高等数学实验报告书答案6

实验六 多元函数微分法及其应用

6.1 实验目的

掌握利用Mathematica 软件计算偏导数、全微分、空间曲线的切线与法平面、

曲面的切平面与法线、二元函数的等值线、多元函数极值的方法； 通过实验进一步熟悉多元函数微分法及其应用的有关内容。

6.2 实验内容

一、 偏导数

实验题1 求.tan ln y

x z =的偏导数。

[实验]输入：

即有：

.2csc 2,

2csc 22

y

y

x x y

z y

y

x x

z -=∂∂=∂∂

实验题2 验证函数nx e

y t

kn sin 2-=满足方程：22x

y

k t y ∂∂=∂∂。

[实验]输入：

y @x _,t_D :=ã-k

n 2t

Sin @n x D ;

D @y @x ,t D ,t D -k D @y @x ,t D ,x,x

D

得结果：0

即有：22x

y

k t y ∂∂=∂∂。

二、 全微分

实验题3 计算函数yz x u =的全微分。

[实验]输入：

u @x _,y_,z_D :=x y z ;Dt @u @x ,y,z

D

得结果：

@D 即有：.ln ln 1xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ++=-

三、 多元复合函数的求导 实验题4 ..23,,ln 2y

z

x z y x v y x u v u z ∂∂∂∂-===和求而设 [实验]输入：

得结果：

即有：

.)23(2)23ln(2)23(3)23ln(22

2

322

2

2y y x x y x y x y z y y x x y x y x x z ----=∂∂-+-=∂∂

四、 空间曲线的切线与法平面

实验题5 画出曲线 ..2sin 4,cos 1,

sin ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

=-=-=t

z t y t t x 在点)22,1,12(-π

处的切线及

法平面。

[实验]输入：

得结果：91,1, !!2

=

再输入：

得结果：

五、 曲面的切平面与法线

实验题6 求曲面3=+-xy z e z 在点（2，1，0）处的切平面及法线方程。

[实验]（1）输入：

F @x _,y_,z_D :=ãz -z +x y -3;a =¶x F @x ,y,z D .8x ®2,y ®1,z ®0

D .8x ®2,y ®1,z ®0

D .8x ®2,y ®1,z ®0

L D

得结果：1 2

-4+ x+2 y

即有：切平面方程为 x + 2 y – 4 = 0 法线方程为 .0

2112-=-=-z y x

六、 二元函数的等值线

实验题7 作出二元函数z=ln(x+y)的等值线。 [实验]输入：

ContourPlot[Log[x+y],{x,0.1,5},{y,0.1,5}]

得结果：

七、 多元函数的极值

实验题8 求二元函数f(x,y)=4(x - y) - x 2 - y 2的极值。 [实验]输入：

f @x _,y_D :=4 H x -y L -x 2-y 2;

Solve

@8¶x f @x ,y D 0,¶y f @x ,y D 0<,8x ,y

得结果：{{x →2,y →-2}} 再输入：

A =¶x,x f @x ,y

D .8x ®2,y ®-2<;

B =¶x,y f @x ,y D .8x ®2,y ®-2<;c =¶y,y f @x ,y D .8x ®2,y ®-2<;

A c -

B *B f @2,-2

D

得结果：-2

0 -2 4

8

即函数f(x,y)可能的极值只有一个点：（2，-2），又因为在该

点处有：Ac-B 2=4>0且A=-2<0

故点（2，-2）就是函数f(x,y)唯一的极值点且是极大值点，f(x,y)的极大值为f(2,-2) = 8 .

实验题9 求三元函数f(x ，y ，z)=xyz 满足条件:x>0,y>0,z>0,

7

1

111=++z y x 的最小值。 [实验]输入：

得结果：{9261,{x →21,y →21,z →21}}

即当x = y = z = 21时，函数f(x,y,z)有最小值：9261.

评分 指导老师