高一上期中数学考试函数经典难题汇编(含解析)必修一(培优)
最新高一数学必修一函数选择填空难题突破练习(含解析)期末函数压轴题汇编
最新高一数学必修一函数选择填空难题突破练习一．选择题（共16小题）1．已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）2．函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．33．偶函数f（x）和奇函数g（x）的图象如图所示，若关于x的方程f（g（x））=1，g（f（x））=2的实根个数分别为m、n，则m+n=（）A．16 B．14 C．12 D．104．已知函数f（x）=，若始终存在实数b，使得函数g（x）=f（x）﹣b的零点不唯一，则a的取值范围是（）A．[2，3） B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]5．若函数f（x）=4x﹣m•2x+m+3有两个不同的零点x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则实数m的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．（6，+∞）C．（2，6） D．（2，+∞）6．若函数f（x）=ae x﹣x﹣2a有两个零点，则实数a的取值范围（）A．（﹣）B．（0，）C．（﹣∞，o）D．（0，+∞）7．已知函数y=g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），若y=f（x）在（﹣2，0）∪（0，2）上为偶函数，且其解析式为，则g（﹣2017）的值为（）A．﹣1 B．0 C．D．8．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．19．已知函数f（x）=﹣mx有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（）D．（）10．已知函数的值域是（m，n），则f（m+n）=（）A．22018B．C．2 D．011．已知函数f（x）是定义域在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x ＞0时，f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣2的零点个数为（）A．2 B．4 C．6 D．812．已知函数f（x）=log a（x2﹣2ax）在[4，5]上为增函数，则a的取值范围是（）A．（1，4） B．（1，4]C．（1，2） D．（1，2]13．已知a n=log（n+1）（n+2）（n∈N*），我们把使乘积a1•a2•…•a n为整数的数n 叫做“劣数”，则在n∈（1，2018）内的所有“劣数”的和为（）A．1016 B．2018 C．2024 D．202614．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，e2）上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．15．已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=kx（k∈N*），若对任意的x∈（0，t）（t＞0），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，那么k的取值集合是（）A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，2，3}16．设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则称f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（）A．（0，）B．（﹣∞，）C．（0，] D．（﹣∞，]二．填空题（共16小题）17．设函数f（x）=，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是．18．设关于x的方程x2﹣ax﹣2=0和x2﹣x﹣1﹣a=0得实根分别为x1，x2和x3，x4，若x1＜x3＜x2＜x4，则a的取值范围是．19．已知函数f（x）=函数g（x）=x2，若函数y=f（x）﹣g（x）有4个零点，则实数a的取值范围为．20．已知函数，若存在实数x1，x2，x3，当0≤x1＜x2＜x3≤3时，f（x1）=f（x2）=f（x3），则（x1+x2）x2f（x3）的取值范围是．21．已知函数f（x）=则关于x的不等式f（f（x））≤3的解集为．22．对于函数y=f（x），若在其定义域内存在x0，使得x0•f（x0）=1成立，则称x0为函数f（x）的“反比点”．下列函数中具有“反比点”的是．①f（x）=﹣2x+2；②f（x）=sinx，x∈[0，2π]；③f（x）=x+，x∈（0，+∞）；④f（x）=e x；⑤f（x）=﹣2lnx．23．设定义在R上的函数，g（x）=f（x）﹣a，则当实数a满足0＜a＜1时，函数y=g（x）的零点个数为个．24．函数f（x）=x3﹣x2﹣x+k的图象与x轴刚好有三个交点，则k的取值范围是．25．已知幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），则k+α=．26．已知点A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函数f（x）=lgx的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，因此有结论＜lg（）成立．运用类比思想方法可知，若点A （x1，），B（x2，）是函数g（x）=2x的图象上的不同两点，则类似地有成立．27．已知函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b满足：，则f（8a+2b+11）取最小值时，a+b的值为．28．对于函数y=f（x），如果f（x0）=x0，我们就称实数x0是函数f（x）的不动点．设函数f（x）=3+log2x，则函数f（x）的不动点一共有个．29．函数y=log（3x2﹣ax+5）在[﹣1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是．30．已知a＞0，b＞0，且2﹣log2a=3﹣log3b=log6，则+=．31．函数f（x）=log cos（2x﹣）的单调递增区间为．32．已知不论a为何正实数，y=a x+2﹣3的图象恒过定点，则这个定点的坐标是．三．解答题（共8小题）33．设函数f（x）=|2x﹣1|（1）解关于x的不等式f（2x）≤f（x+1）（2）若实数a，b满足a+b=2，求f（a2）+f（b2）的最小值．34．已知函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤3；（2）若函数g（x）=|2x﹣2018﹣a|+|2x﹣2019|，若对于任意的x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．35．已知函数f（x）=（1）若m∈（﹣2，2），求函数y=f（x）的单调区间；（2）若m∈（0，]，则当x∈[0，m+1]时，函数y=f（x）的图象是否总在直线y=x上方，请写出判断过程．36．已知函数f（x）=log2（x+a）；（1）当a=1时，若，求x的取值范围；（2）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求g（x）在[﹣3，﹣1]上的反函数h（x）；（3）对于（2）中的g（x），若关于x的不等式在R 上恒成立，求实数t的取值范围．37．已知函数f（x）=log2（x+a）．（Ⅰ）当a=1时，若f（x）+f（x﹣1）＞0成立，求x的取值范围；（Ⅱ）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求g（x）在[﹣3，﹣1]上的解析式，并写出g（x）在[﹣3，3]上的单调区间（不必证明）；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的g（x），若关于x的不等式g（）≥g（﹣）在R上恒成立，求实数t的取值范围．38．设a＞0，函数（1）若a=1，求f（x）的反函数f﹣1（x）（2）求函数y=f（x）•f（﹣x）的最大值（用a表示）（3）设g（x）=f（x）﹣f（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，0]，g（x）≥g（0）恒成立，求a的取值范围39．已知函数（a＞0，a≠1，m≠﹣1），是定义在（﹣1，1）上的奇函数．（I）求f（0）的值和实数m的值；（II）当m=1时，判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并给出证明；（III）若且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0，求实数b的取值范围．40．已知函数，函数x．（1）若g（mx2+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围；（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；（3）是否存在非负实数m、n，使得函数的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．已知函数f（x）=，g（x）=f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）=0得f（x）=﹣x﹣a，作出函数f（x）和y=﹣x﹣a的图象如图：当直线y=﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．2．函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：根据题意，对于函数，其对应的方程为x﹣﹣2=0，令t=，有t≥0，则有t2﹣t﹣2=0，解可得t=2或t=﹣1（舍），即方程x﹣﹣2=0有一个根4，则函数有1个零点；故选：B．3．偶函数f（x）和奇函数g（x）的图象如图所示，若关于x的方程f（g（x））=1，g（f（x））=2的实根个数分别为m、n，则m+n=（）A．16 B．14 C．12 D．10【解答】解：若方程f（g（x））=1则g（x）=﹣1或g（x）=1，此时方程有2个解，m=6；若g（f（x））=2则f（x）=﹣a，或f（x）=1，此时方程有4个解；即m=6，n=4，∴m+n=10，故选：D．4．已知函数f（x）=，若始终存在实数b，使得函数g（x）=f（x）﹣b的零点不唯一，则a的取值范围是（）A．[2，3） B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]【解答】解：由题可知函数g（x）=f（x）﹣b的零点不唯一，等价于两函数y=f（x）与y=b图象的交点个数不唯一．因为m（x）=﹣x2+ax的图象是开口向下、对称轴的抛物线，n（x）=2ax﹣4的图象是恒过（0，﹣4）的直线，注意到m（1）=a﹣1、n（1）=2a﹣4，所以分a≤0、0＜a≤2、a＞2三种情况讨论：又因为y=m（x）在（﹣∞，）上单调递增、在（，1）上单调递减，y=n（x）在（0，+∞）上单调递减（当a=0时为常数函数），所以y=f（x）在（﹣∞，）上单调递增、在（，1）上单调递减，所以始终存在实数b使得在（﹣∞，0）上y=f（x）的图象与y=b图象的交点个数不唯一；②当0＜a≤2时，y=m（x）在（﹣∞，）上单调递增、在（，1）上单调递减，由于y=n（x）在（0，+∞）上单调递增，且n（1）≤0，所以始终存在正实数b使得在（﹣∞，+∞）上y=f（x）的图象与y=b图象的交点个数不唯一；③当a＞2时，y=m（x）在（﹣∞，1）上单调递增，y=n（x）在（1，+∞）上单调递增，欲使始终存在实数b使得在（﹣∞，0）上y=f（x）的图象与y=b图象的交点个数不唯一，则必有m（1）＞n（1），即a﹣1＞2a﹣4，解得：a＜3．综上所述，a的取值范围是（﹣∞，3）．故选：C．5．若函数f（x）=4x﹣m•2x+m+3有两个不同的零点x1，x2，且x1+x2＞0，x1x2＞0，则实数m的取值范围为（）A．（﹣2，2）B．（6，+∞）C．（2，6） D．（2，+∞）【解答】解：设t=2x，∵x1+x2＞0，x1x2＞0，∴t＞1，∴函数f（t）=t2﹣mt+m+3有两个不同的零点，且大于1，∴，∴m＞6，故选：B．6．若函数f（x）=ae x﹣x﹣2a有两个零点，则实数a的取值范围（）A．（﹣）B．（0，）C．（﹣∞，o）D．（0，+∞）【解答】解：函数f（x）=ae x﹣x﹣2a的导函数f′（x）=ae x﹣1，当a≤0时，f′（x）≤0恒成立，函数f（x）在R上单调，不可能有两个零点；当a＞0时，令f′（x）=0，得x=﹣lna，函数在（﹣∞，﹣lna）递减，在（ln ，+∞）递增，所以f（x）的最小值为f（﹣lna）=1+lna﹣2a=1+lna﹣2a，令g（a）=1+lna﹣2a，（a＞0），g′（a）=﹣2，a∈（0，），g（a）递增，a∈（，+∞）递减，g（a）max=g（）=﹣ln2＜0∴f（x）的最小值为f（﹣lna）＜0恒成立，函数f（x）=ae x﹣x﹣2a有两个零点；综上实数a的取值范围是：（0，+∞），故选：D．7．已知函数y=g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），若y=f（x）在（﹣2，0）∪（0，2）上为偶函数，且其解析式为，则g（﹣2017）的值为（）A．﹣1 B．0 C．D．【解答】解：∵函数y=g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），∴g（x+4）=﹣g（x+2）=g（x），∴函数y=g（x）的周期为4，∴g（﹣2017）=g（﹣1）=f（﹣1），∵y=f（x）在（﹣2，0）∪（0，2）上为偶函数，∴f（﹣1）=f（1）=0，∴g（﹣2017）=0，故选：B．8．已知：m＞0，若方程有唯一的实数解，则m=（）A．B．C．D．1【解答】解：方法一：验证，当时，f（x）=lnx与g（x）=x2﹣x在点（1，0）处有共同的切线y=x﹣1．方法二：将方程整理得，设，则由题意，直线是函数f（x）的一条切线，不妨设切点为（x0，y0），则有：，解之得：x0=1，y0=1，．故选：B．9．已知函数f（x）=﹣mx有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（）D．（）【解答】解：函数f（x）=﹣mx有两个零点，也就是方程﹣mx=0有两个不等实数根，即函数y=的图象与y=mx的图象有两个不同交点，由y=，得y′=（x＞0），∴当x∈（0，e）时，y′＞0，当x∈（e，+∞）时，y′＜0．∴y=在（0，e）上为增函数，在（e，+∞）上为减函数，作出函数y=与y=mx的图形如图：设过原点的直线与y=相切于（），则，则切线方程为．把O（0，0）代入，可得，解得．∴切点坐标为（，）．则原点与切点连线的斜率为k=．则函数f（x）=﹣mx有两个零点的实数m的取值范围是（0，）．故选：A．10．已知函数的值域是（m，n），则f（m+n）=（）A．22018B．C．2 D．0【解答】解：因为是奇函数，所以的最大值与最小值互为相反数，从而得m+n=0，所以f（m+n）=f（0）=0．故选：D．11．已知函数f（x）是定义域在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x ＞0时，f（x）=，则函数g（x）=f（x）﹣2的零点个数为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：∵函数f（x）是定义域在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x＞0时，f（x）=，则函数f（x）的图象如下图所示：由图可得：f（x）与y=2的图象有4个交点，即函数g（x）=f（x）﹣2的零点个数为4，故选：B．12．已知函数f（x）=log a（x2﹣2ax）在[4，5]上为增函数，则a的取值范围是（）A．（1，4） B．（1，4]C．（1，2） D．（1，2]【解答】解：由题意可得g（x）=x2﹣2ax的对称轴为x=a①当a＞1时，由复合函数的单调性可知，g（x）在[4，5]单调递增，且g（x）＞0在[4，5]恒成立则∴1＜a＜2②0＜a＜1时，由复合函数的单调性可知，g（x）在[4，5]单调递增，且g （x）＞0在[4，5]恒成立则此时a不存在综上可得，1＜a＜2故选：C．13．已知a n=log（n+1）（n+2）（n∈N*），我们把使乘积a1•a2•…•a n为整数的数n叫做“劣数”，则在n∈（1，2018）内的所有“劣数”的和为（）A．1016 B．2018 C．2024 D．2026【解答】解：a1•a2•…•a n=…×==log2（n+2）=k，则2k=n+2．n=2时，k=1；…；n=1022时，k=10；若k=11，则n=2048﹣2=2026＞2018，不满足题意．在n∈（1，2018）内的所有“劣数”的和=22﹣2+23﹣2+…+210﹣2=﹣18=2026．故选：D．14．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，e2）上有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，e2）上有三个零点，∴y=f（x）与y=ax在区间（0，e2）上有三个交点；由函数y=f（x）与y=ax的图象可知，k1==；f（x）=lnx，（x＞1），f′（x）=，设切点坐标为（t，lnt），则=，解得：t=e．∴k2=．则直线y=ax的斜率a∈（，）．故选：D．15．已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=kx（k∈N*），若对任意的x∈（0，t）（t＞0），恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，那么k的取值集合是（）A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，2，3}【解答】解：令k=1，令h（x）=f（x）﹣g（x）=ln（x+1）﹣x，（x＞0），则h′（x）=﹣1=﹣，∵x≥0，∴h′（x）≤0，∴h（x）在[0，+∞）上单调递减，∴当x∈（0，+∞）时，有h（x）＜h（0）=0，∴x＞0时，f（x）＜x；故当k＞1时，对于任意x∈（0，+∞），g（x）＞x＞f（x），故g（x）＞f（x），|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=kx﹣ln（1+x），令M（x）=kx﹣ln（1+x）﹣x2，x∈（0，+∞），则有M′（x）=k﹣﹣2x=，故当x∈（0，）时，M′（x）＞0，M（x）在[0，）上单调递增，故M（x）＞M（0）=0，即|f（x）﹣g（x）|＞x2，∴满足题意的t不存在．当k＜1时，令G（x）=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，x∈（0，+∞），则有G′（x）=﹣k=，当k≤0时，G′（x）＞0，∴G（x）在（0，+∞）上单调递增，∴G（x）＞G（0）=0，故对任意正实数x0均满足题意．当0＜k＜1时，令G′（x）=0，得x==﹣1＞0，取x0=﹣1，对任意x∈（0，x0），恒有G′（x）＞0，∴G（x）在（0，x0）上单调递增，G（x）＞G（0）=0，即f（x）＞g（x）．故存在x0＞0，使得对任意的x∈（0，x0），f（x）＞g（x）．此时|f（x）﹣g（x）|=f（x）﹣g（x）=ln（1+x）﹣kx，令N（x）=ln（1+x）﹣kx﹣x2，x∈[0，+∞），则有N′（x）=﹣k﹣2x=，故当x∈（0，）时，N′（x）＞0，N（x）在[0，）上单调递增，故N（x）＞N（0）=0，即f（x）﹣g（x）＞x2，记x0与中较小的为x1，则当x∈（0，x1）时，恒有|f（x）﹣g（x）|＞x2，故满足题意的t不存在．当k=1，由（1）知，当x∈（0，+∞）时，|f（x）﹣g（x）|=g（x）﹣f（x）=x﹣ln（1+x），令H（x）=x﹣ln（1+x）﹣x2，x∈[0，+∞），则有H′（x）=1﹣﹣2x=，当x＞0，H′（x）＜0，∴H（x）在[0，+∞）上单调递减，故H（x）＜H（0）=0，故当x＞0时，恒有|f（x）﹣g（x）|＜x2，满足t＞0的实数t存在．综上，k=1，故选：A．16．设函数f（x）的定义域为D，若函数f（x）满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，则称f（x）为“倍缩函数”，若函数f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（）A．（0，）B．（﹣∞，）C．（0，] D．（﹣∞，]【解答】解：∵函数f（x）=f（x）=log2（2x+t）为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即，∴a，b是方程2x﹣+t=0的两个根，设m==，则m＞0，此时方程为m2﹣m+t=0即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；∴，解得：0＜t＜，∴满足条件t的范围是（0，），故选：A．二．填空题（共16小题）17．设函数f（x）=，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k的取值范围是k≥1．【解答】解：∵当x＞0时，==2e∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e∵∴=当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e∵恒成立且k＞0，∴∴k≥1故答案为k≥118．设关于x的方程x2﹣ax﹣2=0和x2﹣x﹣1﹣a=0得实根分别为x1，x2和x3，x4，若x1＜x3＜x2＜x4，则a的取值范围是（﹣1，1）．【解答】解：由x2﹣ax﹣2=0，得，由x2﹣x﹣1﹣a=0，得a=x2﹣x﹣1．在同一个坐标系中画出和y=x2﹣x﹣1的图象如图：由，化简得x3﹣2x2﹣x+2=0，此方程显然有根x=2，∴x3﹣2x2﹣x+2=（x+1）（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x=﹣1或x=1或x=2，当x=2，或x=﹣1时，y=1；当x=1时，y=﹣1，由题意可知，﹣1＜a＜1．∴a的取值范围是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．19．已知函数f（x）=函数g（x）=x2，若函数y=f（x）﹣g（x）有4个零点，则实数a的取值范围为（5，] ．【解答】解：当x＞0时，y=2x与g（x）=x2有两个交点（2，4），（4，16）．要使函数y=f（x）﹣g（x）有4个零点，只需：x≤0时，y=a|x+|﹣与g（x）=x2有两个交点即可（如图）．过点（﹣，﹣）作g（x）=x2（x＜0）的切线，设切点为（m，m2）切线方程为y﹣m2=2m（x﹣m），把点（﹣，﹣）代入上式得m=﹣，∴切线斜率为2m=5．，解得a，∴实数a的取值范围为（5，]．故答案为（5，]．20．已知函数，若存在实数x1，x2，x3，当0≤x1＜x2＜x3≤3时，f（x1）=f（x2）=f（x3），则（x1+x2）x2f（x3）的取值范围是[，）．【解答】解：分别画出y=|x﹣1|与y=（）x﹣1的图象，如图所示所以x1+x2=2，1﹣x1=x2﹣1=（），得x2=（）+1，得则（x1+x2）x2f（x3）=2（（）+1）•（），令t═（），x3∈（2，3]，得t∈[，），又y=2（t+1）t=2t2+2t，则y的取值范围为[，）．故答案为：[，）．21．已知函数f（x）=则关于x的不等式f（f（x））≤3的解集为（﹣∞，2] ．【解答】解：不等式f（f（x））≤3，令f（t）≤3，若t≤0，则2﹣t﹣1≤3，2﹣t≤4，解得﹣2≤t≤0；若t＞0，则﹣t2+t≤3，t2﹣t+3≥0，解得t＞0，∴t≥﹣2，即原不等式等价于或，解得x≤2．故答案为：（﹣∞，2]．22．对于函数y=f（x），若在其定义域内存在x0，使得x0•f（x0）=1成立，则称x0为函数f（x）的“反比点”．下列函数中具有“反比点”的是①②④．①f（x）=﹣2x+2；②f（x）=sinx，x∈[0，2π]；③f（x）=x+，x∈（0，+∞）；④f（x）=e x；⑤f（x）=﹣2lnx．【解答】解：①由x=1得：，则①具有“反比点”．②设h（x）=xsinx﹣1，∵h（0）=﹣1＜0，，∴h（x）=xsinx﹣1=0⇒xsinx=1在上有解，所以②具有“反比点”．③由∉（0，+∞），所以③不具有“反比点”；④若xe x=1令g（x）=xe x﹣1，g（0）=﹣1＜0，g（1）=e﹣1＞0④具有“反比点”⑤若在（0，+∞）上有解，令h（x）=xlnx⇒h'（x）=lnx+1=0⇒x=e﹣1，可得h（x）在x=e﹣1有最小值﹣e﹣1，而，所以⑤不具有“反比点”，故答案为：①②④23．设定义在R上的函数，g（x）=f（x）﹣a，则当实数a满足0＜a＜1时，函数y=g（x）的零点个数为3个．【解答】解：定义在R上的函数，函数的图象如图：g（x）=f（x）﹣a，则当实数a满足0＜a＜1时，函数y=g（x）的零点个数，就是y=f（x）与y=a图象的交点个数，由图象可知，零点个数为3个．故答案为：3．24．函数f（x）=x3﹣x2﹣x+k的图象与x轴刚好有三个交点，则k的取值范围是（﹣，1）．【解答】解：f′（x）=3x2﹣2x﹣1，令f′（x）=0得x=﹣或x=1，∴当x＜﹣或x＞1时，f′（x）＞0，当﹣＜x＜1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递增，在（﹣，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴当x=﹣时，f（x）取得极大值f（﹣）=+k，当x=1时，f（x）取得极小值f（1）=k﹣1．∵f（x）的图象与x轴刚好有三个交点，∴，解得：﹣＜k＜1．故答案为：（﹣，1）．25．已知幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），则k+α=0．【解答】解：∵幂函数f（x）=k•xα的图象过点（，2），∴k=1，2=k，解得k=1，α=﹣1．∴k+α=0．故答案为：0．26．已知点A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函数f（x）=lgx的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，因此有结论＜lg（）成立．运用类比思想方法可知，若点A （x1，），B（x2，）是函数g（x）=2x的图象上的不同两点，则类似地有成立．【解答】解：A（x1，lgx1），B（x2，lgx2）是函数f（x）=lgx的图象上任意不同两点，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的下方，有结论＜lg（）成立．类比上式可得：若点A（x1，），B（x2，）是y=g（x）上两点，而线段AB两点总是位于A，B两点之间函数图象的上方，有结论：．故答案为：．27．已知函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b满足：，则f（8a+2b+11）取最小值时，a+b的值为．【解答】解：因为f（a）=f（﹣），所以|lg（a+1）|=|lg（﹣+1）|=|lg （）|=|lg（b+2）|，所以a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1，又因为a＜b，所以a+1≠b+2，所以（a+1）（b+2）=1．又由f（a）=|lg（a+1）|有意义知a+1＞0，从而0＜a+1＜b+1＜b+2，于是0＜a+1＜1＜b+2．所以8a+2b+11=8（a+1）+2（b+2）﹣1=2（b+2）+﹣1＞1．从而f（8a+2b+11）=|lg[2（b+2）+]|=lg[2（b+2）+]≥3lg2，当且仅当b=0，a=﹣时取等号．∴a+b=．故答案为﹣．28．对于函数y=f（x），如果f（x0）=x0，我们就称实数x0是函数f（x）的不动点．设函数f（x）=3+log2x，则函数f（x）的不动点一共有2个．【解答】解：由题意得：3+log2x=x，即log2x=x﹣3，画出函数y=log2x和y=x﹣3的图象，如图示：，结合图象，函数有2个交点，即函数f（x）的不动点一共有2个，故答案为：2．29．函数y=log（3x2﹣ax+5）在[﹣1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（﹣8，﹣6] ．【解答】解：∵函数在[﹣1，+∞）上是减函数，∴，解得﹣8＜a≤﹣6，故实数a的取值范围是（﹣8，﹣6]，故答案为（﹣8，﹣6]．30．已知a＞0，b＞0，且2﹣log2a=3﹣log3b=log6，则+=．【解答】解：∵正数a，b满足2﹣log2a=3﹣log3b=log6，∴﹣2+log2a=﹣3+log3b=log6（a+b）设∴﹣2+log2a=﹣3+log3b=log6（a+b）=x则a=2x+2，b=3x+3，a+b=6x，∴+====故答案为：31．函数f（x）=log cos（2x﹣）的单调递增区间为（kπ+，kπ+）（k∈Z）．【解答】解：∵对于函数g（x）=cos（2x﹣）的单调减区间为2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，即kπ+≤x≤kπ+，而cos（2x﹣）＞0，故函数g（x）的单调减区间为（kπ+，kπ+）（k∈Z），根据复合函数的同增异减的原则，得：f（x）在（kπ+，kπ+）（k∈Z）递增，故答案为：（kπ+，kπ+）（k∈Z）．32．已知不论a为何正实数，y=a x+2﹣3的图象恒过定点，则这个定点的坐标是（﹣2，﹣2）．【解答】解：令x+2=0，则x=﹣2，y=﹣2，故y=a x+2﹣3的图象恒过定点（﹣2，﹣2），故答案为：（﹣2，﹣2）三．解答题（共8小题）33．设函数f（x）=|2x﹣1|（1）解关于x的不等式f（2x）≤f（x+1）（2）若实数a，b满足a+b=2，求f（a2）+f（b2）的最小值．【解答】解：（1）|4x﹣1|≤|2x+1|⇔16x2﹣8x+1≤4x2+4x+1⇔12x2﹣12x≤0，解得x∈[0，1]，故原不等式的解集为[0，1]．（2）f（a2）+f（b2）=|2a2﹣1|+|2b2﹣1|≥|2（a2+b2）﹣2|，由柯西不等式：2（a2+b2）=（12+12）（a2+b2）≥（a+b）2=4．从而2（a2+b2）﹣2≥2，即f（a2）+f（b2）≥2，取等条件为a=b=1．故f（a2）+f（b2）的最小值为2．34．已知函数f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．（1）解不等式f（x）≤3；（2）若函数g（x）=|2x﹣2018﹣a|+|2x﹣2019|，若对于任意的x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当x≤﹣时，不等式f（x）≤3可化为：﹣（2x+1）﹣（x﹣1）≤3，解得x≥﹣1，即﹣1≤x≤﹣；当﹣＜x＜1时，不等式f（x）≤3可化为（2x+1）﹣（x﹣1）≤3，解得x≤1，即﹣＜x＜1；当x≥1时，不等式f（x）≤3可化为（2x+1）+（x﹣1）≤3，解得x≤1，即x=1；综上可得：不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，1]；（2）若g（x）=|2x﹣2018﹣a|+|2x﹣2019|，则g（x）=|2x﹣2018﹣a|+|﹣2x+2019|≥|（2x﹣2018﹣a）+（﹣2x+2019）|=|1﹣a|=|a﹣1|，f（x）=，则当x=﹣时，函数f（x）取最小值为，若对于任意的x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，则|a﹣1|≤，解得﹣≤a≤；∴实数a的取值范围是[﹣，]．35．已知函数f（x）=（1）若m∈（﹣2，2），求函数y=f（x）的单调区间；（2）若m∈（0，]，则当x∈[0，m+1]时，函数y=f（x）的图象是否总在直线y=x上方，请写出判断过程．【解答】解：（Ⅰ）函数定义域为R，f′（x）=①当m+1=1，即m=0时，f′（x）≥0，此时f（x）在R递增，②当1＜m+1＜3即0＜m＜2x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）递增，x∈（1，m+1）时，f′（x）＜0，f（x）递减，x∈（m+1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增；③0＜m+1＜1，即﹣1＜m＜0时，x∈（﹣∞，m+1）和（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）递增，x∈（m+1，1）时，f′（x）＜0，f（x）递减；综上所述，①m=0时，f（x）在R递增，②0＜m＜2时，f（x）在（﹣∞，1），（m+1，+∞）递增，在（1，m+1）递减，③﹣2＜m＜0时，f（x）在（﹣∞，m+1），（1，+∞）递增，在（m+1，1）递减；（Ⅱ）当m∈（0，]时，由（1）知f（x）在（0，1）递增，在（1，m+1）递减，令g（x）=x，①当x∈[0，1]时，f（x）min=f（0）=1，g（x）max=1，所以函数f（x）图象在g（x）图象上方；②当x∈[1，m+1]时，函数f（x）单调递减，所以其最小值为f（m+1）=，g（x）最大值为m+1，所以下面判断f（m+1）与m+1的大小，即判断e x与（1+x）x的大小，其中x=m+1∈（1，]，令m（x）=e x﹣（1+x）x，m′（x）=e x﹣2x﹣1，令h（x）=m′（x），则h′（x）=e x﹣2，因x=m+1∈（1，]，所以h′（x）=e x﹣2＞0，m′（x）单调递增；所以m′（1）=e﹣3＜0，m′（）=﹣4＞0，故存在x0∈（1，]使得m′（x0）=e x0﹣2x0﹣1=0，所以m（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，）单调递增所以m（x）≥m（x0）=e x0﹣x02﹣x0=2x0+1﹣﹣x0=﹣+x0+1，所以x0∈（1，]时，m（x0）=﹣+x0+1＞0，即e x＞（1+x）x也即f（m+1）＞m+1，所以函数f（x）的图象总在直线y=x上方．36．已知函数f（x）=log2（x+a）；（1）当a=1时，若，求x的取值范围；（2）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求g（x）在[﹣3，﹣1]上的反函数h（x）；（3）对于（2）中的g（x），若关于x的不等式在R 上恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）原不等式可化为0＜log2（2﹣2x）﹣log2（x+1）＜，∴1＜＜，且2﹣2x＞0，且x+1＞0，得3﹣2＜x＜．（2）∵g（x）是奇函数，∴g（0）=0，得a=1，当x∈[﹣3，﹣2]时，﹣x﹣2∈[0，1]，g（x）=﹣g（x+2）=g（﹣x﹣2）=log2（﹣x﹣1），此时g（x）∈[0，1]，x=﹣2g（x）﹣1，h（x）=﹣2x﹣1（x∈[0，1]）．当x∈（﹣2，﹣1]时，﹣x﹣2∈[﹣1，0），x+2∈（0，1]，g（x）=﹣g（x+2）=﹣log2（x+3），此时，g（x）∈[﹣1，0），x=2﹣g（x）﹣3，h（x）=2﹣x﹣3．（x∈[﹣1，0））．∴h（x）=．（3）∵关于x的不等式g（）≥1﹣log23在R上恒成立，∴记u=）=﹣+，∵关于x的不等式g（）≥1﹣log23在R上恒成立，∴g（）≥log2=﹣log2=﹣log2（1+）=﹣g（）=g（﹣）在R上恒成立，当t+1≥0时，u∈（﹣，﹣+）=（﹣，），∴（﹣，）∈[﹣，]，解得t∈[﹣1，20]．当t+1＜0时，u∈（﹣+，﹣）=（，﹣），由g（）≥log2=﹣log2=﹣log2（1+）=﹣g（）=g（﹣）在R上恒成立，得（，﹣）∈[﹣，]，解得t∈[﹣4，﹣1）．综上所述，实数t的取值范围是[﹣4，20]．37．已知函数f（x）=log2（x+a）．（Ⅰ）当a=1时，若f（x）+f（x﹣1）＞0成立，求x的取值范围；（Ⅱ）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=﹣g（x），且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求g（x）在[﹣3，﹣1]上的解析式，并写出g（x）在[﹣3，3]上的单调区间（不必证明）；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的g（x），若关于x的不等式g（）≥g（﹣）在R上恒成立，求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=log2（x+1）．∴f（x﹣1）=log2x，∴f（x）+f（x﹣1）=log2（x+1）+log2x=log2[x（x+1）]，若f（x）+f（x﹣1）＞0，则，解得：x∈（，+∞），即x的取值范围为（，+∞）；（Ⅱ）∵函数g（x）是定义在R上奇函数，故g（0）=0，又∵当0≤x≤1时，g（x）=f（x）=log2（x+a）．故a=1，当x∈[﹣2，﹣1]时，x+2∈[0，1]，∴g（x）=﹣g（x+2）=﹣log2（x+3）．当x∈[﹣3，﹣2]时，x+2∈[﹣1，0]，﹣（x+2）∈[0，1]，∴g（x）=﹣g（x+2）=g[﹣（x+2）]=log2[﹣（x+2）+1]=log2（﹣x﹣1）．故g（x）=，g（x）在[﹣3，﹣1]和[1，3]上递减，在[﹣1，1]上递增；（III）记u==﹣+，当t+1≥0时，u∈（﹣，﹣+）=（﹣，），由g（）≥g（﹣）在R上恒成立可得：（﹣，）∈[.]，解得：t∈[﹣1，20]．当t+1＜0时，u∈（﹣+，﹣）=（，﹣），由g（）≥g（﹣）在R上恒成立可得：（，﹣）∈[.]，解得：t∈[﹣4，﹣1）．综上所述实数t的取值范围为[﹣4，20]．38．设a＞0，函数（1）若a=1，求f（x）的反函数f﹣1（x）（2）求函数y=f（x）•f（﹣x）的最大值（用a表示）（3）设g（x）=f（x）﹣f（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，0]，g（x）≥g（0）恒成立，求a的取值范围【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=，∴1+2x=，即2x=﹣1=，则0＜y＜1，∴x=log2（）；故f（x）的反函数f﹣1（x）=log2（），x∈（0，1）（2）∵y=f（x）•f（﹣x）=•=，设y=2x+2﹣x，易知，函数y=2x+2﹣x在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，则当x=0时，y=2x+2﹣x有最小值，最小值为2，∴当x=0时，y=f（x）•f（﹣x）有最大值，∴y max==；（3）g（x）=f（x）﹣f（x﹣1）=﹣，令t=a•2x，∵x∈（﹣∞，0]，a＞0，∴0＜t≤a．∴h（t）=，当时h（t）在（0，a]上单调递减，所以∵对任意x∈（﹣∞，0]，g（x）≥g（0）恒成立，且g（0）=﹣，∴恒成立，∴0当时，，令=不恒成立，舍去综上，a的取值范围是（0，]．39．已知函数（a＞0，a≠1，m≠﹣1），是定义在（﹣1，1）上的奇函数．（I）求f（0）的值和实数m的值；（II）当m=1时，判断函数f（x）在（﹣1，1）上的单调性，并给出证明；（III）若且f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0，求实数b的取值范围．【解答】解：（I）∵f（0）=log a1=0．因为f（x）是奇函数，所以：f（﹣x）=﹣f（x）⇒f（﹣x）+f（x）=0∴log a+log a=0；∴log a=0⇒=1，即∴1﹣m2x2=1﹣x2对定义域内的x都成立．∴m2=1．所以m=1或m=﹣1（舍）∴m=1．（II）∵m=1∴f（x）=log a；设设﹣1＜x1＜x2＜1，则∵﹣1＜x1＜x2＜1∴x2﹣x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0∴t1＞t2．当a＞1时，log a t1＞log a t2，即f（x1）＞f（x2）．∴当a＞1时，f（x）在（﹣1，1）上是减函数．当0＜a＜1时，log a t1＜log a t2，即f（x1）＜f（x2）．∴当0＜a＜1时，f（x）在（﹣1，1）上是增函数．（III）由f（b﹣2）+f（2b﹣2）＞0得f（b﹣2）＞﹣f（2b﹣2），∵函数f（x）是奇函数∴f（b﹣2）＞f（2﹣2b），∴0＜a＜1由（II）得f（x）在（﹣1，1）上是增函数∴∴∴b的取值范围是40．已知函数，函数x．（1）若g（mx2+2x+m）的定义域为R，求实数m的取值范围；（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；（3）是否存在非负实数m、n，使得函数的定义域为[m，n]，值域为[2m，2n]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．【解答】解：（1）∵，∴，令u=mx2+2x+m，则，当m=0时，u=2x，的定义域为（0，+∞），不满足题意；当m≠0时，若的定义域为R，则，解得m＞1，综上所述，m＞1 …（4分）（2）=，x ∈[﹣1，1]，令，则，y=t2﹣2at+3，∵函数y=t2﹣2at+3的图象是开口朝上，且以t=a为对称轴的抛物线，故当时，时，；当时，t=a时，；当a＞2时，t=2时，h（a）=y min=7﹣4a．综上所述，…（10分）（3），假设存在，由题意，知解得，∴存在m=0，n=2，使得函数的定义域为[0，2]，值域为[0，4]…（12分）。
高一函数经典难题讲解
高一函数经典难题讲解 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),所以，f(x)= -1+1/(a-x),当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时x∈[a-1,a-1/2](a-x)∈[1/2,1]1/(a-x)∈[1,2]f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1]2.设a为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间(2)讨论函数y=f(x)的零点个数解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增；(2).f(x)=x|x-a|-a=0,x|x-a|=a,①a=0时x=0,零点个数为1；a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2;0<x<a<4时，x^2-ax+a=0②,x2,3=[a土√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=4时，x2,3=a/2,零点个数为2;a>4时，②无实根，零点个数为1。
a<0时，x<0,由①，x>=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a土√(a^2+4a)]/2；x<a时x^2-ax+a=0，x3=[a-√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=-4时x1,2=a/2,零点个数为2;a<-4时③无实根，零点个数为1.综上，a<-4,或a=0,或a>4时零点个数为1；a=土4时，零点个数为2；-4<a<0,或0<a<4时，零点个数为3.3.已知函数f(x)=log3为底 1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称（1）求常数m的值（2）当x∈（3,4）时，求f(x)的值域；（3）判断f(x)的单调性并证明。
高一函数经典难题讲解
高一函数经典难题讲解2、已知函数f(x)=log3为底1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称，可得：f(-x)=log3[1-m(-x+2)/(-x-3)]=log3[1+m(x+2)/(x+3)]因为f(-x)=-f(x)，所以有：log3[1-m(x+2)/(x-3)]=-log3[1+m(x+2)/(x+3)]即：log3[(1-m(x+2)/(x-3))(1+m(x+2)/(x+3))]=-1化简得到：m=23、当x∈（3,4）时，有：f(x)=log3[1-m(x+2)/(x-3)]=log3[(x-3-m(x+2))/(x-3)]因为m=2，所以有：f(x)=log3[(x-7)/(x-3)]因此，f(x)的值域为(-∞,log3(4/3))4、对于f(x)=log3[(x-7)/(x-3)]，求导可得：f'(x)=1/(x-7)-1/(x-3)当x>7时，f'(x)<0，即f(x)单调递减；当30，即f(x)单调递增；因此，f(x)在定义域内为单调函数。
1.给定方程u(t) = (a-1)t^2 - 4/3at - 1 = 0，要求找出唯一的正根。
因为两个函数图像只有一个公共点，所以问题转化为寻找这个正根。
当a=1时，方程没有正根；当△=0时，a=3/4或a=-3，其中a=3/4时，t=-1/2，a=-3时，t=1/2.如果方程有一个正根和一个负根，那么(a-1)×u(0)。
1.综上所述，a=-3或a>1.2.给定方程f²(x) + bf(x) + c = 0，要求确定它有五个根的充要条件。
首先，我们分析函数f(x)的图像，发现当f(x)=1时，有三个对称的x值，除了x=2之外还有两个。
当f(x)≠1时，有两个对称的x值。
因此，满足f²(x) + bf(x) + c = 0的f(x)有两个，一个对应三个x值，另一个对应两个x值。
高一数学函数经典难题讲解
- 1 - 高一函数经典难题讲解1.已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),x∈R 且x≠a,当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时,求f(x)值解:由题知，已知函数f(x)=(x+1-a)/(a-x),所以，f(x)= -1+1/(a-x),当f(x)的定义域为[a-1,a-1/2]时x∈[a -1,a-1/2](a-x)∈[1/2,1]1/(a-x)∈[1,2]f(x)=-1+1/(a-x)∈[0,1]2.设a 为非负数,函数f(x)=x|x-a|-a. (1)当a=2时,求函数的单调区间(2)讨论函数y=f(x)的零点个数解析：(1)∵函数f(x)=x|x-2|-2当x<2时，f(x)=-x^2+2x-2，为开口向下抛物线，对称轴为x=1当x>=2时，f(x)=x^2-2x-2，为开口向上抛物线，对称轴为x=1 ∴当x∈(-∞,1)时，f(x)单调增；当x∈[1,2]时，f(x)单调减；当x∈(2,+∞)时，f(x)单调增；(2).f(x)=x|x-a|-a=0,x|x-a|=a,①a=0时x=0,零点个数为1；a>0时x>0,由①，x>=a,x^2-ax-a=0,x1=[a+√(a^2+4a)]/2;0<x<a<4时，x^2-ax+a=0②,x2,3=[a 土√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=4时，x2,3=a/2,零点个数为2;a>4时，②无实根，零点个数为1。
a<0时，x<0,由①，x>=a>-4,x^2-ax-a=0③,x1,2=[a 土√(a^2+4a)]/2；x<a 时x^2-ax+a=0，x3=[a-√(a^2-4a)]/2,零点个数为3;a=-4时x1,2=a/2,零点个数为2;a<-4时③无实根，零点个数为1.综上，a<-4,或a=0,或a>4时零点个数为1；a=土4时，零点个数为2；-4<a<0,或0<a<4时，零点个数为3.3.已知函数f(x)=log3为底 1-m(x+2)/x-3的图像关于原点对称（1）求常数m 的值（2）当x ∈（3,4）时，求f(x)的值域；（3）判断f(x)的单调性并证明。
高一数学上期中考试函数解析式专题汇总及参考答案
高一数学上期中考试函数解析式专题汇总及参考答案1. （江苏省常熟市2017-2018高一（上）期中）7．已知函数f （x ﹣1）=x 2﹣2x ，则f （x ）= ．2. （江苏省苏州市2017-2018高一（上）期中）6．已知f （x ﹣1）=2x+3，f （m ）=6，则m= ．3. （江苏省震泽中学2017-2018高一（上）期中）4.设函数)(x f 满足24)12(x x f =-，则=)(x f ．4. （江苏省苏州市2017-2018高一（上）期中）17．已知函数f （x ）满足f （x ﹣1）=log a （2﹣x ）﹣log a x ．（1）求函数f （x ）的解析式及定义域；（2）解关于x 的不等式f （2x ）＜0．5. （江苏省震泽中学2017-2018高一（上）期中）20.已知二次函数()f x 的最小值为14-，图象在x 轴上截得的线段长为1，且对任意x ∈R ，都有()()1f x f x -=-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）设()()()10g x f x mx m =-->．① 写出函数()g x 的单调区间；② 当2m >时，研究函数()g x 的图象与x 轴正半轴交点的情况．6. （江苏省苏州市张家港高级中学2015-2016高一（上）期中）2．已知f （2x ）=6x ﹣1，则f （x ）= ．7. （江苏省震泽中学2015-2016高一（上）期中）4．下列各组函数中，是同一个函数的有 .(填写序号)①x y =与xx y 2= ②2x y =与2)1(+=x y ③2x y =与||x y = ④x y =与33x y =8. （江苏省张家港市四校联考2014-2015高一（上）期中）19． （本题16分）二次函数f (x )的图像顶点为A (1,16)，且图像在x 轴上截得线段长为8（1）求函数f (x )的解析式；（2）令g (x )=(2-2a )x -f(x )，①若函数g (x )在[0,2]上是单调增函数，求实数a 的取值范围；②求函数g (x )在[0,2]的最小值.9. （江苏省苏州五中2012-2013高一（上）期中）17.（本题满分15分）已知定义在实数集R 上的偶函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调增函数.（1）试写出满足上述条件的一个函数；（2）若)(lg )1(x f f <，求x 的取值范围.10. （江苏省苏州五中2012-2013高一（上）期中）4. 已知函数24)12(x x f =+，则=)5(f .11. （江苏省苏州五中2012-2013高一（上）期中）7．下列各组函数中，表示同一函数的序号是 ． ①错误！未找到引用源。
【压轴题】高中必修一数学上期中试题(含答案)
【压轴题】高中必修一数学上期中试题(含答案)一、选择题1．已知函数()1ln 1xf x x -=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．已知(31)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．1(0,)3C ．11[,)73D ．1[,1)73．已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞U4．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5 B ．5-C ．0D ．20195．函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．6．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>7．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a8．方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ） A ．(1,2)B ．(3,4)C ．(5,6)D ．(6,7)9．已知函数在上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．10．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞12．三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<二、填空题13．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．14．已知函数()2()lg 2f x x ax =-+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______. 15．设，则________16．如果关于x 的方程x 2+（m -1）x -m =0有两个大于12的正根，则实数m 的取值范围为____________.17．若4log 3a =，则22a a -+= ．18．若函数|1|12x y m -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是__________．19．2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数）20．若关于 x 的方程2420x x a ---= 在区间 (1, 4) 内有解，则实数 a 的取值范围是_____．三、解答题21．已知二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=（x ∈R ），且(0)1f =． （1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()2g x f x tx =-在区间[1,5]-上是单调函数，求实数t 的取值范围； （3）若关于x 的方程()f x x m =+有区间(1,2)-上有一个零点，求实数m 的取值范围． 22．已知函数f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，其中x ∈[0,3]． (1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若实数a 满足f (x )－a ≥0恒成立，求a 的取值范围．23．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值4：当712x π=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 24．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．25．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）． （Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?26．已知()42log ,[116]f x x x =+∈，，函数()()()22[]g x f x f x =+．（1）求函数()g x 的定义域；（2）求函数()g x 的最大值及此时x 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论． 【详解】根据题意，函数()1ln 1xf x x-=+， 则有101xx->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11lnln 11x xf x f x x x+--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11xt x -=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数， 而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln1xf x x-=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥-- ()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 故选:D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．2．C解析：C 【解析】要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则要求①当1x <，()(31)4f x a x a =-+在区间(,1)-∞为减函数，②当1x ≥时，()log a f x x =在区间[1,)+∞为减函数，③当1x =时，(31)14log 1a a a -⨯+≥，综上①②③解方程即可.【详解】令()(31)4g x a x =-+，()log a h x x =.要使函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数，则有()(31)4g x a x =-+在区间(,1)-∞上为减函数，()log a h x x =在区间[1,)+∞上为减函数且(1)(1)g h ≥,∴31001(1)(31)14log 1(1)a a a g a a h -<⎧⎪<<⎨⎪=-⨯+≥=⎩,解得1173a ≤<. 故选：C. 【点睛】考查分段函数求参数的问题.其中一次函数y ax b =+，当0a <时，函数y ax b =+在R 上为减函数，对数函数log ,(0)a y x x =>，当01a <<时，对数函数log ay x =在区间(0,)+∞上为减函数.3．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．4．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数； ∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．5．C解析：C 【解析】 由题意知，函数sin 21cos xy x =-为奇函数，故排除B ；当πx =时，0y =，故排除D ；当1x =时，sin 201cos 2y =>-，故排除A ．故选C ． 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．6．B解析：B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．7．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.8．C解析：C 【解析】 【分析】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间． 【详解】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f ∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6 故选C. 【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.9．C解析：C 【解析】 【分析】由函数单调性的定义，若函数在上单调递减，可以得到函数在每一个子区间上都是单调递减的，且当时，，求解即可．【详解】 若函数在上单调递减，则，解得. 故选C. 【点睛】本题考查分段函数的单调性．严格根据定义解答，本题保证随的增大而减小，故解答本题的关键是的最小值大于等于的最大值． 10．D解析：D 【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D11．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.12．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<Q ,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.二、填空题13．【解析】试题分析：由于函数的值域是故当时满足当时由所以所以所以实数的取值范围考点：对数函数的性质及函数的值域【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题解答时要牢记对数函数 解析：(]1,2【解析】试题分析：由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤. 考点：对数函数的性质及函数的值域.【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.14．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得 解析：(],3-∞【解析】 【分析】根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围. 【详解】要使()f x 在()2,+∞上递增，根据复合函数单调性，需二次函数22y x ax =-+对称轴在2x =的左边，并且在2x =时，二次函数的函数值为非负数，即2222220a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得3a ≤.即实数a 的取值范围是(],3-∞.【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题.15．-1【解析】【分析】由分段函数的解析式先求出f(-2)的值并判定符号从而可得f(f(-2))的值【详解】∵fx=1-xx≥0x2x<0-2<0∴f-2=-22=4>0所以f(f(-2))=f4=1-解析：-1 【解析】 【分析】由分段函数的解析式先求出的值并判定符号，从而可得的值.【详解】， ，所以，故答案为-1. 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于简单题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．16．（-∞-）【解析】【分析】方程有两个大于的根据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可【详解】解：根据题意m 应当满足条件即：解得：实数m 的取值范围：（-∞-）故答案为：（-∞-）【点睛】本题考查根的判解析：（-∞，-12） 【解析】【分析】 方程有两个大于12的根，据此可以列出不等式组求得m 的取值范围即可. 【详解】解：根据题意，m 应当满足条件2(1)40112211(1)042m m m m m ⎧⎪∆=-+>⎪-⎪->⎨⎪⎪+-->⎪⎩即：2210012m m m m ⎧⎪++>⎪<⎨⎪⎪<-⎩，解得：12m <-， 实数m 的取值范围：（-∞，-12）. 故答案为：（-∞，-12）. 【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.17．【解析】【分析】【详解】∵∴∴考点：对数的计算【解析】 【分析】 【详解】∵4log 3a =，∴432a a =⇒=222a-+== 考点：对数的计算18．【解析】【分析】由可得出设函数将问题转化为函数与函数的图象有交点利用数形结合思想可求出实数的取值范围【详解】由可得出设函数则直线与函数的图象有交点作出函数与函数的图象如下图所示由图象可知则解得因此实 解析：[)1,0-【解析】 【分析】由|1|102x y m -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭可得出112xm -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，将问题转化为函数y m =-与函数()y g x =的图象有交点，利用数形结合思想可求出实数m 的取值范围.【详解】由|1|12xy m-⎛⎫=+=⎪⎝⎭可得出112xm-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，设函数()112xg x-⎛⎫= ⎪⎝⎭，则直线y m=-与函数()y g x=的图象有交点，作出函数()111,122,1xxxg xx--⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪<⎩与函数y m=-的图象如下图所示，由图象可知()01g x<≤，则01m<-≤，解得10m-≤<.因此，实数m的取值范围是[)1,0-.故答案为：[)1,0-.【点睛】本题考查利用函数有零点求参数的取值范围，在含单参数的函数零点问题的求解中，一般转化为参数直线与函数图象有交点来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 19．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是解析：68【解析】由题意得，经过t天后气球体积变为ktV a e-=⋅，经过25天后，气球体积变为原来的23，即25252233k ka e a e--⋅=⇒=，则225ln3k-=，设t天后体积变为原来的13，即13ktV a e a-=⋅=，即13kte-=，则1ln3kt-=两式相除可得2ln2531ln3kkt-=-，即2lg25lg2lg30.3010.477130.3681lg30.4771lg3t--===≈--，所以68t≈天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定t的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于t的方程，求解t的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.20．-6-2)【解析】【分析】转化成f(x)=与有交点再利用二次函数的图像求解【详解】由题得令f(x)=所以所以故答案为-6-2)【点睛】本题主要考查二次方程的有解问题考查二次函数的图像和性质意在考查学解析：[-6,-2) 【解析】 【分析】转化成f(x)=242x x --与y a =有交点, 再利用二次函数的图像求解. 【详解】由题得242x x a --=，令f(x)=()242,1,4x x x --∈,所以()()[)2242266,2f x x x x =--=--∈--， 所以[)6,2a ∈-- 故答案为[-6,-2) 【点睛】本题主要考查二次方程的有解问题，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.三、解答题21．（1）2()1f x x x =-+；（2）39,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（3）{}0[1,4)⋃．【解析】试题分析：（1）设2()f x ax bx c =++（0a ≠）代入(1)()2f x f x x +-=得22ax a b x ++=对于x ∈R 恒成立，列出方程，求得,,a b c 的值，即可求解函数的解析式；（2）由()g x ，根据函数()g x 在[1,5]-上是单调函数，列出不等式组，即可求解实数t 的取值范围；（3）由方程()f x x m =+得2210x x m -+-=，令2()21h x x x m =-+-，即要求函数()h x 在(1,2)-上有唯一的零点，分类讨论即可求解实数m 的取值范围．试题解析：（1）设2()f x ax bx c =++（0a ≠）代入(1)()2f x f x x +-=得22ax a b x ++=对于x ∈R 恒成立，故22a ab =⎧⎨+=⎩，又由(0)1f =得1c =，解得1a =，1b =-，1c =，所以2()1f x x x =-+；（2）因为22221(21)()()2(21)1124t t g x f x tx x t x ++⎛⎫=-=-++=-+- ⎪⎝⎭， 又函数()g x 在[1,5]-上是单调函数，故2111t +≤-或2151t +≥，解得32t ≤-或92t ≥，故实数t 的取值范围是39,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（3）由方程()f x x m =+得2210x x m -+-=，令2()21h x x x m =-+-，(1,2)x ∈-，即要求函数()h x 在(1,2)-上有唯一的零点， ①(1)0h -=，则4m =，代入原方程得1x =-或3，不合题意；②若(2)0h =，则1m =，代入原方程得0x =或2，满足题意，故1m =成立； ③若0∆=，则0m =，代入原方程得1x =，满足题意，故0m =成立； ④若4m ≠且1m ≠且0m ≠时，由(1)40{(2)10h m h m -=->=-<得14m <<，综上，实数m 的取值范围是{}0[1,4)⋃． 考点：函数的解析式；函数的单调性及其应用．22．（1）f (x )min ＝－10，f (x )max ＝26；（2）(－∞，－10].【解析】试题分析：（1）由题意可得，f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，令t=2x ，从而可转化为二次函数在区间[1，8]上的最值的求解（2）由题意可得，a≤f （x ）恒成立⇔a ≤f （x ）min 恒成立，结合（1）可求 试题解析：(1)f (x )＝(2x )2－4·2x －6(0≤x ≤3)． 令t ＝2x，∵0≤x ≤3，∴1≤t ≤8.则h (t )＝t 2－4t －6＝(t －2)2－10(1≤t ≤8)．当t ∈[1,2]时，h (t )是减函数；当t ∈(2,8]时，h (t )是增函数． ∴f (x )min ＝h (2)＝－10，f (x )max ＝h (8)＝26. (2)∵f (x )－a ≥0恒成立，即a ≤f (x )恒成立， ∴a ≤f (x )min 恒成立．由(1)知f (x )min ＝－10，∴a ≤－10. 故a 的取值范围为(－∞，－10]．23．（1）()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）19t +< 【解析】 【分析】（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式； （2）先确定23x π+范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果.【详解】（1）解：由题意知74,212122T A πππ==-=，得周期T π= 即2ππω=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ϕ=+当12x π=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，得πsin φ16骣琪+=琪桫得2()62k k Z ππϕπ+=+∈，，得23()k k Z πϕπ=+∈，,ϕπ<∴Q 当0k =时，=3πϕ，因此()4sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）()()210h x f x t =+-=，即()12t f x -= 当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当232x ππ+=时，4sin42π= 要使()12t f x -=有两个根，则142t -≤<，得19t +≤< 即实数t的取值范围是19t +< 【点睛】本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.24．（1）1；（2）减函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）奇函数在0x =处有定义时，()00f =，由此确定出a 的值，注意检验是否为奇函数；（2）先判断函数单调性，然后根据函数单调性的定义法完成单调性证明即可. 【详解】()1根据题意，函数()221x x af x -+=+是定义域为R 奇函数，则()0020021af -+==+，解可得1a =，当1a =时，()()12121212x xx xf x f x -----=-==-++，为奇函数，符合题意；故1a =；()2由()1的结论，()12121221x x xf x -==-++，在R 上为减函数； 证明：设12x x <，则()()()()()2212121222112221212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，又由12x x <，则()21220x x->，()1210x+>，()2210x+>， 则()()120f x f x ->， 则函数()f x 在R 上为减函数． 【点睛】本题考查函数奇偶性单调性的综合应用，难度一般.(1)定义法证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；(2)当奇函数在0x =处有定义时，一定有()00f =.25．（Ⅰ）()27530225,02,75030,2 5.1x x x f x x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩（Ⅱ）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得f （x ）＝15w （x ）﹣30x ，则化为分段函数即可，（2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润． 【详解】（Ⅰ）由已知()()()1520101530f x W x x x W x x =--=-()2155330,02,501530,251x x x x x x x ⎧⨯+-≤≤⎪=⎨⨯-<≤⎪+⎩27530225,02,75030,2 5.1x x x x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩ (Ⅱ)由(Ⅰ)得()()22175222,02,7530225,02,5=75030,2 5.25780301,2 5.11x x x x x f x x x x x x x x ⎧⎛⎫-+≤≤⎧-+≤≤⎪⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎨-<≤⎡⎤⎪⎪-++<≤+⎩⎢⎥⎪+⎣⎦⎩当02x ≤≤时，()()max 2465f x f ==； 当25x <≤时，()()257803011f x x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦78030480≤-⨯= 当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立． 因为465480<，所以当4x =时，()max 480f x =．∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元． 【点睛】本题考查了函数的应用、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．（1）[1]4，；（2）4x =时，函数有最大值13． 【解析】【分析】（1）由已知()f x 的定义域及复合函数的定义域的求解可知，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，解不等式可求（2）由已知可求()()()22[]g x f x f x +＝，结合二次函数的性质可求函数g x （）的最值及相应的x ． 【详解】解：（1）()42log [116]f x x x =+∈Q ，，，()()()22[]g x f x f x +＝．由题意可得，2116116x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩， 解可得，14x ≤≤即函数()g x 的定义域[1]4，； （2）()42log ,[116]f x x x =+∈Q ，， ()()()()222224444[]2log 2log log 6log 6g x f x f x x x x x ∴=+=+++=++设4log t x =，则[01]t ∈，， 而()()226633g t t t t =++=+-在[0]1，单调递增， 当1t =，即4x =时，函数有最大值13． 【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，本题中的函数()g x 的定义域是容易出错点．。
【压轴卷】高中必修一数学上期中试题含答案
【压轴卷】高中必修一数学上期中试题含答案一、选择题1．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>3．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤4．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 5．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A ．50-B ．0C ．2D ．506．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．函数223()2xx x f x e +=的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]9．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,33210．已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>11．若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭ B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,312．已知()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．7B ．72C ．74D ．78二、填空题13．已知函数())2ln11f x x x =++，()4f a =，则()f a -=________．14．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.15．若1∈{}2,a a, 则a 的值是__________16．已知函数()2()lg 2f x x ax =-+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______.17．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩，其中0a >且1a ≠，若函数()f x 的图象上有且只有一对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是__________． 18．已知函数(1)4f x x +=-，则()f x 的解析式为_________.19．若幂函数()af x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.20．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．三、解答题21．已知函数f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，其中x ∈[0,3]． (1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若实数a 满足f (x )－a ≥0恒成立，求a 的取值范围．22．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．23．小张经营某一消费品专卖店，已知该消费品的进价为每件40元，该店每月销售量（百件）与销售单价x （元/件）之间的关系用下图的一折线表示，职工每人每月工资为1000元，该店还应交付的其它费用为每月10000元.（1）把y 表示为x 的函数；（2）当销售价为每件50元时，该店正好收支平衡（即利润为零），求该店的职工人数； （3）若该店只有20名职工，问销售单价定为多少元时，该专卖店可获得最大月利润？（注：利润=收入-支出）24．设2{|670},{|24},{|}A x x x B x x C x x a =--≤=-≤=≥ （1）求A B I（2）若A C C =U ，求实数a 的取值范围.25．近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P 与投入a (单位:万元)满足326P a =,乙城市收益Q 与投入b (单位:万元)满足124Q b =+,设甲城市的投入为x (单位:万元),两个城市的总收益为()f x (单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?26．某辆汽车以x 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120)x 剟时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500()5x k x-+升，其中k 为常数，且60100k 剟． （1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D2．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3222639b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<.故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.4．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算5．C解析：C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．6．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.7．B解析：B 【解析】由()f x 的解析式知仅有两个零点32x =-与0x =，而A 中有三个零点，所以排除A ，又()2232xx x f x e-++'=，由()0f x '=知函数有两个极值点，排除C ，D ，故选B ． 8．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.9．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.10．B解析：B 【解析】 【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.()()f x f x -=Q ，则函数()y f x =为偶函数，Q 函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=Q ，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】解：Q 函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩…单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．12．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论．2222log 4log 7log 83=<<=Q ，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==. 故选：C . 【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．二、填空题13．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题 解析：2-【解析】 【分析】发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果. 【详解】因为()()))()22f x f x lnx 1lnx 1ln 122x x +-=+++=+-+=，()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.故答案为-2 【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.14．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为解析：()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【解析】由定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,可得函数()f x 在区间()0+∞，上是增函数,所以由不等式()()1ln f f x <得ln 1x >,即ln 1x >或ln 1x <-,解得x e >或10e x <<,即不等式()()1ln f f x <的解集是()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭;故答案为()10,e,e ∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭. 15．-1【解析】因为所以或当时不符合集合中元素的互异性当时解得或时符合题意所以填解析：-1 【解析】 因为{}21,a a∈，所以1a =或21a=，当1a =时，2a a =，不符合集合中元素的互异性，当21a =时，解得1a =或1a =-，1a =-时2a a ≠，符合题意．所以填1a =-．16．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得 解析：(],3-∞【解析】 【分析】根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围. 【详解】要使()f x 在()2,+∞上递增，根据复合函数单调性，需二次函数22y x ax =-+对称轴在2x =的左边，并且在2x =时，二次函数的函数值为非负数，即2222220a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得3a ≤.即实数a 的取值范围是(],3-∞.【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题.17．【解析】将在轴左侧的图象关于轴对称到右边与在轴右侧的图象有且只有一个交点当时一定满足当时必须解得综上的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关解析：(0,1)1,4⋃（） 【解析】将()f x 在y 轴左侧的图象关于y 轴对称到右边，与()f x 在y 轴右侧的图象有且只有一个交点.当01a <<时一定满足，当1a >时必须log 41a >，解得4a <.综上a 的取值范围是()0,11,4⋃（）.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．18．【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令则故故答案为【点睛】本题考查函数解析式的求法换元法是常见方法注意新元的范围是易错点 解析：2()23(1)f x x x x =--≥【解析】【分析】利用换元法求解析式即可【详解】令11t =≥，则()21x t =-故()()214f t t =--=223(1)t t t --≥故答案为2()23(1)f x x x x =--≥【点睛】本题考查函数解析式的求法，换元法是常见方法，注意新元的范围是易错点 19．【解析】由题意有：则： 解析：14【解析】 由题意有：13,29a a =∴=-， 则：()22124a --=-=. 20．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}，【解析】【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素．【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =．若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =．综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-．【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．三、解答题21．（1）f (x )min ＝－10，f (x )max ＝26；（2）(－∞，－10].【解析】试题分析：（1）由题意可得，f (x )＝4x －2·2x ＋1－6，令t=2x ，从而可转化为二次函数在区间[1，8]上的最值的求解（2）由题意可得，a≤f （x ）恒成立⇔a ≤f （x ）min 恒成立，结合（1）可求试题解析：(1)f (x )＝(2x )2－4·2x－6(0≤x ≤3)．令t ＝2x ，∵0≤x ≤3，∴1≤t ≤8.则h (t )＝t 2－4t －6＝(t －2)2－10(1≤t ≤8)．当t ∈[1,2]时，h (t )是减函数；当t ∈(2,8]时，h (t )是增函数．∴f (x )min ＝h (2)＝－10，f (x )max ＝h (8)＝26.(2)∵f (x )－a ≥0恒成立，即a ≤f (x )恒成立，∴a ≤f (x )min 恒成立．由(1)知f (x )min ＝－10，∴a ≤－10.故a 的取值范围为(－∞，－10]．22．（1）1；（2）减函数，证明见解析【解析】【分析】（1）奇函数在0x =处有定义时，()00f =，由此确定出a 的值，注意检验是否为奇函数；（2）先判断函数单调性，然后根据函数单调性的定义法完成单调性证明即可.【详解】 ()1根据题意，函数()221x x a f x -+=+是定义域为R 奇函数， 则()0020021a f -+==+，解可得1a =， 当1a =时，()()12121212x xx x f x f x -----=-==-++，为奇函数，符合题意；故1a =；()2由()1的结论，()12121221x x x f x -==-++，在R 上为减函数； 证明：设12x x <，则()()()()()2212121222112221212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 又由12x x <，则()21220x x ->，()1210x +>，()2210x +>，则()()120f x f x ->，则函数()f x 在R 上为减函数．【点睛】本题考查函数奇偶性单调性的综合应用，难度一般.(1)定义法证明函数单调性的步骤：假设、作差、变形、判号、下结论；(2)当奇函数在0x =处有定义时，一定有()00f =. 23．（1）()()2140,4060150,60802x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩（2）30名员工（3）销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大【解析】【分析】（1）利用待定系数法分别求出当4060x ≤≤和6080x <≤时的解析式，进而可得所求结果；（2）设该店有职工m 名，根据题意得到关于m 的方程，求解可得所求；（3）由题意得到利润的函数关系式，根据分段函数最值的求法可得所求．【详解】（1）当4060x ≤≤时，设y ax b =+，由题意得点()()40,60,60,20在函数的图象上，∴40606020a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得2140a b =-⎧⎨=⎩， ∴当4060x ≤≤时，2140y x =-+． 同理，当6080x <≤时，1502y x =-+． ∴所求关系式为()()2140,4060150,6080.2x x y x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩ （2）设该店有职工m 名，当x=50时，该店的总收入为()()()4010010021404040000y x x x -⨯=-+-=元， 又该店的总支出为1000m+10000元，依题意得40000=1000m+10000,解得：m=30.所以此时该店有30名员工．（3）若该店只有20名职工，则月利润()()()()()21404010030000,40601504010030000,60802x x x S x x x ⎧-+-⨯-≤≤⎪=⎨⎛⎫-+-⨯-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩①当4060x ≤≤时，()225515000S x =--+，所以x=55时，S 取最大值15000元； ②当6080x <≤时，()2170150002S x =--+， 所以x=70时，S 取最大值15000元；故当x=55或x=70时，S 取最大值15000元， 即销售单价定为55或70元时，该专卖店月利润最大．【点睛】解决函数应用问题重点解决以下几点：（1）阅读理解、整理数据：通过分析快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域； （3）求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值；（4）回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．24．（1）[1,6]-（2）1a ≤-【解析】【分析】（1）化简集合，根据集合的交集运算即可求解（2）由A C C =U 可知A C ⊆，结合数轴求解即可.【详解】（1）由2670x x --≤解得17x -≤≤，故[1,7]A =-， 因为24x -≤，所以26x -≤≤，即[2,6]B =-,所以[1,7][2,6][1,6]A B =--=-I I .（2） 因为A C C =U ，所以A C ⊆，故1a ≤-.【点睛】本题主要考查了集合的交集，并集，子集，涉及一元二次不等式及绝对值不等式，属于中档题.25．（1）43.5（2）当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.【解析】(1)当50x =时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,所以总收益()50f =167024+⨯+=43.5(万元). (2)由题知,甲城市投资x 万元,乙城市投资()120x -万元,所以()f x =()1612024x +-+=126,4x -+ 依题意得4012040x x ≥⎧⎨-≥⎩,解得4080x ≤≤,故()f x =()12640804x x -+≤≤,令t =,则t ⎡∈⎣,所以y =21264t -++=21(444t --+.当t =,即72x =万元时,y 的最大值为44万元,所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.26．（1）[60，100]；（2）当75100k 剟，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220900k -升； 当6075k <„，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为10546k -升． 【解析】【分析】（1）将120x =代入每小时的油耗，解方程可得100=k ，由题意可得14500(100)95x x -+„，解不等式可得x 的范围； （2）设该汽车行驶100千米油耗为y 升，由题意可得10014500()5y x k x x=-+g ，换元令1t x=、化简整理可得t 的二次函数，讨论t 的范围和对称轴的关系，即可得到所求最小值．【详解】 解：（1）由题意可得当120x =时，1450014500()(120)11.555120x k k x -+=-+=，解得100=k ，由14500(100)95x x-+„， 即214545000x x -+„，解得45100x 剟， 又60120x 剟，可得60100x 剟， 每小时的油耗不超过9升，x 的取值范围为[60，100]；（2）设该汽车行驶100千米油耗为y 升，则2100145002090000()20(60120)5k y x k x x x x x =-+=-+g 剟， 令1t x=，则1[120t ∈，1]60， 即有22290000202090000()209000900k k y t kt t =-+=-+-， 对称轴为9000k t =，由60100k 剟，可得1[9000150k ∈，1]90， ①若19000120k …即75100k 剟， 则当9000k t =，即9000x k=时，220900min k y =-； ②若19000120k <即6075k <„， 则当1120t =，即120x =时，10546min k y =-． 答：当75100k 剟，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220900k -升； 当6075k <„，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为10546k -升． 【点睛】本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查函数的最值求法，注意运用换元法和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．。
高一上学期期中考重难点归纳总结(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
【答案】B
【解析】由 A 1,3, 5 ， B 3, 4, 5 ，得 A B 1,3, 4,5 ，
所以 ðU A B 2, 6 ，
故选：B
2．（2023 秋·江苏盐城·高一校联考期末）设全集U R ，集合 A x x 2 ， B x x 2 或 x 6，则
A ðU B （ ） A．x x 2
秋·辽宁抚顺·高一抚顺一中校考阶段练习）已知集合
M
x∣x
m
1 6
,m
Z
，
N
x∣x
n
1
,
n
Z
，
P
x∣x
p
1 , p Z ，则 M
，N
， P 的关系为（
）
23
26
A． M N P
B． M N P
C． M N P
D． N P M
【答案】B
【解析】因为 M
∣ x x
m1,
m
Z
所以实数 a 的取值范围是{a | 0 a 4} .
故选：D
考点五 不等式的性质
【例 5】（2023 秋·上海浦东新 ）已知 a b c d ，下列选项中正确的是（ ）
A． a d b c
B． a c b d
C． ad bc
D． ac bd
【答案】B
【解析】对于选项 A，因为 a 3,b 2,c 1, d 10 ，满足 a b c d ，但不满足 a d b c ，所以选项 A
数是（ ） A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【解析】因为 A x, y x y 0 ， B x, y | x2 2y2 1 ，
所以集合 A 是直线 x y 0 上的点的集合，集合 B 是椭圆 x2 2y2 1 上的点的集合； 因为 M A B ，所以若要求 M 中的元素个数，只需联立方程即可；
必修一数学《函数的应用》经典习题(含答案解析)
必修一数学(第三章函数的应用)单元检测(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2020·洛阳高一检测)函数f(x)的图象如图所示,函数f(x)零点的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2020·宜昌高一检测)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( )A.若f(a)f(b)>0,不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0B.若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0C.若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0D.若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=03.已知方程x=3-lgx,下列说法正确的是( )A.方程x=3-lgx的解在区间(0,1)内B.方程x=3-lgx的解在区间(1,2)内C.方程x=3-lgx的解在区间(2,3)内D.方程x=3-lgx的解在区间(3,4)内4.(2020·长沙高一检测)已知f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,那么下面命题错误的是( )A.函数f(x)在(1,2)或[2,3]内有零点B.函数f(x)在(3,5)内无零点C.函数f(x)在(2,5)内有零点D.函数f(x)在(2,4)内不一定有零点5.(2020·临川高一检测)设x0是方程lnx+x=4的解,则x0在下列哪个区间内( )A.(3,4)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)6.(2020·新余高一检测)下列方程在区间(0,1)存在实数解的是( )A.x2+x-3=0B.x+1=0C.x+lnx=0D.x2-lgx=07.(2020·郑州高一检测)函数f(x)=3x-log2(-x)的零点所在区间是( )A. B.(-2,-1)C.(1,2)D.8.某种型号的手机自投放市场以来,经过两次降价,单价由原来的2000元降到1280元,则这种手机的价格平均每次降低的百分率是( )A.10%B.15%C.18%D.20%9.向高为H的圆锥形漏斗注入化学溶液(漏斗下方口暂时关闭),注入溶液量V与溶液深度h的函数图象是( )10.若方程a x-x-a=0有两个解,则a的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.(0,+∞)D.∅11.(2020·福州高一检测)若函数f的零点与g=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,则f可以是( )A.f=4x-1B.f=(x-1)2C.f=e x-1D.f=ln12.如图表示一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行的函数图象,由图可知:骑自行车者用了6小时,沿途休息了1小时,骑摩托车者用了2小时,根据这个函数图象,推出关于这两个旅行者的如下信息:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者.其中正确信息的序号是( )A.①②③B.①③C.②③D.①②二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2020·南昌高一检测)用“二分法”求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根,取区间中点为x0=2.5,那么下一个有根的区间是.14.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)-k=0有唯一一个实数根,则实数k的取值范围是.15.若函数f(x)=lgx+x-3的近似零点在区间(k,k+1)(k∈Z)内,则k= .16.定义在R上的偶函数y=f(x),当x≥0时,y=f(x)是单调递减的,f(1)·f(2)<0,则y=f(x)的图象与x轴的交点个数是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2020·杭州高一检测)已知函数f(x)的图象是连续的,有如下表格,判断函数在哪几个区间上有零点.x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2f(x) -3.51 1.02 2.37 1.56 -0.38 1.23 2.77 3.45 4.89 18.(12分)设f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab的两个零点分别是-3,2.(1)求f(x).(2)当函数f(x)的定义域为[0,1]时,求其值域.19.(12分)用二分法求方程2x+x-8=0在区间(2,3)内的近似解.(精确度为0.1,参考数据:22.5≈5.657,22.25≈4.757,22.375≈5.187,22.4375≈5.417,22.75≈6.727) 20.(12分)(2020·潍坊高一检测)已知二次函数f(x)的图象过点(0,3),它的图象的对称轴为x=2,且f(x)的两个零点的平方和为10,求f(x)的解析式.21.(12分)(2020·徐州高一检测)在经济学中,函数f(x)的边际函数为Mf(x),定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x),某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x台的收入函数为R(x)=3000x-20x2(单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4000(单位:元),利润的函数等于收入与成本之差.求出利润函数p(x)及其边际利润函数Mp(x);判断它们是否具有相同的最大值;并写出本题中边际利润函数Mp(x)最大值的实际意义.22.(12分)A地某校准备组织学生及学生家长到B地进行社会实践,为便于管理,所有人员必须乘坐在同一列火车上;根据报名人数,若都买一等座单程火车票需17010元,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则需11220元;已知学生家长与教师的人数之比为2∶1,从A到B的火车票价格(部分)如下表所示:(1)参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人?(2)由于各种原因,二等座火车票单程只能买x张(x小于参加社会实践的人数),其余的须买一等座火车票,在保证每位参与人员都有座位坐的前提下,请你设计最经济的购票方案,并写出购买火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式.(3)请你做一个预算,按第(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花多少钱?最多要花多少钱?参考答案与解析1【解析】选D.由图象知与x轴有4个交点,则函数f(x)共有4个零点.2【解析】选C.f(a)f(b)<0时,存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0,f(a)f(b)>0时,可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0.3【解析】选C.2<3-lg2,3>3-lg3,又f(x)=x+lgx-3在(0,+∞)上是单调递增的,所以方程x=3-lgx的解在区间(2,3)内.4【解析】选C.f(x)唯一的零点在区间(1,3),(1,4),(1,5)内,则区间(1,3)内必有零点,(2,5)内不一定有零点,(3,5)内无零点,所以选C.5【解析】选D.令f(x)=lnx+x-4,由于f(2)=ln2+2-4<0,f(3)=ln3+3-4>0,f(2)·f(3)<0,又因为函数f(x)在(2,3)内连续,故函数f(x)在(2,3)内有零点,即方程lnx+x=4在(2,3)内有解.6【解题指南】先从好判断的一次方程、二次方程入手,不好求解的利用函数图象的交点进行判断.【解析】选 C.x2+x-3=0的实数解为x=和x=,不属于区间(0,1);x+1=0的实数解为x=-2,不属于区间(0,1);x2-lgx=0在区间(0,1)内无解,所以选C,图示如下:7【解析】选 B.f(x)=3x-log2(-x)的定义域为(-∞,0),所以C,D不能选;又f(-2)·f(-1)<0,且f(x)在定义域内是单调递增函数,故零点在(-2,-1)内.8【解析】选D.设平均每次降低的百分率为x,则2000(1-x)2=1280,解得x=0.2,故平均每次降低的百分率为20%.9【解析】选A.注入溶液量V随溶液深度h的增加增长越来越快,故选A.10【解析】选A.画出y1=a x,y2=x+a的图象知a>1时成立.11【解析】选A.f=4x-1的零点为x=,f=(x-1)2的零点为x=1,f=e x-1的零点为x=0,f=ln的零点为x=.现在我们来估算g=4x+2x-2的零点,因为g(0)= -1,g=1,g<0,且g(x)在定义域上是单调递增函数,所以g(x)的零点x∈,又函数f的零点与g=4x+2x-2的零点之差的绝对值不超过0.25,只有f=4x-1的零点适合.12【解析】选A.由图象可得:①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3小时,晚到1小时,正确;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动,正确;③骑摩托车者在出发了1.5小时后,追上了骑自行车者,正确.13【解析】令f(x)=x3-2x-5,f(2.5)·f(2)<0所以下一个有根的区间是(2,2.5). 答案:(2,2.5)14【解析】关于x的方程f(x)-k=0有唯一一个实数根,等价于函数y=f(x)与y=k 的图象有唯一一个交点,在同一个平面直角坐标系中作出它们的图象.由图象可知实数k的取值范围是[0,1)∪(2,+∞).答案:[0,1)∪(2,+∞)15【解析】由lgx+x-3=0,可得lgx=-x+3,令y1=lgx,y2=-x+3,结合两函数的图象,可大体判断零点在(1,3)内,又因为f(2)=lg2-1<0,f(3)=lg3>0,f(x)=lgx+x-3是单调递增函数,所以k=2.答案:216【解析】f(1)·f(2)<0,y=f(x)在区间(1,2)内有一个零点,由偶函数的对称性知,在区间(-2,-1)内也有一个零点,所以共有2个零点.答案:217【解析】因为函数的图象是连续不断的,并且由对应值表可知f·f<0,f·f(0)<0,f·f<0,所以函数f在区间(-2,-1.5),(-0.5,0)以及(0,0.5)内有零点.18【解析】(1)因为f(x)的两个零点分别是-3,2,所以即解得a=-3,b=5,f(x)=-3x2-3x+18.(2)由(1)知f(x)=-3x2-3x+18的对称轴x=-,函数开口向下,所以f(x)在[0,1]上为减函数,f(x)的最大值f(0)=18,最小值f(1)=12,所以值域为[12,18].19【解析】设函数f(x)=2x+x-8,则f(2)=22+2-8=-2<0,f(3)=23+3-8=3>0,所以f(2)·f(3)<0,说明这个函数在区间(2,3)内有零点x0,即原方程的解. 用二分法逐次计算,列表如下:区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.50.157(2,2.5)2.25-0.993(2.25,2.5)2.375-0.438(2.375,2.5)2.437 5-0.145 5由表可得x0∈(2,2.5),x0∈(2.25,2.5),x0∈(2.375,2.5),x0∈(2.4375,2.5).因为|2.4375-2.5|=0.0625<0.1,所以方程2x+x-8=0在区间(2,3)内的近似解可取为2.4375.20【解析】设二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0).由题意知:c=3,-=2.设x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,则+=10,所以(x1+x2)2-2x1x2=10,所以-=10,所以16-=10,所以a=1.代入-=2中,得b=-4.所以f(x)=x2-4x+3.21【解析】p(x)=R(x)-C(x)=-20x2+2500x-4000,x∈[1,100],x∈N,所以Mp(x)=p(x+1)-p(x)=[-20(x+1)2+2500(x+1)-4000]-(-20x2+2500x-4000),=2480-40x,x∈[1,100],x∈N;所以p(x)=-20+74125,x∈[1,100],x∈N,故当x=62或63时,p(x)max=74120(元),因为Mp(x)=2480-40x为减函数,当x=1时有最大值2440.故不具有相等的最大值.边际利润函数取最大值时,说明生产第二台机器与生产第一台的利润差最大.22【解析】(1)设参加社会实践的老师有m人,学生有n人,则学生家长有2m人,若都买二等座单程火车票且花钱最少,则全体学生都需买二等座火车票,依题意得:解得则2m=20,答:参加社会实践的老师、家长与学生各有10人、20人与180人.(2)由(1)知所有参与人员总共有210人,其中学生有180人,①当180≤x<210时,最经济的购票方案为:学生都买学生票共180张,(x-180)名成年人买二等座火车票,(210-x)名成年人买一等座火车票.所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:y=51×180+68(x-180)+81(210-x),即y=-13x+13950(180≤x<210).②当0<x<180时,最经济的购票方案为:一部分学生买学生票共x张,其余的学生与家长、老师一起购买一等座火车票共(210-x)张.所以火车票的总费用(单程)y与x之间的函数关系式为:y=51x+81(210-x),即y=-30x+17010(0<x<180).(3)由(2)小题知,当180≤x<210时,y=-13x+13950,由此可见,当x=209时,y的值最小,最小值为11233元,当x=180时,y的值最大,最大值为11610元.当0<x<180时,y=-30x+17010,由此可见,当x=179时,y的值最小,最小值为11640元,当x=1时,y的值最大,最大值为16980元.所以可以判断按(2)小题中的购票方案,购买单程火车票至少要花11233元,最多。
高一数学函数难题汇编(含解析)
高一数学函数难题汇编(含解析)一．选择题（共12小题）1．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，0]时，，函数，则关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为（）A．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）B．C．D．2．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x3，若不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt2）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣） B．（﹣，0）C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）3．定义域为R的函数f（x）满足：f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，，若x∈[﹣4，﹣2）时，恒成立，则实数t的取值范围是（）A．B．C．（0，1]D．（0，2]4．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为”可构造三角形函数“，已知函数f（x）=（0＜x＜）是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[1，4]B．[1，2]C．[，2] D．[0，+∞）5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x（1﹣x），若数列{a n}满足a1=，且a n+1=，则f（a2015）+f（a2016）=（）A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．46．函数f（x）=，若x＞0时，不等式f（x）≤恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[4，+∞）B．[3，+∞）C．[2，+∞）D．[，+∞）7．已知x＞0，y＞0，若不等式a（x+y）≥x+恒成立，则a的最小值为（）A．B． C．+2 D．+8．已知函数f（x）=若函数g（x）=f[f（x）]﹣2的零点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．69．已知定义在R上的偶函数g（x）满足g（x）+g（2﹣x）=0，函数f（x）=的图象是g（x）的图象的一部分．若关于x的方程g2（x）=a（x+1）2有3个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（，+∞）B．（，）C．（，+∞）D．（2，3）10．已知函数f（x）定义域为[0，+∞），当x∈[0，1]时，f（x）=sinπx，当x∈[n，n+1]时，f（x）=，其中n∈N，若函数f（x）的图象与直线y=b有且仅有2016个交点，则b的取值范围是（）A．（0，1） B．（，）C．（，）D．（，）11．已知函数：，，设函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣5），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．1112．已知函数，其中m＞0，且函数f（x）=f（x+4），若方程3f（x）﹣x=0恰有5个根，则实数m的取值范围是（）A．B． C．D．二．填空题（共7小题）13．设函数f（x）=2ax2+2bx，若存在实数x0∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b均有f（x0）=a+b成立，则t的取值范围是．14．若正数x，y满足=1，则的最小值为．15．已知集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]为奇函数，且|log aφ|＜1}的子集个数为4，则a的取值范围为．16．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣3）=f（x ﹣1）成立，当，x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，给出下列命题：（1）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点（2）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心（3）直线x=2016是函数y=f（x）图象的一条对称轴（4）f（9.2）＜f（π）则正确的是．17．已知函数f（x）=e x，对于实数m、n、p有f（m+n）=f（m）+f（n），f（m+n+p）=f（m）+f（n）+f（p），则p的最大值等于．18．定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是．19．已知函数f（x）=，g（x）=（k＞0），对任意p∈（1，+∞），总存在实数m，n满足m＜0＜n＜p，使得f（p）=f（m）=g（n），则整数k的最大值为．三．解答题（共11小题）20．已知f（x）=log a是奇函数（其中a＞1）（1）求m的值；（2）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并证明；（3）当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值．21．已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（x）=•﹣m|+|+1，x∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+m2，x∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．22．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a=c＞0，f（1）=1，对任意x∈|[﹣2，2]，f（x）的最大值与最小值之和为g（a），求g（a）的表达式；（2）若a，b，c为正整数，函数f（x）在（﹣，）上有两个不同零点，求a+b+c的最小值．23．已知函数f（x）=．（1）求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f（x）的二阶不动点的个数．24．已知a∈R，函数．（1）当a=0时，解不等式f（x）＞1；（2）当a＞0时，求函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点个数；（3）设a＜0，若对于t∈R，函数在区间[t，t+1]上的最大值与最小值之差都不超过1，求实数a的取值范围．25．已知a∈R，函数f（x）=．（1）若f（2）=﹣3，求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．26．设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=3，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；（2）若存在a∈（2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．27．如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，∠POB=θ．（Ⅰ）将y表示成θ的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）求矩形PNMQ的面积取得最大值时•的值；（Ⅲ）求矩形PNMQ的面积y≥的概率．28．已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R，g（x）=x2﹣1．（1）当a=1时，解不等式f（x）≥g（x）；（2）记函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为F（a），求F（a）的表达式．29．已知函数g（x）=，且函数f（x）=log a g（x）（a＞0，a≠1）奇函数而非偶函数．（1）写出f（x）在（a，+∞）上的单调性（不必证明）；（2）当x∈（r，a﹣3）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值；（3）设h（x）=﹣m（x+2）﹣2是否得在实数m使得函数y=h（x）有零点？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．30．已知函数f（x）=1+log2x，g（x）=2x．（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；（3）若H（x）=，求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．2018高一数学必修一（难）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2016秋•渝中区校级期末）已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，0]时，，函数，则关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集为（）A．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，0）B．C．D．【解答】解：由题意知，f（x+1）=﹣f（x），∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），即函数f（x）是周期为2的周期函数．若x∈[0，1]时，﹣x∈[﹣1，0]，∵当x∈[﹣1，0]时，，∴当x∈[0，1]时，，∵f（x）是偶函数，∴f（x）=，即f（x）=．∵函数，∴g（x）=，作出函数f（x）和g（x）的图象如图：当﹣1＜x＜0时，由=，则，由选项验证解得x=，即此时不等式式f（x）＜g（|x+1|）的解为﹣1＜x＜，∵函数g（x）关于x=﹣1对称，∴不等式式f（x）＜g（x）的解为﹣1＜x＜或＜x＜﹣1，即不等式的解集为（，﹣1）∪（﹣1，），故选：D．2．（2016秋•通渭县期末）已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f （x）=x3，若不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt2）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣） B．（﹣，0）C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=x3，①∴当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3，又f（x）为定义在R上的奇函数，∴﹣f（x）=﹣x3，∴f（x）=x3（x＜0），②综合①②知，f（x）=x3，x∈R．又f′（x）=3x2≥0，∴f（x）=x3为R上的增函数，∴不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt2）对任意实数t恒成立⇔﹣4t＞2m+mt2对任意实数t恒成立，即mt2+4t+2m＜0对任意实数t恒成立，∴，解得：m＜﹣．故选：A．3．（2016秋•宜春期末）定义域为R的函数f（x）满足：f（x+2）=2f（x），当x ∈[0，2）时，，若x∈[﹣4，﹣2）时，恒成立，则实数t的取值范围是（）A．B．C．（0，1]D．（0，2]【解答】解：当x∈[0，2）时，∈[﹣，0]∪[﹣1，﹣]，∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为f（）=﹣1，又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），∴f（x）=f（x+2），当x∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为f（﹣）=f（）=﹣，当x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）的最小值为f（﹣）=f（﹣）=﹣若x∈[﹣4，﹣2]时，恒成立，∴﹣≥恒成立．即≤0，则0＜t≤1，故选：C．4．（2016春•琅琊区校级期末）对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为”可构造三角形函数“，已知函数f （x）=（0＜x＜）是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A．[1，4]B．[1，2]C．[，2] D．[0，+∞）【解答】解：f（x）===2+，①若t=2，则f（x）=2，此时f（x）构成边长为2的等边三角形，满足条件，设m=tanx，则m=tanx＞0，则函数f（x）等价为g（m）=2+，②若t﹣2＞0即t＞2，此时函数g（m）在（0，+∞）上是减函数，则2＜f（a）＜2+t﹣2=t，同理2＜f（b）＜t，2＜f（c）＜t，则4＜f（a）+f（b）＜2t，2＜f（c）＜t，由f（a）+f（b）＞f（c），可得4≥t，解得2＜t≤4．③当t﹣2＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜2，同理t＜f（b）＜2，t＜f（c）＜2，则2t＜f（a）+f（b）＜4，t＜f（c）＜2，由f（a）+f（b）＞f（c），可得2t≥2，解得1≤t＜2．综上可得，1≤t≤4，故实数t的取值范围是[1，4]；故选：A5．（2015秋•菏泽期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f （x）=x（1﹣x），若数列{a n}满足a1=，且a n+1=，则f（a2015）+f（a2016）=（）A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0；∵f（x）是定义在R上的奇函数；∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣x（1+x）]=x（1+x）；由，且得：，，，…；∴数列{a n}是以3为周期的周期数列；∴a2015=a671×3+2=a2=2，a2016=a671×3+3=a3=﹣1；∴f（a2015）+f（a2016）=f（2）+f（﹣1）=2（1+2）+（﹣1）（1+1）=4．故选：D．6．（2015秋•吉安期末）函数f（x）=，若x＞0时，不等式f（x）≤恒成立，则实数m的取值范围为（）A．[4，+∞）B．[3，+∞）C．[2，+∞）D．[，+∞）【解答】解：当0≤x≤4时，函数f（x）在[0，2]上为增函数，则[2，4]上为减函数，则当x=2时，函数f（x）取得最大值f（2）=，当4≤x≤8时，0≤x﹣4≤4，即f（x）=f（x﹣4）=，此时的最大值为f（6）=，当8≤x≤12时，4≤x﹣4≤8，即f（x）=f（x﹣4）=，此时的最大值为f（10）=，作出函数f（x）的图象如图，要使当x＞0时，不等式f（x）≤恒成立，则m＞0，设g（x）=，则满足，即，即，即m≥3，故选：B．7．（2015秋•杭州校级期末）已知x＞0，y＞0，若不等式a（x+y）≥x+恒成立，则a的最小值为（）A．B． C．+2 D．+【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴不等式a（x+y）≥x+等价为a≥=，令，∴a≥，令u=，∴u′=令u′=0，∴t=﹣（负值舍去）∴函数在（0，）上单调增，在（，+∞）上单调减∴t=时，函数u=取得最大值为∴a≥∴实数a的最小值为故选：A8．（2016秋•沙市区校级期末）已知函数f（x）=若函数g（x）=f[f（x）]﹣2的零点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（x）=．∴x∈（﹣∞，log23）时，f（f（x））=∈[0，3]，令f（f（x））=2，解得x=log2（1+log23）．同理可得：x∈[log23，2）时，=2，解得x=．x∈时，=2，解得x=．时，=2，解得x=1+．综上可得：函数g（x）=f[f（x）]﹣2的x零点个数为4．故选：B．9．（2016春•重庆校级期末）已知定义在R上的偶函数g（x）满足g（x）+g（2﹣x）=0，函数f（x）=的图象是g（x）的图象的一部分．若关于x的方程g2（x）=a（x+1）2有3个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（，+∞）B．（，）C．（，+∞）D．（2，3）【解答】解：∵定义在R上的偶函数g（x）满足g（x）+g（2﹣x）=0，∴g（x）=﹣g（2﹣x）=﹣g（x﹣2），则g（x+2）=﹣g（x），即g（x+4）=﹣g（x+2）=﹣（﹣g（x））=g（x），则函数g（x）是周期为4的周期函数，函数f（x）=的定义域为[﹣1，1]，若1≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤﹣1，则0≤2﹣x≤1，此时g（x）=﹣g（2﹣x）=﹣，当﹣2≤x≤﹣1，则1≤﹣x≤2，则g（x）=g（﹣x）=﹣则由g2（x）=a（x+1）2得，当﹣2≤x≤﹣1时，1﹣（x+2）2=a（x+1）2，作出函数g（x）的图象如图：若方程g2（x）=a（x+1）2有3个不同的实数根，则当a≤0时，不满足条件．则当a＞0时，方程等价为g（x）=±=|x+1|，则当x=﹣1时，方程g（x）=|x+1|恒成立，此时恒有一解，当直线y=﹣（x+1）与g（x）在（﹣4，﹣3）相切时，此时方程g（x）=|x+1|有6个交点，不满足条件．当y=﹣（x+1）与g（x）在（﹣4，﹣3）不相切时，满足方程g（x）=|x+1|有三个交点，此时直线方程为x+y+=0，满足圆心（﹣4，0）到直线x+y+=0，的距离d=＞1，即＞1，即3＞，平方得9a＞a+1，得8a＞1，则a＞，故选：A10．（2016秋•荆门期末）已知函数f（x）定义域为[0，+∞），当x∈[0，1]时，f（x）=sinπx，当x∈[n，n+1]时，f（x）=，其中n∈N，若函数f（x）的图象与直线y=b有且仅有2016个交点，则b的取值范围是（）A．（0，1） B．（，）C．（，）D．（，）【解答】解：根据题意，x∈[0，1]时，f（x）=sinπx，x∈[n，n+1]时，f（x）=，其中n∈N，∴f（n）=sinnπ=0，f（）=sin=1，f（）===，f（）===，…；画出图形如图所示；当b∈（，1）时，函数f（x）的图象与直线y=b有2个交点；当b∈（，）时，函数f（x）的图象与直线y=b有4个交点；当b∈（，）时，函数f（x）的图象与直线y=b有6个交点；…；当b∈（，）时，函数f（x）的图象与直线y=b有2016个交点．故选：D．11．（2015秋•汕头校级期末）已知函数：，，设函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣5），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．8 B．9 C．10 D．11【解答】解：∵f（0）=1＞0，f（﹣1）=1﹣1﹣+﹣…+＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）内有零点；当x∈（﹣1，0）时，f′（x）=＞0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上单调递增，故函数f（x）有唯一零点x∈（﹣1，0）；∵g（1）=1﹣1+﹣+…﹣＞0，g（2）=1﹣2+﹣+…+﹣＜0．当x∈（1，2）时，g′（x）=﹣1+x﹣x2+x3﹣…+x2013﹣x2014=＞0，∴函数g（x）在区间（1，2）上单调递增，故函数g（x）有唯一零点x∈（1，2）；∵F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，∴f（x+3）的零点在（﹣4，﹣3）内，g（x﹣4）的零点在（5，6）内，因此F（x）=f（x+3）•g（x﹣3）的零点均在区间[﹣4，6]内，∴b﹣a的最小值为10．故选：C．12．（2015秋•衡水校级期末）已知函数，其中m ＞0，且函数f（x）=f（x+4），若方程3f（x）﹣x=0恰有5个根，则实数m的取值范围是（）A．B． C．D．【解答】解：∵当x∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x2+=1（y≥0），∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，∵函数f（x）=f（x+4），∴函数的周期是4，同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，若方程3f（x）﹣x=0恰有5个根，则等价为f（x）=恰有5个根，由图易知直线y=与第二个椭圆（x﹣4）2+=1（y≥0）相交，而与第三个半椭圆（x﹣8）2+=1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，将y=代入（x﹣4）2+=1 （y≥0）得，（9m2+1）x2﹣72m2x+135m2=0，令t=9m2（t＞0），则（t+1）x2﹣8tx+15t=0，由△=（8t）2﹣4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m2＞15，且m＞0得m，同样由y=与第三个椭圆（x﹣8）2+=1 （y≥0）由△＜0可计算得m＜，综上可知m∈（，），故选：A．二．填空题（共7小题）13．（2017春•杭州期末）设函数f（x）=2ax2+2bx，若存在实数x0∈（0，t），使得对任意不为零的实数a，b均有f（x0）=a+b成立，则t的取值范围是（1，+∞）．【解答】解：f（x）=a+b成立等价于（2x﹣1）b=（1﹣2x2）a，当x=时，左边=0，右边≠0，不成立，当x≠时，（2x﹣1）b=（1﹣2x2）a等价于=，设k=2x﹣1，则x=，则===（﹣k﹣2），∵x∈（0，t），（t＜），或x∈（0，）∪（，t），（t＞），∴k∈（﹣1，2t﹣1），（t＜），或k∈（﹣1，0）∪（0，2t﹣1），（t＞），（*）∵∀a，b∈R，∴=（﹣k﹣2），在（*）上有解，∴（﹣k﹣2），在（*）上的值域为R，设g（k）=（﹣k）﹣1，则g（k）在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减，∴，解得t＞1，故答案为：（1，+∞）14．（2016春•沙坪坝区校级期末）若正数x，y满足=1，则的最小值为2．【解答】解：∵正数x，y满足+=1，∴=1﹣=，∴（y＞1），∴x﹣1=（x＞1）．则+=（y﹣1）+≥2=2，当且仅当y﹣1=，即y ﹣1=时取等号．∴的最小值为2．故答案为：215．（2016秋•武昌区校级期末）已知集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x ﹣2φ）π]为奇函数，且|log aφ|＜1}的子集个数为4，则a的取值范围为（）∪（）．【解答】解：∵集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]为奇函数，∴f（0）=sin（﹣2φπ）+cos（﹣2φπ）=cos2φπ﹣sin2φπ=0，∴cos2φπ=sin2φπ，即tan2φπ=1，∴2φπ=kπ+，则φ=+，k∈Z．验证φ=+，k∈Z时，f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]=sin[（x﹣k﹣）π]+cos[（x﹣k﹣）π]=sin（πx﹣）+cos（）=为奇函数．∴φ=+，k∈Z．∵集合{φ|f（x）=sin[（x﹣2φ）π]+cos[（x﹣2φ）π]为奇函数，且|log aφ|＜1}的子集个数为4，∴满足|log aφ|＜1的φ有2个，即满足﹣1＜log aφ＜1的φ有2个．分别取k=0，1，2，3，得到φ=，，，，若0＜a＜1，可得a∈（）时，满足﹣1＜log aφ＜1的φ有2个；若a＞1，可得a∈（）时，满足﹣1＜log aφ＜1的φ有2个．则a的取值范围为（）∪（）．故答案为：（）∪（）．16．（2016秋•清城区期末）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣3）=f（x﹣1）成立，当，x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，给出下列命题：（1）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点（2）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心（3）直线x=2016是函数y=f（x）图象的一条对称轴（4）f（9.2）＜f（π）则正确的是（1）（2）（4）．【解答】解：对于（1），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，又f（x﹣3）=f（x﹣1），∴函数y=f（x）是以2为周期的函数，且f（1﹣3）=f（1﹣1），即f（﹣2）=f（0）=0，又f（2）=﹣f（﹣2），∴f（2）=0；同理可得，f（1）=f（﹣1）=0，又当x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，即奇函数y=f（x）在区间（0，1]上单调递减，故函数y=f（x）在区间[﹣1，0）上也单调递减，由函数y=f（x）是以2为周期的函数可知函数y=f（x）在区间（﹣2，﹣1]、[1，2）上单调递减，∴f（x）在区间[﹣2，2]上有±1、0、±2共5个零点，故（1）正确；对于（2），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴（0，0）为其对称中心，又函数y=f（x）的是以2为周期的函数，∴点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，故（2）正确；对于（3），作出函数y=f（x）的图象如下：（3）直线x=2016不是函数y=f（x）图象的一条对称轴，故（3）错误；对于（4），∵函数y=f（x）的是以2为周期的函数且在区间[1，2）上为减函数，∴f（9.2）=f（1.2）＜f（π﹣2）=f（π），故（4）正确．综上所述，正确的是：（1）（2）（4），故答案为：（1）（2）（4）．17．（2016春•扬州期末）已知函数f（x）=e x，对于实数m、n、p有f（m+n）=f（m）+f（n），f（m+n+p）=f（m）+f（n）+f（p），则p的最大值等于2ln2﹣ln3．【解答】解：由f（x）=e x得：f（m+n）=f（m）f（n），∵f（m+n）=f（m）+f（n），∴f（m）f（n）=f（m）+f（n），设f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，则f（m）、f（n）是x2﹣tx+t=0的解，∵△=t2﹣4t≥0，∴t≥4或t≤0（舍去）．又f（m+n+p）=f（m）f（n）f（p）=f（m）+f（n）+f（p），∴tf（p）=t+f（p），∴f（p）==1+（t≥4），显然t越大，f（p）越小，∴当t=4时，f（p）取最大值，又f（p）=e p，∴f（p）取到最大值时，p也取到最大值，即p max=ln=2ln2﹣ln3．故答案为：2ln2﹣ln3．18．（2016秋•江岸区校级期末）定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f （x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：①令x=y=0，则f（0）=2f（0），则f（0）=0；再令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=0，且f（x）定义域为R，关于原点对称．∴f（x）是奇函数．②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点．∴f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）=0在（0，π）上有解；∴f（asinx）=﹣f（sinx+cos2x﹣3）=f（﹣sinx﹣cos2x+3）在（0，π）上有解；又∵函数f（x）是R上的单调函数，∴asinx=﹣sinx﹣cos2x+3在（0，π）上有解．∵x∈（0，π），∴sinx≠0；∴a==sinx+﹣1；令t=sinx，t∈（0，1]；则a=t+﹣1；∵y=t+，＜0，因此函数y在（0，1]上单调递减，∴a≥2．故答案为：[2，+∞）．19．（2016春•盐城期末）已知函数f（x）=，g（x）=（k＞0），对任意p∈（1，+∞），总存在实数m，n满足m＜0＜n＜p，使得f（p）=f（m）=g（n），则整数k的最大值为7．【解答】解：显然g（x）=（k＞0），在区间（1，+∞）上为减函数，于是g（n）＞g（p），若f（p）=g（n），则对任意p＞1，有f（p）＞g（p）．当x＞1时，＞，∴k＜，设t=x﹣1（t＞0），则==2（t++2）≥8，∴k＜8∴k≤7．下面证明：当k=7时，对0＜x＜1，有f（x）＜g（x）．当0＜x＜1时，f（x）＜g（x）⇔﹣ln（1﹣x）＞0．令ψ（x）=﹣ln（1﹣x）（0＜x＜1），则ψ′（x）=﹣+＜0，故ψ（x）在（0，1）上为减函数，于是ψ（x）＞0．同时，当x∈（0，+∞）时，g（x）=∈（0，+∞）．当x∈（0，1）时，f（x）∈R；当x∈（1，+∞）时，f（x）∈（0，+∞）．结合函数的图象可知，对任意的正数p，存在实数m、n满足0＜m＜n＜p，使得f（p）=f（m）=g（n）．综上所述，正整数k的最大值为7．故答案为：7．三．解答题（共11小题）20．（2016秋•惠来县校级期末）已知f（x）=log a是奇函数（其中a＞1）（1）求m的值；（2）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并证明；（3）当x∈（r，a﹣2）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值．【解答】解：（1）由题意：f（x）是奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，即log a+=0∴，解得：m=±1，当m=﹣1时，f（x）无意义，所以，故得m的值为1．（2）由（1）得，设2＜x1＜x2，则f（x2）﹣f（x1）=﹣=∴2＜x1＜x2，∴0＜2x1x2+2（x1﹣x2）﹣4＜x1x2﹣（x1﹣x2）﹣4，∵a＞1，∴f（x2）＜f（x1）所以：函数f（x）在（2，+∞）上的单调减函数．（3）由（1）得，∴得，函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）又∵，得f（x）∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）令f（x）=1，则=，解得：．所以：f（）=1当a＞1时，＞2，此时f（x）在在（2，+∞）上的单调减函数．所以：当x∈（2，）时，得f（x）∈1，+∞）；由题意：r=2，那么a﹣2=，解得：a=5．所以：当x∈（r，a﹣2），f（x）的取值范围恰为（1，+∞）时，a和r的值分别为5和2．21．（2016秋•无锡期末）已知向量=（cos，sin），=（cos，﹣sin），函数f（x）=•﹣m|+|+1，x∈[﹣，]，m∈R．（1）当m=0时，求f（）的值；（2）若f（x）的最小值为﹣1，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+m2，x∈[﹣，]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）•=（cos，sin）•（cos，﹣sin）=cos cos﹣sin sin=cos（+）=cos2x，当m=0时，f（x）=•+1=cos2x+1，则f（）=cos（2×）+1=cos+1=；（2）∵x∈[﹣，]，∴|+|===2cosx，则f（x）=•﹣m|+|+1=cos2x﹣2mcosx+1=2cos2x﹣2mcosx，令t=cosx，则≤t≤1，则y=2t2﹣2mt，对称轴t=，①当＜，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣m=﹣1，得m=（舍），②当≤≤1，即m＜1时，当t=时，函数取得最小值此时最小值y=﹣=﹣1，得m=，③当＞1，即m＞2时，当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2﹣2m=﹣1，得m=（舍），综上若f（x）的最小值为﹣1，则实数m=．（3）令g（x）=2cos2x﹣2mcosx+m2=0，得cosx=或，∴方程cosx=或在x∈[﹣，]上有四个不同的实根，则，得，则≤m＜，即实数m的取值范围是≤m＜．22．（2016秋•义乌市期末）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a=c＞0，f（1）=1，对任意x∈|[﹣2，2]，f（x）的最大值与最小值之和为g（a），求g（a）的表达式；（2）若a，b，c为正整数，函数f（x）在（﹣，）上有两个不同零点，求a+b+c的最小值．【解答】解：（1）a=c＞0，f（1）=1，则a+b+a=1，b=1﹣2a，∴f（x））=ax2+（1﹣2a）x+a=a+，当1﹣≤﹣2，即0＜a≤时，g（a）=f（﹣2）+f（2）=10a；当﹣2＜1﹣≤0，即＜a≤时，g（a）=f（1﹣）+f（2）=a﹣+3，当a＞时，g（a）=f（1﹣）+f（﹣2）=9a﹣﹣1，综上所述，g（a）=；（2）函数f（x）在（﹣，）上有两个不同零点x1，x2，则x1+x2=﹣＜0，＞x1x2=＞0∴a＞16c，由根的分布可知f（﹣）=a﹣b+c＞0，即a+16c＞4b，∵a，b，c为正整数，∴a+16c≥4b+1f（0）=c＞0，△＞0，b，∴a+16c＞8+1，可得（）2＞1，∵a＞16c，∴＞1，∴，∴a＞25，∴a≥26，∴b≥，∴b≥11，c≥1．f（x）=26x2+11x+1，经检验符合题意，故a+b+c的最小值为38．23．（2016秋•佛山期末）已知函数f（x）=．（1）求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f（x）的二阶不动点的个数．【解答】解：（1）∵f（x）=．∴f（））=ln=，∴f（f（））=f（）=2﹣2×=1；（2）函数f（x）=．x∈[0，），f（x）=2﹣2x∈（1，2]，x∈[，1），f（x）=2﹣2x∈（0，1]，x∈[1，e]，f（x）=lnx∈（0，1），∴f（f（x））=，若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，所以：x0∈[0，），ln（2﹣2x0）=x0，由y=ln（2﹣x0），y=x0，图象可知：存在满足题意的不动点．x0∈[，1），﹣2+4x0=x0，解得x0=，满足题意．x0∈[1，e]，2﹣2lnx0=x0，即2﹣x0=2lnx0，由y=2﹣x0，y=2lnx0，图象可知：存在满足题意的不动点．函数f（x）的二阶不动点的个数为：3个．24．（2016秋•海安县校级期末）已知a∈R，函数．（1）当a=0时，解不等式f（x）＞1；（2）当a＞0时，求函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点个数；（3）设a＜0，若对于t∈R，函数在区间[t，t+1]上的最大值与最小值之差都不超过1，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=0时，f（x）=，∵f（x）＞1，即＞1，∴0＜2x＜1，解得x＜0．（2）y=2f（x）﹣f（2x）=，∴函数y=2f（x）﹣f（2x）的定义域为{x|x≠log2a，且x≠log2a}．令y=0得22x+1﹣2x﹣a=0，令t=2x（t＞0，且t≠a，t），方程为2t2﹣t﹣a=0，△=1+8a＞0，若a=1，t=1或﹣，方程无解，即函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点个数为0若0＜a＜1或a＞1，方程有两个不相等的解，即函数y=2f（x）﹣f（2x）的零点个数为2；（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即﹣≤1，∴22t+1﹣（3a+1）•2t+a2≥0，设x=2t（x＞0），则2x2﹣（3a+1）x+a2≥0，∴△≤0或，∴a≤﹣．25．（2016秋•西陵区校级期末）已知a∈R，函数f（x）=．（1）若f（2）=﹣3，求实数a的值；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（2）=﹣3，∴log2（+a）=﹣3=log2，∴+a=，解得a=﹣（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0得log2（+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a ﹣5]=0．即log2（+a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x=，若x=﹣1是方程①的解，则+a=a﹣1＞0，即a＞1，若x=是方程①的解，则+a=2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣=设1﹣t=r，则0≤r≤，==，当r=0时，=0，当0＜r≤时，=，∵y=r+在（0，）上递减，∴r+≥+4=，∴=≤=，∴实数a的取值范围是a≥26．（2016秋•徐汇区期末）设a∈R，函数f（x）=x|x﹣a|+2x．（1）若a=3，求函数f（x）在区间[0，4]上的最大值；（2）若存在a∈（2，4]，使得关于x的方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）当a=3，x∈[0，4]时，f（x）=x|x﹣3|+2x=，可知函数f（x）在区间[0，]递增，在（，3]上是减函数，在[3，4]递增，则f（）=，f（4）=12，所以f（x）在区间[0，4]上的最大值为f（4）=12．（2）f（x）=，①当x≥a时，因为a＞2，所以＜a．所以f（x）在[a，+∞）上单调递增．②当x＜a时，因为a＞2，所以＜a．所以f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在[，a]上单调递减．当2＜a≤4时，知f（x）在（﹣∞，]和[a，+∞）上分别是增函数，在[，a]上是减函数，当且仅当2a＜t•f（a）＜时，方程f（x）=t•f（a）有三个不相等的实数解．即1＜t＜=（a++4）．令g（a）=a+，g（a）在a∈（2，4]时是增函数，故g（a）max=5．∴实数t的取值范围是（1，）．27．（2016春•信阳期末）如图，在半径为，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，∠POB=θ．（Ⅰ）将y表示成θ的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）求矩形PNMQ的面积取得最大值时•的值；（Ⅲ）求矩形PNMQ的面积y≥的概率．【解答】解：（Ⅰ）在Rt△PON中，∠PNO=90°，∠POB=θ，，所以，，在Rt△QMO中，∠QMO=90°，∠QON=60°，QM=PN=所以OM=所以：MN=ON﹣OM=所以y=即：y=3sinθcosθ﹣sin2θ，（）（Ⅱ）由（Ⅰ）得y=3sinθcosθ﹣sin2θ=﹣=）﹣=∵θ∈（0，）∴∴sin（）∈∴，即时，y的最大值为．此时ON=cos==，则•=||•||cos=×=．（Ⅲ）若矩形PNMQ的面积y≥，则≥，即sin（）≥，则sin（）≥，∵∴≤≤，即≤θ≤，则对应的概率P==28．（2016春•苏州期末）已知函数f（x）=x|x﹣a|，a∈R，g（x）=x2﹣1．（1）当a=1时，解不等式f（x）≥g（x）；（2）记函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为F（a），求F（a）的表达式．【解答】解：f（x）≥g（x），a=1时，即解不等式x|x﹣1|≥x2﹣1，…（1分）当x≥1时，不等式为x2﹣x≥x2﹣1，解得x≤1，所以x=1；…（3分）当x＜1时，不等式为x﹣x2≥x2﹣1，解得，所以；…（5分）综上，x∈．…（6分）（2）因为x∈[0，2]，当a≤0时，f（x）=x2﹣ax，则f（x）在区间[0，2]上是增函数，所以F（a）=f（2）=4﹣2a；…（7分）当0＜a＜2时，，则f（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间[a，2]上是增函数，所以F（a）=max{f（），f（2）}，…（9分）而，f（2）=4﹣2a，令即，解得，所以当时，F（a）=4﹣2a；…（11分）令即，解得或，所以当时，；…（12分）当a≥2时，f（x）=﹣x2+ax，当即2≤a＜4时，f（x）在间上是增函数，在上是减函数，则；…（13分）当，即a≥4时，f（x）在间[0，2]上是增函数，则F（a）=f（2）=2a﹣4；…（14分）所以，，…（16分）29．（2015秋•黄浦区校级期末）已知函数g（x）=，且函数f（x）=log a g（x）（a＞0，a≠1）奇函数而非偶函数．（1）写出f（x）在（a，+∞）上的单调性（不必证明）；（2）当x∈（r，a﹣3）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值；（3）设h（x）=﹣m（x+2）﹣2是否得在实数m使得函数y=h（x）有零点？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）函数g（x）=，且函数f（x）=log a g（x）（a＞0，a≠1）奇函数而非偶函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），即log a=﹣log a，可得•=1，即p2﹣x2=4﹣x2，即p2=4，解得p=2（﹣2舍去），即有f（x）=log a，当a＞1时，f（x）在（2，+∞），（﹣∞，﹣2）递减；当0＜a＜1时，f（x）在（2，+∞），（﹣∞，﹣2）递增．（2）由（1）得f（x）=log a，函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）又≠1，得f（x）∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），令f（x）=1，则log a=1，解得x=．所以：f（）=1，当a＞1时，＞2，此时f（x）在（2，+∞）上的单调减函数．所以：当x∈（2，）时，得f（x）∈1，+∞）；由题意：r=2，那么a﹣3=，解得：a=3+2．所以：当x∈（r，a﹣3），f（x）的取值范围恰为（1，+∞）时，a和r的值分别为3+2和2；（3）假设h（x）=﹣m（x+2）﹣2即h（x）=﹣m（x+2）﹣2，存在实数m使得函数y=h（x）有零点．由题意可知，方程=m（x+2）+2在{x|x≥﹣2且x≠2}中有实数解，令=t，则t≥0且t≠2，问题转化为关于t的方程mt2﹣t+2=0①，有非负且不等于2的实数根．若t=0，则①为2=0，显然不成立，故t≠0，方程①可变形为m=﹣2（）2+，问题进一步转化为求关于t的函数（t≥0且t≠2）的值域，因为t≥0且t≠2，所以＞0且≠，所以m=﹣2（）2+∈（﹣∞，0）∪（0，]，所以实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，]．30．（2015秋•无锡校级期末）已知函数f（x）=1+log2x，g（x）=2x．（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x）），求函数F（x）在x∈[1，4]的值域；（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x），已知函数G（x）在区间[1，4]有零点，求实数k的取值范围；（3）若H（x）=，求H（）+H（）+H（）+…+H（）的值．【解答】解：（1）若F（x）=f（g（x））•g（f（x））=（1+log22x）•=（1+x）•2×=2x（1+x）=2x2+2x=2（x+）2﹣当x∈[1，4]上函数F（x）为增函数，则函数的最大值为F（4）=40，函数的最小值为F（1）=4，则函数的值域为[4，40]．（2）令G（x）=f（8x2）f（）﹣kf（x）=（1+log28x2）（1+log2）﹣k（1+log2x）=（1+og28+log2x2））（1+log2x）﹣k（1+log2x）=（4+2log2x））（1+log2x）﹣k（1+log2x）=（log2x）2+4log2x+4﹣k﹣klog2x=（log2x）2+（4﹣k）log2x+4﹣k，设t=log2x，当x∈[1，4]，则t∈[0，2]，则函数等价为y=h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k若函数G（x）在区间[1，4]有零点，则等价为y=h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k在t∈[0，2]上有零点，即h（t）=t2+（4﹣k）t+4﹣k=0在t∈[0，2]上有解，即t2+4t+4﹣k（1+t）=0在t∈[0，2]上有解，即k===t+1++2，设m=t+1，则m∈[1，3]，则k=m++2，则k=m++2在m∈[1，3]上递增，则当m=1时，k=1+1+2=4，当m=3时，k=3++2=，∴4≤m++2≤，即4≤k≤，即实数k的取值范围是4≤k≤；（3）若H（x）=，则H（x）==，则H（x）+H（1﹣x）=+=+=+=1，设H（）+H（）+H（）+…+H（）=S，H（）+H（）+…H（）+H（）=S，两式相加得2015[H（）+H（）]=2S，即2S=2015，则S=．。
高中数学必修1函数难题突破(含解析)
1必修I 重点、难点突破----------函数的性质、图象、思想的综合应用一、函数综合问题概述必修I 第一章我们学习了函数的基本性质：单调性与奇偶性，第二章我们学习了三个基本初等函数，第三章我们学习了函数零点以及函数模型。
将以上知识综合起来命题，这样的题目叫做函数综合题。
综合题的特点：1、解决一道题需要掌握多个知识点；2、解决一道题需要找到多个知识的联系点。
3、运算往往较复杂。
5、这类问题一般以初等函数（尤其是指数对数）为载体，运用函数思想、方程思想、转化思想结合函数性质配以图象解决。
二、函数综合问题举例例1、已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c【解析】：因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.由x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．∵1<2<52<e ，∴f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (e)，∴b >a >c .例2、若函数为奇函数,则使不等式成立的 的取值范围是( )A. B.C. D.【解析】： 函数为奇函数,,即,不等式,即不等式,在上单调递减, , , 故选B．例3、已知函数的图象关于原点对称,其中为常数．求的值；当时,恒成立,求实数的取值范围；若关于的方程在上有解,求的取值范围．【解析】：函数的图象关于原点对称,函数为奇函数,,即在定义域内恒成立,所以,即在定义域内恒成立, 所以,解得：或舍,所以,当时,,时,恒成立,；由得：,即,即,即在上有解,在上单调递减,,则的值域是,．即k的取值范围为．例4、已知定义域为R的函数,是奇函数．2Ⅰ求a,b的值；Ⅱ若对任意的,不等式恒成立,求k的取值范围．【解析】：Ⅰ因为是奇函数,所以,即,, 又由知．所以,．经检验,时,是奇函数．Ⅱ由Ⅰ知,易知在上为减函数．又因为是奇函数,所以等价于,因为为减函数,由上式可得：．即对一切有：,从而判别式．所以k的取值范围是．例5、已知函数为R上的偶函数,为R上的奇函数,且．求,的解析式；若函数在R上只有一个零点,求实数a的取值范围．【解析】：：因为,,,由得,．由．得：,令,则,即方程只有一个大于0的根, 当时,,满足条件；当方程有一正一负两根时,满足条件,则,,3当方程有两个相等的且为正的实根时,则,,舍时,,综上：或．例6、设函数若关于x的方程恰好有六个不同的实数解,则实数a的取值范围为A. B.C. D.【解析】：函数的图象如图,关于x的方程恰好有六个不同的实数解,令,则有两个在的不同的解,所以,解得．故选A．三、函数综合问题训练41.已知函数满足,若函数与图象的交点为,,,,则( )A. 0B. mC. 2mD. 4m【解析】：函数满足,即为,可得关于点对称,函数,即的图象关于点对称,即有为交点,即有也为交点,为交点,即有也为交点, 则有．故选B．2.已知函数则函数的零点个数为( )A. 1B. 3C. 4D. 6【解析】：令,当时,,解得,,当时,,解得,综上解得,,,令,作出图象如图所示：由图象可得当无解,有3个解,有1个解,56综上所述函数 的零点个数为4,故选C ．3. 已知函数 是定义域为R 的偶函数,当 时,,若关于x 的方程 ,有且只有7个不同实数根,则实数a 的取值范围是 A.B.C.D.【解析】：由题意, 在 和 上是减函数,在 和 上是增函数, 时,函数取极大值1, 时,取极小值,时, ,关于x 的方程 、 有且只有7个不同实数根, 设 ,则方程 必有两个根 , ,其中 ,,,则． 故选A ．已知函数,函数 ,其中 ,若函数 恰有4个零点,则b 的取值范围是( ) A.B.C.D.【解析】： ,,由 ,得 , 设 , 若 ,则 , ,则,若,则,,则,若,,,则即,作出函数的图象如图：当时,,当时,,故当时,,有两个交点,当时,,有无数个交点,由图象知要使函数恰有4个零点,即恰有4个根,则满足,故选D．4.已知函数且在上的最大值与最小值之和为20,记．求a的值；证明；求的值．【解析】：函数且在上的最大值与最小值之和为20,而函数且在上单调递增或单调递减,,得,或舍去,证明：,由知,,, ,7．5.函数当时求该函数的值域；若对于恒成立,求m的取值范围．【解析】：解, 令,时,,此时,当时,y取最小值,当时,y取最大值1,即函数的值域为：；若对于恒成立,令,即对恒成立,对恒成立,易知在上单调递增,,．6.已知,函数．当时,解不等式；若关于x的方程的解集中恰有一个元素,求a的值；设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围．【答案】解：当时,不等式化为：,,化为：,解得,经过验证满足条件,因此不等式的解集为：．方程即,,化为：,若,化为,解得,经过验证满足：关于x的方程的解集中恰有一个元素1．8若,令,解得,解得经过验证满足：关于x的方程的解集中恰有一个元素1．综上可得：或．,对任意,函数在区间上单调递减,,,化为：,,,在上单调递减,时,取得最大值,．．的取值范围是．9。
(必考题)数学高一上期中经典题(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：11816]f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( ) A ．－1B ．0C ．1D ．22．(0分)[ID ：11801]设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 3．(0分)[ID ：11798]在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的（ ）. A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．(0分)[ID ：11780]设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，5．(0分)[ID ：11758]已知定义域为R 的函数()f x 在[1,)+∞单调递增，且(1)f x +为偶函数，若(3)1f =，则不等式(21)1f x +<的解集为（ ） A ．(1,1)- B ．(1,)-+∞ C ．(,1)-∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞6．(0分)[ID ：11755]函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）．A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]7．(0分)[ID ：11749]设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z8．(0分)[ID ：11796]设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.59．(0分)[ID ：11791]已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）10．(0分)[ID ：11786]若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a bb ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 11．(0分)[ID ：11785]定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．(0分)[ID ：11746]若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b13．(0分)[ID ：11737]已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<14．(0分)[ID ：11736]函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．[]2,4C ．[]0,4D ．(]2,415．(0分)[ID ：11760]设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞二、填空题16．(0分)[ID ：11921]函数的定义域是 .17．(0分)[ID ：11919]已知函数241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，则函数(())3f f x =的零点的个数是________.18．(0分)[ID ：11915]幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.19．(0分)[ID ：11903]若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数0.5()log (43)g x x =-的定义域是__________．20．(0分)[ID ：11891]某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P 与店面经营天数x 的关系是P(x)=21300,0300245000,300x x x x ⎧-≤<⎪⎨⎪≥⎩则总利润最大时店面经营天数是___.21．(0分)[ID ：11887]已知函数()2()lg 2f x x ax =-+在区间(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是______.22．(0分)[ID ：11879]已知2a =5b =m ,且11a b+=1,则m =____. 23．(0分)[ID ：11836]已知函数(12)(1)()4(1)x a x f x ax x⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________24．(0分)[ID ：11830]已知函数42()(0)f x x ax bx c c =+++<，若函数是偶函数，且4((0))f f c c =+，则函数()f x 的零点共有________个.25．(0分)[ID ：11916]函数2()log 1f x x =-________．三、解答题26．(0分)[ID ：12028]已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，()111f x x =+-. (1)求f (2)的值；(2)用定义法判断y ＝f (x )在区间(－∞，0）上的单调性． (3)求0()x f x >时，的解析式27．(0分)[ID ：12021]已知2256x ≤且21log 2x ≥，求函数22()log 22x xf x =⋅的最大值和最小值．28．(0分)[ID ：11991]某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()253,02()50,251x x W x x x x⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为()f x （单位：元）．（Ⅰ）求()f x 的函数关系式；（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少? 29．(0分)[ID ：11990]某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为212m ，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为3m ，且不计房尾背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低造价是多少？30．(0分)[ID ：11976]一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x （x N *∈）件.当20x ≤时，年销售总收人为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收人为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元.(年利润=年销售总收入一年总投资) (1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C 2．B 3．B 4．D 5．A 6．D7．D8．D9．C10．D11．C12．B13．C14．B15．D二、填空题16．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域17．4【解析】【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得当时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查18．【解析】【分析】由条件得MN则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN 可得即α=loβ=lo所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生19．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g (x))20．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)21．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得22．10【解析】因为2a=5b=m所以a=log2mb=log5m由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数23．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围24．2【解析】因为是偶函数则解得又所以故令所以故有2个零点点睛：本题涉及函数零点方程图像等概念和知识综合性较强属于中档题一般讨论函数零点个数问题都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题本题25．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．C 解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.2．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算3．B解析：B 【解析】 【分析】化简cos cos a A b B =得到A B =或2A B π+=，再判断充分必要性.【详解】cos cos a A b B =，根据正弦定理得到：sin cos sin cos sin 2sin 2A A B B A B =∴=故22A B A B =∴=或222A B A B ππ=-∴+=，ABC ∆为等腰或者直角三角形.所以“cos cos a A b B =”是“ABC ∆是以A 、B 为底角的等腰三角形”的必要非充分条件 故选B 【点睛】本题考查了必要非充分条件，化简得到A B =或2A B π+=是解题的关键，漏解是容易发生的错误.4．D解析：D 【解析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.5．A解析：A 【解析】 【分析】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，再利用函数的单调性，即可求出不等式的解集． 【详解】由函数y ＝f （x +1）是定义域为R 的偶函数，可知f （x ）的对称轴x ＝1，且在[1，+∞）上单调递增，所以不等式f （2x+1）＜1=f （3）⇔ |2x+1﹣1|）＜|3﹣1|， 即|2x |＜2⇔|x |＜1，解得-11x ＜＜ 所以所求不等式的解集为：()1,1-. 故选A ． 【点睛】本题考查了函数的平移及函数的奇偶性与单调性的应用，考查了含绝对值的不等式的求解，属于综合题．6．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.7．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.8．D解析：D 【解析】 【分析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】 设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．9．C解析：C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.10．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log a bb aa b a b >>>；故选D. 11．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C. 【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.12．B解析：B 【解析】试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gclog c ,log c lg a lg b==，01c <<，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c ==,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1lg c改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用cy x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用xy c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.13．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.14．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1， ∴实数m 的取值范围是[2，4]， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．15．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.二、填空题16．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域17．4【解析】【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得当时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查解析：4 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式当0x ≤时，令()3f x =，则2413x x --+=，解得2x =-±0x >时，()31xf x =>，1x =，做出函数()f x ，1,22y y y ==-=--.【详解】241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，∴当0x ≤时，()()2241255f x x x x =--+=-++≤，令()3f x =，则2413x x --+=， 解得22x =-±，1220,4223,-<-+<-<--<-当0x >时，()31xf x =>，令()3f x =得1x =，作出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--由图像可知，()f x 与1y =有两个交点，与22y =-+ 则(())3f f x =的零点的个数为4. 故答案为：4 【点睛】本题考查了分段函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于基础题.18．【解析】【分析】由条件得MN 则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN 可得即α=loβ=lo 所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生解析：【解析】 【分析】由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,则1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,结合对数的运算法则可得αβ=1.【详解】 由条件,得M 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭,N 21,33⎛⎫⎪⎝⎭, 可得1221,3333αβ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即α=lo 2313g ,β=lo 1323g . 所以αβ=lo 2313g ·lo 1312233·21333lglg g lg lg ==1. 【点睛】本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))解析：3,14⎛⎫⎪⎝⎭【解析】首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈， 其次0.5log 430x ->，∴0220431x x ≤≤⎧⎨<-<⎩，解得01314x x ≤≤⎧⎪⎨<<⎪⎩，综上3,14x ⎛⎫∈⎪⎝⎭． 点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．20．200【解析】【分析】根据题意列出总利润L(x)的分段函数然后在各个部分算出最大值比较大小就能确定函数的最大值进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数【详解】设总利润为L(x)则L(x)=则L(x)解析：200 【解析】 【分析】根据题意，列出总利润L(x)的分段函数，然后在各个部分算出最大值，比较大小，就能确定函数的最大值，进而可求出总利润最大时对应的店面经营天数. 【详解】 设总利润为L(x),则L(x)=2120010000,0300210035000,300x x x x x ⎧-+-≤<⎪⎨⎪-+≥⎩ 则L(x)=21(200)10000,0300210035000,300x x x x ⎧--+≤<⎪⎨⎪-+≥⎩当0≤x<300时,L(x)max =10000, 当x ≥300时,L(x)max =5000,所以总利润最大时店面经营天数是200. 【点睛】本题主要考查分段函数的实际应用，准确的写出各个部分的函数关系式是解决本题的关键.21．【解析】【分析】根据复合函数单调性同增异减以及二次函数对称轴列不等式组解不等式组求得实数的取值范围【详解】要使在上递增根据复合函数单调性需二次函数对称轴在的左边并且在时二次函数的函数值为非负数即解得 解析：(],3-∞【解析】 【分析】根据复合函数单调性同增异减，以及二次函数对称轴列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围. 【详解】要使()f x 在()2,+∞上递增，根据复合函数单调性，需二次函数22y x ax =-+对称轴在2x =的左边，并且在2x =时，二次函数的函数值为非负数，即2222220a a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得3a ≤.即实数a 的取值范围是(],3-∞.【点睛】本小题主要考查复合函数的单调性，考查二次函数的性质，属于中档题.22．10【解析】因为2a=5b=m 所以a=log2mb=log5m 由换底公式可得=logm2+logm5=logm10=1则m=10点睛：(1)在对数运算中先利用幂的运算把底数或真数进行变形化成分数指数解析：10 【解析】因为2a =5b =m ,所以a =log 2m ,b =log 5m , 由换底公式可得11a b+=log m 2+log m 5=log m 10=1,则m =10. 点睛：(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底或指数与对数互化．(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧．23．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围 解析：[1,0)-【解析】 【分析】 根据()()12120f x f x x x ->-判断出函数在R 上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在R 上为增函数，所以1210124a a a a ->⎧⎪<⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤<.故答案为：[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.24．2【解析】因为是偶函数则解得又所以故令所以故有2个零点点睛：本题涉及函数零点方程图像等概念和知识综合性较强属于中档题一般讨论函数零点个数问题都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题本题解析：2 【解析】因为()42(0)f x x ax bx c c =+++<是偶函数，则()()f x f x -=，解得0b =，又()()4240()f f f c c ac c c c ==++=+，所以0a =，故4()f x x c =+，令4()0f x x c =+=，40x c =->，所以x =2个零点.点睛：本题涉及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于中档题.一般讨论函数零点个数问题，都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题，本题由于涉及函数为初等函数，可以考虑方程来解决，转化为方程根的个数，同时注意偶函数性质在本题中的应用.25．2+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式解对数不等式得函数定义域详解：要使函数有意义则解得即函数的定义域为点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题解析：[2，+∞） 【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.三、解答题 26．（1）23-；（2）见解析；（3）()1x f x x -=+ 【解析】 【分析】(1)利用函数的奇偶性求解.(2)函数单调性定义，通过化解判断函数值差的正负；（3）函数为R 奇函数，x 〈0的解析式已知，利用奇函数图像关于原点对称，即可求出x 〉0的解析式. 【详解】（1）由函数f (x )为奇函数，知f (2)＝-f (－2)＝23-· (2)在(－∞，0）上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则()()1212121111111111f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ ()()211211x x x x -=-- 由x 1－1<0，x 2－1<0，x 2－x 1>0，知f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 由定义可知，函数y ＝f (x )在区间(－∞，0]上单调递减．· （3）当x >0时，－x <0，()111f x x -=-+由函数f (x )为奇函数知f (x )＝-f (－x )，()1111x f x x x -∴=-+=++ 【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用和单调性的定义，利用奇偶性求函数值和解析式主要应用奇偶性定义和图像的对称性；利用定义法证明函数单调性关键是作差后式子的化解，因为需要判断结果的正负，所以通常需要将式子化成乘积的形式.27．最小值为14-，最大值为2. 【解析】 【分析】 由已知条件化简得21log 32x ≤≤，然后化简()f x 求出函数的最值 【详解】由2256x ≤得8x ≤，2log 3x ≤即21log 32x ≤≤ ()()()222231log 1log 2log 24f x x x x ⎛⎫=-⋅-=-- ⎪⎝⎭.当23log ,2x = ()min 14f x =-，当2log 3,x = ()max 2f x =． 【点睛】熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础．28．（Ⅰ）()27530225,02,75030,2 5.1x x x f x x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩（Ⅱ）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元． 【解析】 【分析】（1）根据题意可得f （x ）＝15w （x ）﹣30x ，则化为分段函数即可，（2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润． 【详解】（Ⅰ）由已知()()()1520101530f x W x x x W x x =--=-()2155330,02,501530,251x x x x x x x ⎧⨯+-≤≤⎪=⎨⨯-<≤⎪+⎩27530225,02,75030,2 5.1x x x x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩(Ⅱ)由(Ⅰ)得()()22175222,02,7530225,02,5=75030,2 5.25780301,2 5.11x x x x x f x x x x x x x x ⎧⎛⎫-+≤≤⎧-+≤≤⎪⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎨-<≤⎡⎤⎪⎪-++<≤+⎩⎢⎥⎪+⎣⎦⎩当02x ≤≤时，()()max 2465f x f ==； 当25x <≤时，()()257803011f x x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦ ()2578030214801x x≤-⨯⋅+=+ 当且仅当2511x x=++时，即4x =时等号成立． 因为465480<，所以当4x =时，()max 480f x =．∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元． 【点睛】本题考查了函数的应用、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．29．当底面的长宽分别为3m ，4m 时，可使房屋总造价最低，总造价是34600元 【解析】设房屋地面的长为米，房屋总造价为元.30．（1）232100,020160,20x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩（x N *∈）；（2）当年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，分当20x ≤时和当20x >时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案；（2）根据（1）中函数的解析式，求出最大值点和最大值即可． 【详解】（1）由题意得：当20x ≤时，()223310032100y x xx xx =---=-+-，当20x >时，260100160y x x =--=-，故232100,020160,20x x x y x x ⎧-+-<≤=⎨->⎩（x N *∈）；（2）当020x <≤时，()223210016156y x x x =-+-=--+， 当16x =时，156max y =， 而当20x >时，160140x -<，故当年产量为16件时，所得年利润最大，最大年利润为156万元. 【点睛】本题主要考查函数模型及最值的求法，正确建立函数关系是解题的关键，属于常考题.。
(精校版)高中数学必修一函数部分难题汇总
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函数部分难题汇总1．函数的图象与直线的公共点数目是（ ）()y f x =1x =A ． B ． C ．或 D ．或1001122．为了得到函数的图象，可以把函数的图象适当平移，(2)y f x =-(12)y f x =-这个平移是（ )A ．沿轴向右平移个单位B ．沿轴向右平移个单位x 1x 12C ．沿轴向左平移个单位D ．沿轴向左平移个单位x 1x 123．设则的值为( ）⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f )5(f A ． B ． C ． D ．101112134．已知函数定义域是,则的定义域是（ ）y f x =+()1[]-23，y f x =-()21A ． B 。
[]052，[]-14，C 。
D. []-55，[]-37，5．函数的图象是( )x x xy +=6．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）)(x f (]1,-∞-A ． B ．)2()1()23(f f f <-<-)2()23()1(f f f <-<-C ． D ．23()1()2(-<-<f f f )1(23()2(-<-<f f f7．如果奇函数在区间 上是增函数且最大值为,那么在区间上是（）)(x f [3,7]5)(x f []3,7--A ．增函数且最小值是 B ．增函数且最大值是5-5-C ．减函数且最大值是 D ．减函数且最小值是5-5-8．已知其中为常数，若，则的值等于（ ）3()4f x ax bx =+-,a b (2)2f -=(2)fA ．B ．C ．D ．2-4-6-10-9.若函数f （x ）满足A —1B 0C 1D 210.已知函数若a ，b,c 互不相等，且，则⎪⎩⎪⎨⎧+-≤==10,621100,lg )(y x x x x x f )()()(c f b f a f ==的取值范围是（ ）abc A 。
【解析版】数学高一上期中知识点(课后培优)(1)
一、选择题1．(0分)[ID ：11813]函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( )A ．B ．C ．D ．2．(0分)[ID ：11784]1()xf x e x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)23．(0分)[ID ：11782]设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ．1-B ．13-C ．12-D ．134．(0分)[ID ：11775]已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>5．(0分)[ID ：11774]若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．(0分)[ID ：11755]函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）．A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]7．(0分)[ID ：11771]函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是 A ．(,2)-∞- B ．(,1)-∞ C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞8．(0分)[ID ：11770]已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足，3()(2)32f x f x f ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，，数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，(其中n S 为{}n a 的前n 项和).则()()56f a f a +=（）A ．3B ．2-C ．3-D ．29．(0分)[ID ：11767]若0.23log 2,lg0.2,2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为A ．c b a <<B ． b a c <<C ． a b c <<D ．b c a <<10．(0分)[ID ：11763]定义在R 上的奇函数()f x 满足()1(2)f x f x +=-，且在()0,1上()3x f x =，则()3log 54f =（ ）A ．32B ．23-C ．23D ．32-11．(0分)[ID ：11761]已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）12．(0分)[ID ：11747]若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,313．(0分)[ID ：11745]已知函数(),1log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1-B ．12-C ．12D14．(0分)[ID ：11737]已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<15．(0分)[ID ：11817]函数y =）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 二、填空题16．(0分)[ID ：11927]如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________.17．(0分)[ID ：11923]设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 18．(0分)[ID ：11919]已知函数241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，则函数(())3f f x =的零点的个数是________.19．(0分)[ID ：11912]已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += .20．(0分)[ID ：11895]若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是_________.21．(0分)[ID ：11883]已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当0x >时，()21x f x =-，则()()1f f -的值为______．22．(0分)[ID ：11869]如果函数221xx y aa =+-（0a >，且1a ≠）在[]1,1-上的最大值是14，那么a 的值为__________.23．(0分)[ID ：11846]已知312ab +=a b =__________. 24．(0分)[ID ：11842]非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．25．(0分)[ID ：11848]设函数()()()2,1{42, 1.x a x f x x a x a x -<=--≥①若1a =，则()f x 的最小值为 ；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题26．(0分)[ID ：12009]已知函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈.（1）若0a <，0b >，0c且()f x 在[]0,2上的最大值为98，最小值为2-，试求a ，b 的值；（2）若1c =，102a <<，且()2f x x ≤对任意[]1,2x ∈恒成立，求b 的取值范围.（用a 来表示）27．(0分)[ID ：12004]已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.28．(0分)[ID ：11983]2019年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产x （百辆），需另投入成本()f x 万元，且210200,050()100006019000,50x x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2019年产量为多少（百辆）时，企业所获利润最大？并求出最大利润.29．(0分)[ID ：11973]在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营情况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q （百件）与销售价格P （元）的关系如图所示；③每月需各种开支2000元．（1）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；（2）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？30．(0分)[ID ：11970]设集合222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，若A ∩B=B ，求a 的取值范围．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．D 2．B 3．B 4．A 5．A 6．D 7．D8．A9．B10．D11．C12．B13．C14．C15．C二、填空题16．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a＝－5∴a＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于17．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力18．4【解析】【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得当时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查19．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质20．【解析】【分析】设带入化简得到得到答案【详解】设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式属于常用方法需要学生熟练掌握21．【解析】由题意可得：22．3或【解析】【分析】令换元后函数转化为二次函数由二次函数的性质求得最大值后可得但是要先分类讨论分和求出的取值范围【详解】设则对称轴方程为若则∴当时解得或（舍去）若则∴当时解得或（舍去）答案：3或【点23．3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力24．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【25．(1)-1(2)或【解析】【分析】【详解】①时函数在上为增函数且函数在为减函数在为增函数当时取得最小值为-1；（2）①若函数在时与轴有一个交点则则函数与轴有一个交点所以；②若函数与轴有无交点则函数与三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan,tan sin {2sin,tan sinx x xx x x<≥分段画出函数图象如D图示，故选D．2．B【解析】函数f （x ）=e x ﹣1x 是（0，+∞）上的增函数，再根据f （12）2＜0，f （1）=e ﹣1＞0，可得f （12）f （1）＜0，∴函数f （x ）=e x ﹣1x 的零点所在的区间是（12，1），故选B ．点睛：判定函数的零点所在区间，只需计算区间端点处的函数值，并判断是否异号，只要异号，则区间内至少有一个零点存在.3．B解析：B 【解析】 【分析】由题意，函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，又由函数()f x 是定义上的偶函数，得到函数()f x 在(,0)-∞单调递增，把不等式(1)()f x f x m -≤+转化为1x x m -≤+，即可求解. 【详解】易知函数()f x 在[)0,+∞上单调递减， 又函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以函数()f x 在(),0-∞上单调递增， 则由()()1f x f x m -≤+，得1x x m -≥+，即()()221x x m -≥+，即()()22210g x m x m =++-≤在[],1x m m ∈+上恒成立，则()()()()()()3110121310g m m m g m m m ⎧=-+≤⎪⎨+=++≤⎪⎩，解得113m -≤≤-， 即m 的最大值为13-. 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中利用函数的基本性质，把不等式转化为1x x m -≤+ 求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.4．A解析：A由0.50.6log 0.51,ln 0.50,00.61><<<，所以1,0,01a b c ><<<，所以a c b >>，故选A .5．A解析：A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.7．D解析：D 【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数； y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,()y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增； 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增.简称为“同增异减”.8．A解析：A 【解析】由奇函数满足()32f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可知该函数是周期为3T =的奇函数， 由递推关系可得：112,21n n n n S a n S a n +-=+=+-, 两式做差有：1221n n n a a a -=--，即()()1121n n a a --=-， 即数列{}1n a -构成首项为112a -=-，公比为2q 的等比数列，故：()1122,21n n n n a a --=-⨯∴=-+，综上有：()()()()()552131223f a f f f f =-+=-==--=，()()()()66216300f a f f f =-+=-==，则：()()563f a f a +=. 本题选择A 选项.9．B解析：B 【解析】 【分析】由对数函数的单调性以及指数函数的单调性，将数据与0或1作比较，即可容易判断. 【详解】由指数函数与对数函数的性质可知，a =()3log 20,1,b ∈=lg0.20,c <=0.221>，所以b a c <<，故选：B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.10．D解析：D 【解析】 【分析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可得：()354f log =()3log 23f +， 则()354f log =()31log 21f -+，且()()331log 21log 21f f +=--， 由于()3log 211,0-∈-，故()()31log 2333log 211log 232f f --=--=-=-，据此可得：()()3312log 21log 213f f +=-=-，()354f log =32-.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．C解析：C 【解析】分析：首先根据g （x ）存在2个零点，得到方程()0f x x a ++=有两个解，将其转化为()f x x a =--有两个解，即直线y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数()f x 的图像（将(0)xe x >去掉），再画出直线y x =-，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a -≤时，满足y x a =--与曲线()y f x =有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数()f x 的图像，xy e =在y 轴右侧的去掉，再画出直线y x =-，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程()f x x a =--有两个解， 也就是函数()g x 有两个零点， 此时满足1a -≤，即1a ≥-，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.12．B解析：B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数底数的取值范围，以及一次函数的单调性，及端点处函数值的大小关系列出不等式求解即可 【详解】 解：函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增， ()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．13．C解析：C 【解析】 【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案． 【详解】由题意，函数(),1(1log ,1x a a x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，()12f =， 所以()12f a ==，所以()22,1(1log ,1x x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，所以121()22f ==所以211(())log 22f f f ===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.15．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C二、填空题16．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8【解析】 ∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数， ∴3＋a ＝－5，∴a＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．17．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力【解析】 【分析】变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11log 102m a b+==，得到答案. 【详解】25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，故11log 2log 5log 102,m m m m a b+=+==∴=【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.18．4【解析】【分析】根据分段函数的解析式当时令则解得当时做出函数的图像即可求解【详解】当时令则解得当时令得作出函数的图像由图像可知与有两个交点与有一个交点则的零点的个数为4故答案为：4【点睛】本题考查解析：4 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式当0x ≤时，令()3f x =，则2413x x --+=，解得2x =-±0x >时，()31xf x =>，1x =，做出函数()f x ，1,22y y y ==-=--.【详解】241,0()3,0x x x x f x x ⎧--+≤=⎨>⎩，∴当0x ≤时，()()2241255f x x x x =--+=-++≤，令()3f x =，则2413x x --+=，解得22x=-±，1220,4223,-<-+<-<--<-当0x >时，()31xf x =>，令()3f x =得1x =，作出函数()f x ，1,22,22y y y ==-=--由图像可知，()f x 与1y =有两个交点，与22y =-+ 则(())3f f x =的零点的个数为4. 故答案为：4 【点睛】本题考查了分段函数的零点个数，考查了数形结合的思想，属于基础题.19．【解析】若则在上为增函数所以此方程组无解；若则在上为减函数所以解得所以考点：指数函数的性质解析：32-【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.考点：指数函数的性质.20．【解析】【分析】设带入化简得到得到答案【详解】设代入得到故的解析式是故答案为：【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式属于常用方法需要学生熟练掌握解析：()32f x x =+ 【解析】 【分析】设32t x =+，带入化简得到()32f t t =+得到答案. 【详解】()3298f x x +=+，设32t x =+ 代入得到()32f t t =+故()f x 的解析式是() 32f x x =+ 故答案为：()32f x x =+ 【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，属于常用方法，需要学生熟练掌握.21．【解析】由题意可得： 解析：1-【解析】由题意可得：()()()()()111,111f f ff f -=-=--=-=-22．3或【解析】【分析】令换元后函数转化为二次函数由二次函数的性质求得最大值后可得但是要先分类讨论分和求出的取值范围【详解】设则对称轴方程为若则∴当时解得或（舍去）若则∴当时解得或（舍去）答案：3或【点解析：3或13【解析】 【分析】令x t a =，换元后函数转化为二次函数，由二次函数的性质求得最大值后可得a ．但是要先分类讨论，分1a >和01a <<求出t 的取值范围． 【详解】设0x t a =>，则221y t t =+-，对称轴方程为1t =-.若1,[1,1]a x >∈-，则1,xt a a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦， ∴当t a =时，2max 2114y a a =+-=，解得3a =或5a =-（舍去）.若01a <<，[1,1]x ∈-，则1,xt a a a⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦∴当1t a =时，2max 112114y a a ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭解得13a =或15a =-（舍去）答案：3或13【点睛】本题考查指数型复合函数的最值，本题函数类型的解题方法是用换元法把函数转化为二次函数求解．注意分类讨论．23．3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力解析：3 【解析】 【分析】首先化简所给的指数式，然后结合题意求解其值即可. 【详解】1321223333a b a b aa b +-+====.【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则，整体数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.24．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}， 【解析】 【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素． 【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =．若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =． 综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-． 【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．25．(1)-1(2)或【解析】【分析】【详解】①时函数在上为增函数且函数在为减函数在为增函数当时取得最小值为-1；（2）①若函数在时与轴有一个交点则则函数与轴有一个交点所以；②若函数与轴有无交点则函数与解析：(1)-1，(2)112a ≤<或2a ≥. 【解析】 【分析】 【详解】①1a =时，()()()2,1{42, 1.x a x f x x a x a x -<=--≥，函数()f x 在(,1)-∞上为增函数且()1f x >-，函数()f x 在3[1,]2为减函数，在3[,)2+∞为增函数，当32x =时，()f x 取得最小值为-1；（2）①若函数()2xg x a =-在1x <时与x 轴有一个交点，则0a >， (1)2g a =->0，则02a <<，函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有一个交点，所以211a a ≥<⇒且112a ≤<； ②若函数()2xg x a =-与x 轴有无交点，则函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有两个交点，当0a ≤时()g x 与x 轴有无交点，()4()(2)h x x a x a =--在1x ≥与x 轴有无交点，不合题意；当当2a ≥时()g x 与x 轴有无交点，()h x 与x 轴有两个交点，x a =和2x a =，由于2a ≥，两交点横坐标均满足1x ≥；综上所述a 的取值范围112a ≤<或2a ≥.考点：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解题.利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，涉计参数问题，针对参数进行分类讨论.三、解答题26．(1)2,3a b =-=；(2) 当104a <≤时，5212a b a --≤≤-；当1142a <<时，21b a -≤≤-.【解析】 【分析】（1）求得二次函数的对称轴，根据对称轴和区间的位置关系，分类讨论，待定系数即可求得,a b ；（2）对参数a 进行分类讨论，利用对勾函数的单调性，求得函数的最值，即可容易求得参数范围. 【详解】（1）由题可知2y ax bx =+是开口向下，对称轴为02ba->的二次函数， 当22ba-≥时，二次函数在区间[]0,2上单调递增， 故可得0min y =显然不符合题意，故舍去； 当122b a ≤-<，二次函数在0,2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在,22b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，且当0x =时，取得最小值，故0min y =，不符合题意，故舍去； 当012b a <-<时，二次函数在2x =处取得最小值，在2bx a=-时取得最大值. 则422a b +=-；29228b b a b a a ⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得292b a -=；则24990b b --=，解得3b =或34b =-（舍）， 故可得2a =-.综上所述：2,3a b =-=.（2）由题可知()21f x ax bx =++，因为()2f x x≤对任意[]1,2x ∈恒成立，即12ax b x++≤对任意[]1,2x ∈恒成立， 即122ax b x-≤++≤对任意[]1,2x ∈恒成立， 令()1g x ax b x=++，则()2max g x ≤，且()2min g x ≥-.因为12a <<> 2≥，即104a <≤时， ()g x 在区间[]1,2单调递减，故()()11max g x g a b ==++，()()1222min g x g a b ==++ 则112,222a b a b ++≤++≥-， 解得51,22b a b a ≤-≥--. 此时，()5721022a a a ⎛⎫----=--< ⎪⎝⎭，也即5212a a --<-， 故5212a b a --≤≤-.2<<，即1142a <<时， ()g x 在⎛ ⎝单调递减，在2⎫⎪⎭单调递增.()2min g x g b ==≥-，即2b ≥-又因为()11g a b =++，()1222g a b =++， 则()()11202g g a -=-+>， 故()g x 的最大值为()11g a b =++， 则12a b ++≤，解得1b a ≤-，此时()())2213140a a ---=-=-<，故可得21b a -≤≤-. 综上所述： 当104a <≤时，5212a b a --≤≤-；当1142a <<时，21b a -≤≤-. 【点睛】本题考查二次函数动轴定区间问题的处理，以及由恒成立问题求参数范围，涉及对勾函数的单调性，属综合中档题.27．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】【分析】（1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=- 即：242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+ ∴函数()f x 的值域为()1,1-.（3）由()220xmf x +-> 可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->- 令(2113)x t t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t+->=-+， 函数21y t t =-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=， 103m ∴>，故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】 本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.28．（1）()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩；（2）2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【解析】【分析】（1）先阅读题意，再分当050x <<时，当50x ≥时，求函数解析式即可；（2）当050x <<时，利用配方法求二次函数的最大值，当50x ≥时，利用均值不等式求函数的最大值，一定要注意取等的条件，再综合求分段函数的最大值即可.【详解】解：（1）由已知有当050x <<时，()22600(10200)3000104003000L x x x x x x =-+-=-+-当50x ≥时，()1000010000600(6019000)30006000L x x x x x x=-+--=--+， 即()2104003000,050100006000,50x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+≥⎪⎩， （2）当050x <<时，()2210400300010(20)1000L x x x x =-+-=--+， 当20x 时，()L x 取最大值1000，当50x ≥时，()10000600060005800L x x x =--+≤-+=， 当且仅当10000x x=，即100x =时取等号， 又58001000>故2019年年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大利润为5800万元.【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了分段函数最值的求法，属中档题.29．（1）当P ＝19.5元，最大余额为450元；（2）20年后【解析】【分析】（1）根据条件关系建立函数关系，根据二次函数的图象和性质即可求出函数的最值； （2）根据函数的表达式，解不等式即可得到结论．【详解】设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q （P ﹣14）×100﹣3600﹣2000，① 由销量图，易得Q ＝250,14P 20340,20P 262p p -+⎧⎪⎨-+<⎪⎩ 代入①式得L ＝(250)(14)1005600,14P 20340(14)100560,20P 262P P P P -+-⨯-⎧⎪⎨⎛⎫-+-⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩ （1）当14≤P ≤20时，2(250)(14)1005600200780075600L P P p p =-+-⨯-=-+-，当P ＝19.5元，L max ＝450元，当20＜P ≤26时，23340(14)100560615656022L P P P p ⎛⎫=-+-⨯-=-+- ⎪⎝⎭，当P ＝613元时，L max ＝12503元. 综上：月利润余额最大，为450元，（2）设可在n 年内脱贫，依题意有12n ×450﹣50000﹣58000≥0，解得n ≥20，即最早可望在20年后脱贫．【点睛】本题主要考查实际函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用二次函数的图象和性质是即可得到结论，属于中档题．30．a=1或a≤﹣1【解析】试题分析：先由题设条件求出集合A ，再由A∩B=B ，导出集合B 的可能结果，然后结合根的判别式确定实数a 的取值范围．试题解析：根据题意，集合A={x|x 2+4x=0}={0，﹣4}，若A∩B=B，则B 是A 的子集，且B={x|x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0}，为方程x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0的解集，分4种情况讨论：①B=∅，△=[2（a+1）]2﹣4（a 2﹣1）=8a+8＜0，即a ＜﹣1时，方程无解，满足题意； ②B={0}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根0，则有a+1=0且a 2﹣1=0，解可得a=﹣1，③B={﹣4}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个相等的实根﹣4，则有a+1=4且a 2﹣1=16，此时无解，④B={0、﹣4}，即x 2+2（a+1）x+a 2﹣1=0有两个的实根0或﹣4，则有a+1=2且a2﹣1=0，解可得a=1，综合可得：a=1或a≤﹣1．点睛：A∩B=B则B是A={0，﹣4}的子集，而B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}为方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的解集，所以分四种情况进行讨论①B=∅，②B={0}，③B={﹣4}，④B={0、﹣4}，其中①B=∅不要忘记.。
人教版高中数学必修一《函数的应用》重难点解析(含答案)
人教版数学必修一第三章《函数的应用》重难点解析第三章 课文目录 3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用重点：1．通过用“二分法”求方程近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系,初步形成用函数观点处理问题的意识.2．认识指数函数、对数函数、幂函数等 函数模型的增长差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长的差异. 难点：1．在利用“二分法”求方程近似解的过程中，对给定精确度的近似解的计算. 2．如何选择适当的函数模型分析和解决 实际问题.一、方程的根和函数的零点1．函数的零点给出三个具体函数的图象——设置问题研究情景，通过对函数图像的观察，归纳出结论：一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根，就是相应的二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象与x 轴的交点的横坐标。
我们把使()0=x f 的实数x 叫做函数()x f y =的零点。
注意函数的零点与方程的根间的联系和区别，二者不能混为一谈。
例1 函数322--=x x y 的零点是（ ）A ．31=-=x x 或B ．()()030,1，或-C ．31-==x x 或D ．()()030,1，或- 函数的零点与方程的根——形数的结合的典范。
利用学生熟悉的二次函数的图象和性质，为理解函数的零点提供直观认识，为判定零点是否存在和求零点提供支持，使函数零点的求解与函数的变化建立联系。
为判断方程()0=x f 实数根的个数，只需观察函数()x f y =的图象与x 轴交点的个数——方程根的研究转化为函数零点的研究。
例2 判断方程062ln =-+x x 实根的个数。
2．函数零点存在的判定引导学生观察图象连续的函数的变化情况，让学生通过连续的函数值的变化情况认识到：当函数值由正变为负时必定经过一个零点； 当函数值由负变为正时必定经过一个零点。
由此概括得到函数零点存在的判定方法。
如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0<⋅b f a f ，那么，函数()x f y =在区间()b a ,内有零点，即存在()b a c ,∈，使得()0=c f ，这个c 也就是方程()0=x f 的根。
高一数学 函数的应用练习题难题带答案
高一数学必修一函数的应用一．选择题（共30小题）1．已知函数，关于x的方程f（x）＝a存在四个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）∪（1，e）B．C．D．（0，1）2．某码头有总重量为13.5吨的一批货箱，对于每个货箱重量都不超过0.35吨的任何情况，都要一次运走这批货箱，则至少需要准备载重1.5吨的卡车（）A．12辆B．11辆C．10辆D．9辆3．已知函数f（x）＝和g（x）＝a（a∈R且为常数）．有以下结论：①当a＝4时，存在实数m，使得关于x的方程f（x）＝g（x）有四个不同的实数根；②存在m∈[3，4]，使得关于x的方程f（x）＝g（x）有三个不同的实数根；③当x＞0时，若函数h（x）＝f2（x）+bf（x）+c恰有3个不同的零点x1，x2，x3，则x1x2x3＝1；④当m＝﹣4时，关于x的方程f（x）＝g（x）有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，若f（x）在[x，x4]上的最大值为ln4，则sin（3x1+3x2+5x3+4x4）π＝1．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝[f（f（x））]2﹣（a+1）•f（f（x））+a（a∈R）恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．[0，1]C．（0，+∞）D．[0，+∞）5．已知，方程有三个实根x1＜x2＜x3，若x3﹣x2＝2（x2﹣x1），则实数a＝（）A．B．C．a＝﹣1D．a＝16．已知函数，若方程f（x）＝ax有三个不同的实数根x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1﹣x2的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，则方程f（2020﹣x）＝f（log2020|x|）的解至少有多少个（）A．2B．3C．4D．58．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且函数f（x﹣1）为偶函数，当x＝[0，1]时，，若g（x）＝f（x）﹣x﹣b有三个零点，则实数b的取值集合是（）A．，k∈Z B．，k∈ZC．，k∈Z D．，k∈Z9．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣1恰有三个零点，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．10．已知函数，若关于x的方程|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1，有且仅有三个不同的整数解，则实数a的取值范围是（）A．B．[0，8]C．D．11．已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）﹣b，h（x）＝f[f（x）]﹣b，记函数g（x）和h（x）的零点个数分别是M，N，则（）A．若M＝1，则N≤2 B．若M＝2，则N≥2C．若M＝3，则N＝4 D．若N＝3，则M＝212．已知f（x）＝a（e x﹣e﹣x）﹣sinπx（a＞0）存在唯一零点，则实数a的取值范围（）A．B．C．D．13．若函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x，a＞0，若f（x）有两个零点，则a的取值范围为（）A．（0，1）B．（0，1]C．D．14．已知函数f（x）＝函数g（x）＝kx．若关于x的方程f（x）﹣g（x）＝0有3个互异的实数根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．15．已知函数f（x）＝min{x|x﹣2a|，x2﹣6ax+8a2+4}（a＞1），其中min（p，q）＝，若方程f（x）＝恰好有3个不同解x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），则x1+x2与x3的大小关系为（）A．x1+x2＞x3B．x1+x2＝x3C．x1+x2＜x3D．不能确定16．关于x的方程有四个不同的实数根，且x1＜x2＜x3＜x4，则（x4﹣x1）+（x3﹣x2）的取值范围（）A．B．C．D．17．已知函数，g（x）＝ax3﹣f（x）．若函数g（x）恰有两个非负零点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．18．已知函数f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜1＜x2＜x3，则的值为（）A．81B．﹣81C．﹣9D．919．已知函数f（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）在区间[2，3]上有零点，则a2+ab的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．C．[4，]D．20．已知三次函数0）有两个零点，若方程f′[f（x）]＝0有四个实数根，则实数a的范围为（）A．B．C．D．21．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣1，若函数g（x）＝f（|a x﹣1|）+k|a x﹣1|+4k（其中a＞1）有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为（）A．（，]B．（）C．（]D．（）22．已知方程xe x﹣a（e2x﹣1）＝0只有一个实数根，则a的取值范围是（）A．a≤0或a≥B．a≤0或a≥C．a≤0D．a≥0或a≤﹣23．已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+2）＝f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）＝1﹣|x|，又，则函数F（x）＝g（x）﹣f（x）在区间[﹣2017，2017]上零点的个数为（）A．2015B．2016C．2017D．201824．已知函数f（x）＝，若函数F（x）＝f（x）﹣b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4（x1＜x2＜x3＜x4），则的取值范围是（）A．（2，+∞）B．C．D．[2，+∞）25．已知函数f（x）＝lnx+（1﹣a）x+a（a＞0），若有且只有两个整数x1，x2使得f（x1）＞0，且f（x2）＞0，则a的取值范围是（）A．B．（0，2+ln2）C．D．26．已知函数f（x）＝|x2﹣4x|，x∈R，若关于x的方程f（x）＝m|x+1|﹣2恰有4个互异的实数根，则实数m的取值范围为（）A．（0，）B．（0，）C．（2，）D．（2，）27．已知函数，则函数F（x）＝f（f（x））﹣ef（x）的零点个数为（）（e是自然对数的底数）．A．6B．5C．4D．328．已知关于x的方程为＝3e x﹣2+（x2﹣3），则其实根的个数为（）A．2B．3C．4D．529．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x﹣2）＝f（x），且当x∈[1，2]时，f（x）＝﹣4x2+18x﹣14，若函数g（x）＝f （x）﹣mx有三个零点，则正实数m的取值范围为（）A．（，18﹣4）B．（2，18﹣4）C．（2，3）D．（，3）30．已知函数f（x）＝|log2x|，g（x）＝，则方程|f（x）﹣g（x）|＝1的实根个数为（）A．2个B．3个C．4个D．5个二．填空题（共5小题）31．已知关于x的方程xlnx﹣a（x2﹣1）＝0在（0，+∞）上有且只有一个实数根，则a的取值范围是．32．已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为．33．若函数f（x）＝﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是．34．已知函数f（x）＝1+x﹣+﹣+…+，g（x）＝1﹣x+﹣++…﹣，设F（x）＝f（x+3）g（x﹣4）且F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值是．35．已知函数，正实数a、b、c成公差为正数的等差数列，且满足f（a）f（b）f（c）＜0，若实数d是方程f（x）＝0的一个解，那么下列四个判断：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c中，有可能成立的个数为．三．解答题（共5小题）36．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a＞0），设．（1）判断函数h（x）＝f（x）﹣g（x）零点的个数，并给出证明；（2）首项为m的数列{a n}满足：①a n+1+a n≠；②f（a n+1）＝g（a n）．其中0＜m＜．求证：对于任意的i，j∈N*，均有a i﹣a j＜﹣m．37．已知m＞0，函数f（x）＝e x﹣mx，直线l：y＝﹣m．（1）讨论f（x）的图象与直线l的交点个数；（2）若函数f（x）的图象与直线l：y＝﹣m相交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点（x1＜x2），证明：．38．已知a∈R，函数f（x）＝x﹣ae x+1有两个零点x1，x2（x1＜x2）．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：e+e＞2．39．已知函数在（﹣∞，+∞）上是增函数．（1）求实数a的值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣kx有三个零点，求实数k的取值范围．40．今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f（x）时刻x（时）的函数关系为f（x）＝|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若a＝，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a 应控制在什么范围内？参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．【解答】解：由题意，a＞0，令t＝，则f（x）＝a⇔⇔⇔⇔．记g（t）＝．当t＜0时，g（t）＝2ln（﹣t）﹣（t﹣）单调递减，且g（﹣1）＝0，又g（1）＝0，∴只需g（t）＝0在（0，+∞）上有两个不等于1的不等根．则⇔＝，记h（t）＝（t＞0且t≠1），则h′（t）＝＝．令φ（t）＝，则φ′（t）＝＝＜0．∵φ（1）＝0，∴φ（t）＝在（0，1）大于0，在（1，+∞）上小于0．∴h′（t）在（0，1）上大于0，在（1，+∞）上小于0，则h（t）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．由，可得，即a＜1．∴实数a的取值范围是（0，1）．故选：D．2．【解答】解：【解法1】从第1辆卡车开始依次装上货物，每车一直装到再装一箱就超过1.5吨为止，把多出的这一箱先单独留出来不往后面装，因为13.5÷（1.5+0.35）≈7.3，所以这样至少能装到第7辆卡车（包括单独留出）之后还有剩余；①如果装到第7辆卡车剩余的已经不足1.5吨，那么第8辆卡车可以把剩余的装走，此时前7辆卡车单独留出的7个货箱可以分成两组，一组3个，一组4个，每组不超过0.35×4＝1.4吨，这样再找2辆卡车就可以拉完，一共最多需要10辆卡车；②如果装到第7辆车剩余的货箱超过1.5吨，可以继续装第8辆卡车，此时8辆卡车上单独留出8个货箱可以分成两组，每组4个，每组都不超过0.35×4＝1.4吨，再找2辆卡车就可以拉走；上面10辆卡车一共装了超过1.5×8＝12吨货箱，所剩货箱不超过13.5﹣12＝1.5吨，最多还需要1辆卡车就可以拉走，所以一共最多需要11辆卡车；综上，要保证任何情况都能一次性拉走，则至少需要11辆卡车．【解法二】由题意，将所有货箱任意排定顺序；首先将货箱依次装上第1辆卡车，并直到再装1个就超过载重量为止，并将这最后不能装上的货箱放在第1辆卡车之旁；然后按同样办法装第2辆、第3辆、…，直到第8辆车装完并在车旁放了1个货箱为止；显然前8辆车中每辆所装货箱及车旁所放1箱的重量和超过1.5吨；所以所余货箱的重量和不足1.5吨，可以全部装入第9辆卡车；然后把前8辆卡车旁所放的各1货箱分别装入后2辆卡车，每车4个货箱，显然不超载；这样装车就可用8+1+2＝11辆卡车1次把这批货箱运走．故选：B．3．【解答】解：①当x≤0时，f（x）＝﹣x2+mx＝﹣（x2﹣mx）＝﹣（x﹣）2+，当对称轴＜0且＞4，即m＜0且m2＞16，即m＜﹣4时，f（x）＝g（x）＝4有四个不同的实数根，故①正确，②若m＞0，则函数的对称轴＞0，此时当x≤0时，函数f（x）为增函数，且f（x）≤0，此时当m∈[3，4]，使得关于x的方程f（x）＝g（x）不可能有三个不同的实数根，故②错误③当x＞0时，设t＝f（x）＝|lnx|，若f2（x）+bf（x）+c＝0有三个不同的根，则t2+bt+c＝0有两个不同的实根，其中t1＝0，t2＞0，当t1＝0时，对应一个根x1＝1，当t2＞0时，对应两个根x2，x3，且0＜x2＜1＜x3，则|lnx2|＝|lnx3|，即﹣lnx2＝lnx3，则lnx2+lnx3＝0，即ln（x2x3）＝0，则x2x3＝1，即x1x2x3＝1，故③正确，④当m＝﹣4时，作出f（x）的图象如图，由对数的性质知x3x4＝1，x＜＜x3，即f（x）在[x，x4]上的最大值为f（x）＝|lnx|＝2|lnx3|＝﹣2lnx3＝ln4＝2ln2，得lnx3＝﹣ln2，得x3＝，则x4＝2，由对称性知，即x1+x2＝﹣4，则sin（3x1+3x2+5x3+4x4）π＝sin（﹣12++8）π＝sin（﹣4π+π）＝sinπ＝sin＝1，故④正确，故正确的是①③④，共3个，故选：C．4．【解答】解：由g（x）＝[f（f（x））]2﹣（a+1）•f（f（x））+a＝0得[f（f（x））﹣1][f（f（x）﹣a]＝0，则f（f（x））＝1或f（f（x））＝a，作出f（x）的图象如图，则若f（x）＝1，则x＝0或x＝2，设t＝f（x），由f（f（x））＝1得f（t）＝1，此时t＝0或t＝2，当t＝0时，f（x）＝t＝0，有两个根，当t＝2时，f（x）＝t＝2，有1个根，则必须有f（f（x））＝a，（a≠1）有5个根，设t＝f（x），由f（f（x））＝a得f（t）＝a，若a＝0，由f（t）＝a＝0得t ＝﹣1，或t＝1，f（x）＝﹣1有一个根，f（﹣x）＝1有两个根，此时有3个根，不满足条件．若a＞1，由f（t）＝a得t＞2，f（x）＝t有一个根，不满足条件．若a＜0，由f（t）＝a得﹣2＜t＜﹣1，f（x）＝t有一个根，不满足条件．若0＜a＜1，由f（t）＝a得﹣1＜t1＜0，或0＜t2＜1或1＜t3＜2，当﹣1＜t1＜0时，f（x）＝t1，有一个根，当0＜t2＜1时，f（x）＝t2，有3个根，当1＜t3＜2时，f（x）＝t3，有一个根，此时有1+3+1＝5个根，满足条件．故0＜a＜1，即实数a的取值范围是（0，1），故选：A．5．【解答】解：由1﹣x2≥0得x2≤1，则﹣1≤x≤1，当x＜0时，由f（x）＝2，即﹣2x＝2．得1﹣x2＝x2，即2x2＝1，x2＝，则x＝﹣，①当﹣1≤x≤﹣时，有f（x）≥2，原方程可化为f（x）+2+f （x）﹣2﹣2ax﹣4＝0，即﹣4x﹣2ax﹣4＝0，得x＝﹣，由﹣1≤﹣≤﹣解得：0≤a≤2﹣2．②当﹣＜x≤1时，f（x）＜2，原方程可化为4﹣2ax﹣4＝0，化简得（a2+4）x2+4ax＝0，解得x＝0，或x＝﹣，又0≤a≤2﹣2，∴﹣＜﹣＜0．∴x1＝﹣，x2＝﹣，x3＝0．由x3﹣x2＝2（x2﹣x1），得＝2（+），解得a＝﹣（舍）或a＝．因此，所求实数a＝．故选：B．6．【解答】解：当y＝ax与y＝lnx相切时，设切点为（x0，lnx0），，∴，，由得再由图知方程f（x）＝ax的三个不同的实数根x1，x2，x3满足，1＜x2＜e＜x3因此，即x1﹣x2的取值范围是（）故选：B．7．【解答】解：∵f（x﹣1）是f（x）向右平移一个单位的图象，且函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，所以函数f（x）关于直线x＝0对称，即f（x）为偶函数，因此当“f（2020﹣x）＝f（log2020|x|）”是“|2020﹣x|＝|f（log2020|x|）|”充要条件时，此时方程f（2020﹣x）＝f（log2020|x|）的解的个数最少，接下来讨论方程|2020﹣x|＝|log2020|x||的解的个数，因为|2020﹣x|＝|log2020|x||等价于或，①当时，方程的解的个数即函数y＝2020﹣x的图象和函数y＝log2020|x|的图象的交点个数，画出两函数图象如下图所示：易知两函数在x∈（0，+∞）上存在一个交点，故方程有1解；②当时，下面分两种情况进行讨论，若x＜0，等价于，令g（x）＝，易得函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，又因为，，由零点存在定理可得函数g（x）在（﹣∞，0）上存在唯一零点，即方程在（﹣∞，0）上有且只有一个解；若x＞0时，等价于，下面我们证明当a∈（0，）时，函数y＝a x与函数y＝log a x图象有三个交点，假设A点在指数函数y＝a x上，且指数函数过该点的切线斜率为﹣1，B点在对数函数y＝log a x上，且对数函数过该点的切线斜率也为﹣1，当A、B重合时，它们会有一个交点，此时就是一个界点．图象如下图所示，指数函数为y＝a x，求导y′＝a x lna，即指数函数切线的斜率，，∴，与指数函数y＝a x对应的反函数，对数函数为y＝log a x，求导，即对数函数斜率，，∴x B＝﹣log a e，A，B重合，即x A ＝x B，∴log a（﹣log a e）＝﹣log a e，∴，即a＝，∴，即是一个分界点，结合指数函数数及对数函数的变化趋势可知，当a∈（0，）时，函数y＝a x与函数y＝log a x图象有三个交点，又因为，所以，于是方程在（0，+∞）上有三个解，即方程在（0，+∞）上有三个解，综上所述方程|2020﹣x|＝|log2020|x||一共有5个解，于是方程f（2020﹣x）＝f（log2020|x|）的解至少5个，故选：D．8．【解答】解：由已知得，f（﹣x）＝﹣f（x），f（x﹣1）＝f（﹣x﹣1），则f（x+1）＝﹣f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1）＝f（1﹣x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，关于原点对称，又f（x+2）＝f（（x+1）+1）＝﹣f（（x+1）﹣1）＝﹣f（x），进而有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），所以得函数f（x）是以4为周期得周期函数，由g（x）＝f （x）﹣x﹣b有三个零点可知，函数f（x）与函数y＝x+b得图象有三个交点，当直线y＝x+b与函数f（x）图象在[0，1]上相切时，由，即2x2+（2b﹣2）x+b2＝0，故方程2x2+（2b﹣2）x+b2＝0有两个相等得实根，由△＝0⇒（2b﹣2）2﹣4•2•b2＝0，解得b＝﹣1±，当x∈[0，1]时，f（x）＝，作出函数f（x）与函数y＝x+b的图象如图：由图知当直线y＝x+b与函数f（x）图象在[0，1]上相切时，b＝﹣1+，数形结合可得g（x）在[﹣2，2]上有三个零点时，实数b满足，再根据函数f（x）的周期为4，可得所求的实数b的范围为，k∈Z．故选：C．9．【解答】解：当2＜x＜4时，y＝，则y≤0，等式两边平方得y2＝﹣x2+6x﹣8，整理得（x﹣3）2+y2＝1，所以曲线y＝表示圆（x﹣3）2+y2＝1的下半圆，如下图所示，由题意可知，函数y＝g（x）有三个不同的零点，等价于直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点，直线y＝kx+1过定点P（0，1），当直线y＝kx+1过点A（4，0）时，则4k+1＝0，可得k＝；当直线y＝kx+1与圆（x﹣3）2+y2＝1相切，且切点位于第三象限时，k＜0，此时，解得k＝．由图象可知，当时，直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点．因此，实数k取值范围是．故选：B．10．【解答】解：∵|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝，∴函数f（x）位于直线y＝a和y＝a+1的图象上有三个横坐标为整数的点，当x＜0时，且f（x）＜0，由双勾函数的单调性可知，函数y＝f（x）在区间（﹣∞，﹣）上单调递减，在区间（﹣，0）上单调递增，于是当x＜0时，，∵f（﹣1）＝，f（﹣2）＝，f（﹣3）＝，f（﹣4）＝，且f（﹣4）＞f （﹣3）＞f（﹣2），如下图所示，要使得函数f（x）位于直线y＝a和y＝a+1的图象上有三个横坐标为整数的点，则f（﹣3）≤a+1＜f（﹣4），即，解得．因此，实数a的取值范围是．故选：A．11．【解答】解：若f（x）＝2e2x﹣e x时，令f′（x）＝4e2x﹣e x＝0，解得x＝ln，易知此时f（x）在（﹣∞，ln）上单调递减，在（ln，+∞）上单调递增；作出函数y＝2e2x﹣e x及函数y＝x的图象如下图所示，由图象可知，函数f（x）最多有两个零点x＝0或x＝ln，不妨令b＝0，则①当a≤ln时，此时函数g（x）的零点为x＝0，则M＝1，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有1个解，f（x）＝ln有1个解，则N＝2；②当ln＜a≤0时，此时函数g（x）的零点为0，ln，则M＝2，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有两个解，f（x）＝ln无解，则N＝2；③当a＞0时，此时函数g（x）的零点为ln，则M＝1，此时函数h（x）的零点满足f（x）＝0，或f（x）＝ln，显然f（x）＝0有1个解，f（x）＝ln无解，则N＝1；由以上分析可知，故选：A．12．【解答】解：由题意知f（0）＝0，∵f（x）＝a（e x﹣e﹣x）﹣sinπx（a＞0）存在唯一零点，∴f（x）只有一个零点0．∵f（﹣x）＝sinπx+a（e﹣x﹣e x）＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，故只考虑当x＞0时，函数f（x）无零点即可．当x＞0时，有πx＞sinπx，∴f（x）＝a（e x﹣e﹣x﹣sinπx）＞a（e x﹣e﹣x﹣）．令g（x）＝e x﹣e﹣x﹣，x ＞0，则g（0）＝0，∵g′（x）＝e x+e﹣x﹣，x＞0，g″（x）＝e x﹣e﹣x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上单调递增，∵g（0）＝0，∴g′（x）＞g′（0）＝2﹣≥0，解得a≥．故选：B．13．【解答】解：f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）e x﹣1＝（2e x+1）（ae x﹣1）．a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在R上单调递减，此时函数f（x）最多有一个零点，不满足题意，舍去．a＞0时，f′（x）＝2ae2x+（a﹣2）e x﹣1＝（2e x+1）（ae x﹣1）．令f′（x）＝0，∴e x＝，解得x＝﹣lna．∴x∈（﹣∞，﹣lna）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（﹣∞，﹣lna）上单调递减；x∈（﹣lna，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（﹣lna，+∞）上单调递增．∴x＝﹣lna时，函数f（x）取得极小值，∵f（x）有两个零点，∴f（﹣lna）＝a×+（a﹣2）×+lna＝1﹣+lna＜0，令u（a）＝1﹣+lna，u（1）＝0．u′（a）＝+＞0，∴函数u（x）在（0，+∞）上单调递增，∴0＜a＜1．又x→﹣∞时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞．∴满足函数f（x）有两个零点．∴a的取值范围为（0，1），故选：A．14．【解答】解：作出函数g（x）和f（x）的图象如图：由图可知，当k≤0时，不满足题意，则k＞0；当直线y＝kx经过点B时，k＝＝，此时y＝x与函数f（x）图象有3个交点，满足；当y＝kx为y＝lnx的切线时，设切点（x0，lnx0），则k＝，故有lnx0＝•x0＝1，解得x0＝e，即有切点为A（e，1），此时g（x）＝x与f（x）有3个交点，满足题意；综上：当k∈[，]，故选：B．15．【解答】解：f（x）＝，易知f（a）＝a2（极大值）；f（2a）＝0（极小值）；（极大值）；f（3a）＝4﹣a2（极小值）．要使f（x）＝恰好有3个不同解，结合图象得：①当，即时，解得，不存在这样的实数a．②当，即时，解得；此时2a＜，又因为x2与x3关于x＝3a对称，∴x3﹣3a＝3a﹣x2＜a＜2a＜x1．∴x3＜4a ＜x1+x2．③当，即时，解得a＞2．此时，x1，x2是方程﹣x2+2ax＝的两实根，所以x1+x2＝2a，而x3＞3a，所以x1+x2＜x3，故选：D．16．【解答】解：依题意可知，|x2﹣4x+1|＝t2+1，由方程有四个根，所以函数y＝t2+1与y＝|x2﹣4x+1|的图象有四个交点，由图可知，x1+x4＝4，x2+x3＝4，1≤t2+1＜3，解得t2∈（0，2），由x2﹣4x+1＝t2+1解得x1＝2﹣；由﹣（x2﹣4x+1）＝t2+1解得x2＝2﹣；所以（x4﹣x1）+（x3﹣x2）＝8﹣2（x1+x2）＝2（+）设m ＝t2∈（0，2），n＝+，n2＝m+4+2﹣m+2＝6+2∈（6，6+4），即m∈（，2+），所以（x4﹣x1）+（x3﹣x2）的取值范围是（2，4+2）．故选：B．17．【解答】解：显然，x＝0满足g（x）＝0，因此，只需再让g（x）＝0有另外一个唯一正根即可．ax3﹣f（x）＝0，即为ax3＝f（x）．作出h（x）＝ax3，y＝f（x）图象如下：说明：射线与线段是y＝f（x）的部分图象，因为要分三种情况分析，故y＝h（x）的图象作了三个（只做出y轴右侧部分），分别对应①、②、③．（1）对于第一种情况：因为h′（0）＝0＜1，所以当y＝h（x）（如图象①）与y＝f（x）＝x在[0，1）上的图象有交点A时，只需h（1）＝a＞1即可；（2）对于第二种情况：y＝h（x）（图象②）与y＝f（x）＝x﹣1在[1，2）上的图象切于点B，设切点为（m，m﹣1），因为h′（x）＝3ax2，则，解得；（3）当y＝h（x）（图象③）与y＝x﹣1（1≤x＜2）相交于点C，且满足h（2）≤1，即时，只需x∈[2，3）时，g（x）≥0恒成立即可．所以ax3≥x﹣2，x∈[0，2]恒成立即可，且只能在x＝3处取等号，即，，在[2，3]上恒成立，故u（x）在[2，3]上递增，所以u（x）max＝u（3）＝，．故此时即为所求．综上可知，a的范围是．故选：C．18．【解答】解：f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2＝0⇒（a﹣3）（xlnx﹣3x2）＝﹣9（lnx）2⇒a﹣3＝，令t＝3﹣，则，t∈[3﹣，+∞），⇒a﹣3＝⇒9t2﹣（51+a）t+81＝0．设关于t的一元二次方程有两实根t1，t2，∴△＝（51+a）2﹣4×9×81＞0，可得a＞3或a＜﹣105．∴＞＝6，t1t2＝9．又∵t1+t2＝，当且仅当t1＝t2＝3时等号成立，由于t1+t2≠6，∴t1＞3，＜3（不妨设t1＞t2）．∵x1＜1＜x2＜x3，∴＞3，＜3，3﹣＜3．则可知＝t1，＝3﹣＝t2．∴＝．故选：A．19．【解答】解：不妨设x1，x2为函数f（x）的两个零点，其中x1∈[2，3]，x2∈R，则x1+x2＝﹣a，x1x2＝b．则a2+ab ＝（x1+x2）2﹣（x1+x2）•x1x2＝（1﹣x1）x22+（2x1﹣x12）x2+x12，由1﹣x1＜0，x2∈R，所以（1﹣x1）x22+（2x1﹣x12）x2+x12≤＝，可令g（x1）＝，g′（x1）＝，当x1∈[2，3]，g′（x1）＞0恒成立，所以g（x1）∈[g（2），g（3）]＝[4，]．则g（x1）的最大值为，此时x1＝3，还应满足x2＝﹣＝﹣，显然x1＝3，x2＝﹣时，a＝b＝﹣，a2+ab＝．故选：B．20．【解答】解：三次函数0）有两个零点，且由f′（x）＝x2+2ax﹣3a2＝0得x＝a 或﹣3a．故必有．又若方程f′[f（x）]＝0有四个实数根，则f（x）＝a或f（x）＝﹣3a共有四个根．①当前一组混合组成立时，做出图象（图①）可知，只需0＜a＜f（﹣3a）即可，即，解得②；②当后一组混合组成立时b＝﹣9a3，做出图象（图②）可知图②只需f（a）＜﹣3a＜0即可，即，解得③．取②③的并集可知，当时．方程f′[f（x）]＝0有四个根．故选：C．21．【解答】解：令t＝|a x﹣1|，t≥0，则函数g（x）＝f（|a x﹣1|）+k|a x﹣1|+4k可换元为：h（t）＝t2+（k﹣2）t+4k﹣1．若g（x）有三个不同的零点，则方程h（t）＝0有两个不同的实数根t1，t2，且解的情况有如下三种：①t1∈（1，+∞），t2∈（0，1），此时，解得；②t1＝0，t2∈（0，1），此时由h（0）＝0，求得k＝，∴h（t）＝，即，不合题意；③t1＝1，t2∈（0，1），此时由h（1）＝0，得k＝，∴h（t）＝，解得，符合题意．综上，实数k的取值范围为（]．故选：C．22．【解答】解：令t＝e x，t＞0，x＝lnt，则原方程转化成tlnt﹣a（t2﹣1）＝0，即，令，显然f（1）＝0，问题转化成函数f（t）在（0，+∞）上只有一个零点1，，若a＝0，则f（t）＝lnt在（0，+∞）单调递增，f（1）＝0，此时符合题意；若a＜0，则f′（t）＞0，f（t）在（0，+∞）单调递增，f（1）＝0，此时符合题意；若a＞0，记h（t）＝﹣at2+t﹣a，则函数h（t）开口向下，对称轴，过（0，﹣a），△＝1﹣4a2，当△≤0 即1﹣4a2≤0，即时，f′（t）≤0，f（t）在（0，+∞）单调递减，f（1）＝0，此时符合题意；当△＞0 即1﹣4a2＞0，即时，设h（t）＝0有两个不等实根t1，t2，0＜t1＜t2，又h（1）＞0，对称轴，所以0＜t1＜1＜t2，则f（t）在（0，t1）单调递减，（t1，t2）单调递增，（t2，+∞）单调递增，由于f（1）＝0，所以f（t2）＞0，取，，记令，则，所以f（t0）＜0，结合零点存在性定理可知，函数f（t）在（t1，t2）存在一个零点，不符合题意；综上，符合题意的a的取值范围是a≤0 或，故选：A．23．【解答】解：因为f（x+2）＝f（x），所以f（x）的一个周期为2，当x＞1时，g（x）＝，所以g′（x）＝，所以x∈（1，e），g′（x）＞0，函数是增函数，g（x）＞g（1）＝0，x∈（e，+∞），g′（x）＜0，函数是减函数，g（x）＞0，g（x）的最大值为1，f（x）与g（x）的图象如下：在区间[﹣1，1]内有一个根，在[1，2017]内有1008个周期，每个周期内均有2个根，所以F（x）共有2017个零点．故选：C．24．【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示：由图象知x1+x2＝﹣4，x3x4＝1，0＜b≤1，解不等式0＜﹣log2x≤1得：≤x3＜1，∴＝+，令t＝x32，则≤t＜1，令g（t）＝t+，则g（t）在[，1]上单调递减，g（1）＝2，g（）＝，∴g（1）＜g（t）≤g（），即2＜t+≤，故选：C．25．【解答】解：由f（x）＝lnx+（1﹣a）x+a＞0，得lnx＞（a﹣1）x﹣a，作出函数y＝lnx与y＝（a﹣1）x﹣a的图象如图：直线y＝（a﹣1）x﹣a过定点（1，﹣1），当x＝2时，曲线y＝lnx上的点为（2，ln2），当x＝3时，曲线y＝lnx上的点为（3，ln3）．过点（1，﹣1）与（2，ln2）的直线的斜率k＝，过点（1，﹣1）与（3，ln3）的直线的斜率k＝．由a﹣1＝ln2+1，得a＝ln2+2，由a﹣1＝，得a＝．∴若有且只有两个整数x1，x2使得f（x1）＞0，且f（x2）＞0，则a的取值范围是．故选：C．26．【解答】解：作出f（x）＝|x2﹣4x|与f（x）＝m|x+1|﹣2的图象如图，由图可知，f（x）＝m|x+1|﹣2恒过（﹣1，﹣2），且为2条射线，斜率分别为m，﹣m，当f（x）＝m|x+1|﹣2过（0，0）以及与抛物线相切时时临界情况，当f（x）＝m|x+1|﹣2过（0，0）时，m＝＝2，当f（x）＝m|x+1|﹣2与y＝﹣x2+4x相切时，联立，得x2+（m﹣4）x+m﹣2＝0，则△＝（m﹣4）2﹣4（m﹣2）＝0，解得m＝6﹣2（6+2舍去），故m的取值范围为（2，6﹣2），故选：C．27．【解答】解：不妨设，，易知，f1（x）＜0在（﹣∞，0]上恒成立，且在（﹣∞，0]单调递增；，设，由当x→0+时，g（x）→﹣∞，g（1）＝e﹣1＞0，且函数g（x）在（0，+∞）上单增，故函数g（x）存在唯一零点x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，即，则，故当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f2'（x）＜0，f2（x）单减；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f2'（x）＞0，f2（x）单增，故＝0，故f2（x）≥0；令t＝f（x），F（t）＝f（t）﹣et＝0，当t≤0时，﹣e﹣t﹣et＝0，解得t＝﹣1，此时易知f（x）＝t＝﹣1有一个解；当t＞0时，te t﹣t﹣1﹣lnt﹣et＝0，即te t﹣t﹣1﹣lnt＝et，作函数f2（t）与函数y＝et如下图所示，由图可知，函数f2（t）与函数y＝et有两个交点，设这两个交点为t1，t2，且t1＞0，t2＞0，而由图观察易知，f（x）＝t1，f（x）＝t2均有两个交点，故此时共有四个解；综上，函数F（x）＝f（f（x））﹣ef（x）的零点个数为5．故选：B．28．【解答】解：x＝不是方程＝3e x﹣2+（x2﹣3）的根，所以方程可变形为﹣＝，原问题等价于考查函数y＝﹣与函数g（x）＝的交点个数，令h（x）＝，则h′（x）＝，列表可得：x（﹣∞，﹣（﹣，﹣1）（﹣1，）（，3）（3，+∞））h′（x）++﹣﹣+h（x）单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增函数y＝在有意义的区间内单调递增，故g（x）的单调性与函数h（x）的单调性一致，且g（x）的极值g （﹣1）＝g（3）＝﹣+2e，绘制函数图象如图所示，观察可得，y＝﹣与函数g（x）恒有3个交点，即方程实数根的个数是3，故选：B．29．【解答】解：根据f（x﹣2）＝f（x），可知函数的一个周期为2，作出x∈[1，2]时，f（x）＝﹣4x2+18x﹣14的图象再根据函数f（x）为偶函数，f（﹣x）＝f（x）＝f（x+2），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，利用周期性，可以作出函数f（x）的图象，函数g（x）＝f（x）﹣mx有三个零点，所以函数y＝f（x）的图象与直线y＝mx 有三个交点，由图可知，当直线位于直线l1与直线l2之间时可以满足题意．当直线l2与y＝f（x）的图象相切时，联立得，4x2+（m﹣18）x+14＝0，∴△＝（m﹣18）2﹣4×4×14＝0，解得m＝18﹣4，m＝19+4（舍去）∴＜m＜18﹣4．故选：A．30．【解答】解：方程|f（x）﹣g（x）|＝1⇔f（x）＝g（x）±1，y＝g（x）+1＝，y＝g（x）﹣1＝．分别画出y＝f（x），y＝g（x）+1的图象．由图象（1）可得：0＜x≤1时，两图象有一个交点；1＜x≤2时，两图象有一个交点；x＞2时，两图象有一个交点．分别画出y＝f（x），y＝g（x）﹣1的图象．由图象（2）可知：x＞时，两图象有一个交点．综上可知：方程|f（x）﹣g（x）|＝1实数根的个数为4．故选：C．二．填空题（共5小题）31．【解答】解：当x＝1时，方程等价为ln1﹣a（1﹣1）＝0，即x＝1是方程的一个根，若当x＞0时，方程只有一个根，则由xlnx﹣a（x2﹣1）＝0得x＞0，且xlnx＝a（x2﹣1），即lnx＝a（x﹣），当x≠时，方程无解，即函数g（x）＝lnx与h（x）＝a（x﹣），在x≠1时无解，函数g（x）＝lnx为增函数，g′（x）＝，h′（x）＝a（1+），则当a＝0时，h（x）＝0，此时h（x）与函数g（x）只有一个交点（1，0），若a＜0，则h′（x）＜0，即h（x）为减函数，且h（1）＝0，此时两个函数图象只有一个交点（1，0）满足条件，若a＞0，要使g（x）与h（x）只有一个交点（1，0），则只需要h′（1）≥g′（1），即可则2a≥1，即a≥，综上a≥或a≤0，故答案为：a≥或a≤032．【解答】解：函数＝0，得|x+a|﹣﹣a＝3，设g（x）＝|x+a|﹣﹣a，h（x）＝3，则函数g （x）＝，不妨设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞﹣a时，由f（x）＝0，得g（x）＝3，即x﹣＝3，得x2﹣3x﹣4＝0，得（x+1）（x﹣4）＝0，解得x＝﹣1，或x＝4；若①﹣a≤﹣1，即a≥1，此时x2＝﹣1，x3＝4，由等差数列的性质可得x1＝﹣6，由f（﹣6）＝0，即g（﹣6）＝3得6+﹣2a ＝3，解得a＝，满足f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有一解．若②﹣1＜﹣a≤4，即﹣4≤a＜1，则f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3＝4，所以有x1，x2是﹣x﹣﹣2a＝3的两个解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+4＝0的两个解．得到x1+x2＝﹣（2a+3），x1x2＝4，又由设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+4，解得：a＝﹣1+（舍去）或a＝﹣1﹣．③﹣a＞4，即a＜﹣4时，f （x）＝0最多只有两个解，不满足题意；综上所述，a＝，或﹣1﹣．33．【解答】解：由题意得，a＝﹣＝﹣；表示了点A（﹣，）与点C（3x，0）的距离，表示了点B（，）与点C（3x，0）的距离，如下图，结合图象可得，﹣|AB|＜﹣＜|AB|，即﹣1＜﹣＜1，故实数a的取值范围是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．34．【解答】解：∵f（x）＝1+x﹣+﹣+...﹣+，f′（x）＝1﹣x+x2﹣ (x2012)＝＞0，此时函数单调递增，∵f（0）＝1＞0，f（﹣1）＝﹣﹣＜0，∴函数f（x）存在一个唯一的零点，设函数f（x）的零点为x1，∴根据根的存在性定理可知x1∈（﹣1，0）．∵g（x）＝1﹣x+﹣+…+﹣，g′（x）＝﹣1+x﹣x2﹣…﹣x2012＝＝﹣＜0，即函数单调递减，∵g（1）＝＞0，g（2）＝，设函数g（x）存在唯一的一个零点x2，∴根据根的存在性定理可知x2∈（1，2）．由F（x）＝f（x+3）g（x﹣4）＝0，则f（x+3）＝0或g（x﹣4）＝0．由x+3∈（﹣1，0）．得﹣1＜x+3＜0，即﹣4＜x＜﹣3，∴函数f（x+3）的零点在（﹣4，﹣3）．由x﹣4∈（1，2）．，得1＜x﹣4＜2，即5＜x＜6，∴函数g（x﹣4）的零点在（5，6）．即函数F（x）＝f（x+3）•g（x﹣4）的零点在（﹣4，﹣3）和（5，6）内，∵F（x）的零点均在区间[a，b]，（a＜b，a，b∈Z），∴b≥6，a≤﹣4，∴b﹣a≥10，即b﹣a的最小值是10．35．【解答】解：，是由和y＝﹣log2x，两个函数中，每个函数都是减函数，所以，函数为减函数．∵正实数a，b，c是公差为正数的等差数列，∴不妨设0＜a＜b＜c∵f（a）f（b）f（c）＜0则f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0 或者f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0综合以上两种可能，恒有f（c）＜0所以可能有①d＜a；②d＜b；④d＜c，正确．故答案为：3．三．解答题（共5小题）36．【解答】解：（1）函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在上有且仅有一个零点．证明如下：函数f（x）＝lnx﹣ax 的定义域为（0，+∞），由，可得函数g（x）的定义域为（﹣∞，），∴函数h（x）＝f（x）﹣g （x）的定义域为（0，）．h（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx﹣ax﹣ln（）+2﹣ax．h′（x）＝，当且仅当时等号成立，因此h（x）在上单调递增，又，故函数h（x）＝f（x）﹣g（x）在上有且仅有一个零点；证明：（2）由（1）可知h（x）在上单调递增，且，故当时，h（x）＜0，即f（x）＜g（x）；当时，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）．∵，∴f（a1）＜g（a1）＝f（a2），若，则由，且f（x）在上单调递减，知，即，这与矛盾，故，而当时，f（x）单调递增，故；同理可证，…，，故数列{a n}为单调递增数列且所有项均小于，因此对于任意的i，j∈N*，均有．37．【解答】解：（1）由題意，令g（x）＝e x﹣mx+m，（m＞0）则g'（x）＝e x﹣m，令g'（x）＞0，解得x＞lnm．所以g（x）在（lnm，+∞）上单调递增，令g'（x）＜0，解得x＜lnm，所以g（x）在（﹣∞，lnm）上单调递减，则当x＝lnm时，函数取得极小值，同时也是最小值g（x）min＝g（lnm）＝m﹣mlnm+m＝m（2﹣lnm）①当m（2﹣lnm）＞0，即0＜m＜e2时，f（x）的图象与直线l无交点，②当m（2﹣lnm）＝0，即m＝e2时f（x）的图象与直线l只有一个交点．③当m（2﹣lnm）＜0，即m＞e2时f（x）的图象与直线l有两个交点．综上所述，当0＜m＜e2时，f（x）的图象与直线l无交点；m＝e2时f（x）的图象与直线l只有一个交点，m＞e2时f（x）的图象与直线l有两个交点．（2）证明：令φ（x）＝g（lnm+x）﹣g（lnm﹣x）＝me x﹣me﹣x﹣2mx，（x＞0）φ′（x）＝m（e x+e﹣x﹣2）∵e x+e ﹣x≥2＝2，∴φ'（x）≥0，即φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴φ（x）＞φ（0）＝0∴x＞0时，g（lnm+x）＞g（lnm﹣x）恒成立，又0＜x1＜lnm＜x2，∴lnm﹣x1＞0，∴g（lnm+lnm﹣x1）＞g（lnm﹣lnm+x1）即g（2lnm﹣x1）＞g（x1），又g（x1）＝g（x2）∴g（x2）＜g（2lnm﹣x1）∵2lnm﹣x2＞lnm，x2＞lnm，y＝g（x）在（lnm，+∞）上单调递增，∴x2＜2lnm﹣x1即x1+x2＜2lnm．38．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝1﹣ae x，①a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上递增，不合题意，舍去，②当a＞0时，令f′（x）＞0，解得x＜﹣lna；令f′（x）＜0，解得x＞﹣lna；故f（x）在（﹣∞，﹣lna）单调递增，在（﹣lna，+∞）上单调递减，由函数y＝f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），其必要条件为：a＞0且f（﹣lna）＝﹣lna＞0，即0＜a＜1，此时，﹣1＜﹣lna＜2﹣2lna，且f（﹣1）＝﹣1﹣+1＝﹣＜0，令F（a）＝f（2﹣2lna）＝2﹣2lna﹣+1＝3﹣2lna﹣，（0＜a＜1），则F′（a）＝﹣+＝＞0，F（a）在（0，1）上单调递增，所以，F（a）＜F（1）＝3﹣e2＜0，即f（2﹣2lna）＜0，故a的取值范围是（0，1）．（Ⅱ）令f（x）＝0⇒a＝，令g（x）＝，g′（x）＝﹣xe﹣x，则g（x）在（﹣∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，由（Ⅰ）知0＜a＜1，故有﹣1＜x1＜0＜x2，令h（x）＝g（﹣x）﹣g（x），（﹣1＜x＜0），h（x）＝（1﹣x）e x﹣（1+x）e﹣x，（﹣1＜x＜0），h′（x）＝﹣xe x+xe﹣x＝x（e﹣x﹣e x）＜0，所以，h（x）在（﹣1，0）单调递减，故h（x）＞h（0）＝0，故当﹣1＜x＜0时，g（﹣x）﹣g（x）＞0，所以g（﹣x1）＞g（x1），而g（x1）＝g（x2）＝a，故g（﹣x1）＞g（x2），又g（x）在（0，+∞）单调递减，﹣x1＞0，x2＞0，所以﹣x1＜x2，即x1+x2＞0，故e+e≥2＝2e＞2．39．【解答】解：（1）当x＜0时，f（x）＝﹣x2．是增函数，且f（x）＜0＝f（0），故当x≥0时，f（x）为增函数，即f′（x）≥0恒成立，函数的导数f′（x）＝+2ax﹣2a＝+2a（x﹣1）＝（1﹣x）（﹣2a）≥0恒成立，当x≥1时，1﹣x≤0，此时相应﹣2a≤0恒成立，即2a≥恒成立，即2a≥（）max＝恒成立，当x≤1时，1﹣x≥0，此时相应﹣2a≥0恒成立，即2a≤恒成立，即2a≤（）min＝恒成立，则2a＝，即a＝．（2）若k≤0，则g（x）在R上是增函数，此时g（x）最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件．故k＞0，当x＜0时，g（x）＝﹣x2﹣kx有一个零点﹣k，g（0）＝f（0）﹣0＝0，故0也是故g（x）的一个零点，故当x＞0时，g（x）有且只有一个零点，即g（x）＝0有且只有一个解，即+﹣﹣kx＝0，得+﹣＝kx，（x＞0），则k＝+﹣，在x＞0时有且只有一个根，即y＝k与函数h（x）＝+﹣，在x ＞0时有且只有一个交点，h′（x）＝﹣+，由h′（x）＞0得﹣+＞0，即＜得e x＞2e，得x＞ln2e＝1+ln2，此时函数递增，由h′（x）＜0得﹣+＜0，即＞得e x＜2e，得0＜x＜ln2e＝1+ln2，此时函数递减，即当x＝1+ln2时，函数取得极小值，此时极小值为h（1+ln2）＝+﹣＝++﹣＝++﹣＝，h（0）＝1+0﹣＝1﹣，作出h（x）的图象如图，要使y＝k与函数h（x）＝+﹣，在x＞0时有且只有一个交点，则k＝或k≥1﹣，即实数k的取值范围是{}∪[1﹣，+∞）．40．【解答】解：（1）a ＝时，f（x）＝|log25（x+1）﹣|+2，x∈[0，24]，令|log25（x+1）﹣|＝0，解得x＝4，因此：一天中第4个时刻该市的空气污染指数最低．（2）令f（x）＝|log25（x+1）﹣a|+2a+1＝，当x∈（0，25a﹣1]时，f（x）＝3a+1﹣log25（x+1）单调递减，∴f（x）＜f（0）＝3a+1．当x∈[25a﹣1，24）时，f（x）＝a+1+log25（x+1）单调递增，∴f（x）≤f（24）＝a+1+1．联立，解得0＜a ≤．可得a ∈．因此调节参数a应控制在范围．第21页（共21页）。
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必修一函数经典难题汇编一、选择题：1．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），都有＜0．则下列结论正确的是（）A．f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25） B．f（log25）＜f（20.3）＜f（0.32）C．f（log25）＜f（0.32）＜f（20.3） D．f（0.32）＜f（log25）＜f（20.3）2．（5分）函数f（x）=2sin（2x+），g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．3．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+4sin3x+1，x∈（﹣1，1），若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞2成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（0，1） C．D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）4．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）5．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．46．（5分）设函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x2﹣x+1，则f（1）=（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）已知函数f（x）=|log2x|，若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则图象必定经过点（a，2b）的函数为（）A．y=B．y=2x C．y=2x D．y=x28．（4分）对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x 的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．69．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．810．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．811．（5分）若函数f（x）=且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）12．（5分）已知在（﹣∞，+∞）上满足，则b的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[0，1）13．（5分）设集合A={x|2x≤8}，B={x|x≤m2+m+1}，若A∪B=A，则实数m的取值范围为．（）A．[﹣2，1）B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1）D．[﹣1，1）14．（5分）定义函数序列：，f2（x）=f（f1（x）），f3（x）=f （f2（x）），…，f n（x）=f（f n﹣1（x）），则函数y=f2017（x）的图象与曲线的交点坐标为（）A．B．C．D．15．（3分）关于x的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的16．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）=有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，1）B．（，1）C．（，1）D．（﹣1，）17．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（5）+f（7 ）+f（9）=（）A．0 B．4 C．8 D．1618．（5分）定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）实数一个“λ一半随函数”，有下列关于“λ一半随函数”的结论：①若f（x）为“1一半随函数”，则f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（x）=a x为一个“λ一半随函数；③“一半随函数”至少有一个零点；④f（x）=x2是一个“λ一班随函数”；其中正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个19．（5分）如图，定义在[﹣2，2]的偶函数f（x）的图象如图所示，则方程f（f（x））=0的实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．720．（5分）已知函数f（x）=e x+2（x＜0）与g（x）=ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（0，e） C．（e，+∞）D．（﹣∞，1）21．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x ﹣2）=f（﹣x），③在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．822．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．23．（5分）函数f（x）=ln，则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，+∞）上单调递减B．奇函数，且在（0，+∞）上单凋递增C．偶函数，且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数，且在（0，+∞）上单凋递增二、填空题：1．（5分）某投资公司准备在2016年年底将1000万元投资到某“低碳”项目上，据市场调研，该项目的年投资回报率为20%．该投资公司计划长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），若市场预期不变，大约在年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）2．（5分）在函数①y=2x；②y=2﹣2x；③f（x）=x+x﹣1；④f（x）=x﹣x﹣3中，存在零点且为奇函数的序号是．3．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是．4．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为．5．（4分）已知函数若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f （x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．6．（5分）下列命题中①若log a3＞log b3，则a＞b；②函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；③设g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）无零点；④函数既是奇函数又是减函数．其中正确的命题有．7．（5分）已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则a的取值范围为．8．（5分）方程=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为．9．（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．10．（5分）定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是．三、简答题：1．（12分）已知函数f（x）=lg（a＞0）为奇函数，函数g（x）=+b（b ∈R）．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）若b＞1，讨论方徎g（x）=ln|x|实数根的个数；（Ⅲ）当x∈[，]时，关于x的不等式f（1﹣x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．2．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（x）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a，b的值；（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a来表示）3．（12分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）若f（1）＜2，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，讨论函数g（x）的零点个数．4．（12分）已知函数f（x）=．（1）求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f（x）的二阶不动点的个数．5．（12分）已知函数f（x）=ax2+4x﹣1．（1）当a=1时，对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，试比较f（）与的大小；（2）对于给定的正实数a，有一个最小的负数g（a），使得x∈[g（a），0]时，﹣3≤f（x）≤3都成立，则当a为何值时，g（a）最小，并求出g（a）的最小值．6．（12分）已知函数f（x）=x+﹣1（x≠0），k∈R．（1）当k=3时，试判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（3）当k∈R时，试讨论f（x）的零点个数．7．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g （x）是h（x）=e x的反函数．（1）求函数g（f（x））的单调区间；（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h （x0）﹣1（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．8．（10分）已知函数f（x）=3x，g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R．（Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由．9．（10分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g （x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f （x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．10．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf （x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．11．（10分）已知函数f（x），定义（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．12．（12分）已知函数f（x）=x2+2bx+c，且f（1）=f（3）=﹣1．设a＞0，将函数f（x）的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移a2个单位长度，得到函数g（x）的图象．（Ⅰ）若函数g（x）有两个零点x1，x2，且x1＜4＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设连续函数在区间[m，n]上的值域为[λ，μ]，若有，则称该函数为“陡峭函数”．若函数g（x）在区间[a，2a]上为“陡峭函数”，求实数a的取值范围．13．（12分）已知函数是奇函数，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函数．（1）求a+b的值．（2）若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．（3）设，若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10a+9）]成立，求实数a的取值范围．14．（12分）已知指数函数y=g（x）满足g（3）=8，又定义域为实数集R的函数f（x）=是奇函数．（1）讨论函数y=f（x）的单调性；（2）若对任意的t∈R，不等式f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．15．（12分）已知f（x）=3x+m•3﹣x为奇函数．（1）求函数g（x）=f（x）﹣的零点；（2）若对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求实数a的取值范围．16．（8分）阅读下面材料，尝试类比探究函数y=x2﹣的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象．阅读材料：我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子．对于函数y=，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：（1）在函数y=中，由x≠0，可以推测出，对应的图象不经过y轴，即图象与y轴不相交；由y≠0，可以推测出，对应的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交．（2）在函数y=中，当x＞0时y＞0；当x＜0时y＜0，可以推测出，对应的图象只能在第一、三象限；（3）在函数y=中，若x∈（0，+∞）则y＞0，且当x逐渐增大时y逐渐减小，可以推测出，对应的图象越向右越靠近x轴；若x∈（﹣∞，0），则y＜0，且当x逐渐减小时y逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近x轴；（4）由函数y=可知f（﹣x）=﹣f（x），即y=是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称．结合以上性质，逐步才想出函数y=对应的图象，如图所示，在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，传播研究数学的成果．17．（10分）函数f（x）=log a（a x+1）+mx是偶函数．（1）求m；（2）当a＞1时，若函数f（x）的图象与直线l：y=﹣mx+n无公共点，求n的取值范围．18．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．（1）求a，b的值；（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）=．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；（3）是否存在实数t，使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x∈[1，2]恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知函数．任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）﹣m（t）．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（2）当t∈[﹣2，0]时，求函数g（t）的解析式；（3）设函数h（x）=2|x﹣k|，H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8，其中实数k为参数，且满足关于t的不等式有解，若对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，求实数k的取值范围．参考答案与解析一、选择题：1．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），都有＜0．则下列结论正确的是（）A．f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25） B．f（log25）＜f（20.3）＜f（0.32）C．f（log25）＜f（0.32）＜f（20.3） D．f（0.32）＜f（log25）＜f（20.3）【解答】解：∵对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2，都有＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，又∵f（x）是R上的偶函数，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，∵0.32＜20.3＜log25∴f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25）．故选：A．2．（5分）函数f（x）=2sin（2x+），g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：当x∈[0，]时，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[，1]，f（x）=2sin（2x+）∈[1，2]，同理可得2x﹣∈[﹣，]，cos（2x﹣）∈[，1]，g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3∈[﹣+3，﹣m+3]，对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，∴，求得1≤m≤，故选：D．3．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+4sin3x+1，x∈（﹣1，1），若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞2成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（0，1） C．D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【解答】解：令g（x）=f（x）﹣1=e x﹣e﹣x+4sin3x，则g（﹣x）=﹣g（x），即g（x）为奇函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞2成立，即g（1﹣a）+g（1﹣a2）＞0成立，即g（1﹣a）＞﹣g（1﹣a2）=g（a2﹣1），∵g′（x）=e x+e﹣x+12sin2xcosx≥0在x∈（﹣1，1）时恒成立，故g（x）在（﹣1，1）上为增函数，故﹣1＜a2﹣1＜1﹣a＜1，解得：a∈（0，1），故选：B．4．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【解答】解：由题意，存在x＜0，使f（x）﹣g（﹣x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，故e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故选：C5．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4【解答】解：由题意①2x2+2log2（x2﹣1）=5 ②所以，x1=log2（5﹣2x1）即2x1=2log2（5﹣2x1）令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=x2于是2x1=7﹣2x2即x1+x2=故选C6．（5分）设函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x2﹣x+1，则f（1）=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：根据条件，f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x）；∴由f（x）﹣g（x）=x2﹣x+1①得，f（﹣x）﹣g（﹣x）=x2+x+1=f（x）+g（x）；即f（x）+g（x）=x2+x+1②；①+②得，2f（x）=2（x2+1）；∴f（x）=x2+1；∴f（1）=2．7．（5分）已知函数f（x）=|log2x|，若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则图象必定经过点（a，2b）的函数为（）A．y=B．y=2x C．y=2x D．y=x2【解答】解：函数f（x）=|log2x|的图象如下图所示：若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则b＜1＜a，且log2b=﹣log2a，即ab=1，故图象必定经过点（a，2b）的函数为y=，故选：A．8．（4分）对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x 的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的周期性函数，又x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2．根据函数的周期性画出图形，如图，由图可得y=f（x）与y=log5x的图象有4个交点9．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．8【解答】解：∵对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，∴f（x）在（2，+∞）上递增，又∵f（x）=f（4﹣x），∴f（2﹣x）=f（2+x），即函数关于x=2对称，∵f（2﹣x）=f（），∴2﹣x=，或2﹣x+=4，∴x2+5x+3=0或x2+3x﹣3=0，∴满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为﹣8，故选C．10．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．8【解答】解：∵对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，∴f（x）在（2，+∞）上递增，又∵f（x）=f（4﹣x），∴f（2﹣x）=f（2+x），即函数关于x=2对称，∵f（2﹣x）=f（），∴2﹣x=，或2﹣x+=4，∴x2+5x+3=0或x2+3x﹣3=0，∴满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为﹣8，故选C．11．（5分）若函数f（x）=且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）【解答】解：∵对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，∴函数f（x）=在R上单调递增，∴，解得：a∈[4，8），故选：D12．（5分）已知在（﹣∞，+∞）上满足，则b的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[0，1）【解答】解：由题意，在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴，∴2≤a＜3，0≤b＜1，故选D．13．（5分）设集合A={x|2x≤8}，B={x|x≤m2+m+1}，若A∪B=A，则实数m的取值范围为．（）A．[﹣2，1）B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1）D．[﹣1，1）【解答】解：集合A={x|2x≤8}={x|x≤3}，因为A∪B=A，所以B⊆A，所以m2+m+1≤3，解得﹣2≤m≤1，即m∈[﹣2，1]．故选：B．14．（5分）定义函数序列：，f2（x）=f（f1（x）），f3（x）=f （f2（x）），…，f n（x）=f（f n﹣1（x）），则函数y=f2017（x）的图象与曲线的交点坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意f1（x）=f（x）=．f2（x）=f（f1（x））==，f3（x）=f（f2（x））==，…f n（x）=f（f n﹣1（x））=，∴f2017（x）=，由得：，或，由中x≠1得：函数y=f2017（x）的图象与曲线的交点坐标为，故选：A15．（3分）关于x的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的【解答】解：由题意a x=﹣x2+2x+a，﹣x2+2x+a＞0．令f（x）=a x，g（x）=﹣x2+2x+a，（1）当a＞1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，在[0，1]上，f（x）＜g（x），∵g（x）在x＜0及x＞1时分别有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＜0及x＞1时分别有一个交点，∴方程有两个解；（2）当a＜1时，f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递减，且f（0）=1，f（1）=a，g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，f（0）＞g（0），f（1）＜g（1），∴在（0，1）上f（x）与g（x）有一个交点，又g（x）在x＞1时有一个零点，而f（x）恒大于零，∴f（x）与g（x）的图象在x＞1时还有一个交点，∴方程有两个解．综上所述，方程有两个解．故选：A．16．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）=有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，1）B．（，1）C．（，1）D．（﹣1，）【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，∵当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，∴f（﹣x）=|﹣x﹣1|=|x+1|，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=|x+1|，则f（x）=，即，由f（x）=得，f2（x）=x+a，画出函数y=x+a与y=f2（x）的图象，如图所示：由图知，当直线y=x+a过点A时有三个交点，且A（1，1），此时a=1，当直线y=x+a相切与点P时有三个交点，由图知，y=f2（x）=（x+1）2=x2+2x+1，则y′=2x+2，令y′=2x+2=1得x=，则y=，此时切点P（，），代入y=x+a得a=，∵方程f（x）=有4个不相等的实根，∴函数y=x+a与y=f2（x）的图象有四个不同的交点，由图可得，实数a的取值范围是（，1），故选B．17．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（5）+f（7 ）+f（9）=（）A．0 B．4 C．8 D．16【解答】解：∵f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）=ln9﹣ln7+1，f（﹣5 ）=ln7﹣ln5+1，f（﹣3）=ln5﹣ln3+1，f（﹣1）=ln3+1，f（3 ）=﹣ln3+1，f（5）=ln3﹣ln5+1，f（7 ）=ln5﹣ln7+1，f（9）=ln7﹣ln9+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（5）+f（7 ）+f（9）=8，故选：C．18．（5分）定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）实数一个“λ一半随函数”，有下列关于“λ一半随函数”的结论：①若f（x）为“1一半随函数”，则f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（x）=a x为一个“λ一半随函数；③“一半随函数”至少有一个零点；④f（x）=x2是一个“λ一班随函数”；其中正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①、若f（x）为“1一半随函数”，则f（x+1）+f（x）=0，可得f（x+1）=﹣f（x），可得f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），因此x=0，可得f（0）=f（2）；故①正确；②、假设f（x）=a x是一个“λ一半随函数”，则a x+λ+λa x=0对任意实数x成立，则有aλ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=a x是“λ一半随函数”，故②正确．③、令x=0，得f（）+f（0）=0．所以f（）=﹣f（0），若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）=﹣（f （0））2＜0，又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根，因此任意的“﹣一半随函数”必有根，即任意“﹣一半随函数”至少有一个零点．故③正确．④、假设f（x）=x2是一个“λ一半随函数”，则（x+λ）2+λx2=0，即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“λ﹣同伴函数”．故④错误正确判断：①②③．故选：C．19．（5分）如图，定义在[﹣2，2]的偶函数f（x）的图象如图所示，则方程f（f（x））=0的实根个数为（）A．3 B．4 C．5 D．7【解答】解：定义在[﹣2，2]的偶函数f（x）的图象如图：函数是偶函数，函数的值域为：f（x）∈[﹣2，1]，函数的零点为：x1，0，x2，x1∈（﹣2，﹣1），x2∈（1，2），令t=f（x），则f（f（x））=0，即f（t）=0可得，t=x1，0，x2，f（x）=x1∈（﹣2，﹣1）时，存在f[f（x1）]=0，此时方程的根有2个．x2∈（1，2）时，不存在f[f（x2）]=0，方根程没有根．f[f（0）]=f（0）=f（x1）=f（x2）=0，有3个．所以方程f（f（x））=0的实根个数为：5个．故选：C．20．（5分）已知函数f（x）=e x+2（x＜0）与g（x）=ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（0，e） C．（e，+∞）D．（﹣∞，1）【解答】解：由题意知，方程f（﹣x）﹣g（x）=0在（0，+∞）上有解，即e﹣x﹣ln（x+a）=0在（0，+∞）上有解，即函数y=e﹣x与y=ln（x+a）在（0，+∞）上有交点，则lna＜1，即0＜a＜e，则a的取值范围是：（0，e）．故选：B．21．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x ﹣2）=f（﹣x），③在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称．由f（x﹣2）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=﹣1对称．又在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，可得图象：进而得到在区间[﹣3，3]上的图象．画出函数g（x）=在区间[﹣3，3]上的图象，其交点个数为6个．故选：B．22．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A． B．C．D．【解答】解：依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，当x=±2时，函数取得极大值；当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R 有且只有6个不同实数根，设t=f（x），则则有两种情况符合题意：（1），且，此时﹣a=t1+t2，则；（2）t1∈（0，1]，，此时同理可得，综上可得a的范围是．故选答案C．23．（5分）函数f（x）=ln，则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，+∞）上单调递减B．奇函数，且在（0，+∞）上单凋递增C．偶函数，且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数，且在（0，+∞）上单凋递增【解答】解：由x（e x﹣e﹣x）＞0，得f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），而f（﹣x）=ln=ln=f（x），∴f（x）是偶函数，x＞0时，y=x（e x﹣e﹣x）递增，故f（x）在（0，+∞）递增，故选：D．二、填空题：1．（5分）某投资公司准备在2016年年底将1000万元投资到某“低碳”项目上，据市场调研，该项目的年投资回报率为20%．该投资公司计划长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），若市场预期不变，大约在2020年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）【解答】解：假设n年后总资产可以翻一番，依题意得：a×（1+20%）n=2a，即1.2n=2，两边同时取对数得，n=≈3.8所以大约经过4年，即在2020年底总资产可以翻一番．2．（5分）在函数①y=2x；②y=2﹣2x；③f（x）=x+x﹣1；④f（x）=x﹣x﹣3中，存在零点且为奇函数的序号是④．【解答】解：函数①y=2x不存在零点且为非奇非偶函数，故不满足条件；函数②y=2﹣2x存在零点1，但为非奇非偶函数，故不满足条件；函数③f（x）=x+x﹣1不存在零点，为奇函数，故不满足条件；函数④f（x）=x﹣x﹣3存在零点1且为奇函数，故满足条件；故答案为：④．3．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是[1，2] ．【解答】解：当﹣1≤x≤k时，函数f（x）=log2（1﹣x）+1为减函数，且在区间左端点处有f（﹣1）=2，令f（x）=0，解得x=，令f（x）=x|x﹣1|=2，解得x=2，∵f（x）的值域为[0，2]，∴k≤，当k≤x≤a时，f（x）=x|x﹣1|=，∴f（x）在[k，]，[1，a]上单调递增，在[，1]上单调递减，从而当x=1时，函数有最小值，即为f（1）=0函数在右端点的函数值为f（2）=2，∵f（x）的值域为[0，2]，∴1≤a≤2故答案为：[1，2]4．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为（2，+∞）；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为[，1）．【解答】解：（1）a=时，f（x）=|x﹣1|+x=，∵f（x）＞1，∴，解得x＞2，故x的取值范围为（2，+∞），（2）函数f（x）的图象与x轴没有交点，①当a≥1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，②当0＜a＜1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a，∴a≥，故≤≤a＜1③当a≤0时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，综上①②③知：≤a＜1故答案为：（2，+∞），[，1）5．（4分）已知函数若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f （x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：当x≥0时，2x﹣1≥0，当x＜0时，若a=0，则f（x）=2恒成立，满足条件；若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，即a∈（0，）；若a＜0，则f（x）＞2﹣3a，满足条件，综上可得：a∈（﹣∞，）；故答案为：（﹣∞，）6．（5分）下列命题中①若log a3＞log b3，则a＞b；②函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；③设g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）无零点；④函数既是奇函数又是减函数．其中正确的命题有②④．【解答】解：若log a3＞log b3＞0，则a＜b，故①错误；函数f（x）=x2﹣2x+3的图象开口朝上，且以直线x=1为对称轴，当x=1时，函数取最小值2，无最大值，故函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；故②正确；g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）可能存在零点；故③错误；数满足h（﹣x）=﹣h（x），故h（x）为奇函数，又由=﹣e x＜0恒成立，故h（x）为减函数故④正确；故答案为：②④．7．（5分）已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则a的取值范围为0＜a＜1．【解答】解：∵函数，∴作出函数f（x）的图象如右图所示，∵方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则函数y=f（x）的图象与y=a的图象有三个不同的交点，根据图象可知，a的取值范围为0＜a＜1．故答案为：0＜a＜1．8．（5分）方程=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为[0，）．【解答】解：设f（x）=，如图所示，表示以（2，0）为圆心，1为半径的半圆，由圆心（2，0）到y=ax+a的距离=1，可得a=，∵方程=ax+a有两个不相等的实数根，∴实数a的取值范围为[0，）．故答案为[0，）．9．（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣m=0，得m=f（x）作出y=f（x）与y=m的图象，要使函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则y=f（x）与y=m的图象有3个不同的交点，所以0＜m＜1，故答案为：（0，1）．10．（5分）定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：①令x=y=0，则f（0）=2f（0），则f（0）=0；再令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=0，且f（x）定义域为R，关于原点对称．∴f（x）是奇函数．②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点．∴f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）=0在（0，π）上有解；∴f（asinx）=﹣f（sinx+cos2x﹣3）=f（﹣sinx﹣cos2x+3）在（0，π）上有解；又∵函数f（x）是R上的单调函数，∴asinx=﹣sinx﹣cos2x+3在（0，π）上有解．∵x∈（0，π），∴sinx≠0；∴a==sinx+﹣1；令t=sinx，t∈（0，1]；则a=t+﹣1；∵y=t+，＜0，因此函数y在（0，1]上单调递减，∴a≥2．故答案为：[2，+∞）．三、简答题：1．（12分）已知函数f（x）=lg（a＞0）为奇函数，函数g（x）=+b（b ∈R）．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）若b＞1，讨论方徎g（x）=ln|x|实数根的个数；（Ⅲ）当x∈[，]时，关于x的不等式f（1﹣x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由为奇函数得：f（﹣x）+f（x）=0，即，（2分）所以，解得a=1，（4分）（Ⅱ）当b＞1时，设，则h（x）是偶函数且在（0，+∞）上递减又所以h（x）在（0，+∞）上有惟一的零点，方徎g（x）=ln|x|有2个实数根．…（8分）（Ⅲ）不等式f（1﹣x）≤lgg（x）等价于，即在有解，故只需，（10分）因为，所以，函数，所以，所以b≥﹣13，所以b的取值范围是[﹣13，+∞）．（12分）2．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（x）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a，b的值；（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a来表示）【解答】（1）抛物线的对称轴为，①当时，即b＞﹣4a时，当时，，f（x）min=f（2）=4a+2b+c=﹣2，∴，∴a=﹣2，b=3．②当时，即b≥﹣4a时，f（x）在[0，2]上为增函数，f（x）min=f（0）=0与f（x）min=﹣2矛盾，无解，综合得：a=﹣2，b=3．（2）对任意x∈[1，2]恒成立，即对任意x∈[1，2]恒成立，即对任意x∈[1，2]恒成立，令，则，∵0＜a＜1，∴，（ⅰ）若，即时，g（x）在[1，2]单调递减，此时，即，得，此时，∴∴．（ⅱ）若，即时，g（x）在单调递减，在单调递增，此时，，只要，当时，，当时，，．综上得：①时，；②时，；③时，．3．（12分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）若f（1）＜2，求实数a的取值范围；（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，讨论函数g（x）的零点个数．【解答】解：（1）若f（1）＜2，则log2（1+a）＜2，即0＜1+a＜4，解得：a∈（﹣1，3）；（2）令函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0，则f（x）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5，即（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，①当a=4时，方程可化为：﹣x﹣1=0，解得：x=﹣1，此时+a=（a﹣4）x+2a﹣5=3，满足条件，即a=4时函数g（x）有一个零点；②当（a﹣5）2+4（a﹣4）=0时，a=3，方程可化为：﹣x2﹣2x﹣1=0，解得：x=﹣1，此时+a=（a﹣4）x+2a﹣5=2，满足条件，即a=3时函数g（x）有一个零点；③当（a﹣5）2+4（a﹣4）＞0时，a≠3，方程有两个根，x=﹣1，或x=，当x=﹣1时，+a=（a﹣4）x+2a﹣5=a﹣1，当a＞1时，满足条件，当x=时，+a=（a﹣4）x+2a﹣5=2a﹣4，当a＞2时，满足条件，综上可得：1＜a≤2时，函数g（x）有一个零点；a＞2且a≠3且a≠4时函数g（x）有两个零点；4．（12分）已知函数f（x）=．（1）求f（f（））；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f（x）的二阶不动点的个数．【解答】解：（1）∵f（x）=．∴f（））=ln=，∴f（f（））=f（）=2﹣2×=1；（2）函数f（x）=．x∈[0，），f（x）=2﹣2x∈（1，2]，x∈[，1），f（x）=2﹣2x∈（0，1]，x∈[1，e]，f（x）=lnx∈（0，1），∴f（f（x））=，若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，所以：x0∈[0，），ln（2﹣2x0）=x0，由y=ln（2﹣x0），y=x0，图象可知：存在满足题意的不动点．x0∈[，1），﹣2+4x0=x0，解得x0=，满足f（）=．不是f（x）的二阶不动点．x0∈[1，e]，2﹣2lnx0=x0，即2﹣x0=2lnx0，由y=2﹣x0，y=2lnx0，图象可知：存在满足题意的不动点．函数f（x）的二阶不动点的个数为：2个．5．（12分）已知函数f（x）=ax2+4x﹣1．（1）当a=1时，对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，试比较f（）与的大小；（2）对于给定的正实数a，有一个最小的负数g（a），使得x∈[g（a），0]时，﹣3≤f（x）≤3都成立，则当a为何值时，g（a）最小，并求出g（a）的最小值．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x2+4x﹣1，f（）=+2（x1+x2）﹣1=++x1x2+2（x1+x2）﹣1，==++2（x1+x2）﹣1；故f（）﹣=﹣﹣+x1x2=﹣≤0；（2）∵f（x）=ax2+4x﹣1=a（x+）2﹣1﹣，显然f（0）=﹣1，对称轴x=﹣＜0．①当﹣1﹣＜﹣3，即0＜a＜2时，g（a）∈（﹣，0），且f[g（a）]=﹣3．令ax2+4x﹣1=﹣3，解得x=，此时g（a）取较大的根，即g（a）==，∵0＜a＜2，∴g（a）＞﹣1．②当﹣1﹣≥﹣3，即a≥2时，g（a）＜﹣，且f[g（a）]=3．令ax2+4x﹣1=3，解得x=，此时g（a）取较小的根，即g（a）==，∵a≥2，∴g（a）=≥﹣3．当且仅当a=2时，取等号．∵﹣3＜﹣1∴当a=2时，g（a）取得最小值﹣3．6．（12分）已知函数f（x）=x+﹣1（x≠0），k∈R．（1）当k=3时，试判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（3）当k∈R时，试讨论f（x）的零点个数．【解答】解：（1）当k=3，x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣，＞0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增．证明：在（﹣∞，0）上任取x1，x2，令x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）=（x1﹣x2）（1+），∵x1，x2∈（﹣∞，0），x1＜x2，∴，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增．（2）设2x=t，则t＞0，f（t）=t+，①当k＞0时，f′（t）=1﹣，t=时，f′（t）=0，且f（t）取最小值，f（）==2﹣1，当k时，f（）=2﹣1＞0，当0＜k≤时，f（）=2﹣1≤0，∴k＞时，f（2x）＞0成立；0＜k≤时，f（2x）＞0不成立．②当k=0时，f（t）=t﹣1，∵t∈（0，+∞），不满足f（t）恒大于0，∴舍去．③当k＜0时，f恒大于0，∵，且f（x）在（0，+∞）内连续，∴不满足f（t）＞0恒成立．综上，k的取值范围是（，+∞）．（3）由f（x）=x+﹣1=0，（x≠0），k∈R．得x+﹣1=0，∴k=|x|•（1﹣x），x≠0，当x＞0时，k=x（1﹣x），当x＜0时，k=﹣x（1﹣x），∴结合图象得：当k＞或k≤0时，f（x）有1个零点；当k=时，f（x）有2个零点；当0＜k＜时，f（x）有3个零点．7．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g （x）是h（x）=e x的反函数．（1）求函数g（f（x））的单调区间；（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h （x0）﹣1（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．【解答】解：（1）函数g（x）是h（x）=e x的反函数，可得g（x）=lnx；函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，只能是f（﹣1）=8或f（2）=8，即有1﹣a=8或4+2a=8，解得a=2（﹣7舍去），函数g（f（x））=ln（x2+2x），由x2+2x＞0，可得x＞0或x＜﹣2．由复合函数的单调性，可得函数g（f（x））的单调增区间为（0，+∞）；单调减区间为（﹣∞，﹣2）；（2）证明：由（1）得：f（x）=x2+2x，即φ（x）=f（x）h（x）﹣，（x＞0），设0＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴＜0，∵f（x）在（0，+∞）递增且f（x）＞0，∴f（x2）＞f（x1）＞0，∵＞＞0，∴f（x1）＜f（x2），∴φ（x1）﹣φ（x2）=f（x1）﹣f（x2）+＜0，即φ（x1）＜φ（x2），∴φ（x）在（0，+∞）递增；∵φ（）=﹣2＞﹣2=0，φ（）=﹣e＜﹣e＜0，即φ（）φ（）＜0，∴函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有1个零点x0，且x0∈（，），∴（+2x0）﹣=0，即=，∴h（x0）﹣g（x0）=﹣lnx0=﹣lnx0，∵y=﹣lnx在（0，）上是减函数，∴﹣lnx0＞﹣ln=+ln2＞+0.6=1，即g（x0）＜h（x0）﹣1，综上，函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1．8．（10分）已知函数f（x）=3x，g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R．（Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）函数h（x）=f[g（x）]=3|x+a|﹣3的图象关于直线x=2对称，则h（4﹣x）=h（x）⇒|x+a|=|4﹣x+a|恒成立⇒a=﹣2；（Ⅱ）函数y=g[f（x）]=|3x+a|﹣3的零点个数，就是函数G（x）=|3x+a|与y=3的交点，①当0≤a＜3时，G（x）=|3x+a|=3x+a与y=3的交点只有一个，即函数y=g[f（x）]的零点个数为1个（如图1）；②当a≥3时，G（x）=|3x+a|=3x+a与y=3没有交点，即函数y=g[f（x）]的零点个数为0个（如图1）；③﹣3≤a＜0时，G（x）=|3x+a|与y=3的交点只有1个（如图2）；④当a＜﹣3时，G（x）=|3x+a|与y=3的交点有2个（如图2）；9．（10分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g （x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f （x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），可得a﹣b+c=0，又a=1，b=2，则f（x）=x2+2x+1，由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数；（2）假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f（x）为函数的一个承托函数．即有x≤ax2+bx+c≤x2+恒成立，令x=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1，即1﹣b=a+c，又ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0，即为（a+c）2﹣4ac≤0，即有a=c；又（a﹣）x2+bx+c﹣≤0恒成立，可得a＜，且b2﹣4（a﹣）（c﹣）≤0，即有（1﹣2a）2﹣4（a﹣）2≤0恒成立．故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜，b=1﹣2a，可取a=c=，b=．满足题意．10．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf （x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．【解答】解：（I）①对于函数f（x）=x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是Ω函数．②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，则sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函数f（x）=sinπx对任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．（II）（i）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（ii）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf （﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化为：﹣f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（III）证明：当a＞1时，假设函数f（x）=a x是Ω函数，则存在非零常数T，Tf （x+T）=f（x），∴Ta x+T=a x，化为：Ta T a x=a x，∵a x＞0，∴Ta T=1，即a T=，此方程有非0 的实数根，因此T≠0且存在，∴当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．11．（10分）已知函数f（x），定义（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．【解答】解：（Ⅰ）定义，当2x﹣1＞x，可得x＞1，则F（2x﹣1）=1；当2x﹣1=x，可得x=1，则F（2x﹣1）=0；。