极限的四则运算法则．首先分子、分母同乘1／x3，得故选B．知识模块：微积分4．设f(x)为[a，b]上的连续函数，[－c，d][a，b]，则下列命题正确的是( )．A．∫abf(x)dx=∫abf(t)dtB．∫abf(x)dx≥∫cdf(x)dxC．∫abf(x)dx≤∫cdf(x)dxD．∫abf(x)dx与∫abf(t)dt不能比较大小正确答案：A解析：由题设f(x)为[a，b]上的连续函数，因此∫abf(x)dx存在，故它的值为确定的数值，取决于f(x)和[a，b]，与积分变量无关，因此∫abf(x)dx=∫abf(t)dt，可知A正确，D不正确．由于题设并没有指明f(x)的正负变化，可知B，C都不正确．故选A．知识模块：微积分5．当x→0时，下列选项中与z为等价无穷小量的是( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：对于A，可知应排除A．对于B，sinx／x=1，可知x→0时，sinx／x 不是无穷小量，应排除B．对于C，可知当x→0时，与x为等价无穷小量，故选C．对于D，当x→0时，xsin1／x为无穷小量，但是不存在，这表明当x→0时，无穷小量xsin1／x的阶不能与x的阶进行比较，因此排除D．知识模块：微积分6．设f(x)=f(x)存在，则a=( )．A．4B．ln4C．0D．ln1／4正确答案：B解析：点x=0为f(x)的分段点，在分段点两侧f(x)表达式不同，应分左极限、右极限来考虑．(1+ax)1／x=ea．由于=f(x)存在，ea有=4，从而a=ln4．故选B．知识模块：微积分7．已知某商品总产量的变化率f(t)=200+5t－t2，则时间t在[2，8]上变化时，总产量增加值△Q为( )．A．1266B．568C．266D．8正确答案：A解析：由总产量函数与其变化率的关系，有Q’(t)=f(t)，于是总产量增加值为△Q=∫28Q’(t)dt=∫28f(t)dt=∫28(200+5t－t2)dt=(200t+t3)|28=1266．故选A．知识模块：微积分8．在下列区间内，函数f(x)=有界的是( )．A．(－1，0)B．(0，1)C．(1，2)D．(2，3)正确答案：A解析：由于f(x)在x1=1，x2=3处没有定义，当x≠1，x≠3时，f(x)为初等函数且为连续函数．又由可知f(x)在(－1，0)内为有界函数，故选A．知识模块：微积分9．若n阶行列式Dn=＜0，则n为( )．A．任意正整数B．奇数C．偶数D．4k－1或4k－2，k=1，2，…正确答案：D解析：由行列式定义，该行列式非零项为副对角线元素的乘积，即有Dn=(－1)τ(n(n－1)…321)=(－1)[n(n－1)]／2，若Dn＜0，则应有1／2n(n－1)为奇数，即n=4k－1或4k－2，k=1，2，…．故选D．知识模块：线性代数10．设A为对角矩阵，B，P为同阶矩阵，且P可逆，下列结论正确的是( )．A．若A≠O，则Am≠OB．若B≠O，则Bm≠OC．AB=BAD．若A=P－1，则|A|＞0时，|B|＜0正确答案：A解析：选项A，设由于A≠O，不妨令a0≠0，从而有a1m≠0，所以Am≠O．故选A．选项B，见反例，设B=，但有B2=，知该结论不正确．选项C，两同阶对角矩阵对乘法有交换律，但对角矩阵与一般矩阵之间对乘法无交换律，故结论不正确．选项D，若A=P－1BP，则|A|=|P－1BP|=|P－1||B||P|=|B|，故结论不正确．知识模块：线性代数11．设α1，α2，α3为同维向量，则下列结论不正确的是( )．A．α1，α2，α3中任何一个向量均可被向量组α1，α2，α3线性表示B．若存在一组数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=0，则α1，α2，α3必线性相关C．若α1=2α2，则α1，α2，α3必线性相关D．若α1，α2，α3中有一个零向量，则α1，α2，α3必线性相关正确答案：B解析：选项B，根据向量组线性相关的概念，只有在k1，k2，k3不全为零的情况下，满足k1α1+k2α2+k3α3=0，才能确定α1，α2，α3线性相关，所以该选项不正确，故应选B．选项A，向量组中任意一个向量均可由自身向量组线性表示，即对于任意一个向量αi(i=1，2，3)，不妨取α1，则存在一组不全为零的数1，0，0，使得α1=1．α1+0．α2+0．α3．选项C，由条件可知，存在一组不全为零的数1，－2，0，使得α1－2α2+0．α3=0，因此α1，α2，α3线性相关．选项D，不妨取α1=0，于是存在一组不全为零的数1，0，0，使得1．α1+0．α2+0．α3=0．因此α1，α2，α3线性相关．知识模块：线性代数12．设α1=(1，2，－1，0)T，α2=(1，1，0，2)T，α3=(2，1，1，a)T，若α1，α2，α3的最大无关组由两个线性无关的向量组成，则a=( )．A．2B．3C．6D．8正确答案：C解析：根据题设，该向量组的秩为2，于是解法1用初等变换．即由(α1，α2，α3)T知当a=6时，α1，α2，α3的最大无关组由两个线性无关的向量组成．故选C．解法2用行列式．由题意知，该向量组构造的矩阵的任意一个3阶子式为零，故故当a=6时，α1，α2，α3的最大无关组由两个线性无关的向量组成，故选C．知识模块：线性代数13．设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，若考ξ1，ξ2，ξ3是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系( )．A．不存在B．仅含一个非零解向量C．含两个线性无关解向量D．含三个线性无关解向量正确答案：B解析：由A*≠O，知r(A*)≥1，故r(A)≥n－1，又因方程组Ax=b有互不相等的解ξ1，ξ2，ξ3，知r(A)＜n，从而r(A)=n－1，因此，方程组Ax=0的基础解系含n－(n－1)=1(个)线性无关解向量，故选B．知识模块：线性代数14．设f(x)=，则=________A．0B．+∞C．-∞D．不存在，但也不是∞正确答案：D解析：因为，故应分左右极限来讨论。

经济类专业学位联考综合能力数学基础(计算题)模拟试卷1(题后含

经济类专业学位联考综合能力数学基础（计算题）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1.1．计算定积分∫1edx．正确答案：涉及知识点：微积分2．若极限=k，讨论当x→0时，f(x)与x阶的关系．正确答案：因此=k+a(当x→0时，a为无穷小)，则可知当a+1=3，即a=2时，因此f(x)／x2=1．即无论k为何值，f(x)为x的2阶无穷小量．涉及知识点：微积分3．设f(x)=在点x=0处连续，求a，b的值．正确答案：f(x)为分段函数，点x=0为分段点，在分段点两侧f(x)表达式不同，考查f(x)在点x=0处左连续与右连续．由于sin1／x为有界变量，当x→0时，x为无穷小量，因此xsin1／x=0．而可得f(x)=3，由f(0)=a，可知当a=3时，f(x)在点x=0处左连续．(1+bx)2／x=e2b．可知当e2b=a，即b=1／2lna时，f(x)在点x=0处右连续．综上可知，当a=3，b=1／2ln3时，f(x)在点x=0处连续．涉及知识点：微积分4．设x=－yy，求dy．正确答案：将所给函数两端取对数，得lnx=ylny，两端关于x求导数，得1／x=y’lny+y．1／y．y’=(1+lny)y’，因此dy=y’dx=dx．涉及知识点：微积分5．求函数y=x3－x2－x+3的单调区间与极值．正确答案：y的定义域为(－∞，+∞)，y’=3x2－2x－1=(3x+1)(x－1)．令y’=0，得x1=－1／3，x2=1为y的两个驻点．当x＜－1／3时，y’＞0，可知y在(－∞，－1／3)内单调增加；当－1／3＜x＜1时，y’＜0，可知y在(－1／3，1)内单调减少；当x＞1时，y’＞0，可知y在(1，+∞)内单调增加．进而由上述分析知x=－1／3为y的极大值点，相应极大值为86／27；而x=1为y的极小值点，相应极小值为2．涉及知识点：微积分6．设z=e2x(x+2y+y2)，求z的极值点与极值．正确答案：由z=e2x(x+2y+y2)，知=2e2x(x+2y+y2)+e2x=e2x(2x+4y+2y2+1)，=e2x(2+2y)．由于=2e2x(2x+4y+2y2+1)+e2x．2=e2x(4x+8y+4y2+4)，B2－AC=－4e2＜0．依据极值的充分条件知点(1／2，－1)为极小值点，极小值为－e／2．涉及知识点：微积分7．设A为n(n为奇数)阶矩阵，满足ATA=E，且|A|＞0，计算|E－A]2[|．正确答案：由于|E－A2|=|E－A||E+A||E+A|，所以本题实际要推导|E+A|=0或|E－A|=0．由题设，|ATA|=|A|2=1，且|A|＞0，得|A|=1．于是，由|A|=1，AAT=E，n为奇数，则有E－A=AAT－A=A(AT－E)，从而有|E－A|=|A||AT－E|=|A||A－E|=(－1)n|A||E－A|=－|A||E－A|，即有等式(1+|A|)|E－A|=2|E－A|=0，得|E－A|=0，因此|E－A2|=|E－A||E+A|=0．涉及知识点：线性代数8．设αT=，β=(3，2，1)，A=αTβ，计算Am(m为正整数，且m≥3)．正确答案：A=αTβ于是，由矩阵乘法的结合律，有Am=3m－1αTβ涉及知识点：线性代数9．设函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex一xy2=0所确定，求正确答案：涉及知识点：数学基础10．求线性方程组的一个基础解系，并用基础解系表示方程组的通解．正确答案：对系数矩阵作初等行变换化简为阶梯形矩阵：得原方程组的同解方程组自由未知量为x2，x5，分别取x2=1，x5=0和x2=0，x5=1，得一个基础解系：η1=(－1，1，0，0，0)T，η2=(－1，0，－1，0，1)T，所以方程组的通解为x=C1(－1，1，0，0，0)T+C2(－1，0，－1，0，1)T，C1，C2为任意常数．涉及知识点：线性代数11．设X是离散型随机变量，其分布函数为令Y=|X+1|，求随机变量Y的分布阵．正确答案：依题设，离散型随机变量X正概率点即F(x)的分段点为－2，－1，0，1，且P{X=－2}=F(－2)－F(－2－0)=0．2，P{X=－1}=F(－1)－F(－1－0)=0．15，P{X=0}=F(0)－F(0－0)=0．25，P{X=1}=F(1)－F(1－0)=0．4．因此由Y=|X+1|=1，0，1，2，知Y的正概率点为0，1，2，且P{Y=0}=P{X=－1}=0．15，P{Y=1}=P{X=－2}+P{X=0}=0．45，P{Y=2}=P{X=1}=0．4．所以涉及知识点：概率论12．正确答案：令xy=u，x+y=v，则=yf”(u)+f’(v)+yf”(v) 涉及知识点：数学基础13．设两个随机变量X与Y分布相同，X的密度函数为已知事件A=X＞a 和事件B=“Y＞a”相互独立，且P(A+B)=3／4．求常数a的值．正确答案：因X与Y分布相同，即有相同的密度函数，且P(A)=P(B)，相互独立．于是P(A+B)=P(A)+P(B)－P(A)P(B)=2P(A)－P2(A)=3／4，解得P(A)=1／2(P(A)=3／2＞1舍去)．由X的密度函数计算P(A)=P{X＞a}，先要确定a的取值范围．若a≥2，则P{X＞a}=0，与P(A)=1／2矛盾；若a≤0，则P{X＞a}=1，与P(A)=1／2矛盾．故0＜a＜2，因此P(A)=P{X＞a}=∫a2x2dx=1－a3=1／2，解得a=．涉及知识点：概率论14．设A为n阶非零矩阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，当A*=AT时，证明|A|≠0。

经济类专业学位联考综合能力数学基础线性代数模拟试卷9_真题-无答案

经济类专业学位联考综合能力数学基础（线性代数）模拟试卷9(总分52,考试时间90分钟)计算题1. 多项式f(x)=的常数项是( )．A. －1B. －2C. －3D. －42. 设Mij，Aij分别为n阶行列式D中元素aij的余子式和代数余子式，则下列各式中必定等于零的是( )．A. a11M11+a12M12+…+a1nM1nB. a11A11+a12A12+…+a1nA1nC. a11M12+a21M2+…+an1Mn2D. a11A12+a21A22+…+an1An23. 设3阶矩阵A的伴随矩阵为A*，且|A|=1／2，则|A－1+2A*|=( )．A. 16B. 8C. 2D. 14. 设A为n阶矩阵，则A=O是AAT=O的( )．A. 充分但非必要条件B. 必要但非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件5. 设A，B，A+B，A－1+B－1均为n阶可逆矩阵，则(A－1+B－1)－1=( )．A. A+BB. (A+B)－1C. A(A+B)－1BD. A－1+B－16. 下列矩阵中不是初等矩阵的是( )．A. B.C. D.7. 设α1=(1，2，－3)T，α2=(－1，a，3)T，α3=(2，4，－6)T，其中a为常数，则向量组α1，α2，α3的秩为( )．A. 1B. 2C. 3D. 与常数a有关8. 设向量组α1，α2，α3线性无关，β1=α1+α2+α3，β2=α1+2α2+kα3，β3=α1+4α2+k2α3，则向量组β1，β2，β3线性无关的充分必要条件是( )．A. k=0B. k≠1C. k≠2D. k≠1且k≠29. 设A为m×n矩阵，则A的行向量组线性无关是齐次线性方程组Ax=0仅有零解的( )．A. 充分必要条件B. 必要而非充分条件C. 充分而非必要条件D. 既非充分也非必要条件10. 设A为3阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若r(A)=1，则方程组A*x=0的基础解系含无关解的个数为( )．A. 3B. 2C. 1D. 011. 设n元非齐次线性方程组Ax=b，Ax=0为其导出组，则( )．A. 若Ax=0有非零解，则Ax=b必有无穷多解B. 若Ax=0仅有零解，则Ax=b必有唯一解C. 若Ax=b有无穷多解，则Ax=0必有非零解D. Ax=b解的状态与Ax=0是否有非零解没有关联性12. 设A为m×n矩阵，r(A)＜n，则( )．A. ATAx=0与Ax=0的解之间没有关联B. Ax=0的解一定是ATAx=0的解，但反之不然C. A TAx=0的解一定是Ax=0的解，但反之不然D. Ax=0与ATAx=0为同解方程组13. 计算行列式14. 设函数f(x)，g(x)均在点x=1处存在一阶导数，且f(1)=g(1)=1，f'(1)=1，g'(1)=2，计算15. 设A为n(n为奇数)阶矩阵，满足A TA=E，且|A|＞0，计算|E－A]2[|．16. 设A－1=，求(A*)－1．17. 设矩阵A的伴随矩阵为A*=，且ABA－1=BA－1+3E，其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B．设A，B，Q为3阶方阵，且B=QTAQ，QQT=E．18. 计算Bm(m为正整数，且m≥3)；19. 若取A=，计算B10．20. 设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，求矩阵B－C．21. 若矩阵的秩为2，求t的值．22. 设α1，α2，α3为n维列向量组，且β1=α1，β2=2α1+α2，β3=－α1+2α2+kα3，问当k取何值时，α1，α2，α3可以被β1，β2，β3线性表示，并在k=1时，给出表达式．23. 设向量组α1，α2，…，αn线性无关，若要求向量组α1+α2，α2+α3，…，αn－1+αn，αn+α1线性无关，则n应满足什么条件?24. 设αi=(ai1，ai2，…，ain)T(i=1，2，3；n＞3)是n维实向量；且α1，α2，α3线性无关，已知β=(b1，b2，…，bn)T是线性方程组的非零解向量，判断向量组β，α1，α2，α3的线性相关性．25. 求解四元齐次线性方程组的通解并用其基础解系表示．26. 设A为4阶矩阵，r(A)=3，其代数余子式A11≠0，A*为A的伴随矩阵．试求线性方程组A*x=0的一个基础解系．。

2019年经济类联考数学答案及解析

2019年入学经济类专业学位联考综合能力真题21. 设函数()x y y =由参数方程,e ,d e 220t t u y u x ==⎰则=x y d d （）. （A ）2t （B ）22t （C ）1 （D ）2【答案】C 【解析】参数方程的求导1d d d d d d ==t x t yx y 22. 设函数()x f ，()x g 在区间[]b a ,上均可导，且函数值、导数值均恒负（其中b a ＜），若()()()()0''＜x g x f x g x f -，则()b a x ,∈时，不等式（）成立.（A ）()()()()a g a f x g x f ＞（B ）()()()()b g b f x g x f ＜（C ）()()()()a g a f x g x f ＞（D ）()()()()b g b f x g x f ＞【答案】C【解析】导数的应用，()()()()()()()().00''>⇒=<⇒=x G x g x f x G x F x g x f x F ； 23.()=--→11tan lim 321x x x （）. （A ）21 （B ）31 （C ）32 （D ）43 【答案】C【解析】等价无穷小替换求极值.24. 已知xxe 是()xf 的一个原函数，则()=⎰x x f x d 102（）. (A)1 (B)2e - (C)e 2- (D)e 2+【答案】C【解析】先求出()x f ，再带入定积分中求解.25. 函数,333xy y x z -+=则（）.(A)点()1,1是函数的极大值点 (B)点()1,1是函数的极小值点(C)点()0,0是函数的极大值点 (D)点()0,0是函数的极小值点【解析】先求出驻点，然后利用二元函数极值的充分条件判断.26.已知抛物线422+-=x x y 在点M 处的切线与x 轴的交角成45，则点M 的坐标为（）.(A)()4,2 (B)()3,1 (C)⎪⎭⎫ ⎝⎛413,23 (D)()4,0 【答案】C【解析】导数的几何意义，求出该点的导数值.27. 随机变量X 呈正态分布(),6,32N {},2.043=<<X P 则{}=≥2X P （）.（A ）0.2 （B ）0.3 （C ） 0.7 （D ）0.8【答案】C【解析】正态分布关于3=x 对称，{}5.03=<X P .28.()41=A P ，()31=A B P ，()21=B A P ，则()=⋃B A P （）. （A ）1 （B ）12 （C ）13（D ）14 【答案】C 【解析】利用概率的乘法公式求出()B P ，再利用加法公式求出()B A P ⋃.29.求4阶行列式 1040211206002412D --=--，则第四行各元素代数余子式之和，即41424344A A A A +++=（）.（A ）-18 （B ）-9 （C ）-6 （D ）-3【答案】A【解析】利用代数余子式的定义，所求结果为将元行列式最后一行元素全部替换成1得到的新行列式.30. 已知矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=5110141322455323211k A ，且秩3)(=A r ，则常数=k （）. （A ）2 （B ）2- （C ）1 （D ）1-【解析】利用矩阵秩的定义得出矩阵A 的任意一个包含常数k 的四阶子式的行列式为0.31. 已知极限011lim 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++∞→b ax x x x ，求常数a 和b . 【答案】1,1-==b a【解析】“∞-∞”型，先通分，再求解常数.32. 求函数)(x f 在2=x 的某邻域内可导，且1)2(,e )()(==f x f x f '，求)2('''f .【答案】32)2(e f ='''【解析】复合函数的求导法则()()[]()()()x g x g f x g f '''⋅=. 33.求不定积分2x . 【答案】C x x x +++=21232523452原积分【解析】遇到根号式，常利用换元法求积分.34.求定积分10x ⎰.【答案】 232e =原积分【解析】与33题类似，遇到根号式，常利用换元法求积分.35. 已知()f x 在(,)-∞+∞内连续，且(0)4f =，求极限020()()d lim x x f t x t t x →-⎰.【答案】2【解析】“∞/∞”洛必达法则求极值，同时结合变限积分求导公式.36. 设(), ln y x z +=证明. 21=∂∂⋅+∂∂⋅y z y x z x 【解析】多元函数求偏导同时结合了复合函数求偏导公式.37. 某足球彩票售价1元.中奖率为0.1，如果中奖可得8元.小王购买了若干张足球彩票，如果他中奖2张，则恰好不赚也不赔，求小王收益的期望值.【答案】12.8【解析】先求出小王购买的彩票数，再求出每一次盈利的期望，最后利用数学期望的性质求出收益的期望值.求：(1)X 的数学期望EX ;(2)概率{}.01≠<X X P【答案】16/37=EX ;{}.8/2501=≠<X X P【解析】利用概率的归一性求出k . 39. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100110111A ，三阶矩阵B 满足E AB A =-2，其中E 为三阶单位矩阵，求矩阵B .【答案】⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000000120B 【解析】12--=⇒=-A A B E AB A . 40. 若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,0321321321kx x x x kx x x x kx 有非零解，求k 的所有可能取值.【答案】2-1或=k【解析】有非零解可知系数矩阵的行列式等于0.。

经济类专业学位联考综合能力数学基础(计算题)模拟试卷4(题后含

经济类专业学位联考综合能力数学基础（计算题）模拟试卷4(题后含答案及解析)题型有：1.1．设f(x)=，讨论f(x)在x=0处的极限．正确答案：当x→0－时，1／x→－∞，e1／x→0；当x→0+时，1／x→+∞，e1／x→+∞．因此需讨论f(x)在点x=0处的左极限与右极限．由于当x→0+时，－1／x→－∞，e－1／x→0，因此可知f(x)在z=0处的左极限与右极限都存在，但不相等，因此f(x)不存在．涉及知识点：微积分2．设f(x)=ansinx／an(a≠0，x≠0)，讨论f(x)是否存在?若存在，求出极限．正确答案：极限过程为n→∞，式中a为参数，an的值不仅与n有关，且与a也有关，因此应对a进行讨论．当|a|＜1时，an=0，由于sinx／an为有界变量，因此ansinx／an=0．当|a|=1时，ansinx／an=(±1)nsinx／(±1)n=sinx．当|a|＞1时，an=∞，x／an=0，因此综上所述，得涉及知识点：微积分3．设y=ln，求y’．正确答案：在求导函数时有对数运算时，先利用对数运算法则化简再求导，往往能使运算过程简化．涉及知识点：微积分4．正确答案：涉及知识点：微积分5．设z=z(x，y)由方程x2y+ez=2z确定，求dz．正确答案：解法1设F(x，y，z)=x2y+ez－2z，则F’x=2xy，F’y=x2，F’z=ez －2，解法2将方程两端微分，可得d(x2y)+d(ez)=d(2z)，yd(x2)+x2dy+ezdz=2dz，(2－ez)dz=2xydx+x2dy，dz=(2ydx+xdy)．涉及知识点：微积分6．已知α=(1，2，3)，β=(1，1／2，1／3)，A=αTB，若A满足方程A3－2λA－λ2A=O，求解λ的取值．正确答案：对于非零行向量α=(1，2，3)，β=(1，1／2，1／3)，根据矩阵乘法定义，A=αTβ而βαT=3，于是，利用矩阵乘法的结合律，对于正整数k，有Ak=(βαT)k－1αTβ=3k－1A，从而有A3=32A，A2=3A，因此得方程9A－6λA－λ2A=(9－6λ－λ2)A=O，由于A≠O，因此，必有9－6λ－λ2=0，解得λ=－3±3．涉及知识点：线性代数7．设A=，求An．正确答案：由A2=22E．A3=22A．…所以，当n=2k(k=1，2，3，…)时，An=(A2)k=(22E)k=22kE；当n=2k+1(k=1，2，3，…)时，An=(A2)kA=(22E)kA=22kA．涉及知识点：线性代数8．设列向量组β1，β2，β3可以被列向量组α1，α2，α3线性表示，同时，列向量组γ1，γ2，γ3可以被向量组β1，β2，β3线性表示，各自表达式为β1=α1+2α2+α3，β2=－α1+α2+2α3，β3=α1+2α2－3α3；γ1=β1－2β2－β3，γ2=2β1+β2－β3，γ3=β2－2β3．试用向量组α1，α2，α3线性表示向量组γ1，γ2，γ3，并给出具体表达式．正确答案：由题设，(β1，β2，β3)(γ1，γ2，γ3)从而有(γ1，γ2，γ3)因此表达式为γ1=2α1－2α2，γ2=3α2+7α3，γ3=－3α1－3α2+8α3．涉及知识点：线性代数9．设有两批数量相同的零件，已知有一批产品全部合格，另一批产品有25％不合格．从两批产品中任取1个，经检验是合格品，放回原处，并在其所在批次再取1个，试求这个产品是不合格品的概率．正确答案：设Hi(i=1，2)为第一次从第i批产品中抽取，A为取到合格品，则有P(H1)=P(H2)=1／2，P(A|H1)=1，P(A|H2)=3／4，即有P(A)=P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)=7／8，从而有P(H1|A)==4／7，P(H2|A)=1－P(H1|A)=3／7，又设Ci(i=1，2)为第二次从第i批产品中抽取，则有P()=P(C1)P(|C1)+P(C2)P(|C2) 涉及知识点：概率论10．一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，在某个时间段每个元件无故障工作的概率为0．8．求该电路分别在三个元件串联和并联情况下无故障工作的概率．正确答案：三个同种电气元件中有ξ个无故障工作的概率服从二项分布概型，即P{ξ=k}=C3k0．8k(1－0．8)3－k(k=0，1，2，3)．于是在三个元件串联情况下，电路无故障工作，即在三个元件都处在正常工作状态，因此所求概率为P{ξ=3}=C330．83(1－0．8)3－3=0．83=0．512．在三个元件并联情况下，只要其中一个元件无故障工作，电路即正常工作，因此所求概率为1－P{ξ=0)=1－C300．80(1－0．8)3=1－0．23=0．992．涉及知识点：概率论11．设f(x)在[0，2]上有二阶连续导数，且f(1)=0，记，证明：正确答案：将f(x)在x=1处展开为一阶泰勒公式，则f(x)=f(1)+f’(1)(x一1)+f”(ξ)(x一1)2则∫02f(x)dx=f’(1)∫02(x一1)dx+∫02f”(ξ)(x一1)2dx=f”(ξ)(x-1)2dx 涉及知识点：数学基础12．求由曲线y=xex与直线y=ex所围成图形的面积。

经济类专业学位联考综合能力数学基础(计算题)模拟试卷8(题后含

经济类专业学位联考综合能力数学基础（计算题）模拟试卷8(题后含答案及解析)题型有：1.1．设y=y(x)可微，且yx2－∫0ydt=0，求dy．正确答案：将所给方程两端同时关于x求导，可得y’x2+2xy－．y’=0．所以涉及知识点：微积分2．若=0，求常数a的值．正确答案：所给表达式中，由于当x→0时sin3x／x极限存在，由极限的性质可知当x→0时，ln()1／x极限存在，且有=lnea+1=a+1．因此a+1=3，得a=2．涉及知识点：微积分3．正确答案：令x=tant，则dx=1／cos2tdt．当x=0时，t=0；当x=时，t=π／6．因此涉及知识点：微积分4．设三次多项式f(x)=ax3+bx2+cx+d满足d／dx∫xx+1f(t)dt=12x2+18x+1，当x为何值时，f(x)取到极大值．正确答案：由于d／dx∫xx+1f(t)dt=f(x+1)－f(x)=3ax2+(3a+2b)x+a+b+c=12x2+18x+1，比较系数，得a=4，b=3，c=－6．所以f(x)=4x3+3x2－6x+d，再由f’(x)=12x2+6x－6=6(2x－1)(x+1)，令f’(x)=0，得f(x)的两个驻点x1=1／2，x2=－1．又f”(x)=24x+6，则有f”(1／2)＞0，f”(－1)＜0．由极值第二充分条件知，当x=－1时，f(x)取到极大值．涉及知识点：微积分5．设z=exy(x2+y)，其中f(u)是可导函数，求正确答案：设u=xy，v=x2+y，则z=euf(v)．=eu．y．f(v)+euf’(v)．2x=exy[yf(x2+y)+2xf’(x2+y)]．涉及知识点：微积分6．求f(x，y)=x2－y2+2在椭圆域D={(x，y)|x2+≤1}上的最大值和最小值．正确答案：求f(x，y)x2－y2+2在区域D={(x，y)|x2+≤1}上的最值应分两种情形考虑：在椭圆域D的内点考虑无约束极值问题；在椭圆域D的边界考虑条件极值问题．解法1考查f(x，y)=x2－y2+2在区域x2+＜1内的极值．令解得x=0，y=0，即f(x，y)在x2+＜1内有唯一驻点(0，0)．在x2+=1上，记y2=4－4x2，因此有f(x，y)=x2－(4－4x2)+2=5x2－2，－1≤x≤1，令df／dx=10x=0，得x=0．当x=0时，y=±2；当x=±1时，y=0．所以f(±1，0)=3，f(0，±2)=－2．又f(0，0)=2，因此f(x，y)在D上的最大值为3，最小值为－2．解法2在区域x2+＜1内解法同解法1．在椭圆x2+=1上，利用拉格朗日乘数法求极值．设L=x2－y2+2+λ(x2+－1)，由解得4个可能的极值点M1(0，2)，M2(0，－2)，M3(1，0)，M4(－1，0)．所以f(M1)=－2，f(M2)=－2，f(M3)=3，f(M4)=3，可知f(x，y)在D上的最大值为3，最小值为－2．涉及知识点：微积分7．设A=，E为4阶单位矩阵，且B=(E+A)－1(E－A)，求矩阵(E+B)－1．正确答案：等式两边左乘E+A，整理得B+AB=E－A，再整理为A(E+B)=2E －(E+B)，从而得(A+E)(E+B)=2E．两边同时求逆，得(E+B)－1(A+E)－1=1／2E，因此得(E+B)－1=1／2(A+E) 涉及知识点：线性代数8．设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，求矩阵B－C．正确答案：由B=E+AB，C=A+CA，知(E－A)B=E，C(E－A)=A，可知E－A，B互为逆矩阵，也有B(E－A)=E，于是有B(E－A)－C(E－A)=(B－C)(E－A)=E －A，因为E－A可逆，从而有B－C=E．涉及知识点：线性代数9．已知向量组(Ⅰ)：α1，α2，α3和向量组(Ⅱ)：β1，β2，β3，且试判断向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否等价，并说明理由．正确答案：由(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)，其转换矩阵为=4≠0，知A可逆，于是，(α1，α2，α3)=(β1，β2，β3)即向量组(Ⅰ)和(Ⅱ)可以互相表示，故(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．解析：本题还可以从秩的角度给出另一种解法，即由(β1，β2，β3)=(α1，α2，α3)A，且A可逆，说明矩阵(β1，β2，β3)是由(α1，α2，α3)右乘可逆矩阵A得到，因此，两向量组秩相等，又β1，β2，β3可被α1，α2，α3线性表示，故两向量组等价．知识模块：线性代数10．求函数f(x)=(x-1)2(x+1)2的单调增减区间和极值。

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经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷19经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷19(总分：56.00，做题时间：90分钟)一、计算题(总题数：28，分数：56.00)1.设F(x)是f(x)的一个原函数，则下列命题正确的是( )．A.∫1／xf(lnax)dx=1／aF(lnax)+CB.∫1／xf(lnax)dx=F(lnax)+C √C.∫1／xf(lnax)dx=aF(lnax)+CD.∫1／xf(lnax)dx=1／xF(lnax)+C由题设F(x)为f(x)的一个原函数，可知∫f(x)dx=F(x)+C．故∫1／xf(lnax)dx=∫1／axf(lnax)d(ax)=∫f(lnax)d(lnax)=F(lnax)+C．故选B．2.不定积分∫x 2．A.－1／3(1－x 3 ) 3／2 +CB.－2／9(1－x 3 ) 3／2 +C √C.－3(1－x 3 ) 3／2 +CD.－9／2(1－x 3 ) 3／2 +C利用凑微分法可得∫x 2dx=1／3∫(1－x 3 ) 1／2 d(x 3 )=－1／3∫(1－x 3 ) 1／2 d(1－x 3 ) =－1／3．2／3(1－x 3 ) 3／2 +C=－(1－x 3 ) 3／2 +C．故选B．3.设f(x)在区间[a，b]上，有f(x)＞0，f'(x)＜0，f"(x)＞0．记S 1 =∫a b f(x)dx，S 2 =f(b)(b－a)，S 3 =1／2[f(b)+f(a)](b－a)，则有( )．A.S 1＜S 2＜S 3B.S 3＜S 1＜S 2C.S 2＜S 3＜S 1D.S 2＜S 1＜S 3√由于f'(x)＜0，可知函数f(x)在[a，b]上单调减少；由于f"(x)＞0，可知曲线y=f(x)在[a，b]上为凹．曲线的图形如图1—3—1所示．由图可知，S 1表示曲边梯形ABDC 的面积，S 2表示以b－a为长，f(b)为宽的矩形ABDE的面积，而S 3表示梯形ABDC的面积，因此可得S 2＜S 1＜S 3，故选D．4.设F(x)= ∫a x f(t)dt，其中f(x)为连续函数，则为( )．A.a 2B.a 2 f(a) √C.0D.不存在因为且所给问题为含有可变限积分的极限问题，且所给极限为“0／0”型．通常含有可变限积分的极限求解需要利用洛必达法则，通过求导数消去可变限积分．则由洛必达法则可得故选B．5.如图1—3—1所示，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分∫0axf'(x)dx等于( )．A.曲边梯形ABOD的面积B.梯形ABOD的面积C.曲边三角形ACD的面积√D.三角形ACD的面积由于∫0a xf'(x)dx=xf(x)| 0a－∫0a f(x)dx=af(a)－∫0a f(x)dx．又由于af(a)的值等于矩形ABOC 的面积，∫0a f(x)dx的值等于曲边梯形ABOD的面积，可知∫0a xf'(x)dx的值等于曲边三角形ACD的面积．故选C．6.∫01．A.1B.π／2C.π／3D.π／4 √y= 可以化为(x－1) 2 +y 2 =1，y≥0，因此y= 表示圆心在(1，0)，半径为1的上半圆，∫01 dx的值等于上述半圆的面积的二分之一，即∫01dx=π／4．故选D．7.∫1e．A.－eB.eC.－1／e √D.1／e也可以直接使用分部积分法：C．8.二元函数f(x，(0，0)处必定( )．A.连续且偏导数存在B.连续但偏导数不存在C.不连续但偏导数存在√D.不连续且偏导数不存在由偏导数的定义可知可知f(x，y)在点(0，0)处的偏导数存在，因此排除B，D．由于可知f(x，y)不存在，从而知f(x，y)在(0，0)处不连续，因此排除A，故选C．9.设z=，则dz=( )A.B.C.D. √求dz通常利用可微分的充分条件，即先求出为连续函数，则有dz= dy．由于当x 2+y 2≠0时，都为连续函数，因此故选D．10.设z=x y，x=sint，y=tant,则全导数dz／dt| t=π／4 =( )．A.B.C. √D.由于dz／dt= =yx y－1，=x y lnx．dx／dt=cost，dy／dt=1／cos 2 t，因此 dz／dt=yx y－1．cost+x y lnx．1／cos 2t=(sint) tant(1+ )，因此 dz／dt| t=π／4= (1－ln2)．故选C．11.设有三元方程xy－zlny+z 2=1，根据隐函数存在定理，存在点(1，1，0)的一个邻域，在此邻域内该方程( )．A.只能确定一个具有连续偏导数的函数z=z(x，y)B.可确定两个具有连续偏导数的函数y=y(x，z)和z=z(x，y)C.可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y，z)和z=z(x，y)D.可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y，z)和y=y(x，z) √注意隐函数存在定理：设函数F(x，y，z)在点P(x 0，y 0，z 0)的某一邻域内具有连续偏导数，且F(x 0，y 0，z 0 )=0，F' z (x 0，y 0，z 0 )≠0，则方程F(x，y，z)=0在点P(x 0，y 0，z 0 )的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=z(x，y)，它满足条件z 0 =z(x 0，y 0 )，且有在本题中令F(x，y，z)=xy－zlny+z 2－1，则F(1，1，0)=0，且 F' x =y，F' y =x－，F' z =－lny+2z， F' x (1，1，0)=1，F' y (1，1，0)=1，F' z (1，1，0)=0．由隐函数存在定理可知，可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y，z)和y=y(x，z)．故选D．12.设(0，0)( )．A.为z的驻点且为极小值点B.为z的驻点但不为极小值点C.不为z的驻点，但为极小值点√D.不为z的驻点，也不为极小值点z=f(x，y)=，当(x，y)≠(0，0)时，f(x，y)=＞0，而f(0，0)=0，可知点(0，0)为f(x，y)的极小值点，由于不存在，可知在点(0，0)不存在，因此点(0，0)不是z的驻点，故选C．13.函数z=x 2 +y 2在条件=1下的极值为( )．A.B.C. √D.所给问题为条件极值．构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=x 2 +y 2 +λ( －1)，解联立方程组可解得唯一一组解对于条件极值问题，判定其驻点是否为极值点，往往是利用问题的实际背景来解决．所给问题不是实际问题．但是可以理解为：考查直线=1上的点到原点的距离的极值问题．由于直线上任意一点(x，y)到原点的距离而点(x，y)应满足直线方程=1．因此问题转化为求在条件=1下函数d=的最小值问题．为了计算简便，可以求z=d 2 =x 2 +y 2在条件=1下的极值问题．在此实际背景之下，由于原点到定直线上点之间的距离存在最小值，可知所给条件极值存在最小值．由于驻点唯一，因此所求驻点为最(极)小值点，相应的最(极)小值为故选C．14.设z=z(x，y)由方程z－y－xe z－y－x－y=0确定，则．A.－1B.1 √C.－1+e z－y－xD.－1－e z－y－x设F(x，y，z)=z－y－x+xe z－y－x，则F' y =－1+xe z－y－x．(－1)=－(1+xe z－y－x )， F' z =1+xe z－y－x．因此故选B．________________________________________________________________ __________________________正确答案：(正确答案：设u=lnx，则du=1／xdx．所以ln2x=ln2+lnx=ln2+u，ln4x=u+ln4=u+2ln2=u－ln2．ln(2ln2+u)+C =lnx－ln2．ln(ln4x)+C．)16.设f(x)为连续函数，且满足∫0x f(t－1)dt=x 3，求f'(x)．________________________________________________________________ __________________________ 正确答案：(正确答案：由于f(x)为连续函数，因此将所给表达式两端同时关于x求导，可得f(x－1)=3x 2．令t=x－1，则x=t+1，可得f(t)=3(t+1) 2，即f(x)=3(x+1) 2，故f'(x)=6(x+1)．)17.，求a，b的值．________________________________________________________________ __________________________ 正确答案：(正确答案：由于原式型，由洛必达法则可得由于分子的极限为零，比值的极限存在，因此分母的极限必定为零，即(b－cosx)=b=1=0，可得b=1．因此可知a=2或a=－2．)18.计算定积分∫π／4π／2．________________________________________________________________ __________________________正确答案：(19.计算定积分∫1／23／2．________________________________________________________________ __________________________ 正确答案：(正确答案：令t=1－x，则dx=－dt．当x=1／2时，t=1／2；当x=3／2时，t=－1／2．因此)20.设，求∫01 xf(x)dx．________________________________________________________________ __________________________ 正确答案：(正确答案：将f(x)= dt两端同时关于x求导，可得f'(x)=2x 由分部积分公式可得∫01 xf(x)dx 当x=1时，有f(1)=∫11dt=0，因此∫01 xf(x)dx=1／4(e －1－1)．)21.求由曲线y=和直线x=0，x轴所围成图形的面积．________________________________________________________________ __________________________正确答案：(正确答案：由于当0≤x≤＞0，故所求图形面积为令t=x 2，当x=0时，t=0；当x= 时，t=π／4．因此)22.设二元函数________________________________________________________________ __________________________正确答案：(正确答案：设u=x／y，v=y／x，则z=sinu+cosv23.设z=方f[x+φ(y／x)]，其中f(u)，φ(v)为可导函数，求dz．________________________________________________________________ __________________________正确答案：(正确答案：设u=x+φ(y／x)，v=y／x，则z=f(u)24.设2=z(x，y)由f(x 2－y，y 2 +z)=0确定，其中f(u，v)可微，求dz．________________________________________________________________ __________________________ 正确答案：(正确答案：记f' i为f对第i个位置变量的偏导数，i=1，2，设 F(x，y，z)=f(x 2－y，y 2 +z)，则F' x =f' 1．2x，F' y =f' 1．(一1)+f' 2．2y，F' z =f' 2．)25.设z=z(x，y)由方程x+y+z－xyz=0确定，求dz．________________________________________________________________ __________________________ 正确答案：(正确答案：解法1利用全微分形式不变性求解．dx+dy+dz－d(xyz)=0，dx+dy+dz－yzdx－xzdy －xydz=0，(1－yz)dx+(1－xz)dy+(1－xy)dz=0．当1－xy≠0时，有dz= [(1－yz)dx+(1－xz)dy]．解法2先利用隐函数存在定理求，再利用全微分公式求dz．令F(x，y，z)=x+y+z－xyz，则F' x=1－yz，F' y =1－xz，F' z =1－xy，当xy≠1时，有)26.设u=f(x，y，z)有连续偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由e xy－y=0和e z－z=0确定，求du／dx．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由于y=y(x)，z=z(x)，可知u为x的一元函数，则有du／dx=f' 1+f' 2．+f' 3．dz／dx．将e' xy－y=0两端关于x求导，可得 e xy．(xy)'－y'=0， e xy．(y+xy')－y'=0，可得将e z－xz=0两端关于x求导，可得 e z．z'－(z+xz')=0， z'=z ／(e z－x) 因此) 27.设函数z=lnx+3lny，求z在条件x 2 +y 2 =25下极值点的坐标．________________________________________________________________ __________________________正确答案：(正确答案：构造拉格朗日函数L(x，y，λ)=lnx+3lny+λ(x 2 +y 2－25)，求解方程组由①，②可得λ=－1／2x 2 =－3／2y 2，因此y 2 =3x 2，代入③可得由于z=lnx+3lny，知x＞0，y＞0，故只有唯一的可能极值点(5／2，5／)．本题可以理解为：在圆周x 2 +y 2 =25上求一点，使lnxy 3达到极值，由lnxy 3表达式可知，其极小值不存在，极大值应该存在，驻点唯一，因此该驻点即为极大值点，此点即为所求点．)28.设计一幅广告画，要求画面面积为4840cm 2，上、下空白处各要留8cm，左、右空白处各要留5cm，问怎样确定画面的长和宽，才能使整幅广告画所用纸张的面积最小?________________________________________________________________ __________________________ 正确答案：(正确答案：设画面长、宽分别为x，y(cm)，则整幅广告画所用纸张面积为 S=(x+16)(y+10)，(x＞0，y＞0)．要求面积S=(x+16)(y+10)在约束条件xy=4840下的最小值．构造拉格朗日函数L(x，y，λ)=(x+16)(y+10)+λ(xy－4840)．x=88，y=55，则(88，55)是唯一可能的极值点．由实际问题可知所用纸张面积一定存在最小值，且可能极值点唯一，因此长为88cm，宽为55cm时为所求画面的长和宽．)。