matlab频谱分析时的若干问题解释及几种频谱的理解

matlab频谱分析时的若干问题解释及几种频谱的理

解

文主要说明以下几个问题：

在matlab中如何表示频率为f1，以采样率f抽样后所得到的数字信号？如此表示的依据是什么？

使用matlab画出的频谱(一般是幅度谱或称振幅谱)的横坐标轴的意义是什么？如何根据横坐标轴的值得到其所对应的实际频率？

实数序列的频谱除第零个点和第N/2个(当N为偶数时)点外（从0~N-1），其它具有共轭对称性质；复数序列呢？

频率分辨率指的是什么？高分辨谱和高密度谱有何区别？有何作用？

约定：对于信号cos(ωt)，它是以周期为2π/ω为周期的信号，角频率ω=2πf，我们经常这样称呼这个信号：它的角频率为ω，频率为fHz，周期T=1/f秒；

一、信号采样问题

在matlab中对以下信号进行采样：

其中f1 = 1000Hz，根据奈奎斯特采样定理，采样频率f ≥ 2f1，在此我们取f = 3000Hz。

在matlab中仿真也好，实际中处理的信号也罢，一般都是数字信号。而采样就是将信号数字化的一个过程，设将信号s1(t)数字化得到信号：

其中n=[0…N-1]，N为采样点数。

我们来解释一下s1(n)，为什么说上式表示以采样率f对频率为f1的信号进行采样的结果呢？采样，顾名思义，就是对信号隔一段时间取一个值，而隔的这段时间就是采样间隔，取其倒数就是采样率了。

那们我们看上式，将前面的参数代入：

当n=0时：

当n=1时：

当n=2时：

当n=3时：

这是不是相当于对信号s1(t)的一个周期内采了三个样点呢？对一个频率为1000Hz的信号每周期采三个样点不就是相当于以3倍于频率的采样率进行采样呢？注意，当n=3时相当于下一个周期的起始了。

我们取采样点数N=64，即对64/3=21.3个周期，共计

64/3/f1=21.3ms时长。

我们在matlab中输入以下命令：

>> n=0:63;

>> f1=1000;f=3000;

>> s1=cos(2*pi*f1/f*n);

>> plot(abs(fft(s1)));

图1

下面我们对图1进行一下解释，以说明图中的横坐标轴的所代表的意义。

对于信号：

我们知道它的傅里叶变换是：

如果在-2π×3000/2 ~ 2π×3000/2范围内观察信号s1(t)的频谱，则应该在2π×1000和-2π×1000两个频点上有两根谱线，而对采样后的数字信号，频率坐标轴范围-2π×3000/2 ~ 2π×3000/2将被归一化到-2π×(3000/2)/3000 ~ 2π×(3000/2)/3000即-π ~

π范围内，因此将在2π×1000/3000和-2π×1000 /3000即2π/3和-2π/3的两个频点上有两根谱线。注意，此时坐标轴上的2π代表着3000Hz的频率范围。

另外还有一点应该明白的是，时域采样意味着频域的周期延拓，即-π ~ π上的谱线与-π+M×2π ~ π+M×2π范围内的谱线是一

模一样的，其中M为任意的整数。更通俗的说，a ~ b之间的频谱与a+M×2π ~ b+M×2π之间的频谱是一模一样的。因此-π ~ 0之间的频谱与π ~ 2π之间的频谱是一样的。

在matlab中，如果仅简单的执行plot绘图命令，坐标横轴将是1 ~ N，那么这1 ~ N代表着什么呢？是的，应该代表0×2π，应用到上面的例子即是0~3000Hz的频率范围。

其中1 ~ N/2代表0 ~ π，而N/2 ~ N代表-π ~ 0。

从理论上讲，对于

应该在1000Hz和-1000Hz两个频点上有两根线，即应该在x1（其中x1×(3000/2) /(64/2)=1000，解得x1=21.3）上和64-x1上有两根谱线。观察图1可知，两个峰值大约对应横轴坐标为21和43=64-21两个点。

若令：

则傅里叶变换是：

在matlab中执行以下命令：

>> n=0:63;

>> f1=1000;f=3000;

>> s2=sin(2*pi*f1/f*n);

>> plot(abs(fft(s2)));

则可得其频谱，如图2所示：

图2

由图可得两个峰值的位置基本与图1相同，这由其傅里叶表达式也可以得出此结论。

以上分别说明了余弦和正弦的频谱，而且余弦和正弦均是实数序列，实数序列的离散傅里叶变换(DFT)具有共轭对称性质（此性质可百度或查阅数字信号处理相关书籍或自行推导，很简单的），这从图中也可以看出。（画图时取其模值，共轭取模与原先数取模将变成相等）

二、复数的频谱

若令

则计算其傅里叶变换可得：

因此频谱中将只有一根谱线。在matlab中输入以下命令：

>> n=0:63;

>> f1=1000;f=3000;

>> s3=cos(2*pi*f1/f*n)+j*sin(2*pi*f1/f*n);

>> plot(abs(fft(s3)));

图3

从图3可以看出，对于一个复数序列求频谱，它的幅度谱将不再是对称的两根谱线。其实经过类似于实数序列的推导可以得出，复数

序列的频谱将不再具有类似于实数序列的共轭对称性质。

当ω1为负值时会如何呢？同样对于信号：

输入以下命令计算它的频谱：

>> n=0:63;

>> f1=-1000;f=3000;

>> s4=cos(2*pi*f1/f*n)+j*sin(2*pi*f1/f*n);

>> plot(abs(fft(s4)));

图4

对比图3和图4可知，当频率为正值时，峰值将在1 ~ 32范围内；而当频率为负值时，峰值将在33 ~ 64之间。此性质可通俗的描述如下：

对于信号：