2020年普特南数学竞赛题

2020年普特南数学竞赛题

1. 给出所有整数解$(x, y, z)$，满足$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$。

2. 证明或反驳：存在无穷多个质数$p$，使得$p + 2$也是质数。

1. 给定一个三角形，证明其内部存在一个点，该点到三角形的三边的距离之和最小。

2. 考虑一个圆和一个椭圆，它们具有相同的面积。求证：椭圆周长大于圆的周长。

1. 一共有$n$个人站成一排，证明存在一种排列方式，使得没有人站在自己的左边。

2. 给出两个长度为$n$的序列，证明存在一种方法使得一个序列可以被另一个序列覆盖，使得覆盖的元素之和相等。

1. 给定一个无向图，证明图中存在一个顶点，其度数（与该顶点相连的边数）大于等于$\frac{n}{4}$，其中$n$是顶点的数量。

2. 证明或反驳：对于任意给定的正整数$n$，都存在一个由$n$个正整数构成的集合，使得该集合中任意两个数的比值都不相同。

1. 证明：对于任意两个实数$a$和$b$，都存在一个整数$N$，使得$a^N > b$。

2. 给出复平面上的一个开集，证明在该开集内存在一个闭集，该闭集的边界包含在给定的开集中。

1. 证明：对于任意一个常微分方程，都存在一个解，使得该解在某一点达到其最大值或最小值。

2. 考虑一个由以下方程描述的线性动力系统：$\frac{dx}{dt} = ax + b$。证明：当$a > 0$时，该系统是稳定的；当$a < 0$时，该系统是不稳定的。

1. 给定一个矩阵A，其中所有行和所有列的和都等于0。证明：A是奇异的（行列式为0）。

2. 对于一个给定的矩阵A，证明：如果A的所有特征值都是正的，那么A是正定的。

1. 证明：任意一个无向图都可以被划分为不超过其顶点数一半的连通子图。

2. 给定一个图，其中任意两个顶点之间最多有一条边。证明：存在一种颜色分配方法，使得任意两个相邻的顶点颜色不同。

1. 给定一个目标函数和约束条件，使用线性规划方法找到最优解。

2. 考虑以下的决策问题：有n个项目可供选择，每个项目都有一个预期的收益和一个预期的风险。如何选择项目以最大化预期的总收益，同时最小化预期的总风险？给出一种有效的决策方法。