高等几何(梅学明著)高等教育出版社课后答案
高等几何教案与课后答案
高等几何教案与课后答案教案章节：第一章绪论教学目标：1. 了解高等几何的基本概念和发展历程。
2. 掌握空间解析几何的基本知识。
3. 理解高等几何在数学和物理学中的应用。
教学内容：1. 高等几何的基本概念点的定义向量的定义线和面的定义2. 发展历程古典几何的发展微积分与解析几何的兴起高等几何的发展和应用3. 空间解析几何坐标系和坐标变换向量空间和线性变换行列式和矩阵运算教学重点与难点：1. 重点：高等几何的基本概念，发展历程，空间解析几何。
2. 难点：空间解析几何中的坐标变换和线性变换。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。
2. 通过示例和练习，让学生掌握空间解析几何的基本知识。
3. 利用图形和实物，帮助学生直观地理解高等几何的概念。
教学准备：1. 教案和教材。
2. 多媒体教学设备。
教学过程：1. 引入新课：通过简单的几何图形，引导学生思考高等几何的基本概念。
2. 讲解：按照教材的顺序，系统地介绍高等几何的基本概念和发展历程。
3. 示例：通过具体的例子，讲解空间解析几何的基本知识。
4. 练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。
课后作业：1. 复习本节课的内容，整理笔记。
2. 完成教材中的练习题。
教学反思：在课后对教学效果进行反思，根据学生的反馈调整教学方法和内容。
教案章节：第二章向量空间教学目标：1. 掌握向量空间的基本概念。
2. 理解线性变换和矩阵运算。
3. 学会运用向量空间解决实际问题。
教学内容：1. 向量空间向量的定义和运算向量空间的性质向量空间的基底和维度2. 线性变换线性变换的定义和性质线性变换的矩阵表示线性变换的图像3. 矩阵运算矩阵的定义和运算矩阵的逆矩阵矩阵的秩教学重点与难点：1. 重点：向量空间的基本概念，线性变换和矩阵运算。
2. 难点：线性变换的矩阵表示和矩阵的秩。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地介绍向量空间的基本概念。
微分几何第四版习题答案解析梅向明
§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr=}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr =}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
4．求椭圆柱面22221x y a b+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
高等几何课后答案(第三版)
高等几何课后答案（第三版）第一章仿射坐标与仿射变换1.经耳A（-3「2）和的直成AB与真级* + 3.丫一6二D相交于P点，衣EBP）=?U苴线A8的方程为工+%「一15 =山P点的坐标为（y-y）；（ABP）= —1.n求一仿射变披，它使直睡工+2了- 1 =o上的每个点都不也且使点（1,-1）变为点（-L2）.2.在白线量十卷一13）上任取网点1.1）.由于AUQm）・BmEJb i>?又点u, - n-i⑵I仿射变换式｛, •可解得所求为3-求仿射变挨= 7.r - y + 11项=4/ +电+ 4的不变点和不受直线.3.不变点为- 2）.怀变直线为2/ -23,一3 = 0与4工一;y = 0.4.问在仿射变换下，下列图形的对应图形为何？①箓形；②正方形；③梯形；④等腰三角形.4.（1）平行四边形"2）平行四边形；G）梯形"4）三角形.5.下述桂质是否是仿射性质？①三角形的三高线共点；②三角形的三中线共点；③三角形内接于一圆；® 一角的平分线上的点到两边等孑站5. Q）为仿射性质，其余皆不是.第二章射影平面习题一I.下列娜些图形具有射蛇性员？平行直哉；三点共线；三宜钱共教；两点月的距离；两直鼬的夹角；两相箸浅段1.答:⑵.⑶具有射影性质」2.求证：任意四边奉可以射影嵌平行四边形. |2. 提示:将四边形两对对边的交点连线业作影消线，作+ 心射影射得.3. 在平（8 w上.有一定直线儿以0方射心，校射到平面/上得到直线”,求证当。
变动时/'通过•定点.3「提示』…平面（O I，A I>-（O"E皆充于直线△，它们与平面虹的交线为/J；* P；,如果口与/交于点P*则p" P〉…都通过点P・如果P是无绑远点，则p'pw…彼此平行.町以选取射豺中心V与另•平面/,将OS二点射影成平面/上的无穷远点.如圈2-2-3,这时LLM'N•皆为平行四边形的对角线文点，容易证明它们共线，且所共直线与匕■"平行, 根据姑合性是射影性质，所以JM,N共技,旦此直线与桐口上共点.5, 试用梅萨格症理死明：任意四边形告对封边中点的连线与二耐角线中点的连找相文于「点.5.捉泌如图」2-4,设四边形AT3CD四边中点依次为E, F, H,对种线AC所的中点是P.。
微分几何第四版习题答案解析梅向明
§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr=}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr =}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
4．求椭圆柱面22221x y a b+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。
微分几何第四版习题答案梅向明
§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr=}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr =}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
4．求椭圆柱面22221x y a b+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
高等几何教案与课后答案
高等几何教案与课后答案教案章节：第一章绪论教学目标：1. 了解高等几何的研究对象和基本概念。
2. 掌握几何图形的性质和相互关系。
3. 理解几何变换的基本原理。
教学内容：1. 高等几何的研究对象和基本概念。
2. 几何图形的性质和相互关系。
3. 几何变换的基本原理。
教学步骤：1. 引入高等几何的概念，引导学生思考几何图形的性质和相互关系。
2. 讲解几何图形的性质和相互关系，举例说明。
3. 介绍几何变换的基本原理，解释其应用。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解高等几何的基本概念和性质。
2. 利用图形和实例，直观地展示几何图形的相互关系。
3. 通过练习题，巩固学生对几何变换的理解。
教学评估：1. 课堂提问，检查学生对高等几何概念的理解。
2. 课后作业，评估学生对几何图形性质和相互关系的掌握。
3. 期中期末考试，全面检验学生对几何变换的应用能力。
课后答案：1. 高等几何是研究几何图形的性质、相互关系和几何变换的学科。
2. 几何图形包括点、线、面及其相关性质。
3. 几何变换包括平移、旋转、反射等，它们可以改变几何图形的形状和位置。
教案章节：第二章直线与平面教学目标：1. 掌握直线的性质和方程。
2. 理解平面的性质和方程。
3. 学会利用直线和平面解决几何问题。
教学内容：1. 直线的性质和方程。
2. 平面的性质和方程。
3. 直线与平面的相互关系。
教学步骤：1. 讲解直线的性质和方程，举例说明。
2. 介绍平面的性质和方程，解释其应用。
3. 分析直线与平面的相互关系，引导学生思考。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解直线和平面的性质。
2. 利用图形和实例，直观地展示直线与平面的相互关系。
3. 通过练习题，巩固学生对直线与平面几何问题的解决能力。
教学评估：1. 课堂提问，检查学生对直线性质的理解。
2. 课后作业，评估学生对平面方程的掌握。
3. 期中期末考试，全面检验学生对直线与平面几何问题的解决能力。
课后答案：1. 直线的性质包括方向、斜率、截距等，直线的方程可以表示为y = kx + b。
高等几何教案与课后答案
高等几何教案与课后答案教案章节一：绪论1. 教学目标了解高等几何的基本概念和发展历程。
理解几何学在数学和其他领域中的应用。
激发学生对高等几何的学习兴趣。
2. 教学内容高等几何的定义和发展历程。
几何学在数学和其他领域中的应用。
学习高等几何的意义和方法。
3. 教学步骤引入话题：介绍几何学的历史和基本概念。
讲解高等几何的定义和发展历程。
通过实际例子展示几何学在数学和其他领域中的应用。
引导学生思考学习高等几何的意义和方法。
4. 课后作业研究几何学在数学和其他领域的应用实例。
思考学习高等几何的意义和方法。
教案章节二：解析几何基础1. 教学目标掌握解析几何的基本概念和常用工具。
学会使用坐标系进行几何问题的分析和解决。
2. 教学内容解析几何的基本概念和常用工具。
坐标系的定义和应用。
点的坐标和向量的基本运算。
3. 教学步骤引入话题：回顾初中阶段的解析几何知识。
讲解解析几何的基本概念和常用工具。
通过实际例子演示坐标系的应用。
讲解点的坐标和向量的基本运算。
4. 课后作业复习解析几何的基本概念和常用工具。
练习使用坐标系解决几何问题。
教案章节三：平面几何1. 教学目标掌握平面几何的基本概念和定理。
学会解决平面几何问题。
2. 教学内容平面几何的基本概念和定理。
平行线、相交线和圆的性质。
三角形的分类和性质。
3. 教学步骤引入话题：回顾初中阶段的平面几何知识。
讲解平面几何的基本概念和定理。
通过实际例子演示平行线、相交线和圆的性质。
讲解三角形的分类和性质。
4. 课后作业复习平面几何的基本概念和定理。
练习解决平面几何问题。
教案章节四：空间几何1. 教学目标掌握空间几何的基本概念和定理。
学会解决空间几何问题。
2. 教学内容空间几何的基本概念和定理。
空间直线、平面和多面体的性质。
空间角和空间向量的应用。
3. 教学步骤引入话题：回顾初中阶段的空间几何知识。
讲解空间几何的基本概念和定理。
通过实际例子演示空间直线、平面和多面体的性质。
讲解空间角和空间向量的应用。
精编微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)资料
第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。
分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。
证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。
反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。
当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e=0，而（e ×'e 2)=22'e e -(e·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。
所以，)(t r 具有固定方向。
6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。
分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。
《高等几何》习题答案
高几习题集及参考解答第一章 仿射几何的基本概念1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。
证明：设T 为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T 可使等腰△ABC （AB=AC ）与一般△A'B'C'相对应，设点D 为线段BC 的中点，则AD ⊥BC ，且β=γ，T （D ）=D' （图1）。
∵T 保留简比不变， 即（BCD ）=（B'C'D'）= -1，∴D'是B'C'的中点。
因此线段中点是仿射不变性。
∵在等腰△ABC 中，β=γ。
设T （ β）= β'，T （ γ ）= γ'， 但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'， 即B'与γ'一般不等。
∴角平分线不是仿射不变性。
在等腰△ABC 中，设D 是BC 的中点，则AD ᅩBC ，由于 T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。
由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。
得下题 2、两条直线垂直是不是仿射不变性？ 答:两直线垂直不是仿射不变性。
3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。
证明：设仿射变换T 将△ABC 变为△A'B'C'，D 、E 、F 分别是BC 、CA ，AB 边的中点。
由于仿射变换保留简比不变，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B' 的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。
高等几何教案与课后答案
高等几何教案与课后答案教案章节一：绪论教学目标：1. 了解高等几何的研究对象和基本概念。
2. 掌握几何图形的表示方法和性质。
3. 理解几何公理体系和演绎推理方法。
教学内容：1. 高等几何的研究对象和基本概念。
2. 几何图形的表示方法和性质。
3. 几何公理体系和演绎推理方法。
课后答案：1. 高等几何是研究几何图形性质和相互关系的学科。
2. 几何图形可以用点和线段来表示，具有大小、形状和位置等性质。
3. 几何公理体系是用来建立几何证明的基础，演绎推理方法是用来推导几何结论的。
教案章节二：直线与平面教学目标：1. 了解直线的性质和表示方法。
2. 掌握平面的性质和表示方法。
3. 理解直线与平面的位置关系。
教学内容：1. 直线的性质和表示方法。
2. 平面的性质和表示方法。
3. 直线与平面的位置关系。
课后答案：1. 直线是由无数个点组成的，具有无限延伸的性质。
2. 平面是由无数个点组成的，具有无限延伸的性质。
3. 直线与平面可以相交、平行或者包含于平面。
教案章节三：圆与圆锥教学目标：1. 了解圆的性质和表示方法。
2. 掌握圆锥的性质和表示方法。
3. 理解圆与圆锥的位置关系。
教学内容：1. 圆的性质和表示方法。
2. 圆锥的性质和表示方法。
3. 圆与圆锥的位置关系。
课后答案：1. 圆是由无数个点组成的，具有无限延伸的性质。
2. 圆锥是由一个圆和一个顶点组成的，具有旋转对称性。
3. 圆与圆锥可以相交、包含或者平行。
教案章节四：三角形与多边形教学目标：1. 了解三角形的性质和表示方法。
2. 掌握多边形的性质和表示方法。
3. 理解三角形与多边形的位置关系。
教学内容：1. 三角形的性质和表示方法。
2. 多边形的性质和表示方法。
3. 三角形与多边形的位置关系。
课后答案：1. 三角形是由三个顶点和三条边组成的，具有稳定性。
2. 多边形是由多个顶点和多条边组成的，具有闭合性。
3. 三角形与多边形可以相交、包含或者平行。
教案章节五：坐标系与解析几何教学目标：1. 了解坐标系的性质和表示方法。
高等几何课后答案解析第三版
高等几何课后答案（第三版）第一章仿射坐标与仿射变换1.经过A（-32）和1）的直线AB与直线工+ 3，一6二0相交于P点、秦仃WP）=?U戌线AB的方程为x+9^- 15 = 0：F点的坐标为（yry）；（ABP）= -L2.求一仿射更换，它使直线工+2』- 1 = D上妁每个点都不变J 且<A（b-l）< 为点（-L2）.2 T在直线'工+ 2》一I =0上任取两点A Ui0）<B1 *1由于A（1 *D）fA C 10）I B_L l〉f E f - It1）* 又点（1・一1）f（-1 f 2）i仿輛变换式< . ' 可解得所求为ly =如严4 gy+如*2L y-b工_2y+ y -3.求仿射变换P = 7x -了十I ・'y - +r 十2y + 4的不变点和不变直线.3 r不变点为（一一2）・牛■变氏线为2r - 2_y _3 = 0与4⑦一_y = 0.4.问在仿射变换下，于列图形的对应图形为何？①菱形；②正方形；③梯形；④等腰三角形.4.（1）平行四边形；（2）平疔四边形：G）梯形；（4）三骨形.5.节述性质是否是仿射性质？①三角形的三高线共点；②三角形的三中线*点；③三角形内接于一國；④一角的平分线上的点到两边等距.5. 0）为仿射性质，其余皆不是.第二章射影平面习题一1.下列哪些图带具有射影性质？平行宣蝕；三点共线；三武錢共点；两点阿的陌离；两亶统的先角；两相聘找段L答:（2）＞具有射影性质.2.求证：仟宦四边涉可以射齡虑甲行四边影. |2.捉示:将四边竝两对对也的交点连线収作燈消线，作•屮心射影即得.3・在平闻2上有一定直线宀以0対射右.投对封平面『上得到直线//•求证当Q变动时•”通过•定点.3.提灵平面（0-0）宀皆交于总线和它们与平而孑的交线为P；■如果p 口 J 交于点FS则嵐皿二…都通过点P. 如果P是无穷远点*则pjp.…彼此平行.4.设=xn P J P a.QiQ^fi|K I交于一点»Sl交二豈线2 于P M Q I.R.与齐求叫高找P.Q1与P1O|的交点・色&勻QR*的交氨点\Pi与殆兀的丸点启点共线，且就宜线与/i J3英点.4 ,捉力“如图2 —2 —2可卽选取射鏗中亡V与另呼面八将GT :点射影成平囱f上的无穷远直.如阍2-2-3,这时皆为平行网边形的对和线交点，容易证明它们扶线’且所共直线与I；平行’ 根抵站合性足射影性硕，所以夬线・11此J1线与石忆共点・5-试用稱脾格谟理证朗：任栽四边理各对时边中点的连线与二对角线中点的连线相理于一点.匚捉缺如图2-27段四边形AT3CD四边中点依次为E, F. ◎ H,对用线AQ.ED 的中点足P,Q,砂究三点形PER和QGF t利用捌萨格定理咐逆定理，可以证明其对应顶点连纯EG.FH.PQ 共点.6,ABCD Iffil面体』XftBC±,-直銭iS过X井別交AB.AC干巴。
高等几何习题答案
高几习题集及解答第一章 仿射几何的基本概念1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。
证明：设T 为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T 可使等腰△ABC（AB=AC ）与一般△A'B'C'相对应，设点D 为线段BC 的中点，则AD⊥BC，且β=γ，T （D ）=D'（图1）。
∵T 保留简比不变，即（BCD ）=（B'C'D'）= -1，∴D'是B'C'的中点。
因此线段中点是仿射不变性。
∵在等腰△ABC 中，β=γ。
设T （ β）= β'，T （ γ ）= γ'，但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'，即B'与γ'一般不等。
∴角平分线不是仿射不变性。
在等腰△ABC 中，设D 是BC 的中点，则AD 가BC ，由于T(△ABC )= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。
由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。
得下题2、两条直线垂直是不是仿射不变性？答:两直线垂直不是仿射不变性。
3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。
证明：设仿射变换T 将△ABC 变为△A'B'C'，D 、E 、F 分别是BC 、CA ，AB 边的中点。
由于仿射变换保留简比不变，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B'的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。
设G 是△ABC 的重心，且G'=T(G)∵G∈AD，由结合性得G '∈A'D'；又∵（AGD ）=（A'G'D'）即 31AD A D GD G D ''==''3311BE B E CF C F GE G E GF G F ''''====''''同理可得：， ∴G'是△A'B'C'的重心。
高等几何(梅学明著)高等教育出版社课后答案
课后答案网1.证明线段的中点是仿射不变性.第一章部分习题及答案B DC B'精品课【高等几何】D'C'B' D'C'图2---3B' D'C'图2 ——4证明设仿射变换T将ABC变为A′B′C′，D、E、F分别是BC、CA、AB边的中点，由于仿射变换保留简比不变，所以D′=T（D），E′=T（E），F′=T（F）分别是B′C′、C′A′、A′B′的中点，因此，A′D′、B′E′、C′F′是A′B′C′R的三条中线，如图2 ——4，即三角形的中线是证明取等腰三角形ABC(AB=AC)和不等边三角形A′B′C′,如图仿射不变性。
2--3.由平面仿射几何的基本定理有一个仿射变换T,使T(A)=A',T(B)=B',T(C)=C'.设D为线段BC中点,则AD⊥BC,且∠α=∠' ' BD3．证明三角形的重心是仿射不变性。
β,设T(D)=D ’,由T保留简比不变,即（BCD）=（B′C′D′），于是' '=CD=证明如图2 ——4所示，设G是ABC的重心，且G′=T（G）。
因为G∈AD，V －1，因此，D′为线段B′D′中点，即线段中点是仿射不变性。
由性质2、1.2得G′∈A′D′；又因为（AGD）=（A′G′D′），即' ' =AD=32．证明三角形的中线是仿射不变性。
' ' GD 1同理B' 'E=' '' ' ' '=31∴G′是A′B′C′的重心，即三角形的重心是仿射不变性。
V1课后答案网4．角的平分线是不是仿射不变量？答：不是。
如图2 ——6所示。
DBC D'精品课【高等几何】C'B DC B' D' C'如图2 ——7设在仿射对应下，梯形ABCD（AB∥CD，AD‖BC）功能四边形A′B′C′D′相对应，由于仿射对应保持平性不变，所以A′B′∥C′D′,A′D′‖B′C′,故A′B′C′D′为梯形，即梯形在仿射对应下仍为梯形。
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课后答案网1.证明线段的中点是仿射不变性.第一章部分习题及答案B DC B'精品课【高等几何】D'C'B' D'C'图2---3B' D'C'图2 ——4证明设仿射变换T将ABC变为A′B′C′，D、E、F分别是BC、CA、AB边的中点，由于仿射变换保留简比不变，所以D′=T（D），E′=T（E），F′=T（F）分别是B′C′、C′A′、A′B′的中点，因此，A′D′、B′E′、C′F′是A′B′C′R的三条中线，如图2 ——4，即三角形的中线是证明取等腰三角形ABC(AB=AC)和不等边三角形A′B′C′,如图仿射不变性。
2--3.由平面仿射几何的基本定理有一个仿射变换T,使T(A)=A',T(B)=B',T(C)=C'.设D为线段BC中点,则AD⊥BC,且∠α=∠' ' BD3．证明三角形的重心是仿射不变性。
β,设T(D)=D ’,由T保留简比不变,即（BCD）=（B′C′D′），于是' '=CD=证明如图2 ——4所示，设G是ABC的重心，且G′=T（G）。
因为G∈AD，V －1，因此，D′为线段B′D′中点，即线段中点是仿射不变性。
由性质2、1.2得G′∈A′D′；又因为（AGD）=（A′G′D′），即' ' =AD=32．证明三角形的中线是仿射不变性。
' ' GD 1同理B' 'E=' '' ' ' '=31∴G′是A′B′C′的重心，即三角形的重心是仿射不变性。
V1课后答案网4．角的平分线是不是仿射不变量？答：不是。
如图2 ——6所示。
DBC D'精品课【高等几何】C'B DC B' D' C'如图2 ——7设在仿射对应下，梯形ABCD（AB∥CD，AD‖BC）功能四边形A′B′C′D′相对应，由于仿射对应保持平性不变，所以A′B′∥C′D′,A′D′‖B′C′,故A′B′C′D′为梯形，即梯形在仿射对应下仍为梯形。
图2 ——6取等腰ABC（AB=AC）由平面仿射几何的基本定理，存在仿射变换T，使T（A）=A′、T（B）=B′、T（C）=C′。
设D为线段BC中点，则AD⊥BC，7．给定点A、B，作出点C使：（1）(ABC)=4 (2)(ABC)=-3(3)(ABC)=-14且∠α=∠β，但在A′B′C′中∠α′≠∠β′，否则，A′B′=A′C′，这与A′B′C′为不等腰三角形矛盾。
因此，角平分线不是仿射不变性。
5．两直线垂直是不是仿身不变量？解(1)∵(ABC)=AC=4即AB=3，故点C在AB延长线上，且BC 1 ACBC=1AB，如图2 ——8所示。
3答：不是。
在上题中，AD⊥BC但A′D′不垂直于B′C′，这说明两直线垂直不是不变性。
6．证明梯形在仿射对应下仍为梯形。
证明如图2 ——7所示，AB C1图2——82（2）∵（ABC）= AC=-3,BC 42∴内部且距点A 三等分点处，如图2_BC=-7,即AB =-74BC4— 9所示。
若线段AB 七等分，点C 在AB直线x ＋3y －6＝0上，所以有－ ＋ λ1＋λ3 6＋λ+3（21＋λ AP精品课【高等几何】）－6=0=-λ=-1ACB解得 λ＝1 所以（ABP ）=-9.求仿射变换式使直线x ＋2y －1＝0上的每个点都不变，且BP0 1 2 3 4 56 7 8图2 —— 9使点（1，-1）变为（-1，2）。
x ′ = α++⎧x b y cAC解 设所求仿射变换为⎨⎩ y ′ = α1+1+1在已知直线x+2y-1=0上2x b y c（3）∵（ABC ）=-1，即 BC =-1，任取两点，例如取（1，0）、（3，-1），在仿射变换下，此二点不变。
22∴点C 为线段AB 的中点如图2— 10所示而点（1，-1）变为（-1，2），把它们分别代入所设仿射变换式，得 ⎧ α+ c = 1⎧ 3α−b +c = 3⎧ α−+bc=−1A C B⎨⎩ α+ c= 0，⎨⎩3α− b 2+ c 2=− 1⎨⎩ α1−11+=由以上0 0.5 12 2 方程联立解得：2 2b c2.3α＝2 ， =2 , =-1 ,1课后答案网 3图2—— 108．经过A （-3，2）和B （6，1）两点的直线被直线ｘ+3ｙ-6=0截于P ，求简比（ABP ）。
α=-2 , b =-2 , c =故所求的仿射变换为：2⎧ x ′ = 2 x + y −21 ⎪ ⎨ 3y ′ = −x−2 y +⎪⎩3解 设AP=λ，则点P 的坐标为P （PB－ ＋ λ1＋λ3 6＋λ，21＋λ），因为点P 在10.应用仿射变换求椭圆的面积.解 如图2 — 14所示,223课后答案网 椭圆面积=πα2精品课【高等几何】1 2α b1 2α 22图2——142⎧ ′ =x x因此，椭圆面积= πα b设在笛氏直角坐标系下，有椭圆xα2+y b =21，如果经过仿射变换⎪ ⎨ y ′ = α y 1, 0 α= α ≠0 则椭圆的对应图形便是圆 x ′2+y ′2=α2⎪⎩b0, b b椭圆内的三角形OAB 中，O （0，0），A （α，0），B （b,0）,经过以 上的仿射变换，三角形OAB 的对应图形为三角形OA′B′，其中A≡A′，B ′（0，α）。
椭圆面积圆面积根据定理2.2.5的推论2,就得ΔS OAB=′ ′ S Δ O A B即4课后答案网 精品课【高等几何】第二章部分习题及解答1.求下列各线坐标所表示直线的方程： （1）[1,-1,0] (2) [0,1,0]解:(1) [1,-1,0]所表示的直线的方程是(2) [0,1,0] 所表示的直线的方程是2.下列各方程表示什么图形? x 1− x 2= 0x 2= 0(1) u 1− u 2= 0 (2) 2解: (1)(2) u 1+ u 2= (3)u 1− u 2= 0 表示点(0,1,-1)2u 1+ u 2= 0 表示点(2,1,0)2u 1− u 22= 0 (4) u 1− u 2+ 2u 3= 0 (3)2u 1− u22= 0 , 可 化 为( )() 0(1,0,1)(4) u 1− u 2u 1+ u 2=, 故 方 程 表 示 两 点 (1,0,-1) 和u 1− u 2+ 2u 3= 0 表示点(1,-1,2)3.用本章知识求直线[1,-1,2]与两点(3,4,-1),(5,-3,1)之连线的交点坐标.解: 先求两点(3,4,-1),(5,-3,1)之连线坐标u 1: u 2: u 3=4− 1: − 1 3:34− =1:(-8):(-29)− 3 11 5 5 3再求二直线[1,-1,2],[1,-3,-2]交点坐标= −1 2 − − 8 29 :− 2 1 29 1: 1 1−1 8 − =45:31:(-7)4.求经过点 A(1,- ,2)的实直线方程.解:因为过 A 的实直线必过 A 的共轭复点 A (1, i ,2),所以所求直线方程为x xx 12 3−+ 1 1 − i i = 2 = 0 220 4x i x i 即 1 230 ,亦即 x 1− x 3= 5.求复直线[2, ,3-4 ]i 上的实点坐标.解: 复直线[2, i ,3-4 i ]与其共轭复直线[2,- ,3+4 ]i 的交点是实点,所以,所求实点坐标为:x1: x2: x3=i−:3 4ii3 −4 2 :2 i= 6i :16i: (−4i) =3:(-8):(-2)−i+3 4ii3 +4 22 − i课后答案网精品课【高等几何】所以复直线[2, ,3-4 ]i上的实点坐标为(3,8,-2)6.证明(2,i ,1- ) 与(2+2 i ,1- ,2 ) 表示一对共轭复点,并求其连线方程.证明:因为(2, i ,1- i )的共轭复点是(2,- ,1+ i ),但(1+ )(2,- i ,1+ )=( 2 + 2i,1 − i ,2 i ) 所以(2, i ,1- ) 与(2+2 i ,1- ,2 ) 表示一对共轭复点.先求其连线坐标.u1: u2: u3=i 1 − i:1 − i 2:2 i= 2i: (−4i) : (−4i) −i 1 + i1 + i 2 2 − i=1:(-2):(-2)故所求连线方程为: x1− 2x2− 2x3= 0课后答案网 精品课【高等几何】第三章部分习题及答案1.设A、B、C、D、E为一直线上的五点，试证：（AB、CD）·\u65288XAB、DE）·\u65288XAB、EC）=1证明（AB、CD）·\u65288XAB、DE）·\u65288XAB、EC）=•AC BD•AD BC••AD BE•AE BD••AE BC•AC BE= 12．求四点（2、1、-1），（1、-1、1），（1、0、0），（-1、5、-5）顺这次序的交比。
解由题设取（2、1、-1），（1、-1、1）为基点，则有3（1、0、0）=（2、1、-1）+（1、-1、1）∴λ1=1设ρ2=（-1、5、-5）=（2、1、-1）+λ2（1、-1、1）则解得λ2=-114λ故所求交比为1=-42 11λ3.设（AB、CD）=-1，O为CD的中点，则OC2=OA·OB（此题为有向线段）证明这里所用的都是有向线段，利用O为CD中点这一假设，便有OD=-OC来论证的，由（AB，CD）•=-1，得AC BD•AD BC=-1即AC·BD+AD·BC=0 （1）把所有线段都以O点做原点来表达，由（1）得（OC-OA）（OD-OB）+（OD-OA）（OC-OB）=0 （2）由（2）去括号，移项，分解因子，得2（OA·OB+OC·OD）=（OA+OB）（OC+OD）2（OA·OB-OC2）=（OA+OB）·0 ∴ OA·OB-OC2=0即O C2=OA·OB4．设A、B、C、D、为共线的四点，O为CD中点，且OC2=OA·OB，试证（AB、CD）=-1 证明∵OC2=OA·OB∴OC=OBOA OC 由合分比性质，得−OC OA+OC OA=−OB OC+OB OC•因此AC−OA OD•= CB−OB OD，（OC=-OD）AC=BD或AC DB=-1DA BC•DA BC即AC DB•DA BC=-1∴（AB、CD）=-15．设A、B、C、D成调和点列即（AB、CD）=-1，求证（代数上称CD是CA和CB的调和中项）•1=1 （1+CD 2 CA1 ）CB证明由题设，得（AB、CD）= AC DB•DA BC=-1或写成AD • BD+BC • AD=0 （1）∵BD=CD-CB，AD=CD-CA，代入（1）式并化简，得AC（CD-CB）+BC（CD-CA）=0 ，AC • CD- CA • CB + BC • CD - BC • CA=0 ，-CA • CD + CA • CB - CB • CD + CB • CA=0 ，2CA • CB =CA • CD + CB • CD （2）以CA • CB • CD除（2）式两边，得2=1+CD CA1CB∴1=1 （1+CD 2 CA1 ）CB6．试证：一线脚被它的中点和这直线上的无穷远点所调和分割。