极坐标参数方程15道典型题(有答案)

极坐标与参数方程15道典型题

1在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为θρsin 4=，22)4

cos(=-

π

θρ．

（1）求1C 与2C 的直角坐标方程，并求出1C 与2C 的交点坐标；

（2）设P 为1C 的圆心，Q 为1C 与2C 交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为

⎪⎩

⎪

⎨⎧+=+=1233t b y a t x （t 为参数，R t ∈）

，求b a ,的值． （1）由极直互化公式得：

4)2(:221=-+y x C 04:2=-+y x C ………4分

联立方程解得交点坐标为)2,2(),4,0( ………5分

（2）由（1）知：)2,0(P ，)3,1(Q 所以直线PQ ：02=+-y x ， 化参数方程为普通方程：12

2+-=

ab

x b y ， 对比系数得：⎪⎩

⎪⎨⎧=-=2

211

2ab b

，2,1=-=b a ………10分

2.极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线1C 的极坐标方程为32cos 2

=θρ，曲线2C 的参数方程为⎩⎨⎧-=+=1

2t y m

t x ，（t 是参数，m 是常

数）

（1）求1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；

（2）若2C 与1C 有两个不同的公共点，求m 的取值范围.

解：（1）由极直互化公式得3)sin (cos :2

2

2

1=-θθρC ，所以32

2

=-y x ；---------------2

分

消去参数t 得2C 的方程：122--=m x y ----------------------4分

（2）由（1）知1C 是双曲线，2C 是直线，把直线方程代入双曲线方程消去y 得：

0444)12(4322=+++--m m x m x ，-------------------------7分

若直线和双曲线有两个不同的公共点， 则0)444(12)12(162

2

>++--=∆m m m ，

解得：21-<>m m 或-----------10分

3.已知椭圆C:22143x y +=，直线:

l 3x y t

⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）． （I ）写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程； （II ）设()1,0A ，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其到直线l 的距离相等，求点P 的坐

标．

解：（Ⅰ）C ：⎩

⎨⎧x ＝2cos θ，

y ＝3sin θ（θ为为参数），l ：x －3y ＋9＝0．

…4分

（Ⅱ）设P (2cos θ，

3sin θ),则|AP |＝

(2cos θ－1)2＋(

3sin θ)2＝2－cos θ，

P 到直线l 的距离d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋9

2．

由|AP |＝d 得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得

sin θ＝

3

5， cos θ＝－

4

5．

故P (－

8 5， 33

5

)

．

…10分

4..在极坐标系Ox 中，直线C 1的极坐标方程为ρsin θ＝2，M 是C 1上任意一点，点P 在射线

OM 上，且满足|OP |·|OM |＝4，记点P 的轨迹为C 2．

（Ⅰ）求曲线C 2的极坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C 2上的点到直线ρcos (θ＋ π 4

)＝

2的距离的最大值．

解：（Ⅰ）设P (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，依题意有ρ1sin θ＝2，ρρ1＝4．

消去ρ1，得曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ． ………………………………5分 （Ⅱ）将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得

C 2：x 2＋(y －1)2＝1，C 3：x －y ＝2．

C 2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C 3的距离d ＝

32

2，

故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋

3

22

． (10)

5.在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为)4

sin(24π

θρ+

=。现以极点O 为原点，极轴为x

轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

+-=+-=t y t x 233212（t 为参数）。

（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；

（2）设直线l 和曲线C 交于B A ,两点，定点)3,2(--P ，求||||PB PA ⋅的值。 【解】

（1）θθπ

θρcos 4sin 4)4

sin(24+=+

=，所以θρθρρcos 4sin 42+=。

所以0442

2

=--+y x y x ，即8)2()2(2

2

=-+-y x 。…………………………3'