初中数学中折叠问题

初中数学中的折叠问题

一、矩形中的折叠

1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，

折叠后 BG和 BH在同一条直线上，∠ CBD=度．

2．如下图，一张矩形纸片沿BC折叠，极点 A 落在点 A′处，

再过点 A′折叠使折痕DE∥BC，若 AB=4，AC=3，则△ ADE的面积是．

3．如图，矩形纸片 ABCD 中， AB=4 ，AD=3 ，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，得折痕DG，求 AG 的长．

D C

A'

根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角

形中根据勾股定理列方程求解即可 A G B 4．把矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠，使得 BA 边与 BC 重合，然后再沿着 BF 折叠，使得折痕BE 也与 BC 边重合，展开后如下图，则∠ DFB 等于（）

注意折叠前后角的对应关系

5．如图，沿矩形 ABCD的对角线 BD折叠，点 C落在点 E 的位置，已知 BC=8cm，AB=6cm，求折叠后重合部分的面积．

E

F D

A

3

重合部分是以折痕为底边的等腰三角形

2

1

B

C

6．将一张矩形纸条ABCD按如下图折叠，若折叠角∠的形状三角形．

对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般

情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之

间的关系，注意以折痕为底边的等腰△ GEF FEC=64°，则∠ 1=度；△ EFG

D‘

C‘

A1G F D

5

4

3

2

B E C

7．如图，将矩形纸片ABCD 按如下的次序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；

延 CG 折叠，使点 B 落在 EF 上的点 B ′处，（如图②）；展平，得折痕 GC（如图③）；沿 GH 折叠，使点 C 落在 DH 上的点 C′处，（如图④）；沿 GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕 GC′，GH（如图⑥）．

（1）求图②中∠ BCB ′的大小；

（2）图⑥中的△ GCC′是正三角形吗？请说明原因．

理清在每一个折叠过程中的变与不变

8．如图，正方形纸片ABCD的边长为 8，将其沿 EF折叠，则图中

①②③④四个三角形的周长之和为

折叠前后对应边相等

9．如图，将边长为 4 的正方形 ABCD沿着折痕 EF 折叠，使点 B

落在边 AD的中点 G处，求四边形 BCFE的面积

注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等

10．如图，将一个边长为 1 的正方形纸片ABCD 折叠，使点 B 落在边 AD 上不与A、D重合．MN 为折痕，折叠后 B ’C’与 DN 交于 P．

(1)连结 BB ’，那么 BB ’与 MN 的长度相等吗？为什么？

(2)设 BM=y， AB ’=x，求 y 与 x 的函数关系式；

(3)猜想当 B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形

MNC ’B’面积最小？并考证你的猜想．

二、纸片中的折叠

11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）

C

D

30° B

F E a

2

1

A

题考察的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为 180

度的性质，注意△ EAB 是以折痕 AB 为底的等腰三角形

12．如图，将一宽为2cm 的纸条，沿 BC，使∠ CAB=45 °，则后重合部分的面积为

在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线 +角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形

ABC

13．将宽 2cm的长方形纸条成如下图的形状，那么折痕PQ的长是

注意掌握折叠前后图形的对应关系．

在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线 +角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的

等腰三角形 APQ

14．如图 a 是长方形纸带，∠ DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图 b，再沿 BF 折叠成图 c，则图 c 中的∠ CFE 的度数是（）

AE D A E E D

A

C

F

B F

C B G B G F

C 图c

图 a 图 b

D

本题考察图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称

的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．

由题意知∠ DEF= ∠EFB=20°图 b∠GFC=140°，图 c 中的∠ CFE=∠GFC-∠ EFG 15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴 EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与 CD 间的距离为 60cm，则原纸片的宽AB 是（）

D

C

F

G60cm

E

A F

D

B

E C B A

16．一根 30cm、宽 3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了雅观，希望折叠达成后纸条两头高出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长

三、三角形中的折叠

17．如图，把 Rt△ABC（∠ C=90°），使 A， B两点重合，得到折痕 ED，再沿 BE折叠， C点恰巧与 D点重合，则 CE：AE=

18．在△ ABC中，已知 AB=2a，∠ A=30°， CD是 AB边的中线，若将△ ABC沿 CD对折起来，

1

折叠后两个小△ ACD与△ BCD重叠部分的面积恰巧等于折叠前△ABC的面积的4．（1）中间线 CD等于 a 时，重叠部分的面积等于；