经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷19

经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷19

经济类专业学位联考综合能力数学基础（微积分）模拟试卷19

(总分：56.00，做题时间：90分钟)

一、计算题(总题数：28，分数：56.00)

1.设F(x)是f(x)的一个原函数，则下列命题正确的是( )．

A.∫1／xf(lnax)dx=1／aF(lnax)+C

B.∫1／xf(lnax)dx=F(lnax)+C √

C.∫1／xf(lnax)dx=aF(lnax)+C

D.∫1／xf(lnax)dx=1／xF(lnax)+C

由题设F(x)为f(x)的一个原函数，可知∫f(x)dx=F(x)+C．故∫1／xf(lnax)dx=∫1／axf(lnax)d(ax)=∫f(lnax)d(lnax)=F(lnax)+C．故选B．

2.不定积分∫x 2．

A.－1／3(1－x 3 ) 3／2 +C

B.－2／9(1－x 3 ) 3／2 +C √

C.－3(1－x 3 ) 3／2 +C

D.－9／2(1－x 3 ) 3／2 +C

利用凑微分法可得∫x 2dx=1／3∫(1－x 3 ) 1／2 d(x 3 )=－1／3∫(1－x 3 ) 1／2 d(1－x 3 ) =－1

／3．2／3(1－x 3 ) 3／2 +C=－(1－x 3 ) 3／2 +C．故选B．

3.设f(x)在区间[a，b]上，有f(x)＞0，f'(x)＜0，f"(x)＞0．记S 1 =∫a b f(x)dx，S 2 =f(b)(b－a)，S 3 =1／2[f(b)+f(a)](b－a)，则有( )．

A.S 1＜S 2＜S 3

B.S 3＜S 1＜S 2

C.S 2＜S 3＜S 1

D.S 2＜S 1＜S 3√

由于f'(x)＜0，可知函数f(x)在[a，b]上单调减少；由于f"(x)＞0，

可知曲线y=f(x)在[a，b]上为凹．曲

线的图形如图1—3—1所示．由图可知，S 1表示曲边梯形ABDC 的面积，S 2表示以b－a为长，f(b)为宽的矩形ABDE的面积，而S 3表示梯形ABDC的面积，因此可得S 2＜S 1＜S 3，故选D．

4.设F(x)= ∫a x f(t)dt，其中f(x)为连续函数，则为( )．

A.a 2

B.a 2 f(a) √

C.0

D.不存在

因为且所给问题为含有可变限积分的极限问题，且所给极限为“0／0”型．通常含有可变限积分的

极限求解需要利用洛必达法则，通过求导数消去可变限积分．则由洛必达法则可得故选B．

5.如图1—3—1所示，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分∫0a

xf'(x)dx等于( )．

A.曲边梯形ABOD的面积

B.梯形ABOD的面积

C.曲边三角形ACD的面积√

D.三角形ACD的面积

由于∫0a xf'(x)dx=xf(x)| 0a－∫0a f(x)dx=af(a)－∫0a f(x)dx．又由于af(a)的值等于矩形ABOC 的面积，∫0a f(x)dx的值等于曲边梯形ABOD的面积，可知∫0a xf'(x)dx的值等于曲边三角形ACD的面积．故选C．

6.∫01．

A.1

B.π／2

C.π／3

D.π／4 √

y= 可以化为(x－1) 2 +y 2 =1，y≥0，因此y= 表示圆心在(1，0)，半径为1的上半圆，∫01 dx的值等于上述半圆的面积的二分之一，即∫01dx=π／4．故选D．

7.∫1e．

A.－e

B.e

C.－1／e √

D.1／e

也可以直接使用分部积分法：C．

8.二元函数f(x，(0，0)处必定( )．

A.连续且偏导数存在

B.连续但偏导数不存在

C.不连续但偏导数存在√

D.不连续且偏导数不存在

由偏导数的定义可知可知f(x，y)在点(0，0)处的偏导数存在，因此排除B，D．由于可知

f(x，y)不存在，从而知f(x，y)在(0，0)处不连续，因此排除A，故选C．

9.设z=，则dz=( )

A.

B.

C.

D. √

求dz通常利用可微分的充分条件，即先求出为连续函数，则有dz= dy．由于当x 2+y 2≠0时，都为连续函数，因此故选D．

10.设z=x y，x=sint，y=tant,则全导数dz／dt| t=π／4 =( )．

A.

B.

C. √

D.

由于dz／dt= =yx y－1，=x y lnx．dx／dt=cost，dy／dt=1／cos 2 t，因此 dz／dt=yx y

－1．cost+x y lnx．1／cos 2t=(sint) tant(1+ )，因此 dz／dt| t=π／4= (1－ln2)．故选C．11.设有三元方程xy－zlny+z 2=1，根据隐函数存在定理，存在点(1，1，0)的一个邻域，在此邻域内该方程( )．

A.只能确定一个具有连续偏导数的函数z=z(x，y)

B.可确定两个具有连续偏导数的函数y=y(x，z)和z=z(x，y)

C.可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y，z)和z=z(x，y)

D.可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y，z)和y=y(x，z) √

注意隐函数存在定理：设函数F(x，y，z)在点P(x 0，y 0，z 0)的某一邻域内具有连续偏导数，且F(x 0，y 0，z 0 )=0，F' z (x 0，y 0，z 0 )≠0，则方程F(x，y，z)=0在点P(x 0，y 0，z 0 )的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=z(x，y)，它满足条件z 0 =z(x 0，y 0 )，且有

在本题中令F(x，y，z)=xy－zlny+z 2－1，则F(1，1，0)=0，且 F' x =y，F' y =x－，F' z =－lny+2z， F' x (1，1，0)=1，F' y (1，1，0)=1，F' z (1，1，0)=0．由隐函数存在定理可知，可确定两个具有连续偏导数的函数x=x(y，z)和y=y(x，z)．故选D．