2023高考数学广东卷数列与级数历年真题及答案
广东广东实验中学高考数学数列多选题与热点解答题组合练含答案
广东广东实验中学高考数学数列多选题与热点解答题组合练含答案一、数列多选题1．已知数列{}n a 的首项1a m =且满足()()14751221nn a a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣⎦，其中n *∈N ，则下列说法中正确的是（ ）A ．当1m =时，有3n n a a +=恒成立B ．当21m =时，有47n n a a ++=恒成立C ．当27m =时，有108111n n a a ++=恒成立D ．当()2km k N *=∈时，有2n kn k aa +++=恒成立【答案】AC 【分析】题设中的递推关系等价为1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，根据首项可找到{}n a 的局部周期性，从而可得正确的选项. 【详解】因为()()14751221n n a a n n a a +⎡⎤=-⋅-⋅+-⋅-⎣⎦，故1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数， 当1m =即11a =时，24a =，32a =，41a =，故{}n a 为周期数列且3n n a a +=，故A 正确.当21m =即121a =时，264a =，同理416a =，58a =，64a =，72a =，81a =，故58a a ≠，故B 错误.当2km =即12ka =时，根据等比数列的通项公式可有11222k kk a -⎛⎫= ⎪⎝⎭=，+1+21,4k k a a ==，+32k a =， +1+3k k a a ≠，故D 错误.对于C ，当27m =时，数列{}n a 的前108项依次为：27,82,42,124,62,31,94,47,142,71,214,107,322,161,484242,121,364,182,91,274，， 137,412,206,103,310,155,466,233,700,350,175,526,263,790,395,1186,593,1780， 890,445,1336,668,334,167,502,251,754,377,1132,566,283,850,425,1276,638,319，958,479,1438,719,2158,1079,3238,1619,4858,2429,7288,3644,1822,911,2734， 1367,4102,2051,6154,3077,9232,4616,2308,1154,577,1732,866,433,1300,650， 325,976,488,244,122,61,184,92,46,23,70,35,106,53,160,80,40,20,10,5,16，故1098a =，1104a =，1112a =，1121a =，1134a =，所以109112n n a a ++=对任意1n ≥总成立.（备注：因为本题为多选题，因此根据A 正确，BD 错误可判断出C 必定正确，可无需罗列出前108项） 故选：AC. 【点睛】方法点睛：对于复杂的递推关系，我们应该将其化简为相对简单的递推关系，对于数列局部周期性的研究，应该从特殊情况中总结出一般规律，另外，对于多选题，可以用排除法来确定可选项.2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()1*11,221,21n n n a n ka k N a n k --+=⎧=∈⎨+=+⎩.则下列选项正确的为（ ） A ．614a =B ．数列{}()*213k a k N-+∈是以2为公比的等比数列C ．对于任意的*k N ∈，1223k k a +=-D ．1000n S >的最小正整数n 的值为15 【答案】ABD 【分析】根据题设的递推关系可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-，从而可得22222k k a a +-=，由此可得{}2k a 的通项和{}21k a -的通项，从而可逐项判断正误.【详解】由题设可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-， 因为11a =，211a a -=，故2112a a =+=，所以22212121,12k k k k a a a a +++--==，所以22222k k a a +-=， 所以()222222k k a a ++=+，因为2240a +=≠，故220k a +≠，所以222222k k a a ++=+，所以{}22k a +为等比数列， 所以12242k k a -+=⨯即1222k k a +=-，故416214a =-=，故A 对，C 错. 又112122123k k k a ++-=--=-，故12132k k a +-+=，所以2121323k k a a +-+=+，即{}()*213k a k N -+∈是以2为公比的等比数列，故B 正确. ()()141214117711S a a a a a a a =+++=++++++()()2381357911132722323237981a a a a a a a =+++++++=⨯-+-++-+=，15141598150914901000S S a =+=+=>，故1000n S >的最小正整数n 的值为15，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D 是否成立时注意先考虑14S 的值.3．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 【答案】ACD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】对于A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对于B ，911235813+21+3488S =++++++=，故B 错误；对于C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：13520192426486202020182020a a a a a a a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+-+-+-++-=，故C正确.对于D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-，可得22212201920202019201920202019a a a a a a a a+++==，故D 正确；故选：ACD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换，属于中档题.4．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列命题中正确的是（ ）A ．若为等差数列，则112da =B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==D ．若*n b N ∈，则{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d +【答案】AB 【分析】对于A ，利用=对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案； 对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案； 对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案. 【详解】对于A ，因为为等差数列，所以=即== 化简得()21120d a -=，所以112d a =，故A 正确；对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++， 所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++， 所以120d d +=，故B 正确；对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+， 所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++， 化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*n b N ∈，所以11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =， 所以{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（ ） A ．512a = B ．公差3d =C ．()261n S n n =+D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为64nn + 【答案】BCD 【分析】根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、C ，再利用裂项求和即可判断选项D. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确； 所以()21331n a n n =+-⨯=-，对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；对于选项C ：()()2222132612n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确； 对于选项D ：()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以前n 项和为111111111325588113132n n ⎛⎫-+-+-++-⎪-+⎝⎭()611132322324n n n n n ⎛⎫=-== ⎪++⎝⎭+，故选项D 正确， 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.6．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n a a +-=，21n n n b a nb ⋅+=，且11a =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，则下列结论正确的有（ ）A ．m +∃∈N ，55m m a a a +=+B ．n +∀∈N ，33314n a n +≥ C ．m +∃∈N ，16m b = D ．n +∀∈N ，113n S ≤<【答案】BD 【分析】用累加法得到222n n n a -+=，代入21n n n b a nb ⋅+=，得11212n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 代入5m a +5m a a =+求出m 可判断A ；代入33n a n+求最值可判断B ； 令1121612m b m m ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭解出m 可判断C ；裂项相消后可求出n S 的范围可判断D. 【详解】因为1n n n a a +-=，所以211a a -= 322a a -=11(2)n n n a a n -=-≥-以上各式累加得1121(1)2n a a nn n =+++-=--，所以(1)12n n n a -=+，当1n =时，11a =成立， 所以2(1)2122n n n n a n --+=+=，由21n n n b a nb ⋅+=，得112112(1)1222(1)(2)12n n b a n n n n n n n n ⎛⎫====- ⎪+++++⎝-+⎭+，对于A ，()()5254922122m a m m m m ++++++==，25(1)5(51)2411222m a a m m m m -⨯--+=+++=+ ， 当55m m a a a +=+时，222492222m m m m -+++=，得15m +=∉N ，A 错误； 对于B，(1)1(13333343411)22222n n n n a n n n n n ++==+=+-≥--+，当且仅当268n =取等号，因为n +∀∈N ，所以8n =时，8333184a +=， 所以B 正确； 对于C ，令1121612mb m m ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭得，215308m m ++=，解得m +=N ，所以C 错误；对于D ， n +∀∈N ，1231111112233412n S b b b n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪++⎝⎭112211222n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭，可以看出n S 是关于n 递增的，所以1n =时有最小值13， 所以113n S ≤<，D 正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查了由递推数列求通项公式、裂项相消求数列和，关键点是用累加法求出n a ，然后代入求出n b ，考查了学生的推理能力、计算能力.7．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n na n a +-+=，*n N ∈，其前n 项和为n S ，则下列选项中正确的是（ ）A ．数列{}n a 是公差为2的等差数列B ．满足100n S <的n 的最大值是9C ．n S 除以4的余数只能为0或1D ．2n n S na = 【答案】ABC 【分析】根据题意对()111n n na n a +-+=变形得()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得()*21n a n n N =-∈，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：因为()111n n na n a +-+=， 故等式两边同除以()1n n +得：()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，所以()1111111n n a a n n n n n n -=-----=，()()12111221211n n a a n n n n n n --=------=--，，2111121122a a =-⨯-= 故根据累加法得：()11121n a a n nn =-≥-， 由于11a =，故()212n a n n =-≥，检验11a =满足， 故()*21n a n n N=-∈所以数列{}n a 是公差为2的等差数列，故A 选项正确； 由等差数列前n 项和公式得：()21212n n n S n +-==，故2100n n S =<，解得：10n <，故满足100n S <的n 的最大值是9，故B 选项正确； 对于C 选项，当*21,n k k N =-∈时，22441n n k S k ==-+，此时n S 除以4的余数只能为1；当*2,n k k N =∈时，224n n k S ==，此时n S 除以4的余数只能0，故C 选项正确；对于D 选项，222n S n =，()2212n n n n n n a =-=-，显然2n n S na ≠，故D 选项错误.故选：ABC 【点睛】本题考查累加法求通项公式，裂项求和法，等差数列的相关公式应用，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于整理变形已知表达式得()1111111n n a a n n n n n n +=-+-=++，进而根据累加法求得通项公式.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为20【答案】BCD 【分析】由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项n a 和n S ，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，可得2739a a a =，即2111(6)(2)(8)a d a d a d +=++，化为1100a d +=，② 由①②解得120a =，2d =-， 则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-， 由221441()24n S n =--+，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由0n S >，可得021n <<，即n 的最大值为20． 故选：BCD 【点睛】方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.9．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列【答案】BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.10．已知数列{}n a ，下列结论正确的有（ ）A ．若12a ＝，11n n a a n +++＝，则20211a ＝.B ．若11132n n a a a ++＝，＝，则71457a =C ．若12nn S =3+，则数列{}n a 是等比数列 D ．若11212n n n a a a a ++＝，＝()*n N ∈，则15215a ＝ 【答案】AB 【分析】直接利用叠加法可判断选项A ，从而判断，利用构造新数列可求出B,D 中数列的通项公式，可判断，选项C 求出数列的前3项从而可判断. 【详解】选项A. 由11n n a a n +=++，即11n n a a n +-=+ 则()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+20191822211=+++++=故A 正确.选项B. 由132n n a a +=+，得()1311n n a a +=++，所以数列{}1n a +是以112a +=为首项，3为公比的等比数列.则1123n n a -+=⨯，即1231n n a -=⨯-，所以672311457a =⨯-=，故B 正确.选项C. 由12nn S =3+，可得当1n =时，11722a =+=3 当2n =时，得2211193622a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3n =时，得332112791822a S S ⎛⎫⎛⎫=-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 显然2213a a a ≠，所以数列{}n a 不是等比数列，故C 错误. 选项D. 由122nn n a a a +=+，可得11112n n a a +-= 所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列.所以()1111122n n n a +=+-=，则1511826a ==，即1518a =，故D 错误. 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，解答的关键是掌握求数列通项公式的常见方法，由叠加法可得()()()()19191818120207121a a a a a a a a a a =-+-+-++-+，利用构造新数列()1311n n a a +=++，11112n n a a +-=解决问题，属于中档题.。
广东高考 数列近三年高考真题.doc教案
数列近三年高考真题 (2011年高考广东卷第20小题) （本小题共14分） 设b>0,数列{}na 满足a 1=b ， 112(1)n n n nba a a n --=+-.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：对于一切正整数n ，11 1.2n n n b a ++?20．解（１）法一：112(1)n n n a ba n a n --=+-，得1112(1)121n n n n a n n n a ba b b a ---+--==+， 设n nnb a =，则121n n b b b b -=?(2)n ³， （ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12为首项，12为公差的等差数列， 即111(1)222n b n n =+-?，∴2n a = （ⅱ）当2b ¹时，设12()n n b b b l l -+=?，则122(1)n n b b b b l -=?-，令21(1)b b l -=，得12b l =-，1121()22n n b b b b b-\+=?--(2)n ³， 知12n b b +-是等比数列，11112()()22n n b b b b b -\+=+ --，又11b b=， 12112()222n n nn n b b b bb b b -\=?= ---，(2)2n n n n nb b a b-\=-． 法二：（ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12为首项，12为公差的等差数列， 即111(1)222n b n n =+-?，∴2n a = （ⅱ）当2b ¹时，1a b =，2222222(2)22b b b a b b -==+-，33223333(2)242b b b a b b b -==++-， 猜想(2)2n n n n nb b a b -=-，下面用数学归纳法证明：①当1n =时，猜想显然成立；②假设当n k =时，(2)2k k k kkb b a b -=-，则1111(1)(1)(2)(1)(2)2(1)(2)2(2)2k k k k k k k k k k k b a k b kb b k b b a a n kb b k b b +++++ +?+-===+--+?-， 所以当1n k =+时，猜想成立，由①②知，*n N " ，(2)2n n n n nb b a b -=-．（2）（ⅰ）当2b 时， 112212n n n a ++==+，故2b =时，命题成立；（ⅱ）当2b ¹时，22122n n n n b b ++匙=，21211222n n n n b b b --+?壮，11111,222n n n n n n b b b +--++?壮，以上n 个式子相加得2212n n b b -+?111122n n n n b b +--++??2121222n n n n b n b -++?匙，1221212112(2)[(222)2](2)2(2)2(2)n n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b a b b +--++?+?+?-?=--2212121(222)(2)2(2)2(2)n n n n n n n n n b b b b b b b --++?+?--?=-2121111(2)222(2)n n n n n n n n nb b b b +++++--? =- 2111211(2)(22)2(2)n n n n n n n n nb b b b +++++-??=-1112n n b ++=+．故当2b ¹时，命题成立； 综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立． (2012年高考广东卷第11、19小题)11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =________．解：由{}n a 等差数列可设公差为d(d>0)，则：1+2d=(1+d)^2-4，解得d=-2(舍)，d=2所以n a =1+2（n-1）=2n-1 19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，*n N Î，且123,5,a a a +成等差数列． （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a ++鬃?<． 解：（1）在11221n n n S a ++=-+中 令1n =得：212221S a =-+ 令2n =得：323221S a =-+解得：2123a a =+，31613a a =+ 又()21325a a a +=+解得11a（2）由11221n n n S a ++=-+ 212221n n n S a +++=-+得 12132n n n a a +++=+又121,5a a ==也满足12132a a =+ 所以132n n n a a n N 对*+=+ 成立 ∴ ()11+232n nn n a a ++=+ ∴ 23nn na += ∴32n n n a =- （3）∵1111322322n n n n n n a a ++++=->?= ∴ 11112n na a +< 当2n ³时，321112a a < 431112a a < 541112a a < (1)1112n n a a -<累乘得： 221112n n a a -骣琪<琪桫∴212311111111173...1 (5252552)n n a a a a -骣琪+++?+?+?<琪桫(2013年高考广东卷第12小题)在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____. 【解析】20；依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=. 或:()57383220a a a a +=+=(2013年高考广东卷第19小题)（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n N Î. (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<. 【解析】(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =；(Ⅱ) 当2n ³时,32112233n n S na n n n +=---, ()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a-=故数列n a n禳镲睚镲铪是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111n an n n=+-?,所以2n a n =.(Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ³时,()21111111n a n n n n n =<=---,此时 222121111111111111111434423341n a a a n n n 骣骣骣琪琪琪+++=+++++<++-+-++-琪琪琪-桫桫桫11171714244n n =++-=-<综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.。
广东数列高考题及答案
数列高考题1、(本题14分)已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等比数列{}2na 各项的和为815. (I)求数列{}n a 的首项1a 和公比q ；(II)对给定的(1,2,3,,)k k n = ，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列，求(2)T 的前10项之和；(III)设i b 为数列()k T 的第i 项，12n n S b b b =+++ ，求n S ，并求正整数(1)m m >，使得limnmn S n →∞存在且不等于零.（注：无穷等比数列各项的和即当n →∞时该无穷等比数列前n 项和的极限）2、已知函数2()1f x x x =+-，αβ，是方程()0f x =的两个根（αβ>），()f x '是()f x 的导数，设11a =，1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-=' ，，． （1）求αβ，的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a α>； （3）记ln(12)n n n a b n a βα-==- ，，，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 3、设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，，…）． （1）证明：p αβ+=，q αβ=； （2）求数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S ． 4、已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+== 。
从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(,)n n n P x y 。
（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式；（２）证明：13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅⋅<< 。
2023广东高考数学试题及答案 (2)
2023广东高考数学试题及答案一、选择题1. 在直角三角形ABC中，角A和角B的大小满足 sinA = cosB。
若AB = AC - 1，求角C的大小。
解：设角C的大小为x，则角A和角B的大小分别为90°-x和x。
根据三角函数的关系：sin(90°-x) = cosx 根据三角函数的定义得：sin(90°-x) = cosx = cosB = sin90°-B = sinA 所以sin(90°-x) = sinA由于sin(90°-x) = sinA，那么 90°-x = A，所以 x = 90°-A又已知AB = AC - 1，根据勾股定理得：(AC - 1)^2 = AB^2 + BC2 代入已知条件：AC2 - 2AC + 1 = AB^2 + BC2 根据三角形的性质得：AB2 = BC^2 + AC2 代入已知条件：AC2 - 2AC + 1 = 2BC^2 + AC2 整理得：BC2 = AC^2 - 2AC + 1再根据三角形的特点，BC是直角三角形ABC的斜边，所以BC > AB, 于是得到以下不等式： AC^2 - 2AC + 1 > AC^2 + 1 -2AC > 0 AC < 0由于AC是直角三角形ABC的一条边长，所以AC > 0。
综合以上信息可得：AC < 0，与实际情况矛盾。
所以没有符合条件的解，即无法求得角C的大小。
2. 设集合A = {x | 2x - 1 > 0}，集合B = {x | (3x + 1)/(x - 2) ≠ 0}，求A ∩ B的取值范围。
解：首先求解集合A： 2x - 1 > 0 2x > 1 x > 1/2 所以集合A 的取值范围为x > 1/2。
再求解集合B： (3x + 1)/(x - 2) ≠ 0 => 3x + 1 ≠ 0 所以集合B的取值范围为除了x = -1/3外的所有实数。
2023年高考数学试题分类解析【第七章 数列】附答案解析
2023年高考数学试题分类解析【第七章数列】第一节数列的通项公式与性质1.（2023新高考II 卷18）已知{}n a 为等差数列，6,2,n n na nb a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和.若432S =，316T =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求证：当5n >时，n n T S >.【解析】（1）{}n a 为等差数列，设公差为d .312312362616T b b b a a a =++=-++-=，所以17a d +=①,又432S =，所以可得12316a d +=②,联立①②解得15,2a d ==，所以()1123n a a n d n =+-=+，*n ∈N .（2）由（1）得()21142n n n S a n d n n -=+=+.当n 为偶数时，()()13124......n n n T b b b b b b -=+++++++()()1312466...622...2n n a a a a a a -=-+-++-++++()()59...2132711...23n n n =++++-+++++()()521723223222n nn n n ++++=-+⨯23722n n =+.当5n >时，()()2223741022222n n n n n n n T S n n n -=+-+=-=->，即n n T S >.当n 为奇数时，1n -为偶数，()()21371123622n n n T T b n n n -=+=-+-++-235522n n =+-.当5n >时，()()()222353154525022222n n n n T S n n n n n n -=+--+=-=+->，即n n T S >.综上所述，当5n >时，n n T S >.第二节等差数列与等比数列1.（2023全国甲卷理科5）已知正项等比数列{}n a 中，11a =，n S 为{}n a 前n 项和，5354S S =-，则4S =（）A.7B.9C.15D.30【解析】由题知()23421514q q q q q q ++++=++-，即34244q q q q +=+，即32440q q q +--=，()()()2120q q q -++=.{}n a 为正项等比数列，0q >，所以解得2q =，故4124815S =+++=.故选C.2.（2023全国甲卷文科5）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若2610a a +=，4845a a =，则5S =（）A.25B.22C.20D.15【分析】解法一：根据题意直接求出等差数列{}n a 的公差和首项，再根据前n 项和公式即可解出；解法二：根据等差数列的性质求出等差数列{}n a 的公差，再根据前n 项和公式的性质即可解出．【解析】解法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，依题意可得，2611510a a a d a d +=+++=，即135a d +=，又()()48113745a a a d a d =++=，解得：11,2d a ==，所以515455210202S a d ⨯=+⨯=⨯+=．故选C.解法二：264210a a a +==，4845a a =，所以45a =，89a =，从而84184a a d -==-，于是34514a a d =-=-=，所以53520S a ==．故选C.3.（2023全国甲卷文科13）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若6387S S =，则{}n a 的公比为.4.（2023全国乙卷理科15）已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =-，则7a =.6.（2023新高考I 卷7）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】{}n a 为等差数列，设首项为1a 公差为d ，则()112n n n S na d -=+，111222n S n d d a d n a n -=+=+-，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，所以甲是乙的充分条件.n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即()()()1111111n n n n n n nS n S S S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即()11n nna S t n n +-=+，故()11n n S na tn n +=-+，()()()1112n n S n a t n n n -=---≥，两式相减得()1112n n n n n a S S na n a tn -+=-=---，12n n a a t +-=为常数，对1n =也成立，所以{}n a 为等差数列，所以甲是乙的必要条件.所以，甲是乙的充要条件，故选C.7.（2023新高考I 卷20）设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >.令2n nn nb a +=，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和.（1）若21333a a a =+，3321S T +=，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d .【解析】（1）()21311332(1)n a a a d a d a d a nd d -===+⇒=⇒=>，则3123312349,6,n n b S a a a d T d d d +++==++===，则296212730(21)(3)0d d d d d d+=⇒-+=⇒--=，故*3,3,n d a n n ==∈N .（2）若{}n b 为等差数列，设公差为r ，则()()()2200000000(1)n n b nr n n a nd b nr drn db ra n a b a nd+=+⇒+=++=++++故0000110dr db ra a b =⎧⎪+=⎨⎪=⎩，（101d r >⇒<<）()()999999000019910099()992n S T a nd b nr a b d r =⨯-=+--=-+-=∑，0050()1a b d r -+-=.①00a =时，00111,1,50()1501db dr d r b d d d⎛⎫==-=+⇒-=+ ⎪⎝⎭25150510(5051)(1)0. 50d d d d d ⇒--=⇒-+=⇒=②00b =时，00111,1,50()1501ra dr a d r r r r ⎛⎫==+-=⇒+-= ⎪⎝⎭250510(5051)(1)01r r r r r d ⇒+-=⇒+-=⇒==.矛盾.综上，5150d =.8.（2023新高考II 卷8）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（）A.120B.85C.85- D.120-【解析】由6221S S =，得()2422121q q S S ++=，即42200q q +-=，解得24q =或25q =-（舍），则416q =.因为4844S S q S -=，所以()()484117585S q S =+=⨯-=-.故选C.9.（2023天津卷6）已知{}n a 为等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，122n n a S +=+，则4a 的值为（）A．3B．18C．54D．152【分析】由1n n n a S S -=-得出公比的值，再由题意对所给的递推关系式进行赋值，得到关于首项、公比的方程，求解方程组确定首项的值，然后结合等比数列通项公式即可求得4a 的值.【解析】因为122n n a S +=+，所以有122n n a S -=+，两式相减得()1122n n n n n a a S S a +--==-，即13n n a a +=，所以3q =.又由题意可得：当1n =时，2122a a =+，即1122a q a =+，解得可得12a =，则34154a a q ==.故选C.10.（2023北京卷14）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量（单位：株）从小到大构成项数为9的数列{}n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，11a =，512a =，9192a =.则7a =；数列{}n a 所有项的和为.【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解,d q ，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求73,a a ，再结合等差、等比数列的求和公式运算求解.【解析】解法一：设前3项的公差为d ，后7项公比为0q >，则4951921612a q a ===，且0q >，可得2q =，则53212a a d q =+=，即123d +=，可得1d =，空1：可得43733,48a a a q ===，空2：()716293121233232338412a a a -=+++⨯+⋅⋅⋅+⨯=+-+=++ .解法二：空1：因为{},37n a n ≤≤为等比数列，则227591219248a a a ==⨯=，且0n a >，所以748a =；又因为2537a a a =，则25373a a a ==；空2：设后7项公比为0q >，则2534a q a ==，解得2q =，可得()1339334567189236,21a qa a a a a q a a a a a a a a +-==++++++++=-3192238112-⨯==-，所以93126381384a a a a =+-+=++ .故答案为：48；384.第三节数列求和2.（2023全国甲卷理科17）已知数列{}n a 中，21a =，设n S 为{}n a 前n 项和，2n n S na =.（1）求{}n a 的通项公式.（2）求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【解析】（1）因为2n n S na =.当1n =时，112a a =，即10a =.当3n =时，()33213a a +=，即32a =.当2n ≥时，()1121n n S n a --=-，所以()()11212n n n n n S S na n a a ---=--=，化简得()()121n n n a n a --=-.当3n ≥时，13 (1122)n n a a an n -====--，即1n a n =-.当1,2n =时都满足上式，所以1n a n =-，n ∈*N .（2）因为122n n n a n +=，所以231111123...2222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()2311111112...122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.两式相减得，2311111221111111 (1)222222212nn n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=++++-⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-11122nn ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()1222nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，n ∈*N .第四节数列的综合与应用2.（2023北京卷10）数列{}n a 满足()()31661,2,3,4n n a a n +=-+= ，则（）A.若13a =，则{}n a 是递减数列，且存在常数0M ，使得n a M >恒成立B.若15a =，则{}n a 是递增数列，且存在常数6M ，使得n a M <恒成立C.若17a =，则{}n a 是递减数列，且存在常数6M >，使得n a M >恒成立D.若19a =，则{}n a 是递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立【分析】思路1：利用数学归纳法可判断ACD 正误，利用递推公式可判断数列性质，从而判断B 的正误；思路2：构造()()31664x f x x =-+-，利用导数求得()f x 的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项n a 所在区间，从而判断{}n a 的单调性.思路3：利用数形结合，画图分析各选项合理性.【解析】解法一：因为()311664n n a a +=-+，故()311646n n a a +=--，对于A ，若13a =，可用数学归纳法证明：63n a -≤-即3n a ≤，证明：当1n =时，1363a -=≤--，此时不等关系3n a ≤成立；设当n k =时，63k a -≤-成立，则()31276,4164k k a a +⎛⎫-∈-∞- ⎪⎝=⎭-，故136k a +≤--成立，由数学归纳法可得3n a ≤成立.而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦，()20144651149n a --=-≥>，60n a -<，故10n n a a +-<，故1n n a a +<，故{}n a 为减数列，注意1063k a +-≤-<故()()()()23111666649644n n n n n a a a a a +-=≤-，结合160n a +-<，所以()16694n n a a +--≥，故119634n n a +-⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，故119634n n a +-⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，若存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立，则19634n M -⎛⎫-> ⎪⎝⎭，故16934n M --⎛⎫> ⎪⎝⎭，故9461log 3Mn -<+，故n a M >恒成立仅对部分n 成立，故A 不成立.对于B，若15,a =可用数学归纳法证明：106n a --≤<即56n a ≤<，证明：当1n =时，10611a ---≤≤=，此时不等关系56n a ≤<成立；设当n k =时，56k a ≤<成立，则()31164416,0k k a a +⎛⎫-∈-⎪⎝=⎭-，故1106k a +--≤<成立即由数学归纳法可得156k a +≤<成立.而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦，()201416n a --<，60n a -<，故10n n a a +>-，故1n n a a +>，故{}n a 为递增数列，若6M =，则6n a <恒成立，故B 正确.对于C，当17a =时，可用数学归纳法证明：061n a <-≤即67n a <≤，证明：当1n =时，1061a <-≤，此时不等关系成立；设当n k =时，67k a <≤成立，则()31160,4164k k a a +⎛⎤-∈ ⎥⎝=⎦-，故1061k a +<-≤成立即167k a +<≤，由数学归纳法可得67n a <≤成立.而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=--<⎢⎥⎣⎦--，故1n n a a +<，故{}n a 为递减数列，又()()()2111666644n n n n a a a a +-=-⨯-≤-，结合160n a +->可得：()111664nn a a +⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，所以1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，若1164n n a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，若存在常数6M >，使得n a M >恒成立，则164n M ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，故()14log 6n M ≤-，n 的个数有限，矛盾，故C 错误.对于D，当19a =时，可用数学归纳法证明：63n a -≥即9n a ≥，证明：当1n =时，1633a -=≥，此时不等关系成立；设当n k =时，9k a ≥成立，则()3162764143k k a a +-≥=>-，故19k a +≥成立.由数学归纳法可得9n a ≥成立.而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=-->⎢⎥⎣⎦--，故1n n a a +>，故{}n a 为递增数列，又()()()2119666446n n n n a a a a +->=-⨯--，结合60n a ->可得：()116349946nnn a a +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎝⎭⎝>⎪⎭-，所以19463nn a +⎛+⎫⎪⎝⎭≥，若存在常数0M >，使得n a M <恒成立，则19643n M -⎛⎫⎪⎝>+⎭，故19643n M -⎛⎫⎪⎝>+⎭，故946log 13M n -⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，n 的个数有限，与D 选项矛盾，故D 错误.故选B.解法二：因为()3321119662648442n n n n n n n a a a a a a a +-=-+-=-+-，令()3219264842f x x x x =-+-，则()239264f x x x =-+'，令()0f x '>，得06x <<-或6x >令()0f x '<，得6633x -<<+；所以()f x在,63⎛-∞- ⎝⎭和63⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在633⎛-+ ⎝⎭上单调递减，令()0f x =，则32192648042x x x -+-=，即()()()146804x x x ---=，解得4x =或6x =或8x =，注意到465<-，768<+，所以结合()f x 的单调性可知在(),4-∞和()6,8上()0f x <，在()4,6和()8,+∞上()0f x >，对于A，因为()311664n n a a +=-+，则()311646n n a a +=--，当1n =时，13a =，()32116643a a =--<-，则23a <，假设当n k =时，3k a <，当1n k =+时，()()331311646364k k a a +<---<-=，则13k a +<，综上：3n a ≤，即(),4n a ∈-∞，因为在(),4-∞上()0f x <，所以1n n a a +<，则{}n a 为递减数列，因为()332111916612647442n n n n n n n a a a a a a a +-+=-+-+=-+-，令()()32192647342h x x x x x =-+-≤，则()239264h x x x '=-+，因为()h x '开口向上，对称轴为96324x -=-=⨯，所以()h x '在(],3-∞上单调递减，故()()2333932604h x h ''≥=⨯-⨯+>，所以()h x 在(],3-∞上单调递增，故()()321933326347042h x h ≤=⨯-⨯+⨯-<，故110n n a a +-+<，即11n n a a +<-，假设存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立，取[]4m M =-+，其中[]1M M M -<≤，且[]M ∈Z ，因为11n n a a +<-，所以[][]2132431,1,,1M M a a a a a a -+-+<-<-<- ，上式相加得，[][]()14333M a a M M M -+<--+≤+-=，则[]4m M a a M -+=<，与n a M >恒成立矛盾，故A 错误；对于B，因为15a =，当1n =时，156a =<，()()33211166566644a a =-+=⨯-+<，假设当n k =时，6k a <，当1n k =+时，因为6k a <，所以60k a -<，则()360k a -<，所以()3116664k k a a +=-+<，又当1n =时，()()332111615610445a a =-+=⨯+-->，即25a >，假设当n k =时，5k a ≥，当1n k =+时，因为5k a ≥，所以61k a -≥-，则()361k a -≥-，所以()3116654k k a a +=-+≥，综上：56n a ≤<，因为在()4,6上()0f x >，所以1n n a a +>，所以{}n a 为递增数列，此时，取6M =，满足题意，故B 正确；对于C，因为()311664n n a a +=-+，则()311646n n a a +=--，注意到当17a =时，()3216617644a =-+=+，3341166441664a ⎪⎛⎫⎫+=+ ⎪⎝+-⎭⎭⎛= ⎝，143346166144416a ⎢⎛⎫+=⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝+ ⎪⎭⎭⎥⎦⎝⎣猜想当2n ≥时，()11312164k k a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，当2n =与3n =时，2164a =+与43164a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足()11312164n n a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，假设当n k =时，()11312164k k a --⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，当1n k =+时，所以()()()13113131223111666441166644k k k k a a --+-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦-+=+=，综上，()()113121624n n n a --⎛⎫+⎪=≥ ⎝⎭.易知1310n -->，则)113121014n --⎛⎫<< ⎪⎝⎭，故()()()11312166,724n n n a --⎛⎫+∈≥ =⎪⎝⎭，所以(],67n a ∈，因为在()6,8上()0f x <，所以1n n a a +<，则{}n a 为递减数列，假设存在常数6M >，使得n a M >恒成立，记()0143log 2log 61m M ⎡⎤⎢⎥⎣=+⎦-，取[]01m m =+，其中[]*0001,m m m m -<≤∈N ，则()0142log 6133m mM ->=+，故()()14log 61312m M ->-，所以)1312614m M -⎛⎫ ⎪<⎝-⎭，即)1312164mM -⎛⎫+ ⎪⎭<⎝，所以1m a M +<，故n a M >不恒成立，故C 错误；对于D，因为19a =，当1n =时，()32116427634a a ==->-，则29a >，假设当n k =时，3k a ≥，当1n k =+时，()()331116936644k k a a +≥=-->-，则19k a +>，综上，9n a ≥，因为在()8,+∞上()0f x >，所以1n n a a +>，所以{}n a 为递增数列，因为()332111916612649442n n n n n n n a a a a a a a +--=-+--=-+-，令()()32192649942g x x x x x =-+-≥，则()239264g x x x =-+'，因为()g x '开口向上，对称轴为96324x -=-=⨯，所以()g x '在[)9,+∞上单调递增，故()()2399992604g x g ''≥=⨯-⨯+>，所以()()321999926949042g x g ≥=⨯-⨯+⨯->，故110n n a a +-->，即11n n a a +>+，假设存在常数0M >，使得n a M <恒成立，取[]1m M =+，其中[]1M M M -<≤，且[]M ∈Z ，因为11n n a a +>+，所以[][]213211,1,,1M M a a a a a a +>+>+>+ ，上式相加得，[][]1191M a a M M M +>+>+->，则[]1m M a a M +=>，与n a M <恒成立矛盾，故D 错误.故选B.解法三（蛛网图）：令()()31664f x x =-+，则()1n n a f a +=.故可利用数形结合判断{}n a 的单调性.首选()()31664f x x =-+关于()6,6中心对称，又由()()23604f x x '=- 可知()f x 在R 上单调递增.再令()31664x x =-+，即()()36460x x ---=，得()()()6480x x x ---=，解得14x =，26x =，38x =.在同一坐标系下画出y x =和()y f x =的图像如下图所示.对于选项A，当13a =时，如图（a）所示，{}n a 是单调递减数列，且130a =>.当2n 时，0n a <，当n →+∞时，n a →-∞.故不存在0M ，使n a M >恒成立.故A 错误.对于选项B，当15a =时，如图（b）所示，{}n a 是单调递增数列，且当n →+∞时，6n a →.故取6M =，可使得n a M 恒成立.B 正确.图（a）图（b）对于选项C，当17a =时，如图（c）所示，图（c）{}n a 是单调递减数列.当n →+∞时，6n a →.故不存在6M >使得n a M >恒成立，C 错误.对于选项D，当19a =时，如图（d）所示.图（d）{}n a 是单调递增数列，且当n →+∞时，n a →+∞.故不存在6M >，使n a M <恒成立.D 错误.故选B.【评注】本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.3.（2023北京卷21）已知数列{}{},n n a b 的项数均为()2m m >，且{},1,2,,i i a b m ∈ ，{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==.对于{}1,2,,k m ∈ ，定义{}{}max ,0,1,,k i k r i B A k m =∈ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数.（1）若12a =，21a =，33a =；11b =，23b =，33b =，求0123,,,r r r r 的值；（2）若11a b ，且112,1,2,,1i i i r r r i m +-+=- ，求n r ；（3）证明：存在{},,,0,1,2,,p q r s m ∈ ，满足0,0p q m r s m ≤<≤≤<≤，使得p s q r A B A B +=+．【分析】（1）先求01230123,,,,,,,A A A A B B B B ，根据题意分析求解；（2）根据题意分析可得11i i r r +-≥，利用反证可得11i i r r +-=，再结合等差数列运算求解；（3）讨论,m m A B 的大小，根据题意结合反证法分析证明.【解析】（1）由题意可知：012301230,2,3,6,0,1,4,7A A A A B B B B ========，当0k =时，则0000,,1,2,3i B A B A i ==>=，故00r =；当1k =时，则01111,,,2,3i B A B A B A i <≤>=，故11r =；当2k =时，则222,0,1,,i B A i B A ≤=>故21r =；当3k =时，则3,0,1,2,i B A i ≤=，33,B A >故32r =；综上所述：00r =，11r =，21r =，32r =.（2）由题意可知：n r m ≤，且n r ∈N ，因为1,1n n a b ≥≥，则111,1n n A a B b ≥=≥=，当且仅当1n =时，等号成立，所以010,1r r ==，又因为112i i i r r r -+≤+，则11i i i i r r r r +--≥-，即112101m m m m r r r r r r ----≥-≥⋅⋅⋅≥-=，可得11i i r r +-≥，反证：假设满足11i i r r +->的最小正整数为j ，11j m ≤≤-，当i j ≥时，则12i i r r +-≥；当1i j ≤-时，则11i i r r +-=，则()()()112100m m m m m r r r r r r r r ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()22m j j m j ≥-+=-，又因为11j m ≤≤-，则()2211m r m j m m m m ≥-≥--=+>，假设不成立，故11n n r r +-=，即数列{}n r 是以1为公差的等差数列，所以01,n r n n n =+⨯=∈N .（3）（i）若m m A B =，则取0,p r q s m ====即可.（ii）若m m A B ≥，构建,1n n n r S A B n m =-≤≤，由题意可得：0n S ≥，且n S 为整数，反证，假设存在正整数K ，使得K S m ≥，则1,0K K K r K r A B m A B +-≥-<，可得()()111K K K K K r r r K r K r b B B A B A B m +++=-=--->，这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意1,n m n ≤≤∈N ，均有1n S m ≤-.①若存在正整数N ，使得0N N N r S A B =-=，即N N r A B =，可取0,,N r p q N s r ====，使得p s q r A B A B +=+；②若不存在正整数N ，使得0N S =，因为{}1,2,,1n S m ∈⋅⋅⋅-，且1n m ≤≤，由抽屉原理，必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =，即X Y X r Y r A B A B -=-，可得Y X X r Y r A B A B +=+，可取,,,Y X p X s r q Y r r ====，使得p s q r A B A B +=+；（iii）若m m A B <，构建,1n n r n S B A n m =-≤≤，由题意可得：0n S ≤，且n S 为整数，反证，假设存在正整数K ，使得K S m ≤-，则1,0K K r K r K B A m B A +-≤-->，可得()()111K K K K K r r r r K r K b B B B A B A m +++=-=--->，这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意1,n m n ≤≤∈N ，均有1n S m ≥-.①若存在正整数N ，使得0N N r N S B A =-=，即N N r A B =，可取0,,N r p q N s r ====，使得p s q r A B A B +=+；②若不存在正整数N ，使得0N S =，因为{}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅-，且1n m ≤≤，由抽屉原理，必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =，即X Y r X r Y B A B A -=-，可得Y X X r Y r A B A B +=+，可取,,,Y X p X s r q Y r r ====，使得p s q r A B A B +=+；综上所述，存在0,0p q m r s m ≤<≤≤<≤使得p s q r A B A B +=+．【评注】方法点睛：对于一些直接说明比较困难的问题，可以尝试利用反证法分析证明.。
2023年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题(2023年word版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至8页。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项:1．答第Ⅰ卷前,考生务必将自己地姓名、考生号、座位号、考试科目、试卷类型（A 或B ）用铅笔涂写在答题卡上,同时将才生号条形码粘贴在答题卡"条形码粘贴处"。
2．每小题选出解析后,用铅笑把答题卡上对应题目地解析标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它解析,不能答在试卷卷上。
3．考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式:三角函数地积化和差公式)]cos()[cos(21sin sin )]sin()[sin(21sin cos )]sin()[sin(21cos sin βαβαβαβαβαβαβαφαβα--+-=--+=-++=正棱台、圆台地侧面积公式l S )c c (21+'=台侧其中c '、c 分别表示上、下底面周长,l 表示斜高或母线长台体地体积公式hS S S V )S (31+'+=台体其中S '、S 分别表示上、下底面积,h 表示高。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。
（1）已知集合],43,2,1[=A ,那么A 地真子集地个数是:（A ）15 （B ）16 （C ）3 （D ）4（2）在复平面内,把复数i 33-对应地向量按顺时钟方向旋转3π,所得向量对应地复数是:（A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i3（3）一个长方体共一顶点地三个面地面积分别是2,3,6,这个长方体对角线地长是:（A ）23 （B ）32 （C ）6 （D ）6（4）已知sinα＞sin β,那么下列命题成立地是（A ）若α、β是第一象限角,则cos α＞cos β（B ）若α、β是第二象限角,则tg α＞tg β（C ）若α、β是第三象限角,则cos α＞cos β（D ）若α、β是第四象限角,则tgα＞tg β（5）函数x x y cos -=地部分图象是（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过800元地部分不必纳税,超过800元地部分为全月应纳税所得额,此项税款按下表分段累进计算:全月应纳税所得额税率不超过500元地部分5%超过500元至2000元地部分10%超过2000元至5000元地部分15%……某人一月份应交纳此项税款26.78元,则他地当月工资、薪金所得介于（A ）800~900元 （B ）900~1200元 （C ）1200~1500元 （D ）1500~2800元（7）若a ＞b ＞1,⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⋅=2lg ),lg (lg 21,lg lg b a R b a Q b a P ,则（A ）R ＜P ＜Q （B ）P ＜Q ＜R （C ）Q ＜P ＜R （D ）P ＜R ＜Q（8）以极坐标系中地点（1,1）为圆心,1为半径地圆地方程是（A ）⎪⎭⎫⎝⎛-=4cos 2πθρ （B ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2πθρ（C ）()1cos 2-=θρ （C ）()1sin 2-=θρ（9）一个圆柱地侧面展开图是一个正方形,这个圆柱地全面积与侧面积地比是（A ）ππ221+ （B ）ππ441+ （C ）ππ21+ （D ）ππ241+（10）过原点地直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线地方程是（A ）x y 3= （B ）x y 3-= （C ）x y 33=（D ）x y 33-=（11）过抛物线)0(2a ax y =地焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点,若线段PF 与FQ 地长分别是p 、q,则p 1+q1等于（A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a4（12）如图,OA 是圆雏底面中心O 互母线地垂线,OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等地两部分,则母线与轴地夹角地余弦值为（A ）321（B ）21（C ）21 （D ）n212023年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项:1．第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试卷卷中。
2023年广东高考数学真题及参考答案
2023年广东高考数学真题及参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21012，，，，--=M ，{}062>--=x x x N ，则M ∩=N （）A .{}1012，，，--B .{}2,1,0C .{}2-D .{}22.已知iiz 221+-=，则=-z z （）A .i -B .iC .0D .13.已知向量()1,1=a，()1,1-=b .若()()b a b a μλ+⊥+，则（）A .1=+μλB .1-=+μλC .1=λμD .1-=λμ4.设函数()()a x x x f -=2在区间()1,0单调递减，则a 的取值范围是（）A .(]2-∞-，B .[)0,2-C .(]2,0D .[)∞+，25.设椭圆12221=+y a x C ：()1>a ，14222=+y x C ：的离心率分别21,e e .若123e e =，则=a （）A .332B .2C .3D .66.过点()20-，与圆01422=--+x y x 相切的两条直线的夹角为α，则=αsin （）A .1B .415C .410D .467.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：⎭⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，则（）A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充分条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知()31sin =-βα，61sin cos =βα，则()=+βα22cos （）A .97B .91C .91-D .97-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据621,,x x x ，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A .5432,,,x x x x 的平均数等于621,,x x x 的平均数B .5432,,,x x x x 的中位数等于621,,x x x 的中位数C .5432,,,x x x x 的标准差不小于621,,x x x 的标准差D .5432,,,x x x x 的极差不大于621,,x x x 的极差10.噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级lg20p pL p ⨯=，其中常数()000>p p 是听觉下线的阈值，p 是实际声压.下表为不同声源的声压级：已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为321,,p p p ，则（）A .21p p >B .3210p p >C .03100p p =D .21100p p <11.已知函数()x f 的定义域为R ，()()()y f x x f y xy f 22+=，则（）A .()00=fB .()01=f C .()x f 是偶函数D .0=x 为()x f 的极小值点12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A .直径为m 99.0的球体B .所有棱长均为m 4.1的四面体C .底面直径为m 01.0，高为m 8.1的圆柱体D .底面直径为m 2.1，高为m 01.0的圆柱体声源与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040三、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选修方案共有种（用数字作答）.14.在正四棱台1111D C B A ABCD -中，2=AB ，111=B A ，21=AA ，则该棱台的体积为.15.已知函数()()01cos >-=ωωx x f 在区间[]π2,0有且仅有3个零点，则ω的取值范围是.16.已知双曲线()0012222>>=-b a by a x C ，：的左、右焦点分别为21F F ，，点A 在C 上.点B 在y 轴上，B F A F 11⊥，B F A F 2232-=，则C 的离心率为.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知在ABC ∆中，C B A 3=+，()B C A sin sin 2=-.（1）求A sin ；（2）设5=AB ，求AB 边上的高.18.如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，2=AB ，41=AA .点2222,,,D C B A 分别在棱1111,,,DD CC BB AA 上，12=AA ，222==DD BB ，32=CC .（1）证明：2222D A C B ∥；（2）点P 在棱1BB 上，当二面角222D C A P --为150°时，求P B 2.19.已知函数()()x a e a x f x-+=.（1）讨论()x f 的单调性；（2）证明：当0>a 时，()23ln 2+>a x f .20.设等差数列{}n a 的公差为d ，且1>d ，令nn a nn b +=2，记n n T S ,分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和.（1）若31223a a a +=，2133=+T S ，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，且999999=-T S ，求d .21.甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为6.0，乙每次投篮的命中率均为8.0，由抽签决定第一次投篮的任选，第一次投篮的人是甲、乙的概率各为5.0.（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()i i i q X P X P ==-==011，n i ,,2,1 =，则()∑∑===ni i ni i q X E11，记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()Y E .22.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点⎪⎭⎫ ⎝⎛210，的距离，记动点P 的轨迹为W .（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD 的周长大于33.参考答案一、选择题12345678CADDABCB1.解：(][)∞+⋃-∞-∈，，32N ，∴{}2=⋂N M 2.解：i i i z 21221-=+-=，∴i z z -=-3.解：()()b a b aμλ+⊥+∵，∴()()()01222=+=+⋅++λμλμμλb b a a ，∴1-=λμ4.解：由复合函数的单调性可知()a x x y -=在区间()1,0单调递减，∴12≥a，∴a 的取值范围是[)∞+，2.5.解：由题意得：a a e 121-=，232=e ，得2112=-a a ，解得332=a .6.解：易得()5222=+-y x ，故圆心()0,2B ，5=R 记()20-，A ，设切点为N M ,，则22=AB ，5=BM ，可得3=AM 223sin 2sin==∠=AB AM MBA α，2252cos =α∴4152cos 2sin 2sin ααα=7.解：甲：∵{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则()d n n na S n 211++=，∴222111d a n d d n a n S n -+=-+=，211d n S n S n n =-++，故⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，⎭⎫⎩⎨⎧n S n 为等差数列，即()()()1111111+-=++-=-++++n n S na n n S n nS n S n S n n n n n n 为常数，设为t ，即()t n n S na nn =+-+11，故()11+⋅-=+n n t na S n n ，故()()111-⋅--=-n n t a n S n n ，2≥n ，两式相减有：()tn n a na a n n n 211---=+，即t a a n n 21=-+，对1=n 也成立，故{}n a 为等差数列，∴甲是乙的必要条件综上，甲是乙的充要条件.8.解：∵()31sin cos cos sin sin =-=-βαβαβα，61sin cos =βα，则21cos sin =βα，故()326131sin cos cos sin sin =+=+=+βαβαβα.()()913221sin 2122cos 22=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=+-=+βαβα.二、选择题9101112BDACDABCABD10.解：∵0lg 20lg 20lg2021020121≥⨯=⨯-⨯=-p p p p p p L L ，∴121≥p p，即21p p >∴A 正确；10lg 203232>⨯=-p p L L ，即21lg 32>p p ，∴213210>p p ，∴B 错误；∵40lg20033=⨯=p p L ，∴10010203==p p，∴C 正确；405090lg202121=-≤⨯=-p p L L ，∴2lg 21≤p p ，∴10021≤p p，∴D 正确.11.解：选项A ，令0==y x ，则()()()000000=⨯+⨯=f f f ，故A 正确；选项B ，令1==y x ，则()()()11111f f f ⨯+⨯=，则()01=f 故B 正确；选项C，令1-==y x ，则()()()()()1111122-⨯-+-⨯-=f f f ，则()01=f ，再令1-=y ，则()()()()1122-+⨯-=-f x x f x f ，即()()x f x f =-，故C 正确；选项D，对式子两边同时除以22yx ()022≠y x，得到：()()()2222xx f y y f y x xy f +=，故可设()()0ln 2≠=x x x x f ，故可以得到()⎩⎨⎧=≠=0,00,ln 2x x x x x f ，故D 错误.12.解：选项A，球直径为199.0<，故球体可以放入正方体容器内，故A 正确；选项B，连接正方体的面对角线，可以得到一个正四面体，其棱长为4.12>，故B 正确；选项C，底面直径m 01.0，可以忽略不计，但高为38.1>，3为正方体的体对角线的长，故C 不正确；选项D，底面直径为32.1<，高为m 01.0的圆柱体，其高度可以忽略不计，故D 正确.三、填空题13.64；14.667；15.32<≤ω；16.55313.解：当从这8门课中选修2门课时，共有161414=C C ；当从这8门课中选修3门课时，共有4814242414=+C C C C ；综上共有64种.14.解：如图，将正四棱台1111D C B A ABCD -补成正四棱锥，则2=AO ，22=SA ，261=OO ，故()()667261212313122222121=⋅⋅++=++=h S S S S V .15.解：令()01cos =-=x x f ω得1cos =x ω，又[]π2,0∈x ，则[]ωπω2,0∈x ，∴ππωπ624<≤，即32<≤ω.16.解：由B F A F 2232-=32=，设x A F 22-=，x B F 32=.由对称性可得x 3=，由定义可得，a x 22+=x 5=，设θ=∠21AF F ，则5353sin ==x x θ，∴xax 52254cos +==θ，解得a x =，∴a x AF 221+=，a AF 22=，在21F AF ∆中，由余弦定理可得54164416cos 2222=-+=a c a a θ，即2295a c =可得553=e .四、解答题17.解：（1）由题意得C B A 3=+，∴，π==++C C B A 4，∴4π=C ∴A C A B -=--=43ππ，∵()B C A sin sin 2=-，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-A A ππ43sin 4sin 2，即A A A A sin 22cos 22cos 22sin 222+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-，整理得：A A cos 3sin =又∵1cos sin 22=+A A ，()π，0∈A ∴0sin >A ，∴0cos >A 解得10103sin =A ，1010cos =A （2）∵()552sin cos cos sin sin sin =+=+=C A C A C A B 由正弦定理可知C c B b sin sin =，即22510103=b ，解得102=b 设AB 边上的高为h ，∵ch A bc S 21sin 21==，∴6sin ==A b h 18.解：以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴建立空间直角坐标系则()2,2,02B ，()3,0,02C ，()1,222，A ，()2,0,22D （1）∵()1,2022-=，C B ，()12022，，-=D A ∴=22C B 22D A ，∴2222D A C B ∥（2）设()t P ,2,0，其中42≤≤t ∴()t P A -=1022，，，()t PC --=3,202，，()1,0,222-=C D ，()12,022-=，A D .设平面22C P A 的一个法向量为()z y x m ,,= ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022PC m P A m 即()()⎩⎨⎧=-+-=-+032012z t y z t x ，令2=z ，则()2,3,1t t m --=.设平面222C A D 的一个法向量为()z y x n '''=,, ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅02222C D n A D n即⎩⎨⎧=-'=+'-0202z y z x ，令2=z ，则()2,1,1=n .∵二面角222D C A P --为150°，∴2314826150cos 2=+-=︒⇒=t t ，解得：1=t （舍去）或3=t .∴12=P B 19.解：（1）由题可得()1-='xae x f ①当0≤a 时，()0<'x f ，()x f 在()∞+∞-，单调递减；②当0>a 时，令()0='x f 得ax ln -=∴当()a x ln ,-∞-∈时，()0<'x f ，()x f 在()a ln ,-∞-单调递减；当()∞+-∈，a x ln 时，()0>'x f ，()x f 在()∞+-，a ln 单调递增.（2）由（1）得当0>a 时，()()a a a f x f ln 1ln 2min ++=-=.设()21ln 23ln 2ln 122--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=a a a a a a g ，则()a a a g 12-='，令()0='a g 可得22=a ∴当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∈22,0a 时，()0<'a g ，()a g 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0上单调递减；当⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+∈，22a 时，()0>'a g ，()a g 在⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+，22上单调递增.∴()02ln 22min >=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=g a g ，故()0>a g ，∴当0>a 时，()23ln 2+>a x f .20.解：（1）∵31223a a a +=，∴d a a d 2313+==，即d a =1，nd a n =故nd a n =，∴d n a n n b n n 12+=+=，()21d n n S n +=，()dn n T n 23+=，又2133=+T S ，即21263243=⨯+⨯dd ，即03722=+-d d ，解得3=d 或21=d （舍），故{}n a 的通项公式为：n a n 3=.（2）若{}n b 为等差数列，则3122b b b +=，即da a d a 24321322111+⨯+⨯=+⨯⋅，即0232121=+-d d a a ，∴d a =1或d a 21=，当d a =1时，nd a n =，故()21d n n S n +=，()dn n T n 23+=.又999999=-T S ，即99210299210099=⨯-⨯dd ，即051502=--d d ，∴5051=d 或1=d （舍）.当d a 21=时，()d n a n 1+=，d n b n =，故()23d n n S n +=，()dn n T n 21+=.又999999=-T S ，即99210099210299=⨯-⨯dd ，即050512=--d d ，∴5051-=d （舍）或1=d （舍）.综上所述：5051=d .21.解：（1）第二次是乙的概率为6.08.05.04.05.0=⨯+⨯.（2）第i 次投篮的人是甲的概率为i p ，则第i 次投篮的人是甲的概率为i p -1，则()2.04.012.06.01+=-+=+i i i i p p p p ，构造等比数列()λλ+=++i i p p 521，解得31-=λ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+3152311i i p p ，又211=p ，∴61311=-p ∴1526131-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-i i p ，则3152611+⎪⎭⎫⎝⎛⋅=-i i p .（3）当*∈N n 时，()352118535215216121n n p p p Y E n nn +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=+++= .11当0=n 时，()0=Y E ，符合上式，故()3521185n Y E n+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-=.22.解：（1）设()y x P ,，∵点P 到x 轴的距离等于点P 到点⎪⎭⎫ ⎝⎛210，的距离，∴2221⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y x y ，化简得412+=x y .故W 的方程为412+=x y .（2）不妨设D B A ,,三点在W 上，且有DA BA ⊥.设⎪⎭⎫ ⎝⎛+41,2a a A ，设DA BA ，的斜率分别为kk 1-，，由对称性不妨设1≤k ，则直线BA 的方程为：()412++-=a a x k y 联立()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+=414122a a x k y x y ，整理可得：022=-+-a ka kx x ，则kx x B A =+∴()()ak k y y x x AB B A B A 21222-+=-+-=同理可得：a kk AD 21112++=∴CD AB +a k k 212-+=a kk 21112+++()232221112121k k k k k a k a k k +=⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+≥设()()313123+++=+=m m m mm m f ，则()()()222112132m m m m m m f +-=-+='，可知()m f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛210，上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛021，上单调递增，∴()m f 在()10，上最小值为42721=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，∴()3232≥=+kf CD AB ，由于两处相等的条件不一致，∴矩形ABCD 的周长为()332>+CD AB .。
2023高考卷广东数学
2023高考卷广东数学一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若函数f(x)=2x²3x+1在区间（a，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A. a≥1B. a≤1C. a≥0D. a≤03. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+c²b²=ac，则角B的度数为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°4. 已知数列{an}是等差数列，a1=1，a10=37，则数列的公差d为（）A. 4B. 3C. 2D. 15. 若复数z满足|z1|=|z+1|，则z在复平面内对应的点位于（）A. 实轴上B. 虚轴上C. 直线y=x上D. 直线y=x上二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a>b，则a²>b²。
（）2. 任何两个实数的和都是实数。
（）3. 在等差数列中，若m+n=2p，则am+an=2ap。
（）4. 对数函数y=logax（a>0且a≠1）的图像恒过点（1，0）。
（）5. 若函数f(x)在区间（∞，+∞）上单调递增，则其导数f'(x)≥0。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=x²+2x+1，则f(1)=______。
2. 在等差数列{an}中，若a1=3，公差d=2，则a5=______。
3. 若向量a=(2，3)，向量b=(1，2)，则2a+3b=______。
4. 设复数z=3+4i，则|z|=______。
5. 若sinθ=1/2，且θ为锐角，则cosθ=______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x)=x²4x+3的零点。
2. 已知等差数列{an}的公差为2，且a3+a7=22，求a5。
2023高考数学数列练习题及答案
2023高考数学数列练习题及答案数列是高中数学中常见的重要概念，也是高考数学考试中的热点内容之一。
在准备2023年高考数学考试时，通过练习数列题目可以帮助我们深入理解数列的性质和应用，提高解题能力。
下面将提供一些2023年高考数学数列练习题及答案，供同学们进行复习和练习，以期取得好成绩。
练习题1：已知数列{an}满足a₁ = 2，an+1 = 2an - 1，(n ≥ 1)，求a₅。
解答：根据已知条件可以得到数列的通项公式为an = 2ⁿ⁻¹。
代入n = 5，得到a₅ = 2⁴ = 16。
练习题2：已知等差数列{an}的首项是a₁ = 3，公差是d = 4，求数列的第n项an。
解答：根据等差数列的通项公式an = a₁ + (n - 1)d可以得出：an = 3 + (n - 1) × 4化简后得到an = 4n - 1。
练习题3：已知等比数列{bn}的首项是b₁ = 5，公比是q = 2，求数列的第n项bn。
解答：根据等比数列的通项公式bn = b₁ × qⁿ⁻¹可以得出：bn = 5 × 2ⁿ⁻¹。
练习题4：已知等差数列{cn}的首项是c₁ = 2，公差是d = 3，求数列的前n项和Sn。
解答：数列的前n项和Sn可以表示为Sn = n/2 × (2a₁ + (n - 1)d)。
代入已知条件得到Sn = n/2 × (2 × 2 + (n - 1) × 3)。
化简后得到Sn = 3n² - 3n。
练习题5：已知等差数列{dn}的前n项和Sn为Sn = 4n² + n，求数列的首项d₁和公差d。
解答：根据数列的前n项和的公式可以得到Sn = n/2 × (2a₁ + (n - 1)d)。
代入已知条件得到4n² + n = n/2 × (2d + (n - 1)d)。
2023年全国各省份高考数学真题数列汇总全文
2023年全国各省份高考数学真题数列汇总一、单选题二、填空题8．（2023年全国乙卷（理数）第15题）已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =-，则7a =______.9．（2023年全国甲卷（文数）第13题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若6387S S =，则{}n a 的公比为________．10．（2023年北京卷第14题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ===，则7a =___________；数列{}n a 所有项的和为____________．三、解答题15．（2023年北京卷第21题）已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r iB A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数.(1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值；(2)若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；(3)证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+．16．（2023年天津卷第19题）已知{}n a 是等差数列，255316,4a a a a +=-=．(1)求{}n a 的通项公式和1212n n ii a --=∑．(2)已知{}n b 为等比数列，对于任意*N k ∈，若1221k k n -≤≤-，则1k n k b a b +<<，（Ⅰ）当2k ≥时，求证：2121kk k b -<<+；（Ⅱ）求{}n b 的通项公式及其前n 项和．a-【详解】由题意可得：当1n =时，2122a a =+，即1122a q a =+，①当2n =时，()31222a a a =++，即()211122a q a a q =++，②联立①②可得12,3a q ==，则34154a a q ==.故选：C.二、填空题三、解答题为奇数反证：假设满足11n n r r +->的最小正整数为11j m ≤≤-，当i j ≥时，则12i i r r +-≥；当1i j ≤-时，则11i i r r +-=，则()()()112100m m m m m r r r r r r r r ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()22m j j m j ≥-+=-，又因为11j m ≤≤-，则()2211m r m j m m m m ≥-≥--=+>，假设不成立，故11n n r r +-=，即数列{}n r 是以首项为1，公差为1的等差数列，所以01,n r n n n =+⨯=∈N .（3）（ⅰ）若mmA B ≥，构建,1n n n r S A B n m =-≤≤，由题意可得：0n S ≥，且n S 为整数，反证，假设存在正整数K ，使得K S m ≥，则1,0K K K r K r A B m A B +-≥-<，可得()()111K K K K K r r r K r K r b B B A B A B m +++=-=--->，这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意1,n m n ≤≤∈N ，均有1n S m ≤-.①若存在正整数N ，使得0N N N r S A B =-=，即N Nr A B =，可取0,,N r p q N s r ====，使得p s q r B B A A +=+；②若不存在正整数N ，使得0NS =，因为{}1,2,1n S m m ∈⋅⋅⋅-，且1n m ≤≤，所以必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =，即X Y X r Y r A B A B -=-，可得Y X X r Y r A B A B +=+，可取,,,Y X p X s r q Y r r ====，使得p s q r B B A A +=+；（ⅱ）若m m A B <，构建,1n n r n S B A n m =-≤≤，由题意可得：0n S ≤，且n S 为整数，反证，假设存在正整数K ，使得K S m ≤-，则1,0K K r K r K B A m B A +-≤-->，可得()()111K K K K K r r r r K r K b B B B A B A m +++=-=--->，这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意1,n m n ≤≤∈N ，均有1n S m ≥-.①若存在正整数N ，使得0N N r N S B A =-=，即N Nr A B =，可取0,,N r p q N s r ====，使得p s q r B B A A +=+；②若不存在正整数N ，使得0NS =，因为{}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅-，且1n m ≤≤，。
2023届广东省东莞市高考数学必刷试卷含解析
2023年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos2α等于（ ）A ．19B ．79-C ．23-D ．132．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A．12⎛⎝ B．12⎡⎢⎣C．12⎛⎝⎦D．12⎛⎝⎭3．复数()()()211z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )A ．iB ．﹣2iC ．2iD ．﹣i4．已知符号函数sgnx 100010x x x ⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f （x ）是定义在R 上的减函数，g （x ）＝f （x ）﹣f （ax ）（a ＞1），则（ ）A ．sgn [g （x ）]＝sgn xB ．sgn [g （x ）]＝﹣sgnxC ．sgn [g （x ）]＝sgn [f （x ）]D ．sgn [g （x ）]＝﹣sgn [f （x ）]5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．28πC ．32πD ．36π6．已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ，准线为l ，A 是l 上一点，B 是直线AF 与抛物线C 的一个交点，若3FA FB =，则||BF =（ ）A ．72B ．3C ．52D ．27．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元 8．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．已知向量()()1,3,2a m b ==-，，且()a b b +⊥，则m =( ) A ．−8 B ．−6 C ．6D ．810．直角坐标系 xOy 中，双曲线2222 1x y a b -=（0a b ，>）与抛物线2 2?y bx =相交于 A 、B 两点，若△ OAB 是等边三角形，则该双曲线的离心率e =（ ）A ．43B ．54C ．65D ．7611．已知向量0,2a ，()23,b x =，且a 与b 的夹角为3π，则x =（ ）A ．-2B ．2C ．1D ．-112．已知()3,0A -，()3,0B，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ） A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．2x ≥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年高考数学预测卷及答案解析(广东卷)
2023年高考数学预测卷及答案解析（广东卷）第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．设全集U =R ，集合{}220A x x x =--≤，{}lg 0B x x =<，则()U A B ⋂=ð（）A ．(],1-∞-B ．()[),12,-∞+∞C ．(][),01,-∞+∞D ．(),1-∞-【答案】C【分析】根据题意，将集合,A B 化简，然后结合集合的运算，即可得到结果.【详解】因为{}220A x x x =--≤，则[]1,2A =-，因为{}lg 0B x x =<，则()0,1B =，所以()0,1A B = ，即()(][)U ,01,A B ⋂=-∞+∞ ð.故选:C2．已知复数z 满足2i 1iz -=-+，则z 在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】化简复数z ，结合复数的坐标表示，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足2i 1iz -=-+，可得()()()()21i 1i 1i 12i i i=1+2i 1i i z -==-=----++++-+，所以复数z 在复平面内对应的点(1,2)-位于第二象限.故选：B.3．已知向量a ，b满足(1,a = ，()0a a b ⋅+= ，则b 在a方向上的投影向量的模为（）A．2B．2C．D ．3【答案】D【分析】根据题意和向量数量积的运算得出9a b ⋅=-，然后代入公式即可求解.【详解】因为(1,a = ，所以3a = ，又()20a a b a a b ⋅+=+⋅=，所以9a b ⋅=-，则b 在a 方向上的投影向量的模为9cos ,33a b b a b a ⋅===，故选：D ．4．二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动人民的智慧.四句诗歌“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为（）A ．146B ．123C ．523D ．16【答案】C【分析】直接由组合结合古典概型求解即可.【详解】由题意知：从24个节气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为262244C 5C 23P ⨯==.故选：C.5．设随机变量()2~,X N μσ，则“1μ≥”是“1(2)2P X <<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由正态曲线的对称性结合必要不充分条件的定义即可得到答案.【详解】当1μ=时，根据正态曲线的对称性可知1(2)2P X <>，故1μ≥不是1(2)2P X <<的充分条件；反之，若1(2)2P X <<，由对称性可知1μ≥，故1μ≥是1(2)2P X <<的必要条件；故1μ≥是1(2)2P X <<的必要不充分条件，故选：B6．已知等比数列{}n a 的公比为q （0q >且1q ≠），若614388a a a a +=+，则q 的值为（）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】C【分析】根据等比数列通项的运算性质可求得公比的值.【详解】已知等比数列{}n a 的公比为q （0q >且1q ≠），若614388a a a a +=+，则643188a a a a -=-，所以()33136431318q a a a a q a a a a --===--，解得2q =.故选：C.7．已知1cos 23x =-，则22ππcos cos 66x x ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（）A ．916B ．56C ．1320D ．1724【答案】B【分析】利用降幂公式及两角和差的余弦公式化简即可得解.【详解】22ππ1cos 21cos 2ππ33cos cos 6622x x x x ⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111cos 2sin 21cos 2sin 2222222x x x x ++-=+11151cos 212236x ⎛⎫=+=+⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.8．在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，若三棱柱111ABC A B C -的体积为）A ．12πB ．6πC ．16πD ．8π【答案】A【分析】根据直三棱柱的体积得到24r h =，根据直三棱柱外接球半径的求法得到2222444h h R r h=+=+，然后构造函数，求导得到2R 的最小值，即可得到外接球表面积的最小值.【详解】设直三棱柱的高为h ，外接球的半径为R ，ABC 外接圆的半径为r，则2123sin 23r h π⨯=24r h =，又2222444h h R r h =+=+，令()244h f h h=+，则()3224822h h f h h h-=-='，易知()f h 的最小值为()23f =，此时23R =，所以该三棱柱外接球表面积的最小值为12π.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A ．“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件B ．命题“(0,)∀∈+∞x ，11x x+>”的否定是“(0,)∀∈+∞x ，11x x+≤”C ．若22cos sin 1αβ+=，则αβ=D ．221log (4y x =-+的最大值为2-【答案】AD【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断A ；利用全称量词命题的否定判断B ；举例说明判断C ；利用对数函数单调性求出最值判断D 作答.【详解】对于A ，“若a b >，则22a b >”是假命题，因为12>-，而221(2)<-；“若22a b >，则a b >”是假命题，因为2221()->，而21-<，即a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件，A 正确；对于B ，命题“(0,)∀∈+∞x ，11x x+>”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，因此它的否定是“(0,)x ∃∈+∞，11x x+≤”，B 错误；对于C ，当π2π,33αβ==时，22cos sin 1αβ+=成立，因此22cos sin 1αβ+=成立，不一定有αβ=，C 错误；对于D ，函数221log ()4y x =-+的定义域为11(,22-，211044x <-+≤，而函数2log y t =在(0,)+∞上单调递增，因此当0x =时，max 21log 24y ==-，D 正确.故选：AD 10．已知()2π4cos sin(3）f x x x =⋅+-，下列选项正确的是（）A ．()f x 的值域为(][),11,-∞-⋃+∞B ．()f x 的对称中心为()ππ,032k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z C ．()f x 的单调递增区间为ππππ,12232k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭和()ππ7ππ,32122k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z D ．()1cos2g x x =图像向右平移π12个单位与()f x 的图像重合【答案】ABD【分析】利用三角恒等变换化简整理得()1πsin 23f x x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结合三角函数性质以及图象变换逐项分析判断.【详解】由题意可得：()2π4cos sin(3f x x x ==⋅+1πsin 23x ===⎛⎫+ ⎪⎝⎭，对于A ：因为[)]πsin 21,0(0,13x ⎛⎫+∈-⋃ ⎪⎝⎭，所以()][(),11,f x ∈-∞-+∞U ，故A 正确；对于B ：因为()f x 的对称中心与函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称中心相同，令π2π,3x k k +=∈Z ，解得ππ,32k x k =+∈Z ，故()f x 的对称中心为()ππ,032k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，故B 正确；对于C ：若()f x 单调递增，则πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递减，令()πππ3π2π2π2π,π2π22π2332k x k k x k k +≤+<++<+≤+∈Z ，解得()πππ7πππ,ππ123312k x k k x k k +≤<++<≤+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为ππππ,12232k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭和()ππ7ππ,32122k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，故C 错误；对于D ：()g x 图像向右平移π12个单位，得到1111πππππcos 2cos 2sin 2cos 2126332y x x x x ===⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫--++- ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，与()f x 解析式相同，图像重合，故D 正确．故选：ABD.11．下列说法正确的是（）A ．若0a >，0b >，且4a b +=，则11a b+的最小值为1B ．若0a >，0b >，且2a b +=，则ab 的最小值为1C ．若关于x 的不等式()()10x a x +-<的解集为()1,3，则3a =-D ．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集为(),1a 【答案】AC【分析】根据基本不等式判断A ；根据()24a b ab +≤判断B ；根据一元二次不等式的解集判断C ；根据,1a 的大小关系判断D.【详解】解：对于A ，因为()1111112144b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2a b ==时，等号成立，故A 正确；对于B ，因为2a b +=，所以()214a b ab +≤=，当且仅当1a b ==时，等号成立，所以ab 的最大值为1，故B 错误；对于C ，因为()()10x a x +-<的解集为()1,3，所以3a =-，故C 正确；对于D ，因为()()()2110x a x a x a x -++=--<，所以，当1a =时，不等式的解集为∅；当1a <时，不等式的解集为(),1a ；当1a >时，不等式的解集为()1,a ，故D 错误.故选：AC12．设双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点为(),0,3F M b ，若直线l 与E 的右支交于,A B 两点，且F 为MAB △的重心，则（）A ．E 的离心率的取值范围为)3∞⎛⋃+⎝B ．E 的离心率的取值范围为)∞⋃+⎝C ．直线l 斜率的取值范围为(,∞⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭D ．直线l 斜率的取值范围为(,3∞⎛⎫-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】AC【分析】根据重心性质得出AB 中点D 的坐标，根据直线l 与E 的右支交于,A B 两点可知点D 在右支内部，将D 的坐标代入双曲线中建立不等式，即可得离心率的范围，根据点差法可得直线l 的斜率与,,a b c 之间等式关系，由,,,M F A B 不共线建立不等式，解出离心率具体范围，根据离心率的范围及直线l 的斜率与,,a b c 之间等式关系，即可得斜率的取值范围，解出即可.【详解】解：设D 为AB 的中点，根据重心性质可得2MF FD =，因为()(),0,0,3F c M b ，则33,22c b D ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为直线l 与E 的右支交于,A B 两点，所以点D 在双曲线右支内部，故有222299441c b a b->，解得3c a >，当直线l 斜率不存在时，AB 的中点D 在x 轴上，故,,M F D 三点不共线，不符合题意舍，设直线l 斜率为AB k ，设()()1122,,,A x y B x y ，所以123x x c +=，123y y b +=-，因为,A B 在双曲线上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得：2222121222x x y a b y =--即()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=，即有()()12122233c x x b y y a b --=-成立，即有2AB bck a =-，因为,,,M F A B 不共线，即23AB MF bc b k k a c=-≠=-，即223c a ≠，即e ≠所以E的离心率的取值范围为)3∞⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭，因为2ABbc k a =-===-因为)e ∈+∞⎝ ，即()213,33,9e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以()221152,66,2481e ⎛⎫⎛⎫--∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以(,9ABk ⎛⎫=-∞- ⎪ ⎪⎝⎭.故选：AC第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．二项式2nx ⎛ ⎝的展开式的第5项为常数项，则n =__________．【答案】6【分析】根据二项式通项公式和展开式的第5项为常数项建立方程即可得解．【详解】二项式2nx ⎛ ⎝展开式的通项公式为23321C 2n r r r n r n T x --+⋅=，由展开式中，第5项为常数项，此时4r =，则23402n -⨯=，即6n =．故答案为：6.14．已知函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且1x ≤时，()e 1xf x x =+-，则曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程为___________.【答案】240x y +-=【分析】先求出当1x >时，()2e 1xf x x -=-+，利用导数的几何意义求出切线斜率，写出切线方程.【详解】设()()1122,,,M x y N x y 分别为函数()f x 的图像上关于直线1x =对称的两点，不妨设11x ≤，则21x >.所以12122x x y y +=⎧⎨=⎩，所以12122x x y y =-⎧⎨=⎩所以2222222e21e 1x x y x x --=+--=-+.所以当1x >时，()2e 1xf x x -=-+.所以()222e 210f -=-+=.而()2e1xf x -'=--，所以()222e 12f -'=--=-.所以曲线()y f x =在点()()2,2P f 处的切线方程为()22y x =--，即240x y +-=.故答案为：240x y +-=.15．已知椭圆C ：()2211014146x y λλλ+=<<--，F 为椭圆C 的一个焦点，P 为椭圆C 上一点，则PF 的最大值为___________.【答案】22【分析】根据椭圆方程及其离心率可求的λ值，再根据椭圆的性质可求PF 的最大值．【详解】设椭圆的半长轴为a ，半焦距为c ，因为1014λ<<，所以01446λλ<-<<-，故椭圆焦点在y 轴上，因为()()2614220c λλλ=---=-，离心率为3，所以22202633λλ⎫-==⎪⎪-⎝⎭，解得12λ=，所以a ==2c ==，由椭圆性质知，max 2PF a c =+=，故答案为：216．设定义在R 上的函数()f x 和()g x .若()()42f x g x --=，()()22g x f x =--，且()2f x +为奇函数，则()()()()1232023f f f f +++⋅⋅⋅+=______.【答案】0【分析】由()()42f x g x --=，()()22g x f x =--，可得()()2f x f x =-，再结合()2f x +为奇函数，可得()()2f x f x +=-，从而可得函数()f x 是以4为周期的一个周期函数，求出()()()()2413f f f f +++即可得解.【详解】因为()()42f x g x --=，所以()()42g x f x -=-，即()()42g x f x =--，又因()()22g x f x =--，所以()()4222f x f x --=--，即()()2f x f x =-，因为()2f x +为奇函数，所以()0f =，且()()22f x f x +=--+，所以()()2f x f x +=-，则()()()42f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是以4为周期的一个周期函数，由()()2f x f x +=-，得()()20f x f x ++=，则()()()()240,130f f f f +=+=，所以()()()()1232023f f f f +++⋅⋅⋅+()()()()()()()50512341230f f f f f f f =++++++=⎡⎤⎣⎦.故答案为：0.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于先根据()()42f x g x --=，()()22g x f x =--，可得()()2f x f x =-，再结合()2f x +为奇函数，可得()()2f x f x +=-，从而可得函数的周期.四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。
广东2023高考数学卷子
广东省2023届高考数学一模试卷一、单选题1．已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（）A．B．C．D．2．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（）A．B．C．D．3．已知函数若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．4．如图所示是中国2012-2021年汽车进､出口量统计图，则下列结论错误的是（）A．2012-2021年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的B．从2018年开始，中国汽车的出口量大于进口量C．2012-2021年中国汽车出口量的第60百分位数是106万辆D．2012-2021年中国汽车进口量的方差大于出口量的方差5．在复平面内，已知复数满足（为虚数单位），记对应的点为点对应的点为点，则点与点之间距离的最小值为（）A．B．C．D．6．如图，在两行三列的网格中放入标有数字的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有（）A．96种B．64种C．32种D．16种7．已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是（）A．B．C．D．8．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切.若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为（）A．4B．C．D．6二、多选题9．如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在时刻相对于平衡位置的高度可以田确定，则下列说法正确的是（）A．小球运动的最高点与最低点的距离为B．小球经过往复运动一次C．时小球是自下往上运动D．当时，小球到达最低点10．在四棱锥中，平面，四边形是正方形，若，则（）A．B．与所成角为C．与平面所成角为D．与平面所成角的正切值为11．已知拋物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（）A．若为△的中线，则B．若为的角平分线，则C．存在直线，使得D．对于任意直线，都有12．已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（）A．是“封闭”函数B．定义在上的函数都是“封闭”函数C．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数D．若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数三、填空题13．已知向量满足，则与的夹角为.14．在平面直角坐标系中，等边三角形的边所在直线斜率为，则边所在直线斜率的一个可能值为.15．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，为偶函数，若在上恰好有4个不同的实数根，则.16．已知动圆经过点及原点，点是圆与圆的一个公共点，则当最小时，圆的半径为.四、解答题17．在中，角的对边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.18．已知各项都是正数的数列，前项和满足.（1）求数列的通项公式.（2）记是数列的前项和，是数列的前项和.当时，试比较与的大小.19．如图所示的在多面体中，，平面平面，平面平面，点分别是中点.（1）证明：平面平面；（2）若，求平面和平面夹角的余弦值. 20．某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.21．已知点，点和点为椭圆上不同的三个点.当点，点B和点C为椭圆的顶点时，△ABC恰好是边长为2的等边三角形.（1）求椭圆标准方程；（2）若为原点，且满足，求的面积.22．已知函数.（1）求的极值；（2）当时，，求实数的取值范围.答案解析部分1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】D4．【答案】D5．【答案】C6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】B,D10．【答案】A,C,D11．【答案】A,D12．【答案】B,C13．【答案】14．【答案】或15．【答案】2416．【答案】517．【答案】（1）解：因为，所以，整理得，由正弦定理得，由余弦定理得，因为，所以.（2）解：在中，因为，所以，所以，所以，所以，所以的取值范围为.18．【答案】（1）解：当时，，所以或（舍去），当时，有两式相减得，整理得，因为的各项都是正数，所以，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以；（2）解：由（1）得，则，所以，由（1）得所以，因为，所以，故，所以当时，.19．【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，因为，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，所以，又因为平面平面，所以平面，因为点分别是中点，所以，又因为平面平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）解：方法一：因为，所以，由（1）知平面平面，所以，所以两两相互垂直，如图，以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，因为，所以，则，平面的一个法向量为，设平面的法向量为，由，得，即，解得，取，得，设平面和平面的夹角为，则，所以平面和平面的夹角的余弦值为.方法二：因为平面平面，所以平面和平面的夹角即二面角.如图，过点作，垂足为点，过点作交于点，则为二面角所成平面角.在中，，在中，，在直角梯形中，因为，，所以，所以在中，，所以，利用三角形等面积可得，所以，因为，所以，过点作于，则，所以，在中，，所以，所以平面和平面夹角的余弦值为.20．【答案】（1）解：若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为，因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，所以的所有可能取值为，则，所以的分布列为012所以的数学期望为.（2）解：若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为，则，，，所以的分布列为012所以的数学期望为.（3）解：因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小，即，第（1）不中奖的概率比第问小，即，回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽.回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖.21．【答案】（1）解：当点，点和点为椭圆的顶点时，恰好构成边长为2的等边三角形，①当点，点和点中有两个点为上顶点和下顶点，一个点为左顶点或右顶点时，不妨设点，点为上顶点和下顶点，点为右顶点，此时，，②当点，点和点中有一个点为上顶点或下顶点，两个点为左顶点和右顶点，不妨设点，点为左顶点和右顶点，点为上顶点，此时，（舍去），所以椭圆的标准方程为.（2）解：设，因为，所以，①当直线斜率不存在时，即，则，因为点在椭圆上，所以，则有，所以，点到的距离为，此时.②当直线斜率存在时，设直线方程为，联立得消去整理得，满足，由韦达定理得，所以，所以，又因为点在椭圆上，所以，化简得，所以，所以点到直线的距离，所以综上所述，的面积为.22．【答案】（1）解：求导得，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以有极小值，无极大值.（2）解：方法一：由题知不等式在上恒成立，则原问题等价于不等式在上恒成立，记，则，记，则恒成立，所以在上单调递增，又，所以存在，使得，即当时，，此时；当时，，此时，所以在上单调递减，在上单调递增，由，得，即，所以，①当时，因为，所以不等式恒成立，所以；②当时，因为存在，使得，而，此时不满足，所以无解.综上所述，.方法二：由题知不等式在上恒成立，原问题等价于不等式在上恒成立，即在上恒成立.记，则，当单调递减，单调递增，因为即，①当时，因为，所以不等式恒成立，所以；②当时，令，显然单调递增，且，故存在，使得，即，而，此时不满足，所以无解.综上所述，.。
2023年广东高考数学卷子
2023年广东高考数学卷子I. 单选题1. 已知曲线 $y=\dfrac{x^2}{2}+1$ 的切线方程为 $y=2x-1$，则该曲线在点 $(1, \dfrac{3}{2})$ 处的切线斜率是多少？A. $1$B. $2$C. $3$D. $4$2. 一圆锥的侧面积为 $8\sqrt{5}\pi$，且母线长为 $8$，则该圆锥的体积是多少？A. $\dfrac{16}{3}\pi$B. $\dfrac{32}{3}\pi$C. $16\pi$D. $32\pi$II. 多选题1. 平面直角坐标系内，直线 $l$ 的斜率为 $\dfrac{1}{2}$，过点 $(1, 2)$，则以下哪些直线与 $l$ 垂直？A. $2x-y-3=0$B. $x-2y+3=0$C. $3x+2y-4=0$D. $4x-y-6=0$(可选：AB；AC；BC；BD)2. 在 $xOy$ 平面上，过点 $A(2,1)$，$B(4,7)$ 的直线为 $l$，则以下哪些直线与 $l$ 平行？A. $3x+5y-1=0$B. $5x+2y-14=0$C. $4x-7y+22=0$D. $-2x+y+3=0$(可选：AD；BC)III. 判断题1. 方程 $5x^2-3x+2=0$ 的解为两个有理数。
A. 对B. 错2. 抛物线 $y=2x^2-3x+4$ 的开口方向向下。
A. 对B. 错IV. 解答题1. 在 $xOy$ 平面上，已知点 $A(1,2,3)$，$B(2,1,3)$，$C(3,2,1)$，则以下哪个点不在 $ABC$ 所在的平面上？2. 给定集合 $A=\{1,2,3,4,5,6\}$，$B=\{x|x=2n,n\in N\}$，$C=\{x|x=3n,n\in N\}$，则 $A\cap(B\cup C)$ 中元素的个数是多少？以上是2023年广东高考数学卷子的相关内容，希望考生们可以认真备考，取得理想的成绩。
广东2023高考数学试题及答案
广东2023高考数学试题及答案广东2023高考数学试题及答案广东2023高考数学使用全国1卷高考数学全国卷充分发挥基础学科的作用，突出素养和能力考查，甄别思维品质、展现思维过程，今天小编整理了广东2023高考数学试题及答案供大家参考，一起来看看吧!广东2023高考数学试题及答案（新高考1卷）2023广东高考各科目分值分别是多少广东高考科目：高考综合改革后，不分文理科，科目设置实行“3+1+2”的组合方式。
其中：“3”为全国统一高考的语文、数学、外语，且数学不分文、理，“1”由考生在物理、历史 2 门科目中选择1 门，“2”由考生在思想—7—政治、地理、化学、生物学 4 门科目中选择 2 门。
各科分值：统一高考的语文、数学、外语3 门科目，每科满分均为 150 分，总分 450 分，各科均以卷面分计入考生总成绩。
考生在物理、历史 2 门选择性考试科目中自主选择 1 门，满分为100 分，以卷面分直接计入考生总成绩;在思想政治、地理、化学、生物学 4 门选择性考试科目中自主选择 2门，每科满分均为 100 分，以等级分计入考生总成绩。
等级分计算以 30 分作为等级分的赋分起点，满分值为100 分，1 分1 档。
将思想政治、地理、化学、生物学每门选择性考试科目考生的卷面分从高到低划分为A、B、C、D、E 共5 个等级，各等级的人数比例分别约为 17%、33%、33%、15%和 2%。
将 A 至 E 等级内的考生卷面成绩，依照等比例法则，分别换算到100～83、82～71、70～59、58～41 和 40～30 五个分数区间，得到每个考生的等级分。
2023广东高考具体时间安排【语文】6月7日9:00-11:30【数学】6月7日15:00-17:00【外语】6月8日15:00-17:00(英语听说考试时间另行安排)【物理/历史】6月8日9:00-10:15 【化学】6月9日8:30-9:45【地理】6月9日11:00-12:15 【思想政治】6月9日14:30-15:45 【生物学】6月9日17:00-18:15。
2023广东卷数学试题及答案
2023广东卷数学试题及答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的。
1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(1)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 若a>0，b>0，且a+b=2，则ab的最大值为：A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知直线l的方程为y=2x+1，点P(1,3)在直线l上，则点P 关于直线l的对称点Q的坐标为：A. (0,1)B. (2,5)C. (-1,-1)D. (3,7)4. 若复数z满足z^2+z+1=0，则|z|的值为：A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)的值为：A. 3x^2-6xB. 3x^2-6x+2C. 3x^2-6x+3D. 3x^2-6x+16. 若向量a=(3,-2)，向量b=(1,2)，则向量a与向量b的数量积为：A. -4B. -1C. 1D. 47. 若函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的最小值：A. -4B. -2C. 0D. 28. 已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c，且满足a^2+b^2=c^2，求三角形ABC的形状：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9. 已知等差数列{an}的首项为1，公差为2，求第10项的值为：______。
10. 若函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的对称轴方程为：______。
11. 已知向量a=(2,1)，向量b=(1,-1)，求向量a与向量b的夹角的余弦值为：______。
12. 已知双曲线方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，其中a=2，b=1，求双曲线的渐近线方程为：______。
三、解答题：本题共4小题，共40分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
13. （10分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的单调区间，并说明理由。
广东省广州市2023届高三综合测试(一)数学试题
一、单选题二、多选题1. 某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为（）A．B．C．D．2. 设全集，，，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D．3. 已知，则曲线在点处的切线方程为( )A．B．C．D．4.已知函数，若有两个不同的极值点，且当时恒有，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．5. 复数，其中为虚数单位，则的虚部是A．B．C．D．6. 已知双曲线的左焦点为F ，直线与C 交于A ，B 两点（其中点A位于第一象限），，O 为坐标原点，且的面积为，则C 的离心率是（ ）A．B ．2C．D ．37. 如图，在三棱锥中，侧面底面BCD ，，，，，直线AC 与底面BCD 所成角的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8. 斜率为1的直线l 过抛物线的焦点F ，且与C 相交于A ，B 两点，O为坐标原点，若的面积是，则（ ）A ．4B ．8C ．12D ．169. 下列函数中，是奇函数且存在零点的是（ ）A．B．C．D．10. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的右焦点为，过且倾斜角为的直线分别交的左、右两支于点，，直线交于另一点，连接，，，则（ ）广东省广州市2023届高三综合测试（一）数学试题三、填空题四、解答题A．B．C．D．11.当时，，则的值可以为（ ）A．B．C．D．12. 设a ，b 为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则13.已知幂函数的图象过点，则______．14.对任意，若不等式恒成立，则实数a 的最大值为______．15.函数的单调增区间为________；若对，，均有成立，则的取值范围是__________．16. 对于每项均是正整数的数列，定义变换将数列A 变换成数列．对于每项均是非负整数的数列，定义变换将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；又定义．设是每项均为正整数的有穷数列，令．(1)如果数列为5，3，2，写出数列；(2)对于每项均是正整数的有穷数列A，证明；(3)证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数K，当时，．17. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如下频率分布直方图.(1)规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩，现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，求抽取的口罩至少有一个一级口罩的概率；(2)在2021年“双十一”期间，某网络购物平台推出该型号口罩订单“秒杀”抢购活动，甲､乙､丙三人分别在该平台参加一次抢购活动，假定甲､乙､丙抢购成功的概率分别为0.1，0.2，0.3，记三人抢购成功的总次数为X ，求X 分布列及数学期望.18.在凸四边形中，.(1)若.求的长；(2)若四边形有外接圆，求的最大值.19. 设定点，动圆过点且与直线相切.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）设为直线上任意一点，过点作轨迹的两条切线和，证明：．20. 如图，四边形为正方形，，，平面.（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离.21. 函数（为常数）（1）讨论函数的单调性；（2）若存在，使得对任意的，不等式（其中e为自然对数的底数）都成立，求实数的取值范围．。
2023届广东省广州市重点中学高三数学综合测试(一)及参考答案
2023届广州市重点中学高三数学综合测试（一）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．设集合},,032|{2Z x x x x M ∈<--=则集合M 的真子集个数为A ．8B ．7C ．4D ．3 2．平面向量,)(,2||,2||a b a b a ⊥-==则a 与b 的夹角是A ．125π B ．3π C ．4π D ．6π 3．对任意等比数列},{n a 下列说法一定正确的是A ．931,,a a a 成等比数列B ．632,,a a a 成等比数列C ．842,,a a a 成等比数列D ．963,,a a a 成等比数列4．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 A ．433 B ．33 C ．43 D ．1235．已知,54)4cos(=-απ则=α2sin A ．257 B ．2524 C ．2524± D ．257± 6．若,011<<ba 则下列结论不正确的是 A ．22b a < B ．2b ab < C ．0<+b a D ．||||||b a b a +>+ 7．已知n S 表示等差数列}{n a 的前n 项和，且,31105=S S 那么=205S S A ．101 B ．91 C ．81 D ．318．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,0,02063y x y x y x 若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为12，则ba 32+的最小值为A ．38 B ．311 C ．625 D ．4 9．函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图象如图所示，将)(x f y =的图象向右平移4π个单位后得到函数)(x g y =的图象．则函数)(x g y =的单调增区间为 A ．Z k k k ∈++],2,6[ππππ B ．Z k k k ∈+-],32,6[ππππ C ．Z k k k ∈+-],3,6[ππππ D ．Z k k k ∈++],65,6[ππππ 10．在四边形ABCD 中，,DC AB = 已知,5||,8||==AD AB AB 与AD 的夹角为,θ且,2011cos =θ,3PD CP =则=⋅BP AP A ．10 B ．6 C ．4 D ．2 11．“对任意),2,0(π∈x x x x k <cos sin ”是“1<k ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，,2),2(2120,12)(|1|⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-x x f x x f x 则函数1)()(-=x xf x g 在),6[+∞-上的所有零点之和为A ．－32B ．32C ．16D ．8第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．由直线,2,21==x x 曲线xy 1=及x 轴所围成的图形的面积是____. 14．设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）则该几何体的体积为____m 3．15．数列}{n a 满足,p n a n +-=数列}{n b 满足,25-=n n b 设⎩⎨⎧>≤=n nn nn n n b a b b a a c ,,，且对任意*N n ∈且,9=/n 有,9n c c >则实数p 的取值范围为____.16．已知O 是ABC ∆的外心，,6=AB ,10=AC 若AC y AB x AO +=且,5102=+y x 则ABC ∆的面积为____.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）设各项均为正数的数列}{n a 满足r pn a Snn +=（r p ,为常数），其中n S 为数列}{n a 的前n 项和.(1)若,0,1==r p 求证：}{n a 是等差数列； (2)若,2,311==a p 求数列}{n a 的通项公式．18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，向量),2cos 2,sin 2(B B m -=2sin 2(=n),1),24(B+π.n m ⊥ (1)求角B 的大小； (2)若,1,3==b a 求c 的值．19．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点． (1)求证：BD A AB 11平面⊥； (2)求二面角B D A A --1的余弦值．20．（本小题满分12分）已知函数ax e x f x-+=1)(. (1)当21=a 时，求函数)(x f 在0=x 处的切线方程； (2)函数)(x f 是否存在零点？若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）已知函数.ln )(x x f = (1)若函数x k x f y +=)(在),1[2+∞e上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围； (2)是否存在实数k ，使得对任意的),,21(+∞∈x 都有函数xk x f y +=)(的图象在x e x g x=)(的图象的下方？若存在，请求出最大整数k 的值；若不存在，请说理由．（参考数据：6487.1,6931.02ln 21==e ）请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，ABC ∆为直角三角形，,90=∠ABC 以AB 为直径的圆交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连OD 交圆O 于点M . (1)求证：O ，B ，D ，E 四点共圆； (2)求证：.22AB DM AC DM DE ⋅+⋅=23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x （t 为参数，πα<<0），曲线C 的极坐标方程为.cos 4sin 2θθρ= (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求||AB 的最小值．24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数.|1||1|)(+---=x x m x f (1)当5=m 时，求不等式2)(>x f 的解集；(2)若二次函数322++=x x y 与函数)(x f y =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.参考答案13．2ln 2 14．4 15．}2617|{<<p p 16．220或2417．（本小题满分12分）解：(1)由,0,1==r p 得,n n na S =所以),2()1(11≥-=--n a n S n n两式相减，得),2(01≥=--n a a n n 所以}{n a 是等差数列．......................................5分 (2)令,1=n 得,1=+r p 所以.32=r 则,)3231(n n a n S +=所以),2()3131(11≥+=--n a n S n n两式相减，得),2(111≥-+=-n n n a a n n所以,11...3524131342312-+⋅⋅⋅⋅=⋅⋅-n n a a a a a a a a n n 化简得),2(21)1(1≥⋅+=n n n a a n所以),2(2≥+=n n n a n 又21=a 适合),2(2≥+=n n n a n所以.2n n a n +=...........................................................................................................12分18．（本小题满分12分）解：(1)n m ⊥ ，,0=⋅∴n m ,022cos )24(sin sin 42=-++⋅∴B B ππ,022cos )]2cos(1[sin 2=-++-B B b π0sin 21sin 2sin 222=-++∴B B B ，21sin =∴B ,0π<<B ππ656或=∴B .......................................................................................5分 (2)∴>=,3b a 此时6π=B ，由余弦定理得B a c a b cos 2222-+=,0232=+-∴c c 12==∴c c 或...............................................................................12分19．（本小题满分12分）(1)证明：取BC 中点O ，连结AO ．ABC ∆ 为正三角形，.BC AO ⊥∴∵在正三棱柱111C B A ABC -中，,11B BCC ABC 平面平面⊥.11B BCC AD 平面⊥∴ 取11C B 中点,1O 以O 为原点， OA OO OB ,,1的方向为z y x ,,轴的正方向建立空间直角坐标系，则),0,2,1(),3,0,0(),3,2,0(),0,1,1(),0,0,1(11B A A D B -),3,2,1(1-=∴AB ),0,1,2(-=BD ).3,2,1(1-=BA ,00221=++-=⋅BD AB ,034111=-+-=⋅BA AB111,BA AB BD AB ⊥⊥∴，BD A AB 11平面⊥∴.................................................6分(2)解：设平面AD A 1的法向量为),,,(z y x n =).0,2,0(),3,1,1(1=--=AA AD,,1AA n AD n ⊥⊥ ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴,0,01AA n AD n ⎩⎨⎧==-+-∴,02,03y z y x ⎩⎨⎧-==∴z x y 30令1=z 得)1,0,3(-=n 为平面AD A 1的一个法向量． 由(1)知,11BD A AB 平面⊥1AB ∴为平面BD A 1的法向量，.4622233||,cos 111-=⋅--=⋅<AB n AB AB n有题可得，二面角B D A A --1的余弦值为46....................................................12分20．（本小题满分12分） 解：(1),1)(a x e x f x-+=,)(1)('2a x e x f x --=211)0('af -= 当21=a 时，.3)0('-=f 又,1)0(-=f 则)(x f 在0=x 处的切线方程为13--=x y ...................................6分 (2)函数)(x f 的定义域为),(),(+∞-∞a a当),(+∞∈a x 时，,01,0>->a x e x所以.01)(>-+=ax e x f x 即)(x f 在区间),(+∞a 上没有零点，当),(a x -∞∈时，,1)(1)(ax a x e a x e x f x x-+-=-+= 令,1)()(+-=a x e x g x只要讨论)(x g 的零点即可，),1()('+-=a x e x g x .0)1('=-a g当)1,(--∞∈a x 时，,0)('<x g )(x g 是减函数； 当),1(a a x -∈时，,0)('>x g )(x g 是增函数． 所以)(x g 在区间),(a -∞最小值为.1)1(1--=-a ea g显然，当1=a 时，,0)1(=-a g 所以1-=a x 是)(x f 的唯一的零点； 当1<a 时，,01)1(1>-=--a e a g 所以)(x f 没有零点；当1>a 时，,01)1(1<-=--a e a g 所以)(x f 有两个零点．.................................12分21．（本小题满分12分） 解：(1)因为,ln )(xkx x k x f +=+则由题意知方程0ln =+x k x 在),1[2+∞e上有两个不同的根．由,0ln =+xkx 得,ln x x k =-令,ln )(x x x g =则,1ln )('+=x x g由,0)('=x g 解得ex 1=当)1,1[2e e x ∈时，,0)('<x g )(x g 单调递减；当),1(+∞∈e x 时，,0)('>x g )(x g 单调递增，所以当e x 1=时，)(x g 取得最小值为,1)1(e e g -=又,2)1(22ee g -=0)1(=g （图象如右图所示），所以,212e k e -≤-<-解得.122e k e<≤.....................................................................5分(2)假设存在实数k 满足题意，则不等式x e x k x x <+ln 对),21(+∞∈x 恒成立，即x x e k xln -<对),21(+∞∈x 恒成立． 令,ln )(x x e x h x-=则,1ln )('--=x e x h x令,1ln )(--=x e x r x 则,1)('xe x r x-= 因为)('x r 在),21(+∞上单调递增，,02)21('21<-=e r ,01)1('>-=e r且)('x r 的图象在)1,21(上不间断，所以存在),1,21(0∈x 使得,0)('0=x r 即,01=-x ex 则,ln 00x x -= 所以当),21(0x x ∈时，)(x r 单凋递减；当),(0+∞∈x x 时，)(x r 单调递增， 则)(x r 取到最小值,01112111ln )(0000000>=-⋅≥-+=--=x x x x x ex r x 所以,0)('>x h 即)(x h 在区间),21(+∞内单调递增．所以,99525.12ln 2121ln 21)21(2121=+=-=≤e e h k所以存在实数k 满足题意，且最大整数k 的值为1．...............................................12分22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解：(1)连接BE ，则,EC BE ⊥ 又D 是BC 的中点，所以BD DE =又,,OD OD OB OE ==所以,ODB ODE ∆≅∆所以90=∠=∠OED OBD ，故B O E D ,,,四点共圆．...................................5分 (2)延长DO 交圆于点H ，)(2OH DO DM DH DM DE +⋅=⋅= OH DM DO DM ⋅+⋅=),21()21(2AB DM AC DM DE ⋅+⋅=即AB DM AC DM DE ⋅+⋅=22..............................................................................10分23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：(1)由,cos 4sin 2θθρ=得θρθρcos 4)sin (2=所以曲线C 的直角坐标方程为x y 42=........................................................................5分(2)将直线l 的参数方程代入,42x y =得.04cos 4sin 22=--ααt t设A 、B 两点对应的参数分别为,21t t 、 则,sin cos 4221αα=+t t ,sin 4221α-=t t =-+=-=21221214)(||||t t t t t t AB ,sin 4sin 16sin cos 162242αααα=+所以当2πα=时，||AB 的最小值为4．...................................................................10分24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：(1)当5=m 时，,)1(25)11(3)1(25)(⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--<+=x x x x x x f由2)(>x f 得不等式的解集为}2323|{<<-x x ......................................................5分 (2)由二次函数,2)1(3222++=++=x x x y 该函数在1-=x 取得最小值2，因为,)1(2)11(2)1(2)(⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=x x m x m x x m x f 在1-=x 处取得最大值,2-m所以要使二次函数322++=x x y 与函数)(x f y =的图象恒有公共点， 只需,22≥-m 即.4≥m .............................................................................................10分。
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2023高考数学广东卷数列与级数历年真题及
答案
数列和级数是高考数学中的重要概念和考点。
通过解析历年真题，我们可以更好地理解和应用这些知识点。
以下是2023年广东高考数学卷中的数列与级数相关真题及其答案解析，希望能够帮助大家更好地复习和应对高考。
1. 题目
已知等差数列${a_n}$的前$n$项和为$S_n=\dfrac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$，且等差$d=2$。
已知$S_{10}=100$，求$a_1$。
解析：
根据已知条件，我们可以得到等差数列的前$n$项和的通项公式：\[S_n=\dfrac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]\]
将题目中给出的条件进行带入：
\[S_{10}=\dfrac{10}{2}[2a_1+(10-1)\cdot2]=100\]
化简得：
\[10(2a_1+18)=100\]
计算得：
\[2a_1+18=10\]
\[2a_1=-8\]
\[a_1=-4\]
因此，$a_1=-4$。
2. 题目
已知等差数列${a_n}$的前$n$项和为$S_n=\dfrac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]$，且等差$d=3$。
已知数列前$7$项的和$S_7=84$，求等差数列的公差$d$。
解析：
根据已知条件，我们可以得到等差数列的前$n$项和的通项公式：\[S_n=\dfrac{n}{2}[2a_1+(n-1)d]\]
将题目中给出的条件进行带入：
\[S_7=\dfrac{7}{2}[2a_1+(7-1)\cdot3]=84\]
化简得：
\[7(2a_1+18)=84\]
计算得：
\[2a_1+18=12\]
\[2a_1=-6\]
\[a_1=-3\]
由公式$d=a_{n+1}-a_n$，代入$a_1=-3$，$a_2=a_1+d$得：
\[d=a_2-a_1=(-3)-(-3)=0\]
因此，公差$d=0$。
通过以上两道题目的解析，我们对数列与级数的概念和应用有了更深入的理解。
在复习过程中，我们应注重掌握数列与级数的公式和性质，并通过解析历年真题来提升解题能力。
希望以上内容对大家备战2023高考数学有所帮助！。