三次函数的像和性质

三次函数的像和性质

三次函数是指次数为3的一元多项式函数，可以表示为

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$。在这篇文章中，我们将探讨三次函数的像和性质。

一、三次函数的图像

首先，让我们来了解一下三次函数的图像。一般来说，三次函数的图像呈现出一种典型的"S"形曲线，也称为“小波浪线”。

具体来说，三次函数的图像可能表现为以下几种情形：

1. 当$a>0$时，函数具有下凸性，曲线从$(-\infty,+\infty)$上升，再下降。

2. 当$a<0$时，函数具有上凸性，曲线从$(-\infty,+\infty)$下降，再上升。

3. 当$a=0$时，函数退化为二次函数。

二、三次函数的像

一元函数$f(x)$的像指的是其所有可能输出的实数值的集合。对于三次函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其像的计算方法为：

1. 首先，我们需要求出$f'(x)=3ax^2+2bx+c$，并找出其实根$x_1$和虚根$x_2$、$x_3$。

2. 如果$a>0$，则$f(x)$在$x

取得极小值，然后在$x_3

3. 如果$a<0$，则$f(x)$在$x

取得极大值，然后在$x_3

4. 如果$a=0$，则$f(x)=bx^2+cx+d$，此时求出抛物线的顶点，便可

得到函数的像。

三、三次函数的性质

接下来，我们来探讨一些三次函数的性质。

1. 零点和极值

对于一元三次函数$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其零点和极值如下所示：

1.1 如果$f(x_1)=0$，则$x_1$为$f(x)$的一次零点。

1.2 如果$f(x_2)=f(x_3)=0$，则$x_2$和$x_3$为$f(x)$的二次零点。

1.3 对于所有实数$x$，$f'(x)$的实根是$x_1$，$f''(x)$的实根是

$x_2$和$x_3$。此时$x_1$为极小值，$x_2$和$x_3$为极大值。

2. 导数和几何意义

三次函数的导数$f'(x)$是一个次数为2的二次式，它代表曲线的斜率。对于三次函数$f(x)$而言，其导数有以下性质：

2.1 当$xx_3$时，导数为正；当$x_1

$x_2

2.2 曲线的凸凹性与导函数的符号有关。当$f''(x)>0$时，曲线是下

凸的；当$f''(x)<0$时，曲线是上凸的；当$f''(x)=0$时，曲线具有拐点。

3. 对称轴和拐点

三次函数$f(x)$的对称轴是一条垂直于$x$轴，并过曲线中心点的直线。曲线的中心点是横坐标之和的一半和纵坐标之和的一半得到的点。

3.1 如果对称轴与$x$轴相交，则该点是曲线的最小值，对应于

$x_1$。

3.2 如果对称轴与$x$轴不相交，则曲线有一个拐点，对应于

$x_2$和$x_3$。

四、总结

三次函数是一种次数为3的一元多项式函数，其图像具有典型的"S"形曲线。三次函数的像的计算方法可以根据函数的导数求出，其零点

和极值对应了函数的最小值和最大值。此外，三次函数的中心点、对

称轴和拐点也是该函数的重要性质。