高一上期中数学考试函数经典难题汇编(含解析)必修一(培优)

必修一函数经典难题汇编
一、选择题：
1．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），都有＜0．则下列结论正确的是（）
A．f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25） B．f（log25）＜f（20.3）＜f（0.32）
C．f（log25）＜f（0.32）＜f（20.3） D．f（0.32）＜f（log25）＜f（20.3）2．（5分）函数f（x）=2sin（2x+），g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，则实数m的取值范围是（）
A．B．C．D．
3．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+4sin3x+1，x∈（﹣1，1），若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞2成立，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣2，1）B．（0，1） C．D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）4．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）
A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）5．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4
6．（5分）设函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x2﹣x+1，则f（1）=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（5分）已知函数f（x）=|log2x|，若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则图象必定经过点（a，2b）的函数为（）
A．y=B．y=2x C．y=2x D．y=x2
8．（4分）对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x 的图象的交点个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）
A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．8
10．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）
A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．8
11．（5分）若函数f（x）=且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（）
A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）
12．（5分）已知在（﹣∞，+∞）上满足，则b的取值范围是（）
A．（﹣∞，0）B．[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[0，1）
13．（5分）设集合A={x|2x≤8}，B={x|x≤m2+m+1}，若A∪B=A，则实数m的取值范围为．（）
A．[﹣2，1）B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1）D．[﹣1，1）
14．（5分）定义函数序列：，f2（x）=f（f1（x）），f3（x）=f （f2（x）），…，f n（x）=f（f n﹣1（x）），则函数y=f2017（x）的图象与曲线
的交点坐标为（）
A．B．C．D．
15．（3分）关于x的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的
16．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）=有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，1）B．（，1）C．（，1）D．（﹣1，）
17．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（5）+f（7 ）+f（9）=（）
A．0 B．4 C．8 D．16
18．（5分）定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）实数一个“λ一半随函数”，有下列关于“λ一半随函数”的结论：①若f（x）为“1一半随函数”，则f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（x）=a x为一个“λ一半随函数；③“一半随函数”至少有一个零点；④f（x）=x2是一个“λ一班随函数”；其中正确的结论的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．（5分）如图，定义在[﹣2，2]的偶函数f（x）的图象如图所示，则方程f
（f（x））=0的实根个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．7
20．（5分）已知函数f（x）=e x+2（x＜0）与g（x）=ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，e）B．（0，e） C．（e，+∞）D．（﹣∞，1）
21．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x ﹣2）=f（﹣x），③在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数
g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
22．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6
个不同实数根，则实数a的取值范围是（）
A．B．
C．D．
23．（5分）函数f（x）=ln，则f（x）是（）
A．奇函数，且在（0，+∞）上单调递减
B．奇函数，且在（0，+∞）上单凋递增
C．偶函数，且在（0，+∞）上单调递减
D．偶函数，且在（0，+∞）上单凋递增
二、填空题：
1．（5分）某投资公司准备在2016年年底将1000万元投资到某“低碳”项目上，据市场调研，该项目的年投资回报率为20%．该投资公司计划长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），若市场预期不变，大约在年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）
2．（5分）在函数①y=2x；②y=2﹣2x；③f（x）=x+x﹣1；④f（x）=x﹣x﹣3中，存在零点且为奇函数的序号是．
3．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是．
4．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x
（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为；
（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为．5．（4分）已知函数若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f （x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是．
6．（5分）下列命题中
①若log a3＞log b3，则a＞b；
②函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；
③设g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）无零点；
④函数既是奇函数又是减函数．
其中正确的命题有．
7．（5分）已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则a的取值范围为．
8．（5分）方程=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为．
9．（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是．
10．（5分）定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是．
三、简答题：
1．（12分）已知函数f（x）=lg（a＞0）为奇函数，函数g（x）=+b（b ∈R）．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）若b＞1，讨论方徎g（x）=ln|x|实数根的个数；
（Ⅲ）当x∈[，]时，关于x的不等式f（1﹣x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．
2．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．
（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（x）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，试求a，b的值；
（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a来表示）
3．（12分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．
（1）若f（1）＜2，求实数a的取值范围；
（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，讨论函数g（x）的零点个数．
4．（12分）已知函数f（x）=．
（1）求f（f（））；
（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f（x）的二阶不动点的个数．
5．（12分）已知函数f（x）=ax2+4x﹣1．
（1）当a=1时，对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，试比较f（）与
的大小；
（2）对于给定的正实数a，有一个最小的负数g（a），使得x∈[g（a），0]时，﹣3≤f（x）≤3都成立，则当a为何值时，g（a）最小，并求出g（a）的最小值．
6．（12分）已知函数f（x）=x+﹣1（x≠0），k∈R．
（1）当k=3时，试判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（3）当k∈R时，试讨论f（x）的零点个数．
7．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g （x）是h（x）=e x的反函数．
（1）求函数g（f（x））的单调区间；
（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h （x0）﹣1
（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．
8．（10分）已知函数f（x）=3x，g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R．
（Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；
（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由．
9．（10分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g （x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．
（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；
（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f （x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．
10．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf （x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．
（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分
（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．
11．（10分）已知函数f（x），定义
（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；
（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；
（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．
12．（12分）已知函数f（x）=x2+2bx+c，且f（1）=f（3）=﹣1．设a＞0，将函数f（x）的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移a2个单位长度，得到函数g（x）的图象．
（Ⅰ）若函数g（x）有两个零点x1，x2，且x1＜4＜x2，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设连续函数在区间[m，n]上的值域为[λ，μ]，若有，则称该函数为“陡峭函数”．若函数g（x）在区间[a，2a]上为“陡峭函数”，求实数a的取值范围．
13．（12分）已知函数是奇函数，f（x）=lg（10x+1）+bx是偶函数．
（1）求a+b的值．
（2）若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（t2﹣2t）+g（2t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
（3）设，若存在x∈（﹣∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10a+9）]成立，求实数a的取值范围．
14．（12分）已知指数函数y=g（x）满足g（3）=8，又定义域为实数集R的函数f（x）=是奇函数．
（1）讨论函数y=f（x）的单调性；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（2t﹣3t2）+f（t2﹣k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
15．（12分）已知f（x）=3x+m•3﹣x为奇函数．
（1）求函数g（x）=f（x）﹣的零点；
（2）若对任意t∈R的都有f（t2+a2﹣a）+f（1+2at）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
16．（8分）阅读下面材料，尝试类比探究函数y=x2﹣的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象．
阅读材料：
我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．
在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子．
对于函数y=，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：
（1）在函数y=中，由x≠0，可以推测出，对应的图象不经过y轴，即图象与y轴不相交；由y≠0，可以推测出，对应的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交．
（2）在函数y=中，当x＞0时y＞0；当x＜0时y＜0，可以推测出，对应的图象只能在第一、三象限；
（3）在函数y=中，若x∈（0，+∞）则y＞0，且当x逐渐增大时y逐渐减小，可以推测出，对应的图象越向右越靠近x轴；若x∈（﹣∞，0），则y＜0，且当x逐渐减小时y逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近x轴；
（4）由函数y=可知f（﹣x）=﹣f（x），即y=是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称．
结合以上性质，逐步才想出函数y=对应的图象，如图所示，在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，传播研究数学的成果．
17．（10分）函数f（x）=log a（a x+1）+mx是偶函数．
（1）求m；
（2）当a＞1时，若函数f（x）的图象与直线l：y=﹣mx+n无公共点，求n的取值范围．
18．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a≠0，b＜1），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设f（x）=．
（1）求a，b的值；
（2）不等式f（2x）﹣k•2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求实数k的取值范围；（3）方程f（|2x﹣1|）+k（﹣3）有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
19．（12分）已知函数f（x）=．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并用定义证明；
（3）是否存在实数t，使不等式f（x﹣t）+f（x2﹣t2）≥0对一切x∈[1，2]恒成立？若存在，求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
20．（12分）已知函数．任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）﹣m（t）．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；
（2）当t∈[﹣2，0]时，求函数g（t）的解析式；
（3）设函数h（x）=2|x﹣k|，H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8，其中实数k为参数，且满足关于t的不等式有解，若对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，求实数k的取值范围．
参考答案与解析
一、选择题：
1．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），都有＜0．则下列结论正确的是（）
A．f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25） B．f（log25）＜f（20.3）＜f（0.32）
C．f（log25）＜f（0.32）＜f（20.3） D．f（0.32）＜f（log25）＜f（20.3）
【解答】解：∵对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2，都有＜0，
∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，
又∵f（x）是R上的偶函数，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
∵0.32＜20.3＜log25
∴f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25）．
故选：A．
2．（5分）函数f（x）=2sin（2x+），g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），
若对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，则实数m的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解答】解：当x∈[0，]时，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[，
1]，
f（x）=2sin（2x+）∈[1，2]，
同理可得2x﹣∈[﹣，]，cos（2x﹣）∈[，1]，
g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3∈[﹣+3，﹣m+3]，
对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，
∴，求得1≤m≤，
故选：D．
3．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+4sin3x+1，x∈（﹣1，1），若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞2成立，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣2，1）B．（0，1） C．D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【解答】解：令g（x）=f（x）﹣1=e x﹣e﹣x+4sin3x，
则g（﹣x）=﹣g（x），即g（x）为奇函数，
若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞2成立，
即g（1﹣a）+g（1﹣a2）＞0成立，
即g（1﹣a）＞﹣g（1﹣a2）=g（a2﹣1），
∵g′（x）=e x+e﹣x+12sin2xcosx≥0在x∈（﹣1，1）时恒成立，
故g（x）在（﹣1，1）上为增函数，
故﹣1＜a2﹣1＜1﹣a＜1，
解得：a∈（0，1），
故选：B．
4．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）
A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【解答】解：由题意，存在x＜0，
使f（x）﹣g（﹣x）=0，
即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，
令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），
则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，
且x→﹣∞时，m（x）＜0，
若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，
故e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，
若a＞0时，
则e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为
e0﹣﹣ln（a）＞0，
即lna＜，
故0＜a＜．
综上所述，a∈（﹣∞，）．
故选：C
5．（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x﹣1）=5，x1+x2=（）A．B．3 C．D．4
【解答】解：由题意①
2x2+2log2（x2﹣1）=5 ②
所以，
x1=log2（5﹣2x1）即2x1=2log2（5﹣2x1）
令2x1=7﹣2t，代入上式得7﹣2t=2log2（2t﹣2）=2+2log2（t﹣1）
∴5﹣2t=2log2（t﹣1）与②式比较得t=x2
于是2x1=7﹣2x2
即x1+x2=
故选C
6．（5分）设函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）=x2﹣x+1，则f（1）=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：根据条件，f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x）；
∴由f（x）﹣g（x）=x2﹣x+1①得，f（﹣x）﹣g（﹣x）=x2+x+1=f（x）+g（x）；即f（x）+g（x）=x2+x+1②；
①+②得，2f（x）=2（x2+1）；
∴f（x）=x2+1；
∴f（1）=2．
7．（5分）已知函数f（x）=|log2x|，若0＜b＜a，且f（a）=f（b），则图象必定经过点（a，2b）的函数为（）
A．y=B．y=2x C．y=2x D．y=x2
【解答】解：函数f（x）=|log2x|的图象如下图所示：
若0＜b＜a，且f（a）=f（b），
则b＜1＜a，且log2b=﹣log2a，
即ab=1，
故图象必定经过点（a，2b）的函数为y=，
故选：A．
8．（4分）对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x 的图象的交点个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期为2的周期性函数，
又x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2．
根据函数的周期性画出图形，如图，
由图可得y=f（x）与y=log5x的图象有4个交点
9．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）
A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．8
【解答】解：∵对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，
∴f（x）在（2，+∞）上递增，
又∵f（x）=f（4﹣x），
∴f（2﹣x）=f（2+x），
即函数关于x=2对称，
∵f（2﹣x）=f（），
∴2﹣x=，或2﹣x+=4，
∴x2+5x+3=0或x2+3x﹣3=0，
∴满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为﹣8，
故选C．
10．（5分）设函数f（x）是定义在R上的函数，满足f（x）=f（4﹣x），且对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，则满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为（）
A．﹣3 B．﹣5 C．﹣8 D．8
【解答】解：∵对任意x1，x2∈（0，+∞），都有（x1﹣x2）[f（x1+2）﹣f（x2+2）]＞0，
∴f（x）在（2，+∞）上递增，
又∵f（x）=f（4﹣x），
∴f（2﹣x）=f（2+x），
即函数关于x=2对称，
∵f（2﹣x）=f（），
∴2﹣x=，或2﹣x+=4，
∴x2+5x+3=0或x2+3x﹣3=0，
∴满足f（2﹣x）=f（）的所有x的和为﹣8，
故选C．
11．（5分）若函数f（x）=且满足对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，则实数a的取值范围是（）
A．（1，+∞）B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8）
【解答】解：∵对任意的实数x1≠x2都有＞0成立，
∴函数f（x）=在R上单调递增，
∴，
解得：a∈[4，8），
故选：D
12．（5分）已知在（﹣∞，+∞）上满足
，则b的取值范围是（）
A．（﹣∞，0）B．[1，+∞）C．（﹣1，1）D．[0，1）
【解答】解：由题意，在（﹣∞，+∞）上单调递增，
∴，∴2≤a＜3，0≤b＜1，
故选D．
13．（5分）设集合A={x|2x≤8}，B={x|x≤m2+m+1}，若A∪B=A，则实数m的取值范围为．（）
A．[﹣2，1）B．[﹣2，1]C．[﹣2，﹣1）D．[﹣1，1）
【解答】解：集合A={x|2x≤8}={x|x≤3}，
因为A∪B=A，
所以B⊆A，
所以m2+m+1≤3，
解得﹣2≤m≤1，即m∈[﹣2，1]．
故选：B．
14．（5分）定义函数序列：，f2（x）=f（f1（x）），f3（x）=f （f2（x）），…，f n（x）=f（f n﹣1（x）），则函数y=f2017（x）的图象与曲线
的交点坐标为（）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意f1（x）=f（x）=．
f2（x）=f（f1（x））==，
f3（x）=f（f2（x））==，
…
f n（x）=f（f n﹣1（x））=，
∴f2017（x）=，
由得：，或，
由中x≠1得：
函数y=f2017（x）的图象与曲线的交点坐标为，
故选：A
15．（3分）关于x的方程（a＞0，且a≠1）解的个数是（）A．2 B．1 C．0 D．不确定的
【解答】解：由题意a x=﹣x2+2x+a，﹣x2+2x+a＞0．
令f（x）=a x，g（x）=﹣x2+2x+a，
（1）当a＞1时，
f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且f（0）=1，f（1）=a，
g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，
在[0，1]上，f（x）＜g（x），
∵g（x）在x＜0及x＞1时分别有一个零点，而f（x）恒大于零，
∴f（x）与g（x）的图象在x＜0及x＞1时分别有一个交点，
∴方程有两个解；
（2）当a＜1时，
f（x）=a x在（﹣∞，+∞）上单调递减，且f（0）=1，f（1）=a，
g（x）=﹣x2+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，
f（0）＞g（0），f（1）＜g（1），
∴在（0，1）上f（x）与g（x）有一个交点，
又g（x）在x＞1时有一个零点，而f（x）恒大于零，
∴f（x）与g（x）的图象在x＞1时还有一个交点，
∴方程有两个解．
综上所述，方程有两个解．
故选：A．
16．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，若方程f（x）=有4个不相等的实根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，1）B．（，1）C．（，1）D．（﹣1，）
【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，
∵当x≥0时，f（x）=|x﹣1|，∴f（﹣x）=|﹣x﹣1|=|x+1|，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（﹣x）=|x+1|，
则f（x）=，即，
由f（x）=得，f2（x）=x+a，
画出函数y=x+a与y=f2（x）的图象，如图所示：
由图知，当直线y=x+a过点A时有三个交点，
且A（1，1），此时a=1，
当直线y=x+a相切与点P时有三个交点，
由图知，y=f2（x）=（x+1）2=x2+2x+1，
则y′=2x+2，令y′=2x+2=1得x=，则y=，
此时切点P（，），代入y=x+a得a=，
∵方程f（x）=有4个不相等的实根，
∴函数y=x+a与y=f2（x）的图象有四个不同的交点，
由图可得，实数a的取值范围是（，1），
故选B．
17．（5分）已知f（x）=ln（1﹣）+1，则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（5）+f（7 ）+f（9）=（）
A．0 B．4 C．8 D．16
【解答】解：∵f（x）=ln（1﹣）+1，
则f（﹣7）=ln9﹣ln7+1，
f（﹣5 ）=ln7﹣ln5+1，
f（﹣3）=ln5﹣ln3+1，
f（﹣1）=ln3+1，
f（3 ）=﹣ln3+1，
f（5）=ln3﹣ln5+1，
f（7 ）=ln5﹣ln7+1，
f（9）=ln7﹣ln9+1，
则f（﹣7）+f（﹣5 ）+f（﹣3）+f（﹣1）+f（3 ）+f（5）+f（7 ）+f（9）=8，故选：C．
18．（5分）定义域是一切实数的函数y=f（x），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意实数x都成立，则称f（x）实数一个“λ一半随函数”，有下列关于“λ一半随函数”的结论：①若f（x）为“1一半随函数”，则f（0）=f（2）；②存在a∈（1，+∞）使得f（x）=a x为一个“λ一半随函数；③“一半随函数”至少有一个零点；④f（x）=x2是一个“λ一班随函数”；其中正确的结论的个数是（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①、若f（x）为“1一半随函数”，则f（x+1）+f（x）=0，可得f（x+1）=﹣f（x），
可得f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），因此x=0，可得f（0）=f（2）；故①正确；②、假设f（x）=a x是一个“λ一半随函数”，则a x+λ+λa x=0对任意实数x成立，
则有aλ+λ=0，而此式有解，所以f（x）=a x是“λ一半随函数”，故②正确．
③、令x=0，得f（）+f（0）=0．所以f（）=﹣f（0），
若f（0）=0，显然f（x）=0有实数根；若f（0）≠0，f（）•f（0）=﹣（f （0））2＜0，
又因为f（x）的函数图象是连续不断，所以f（x）在（0，）上必有实数根，因此任意的“﹣一半随函数”必有根，即任意“﹣一半随函数”至少有一个零点．故③正确．
④、假设f（x）=x2是一个“λ一半随函数”，则（x+λ）2+λx2=0，
即（1+λ）x2+2λx+λ2=0对任意实数x成立，所以λ+1=2λ=λ2=0，而此式无解，所以f（x）=x2不是一个“λ﹣同伴函数”．故④错误
正确判断：①②③．
故选：C．
19．（5分）如图，定义在[﹣2，2]的偶函数f（x）的图象如图所示，则方程f
（f（x））=0的实根个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．7
【解答】解：定义在[﹣2，2]的偶函数f（x）的图象如图：函数是偶函数，
函数的值域为：f（x）∈[﹣2，1]，函数的零点为：x1，0，x2，
x1∈（﹣2，﹣1），x2∈（1，2），
令t=f（x），则f（f（x））=0，即f（t）=0可得，t=x1，0，x2，
f（x）=x1∈（﹣2，﹣1）时，存在f[f（x1）]=0，
此时方程的根有2个．
x2∈（1，2）时，不存在f[f（x2）]=0，方根程没有根．
f[f（0）]=f（0）=f（x1）=f（x2）=0，有3个．
所以方程f（f（x））=0的实根个数为：5个．
故选：C．
20．（5分）已知函数f（x）=e x+2（x＜0）与g（x）=ln（x+a）+2的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，e）B．（0，e） C．（e，+∞）D．（﹣∞，1）
【解答】解：由题意知，方程f（﹣x）﹣g（x）=0在（0，+∞）上有解，
即e﹣x﹣ln（x+a）=0在（0，+∞）上有解，
即函数y=e﹣x与y=ln（x+a）在（0，+∞）上有交点，
则lna＜1，
即0＜a＜e，
则a的取值范围是：（0，e）．
故选：B．
21．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①f（x）+f（2﹣x）=0；②f（x ﹣2）=f（﹣x），③在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，则函数f（x）与函数
g（x）=的图象在区间[﹣3，3]上的交点个数为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：由f（x）+f（2﹣x）=0，可得函数f（x）的图象关于点M（1，0）对称．
由f（x﹣2）=f（﹣x），可得函数f（x）的图象关于直线x=﹣1对称．
又在[﹣1，1]上表达式为f（x）=，可得图象：进而得到在区间[﹣3，3]上的图象．
画出函数g（x）=在区间[﹣3，3]上的图象，
其交点个数为6个．
故选：B．
22．（5分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=
若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R有且仅有6
个不同实数根，则实数a的取值范围是（）
A． B．
C．D．
【解答】解：依题意f（x）在（﹣∞，﹣2）和（0，2）上递增，
在（﹣2，0）和（2，+∞）上递减，
当x=±2时，函数取得极大值；
当x=0时，取得极小值0．要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0，a，b∈R 有且只有6个不同实数根，
设t=f（x），则则有两种情况符合题意：
（1），且，
此时﹣a=t1+t2，则；
（2）t1∈（0，1]，，
此时同理可得，
综上可得a的范围是．
故选答案C．
23．（5分）函数f（x）=ln，则f（x）是（）
A．奇函数，且在（0，+∞）上单调递减
B．奇函数，且在（0，+∞）上单凋递增
C．偶函数，且在（0，+∞）上单调递减
D．偶函数，且在（0，+∞）上单凋递增
【解答】解：由x（e x﹣e﹣x）＞0，得f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），而f（﹣x）=ln=ln=f（x），
∴f（x）是偶函数，
x＞0时，y=x（e x﹣e﹣x）递增，
故f（x）在（0，+∞）递增，
故选：D．
二、填空题：
1．（5分）某投资公司准备在2016年年底将1000万元投资到某“低碳”项目上，据市场调研，该项目的年投资回报率为20%．该投资公司计划长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），若市场预期不变，大约在2020年的年底总资产（利润+本金）可以翻一番．（参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771）
【解答】解：假设n年后总资产可以翻一番，依题意得：a×（1+20%）n=2a，即1.2n=2，
两边同时取对数得，n=≈3.8
所以大约经过4年，即在2020年底总资产可以翻一番．
2．（5分）在函数①y=2x；②y=2﹣2x；③f（x）=x+x﹣1；④f（x）=x﹣x﹣3中，存在零点且为奇函数的序号是④．
【解答】解：函数①y=2x不存在零点且为非奇非偶函数，故不满足条件；
函数②y=2﹣2x存在零点1，但为非奇非偶函数，故不满足条件；
函数③f（x）=x+x﹣1不存在零点，为奇函数，故不满足条件；
函数④f（x）=x﹣x﹣3存在零点1且为奇函数，故满足条件；
故答案为：④．
3．（5分）已知函数f（x）=，若存在实数k使得函数
f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是[1，2] ．
【解答】解：当﹣1≤x≤k时，函数f（x）=log2（1﹣x）+1为减函数，
且在区间左端点处有f（﹣1）=2，
令f（x）=0，解得x=，
令f（x）=x|x﹣1|=2，解得x=2，
∵f（x）的值域为[0，2]，
∴k≤，
当k≤x≤a时，f（x）=x|x﹣1|=，
∴f（x）在[k，]，[1，a]上单调递增，在[，1]上单调递减，
从而当x=1时，函数有最小值，即为f（1）=0
函数在右端点的函数值为f（2）=2，
∵f（x）的值域为[0，2]，
∴1≤a≤2
故答案为：[1，2]
4．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x
（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为（2，+∞）；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为[，1）．【解答】解：（1）a=时，f（x）=|x﹣1|+x=，
∵f（x）＞1，
∴，
解得x＞2，
故x的取值范围为（2，+∞），
（2）函数f（x）的图象与x轴没有交点，
①当a≥1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：
两函数的图象恒有交点，
②当0＜a＜1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：
要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a，
∴a≥，故≤≤a＜1
③当a≤0时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：
两函数的图象恒有交点，
综上①②③知：≤a＜1
故答案为：（2，+∞），[，1）
5．（4分）已知函数若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f （x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，）．
【解答】解：当x≥0时，2x﹣1≥0，
当x＜0时，
若a=0，则f（x）=2恒成立，满足条件；
若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，
即a∈（0，）；
若a＞0，则f（x）＜2﹣3a，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则2﹣3a＞0，
即a∈（0，）；
若a＜0，则f（x）＞2﹣3a，满足条件，
综上可得：a∈（﹣∞，）；
故答案为：（﹣∞，）
6．（5分）下列命题中
①若log a3＞log b3，则a＞b；
②函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；
③设g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，则函数g（x）无零点；
④函数既是奇函数又是减函数．
其中正确的命题有②④．
【解答】解：若log a3＞log b3＞0，则a＜b，故①错误；
函数f（x）=x2﹣2x+3的图象开口朝上，且以直线x=1为对称轴，
当x=1时，函数取最小值2，无最大值，故函数f（x）=x2﹣2x+3，x∈[0，+∞）的值域为[2，+∞）；
故②正确；
g（x）是定义在区间[a，b]上的连续函数．若g（a）=g（b）＞0，
则函数g（x）可能存在零点；
故③错误；
数满足h（﹣x）=﹣h（x），故h（x）为奇函数，
又由=﹣e x＜0恒成立，故h（x）为减函数
故④正确；
故答案为：②④．
7．（5分）已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则a的取值范围为0＜a＜1．
【解答】解：∵函数，
∴作出函数f（x）的图象如右图所示，
∵方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，
则函数y=f（x）的图象与y=a的图象有三个不同的交点，
根据图象可知，a的取值范围为0＜a＜1．
故答案为：0＜a＜1．
8．（5分）方程=ax+a由两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为[0，）．
【解答】解：设f（x）=，如图所示，表示以（2，0）为圆心，1为半径的半圆，
由圆心（2，0）到y=ax+a的距离=1，
可得a=，
∵方程=ax+a有两个不相等的实数根，
∴实数a的取值范围为[0，）．
故答案为[0，）．
9．（5分）已知函数，若函数g（x）=f（x）﹣m有3
个零点，则实数m的取值范围是（0，1）．
【解答】解：令g（x）=f（x）﹣m=0，
得m=f（x）
作出y=f（x）与y=m的图象，
要使函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，
则y=f（x）与y=m的图象有3个不同的交点，
所以0＜m＜1，
故答案为：（0，1）．
10．（5分）定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是[2，+∞）．
【解答】解：①令x=y=0，则f（0）=2f（0），则f（0）=0；
再令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=0，
且f（x）定义域为R，关于原点对称．
∴f（x）是奇函数．
②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点．
∴f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）=0在（0，π）上有解；
∴f（asinx）=﹣f（sinx+cos2x﹣3）=f（﹣sinx﹣cos2x+3）在（0，π）上有解；
又∵函数f（x）是R上的单调函数，
∴asinx=﹣sinx﹣cos2x+3在（0，π）上有解．
∵x∈（0，π），
∴sinx≠0；
∴a==sinx+﹣1；
令t=sinx，t∈（0，1]；
则a=t+﹣1；
∵y=t+，＜0，因此函数y在（0，1]上单调递减，
∴a≥2．
故答案为：[2，+∞）．
三、简答题：
1．（12分）已知函数f（x）=lg（a＞0）为奇函数，函数g（x）=+b（b ∈R）．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）若b＞1，讨论方徎g（x）=ln|x|实数根的个数；
（Ⅲ）当x∈[，]时，关于x的不等式f（1﹣x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由为奇函数得：f（﹣x）+f（x）=0，即，（2分）
所以，解得a=1，（4分）
（Ⅱ）当b＞1时，设，
则h（x）是偶函数且在（0，+∞）上递减
又
所以h（x）在（0，+∞）上有惟一的零点，方徎g（x）=ln|x|有2个实数根．…（8分）
（Ⅲ）不等式f（1﹣x）≤lgg（x）等价于，
即在有解，
故只需，（10分）
因为，所以，
函数，
所以，
所以b≥﹣13，所以b的取值范围是[﹣13，+∞）．（12分）
2．（12分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．
（1）若a＜0，b＞0，c=0，且f（x）在[0，2]上的最大值为，最小值为﹣2，
试求a，b的值；
（2）若c=1，0＜a＜1，且||≤2对任意x∈[1，2]恒成立，求b的取值范围．（用a来表示）
【解答】（1）抛物线的对称轴为，
①当时，即b＞﹣4a时，
当时，，f（x）min=f（2）=4a+2b+c=﹣2，
∴，
∴a=﹣2，b=3．
②当时，即b≥﹣4a时，f（x）在[0，2]上为增函数，f（x）min=f（0）=0与f（x）min=﹣2矛盾，无解，
综合得：a=﹣2，b=3．
（2）对任意x∈[1，2]恒成立，即对任意x∈[1，2]恒成立，
即对任意x∈[1，2]恒成立，
令，则，
∵0＜a＜1，∴，
（ⅰ）若，即时，g（x）在[1，2]单调递减，此时
，
即，得，此时，∴
∴．
（ⅱ）若，即时，g（x）在单调递减，在
单调递增，
此时，，
只要，
当时，，
当时，，．
综上得：①时，；
②时，；
③时，．
3．（12分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．
（1）若f（1）＜2，求实数a的取值范围；
（2）设函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，讨论函数g（x）的零点个数．
【解答】解：（1）若f（1）＜2，
则log2（1+a）＜2，
即0＜1+a＜4，
解得：a∈（﹣1，3）；
（2）令函数g（x）=f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0，
则f（x）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，
即+a=（a﹣4）x+2a﹣5，
即（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，
①当a=4时，方程可化为：﹣x﹣1=0，解得：x=﹣1，
此时+a=（a﹣4）x+2a﹣5=3，满足条件，
即a=4时函数g（x）有一个零点；
②当（a﹣5）2+4（a﹣4）=0时，a=3，方程可化为：﹣x2﹣2x﹣1=0，解得：x=﹣1，
此时+a=（a﹣4）x+2a﹣5=2，满足条件，
即a=3时函数g（x）有一个零点；
③当（a﹣5）2+4（a﹣4）＞0时，a≠3，
方程有两个根，x=﹣1，或x=，
当x=﹣1时，+a=（a﹣4）x+2a﹣5=a﹣1，当a＞1时，满足条件，
当x=时，+a=（a﹣4）x+2a﹣5=2a﹣4，当a＞2时，满足条件，
综上可得：1＜a≤2时，函数g（x）有一个零点；
a＞2且a≠3且a≠4时函数g（x）有两个零点；
4．（12分）已知函数f（x）=．
（1）求f（f（））；
（2）若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，求函数f（x）的二阶不动点的个数．
【解答】解：（1）∵f（x）=．
∴f（））=ln=，
∴f（f（））=f（）=2﹣2×=1；
（2）函数f（x）=．x∈[0，），f（x）=2﹣2x∈（1，2]，
x∈[，1），f（x）=2﹣2x∈（0，1]，
x∈[1，e]，f（x）=lnx∈（0，1），
∴f（f（x））=，
若x0满足f（f（x0））=x0，且f（x0）≠x0，则称x0为f（x）的二阶不动点，
所以：x0∈[0，），ln（2﹣2x0）=x0，由y=ln（2﹣x0），y=x0，图象可知：
存在满足题意的不动点．
x0∈[，1），﹣2+4x0=x0，解得x0=，满足f（）=．不是f（x）的二阶不动点．
x0∈[1，e]，2﹣2lnx0=x0，即2﹣x0=2lnx0，由y=2﹣x0，y=2lnx0，图象可知：
存在满足题意的不动点．
函数f（x）的二阶不动点的个数为：2个．
5．（12分）已知函数f（x）=ax2+4x﹣1．
（1）当a=1时，对任意x1，x2∈R，且x1≠x2，试比较f（）与
的大小；
（2）对于给定的正实数a，有一个最小的负数g（a），使得x∈[g（a），0]时，﹣3≤f（x）≤3都成立，则当a为何值时，g（a）最小，并求出g（a）的最小
值．
【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x2+4x﹣1，
f（）=+2（x1+x2）﹣1=++x1x2+2（x1+x2）﹣1，==++2（x1+x2）﹣1；
故f（）﹣=﹣﹣+x1x2=﹣≤0；（2）∵f（x）=ax2+4x﹣1=a（x+）2﹣1﹣，
显然f（0）=﹣1，对称轴x=﹣＜0．
①当﹣1﹣＜﹣3，即0＜a＜2时，g（a）∈（﹣，0），且f[g（a）]=﹣3．令ax2+4x﹣1=﹣3，解得x=，
此时g（a）取较大的根，即g（a）==，
∵0＜a＜2，∴g（a）＞﹣1．
②当﹣1﹣≥﹣3，即a≥2时，g（a）＜﹣，且f[g（a）]=3．
令ax2+4x﹣1=3，解得x=，
此时g（a）取较小的根，即g（a）==，
∵a≥2，∴g（a）=≥﹣3．当且仅当a=2时，取等号．
∵﹣3＜﹣1∴当a=2时，g（a）取得最小值﹣3．
6．（12分）已知函数f（x）=x+﹣1（x≠0），k∈R．
（1）当k=3时，试判断f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并用定义证明；（2）若对任意x∈R，不等式f（2x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；（3）当k∈R时，试讨论f（x）的零点个数．
【解答】解：（1）当k=3，x∈（﹣∞，0）时，f（x）=x﹣，
＞0，
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增．
证明：在（﹣∞，0）上任取x1，x2，令x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）=（）﹣（）=（x1﹣x2）（1+），∵x1，x2∈（﹣∞，0），x1＜x2，∴，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增．
（2）设2x=t，则t＞0，f（t）=t+，
①当k＞0时，f′（t）=1﹣，
t=时，f′（t）=0，且f（t）取最小值，
f（）==2﹣1，
当k时，f（）=2﹣1＞0，
当0＜k≤时，f（）=2﹣1≤0，
∴k＞时，f（2x）＞0成立；0＜k≤时，f（2x）＞0不成立．
②当k=0时，f（t）=t﹣1，
∵t∈（0，+∞），不满足f（t）恒大于0，∴舍去．
③当k＜0时，f恒大于0，
∵，且f（x）在（0，+∞）内连续，
∴不满足f（t）＞0恒成立．
综上，k的取值范围是（，+∞）．
（3）由f（x）=x+﹣1=0，（x≠0），k∈R．
得x+﹣1=0，
∴k=|x|•（1﹣x），x≠0，
当x＞0时，k=x（1﹣x），当x＜0时，k=﹣x（1﹣x），
∴结合图象得：
当k＞或k≤0时，f（x）有1个零点；
当k=时，f（x）有2个零点；
当0＜k＜时，f（x）有3个零点．
7．（12分）已知函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，函数g （x）是h（x）=e x的反函数．
（1）求函数g（f（x））的单调区间；
（2）求证：函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h （x0）﹣1
（参考数据：e=2.71828…，ln2≈0.693）．
【解答】解：（1）函数g（x）是h（x）=e x的反函数，
可得g（x）=lnx；
函数f（x）=x2+ax（a＞0）在[﹣1，2]上的最大值为8，
只能是f（﹣1）=8或f（2）=8，
即有1﹣a=8或4+2a=8，
解得a=2（﹣7舍去），
函数g（f（x））=ln（x2+2x），
由x2+2x＞0，可得x＞0或x＜﹣2．
由复合函数的单调性，可得
函数g（f（x））的单调增区间为（0，+∞）；
单调减区间为（﹣∞，﹣2）；
（2）证明：由（1）得：f（x）=x2+2x，即φ（x）=f（x）h（x）﹣，（x＞0），设0＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1x2＞0，∴＜0，
∵f（x）在（0，+∞）递增且f（x）＞0，
∴f（x2）＞f（x1）＞0，
∵＞＞0，∴f（x1）＜f（x2），
∴φ（x1）﹣φ（x2）=f（x1）﹣f（x2）+＜0，
即φ（x1）＜φ（x2），∴φ（x）在（0，+∞）递增；
∵φ（）=﹣2＞﹣2=0，
φ（）=﹣e＜﹣e＜0，
即φ（）φ（）＜0，
∴函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有1个零点x0，且x0∈（，），
∴（+2x0）﹣=0，即=，
∴h（x0）﹣g（x0）=﹣lnx0=﹣lnx0，
∵y=﹣lnx在（0，）上是减函数，
∴﹣lnx0＞﹣ln=+ln2＞+0.6=1，
即g（x0）＜h（x0）﹣1，
综上，函数y=f（x）h（x）﹣（x＞0）恰有一个零点x0，且g（x0）＜x02h（x0）﹣1．
8．（10分）已知函数f（x）=3x，g（x）=|x+a|﹣3，其中a∈R．
（Ⅰ）若函数h（x）=f[g（x）]的图象关于直线x=2对称，求a的值；
（Ⅱ）给出函数y=g[f（x）]的零点个数，并说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）函数h（x）=f[g（x）]=3|x+a|﹣3的图象关于直线x=2对称，则h（4﹣x）=h（x）⇒|x+a|=|4﹣x+a|恒成立⇒a=﹣2；
（Ⅱ）函数y=g[f（x）]=|3x+a|﹣3的零点个数，就是函数G（x）=|3x+a|与y=3的交点，
①当0≤a＜3时，G（x）=|3x+a|=3x+a与y=3的交点只有一个，即函数y=g[f（x）]的零点个数为1个（如图1）；
②当a≥3时，G（x）=|3x+a|=3x+a与y=3没有交点，即函数y=g[f（x）]的零点个数为0个（如图1）；
③﹣3≤a＜0时，G（x）=|3x+a|与y=3的交点只有1个（如图2）；
④当a＜﹣3时，G（x）=|3x+a|与y=3的交点有2个（如图2）；
9．（10分）设函数f（x）的定义域为R，如果存在函数g（x），使得f（x）≥g （x）对于一切实数x都成立，那么称g（x）为函数f（x）的一个承托函数．已知函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）．
（1）若a=1，b=2．写出函数f（x）的一个承托函数（结论不要求证明）；（2）判断是否存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，且f （x）为函数的一个承托函数？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），
可得a﹣b+c=0，又a=1，b=2，
则f（x）=x2+2x+1，
由新定义可得g（x）=x为函数f（x）的一个承托函数；
（2）假设存在常数a，b，c，使得y=x为函数f（x）的一个承托函数，
且f（x）为函数的一个承托函数．
即有x≤ax2+bx+c≤x2+恒成立，
令x=1可得1≤a+b+c≤1，即为a+b+c=1，
即1﹣b=a+c，
又ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，可得a＞0，且（b﹣1）2﹣4ac≤0，
即为（a+c）2﹣4ac≤0，即有a=c；
又（a﹣）x2+bx+c﹣≤0恒成立，
可得a＜，且b2﹣4（a﹣）（c﹣）≤0，
即有（1﹣2a）2﹣4（a﹣）2≤0恒成立．
故存在常数a，b，c，且0＜a=c＜，b=1﹣2a，
可取a=c=，b=．满足题意．
10．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf （x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．
（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分
（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．
【解答】解：（I）①对于函数f（x）=x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是Ω函数．
②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，则sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．
∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函数f（x）=sinπx对任意x∈R，有Tf（x+T）=f
（x）成立．
（II）（i）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．
又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），
令x﹣T=t，则x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．
（ii）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf （﹣x+T）=f（﹣x）．
又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化为：﹣f（x+T）=f（﹣x+T），
令x﹣T=t，则x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．
（III）证明：当a＞1时，假设函数f（x）=a x是Ω函数，则存在非零常数T，Tf （x+T）=f（x），
∴Ta x+T=a x，化为：Ta T a x=a x，∵a x＞0，∴Ta T=1，即a T=，此方程有非0 的实数根，因此T≠0且存在，
∴当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．
11．（10分）已知函数f（x），定义
（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；
（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；
（Ⅲ）当时，求h（x）=cosx•F（x+sinx）的零点个数和值域．【解答】解：（Ⅰ）定义，
当2x﹣1＞x，可得x＞1，则F（2x﹣1）=1；
当2x﹣1=x，可得x=1，则F（2x﹣1）=0；。