第三章流体动力学基础4流体动力学基础

3 流体运动学基础

一、学习目得与任务

1 、理解拉格朗日(Lagrange) 方法与欧拉(Euler) 方法得基本思想。

2、掌握流体动力学中得若干基本概念。

3、掌握流体运动得连续性方程得积分形式及其应用。

4、了解连续性方程得微分形式与圆柱坐标系、球面坐标系中得连续性方程。

5 、了解流体微元得运动分析得基本方法,理解亥姆霍兹速度分解定理。

6 、理解流体微元运动得四种形式。

二、重点、难点

1、重点

欧拉(Euler)方法、连续性方程得积分形式、亥姆霍兹速度分解定理、微元运动得四种形式。

2 、难点

连续性方程、亥姆霍兹速度分解定理。

流体运动学主要讨论流体得运动参数(例如速度与加速度)与运动描述等问题。运动就是物体得存在形式,就是物体得本质特征。流体得运动无时不在,百川归海、风起云涌就是自然

界流体运动得壮丽景色。而在工程实际中,很多领域都需要对流体运动规律进行分析与研究。因此,相对于流体静力学,流体运动学得研究具有更加深刻与广泛得意义。

3、1 描述流体运动得二种方法

为研究流体运动,首先需要建立描述流体运动得方法。从理论上说,有二种可行得方法:

拉格朗日(Lagrange)方法与欧拉(Euler)方法。流体运动得各物理量如位移、速度、加速度等等称为流体得流动参数。对流体运动得描述就就是要建立流动参数得数学模型,这个数学模

型能反映流动参数随时间与空间得变化情况。拉格朗日方法就是一种“质点跟踪”方法,即

通过描述各质点得流动参数来描述整个流体得流动情况。欧拉方法则就是一种“观察点” 方

法,通过分布于各处得观察点,记录流体质点通过这些观察点时得流动参数,同样可以描述整

个流体得流动情况。下面分别介绍这二种方法。

3、1、1 拉格朗日(Lagrange) 方法

这就是一种基于流体质点得描述方法。通过描述各质点得流动参数变化规律,来确定整

个流体得变化规律。无数得质点运动组成流体运动,那么如何区分每个质点呢？区分各质点

方法就是根据它们得初始位置来判别。这就是因为在初始时刻(t=t o),每个质点所占得初始位

置(a,b,c)各不相同，所以可以据此区别。这就像长跑运动员一样，在比赛前给她们编上号码，在

任何时刻就不至于混淆身份了。当经过△ t时间后,t= t o+厶t,初始位置为a,b,c)得某质点到达了

新得位置(x,y,z),因此,拉格朗日方法需要跟踪质点得运动，以确定该质点得流动参数。拉格朗

日方法在直角坐标系中位移得数学描述就是:

(3－1)

式中，初始坐标(a,b,c)与时间变量t无关,(a,b,c,t)称为拉格朗日变数。类似地，对任一物理量N, 都可以描述为:

(3－2)

显然,对于流体使用拉格朗日方法困难较大,不太合适。

3、1、2 欧拉(Euler) 方法

欧拉方法描述适应流体得运动特点,在流体力学上获得广泛得应用。欧拉方法利用了流场得

概念。所谓流场,就是指流动得空间充满了连续得流体质点,而这些质点得某些物理量得分布

在整个流动空间,形成物理量得场,如速度场、加速度场、温度场等,这些场统称为流场。通过在流场中不同得空间位置（x,y,z）设立许多“观察点”，对流体得流动情况进行观察，来确定经过该观察点时流体质点得流动参数，得到物理量随时间得函数（x,y,z,t）,（x,y,z,t）称为欧拉变数。欧拉方法在直角坐标系中位置得数学描述就是:

（3－3）

类似地，对任一物理量N,都可以描述为：

（3－4）

需要注意得就是，“观察点”得空间位置（x,y,z）就是固定得，当质点从一个观察点运动到另一个观察点,质点得位移就是时间t 函数（同样地,其她物理量也就是）,只不过这种函数就是用观察点与时间t为变量，即欧拉变数（x,y,z,t）表示出来得。因此，欧拉变数（x,y,z,t）中得x、y、z不就是独立变量,它们也就是t 得函数,即有：

（3－5）欧拉方法对流场得表达式举例如下：

描述速度场得表达式：

,或写成分量形式：（3－6）

（3－7）

压强场得表达式：

（3－8）

密度场得表达式：

（3－9）

温度场得表达式：

（3－10）可以用河流上得水文站来理解欧拉方法。为测绘河流得水情,需要在河流沿线设立许多

水文站,即水情观察点,综合各水文站得数据,即可知道整个河流得水文情况（如水位分布、流速分布等）。

如果将观察点得区域适当扩大,这样得观察点又称为控制体。与观察点一样,控制体得空

间坐标与形状一经确定,即固定不变。控制体得表面称为控制面,流体质点经过控制面进出控

制体。控制体就是研究流体运动得常用方法。

3、1、3 拉格朗日方法与欧拉方法得等价关系

上述二种方法得着眼点尽管不同，实质上它们就是等价得。如果编号为（a,b,c）得质点，在t 时刻正好到达空间位置（x,y,z）,则根据（3 —1）与（3- 3）有：

N N（x,y,z,t） N[x（a,b,c,t）, y（a,b,c,t）,z（a,b,c,t）] N（a,b,c,t）（3－11）

因此,用一种方式描述得质点流动规律完全可以转化为另一种方式。本书中得描述主要就是用欧拉方法。

3、2 流体动力学中得基本概念

为后面叙述方便,本节集中介绍流体动力学中经常使用得几个概念。

3、2、1 定常场与非定常场

如果流场中得各物理量得分布与时间t无关，即：

（3—12）

则称为定常场或定常流动。定常场各物理量分布具有时间不变性。如果任何一个物理量分布