初中数学中折叠问题
(完整版)初中数学折叠问题
第1题图第2题图G 第3题图第4题图第5题图第6题图折叠问题文稿（不含压轴题）1.如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 落在边BC 上的F 点处，如果∠BAF=60°，则∠DAE=___．2.如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG 的长．3.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°∠A<∠B ，CM 是斜边AB 的中线，将△ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于_ ____．4.如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，折痕交CD 于点E ，已知AB=8cm, BC=10cm ， 求EC 的长．5.如图，直角梯形ABCD 中，∠A=90°，将BC 边折叠，使点B 与点D 重合，折痕经过点C ，若AD=2，AB=4，求∠BCE 的正切值．6.如图，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，将点A 沿过DE 的直线拆叠． （1）说明点A 的对应点A ＇一定落在BC 上； （2）当A ＇在BC 中点处时，求证：AB=AC ．第7题图C'FEDABC7. 如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9cm ，宽AB=3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别是多少？8. 如图是面积为1的正方形ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 边上的中点，将点C 折至MN 上，落在点P 位置，折痕为BQ ，连结PQ ．（1）求MP 的长；（2）求证：以PQ 为边长的正方形面积等于13．9. 把矩形ABCD 对折，设折痕为MN ，再把B 点叠在折痕上，得到Rt △ABE ，延长EB 交AD 于点F ，若矩形的宽CD=4． （1）求证：△AEF 是等边三角形； （2）求△AEF 的面积．第8题图 第9题图xy第11题图E COAB PD10. 把矩形纸片OABC 放入直角坐标系xOy 中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y轴的正半轴上。
数学初中折叠问题解题技巧
数学初中折叠问题解题技巧
初中数学中的折叠问题是一种常见的问题类型，涉及到几何和代数等多个方面，具有一定的挑战性和趣味性。
下面是一些折叠问题的解题技巧:
1. 观察折叠过程，提取关键信息。
在折叠问题中，通常会涉及到两个或多个图形的折叠，需要观察折叠过程，并提取关键信息。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，关键信息可能是矩形的长和宽，或者是正方形的边长。
2. 利用几何图形的性质，进行推理和计算。
折叠问题通常涉及到几何图形的性质，例如面积、周长、角等。
在解决问题时，需要利用这些性质进行推理和计算。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，可以利用矩形的面积和周长推导出正方形的面积和周长，进而计算出折叠后的形状。
3. 利用代数知识，进行化简和求解。
折叠问题还可以利用代数知识进行化简和求解。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，可以利用矩形的面积和周长推导出正方形的面积和周长，并将它们用代数式表示出来。
然后，通过解方程组或代数式的方法求解答案。
4. 寻找规律，构建模型。
有些折叠问题可以通过寻找规律，构建模型来解决。
例如，在将一个正多边形折叠成平面图形的过程中，可以尝试利用正多边形的边数来构建模型。
通过模型，可以更好地理解和解决问题。
折叠问题是初中数学中的一种重要问题类型，需要学生掌握一定
的几何和代数知识，并学会利用这些知识进行推理和计算。
同时，学生还需要具备较强的逻辑思维能力和分析问题的能力，才能有效地解决折叠问题。
初中数学中有关图形的折叠问题
专题复习图形的折叠问题折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．类型1 三角形中的折叠问题1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【 】A ．150°B ．210°C ．105°D ．75°2.已知，如图,Rt △ABC 中,∠C=90º,沿过点B 的一条直线BE 折叠△ABC,使C 恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A=________.3．(2014·德阳)如图，△ABC 中，∠A ＝60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE 的度数为________．4.如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝________．5.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E 在边DC 上)，折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为(10，8)，则点E 的坐标为________． A D B EC6.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠CEF 的度数是 ．7.如图，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A′处，连接A′C ，则∠B ．8.如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得△ACB.若C(3/2，√3/2)，则该一次函数的解析式为________．9.如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE∶CF＝（ ）A.3/4B.4/5C.5/6D.6/7 10.如图，将△ABC 纸片的一角沿DE 向下翻折，使点A 落在BC 边上的A ′点处，且DE ∥BC ，下列结论：①∠AED ＝∠C ；②A 1D/DB=A 1E/EC ；③BC=2DE ；④ BD A E A C AD A E S S S ∆'∆''=+四形边。
初中数学折叠问题模型
初中数学折叠问题模型摘要：初中数学折叠问题模型I.引言A.折叠问题背景B.折叠问题在初中数学中的重要性C.本文的目的和结构II.折叠问题模型A.折叠问题的定义和分类B.折叠问题模型的建立C.折叠问题模型的应用III.折叠问题解决方法A.传统解法B.折叠问题模型的解法C.折叠问题模型的优势IV.折叠问题模型的教学应用A.折叠问题模型在教学中的作用B.折叠问题模型的教学策略C.教学案例分析V.总结与展望A.折叠问题模型的重要性B.折叠问题模型的未来发展方向C.总结正文：初中数学折叠问题模型I.引言折叠问题在初中数学中是一个常见的问题，它涉及到几何图形的折叠和展开，需要学生掌握一定的几何知识和空间想象能力。
折叠问题也常常出现在数学竞赛中，因此解决折叠问题对于提高学生的数学能力和竞赛成绩具有重要的意义。
本文旨在介绍初中数学折叠问题模型，帮助学生更好地理解和解决折叠问题。
II.折叠问题模型A.折叠问题的定义和分类折叠问题是指将一个平面图形沿着某一条轴线折叠，使得折叠后的图形与原来的图形重合，或者形成一个新的几何形状。
折叠问题可以分为两类：完全重合型和部分重合型。
完全重合型是指折叠后的图形与原来的图形完全重合，而部分重合型是指折叠后的图形与原来的图形只有部分重合。
B.折叠问题模型的建立折叠问题模型是指通过建立几何图形的折叠和展开关系，来解决折叠问题的方法。
在折叠问题模型中，我们需要确定折叠轴线、折叠前后图形的对应关系以及折叠后的图形形状。
C.折叠问题模型的应用折叠问题模型可以用于解决各种折叠问题，包括完全重合型和部分重合型折叠问题。
通过建立折叠问题模型，学生可以更好地理解折叠问题的本质，从而更有效地解决折叠问题。
III.折叠问题解决方法A.传统解法传统的折叠问题解决方法通常是通过手工绘制图形，然后利用几何知识和空间想象能力来解决。
这种方法费时费力，而且容易出错。
B.折叠问题模型的解法折叠问题模型提供了一种更加简便和准确的解决折叠问题的方法。
数学折叠问题初一
数学折叠问题初一数学折叠问题是一种典型的几何问题，它涉及到图形在空间中的变换和计算。
在初中阶段，数学折叠问题不仅能帮助学生巩固几何知识，还能提高他们的空间想象力和逻辑思维能力。
本文将从数学折叠问题的概念、应用场景、解决方法以及在初中的教学意义等方面进行详细阐述。
一、数学折叠问题的概念与基本原理数学折叠问题是指在平面或空间几何中，通过对一个图形进行折叠，使其变为另一个图形的问题。
在这个过程中，图形的形状、大小和位置可能会发生变化。
解决数学折叠问题需要掌握图形的折叠原理，了解图形的各个部分之间的关系。
二、数学折叠问题的应用场景数学折叠问题在日常生活和学术研究中具有广泛的应用。
例如，在建筑、设计和制造领域，数学折叠问题可以帮助我们更好地理解和分析空间结构；在数学和物理研究中，数学折叠问题有助于探究图形的变换和性质。
三、解决数学折叠问题的方法与技巧解决数学折叠问题有以下几种方法：1.观察法：通过观察图形的特征，找到图形之间的联系和规律。
2.折叠法：将图形按照折叠线进行折叠，分析折叠前后的图形关系。
3.方程法：建立数学模型，利用方程求解图形折叠问题。
4.几何变换法：利用平移、旋转等几何变换，将问题转化为已知图形的性质。
四、数学折叠问题在初中的教学意义数学折叠问题在初中阶段的教学具有重要意义。
通过解决数学折叠问题，学生可以：1.加深对几何图形的理解和掌握；2.提高空间想象力和逻辑思维能力；3.培养观察、分析和解决问题的能力；4.巩固和拓展数学知识，为高中阶段的学习打下基础。
五、提高初中生数学折叠问题能力的建议1.多做练习：通过大量练习，熟练掌握数学折叠问题的解题技巧；2.培养空间想象力：通过观察和折叠实物，提高空间想象力；3.学会分类和归纳：将数学折叠问题进行分类，总结规律；4.及时请教老师：在遇到难题时，及时向老师请教，确保掌握数学折叠问题的解题方法。
初中几何折叠问题的三种解法
初中几何折叠问题的三种解法初中几何折叠问题的三种解法初中几何是数学中的一个重要分支，而折叠问题则是初中几何中常见的一种问题。
在这里，我们将介绍三种不同的方法来解决初中几何折叠问题。
方法一：手工模拟法手工模拟法是一种简单直观的方法。
它通过将纸张折叠成所需形状来解决问题。
步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。
2. 将纸张按照比例剪成相应大小。
3. 按照题目要求，将纸张进行折叠，直到得到所需形状。
4. 计算所需参数并得出答案。
优点：手工模拟法操作简单易懂，适合初学者使用。
同时也能够帮助学生更好地理解折叠问题的本质。
缺点：手工模拟法需要较长时间完成，并且需要精确测量和折叠。
同时也容易出现误差和偏差。
方法二：平面几何法平面几何法是一种基于平面几何知识来解决问题的方法。
它通过利用图形相似性和对称性来计算所需参数。
步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。
2. 根据平面几何知识，计算所需参数，如角度、长度等。
3. 得出答案。
优点：平面几何法具有计算速度快、精度高等特点。
同时也能够帮助学生更好地理解平面几何知识的应用。
缺点：平面几何法需要学生具备一定的数学基础，并且需要对图形相似性和对称性有深入理解。
同时也容易出现计算错误和漏算情况。
方法三：三维几何法三维几何法是一种基于立体几何知识来解决问题的方法。
它通过利用立体图形的投影和相似性来计算所需参数。
步骤：1. 根据题目给出的图形，画出所需大小和比例的图形。
2. 利用三维几何知识，将立体图形投影到二维平面上，并计算所需参数，如角度、长度等。
3. 得出答案。
优点：三维几何法具有计算速度快、精度高等特点。
同时也能够帮助学生更好地理解立体几何知识的应用。
缺点：三维几何法需要学生具备一定的数学基础，并且需要对立体图形的投影和相似性有深入理解。
同时也容易出现计算错误和漏算情况。
结论：初中几何折叠问题可以通过多种方法来解决，其中手工模拟法、平面几何法和三维几何法是常见的三种方法。
浅谈初中数学中的折叠问题
浅谈初中数学中的折叠问题王华榆林实验中学陕西榆林719000在初中数学中，折叠问题将图形的变换与学生的实际操作能力紧密联系起来。
在折叠过程中，通过观察图形中的变与不变，灵活应用平面图形的基本性质及定理解决问题。
在变化过程中使学生初步体会了数学的动态美，同时提高了学生的观察能力、空间想象能力及动手能力。
归纳起来，折叠问题有如下几类题型：一、折叠问题中涉及的探索规律问题。
例：（如图1）将一张长方形纸对折可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，连续对折六次能得到几条折痕，n次有几条折痕？图1分析：在这个折叠问题中对折方式不变，变化的是随着对折次数的增加折痕有规律的增加，情况如下表所以对折6次能得到63条折痕，对折n次可得到( 2n-1 )条折痕。
二、折叠中发现图形的基本性质。
1、（如图2）等腰三角形△ABC中,AB=BC,折叠使AB与AC重合,折痕为AD。
则折痕AD集“三线合一”于一身，即：底边BC上的中线、高线和顶角∠BAC的平分线。
（图2）2、（如图3）正方形ABCD经过两次沿对角线折叠，可确定正方形的中心，同时将正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
D C（图3）3、（如图4）圆形纸片通过两次对折，可确定圆形纸片的圆心，折痕就是圆的直径。
DC B（图4）三.利用图形全等的性质解决折叠问题.例1、（如图5）三角形纸片△ABC中，∠A=65o , ∠B=75o，把纸片的一角折叠, 使点C落在△ABC内, 若∠C′DB=20o ,求∠C′EA的度数？BA E C（图5）分析：由三角形内角和为180o ，∠A+∠B+∠C=180o∠C=180o -（∠A+∠B）=40o因为折叠前后△C′ED≌△C ED，所以∠C′=40o由四边形AEDB内角和得：∠A+∠B+∠C′EA+∠C′ED+∠C′DE+∠C′DB=360o得：∠C′EA=60o例2. 一张长方形的纸片按（如图6）方式折叠，EM，FM为折痕，折痕后的点C落在M B′或M B′的延长线上，那么∠EMF的度数是多少？B M C（图6）分析：∠EMF=∠EM B′+∠FMC′因为在折叠过程中△EBM≌△E B′M ，四边形CDFM与C′D′FM全等。
初中数学折叠问题模型
初中数学折叠问题模型摘要：I.引言A.概述折叠问题在初中数学中的重要性B.介绍折叠问题的基本概念II.折叠问题的类型A.基本折叠问题B.复杂折叠问题C.组合折叠问题III.折叠问题的解题方法A.基本折叠问题的解题方法1.图形折叠2.计算折叠后的面积和周长B.复杂折叠问题的解题方法1.分析折叠过程2.确定折叠前后的关系3.应用几何知识计算C.组合折叠问题的解题方法1.分解折叠问题2.分别解决各个子问题3.组合答案IV.折叠问题在实际生活中的应用A.解释折叠问题在实际生活中的例子B.强调折叠问题解决能力的重要性V.结论A.总结折叠问题的解题技巧B.提出进一步学习的建议正文：折叠问题在初中数学中占有重要的地位，是几何学中的一个基本概念。
折叠问题主要涉及到图形的折叠，需要运用几何知识和计算技巧来解决。
本文将详细介绍初中数学折叠问题的类型、解题方法及其在实际生活中的应用。
折叠问题可以分为基本折叠问题、复杂折叠问题和组合折叠问题。
基本折叠问题是指简单的图形折叠，例如将一个矩形折叠成一半，求折叠后的面积和周长。
复杂折叠问题则涉及到多个图形的折叠，需要分析折叠过程和确定折叠前后的关系。
组合折叠问题则是将多个折叠问题组合在一起，需要分解问题并分别解决各个子问题。
解决折叠问题的方法有多种，但最基本的是图形折叠和计算。
对于基本折叠问题，我们可以直接将图形折叠，然后计算折叠后的面积和周长。
对于复杂折叠问题，我们需要分析折叠过程，确定折叠前后的关系，然后应用几何知识进行计算。
对于组合折叠问题，我们可以先分解问题，然后分别解决各个子问题，最后组合答案。
折叠问题不仅在数学中占有重要地位，而且在实际生活中也有广泛的应用。
例如，纸张折叠成各种形状，建筑物的折叠结构等等。
这些例子都说明了折叠问题解决能力的重要性。
总之，折叠问题是初中数学中的一个重要概念，需要我们掌握其类型、解题方法和实际应用。
七年级折叠问题知识点梳理
七年级折叠问题知识点梳理折叠问题是数学中的一种经典问题，也是考察对数学知识的理解和实际应用能力的重要领域。
在初中数学中，折叠问题也是一个重要的知识点，需要深入理解和掌握。
本文将对七年级折叠问题知识点进行梳理和整理，以帮助同学们更好地掌握这一知识点，从而在考试中取得更好的成绩。
一、基本概念折叠问题是指在平面图形上切割一条或数条线，然后将剩余部分按照指定的顺序进行折叠，并寻求可能出现的图形形态。
常出现的几何图形包括三角形、正方形、长方形等。
二、折叠的基本操作1. 折叠轴：指在平面图形上折叠的参考线，通常为直线。
2. 对称轴：指原图形和折叠后图形的对称轴，它们的交点处是折叠轴。
3. 折线：指从折叠轴起到图形边缘的折叠线段。
4. 折叠方向：指折叠时图形所向的方向，可以是向上、向下、向左或向右。
5. 折痕：指在图形上产生的折叠痕迹。
三、折叠问题的解题方法在解决折叠问题时，首先要对给定图形和折叠过程进行分析，然后选择合适的方法进行求解，一般有以下几种方法：1. 利用对称性：可以利用图形对称性进行折叠，其中对称轴可以作为折叠轴，而对称轴两侧的部分可以通过折叠得到图形的其他部分。
2. 利用折线的特性：根据折线的特性可以确定图形的边长和角度，从而得到图形的面积和形状。
3. 综合使用多种方法：在解决较为复杂的折叠问题时，可以综合使用多种方法，包括对称性、折线特性、面积等多个方面，灵活应用不同的方法。
四、折叠问题的实际应用折叠问题在实际生活中也有广泛的应用，例如在制作纸质建筑模型时，需要根据图纸进行折叠，从而得到复杂的建筑结构；在设计3D打印模型时，需要将平面图形折叠成三维立体模型，从而进行后续加工等。
总之，折叠问题是数学中非常重要的一个知识点，需要同学们用心理解和掌握，善于运用不同的方法解决问题，在实际应用中也能够得心应手。
希望本文对七年级学生们的学习有所帮助，祝愿大家在数学学习中取得更好的成绩。
初中折叠问题题型
初中数学中常见的折叠问题题型有以下几种：
折纸问题：给定一张矩形纸，将其沿着某些折痕折叠，问最后得到的图形是什么。
这类问题涉及到几何图形的变形和对称性质，需要掌握基本的折叠技巧和对称关系。
线段折叠问题：给定一条线段，将其沿着某些点折叠成一些角度，然后问折叠后的图形是什么。
这类问题涉及到三角函数和几何图形的变形，需要掌握基本的三角函数知识和折叠技巧。
立体图形折叠问题：给定一个立体图形的展开图，将其折叠成一个实体立体图形，然后问最终得到的图形是什么。
这类问题涉及到几何图形的空间变形和对称性质，需要掌握立体几何的基本概念和折叠技巧。
以上是初中数学中常见的折叠问题题型，需要注意的是，这些问题不仅考察计算能力，还要求学生具备一定的几何直观和空间想象能力。
自学初中数学资料 折叠问题 图形的翻折、轴对称(资料附答案)
自学资料一、图形的翻折、轴对称【知识探索】1．如果把一个图形沿某一条直线翻折，能与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点．【说明】（1）两个图形关于一条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变；（2）在成轴对称的两个图形中，分别联结两对对应点，取中点，联结两个中点所得的直线就是对称轴．2．把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．【错题精练】第1页共26页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训第2页 共26页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训例1．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP ，连接B′A ，则下列判断：①当AP=BP 时，AB′∥CP ；②当AP=BP 时，∠B′PC=2∠B′AC③当CP ⊥AB 时，AP=175；④B′A 长度的最小值是1．其中正确的判断是______ （填入正确结论的序号）【解答】解：①∵在△ABC 中，∠ACB=90°，AP=BP ，∴AP=BP=CP ，∠BPC=12（180°-∠APB′），由折叠的性质可得：CP=B′P ，∠CPB′=∠BPC=12（180°-∠APB′），∴AP=B′P ，∴∠AB′P=∠B′AP=12（180°-∠APB′），∴∠AB′P=∠CPB′，∴AB′∥CP ；故①正确；②∵AP=BP ，∴PA=PB′=PC=PB ，∴点A ，B′，C ，B 在以P 为圆心，PA 长为半径的圆上，∵由折叠的性质可得：BC=B′C ， ∴BC ̂=B′C ̂，∴∠B′PC=2∠B′AC ；故②正确；③当CP ⊥AB 时，∠APC=∠ACB ，∵∠PAC=∠CAB ，∴△ACP ∽△ABC ，∴APAC =ACAB ，∵在Rt △ABC 中，由勾股定理可知：AC=√AB 2−BC 2=√52−32=4，∴AP=AC 2AB =165；故③错误；④由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，∵CB′长度固定不变，∵AB'≥AC-CB'∴AB′的长度有最小值．AB′有最小值=AC-B′C=4-3=1．故④正确．故答案为：①②④．【答案】①②④例2．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．现给出以下四个命题（1）∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长不发生变化；（3）∠PBH=45°；（4）BP=BH．其中正确的命题是______．【解答】（1）证明：如图1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．即∠PBC=∠BPH．又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC．∴∠APB=∠BPH．故（1）正确；（2））△PHD的周长不变为定值8．第3页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第4页 共26页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训证明：如图2，过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q ．由（1）知∠APB=∠BPH ，在△ABP 和△QBP 中，{∠APB =∠BPH∠A =∠BQP BP =BP∴△ABP ≌△QBP （AAS ）．∴AP=QP ，AB=BQ ．又∵AB=BC ，∴BC=BQ ．又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH ，∴△BCH ≌△BQH ．∴CH=QH ．∴△PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．故（2）正确；（3）解：∵△ABP ≌△QBP （AAS ）、△BCH ≌△BQH ．∴∠QBH=∠HBC ，∠ABP=∠PBQ ，∴∠PBH=∠PBQ+∠QBH=12∠ABC=45°．故（3）正确；（4）解：∵∠PBH=45°固定不变，∴当点P 在AD 上移动时，∠BPH 的度数不断发生变化，∴∠BPH 的度数与∠BHP 不一定相等，故BP 与BH 不一定相等．故答案为：（1）（2）（3）．【答案】（1）（2）（3）例3．如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A′点，D 点的对称点为D′点，若∠FPG ＝90°，△A′EP 的面积为4，△D′PH 的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于【答案】例4．如图，在菱形紙片ABCD中，AB=2．将纸片折叠，使点B落在AD边上的点B′处（不与A，D重合），点C落在C′处，线段B′C′与直线CD交于点G，折痕为EF，则下列说法①若∠A=90，B′为AD中点时，AE=34②若∠A=60°，B′为AD中点时，点E恰好是AB的中点③若∠A=60°，C′F⊥CD时，CFFD =√3−12其中正确的是（）第5页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训第6页 共26页 自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌 非学科培训A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【解答】解：①∵∠A=90°，四边形ABCD 是菱形，∴四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，∵B′为AD 中点时，∴AB'=1，设AE=x ，则B'E=BE=2-x ，在Rt △AB'E 中，由勾股定理得：12+x 2=（2-x ）2，解得：x=34，①正确； ②连接BD 、BE'，如图：∵∠A=60°，AB=AD ，∴△ABD 是等边三角形，∴∠ABD=60°，∵B′为AD 中点，∴∠AB'B=90°，∠ABB'=30°∵BE=B'E ，∴∠BB'E=∠ABB'=30°，∴∠AB'E=60°，∴△AB'E 是等边三角形，∴AE=B'E=BE ，∴点E 是AB 的中点，②正确；③设CF=x ，由折叠的性质得：C'F=CF=x ，∠C'=∠C=∠A=60°，∵C′F ⊥CD ，∴∠C'GF=30°，∴C'G=2C'F=2x ，GF=√3C'F=√3x ，∴DG=CD-GF-CF=2-√3x-x ，∵∠D=180°-∠A=120°，∠DGB'=∠C'GF=30°，∴∠DB'G=30°，∴DB'=DG ，设BD 交B'C'于H ，则B'H=GH=12B'G=12（2-2x ）=1-x ，∴DG=2（1−x ）√3，∴2（1−x ）√3=2-√3x-x ， 解得：x=4-2√3，∴CF=4-2√3，FD=2-（4-2√3）=2√3-2，∴CF FD =√3−12，③正确； 故选：D ．【答案】D例5．如图，以半圆的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若AD＝4，BD=8，则CB的长为__________【解答】第7页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】例6．如图，矩形ABCD中，BC=3，且BC＞AB，E为AB边上任意一点（不与A，B重合），设BE=t，将△BCE沿CE对折，得到△FCE，延长EF交CD的延长线于点G，则tan∠CGE= （用含t的代数式表示）．【解答】解：如图连接BF交EC于O，作EM⊥CD于M，∵∠EMC=∠EBC=∠BCM=90°，∴四边形EBCM是矩形，∴CM=EB=t，EM=BC=3，在RT△EBC中，∵EB=t，BC=3，∴EC=√t2+32=√t2+9，∵EB=EF，CB=CF，∴EC垂直平分BF，∵12•EC•BO=12•EB•BC，∴BO=3t√t2+9，BF=2BO=6t√t2+9∵∠AEF+∠BEF=180°，∠BEF+∠BCF=180°，∴∠AEF=∠BCF，∵AB∥CD，∴∠BEC=∠ECG=∠CEF，∠AEF=∠G=∠BCF ∴GE=GC，∴∠GCE=∠GEC=∠CFB=∠CBF，∴△CBF∽△GCE，∴GCBC =ECBF，第8页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴GC=t 2+92t，GM=GC-CM=9−t22t，∴tan∠CGE=EMGM =6t9−t2．故答案为6t9−t2．【答案】6t9−t2例7．阅读下面材料：在学习小组活动中，小明探究了下面问题：菱形纸片ABCD的边长为2，折叠菱形纸片，将B、D两点重合在对角线BD上的同一点处，折痕分别为EF、GH．当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长的变化情况是怎样的？小明发现：若∠ABC=60°，①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，六边形AEFCHG的周长为______；②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，六边形AEFCHG的周长______（填“改变”或“不变”）．请帮助小明解决下面问题：如果菱形纸片ABCD边长仍为2，改变∠ABC的大小，折痕EF的长为m．（1）如图3，若∠ABC=120°，则六边形AEFCHG的周长为______；（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，则六边形AEFCHG的周长可表示为______．【解答】解：①如图1，当重合点在菱形的对称中心O处时，由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．∴六边形AEFCHG的周长为6；②如图2，当重合点在对角线BD上移动时，由题意可知△BEF和△DGH是等边三角形，∴EF+AE+AG+GH+CH+CF=BE+AE+AG+GD+DH+CH=2+2+2=6．∴六边形AEFCHG的周长为6．故六边形AEFCHG的周长不变．（1）如图3，若∠ABC=120°，由题意可知EF+GH=AC，则六边形AEFCHG的周长为2×2+2×sin60°×2=4+2√3；（2）如图4，若∠ABC的大小为2α，由题意可知EF+GH=AC，则六边形AEFCHG的周长可表示为2×2+2×sinα×2=4+4sinα．故答案为：①6；②不变．（1）4+2√3；（2）4+4sinα．第9页共26页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】6不变4+2√34+4sinα例8．已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处．（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；（2）求sin∠DAB1的值；（3）如果题设中“BE=2CE”改为“BECE=x”，其它条件都不变，试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．【解答】（1）解：∵AB∥DF，∴ABCF =BECE，∵BE=2CE，AB=3，∴3CF =2CECE，∴CF=32；（2）解：①若点E在线段BC上，如图1，设直线AB1与DC相交于点M．由题意翻折得：∠1=∠2．∵AB∥DF，∴∠1=∠F，∴∠2=∠F，∴AM=MF．设DM=x，则CM=3−x．又∵CF=1.5，∴AM=MF=92−x，在Rt△ADM中，AD2+DM2=AM2，∴32+x2=(92−x)2，∴x=54，∴DM=54，AM=134，第10页共26页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴sin∠DAB1=DMAM =513；②若点E在边BC的延长线上，如图2，设直线AB1与CD延长线相交于点N．同理可得：AN=NF．∵BE=2CE，∴BC=CE=AD．∵AD∥BE，∴ADCE =DFFC，∴DF=FC=32，设DN=x，则AN=NF=x+32．在Rt△ADN中，AD2+DN2=AN2，∴32+x2=(x+32)2，∴x=94．∴DN=94，AN=154sin∠DAB1=DNAN=35；（3）解：若点E在线段BC上，y=9x2x+2，定义域为x>0；若点E在边BC的延长线上，y=9x−92x，定义域为x>1．【答案】（1）32；（2）①513，②35；（3）略．【举一反三】1．如图，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，E是AB的中点，F是AC边上一个，综上所述，EF的长为72或143．72或1432．如图，在菱形纸片ABCD中，AB=4，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE=______，EF=______．【解答】解：如图过点E作EH⊥AD于H，EN⊥AB于N，过点A作AM⊥CD于M∵ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD=AB=CD=AB=4∴∠ADM=∠BAD=∠HDE=60°∵E是CD中点∴DE=2在Rt△DHE，中，DE=2，HE⊥DH，∠HDE=60°∴DH=1，HE=√3∵折叠∴AG=GE，AF=EF在Rt△HGE中，GE2=GH2+HE 2∴GE2=（4-GE+1）2+3∴GE=2.8在Rt△AMD中，AD=4，AM⊥DM，∠ADM=60°∴MD=2，AM=2√3∵AB∥CD，AM∥EN∴AMEN是平行四边形且AM⊥CD∴AMEN是矩形∴AN=ME=2+2=4，（即N与B重合）AM=EN=2√3在Rt△FBE中，EF2=EN2+FB 2EF2=（4-EF）2+12EF=3.5【答案】2.83.53．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=______．【解答】解：设AD=x，则AB=x+2，∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，∴四边形AEFD为正方形，∴AE=AD=x，∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，∴DH=DC=x+2，∵HE=1，∴AH=AE-HE=x-1，在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，∴x2+（x-1）2=（x+2）2，整理得x2-6x-3=0，解得x1=3+2√3，x2=3-2√3（舍去），即AD的长为3+2√3．故答案为3+2√3．【答案】3+2√34．小明尝试着将矩形纸片 ABCD （如图①， AD＞CD ）沿过 A 点的直线折叠，使得 B 点落在 AD 边上的点 F 处，折痕为 AE （如图②）；再沿过 D 点的直线折叠，使得 C 点落在 DA 边上的点 N 处， E 点落在 AE 边上的点 M 处，折痕为 DG （如图③）．如果第二次折叠后， M 点正好在 ∠ NDG 的平分线上，那么矩形 ABCD 长与宽的比值为．【答案】√2：1 ．5．如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连接OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O 的半径长为1，则下列结论不成立的是（）A. CG=1B. 矩形ABCD的面积为6+4√3C. ∠ACB=30°D. AF=2√3【解答】解：如图，设⊙O 与BC 的切点为M ，连接MO 并延长MO 交AD 于点N ，∵将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，使点D 与点O 重合，折痕为FG ，∴OG=DG ，∵OG ⊥DG ，∴∠MGO+∠DGC=90°，∵∠MOG+∠MGO=90°，∴∠MOG=∠DGC ，在△OMG 和△GCD 中，{∠OMG =∠DCG =90°∠MOG =∠DGC OG =DG，∴△OMG ≌△GCD ，∴OM=GC=1，CD=GM=BC-BM-GC=BC-2．故A 正确，∵AB=CD ，∴BC-AB=2．设AB=a ，BC=b ，AC=c ，⊙O 的半径为r ，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆可得r=12（a+b-c ），∴c=a+b-2．在Rt △ABC 中，由勾股定理可得a 2+b 2=（a+b-2）2，整理得2ab-4a-4b+4=0，又∵BC-AB=2即b=2+a ，代入可得2a （2+a ）-4a-4（2+a ）+4=0，解得a 1=1+√3，a 2=1-√3（舍去），∴a=1+√3，b=3+√3，∴S 矩形ABCD =AB•BC=6+4√3，故B 正确，∴tan ∠ACB=AB BC =√33，∴∠ACB=30°，故C 正确，再设DF=x ，在Rt △ONF 中，FN=3+√3-1-x ，OF=x ，ON=1+√3-1=√3，由勾股定理可得（2+√3-x ）2+（√3）2=x 2，解得x=4-√3，∴AF=AD-DF=2√3-1，故D 错误，故选：D ．【答案】D6．如图，在⊙O 中，将AB̂沿弦AB 翻折交半径AO 的延长线于点D ，延长BD 交⊙O 于点C ，AC 切ADB ̂所在的圆于点A ，则tan ∠C 的值是（ ）A. √3B. 43C. 2+√3D. 1+√2【解答】解：作点D关于AB的对称点H，连接AH，BH，CH．根据对称性可知，ADB̂所在圆的圆心在直线AH上，∵AC切ADB̂所在的圆于点A，∴AC⊥AH，∴∠CAH=90°，∴CH是⊙O的直径，∴∠CBH=90°，∴∠ABD=∠ABH=45°，∴∠AHC=∠ABC=45°，∴∠ACH=∠AHC=45°，∴AC=AH，∵OC=OH，∴AD垂直平分线段CH，∴DC=DH，∴∠DCH=∠DHC，∵BD=BH，∴∠BDH=∠BHD=45°，∵∠BDH=∠DCH+∠DHC，∴∠DCH=22.5°，∴∠ACD=∠CHB=67.5°，设BD=BH=a，则CD=DH=√2a，∴tan∠ACB=tan∠CHB=BCBH =a+√2aa=1+√2，故选：D．【答案】D7．半径为2的圆弧形纸片按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是______．【解答】解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=1，在Rt△AOC中，∵OA=2，OC=1，∴cos∠AOC=OCOA =12，AC=√OA2−OC2=√3∴∠AOC=60°，AB=2AC=2√3，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则S弓形ABM=S扇形OAB-S△AOB=120π×22360-12×2√3×1=4π3-√3，S阴影=S半圆-2S弓形ABM=1 2π×22-2（4π3-√3）=2√3−23π．故答案为：2√3−23π．【答案】2√3−23π8．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的C1处，点D落在点D1处，C1D1交线段AE于点G．（1）求证：△BC1F∽△AGC1；（2）若C1是AB的中点，AB=6，BC=9，求AG的长．1．如图，在四边形纸片ABCD中，AB=BC，AD=CD，∠A=∠C=90°，∠B=150°，将纸片先沿直线BD 对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，则BC= ．【解答】解：如图1所示：作AE∥BC，延长AE交CD于点N，过点B作BT⊥EC于点T，当四边形ABCE为平行四边形，∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，BC∥AN，∴∠ADC=30°，∠BAN=∠BCE=30°，则∠NAD=60°，∴∠AND=90°，∵四边形ABCE面积为2，∴设BT=x，则BC=EC=2x，故2x×x=2，解得：x=1（负数舍去），故BC=2；如图2，当四边形BEDF是平行四边形，∵BE=BF，∴平行四边形BEDF是菱形，∵∠A=∠C=90°，∠B=150°，∴∠ADB=∠BDC=15°，∵BE=DE，∴∠AEB=30°，∴设AB=y，则BE=2y，∵四边形BEDF面积为2，∴AB×DE=2y2=2，解得：y=1，故BC=1，综上所述：BC=2或1．故答案为：2或1．【答案】2或1̂沿BD翻折，点C的对称点C′恰好落在AB 2．如图，已知半圆的内接四边形ABCD，AB是直径，DCB上．若AC′=4，C′B=5，则BD的长是（）A. 4√3B. 3√7C. 7D. 8【解答】解：作DE⊥AB于E，连接DC′，由折叠的性质可知，CD=C′D，∠CBD=∠C′BD，∴DA=DC，∴AD=C′D，又DE⊥AB，∴AE=EC′=2，∴EB=7，由射影定理得，DE2=AE•EB=14，在Rt△DEB中，BD2=DE2+BE2=63，∴BD=3√7，故选：B．【答案】B3．如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③与∠AGB相等的角有5个；④S△FGC=910．其中正确的是（）A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④【解答】解：∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，∴DE=13×3=1，CE=3-1=2，∵△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°，∴AB=AF=AD，在Rt△ABG和Rt△AFG中，{AG=AGAB=AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴BG=FG，设BG=FG=x，则EG=EF+FG=1+x，CG=3-x，在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2，即（1+x）2=（3-x）2+22，解得，x=32，∴CG=3-32=3 2，∴BG=CG=32，即点G是BC中点，故①正确；∵tan∠AGB=ABBG =332=2，∴∠AGB≠60°，∴∠CGF≠180°-60°×2≠60°，又∵BG=CG=FG，∴△CGF不是等边三角形，∴FG≠FC，故②错误；由（1）知Rt △ABG ≌Rt △AFG ，∴∠AGB=∠AGF=12∠BGF ，根据三角形的外角性质，∠GCF+∠GFC=∠AGB+∠AGF ，∴∠GCF=∠GFC=∠AGB ，∵AD ∥BC ，∴∠AGB=∠GAD ，∴与∠AGB 相等的角有4个，故③错误；△CGE 的面积=12CG•CE=12×32×2=32， ∵EF ：FG=1：32=2：3，∴S △FGC =32+3×32=910，故④正确； 综上所述，正确的结论有①④．故选：C ．【答案】C4．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=5，点P 在线段BC 上运动，现将纸片折叠，使点A 与点P 重合，得折痕EF （点E 、F 为折痕与矩形边的交点），设BP=x ，当点E 落在线段AB 上，点F 落在线段AD 上时，x 的取值范围是______．【解答】解：如图；①当F 、D 重合时，BP 的值最小；根据折叠的性质知：AF=PF=5；在Rt △PFC 中，PF=5，FC=2，则PC=√21；∴BP 的最小值为5-√21；②当E 、B 重合时，BP 的值最大；由折叠的性质可得AB=BP=2，即BP的最大值为2．所以x的取值范围是5-√21≤x≤2．故答案为：5-√21≤x≤2．【答案】5-√21≤x≤25．如图，现有边长为5的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF连结BP，BH．当AP=2时，PH=______．【解答】解：设AE=x，则BE=5-x．由翻折的性质可知：BE=PE=x，∠APG=∠ABC=90°．∴∠APE+∠DPH=90°．∵∠AEP+∠APE=90°，∴∠AEP=∠DPH．又∵∠A=∠D=90°，∴△APE∽△DHP．在Rt△APE中，PE2=AE2+AP2，即（5-x）2=x2+22，解得x=2.1．则PE=5-2.1=2.9．∵△APE∽△DHP，∴EPPH =AEPD，即2.9PH=2.13，解得：PH=297．故答案为：297．【答案】2976．如图，矩形纸片ABCD中，AD=15cm，AB=10cm，点P、Q分别为AB、CD的中点，E、G分别为BC、PQ上的点，将这张纸片沿AE折叠，使点B与点G重合，则△AGE的外接圆的面积为______．【解答】解：由翻折的性质得，AG=AB，∠GAE=∠BAE，∵点P、Q分别为AB、CD的中点，∴AP=12AB，∴AP=12AG，∴∠AGP=30°，∴∠PAG=90°-∠AGP=90°-30°=60°，∴∠BAE=12∠PAG=12×60°=30°，在Rt△ABE中，AE=AB÷cos30°=10÷√32=20√33cm，∴△AGE的外接圆的面积=π（AE2）2=π（12×20√33）2=1003πcm2．故答案为：1003πcm2．【答案】1003πcm27．如图，矩形ABCD中，AD=10，AB=8，点E为边DC上一动点，连接AE，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为______．【解答】解：∵△ADE沿AE折叠，使点D落在点D′处，∴DE=D′E，AD=AD′=10，当∠DD′C=90°时，如图1，∵DE=D′E，∴∠1=∠2，∵∠1+∠4=90°，∠2+∠3=90°，∴∠3=∠4，∴ED′=EC，CD=4；∴DE=EC=12当∠DCD′=90°时，则点D′落在BC上，如图2，设DE=x，则ED′=x，CE=8-x，∵AD′=AD=10，∴在Rt△ABD′中，BD′=√102−82=6，∴CD′=4，在Rt△CED′中，（8-x）2+42=x2，解得x=5，即DE的长为5，综上所述，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为4或5．故答案为4或5．【答案】4或5。
初中数学：折叠问题
折叠模型1、全等1.1边相等1.如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°△，将ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN 的长为．2.如图，把矩形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD＝6，则AF＝．3.如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB=6，BC=4√6，则FD的长为．4.折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①△把ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③△把CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝．5.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，E是边AD上的一个动点，将△ABE沿BE进行折叠，点A的对应点为A′．若点A′刚好落在线段CD的垂直平分线上，连接AA′，则DE的长为()A．2√3B．4√3C．10﹣2√3D．6﹣4√36.如图，正方形纸片ABCD边长为6，点E，F分别是AB，CD的中点，点G，H分别在AD，AB上，将纸片沿直线GH对折，当顶点A与线段EF的三等分点重合时，AH的长为．7.如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O．(1)判断四边形BFDG的形状，并说明理由；(2)若AB=3，AD=4，求FG的长．8.如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与DC相交于G点，且OE＝OD．(1)求证：AP＝DG；(2)求AP的长度．，将BCE沿CE对折，9.如图，矩形ABCD中，BC＝3，且BC＞AB，E为AB边上任意一点(不与A，B重合)，设BE＝t△△得到FCE，延长EF交CD的延长线于点G，则tan∠CGE＝(用含t的代数式表示)．，将CBE沿CE对折，得到△CGE，延长EG交10.如图，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，连接CE、DF△CD的延长线于点H，求HG的值．HC11.如图，正方形ABCD中，点E在边CD上，将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长EF交边BC于点G，若点E是CD中点，则BG：CG＝．12.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24，tanC＝2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为()A．13B．15C．27D．122213.在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定点P、Q分别在线段AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为()A．1B．2C．3D．414.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE=3a．连接AE△，将ABE沿AE折叠，若点B的对应5点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为．1.2角相等15.如图，AB＝AD，点B关于AC的对称点E恰好落在CD上．若∠BAD＝a(0°＜a＜180°)，则∠ACB的度数为()A．45°B．a﹣45°C．1a2D．90°−1a216.如图，AD△是ABC的中线，∠ADC＝45°△，把ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置，如果BC＝2，那么线段BE的长度为．17.如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD＝∠ABC＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝°．18.如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点B落在CD边上的点F处，如果∠EFC＝65°，那么∠BAE＝°．19.将一张矩形纸片ABCD沿直线EF折成如图所示的形状，若∠HED＝50°，则∠EFG＝．20.如图，矩形ABCD，∠DAC＝65°，点E是CD上一点，BE交AC于点F△，将BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′等于()A．25°B．30°C．35°D．40°21.如图(1)，将三角形纸片ABC沿DE折叠．(1)如图(2)，点A落在四边形BCDE内部，∠A、∠1、∠2之间有怎样的数量关系？(2)如图(3)，点A落在四边形BCDE外部，∠A、∠1、∠2之间又有怎样的数量关系？直接写出结论，不用说明理由．22.如图(1)所示为长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图(2)，再沿BF折叠成图(3)，继续沿EF折叠成图(4)，按此操作，最后一次折叠后恰好完全盖住∠EFG；整个过程共折叠了9次，问图(1)中∠DEF的度数是．2、垂直平分23.如图，AD△是ABC的中线，∠ACD＝90°△，把ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置，AC＝3，DC＝4，那么线段BE的长度为．24.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝．25.如图，正方形ABCD中，AB＝6，E是CD的中点，将△ADE沿AE翻折至△AFE，连接CF，则CF的长度是．3、折叠得角分线26.如图，将平行四边形ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是()A．AF＝EF B．AB＝EF C．AE＝AF D．AF＝BE27.平行四边形ABCD的边CD上有一点E点，将平行四边形沿AE翻折D点恰好落在边AB上，CB=5，则DE长度为多少？28.(1)如图1，将一矩形纸片ABCD沿着EF折叠，CE交AF于点G，过点G作GH∥EF，交线段BE于点H．①判断EG与EH是否相等，并说明理由．②判断GH是否平分∠AGE，并说明理由．(2)如图2，如果将(1)中的已知条件改为折叠三角形纸片ABC，其它条件不变．①判断EG与EH是否相等，并说明理由．②判断GH是否平分∠AGE，如果平分，请说明理由；如果不平分，请用等式表示∠EGH，∠AGH与∠C的数量关系，并说明理由．4、二次折叠29.如图，将正方形ABCD的边AD和边BC折叠，使点C与点D重合于正方形内部一点O，已知点O到边CD的距离为a，则点O到边AB的距离为．(用a的代数式表示)30.如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A′，折痕为DE．若将∠B沿EA′向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B′，则AB＝．31.如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为．32.如图，有一直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，CD⊥AB于点D．F，G分别是线段AD，BD上的点，H，Ⅰ分别是线段AC，BC上的点，沿HF，GI折叠，使点A，B恰好都落在线段CD上的点E处．当FG＝EG时，AF的长是．33.如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若BC则EH的长为()10，GH=22，A．2B．2C．5D．3234.如图1，矩形纸片ABCD的边长分别为a，b(a＜b)．将纸片任意翻折(如图2)，折痕为PQ．(P在BC上)，使顶点C落在四边形APCD内一点C′，PC′的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A′，且A′M 所在直线与PM所在直线重合(如图3)折痕为MN．(1)猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明；(2)若∠QPC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，MN间的距离有何变化？请说明理由；(3)若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45°(如图4)，每次翻折后，非重叠部分的四边形MC′QD，及四边形BP A′N的周长与a，b有何关系，为什么？5、折叠与特殊角35.如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3△，则ADE 的周长为()A．12B．15C．18D．2136.如图，矩形ABCD的面积为36，BE平分∠ABD，交AD于E，沿BE△将ABE折叠，点A的对应点刚好落在矩形两条对角线的交点F处，则△ABE的面积为．37.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，BC上，将△BEF沿EF折叠，点B落在AD上的点G处，EG⊥AC．(1)∠BEF＝，∠BFG＝．(2)若AB＝6√2，求FG的长．38.如图，在边长为√3+1的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E，F分别在AB，AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD于点M，则EG的长为．C ．2D ．2√7−139. 如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A ＝60°，点 M 是 AD 边的中点，连接 MC ，将菱形 ABCD 翻折，使点 A 落在线段CM 上的点 E 处，折痕交 AB 于点 N ，则线段 EC 的长为．40. 如图，在菱形纸片 ABCD 中，AB ＝4，∠A ＝60°，将菱形纸片翻折，使点 A 落在 CD 边的中点 E 处，折痕为 FG ，点 F 、G 分别在边 AB 、AD 上，则 GE ＝，EF ＝ ．41. 如图，菱形 ABCD 中，∠A 是锐角，E 为边 AD 上一点，△ABE 沿着 BE 折叠，使点 A 的对应点 F 恰好落在边 CD 上，连接 EF ，BF ，给出下列结论：①若∠A ＝70°，则∠ABE ＝35°；②若点 F 是 CD 的中点，则 S △ ABE ＝ 下列判断正确的是( )A ．①，②都对B ．①，②都错C ．①对，②错D ．①错，②对1 3S 菱形 ABCD42. 如图，菱形 ABCD 中，点 E ，F 分别在边 AB ，BC 上．将菱形沿 EF 折叠，点 B 恰好落在边 AD 上的点 G 处．若∠B ＝45°，AE = √2，BE ＝2√2，则 tan ∠EFG 的值是( )A ．5B ．2+√7326、折叠与特殊图形存在性43.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．44.如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边．若DEB′为直角三角形，则BD的长是．BC交于点E△45.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，E、F分别为AB、BC上的点，沿直线EF将∠B折叠，使点B恰好落在AC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时，BE的长为．已知ABC是边长为6的等边三角形，过点B作AC的垂线l，垂足为D，点P为直线l上的点，作点A关于CP的对称46.△点Q△，当ABQ是等腰三角形时，PD的长度为____________AQDPBC47.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别是边AB、AC上的点，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点F处，若FC＝BF+2，问：△FEC△比DFB的周长大多少？48.如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D，E分别为AB，AC上点，将ADE沿DE折叠，使A落在F处，若CF=2BF，则AE长为？49.如图，等边三角形ABC的边长为5，D、E分别是边AB、AC上的点，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点F处，若BF＝2，则BD的长是()A．2B．3C．21D．248750.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120︒，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为．D CGFA E B51.E为矩形ABCD边AB中点，F为AD上一点，将三角形AEF沿EF翻折，使得A点落在G点，求DG长度的最小值，其中AB=2，AD=3.A F DEGCB52.如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E、F分别在线段BC、CD上，将△CEF沿EF翻折，点C的落点为M(1)如图1，当CE＝5，M点落在线段AD上时，求MD的长(2)如图2，若点F是CD的中点，点E在线段BC上运动，将△CEF沿EF折叠，①连接BM△，BME是否可以是直角三角形？如果可以，求此时CE的长，如果不可以，说明理由②连接MD，如图3，求四边形ABMD的周长的最小值和此时CE的长9、其他53.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，点E，F分别是CD和AB的中点，现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH，若HG延长线恰好经过点D，则CD的长为．54.小南利用几何画板画图，探索结论，他先画∠MAN＝90°，在射线AM上取一点B，在射线AN上取一点C，连接BC，再作点A关于直线BC的对称点D，连接AD、BD，得到如图形，移动点C，小南发现：当AD＝BC时，∠ABD＝90°；请你继续探索；当2AD＝BC时，∠ABD的度数是．55.如图，将面积为32√2的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE=√2，则AP的长为．56. 如图，在菱形 ABCD 中，tanA = 4，M ，N 分别在边 AD ，BC 上，将四边形 AMNB 沿 MN 翻折，使 AB 的对应线段 EF 经3 过顶点 D ，当 EF ⊥AD 时，BN 的值为( )A ．13CNB ．2C ．3D ．17 7 457.如图，矩形 ABCD 中，AB = 2√3，BC = 2√2，连结对角线 AC ，点 O 为 AC 的中点，点 E 为线段 BC 上的一个动点，连 结 OE △，将 AOE 沿 OE 翻折得到△FOE ，EF 与 AC 交于点 G ，若△EOG 的面积等于△ACE 的面积的1，则 BE ＝ ．4。
初中数学中的折叠问题
初中数学中的折叠问题一、矩形中的折叠折叠后BG 和BH 在再过点A ′折叠使边与对角线BD 重形中根据勾股定合，然后再沿着则∠DFB 等于的位置，已知重合部分是以折痕为底边的等腰三角形理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等9．如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等 10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在边AD 上 不与A 、D 重合．MN 为折痕，折叠后B ’C ’与DN 交于P ．(1)连接BB ’，那么BB ’与MN 的长度相等吗？为什么？(2)设BM =y ，AB ’=x ，求y 与x 的函数关系式；(3)猜想当B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC ’B ’面积最小？并验证你的猜想． 二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（ ）C题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ 14．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b∠GFC=140°，图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15．将一张长为70 cm的长方形纸片ABCD，沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸片的宽AB是（）16．一根30cm、宽3cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等，则最初折叠时，求MA的长三、三角形中的折叠实践与运用：(1)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。
初中数学中的折叠问题
初中数学中的折叠问题一、矩形中的折叠1.将一张长方形纸片按如图的方式折叠,其中BC,BD为折痕,折叠后BG和BH在同一条直线上，ZCBD=度.2.如图所示,一张矩形纸片沿BC折叠,顶点A落在点A’处，再过C3 E点A’折叠使折痕DE〃BC,若AB=4, AC=3,则4ADE的面积是.得折痕3.如图，矩形纸片A B CD中，AB=4, AD=3,折叠纸片使A D边与对角线BD重合DG,求AG的长.A1根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可A4.把矩形纸片AB C D沿B E折叠，使得BA边与B C重合，然后再沿着BF折叠，使得折痕BE也与B C边重合，展开后如图所示，则ND F B等于（）A注意折叠前后角的对应关系5.如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置,已知BC=8cm,AB=6cm, 求折叠后重合部分的面积.重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6.将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠,若折叠角NFEC=64°,则N1 的形状—三角形.对折前后图形的位置变化,但形状、大小不变,注意一般情况 下要画出对折前后的图形,便于寻找对折前后图形之间的 关系，注意以折痕为底边的等腰4GEF7.如图，将矩形纸片ABCD 按如下的顺序进行折叠:对折，展平得折痕EF （如图①）; 折叠，使点B 落在EF 上的点B,处，（如图②）;展平,得折痕G C （如图③）；沿G H 折叠， 落在D H 上的点C ,处，（如图④）;沿GC/折叠（如图⑤）；展平,得折痕GC , ,G H （如图⑥）.（1）求图②中N BCB ’的大小；（2）图⑥中的4G C C ,是正三角形吗?请说明理由.折叠前后对应边相等9.如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B 落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积 注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变,对应边与对应角相等10.如图将一个边长为1的正方形纸片AB C D 折叠，使点B 落在边AD 上不与A 、D 重合.MN 为折痕，折叠后B ‘C '与D N 交于P .⑴连接BB ’，那么BB ’与MN 的长度相等吗？为什么？ （2）设BM=y, AB '=x,求y 与x 的函数关系式；（3）猜想当B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形M NC ' B ’面积最小?并验证你的猜想..度；4EFG 延CG 使点 C S'E D£ E n则图 理清在每一个折叠过程中的变与不变8.如图，正方形纸片ABCD 的边长为8,将其沿EF 折叠， 中①②③④四个三角形的周长之和为EAE F二、纸片中的折叠叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意4E A B是以折痕A B为底的等腰三角形12.如图，将一宽为2 cm的纸条，沿BC,使N C A B=4 5° ,则后重合部分的面积为在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13.将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是O F 0nW rw注意掌握折叠前后图形的对应关系.在矩形（纸片）折叠问题中,会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形AP Q14.如图a是长方形纸带,N DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b,再沿B F折叠成图c,则图c中的N C F E的度数是（）本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.由题意知N DEF=N EFB=20° 图b/GFC=140° ,图 c 中的N C FE=NG F C-N EFG15.将一张长为70 cm的长方形纸片A BC D,沿对称轴E F折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm,则原纸片的宽人8是()16.一根30cm、宽3cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠(阴影部分表示纸条的反面), 为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等,则最初折叠时，求M A的长三、三角形中的折叠17.如图，把Rt^ABC(NC=9 0° )，使A,B两点重合，得到折痕ED,再沿BE折叠,C点恰好与D点重合,则CE:AE:C18.在^ABC中，已知48=2%/4=30° ,CD是AB边的中线，若将4ABC沿CD对折起来, 折叠后两个小4ACD与4BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前^ABC的面积的错误!.(1)当中线CD等于a时，重叠部分的面积等于；⑵有如下结论(不在屋口等于a”的限制条件下)：①AC边的长可以等于a;②折叠前的△ ABC的面积可以等于^r(3)a2 ；③折叠后，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等.其中，—结论正确(把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”).注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边19.在4A B C中,已知N A=8O°,N C=30。
(完整版)初中数学中的折叠问题
初中数学中的折叠问题一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD= 度．2．如图所示，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A ′处，再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC ，若AB=4，AC=3，则△ADE 的面积是 ．3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ）注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积．重合部分是以折痕为底边的等腰三角形321FEDCBAGA'C A B D6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状 三角形．对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF7．如图，将矩形纸片ABCD 按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF （如图①）；延CG 折叠，使点B 落在EF 上的点B ′处，（如图②）；展平，得折痕GC （如图③）；沿GH 折叠，使点C 落在DH 上的点C ′处，（如图④）；沿GC ′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC ′，GH （如图 ⑥）．（1）求图 ②中∠BCB ′的大小；（2）图⑥中的△GCC ′是正三角形吗？请说明理由．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等9．如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B 落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等 10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在边AD 上 不与A 、D 重合．MN 为折痕，折叠后B ’C ’与DN 交于P ．(1)连接BB ’，那么BB ’与MN 的长度相等吗？为什么？ (2)设BM =y ，AB ’=x ，求y 与x 的函数关系式； (3)猜想当B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC ’B ’面积最小？并验证你的猜想．54132G D‘F C‘DB CA E二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（ ）题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB 是以折痕AB 为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm 的纸条，沿BC ，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm 的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）图c 图b图aCDGFEAC GDFEAFDBCAEB Ba 2130°B EF AC D本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°，图c 中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60cm ，则原纸片的宽AB 是（ ）16．一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长三、三角形中的折叠17．如图，把Rt △ABC （∠C=90°），使A ，B 两点重合，得到折痕ED ，再沿BE 折叠，C 点恰好与D 点重合，则CE ：AE=18．在△ABC 中，已知AB=2a ，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的14．（1）当中线CD 等于a 时，重叠部分的面积等于 ；GEFD AEF DBC A B C 60cm（2）有如下结论（不在“CD 等于a ”的限制条件下）：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于32a 2；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等．其中， 结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）．注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边19．在△ABC 中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE 沿DE 进行不同的折叠得△C ′DE ，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（1）把△CDE 沿DE 折叠在四边形ADEB 内，则求∠1+∠2的和； （2）如图（2）把△CDE 沿DE 折叠覆盖∠A ，则求∠1+∠2的和；（3）如图（3）把△CDE 沿DE 斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C 的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE ，∠2=180°-2∠CED ，再根据三角形内角和定理比可求出答案；（2）连接DG ，将∠ADG+∠AGD 作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；（3）将∠2看作180°-2∠CED ，∠1看作2∠CDE-180°，再根据三角形内角和定理来求．B'C DA B 231E B'CDB A 21图(1)C'ACBDE12C'ABCDE21GC'A BC DE由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时常常会出现等腰三角形20．观察与发现：将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．实践与运用：(1)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。
数学初中折叠问题解题技巧
数学初中折叠问题解题技巧
初中数学中的折叠问题是一种常见的几何问题，涉及到对图形的折叠、展开或转化等操作。
以下是一些常见的折叠问题解题技巧:
1. 观察特殊图形法：直接观察题目所给出的目标图形中的特殊面，或者特殊图形连接的位置，然后对比选项，与之不符的直接排除。
2. 相对面不相邻法：空间折叠类题目要结合排除法解题，最常用的排除技巧是相对面不相邻原则。
即一定要抓住某两个相邻面或对立面的图形特征，从而可以利用排除法选择正确答案，违背这些特征的，便是错误选项。
3. 初中数学坐标系里折叠的问题：对于在平面直角坐标系中的折叠问题，可以通过建立直角坐标系来解决。
一般来说，需要根据折叠前后的形状及坐标变化关系，画出折叠后的图形，然后根据题意找到对应的坐标值。
4. 长方形折叠问题：对于长方形的折叠问题，可以通过对折将长方形变成长方体，然后根据长方体的面积公式及长方形的面积公式来求解。
另外，也可以利用折叠的性质：折叠后的图形与图形全等，来解决问题。
总结起来，对于折叠问题的解题技巧，需要结合具体的题目来进行理解和应用。
同时，需要学生具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力，才能更好地解决折叠问题。
初中数学折叠问题模型
初中数学折叠问题模型折叠问题一直是初中数学中的热门话题，它既考验了学生的几何思维，又锻炼了他们的逻辑分析能力。
本文将从以下几个方面对初中数学折叠问题进行深入探讨，以期帮助同学们掌握这一问题的解决方法。
一、折叠问题的基本概念折叠问题是指在平面几何中，将一个平面图形沿着某一条线段折叠，使其两部分重合或变成一个整体的过程。
在初中数学阶段，折叠问题主要涉及到几何图形的折叠、计算和分析。
二、初中数学中常见的折叠问题类型1.图形折叠：将一个几何图形如正方形、长方形、三角形等沿着某一条线段折叠，求解折叠后的图形面积、周长等。
2.角度计算：在折叠过程中，涉及到角度的计算与证明。
如折叠前后的两个角度相等、互补或互余等。
3.线段长度计算：折叠前后的线段长度关系，如折叠后的线段长度是折叠前的一半、两倍等。
4.几何图形的组合与分解：通过折叠将几个简单的几何图形组合成一个复杂的图形，或反之，将一个复杂的图形分解成几个简单的几何图形。
三、解决折叠问题的方法与技巧1.熟练掌握几何图形的性质，如角度、边长、面积等关系。
2.画图辅助，直观地展示折叠过程，帮助分析问题。
3.运用方程、比例等数学方法求解未知量。
4.熟练运用折叠过程中的不变量，如折叠前后的角度和、周长等。
四、实际应用案例分析以一个正方形为例，将其沿对角线折叠，可以得到两个直角三角形。
根据折叠后的三角形，我们可以求解原正方形的边长、面积等参数。
五、总结与建议初中数学折叠问题不仅有助于提高同学们的空间想象能力，还能锻炼他们的逻辑思维。
要想解决这类问题，关键在于掌握几何图形的性质，灵活运用数学方法，以及画图辅助分析。
建议同学们多做练习，积累经验，逐步提高自己的解题能力。
初中数学折叠问题模型
初中数学折叠问题模型（实用版）目录1.初中数学折叠问题的概念和背景2.折叠问题的基本模型3.折叠问题的解题方法4.折叠问题在初中数学中的应用5.总结正文一、初中数学折叠问题的概念和背景初中数学折叠问题是指，将一个平面图形通过折叠，使得它与另一个平面图形重合，从而形成一个立体图形。
这种问题在初中数学中非常常见，它有助于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、折叠问题的基本模型折叠问题的基本模型包括以下几个方面：1.折叠线：折叠线是指将平面图形折叠成立体图形的那条线。
在折叠过程中，折叠线两侧的部分会互相重合。
2.折叠角：折叠角是指折叠线上的两个相邻角度，它们在折叠过程中会互相重合。
3.折叠距离：折叠距离是指折叠线上某个点到另一个点的距离。
在折叠过程中，折叠距离保持不变。
三、折叠问题的解题方法解决折叠问题，通常需要以下几个步骤：1.观察题目，理解题意，找到折叠线、折叠角和折叠距离。
2.根据题目要求，找到需要折叠的图形，并画出折叠线。
3.利用折叠线的性质，找到折叠线上的相应角度和距离。
4.利用数学知识，列方程求解，找到折叠线上的未知量。
5.将求得的未知量代入方程，求解得到最终答案。
四、折叠问题在初中数学中的应用折叠问题在初中数学中有广泛的应用，它可以帮助学生理解几何图形的性质，培养空间想象能力和逻辑思维能力。
同时，折叠问题还可以与其他数学知识点相结合，如与勾股定理、相似三角形等知识点相结合，提高学生的综合运用能力。
五、总结折叠问题是初中数学中的一个重要知识点，它有助于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
在解决折叠问题时，需要找到折叠线、折叠角和折叠距离，利用数学知识列方程求解。
初中数学几何图形中的折叠问题解题思路
初中数学几何图形中的折叠问题解题思路折叠问题中的背景图形通常有，三角形、正方形、矩形、梯形等，解决这类问题的关键是一定要灵活运用轴对称和背景图形的性质。
轴对称性质：折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。
典型例题：例题1、如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，E、F 分别为 AB、BC 上的点，沿线段 EF 将∠B 折叠，使点 B 恰好落在 AC 上的点 D 处，试问当△ADE 恰好为直角三角形时，此时 BE 的长度为多少?解题思路：△ADE 为直角三角形分两种情况：①∠ADE =90°，②∠AED = 90°，此题需要分类讨论，结合三角形的相似、折叠的性质，来求折叠中线段的长度，关键是能画出折叠后的图形。
解答过程：当 ∠ADE = 90°时，如下图所示：证明：先来证明四边形 DEBF 为棱形：∵ 在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠ADE = 90° ，∴ DE∥BC ，∴ ∠DEF = ∠EFB ，又∵ 沿线段 EF 将 ∠B 折叠，∴ DE = BE ,DF = BF ，∠DFE = ∠BFE ，∴ ∠DEF = ∠DFE ，DE = DF = BF ，∴ 四边形 DEBF 为棱形。
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，邻边相等的平行四边形是棱形)。
再来证明Rt△ADE ∽ Rt△ACB (相似三角形判断图形中的“A”字型)∵ 在三角形 ACB 中，DE∥BC ，∴ Rt△ADE ∽ Rt△ACB ，设棱形 DEBF 的边长为 x , 则有 DE = x , AE = 10 - x ,在Rt△ACB 中，AB = 10 , AC = 8 ,由勾股定理得：BC = 6 。
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初中数学中的折叠问题一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后 BG和 BH在同一条直线上，∠ CBD=度．2．如下图，一张矩形纸片沿BC折叠，极点 A 落在点 A′处，再过点 A′折叠使折痕DE∥BC，若 AB=4，AC=3，则△ ADE的面积是．3．如图，矩形纸片 ABCD 中， AB=4 ，AD=3 ，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，得折痕DG，求 AG 的长．D CA'根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可 A G B 4．把矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠，使得 BA 边与 BC 重合，然后再沿着 BF 折叠，使得折痕BE 也与 BC 边重合，展开后如下图，则∠ DFB 等于（）注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形 ABCD的对角线 BD折叠，点 C落在点 E 的位置，已知 BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积．EF DA3重合部分是以折痕为底边的等腰三角形21BC6．将一张矩形纸条ABCD按如下图折叠，若折叠角∠的形状三角形．对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△ GEF FEC=64°，则∠ 1=度；△ EFGD‘C‘A1G F D5432B E C7．如图，将矩形纸片ABCD 按如下的次序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延 CG 折叠，使点 B 落在 EF 上的点 B ′处，（如图②）；展平，得折痕 GC（如图③）；沿 GH 折叠，使点 C 落在 DH 上的点 C′处，（如图④）；沿 GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕 GC′，GH（如图⑥）．（1）求图②中∠ BCB ′的大小；（2）图⑥中的△ GCC′是正三角形吗？请说明原因．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD的边长为 8，将其沿 EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等9．如图，将边长为 4 的正方形 ABCD沿着折痕 EF 折叠，使点 B落在边 AD的中点 G处，求四边形 BCFE的面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10．如图，将一个边长为 1 的正方形纸片ABCD 折叠，使点 B 落在边 AD 上不与A、D重合．MN 为折痕，折叠后 B ’C’与 DN 交于 P．(1)连结 BB ’，那么 BB ’与 MN 的长度相等吗？为什么？(2)设 BM=y， AB ’=x，求 y 与 x 的函数关系式；(3)猜想当 B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC ’B’面积最小？并考证你的猜想．二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）CD30° BF E a21A题考察的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为 180度的性质，注意△ EAB 是以折痕 AB 为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm 的纸条，沿 BC，使∠ CAB=45 °，则后重合部分的面积为在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线 +角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽 2cm的长方形纸条成如下图的形状，那么折痕PQ的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线 +角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形 APQ14．如图 a 是长方形纸带，∠ DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图 b，再沿 BF 折叠成图 c，则图 c 中的∠ CFE 的度数是（）AE D A E E DACFB FC B G B G FC 图c图 a 图 bD本题考察图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠ DEF= ∠EFB=20°图 b∠GFC=140°，图 c 中的∠ CFE=∠GFC-∠ EFG 15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴 EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与 CD 间的距离为 60cm，则原纸片的宽AB 是（）DCFG60cmEA FDBE C B A16．一根 30cm、宽 3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了雅观，希望折叠达成后纸条两头高出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长三、三角形中的折叠17．如图，把 Rt△ABC（∠ C=90°），使 A， B两点重合，得到折痕 ED，再沿 BE折叠， C点恰巧与 D点重合，则 CE：AE=18．在△ ABC中，已知 AB=2a，∠ A=30°， CD是 AB边的中线，若将△ ABC沿 CD对折起来，1折叠后两个小△ ACD与△ BCD重叠部分的面积恰巧等于折叠前△ABC的面积的4．（1）中间线 CD等于 a 时，重叠部分的面积等于；（2）有如下结论（不在“ CD等于 a”的限制条件下）：① AC边的长能够等于a；②折叠前的3 2△ABC的面积能够等于 2 a ；③折叠后，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等．其中，结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）．C CB'12A E 3 D BAD BB'注意“角平分线 +等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对照，找出相等的对应角和对应边19．在△ ABC 中，已知∠ A=80°，∠ C=30°，现把△ CDE 沿 DE 进行不同的折叠得△DE，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（ 1）把△ CDE 沿 DE 折叠在四边形 ADEB 内，则求∠ 1+∠2 的和；（2）如图（ 2）把△ CDE 沿 DE 折叠覆盖∠ A ，则求∠ 1+∠2 的和；（3）如图（ 3）把△ CDE 沿 DE 斜向上折叠，探究∠ 1、∠ 2、∠ C 的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠ 1=180° -2∠CDE，∠2=180°-2∠CED，再根据三角形内角和定理比 A 可求出答案；（2）连结 DG，将∠ ADG+ ∠AGD 作为一个整体，根据D 1C'三角形内角和定理来求；（3）将∠ 2 看作 180° -2∠CED，∠ 1 看作 2∠C2CDE-180°，再根据三角形内角和定理来求． E 图 (1)C'C' AA12D1G D2 C′B由于等腰三角形是轴对称图形，所以在折叠三角形时经常会出现等腰三角形20．察看与发现：将三角形纸片ABC（AB ＞AC ）沿过点 A 的直线折叠，使得 AC 落在 AB 边上，折痕为 AD ，展开纸片（如图①）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点 A 和点 D 重合，折痕为EF，展平纸片后得到△ AEF （如图②）．小明认为△ AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明原因．实践与运用：(1)将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为 BE（如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠往常都与角平分线相关。
要抓住折叠前后图形之间的对应关系(2)将矩形纸片 ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与 AD 边交于点 E，与BC 边交于点 F；将矩形 ABFE 与矩形 EFCD 分别沿折痕 MN 和 PQ 折叠，使点 A 、点 D 都与点 F 重合，展开纸片，此时恰巧有 MP=MN=PQ （如图④），求∠ MNF 的大小．在矩形中的折叠问题，往常会出现“角平分线+平行线”的基本结构，即以折痕为底边的等腰三角形21．直角三角形纸片ABC 中，∠ ACB=90 °， AC ≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点 A 落在直角边 BC 上，记落点为 D，设折痕与 AB 、AC 边分别交于点 E、点 F．探究：如果折叠后的△ CDF 与△ BDE 均为等腰三角形，那么纸片中∠ B 的度数是多少？写出你的计算过程，并画出切合条件的后的图形．先确定△ CDF 是等腰三角形，得出∠ CFD=∠ CDF=45 °，因为不确定△ BDE 是以那两条边为腰的等腰三角形，故需议论，①DE=DB ，②BD=BE ，③DE=BE ，然后分别利用角的关系得出答案即可22．下列图案给出了折叠一个直角边长为2 的等腰直角三角形纸片（图1）的全过程：首先对折，如图2，折痕 CD 交 AB 于点 D；翻开后，过点 D 随意折叠，使折痕 DE 交 BC 于点 E，如图 3；翻开后，如图 4；再沿 AE 折叠，如图 5；翻开后，折痕如图 6．则折痕 DE 和 AE 长度的和的最小值是（）本题经过了三次折叠，注意理清折叠过程中的对称关系，求两条线段的和的最小值问题能够参见文章23．小华将一条 1（如图 1），沿它对称轴折叠 1 次后得到（如图），再将图沿它对称轴折叠后得到（如图 3），则图 3 中一条腰长；同上操作，若小华连续将图 1 折叠 n 次后所得到（如图n+1）一条腰长为多少？本题是一道找规律的题目，这类题型在中考取经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部散发生了变化，是按照什么规律变化的．24．如图，矩形纸片 ABCD中， AB= 6 ，BC= 10 ．第一次将纸片折叠，使点 B 与点 D重合，折痕与 BD交于点O1 1 1 1 2 ；O D 的中点为 D ，第二次将纸片折叠使点 B与点 D 重合，折痕与 BD交于点 O；D 的中点为 D ，第三次将纸片折叠使点 B 与点 D 重合，折痕与 BD交于点 O ，．按上述方设O2 1 2 2 3法，第 n 次折叠后的折痕与 BD交于点 O n，则 BO1= ，BO n =问题中波及到的折叠从有限到无限， 要理解每一次折叠中的变与不变， 充分展示运算的详尽过程。
在找规律时要把最终的结果写成同样的形式，察看其中的变与不变，特别是变化的数据与折叠次数之间的关系25．如图，直角三角形纸片 ABC 中， AB=3 ，AC=4， D 为斜边 BC 中点，第 1 次将纸片折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕与AD 交于点 P 1；设 P 1D 的中点为 D 1，第 2 次将纸片折叠，使点 A 与点12；设 P 2D 1 的中点为 D 2，第 3 次将纸片折叠， 使点 A 与点 D 2 重合，D重合，折痕与 AD 交于点 P折痕与 AD 交于点 P 3n-1D n-2的中点为 D n-1，第 n 次纸片折叠，使 A 与点D n-1重合，折； ；设 P痕与 AD 交于点 P n （n ＞ 2），则 AP 6 长（ ）本题考察了翻折变换的知识，解答本题重点是写出前面几个相关线段长度的表达式，进而得出一般规律，注意培养自己的概括总结能力26．阅读理解如图 1，△ ABC 中，沿∠ BAC 的平分线 ABB 1A 1C 的平分线1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠A 1B 2 折叠，剪掉重复部分； ；将余下部分沿∠B n A nC 的平分线 A n B n+1 折叠，点 B n 与点 C 重合，不论折叠多少次，只需最后一次恰巧重合，∠ BAC 是△ ABC 的好角．小丽展示了确定∠ BAC 是△ ABC 的好角的两种情形． 情形一：如图 2，沿等腰三角形 ABC 顶角∠ BAC的平分线 AB 1 折叠，点 B 1折叠，剪掉重复部与点 C 重合；情形二：如图 3，沿∠ BAC 的平分线 AB 分；将余下部分沿∠ B 1 11 2 1A C 的平分线 AB 折叠，此时点 B 与点C 重合．探究发现（1）△ ABC 中，∠ B=2∠ C ，经过两次，∠ BAC 是不是△ ABC 的好角？ （填“是”或“不是”）．（ 2）小丽经过三次折叠发现了∠ BAC 是△ ABC 的好角，请探究∠ B 与∠ C （不妨设∠ B ＞∠ C ）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠∠ BAC 是△ ABC 的好角，则∠ B 与∠ C （不妨设 ∠B ＞∠ C ）之间的等量关系为 ． ∠B = n ∠C应用提升（ 3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 15°、 60°、105°，发现 60°和 105°的两个角都是此三角形的好角．请你达成，如果一个三角形的最小角是 4°，试求出三角形此外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．AAAA 1A 2A 1A nCBB 1B 2B3BnBn+1BB 1B 2C注意折叠过程中的对应角和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和的运用，理解三角形中如果有一个角是好角之后，另两个角之间的关系，通过这样的问题培养概括总结能力27．我们知道：随意的三角形纸片可通过如图①所示的方法折叠得到一个矩形．（1）实践：将图②中的正方形纸片通过适合的方法折叠成一个矩形（在图②中绘图说明）．（2）探究：随意的四边形纸片是否都能通过适合的方法折叠成一个矩形？若能，直接在图③中绘图说明；若不能，则四边形起码应具备什么条件才行？并绘图说明．（要求：绘图应体现折叠过程，用虚线表示折痕，用箭头表示方向，后图形中既无空隙又无重叠部分）折叠即对称628．如图，双曲线y =x （x＞0）经过四边形OABC的极点A、C，∠ABC=90°， OC平分 OA与 x 轴正半轴的夹角， AB∥x 轴，将△ ABC沿AC翻折后得到△ AB'C，B' 点落在 OA上，则四边形 OABC的面积是多少？yAB B'理解折叠中的对应边就行29．已知一个直角三角形纸片OAB ，其中∠ AOB=90 °， OA=2 ，OCxDOB=4 ．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边 OB 交于点 C，与边 AB 交于点 D．（1）若折叠后使点 B 与点 A 重合，求点 C 的坐标；（2）若折叠后点 B 落在边 OA 上的点为 B′，设 OB ′=x，OC=y ，试写出 y 对于 x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（3）若折叠后点 B 落在边 OA 上的点为 B″，且使 B ″D∥OB，求此时点C 的坐标．y yB B1CD DC3 2O B' Ax O B''AxyBDCxO A四、圆中的折叠30．如图，正方形 ABCD的边长为 2，⊙ O的直径为 AD，将正方形的 BC边沿 EC折叠，点 B 落在圆上的 F 点，求 BE的长用对称关系结构勾股定理，再用勾股定理列方程求解是在折叠问题中求线段长度的常用方法31．如图，将半径为8 的⊙ O 沿 AB 折叠，弧 AB 恰巧经过与 AB 垂直的半径 OC 的中点 D，则折痕 AB 长为（）CCDDOO A BA B E注意折叠过程中形成的对应边，利用勾股定理求解32．如图，将弧BC沿弦 BC折叠交直径 AB于点 D，若 AD=5， DB=7，则 BC的长是多少？本题考查的是对称的性质、圆周角定理、以及相像三角形的判定和性质；能够根据圆周角定理来判断出△ CAD 是等腰三角形，是解答本题的重点33．已知如图：⊙ O 的半径为 8cm，把弧 AmB 沿 AB 折叠使弧 AmB 经过圆心 O，再把弧 AOB 沿CD 折叠，使弧 COD 经过 AB 的中点 E，则折线 CD 的长为（ 4 7 ）作 CD 对于 C’D’的对称线段 C’D’，连结 OE 并延伸交 CD 于点 F，交 C′ D′于点 F′，交弧AmB 于点 G，根据对称的性质得出 OF′=6，再由勾股定理得出 C’F’= 2 7 ．初中数学中折叠问题。