极大极小原理
大阴极小阳极原理
大阴极小阳极原理
大阴极小阳极原理（Large Cathode Small Anode Principle）是一种能有效减少电弧放电的技术原理，广泛应用于高压直流输电（HVDC）领域。
在HVDC中，直流电流通过高压绝缘的输电线路传输，但是，由于导线表面不平整、杂散电场等因素，会导致电场强度不均匀，从而引起电弧放电现象。
这种电弧放电不仅会导致输电线路的损坏，还会产生高频噪音和电磁干扰等问题，甚至会导致系统的不稳定性和损毁。
为了解决这些问题，采用了大阴极小阳极原理。
其原理是在输电线路两端，采用较大电极（阴极）和较小电极（阳极）的组合形式，将大电流通过较大的阴极，使得电场强度在阴极表面分布均匀，从而减少电弧发生的可能性。
而较小的阳极则可有效减少电极压降和局部电场强度，进一步降低电弧放电的风险。
大阴极小阳极原理的应用还可以扩展到变压器和电容器等高压设备的绝缘结构中。
在这些设备中，通过采用大阴极小阳极的方式，可以使电场强度分布更加均匀，从而避免绝缘介质的击穿，提高设备的可靠性和安全性。
总之，大阴极小阳极原理是一种有效的技术手段，可以减轻电弧放电对输电线路和高压设备的危害，提高系统的可靠性和稳定性，是HVDC领域中不可或缺的技术原理之一。
极大值原理MaximumPrincipleMaximumPrinciple
维尔斯特拉斯E函数 （Weierstrass Erdmann Function）
设有泛函 有 tf ( t ), t ] dt J ( x ) L[ x ( t ), x
t0
若用p(x,t)表示其极值曲线场中极值曲线斜率，则可以证 表示其极值曲线场中极值曲线斜率 则可以证 明泛函增量可表示为
3.1 泛函极值的充分条件
几个有关定义 个有关定义 正常场 定义3 3-1 1：若（ x，t ）平面某 ）平面某一区域 区域D上每 上每一点都有曲线族中一条 点都有曲线族中 条 且仅有一条通过，则称曲线族在区域D上形成一个正常场。曲线族 上点（x，t）处的切线的角系数称为场在点（x，t）的斜率。 中心场 定义3-2：若区域D上曲线族的全部曲线都通过一点（x0，t0），即 它们形成曲线束，且束心也属于 它们形成曲线束，且束 也属于D，同时除束 ，同时除束心外，曲线在 外，曲线在D内不 再相交，曲线布满区域D，则该场为中心场。 极值曲线场 定义3-3 3 3：若正常场或中心场是由某一变分问题的极值曲线族所形 若正常场或中心场是由某 变分问题的极值曲线族所形 成，则称之为极值曲线场。 以上定义可以从平面场拓展到n维空间场。
对于强极值，
① 曲线c应是满足极值条件的极值曲线； ② 极值曲线c能够被包含在极值曲线场中； 能够被包含在极值曲线场中 , p, t ) 值，函数 E ( x , x ③ 对于c近旁所有点(x, t)以及任意的 x 不变号 极小值时E≥0，极大值时 不变号，极小值时 极大值时E≤0。
3.2 连续系统极大值原理
•
J a ( u) [ x ( t f ), t f ] T [ x ( t f ), t f ]
f 2 ]}dt （3-2-8） , t ) T[ f ( x , w , t) x ] T [ g( x , w , t) Z { L( x , w
极小值原理(一)
极小值原理(一)极小值什么是极小值？•极小值是数学中的一个概念，用于描述函数的最小值或局部最小值。
•在函数的定义域中，如果一个点的函数值比其周围任意点的函数值都要小或相等，那么这个点就被称为极小值点。
•极小值点是函数图像中的一个相对低谷。
极小值定理•极小值定理是研究函数极值的一个重要定理，可以帮助我们判断函数的极值点。
•极小值定理可以分为费马定理和魏尔斯特拉斯定理两种。
–费马定理：如果函数在某一点处有极值，且该点处可导，则导数值为0。
–魏尔斯特拉斯定理：如果函数在某一闭区间内连续，那么一定会在该区间内取到最大值和最小值。
寻找极小值的方法1.导数法–对于可导函数，可以通过判断导数的零点来确定极值点。
–导数为0的点可能是函数的极小值点，但不一定。
–还需要通过二阶导数或其他方法来进行进一步的判断。
2.区间法–如果函数在某一闭区间内连续，那么一定会在该区间内取到最大值和最小值。
–可以通过将区间等分，逐个求函数值，找到最小值所在的区间。
3.迭代法–通过迭代计算，逐步接近极小值点。
–可以使用梯度下降等优化算法进行迭代计算。
4.其他方法–如果函数具有特殊的性质或特定的定义域，可以运用专门的方法来求解极小值。
极小值的应用•在数学领域中，极小值的研究是重要的。
–极小值可以帮助我们了解函数的性质和行为。
–极小值的存在性和唯一性问题是函数论和变分法中的关键问题。
•在其他领域中，极小值也具有广泛的应用。
–在优化问题中，求解极小值可以帮助我们寻找最优解。
–在经济学和管理学中，极小值可以帮助我们进行决策和优化资源分配。
–在机器学习和深度学习中，极小值是优化模型参数的目标。
总结•极小值是数学中的一个重要概念，用于描述函数的最小值或局部最小值。
•极小值定理可以帮助我们判断函数的极值点。
•寻找极小值的方法包括导数法、区间法、迭代法和其他方法。
•极小值具有广泛的应用，不仅在数学领域，还在其他领域中发挥着重要作用。
当我们研究函数的极值时，常常关注的是极小值。
极大极小原理
极大极小原理
极大极小原理，也被称为最大最小原理或极值原理，是数学分析中经常使用的重要原理。
极大极小原理的核心思想是，如果一个函数在某个区间内取得了最大值或最小值，那么在该区间的边界上也必须取得最大值或最小值。
这个原理对于研究函数的性质和求解最优化问题非常有帮助。
举个例子来说明极大极小原理的应用。
考虑一个函数f(x)，在
闭区间[a,b]上定义。
如果在区间内存在一个点x0，使得f(x0)
是f(x)在[a,b]上的最大值，那么可以得出结论：f(x)在区间的
边界上的值必须小于或等于f(x0)，即f(x)<=f(x0)，其中x属
于[a,b]。
同样地，如果f(x)在[a,b]上取得了最小值f(x0)，则
f(x)>=f(x0)。
极大极小原理的应用非常广泛，可以用于证明函数的性质，如连续性、有界性等。
另外，它还可以用于解决一些最优化问题，比如求解函数的最大值或最小值的问题。
基于极大极小原理，可以通过在区间的边界上寻找函数的最大值或最小值，从而找到整个区间上的最大值或最小值。
总之，极大极小原理是数学分析中一项重要的基本原理，通过利用函数在区间内最大最小值的性质，可以帮助我们研究函数的性质和解决最优化问题。
极大极小值算法
极大极小值算法
极大极小值算法（Extreme Value Algorithm）是一种用于搜索某一范围内的极大极小值的数学算法。
它可以用来查找一个函数的最大值或最小值，也可以用来查找一个变量的最大值或最小值。
这种算法的优势在于快速搜索出最大、最小值，并能够优化算法的效率。
极大极小值算法的基本原理是，在一定范围内搜索出变量或函数的极大极小值，并在搜索过程中根据变量或函数的变化情况，动态调整搜索范围，从而尽可能减少搜索次数，提高搜索效率。
极大极小值算法可以用于多种场景，比如搜索最优解，搜索最优路径等。
在优化问题中，极大极小值算法可以有效减少搜索空间，提高查找效率，使搜索过程更加简洁、高效。
在极大极小值算法中，搜索的方法有二分搜索、穷举搜索、梯度搜索等。
其中，二分搜索是一种经典的搜索方法，它通过不断的将搜索的范围减半的方式，来搜索极大极小值，而穷举搜索则是把搜索范围内的所有可能值都进行搜索，最后返回极大极小值；梯度搜索则是根据函数的梯度来搜索极大极小值。
总之，极大极小值算法是一种有效的数学算法，它可以用来搜索某一范围内的极大极小值，并能够优化搜索的效率，为优化问题提供有效的解决方案。
Minimax极大极小算法、Alpha-BetaPruning剪枝算法
Minimax极⼤极⼩算法、Alpha-BetaPruning剪枝算法这篇博客分为两部分。
⾸先我会先讲极⼤极⼩算法，然后在此基础上进⾏改进给出进阶版的Alpha-Beta剪枝算法以及代码实现。
⽂中配备b站讲解的视频，感兴趣的可以看⼀下视频讲解，然后复习的时候拿着⽂章当作参考。
Minimax算法（极⼤极⼩算法）概念是⼀种找出最⼩失败的可能的算法。
意思就是两个⼈下棋，A和B下棋，A想要⾃⼰的利益最⼤化（失败的可能性最⼩），B想要A的利益最⼩化（B想要A输）。
这个算法以及接下来的Alpha-Beta剪枝都是⼀种对抗性搜索算法（两个⼈互相对抗着下棋，俩⼈都想赢），是⼀种⼈⼯智能搜索的算法。
掌握此算法后可以⽤来写井字棋、五⼦棋等⼈⼯智能⼈机对抗下棋程序。
具体步骤给你⼀颗⼆叉树。
告诉你⼩紫和⼩⿊玩游戏。
紫⾊和⿊⾊圆圈代表他们两个。
我们是站在⼩紫的⾓度来描述的。
⼩紫想要他⾃⼰的得分最⼤所以⼩紫玩的时候，⼆叉树的那⼀层叫MAX层。
⼩⿊想要⼩紫的得分最⼩化，⼩⿊的叫做MIN层。
我们总是让⼩紫第⼀个开始，假设下⾯这个⼆叉树，我们只知道叶⼦节点的值（别管为啥，先学好算法原理，后续如何应⽤这个算法我还打算继续写博客和录视频讲解。
）：在这⾥给出定义，MAX层的节点的值是什么？？是它的⼦节点⾥⾯的最⼤值，MIN层的值是它的⼦节点⾥⾯的最⼩值。
直接上图。
MIN层是选择其孩⼦节点中最⼩值。
MAX层选择其孩⼦节点中的最⼤值。
算法概念就是这个样⼦。
算法的输⼊是构造的这⼀棵满⼆叉树，输出是最上层MAX节点的值。
代码实现class Node{ //结点类public:const int value;Node *left;Node *right;Node(int v,Node* l,Node* r):value(v),left(l),right(r) {};};为了遍历这棵树，⾸先我们得创建出来这棵树对吧？但是你的代码⾥没有创建⼆叉树这⼀部分啊。
极值原理
xt0 x0
N1 x t f ,t f 0
t f
x
N1T x
v
tt f
(4) 终端时刻tf可变时，用来确定tf的 终端横截条件：
H
t
vT
N1 t tt f
.
H
x
式中，哈密顿函数为
Hxt,ut,t,t Lxt,ut,t T f xt,ut,t
(2)在最优曲线x*(t)上与最优控制u*(t) 对应的哈密顿函数为极小值的条件，即
H x* t,u* t,* t,t min H x* t,ut,* t,t ut Ru
另外，如果根据物理意义已经判定所
讨论最优控制问题的解存在，而由极小值 原理求出的控制又只有一个，那么显然可 知，此控制是最优控制。实际遇到的问题 往往属于这种情况。
(2)这个例子比较简单，可以直接解出来。
稍复杂一点的情况是，u的取值要决定x和λ ，
而x和λ 的取值反过来又决定于u，这时要用 试探法求解。在复杂一点的问题往往就不能 用解析法求解了。
设n维系统状态方程 x. t f xt,ut,t (1)
式中：x(t)为n维状态向量；u(t)为r维控制向 量；f(.)为n维向量函数。
始端时间和始端状态
xt0 x0
(2)
始端时间和始端状态满足约束方程
N1 x t f ,t f 0
(3)
控制向量取值于
控制向量u(t)是分段连续函数，属于r为 空间中的有界闭集，应满足
gxt,ut,t 0
则为把状态x(t)的初态
极大极小原理
极大极小原理极大极小原理是数学中一个非常重要的概念，它在优化问题中有着广泛的应用。
极大极小原理是指对于一个函数而言，如果在某个点取得极大值或者极小值，那么这个点的导数为零。
极大极小原理是微积分中的基本定理之一，它可以帮助我们求解各种优化问题，包括最大值、最小值以及最优化问题。
首先，我们来看一下极大极小值点的定义。
对于一个函数f(x)，如果在点x=a处，f'(a)=0，并且f''(a)>0，那么这个点就是函数f(x)的极小值点；如果在点x=b处，f'(b)=0，并且f''(b)<0，那么这个点就是函数f(x)的极大值点。
通过这个定义，我们可以很容易地找到函数的极大极小值点，从而解决各种优化问题。
在实际应用中，极大极小原理可以帮助我们解决各种实际问题。
比如在工程中，我们经常需要求解一些最优化问题，比如最小成本、最大收益等。
而这些问题往往可以转化为一个函数的极大极小值问题，通过极大极小原理，我们可以很快地找到最优解。
另外，在经济学、物理学、生物学等领域，极大极小原理也有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种实际问题。
除了在求解最优化问题中的应用，极大极小原理在数学分析中也有着重要的地位。
通过极大极小原理，我们可以判断一个函数在某个区间内的极值点，从而对函数的性质有更深入的了解。
同时，极大极小原理也为我们提供了一种判断函数极值点的方法，通过这种方法，我们可以更快地找到函数的极值点，从而简化了计算过程。
总之，极大极小原理是数学中一个非常重要的概念，它在优化问题中有着广泛的应用。
通过极大极小原理，我们可以解决各种最优化问题，同时也可以对函数的性质有更深入的了解。
极大极小原理不仅在数学分析中有着重要的地位，同时也在工程、经济学、物理学、生物学等领域有着广泛的应用，可以帮助我们解决各种实际问题。
因此，对极大极小原理的深入理解和掌握，对于我们来说是非常重要的。
极小值原理——精选推荐
§ 7. 3 极小值原理极小值原理是前苏联数学家庞特里亚金首提. 是变分法的延伸和推广,亦称极大值原理是解决控制和状态受约束最优控制问题的有力工具. 极小值原理的一种表述及其应用(不证) 1. 极小值原理 定理7.3 设==00()[(),(),],()xt f x t u t t x t x ， 指标=+⎰0[(),(),]d [()]Tt J F x t u t t t S x T ，约束∈()()u t U 容许控制集，Hamilton 函数=+(,,,)[,,][,,]TH x u λt F x u t λf x u t ，则*()u t 是最优控制的必要条件是:*()u t 和相应的*()x t , *()λt 满足系统方程，∂=∂H x λ； (7.16)伴随方程，∂=-∂H λx； (7.17) 极值条件，******≤∈[,,,][,,,],,H x u λt H x u λt u u U ；(7.18)边界条件，∂=∂()()x T SλT x 。
(7.19)对(7.12)~(7.15’)，改变的只是极值条件和边界条件。
说明：1) 只有*()u t 才能使Hamilton 函数为全局最小(故名)若无控制约束, 则有∂∂=/0H u .2)边值条件自然含=00()x t x →确定状态和伴随向量. 3)非充要条件。
对线性系统，条件是充要的。
4)解题步骤类似§2中用变分法<1> 作Hamilton 函数→极值条件→待定u (t )； <2> 若伴随方程中无x ，则求出λ；<3>若待定最优控制中不含x →即已求得()u t ；(否则就要解规范方程组)，<4>求出,x J **(若要计算)。
2. 自由终端状态的最优控制举例例 7.5 求状态方程为==,(0)1xu x ， 指标为=⎰1min ()d J x t t ，控制约束为()[1,1]u t ∈-，的最优控制。
第三章极大值原理（MaximumPrinciple）（MaximumPrinciple）
• 取 Z 2 g 可以保证g非负；而由 u(t) 的分段连续性，有 w (t) 的分
段连续性，则进一步有w(t)分段光滑连续。因此，可以采用
Lagrange乘子法进行求解。
• 分别取Lagrange乘子 Rn， Rr， R ，p 构造广义性能指标
Ja (u) [ x(t f ), t f ] T [ x(t f ), t f ]
g[x(t),u(t),t] ≥0
（3-2-4）
则为把状态x(t)自初始状态
x(t0 ) x0
转移到满足边界条件
[ x(t f ), t f ] 0
的终态，其中tf未知，并使性能指标（泛函）
达J到(u最) 小 值[x，(t实f )现, t f最]优tt控0f L制[x的(t)条, u件(t)是, t：)]dt
u
以上即为极大值原理的简单推导。
（3-2-32） （3-2-33） （3-2-33’）
至此可以将庞特里亚金极大值原理表示为：
定理3-1：设系统的状态方程为
x(t) f [x(t),u(t),t]
（3-2-1）
控制变量u(t)是有第一类间断点的分段连续函数，属于m维空间中 的有界闭集Ω，满足不等式约束条件
以上定义可以从平面场拓展到n维空间场。
维尔斯特拉斯E函数 （Weierstrass Erdmann Function）
设有泛函
J ( x) t f L[ x(t ), x(t ), t] dt t0
若用p(x,t)表示其极值曲线场中极值曲线斜率，则可以证 明泛函增量可表示为
J( x) t f E[x(t), x(t), p( x, t), t] dt t0
F w
(Z
Z * )T
最优控制第六章极小值原理
以 w u，w * u*代入上式，便得
H x*, *,u,t H x*, *,u*,t
(35)
上式表明，如果哈密尔顿函数H看成 utU 的
函数，那么最优轨迹上与最优控制u*(t)相对应的
H将取绝对极小值(即最小值)。这是极小值原理的
一个重要结论。
定理 设系统状态方程为
xt0 x0
Nxt f ,t f 0
(48)
这就是著名的极小值原理。
下面对定理作些说明： 1) 定理的第一、第二个条件，即式(41)～式
(44)，普遍适用于求解各种类型的最优控制问题， 且与边界条件形式或终端时刻自由与否无关。其
中，第二个条件：min H x*, *,u,t H x*, *,u*,t uU
(45)
u u
3) H函数在最优轨迹终点处的值决定于
H
Φ
T
N
0
(46)
t f
t f tt f
4) 协态终值满足横截条件
t f
Φ
x
t
f
N T
x t f
tt f
(47)
5) 满足边界条件
J1
Ψ
x T
Ψ x
Φ t f
N T t f
tt f
t f
d xT
tf
Φ
x
N T x
Ψ x
t t
f
wT
Ψ w tt f
zT
Ψ z
tt f
极小值原理及应用
27
定理3-4
综合型最优控制问题的极大值原理
给定系统的状态方程
X (t ) f [ X (t ),U (t ), t ]
和控制函数U(t)的闭集约束条件 U (t ) , t [t0,t f ] 则为将系统从给定的初态X(t0)=X0，转移到满足终端约束条件 [ X (t f ), t f ] 0 的某个终态X(tf )，其中tf是可变的，并使性能泛函
的某个终态X(tf )，其中tf是可变的，并使性能泛函
J [ X (t f ), t f ] L[ X (t ),U (t ), t ]
t0 tf
达到极小值的最优控制应满足的必要条件是：
25
(1) 设U*(t)是最优控制, X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则存
在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量(t)，使得X*(t)和(t) 满足规范方程
取决于闭集性约束的边界时，特别要求H/U(t)有定义， 古典变分法便不再适用了。
ā
(2)在应用古典变分法来求解最优控制问题时，要求函数
[X ( tf ) ,tf ], L[X(t),U(t),t] ,
变量具有“充分”的可微性. 例如：
f [X(t), U(t) ,t] 对它们的自
J u (t ) dt
个闭子集。
容许控制
要求：确定满足约束条件的最优控制U*(t)，使系统从给定的 初态X(t0)转移到某个终态X(tf) ，并使性能泛函达到极小值。
5
如果不考虑约束条件 ，那么该最优控制 问题的解的必要条件可由定理2-10给出，现引述如下： （1）设U*(t)是最优控制， X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线，则 必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量(t) ，使得X(t)与
二阶导数判定极大值极小值的原理
二阶导数判定极大值极小值的原理示例文章篇一：哎呀，我的天呐！“二阶导数判定极大值极小值的原理”？这对我一个小学生来说，可真是个超级难搞的大难题呀！先让我想想啊，老师在课堂上讲过，好像一阶导数能告诉我们函数上升还是下降，那二阶导数又是什么鬼？比如说，有一个函数就像我们爬山的路。
一阶导数就像是我们走路的速度，速度是正的，说明我们在往上爬；速度是负的，那就是在往下走。
那二阶导数呢？它就像是这个速度变化的快慢。
如果二阶导数大于零，就好比我们越走越轻松，速度增加得越来越快，那这个地方就是极小值，就像我们走到了一个小山谷的底部。
“这难道不好理解吗？”反过来，如果二阶导数小于零，就像我们越走越累，速度减少得越来越快，那这里就是极大值，就像我们爬到了山顶。
你想想看，我们爬山的时候，如果一开始很费劲，后来越来越轻松，那肯定是走到了最低的地方；要是一开始轻松，后来越来越费劲，那不就是到顶了嘛！“这和二阶导数判定极大值极小值不是很像吗？”其实呀，我觉得数学里这些东西有时候真的很神奇，就这么几个数字和符号，就能告诉我们这么多有趣的事情。
不过，说实话，我有时候还是会被这些搞晕，还得多多练习才行。
但我相信，只要我努力，总有一天能把这些都搞明白！总之，二阶导数判定极大值极小值的原理虽然有点难，但只要我们认真琢磨，多想想生活中的例子，还是能搞懂的！示例文章篇二：哎呀，亲爱的朋友，你知道二阶导数吗？这玩意儿可神奇啦！对于像我这样的小学生来说，刚开始接触的时候，真的感觉有点晕头转向呢。
那咱们就来好好讲讲二阶导数判定极大值极小值到底是咋回事儿。
比如说，你正在爬山，一阶导数就好像是你爬山时的坡度，它能告诉你是在向上爬还是向下走。
那二阶导数呢，就像是这个坡度变化的快慢！想象一下，你爬山的时候，一开始坡度越来越大，你是不是觉得自己越爬越费劲？这就好像二阶导数是正的，说明这个地方可能是极小值。
相反，如果坡度越来越缓，是不是感觉轻松点啦？这时候二阶导数是负的，可能就是极大值啦！咱们再拿一个例子来说，就像你骑自行车，你加速的时候，速度增加得越来越快，这就像二阶导数是正的。
极小值原理
综上可得： c 最优控制为u (0) x ( 0) 1 2c c c * u (1) x(1) x(0) 1 c 1 2c 最优轨迹为x* (0) x0
*ห้องสมุดไป่ตู้
1 c x (1) x(0) 1 2c 1 1 x* (2) x(1) x(0) 1 c 1 2c
2）求 (t )以确定u的切换点 H 由协态方程 (1 )得＋＝－ ，其解为＝－ ＋Ce t 1 1 x 当t f 1时 (t f ) (1) 0, C e, 故切换点：令 1, 得t 1 ln 2 0.307
二、补充说明
1、式H [ x* (t ), u * (t ), * (t ), t ] H [ x* (t ), u (t ), * (t ), t ] 说明当u (t )和u (t )都从容许的有界集中取 值时，
冯.诺依曼创立 的极大极小定理
冯.诺依曼创立的极大极小定理极大极小定理(Min-max theorem)，又称为冯.诺依曼极大极小原理，是由匈牙利裔美国数学家冯.诺依曼在20世纪30年代创立的经典定理，被广泛运用于数学、物理学、工程学等诸多领域。
什么是极大极小定理？极大极小定理是一种优化理论，主要解决给定条件下某一函数在一定范围内取得最大/最小值的问题。
其最一般形式的教科书定义如下：设$f$是定义在包含$D$的紧致域$X$上的实连续函数，$X$上的凸紧致集合$K$包含$D$，则$f$在$K$上必定有一极大值和一极小值。
此定理可以解释为：只要函数$f$满足连续性条件，并且定义域与极值的搜索范围都是有界的，那么函数$f$总是存在极大值和极小值。
对于上述定理有一个简单的证明，证明过程如下：假设$M$和$m$是函数$f$在紧致集合$K$上的最大值和最小值，即$$f(x)≤M \text{ ，}\space \forall x∈K$$设$E={(x,y)∈X×\mathbb{R}:m≤y≤f(x)}$，即$E$是以直线$y=m$和$y=f(x)$为边界，宽为$K$的可封闭矩形。
由于函数$f$是连续的，所以在矩形$K$上必然存在与$x$值相应的$y$值$f(x)$，即$x$是$K$上的某个点，则点$(x,f(x))$是矩形$E$的内点，也就是说，$\forall x∈K$$$m≤f(x)≤M$$由此得证上述定理。
应用举例极大极小定理可以应用于很多与数学相关的领域，以下是几个具体的应用举例。
1. 在微积分课程中，我们可以运用极大极小定理来求解一个函数在某一区间内的最值。
举个例子，如果让我们求解 $f(x)=x^3−3x^2+3$ 在$[0,2]$区间内的最大值和最小值，那么我们就可以运用极大极小定理得到：函数$f$所定义的区间$[0,2]$是紧致的，再加上$f$的连续性质，做出实际图形如下：由于该函数在点$x=1$处取得了最大值为$1$，所以$f(x)$在区间$[0,2]$上的最大值为$1$，最小值为$0$。
大阴极小阳极原理
大阴极小阳极原理
大阴极小阳极原理是指在电化学反应中，阴极的面积比阳极的面积大，使得反应发生在阴极上的情况。
这种原理常用于电解过程中，因为阴极是反应的产物所在的位置，所以使得阴极的面积尽可能大可以提高反应产物的收率。
同时，小阳极面积也可以减少电解液中的副反应，提高反应纯度。
大阴极小阳极原理也常用于电池设计中。
由于阴极产生电荷，所以阴极面积的增大可以增加电池的电荷容量。
而阳极产生的电荷则是消耗电荷，所以小阳极面积可以减少电池的自放电反应和寿命损失。
总之，大阴极小阳极原理是在电化学反应中优化阴阳极面积比例的一种策略，可以提高反应产率或电池性能。
- 1 -。
姚极小极大原理
姚极小极大原理
姚极小极大原理（Minimax Principle）是决策论中的一个重要概念，也常应用于博弈论等领域。
该原理基于两个核心观点：
1. 极小：在一个给定的决策问题中，假设每个决策者都会尽力使自己所能获得的最小利益最大化。
也就是说，每个决策者都会考虑对手可能的最优策略，并选择自己能够达到的最优结果。
2. 极大：相对地，每个决策者也会试图将对手所能获得的最大利益最小化。
每个决策者都会推断对手的可能策略，并努力避免对手获得最佳结果。
通过这种极小极大思想，决策者可以在不确定情况下进行决策，尽量减少风险和损失，同时争取最有利的结果。
在博弈论中，姚极小极大原理经常被应用于两个对手之间的零和游戏，例如象棋、围棋等。
每个选手都会根据对手的最佳策略来选择自己的行动，以期望在对手的最优情况下获得最大利益。
总之，姚极小极大原理是一种基于对手最优策略的决策思想，旨在通过预测对手行为来优化自身的决策，并最大程度地减少潜在损失。
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极大极小原理1在“假设发生如下事情”之前，祝福我们此生永不发生这类事情。
假设你外出时，遭遇绑架，该怎么办？有一位（国外的）自卫专家，给出了三个应对原则：1、不要跟他去第二个地点。
如果你心怀侥幸，他可能将你带到偏僻的地方，为所欲为，甚至下毒手，然后掩藏他的罪恶痕迹。
2、记住，他在撒谎。
不管坏人说多好听，别相信。
这位专家的观点是：从一开始，每个谋杀犯，绑架犯，强奸犯，他们都会用同一句话：“照我说的做，我就不会伤害你。
”然而，一旦你照他们说的做，最后受伤最深的，还是你。
3、要在原地，用尽一切手段与之搏斗。
这一点似乎有点儿让人疑惑，万一受伤呢？被人用刀抵住，拼命挣扎要是不幸丢了命，岂非不识时务？然而，这位专家的洞见是：如果他们想在原地杀你，你早就已经死了。
所以：•他们不想在原地杀你，他们希望带你去其他地方，或者先干点别的事。
•通过打乱他们的计划，你会成为他们最恐怖的噩梦。
•如果他们不想被抓，不想把事搞得太麻烦，他们可能就会直接逃跑了。
以上三点原则的所有原因，其实只有一个：如果你进了他的车，或者跟着他们去了某个地方，你死定了。
（以上经验仅供参考，不构成本文作者对遇到绑架的具体建议。
）2以上是一个生动的博弈场景。
由此引出我的一句“大脑碎片”：好的一手棋，是其令对手有不好的下一手，以及自己有好的下下一手棋。
我们姑且不讨论，在第1节里，专家应对绑架的三点原则的适用范围，以及如何根据情境调整策略。
本文的焦点是：极大极小原理。
绑架，是一场零和博弈。
就像下棋，一个人赢，一个人输，即使和棋，也只是暂时的平静。
双方没有合作的可能。
对于这类博弈，冯·诺依曼提出了“极小极大原理”。
《囚徒的困境》一书，用我们熟悉的分蛋糕来示例。
众所周知，公平的分法是：一个人切，一个人选。
假如两个孩子都不是孔融，并且都想吃更多蛋糕，这其实是一个典型的零和博弈。
•第一个孩子（切蛋糕那个）的两个策略是：不均分和尽可能均分。
•第二个孩子（挑蛋糕那个）也有两个策略：选较大的那一块或选较小的那一块。
如下图。
（请注意，表格里的4个结果，都是指切蛋糕的孩子的所得收益。
）切蛋糕的孩子貌似掌握了主动权，但他决策的关键点，取决于“然后呢？”--即对手的下一步会怎么做。
显然，挑蛋糕的孩子，会追求让自己的蛋糕最大化，也就是让对手的蛋糕最小化。
对应上面的表格，挑蛋糕的孩子总是会选左边一列，从而导致切蛋糕的得到左边一列的两个较小蛋糕的结果。
于是切蛋糕的孩子要做的事情，就是：让挑蛋糕的孩子将要留给他的量小的那半块蛋糕极大化。
因此，切蛋糕的孩子只能选择尽量均分蛋糕，以保证获得差不多的半块蛋糕。
这个量，是行中极小值的极大值，被称为“极大极小”。
也许有人会说，这么简单的道理，为什么要说这么啰嗦？德谟克利特早在公元前300多年前，就创立了“原子论”，认为每一种事物都是由原子所组成的。
然而，这只是一种想法。
对比而言，爱因斯坦对原子的理解，才算是科学。
二者之间的区别在于：后者可实验，可计算，可运用。
作为博弈论的创始人，冯·诺依曼说过：没有极小极大定理，就没有博弈论。
《囚徒的困境》一书对极小极大定理总结道：•在两个利益完全相反的人之间出现的有精确定义的冲突，总存在一种理性的解；•所谓理性的解，就是在给定冲突性质的前提下，双方都确信他们不可能期望有更好的结果了。
3让我们回到绑架现场。
即使被绑架者非常被动，但这仍然是一场博弈。
要理解这一点，我们需要强调三个名词：1、回合；2、节点；3、选择权。
回合许多事情，都是连续决策的结果。
而零和博弈，是敌我双方轮流决策，由一个一个的回合叠加起来。
节点上述每个回合，你都有一个属于自己的决策节点。
然而，很多人要么忽视了节点，要么放弃了节点。
选择权在每个回合的决策节点，你其实是在做一个选择。
你有选择权，对手也有选择权。
敌我双方都试图让自己的选择收益最大化，让对方的收益最小化。
当你被绑架的时候，对手已经出招，现在轮到你走棋了。
（再次强调，本文不构成对绑架情境的具体实战建议。
）你仍然有选择权：1、放弃抵抗，上对方的车；2、大声呼救，拼命反抗。
这个时候，大多数人会想，我抵抗的话，会有什么后果：•会受伤吗？••会激怒对方导致生命危险吗？然而，从博弈思维来看，你仅仅纠结于当下的一步棋去想，毫无意义。
你应该去想：我如果这样做，对手会如何回应呢？再然后我又该如何应对他的回应呢？也就是说：•你要计算下一步，以及下下一步。
••然后，再由此倒推，你现在这一步该如何做选择。
我将本文开头那个专家描述的场景图示如下：如果“你”乖乖上了绑匪的车，如上图左分支（选择1）所示，可能导致如下结果：1、在第四个回合，你已经失去了选择权；2、对手可以自由选择让自己利益最大化的做法；3、绑架的许多目的是为了钱财，有些歹徒会先撕票再要钱；4、未经核实的数据是，撕票比例高达10%；5、据某地警方的经验，越是熟人绑架，撕票的可能性越高。
所以，处在第二回合的“我”，要考虑的是，第三回合的对手会怎么做，以及自己会有怎样的第四回合。
《囚徒的困境》引用了卡尔维诺在《寒冬夜行人》一书中的一句话：“你知道，你所能期盼的最好结果就是避免最坏情况。
”这句话，很好地说明了极小极大原理。
还记得本文开头专家的第二条建议吗？记住，他在撒谎。
从一开始，每个谋杀犯，绑架犯，强奸犯，他们都会用同一句话：“照我说的做，我就不会伤害你。
”可是，如果罪犯真的不会伤害你，那么你反抗的时候他也不会伤害你。
而且，即使起初罪犯没有太想伤害你，但是当你失去选择权的时候，他可能会萌发伤害的念头。
回到博弈思维：游戏者决不会从他的最佳策略上偏离到对自己造成威胁的策略上去。
尤其是在零和博弈中，对你有利，对绑匪就不利。
请看上面的图，在第三回合，绑匪会极力让你的收益最小化。
所以，你在第二回合要做的，是“极大化”这些自己可选的“极小值”，尤其是要避免最坏结果。
同时，你要“极小化”对手可选的有利于他的“极大值”。
由此倒推，你就会发现，如专家所言，在第二个回合，你应该做的是：要在原地，用尽一切手段与之搏斗。
4仅仅明白道理并不够，我们需要定理。
为什么需要定理？因为定理可以形成算法。
冯·诺伊曼对极小极大值定理的证明是复杂的，“它以一种读者难以理解的方式结合了基本概念和拓扑概念”。
约20年后，香农利用Minimax（极小化极大）算法，提出了解决国际象棋问题的设想。
随后，在AI攻克国际象棋和围棋的过程中，Minimax（极小化极大）算法扮演着基础而重要的角色。
极小化极大算法（Minimax）可被概括为：•对于两个玩家的对抗游戏，其中任何一个玩家的决策会依赖于另外一个玩家之前的决策，且另外一个玩家总是竭尽所能地想要获得胜利。
•因此，一方会在所有选项中选择令其自身优势最大的一个，而另一方则会选择令对手优势最小的一个。
•通过穷举不同玩家之间的策略，该算法可以构建一棵搜索树，并通过穷举不同的可能，选择其中能得到最佳结果的路径。
请点击放大，看下图右边的搜索树的最下面一行，3、12、8这一组数字，是“我”期望获得的可能的利益。
•对于对手而言，当然会选择让“我”利益最小的走法，所以，在MIN那一行的B节点，对手会选择3、12、8中的最小值3。
•同理，在C节点，对手选最小的2；在D节点，选最小的2。
•而在MAX行，“我”要选择“3、2、2”这一行极小值当中的极大值“3”。
这就是Minimax（极小化极大）算法。
但是，即使是对于棋类这种完美博弈，该算法的计算复杂度也会呈指数级增长。
因此往往需要引入剪枝策略来简化搜索的复杂度。
以及，通过多次采样的蒙特卡洛树搜索，以减少计算量。
再往后，UCT 算法将蒙特卡洛树搜索方法与UCB公式结合，有效解决了围棋上的问题。
进而，基于深度强化学习， AlphaGo诞生，惊人地击败了人类，完成了以往被认为还需要20-50年才能实现的任务。
德谟克利特对原子的理解令人赞叹，然而只有基于爱因斯坦的公式，人类才能造出原子弹，以及安全地利用核能。
5极大极小原理，给我以下七点启发：启发一站在对方的角度想问题，然后倒推自己的策略我们可以广义地来想这个问题，即使不是在零和博弈的环境下。
例如说起某某产品经理很厉害，可以瞬间将自己变成小白，其实就是能彻底地站在对方的角度。
几乎所有厉害的商业公司，核心原则就是“经营顾客”。
先想着让顾客价值最大化，然后再从中找寻让自己最大化的策略。
所以芒格说：要诉诸利益，而不是讲道理。
我经营春藤，有时候也会和小伙伴们在一线谈业务。
我不是很好的销售，口才也很一般，但每次谈合作效果还不错。
我的方法是：•请问你现在最想要的是什么？•我们可以如何帮助你实现你最想要的？•我们立即可以做的最小化合作是什么？启发二不占别人便宜，自己的也要据理力争，不当烂好人段永平早年经营企业，既不占供应商的便宜，也不给批发商赊货。
不管多好的买家，必须现款现货。
何谓烂好人？就是彻底放弃自己的选择权，试图讨好对方，感动对方。
然而，人性是经不起考验的。
所以，很多时候，烂好人不仅招恶人，甚至催生恶人。
启发三将对手想成一个势均力敌的对手以我下围棋为例，切忌低估对手。
所谓低估对手，就是对他人抱有幻想。
例如，你发现一手棋，能够让自己的利益最大化。
但是如果被对手识破，那么结果就会很糟糕。
有时候，棋手会心存侥幸：要是他看不到，那我就赚了。
然而，这是不对的。
你就该假设对方是一个势均力敌的对手，你能看到，对手也能看到。
当然，如果下让子棋的时候，要适当调整。
以及，在德州扑克等博弈中，或是像剪刀石头布这类首尾相连的游戏，也需要虚张声势。
总之：•别欺负别人，别想着占便宜；•也别因为暂时领先而得意忘形，别耍过头。
启发四将街上的每个司机都当作潜在凶手这个想法似乎有些极端。
几乎没司机有动机要撞你。
但是，理论上，每个司机都有撞你的“可能性”。
对你而言，这个最坏的结果可能性很小，后果很严重。
这正是极大极小原理的灵魂：“你知道，你所能期盼的最好结果就是避免最坏情况。
”启发五珍惜每一个选择权，并为你的下一个、下下个选择权做好铺垫人生是一连串决策的总和。
所谓全局观，是指你的每个决策点既是相对独立的，又和过去和未来相关联。
有些人只管当下舒服，而不顾自己的下一手该如何。
如果你在一个球队里，队友总是给你传烂球，或者不给你传球，你一定会骂他烂人。
可是在现实中，现在的“你”，可能经常不顾及未来的“你”，不管未来的“你”是否有好的选择权。
一连串有算法的选择权，就是一个人的“人生算法”。
启发六所谓仁慈的狮子，是指你要当好人，但保留惩罚坏蛋的权利如题，这一条启发，反过来也是适用的。
例如，你彻底放弃惩罚对方的权利，以换取对方彻底的信任。
前提是你相信对方是一个珍惜荣誉的人。
启发七彻底远离损人不利已的人博弈论的假设是：双方都是理性的。
博弈论只研究对赢感兴趣的、有完善的逻辑思维能力的游戏者参与的博弈。