高中数学竞赛解析几何

高中数学联赛（预赛题锦）
解析几何板块
(天津卷2）2.设,B C 是定点且都不在平面π上，动点A 在平面π上且1
in 2
s ABC ∠=
.那么，A 点的轨迹是（ ）
（A ）椭圆 （B ）抛物线 （C ）双曲线 （D ）以上皆有可能
(天津卷8）8.设M 是椭圆22
143
x y +=上的动点，又设点F 和点P 的坐标分别是()1,0和()3,1，则2MF MP -的最大值是__________.
(天津卷15）在平面直角坐标系中，设,,A B C 是曲线1xy =上三个不同的点，且,,D E F 分别是
,,BC CA AB 的中点.求证：DEF ∆的外接圆经过原点O .
（河北卷6）6.圆O 的方程为2
21x
y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足
()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．
（河北卷12）
12. （本题满分14分）在椭圆中定义：过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦，叫做椭圆的
通径．如图，已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2
F ，其离心率为12，通径长为3.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过1F 的直线交椭圆于A B 、两点，12I I 、分别为1212F BF F AF ∆∆、的内心，延长2BF 交椭圆于点M ．
（ⅰ）求四边形1221F I F I 与2AF B ∆的面积的比值
p ； （ⅱ）在x 轴上是否存在定点C ，使CM CB ⋅为常数？ 若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．
（山西卷2）若自椭圆中心到焦点，长轴顶点，以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形。

则该椭圆的离心率是
（吉林卷8）8．椭圆22
221x y a b +=(0)a b >>的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若菱形
ABCD 的内切圆半径等于椭圆焦距的
6
6
，则椭圆的离心率为 ______．
1
F M 2
F 1
I B
x
A
2I y o
（山东卷12）12．（本小题满分15分）已知椭圆22
143
x y +=的
内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点12,F F ，
求该平行四边形面积的最大值．
（福建卷12）12．已知A 、B
为抛物线C ：24y x =上的两个动点，点A 在第一
象限，点B 在第四象限。

1l 、2l 分别过点A 、B 且与抛物线C 相切，P 为1l 、2l 的交点。

（1）若直线AB 过抛物线C 的焦点F ，求证：动点P 在一条定直线上，并求此直线方程；
（2）设C 、D 为直线1l 、2l 与直线4x =的交点，求PCD △面积的最小值。

（江西卷5）、若椭圆中心到焦点，到长、短轴端点，以及到准线距离皆为正整数，则这四个距
离之和的最小值是 ．
（江西卷9）
9、（20分）设直线1x y +=与抛物线22(0)y px p =>相交于点,A B ，若OA OB ⊥，求抛物
线方程以及OAB ∆的面积．
（湖北卷）
G
O
D
C
B
A
F 1
F 2
y
x
（四川卷9）9、实数y x ,满足116
2
2
=+y x ，则22y x +的最大值是 ． （四川卷10）10、关于曲线C ：421x y +=的下列命题：
① 曲线C 关于原点对称； ② 曲线C 关于直线y x =对称； ③ 曲线C 所围成的面积小于π； ④ 曲线C 所围成的面积大于π， 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）
（四川卷15）
15、已知点(0,1)B ，P 、Q 为椭圆2
214
x y +=上异于点B 的任意两点，且BP BQ ⊥．
（I ）若点B 在线段PQ 上的射影为点M ，求M 的轨迹方程； （II ）求线段PQ 的中垂线l 在x 轴上的截距的取值范围．
（甘肃卷9）9．抛物线 y 2=2px (p >0) 的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线上的两个动点，
且满足 ∠AFB =120º，过弦AB 的中点M 作抛物线的准线MN ，垂中为N ，则MN
AB
的最大值
为_______.
（甘肃卷12）
12．（本题满分12分）
已知椭圆E ：x y
a b
+=22
22
1（a >b >0）的一个焦点为(,)F -130，且过点(,)H 132，设椭圆E 的上下顶点分别为A 1、A 2，P 是椭圆上异于A 1、A 2的任一点，直线PA 1、PA 2分别交x 轴于点
M 、N ，若直线OT 与过点M 、N 的圆G 相切，切点为T 。

证明：线段OT 的长为定值，并求出该定值。

（黑龙江卷4）直线l 过抛物线C ：2x =4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积
等于（ ）.
（A ）
34 （B ）2 （C ） 38 （D ）3
216
（黑龙江卷10）
10.设21,F F ，分别是双曲线122
22=+b
y a x （a >0，b>0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点
P ，使（0*)(22=+p F oF op ，O 为坐标原点，且213PF PF =则该双曲线的离心率为
（ ）. （A ）
6+2 （B ）3+1 （C ）
21
3+ （D ）2
26+ （黑龙江卷16）
16.若正方形ABCD 的一条边在直线y=2x-17上，另外两个顶点在抛物线y= x 2
上，则该正方形面
积的最小值_________.
（黑龙江卷21）
21.（12分）已知1F （-1,0）、2F （1,0），圆2F ：2
x + 2
y = 1，一动圆在y 轴右侧与y 轴相切，同时与圆2F 相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C ，曲线E 是以、21,F F 为焦点的椭圆. （1）求曲线C 的方程；
（2）设曲线C 与曲线E 相交于第一象限点P ，且3
7
1=
PF = ，求曲线E 的标准方程； （3）在（1）、（2）的条件下，直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，若AB 的中点M 在曲线C 上，求直线l 的斜率k 的取值范围.
（贵州卷13）
（浙江卷）15. 设直线l 与曲线31y x x =++有三个不同的交点,,A B C ,且5AB BC ==,则直线l 的方程为_____________。

（浙江卷18）
18. 已知抛物线2
4y x =，过x 轴上一点K 的直线与抛物线交于点,,P Q
两点。

证明，存在唯一一点K ，使得
2
2
11PK
KQ
+
为常数，并确定K 点的坐标。

(湖南卷12）12．（20分）已知00(,)P x y 为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点．
（1）设直线l 为过点P 的椭圆的切线，试求过椭圆焦点F(-c,0)且垂直于l 的直线方程；
（2）求证：椭圆的焦点在椭圆切线上的射影的轨迹是以椭圆的中心为圆心，且过长轴顶点的圆．
（全国卷2）2．在平面直角坐标系xOy 中，点A B 、在抛物线24y x =上，满足
4*-=OB OA ，F 是抛物线的焦点. 则=∆∆OFB OFA s s *_____________.
（全国卷10）
10．（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
12A A 、分别为椭圆的左、右顶点，12F F 、分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于1A 和2A 的
任意一点. 若平面中两个点Q R 、满足22112211,,,PF RF PF RF PA QA PA QA ⊥⊥⊥⊥，试确定
线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明.。