1不等式与线性规划-拔高难度-讲义

不等式与线性规划

知识讲解

一、不等式的定义

1.定义：用不等号（><≠，

，≥，，…）连接的式子叫不等式 2.同解不等式变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等

式，那么这种变形叫做同解不等式变形．

3.不等式的性质

1）a b b a >⇔<（反身性或对称性） 2）a b >，b c a c >⇒>（传递性） 3）a b a c b c >⇔+>+

4）,a b c d >>，则a c b d +>+．

5）a b >，0c >，则ac bc >；如果a b >，0c <，则ac bc <． 6）00a b c d >>>>，

，则ac bd >． 7）0a b >>，则(,1)n n

a b n n +>∈>N ．

8）0a b >>

,1)n n +∈>N

二、不等式的解法

1.一元二次不等式的解集如下表

2.分式不等式的解法

1）

()

0()()0()f x f x g x g x >⇔⋅> 2）

()

0()()0()f x f x g x g x ≥⇔⋅≥且()0g x ≠ 3）

()()()

(00()[()()]0)()()f x f x ag x a a g x f x ag x g x g x ->≠⇔>⇔-> 3.无理不等式的解法

12()0

()()0()[()]

f x

g x g x f x g x ⎧≥⎪>⇔≥⎨⎪>⎩或()0

()0f x g x ≥⎧⎨<⎩

22()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ⎧≥⎪

⇔≥⎨⎪<⎩

4.绝对值不等式

1）绝对值的几何意义：①||x 是指数轴上点x 到原点的距离；②12||x x -是指数轴上12x x ，两

点间的距离

2）当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-，||ax b c c ax b c +<⇔-<+<； 当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈． 3）绝对值不等式的解法

①公式法|()|()()()f x g x f x g x >⇔>或()()f x g x <- |()|()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<

②平方法 ③分情况讨论法

4.高次不等式（穿线法：）

一般高次不等式()0f x >用数轴穿根法（或称穿线法）求解，其步骤是： 1）将()f x 最高次项的系数化为正数；

2）将()f x 分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式之积；

3）将每个因式的标在数周上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根，偶次方穿而不过，奇次方根穿又过，即所谓的奇穿偶不穿）；

三、基本不等式

均值定理：

定理：对于任意实数a b ，，222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立 推论：如果a b ，

，是正数，那么

2

a b

+，当且仅当a b =时，有等号成立． 四、线性规划的有关概念

1.约束条件：由未知数,x y 的不等式（或方程）组成的不等式组成为,x y 的约束条件．

不等式组25003x y x y x -+≥⎧⎪

+≥⎨⎪≤⎩

就是,x y 的一个约束条件．

2.线性约束条件：关于未知数,x y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组成为,x y 的线

性约束条件，不等式组230236035150x y x y x y -->⎧⎪

+-<⎨⎪--<⎩

就是,x y 的一个约束条件．

3.目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式．

如：已知,x y满足约束条件

43

3525

1

x y

x y

x

-≤-

⎧

⎪

+≤

⎨

⎪≥

⎩

，分别确定,x y的值，使2

z x y

=+取到最大值和最

小值使z'2

z x y

=+

和z'=

4.线性目标函数：目标函数为变量,x y的一次解析式．如上例中，2

z x y

=+为线性目标

函数，而z'=

5.线性规划问题：求线性目标函数在约束条件下的最值问题．

6.可行解：满足约束条件的解(),x y．

7.可行域：所有可行解组成的集合．

8.最优解：使目标函数取得最值的可行解．

五、线性规划的图解法

1.画：在直角坐标平面上画出可行域和直线0

ax by

+=（目标函数为z ax by

=+）

2.移：平行移动直线0

ax by

+=，确定使z ax by

=+取得最大值或最小值的点．

3.求：求出取得最大值或最小值的坐标（解方程组）及最大值和最小值．

经典例题

一．选择题（共2小题）

1．（2018春•台州期末）已知a，b∈R，a+b=2．则+的最大值为（）A．1 B．C．D．2

【解答】解：a，b∈R，a+b=2．

则+=

===，

令t=ab﹣1=a（2﹣a）﹣1=﹣（a﹣1）2≤0，

则=，

令4﹣2t=s（s≥4），即t=，

可得==，

由s+≥2=8，

当且仅当s=4，t=2﹣2时上式取得等号，

可得≤=，

则+的最大值为，

故选：C．

2．（2018春•海淀区校级期中）设a，b∈R，下列不等式中一定成立的是（）A．a2+3＞2a B．a2+b2＞0