四年级数学培优教材

目录第一讲寻找规律第二讲巧求周长第三讲平均数问题第四讲图形的计数第五讲定义新运算第六讲简单的逻辑推理第七讲数阵图第八讲等差数列求和第九讲巧算时间第十讲方阵问题第十一讲加法原理和乘法原理第十二讲统筹规划第一讲寻找规律一.知识要点图形的变化或一组数的排列都是有一定规律可循的。

在数学中，许多问题也有规律可循。

要解答这些带有规律性的问题，一定要善于观察，分析比较，认真思考，不仅要发现规律，还要运用规律。

二．范例分析例1 下面三个正方形内的数有相同的规律，请你找出它们的规律并填出B、C,然后确定A，那么A是。

【分析与解】通过观察可以发现，各方框中右上、左下、右下的数分别为1、2、3；2、3、4；3、4、5才能形成规律，故B=4，C=5。

还可以发现，9=(2+1)×3，20=（2+3）×4，所以A= (3+4)×5=35。

例2 观察下面各列数的排列规律，在( )里填上合适的数。

(1)2，9，16，23，( )，37(2)4，9，16，25，( )，49(3)1，2，4，6，7，10，10，14，13，18，( )，( )(4)4，2，11，7，32，22，95，67，284，202，( )，( )【分析与解】(1)经过观察可以发现，相邻两个数的差都是7，因此，( )里应填“30”。

(2)仔细观察不难发现：4=2×2,9=3×3,16=4×4，25=5×5,所以，后面紧接着的应是6×6，因此，( )里应填“36”。

(3)这列数从表面上看，排列得比较乱，如果仅从相邻两数的关系人手，不易发现它们的排列规律，可以将这列数相隔分成两列数，分别寻找它们各自的变化规律。

相隔分成两列数，分别是：1，4，7，10，13，( )2，6，10，14，18，（）上述两列数，相邻两数的差分别是3和4，因此，( )里应分别填上“16”、“22”。

(4)可以像(3)题那样，将这列数相隔分成两列数：4，11，32，95，284，( )2，7，22，67，202，( )仔细观察，可以发现有如下规律：所以，( )里应分别填上“851”、“607”。

例3 有一列数：5、6、2、4、5、6、2、4……(1)第129个数是多少?(2)这129个数的和是多少?【分析与解】经过观察可以发现：5、6、2、4这4个数为一个周期。

(1)129÷4=32……1，第129个数就是第一个数，即为5。

(2)一个循环周期的和是5+6+2+4=17，共32个周期还多1个5。

17×32+5=549。

所以这129个数的和是549。

例4 用同样大小的小正方形拼成宝塔图形，若要拼成一个七层宝塔图形，需要（）个小正方形。

【分析与解】我们不妨依次计算出每个图形所需要的小正方形的个数：1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16……观察这几个算式的结果可以发现：4=2×2，9=3×3，16=4×4……即每个图形所需要的小正方形的个数等于宝塔层数的平方。

因此，若拼成一个七层宝塔，需要的小正方形的个数是：7×7=49。

例5 有一列数1，3，9，25，69，189，517……其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1，那么这列数中的第2008个数除以6，得到的余数是几?【分析与解】这是一道典型的找规律题。

我们只需把数列中前面一些数除以6的余数列出来，找到规律即可：1，3，3，1，3，3，1，3，3，…就是1，3，3三个数一循环。

2008÷3=669……1，所以第2008个数除以6，得到的余数是1。

例6 下表中上一行的一个字与下一行对应的一个字作为一组。

如第一组是(北，预)，第二组是(京，祝)。

那么由左向右的第2008组的上、下两个字是( )。

【分析与解】由于两行字的排列规律不一样，所以我们应该分别来找它们的排列规律。

第一行以“北京欢迎您”这五个字为一组，2008÷5=401（组）······3，第2008组的上面字应是“欢”；第二行以“预祝奥运会圆满成功”这九个字为一组，2008÷9=223（组）······1，第2008组下面的字应是“预”字，故第2008组中的上下两个字放在一起是（欢，预）。

例7 四盏灯(如下图所示)组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色变换一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次上下两灯又互换颜色······这样一直下去，开灯1小时后四盏灯的颜色排列是：【分析与解】仔细观察分析，可以找到四盏灯颜色的变换规律：每隔2分钟四盏灯的颜色排列重复一次。

因为1小时里有30个2分钟，所以开灯1小时后四盏灯的颜色排列与开始相同，即：三．课堂练习1.下面四个三角形内的数有相同的规律，请你找出它们的规律，并求出“?”= 。

2．观察下面各列数的排列规律，在( )里填上合适的数。

3. 有一列图形按如下规律排列：○○△△△□○○△△△□……那么第100个图形是( )，这100个图形中共有( )个△。

4. 如图，用同样大小的小正方形拼成宝塔图形，若要拼成一个十层宝塔图形，需要多少个小正方形?二十层呢?5. 观察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x =（）6. 如图所示，以A、B、C、D、E依次表示左手的大拇指、食指、中指、无名指、小指，若从大拇指开始数数，按：A B C D E D C B A B C D E D C B A……的顺序数，数到“112”时，是左手的( )。

7.“猪”、“马”、“羊”、“牛”如下图所示，占“田”字格的四个小格，把它们不停地变换位置，第一次上下两排交换，第二次在第一次交换后左右两列交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右交换，……，这样交换八十次后，“马”在几号小格内?8. 按规律填数：(1)2,5,8,11,14,( ),( ) (2)2,6,18,54,162,( ),( ) 9. 不是零的自然数的平方按照从小到大的顺序接连排列：1 4 9 16 25 36 49……，则从左向右的第16个数字是几?10. 如图，有同样大小的黑、白珠子若干个，按3个黑珠子，4个白珠子，再3个黑珠子，再4个白珠子的顺序依次排列：．●●●○○○○●●●○○○○……问：(1)第2006个珠子是什么颜色? (2)这2006个珠子里有多少个黑珠子?11. 请根据数字间的关系，找规律填空。

12．观察下列数阵的规律。

第一横行有1个数，第二横行有3个数……第十横行最后一个数是几?13. 有数组(1，2，3，4)；(2，4，6，8)；(3，6，9，12)……那么第100个数组内四个数的和是多少?14. 有五个等式：1+2=34+5+6=7+89+10+11+12=13+14+15……那么，第五个等式左右两边的和都是( )15．有一列由三个数组成的数组：(1，1，1)；(2，4，8)；(3，9，27)……第12个数组中三个数的和比第6个数组中三个数的和大。

16. 如下图，用同样大小的正三角形，向右逐次拼接出更大的正三角形。

其中最小的三角形顶点的个数(重合的顶点只计一次)依次为：3，6，10，15，2l……这列数中的第9个是多少?第二讲巧求周长一、知识要点在求图形周长的题目里通常要用到平移、转化、分解等方法，以及灵活运用我们已经学过的正方形、长方形的周长计算公式。

二、范例分析例1 如右图，若每个小正方形的周长为12厘米，则它们组合而成的“十”字图形的周长为多少厘米?【分析与解】要求这个多边形的周长，也就是要求围成的这个多边形所有线段的总和。

小正方形边长是12÷4=3(厘米)，“十”字图形一周有12条边，所以周长是3×12=36(厘米)答：“十”字图形的周长为36厘米。

提示：此题也可采用平移的方法，把这个“十”字图形转化为一个正方形。

例2下图是一座楼房的平面图，求这个平面图的周长。

【分析与解】这个平面图形，如果从表面上看，似乎缺少已知条件，没有办法求出它的周长。

但是我们可以运用平移的方法，将图(a)转化为图(b)(箭头所指的是转化的部分)，这样图(a)的周长就转化为图(b)的周长与2条20米长的线段之和。

(50+60)×24+20×2=260(米)答：这个平面图的周长是260米。

例3 有一个长方形纸片，长比宽多2厘米，周长是36厘米。

用剪刀剪3下（如图），这6个长方形的周长之和是多少？【分析与解】根据题意可知，长与宽的和为36÷2=18（厘米），长为（18+2）÷2=10（厘米），宽为18—10=8(厘米),剪了3刀后增加了4个长，2个宽，则周长之和为36+10×4+8×2=92(厘米)。

答：这6个长方形的周长之和是92厘米。

例4 如右图，两个长方形拼成了一个正方形。

如果正方形的周长比两个长方形的周长的和少6厘米，则正方形面积是多少平方厘米?【分析与解】从图上很容易看出，正方形的周长比两个长方形的周长的和少2个边长，2个边长是6厘米，则正方形边长是6÷2=3(厘米)，面积是3 ×3=9(平方厘米)。

答：正方形面积是9平方厘米。

例5 一张小长方形纸的长是20厘米，宽是16厘米，现把若干个这样的小长方形纸片，按右图所示的方法，1层、2层、3层……摆下去，共摆了80层。

摆好后的这个图形的周长是多少厘米?【分析与解】经过观察分析，运用平移的方法可知，这个图形的周长与一个大长方形的周长相同，这个大长方形的长为(80×20)厘米，宽为(80×16)厘米，其周长为：(80×20+80×16)×2=-5760(厘米)答：摆好后的这个图形的周长是5760厘米。

例6 如图，阴影部分BCGF是个正方形，线段FH长18厘米，线段AC长24厘米。

问：大长方形ADHE的周长是多少?【分析与解】因为FG=HD，GH=CD，所以HD与CD的和也是18厘米，因此，大长方形长与宽的和是42厘米即(24+18)，从而利用长方形的周长计算公式就可以求出大长方形ADHE的周长为：(24+18)×2=84(厘米)答：大长方形ADHE的周长是84厘米。

例7 图l中，每个小正方形的顶点恰好在另一个正方形的中心，小正方形的边长为4厘米，且边长相互平行，试求出这个图形的周长是多少厘米?【分析与解】利用平移的方法，将图1变成图2，不难看出，图1的周长等于平移后的正方形周长，而正方形的边长是(4÷2) ×7+4=180（厘米），利用正方形的周长计算公式就可以求出其周长。