初中数学，ASA证明三角形全等，如此详尽的讲解，你不听听吗
全等三角形的判定ASA
全等三角形的判定ASA在初中数学的几何世界里，全等三角形是一个非常重要的概念。
而全等三角形的判定方法有多种，其中“ASA”（角边角）就是一种常用且重要的判定方法。
首先，咱们来理解一下什么是“ASA”。
“角边角”说的就是如果两个三角形的两个角及其夹边分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
比如说，有三角形 ABC 和三角形 DEF。
如果角 A 等于角 D，角 B等于角 E，而且 AB 这条边和 DE 这条边相等，那么就能够得出三角形ABC 全等于三角形 DEF。
那为什么“ASA”能判定两个三角形全等呢？咱们来仔细想想。
如果两个角相等，那第三个角是不是肯定也相等？因为三角形的内角和是固定的 180 度嘛。
所以两个角相等了，第三个角也就跟着相等了。
再加上夹边相等，那这两个三角形的形状和大小就完全确定了。
就好像咱们用模具做东西，角度和边都确定了，做出来的东西肯定是一模一样的。
咱们通过具体的例子来感受一下“ASA”的魅力。
假设在三角形 ABC 中，角 A 是 60 度，角 B 是 40 度，AB 边的长度是 5 厘米。
然后有另一个三角形 DEF，角 D 是 60 度，角 E 是 40 度，DE 边也是 5 厘米。
那咱们就可以很确定地说，三角形 ABC 全等于三角形 DEF。
在实际做题的时候，怎么运用“ASA”来证明两个三角形全等呢？这就需要我们仔细观察题目中给出的条件。
比如说，题目可能会告诉我们两个三角形中的一组对应角相等，然后再告诉我们这两个角之间的夹边相等。
这时候，我们就要敏锐地意识到，可以用“ASA”来证明全等。
又或者，题目中可能会通过一些角度的计算，让我们得出两个角相等，然后再给出夹边相等的条件。
咱们再来说说“ASA”和其他全等三角形判定方法的关系。
“ASA”和“AAS”（角角边）有时候容易让人混淆。
但其实“AAS”可以通过三角形内角和定理转化为“ASA”。
而“SSS”（边边边）则是通过三条边的相等来判定全等，和“ASA”的角度和边的结合方式有所不同。
全等三角形判定二(ASA,AAS)(基础)知识讲解
全等三角形判定二（ASA ，AAS ）（基础）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法3——“角边角”，判定方法4——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】【高清课堂：379110 全等三角形判定二，知识点讲解】要点一、全等三角形判定3——“角边角”全等三角形判定3——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定4——“角角边”1.全等三角形判定4——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE ∥BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择已知条件可选择的判定方法 一边一角对应相等SAS AAS ASA 两角对应相等ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定3——“角边角”【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例5】1、已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求证：AE＝CF．。
三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作
以上内容是基于给定的大纲和指令进行的扩 展，但请注意，由于缺乏具体细节和背景信 息，某些描述可能不够精确或全面。如有需 要，请进一步补充和修正。
04
asa-aas在实际问题中的 应用
在几何证明题中的应用
在几何证明题中，asa-aas判定定理常常用于证明两个三角形全等。通过比较两 个三角形的两边和夹角，如果满足条件，则两个三角形全等，从而可以得出其他 相关结论。
asa-aas的发展方向
拓展适用范围
实际应用研究
研究如何将ASA-AAS判定应用于更广 泛的情况，例如处理只有一边和两个 角的情况或者只有两边和夹角的情况。
研究如何将ASA-AAS判定应用于解决 实际问题，例如几何证明、建筑设计、 工程测量等领域。
引入其他判定方法
研究如何将其他三角形全等判定方法 （如SAS、SSS、HL等）与ASA-AAS 判定相结合，以拓展其应用范围。
经过一点做已知直线的垂线
总结词
垂线的作法
详细描述
在给定的直线上选择一个点，然后使 用圆规在该点上画圆，与直线相交于 两点。连接这两点即可得到经过该点 的垂线。
作已知角的角平分线
总结词
角平分线的作法
详细描述
在给定的角内，使用圆规以角的顶点为圆心画圆，与角的两 边相交于两点。连接这两点即可得到该角的角平分线。
Hale Waihona Puke VS应用在尺规作图中，可以利用asa-aas判定三 角形全等来确定未知点的位置。例如，已 知一个三角形的两个角和一边，可以通过 asa-aas判定另一个三角形与之全等，从 而确定未知点的位置。
利用asa-aas解决实际问题
• 实例：在建筑设计中，常常需要确定某一点的位置使得该点到 两个已知点的角度相等。通过asa-aas判定定理，可以确定未知 点的位置，从而满足建筑设计的需求。
asa证全等的方法
asa证全等的方法ASA证全等的方法是指通过给出三角形的三个角度和三个边长来判断是否两个三角形全等的方法。
ASA证全等的方法是中学数学中的重要内容，它是判断两个三角形全等的一种基本方法。
下面将详细介绍ASA证全等的方法以及几个具体的例子。
首先，我们先来了解一下ASA证全等的基本原理。
ASA全等法则指的是在两个三角形中，如果两个三角形的两个对应角度和一个对应边相等，则这两个三角形全等。
也就是说，如果我们知道了两个三角形的一个角度、一个边相等，并且两个角度的顺序还对应，那么我们就可以推断出这两个三角形全等。
下面我们通过几个例子来具体了解一下ASA证全等的方法。
例1：如图1，已知△ABC和△DEF，已知∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF，证明△ABC≌△DEF。
这个例子中，我们已知了两个三角形的一个角度、一个边相等，并且两个角度的顺序还对应。
根据ASA全等法则，可以直接推断出这两个三角形全等。
例2：如图2，已知△ABC和△DEF，已知AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，证明△ABC≌△DEF。
这个例子中，我们已知了两个三角形的两个对应边相等，并且两个角度的顺序还对应。
根据ASA全等法则，可以直接推断出这两个三角形全等。
例3：如图3，已知△ABC和△DEF，已知AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，证明△ABC≌△DEF。
这个例子中，我们已知了两个三角形的两个对应边相等，并且两个角度的顺序没有对应。
虽然我们可以通过ASA全等法则推断出∠B=∠E，但是由于两个角度的顺序不对应，所以不能直接推断出这两个三角形全等。
综上所述，通过ASA证全等的方法可以判断两个三角形是否全等。
该方法需要满足两个三角形的一个角度、一个边相等，并且两个角度的顺序还对应。
只有满足这些条件，我们才能推断出两个三角形全等。
在实际应用中，使用ASA证全等的方法可以帮助我们解决一些与全等三角形相关的问题。
例如，在解决三角形的构造问题中，我们可以利用ASA证全等的方法来构造一个与给定的三角形全等的三角形。
三角形全等的判定ASA
边角边相等（SAS）
如果两个三角形的两边长度相等，且 这两边所夹的角也相等，则这两个三 角形全等。
三角形全等的应用
解决几何问题
通过三角形全等关系，可以证明 线段相等、角相等、垂直关系等 ，从而解决各种几何问题。
制作精确图形
在几何作图或设计领域，三角形 全等关系可以用来制作精确的图 形或模型。
02
与平行线判定定理的联系
在三角形全等的判定中，常常需要利用平行线的性质来证明 两个三角形全等。例如，在ASA全等判定定理中，需要证明 两角及夹角的边相等，而夹角的边是通过平行线性质推导出 来的。
与勾股定理的联系
勾股定理是三角形全等判定中的重要工具。在证明两个直 等于斜边的平方。
02
全等关系具有传递性，即如果三 角形ABC与三角形DEF全等，那 么三角形DEF也与三角形ABC全 等。
三角形全等的条件
边边边相等（SSS）
角边角相等（ASA）
如果两个三角形的三边长度分别相等 ，则这两个三角形全等。
如果两个三角形有两个角分别相等， 且这两个角所夹的边也相等，则这两 个三角形全等。
ssa全等判定方法
总结词
两边及其夹角对应相等的两个三角形 全等。
详细描述
根据SSA全等判定定理，如果两个三 角形有两边长度相等且这两边所夹的 角相等，则这两个三角形全等。这个 定理在解决几何问题时非常有用。
aas全等判定方法
总结词
两角及其夹边对应相等的两个三角形 全等。
详细描述
根据ASA全等判定定理，如果两个三 角形有两个角相等且这两个角所夹的 边也相等，则这两个三角形全等。这 个定理是三角形全等判定的重要依据 之一。
asa全等定理的应用
总结词：广泛实用
三角形全等判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作图
D
E
∠C=∠B（已知）
O
∴△ACD≌△ABE（ASA）
∴AD=AE（全等三角形的对应边相等B ）
C
又∵AB=AC（已知）
∴BD=CE
课后思考：若将△ADC继续顺时针转动一个角度，
图形又怎样？若题中的条件不变，能得到同样的结
论吗？
三角形全等判定ASA-AAS及尺规作图五种 基本作图
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 ，简写成“角边角”或“ASA”。
（ASA）
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形 全等，简写成“角角边”或“AAS”
（AAS）
三角形全等判定ASA-AAS及尺规作图五种 基本作图
到目前为止,我们一共探索出判定三 角形全等的四种规律，它们分别是:
1、边边边 (SSS) 2、边角边 (SAS) 3、角边角 (ASA) 4、角角边 (AAS)
三角形全等判定ASA-AAS及尺规作图五种 基本作图
（1）.如图，点C在直线l上，
试过点C画出直线l的垂线．
作法：
1.以C为圆心，任一线段的长为半径画弧，
交L于A、B两点. 2.分别以A、B为圆心，以大于 1 A的B 长为 半径画弧，两弧相交于点D. 2
3.作直线CD.
则直线CD即为所求。
C
•
l
A
B
三角形全等判定ASA-AAS及尺规作图五种 基本作图
（2）的作法：
（1）任取一点M，使点M和点C在直线L的两侧；
（2）以C为圆心，以CM长为半径画弧，交L于A、B两点；
1
（3）分别以A、B两点为圆心，以大于
AB
2
长为半径画弧，两弧相交于D点；
C
（4）作直线CD.
三角形全等证明方法
三角形全等证明方法三角形全等证明是几何学中的重要内容之一，它能够帮助我们分析和推导出一些三角形之间的性质和关系。
在证明全等三角形时，我们需要根据已知条件和几何定理，使用不同的方法和技巧来进行推导。
下面我将详细介绍三角形全等的几种证明方法。
一、SAS法（边-角-边）SAS法是指通过两条边和它们夹角的大小来证明两个三角形全等。
当我们已知两个三角形中两边相等，在它们之间对应的夹角也相等时，可以通过SAS法来证明它们全等。
证明过程如下：1.首先，我们需要知道两个三角形中的两条边相等，即∠A=∠D，BC=DE。
2.其次，我们需要证明这两个三角形之间的夹角B和夹角E也相等，即∠B=∠E。
3.最后，我们还需要证明这两个三角形中的第三条边AC和第三条边DF相等，即AC=DF。
通过上述三个步骤，我们可以证明两个三角形ABC和DEF全等。
二、ASA法（角-边-角）ASA法是指通过两个角和夹这两个角的边的大小来证明两个三角形全等。
当我们已知两个三角形中两个角相等，在它们之间对应的边也相等时，可以通过ASA法来证明它们全等。
证明过程如下：1.首先，我们需要知道两个三角形中两个角相等，即∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE。
2.其次，我们需要证明这两个三角形之间的对应边AB和DE也相等，即AB=DE。
3.最后，我们还需要证明这两个三角形中的第三个角∠BAC和第三个角∠EDF相等，即∠BAC=∠EDF。
通过上述三个步骤，我们可以证明两个三角形ABC和DEF全等。
三、SSS法（边-边-边）SSS法是指通过三条边的长度来证明两个三角形全等。
当我们已知两个三角形中的三条边相等时，可以通过SSS法来证明它们全等。
证明过程如下：1.首先，我们需要知道两个三角形中的三条边相等，即AB=DE，BC=EF，CA=FD。
2.通过上述三个条件，我们可以得出两个三角形ABC和DEF的相应的三个角∠ABC、∠BCA和∠DEF、∠EFD相等。
3.因为两个三角形中的三个角分别相等，所以这两个三角形全等。
全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(基础)知识讲解
全等三角形判定一（SAS,ASA ，AAS ）（基础）撰稿：常春芳【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边角边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边角边” 1. 全等三角形判定1——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.要点二、全等三角形判定2——“角边角” 全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点三、全等三角形判定3——“角角边” 1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边角边”1、已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．【思路点拨】由条件AB＝AD，AC＝AE，需要找夹角∠BAC与∠DAE，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明：∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中AB ADBAC DAEAC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△ADE（SAS）∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.2、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE＝CD，并且AE⊥CD证明：延长AE交CD于F，∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形∴AB＝BC，BD＝BE在△ABE和△CBD中90AB BCABE CBDBE BD=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE≌△CBD（SAS）∴AE＝CD，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°∴AE⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD看作是由△ABE绕着B点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：【变式】已知：如图，PC⊥AC，PB⊥AB，AP平分∠BAC，且AB＝AC，点Q在PA上，求证：QC＝QB【答案】证明：∵ AP平分∠BAC∴∠BAP＝∠CAP在△ABQ与△ACQ中∵∴△ABQ≌△ACQ(SAS)∴ QC＝QB类型二、全等三角形的判定2——“角边角”【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例5】2、已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求证：AE＝CF．【答案与解析】证明：∵AD∥CB∴∠A＝∠C在△ADF与△CBE中A CAD CBD B∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF≌△CBE （ASA）∴AF ＝CE ，AF＋EF＝CE＋EF故得：AE＝CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：AB＝CD.【答案】证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C.∵AF ∥DE ，，∴∠AFB ＝∠DEC.又∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE. 在△ABF 和△DCE 中，B C BF CEAFB DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）.类型三、全等三角形的判定3——“角角边”【高清课堂：379110 全等三角形的判定二，例6】3、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD在△BAC和△EAD中BAC EADB ECB=DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC≌△EAD（AAS）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．举一反三：【变式】如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.求证：BE＝CF.【答案】证明：∵AD为△ABC的中线∴BD＝CD∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED和△CFD中BED CFDBDE CDFBD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等）∴△BED≌△CFD（AAS）∴BE＝CF4、已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．（1）求证：AC与BD互相平分；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE＝OF.【思路点拨】（1）证△ABO≌△CDO，得AO＝OC，BO＝DO（2）证△AEO≌△CFO或△BEO≌△DFO【答案与解析】证明：∵AB∥DC∴∠Ａ＝∠Ｃ在△ABO与△CDO中A C(AOB COD∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝对顶角相等）AB=CD∴△ABO≌△CDO（AAS）∴AO＝CO ，BO=DO在△AEO和△CFO中A C(AOE COF∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝AO=CO＝对顶角相等）∴△AEO≌△CFO（ASA）∴OE＝OF.【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等．利用平行线找角等是本题的关键.类型四、全等三角形判定的实际应用5、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.【答案与解析】设战士的身高为AB，点C是碉堡的底部，点D是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知∠BAD＝∠BAC，∠ABD＝∠ABC＝90°.在△ABD和△ABC中，ABD ABCAB ABBAD BAC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABD≌△ABC（ASA）∴BD＝BC.这名战士的方法有道理.【总结升华】解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.。
全等三角形的asa判定过程
全等三角形的asa判定过程嘿，咱今儿个就来唠唠全等三角形的 ASA 判定过程，这可是个相当有意思的事儿呢！你想想看哈，三角形就像是一群有着特定形状和特点的小家伙。
全等三角形呢，那就是长得一模一样的双胞胎呀！那怎么判断它们是不是全等的双胞胎呢？这 ASA 判定就是个好办法呀！就好比说，有两个三角形，它们有两个角和这两个角夹的边都分别相等。
哎呀呀，这就像是两个小朋友，一个有着和另一个相同的眼睛和鼻子，而且这眼睛和鼻子之间的距离也一样，那这不就是很像很像嘛！咱具体说说这判定过程哈。
先找到两个三角形的一组对应角，看看它们是不是相等。
如果相等了，那就再找下一组对应角，也得相等才行。
然后呢，看看这两组相等角中间夹着的那条边，是不是也一样长。
要是都满足了，嘿嘿，那这俩三角形就是全等的啦！你说这是不是挺神奇的？就这么几个条件，就能判断出它们是不是全等。
这就好像是给三角形们贴上了标签，让我们一下子就能认出它们是不是一伙的。
比如说吧，有两个三角形，一个三角形的两个角分别是 30 度和 60 度，中间夹的边是5 厘米。
另一个三角形呢，也有30 度和60 度的角，而且它们中间夹的边也是5 厘米。
那不用想啦，它们肯定是全等的呀！这 ASA 判定在很多地方都能用得上呢！比如在解几何题的时候，要是知道了这些条件，那就能很快判断出两个三角形全等，然后就能得出很多有用的结论啦。
再想想，要是没有这样的判定方法，那我们得多头疼呀！就像在一堆长得差不多的三角形里找全等的，那可真是大海捞针。
但有了 ASA 判定，就像是有了一把钥匙，能轻松打开全等三角形的大门。
所以呀，可别小看了这全等三角形的 ASA 判定过程哦！它就像是数学世界里的一个小魔法，能帮我们解决很多问题呢！学会了它，我们就能在几何的海洋里畅游啦！你说是不是很有趣呢？。
三角形全等的判定ASA-AAS及尺规作图五种基本作图概要
A
B
通过实验你发现了什么规律？
A’
B’
有两角和它们夹边对应 相等的两个三角形全等。
归 纳：三角形全等判定3
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
简记为 (A.S.A.) 或角边角
符 号 语 言
A
在ABC和DEF中
C
B
D
E
F
ABC ≌ DEF（A.S.A.）
B=E(已知） BC=EF(已知） C=F(已知）
(1) 作射线AC
a
；
(2) 以点A为圆心，
以a的长为半径 画弧， 交射线AC 于点B，
则：AB即所求。
A B C
练习：
求作一条线段AB,使AB=2a.
已知： 线段a 求作：线段AB ,使 线段AB=2a
作法 ：
(1)作射线AC; (2)以点A为圆心,
a
以a长为半径 画弧, 交射线AC于点D; (3)以点D为圆心, 以a长为半径 画弧, 交射线AC于点B;
C D F
在△ABC和△DEF中 ∠B=∠E BC=EF E ∠C=∠F ∴ △ABC≌△DEF （ASA）
三角形全等判定方法4
两个角和其中一个角的对边对应相等的两 个三角形全等。 (简写成“角角边”或“AAS”
用符号语言表达为： 在△ABC和△DEF中 ∠A= ∠D ∠B = ∠E B BC=EF ∴ △ABC≌△DEF （AAS） E A
练习
1、已知： ∠AOB。 求作： ∠A’O’B’ ，使 ∠A’O’B’=2∠AOB。
作法一:
B’
C B B’
法二:
D B
O
C A
E
C’
全等三角形判定一(SAS、ASA、AAS)(基础)知识讲解
全等三角形判定一（SAS,ASA ，AAS ）（基础）撰稿：常春芳【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边角边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等． 【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边角边” 1. 全等三角形判定1——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.要点二、全等三角形判定2——“角边角” 全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点三、全等三角形判定3——“角角边” 1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边角边”1、已知：如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．【思路点拨】由条件AB＝AD，AC＝AE，需要找夹角∠BAC与∠DAE，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明：∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠DAE在△ABC和△ADE中AB ADBAC DAEAC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC≌△ADE（SAS）∴BC＝DE（全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.2、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE＝CD，并且AE⊥CD证明：延长AE交CD于F，∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形∴AB＝BC，BD＝BE在△ABE和△CBD中90AB BCABE CBDBE BD=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE≌△CBD（SAS）∴AE＝CD，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°∴AE⊥CD【总结升华】通过观察，我们也可以把△CBD看作是由△ABE绕着B点顺时针旋转90°得到的.尝试着从变换的角度看待全等.举一反三：【变式】已知：如图，PC⊥AC，PB⊥AB，AP平分∠BAC，且AB＝AC，点Q在PA上，求证：QC＝QB【答案】证明：∵ AP平分∠BAC∴∠BAP＝∠CAP在△ABQ与△ACQ中∵∴△ABQ≌△ACQ(SAS)∴ QC＝QB类型二、全等三角形的判定2——“角边角”【高清课堂：379110 全等三角形判定二，例5】2、已知：如图，E，F在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求证：AE＝CF．【答案与解析】证明：∵AD∥CB∴∠A＝∠C在△ADF与△CBE中A CAD CBD B∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF≌△CBE （ASA）∴AF ＝CE ，AF＋EF＝CE＋EF故得：AE＝CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：AB＝CD.【答案】证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C.∵AF ∥DE ，，∴∠AFB ＝∠DEC.又∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE. 在△ABF 和△DCE 中，B C BF CEAFB DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）.类型三、全等三角形的判定3——“角角边”【高清课堂：379110 全等三角形的判定二，例6】3、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD在△BAC和△EAD中BAC EADB ECB=DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC≌△EAD（AAS）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．举一反三：【变式】如图，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE.求证：BE＝CF.【答案】证明：∵AD为△ABC的中线∴BD＝CD∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED和△CFD中BED CFDBDE CDFBD CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等）∴△BED≌△CFD（AAS）∴BE＝CF4、已知：如图，AC与BD交于O点，AB∥DC，AB＝DC．（1）求证：AC与BD互相平分；（2）若过O点作直线l，分别交AB、DC于E、F两点，求证：OE＝OF.【思路点拨】（1）证△ABO≌△CDO，得AO＝OC，BO＝DO（2）证△AEO≌△CFO或△BEO≌△DFO【答案与解析】证明：∵AB∥DC∴∠Ａ＝∠Ｃ在△ABO与△CDO中A C(AOB COD∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝对顶角相等）AB=CD∴△ABO≌△CDO（AAS）∴AO＝CO ，BO=DO在△AEO和△CFO中A C(AOE COF∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝AO=CO＝对顶角相等）∴△AEO≌△CFO（ASA）∴OE＝OF.【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等．利用平行线找角等是本题的关键.类型四、全等三角形判定的实际应用5、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.【答案与解析】设战士的身高为AB，点C是碉堡的底部，点D是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知∠BAD＝∠BAC，∠ABD＝∠ABC＝90°.在△ABD和△ABC中，ABD ABCAB ABBAD BAC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABD≌△ABC（ASA）∴BD＝BC.这名战士的方法有道理.【总结升华】解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.。
初中数学 如何用ASA判定法判断两个三角形是否全等
初中数学如何用ASA判定法判断两个三角形是否全等ASA判定法是指如果两个三角形的两对角度和一对边分别相等，则这两个三角形是全等的。
全等三角形是指具有相等的对应边长和对应角度的两个三角形。
下面我们将详细解释ASA判定法的原理和应用方法：假设有两个三角形ABC和DEF，我们需要判断它们是否全等。
根据ASA判定法，如果它们的两对角度和一对边满足以下条件，即∠BAC = ∠EDF，∠ABC = ∠DEF，AC = DF，那么三角形ABC 和DEF是全等的。
证明ASA判定法的思路是通过比较两个三角形的对应边长和对应角度，如果它们满足相等的条件，那么可以推断它们是全等的。
为了更好地理解ASA判定法，我们可以通过以下步骤来证明它：步骤1：根据已知条件，假设∠BAC = ∠EDF，∠ABC = ∠DEF，AC = DF。
步骤2：比较两个三角形的对应边长和对应角度，即AC与DF，∠BAC与∠EDF，∠ABC与∠DEF。
步骤3：如果这些对应边长和角度均相等，那么我们可以得出结论，即三角形ABC和DEF 是全等的。
ASA判定法的证明思路是基于角边角的对应关系。
当两个三角形的两对角度和一对边分别相等时，它们的对应边长和对应角度也相等，从而确定了这两个三角形是全等的。
在实际应用中，ASA判定法可以用于解决与全等三角形相关的几何问题。
例如，我们可以通过已知的边长和角度来确定未知的边长和角度，或者通过已知的边长和角度来计算未知的边长和角度。
此外，ASA判定法还可以应用于证明几何定理。
例如，如果我们需要证明两个图形是全等的，我们可以通过比较它们的边长和角度来判断它们的全等性。
总结起来，ASA判定法是指如果两个三角形的两对角度和一对边分别相等，则这两个三角形是全等的。
通过比较这些对应边长和角度，我们可以确定这两个三角形的全等性，并在实际问题中应用这个定理进行计算和证明工作。
判定三角形全等的四种方法
判定三角形全等的四种方法三角形是几何学中最基本的图形之一，而判定三角形之间是否全等是几何学中常见的问题。
在几何学中，全等是指两个或多个图形的全部对应部分都相等。
判定三角形全等的方法有很多种，其中常用的有四种，分别是SSS、SAS、ASA和AAS。
一、SSS（边边边）方法SSS方法是指通过三角形的三条边的相等关系来判定三角形是否全等。
当两个三角形的三条边分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
例如，已知两个三角形的边长分别为a、b、c和x、y、z，如果a=x、b=y、c=z，则可以判定这两个三角形全等。
二、SAS（边角边）方法SAS方法是指通过三角形的两边和夹角的相等关系来判定三角形是否全等。
当两个三角形的两边和夹角分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
例如，已知两个三角形的边长分别为a、b，夹角为C，和x、y，夹角为Z，如果a=x、b=y、C=Z，则可以判定这两个三角形全等。
三、ASA（角边角）方法ASA方法是指通过三角形的两角和一边的相等关系来判定三角形是否全等。
当两个三角形的两个角和一边分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
例如，已知两个三角形的角度分别为A、B，边长为c，和角度为X、Y，边长为z，如果A=X、B=Y、c=z，则可以判定这两个三角形全等。
四、AAS（角角边）方法AAS方法是指通过三角形的两角和一边的相等关系来判定三角形是否全等。
当两个三角形的两个角和一边分别相等时，可以判定这两个三角形全等。
例如，已知两个三角形的角度分别为A、B，边长为c，和角度为X、Y，边长为z，如果A=X、B=Y、c=z，则可以判定这两个三角形全等。
通过以上四种方法，我们可以判定两个三角形是否全等。
在实际应用中，判定三角形全等可以帮助我们解决一些几何问题，例如计算图形的面积、判断图形的相似性等。
在学习几何学时，掌握这些方法是非常重要的。
除了以上四种方法，还有一些其他方法可以用来判定三角形全等，例如HL方法、RHS方法等。
三角形全等的判定》(ASA)
证明过程：首先，根据边的性质，我们知道如果两条边相等，则它们所对的角也 相等。然后，利用已知的一个角和两条对应的边相等，可以推导出其他两边和角 也相等，从而证明两个三角形全等。
利用反证法证明asa
假设两个三角形不全等，然后通过一 系列逻辑推理，得出矛盾的结论，从 而证明两个三角形全等。
asa判定定理在其他几何问题中的应用
asa判定定理在解决几何问题中具有广泛的应用，例如在证明相似三角形、解决几何作图问题、确定 几何量等方面都可以利用asa判定定理。
asa判定定理还可以用于解决一些复杂的几何问题，例如通过构造适当的辅助线或利用已知条件构造 出符合asa判定定理的三角形，从而证明两个三假设两个三角形不 全等。然后，根据角的性质和边的性 质进行逻辑推理，得出矛盾的结论。 最后，根据反证法的原则，我们得出 结论：两个三角形实际上是全等的。
04
asa判定定理的拓展
asa与其他全等定理的关系
asa判定定理与sss（三边全等）、sas （两边和夹角全等）、saa（两角和 一边全等）等其他全等定理是相互关 联的，它们在证明三角形全等时可以 互相转换。
asa判定定理的基础练习题
• 答案：$90^\circ$
• 题目：已知$\triangle ABC$中，$\angle A = 60^\circ$，$\angle B = 45^\circ$，$AB = 2\sqrt{3}$，则$\triangle ABC$的面积为_____.
• 解析：根据三角形面积公式，$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times AC \times \sin 60^\circ = \frac{3}{2} \times AC$。
ASA三角形全等的判定定理
例题解答
例3、如图所示，小强测量河宽AB时，从河岸的 A点沿着和AB垂直的方向走到C，并在AC的中点 E处立一根标杆，然后从C点沿着和AC垂直的方 向走到D，使D、E、B恰好在一条直线上．于是 小强说：“CD的长就是河宽．”你能说出这个 道理吗？ B
A
E
C
D
例题解答
例4、如图，已知△ABC≌△DEF，CM、FN分 别是∠C和∠F的角平分线．求证：CM=FN． 从此例你可得到什么结论？ 全等三角形对应角的角平分线相等．
这个三角形你准备怎么画？ 将你画出来的三角形与同桌所画的三角形进行比 较，它们互相重合吗？ 由此你能得到什么结论？
全等三角形的判定方法二
角边角定理： 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. （可简写成“角边角”或“ASA”） 用符号语言表达为： A D 在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D 若 AB=DE B C E F ∠B=∠E 则△ABC≌△DEF（ASA）.
A
F B C
E
D
练一练
4、如图，AB=AC，∠B=∠C. 求证：BD=CE.
A
D
E
B
C
议一议
小明踢球时不慎把一块三角形玻璃打碎为两块， 他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能 配一块与原来一样的三角形玻璃呢？如果可以， 带哪块去合适呢？为什么？
B
1
A
2
C
知识小结
角边角定理： 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. （可简写成“角边角”或“ASA”）
三角形全等的判定定理
鹰山中学八年级上期数学课件
复习回顾
我们已学过判断两个三角形全等的定理是： 边角边定理： 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. （可简写成“边角边”或“SAS”） 解题过程中要注意解题格式，全等的条件要按顺 序写. 还有其它的办法可以判定两个三角形全等吗？
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初中数学，ASA证明三角形全等，如此详尽的讲解，你不听听
吗
证明三角形全等的方法之四ASA：如果一个三角形有两个角和另一个三角形的两个角对应相等，且它们所夹的边相等，那么这两个三角形全等；例如第1题，如果在△ABO和△DCO中，∠A＝∠D，对顶角∠AOB＝∠DOC，AO＝DO（这两条边恰好分别是前面两组相等角的夹边），那么就可以得到△ABO≌△DCO，这个过程就是ASA；下面以两道例题加深对ASA的理解。
第1题分析：由∠ABO＝∠DCO，∠DBC＝∠ACB，可以得出
∠ABC＝∠DCB，和∠DBC＝∠ACB，以及公共边BC＝BC，正好可以构成ASA证得△ABC≌△DCB，然后根据全等三角形对应边相等，就可以得到AC＝BD。
详细证明如下：
第2题解析：观察可得，在△CDO和△BEO中，∠CDO＝∠BEO，对顶角∠COD＝∠BOE，则∠DCO＝∠EBO，由角平分线的性质又可以得到∠DBC ＝∠ECB以及∠DCB＝∠EBC（这两个角分别是前两个相等角的2倍，所以相等），再加上公共边BC＝BC，正好构成ASA，可以证得△DCB≌△EBC，最后根据全等的性质可以得到对应边CE＝BD。
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